estudo numérico de escoamento ao redor de um cilindro...

ESTUDO NUMERICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO

CIRCULAR FIXO

Rachel Viana Khalil

Projeto de Graduacao apresentado ao

Curso de Engenharia Naval e Oceanica

da Escola Politecnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de

Engenheiro.

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles

Esperanca

Marcelo de Araujo Vitola

Rio de Janeiro

Setembro de 2016


CIRCULAR FIXO

Rachel Viana Khalil

PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEANICA DA ESCOLA POLITECNICA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO NAVAL.

Aprovada por:

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperanca, D.Sc.

Marcelo de Araujo Vitola, D.Sc.

Prof. Sergio Hamilton Sphaier, D.Ing.

Prof. Claudio Alexis Rodrıguez Castillo, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2016

Khalil, Rachel Viana

Estudo Numerico de Escoamento ao Redor de um

Cilindro Circular Fixo/ Rachel Viana Khalil. – Rio de

Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica/ 2016.

XIV, 52 p. 29, 7cm.

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles Esperanca


Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Naval e Oceanica, 2016.

Referencias Bibliograficas: p. 50 – 51.

1. Cilindro Circular. 2. Simulacoes Numericas. 3.

CFD. I. Esperanca, Paulo de Tarso Themistocles et al.. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politecnica,

Curso de Engenharia Naval e Oceanica. III. Tıtulo.

iii

Aos meus pais, Gloria Viana

Rosa e Jorge Ibrahim Khalil,

que sempre me apoiaram e me

motivaram a atingir meus ob-

jetivos com excelencia e deter-

minacao. Agradeco imensamente

o apoio incondicional, carinho e

dedicacao, voces sao e sempre

serao meus herois. Amo voces.

iv

Agradecimentos

Aos meus pais, Gloria Viana e Jorge Khalil, e ao meu irmao, Raphael Khalil, por

serem meu exemplo de vida e por me apoiarem em todos os momentos.

Ao meu namorado Nikolas Kronemberger que sempre de forma carinhosa me

da forca e coragem, me apoiando nos momentos de dificuldades e realizando meus

momentos mais felizes.

Aos professores Paulo de Tarso e Sergio Sphaier pelo sabedoria, orientacao e

incentivo por toda graduacao.

Aos pesquisadores Marcelo Vitola e Monica Campos pela imensa paciencia, sa-

bedoria e orientacao neste trabalho.

Aos navais Andre Georges, Bianca Mendes, Bernardo Kahn, Daniel Costa, Di-

ana Moreira, Joice Carrara, Jonas Haddad, Lucas Motta e Tiago Siesler por serem

responsaveis pelos melhores e estarem presentes nos piores momentos da graduacao.

Aos amigos Ana Carolina Caiban, Ana Carolina Pettersen, Beatriz Logar, Clara

Zimbarra, Gabriel Sab, Ivan Silveira, Maria Thereza Fernandez, Julia Marques,

Monica Nobrega, Rodrigo Corbelli e Thais Monteiro, por todos os momentos hilarios

e pelo apoio por tantos anos.

Aos professores e funcionarios do departamento de Engenharia Naval e Oceanica

da UFRJ por toda dedicacao e sabedoria.

Agradeco a Agencia Nacional do Petroleo, Gas e Biocombustıveis pelo suporte

financeiro.

v

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Naval.


CIRCULAR FIXO

Rachel Viana Khalil

Setembro/2016

Orientadores: Paulo de Tarso Themistocles Esperanca


Curso: Engenharia Naval e Oceanica

Na industria naval e offshore, estruturas cilındricas, tais como, risers, pipelines e

linhas de amarracao sao constantemente utilizadas e submetidas a condicoes ambi-

entais diversas. Pode-se destacar as correntes marıtimas como causas de falhas em

risers.

A forca sobre estruturas cilındricas devidas ao escoamento pode ser determinada

atraves de experimentos em laboratorios e/ou simulacoes numericas. E para a de-

terminacao do efeito do escoamento uniforme em estruturas cilındricas submersas

deve-se calcular de forma adequada os valores dos coeficientes hidrodinamicos.

O objetivo deste estudo e de analisar o problema de escoamento uniforme ao

redor de um cilindro circular fixo profundamente submerso, atraves de um modelo

numerico viscoso implementado no software StarCCM+. Foi investigado o caso

particular de escoamento uniforme com numero de Reynolds de 100 a 1000.

Neste estudo, obteve-se resultados numericos dos coeficientes de arrasto, de sus-

tentacao e do numero de Strouhal para a faixa de numero de Reynolds estudada e

tambem a incerteza numerica.

Palavras-chave: Cilindro Circular, Simulacoes Numericas, CFD.

vi

Abstract of Undergraduated Project presented to POLI/UFRJ as a partial

fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

NUMERICAL STUDY OF FLOW AROUND A FIXED CIRCULAR CYLINDER

Rachel Viana Khalil

September/2016

Advisors: Paulo de Tarso Themistocles Esperanca


Course: Naval and Ocean Engineering

In the marine and offshore industry, cylindrical structures, such as risers,

pipelines and mooring lines, are constantly used and subjected to different envi-

ronmental conditions. Ocean currents can be highlighted as the main causes of

failures in risers.

The strength on cylindrical structures due to the flow can be determined by

laboratory experiments and / or numerical simulations. And, for determining the

effect of the uniform flow in submerged cylindrical structures the values of the hy-

drodynamic coefficients must be calculate accurately.

The aim of this study is to analyze the steady flow around a fixed circular deeply

submerged cylinder using a viscous numerical model implemented in the software

StarCCM+. The particular case of uniform flow with Reynolds number from 100

to 1000 was investigated in this work.

In this study, numerical results of the drag coefficients, the lift coefficients and

the Strouhal number, as well as the numerical uncertainty, were obtained to the

Reynolds number range studied.

Keywords: Circular Cylinder, Numerical Simulations, CFD.

vii

Sumario

Lista de Tabelas xiii

1 Introducao 1

2 Revisao Bibliografica 4

2.1 Revisao teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Numero de Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.3 Regimes de Escoamento ao Redor de um Cilindro . . . . . . . 5

2.1.4 Desprendimento de vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.5 Forcas de Arrasto e de Sustentacao . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Trabalhos Anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Metodologia Numerica 14

3.1 Equacoes Governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Domınio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Condicoes Iniciais e de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1 Condicoes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.2 Condicao Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Estimativa da Incerteza dos Resultados Numericos . . . . . . . . . . . 21

3.6 Simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Resultados e Discussoes 26

4.1 Verificacao dos resultados dos testes com Re=100 . . . . . . . . . . . 26

4.1.1 Erro iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

viii

4.1.2 Erro de discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Verificacao dos resultados dos testes com Re=300 e 1000 . . . . . . . 36

4.2.1 Erro iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 Erro de discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Validacao dos resultados dos testes com Re=100 a 1000 . . . . . . . . 43

5 Conclusoes 48

Referencias Bibliograficas 50

ix

Lista de Figuras

1.1 (a) Riser (retirada de [1]) , (b) Sistema de risers (retirada de [2]) . . 2

1.2 Ruptura da armadura de tracao do risers (retirada de [3]) . . . . . . 2

2.1 Regimes de Escoamento ao redor de um cilindro circular (Adaptado

de Sumer e Fredsoe [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Representacao da pressao normal e tensao cisalhante sobre a su-

perfıcie do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Componentes da forca resultante: forca de arrasto e de sustentacao. . 8

2.4 Forca de sustentacao sobre um cilindro sujeito a escoamento uniforme

ao longo do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Frequencia da forca de arrasto e de sustentacao. . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Coeficiente de arrasto em funcao do numero de Reynolds, retirado de

Sumer [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Dimensoes do domınio computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Cotas do domınio computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Blocos de refinamento da malha computacional. . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Fronteiras do domınio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos

usando diferentes valores de tolerancia e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4

da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos

usando diferentes valores de tolerancia e a malha 2 (Casos 5, 6, 7 e 8

da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 CD em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela 3.7). 29

x

4.4 CD em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela 3.7). 29

4.5 Coeficiente de Arrasto medio dos ultimos 20 ciclos em funcao da razao

de refinamento simultaneo de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2) usando

diferentes valores de tolerancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Coeficiente de Sustentacao em funcao do tempo para os ultimos 10

ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 1 (Casos 1, 2,

3 e 4 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 2 (Casos 5, 6,

7 e 8 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 3 (Casos 9,

10, 11 e 12 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 13,

14, 15 e 16 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.10 Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos em funcao da

razao de refinamento simultaneo de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2)

usando diferentes valores de tolerancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.11 Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie temporal de

CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo

(1,√

2, 2, 2√

2) usando diferentes valores de tolerancia. . . . . . . . . 34

4.12 Re = 300 - Coeficiente de sustentacao em funcao do tempo para os

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4

(Casos 17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.13 Re = 300 - Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos

20 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos

17, 18, 19 e 20 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.14 Re1000 - Coeficiente de sustentacao em funcao do tempo para os

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4

(Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xi

4.15 Re = 1000 - Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os

ultimos 20 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha

4 (Casos 24, 25, 26 e 27 da Tabela 3.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.16 Re = 300 - Coeficiente de arrasto medio dos ultimos 20 ciclos da serie

temporal de CD em funcao da razao de refinamento simultaneo de

malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.17 Re = 300 - Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos da

serie temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo

de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.18 Re = 1000 - Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie

temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de


2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.19 Re = 1000 - Coeficiente de arrasto medio dos ultimos 20 ciclos da

serie temporal de CD em funcao da razao de refinamento simultaneo


2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.20 Re = 1000 - Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos da

serie temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo


2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.21 Re = 1000 - Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie

temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de


2, 2, 2√

2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.22 Validacao do coeficiente de arrasto medio dos casos 13, 17 e 24 com

dados experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.23 Validacao do coeficiente de sustentacao RMS dos casos 13, 17 e 24

com dados numericos da literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.24 Validacao do numero de Strouhal medio dos casos 13, 17 e 24 com

dados experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xii

Lista de Tabelas

2.1 Trabalhos anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Cotas do domınio computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Tamanho dos blocos de refinamento de malha computacional. . . . . 18

3.3 Refinamento da malha computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Propriedades do fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Velocidades do escoamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Criterio de parada das simulacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7 Lista de simulacoes para Numero de Reynolds = 100. . . . . . . . . . 24

3.8 Lista de simulacoes para Numero de Reynolds = 300. . . . . . . . . . 24

3.9 Lista de simulacoes para Numero de Reynolds = 1000. . . . . . . . . 25

4.1 Testes com Re = 100: Numero de Iteracoes medio por passo de tempo

(nit) dos ultimos 10 ciclos para diferentes malhas e tolerancias. . . . . 27

4.2 Resultados dos coeficientes de arrasto e sustentacao e do numero de

Strouhal para numero de Reynolds igual a 100 e variacoes de refina-

mento de malha e criterios de parada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Resultados da analise de incerteza numerica do caso 13: Re = 100

malha mais refinada e criterio de parada sendo igual a 50 iteracoes

por passo de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Numero de Iteracoes medio por passo de tempo dos ultimos 10 ciclos

de CL para a malha mais refinada e diferentes tolerancias. . . . . . . 37


Strouhal para os numeros de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando

diferentes refinamentos de malha e criterio de parada fixo igual a 50

iteracoes por passo de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

xiii


Strouhal para os numeros de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando

diferentes refinamentos de malha e criterio de parada fixo igual a 50

iteracoes por passo de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7 Resultados da analise de incerteza numerica dos casos 17 e 24: Re

= 300 e Re = 1000, malha mais refinada e criterio de parada sendo

igual a 50 iteracoes por passo de tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8 Comparacao de resultados do coeficiente de arrasto com dados expe-

rimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.9 Comparacao de resultados do coeficiente de sustentacao com dados

da literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.10 Comparacao de resultados do numero de Strouhal com dados experi-

mentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xiv

Capıtulo 1

Introducao

Com a descoberta do Pre-sal em 2006, ha um grande potencial de crescimento das

reservas brasileiras e, consequentemente, desafios tecnologicos para exploracao de

petroleo nesta area geologica. Na industria Naval e Offshore, a busca por petroleo

em aguas profundas e ultra profundas vem aumentando a necessidade de projetos ca-

pazes de operar nestes ambientes. Portanto, deve-se ser capaz de projetar estruturas

como risers, pipe lines e linhas de amarracao que sao constantemente submetidas

a condicoes ambientais de correntes e ondas, tensoes devidas a sua conexao com

a plataforma, forcas devidas ao seu proprio peso, entre outros fatores, capazes de

operar em aguas profundas.

No caso de risers por ser uma estrutura tubular longa, Figura 1.1 - (a), que

conecta a plataforma ao leito marinho, condicoes ambientais como ondas e correnteza

podem influenciar seu projeto. A variacao temporal e ao longo da profundidade de

correntes pode exercer forcas hidrodinamicas significantes no riser e em seu sistema,

principalmente em suas conexoes. Alem disso, a incidencia do escoamento pode levar

ao descolamento da camada limite sobre a estrutura cilındrica e, consequentemente,

ao desprendimento de vortices, que por sua vez pode induzir vibracoes na estrutura.

Estas vibracoes induzidas por vortices (VIV) podem levar ao acumulo de fadiga

e, consequentemente, a perda da integridade estrutural, Figura 1.2. As vibracoes

induzidas por vortices podem vir a danificar estruturas oceanicas e causar grande

prejuızo a industria naval e ao meio ambiente marinho.

A forca hidrodinamica sobre estruturas cilındricas devidas ao escoamento pode

ser determinada atraves de experimentos em laboratorios e/ou simulacoes numericas.

1

(a) (b)

Figura 1.1: (a) Riser (retirada de [1]) , (b) Sistema de risers (retirada de [2])

Figura 1.2: Ruptura da armadura de tracao do risers (retirada de [3])

Portanto, para a determinacao do efeito do escoamento em estruturas cilındricas

submersas, deve-se calcular de forma adequada os valores dos coeficientes hidro-

dinamicos, como os coeficientes de inercia e de arrasto.

As normas utilizadas na industria Naval e Offshore, como por exemplo, a DNV-

RP-C205 [5], sugerem a utilizacao de valores medios constantes para o coeficiente

de arrasto na estimativa das forcas atuantes ao longo de todo o comprimento da

estrutura devidas ao ambiente externo.

A forca hidrodinamica em um corpo submerso e calculada pela soma das forcas

atuantes nas diferentes secoes do corpo, e a intensidade da corrente varia com a

profundidade do fluido. Ao longo de todo o seu comprimento, estas estruturas sub-

mersas podem estar submetidas a diversas condicoes de operacao como correntes

2

contınuas ou oscilatorias de diversas velocidades e frequencias. Um estudo abran-

gendo todas as condicoes ambientais desde o topo ate o leito marinho aos quais o

riser esta submetido, consiste na cobertura de toda a faixa de numero de Reynolds

(equacao 2.1) desde o escoamento laminar, com numero de Reynolds variando de 40

a 1000, ate escoamento turbulento com numero de Reynolds mais elevados.

Desta forma, o objetivo do presente projeto de graduacao e estudar o problema de

escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo profundamente submerso

atraves de um modelo numerico viscoso implementado no software StarCCM+.

Neste trabalho, sera estudado o caso particular de escoamento uniforme com numero

de Reynolds de 100 a 1000. Devido ao elevado custo computacional, optou-se por

realizar simulacoes bidimensionais.

Resultados numericos do coeficiente de arrasto, de sustentacao e numero de

Strouhal sao apresentados. A incerteza numerica dos resultados foi estimada atraves

do estudo de convergencia de malha e da metodologia proposta por Eca e Hoekstra

[6]. Os resultados tambem foram validados com os dados experimentais apresentados

na literatura.

Este trabalho esta subdivido da seguinte forma:

• o capıtulo 2 apresenta uma revisao da teoria e dos estudos de escoamento

uniforme ao redor de um cilindro circular fixo presentes na literatura.

• o capıtulo 3 apresenta a metodologia numerica utilizada com a descricao do

modelo numerico, do domınio e malha computacional, das condicoes inicial e

de contorno utilizados.

• no capıtulo 4 sao apresentados os resultados e discussoes. Este capıtulo foi

subdividido nas seguintes secoes: Verificacao dos resultados do teste com Re

= 100; Verificacao dos Resultados dos Testes com numero de Reynolds de 300

a 1000; e Validacao dos resultados dos testes com numero de Reynolds de

100 a 1000. Nas duas primeiras secoes, a incerteza numerica dos resultados e

estimada, enquanto na ultima secao, os resultados sao comparados com dados

experimentais presentes na literatura.

• no capıtulo 5 sao apresentadas as conclusoes.

3

Capıtulo 2

Revisao Bibliografica

2.1 Revisao teorica

No problema de escoamento uniforme ao redor de um cilindro circular fixo profun-

damente submerso, ou seja, sem efeito da superfıcie livre, os principais numeros

adimensionais envolvidos sao o numero de Reynolds e o numero de Strouhal.

2.1.1 Numero de Reynolds

O numero de Reynolds (Re) relaciona as forcas inerciais com as forcas viscosas e e

dado por:

Re =ρDU

µ(2.1)

sendo ρ a massa especıfica do fluido, D o comprimento caracterıstico do corpo, U a

velocidade do escoamento e µ a viscosidade dinamica do fluido.

2.1.2 Numero de Strouhal

O numero de Strouhal (St) representa a frequencia de desprendimento de vortices

normalizada com a velocidade do fluido e o comprimento caracterıstico do corpo,

sendo definido por:

St =fD

U(2.2)

4

sendo f a frequencia de desprendimento de vortices, D o comprimento caracterıstico

do corpo e U a velocidade do escoamento.

2.1.3 Regimes de Escoamento ao Redor de um Cilindro

Os diferentes regimes de escoamento ao redor de um cilindro sao caracterizados pelo

numero de Reynolds. Assim sendo, para baixos numeros de Reynolds, as forcas

viscosas do escoamento prevalecem sobre as inerciais. Neste caso, o escoamento e

laminar. Conforme o numero de Reynolds aumenta, as forcas viscosas diminuem e

as forcas inerciais prevalecem, e o escoamento torna-se turbulento.

De acordo com Sumer e Fredsoe [4], o escoamento ao redor de um cilindro

pode ser classificado em cinco regimes denominados: Laminar, subcrıtico, crıtico, de

transicao e transcrıtico, segundo o numero de Reynolds, conforme mostra a Figura

2.1.

Para numero de Reynolds menor que 5 (Figura 2.1 - a), o escoamento nao apre-

senta separacao, assim, as linhas de corrente proximas ao cilindro contornam o corpo,

e retornam a sua direcao inicial.

Para numeros de Reynolds variando de 5 a 40 (Figura 2.1 - b), um par de vortices

simetricos e gerado a jusante do cilindro sem se desprender do corpo. O comprimento

destes vortices aumenta conforme o aumento do numero de Reynolds.

Para numero de Reynolds variando de 40 a 200 (Figura 2.1 - c), a camada limite

sobre a superfıcie do cilindro se torna instavel e os vortices a jusante do cilindro se

desprendem alternadamente. Neste caso, a esteira e laminar.

Entre os valores 200 e 300 do numero de Reynolds (Figura 2.1 - d), conforme o

numero de Reynolds aumenta, a esteira comeca a mudar para o regime turbulento.

Para numero de Reynolds entre 300 e 3 × 105 (Figura 2.1 - e), denominado

regime subcrıtico, a esteira e completamente turbulenta, e os vortices formados sao

turbulentos. Porem, a camada limite sobre o cilindro permanece laminar.

Na faixa de numero de Reynolds entre 3 × 105 e 3, 5 × 105 (Figura 2.1 - f),

denominado regime crıtico ou limite inferior do regime de transicao, a camada limite

sobre o cilindro apresenta ambos os regimes, laminar e turbulento. A transicao da

camada limite laminar para turbulenta sobre o cilindro se aproxima do ponto de

estagnacao a montante do cilindro, conforme o numero de Reynolds aumenta. Neste

5

Figura 2.1: Regimes de Escoamento ao redor de um cilindro circular (Adaptado de

Sumer e Fredsoe [4].

regime, a camada limite e turbulenta em um dos pontos de separacao do escoamento

no cilindro e laminar no outro.

Para numero de Reynolds entre 3, 5×105 e 1, 5×106 (Figura 2.1 - g), denominado

regime supercrıtico, os pontos de separacao do escoamento sobre o cilindro sao tur-

bulentos, porem, a camada limite e parcialmente laminar, parcialmente turbulenta.

Na faixa de Reynolds entre 1, 5 × 106 e 4 × 106 (Figura 2.1 - h), conhecido por

limite superior do regime de transicao, no qual a camada limite e completamente

turbulenta em um lado do cilindro e parcialmente laminar e parcialmente turbulento

6

no outro lado.

Para numeros de Reynolds maiores que 4 × 106 (Figura 2.1 - i), denominado

regime transcrıtico, a camada limite e completamente turbulenta em ambos os lados

do cilindro.

2.1.4 Desprendimento de vortices

O fenomeno de desprendimento de vortices tambem e de extrema importancia no

estudo de escoamento ao redor do cilindro, pois influencia a direcao das forcas de

arrasto e de sustentacao e pode gerar vibracoes induzidas por vortices. Portanto,

este fenomeno deve ser bem estudado. O desprendimento de vortices e encontrado

em escoamentos com numero de Reynolds acima de 40 (Figura 2.1 - c ate i).

2.1.5 Forcas de Arrasto e de Sustentacao

O escoamento ao redor do cilindro exerce uma forca resultante sobre o corpo (F) que

deriva de duas componentes principais: uma devida a pressao normal (P ) e outra

devida a tensao cisalhante (τ) sobre a superfıcie do cilindro, conforme mostrado na

Figura 2.2.

θx

Normal (P)

Cisalhante (τ)

Velocidade do escoamento (U)

Figura 2.2: Representacao da pressao normal e tensao cisalhante sobre a superfıcie

do cilindro.

A componente na direcao paralela ao escoamento, tambem conhecida como

direcao in line, da forca por unidade de comprimento devida a pressao normal e

7

a tensao cisalhante e chamada de forca de arrasto (FD, ver Figura 2.3), e e dada

pela equacao 2.3.

FD =

∫ 2π

0

(Pcosθ + τsenθ)r dθ. (2.3)

sendo P e τ respetivamente a pressao normal e a tensao cisalhante sobre o cilindro

no ponto de angulo θ medido no sentido horario a partir do ponto a montante do

cilindro, como visto na Figura 2.2.

A componente na direcao perpendicular ao escoamento, tambem conhecida como

direcao cross flow, de forca por unidade de comprimento devida a pressao normal e

tensao cisalhante e chamada de forca de sustentacao (FL, ver Figura 2.3), e e dada

pela equacao 2.4.

FL =

∫ 2π

0

(Psenθ + τcosθ)r dθ. (2.4)

sendo P e τ respetivamente a pressao normal e a tensao cisalhante sobre o cilindro

no ponto de angulo θ medido no sentido horario a partir do ponto a montante do

cilindro, como visto na Figura 2.2.

Fx

Fy F

θ

y

x

Velocidade doescoamento (U)

(Força de Arrasto)

(Força Resultante)(Força de Sustentação)

Figura 2.3: Componentes da forca resultante: forca de arrasto e de sustentacao.

Um fato importante no comportamento da forca de sustentacao sobre um cilindro

circular fixo profundamente submerso e que, mesmo quando ha desprendimento de

vortices, esta forca possui media temporal zero devida a simetria do corpo. Porem,

a forca de sustentacao instantanea e diferente de zero, pois a integral das forcas

8

na direcao cross flow, em um dado instante, nao se anula por causa da diferenca

de velocidade do fluido passando por cima e por baixo do corpo provocada pelo

desprendimento de vortices. O comportamento da forca de sustentacao ao longo do

tempo pode ser visto na Figura 2.4.

Esta diferenca de velocidades ocasiona uma diferenca de pressao entre os bordos

do corpo, que resulta em uma forca para cima ou para baixo, dependendo do bordo

em que o vortice se desprende. Deste modo, pode-se concluir que a frequencia de

troca de sinal da forca de sustentacao e igual a frequencia de desprendimento de

vortices, com perıodo TCl. Enquanto a forca de arrasto varia de sentido com o

dobro da frequencia de desprendimento de vortices, com perıodo TCd, conforme a

Figura 2.5 mostra.

Figura 2.4: Forca de sustentacao sobre um cilindro sujeito a escoamento uniforme

ao longo do tempo.

Pode-se notar que o valor da forca de sustentacao oscila em torno de zero ao longo

do tempo atingindo valores maximo e mınimo. O espalhamento dos dados ao redor

da media e medido pelo desvio padrao (σ) da serie temporal de forca, representado

pela equacao 2.5.

σ =√∑

(Xi −X)2/(N − 1) (2.5)

9

Figura 2.5: Frequencia da forca de arrasto e de sustentacao.

sendo Xi o elemento i e i um ındice que varia de zero a N , X e N a media e o

numero de elementos da amostra, respetivamente.

Como a media da forca de sustentacao e nula, o valor quadratico medio da forca,

em ingles Root Mean Square (RMS), e o igual ao desvio padrao. Portanto, para

representar a variacao da forca de sustentacao ao longo do tempo, calcula-se o RMS

da forca.

De acordo com Sumer e Fredsoe, [4], para valores de Reynolds maiores que

104, geralmente encontrados na engenharia pratica, a contribuicao da componente

de tensao cisalhante (τ) no calculo das forcas de arrasto (FD, ver equacao 2.3) e

sustentacao (FL ver equacao 2.4) e muito menor do que a componente normal (N),

de forma que a parcela da forca relativa a friccao pode ser omitida e considera-se

apenas a componente normal no calculo das forcas.

As forcas de arrasto e sustentacao podem ser adimensionalizadas resultando nos

coeficientes de arrasto e de sustentacao dados, respectivamente, pelas equacoes 2.6

e 2.7 :

CD =FD

1/2ρU2A(2.6)

e

CL =FL

1/2ρU2A(2.7)

10

sendo respectivamente, FL e FD, a forca de sustentacao e de arrasto, ρ e v, a massa

especıfica e a velocidade do fluido e A a area transversal do cilindro.

O coeficiente de arrasto (Cd) varia com o numero de Reynolds (Re) conforme

mostrado na Figura 2.4. O valor de Cd diminui com o aumento de Reynolds ate

aproximadamente 103 (regime sub crıtico). Entre numeros de Reynolds de 103 a

2 × 105 o valor de Cd permanece aproximadamente constante e igual a 1, 2. Este

coeficiente sofre uma queda abrupta, denominada crise do arrasto, e assume um valor

de aproximadamente 0, 25 para numero de Reynolds igual a 3× 105, permanecendo

neste valor em todo regime super crıtico.

Figura 2.6: Coeficiente de arrasto em funcao do numero de Reynolds, retirado de

Sumer [4].

2.2 Trabalhos Anteriores

O escoamento ao redor de um cilindro circular fixo vem sendo estudado, ao longo das

ultimas decadas, por varios pesquisadores. Extensas revisoes sobre estes trabalhos

podem ser encontradas em Zdravkovich, [7], e Sumer, [4].

A Tabela 2.1 apresenta alguns trabalhos encontrados na literatura que apresen-

taram o estudo de escoamento ao redor de um cilindro para numeros de Reynolds

11

100, 300 e 1000.

Rajani et al [8] analisaram escoamentos bidimensionais e tridimensionais ao redor

de um cilindro circular fixo no regime laminar, com numero de Reynolds variando

de 0,1 a 400 utilizando dinamica de fluidos computacional.

Norberg [9] estudou a flutuacao da forca de sustentacao devida ao escoamento ao

redor de um cilindro circular fixo na faixa de numero de Reynolds de 47 a 2, 2×105.

Esta faixa inclui o comeco do desprendimento de vortices no escoamento ate o regime

super crıtico, antes da crise do arrasto.

Wieselsberger [10] realizou uma serie de experimentos com cilindros circulares

fixos para avaliar a forca de arrasto devida ao escoamento uniforme.

Mittal e Raghuvanshi [11] estudaram, utilizando CFD, o desprendimento de

vortices a jusante de cilindros para uma faixa de numero de Reynolds de 60 a 100.

O efeito da insercao de outro cilindro menor sobre este desprendimento de vortices

tambem foi estudado.

Baranyi and Lakatos [12] estudou o escoamento 2D estacionario e oscilatorio de

corrente uniforme com numeros de Reynolds de 10 ate 190.

Mittal e Balachandar [13] estudou escoamento uniforme tridimensional e bidi-

mensional com numero de Reynolds 300 ao redor de um cilindro circular fixo utili-

zando CFD.

12

Tabela 2.1: Trabalhos anteriores

Reynolds Autor CL CD St Metodo

100 Rajani et al (2D) [8] 0,1792 1,3353 0,1569 Numerico


100 Baranyi e Lakatos [12] 0,228 - - Numerico

100 Mittal and Raghuvanshi [11] - - 0,168 Numerico

100 Baranyi and Lakatos 0,228 - - Numerico

100 Wieselsberger [10] - 1,49 - Experimental

100 Roshko [14] - - 0,168 Experimental

100 Roshko [14] 0,228 - 0,168 Experimental

300 Mittal and Balachandar (3D) [13] 0,38 1,26 0,203 Numerico

300 Mittal and Balachandar (2D) [13] 0,65 1,38 0,213 Numerico



300 Norberg [9] 0,435 - 0,203 Numerico

300 Wieselsberger [10] - 1,31 - Experimental


1000 Patel [15] - 1,1499 0,21 Numerico

1000 Patel [15] - 0,9891 0,21 Numerico

1000 Wieselsberg [10] - 0,98 - Experimental


13

Capıtulo 3

Metodologia Numerica

Neste estudo, o escoamento de fluido incompressıvel ao redor de um cilindro total-

mente submerso foi simulado por um modelo numerico, implementado no software

StarCCM+ versao 9.02.007. Este modelo utiliza o metodo de volumes finitos, no

qual o domınio computacional e dividido em pequenos volumes de controle os quais

formam a malha computacional. A equacao discreta das equacoes governantes e

aplicada a cada volume de controle.

3.1 Equacoes Governantes

A mecanica dos fluidos e baseada em tres princıpios fısicos: Conservacao da massa,

conservacao da energia e conservacao da quantidade de movimento linear. Estes

princıpios sao descritos pelas equacoes de transporte: equacao da conservacao de

energia, equacao da continuidade, 3.1 e equacao da conservacao da quantidade de

movimento linear 3.2, retiradas do manual do programa StarCCM+ [16]. Neste

trabalho, foi utilizado o modelo que resolve as equacoes da continuidade e da con-

servacao da quantidade de movimento, portanto, a equacao da conservacao da ener-

gia nao foi resolvida.

1

ρ

Dρ

Dt+∇.v = 0 (3.1)

ρg −∇p+∇ · τij = ρ(∂V

∂t+ u

∂V

∂x+ v

∂V

∂y+ w

∂V

∂z) (3.2)

14

sendo a equacao da forma vetorial e g a aceleracao da gravidade, V o vetor velocidade

(u, v, w), τij o tensor de tensoes viscosas agindo no elemento, ρ a massa especıfica

do fluido e ∇p o gradiente do campo de pressao.

Assumindo a hipotese que o fluido e incompressıvel e admitindo que as forcas de

corpo derivam de um potencial gravitacional, a equacao da quantidade de movimento

pode ser escrita na forma da equacao de Navier-Stokes 3.3.

D

Dtv + gk +

∇pρ− ν.∇2v = 0 (3.3)

Como os casos estudados neste trabalho tratam de escoamentos com baixo

numero de Reynolds (Re ≤ 1000), o modelo viscoso para escoamento laminar foi

adotado para representacao da fısica do fenomeno, ou seja, nao foi utilizado um

modelo de turbulencia.

Outro parametro importante para a analise numerica e a ordem do esquema de

discretizacao do modelo. Para obter melhores resultados, foram utilizados esquemas

de segunda ordem para as discretizacoes espacial e temporal. Outras informacoes

a respeito do modelo numerico podem ser encontradas no Manual do usuario do

programa StarCCM+ [17].

3.2 Domınio Computacional

Para representacao simplificada de risers, a modelagem do escoamento ao redor de

um cilindro circular fixo foi realizada. O domınio computacional utilizado no pre-

sente trabalho e semelhante ao adotado por Eca [18]. Testes preliminares indicaram

que a forca sobre o cilindro e influenciada pela distancia do cilindro ao contorno de

entrada do escoamento, assim sendo, para que a geometria do domınio nao influen-

ciasse o escoamento ao redor do corpo, algumas modificacoes foram feitas a partir

da geometria de referencia. Para minimizar os efeitos dos contornos do domınio, o

cilindro foi posicionado a 10 diametros do contorno de entrada no domınio.

A espessura do domınio foi definida como o menor elemento da malha computa-

cional de maneira que a malha nao fosse afetada por esta medida do domınio. Apos

testes de criacao de malha, percebeu-se que o refinamento ao redor do cilindro so

nao era afetado quando a espessura do domınio era um multiplo do menor elemento

15

de malha. Portanto, como deseja-se realizar simulacoes bidimensionais, a espessura

do domınio foi adotada com o menor tamanho possıvel que nao afetava a geracao

da malha, ou seja, o tamanho do menor elemento de malha.

O domınio computacional do presente trabalho possui 30 diametros de compri-

mento, 20 diametros de altura e espessura que varia com a malha correspondente

a 3, 125% do tamanho base da malha computacional (BS/32), o eixo de referencia

(x,y,z) foi posicionado no eixo do cilindro e na face Back Face, como ilustrado na

Figura 3.1.

Figura 3.1: Dimensoes do domınio computacional.

As cotas do domınio foram referenciadas a partir do diametro do cilindro e

estao representadas pela Figura 3.2 e pela Tabela 3.1. Assim, o cilindro foi posicio-

nado a 10 diametros (10D) do contorno de entrada de fluido no domınio (Inlet), 20

diametros (20D) do contorno de saıda de fluido do domınio (Outlet) e 10 diametros

dos contornos superior (Upface) e inferior (Down Face), conforme Figura 3.2 e 3.1.

Tabela 3.1: Cotas do domınio computacional.

Cota H h1 h2 L x1 x2

Valor 20D 10D 10D 25D 10D 15D

16

Figura 3.2: Cotas do domınio computacional.

3.3 Malha

O domınio computacional foi discretizado em uma malha computacional do tipo

Trimer que consiste em elementos de malha predominantemente hexagonais. Para

melhor representacao do escoamento, blocos de refinamento de malha foram criados

em locais estrategicos ao redor, a montante e a jusante do cilindro. Estes blocos

visam representar a chegada do fluido, o comportamento do escoamento ao redor do

cilindro, a separacao da camada limite e a esteira a jusante do cilindro.

Um estudo do tamanho dos blocos de refinamento foi feito para analisar a dis-

posicao que melhor representasse o escoamento e possuısse menor esforco compu-

tacional, ou seja, menor tamanho de blocos de refinamento. Pois uma malha mais

refinada apresenta maior gasto de tempo de simulacao. Para isso, cada bloco foi

inserido separada e ordenadamente comecando pelo bloco mais proximo ao cilindro

seguido para os mais externos. O tamanho de cada bloco foi variado separadamente

e verificou-se se os valores do coeficiente de arrasto e numero de Strouhal sofreram

variacoes significativas com a diminuicao dos blocos.

Desta forma, cinco blocos de refinamento de malha foram criados conforme a

disposicao mostrada na Figura 3.3. A parametrizacao do tamanho dos blocos foi

feita a partir do diametro do cilindro (D), como mostrado na Tabela 3.2. E a

parametrizacao do tamanho dos elementos de malha de cada bloco foi definida a

17

partir do maior elemento da malha computacional (elemento de base da malha ou

Base Size - BS), conforme apresentado na Tabela 3.2.

Figura 3.3: Blocos de refinamento da malha computacional.

Tabela 3.2: Tamanho dos blocos de refinamento de malha computacional.

Bloco Bloco 0 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4

Comprimento (Lb) - 14D 4D 4D 3D

Altura (Hb) - 10D 14D 18D 20D

Diametro (Db) D - - - -

Tamanho do BS BS/32 BS/16 BS/8 BS/4 BS/2

A Tabela 3.3 apresenta as principais caracterısticas das quatro malhas geradas.

Foi adotada uma razao de refinamento de√

2 entre malhas consecutivas.

18

Tabela 3.3: Refinamento da malha computacional.

Malha Base Size Base Size (m) DeltaX DeltaX (m) Passo de Tempo Elementos de Malha

1 BS 7, 80× 10−3 D/41 2, 44× 10−4 6, 10× 10−4 95984

2 BS/√

2 5, 52× 10−3 D/41√

2 1, 72× 10−4 4, 31× 10−4 230414

3 BS/2 3, 90× 10−3 D/82 1, 22× 10−4 3, 05× 10−4 455154

4 BS/2√

2 2, 76× 10−3 D/82√

2 8, 62× 10−5 2, 16× 10−4 899798

3.4 Condicoes Iniciais e de Contorno

As condicoes de contorno sao conjunturas definidas nas fronteiras do domınio com-

putacional que estabelecem restricoes ao modelo numerico, que por sua vez, sao

fundamentais para a representacao do modelo fısico.

3.4.1 Condicoes de Contorno

Os contornos do domınio computacional sao representados na Figura 3.4.

Velocidade de entrada (Velocity Inlet)

No contorno de entrada do domınio computacional (Inlet), foi imposta como

condicao de contorno velocidade constante, uniforme e normal a superfıcie da fron-

teira. Esta velocidade foi calculada a partir do numero de Reynolds (Re = UD/ν)

desejado e das caracterısticas do fluido adotado, mostradas na Tabela 3.4. A Tabela

3.5 apresenta as velocidades impostas do escoamento de acordo com o numero de

Reynolds.

Saıda de Pressao Conhecida (Pressure Outlet)

No contorno de saıda do fluido (Outlet), a condicao imposta e de pressao cons-

tante e de valor nulo e velocidade normal a face Outlet com valor calculado a partir

de um gradiente e das celulas de malha anteriores as celulas pertencentes a esta

fronteira.

Paredes (Walls)

Nos contornos de topo (Up Face) e de fundo (Down Face) foi imposta a condicao

de contorno de paredes de deslizamento e a velocidade do fluido tangente a estas

fronteiras possui valor igual a velocidade de entrada no Inlet. Na superfıcie do cilin-

dro, foi imposta a condicao de contorno de impenetrabilidade e nao deslizamento,

ou seja, velocidade na parede igual a zero.

19

Plano de Simetria (Symmmetry Plan)

Nos contornos frontal Front Face e traseiro Back Face foi adotado o plano de

simetria, o que significa que o mesmo domınio computacional se encontra espelhado

por estes contornos possibilitando que eles nao interfiram no comportamento do

fluido. Os valores obtidos nos elementos de malha pertencentes ao plano de simetria

sao espelhados pelo plano. A tensao cisalhante e zero no plano de simetria.

Uma condicao de contorno de plano de simetria representa um plano imaginario

na simulacao, onde as solucoes obtidas para os elementos pertencentes a esse plano

sao espelhadas para a outra face do plano. Matematicamente o plano de simetria

busca representar a continuidade do domınio. Para isso os termos que afetam o

resultado nesse contorno serao tratados da seguinte forma. A tensao de cisalhamento

no plano de simetria e zero. Entao o valor da velocidade na face do plano sera

calculado a partir da extrapolacao do componente de velocidade na celula adjacente.

Bem como a velocidade, o campo de pressao na face do contorno sera obtido atraves

da extrapolacao da celula adjacente.

Tabela 3.4: Propriedades do fluido.

Propriedade Valor Unidade

Massa especıfica (ρ) 1,0 Kg/m3

Viscosidade Dinamica (µ) 2× 10−5 Pa.s

Viscosidade Cinematica (ν) 2× 10−5 m2/s

Tabela 3.5: Velocidades do escoamento.Numero de Reynolds Velocidade do escoamento (m/s)

100 0,2

300 0,6

1000 2,0

3.4.2 Condicao Inicial

A condicao inicial adotada foi de pressao igual a zero e velocidade uniforme igual a

velocidade do Inlet em todo os domınio computacional. Esta condicao foi escolhida

com o objetivo de diminuir o tempo de simulacao computacional.

20

Inlet Outlet

Back Face Front Face

Down FaceUp Face

Figura 3.4: Fronteiras do domınio computacional

3.5 Estimativa da Incerteza dos Resultados

Numericos

De acordo com Roache [19], verificacao e um exercıcio puramente matematico que

tem o objetivo de mostrar que se esta resolvendo corretamente as equacoes e va-

lidacao e uma atividade puramente cientıfica que tem o objetivo de mostrar que se

esta usando as corretas equacoes matematicas para representacao do modelo.

Para Eca e Hoekstra [20], e aceitavel que erros numericos em simulacoes de

fluidodinamica computacional sejam compostos por tres componentes: Erro de ar-

redondamento, erro iterativo e erro de discretizacao. O erro de arredondamento e

originado pela precisao finita dos computadores, este erro relaciona o valor exato

e a aproximacao feita pelo computador. Ele depende da capacidade de precisao

numerica da maquina utilizada na simulacao e tende a aumentar com o refinamento

da malha. O erro iterativo e causado devido a nao linearidade das equacoes ma-

tematicas aplicadas. Enquanto o erro de discretizacao e originado das aproximacoes

21

feitas pelo metodo dos volumes finitos para transformar as equacoes diferenciais

parciais da formulacao contınua em um sistema de equacoes algebricas. O erro de

discretizacao diminui com o refinamento da malha.

Eca e Hoekstra [20] propuseram um procedimento para estimar a incerteza

numerica do estudo de refinamento de malha, que considera o erro de discretizacao

sendo o dominante, considerando o erro de arredondamento desprezıvel em relacao

ao erro de discretizacao. O procedimento proposto calcula o erro de discretizacao

e sua respectiva incerteza a partir dos resultados de simulacoes. Para a aplicacao

do procedimento, sao necessarias pelo menos 4 malhas geometricamente similares e

com mesma razao de refinamento. A estimativa do erro e feita por expansao em serie

de potencias, o primeiro passo e verificar a influencia do refinamento da malha nos

valores das variaveis encontradas (no caso deste trabalho, CD, CL e St) em seguida

pelo metodo dos mınimos quadrados o erro e calculado. Para maiores detalhes sobre

o procedimento deve-se consultar o artigo [20].

No presente trabalho, o erro de arredodamento foi considerado desprezıvel pois

as simulacoes foram rodadas em precisao dupla. E o erro de discretizacao e conse-

quentemente a incerteza numerica foram estimados pelo metodo proposto por Eca

e Hoekstra [20]. O erro iterativo foi investigado atraves da analise da influencia de

diferentes criterios de convergencia sobre os resultados analisados.

Segundo Eca et al. [21], a convergencia iterativa de cada passo de tempo da

simulacao e controlada pelo maximo resıduo normalizado de todas as equacoes que

se esta resolvendo. Assim, para estudo do erro iterativo foram utilizados 4 diferentes

criterios de parada, Tabela 3.6. O primeiro limitado pelo numero de iteracoes por

passo de tempo igual a 50, este valor foi escolhido por ser considerado suficientemente

alto para que nao alterasse os resultados da simulacao. Para numeros menores de

iteracao por passo de tempo, os resultados nao convergiriam para o mesmo valor. O

segundo criterio usado foi de tolerancia numerica para as equacoes de continuidade,

conservacao da quantidade de movimento em X e em Y igual a 1×10−11, 1×10−13 e

1×10−15, respectivamente. Os tres ultimos criterios de parada foram escolhidos apos

analise dos resultados das simulacoes do primeiro criterio de parada. Os diferentes

criterios de parada de simulacao estao apresentados na Tabela 3.6.

Cada simulacao e dado de entrada para a seguinte. Desta forma, primeiro

22

Tabela 3.6: Criterio de parada das simulacoes.

Criterio de Parada Numero de Iteracoes por passo de tempo Tolerancia das equacoes (Tol)

1 50 Variavel

2 Variavel 1× 10−11



realizou-se a simulacao com 50 iteracoes, que seguiu de dado de entrada para a

simulacao com tolerancia igual a 1× 10−11, cujo resultado foi utilizado para inicia-

lizar a simulacao com tolerancia 1 × 10−13 e da mesma forma foi feita a simulacao

com tolerancia 1× 10−15 a partir da anterior.

3.6 Simulacoes

Neste trabalho, buscou-se realizar o estudo de Verificacao e Validacao de simulacoes

numericas de escoamento uniforme constante ao redor de um cilindro circular fixo

com numeros de Reynolds variando de 100 a 1000. Desta forma, optou-se por realizar

simulacoes para tres diferentes numeros de Reynolds. Os valores escolhidos foram

100, 300 e 1000.

Para cada valor de Reynolds, quatro malhas foram geradas de acordo com o item

3.3 com diferentes tamanhos de elementos. As malhas menos refinadas de cada valor

foram geradas de forma que o menor elemento, ou seja, o elemento mais proximo ao

cilindro, fosse igual ao diametro dividido por 41.

Para numero de Reynolds igual a 100, foram realizadas simulacoes com as quatro

malhas e para cada uma das malhas os quatro criterios de parada foram utilizados.

Para numero de Reynolds 300 e 1000, foram realizadas simulacoes com as 4 malhas e

criterio de parada sendo 50 iteracoes por passo de tempo. Apenas com a malha mais

refinada foi realizada a variacao do criterio de parada como nos casos do numero de

Reynolds igual a 100. Assim, a lista de simulacoes realizadas com suas principais

caracterısticas para cada numero de Reynolds esta organizada nas Tabelas 3.7, 3.8

e 3.9. As caracterısticas das malhas podem ser encontradas na Tabela 3.3, sendo a

malha 1 a malha mais grosseira e a malha 4 a mais refinada. O passo de tempo (4t)

23

foi escolhido de forma que o valor do CFL fosse 0, 5, conforme mostra a Equacao.

4t =CFL.4 x

v(3.4)

sendo CFL o numero de Courrant, 4x o tamanho do menor elemento da malha,

4t o passo de tempo e v a velocidade do escoamento.

Tabela 3.7: Lista de simulacoes para Numero de Reynolds = 100.

Simulacao Numero de Reynolds Malha Base Size (m) Passo de Tempo (s) Criterio de Parada

1 100 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 1

2 100 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 2

3 100 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 3

4 100 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 4

5 100 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 1

6 100 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 2

7 100 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 3

8 100 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 4

9 100 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 1

10 100 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 2

11 100 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 3

12 100 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 4

13 100 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 1

14 100 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 2

15 100 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 3

16 100 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 4


Simulacao Numero de Reynolds Malha Base Size (m) Passo de Tempo (s) Criterio de Parada

17 300 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 1

18 300 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 2

19 300 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 3

20 300 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 4

21 300 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 1

22 300 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 1

23 300 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 1

24


Simulacao Numero de Reynolds Malha Base Size Passo de Tempo Criterio de Parada

24 1000 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 1

25 1000 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 2

26 1000 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 3

27 1000 4 2, 76× 10−3 2, 16× 10−4 4

28 1000 1 7, 80× 10−3 6, 10× 10−4 1

29 1000 2 5, 52× 10−3 4, 31× 10−4 1

30 1000 3 3, 90× 10−3 3, 05× 10−4 1

25

Capıtulo 4

Resultados e Discussoes

Neste capıtulo serao apresentados os principais resultados obtidos sobre o estudo

de escoamento ao redor de um cilindro circular fixo para os numeros de Reynolds

100, 300 e 1000. Este capıtulo esta subdividido em tres secoes, nas duas primeiras

(secoes 4.1 e 4.2), e realizada a verificacao dos resultados numericos, na qual os erros

iterativos e de discretizacao sao investigados. Nestas secoes, a incerteza numerica

do coeficiente de arrasto medio (CD), do RMS do coeficiente de sustentacao (CL)

e do numero de Strouhal medio (St) dos resultados com a malha mais refinada sao

apresentados. Na ultima secao, 4.3, os resultados numericos sao comparados aos

dados experimentais presentes na literatura.

4.1 Verificacao dos resultados dos testes com

Re=100

4.1.1 Erro iterativo

A Tabela 4.1 apresenta para casos com numero de Reynolds igual a 100, o numero

de iteracoes medio por passo de tempo (nit) dos ultimos 10 ciclos do coeficiente de

sustentacao para os casos 1 a 16 (ver Tabela 3.7), adotando diferentes refinamentos

de malha, mostrados na Tabela 3.3, e diferentes valores de tolerancia ou criterio de

parada para a convergencia iterativa por passo de tempo, como mostrado na Tabela

3.6.

Pode-se verificar que conforme a tolerancia reduz, maior e o numero de iteracoes

26

Tabela 4.1: Testes com Re = 100: Numero de Iteracoes medio por passo de tempo

(nit) dos ultimos 10 ciclos para diferentes malhas e tolerancias.

Malha | Tolerancia 1× 10−11 1× 10−13 1× 10−15

1 3 15 47

2 3 11 40

3 2 6 32

4 2 5 24

(nit) para os testes com a mesma malha, resultando em maior o esforco computacio-

nal. Desta forma, e viavel que se procure realizar simulacoes com a maior tolerancia

possıvel que nao interferira nos resultados da simulacao.

Verifica-se tambem que para um mesmo criterio de parada o numero de iteracoes

diminui conforme a malha e refinada. Isto indica que os resultados convergem mais

rapidamente para malhas mais refinadas, esta tendencia tambem foi observada no

estudo de Eca et al. [21].

As Figuras 4.1 a 4.4 apresentam os coeficientes de arrasto em funcao do tempo e

as Figuras 4.5 a 4.9 apresentam os coeficientes de sustentacao em funcao do tempo.

Para que os graficos ficassem superpostos, diminuiu-se o tempo inicial de cada to-

lerancia de cada serie temporal (t = ti − t0, sendo t0 o tempo inicial da tolerancia

utilizada) obtidos para os casos 1 a 16, com as malhas 1, 2, 3 e 4 usando-se diferentes

valores de tolerancia, conforme Tabela 3.7.

Pode-se verificar nas Figuras 4.1 a 4.4 que para valores de tolerancia 1 × 10−11

(criterio de parada 2), a serie temporal do coeficiente de arrasto se distancia dos

outros resultados, possuindo menores valores maximo e mınimo do coeficiente e

tambem frequencia menor. A utilizacao deste valor de tolerancia na simulacao nao

representa bem o fenomeno fısico pois o baixo numero de iteracoes necessario para

atingir este valor da tolerancia nao e suficiente para que a solucao das equacoes

convirjam para o valor correto.

A relacao entre as malhas e a tolerancia utilizada tambem destaca-se nas Figuras

4.1 a 4.4, uma vez que para malhas mais refinadas as curvas de CD com criterio de

parada 1, 3 e 4 possuem perıodo e amplitude muito menores que a curva de criterio

2 quando comparados com as curvas da malha 1.

27

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cd

1.375

1.38

1.385

1.39

1.395

1.4Re = 100 - Malha 1

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.1: Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos

usando diferentes valores de tolerancia e a malha 1 (Casos 1, 2, 3 e 4 da Tabela 3.7).

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cd

1.375

1.38

1.385

1.39

1.395

1.4Re = 100 - Malha 2

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.2: Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos


28

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Cd

1.37

1.375

1.38

1.385

1.39

1.395

1.4Re = 100 - Malha 3

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.3: CD em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela 3.7).

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Cd

1.365

1.37

1.375

1.38

1.385

1.39

1.395

1.4Re = 100 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.4: CD em funcao do tempo para os ultimos 20 ciclos usando diferentes

valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela 3.7).

29

A Figura 4.5 mostra os valores do coeficiente de arrasto medio (CD) dos casos

plotados nas Figuras 4.1 e 4.2. Como ja visto anteriormente, observando diferentes

valores de tolerancia, considerando a mesma malha, o valor do coeficiente de arrasto

obtido com a tolerancia 1× 10−11 se distancia dos demais. Alem disso, mesmo para

as outras tolerancias (1× 10−13 e 1× 10−15) os valores mostraram-se diferentes para

a malha mais refinada, na qual foi necessario um menor numero de iteracoes para

se obter a tolerancia desejada.

Figura 4.5: Coeficiente de Arrasto medio dos ultimos 20 ciclos em funcao da razao

de refinamento simultaneo de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2) usando diferentes

valores de tolerancia.

Os graficos 4.5 a 4.9 apresentam a serie temporal do coeficiente de sustentacao

dos casos 1 a 12. Como o perıodo da serie do coeficiente de sustentacao e o dobro

do perıodo do coeficiente de arrasto, apenas dez perıodos foram considerados neste

coeficiente enquanto vinte eram observados nos graficos de CD.

A Figura 4.10 mostra os valores do coeficiente de sustentacao RMS (CL) dos casos

plotados nas Figuras 4.5 a 4.9. Para os diferentes valores de tolerancia, considerando

a mesma malha, assim como o coeficiente de arrasto, verificamos que o valor do

coeficiente de sustentacao obtido com a tolerancia 1×10−11 se distancia dos demais,

porem, diferentemente dos valores de coeficiente de arrasto, Figura 4.5, os casos com

as duas menores tolerancias (1 × 10−13 e 1 × 10−15) apresentam valores diferentes

de coeficientes de sustentacao, apesar de apresentarem a mesma tendencia com o

refinamento da malha.

30

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cl

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Re = 100 - Malha 1

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.6: Coeficiente de Sustentacao em funcao do tempo para os ultimos 10 ciclos


Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cl

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Re = 100 - Malha 2

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50



31

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Cl

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Re = 100 - Malha 3

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50


usando diferentes valores de tolerancia e a malha 3 (Casos 9, 10, 11 e 12 da Tabela

3.7).

Um fato curioso da Figura 4.10 foi a aproximacao dos valores de CL nos casos

4, 8, 12 e 16, que apresentam malha mais refinada. Este fato pode ser causado pela

influencia do refinamento da malha sobre o coeficiente de sustentacao, pois quanto

mais elementos de malha ao redor do cilindro, melhor e representado o ponto de

separacao do escoamento na camada limite de sua parede. A melhor representacao

da separacao do escoamento e fundamental para a representacao do desprendimento

de vortices do escoamento ao redor do cilindro, ja que se o ponto desprender mais a

jusante do cilindro a interferencia entre os vortices sendo formados acima e a baixo

do cilindro sera intensificada pela proximidade entre eles, o que ocasionaria aumento

da frequencia de desprendimento de vortices alterando tanto o valor do coeficiente

de sustentacao quanto o numero de Strouhal da simulacao.

A Figura 4.11 mostra os valores do numero de Strouhal medio (St) dos casos

1 a 16, plotados nas Figuras 4.1 a 4.9. Para a tolerancia os diferentes valores

de tolerancia 1 × 10−11, verificamos que o valor numero de Strouhal obtido nao

32

Tempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Cl

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Re = 100 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50


usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 13, 14, 15 e 16 da Tabela

3.7).

Figura 4.10: Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos em funcao da

razao de refinamento simultaneo de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2) usando diferentes

valores de tolerancia.

33

se aproxima dos demais casos com tolerancias menores e do caso de 50 iteracoes

por passo de tempo. Para este valor de tolerancia, os valores encontrados para

o numero de Strouhal medio variam com o refinamento da malha. Ja os demais

criterios de parada (1, 3 e 4) apresentam valores do numero de Strouhal variando

pouco em relacao ao refinamento da malha e os valores de Strouhal para os criterios

de parada 1 e 4 coincidem e sao praticamente lineares em relacao ao refinamento da

malha. Esta tendencia mostra que o criterio de parada e um grande influenciador

no resultado do numero de Strouhal.

Diferentemente da tendencia mostrada nos valores do coeficiente de sustentacao

para os casos de malha mais refinada (casos 4, 8, 12 e 16) o numero de Strouhal

destes casos nao se aproximam. Para a malha mais refinada (malha 4, ou seja,

razao de refinamento√

2) e diferentes criterios de parada, o numero de Strouhal

dos criterios de parada 1 e 4 continuam iguais e os criterios 2 e 3 se distanciam do

valor destes. Entretanto, a distancia e um valor relativamente pequeno: o numero

de Strouhal medios dos casos 8 e 12 distam, respectivamente, 0, 0065 e 0, 0406 do

numero de Strouhal dos casos 4 e 16.

Figura 4.11: Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie temporal de

CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo (1,√

2, 2, 2√

2)

usando diferentes valores de tolerancia.

Assim sendo, pode-se concluir que apesar de o custo computacional de tolerancias

maiores ser menor, nem sempre elas representam adequadamente o fenomeno fısico

que se deseja estudar. Sendo preciso, entao, de um estudo de erro iterativo para se

34

estimar a tolerancia mais adequada para simulacao dos casos.

A tabela 4.2 apresenta o CD medio, CL RMS e o numero de Strouhal medio cal-

culados a partir da serie temporal dos coeficientes de arrasto e sustentacao, Figuras

4.1 a 4.9, casos 1 a 16. O numero de Strouhal foi calculado a partir do perıodo

medio do coeficiente de sustentacao.

Tabela 4.2: Resultados dos coeficientes de arrasto e sustentacao e do numero de

Strouhal para numero de Reynolds igual a 100 e variacoes de refinamento de malha

e criterios de parada.

Caso Malha Tolerancia Iteracoes por Passo de Tempo Cd medio Cl St

1 1 Sem restricao 50 1,3892 0,2426 0,1699

2 1 1× 10−11 3 1,3878 0,2391 0,1598

3 1 1× 10−13 15 1,3891 0,2423 0,1699

4 1 1× 10−15 47 1,3892 0,2426 0,1699

5 2 Sem restricao 50 1,3875 0,2413 0,1701

6 2 1× 10−11 3 1,3886 0,2378 0,1564

7 2 1× 10−13 11 1,3874 0,2408 0,1701

8 2 1× 10−15 40 1,3875 0,2413 0,1701

9 3 Sem restricao 50 1,3862 0,2406 0,1701

10 3 1× 10−11 2 1,3839 0,2377 0,1348

11 3 1× 10−13 6 1,3863 0,2394 0,1682

12 3 1× 10−15 32 1,3862 0,2406 0,1701

13 4 Sem restricao 50 1,3857 0,2403 0,1701

14 4 1× 10−11 2 1,3842 0,2397 0,1295

15 4 1× 10−13 5 1,3866 0,2393 0,1636

16 4 1× 10−15 24 1,3857 0,2403 0,1701

Na Tabela 4.2, verificamos que os valores do coeficiente de arrasto medio variam

com o refinamento da malha, para as diferentes tolerancias. As malhas mais refi-

nadas, malha 3 e 4, apresentaram valores mais proximos de coeficiente de arrasto

medio do que as outras malhas. Ja os valores do numero de Strouhal, para as quatro

razoes de refinamento de malha houve convergencia de valores para o menor valor

da tolerancia. Como era de se esperar, os valores ficaram mais proximos com a

tolerancia menor e se afastaram com seu aumento. Alem disso, as malhas mais re-

finadas obtiveram valores mais proximos e menos variaveis em funcao da tolerancia

35

do que malhas mais grosseiras.

4.1.2 Erro de discretizacao

Para o calculo do erro de discretizacao, optou-se por analisar o caso 13 que e o caso

com numero de Reynolds igual a 100 com a malha mais refinada (Malha 4) e criterio

de parada igual a 50 iteracoes por passo de tempo, conforme Tabela 3.7. A Tabela

4.3 apresenta o resultado da analise de incerteza numerica realizada pelo metodo

proposto por Eca e Hoekstra [20] do caso 13.

Tabela 4.3: Resultados da analise de incerteza numerica do caso 13: Re = 100 malha

mais refinada e criterio de parada sendo igual a 50 iteracoes por passo de tempo.Caso Re Malha Cd medio ± U Cl ± U St ± U 100.U/CD 100.U/CL 100.U/St

13 100 4 1, 3857± 0, 002 0, 2403± 0, 001 0, 1701± 0, 001 0,144% 0,416% 0,588%

4.2 Verificacao dos resultados dos testes com

Re=300 e 1000

4.2.1 Erro iterativo

Assim como para o numero de Reynolds igual a 100, o erro iterativo foi verificado

para o coeficiente de arrasto medio e para o coeficiente de sustentacao para numero

de Reynolds igual a 300 e 1000. A Tabela 4.4 apresenta o numero de iteracoes medio

por passo de tempo de ambos os numeros de Reynolds apenas para a malha mais

refinada (malha 4).

Optou-se por realizar a verificacao do erro iterativo apenas para a malha mais

refinada uma vez que foi verificado para numero de Reynolds igual a 100 que a

malha mais refinada apresenta maior erro iterativo que as outras malhas e desejava-

se reduzir o numero de casos a serem testados.

Na Tabela 4.4, verificamos que para o mesmo numero de Reynolds, o numero de

iteracoes medio por passo de tempo aumenta com o aumento da tolerancia, assim

como observado na Tabela 4.1 para o caso de numero de Reynolds 100.

Um fato peculiar para a simulacao de numero de Reynolds 1000 foi que para

tolerancias menores que 1 × 10−13 os numeros de iteracoes por passo de tempo

36

Tabela 4.4: Numero de Iteracoes medio por passo de tempo dos ultimos 10 ciclos de

CL para a malha mais refinada e diferentes tolerancias.

Reynolds Malha | Tolerancia 1× 10−11 1× 10−13 1× 10−15

300 4 9 35 50

1000 4 23 50 50

necessarios para que as equacoes atinjam o valor desejado da tolerancia e maior que

50. Dessa forma, diferentemente do caso de numero de Reynolds 100, mais de 50

iteracoes sao necessarias para convergencia das equacoes governantes no resultado

esperado. Como restringiu-se o numero maximo de iteracoes em 50 para que o tempo

de simulacao nao fosse muito longo, os casos 26 e 27 (casos com criterios de parada

3 e 4) tiveram numero de iteracoes medio por passo de tempo igual a 50.

Tempo (s)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Cl

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Re = 300 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.12: Re = 300 - Coeficiente de sustentacao em funcao do tempo para os

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 17, 18,

19 e 20 da Tabela 3.7).

As Figuras 4.16, 4.17 e 4.18 apresentam, respectivamente, a variacao do coefici-

ente de arrasto, coeficiente de sustentacao e numero de Strouhal com o refinamento

da malha para numero de Reynolds 300, casos 17, 18, 19 e 20, conforme Tabela 3.8.

As Figuras 4.19, 4.20 e 4.21 apresentam, respectivamente, a variacao do coefici-

ente de arrasto, coeficiente de sustentacao e numero de Strouhal com o refinamento

37

Tempo (s)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Cd

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

1.48

1.5

1.52Re = 300 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.13: Re = 300 - Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos

20 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 17, 18, 19 e 20

da Tabela 3.7).

Tempo (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Cl

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Re = 1000 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.14: Re1000 - Coeficiente de sustentacao em funcao do tempo para os

ultimos 10 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 24,

25, 26 e 27 da Tabela 3.7).

38

Tempo (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Cd

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8Re = 1000 - Malha 4

Tol = 1e-11Tol = 1e-13Tol = 1e-15

nit = 50

Figura 4.15: Re = 1000 - Coeficiente de arrasto em funcao do tempo para os ultimos

20 ciclos usando diferentes valores de tolerancia e a malha 4 (Casos 24, 25, 26 e 27

da Tabela 3.7).


Strouhal para os numeros de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando diferentes

refinamentos de malha e criterio de parada fixo igual a 50 iteracoes por passo de

tempo.

Caso Reynolds Malha Cd medio Cl St

17 300 4 1,4149 0,6730 0,2146

18 300 4 1,4136 0,669 0,2142

19 300 4 1,4146 0,6745 0,2145

20 300 4 1,4149 0,6730 0,2146

24 1000 4 1,5636 1,0852 0,2397

25 1000 4 1,5861 1,0638 0,2396

26 1000 4 1,5836 1,0852 0,2397

27 1000 4 1,5836 1,0852 0,2397

da malha para numero de Reynolds 1000, casos 24, 25, 26 e 27, conforme Tabela

3.9.

Pode-se verificar que os graficos de coeficiente de arrasto e coeficiente de sus-

39


Strouhal para os numeros de Reynolds iguais a 300 e 1000, utilizando diferentes

refinamentos de malha e criterio de parada fixo igual a 50 iteracoes por passo de

tempo.

Caso Reynolds Malha Cd medio Cl St

21 300 1 1,4149 0,6730 0,2146

22 300 2 1,4329 0,6792 0,2138

23 300 3 1,4337 0,6798 0,2139

17 300 4 1,4149 0,6730 0,2146

28 1000 1 1,5864 1,0638 0,2416

29 1000 2 1,5878 1,0892 0,2392

30 1000 3 1,5721 1,089 0,2389

24 1000 4 1,5636 1,0852 0,2397

Figura 4.16: Re = 300 - Coeficiente de arrasto medio dos ultimos 20 ciclos da serie

temporal de CD em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo

(1,√

2, 2, 2√

2).

tentacao e numero de Strouhal em funcao do refinamento da malha possuem compor-

tamentos diferentes do apresentado pelos outros dois numeros de Reynolds. Desta

forma, pode-se concluir que para este valor mais elevado de numero de Reynolds, os

resultados do modelo matematico implementado apresenta maior erro iterativo.

40

Figura 4.17: Re = 300 - Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos da

serie temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e

tempo (1,√

2, 2, 2√

2).

Figura 4.18: Re = 1000 - Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie

temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo

(1,√

2, 2, 2√

2).

4.2.2 Erro de discretizacao

Para o calculo do erro de discretizacao, assim como feito para o numero de Reynolds

100, optou-se por analisar os casos com numero de Reynolds igual a 300 e 1000 com

a malha mais refinada (Malha 4) e criterio de para igual a 50 iteracoes por passo de

tempo (casos 17 e 24, conforme Tabela 3.7). A Tabela 4.7 apresenta o resultado da

41

Figura 4.19: Re = 1000 - Coeficiente de arrasto medio dos ultimos 20 ciclos da serie

temporal de CD em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo

(1,√

2, 2, 2√

2).

Figura 4.20: Re = 1000 - Coeficiente de sustentacao RMS dos ultimos 10 ciclos da

serie temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e

tempo (1,√

2, 2, 2√

2).

analise de incerteza numerica realizada pelo metodo proposto por Eca e Hoekstra

[20] dos casos 17 e 24.

42

Figura 4.21: Re = 1000 - Numero de Strouhal medio dos ultimos 10 ciclos da serie

temporal de CL em funcao da razao de refinamento simultaneo de malha e tempo

(1,√

2, 2, 2√

2).

Tabela 4.7: Resultados da analise de incerteza numerica dos casos 17 e 24: Re =

300 e Re = 1000, malha mais refinada e criterio de parada sendo igual a 50 iteracoes

por passo de tempo.

Caso Re Malha Cd medio ± U Cl ± U St ± U 100.U/CD 100.U/CL 100.U/St

20 300 4 1, 415± 0, 008 0, 673± 0, 007 0, 215± 0, 000 0,565% 1,040% 0,000%

27 1000 4 1, 564± 0, 155 1, 085± 0, 124 0, 240± 0, 014 9,913% 11,426% 5,841%

4.3 Validacao dos resultados dos testes com

Re=100 a 1000

As Tabelas 4.8, 4.10 e 4.9 comparam os resultados obtidos nos casos 13, 17 e 24,

respectivamente com dados experimentais do coeficiente de arrasto, do numero de

Strouhal, e como valores experimentais do coeficiente de sustentacao nao foram en-

contrados para comparacao, a tabela apresenta o intervalo de resultados numericos

do coeficiente de sustentacao apresentado por Baranyi e Lakatos [12]. A repre-

sentacao foi realizada em intervalo de valores pelo fato do coeficiente de sustentacao

nao apresentar convergencia de valores em estudos numericos anteriores.

As Figuras 4.22, 4.23 e 4.24 representam, respectivamente, as curvas de coefi-

ciente de arrasto, coeficiente de sustentacao e numero de Strouhal em funcao do

numero de Reynolds obtidos no presente trabalho incluindo as incertezas numericas

43

Tabela 4.8: Comparacao de resultados do coeficiente de arrasto com dados experi-

mentais.

Caso Re Malha Tolerancia Nit CD ± U CD experimental

13 100 4 Sem restricao 50 1, 3857± 0, 002 1,49

17 300 4 Sem restricao 50 1, 4149± 0, 008 1,31

24 1000 4 Sem restricao 50 1, 5636± 0, 155 0,98

Figura 4.22: Validacao do coeficiente de arrasto medio dos casos 13, 17 e 24 com

dados experimentais.

(em vermelho) e comparam com os resultados da literatura. Como os dados do coe-

ficiente de sustentacao na literatura sao apresentados como um intervalo, no grafico

da Figura 4.22 eles sao apresentados como barras verticais.

Avaliando a Figura 4.22, pode-se concluir que os resultados obtidos com o mo-

delo numerico e suas incertezas numericas nao coincidem com dados experimentais

para todos os tres numeros de Reynolds estudados. Este fato ocorre pela incerteza

numerica ser de ordem baixa, as percentagens dos valores achados quando compa-

radas aos valores experimentais estao apresentados na Tabela 4.9 e pode-se verificar

que para os numeros de Reynolds 100, 300 e 1000, a diferenca entre os valores encon-

trados neste trabalho e os valores experimentais obtidos por Wieselsberger [10] sao,

respectivamente, cerca de 7%, 8% e 60% do proprio valor. A discrepancia do valor

44

encontrado para numero de Reynolds 1000 se deve ao fato do modelo de escoamento

laminar nao representar fielmente a esteira turbulenta presente neste numero de

Reynolds, alem disso, dos efeitos tridimensionais estarem presentes no escoamento

neste caso e a simulacao feita estar limitada a um caso bidimensional.

Tabela 4.9: Comparacao de resultados do coeficiente de sustentacao com dados da

literatura.

Caso Re Malha Tolerancia Nit CL ± U CL numerico da literatura

13 100 4 Sem restricao 50 0, 2403± 0, 001 0,154 - 0,28

17 300 4 Sem restricao 50 0, 673± 0, 007 0,09-0,73

24 1000 4 Sem restricao 50 1, 085± 0, 124 0,32-0,68

Figura 4.23: Validacao do coeficiente de sustentacao RMS dos casos 13, 17 e 24 com

dados numericos da literatura.

A Tabela 4.9 e a Figura 4.24 mostram que para os numeros de Reynolds 100

e 3000, o valor encontrado do coeficiente de sustentacao e sua incerteza numerica

encontram-se dentro do intervalo de resultados obtidos na literatura para este coefici-

ente. Contudo, os resultados encontrados na literatura do coeficiente de sustentacao

para o numero de Reynolds 1000 nao encontram-se dentro do intervalo de incerteza

45

do coeficiente encontrado neste estudo numerico.

Tabela 4.10: Comparacao de resultados do numero de Strouhal com dados experi-

mentais.

Caso Re Malha Tolerancia Nit St± U St experimental

13 100 4 Sem restricao 50 0, 1701± 0, 001 0,168

17 300 4 Sem restricao 50 0, 2146± 0, 000 0,203

24 1000 4 Sem restricao 50 0, 2397± 0, 014 0,21

Figura 4.24: Validacao do numero de Strouhal medio dos casos 13, 17 e 24 com

dados experimentais.

Avaliando a Figura 4.24, pode-se verificar que para o numero de Reynolds 100, o

valor encontrado para o numero de Strouhal e sua incerteza numerica sao proximos

do valor experimental. Para os outros dois numeros de Reynolds, a diferenca entre o

valor numerico encontrado e o valor experimental do numero de Strouhal aumentam,

mas o grafico apresenta a mesma tendencia de valores que o resultado experimental.

Os valores do numero de Strouhal obtidos o presente trabalho para os numeros de

Reynolds 100, 300 e 1000 diferenciam-se dos valores experimentais em, respectiva-

mente, 1, 25%, 5, 71% e 14, 14% de seus proprios valores. Isso mostra que o modelo

pode representar de forma satisfatoria a frequencia de desprendimento de vortices

46

do escoamento ao redor do cilindro circular fixo para os dois primeiros numeros de

Reynolds, porem, assim como para os coeficientes de forca, o numero de Strouhal

para o ultimo numero de Reynolds nao apresentou resultado satisfatorio devido a

nao representacao da turbulencia e dos efeitos tridimensionais presentes no neste

escoamento.

47

Capıtulo 5

Conclusoes

Neste trabalho, estimou-se o erro iterativo e o erro de discretizacao do coeficiente

de arrasto, do coeficiente de sustentacao e do numero de Strouhal, do escoamento

ao redor de um cilindro circular fixo para numero de Reynolds 100, 300 e 1000

utilizando-se o metodo de Eca e Hoekstra [20].

E importante salientar que a simulacao de escoamento ao redor de um cilindro

em CFD e altamente impactada pela estrategia de geracao da malha computacional,

sendo necessario refinamento de malha na esteira e ao redor da parede do cilindro

para representacao do ponto de separacao do escoamento.

Verificou-se que, para uma mesma malha, com a reducao da tolerancia, o numero

de iteracoes necessarias por passo de tempo (nit) aumenta para convergencia das

equacoes governantes. E um maior numero de iteracoes requer maior esforco com-

putacional. Desta forma, e viavel que se procure realizar simulacoes com a maior

tolerancia possıvel que nao interferira nos resultados da simulacao. Neste trabalho,

verificou-se que a escolha da tolerancia das equacoes possui grande influencia sobre

o resultado da simulacao. Como visto no capıtulo 4, valores de tolerancia maiores

que 10−13 aumentam o erro iterativo dos coeficientes de arrasto e de sustentacao e

do numero de Strouhal para os numeros de Reynolds e malhas testados. A indevida

escolha do valor da tolerancia pode ate evitar a convergencia das equacoes, como

ocorrido nos casos 26 e 27 (Re = 1000), nos quais era preciso mais de 50 iteracoes

para convergencia das equacoes.

Destaca-se tambem que para um mesmo criterio de parada o numero de iteracoes

diminui conforme a malha e refinada. Isto indica que os resultados convergem mais

48

rapidamente para menores elementos de malha, esta tendencia tambem foi observado

no estudo de Eca et al. [21].

Assim sendo, pode-se concluir que apesar de o custo computacional de tolerancias

maiores ser menor, nem sempre elas representam adequadamente o fenomeno fısico

que se deseja estudar pois a escolha inadequada da tolerancia pode aumentar signi-

ficativamente o erro iterativo dos resultados obtidos. Sendo preciso, entao, de um

estudo de erro iterativo para se estimar a tolerancia mais adequada para simulacao

dos casos.

Apos a realizacao de todos os testes, este trabalho apresenta resultados compu-

tacionais para casos de um cilindro circular fixo profundamente submerso que sao

comparados com aqueles previamente apresentados na literatura e resultados expe-

rimentais. Apos analise, verificou-se que os resultados de CD e St para os numeros

de Reynolds 100 e 300 sao proximos aos valores experimentais, representando dife-

rencas de, respectivamente, 7% e 1, 25% de seus proprios valores para numero de

Reynolds 100 e de 8% e 5, 7% de seus proprios valores, para numero de Reynolds

300. E para estes dois numeros de Reynolds, o coeficiente de sustentacao tambem

se encontra dentro do intervalo de valores encontrados na literatura. Ja para o

numero de Reynolds 1000, os valores dos coeficientes hidrodinamicos e do numero

de Strouhal diferenciam-se dos valores esperados. Este fato ocorre pela nao repre-

sentacao da turbulencia e dos efeitos tridimensionais presentes no escoamento com

este numero de Reynolds.

49

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