estudo geoposi e geoespacial

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria de Posiçãoe

Geometria Espacial Métrica

Resumo teórico e exercícios.

3º Colegial / Curso Extensivo.

Relação das aulas.

Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................Aula 03 - Prismas ...............................................................................Aula 04 - Pirâmides ............................................................................Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................Aula 06 - Cone de revolução .............................................................Aula 07 - Esferas ...............................................................................Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos ....................

Jeca 01

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Página

Considerações gerais.

Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Nessas aulas, projeto na lousa esta apostila e complemento a teoria exemplificando e demonstrando as fórmulas apresentadas. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.

Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.

GEOMETRIA DE POSIÇÃO.

A Geometria de Posição é a parte da Geometria que estuda a determinação dos elementos geométricos, bem como as posições relativas e as interseções desses elementos no espaço.

1) Elementos da Geometria.

a) Ponto - A, B, P, … b) Reta - a, b, r, … c) Plano - a, b, g, …

2) Determinação dos elementos.

2a) Determinação de ponto. Um ponto fica determinado : I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.

II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.

2b) Determinação de reta. Uma reta fica determinada : I - Por dois pontos distintos.

II - Por um ponto e uma direção.

III - Pelo cruzamento de dois planos.

r

s

P

a

a

a

P

r

A

B r

direção

P

b

A B

C

a

r

P

r

2c) Determinação de plano. Um plano fica determinado : I - Por três pontos distintos não colineares.

II - Por uma reta e um ponto fora dela.

III - Por duas retas paralelas distintas.

IV - Por duas retas concorrentes.

3) Combinações dos elementos.(dois a dois)

4) Posições relativas e interseções dos elementos dois a dois.

4a) Ponto - ponto. As posições relativas que dois pontos podem assumir são : I - Os dois pontos são coincidentes.

II - Os dois pontos são distintos.

a

r

s

a

r

s

3a) Ponto - ponto.3b) Ponto - reta.3c) Ponto - plano.3d) Reta - reta.3e) Reta - plano.3f) Plano - plano.

A B A B = A ( ou B )

A

BA B = O

Jeca 02

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)

Geometria de Posição

Aula 01Conceitos fundamentais

da Geometria de Posição.

4b) Ponto - reta. As posições relativas que um ponto e uma reta podem assumir são : I - O ponto está contido na reta.

II - O ponto está fora da reta.

4c) Ponto - plano. As posições relativas que um ponto e um plano podem assumir são :

I - O ponto está contido no plano.

II - O ponto está fora do plano.

4d) Reta - reta.

1) Retas coplanares. Duas retas são ditas coplanares se existe um plano que as contém.

As posições relativas que duas retas coplanares podem assumir são :

I - Duas retas paralelas coincidentes.

II - Duas retas paralelas distintas.

III - Duas retas concorrentes.

a

r

s

P

r s

a r s = r (ou s)

r s = P

r s = a

r

s O

s’

P

P’ r s = a

r

s

O

r a = ra

r

r’

r a = a

r

O

r

Pr a = P

a

P é chamado de

“traço de r em a”.

III - A reta é secante ou concorrente com o plano.

Retas perpendiculares.(caso particular de retas concorrentes)

Duas retas concorrentes são ditas perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no plano)

2) Retas reversas (ou não coplanares) Duas retas são ditas reversas ou não coplanares se não existe um plano que as contém.

Retas ortogonais.(caso particular de retas reversas)

Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem entre si ângulos de 90º. (no espaço)

4e) Reta - plano.

As posições relativas que uma reta e um plano podem assumir são : I - A reta está contida no plano.

II - A reta é paralela ao plano.

P r P r = P

OP

rP r =

a

PP a = P

a

P

OP’ P a =

Jeca 03

Projeções ortogonais (”Sombra”)

P

A

B

C

r

s

t

A - Projeção ortogonal de P em r.B - Projeção ortogonal de P em s.C - Projeção ortogonal de P em t.

A B

A’ B’

C

D

C’ D’

E

F

E’ = F’

r

Projeções ortogonais em r.

Ângulo.

Distância entre duas retas reversas. A distância entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que é simultaneamente perpendicular a essas retas.

r

sd

Distância.

Ângulo entre reta e plano. É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo-nal da reta sobre o plano.

q

P

P’

Ângulo entre dois planos. É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla-no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num mesmo ponto.

q

Intersecção

Determina Existe e é único

Onde se lê Entende-se

Existe um

Um único

Coincidentes

Distintos Têm pelo menos um ponto diferente.

Têm todos os pontos em comum.

Um e somente um.

Existe pelo menos um.

Concorrentes Se cruzam.

Colineares Existe uma reta que os contém.

Coplanares Existe um plano que os contém.

Reversos Não existe um plano que os contém.

Reta perpendicular ao plano.(caso particular de reta secante ao plano)

Teorema. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen-dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano.

4f) Plano - plano. As posições relativas que dois planos podem assumir são : I - Dois planos paralelos coincidentes.

II - Dois planos paralelos distintos.

III - Dois planos secantes (ou concorrentes)

Planos perpendiculares.(caso particular de planos secantes ou concorrentes)

Teorema. Dois planos são perpendiculares entre si se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

t

a s

r

b

a b = a (ou b)

a

a b = b

a

O

a b = ra

b r

t

a

b

Jeca 04

038) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são reversas.039) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são concorrentes.040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse pla-no em dois semi-planos.041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa plano em dois semi-planos.042) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas são reversas.043) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não têm ponto em comum.044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.045) ( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices deum quadrilátero reverso.047) ( ) As retas que contém as diagonais de um qua-drilátero reverso são retas reversas.048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas, então são concorrentes.049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém.050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distin-tos.052) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto comum.053) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles coincidem.054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano.055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela éparalela a infinitas retas do plano.056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela éparalela a todas as retas do plano.057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela éreversa a uma reta do plano.058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela éortogonal a uma única reta do plano.059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então ela é concorrente com infinitas retas desse plano.060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma reta concorrente com ela.061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer reta que concorre com uma delas concorre com a outra.062) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então todo plano que contém uma é paralelo ou contém a outra.063) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer plano que contém uma intercepta a outra.064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então são paralelas entre si.065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe no plano uma reta paralela à reta dada.066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra.067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção uma reta.068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles são secantes.069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são se-cantes.

Responder V se verdadeira ou F se falsa nas afirmações abaixo.001) ( ) O ponto não tem dimensão.002) ( ) Uma reta contém infinitos pontos.003) ( ) Um plano contém infinitos pontos.004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta.005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o plano que os contém.006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano.007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos.008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares.009) ( ) Três pontos distintos e não colineares deter-minam um plano.010) ( ) Todo plano contém infinitas retas.011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes.012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semi-retas.013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em duas semi-retas.014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semi-planos.015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano em dois semi-planos.016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois semi-espaços.017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares.018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre copla-nares.019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos opostos, então o segmento que os une intercepta a origem dos dois semi-planos.020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma origem.021) ( ) Três pontos distintos não são colineares.022) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.023) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum são concorrentes.024) ( ) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes.025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano.026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano.029) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam três planos.030) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam um único ou três planos.031) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em pontos distintos, são coplanares.032) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos.033) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são vértices de um quadrilátero.034) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três a três, são vértices de um quadrilátero.035) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares, três a três determinam quatro planos distintos.036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora delas, determinam um único ou três planos.037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora delas determinam três planos.

Jeca 05

098) ( ) Se uma reta é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é perpendicular à outra.100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém as duas retas.101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra.102) ( ) As intersecções de dois planos paralelos com um terceiro plano, são retas paralelas.103) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si.104) ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.105) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.106) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é um ponto ou uma reta.107) ( ) A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é um ponto ou um segmento menor que ele.108) ( ) A projeção ortogonal de um quadrilátero pla-no sobre um plano é um quadrilátero.109) ( ) A projeção ortogonal de um quadrado plano sobre um plano pode ser um triângulo.110) ( ) A projeção ortogonal de um plano sobre outro plano é um plano ou uma reta.

001 V002 V003 V004 V005 F006 F007 V008 V009 V010 V011 V012 F013 V014 F015 V016 V017 F018 V019 V020 V

021 F022 F023 V024 V025 F026 V027 F028 F029 F030 V031 V032 V033 F034 V035 V036 V037 F038 F039 F040 F

041 F042 V043 F044 V045 V046 V047 V048 F049 F050 V051 V052 V053 F054 V055 V056 F057 V058 F059 V060 F

061 F062 V063 F064 F065 F066 F067 V068 V069 F070 V071 V072 F073 V074 V075 F076 F077 V078 V079 F080 V

081 V082 F083 V084 F085 V086 F087 V088 V089 V090 V091 F092 F093 F094 V095 V096 F097 V098 F099 F100 F

101 V102 V103 V104 V105 F106 V107 F108 F109 F110 V

GABARITO

070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes.071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com as duas, determinam dois planos.072) ( ) Dois planos distintos são secantes.073) ( ) Se dois planos distintos são paralelos entre si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são paralelas entre si ou reversas.074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção desse planos.075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta, entãosão paralelos entre si.077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro, então são paralelos entre si.078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a uma reta do plano.079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a todas as retas desse pla-no.080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a infinitas retas desse plano.081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano.082) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas desse plano.083) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano dado.086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas ou mais retas desse plano.087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si.088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano sejam secantes.089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si.090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos entre si.091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que as contém.092) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é para-lela ao plano.093) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano.094) ( ) Por um ponto dado, existe um único plano perpendicular a uma reta dada.095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes entre si.096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.

Jeca 06



Geometria de Posição

Aula 01Exercícios complementares.

(Geometria de Posição)

Jeca 07

01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice :a) Ab) Bc) Cd) De) E

A

B

C

D

E

G

03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:a) 6b) 3c) 2d) 1e) 0

A

B

C

D

cumeeira

ts

v

r

u

3 m

4 m

4 m

02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.

Das retas assinaladas, podemos afirmar que:a) t e u são reversas.b) s e u são reversas.c) t e u são concorrentes.d) s e r são concorrentes.e) t e u são perpendiculares.

04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB é perpendicular ao plano a, CD e BC estão contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-tância de A a D.

A

BC

Da

05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano a.

60º

p

a

t

A

B

06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X a, então a reta s, definida por X e B:

C

C

a) é paralela à reta c.b) é paralela à reta bc) está contida no plano a.d) é perpendicular à reta d.e) é perpendicular à reta b.

a

b

A

d

cB

a e p são planos secantesA p e B tAB t e BC tAB = 10 cm

CT TC

C

Jeca 08

x

y

z

s

t

r

07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas:a) paralelas, paralelas e perpendiculares.b) paralelas, perpendiculares e reversas.c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.d) reversas, paralelas e perpendiculares.e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não se pode afirmar:a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-rentes de um plano, então é perpendicular a esse plano.b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas.c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto.

10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep-ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a:a) 9 5b) 9c) 7d) 4e) 3 5

11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:a) EA e EBb) EC e CAc) EB e BAd) EA e ACe) AC e BE

08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre a é perpendicular a r.

Jeca 09

13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em p, e ortogonal a r.

17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição verdadeira.a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano.b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-ro são paralelos entre si.c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta.d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano.e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas.

18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa pelo menos um plano perpendicular a a.b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano a é perpendicular ao plano a.d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-tes é perpendicular à intersecção deles.e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-ceira reta são paralelas.

14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.b) Um ponto e uma reta determinam um plano.c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-tida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta desse plano.e) Se a é o plano determinado por duas retas con-correntes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s.

15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. Analise as seguintes afirmações:( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s.( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas.

Considerando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classi-fica essas afirmações é:a) V, V, V, V.b) F, V, V, F.c) V, F, F, V.d) V, V, F, F.

U

16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.b) Duas retas não coplanares são reversas.c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas.d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém.e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-tes, então elas determinam um e um só plano.

A B

CD

E F

GH

19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo.

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB.Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano ABF ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano FGH ? Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta BC.Resp.

l) Determine todas as arestas do cubo que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH.Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BCG.Resp.

o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BDH.Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que são para-lelas à aresta CG.Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano FGH.Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas distintas à aresta AB.Resp.

t) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano EGD.Resp.

Jeca 10

AB

CD

E F

GH

R

S

T

U

20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-tintas à aresta AD ?Resp.

b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?Resp .

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH ? Resp .

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?Resp .

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-lares à aresta EF ?Resp .

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC ?Resp .

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-res ao plano AEH ?Resp .

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?Resp .

i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH ?Resp .

j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?Resp .

l) Qual a distância entre os pontos S e R ?Resp .

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG ?Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH ?Resp .

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH ?Resp .

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG ?Resp .

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E ?Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D ?Resp .

s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC ?Resp .

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF ?Resp .

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo ?Resp .

Jeca 11

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB.Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o plano HIB ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano CDJ ? Resp.

k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AG.Resp.

l) Determine todas as retas do prisma que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que são con-correntes com a reta CD.Resp.

n) Determine todas as retas do prisma que são para-lelas ao plano BCE.Resp.

o) Determine todas as retas do prisma que são pa-ralelas ao plano BCH.Resp.

p) Determine todas as faces do prisma que são pa-ralelas à reta DJ.Resp.

q) Determine todas as faces do prisma que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD.Resp.

s) Determine todas as retas do prisma que são per-pendiculares à reta AB.Resp.

t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA.Resp.

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

G

H

I J

L

M

figura01

figura02

21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém nenhuma aresta.

Jeca 12

22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

B C

D

E

F G

H

a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o plano BCG ?a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta GH ?a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6

c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH ?a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5

e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto B ?a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253

f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta AD ?a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127

g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH e a face EFGH ?a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos BCG e BCH ?a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

Jeca 13

face A

face C

face D face E

face Bpeça 1 peça 2

face A face B face C face D face E

esboços

fac

e A

24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.

face A

face C

face D face E

face B


esboços

fac

e A

peça 1 peça 2

23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.

A

B

C

D

25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.

face A face B face C face D

esboços

figura 2figura 1 figura 3

Jeca 14

F

F

26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada.

K

L

R

R PJ J

figura 1 figura 2

F

RJ

figura 3

Observador A

Observador B

F

RJ

figura 1

F

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

Observador A Observador B






P L(exemplo)

P

R

J

K

R

JL

F

LP

LJ

K

K

a)

b)

c)

d)

e)

Jeca 15

Respostas da aula 01.

Jeca 16

Respostas da Aula 01

Favor comunicar eventuais erros deste trabalho através do e-mail

[email protected] Obrigado.

As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das páginas 05 e 06 estão na página 06.

Respostas da Aula 01 - Exercícios comple-mentares.

01) e02) a03) b04) AD = 29 cm05) 5 cm06) d07) b

08) Demonstração

ar

s

A

A'

B

r é perpendicular a s (do enunciado).AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no planoAA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)

09) b10) b11) e12) d

13) Demonstração

r

A

B

A' B'C

Pp

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-jeções ortogonais sobre o plano p.A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.(CQD)

14) e15) c16) b17) e18) e19) a) CD, HG ou EF b) AD, CD, EH ou GH c) AB, BF, CD ou CG d) CD, DH, EA ou BA e) CDH f) EAD, HDC, BCG ou EAB g) EAD, HDC, BCG ou EAB h) o ponto H i) não existe intersecção j) a reta EF k) AB, BF, CD e CG l) BC, CG, AD e DH m) AD, CD, EH e GH n) AD, DH, HE e EA o) AE e CG p) ABE e ADH q) ADC, BCG, EFG e AEH r) A, B, C e D s) CD, GH e EF t) A, B, C, H e F

20) a) CB, FG e EH b) retas reversas e ortogonais c) não existe intersecção d) 4 cm e) EA, EH, BF e GF f) EA, EH, BF e GF g) ADC, DHG, HEF e AEB h) 6 cm

20) i) a reta DH j) retas reversas l) 41 cm m) AD, DH, HE e EA n) ABF o) 4/5 p) o ponto U q) F r) ADC, ADH e CDH s) AB e HG t) a reta RT u) 96 cm

21) a) DE, JL ou HG b) JI, JL, CD ou DE c) IC, HB, GA ou MF d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE e) CDJ f) JLM ou DEF g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM h) o ponto G i) o ponto C j) a reta CD k) GH, GM, AB e AF l) JD, IC, HB e AG m) DE, EF, JD, IC, BC e AB n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) JD, LE, MF e AG p) BCH, HGA, GMA e MLF q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB r) M, G, H, I, F, A, B e C s) HB e GA t) GM, MF, AG e AF

22) a) c b) d c) b d) a e) d f) b g) a h) c

23)

24)

25)

26) a)

b)

c)

d)

e)



face A face B face C face D

P

PL

K R

J R

F

F

J

Obs. A Obs. B




Aula 02Poliedros convexos.

I - Elementos dos poliedros.

face

aresta

vértice

ângulopoliédrico

Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.

Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.

Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.

Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.

Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou mais arestas.

Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.

A B

poliedro não convexopoliedro convexo

Classificação dos poliedros.4 faces - tetraedro5 faces - pentaedro6 faces - hexaedro7 faces - heptaedro8 faces - octaedro9 faces - eneaedro10 faces - decaedro11 faces - undecaedro12 faces - dodecaedro13 faces - tridecaedro14 faces - quadridecaedro15 faces - pentadecaedro16 faces - hexadecaedro17 faces - heptadecaedro18 faces - octodecaedro19 faces - eneadecaedro20 faces - icosaedro

Classificação dos ângulospoliédricos.3 arestas - ângulo triédrico4 arestas - ângulo tetraédrico5 arestas - ângulo pentaédrico6 arestas - ângulo hexaédricoetc

Relação de Euler. Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:

V - A + F = 2

Soma das medidas dos ângulos internosde todas as faces do poliedro convexo.

S = 360 (V - 2)

Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.

a) Através das faces. b) Através dos vértices.

A - número de arestas do poliedro. n - número de lados de cada face. F - número de faces do mesmo tipo. m - número de arestas de cada vértice poliédrico. V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.

A =n . F

2m . VA =

2

V - nº de vérticesA - nº de arestasF - nº de faces

S - soma dos ângulosV - nº de vértices

Poliedros de Platão. Um poliedro é dito de Platão se: - é convexo e fechado; - tem todas as faces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo.

Existem apenas 5 poliedros de Platão.

TetraedroHexaedroOctaedroDodecaedro Icosaedro

não é dePlatão

é de Platão

Poliedro regular. Um poliedro é dito regular se tem todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes.

Existem apenas 5 poliedros regulares

Tetraedro regularHexaedro regularOctaedro regularDodecaedro regular Icosaedro regular

34

53

3

nº de lados de cada face

- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo poliedro de Platão é regular.- Todo poliedro regular pode ser inscrito e circunscrito numa esfera.

Jeca 17

01) Determine o número de vértices de um poliedro convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

Observação - A figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.

Observação - A figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.

02) Determine o número de faces de um poliedro con-vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-tices tetraédricos.

03) Determine o número de vértices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-ces triangulares e 2 faces quadrangulares.

04) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 2 vértices heptaédricos.

05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-cação de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é:a) 12b) 14c) 16d) 20e) 22

06) (UFTM-MG) Um poliedro comvexo, com 32 ares-tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-drangulares e t o número de faces triangulares, en-tão os valores de q e t são, respectivamente,a) q = 6 e t = 14b) q = 16 e t = 4c) q = 4 e t = 14d) q = 14 e t = 4e) q = 4 e t = 16

Jeca 18





(Poliedros convexos)

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

n F A m V S07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:n - nº de lados de cada face do poliedro regular;F - nº de faces do poliedro regular;A - nº de arestas do poliedro regular;m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do poliedro regular.

09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces triangulares e quadrangulares. Qual o número de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 arestas e apenas esses dois tipos de face ?a) 9b) 15c) 11d) 13e) 12

11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro ?a) 24b) 20c) 18d) 16e) 25

08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-cos e 10 vértices triédricos ?a) 25b) 18c) 16d) 24e) 20

10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 20 faces e 30 arestas ?a) 2560ºb) 2160ºc) 3800ºd) 3600ºe) 5260º

Jeca 19

12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares.

13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.

14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do poliedro.

15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ângulos internos das suas faces é 2880º ?

Jeca 20




Aula 03Prismas.

I - Volume de um sólido.

3 m

2 m

1 m

3 m

2 m

3 m

3 m

2 m

2 m

3V = 3 . 2 . 1 = 6 m

3V = 3 . 2 . 2 = 12 m

3V = 3 . 2 . 3 = 18 m

Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção transversal)

V = A . hbase

II - Prismas.

Características dos prismas. - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si. - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si. - As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos. - A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases. - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base.

h

h h h

hBase Base Base Base Base

Prismaoblíquo

Prismareto

Prismaquadrangular

regular

Prismahexagonal

regular

Prismatriangular

regular

Prismagenérico

Base

Fórmulas dos prismas

Área da base A = depende da baseb

Área lateral A = Afaces lateraisl

Área total A = A + 2 . AT bl

Volume V = A . hb

Tipos de prisma. - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base. - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. - Prisma regular: é o prisma reta cujas bases são polígonos regulares e congruentes.

arestalateral

arestada base

facelateral

Jeca 21

III - Prismas particulares.

a) Paralelepípedo retorretangular.b) Cubo (hexaedro regular).

ab

c

d

D

Área total do paralelepípedo - A = 2ab + 2ac + 2bcT

Volume do paralelepípedo - V = A . hb

2 2 2Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c

a

a

a

d

D

2Área da base do cubo - A = ab

2Área lateral do cubo - A = 4 . al

2Área total do cubo - A = 6 . aT

3Volume do cubo - V = a

Diagonal de uma face do cubo - d = a 2

Diagonal do cubo - D = a 3

Exercícios.

01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine:a) a área da base do cubo;b) a área lateral do cubo;c) a área total do cubo;d) o volume do cubo;e) a diagonal de uma face do cubo;f) a diagonal do cubo.

02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:a) a área total do paralelepípedo;b) o volume do paralelepípedo;c) a diagonal do paralelepípedo;d) a soma das medidas de todas as arestas do para-lelepípedo.

Jeca 22

03) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da base k e altura k 2 , determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) o volume do prisma.

06) Determine a altura de um prisma triangular regu-2

lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua 2.área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm

Jeca 23





(Prismas)

07) A figura abaixo representa um único sólido forma-do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:

a) o volume total do sólido;

b) a área total do sólido;

c) a distância entre os vértices A e B.

A

B

10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua base inferior é perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com água até a altura de 1 m, num determinado instante, é aberto um registro que permite uma entrada constante de 200 litros de água por minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 1000 litros e que nesse período não existe saída de água, qual a altura de água na caixa seis horas após o registro ter sido aberto ?a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m d) 4,24 m e) 4,08 m

3 m 3 m 3 m

3 m3 m

3 m 8 m

09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m. Determine a área total e o volume do sólido resultante.

08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam totalmente. Determine o volume do sólido resultante .

Jeca 24

11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:

a) o nome do sólido.

f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).

e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T

d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l

a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.

b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b

c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F

Jeca 25

I) II) III)

A B

CD

E F

GH

16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é 2

64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a área total desse cubo.

17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cu-bo maciço e deseja caminhar até o vértice B, dia-gonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distância percorrida pela formiga.

A

B

14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí-2

pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, determine o seu volume.

15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem tampa. Determine o volume dessa caixa.

A

D

E

F

G

HI

J

12) Todas as arestas do sólido representado na figura abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per-pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o volume do sólido.

B

C

13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é

3768 3 cm , determinar a altura desse prisma.

Jeca 26

19) A área total de um prisma triangular regular de 2

aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm . Determine:

a) a área da base do prisma;

b) a área lateral do prisma;

d) o volume do prisma.

c) a altura do prisma;

3 cm

18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. Determinar a área total e o volume do sólido resultante.

20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção trans-versal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando unifor-memente de 1 m a 3 m.

a) Determine o volume de água necessário para en-cher a piscina até a borda. Sugestão - Calcule a área da secção transversal da piscina ilustrada pela figura.b) Qual é a distância mínima que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da pisci-na, para que fique totalmente submersa ? Sugestão - Use semelhança de triângulos.

20 m1 m

3 m

21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-co vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifício.

É correto afirmar que o valor L do lado da base qua-drada do prisma reto corresponde aa) 20 2 cmb) 40 2 cmc) 50 2 cmd) 60 2 cme) 80 2 cm

Bloco vazado Vista aérea

80 cm

80 cm8

0 c

m

L

L

Jeca 27

A

B

M

C

D

N

E

FG

H

22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-3

tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Saben-do que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, determine o volume des-

3se prisma (em m )

A B

CD

E F

GH

24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, AD = 4 e AE = 10.

O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-ciona o prisma determinando um quadrilátero. A áre-a desse quadrilátero é:a) 8 29b) 10 29c) 16 29d) 32 29e) 64 29

23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com base nesses dados, responda:

Qual é o volume desse prisma em função de P e de K ?

2 2a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3

3 2 2d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3

25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com base nesses dados, responda:

Qual é o volume desse prisma em função de P e de K ?

2 2a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3

2 2 2d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3

Jeca 28

Respostas das aulas 02 e 03

Jeca 15




Jeca 29

01) V = 11 vértices02) F = 19 faces03) V = 8 vértices04) F = 14 faces05) a06) e

07)

08) e09) c10) d11) b12) 6 faces quadrangulares13) 1 face hexagonal14) A = 31 arestas15) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares

Respostas da aula 03

201) a) 49 cm

2 b) 196 cm

2 c) 294 cm

3 d) 343 cm e) 7 2 cm f) 7 3 cm

202) a) 468 cm

3 b) 648 cm c) 261 = 3 29 cm d) 108 cm

203) a) 25 3 cm

2 b) 450 cm

2 c) 50(9 + 3 ) cm

3 d) 375 3 cm

204) a) 24 3 cm

2 b) 168 cm

2 c) 24(7 + 2 3 ) cm

3 d) 168 3 cm

205) a) 2k 2 (2 + 3 )

2 b) 8k 2

3 c) 4k (2 + 3 )06) h = 11 dm

307) a) 576 cm

2 b) 448 cm c) 4 17 cm

308) 160 cm

2 309) 510 cm e 504 cm10) b11) I) a) prisma triangular regular

2 b) 4 3 cm

2 c) 48 cm

2 d) 144 cm

2 e) 8(18 + 3 ) cm

3 f) 48 3 cm II) a) prisma quadrangular regular

2 b) 16 cm

2 c) 48 cm

2 d) 192 cm

2 e) 224 cm

3 f) 192 cm

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

n F A m V S

34353

468

1220

612123030

33435

486

2012

720º2160º1440º6480º3600º

11) III) a) prisma hexagonal regular2

b) 24 3 cm2

c) 48 cm2

d) 288 cm2

e) 24(12 + 3 ) cm3

f) 288 3 cm2 3

12) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm13) h = 8 cm

314) 384 cm

315) 6912 cm

216) 384 cm17) k 5 uc

2 318) 486 cm 513 cm

219) a) 9 3 cm

2 b) 180 cm c) 10 cm

3 d) 90 3 cm

320) a) 400 m b) 7 m21) b

322) 1 m23) c24) c25) b




Aula 04Pirâmides.

h Baseh

Pirâmideoblíqua

Pirâmidereta

Pirâmideregular

h

a

m

centroda base

vértice dapirâmide

ponto médio da aresta da base

2 2 2m = h + a

m - apótema da pirâmide.a - apótema da base.h - altura da pirâmide

Fórmulas das pirâmides

Área da base A = depende da baseb

Área lateral A = Afaces lateraisl

Área total A = A + AT bl

Volume V = A . hb13

I - Pirâmides.

Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V.

Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)

II - Tipos de pirâmide.

Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si.Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si.Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.

III - Elementos da pirâmide regular.

arestada base

arestalateral Apótema da base (a): é a distância entre o centro do

polígono regular da base e o ponto médio de qualquer aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígo-nos regulares)

Apótema da pirâmide (m): é a distância entre o vér-tice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da base.

Altura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base.

Jeca 30

IV - Pirâmides particulares.

2k3

k3

BICO

h

a) Tetraedro trirretangular. b) Tetraedro regular.

É a pirâmide triangular regular que tem: - todas as faces formadas por triângulos equiláteros congruen-tes. - todas as arestas congruentes.

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume. As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do prisma, que é o volume total.

Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

Exercícios.

01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:a) o apótema da base (a);b) o apótema da pirâmide (m);c) a área da base;d) a área lateral;e) a área total;f) o volume da pirâmide.

Jeca 31

02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 12 cm, determine:

a) a medida do apótema dabase da pirâmide (a);

b) a medida do apótema dapirâmide (m);

c) a área da base da pirâmide;

d) a área lateral da pirâmide;

e) o volume da pirâmide.

03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da 2 2 base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , de-

termine:

a) a aresta da base da pirâmide;

b) a área lateral da pirâmide;

c) o apótema da pirâmide.

04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:

b) o apótema da pirâmide (m);

a) o apótema da base (a);

c) a área lateral da pirâmide;

e) o volume da pirâmide.

d) a área da base da pirâmide;

05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm, determine:

a) a altura h do octaedro;

b) o volume do octaedro;

c) a área total do octaedro.

h

Jeca 32

a) a área de uma face lateral da pirâmide;

07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2

lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:

b) a medida do apótema da pirâmide;

c) a área da base da pirâmide;

d) o volume da pirâmide;

e) a área total da pirâmide.

a) a área total da pirâmide;

08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2 2

da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm . Determine:

b) a medida da aresta da base;

c) a medida do apótema da pirâmide;

d) a medida da altura da pirâmide;

e) o volume da pirâmide;

06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirâmi-de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâ-mide.

A

B

C

V

M60º

1

1

1

1

1

09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-balagem de um perfume que uma fábrica quer cons-truir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é formada por uma região quadrangular regular de a-resta k e por quatro triângulos isósceles. A altura dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15 cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é igual a:a) 5b) 10

2c) 5 3 / 3

2d) 10 3 / 3e) 100

3

3

Jeca 33





(Pirâmides)

10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão represen-tados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Ca-da aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do só-lido OPQRST mede

2a) 8 2 cm

2b) 8 3 cm

2c) 16 2 cm

2d) 16 3 cm

A B

CD

E F

GH

O

P

Q

R

S

T

11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram traçados quatro triângulos isósceles e determina-dos os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide quadrangular). Qual a altura da barraca ?a) 1,2 mb) 3 mc) 3 7 md) 6 3 m

A B

C

D

EF

G

H

P

12 m

6 3

m

12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a medida da aresta da base. Então a área total dessa

2pirâmide, em cm , vale:

2a) k 327 / 4

2b) k 109 / 2

2c) k 3 / 2

2d) k 3 (2 + 33 ) / 2

2e) k 3 (1 + 109 ) / 4

13) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular de altura 12 cm.

H

Jeca 34

14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :

a) o nome do sólido.

b) o apótema da base (a).

a a

a

g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V).

f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T

e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l

d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m).

c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b

b) o apótema da base (a). b) o apótema da base (a).

a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.

Jeca 35

I) II) III)

15) Determine a área total, a altura h e o volume de um tetraedro regular de aresta K.

A

B

C

V

G M

k

k

k

k

k

16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado 8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. Determinar a área total e o volume do octaedro ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que BC = BD = BE = BF.

A

B

C D

EF

G

h

18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cor-tado por um plano passando pelos vértices D, B e C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular e uma pirâmide quadrangular.

Os volumes destas duas pirâmides são:3 3

a) 125 cm e 250 cm3 3

b) 125 3 cm e 250 3 cm3 3

c) 150 2 cm e 225 2 cm3 3

d) 150 3 cm e 225 3 cm3 3

e) 250 cm e 250 cm

A

B

C

D

E

F

17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume má-ximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.

A

B

C

D

Determine a medida da aresta desse cubo em fun-ção de a.

Jeca 36

19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.

A

B

C

D

5

5

4

a) Calcule a área do triângulo ABC.b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC.

20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha média de sua extensão de modo que as abas formem um ângu-lo a. Veja a seguinte figura:

a

50 cm

1 m

60

cm

50 c

m

60 cm

a) A área do triângulo ABC depende de a. Seja 2

A(a) essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo 3

em função de A(a), em cm .b) Determine a de modo que o volume do abrigo

3seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros

3e em m .

22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmi-des, é igual aa) V / 2b) 3V / 4c) 2V / 3d) 5V / 6e) 3V / 8

AM

N

P

21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pi-râmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determinea) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.b) o volume do tronco de pirâmide.

E

AB

CD

A'B'

C'D'

3 cm

H

h

6 cm

Jeca 37




Aula 05Cilindro circular reto.

(ou de revolução)

I - Cilindros.

h

RR

2pR

Área da base

Área lateral

h

R

Secçãomeridianado cilindro

2R

h

Cilindro equilátero. Um cilindro é dito equilátero se a sua secção meridiana é um quadrado, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base.

Fórmulas dos cilindros

2Área da base A = pRb

Área lateral A = 2pRhl

Área total A = A + 2 . AT bl

Volume V = A . hb

h = 2R

h

Cilindro de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um retângulo ao redor de um dos seus lados.

Área da secção meridiana A = 2R . hSM

Exercícios.

01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e raio da base 4 cm, determine:a) a área da base do cilindro;b) a área lateral do cilindro;c) a área total do cilindro;d) a área da secção meridiana do cilindro;e) o volume do cilindro.

02) Determine a área total de um cilindro equilátero 3

sabendo que o seu volume mede 1458p cm .

Jeca 38

Jeca 39

03) Dado um cilindro de revolução de volume 896p 3

cm e altura 14 cm, determine:

a) a medida do raio da base do cilindro;

b) a área lateral do cilindro;

c) a área total do cilindro.

06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o volume do tubo de conecção)

04) Determinar o volume de um cilindro de revolução sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de lado 6p cm.

05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T, diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância que essa formiga deve percorrer dentro da lata para alcançar o torrão de açúcar. (adotar p = 3)

F

T

Jeca 40

07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo q com a horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo H > 2R e q > 45º, determinar o volume de água derra-mado, em função de R e de q.

horizontalq

2R

ab

09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à base, conforme figura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R, da altura maior a e da altura menor b.

10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto é 3

16p cm . Um cone reto, de base equivalente à do cilin-3

dro, tem 5p cm de volume. Qual a razão entre as me-didas das alturas do cone e do cilindro ?

08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cu-bo conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o

3volume do cubo é 256 cm .

a) Calcule o volume do cilindro.b) Calcule a área total do cilindro.





(Cilindro circular reto)

Jeca 41

11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a

a) 10 2

b) 10 2

c) 10 12

d) 10 12

3

3

60

cm

40

cm

20 cm

14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabri-cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-teve o preço por unidade. Então, na realidade, o pre-ço do produtoa) diminuiu.b) se manteve estável.c) aumentou entre 10% e 20%.d) aumentou entre 20% e 30%.e) aumentou entre 30% e 40%.

12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-tância entre duas dessas marcas consecutivas ?

13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-xas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada caixa tem comprimento igual a 4p cm, é correto afirmar quea) as duas caixas têm o mesmo volume.b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume da caixa cúbica.c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume da caixa cúbica.d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume da caixa cúbica.

Jeca 42

15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-porcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, seráa) o triplo.b) o dobro.c) igual.d) a metade.e) a terça parte.

10

cm

20 cm

10 cm

20

cm

Tipo I

Tipo II

18) (UFMG-MG) Em uma indústria de velas, a para-fina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a / 2. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total dea) 6 moldes.b) 8 moldes.c) 24 moldes.d) 32 moldes.

16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no cubo quando o equilíbrio for

alcançado. (adotar p = 3 e desprezar o volume do tubo de conecção)

17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm, determinar :a) a área lateral.b) a área total.c) o volume do cilindro.

Jeca 43

21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar ?

45º horizontal

6 m

2 m

22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação completa do retângulo ABCD em torno do eixo x. Então, o volume de S éa) 550pb) 600pc) 640pd) 720pe) 780p

A

BC

D 2

8

-2 8

y

x

16p cm

10

cm

19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. Determinar a área da secção meridiana e o volume desse cilindro.

20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o volume inverteu as medidas e usou R como altura e H como raio da base. Determinar a diferença entre:a) a área total correta e a área total encontrada pela pessoa.b) o volume correto e o volume encontrado pela pessoa.

Respostas das aulas 04 e 05.

Jeca 15



Jeca 44


01) a) 5 cm b) 13 cm

2 c) 100 cm

2 d) 260 cm

2 e) 360 cm

3 f) 400 cm02) a) 2 3 cm b) 2 39 cm

2 c) 24 3 cm

2 d) 24 39 cm

3 e) 96 3 cm03) a) 8 cm

2 b) 180 cm c) 15 cm04) a) 6 cm b) 9 cm

2 c) 108 3 cm

2 d) 72 3 cm

3 e) 72 15 cm05) a) 10 6 cm

3 b) 1000 6 cm

2 c) 600 3 cm

306) ( 3 / 16) uc

207) a) 70 cm b) 14 cm

2 c) 100 cm

3 d) (400 6 / 3) cm

2 e) 380 cm

208) a) 552 cm b) 12 cm c) 17 cm d) 253 cm

3 e) 48 253 cm09) b10) d11) b12) e13) 6 6 cm14) I) a) pirâmide triangular regular b) (2 3 / 3) cm

2 c) 4 3 cm d) (2 327 / 3) cm

2 e) 4 327 cm

2 f) 4( 3 + 327 ) cm

3 g) 16 3 cm II) a) pirâmide quadrangular regular b) 2 cm

2 c) 16 cm d) 2 37 cm

2 e) 16 37 cm

2 f) 16(1 + 37 ) cm

3 g) 64 cm III) a) pirâmide hexagonal regular b) 2 3 cm

2 c) 24 3 cm d) 2 39 cm

2 e) 24 39 cm

2 f) 24( 3 + 39 ) cm

3 g) 96 3 cm

2 315) k 3 k 6 / 3 k 2 / 12

2 316) 32( 13 + 29 ) cm (896 / 3) cm17) a/318) b

219) a) (5 57 / 2) cm b) (20 57 / 57) cm20) a) 75 000.sen a

3 3 b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m

3 321) a) 4/3 cm b) 104/3 cm22) d


201) a) 16p cm

2 b) 96p cm

2 c) 128p cm2

d) 96 cm3

e) 192p cm2

02) 486p cm03) a) 8 cm

2 b) 224p cm

2 c) 352p cm

2 304) 54p cm05) 30 2 cm06) 3,6 cm

307) pR / tg q

308) a) 64p cm2 b) 48p 2 cm

209) pR (a + b) / 210) 15/1611) 10 12 cm12) 4/p cm13) c14) e15) b16) 4,28 cm

217) a) 36p cm

2 b) 54p cm

3 c) 54p cm18) c

219) a) 160 cm

3 b) 640p cm

2 220) a) 2p(R - H ) b) pRH(R - H)

321) 5p m22) b

3

3




Aula 06Cone circular reto.

(ou cone de revolução)

I - Cone reto ou de revolução.

h g

RÁrea da baseÁrea lateral

R

2pR

g g

q

2 2 2g = h + R

g - geratriz do coneh - altura do coneR - raio da base do cone

Secçãomeridiana

(corte no meio)

g = 2R e q = 180º

Fórmulas dos cones

2Área da base A = pRb

Área lateral A = pRgl

Área total A = A + AT bl

Volume V = A . hb

Ângulo central q = 360 . Rg

13

Cone equilátero. Um cone é dito equilátero se a sua secção meridiana é um triân-gulo equilátero, ou seja, a sua gera-triz é igual ao diâmetro da base.

Cone de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um triângulo retângulo ao redor de um dos seus catetos.

Área da secção meridiana A = R . hSM

Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central.

Determinar a área lateral de um cone circular reto como sendo um "triângulo".

2pR

g

g

gA = l

b . h2

=2pR . g

pRg

2

A = l

Determinar a fórmula do ângulo central do cone através de uma regra de três.

360º 2pg

q 2pR

q = 360 . Rg

(em graus)

2pR . g(em radianos)q = g

Regra de três

Exercícios.

01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.

Jeca 45

Jeca 46

03) Dado um cone equilátero de raio da base R, determine, em função de R :a) a geratriz e a altura do cone.b) a área da base, a área lateral e a área total. c) o volume do cone.

02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e altura 12 cm, determine:a) a geratriz do cone.b) a área da base.c) a área lateral.d) o volume do cone.

05) Determinar o volume de um cone de revolução sabendo-se que o raio da sua base mede 2 cm e que a

2sua área lateral mede 4p 10 cm .

04) Determinar o volume de um cone de revolução sa-2

bendo que a sua área lateral mede 3p 73 cm e que 2

a sua área da base mede 9p cm .

Jeca 47

q

06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de-termine:

a) a geratriz do cone;

b) o raio da base;

c) a área lateral;

d) o volume do cone.

q

207) Dado um cone equilátero de base 16p cm , deter-mine:a) o raio da base;

b) a geratriz do cone;

c) a área da secção meridiana;

d) o volume do cone.

09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:

Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do eixo y. Então é correto afirmar que o volume de S é:a) p / 24b) p / 12c) p / 8d) p / 4

y

x

08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.

3O volume desse recipiente, em cm , é igual a:a) 216pb) 208pc) 224pd) 200p

2 cm

6 cm

12

cm





(Cone circular reto)

Jeca 48

12) (UFU-MG) Na figura abaixo, tem-se um cilindro de altura h e base de raio r. Inscrito nesse cilindro, há um cone reto de mesma base e mesma altura.

hG

r

Considerando essas informa-ções, marque para as alternati-vas (V) verdadeira (F) falsa ou (SO) sem opção.

h

1. ( ) A área lateral do cone reto é igual à metade da área lateral do cilindro.2. ( ) Se um plano paralelo às bases do cilindro e à base do cone reto divide esse cone em dois sólidos de mesmo volume, então um desses sólidos é um cone reto de altura h / 2.3. ( ) Seja m a medida do lado de um cubo de volume igual ao volume do cilindro acima. Se m = r,

então r = hp.4. ( ) Um plano perpendicular à base do cone reto, passando pelo seu vértice A, corta a circunferência da base desse cone nos pontos B e C. Se h > r, então o ângulo BAC é obtuso.

11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, ten-do obtido um bom lucro com as apresentações, resol-veu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lo-na precisava comprar, ele considerou as seguintes es-pecificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a

2figura. Que quantidade de lona, em m , será necessá-rio comprar ?

24 m

3 m

10

m

13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h são obtidos cones da forma descrita no desenho. Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e a soma dos volumes dos dois cones à direita, defini-dos por um ponto B sobre o eixo que une os dois cen-tros dos círculos da base do cilindro.

hB

r r

10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2p / 3 radianos e juntando os lados. A área da base do

2chapéu, em cm , éa) 140pb) 110pc) 130pd) 100pe) 120p

Jeca 49

3 cm

4 cm

14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e 5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações métricas no triângulo retângulo)

A B

CD

15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5 cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo AD.

16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do

3cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m , determinar o raio da base e a altura do cone.

q

217) Dado um cone equilátero de área lateral 98p cm , determine:a) o raio da base do cone;

b) a geratriz do cone;

c) a área da base do cone;

d) a área total do cone;

e) a altura do cone;

f) o volume do cone.

Jeca 50

18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas na forma de árvore de Natal, conforme a figura abai-xo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâ-metro de sua base. Sabendo que as dimensões são dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a

3terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do molde desse enfeite, em função de R, é:

3a) pR (9 3 + 1) / 27

3b) 20pR / 27

3c) pR (9 3 + 2) / 27

3d) 10pR / 27

3e) 11 3p R / 27

A

B

r

R

19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângu-lo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo.

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 1/5 de sua capacidade ?

20

cm

20 cm

120 cm

40

cm

50 cm

20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia ?b) Obtenha uma expressão para o volume V de lí-quido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 4 cm

12

cm

x

21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustra-ção abaixo.

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de mo-do que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.




Aula 07Esferas.

a a

r

d R

2A = 4pResfera

3V = pResfera

43

Regra de três360º ----------- Aesfera

a -------------- Afuso

A = Afuso esferaa

360

Regra de três360º ----------- Vesfera

a -------------- Vcunha

V = Vcunha esferaa

360

Área total do hemisfério

Volume do hemisfério

A = A + ATH esfera base12

V = V H esfera12

2 2 2R = r + d

R - raio da esfera.r - raio da secção plana (círculo).d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.

Hemisfério ("meia esfera") Secção plana de uma esfera

Fuso esférico ("casca")Esfera Cunha esférica ("gomo")

paralelo

equador

polo norte

meridiano

polo sul eixo polar

centro da esfera

Raio

plano de corte

secção plana(círculo)base do

hemisfério

R

R - raio da esfera

Jeca 51

01) Dada uma esfera de raio 12 cm, determine:

a) a área da superfícieesférica;

b) o volume da esfera;

c) a área e o perímetro da secção plana obtida do seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm do centro da esfera.

04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfé-rio 2

é 64p cm , determine:

a) a área total do hemisfério;

b) o volume do hemisfério;

c) o perímetro da base do hemisfério.


a) a área da superfície esférica;


c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta a esfera a uma distância de 12 cm do centro;

e) o perímetro dessa secção plana.

d) a área dessa secção plana;


a

a) a área da superfícieesférica;

c) a área de um fuso esférico de ângulo central a = 50º;


d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central a = 80º;

Jeca 52

05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 6 cm.

06) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 2/5 cm.

07) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério 2

é 64p cm , determinar a área total e o volume desse hemisfério.

08) Determinar a área da superfície esférica de uma 3

esfera de volume 972p cm .

10) Dada uma esfera de raio 12 cm, determinar a área da secção plana dessa esfera quando a mesma é cortada por um plano que dista 7 cm do seu centro.

09) Determinar, em função de d, a área da superfície esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d.

Jeca 53





(Esferas)

Jeca 54

11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície esférica, chamamos de projeção estereográfica desse outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.

12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equi-látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ?

aA

B

fuso esférico

13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo a de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por a é

2a) 20p m

2b) 15p m

2c) 10p m

2d) 5p m

2e) p m

14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de

3comprimento, o volume da pérola, em cm , éa) 2 p / 3b) 8p / 3c) 8 2 p / 3d) 4 6 p / 9e) 8 6 p / 27

Jeca 55

15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para for-mar uma outra em formato de esfera. Dentre as ve-las derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em forma-to de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esfé-rica, em centímetros, será:a) menor que 4b) 4,5c) 5d) 6e) 6,5

17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela de-corativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como está indicado na figura, feita fora de

3escala. Sabe-se que o preco de 1 cm de parafina

3transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina vermelha. Sejam T o custo com parafina transpa-rente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir que:a) T/V = 5/6b) T/V = 5/2c) T/V = 9/2d) T/V = 8/3e) T/V = 10/3

18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma cai-xa, com a forma de um prisma triangular regular, con-tendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se p = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.

16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.

12

cm

5 cm




Aula 08Sólidos semelhantes.

tronco decone

I - Sólidos semelhantes.

Sólidos semelhantes - Dois sólidos são ditos seme-lhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.

Tronco de cone (ou de pirâmide) - É o sólido obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâ-mide).

Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhante aos cones.

l1

l2

Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações:

=l1

l2

3( )S1

S2=

l1

l2

2( ) V1

V2

l - qualquer segmento do sólido.

S - qualquer área do sólido.V - volume do sólido.

Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide).

V = V - VTronco 2 1

V - volume do troncoTronco

V - volume do cone maior (pirâmide maior)2

V - volume do cone menor (pirâmide menor)1

Observação importante - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes.

Exercícios.

Jeca 56

tronco decone

01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine:a) o raio da base do cone menor;b) o volume do cone maior;c) o volume do cone menor;d) o volume do tronco de cone.

15

cm

Jeca 57

02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm, é seccionado por um plano paralelo à sua base e distan-te 8 cm do seu vértice. Determine;

b) o volume do cone menor;

a) o volume do cone maior;

c) o volume do tronco de cone.

03) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura do tronco de pirâmide obtido ?

4 cm

h

tronco decone

04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distando 3 cm do vértice do cone. Determine:

b) o volume do cone menor;

a) o volume do cone maior;

c) o volume do tronco de cone.

4 c

m

05) A figura abaixo representa um tronco de cone de altura 5 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Determine a área total e o volume do tronco de cone.





(Sólidos semelhantes)

Jeca 58

08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ?

x

3 cm

8 cm

a) 8 / 3 cm

b) 6 cm

c) 4 cm

d) 4 3 cm

e) 4 4 cm3

07) Um cone circular reto de altura h e volume V é seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em função de V ?

tronco decone

h

06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm. Para não derramar, a lanchonete serve os copos com 18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do refrigerante no copo ?a) 200pb) 175pc) 225pd) 150pe) 250p

18 cm

6 cm

20 cm

09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice. Determine:

15 cm

a) o volume da pirâmidemaior;

b) o volume da pirâmide menor;

c) o volume do tronco de pirâmide.

Jeca 59

10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima, e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo ?

h h2

35 minutos apósNo início

11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura 2 e base horizontal de raio 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ?

1

2

d

Fig. I Fig. II

12) A figura abaixo representa um cone de altura h, volume V e área lateral A, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do cone. Determine:a) a área lateral do cone menor;b) a área lateral do tronco de cone;c) o volume do cone menor;d) o volume do tronco de cone.

13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim

3uma pirâmide menor de volume 108 cm e um tronco

3de pirâmide de volume 392 cm . Determine:

15 cm

h

a) o volume da pirâmidemaior;

b) a altura do tronco de cone.

Jeca 60

14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num mesmo cubo ?

15) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura do tronco de pirâmide obtido ?

4 cm

h

17) A figura abaixo representa um cone de revolução de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine a área lateral do tronco de cone.

tronco decone

12 cm

16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura h com um plano paralelo ao da base, à distância x do vértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais. Qual o valor de x ?

h

x




Aula 09Exercícios sobre sólidos compostos.

Jeca 61

01) A figura abaixo representa um cone de revolução e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone. Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que o raio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio da esfera menor.

03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço constituído por um paralelepípedo retorretangular de altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16 cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.

R = 6 cm

1 cm

R = 6 cm

1 cm

04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e contém água até uma determinada altura. Uma esfera de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se que o nível da água no cilindro subiu 1 cm.

02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quan-tidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a:a) 3 / 6b) 3 / 3c) 2 3 / 3d) 3e) 4 3 / 3

Jeca 62

05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte inferior que é um cilindro reto e a parte superior que contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada sobre uma mesa horizontal e contendo água até a altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de ar. Determine o volume interno da garrafa.

parte superior(gargalo)

parte inferior 15 cm

ar 7 cm

h

06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepí-pedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndri-ca de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada dentro da forma de tal maneira que as bases ficam justapostas. Determine a altura h de água na forma de bolo após a colocação da lata. (adote p = 3,14)

07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O vo-lume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em

3 2função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:

2a) x - 6x + 8

2b) x + 14x + 8

2c) x + 7x + 8

2d) x - 7x + 8

2e) x + 6x + 8

08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medi-da da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:a) 7 / 8b) 8 / 8c) 9 / 8d) 10 / 8e) 11 / 8

Jeca 63

A B

CD

E F

GH

10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da

3pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é :a) 2Kb) 3Kc) 4Kd) 6Ke) 9K

6 cm

7 c

m

12

cm

A

B

11) Um sólido é obtido girando-se o quadrilátero ABCD ao lado ao redor do eixo AB. Determinar a área total e o volume desse sólido.

C

D

12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre o eixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume.

A

B

8 cm

15

cm

09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular menor do tronco de cone, como na figura a seguir.

Então a relação entre H e R é:a) H = 16R / 7b) H = 10R / 7c) H = 7R / 16d) H = 16R / 10e) H = 7R / 10

2R2R

R

H

Jeca 64

14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâ-metro está flutuando em uma piscina. A bola está com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é o raio da calota esférica imersa na água ?a) 2 2 cmb) 3 2 cmc) 4 3 cmd) 6 cme) 8 cm

16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem volume igual a:a) 720b) 81p 2c) 36p 2d) 108p 2e) 27p 2

13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro

3medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a:a) p 3 /4b) p 3 / 6c) p 6 / 6d) p 6 / 9e) p / 3

15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces late-rais é um triângulo equilátero. Então, a área do qua-drado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:a) 5 / 9b) 4 / 9c) 1 / 3d) 2 / 9e) 1 / 9

VA

B

C

18) (UFC-CE) As arestas de um cubo medem 1 uni-dade de comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figu-ra) e tenham a mesma medida x = VA = VB = VC, com 0 < x < 1.

a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determi-ne o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.

VA

B

C

a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determi-ne o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.

19) (UFMG-MG) Nesta figura, estão representadas uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular ABCD, e sua sombra em forma de um quadrilátero ACBP:

A

B

C

D

Pa

Sabe-se que: - cada aresta da pirâmide mede 20 m; - o segmento CP está contido na mediatriz do segmento AB; - o seno do ângulo a = CPD é 2/3.

Considerando esses dados:a) calcule a altura da pirâmide.;b) calcule a área da sombra da pirâmide.

17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a for-ma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular, como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é

3a) 9p m

3b) 18p m

3c) 27p m

3d) 36p m

3e) 45p m

h

20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alterna-tiva na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.a) 14b) 15c) 16d) 17e) 18

Jeca 65

Respostas das aulas 06, 07, 08 e 09.

Jeca 66


2 301) 200p cm 320p cm02) a) 253 cm

2 b) 9p cm

2 c) 3p 253 cm

3 d) 36p cm03) a) 2R R 3

2 2 2 b) pR 2pR 3pR

3 c) pR 3 / 3

304) 24p cm

305) 8p cm06) a) 24 cm b) 12 cm

2 c) 288p cm

3 d) 576p 3 cm07) a) 4 cm b) 8 cm

2 c) 16 3 cm

3 d) (64p 3 / 3) cm08) b09) b10) d

211) 744p m12) F F V F13) V / V = 1 E D

2 314) (84p / 5) cm (48p / 5) cm

315) (380p / 3) cm16) 8 m 6 m17) a) 7 cm b) 14 cm

2 c) 49p cm

2 d) 147p cm e) 7 3 cm

3f) (343p 3 / 3) cm18) c19) 26 vezes

320) a) 16p cm

3 3 b) (x p / 108) cm21) 6 cm


201) a) 576p cm

3 b) 2304p cm

2 c) 95p cm 2p 95 cm

202) a) 676p cm

3 b) (8788p / 3) cm c) 5 cm

2 d) 25p cm e) 10p cm

203) a) 324p cm

3 b) 972p cm

2 c) 45p cm

3 d) 216p cm

204) a) 192p cm

3 b) (2048p / 3) cm c) 16p cm

2 305) 144p cm 288p cm

2 306) (16p / 25) cm (32p / 375) cm

2 307) 192p cm (2048p / 3) cm

208) 324p cm

2 309) pd pd / 6

210) 95p cm11) A projeção estereográfica dos pontos que formam ohemisfério sul é um círculo com centro no polo sul e raioigual a 2.


12) 3/213) a14) e15) d16) 6,4 cm17) e18) 38,5 %

Respostas da aula 08.

01) a) 4 cm3

b) 180p cm3

c) (160p / 3) cm3

d) (380p / 3) cm3

02) a) 100p cm3

b) (800p / 27) cm3

c) (1900p / 27) cm03) (4 - 2 4 ) cm

304) a) 12p cm

3 b) (81p / 16) cm

3 c) (111p / 16) cm

2 305) 2p(26 + 5 29 ) cm (380p / 3) cm06) b07) 19V / 2708) e

309) a) 320 cm

3 b) (1728 / 25) cm

3 c) (6272 / 25) cm10) 5 minutos11) 712) a) A / 4 b) 3A / 4 c) V / 8 d) 7v / 8

313) a) 500 cm b) 6 cm14) 3 / 915) (4 - 2 4 ) cm16) h 2 / 2

217) (520p / 9) cm



3

3

3


01) 4/3 cm02) e

2 303) 4(256 + 9p) cm 16(128 - 9p) cm04) 3 cm

305) 550p cm06) 3,44 cm07) e08) c09) a10) b

2 311) 6p(30 + 61 ) cm 372p cm

312) 160p cm13) d14) c15) d16) c17) e

318) a) x / 6 b) (3 - 3 ) / 2

219) a) (20 6 / 3) m b) (100 3 ( 10 - 2) / 3) m20) e

estudo geoposi e geoespacial

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