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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

VINÍCIUS MENEZES DE OLIVEIRA

ESTUDO E CONTROLE DE ROBÔSBRACEJADORES SUBATUADOS

Porto Alegre2008



Tese de doutorado apresentada ao Programade Pós-Graduação em Engenharia Elétrica daUniversidade Federal do Rio Grande do Sul comoparte dos requisitos para a obtenção do título deDoutor em Engenharia Elétrica.

Área de concentração: Automação e Instrumenta-ção Eletro-Eletrônica

ORIENTADOR: Prof. Dr. Walter Fetter Lages

Porto Alegre2008



Esta tese foi julgada adequada para a obtenção dotítulo de Doutor em Engenharia Elétrica e apro-vada em sua forma final pelo Orientador e pelaBanca Examinadora.

Orientador:Prof. Dr. Walter Fetter Lages, PPGEEDoutor pelo Instituto Tecnológico da Aeronáutica – São Josédos Campos, Brasil

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Marco Henrique Terra, USPDoutor pela Universidade de São Paulo – São Carlos, Brasil

Prof. Dr. Alexandre Queiroz Bracarense, UFMGDoutor pela Colorado School of Mines – Estadus Unidos

Prof. Dr. Eduardo André Perondi, UFRGSDoutor pela Universidade Federal de Santa Catarina – Florianópolis, Brasil

Prof. Dr. João Manoel Gomes da Silva Jr., UFRGSDoutor pela Universidade Paul Sabatier – Toulouse, França

Prof. Dr. Renato Ventura Bayan Henriques, UFRGSDoutor pela Universidade Federal de Minas Gerais – Belo Horizonte, Brasil

Coordenador do PPGEE:Prof. Dr. Arturo Suman Bretas

Porto Alegre, junho de 2008.

DEDICATÓRIA

Ao final dessa jornada é chegada a hora de parar, olhar para trás e observar o caminhotrilhado. Momento para refletir sobre as experiências vividas não somente ao longo docurso de Doutorado, mas durante toda a vida. Tenho a convicção de que não é apenasmais uma conquista acadêmica e, sim, uma realização pessoal.

Desse modo, dedico esse trabalho a três pessoas fundamentais em minha vida, quecolocaram meus anseios como seus próprios objetivos de vidae que se dedicaram sobre-maneira para que essa jornada me fosse menos cansativa: meu pai, minha mãe e minhaesposa.

A vocês, meu amor e gratidão eternos.

Felicidade e todo bem hão de seguir-me, por toda a minha vida;e, na casa do Senhor, habitarei pelos tempos infinitos.

(Salmo 22)

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador Prof. Walter Lages. Suacompreensão sobre Robótica (e todas as áreas que se relacionam com esse assunto) esua dedicação ao ensino e à pesquisa, ao longo desses anos de convívio, permitiram-me adquirir um entendimento sobre o que seja um trabalho de doutoramento em suaplenitude, além de me possiblitar um amadurecimento científico e didático. Não possodeixar de agradecer-lhe, também, pela constante disponibilidade e ajuda para superar asdificuldades encontradas.

Durante esse período no DELET/UFRGS muitas foram as pessoascom quem convivie que compartilhei momentos de dúvida, incerteza e momentosde muita alegria e descon-tração. Meus sinceros agradecimentos a Lucíola Campestrini, Jorge Alves, Felipe Kühne,Miguel Moretto, Alessandra Vargas, Lorenzo Taddei, Jefferson Flores e Diego Eckhardpelas horas livres no Bar da Arquitetura e no Bar do Antônio e pela troca de experiênciatécnica nas conversas mais sérias.

Não poderia deixar de expressar meu agradecimento aos professores Carlos Eduardo,João Manoel e Renato Ventura, pelas discussões técnicas, pelo exemplo e dedicação e,também, pelo constante incentivo para a realização deste trabalho. Também não poderiaesquecer os funcionários e colaboradores da secretaria do PPGEE, que sempre me foramsolícitos e atenciosos. De maneira especial agradeço à Miriam e à Janice toda a ajuda queme ofereceram.

Especial agradecimento dispenso ao Prof. Toshio Fukuda e a toda a sua equipe,que me receberam no Japão de maneira acolhedora e me disponibilizaram toda a infra-estrutura necessária para desenvolver meus estudos. Em especial agradeço aos amigosRicardo Carnieri e Roberto Myiamoto pela ajuda que me deram durante a realizaçãodo estágio. Agradeço também à equipe que trabalha diretamente com multilocomoção:Mikiko Kojo, Hironari Yoneda, Zhenghuan Yin, Hiroyosi Sawada e Prof. Yasuhisa Hase-gawa.

A realização deste trabalho só foi possível pela implementação do convênio entreo PPGEE/UFRGS e a FURG, através do Programa de Qualificação Institucional (PQI139/03-0), financiado pela CAPES. Agradeço aos colegas do DMAT/FURG pela confi-ança depositada no meu trabalho e à equipe da SUPPOSG/FURG, de modo especial aoCláudio, por todo suporte e auxílio administrativo. Não poderia deixar de agradecer, demaneira muito especial, aos colegas e amigos Nelson e Sílviapelo apoio e incentivo in-condicional que me deram, além, claro, das constantes cobranças para o término dessetrabalho.

Finalmente, expresso minhas saudações àqueles que me são mais próximos. Agra-deço de modo muito especial a meus pais (Elbio e Jussara) e a minha família, sem osquais o meu esforço teria sido em vão, pois seria insuficientepara superar todas as difi-

culdades. Peço a eles desculpa pelas vezes que me ausentei davida familiar, imerso naresponsabilidade de não lhes decepcionar durante a concretização desse sonho.

À Letícia, minha esposa e amiga, agradeço pela sua doação incondicional e irrestritapara tornar possível essa conquista.

Por último, e certamente de modo mais profundo, agradeço a Deus por ter enviadotodas essas pessoas para me auxiliar durante o caminho percorrido.

RESUMO

À medida que se apresentam grandes avanços tecnológicos nasáreas de instrumen-tação, controle e acionamento, se torna cada vez mais difundida a utilização de sistemasrobóticos para a execução dos mais variados tipos de tarefas, como na exploração de pe-tróleo ou mesmo no transporte de cargas. Desse modo, diversas são as situações em quese torna necessário o uso de sistemas subatuados, despertando o interesse da comunidadecientífica, quer seja pela variadas situações em que se pode utilizar esse tipo de robô oumesmo pelo desafio que se apresenta o desenvolvimento de estratégias de controle de taissistemas.

Nesta tese propõe-se um modelo de robô bracejador, juntamente com o desenvolvi-mento dos modelos matemáticos que descrevem o comportamento cinemático e dinâmicodesse robô e a respectiva análise desses modelos. Além disso, o presente trabalho tem porobjetivo apresentar uma estrutura de controle em malha fechada que seja capaz de fazercom que o robô se desloque ao longo de uma linha horizontal.

Diferentes estratégias de controle já foram apresentadas para o controle de robôs bra-cejadores, mas, em sua maioria, possuem limitações quanto ao tipo de bracejamento queo robô pode executar, além de não considerarem nenhuma restrição no sistema. Dessamaneira, emprega-se a estratégia de controle preditivo, com horizonte de predição desli-zante, a qual permite que, para o cálculo da lei de controle, sejam consideradas restriçõesàs variáveis de estado e de entrada durante a solução do problema de otimização.

A partir da definição do objetivo e da abordagem de controle a ser utilizada, váriassimulações são realizadas com o intuito de validar a aplicação do controlador preditivopara o controle do robô bracejador, sendo o robô capaz de executar diferentes tipos debracejamento (tanto bracejamento único quanto bracejamento contínuo, do tipounder-swinge over hand) ao longo da linha de sustentação. São desenvolvidas duas versõespara o controlador proposto, uma baseada em modelo não-linear da dinâmica para serutilizado no horizonte de predição e outra considerando umaversão linearizada para omodelo da dinâmica.

Os resultados obtidos pelas diferentes simulações mostramque a solução propostapara o problema de movimentar o robô bracejador atingiu seusobjetivos de modo bastanteeficiente, possiblitando, inclusive, a realização de simulações que atendessem a requisitosde tempo real.

Palavras-chave: Robôs bracejadores, sistemas não-lineares subatuados, controle pre-ditivo baseado em modelo.

ABSTRACT

As we are observing the fast technological development in the fields of instrumen-tation, control and actuation, it is increasing the employment of robotic systems for theexecution of a large variety of tasks, for example, oil exploration or load transportation.In this way, there are many situations where it is necessary to use underactuated systems,which are getting attention of the scientific community due to the different applicationsof underactuated robots or even due to the challenge to design control strategies for suchsystems.

In this thesis we propose a brachiation robot model, with thederivation of mathemat-ical models for its kinematics and dynamics and analyse suchmodels. Moreover, the aimof this work is to propose a closed loop control architecturethat will drive the robot tomove along the horizontal line.

Many different control schemes have already been proposed in the literature to con-trol brachiation robots, however, most of such schemes are limited concerning the waythe robot executes the brachiation movement. Moreover those control strategies are notable to deal with constraints on the state and/or control variables. Thus, we present inthis thesis a control scheme based on the predictive controlstrategy, with receding hori-zon, which can take into account such constraints during thesolution of the optimizationproblem for the control input computation.

After defining the task to be executed and the control strategy to be used, we havesimulated different situations of the robot aiming the validation the employment of thepredictive control approach for the brachiation robot. Therobot is able to execute dif-ferent types of brachiation (only one cicle or continuouslymotion, with under-swing andover hand motion) along the supporting line. We have developed two versions to theproposed controller, the first one considering a nonlinear dynamic model during the pre-diction horizong and the second considering a linearized dynamic model for prediction.

The results from the different simulation show that the solution presented in this workfor the brachiation robot motion was successful, making therobot able to move from oneposition to a forwarded position in the line. Furthermore, simulations have indicated theoverall system can be executed under real time requirements.

Keywords: Brachiation robots, underactuated nonlinear systems, model-based pre-dictive control.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Diferentes aplicações para robôs de serviço. . . . .. . . . . . . . . . 24Figura 2: Robô anelídeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 3: Um macaco realizando bracejamento. . . . . . . . . . . . .. . . . . 26Figura 4: Protótipos construídos no laboratório do Prof. Fukuda – Univerdade

de Nagoya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 5: Movimento de bracejamento único (swing-up brachiation). . . . . . . 27Figura 6: Movimento de bracejamento contínuo (rope brachiation). . . . . . . 27Figura 7: Movimento de bracejamento rápido (ricochetal brachiation.) . . . . . 27Figura 8: Conceito de robô multilocomoção. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29Figura 9: Robô Gorilla III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Figura 10: Robô bracejador considerado no trabalho. . . . . . .. . . . . . . . . 34

Figura 11: Esquema de atuação considerado neste trabalho. .. . . . . . . . . . 44

Figura 12: Protótipo desenvolvido no Departamento de Controle Automático doInstituto de Tecnologia de Lund. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 13: Protótipo do Acrobot desenvolvido no Departamento de Eng. Elétricae de Computação da Universidade de Toronto. . . . . . . . . . . . . 48

Figura 14: Estrutura do controlador baseado em comportamento hierárquico. . . 52Figura 15: Modelo de robô bracejador simplificado. . . . . . . . .. . . . . . . 53

Figura 16: Diferentes classificações para os algoritmos MPC. . . . . . . . . . . 55Figura 17: Princípio de funcionamento do MPC. . . . . . . . . . . . .. . . . . 57Figura 18: Visão geral do esquema de controle preditivo. . . .. . . . . . . . . . 58Figura 19: Estrutura genérica da estratégia de controle preditivo. . . . . . . . . . 59Figura 20: MPC com modelo não-linear de predição. . . . . . . . . .. . . . . . 62Figura 21: Robô virtual utilizado como referência. . . . . . . .. . . . . . . . . 65Figura 22: MPC com modelo linearizado de predição. . . . . . . . .. . . . . . 65

Figura 23: Robô bracejador utilizado nas simulações. . . . . .. . . . . . . . . . 73Figura 24: Posição angular de cada junta (simulação 1). . . . .. . . . . . . . . 75Figura 25: Velocidade angular de cada junta (simulação 1). .. . . . . . . . . . . 76Figura 26: Torques aplicados ao robô (simulação 1). . . . . . . .. . . . . . . . 77Figura 27: Trajetória XY executada pelo robô (simulação 1).. . . . . . . . . . . 77Figura 28: Posição angular (e referência) de cada junta (simulação 2). . . . . . . 79Figura 29: Velocidade angular (e referência) de cada junta (simulação 2). . . . . 80Figura 30: Torques aplicados ao robô (simulação 2). . . . . . . .. . . . . . . . 81Figura 31: Perturbações de torque de entrada (simulação 2).. . . . . . . . . . . 81

Figura 32: Trajetória XY executada pelo robô (simulação 2).. . . . . . . . . . . 82Figura 33: Erro referente às coordenadas cartesianas (simulação 2). . . . . . . . 82Figura 34: Posição angular (e referência) de cada junta (simulação 3). . . . . . . 83Figura 35: Velocidade angular (e referência) de cada junta (simulação 3). . . . . 84Figura 36: Torques aplicados ao robô (simulação 3). . . . . . . .. . . . . . . . 84Figura 37: Perturbação no sinal de controle (simulação 3). .. . . . . . . . . . . 85Figura 38: Trajetória XY realizada pelo robô (simulação 3).. . . . . . . . . . . 85Figura 39: Erro nas coordenadas cartesianas (simulação 3).. . . . . . . . . . . . 86Figura 40: Trajetória realizada pelo robô durante recuperação de movimento (caso

1 – simulação 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Figura 41: Torque exigido para recuperar o movimento (caso 1– simulação 4). . 88Figura 42: Trajetória realizada pelo robô durante recuperação de movimento (caso

2 – simulação 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Figura 43: Torque exigido para recuperar o movimento (caso 2– simulação 4). . 90Figura 44: Trajetória cartesiana realizada pelo robô – bracejamentoover hand(si-

mulação 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Figura 45: Posição angular – bracejamentoover hand(simulação 5). . . . . . . 91Figura 46: Velocidade angular – bracejamentoover hand(simulação 5). . . . . . 92Figura 47: Torque necessário para realizar o movimento – bracejamentoover

hand(simulação 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Figura 48: Trajetória cartesiana realizada pelo robô (simulação 6 –N1 = 5). . . . 95Figura 49: Torque aplicado por cada motor (simulação 6 –N1 = 3). . . . . . . . 95Figura 50: Posição angular de cada junta (simulação 6 –N1 = 5). . . . . . . . . 96Figura 51: Tempo necessário para cálculo do sinal de controle (simulação 6 –

N1 = 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Figura 52: Trajetória cartesiana realizada pelo robô (simulação 6 –N2 = 3). . . . 97Figura 53: Torque aplicado por cada motor (simulação 6 –N2 = 3). . . . . . . . 98Figura 54: Posição angular de cada junta (simulação 6 –N2 = 3). . . . . . . . . 98Figura 55: Tempo necessário para cálculo do sinal de controle (simulação 6 –

N2 = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Figura 56: Trajetória executada pelo robô – simulação 7. . . .. . . . . . . . . . 100Figura 57: Torque aplicado na junta 2 (simulação 7). . . . . . . .. . . . . . . . 100Figura 58: Torque aplicado na junta 3 (simulação 7). . . . . . . .. . . . . . . . 101Figura 59: Posição angular da junta 1 (simulação 7). . . . . . . .. . . . . . . . 101Figura 60: Posição angular da junta 2 (simulação 7). . . . . . . .. . . . . . . . 102Figura 61: Posição angular da junta 3 (simulação 7). . . . . . . .. . . . . . . . 102Figura 62: Tempo necessário de computação – simulação 7. . . .. . . . . . . . 103

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Tabela com os parâmetros da convenção D-H. . . . . . . .. . . . . . 38

Tabela 2: Parâmetros da dinâmica do robô. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 73Tabela 3: Valores máximo e mínimo para as variáveis (simulação 1). . . . . . . 75Tabela 4: Valores das restrições para as variáveis de decisão (simulação 2). . . . 79Tabela 5: Parâmetros da dinâmica do robô. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 87Tabela 6: Valores máximo e mínimo para as variáveis (simulação 5). . . . . . . 93

LISTA DE ABREVIATURAS

IFR International Federation of Robotics

MPC Model-based Predictive Control

NMPC Nonlinear Model-based Predictive Control

LMPC Linear Model-based Predictive Control

PDAC Passive Dynamic Autonomous Control

UNECE United Nations Economic Commission for Europe

V/STOL Vertical/Short Take-off and Landing

PVTOL Planar Vertical Take-off and Landing

UKF Unscented Kalman Filtering

DSFS Dynamic Switching Fuzzy Systems

EBC Explanation Based Control

D-H Denavit-Hartenberg

E-L Euler-Lagrange

LQR Linear Quadratic Regulator

RH Receding Horizon

QP Quadratic Programming

PID Proporcional-Integral-Derivativo

LISTA DE SÍMBOLOS

q Vetor de coordenadas generalizadas

q Vetor velocidade de coordenadas generalizadas

q Vetor aceleração de coordenadas generalizadas

n Dimensão do espaço de estado

m Dimensão do espaço de controle

nGL Número de graus de liberdade

α(q, q) Restrições genéricas nas coordenadas e velocidades generalizadas

∆ Distribuição

mi Massa do eloi

l i Comprimento do eloi

θi Variável angular da juntai

L Lagrangeano

Ec Energia cinética

Ep Energia potencial

M(q) Matriz de inércia

V(q, q) Matriz com os termos centrífugos e de Couriolis

G(q) Vetor com os termos gravitacionais

B(q) Matriz de acoplamento das entradas

u Vetor de entradas de controle

τ Vetor de torques de entrada

τmax Limite máximo de torque

τmin Limite mínimo de torque

ρ(·) Posto de uma matriz

∧ Produto exterior

p Momento generalizado

X Conjunto convexo fechado para o estado

U Conjunto convexo fechado para o controle

δ Intervalo de tempo

C Matriz de restrição linear no estado

D Matriz de restrição linear no controle

N Horizonte de predição

Φ(·) Função objetivo e/ou função custo

Ω Custo terminal

Q Matriz de ponderação do erro de estado

R Matriz de ponderação do erro de controle

P Vetor de ponderação do custo terminal

Q Matriz de ponderação do erro de estado aumentado

R Matriz de ponderação do erro de controle aumentado

x⋆ Seqüência ótima de estado

u⋆ Seqüência ótima de controle

Φ⋆(·) Função objetivo ótima

Bρ Região do espaço de estado

β Constante

‖ · ‖ Norma do vetor·

T Período de amostragem

x Variável de estado aumentado

τ Variável de controle aumentado

x Vetor de erro de estado

τ Vetor de erro de controle

xr Estado de referência

τr Controle de referência

H Matriz Hessiana

Ψ Função objetivo

P(k,x(k) Problema de otimização

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1 Sistemas Mecânicos Subatuados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Restrições Não-holonômicas de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . 311.2.1 Condições de Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 321.3 Contribuição do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4 Organização do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 MODELOS DINÂMICO E CINEMÁTICO DE SISTEMAS MECÂNICOS 372.1 Modelo Cinemático Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Modelo Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.1 Equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 382.2.2 Forma Normal de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2.3 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.4 Sistemas Mecânicos Totalmente Atuados . . . . . . . . . . . .. . . . . . 402.2.5 Sistemas Mecânicos Subatuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 402.3 Linearização Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.1 Linearização Parcial Colocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 422.3.2 Linearização Parcial Não-colocada . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 422.4 Dinâmica do Robô Bracejador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Análise das Restrições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.1 Aplicação do Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45

3 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA ROBÔS BRACEJADORES SU-BATUADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 Controle de Robôs Subatuados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Controle de Robôs Bracejadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO . . . . . . . . . . . 554.1 Formulação do Problema MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Análise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Abordagem MPC Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 IMPLEMENTAÇÃO E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1 Controle do Robô Bracejador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.1 Simulação 1: Modelo Não-linear – Ponto de Referência .. . . . . . . . . 745.2.2 Simulação 2: Modelo Não-linear – Trajetória de Referência . . . . . . . . 78

5.2.3 Simulação 3: Modelo Linear – Trajetória de Referência. . . . . . . . . . 835.2.4 Simulação 4: Recuperação de Movimento . . . . . . . . . . . . .. . . . 875.2.5 Simulação 5: Bracejamento tipoOver Hand . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 Implementação e Resultados em Tempo Real. . . . . . . . . . . . . . . 935.3.1 Simulação 6: Modelo Não-linear – Tempo Real . . . . . . . . .. . . . . 945.3.2 Simulação 7: Modelo Linearizado – Tempo Real . . . . . . . .. . . . . . 99

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1 Perspectivas Futuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

23

1 INTRODUÇÃO

Ao longo das últimas décadas tem se difundido o uso de sistemas robóticos em di-versas atividades automatizadas, com perspectiva de se chegar à marca de um milhãode robôs industriais em operação ao fim desta década, segundoa UNECE (United Nati-ons Economic Commission for Europe) (UNECE, 2004). A indústria, de um modo geral,utiliza robôs para a execução de tarefas com alto grau de repetição, difíceis de serem reali-zadas e, geralmente, em ambientes que se caracterizam por apresentar riscos à integridadefísica (até mesmo risco de morte) dos tabalhadores humanos.

Como se pode imaginar, vários segmentos empregam em sua linha de produção algumtipo de robotização, apresentando maior ou menor grau de automação. O setor produtivoque mais se beneficia do uso de robôs é a indústria automobilística, onde a maior partedas tarefas de montagem e soldagem é realizada por robôs manipuladores.

Apesar do elevado número de robôs industriais, é grande o crescimento da aplicaçãode robôs no setor de serviços. Avanços tecnológicos nas áreas de sensores (com o desen-volvimento de instrumentos mais precisos e variados), controle (estratégias mais robustasde controle e novas técnicas de localização) e acionamento (atuadores mais leves e maisprecisos) permitem a implementação de sistemas robóticos inteligentes para aplicaçãoem outras áreas além da produção industrial. De acordo com a IFR (International Federa-tion of Robotics –http://www.ifr.org), um robô de serviço é um robô que executa tarefasúteis ao bem-estar do Homem, operando de forma autônoma ou parcialmente autônoma.Podem ser robôs manipuladores, móveis ou, ainda, uma combinação de ambos.

Várias são as situações em que se pode imaginar a utilização robôs de serviço, comoem postos de abastecimento de veículos (figura 1(d)), agricultura (figura 1(a)), opera-ção em usinas nucleares (figura 1(c)), entretenimento (figura 1(b)), entre diversas outrasaplicações. É evidente que muitas outras aplicações de robôs de serviço podem ser men-cionadas, mas uma aplicação em especial vem recebendo grande destaque tanto pela co-munidade científica quanto pelas empresas especializadas:a tarefa de inspeção. Esse tipode tarefa, de modo geral, envolve operações tediosas e alto custo financeiro. Além disso,a utilização de operadores humanos inspecionando visualmente favorece à desatenção e,conseqüentemente, a falhas no processo de inspeção. Uma ampla revisão sobre robôs deserviço pode ser encontrada em (SCHRAFT; SCHMIERER, 2000).

Sistemas robóticos para inspeção são utilizados, já há algum tempo, em depósitos dematerial radioativo e em limpeza e inspeção de dutos. Dentrea grande diversidade de ta-refas de inspeção, tem-se como importante aplicação a inspeção de linhas de transmissãode energia elétrica. Atualmente o procedimento adotado para a verificação das linhas detransmissão apresenta grande risco de morte para os técnicos envolvidos, o que por si sójustificaria o desenvolvimento de sistemas para a automaçãodessa tarefa. Além disso, oscustos para a realização do procedimento são altos e exigem um longo intervalo de tempo

24

(a) Faculdade de Agricultura – Universidade deOkayama

(b) Professor de golfe

(c) Flangebot –Remote Ocean SystemsInd.

(d) Shell Smart-Pump – Sacra-mento/USA

Figura 1: Diferentes aplicações para robôs de serviço.

25

para serem executados.Inicialmente, a linha de transmissão de energia era inspecionada por técnicos sus-

pensos em gôndolas, mas logo começou a utilização de helicóptero para sobrevoar aslinhas de transmissão com o técnico a bordo para realizar a inspeção. Na existência dapossibilidade de defeito, uma equipe de técnicos seria enviada ao local para uma análisemais detalhada, para determinar se a imperfeição caracteriza uma situação que requisessemanutenção. Nos últimos anos, com a rápida evolução tecnológica, as empresas têm vis-lumbrado a possibilidade de se empregar sistemas robóticospara a realização, ou pelomenos para auxílio, desta tarefa de inspeção.

Os principais trabalhos sobre a automação da tarefa de inspeção de linhas de transmis-são são indicados na bibliografia (ARACIL et al., 2002; CAMPOS et al., 2003; CÔTÉ;MONTAMBAULT; ST.-LOIUS, 2000; FAUCHER et al., 1996; JIANG;MAMISHEV,2004; LI; LIJIN; HONGGUANG, 2004; LIANG; LI; TAN, 2005; MARUYAMA; MAKI;MORI, 1993; NAKASHIMA et al., 1995; PEUNGSUNGWAL et al., 2001; ROCHA; SI-QUEIRA, 2004a,b; RUAUX, 1995; SANTAMARÍA et al., 1997; SAWADA et al., 1991;SOUZA et al., 2004; TANAKA et al., 1998).

Algumas das soluções adotadas por esses autores são baseadas na utilização de robôsna forma detrolley, diferentemente da solução apresentada em (ROCHA; SIQUEIRA,2004a,b), em que na ausência de obstáculos o robô se movimentaria de forma semelhanteao movimento dos anelídeos; já quando houvesse algum obstáculo o robô (apresentadona figura 2) se movimenta por bracejamento, isto é, um braço para servir de sustentáculoao robô e o outro braço para transpor o obstáculo, alcançandoo cabo novamente.

Figura 2: Robô anelídeo.

No início da década passada, uma nova classe de robô móvel foiproposta por Fukudaem (FUKUDA; HOSOKAL; KONDO, 1991), o qual procurava imitar omodo como ma-caco se movimenta, balançando de um galho a outro (veja figura3), fazendo uso efetivoda força gravitacional. Nesse trabalho foi apresentado um robô com seis elos e cinco atu-adores, como pode ser visto na figura 4(a). O trabalho de Bertram (BERTRAM, 2005) secoloca como uma boa referência sobre esse tipo de movimento.

De modo geral os macacos1 se movimentam utilizando bracejamento lento, com ve-locidade aproximada à velocidade de uma pessoa caminhando.Entretanto, quando emsituação de acoamento, os animais podem se deslocar em velocidades elevadas, chegandoa se deslocar 10m (30ft) em um único movimento (bracejamentorápido ou ricochetea-mento) (EIMERL; DEVORE, 1966).

O movimento de bracejamento envolve três diferentes variantes, a saber:

1O movimento de bracejamento é uma forma de locomoção utilizada exclusivamente por macacos.

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Figura 3: Um macaco realizando bracejamento.

(a) BrachiatorI (b) BrachiatorII (c) BrachiatorIII

Figura 4: Protótipos construídos no laboratório do Prof. Fukuda – Univerdade de Nagoya.

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- movimento deswing-upe ladder

- movimento derope

- movimento deleap

O primeiro movimento acontece quando um macaco se desloca deum galho para outroe o controle da posição do braço para segurar o próximo galho éo requisito principal datarefa de deslocamento, como ilustrado na figura 5.

Figura 5: Movimento de bracejamento único (swing-up brachiation).

Já o segundo movimento, apresentado na figura 6, acontece quando o macaco realizao movimento de bracejamento de modo contínuo, isto é, executa vários movimentos detroca de galho.

Figura 6: Movimento de bracejamento contínuo (rope brachiation).

Por fim, o terceiro modo de bracejamento ocorre quando o próximo galho está forado alcance do macaco, ou seja, se encontra a uma distância maior que a sua envergadura.Para conseguir alcançar o galho, há a necessidade de uma velocidade inicial e de uma fasede vôo livre, em que o macaco fica com os dois braços soltos, como pode ser observadona figura 7.

Figura 7: Movimento de bracejamento rápido (ricochetal brachiation.)

Os primeiros trabalhos introduzindo o problema de controlede robôs bracejadoressão (SAITO; FUKUDA; ARAI, 1993, 1994), os quais consideram um robô bracejador

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simples, com dois elos. Nesses trabalhos, foi proposto um método de aprendizado heu-rístico para a geração de trajetórias realizáveis pelo robô.

Há vários trabalhos de pesquisa a respeito de robôs bracejadores na literatura técnica.Fukuda, Hosaki e Kondo (FUKUDA; HOSOKAL; KONDO, 1991) desenvolveram umrobô bracejador com dois elos, apresentado na figura 4(b), que é um sistema mecânico su-batuado com dois graus de liberdade e somente um atuador, similar ao Acrobot (SPONG,1995).

Fukuda, Hasegawa, Shimojima e Saito desenvolveram um algoritmo de aprendizadopor reforço auto-ajustável para gerar trajetórias realizáveis e que apresentam propriedadesde robustez a algumas perturbações. Dando continuidade Saito incluiu um controle por re-alimentação para incrementar aspectos de robustez do sistema de controle (HASEGAWA;FUKUDA; SHIMOJIMA, 1999; HASEGAWA et al., 1996). Todos esses trabalhos nãoconsideram o uso de modelo matemático para a dinâmica do robôdurante o processo deaprendizagem. A principal desvantagem de tal metodologia éa necessidade de um longoperíodo de treinamento (em torno de 200 experimentos com o robô físico) para cada con-figuração do robô, a fim de se realizar com sucesso o movimento,considerando a mesmadistância entre pontos de apoio.

Nakanishi, Fukuda e Koditschek propuseram uma abordagem diferente, considerandouma dinâmica alvo para o controle de sistemas subatuados, abordagem essa que se apre-senta como uma variante das técnicas padrão para inversão deplanta (NAKANISHI; FU-KUDA; KODITSCHEK, 2000). Os autores utilizaram uma abordagem inspirada na bi-omecânica, definindo a tarefa dinâmica a partir de uma dinâmica alvo mais simples (demenor dimensão) e com uso sistemático de simetria temporal reversa. Entretanto, umadas desvantagens dessa estratégia é a necessidade de um modelo matemático preciso paraa dinâmica do robô.

Na seqüência dos trabalhos, Hasegawa e Fukuda propuseram umrobô bracejador comsete elos, mostrado na figura 4(c). Esse robô é um sistema redundante, capaz de executarmovimentos complexos da mesma maneira que um macaco real, considerando a realiza-ção do movimento em um plano bi-dimensional (HASEGAWA; FUKUDA, 1999, 2004).Nesse trabalho os autores introduziram uma arquitetura de controle para tratar com múl-tiplas variáveis de entrada e saída. A abordagem baseada em comportamento facilita oprocesso de projeto, reduzindo o número de graus de liberdade (nGL) a ser considerado,utilizando, para tanto, a decomposição em comportamentos simples e coordenando asações entre os vários comportamentos. A principal desvantagem dessa estratégia é a difi-culdade em se ajustar o controlador quando há alguma alteração no ambiente ou algumamudança no movimento a ser executado.

Durante os últimos anos, vários trabalhos desenvolvidos têm por objetivo principalo estudo de movimento dinâmico realizado por animais, mas considerando somente umúnico tipo de locomoção, como bípede ou quadrúpede (AZEVEDO; POIGNET; ESPIAU,2004; MCGEERN, 1990). Recentemente, Fukuda e Hasegawa apresentaram o conceitode robô para multilocomoção, que pode ser melhor entendida pela figura 8, denominadoGorilla III, apresentado na figura 9, o qual é capaz de executar diferentes tipos de lo-comoção: por bracejamento, bípede e quadrúpede. É importante salientar que, emborao sistema mecânico seja capaz de realizar os diferentes modos de locomoção, quandose trata do movimento de bracejamento, as várias estratégias de controle desenvolvidas eempregadas não possuem a capacidade de controlar tanto o bracejamento porunder-swingquanto o bracejamento porover hand.

Em (KAJIMA et al., 2003) é apresentada uma estratégia para o controle do robô mul-

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Figura 8: Conceito de robô multilocomoção.

tilocomoção para se locomover por meio de bracejamento, baseada na abordagem decontrole de comportamento local previamente desenvolvidapelos autores. Uma outra es-tratégia, baseada em controle de energia para a fase de balanço do bracejamento, é apre-sentada em (KAJIMA et al., 2005, 2006), em que um modelo simplificado de quatro elosé empregado para representar a dinâmica do robô multilocomoção. O objetivo é injetar amínima quantidade de energia no robô durante as fases de balanço e deslocamento.

Em (KOJIMA et al., 2007) apresenta-se uma nova estratégia para controle do mo-vimento de bracejamento, considerando intervalos irregulares das barras de sustentação,baseada emPassive Dynamic Autonomous Control (PDAC), previamente empregada nocontrole de locomoção bípede (caminhar) (DOI; HASEGAWA; FUKUDA, 2004). A idéiacentral é desenvolver um método energeticamente eficiente que permite atingir uma am-plitude suficiente durante a fase de locomoção utilizando PDAC na dinâmica do robô.

A partir da segunda metade do século passado, com o crescenteavanço das tecnolo-gias de automação industrial, tem sido cada vez maior a atenção dispensada ao controleautomático de sistemas mecânicos. Na sua quase totalidade,os trabalhos desenvolvidosconsideram sistemas completamente atuados, ou seja, sistemas que apresentam uma en-trada independente de controle para cada grau de liberdade,igual à dimensão do espaçode configuração.

Durante esse período, várias técnicas de controle têm sido desenvolvidas como con-trole robusto, controle ótimo, controle adaptativo, controle não-linear, controle inteli-gente. Tais técnicas podem ser utilizadas para sistemas completamente atuados, poisestes apresentam características importantes tais como linearização por realimentação epassividade.

1.1 Sistemas Mecânicos Subatuados

Essa classe de sistemas mecânicos caracteriza-se pelo fatode os sistemas possuíremum número de entradas de controle menor que o número de graus de liberdade (m< nGL)e apresentam-se como interessantes problemas do ponto de vista de controle e, ao longodas últimas duas décadas, têm recebido grande destaque por parte dos pesquisadores.

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Figura 9: Robô Gorilla III.

Várias são as aplicações reais em que se encontra a utilização de sistemas subatuados,como sistemas aeroespaciais, sistemas flexíveis e sistemasmóveis. Exemplos de robôsmanipuladores subatuados são o ACROBOT (SPONG, 1995), o PENDUBOT (SPONG;BLOCK, 1995) e o VSTOL (HAUSER; SASTRY; MEYER, 1992).

O modelo dinâmico de um sistema mecânico subatuado é praticamente igual ao mo-delo de um sistema completamente atuado, exceto pelo fato dea matriz de seleção dasentradas de controleB não possuirrank completo, isto é, a matriz é não inversível, o queinviabiliza a linearização completa por realimentação de estados. Tal característica deve-se ao fato de o número de entradas independentes de controle ser menor que o número degraus de liberdade do sistema.

A característica (ou propriedade) de subatuação se deve a, pelo menos, uma das quatrorazões a seguir:

1. dinâmica do sistema;

2. requisitos de projeto (para redução de custo ou por aspectos práticos);

3. eventual falha em um atuador;

4. imposição para criar situação de ensaio, gerando sistemas não-lineares de baixa or-dem complexos, com o objetivo de adquirir conhecimento em controle de sistemasnão-lineares de alta ordem.

Definição 1.1 Denomina-se grau de liberdade ativo o grau de liberdade que tenha asso-ciado diretamente a ele uma entrada externa de controle.

Definição 1.2 Denomina-se grau de liberdade passivo o grau de liberdade que não tenhaassociado diretamente a ele uma entrada externa de controle.

Uma propriedade comum a todos os sistemas subatuados é a propriedade da lineari-zação parcial colocada por realimentação (SPONG, 1995), que consiste em aplicar um

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controle que linearize as equações associadas com os graus de liberdade ativos (os quaisestão diretamente associados a uma entrada externa de controle). Já a propriedade delinearização parcial não-colocada por realimentação consiste em linearizar as equaçõesreferentes aos graus de liberdade passivos (os quais não estão diretamente associados auma entrada externa de controle), desde que a matriz de inércia apresente acoplamentoinercial (SPONG, 1997). Obviamente esta última propriedade não se aplica a toda a classede sistemas subatuados.

Uma classe ainda mais especializada de sistemas mecânicos subatuados é aquela emque o número de variáveis atuadas é menor que o número de variáveis não-atuadas, ouseja,nGL−m> m. Tais sistemas são chamados de Sistemas Subatuados de Alta Ordem.

1.2 Restrições Não-holonômicas de Segunda Ordem

Definição 1.3 Sistemas HolonômicosConsidere um sistema com coordenadas generalizadas q

q = f (q, q,u) (1)

onde f(·) é o campo vetorial da dinâmica e u o vetor das entradas externas generalizadas.Suponha que o movimento do sistema esteja limite por alguma alguma restrição. Seas condições da restrição podem ser expressas por meio de equações que envolvam ascoordenadas generalizadas (e possivelmente a variável tempo) na forma:

α(q, t) = 0 (2)

então as restrições são ditasholonômicas. Esse tipo de restrição pode ser integrada.

Definição 1.4 Sistemas Não-holonômicosConsiderando o sistema (1), quando não for possível representar as restrições na

forma dada pela expressão (2), diz-se que as restrições sãonão-holonômicas. Em siste-mas não-holonômicos, as coordenadas generalizadas não sãoindependentes entre si.

Diversos sistemas mecânicos subatuados estão sujeitos a restrições não-holonômicas.Mais especificamente, as restrições não-holonômicas dividem-se em duas classes dis-tintas (ANEKE, 2003): restrições não-holonômicas de primeira ordem e restrições não-holonômicas de segunda ordem.

Definição 1.5 Restrições Não-holonômicas de Primeira OrdemRestrições não-holonômicas de primeira ordem são restrições que envolvem somente

as coordenadas generalizadas de posição e velocidade, sob aformaα(q, q) = 0.

Definição 1.6 Restrições Não-holonômicas de Segunda OrdemRestrições não-holonômicas de segunda ordem são restrições que envolvem as coor-

denadas generalizadas de posição, velocidade e aceleração, sob a formaα(q, q, q) = 0.

Restrições não-holonômicas de primeira ordem, comumente referenciadas por restri-ções não-holonômicas de velocidade, são definidas como sendo restrições nas coordena-das e velocidades generalizadas sob a formaα(q, q) = 0. Um exemplo de sistema me-cânico sujeito a restrição não-holonômica é o robô móvel comatuação diferencial (OLI-VEIRA, 2001). Já as restrições não-holonômicas de segunda ordem, também chamadas

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de restrições de aceleração, são definidas como sendo restrições nas coordenadas, veloci-dades e acelerações generalizadas, sob a formaα(q, q, q) = 0. Navios, veículos subaqüá-ticos, espaçonaves, robôs espaciais e robôs manipuladoressubatuados são exemplos desistemas mecânicos que apresentam restrições não-holonômicas de segunda ordem.

Considere um sistema mecânico sujeito a uma restrição diferencial de segunda ordemdo tipo:

f (q, q, q, t) = 0 (3)

Se essa restrição puder ser integrada completamente como uma restrição da formag(q, t) = 0, então a restrição é dita holonômica, caso contrário ela é não-holonômica.

O interesse em sistemas mecânicos sujeitos a restrições não-holonômicas de segundaordem dá-se pelo fato de tais sistemas não serem estabilizáveis por meio de realimen-tação contínua (ou suave) invariante no tempo, não satisfazendo as condições apresen-tadas por (BROCKETT, 1982). Além disso, sistemas subatuados sob restrições não-holonômicas apresentam-se como um desafiante problema do ponto de vista de controle,com vários aspectos ainda em aberto, por exemplo, em que condições o problema derastreamento de trajetória pode ser resolvido por uma realimentação invariante no tempo.

Classificar uma restrição em holonômica ou não-holonômica éimportante para o con-trole de sistemas mecânicos subatuados. Como se sabe, é impossível estabilizar assinto-ticamente em um estado de equilíbrio, mesmo localmente, sistemas subatuados sujeitosa restrições não-holonômicas de segunda ordem por meio de uma realimentação suaveinvariante no tempo.

Assim, faz-se necessário estabelecer condições de integrabilidade. Algumas condi-ções, como o Teorema da Integral Exata e o Teorema da Restrição Diferencial Integrável,não são facilmente aplicadas a restrições diferenciais. Dois resultados a respeito de clas-sificação de restrições holonômicas e não-holonômicas são apresentados em (ORIOLO;NAKAMURA, 1991) e (WICHLUND; SORDALEN; EGELAND, 1995).

1.2.1 Condições de Integrabilidade

Uma abordagem comum em relação a sistemas não-holonômicos éinferir a naturezanão-holonômica das restrições a partir da acessibilidade do sistema. Entretanto, esse pro-cedimento não pode ser aplicado a sistemas subatuados (ORIOLO; NAKAMURA, 1991).

O trabalho de Oriolo e Nakamura estabelece condições de integrabilidade utilizandoo padrão da restrição (3), que depende da estrutura do modelodinâmico.

Teorema 1.1 Oriolo & NakamuraConsidere um sistema mecânico com sua dinâmica sujeita a restrições do tipo (3). A

restrição será parcialmente integrável se:

a) o torque gravitacional for constante;

b) as variáveis de junta não-atuadas não aparecerem na matriz de inércia da dinâmicado sistema.

Ainda, a restrição será completamente integrável (holonômica) se:

i) for parcialmente integrável

ii) a distribuição∆ : Hu(q)q = 0 for involutiva.

33

A prova desse teorema pode ser encontrada em (ORIOLO; NAKAMURA, 1991).Wichlund apresenta em (WICHLUND; SORDALEN; EGELAND, 1995)uma aná-

lise semelhante, considerando as coordenadas generalizadas descritas em relação a umsistema móvel de coordenadas ao invés de um sistema fixo de coordenadas.

Novas condições de integrabilidade utilizando o Teorema deFrobenius, na forma di-ferencial, são apresentadas em (TARN; ZHANG; SERRANI, 2003). As condições sãoindependentes de coordenada e, em geral, podem ser aplicadas a restrições diferenciaisde qualquer ordem.

Teorema 1.2 Teorema de FrobeniusSeja(ωp+1,ωp+2, . . . ,ωn) um sistema de(n− p) formas diferenciais de grau 1, per-

tencentes à classeC 1, em um conjunto abertoU ∈ R, tal que em cada ponto x∈ U orank do sistema seja igual a(n− p).

O sistema diferencialωi = 0 (p+1≤ i ≤ n) é completamente integrável se, e somentese, as formas diferenciais

dωi ∧ωp+1∧ωp+2∧· · ·∧ωn (p+1≤ i ≤ n)

se anularem identicamente.

Em outras palavras, uma restrição diferencial de segunda ordem é completamenteintegrável se, e somente se, o produto exterior (wedge product) deω edω for nulo, ondeω é a restrição na forma diferencial. Em (ZHANG; TARN, 2003) apresenta-se a provacompleta para esse teorema.

1.3 Contribuição do Trabalho

O foco principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma estratégia de controleem malha fechada para um sistema mecânico não-linear subatuado sujeito a restriçõesnão-holonômicas de segunda ordem.

A principal contribuição desse trabalho, mais especificamente, é a proposição de umesquema de controle em malha fechada que seja capaz de levar em consideração, de mododireto e simples, tanto a característica de subatuação quanto as restrições impostas aosistema a ser controlado. Essa estratégia de controle deve gerar um sinal de controlecapaz de movimentar o robô bracejador de modo contínuo ao longo da linha horizontalde sustentação.

A análise das restrições é outra abordagem importande destetrabalho, caracterizandoas restrições de segunda ordem (restrições de aceleração) como restrições não-holonômicas.

Vários são os esquemas de controle já aplicados ao controle de robôs bracejadoresque apresentam resultados práticos bastante interessantes. Entretanto, tais esquemas decontrole apresentam-se pouco flexíveis quando diante de modificações no objetivo decontrole ou mesmo alterações nas restrições impostas ao sistema a ser controlado.

Assim, com a perspectiva de se apresentar uma estratégia de controle para robôsbracejadores que tenha a capacidade de tratar de maneira direta a característica de su-batuação inerente a esse tipo de robô e, além disso, seja capaz de considerar as res-trições impostas ao sistema, apresenta-se a estratégia de controle preditivo baseado emmodelo (MPC) (OLIVEIRA; LAGES, 2006a,b, 2007a).

O esquema de controle MPC aplicado ao controle de robôs bracejadores apresenta,como pode ser visto ao longo desse trabalho, resultados bastante motivadores. As res-trições impostas ao sistema são tratadas de maneira direta pelo esquema de controle e a

34

característica de subatuação é tratada de maneira implícita pelo procedimento de otimiza-ção existente no MPC.

Além de conseguir fazer com que o robô realize o movimento completo de braceja-mento, o esquema de controle proposto nesse trabalho é capazde realizar o movimento debracejamento de duas maneiras: bracejamento porunder-swinge bracejamento poroverhand.

Um dos grandes problemas da estratégia de controle MPC é o grande custo compu-tacional devido à solução do problema de otimização não-linear. Os resultados obtidosutilizando-se um modelo não-linear mostram que o tempo requerido para a obtenção dosinal de controle é excessivamente longo, não permitindo sua aplicação em tempo-real,com uma implementação emsoftwarenos computadores disponíveis hoje. A maneira uti-lizada para se transpor essa dificuldade consiste em se obterum modelo linearizado parapredizer o comportamento do sistema durante o horizonte de predição, transformando oproblema de otimização não-linear em um problema de otimização linear, o qual pode serresolvido de maneira mais rápida e eficiente. Os resultados obtidos validam essa aborda-gem, de tal sorte que os tempos de execução foram substancialmente menores.

O trabalho desenvolvido neste projeto de pesquisa está inserido em um projeto maior,que tem como objetivo o desenvolvimento de um protótipo de umrobô manipulador mó-vel por bracejamento, capaz de realizar movimento contínuoao longo de linhas aéreas detransmissão de energia, visando a sua posterior utilizaçãonas tarefas de inspeção de cabose isoladores. Um esboço da configuração mecânica do robô em desenvolvimento pode servisualizado na figura 10. O robô é constituído por dois braçose um corpo, totalizandotrês elos.

y0

x0

y1

x1

y2

x2

y3

x3

m1l1

m2l2

m3l3

θ1

θ2

θ3

Figura 10: Robô bracejador considerado no trabalho.

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1.4 Organização do Texto

O capítulo 2 apresenta o desenvolvimento matemático dos modelos que descrevem acinemática, utilizando uma extensão da convenção deDenavit-Hartenberg, e a dinâmicado sistema, utilizando o método de Euler-Lagrange, para o robô bracejador com três grausde liberdade e duas entradas independentes de controle mostrado na figura 10.

Em seguida, no capítulo 3, são discutidas diversas estratégias de controle utilizadaspara o controle de sistemas mecânicos subatuados e, de maneira mais detalhada, estraté-gias de controle para robôs bracejadores.

Já no capítulo 4, especial atenção é dispensada à técnica de controle preditivo base-ado em modelo, tanto considerando modelo não-linear quantomodelo linearizado. Alémdisso, discute-se a questão da estabilidade dessa estratégia de controle.

As simulações implementadas e os respectivos resultados obtidos são apresentadosno capítulo 5. Apresentam-se sete diferentes simulações, buscando mostrar diversas situ-ações interessantes: modelo não-linear e modelo linearizado, movimento com ponto dereferência e trajetória de referência, diferentes tipos debracejamento (underswinge overhand), além de simulações em tempo real para validar a viabilidade da estratégia de con-trole proposta no trabalho.

Por fim, no capítulo 6, são expostas algumas conclusões a respeito do trabalho desen-volvido e diversas possibilidades de estudos futuros como continuidade desse projeto.

37

2 MODELOS DINÂMICO E CINEMÁTICO DE SISTEMASMECÂNICOS

Neste capítulo serão introduzidos os métodos de Denavit-Hartenberg (D-H) e de deEuler-Lagrange (E-L) para o desenvolvimento de modelos matemáticos para a cinemáticae dinâmica, respectivamente.

2.1 Modelo Cinemático Direto

Para o desenvolvimento do modelo cinemático direto utilizou-se a convenção de Denavit-Hartenberg (FU; GONZALES; LEE, 1987; SCIAVICCO; SICILIANO, 1996), a qual seráresumidamente apresentada a seguir:

1. Sistema de coordenadas da base.Estabeleça o sistema de coordenadas da base(x0,y0,z0) na base de apoio do robô, com o eixoz0 sobre o eixo da junta 1 apon-tando para o "ombro" do robô. Os eixosx0 e y0 podem ser convenientemente esta-belecidos, desde que formando um sistema ortonormal.

2. Sistemas de coordenadas das juntas.Para cada uma das juntasi = 1· · ·n−1, repita:

(a) Eixo da junta.Alinhe zi com o eixo da juntai +1 (rotacional ou prismática).

(b) Origem do sistema i.Localize a origem do sistemai na intersecção dezi ezi−1ou na intersecção da normal comum azi ezi−1 e o eixozi.

(c) Eixo xi . xi = +(zi−1×zi)/‖zi−1×zi‖ ou sobre a normal comum entrezi−1 ezi

se eles forem paralelos.

(d) Eixo yi . yi = +(zi ×xi)/‖zi ×xi‖, para completar o sistema.

3. Sistema de coordenadas da garra.Usualmente an-ésima junta é rotacional. Alinhezn na mesma direção quezn−1e apontando para fora do robô. Alinhexn de formaque seja normal azn−1 e azn. yn completa o sistema.

4. Parâmetros das juntas e elos.Para cadai = 1· · ·n repita:

(a) di . di é a distância da origem do sistemai−1 à intersecção dos eixoszi−1 exi ,medida sobre o eixozi−1. É a variável de junta, se a juntai for prismática.

(b) ai . ai é a distância da intersecção dezi−1 e xi à origem do sistemai, medidasobre o eixoxi .

(c) θi . θi é o ângulo de rotação em torno dezi−1, medido dexi−1 axi . É a variávelde junta se a juntai for rotacional.

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(d) αi . αi é o ângulo de rotação em torno dexi , medido dezi−1 azi .

De acordo com o procedimento apresentado, os sistemas de coordenadas para o robôbracejador são mostrados na figura 10 e os parâmetros festão definidos conforme a ta-bela 1:

Tabela 1: Tabela com os parâmetros da convenção D-H.Elo ai di θi αi

1 l1 0 θ1 02 l2 0 θ2 03 l3 0 θ3 0

Para a configuração utilizada, as matrizes de transformaçãohomogênea são dadas por:

0T1 =

cosθ1 −sinθ1 0 l1cosθ1

senθ1 cosθ1 0 l1senθ1

0 0 1 00 0 0 1

1T2 =

cosθ2 −sinθ2 0 l2cosθ2

senθ2 cosθ2 0 l2senθ2

0 0 1 00 0 0 1

1T3 =

cosθ3 −sinθ3 0 l3cosθ3senθ3 cosθ3 0 l3senθ3

0 0 1 00 0 0 1

2.2 Modelo Dinâmico

Nesta seção considera-se o método de Euler-Lagrange, baseado na energia envol-vida no sistema, para modelagem dinâmica de sistemas mecânicos, além de destacarimportantes características como atuação completa (subatuação), holonomicidade (não-holonomicidade), simetria e momento. Também são discutidos aspectos relacionados àrepresentação de tais sistemas de forma adequada ao controle (formas normais).

2.2.1 Equações de Euler-Lagrange

Um sistema mecânico simples é um sistema em que seu LagrangeanoL é dado peladiferença entre a sua energia cinéticaEc e a sua energia potencialEp, expresso por:

L (q, q) = Ec−Ep =12

qTM(q)q−Ep(q) (4)

ondeq∈ Q é o vetor de configuração pertencente aomanifold n-dimensionalQ, M(q) éa matriz de inércia simétrica definida positiva.

As equações de movimento para este sistema mecânico são dadas por:

ddt

∂L

∂ q−

∂L

∂q= B(q)u (5)

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u ∈ Rm são as entradas externas de controle eB(q) = (b1(q), . . . ,bm(q)) a matriz deacoplamento das entradas.

Aplicando (5) e rearranjando as equações na forma matricial, a dinâmica do sistemamecânico pode ser apresentada como:

M(q)q+V(q, q)q+G(q) = B(q)u (6)

ondeG(q) ∈ Rn é o vetor com os termos gravitacionais eV(q, q) ∈ Rn×n é uma matrizenvolvendo dois tipos de termos ˙qi q j , chamados termos centrífugos (i = j) e termos deCoriolis (i 6= j).

Uma interessante relação entre as matrizesM(q) eV(q, q) é que:

W = M(q)−2V(q, q) (7)

é uma matriz anti-simétrica, isto é,M(q) = V(q, q)+VT(q, q).

2.2.2 Forma Normal de Legendre

Considerando a propriedade de anti-simetria (7) e queM(q) é uma matriz simétricadefinida positiva, a forma normal de Legendre em relação a ˙q é dada por:

p ,∂L

∂ q= M(q)q (8)

e a dinâmica do sistema mecânico pode ser reescrita na forma canônica:

q = M−1(q)p

p = −G(q)+VT(q,M−1p)M−1(q)p+B(q)u (9)

Definindox1 , q ex2 , p e substituindo em (9) resulta em :

q = f (x)+g(x)u (10)

ondex = col(x1,x2) e os campos vetoriaisf (x) eg(x) são dados por:

f (x) ,

M−1(x1)x2

−G(x1)+xT2 Q(x1)x2

e

g(x) ,

0

B(x1)

A equação 10 representa um sistema não-linear afim e a principal vantagem é a dis-ponibilidade de procedimentos analíticos para a análise decontrolabilidade e observabili-dade e para o projeto de leis de controle para sistemas representados sob essa forma (ISI-DORI, 1989; MAHINDRAKAR; BANAVAR, 2002; SLOTINE; LI, 1991).

2.2.3 Simetria

O Lagrangeano do sistema mecânico é simétrico em relação à variável de configuraçãoqi se, e somente se:

∂L

∂qi= 0, i ∈ 1, . . . ,n (11)

Uma outra caracterização similar de simetria é considerar ainvariância da energiacinética do sistema, em vez do Lagrangeano, em relação a uma variável de configuraçãoqi.

40

2.2.4 Sistemas Mecânicos Totalmente Atuados

Definição 2.1 Um sistema mecânico é ditototalmente atuadose

m= ρ(B(q)) = nGL (12)

Essa definição diz, de maneira indireta, que um sistema é totalmente atuado se a matrizB(q) for inversível, caracterizando que o número de entradas independentes de controle éigual ao número de graus de liberdade do sistema.

Uma importante característica de sistemas mecânicos totalmente atuados é a possibi-lidade de linearização exata por meio de realimentação de estado. Considere a seguintelei de controle aplicada ao sistema (6):

u = B−1(q)(M(q)v+V(q, q)q+G(q)) (13)

e redefinindox1 , q ex2 , q, obtém-se

x1 = x2

x2 = v

que é um modelo linear.Para as condições necessárias à aplicação de linearização por realimentação em siste-

mas não-lineares genéricas vide (ISIDORI, 1989; SLOTINE; LI, 1991).

2.2.5 Sistemas Mecânicos Subatuados

Uma definição informal para sistemas mecânicos subatuados bastante razoável é se onúmero de entradas de controle for menor que o número de variáveis de junta. Agora, demodo formal tem-se (FANTONI; LOZANO, 2002):

Definição 2.2 Considere um sistema cuja dinâmica possa ser expressa sob a forma:

q = f (q, q)+B(q)u (14)

sendo q o vetor de coordenadas generalizadas e dim(q) o número de graus de liber-dade do sistema. f(·) é o campo vetorial representando a dinâmica do sistema,q é ovelocidades generalizadas,B(q) a matriz de seleção das entradas e u o vetor de forçasgeneralizadas de controle.

Tal sistema é caracterizado comosubatuadose as forças generalizadas de controlenão forem capazes de comandar aceleração instantânea em todas as direções do espaçode configuração:

rank(B(q)) = dim(q) (15)

Outra possível definição para sistemas mecânicos subatuados é que o número de en-tradas externas de controle seja menor que o número de coordenadas generalizadas seremcontroladas.

Essa restrição nas entradas de controle faz com que não seja mais possível a lineari-zação exata do sistema, sendo possível somente uma linearização parcial. A linearizaçãoparcial pode ser feita de duas formas, a saber: linearizaçãoparcial colocada e linearizaçãoparcial não-colocada (SPONG, 1995).

41

Definição 2.3 Variável de FormaToda variável de configuração qi ∈ q que esteja pre-sente na matriz de inércia do sistema, isto é:

∂M(q)

∂qi6= 0 (16)

é denominadavariável de forma.

Definição 2.4 Variável ExternaToda variável de configuração qi ∈ q que não esteja pre-sente na matriz de inércia do sistema, isto é:

∂M(q)

∂qi= 0 (17)

é denominadavariável externa.

2.3 Linearização Parcial

Segundo Spong (SPONG, 1995), mesmo não sendo possível realizar a linearizaçãototal de um sistema subatuado, é possível se obter, por meio de uma realimentação não-linear adequada, um comportamento linear para parte dos graus de liberdade do sistema.

Uma característica comum em diversas abordagens para controle de sistemas subatu-ados é considerar o modelo dinâmico particionado entre coordenadas generalizadas ativasqa (aquelas diretamente atuadas pelas entradas de controle) ecoordenadas generalizadaspassivasqp (sem atuação direta), expresso genericamente por:

[

maa mTpa

mpa mpp

][

qa

qp

]

+

[

va

vp

]

+

[

ga

gp

]

=

[

τa

0

]

(18)

map(q)qp+maa(q)qa+va(q, q)+ga(q) = τ (19)

mpp(q)qp+mpa(q)qa+vp(q, q)+gp(q) = 0 (20)

Segundo Spong (SPONG, 1998), uma interessante propriedadeda classe de sistemassubatuados é a linearização parcial por realimentação de estado. Essa linearização parcialpode ocorrer de duas maneiras: linearização parcial colocada e linearização parcial não-colocada.

Linearização parcial colocada se refere à lei de controle que lineariza as equações di-retamente relacionadas às coordenadas generalizadas ativasqa. Tal linearização é equiva-lente à linearização entrada-saída, considerando que a saída do sistema é dada pory= qa.Essa propriedade se verifica para todos os sistemas pertencentes à classe de sistemas su-batuados.

Por sua vez, a linearização parcial não-colocada diz respeito à linearização das equa-ções associadas às coordenadas generalizadas passivas, sendo possível somente se o sis-tema for fortemente inercialmente acoplado (strongly inertially coupled), isto é:

rank(Mua(q)) = n−m

em uma região próxima à origem. Essa característica requer quem≥ n−m, ou seja, que onúmero de coordenadas ativas seja pelo menos igual ao númerode coordenadas passivas.Obviamente essa propriedade se verifica somente para uma parte da classe de sistemassubatuados.

42

2.3.1 Linearização Parcial Colocada

A linearização parcial colocada de um sistema não-linear subatuado consiste em pro-jetar uma realimentação tal que o subsistema referente às variáveis ativas resulte em umsistema linear.

A partir da expressão (20) pode se escrever:

qp = −m−1ppvp−m−1

ppgp−m−1ppmpaqa (21)

e substituindo na equação (19) obtém-se:

(maa−mapm−1ppmpa)qa+va +ga−mapm

−1ppvp−mapm

−1ppgp = τ (22)

Agora, define-se como entrada de controle a seguinte realimentação:

τ = (maa−mapm−1ppmpa)u+va+ga−mapm

−1ppvp−mapm

−1ppgp (23)

ondeu é a nova entrada de controle.Desse modo, o sistema não-linear subatuado (descrito pelasequações (20) e (19))

pode ser reescrito por:

qp = −m−1ppvp−m−1

ppgp−m−1ppmpaqa (24)

qa = u (25)

A partir do sistema (24)–(25), é possível projetar uma lei decontrole que estabilizeassintoticamente as variáveis ativas. O comportamento dasvariáveis passivas será descritopelo subsistema não-linear (24).

2.3.2 Linearização Parcial Não-colocada

Diferentemente do procedimento de linearização parcial colocada, o procedimento delinearização parcial não-colocada consiste em projetar uma lei de controle por realimen-tação de tal forma que o sistema resultante apresente o subsistema das variáveis passivaslinearizado.

Esse procedimento de linearização parcial não-colocada sóé realizável se o númerode entradas de controle for maior ou igual ao número de variáveis passivas, isto é,m≥dim(qp).

A partir de (20), e considerandompa(q) não nulo, pode se escrever:

qa = −m−1pa(mppqp+vp +gp) (26)

e substituindo esse resultado em (19) obtém-se

(map−maam−1pampp)qp−maam

−1pavp−maam

−1pagp+va +ga = τ (27)

Define-se como entrada de controle a seguinte realimentação:

τ = (map−maam−1pampp)u−maam

−1pavp−maam

−1pagp+va +ga (28)

ondeué a nova entrada de controle, e o sistema descrito por (20) e (19) passa a ser descritopor:

qp = u (29)

qa = −m−1pamppqp−m−1

pavp−m−1pagp (30)

43

2.4 Dinâmica do Robô Bracejador

Considere o sistema mecânico apresentado na figura 10. A dinâmica desse sistema édada pela equação:

M(q)q+V(q, q)q+G(q) = B(q)τ (31)

ondeq∈R3 é o vetor de coordenadas generalizadas,M(q) é a matriz de inércia simétricadefinida positiva dada por:

M(q) =

α1 +α2+2α3c2+α4 +2α5c3 α2+α3c2 α4 +α5c3

α2 +α3c2 α2 0α4 +α5c3 0 α4

(32)

A funçãocos(qi) é indicada porci e o mesmo vale para a funçãosen(qi) que é dadaporsi . Indica-se porci j e si j , respectivamente, a funçãocos(qi +q j) esen(qi +q j).

Analisando a matriz de inércia (32), tem-se que a variávelq1 é uma variável externa eque as variáveisq2 eq3 são variáveis de forma.

A matrizV(q, q) com os termos centrífugos e de Coriolis é dada por:

V(q, q) =

−α3q2s2−α5q3s3 −α3q2s2−α3q1s2 −α5q3s3−α5q1s3

α3q1s2 0 0α5q1s3 0 0

(33)

O vetorG(q) apresenta os termos gravitacionais, a saber:

G(q) =

α6gc1+α7gc12+α8gc13

α7gc12α8gc13

(34)

As constantesθi são definidas como segue:

α1 , m1l21

4+ I1 +m2l2

1 +m3l21

α2 , m2l22

4+ I2

α3 , m2l1l22

α4 , m3l23

4+ I3

α5 , m3l1l32

α6 , m1l12

+m2l1+m3l1

α7 , m2l22

α8 , m3l32

sendol i, mi e Ii , respectivamente, o comprimento, a massa e o momento de inércia do eloi.

44

JuntaLivre

τ2

τ3

Figura 11: Esquema de atuação considerado neste trabalho.

Nesse trabalho será considerada uma configuração em que somente a primeira juntanão seja atuada, isto é, há atuadores somente nas juntas 2 e 3.Por definição, um robô bra-cejador deve apresentar a primeira junta não-atuada, caracterizando-se como um sistemamecânico subatuado. Particularmente ao nosso trabalho, tem-sem> nGL−m, ou seja,há um número maior de coordenadas diretamente atuadas (ativas) do que de coordenadasindiretamente atuadas (passivas), como apresentado na figura 11.

Sendo assim, a matriz de seleção de entradaB(q), é dada por:

B(q) =

0 01 00 1

(35)

e o vetor de entradas externas de controle é dado por:

τ =

[

τ2

τ3

]

(36)

Como pode ser observado, a matriz de seleçãoB faz com que as entradas indepen-dentes de controle não apareçam concomitantemente na mesmaequação da dinâmica, ouseja, as entradas de controle não interagem diretamente em uma mesma equação. Obvia-mente que as entradas de controle interagem indiretamente no controle do sistema comoum todo.

2.5 Análise das Restrições

Conforme apresentado na seção 1.2, sistemas mecânicos subatuados, em sua grandemaioria, apresentam restrições não-holonômicas de segunda ordem. Nessa seção apresenta-se a análise das restrições existentes no modelos dinâmicosdesenvolvidos para as confi-gurações consideradas do robô bracejador.

O modelo dinâmico apresenta uma única restrição, dada pela equação:

m11q1 +m12q2+m13q3+v1 +g1 = 0 (37)

45

2.5.1 Aplicação do Teorema de Frobenius

O teorema de Frobenius apresenta condições necessárias e suficientes de integrabili-dade, as quais são independentes de coordenadas para restrições diferenciais de qualquerordem (TARN; ZHANG; SERRANI, 2003). É importante se observar que as restriçõesdiferenciais devem ser transformadas para a forma diferencial de primeira ordem.

A seguir aplica-se o Teorema de Frobenius para classificar a restrição diferencial desegunda ordem (37) presente no modelo dinâmico do robô bracejador subatuado.

Primeiramene a equação (37) deve ser transformada em equações diferenciais de pri-meira ordem, dada por:

ω11 = m11dq1+m12q2+m13dq3+h1dt (38)

A diferencialdω é dada por:

dω11 = dm11∧dq1 +dm12∧dq2+dm13∧dq3+dh1∧dt (39)

A seguir deve se calcular o produto exteriorω11∧dω11 referente à restrição. Apósmanipulação algébrica e aplicação das regras do produto exterior, chega-se à seguinteigualdade:

ω11∧dω11 = m11dq1∧ (dm12∧dq2+dm13∧dq3 +dh1∧dt)

+ m12dq2∧ (dm11∧dq1+dm13∧dq3 +dh1∧dt)

+ m13dq3∧ (dm11∧dq1+dm12∧dq2 +dh1∧dt) (40)

ω11∧dω11 6= 0 (41)

Com base nos resultados obtidos, e de acordo com o Teorema de Frobenius, a restri-ção diferencial de segunda ordem presente no modelo dinâmico para o robô bracejadorsubatuado é classificada como restrição não-holonômica de segunda ordem.

47

3 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE PARA ROBÔS BRA-CEJADORES SUBATUADOS

Nesse capítulo serão apresentadas as diversas estratégiasde controle desenvolvidaspara o controle de robôs subatuados a partir dos principais trabalhos encontrados na li-teratura técnica (seção 3.1) e, também, na seção 3.2, são apresentados os trabalhos quetratam sobre o controle de robôs bracejadores. Por fim, na seção 4 será apresentada aproposta de controle desse trabalho, baseada na estratégiade controle preditivo baseadono modelo, destacando as vantagens e desvantagens da aplicação dessa estratégia de con-trole.

3.1 Controle de Robôs Subatuados

A definição 2.2 para sistemas mecânicos subatuados apresenta certa limitação na ca-racterização de tais sistemas e, para um melhor entendimento, será utilizado como exem-plo um robô móvel não-holonômico com atuação diferencial (classe (2,0)) (CAMPION;BASTIN; D’ANDRéA-NOVEL, 1996), considerando o seu modelo cinemático:

xyθ

=

cosθ 0sinθ 0

0 1

[

νω

]

(42)

Observa-se que a dimensão do espaço de configuração é igual a 3e há somente 2 en-tradas independentes de controle, ou seja,m< nGL, e de acordo com a definição 2.2, osistema é considerado subatuado. Entretanto, devido à restrição não-holonômica presenteno modelo, as componentes do vetor de coordenadas generalizadas não são independen-tes, pois não é possível o robô se movimentar lateralmente. Sendo assim, tem-se somente2 graus de liberdade a serem controlados, o deslocamento prafrente (ou para trás) e aposição angular, o que caracteriza o sistema como sendo completamente atuado.

De modo a unificar o entendimento sobre sistemas subatuados,considerar-se-á suba-tudo todo sistema que apresentar dimensão do espaço de entradas menor que o númerode graus de liberdade a serem controlados.

De acordo com Luca (LUCA et al., 2001), a classe de robôs manipuladores subatuadosinclui robôs com elos flexíveis, robôs com juntas elásticas ou robôs com juntas passivas,os quais se apresentam como os mais difíceis de se controlar,devido a propriedades estru-turais do sistema. Observando ainda o trabalho de Luca, existem três problemas quandose considera o controle de robôs subatuados, a saber:

• planejamento de trajetória,

48

(a) Sistema construído. (b) Projeto correspondente.

Figura 12: Protótipo desenvolvido no Departamento de Controle Automático do Institutode Tecnologia de Lund.

Figura 13: Protótipo do Acrobot desenvolvido no Departamento de Eng. Elétrica e deComputação da Universidade de Toronto.

• seguimento de trajetória,

• estabilização em um ponto.

Para os dois primeiros problemas apresenta como solução o uso uma linearizaçãoexata por realimentação dinâmica de estado e para o último problema utiliza técnicas deiteractive steering.

Na literatura sobre robôs manipuladores subatuados existem dois protótipos que sãoutilizados como referência: o Pendubot (SPONG; BLOCK, 1995) e o Acrobot (SPONG,1995). O Pendubot, mostrado na figura 12, apresenta atuação na primeira junta, enquantoo Acrobot (figura 13), possui atuação na segunda junta.

A tarefa de controle desses sistemas é estabilizar o robô na posição de equilíbrio ins-tável (os dois elos alinhados verticalmente para cima), tendo como posição inicial o pontode equilíbrio estável (os dois elos alinhados verticalmente para baixo). Para tal, diversostrabalhos têm sido desenvolvidos os quais, na sua grande maioria, utilizam uma estratégiaque consiste em utilizar duas abordagens de controle para garantir a estabilização do robô.Essa estratégia de controle divide a tarefa de estabilização em duas fases, sendo que na

49

primeira o robô deve balançar até atingir a posição de referência (swing-up control). Já nasegunda fase utiliza-se um controle para garantir a estabilização do sistema, geralmente li-nearizando o modelo e aplicando alguma técnica de controle linear. Alguns dos principaistrabalhos sobre o tema são apresentados a seguir e, também, nas suas referências.

Spong (SPONG, 1994a) apresenta, para a fase de balanço do movimento, uma es-tratégia de controle baseada na linearização parcial colocada e análise da dinâmica zero;para a segunda fase do movimento utiliza a técnica de controle LQR (Linear Quadra-tic Regulator), a partir da linearização do modelo em torno do ponto de estabilização.Em (SPONG, 1994b,c) Spong apresenta resultados utilizando, dessa vez, linearizaçãoparcial não-colocada.

Técnicas inteligentes, como raciocício simbólico ou técnicas de inteligência artifi-cial, foram introduzidas na estratégia de controle. Em (DEJONG; SPONG, 1994) foramestudadas três diferentes estratégias, quais sejam:Heuristic Control(HC), ATAN e Ex-planation Based Control(EBC).

Na continuidade dos trabalhos, em (SPONG, 1995) Spong apresenta duas técnicas decontrole para a fase de balanço, uma baseado no conceito de linearização parcial e outrabaseada na energia transferida ao elo não atuado. Para a segunda fase utiliza um regu-lador linear quadrático. Xin (XIN; KANEDA, 2002) também apresenta uma estratégiabaseada na energia dos elos. A estratégia de controle baseada na energia consiste em in-jetar energia no sistema através do balanço do elo atuado em fase com o movimento doelo não-atuado, de tal forma que a energia transmitida ao elonão atuado permita que aamplitude do seu movimento seja cada vez maior.

Em (LEE; SMITH, 1994; SANCHEZ; FLORES, 2002; SMITH et al., 1997; SMITH;ZHANG; GRUVER, 1998) propõem-se o uso de Algoritmos Genéticos, DSFS (DynamicSwitching Fuzzy Systems) e Meta-Rule Techniquespara o projeto e sintonia automáticosde sistemas nebulosos para o controle de balanço do Acrobot.Em (ROSAS-FLORES;ALVAREZ-GALLEGOS; CASTRO-LINHARES, 2000) é aplicada uma transformaçãode coordenadas a fim de descrever o modelo na forma normal cascateada (cascade form).Em seguida é proposta uma estratégia de controle baseada na técnica debackstepping.

Yamada (YAMADA; YUZAWA, 2002) apresenta uma estratégia para estabilizaçãodo sistema na posição vertical para cima baseada na linearização aproximada do modelodinâmico do Acrobot. O procedimento consiste em determinaruma matriz de transforma-ção de estado que transforme aproximadamente o modelo não-linear para a forma canô-nica controlável. Em seguida, uma realimentação não-linear que lineariza o sistema éempregada, transformando a forma canônica controlável em um sistema linear estável.

Kobayashi (KOBAYASHI et al., 2002) apresenta duas estratégias distintas para oAcrobot. A primeira estratégia de controle utiliza uma única lei de controle tanto paraa fase de balanço quanto para a fase de estabilização. A idéiaé empregar técnicas LMIpara obter uma realimentação tal que o sistema linearizado,em malha fechada, seja instá-vel na posição vertical para baixo e estável na posição vertical para cima. Entretanto, talabordagem mostrou-se não realizável devido aos altos ganhos necessários. A decisão foiutilizar essa estratégia somente para a fase de balanço, empregando um regulador ótimopara a fase de estabilização na posição de equilíbrio instável. Nesse trabalho tambémapresenta a técnica de controle baseado em energia para a fase de balanço.

Zhang (ZHANG; TARN, 2003) apresenta condições condições deintegrabilidade paraas restrições não-holonômicas de segunda ordem do sistema.Para o controle utiliza line-arização parcial e controle ótimo linear quadrático. Tarn(TARN et al., 2005) utiliza umaestratégia de controle linear quadrático para a fase de balanço e apresenta a técnica de

50

regulação de saída para a fase de estabilização.Henmi (HENMI et al., 2004) considera a existência de um limite de rotação para o

segundo elo e apresenta uma estratégia de controle baseada na técnica de ginásticaFuri-dashi. Em (HENMI; DENG; INOUE, 2006), apresenta uma modificação naestratégia decontrole proposta em (SPONG; VIDYASAGAR, 1989) utilizandoa teoria de Lyapunov.

Em (MITA et al., 2002; YONEMURA; YAMAKITA, 2004) propõe-se uma estratégiade controle para a fase de balanço baseada em uma função de saída e aspectos relaciona-dos a singularidades existentes. Yazici (YAZICI; KARAMANCIOGLU, 2005) apresentauma estratégia de controle linear quadrático para estabilização robusta utilizando modelocom incerteza estruturada, utilizando análiseµ. Araki (ARAKI; OKADA; KONISHI,2005) apresenta um método para a identificação dos parâmetros do sistema baseado emUKF (Unscented Kalman Filtering)

Banavar (BANAVAR; MAHINDRAKAR, 2003) também utiliza estratégia de controlebaseada na energia fornecida para o robô atingir a posição vertical para cima e, em umvizinhança desse ponto, passa a considerar um regulador linear quadrático ótimo paraestabilização. O aspecto importante desse trabalho é a questão de otimalidade temporaldo sistema em malha fechada.

Em (PUGA; AGUILAR, 2005) encontra-se uma proposta de controle para o Acrobot,que também faz uso das duas fases de balanço e estabilização.Em ambas as fases aplica-se a estratégia de modos deslizantes, com otwisting algorithmpara garantir robustez eestabilização em tempo finito.

Algumas outras estratégias de controle desenvolvidas parasistemas subatuados comjuntas passivas consideram a presença de freios nas juntas passivas, impedindo que semovimente livremente (ARAI; TANIE; SHIROMA, 1998; KIM et al., 2001; SIQUEIRA,2004). Há, também, estratégias que consideram a ausência degravidade (HONG, 2002;SIQUEIRA; TERRA, 2002; SUZUKI; MIYOSHI; NAKAMURA, 1998; WANG et al.,2004).

Uma técnica de controle de sistemas não-lineares que tem recebido bastante atençãoda comunidade científica na aplicação em sistemas subatuados é a estratégia de controlebaseada em passividade (FANTONI; LOZANO, 2002). A idéia nessa abordagem é utili-zar as propriedade de passividade do sistema para fazer com que o sistema atinja sua órbitahomoclínica para resolver o problema deswing-upe, a partir desse momento, faz uso deum esquema de controle (LQR, por exemplo), que garanta estabilidade assintótica. Outrasestratégias de controle para sistemas não-lineares subatuados podem ser encontradas nostrabalhos indicados (AGUILAR et al., 2006; ALBU-SCHÄFFER;OTT; HIRZINGER,2005; ORTEGA et al., 2002; SHIRIAEV; KOLESNICHENKO, 2000).

3.2 Controle de Robôs Bracejadores

O primeiro trabalho sobre robôs bracejadores foi desenvolvido por Fukuda (FUKUDA;HOSOKAL; KONDO, 1991), onde ele apresenta um robô com seis elos e 5 juntas atua-das, o qual se utiliza da força gravitacional para balançar,com o objetivo de alcançar umponto mais à frente, para se deslocar horizontalmente. Tal movimento procura imitar omodo como os macacos se locomovem entre as árvores.

A proposta é estudar o comportamento do robô durante a execução de um ciclo com-pleto de movimento, levando em consideração aspectos relacionados à eficiência energé-tica do sistema. Para a realização de simulações utilizou-se um modelo linearizado paraa dinâmico do robô e se identificou as freqüências naturais domodelo, tomando-as como

51

parâmetros de amplitude para as entradas senoidais de controle.Na seqüência (FUKUDA; SAITO; ARAI, 1991) é apresentado um protótipo mais

simples, com somente dois elos e uma única junta atuada (junta 2). A idéia é gerarentradas de controle para que o robô execute o movimento sem conhecimento prévio dadinâmica do sistema. A partir de uma trajetória gerada por métodos heurísticos e por meiode repetidas execuções, uma rede neural CMAC (Cerebellar Model Arithmetic Computer)generaliza as relações dinâmicas do robô. Duas estratégiasde controle são propostas paraa tarefa de agarrar um ponto fixo de apoio: controle de trajetória e controle de direção dobraço. A estratégia consiste em deixar que movimentos largos/amplos sejam realizadospelo torque obtido a partir da rede neural treinada e, quandoa garra estiver próxima àposição desejada, o segundo controlador fique responsável pelos movimentos suaves paraaproximação da garra ao ponto de apoio e por efetivamente segurar na posição desejada.

Em (SAITO; FUKUDA; ARAI, 1993, 1994) apresenta-se uma estratégia de controleparecida, a qual utiliza excitação paramétrica somente cominformações sobre o centro degravidade no lugar da rede CMAC. Os resultados mostram que o robô é capaz de atingiro ponto desejado a partir de uma posição inicial estática e, inclusive, tendo velocidadesnão-nulas no ponto inicial, contemplando o caso em que o robônão consegue atingir oponto de apoio na primeira tentativa.

Nishimura (NISHIMURA; FUNAKI, 1996, 1998) apresenta um robô com 3 juntasrotacionais, com atuação das duas últimas juntas (a primeira junta é passiva). Utilizandolinearização extendida, considera a dinâmica do robô como sendo linear e variante notempo. Como estratégia de controle emprega a técnica de controle de estado final e apren-dizagem do erro.

Em (NAKANISHI; FUKUDA; KODITSCHEK, 1997, 1998, 2000), Nakanishi apre-senta uma estratégia de controle baseada na inversão da planta por linearização entrada/saídado sistema e, em vez de propor que o sistema siga uma trajetória de referência, pro-põe que o sistema siga uma dinâmica de referência (target dynamics). Em trabalho sub-seqüente (NAKANISHI; FUKUDA; KODITSCHEK, 1999a) apresenta uma solução parao problema de movimento com distância irregular entre os pontos de apoio na barra hori-zontal. Em (NAKANISHI; FUKUDA, 2000) apresenta solução para a situação de o robôficar solto no ar durante a transição de um ponto de apoio para outro.

Odagaki (ODAGAKI; MORAN; HAYASE, 1997) faz um estudo comparativo entreduas estratégias distintas de controle para um robô bracejador com 3 elos, sendo que aprimeira estratégia considera somente as propriedades não-lineares do modelo, ignorandoa característica de subatuação. Entretanto, a segunda estratégia utilizada leva em conside-ração tanto as características de não-linearidade quanto as de subatuação do modelo.

Na primeira estratégia de controle o modelo dinâmico é linearizado e se determina adinâmica do erro de rastreamento da postura de referência. Apartir da minimização deuma função objetivo quadrática determina-se a entrada de controle ótima. Na segundaestratégia, também utiliza-se o modelo linearizado e separa as variáveis em variáveis ati-vas (diretamente atuadas) e passivas (não-atuadas). Num primeiro momento determina-seuma trajetória de referência para as variáveis atuadas e, a partir do modelo, determina-sea trajetória de referência correspondente para as variáveis passivas. Uma vez determinadaessa trajetória para as variáveis do sistema, emprega-se a primeira estratégia de controledesenvolvida.

Hasegawa (NAKANISHI; FUKUDA; KODITSCHEK, 1999b) apresenta uma estraté-gia de controle baseada em lógica difusa, com a técnicaSelf-Scaling Reinforcement Lear-ning, aplicada a um robô bracejador com dois elos e em (HASEGAWA; FUKUDA; ITO,

52

MovimentoSwingInicial

Locomocao1

Tarefa

Avaliador

SwingPerna

RotacaoCorpo 1

EsticarPerna Perna

Encolher AlcancarBraco

Atuadores do Robo

Ambiente

ControleRealimentado

ControladorComportamental

Bracejamento

Sistema Video

Locomocaon

CoordenadorComportamental

Trajetorias desejadas

Robo

Figura 14: Estrutura do controlador baseado em comportamento hierárquico.

2000) apresenta um controlador baseado em comportamento hierárquico, cujo diagramade blocos pode ser observado na figura 14, onde propõe um algoritmo para adaptação eaprendizado para o controlador. Observa-se que nessa estratégia de controle o movimentocompleto de bracejamento é dividido em vários módulos, considerando a composição domovimento por meio da realização e coordenação de movimentos mais simples, comomover braço, esticar corpo, etc. Além disso, tem-se um sistema externo de visão queserve para alimentar o sistema com informações do movimentorealizado.

Um dos trabalhos mais recentes desenvolvidos parao controle de robôs bracejadoresé o PDAC (Passive Dynamic Autonomus Control) (FUKUDA et al., 2007), inicialmentedesenvolvido com o objetivo de controlar robôs bípedes (DOI; HASEGAWA; FUKUDA,2004). Essa técnica consiste em considerar uma restrição holonômica virtual para a juntanão atuada, a qual será expressa em relação a uma outra junta atuada do sistema, sendopossível descrever a dinâmica por um sistema autoînomo unidimensional. Além disso,utiliza um robô com 4 elos, ilustrado na figura 15, que permitea realização do movi-mento deover-hand swing, o qual consiste em deslocar o braço por cima do corpo e nãomais lateralmente, no caso deunder-swuing motion. A figura 15(a) apresenta um modelosimplificado para o robô de multilocomoção considerando somente 4 elos, permitindo quese possa variar o comprimento do elo para a realização do movimento, que é apresentadona figura 15(b).

53

(a) Modelo com 4 elos.

(b) Movimento de bracejamento idealizado.

Figura 15: Modelo de robô bracejador simplificado.

3.3 Considerações Gerais

Ao longo desse capítulo foram apresentadas as diferentes abordagens empregadas parao controle de sistemas subatuados de modo geral. Também, comparticular interesse, fo-ram mostradas as diversas estratégias de controle utilizadas para o controle de robôs bra-cejadores, com o intuito de apresentar o que foi desenvolvido pela comunidade científicaaté o momento.

De maneira geral, as diferentes técnicas de controle empregadas apresentam algumaslimitações na sua aplicação. Várias estratégias utilizam um modelo parcialmente lineari-zado para a dinâmica não-linear do sistema; outras estratégias consideram uma estruturahíbrida de controle, isto é, uma estratégia de controle paraaproximar o robô da posi-ção de equilíbrio desejada e outra para estabilizar o robô nessa posição, realizando umchaveamento entre os controladores empregados.

Para o caso de robôs bracejadores, as estratégias de controle utilizadas estão forte-mente atreladas ao tipo de movimento de bracejamento que se pretende realizar, não sendopossível executar tanto o movimento deunder-swingquanto o movimento deover-handutilizando a mesma estratégia de controle. Uma característica importante no movimentoé a distância entre os pontos de apoio, que podem ser regulares ou irregulares; entretanto,as estratégias consideram técnicas diferentes para distâncias iguais e outras técnicas paradistâncias diferentes.

Algumas estratégias de controle utilizam técnicas de inteligência artificial que neces-sitam de uma fase de aprendizado, geralmente de maneiraoffline, o que cria a necessidadede uma etapa a mais para o treinamento e ajuste de parâmetros.Além disso, tais técnicasgeram uma estrutura estática, fazendo com que a cada alteração nos parâmetros do robôseja necessária uma nova etapa de treinamento.

Além de todas as limitações já expostas, nenhuma das diferentes abordagens de con-trole apresentadas levam em consideração, para o cálculo dosinal de controle, as restri-

54

ções físicas impostas ao robô, como limite de torque fornecido por cada um dos atuadorese limite de deslocamento angular de cada junta, bem como velocidade exigida.

Uma questão importante ainda sem resposta na comunidada científica em relação aocontrole de sistemas subatuados diz respeito à estabilização do sistema em malha fechadaem uma posição final que não seja um ponto de equílibro (seja umponto de equilíbrioestável ou um ponto de equilíbrio instável). Como pode se observar, o movimento debracejamento tem por objetivo fazer com que o robô se movimente e consiga atingir alinha de sustentação, ou seja, fazer com que o robô consiga atingir um ponto que não sejaum ponto de equilíbrio.

A estabilidade demonstrada pelas diversas estratégias de controle apresentadas é va-lida somente para o caso de estabilizaçãoo em um ponto de equilíbrio (geralmente o pontode equilíbrio instável), o que não acontece quando se tem o movimento de bracejamentoao longo de uma linha.

Fica evidente, também, a necessidade de se qualificar e, se possível quantificar, ainfluência da característica de subatuação presente no robô, na tentativa de identificar oquanto essa propriedade reduz a mobilidade e a manobrabilidade do sistema.

No capítulo seguinte será descrita a estratégia MPC (Model-based Predictive Con-trol, aplicada ao controle do robô bracejador previamente ilustrado na figura 10 e melhordetalhado no capítulo 2, a qual se mostra como uma solução viável para fazer frente àsdificuldades já comentadas.

55

4 CONTROLE PREDITIVO BASEADO EM MODELO

A partir de meados da década de 1980, vários trabalhos começaram a utilizar esque-mas de controle preditivo (CAMPO; MORARI, 1987; CHEN; SHAW,1982; CLARKE;MOHTADI; STUFFS, 1987; GARCíA; PRETT; MORARI, 1989) e desdeentão essa téc-nica de controle tem sido desenvolvida e considerada em diversas aplicações práticas. Aexpressãocontrole preditivo baseado em modelo, também chamada decontrole comhorizonte móvel ouReceding Horizon (RH)(WALLER, 2000), não designa uma técnicade controle específica mas, sim, uma variedade de métodos de controle, os quais fazemuso de um modelo do processo para obter o sinal de controle, a partir da minimização deuma função objetivo.

É possível classificar os algoritmos MPC considerando-se três diferentes aspectos,quais sejam: natureza da solução obtida, modo de obtenção dasolução e qualidade da so-lução obtida. A figura 16 apresenta os três diferentes modos de se classificar um algoritmoMPC.

Considerando-se a natureza da solução a ser obtida, pode-seclassificar o algoritmoMPC em linear e não-linear. O MPC linear apresenta um sistemaa ser controlado cujadinâmica é descrita por meio de um conjunto de equações lineares. De maneira análoga,o MPC não-linear emprega um modelo não-linear para descrever a dinâmica do processoa ser controlado.

Já com relação ao modo de obtenção da solução do problema, pode se ter uma soluçãoanalítica, ou seja, a solução é expressa por uma expressão bem definida para a entrada decontrole; ou uma solução numérica, quando a entrada de controle é obtida iterativamente

Figura 16: Diferentes classificações para os algoritmos MPC.

56

por algoritmos numéricos. Geralmente a solução analítica éutilizada quando se empregaum modelo linear para descrever a dinâmica do processo. Devido à grande dificuldadede se obter uma solução analítica para o caso não-linear utiliza-se, comumente, a soluçãonumérica.

É possível, ainda, classificar os problemas MPC (tanto lineares quanto não-lineares)com relação à qualidade da solução obtida (quer seja uma solução analítica, quer sejauma solução numérica), ou seja, se a solução encontrada é umasolução ótima ou umasolução subótima. Geralmente para os casos lineares é possível encontrar uma soluçãoque seja ótima segundo algum critério, o que dificilmente ocorre quando se trata de pro-blemas não-lineares. As idéias básicas presentes na família de controladores preditivosão (CAMACHO; BORDONS, 1999):

• uso explícito de um modelo do sistema para se obter uma predição da saída dosistema em instantes futuros de tempo;

• cálculo de uma seqüência de controle que uma vez aplicadas, durante um determi-nado intervalo, ao sistema a ser controlado, minimiza o valor da função objetivo;

• estratégia recorrente, pois uma vez obtida a seqüência de controle, o primeiro ele-mento é aplicado ao sistema e, no próximo instante de amostragem, avançam oshorizontes de predição e de controle, repetindo-se o procedimento a partir de novaleitura da saída do sistema.

As diversas soluções (algoritmos) MPC diferem entre si em relação a três itens, asaber: modelo que utilizam para representar o processo, função objetivo, a qual seráotimizada e, por último, em relação ao algoritmo de otimização que será empregado. Oesquema de controle MPC apresenta-se de forma aberta, ou seja, existe uma definiçãoem alto nível do que deve ser implementado, mas deixa livre para o projetista escolher amaneira como implementar cada uma das etapas do esquema de controle, de modo quevários trabalhos têm sido desenvolvidos e amplamente aceitos tanto pela academia quantopela indústria.

Existem várias aplicações em que se emprega o MPC de modo satisfatório, dentre asquais destacam-se trabalhos em controle de processos ((LIMÓN; ÁLAMO; CAMACHO,2003; MHASKAR; EL-FARRA; CHRISTOFIDES, 2005; TIAGOUNOV; WEILAND,2003; WAN; KOTHARE, 2004; WANG; THOMAS, 2006)) e controle derobôs ((GU;HU, 2005; LAGES; ALVES, 2006; OLIVEIRA KOTHARE; MORARI, 2000; SHIM;KIM; SASTRY, 2003; WESSELOWSKI; FIERRO, 2003)). Os bons resultados obtidosnessas diversas aplicações mostram a capacidade do MPC em conseguir alta eficiênciaem controle de sistemas mecânicos.

Em relação a outros métodos de controle, destacam-se como principais vantagems doMPC:

1. pode ser utilizado para controlar diferentes tipos de processos, desde sistemas comdinâmicas bem comportadas a sistemas mais complexos, incluindo sistemas comatraso, de fase não-mínima e instáveis;

2. pode ser facilmente modificada para o caso multivariável;

3. trata restrições de modo direto, as quais podem ser incluídas de modo sistemáticodurante o projeto;

57

4. é uma metodologia totalmente aberta, baseada em certos princípios básicos, o quepermite constantes melhorias.

Logicamente essa estratégia apresenta algumas desvantagens. Embora essa estratégiade controle pareça, num primeiro momento, ser de fácil implementação, tal impressãonão se confirma quando da implementação do esquema de controle. Faz-se necessário umgrande esforço para encontrar a solução do problema de otimização e uma grande expe-riência para o ajuste dos parâmetros de ponderação da funçãoobjetivo, uma vez que nãoexiste um método para sua obtenção. Quando se considera, para a solução do problemade otimização, as restrições impostas ao sistema, a carga computacional é ainda maiordo que o caso mais simples, desconsiderando as restrições. Todavia, como a capacidadecomputacional disponível atualmente é cada vez maior, tal desvantagem tende a ser cadavez menos importante.

Apesar disso tudo, a principal desvantagem ainda é a necessidade de um modelo apro-priado que descreva o comportamento do processo de forma precisa. O algoritmo desseesquema de controle baseia-se no conhecimento a priori do modelo, sendo óbvio que osresultados serão afetados por discrepâncias existentes entre o modelo teórico e o processoreal.

k−2 k−1 k k+1 k+2 k+3 k+4 k+5 k+6 k+N

x⋆(k)

x⋆(k+1)

x⋆(k+2)

x⋆(k+3)

x⋆(k+4)

x⋆(k+5)

x⋆(k+6) x⋆(k+N)

u⋆(k)

u⋆(k+1)

u⋆(k+2)u⋆(k+3)

u⋆(k+4)

u⋆(k+5)

u⋆(k+N)

Re f.

Figura 17: Princípio de funcionamento do MPC.

Na figura 17) apresenta-se a aplicação de um algoritmo de controle baseado na estra-tégia MPC a um sistema dinâmico, com a finalidade de gerar uma lei de controle ótimau⋆

que conduza o sistema às posiçõesx⋆, permitindo que o sistema se estabilize na posiçãode referência desejada.

A metodologia de todos os controladores pertencentes à família de MPC apresenta aseguinte estratégia:

1. saídas futuras para um determinado horizonteN, geralmente chamado dehorizontede predição, são preditas a cada instantet, utilizando-se o modelo. Essas saí-dasy(t + k|t), parak = 1, . . . , N, dependem de valores conhecidos (entradas esaídas passadas) até o instantet e de valores futuros de controleu(t + k|t), parak = 0, . . . , N−1;

58

2. o conjunto de valores futuros de controle é calculado pelaotimizacão de um critériopré-determinado, a fim de manter o processo o mais próximo possível da trajetóriade referência;

3. o sinal de controleu(t|t) é aplicado ao processo e os demais valores deu(t +k|t) sãodescartados, pois no próximo instante de amostragemy(t +1) já é conhecido e ospassos 1, 2 e 3 são repetidos com este novo valor. Assimu(t +1|t +1) é calculadoutilizando o conceito de horizonte deslizante (em princípio o valor será diferente deu(t +1|t)).

De maneira geral, um algoritmo MPC no instante de tempo inicial, recebe as informa-ções sobre o sistema e atualiza as variáveis. Com base nessasinformações atualizadas, opróximo passo é a predição das futuras ações de controle, a partir da otimização da fun-ção objetivo projetada. Ao final da fase de predição das entradas de controle, escolhe-se oprimeiro elemento da seqüência ótima de controle obtida e aplica-se no sistema. A partirdaí o procedimento se repete, até ser alcançada a estabilização do sistema.

A estrutura geral e os passos da estratégia MPC podem ser observados e melhor en-tendidos por meio da figura 18.

?

Função Objetivo

Problema de Otimização

?

?

-

?

?

?

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQk

Instante de Tempo Atual

Atualização das Informações

Aplicar a melhor açãode controle atual

Próximo instante de tempo

Predição das Ações

de Controle

Figura 18: Visão geral do esquema de controle preditivo.

O modelo do processo tem um papel decisivo nessa estratégia de controle. Ele deve sersimples de se implementar e, ainda assim, ser capaz de capturar a dinâmica do processo,para que as predições dos valores futuros da saída do sistemaseja o mais fiel possível

59

às respostas do processo. O modelo de predição é um dos componentes da metodologiaMPC que apresenta variações. Assim, diferentes tipos de modelos são utilizados nesseesquema de controle, de maneira adequada à aplicação.

Em aplicacões na indústria, geralmente emprega-se a resposta truncada à entrada im-pulso, devido a sua simplicidade. Semelhantemente, tem-sea resposta à entrada degrau.Já para desenvolvimentos acadêmicos é bastante comum encontrar o uso da funcão detransferência como modelo; mais adequado aos casos multivariáveis tem-se o modelo noespaco de estado. Como já mencionado anteriormente, o MPC não é uma técnica única e,sim, um conjunto de diferentes implementacões de uma mesma estratégia.

Na figura 19 tem-se um diagrama de blocos do funcionamento geral da estratégia decontrole MPC. Observa-se nesse diagrama que a predição das saídas futuras, dentro dohorizonte de predição, dependem das entradas e das saídas passadas (já obtidas anteri-ormente), além das entradas futuras. As entradas futuras, por sua vez, serão conhecidasatravés da otimização da função objetivo especificada, levando em consideração a exis-tência de possíveis restrições. O erro entre as saídas futuras encontradas e a referênciatambém serão utilizadas na solução do problema de otimização.

Predição de

Erros Futuros

Restrições

Referência

FunçãoObjetivo

Modelo

Não-linear

Não-linear

Entradas

Entradas

Futuras

Saídas Passadas

Otimização

Predição das

Saídas Futuras

Figura 19: Estrutura genérica da estratégia de controle preditivo.

4.1 Formulação do Problema MPC

Os elementos básicos presentes em todos os controladores preditivos baseados emmodelo são: modelo de predição, função objetivo e cálculo daação de controle. O modelode predição é a parte central da estratégia MPC, devido à importância de se predizer assaídas futuras do sistema. No esquema proposto neste trabalho, o modelo no espaço deestado é utilizado como modelo de predição, mas em diferentes esquemas de MPC, outrosmodelos são podem ser utilizados (CAMACHO; BORDONS, 1999).A função objetivo

60

define o critério de otimização, a fim de garantir a geração de uma seqüência de controleque governe o sistema do modo desejado.

Considere um modelo dinâmico genérico não-linear dado por:

x(t) = f (x(t),u(t)) (43)

e a sua versão discretizada, expressa por:

x(k+1) = fd(x(k),u(k)) (44)

ondex(·) é o vetor de estado eu(·) é o vetor de entradas de controle.A função objetivo a ser minimizada assume, em geral, a seguinte forma:

Φ(k) =N

∑j=1

xT(k+ j|k)Qx(k+ j|k)+uT(k+ j −1|k)Ru(k+ j −1|k) (45)

ondeN é o horizonte de predição eQ ≥ 0 e R ≥ 0 são matrizes de ponderação quepenalizam, respectivamente, o erro de estado e o esforço de controle.

Uma função objetivo modificada, proposta por (ESSEN; NIJMEIJER, 2001), é apre-sentada a seguir:

Φ(k) =N

∑j=1

xt(k+ j|k)Q( j)x(k+ j|k)+ (46)

+N

∑j=1

τT(k+ j −1|k)R( j)τ(k+ j −1|k)+ (47)

+ Ω(x(k+N|k))) (48)

com

Q( j) = 2 j−1Q

Ω(x(k+N|k)) = xT(k+N|k) P x(k+N|k), P≥ 0 (49)

onde a matriz de ponderação Q(j) cresce de modo exponencial durante o horizonte deprediçãoN e Ω(x(k+ N|k)) é o chamado custo terminal, sendoP uma matriz tal queaumenta o peso dos estados no final do horizonte de predição, na tentativa de fazer comquex(k+N|k) se aproxime da posição desejada.

Segundo (CAMACHO; BORDONS, 1999), em qualquer aplicação prática, o sistemacomo um todo sempre estará sujeito a restrições, na sua maioria classificadas em trêsdiferentes tipos, quais sejam:

a) limites físicos,

b) limites de segurança e

c) limites operacionais.

Os limites físicos dizem respeito a restrições mecânicas, resultado da própria constru-ção do equipamento, por exemplo chaves fim de curso. É evidente que esses limites nãopodem ser violados sem causar danos ao sistema. Já os limitesde segurança devem serobedecidos a fim de não estressar o próprio equipamento e, também, para evitar acidentescom operadores próximos ao local de operação.

61

Por fim, tem-se os limites operacionais, que estão diretamente relacionados ao modode funcionamento do sistema e ao seu desempenho. Esses limites podem ser violados,eventualmente, a fim de evitar algum acidente com os operadores ou mesmo para evitaralgum problema mecânico no sistema.

Todos esses tipos de limites existentes em situações práticas podem ser expressoscomo restrições tanto na variável de estado quanto nas variáveis de controle do sistema.Em geral as restrições relacionadas à variável de estado dizem respeito a limites físicos,mas limites de segurança e operacional podem gerar restrições no estado. Já restriçõesconcernentes à variável de controle podem ser impostas por limites operacionais relativos,por exemplo, ao torque máximo do atuador ou então para evitarvariações bruscas no sinalde controle, aumentando a vida útil do sistema mecânico.

Considerando-se o fato de que todo sistema real se encontra sob alguma restrição (porexemplo, limites físicos), definem-se as seguintes expressões gerais de restrição:

x(k+ j|k) ∈ X , j ∈ [1,N]

u(k+ j|k) ∈ U , j ∈ [0,N]

ondeX é o conjunto convexo fechado de todos os valores possíveis para x eU é o con-junto convexo fechado de todos os valores possíveis parau. Supondo que tais restriçõessejam lineares em relação ax e u, pode se escrever:

Cx(k+ j|k) ≤ c, j ∈ [1,N] (50)

Du(k+ j|k) ≤ d, j ∈ [0,N] (51)

Assim, o problema de otimizaçãoP(k,x(k)), a ser resolvido a cada instante de amos-tragemk, consiste em encontrar a seqüência de controleu∗ e a seqüência de estadox∗ taisque minimizem a função objetivoΦ(k), obedecendo às restrições impostas, isto é:

P(k,x(k)) = argminu,x

Φ(k) (52)

sujeito a:

x(k|k) = x0 (53)

x(k+ j|k) = fd(x(k+ j −1|k),u(k+ j −1|k)), j ∈ [1,N] (54)

Cx(k+ j|k) ≤ c, j ∈ [1,N] (55)

Du(k+ j|k) ≤ d, j ∈ [0,N] (56)

ondex0 é o valor dex no instantek.O problema de otimização (52)–(56) é resolvido para cada instante de amostragem,

resultando na seqüência ótima de controle, dada por:

u∗ = u∗(k|k),u∗(k+1|k), . . . ,u∗(k+N|k) (57)

e a seqüência ótima de estado é dada por:

x∗ = x∗(k+1|k), . . . ,x∗(k+N|k) (58)

com um custo ótimoΦ∗(k). Assim, a lei de controle definida pelo MPC é implicitamentedada pelo primeiro termo da seqüência ótima de controle:

h(δ ) = u∗(k|k) (59)

ondeh(δ ) é contínua e constante durante o intervalo de amostragemT.Por fim, a figura 20 apresenta o diagrama de blocos do esquema decontrole MPC

proposto nesse trabalho.

62

n? ?

-

6

-- -

6

MPCRestrições

τ

Objetivo

Entradas eSaídas Passadas

Predição das

Erro

Saídas Futuras

Otimização

EntradasFuturas

ModeloNão-linear

Ref. Robôx = (q, q)

Figura 20: MPC com modelo não-linear de predição.

4.2 Análise de Estabilidade

Ao longo dos últimos anos uma das técnicas avançadas de controle mais freqüen-temente empregadas na indústria é o MPC (ou RH), que foi projetada para tratar comproblemas de otimização sujeitos a restrições. Devido ao horizonte de controle móvel, aestabilidade se torna um dos principais problemas dessa estratégia de controle. De acordocom a classe de MPC que se deseje estudar (conforme mostra a figura 16), a análise daestabilidade é realizada de maneira diferente.

A análise de estabilidade de sistemas em malha fechada utilizando a estratégia decontrole preditivo não é uma tarefa simples, devido ao fato de não haver uma expressãoanalítica para o sinal de controle calculado, uma vez que depende da solução ótima obtidadurante a etapa de otimização em relação à função custo. Tal otimização se apresentacomo um problema não convexo (para o caso não-linear), o qualpode apresentar umasolução subótima (localmente ótima) ou mesmo não ser possível encontrar uma soluçãopara o problema. Quando empregado para o controle de sistemas lineares, tem-se umproblema convexo, o qual pode ser resolvido por meio de programação quadrática, sendopossível obter expressões analíticas para a solução, com umtempo de processamentomuito menor.

Considerando-se o MPC com horizonte infinito de predição é possível garantir a esta-bilidade, mesmo quando aplicado ao controle de sistemas não-lineares. Contudo, a cargacomputacional exigida para esse caso é intratável para qualquer aplicação real.

Agora, tendo em vista o caso de MPC com horizonte finito de predição, pode-se ga-rantir a estabilidade impondo a restrição de que o estado terminal do horizonte seja nulo.Para tal restrição, além de se utilizar muito tempo de processamento para ser satisfeita,pode não ser possível encontrar uma solução que a satisfaça em um número finito deiterações.

Trabalhos mais recentes (GU; HU, 2005) mostram que a equaçãode restrição no es-tado terminal pode ser relaxada pela inclusão na função custo de um termo de ponderaçãodo estado terminal, transformando a restrição em uma inequação, ou seja, deseja-se queo estado terminal chegue ao final do horizonte de predição dentro de uma determinada

63

região. A condição para que seja aplicada tal relaxação é queseja possível determinaruma lei de controle qualquer linear para a região de interesse, garantindo, assim, que atrajetória do sistema de moverá para dentro da região após o horizonte finito de controle.

Vários são os trabalhos que apresentam desenvolvimentos teóricos que demonstram aestabilidade de sistemas controlados por MPC (EL-FARRA; MHASKAR; CHRISTOFI-DES, 2003; JUNG; WEN, 2004; LIMÓN; ÁLAMO; CAMACHO, 2006), além de carac-terísticas de robustez a perturbações e incertezas paramétricas.

A seguir será demonstrada a estabilidade desses sistemas, tendo como base o desen-volvimento apresentado em (OLIVEIRA KOTHARE; MORARI, 2000), que utiliza umarestrição final no estado (restrição contractiva). Antes, porém, algumas consideraçõesserão expostas.

Consideração 4.1(x,u) = (0,0) é um ponto de equilíbrio do sistema, isto é, f(0,0) = 0.

Consideração 4.2A linearização do modelo dinâmico em torno da origem é estabilizá-

vel, ou seja:

∂ f∂x(0,0), ∂ f

∂u(0,0)

é um par estabilizável.

Consideração 4.3Considera-se que existe uma constanteρ ∈ (0,∞), tal que ∀xk ∈Bρ := x∈ Rn| ‖ x ‖< ρ, de tal modo que o problema de otimização no instante tk sejarealizável.

Consideração 4.4Assume-se que se xk ∈ Bρ , ∀k > 0, então existe uma constanteβ ∈(0,∞) tal que os estados transientes do modelo utilizado para o cômputo da restriçãocontractiva permanece dentro da região Bρ‖xk‖, isto é,

‖ xk(t) ‖≤ β ‖ xk ‖≤ βρ, ∀i = 0, . . . ,N−1, k≥ 0

Definição 4.1 A partir da consideração 4.3, tem-se que o conjunto alcançável é dadopor:

X ,

x(t, t0,x0,u), t ∈ [t0,∞), x0 ∈ Bρ , u∈ U

(60)

sendo x(t, t0,x0,u) a trajetória da dinâmica não-linear no instante k, posição inicial x0 eentrada de controle u(δ ), comδ ∈ [t, t +NT].

Teorema 4.1 Seja a dinâmica do sistema a ser controlado dada pela expressão 43 edadosα ∈ [0,1) e ρ,β ∈ (0,∞), satisfazendo as considerações 4.3 e 4.4, o esquema decontrole MPC estabiliza exponencialmente o sistema em malha fechada na região Bρ ,para qualquer x0 ∈ Bρ . A trajetória resultante satisfaz a inequação:

‖ x(t) ‖≤ a ‖ x0 ‖ e−(1−α)t−t0NT (61)

com a≥ βe1−α .

Prova:Com base na consideração 4.3 tem-se que problemas de otimização na formaP (ex-

pressão 52) são realizáveis para todas as condições iniciais x0 ∈ Bρ . Desse modo, as

64

restrições 50 e 51 a que o problema de otimização esá sujeito são satisfeitas a cada ins-tante de amostragemk. Na ausência de perturbações e dinâmicas não-modeladas tem-seque:

‖ x(k) ‖≤ αk ‖ x0 ‖, ∀k≥ 0 (62)

e, portanto, para todoi ∈ [t, t +NT], a soluçãoxk satisfaz a relação:

‖ x(k) ‖≤ βαk ‖ x0 ‖, ∀i ≥ 0 (63)

Assim, uma vez queeα−1 ≥ 0⇐⇒ αk ≤ e−(1−α)k, ∀α ∈ [0,1) e∀k≥ 0, resulta em:

‖ x(k) ‖ ≤ ‖ x0 ‖ e−(1−α)k (64)

‖ x(k) ‖ ≤ β ‖ x0 ‖ e−(1−α)k (65)

Observa-se que as expressões 64 e 65 são independentes do critério de desempenho,o qual somente influencia na questão de realização do problema de otimização. Casoo problema seja realizável, a estabilidade é determinada exclusivamente pela restriçãocontractiva.

Maiores detalhes sobre estabilidade exponencial e a demonstração de que a funçãoobjetivo pode ser empregada como Função de Lyapunov para análise de estabilidade sãoapresentados em (OLIVEIRA KOTHARE; MORARI, 2000).

4.3 Abordagem MPC Linear

Nas seções anteriores desse capítulo apresentou-se a estratégia MPC utilizando ummodelo não-linear da dinâmica do sistema para o horizonte depredição. Tal abordagemmostra-se, do ponto de vista da carga computacional exigida, muito dispendiosa devidoao fato de ter que resolver um problema de otimização não-convexa por meio de progra-mação não-linear. Há o fato de que esses problemas apresentam um grande número devariáveis de decisão e, não raramente, é impossível encontrar um mínimo global comosolução. Considerando-se o caso geral, em que tanto a funçãoobjetivo quanto as restri-ções podem ser funções não-lineares do estado e das entradasde controle, tem-se o maisdifícil problema de otimização.

Além dessas dificuldades apresentadas, não há um consenso sobre qual o melhor mé-todo para ser utilizado na solução desse tipo de problema. Métodos globais, como pena-lização e funções de contenção, apresentam o problema de grande demandar por recursoscomputacionais e do longo tempo para obtenção da solução. Como alternativa tem-se osmétodos locais, os quais apresentam um bom desempenho quando no entorno da solução.

Devido às várias dificuldades inerentes à solução de problemas programação não-linear e ao fato de o esquema de controle MPC requerer que o problema de otimizaçãoseja resolvido a cada período de amostragem, deve-se procurar uma implementação quegaranta a obtenção da solução em um número finito de passos. É conhecimento comumque tanto programação linear quanto programação quadrática satisfazem essa condição,de obter a solução do problema em um número finito de passos. Umproblema de progra-mação quadrática é um problema de otimização em que a função objetivo é uma funçãoquadrática e as restrições são funções lineares.

Assim, esse é o motivo pelo qual introduz-se nessa seção o desenvolvimento da ver-são do MPC empregando um modelo linearizado para a dinâmica durante o horizonte

65

τr

τ⋆

τ⋆

xr

x

x

ROBÔ DE

REFERÊNCIA

MPC

ROBÔ MÓVEL

Figura 21: Robô virtual utilizado como referência.

de predição. Essa linearização é feita a partir de um modelo para a dinâmica do erroentre a trajetória realizada pelo robô e a trajetória de referência, previamente calculada.Considera-se, num primeiro momento, a existência de um robôvirtual de referência, oqual apresenta uma dinâmica similar ao sistema real, e que será utilizado para gerar atrajetória de referência, como ilustrado na figura 21.

Assim, seja a dinâmica do sistema virtual de referência dadapor:

xr = fr(xr ,τr) (66)

sendoxr o vetor de estado de referência eτr o vetor de torques de referência.O diagrama de blocos completo da estratégia de controle MPC utilizando um modelo

linearizado para a dinâmica do sistema durante o horizonte de predição é apresentado nafigura 22.

nn n?

--

?

-

6

--?

- -

6

MPCRestrições

Predição das

Erro

Saídas Futuras

ModeloLinearizado

LinearOtimização

τre f

Entradas eSaídas Passadas

τx

EntradasFuturas

xre f

Objetivo x =

[

qq

]

Robô

Figura 22: MPC com modelo linearizado de predição.

A idéia baseia-se na técnica de linearização sucessiva, quepermite descrever o sistemanão-linear através de um sistema linear variante no tempo. Considerando as entradasde controle como variáveis de decisão é possível transformar o problema de otimização

66

que deve ser resolvido a cada período de amostragem em um problema de programaçãoquadrática. Para a solução desse tipo de problema existem diversos algoritmos numéricosrobustos que permitem encontrar solução ótima global.

A dinâmica linearizada para o sistema pode ser obtida expandindo-se o lado direiroda equação (43) em série de Taylor em torno do ponto(xr ,τr) e descartando os termos demais alta ordem, obtém-se:

x = f (xr ,τr)+∂ f (x,τ)

∂x

∣

∣

∣

∣x=xrτ=τr

(x−xr)+∂ f (x,τ)

∂τ

∣

∣

∣

∣x=xrτ=τr

(τ − τr) (67)

ou

x = f (xr ,τr)+Fx,r(x−xr)+Fτ,r(τ − τr) (68)

ondeFx,r eFτ,r são os jacobianos def com relação ax e com relação aτ, respectivamente,avaliada no ponto de referência(xr ,τr).

Agora, subtraindo (66) de (68) tem-se:

˙x = Fx,r x+Fτ,r τ (69)

ondex, x−xr é o erro de seguimento da referência eτ , τ−τr é a perturbação associadaà entrada de controle.

A discretização de (69) pode ser obtida utilizando-se o método das diferenças finitas,resultando em:

x(k+1) = A(k)x(k)+B(k)τ(k) (70)

com

A(k) = In×n +TFx,r(k) (71)

B(k) = Tfτ,r(k) (72)

Considerando o sistema linear do erro (70), torna-se possível considerar o problemade otimização como um problema de otimização linear e, portanto, resolvível por meiode programaçao quadrática. Assim, define-se os seguintes vetores:

x(k+1) =

x(k+1|k)x(k+2|k)

. . .x(k+N|k)

τ(k) =

τ(k|k)τ(k+1|k)

. . .τ(k+N−1|k)

A função objetivo pode ser apresentada como:

Φ(k) = xT(k+1)Q x(k+1)+ τT(k)R τ(k) (73)

67

com

Q =

Q 0 . . . 00 Q . . . 0...

......

...0 0 . . . Q

R =

R 0 . . . 00 R . . . 0...

......

...0 0 . . . R

É possível reescrever a equação (70) na forma:

x(k+1) = A(k)x(k)+B(k)τ(k) (74)

ondeA(k) eB(k) são dados por:

A(k) =

A(k|k)A(k+1|k)A(k|K)

...α(k,2,0)α(k,1,0)

B(k) =

B(k|k) 0 . . . 0A(k+1|k)B(k|k) B(k+1|k) . . . 0

......

......

α(k,2,0)B(k|k) α(k,2,2)B(k+1|k) . . . 0α(k,1,0)B(k|k) α(k,1,0)B(k+1|k) . . . B(k+N−1|k)

com

α(k, j, l) =l

∏i=N− j

A(k+1|k)

Considerando as equações (73) e (74), após manipulação algébrica, é possível rees-crever (45) como:

Φ(k) =12

τTH(k)τ(k)+ f T(k)τ(k)+g(k) (75)

com

H(k) , 2(BT(k)Q B(k)+R)

f (k) , 2(BT(k)Q A(k)x(k|k)

g(k) , x(k|k)AT(k)Q A(k)x(k|k)

O termo quadrático é descrito pela matriz Hessiana positivadefinidaH(k), a partelinear é descrita pelo vetorf (k) e o termog(k), que é independente deτ, pode ser ignorado

68

para o problema de otimização. Além disso, pode se redefinir afunção objetivo comosendo:

Φ′(k) =

12

τTH(k)+ τ(k)+ f T(k)τ(k) (76)

colocando-a na forma padrão utilizada em problemas de QP (programação quadrática).A principal vantagem de expressar o problema de minimizaçãona forma quadrática

padrão é permitir a utilização de algoritmos de programaçãoquadrática, uma vez quetais algoritmos são muito eficientes e, ademais, existem vários pacotes computacionaisdisponíveis para a solução deste tipo de problema.

A estratégia de controle preditivo baseado em modelo está baseada na suposição deque, para um pequeno horizonte de predição, o comportamentodo modelo de predição eo sistema real controlado serão iguais, isto é, para que tal situação aconteça, é necessárioque a diferença de comportamento entre as duas dinâmicas, tanto do modelo de prediçãoquanto do sistema real, seja a mínima possível.

Assim, o problema de otimização a ser resolvido a cada período de amostragem édado por:

τ⋆ = argminτΦ′

(k) (77)

sujeito a:Dτ(k+ j|k) ≤ d, j ∈ [0,N−1] (78)

De acordo com a função objetivo (75), a única variável de decisão para o problemade otimização (77) a ser resolvido é a variável de controleτ. Obviamente, para qualquersistema real as entradas de controle estão sujeitas a limites físicos. Com o intuito deevitar grandes diferenças entre as dinâmicas do modelo e do sistema real, tais restriçõesdevem ser consideradas para o cômputo do sinal de controle durante o procedimento deotimização.

Definem-se as restrições a partir dos limites máximo e mínimopara as variáveis decontrole:

τmin≤ τ ≤ τmax (79)

Como a variável livre no processo de otimização é a variávelτ, a expressão (51) deveser reescrita sob a forma:

[

I−I

]

τ ≤

[

τmax

−τmin

]

τmin− τr(k+ j) ≤ τ(k+ j) ≤ τmax− τr(k+ j)

Observa-se que o estado de predição é descrito em função da seqüência ótima a sercomputada, é fácil mostrar que as restrições de estado também podem ser descritas gene-ricamente pela expressão (78). Além disso, pode-se formular da mesma forma restriçõesna taxa de variação das entradas de controle e estado.

A utilização da estratégia de controle MPC com modelo linearizado para prediçãotorna mais fácil, do ponto de vista computacional, a obtenção solução do problema deotimização, o qual agora torna-se um problema de otimizaçãolinear. Entretanto, a análisede estabilidade torna-se uma tarefa muito mais complexa devido à diferença entre o mo-delo considerado e o sistema real a ser controlado. Sabe-se que a dinâmica de um modelonão-linear a s dinâmica do modelo linearizado em torno de um ponto de equilíbrio conver-gem localmente entretanto, embora se esteja realizando a linearização em torno de pontostransitórios (pontos que não são de equilíbrio), as trajetórias não-linear e linear podem

69

estar bastante próximas uma da outra se o período de amostragem for suficientementepequeno (OLIVEIRA KOTHARE; MORARI, 2000).

71

5 IMPLEMENTAÇÃO E RESULTADOS

No capítulo 4 foi apresentada a abordagem de controle preditivo baseado em modelonão-linear (NMPC) e, também, a abordagem de controle preditivo baseado em modelolinear (LMPC), que emprega um modelo linearizado durante o horizonte de predição. Nocapítulo 3 foram expostos várias estratégias de controle utilizadas em diferentes trabalhospara o controle de robôs bracejadores, para a realização de diferentes movimentos.

Apesar dessas diversas estratégias de controle conseguirem fazer com que o robô bra-cejador realize o movimento, cada estratégia de controle era empregada somente para umatarefa específica, sendo difícil ver a mesma estratégia sendo ajustada, de maneira direta esimples, de tal modo que fosse possível permitir que o robô bracejador executasse maisde um tipo de movimento.

Além dessa dificuldade em se realizar diferentes tipos de movimento, os vários esque-mas de controle não levavam em consideravam, durante o cálculo do sinal de controle,as diversas restrições que estão presentes, sejam restrições estruturais, como por exem-plo a característica de não-atuação e torque máximo de cada motor ou, então, restriçõesimpostas, no caso de deslocamento e velocidade angular máximos de cada junta.

Outra característica comum às diversas abordagens apresentadas para o controle derobôs bracejadores é o fato de não apresentarem aspectos de otimalidade no procedimentode obtenção da solução do problema de controle

Diante das limitações expostas acima das diversas estratégias de controle, nessa seçãoapresenta-se diferentes simulações que permitem avaliar evalidar a aplicação da estraté-gia de controle preditivo baseado em modelo (MPC) para o controle do robô bracejadorapresentado no capítulo 2. Diferentemente das outras abordagens de controle para robôsbracejadores, a estratégia MPC permite tratar, de maneira direta, as várias restrições a queo sistema a ser controle possui e, também, possibilita a obtenção de uma solução ótima,ou mesmo subótima, para o problema de minimização da função objetivo, o que gera umalei de controle ótima, ou mesmo subótima.

Os resultados apresentados na seção 5.2.1 a seeguir são referentes à utilização do MPCnão-linear tendo como referência um ponto fixo. Em seguida, na seção 5.2.2 apresentam-se os resultados da aplicação do MPC não-linear utilizando-se uma trajetória de referênciaa ser percorrida. Já na seção 5.2.3 tem-se os resultados paraa simulação do MPC empre-gando modelo linearizado para o horizonte de predição, sendo o objetivo o seguimento deuma trajetória de referência.

Além dessas simulações, que permitem possibilitam perceber a aplicabilidade da es-tratégia MPC para o controle de robôs bracejadores, nas duasseções subseqüentes apresentam-se duas diferentes situações que corroboram a capacidade doMPC não-linear para o con-trole do robô subatuado na execução do movimento de bracejamento. Na seção 5.2.4mostra-se os resultados referente à simulação da situação em que o robô bracejador não

72

obtém êxito na execução do movimento e falha ao tentar atingir a linha horizontal naprimeira tentativa e, após realizar um movimento deswing, o robô bracejador conseguerealizar o movimento completo. A segunda situação consistesimplesmente em alteraras restrições de amplitude das variáveis de junta a fim de permitir que o robô bracejadorpossa executar o movimentoover-hand, no qual os braços do robô se movimento por cimado corpo e não por baixo, no caso convencional de bracejamento comswing.

Por último, nas seções 5.3.1 e 5.3.2, apresentam-se os resultados referentes às simu-lações, em tempo real, das abordagens MPC não-linear e com modelo linearizado. Apartir da análise do tempo requerido para a obtenção do sinalde controle com relação aoperíodo de amostragem, se poderá avaliar a viabilidade de implementação prática dessastécnicas de controlesão apresentados os resultados das simulações em tempo real.

5.1 Controle do Robô Bracejador

O modelo dinâmico apresentado no capítulo 2 (equação 6), é reescrito aqui na formade espaço de estado, a saber:

x(t) = f (x)+g(x)u (80)

ondex = [θ θ ]T é o vetor de estado,

f (x) =

[

θ−M−1(x)

[

V(x)θ +G(x)+Fv(x)]

]

(81)

e

g(x) =

[

0M−1(x)B

]

(82)

De acordo com as equações do esquema NMPC apresentado, faz-se necessário des-crever a dinâmica do sistema (80) de forma discreta. Assim, osistema contínuo pode serdiscretizado empregando-se o método de Euler, assumindo a seguinte forma:

x(k+1) = x(k)+T ( f (k)+g(k)u(k)) (83)

sendoT o período de amostragem.As restrições do sistema descritas por (50) e (51) são consideradas sob a forma:

D =

[

I−I

]

, d =

[

τmax

τmax

]

e

C =

[

I−I

]

, c =

θmax

θmax

θmax

θmax

sendoτmax o torque máximo de cada atuador,θmax o deslocamento angular máximo eθmax a velocidade angular máxima de cada junta.

A seguir serão apresentados os resultados obtidos em simulação para o robô brace-jador mostrado na figura 23, com atuação nas juntas 2 e 3 e, paracada simulação, serãodefinidas os valores dos limites impostos pelas restrições eos parâmetros ajustados docontrolador MPC empregado.

Os parâmetros da dinâmica do robô utilizados em todas as simulações são mostradosna tabela 2

73

y0

x0

y1

x1

y2

x2

y3

x3

m1l1

m2l2

m3l3

θ1

θ2

θ3

Figura 23: Robô bracejador utilizado nas simulações.

Tabela 2: Parâmetros da dinâmica do robô.Parâmetro Unidade Elo 1 Elo 2 Elo 3

Massa Kg 3,5 3,5 10,0Comprimento m 0,64 0,64 0,85Atrito Viscoso Nm/rad/s 0,02 0,02 0,14

Atrito de Coulomb Nm/rd 0,02 0,02 0,45

5.2 Simulação

As simulações apresentadas nas seções 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3 e5.2.5 foram implemen-tas utilizando o softwareMatlab c© v7.4.0.336 (R2007a), executado em um processadorIntel c© Centrino Core2 Duo 1.8GHz. Já na seção 5.3 mostra-se os resultados de simulaçãoem tempo-real.

Nas implementações referentes ao MPC não-linear utilizou-se a funçãofminconcomo método para resolver o problema de otimização não-linear. Já para as simulaçõesreferentes ao MPC com modelo linearizado foi utilizada a funçãoquadprog para asolução do problema de otimização linear.

Nas simulações apresentadas nas seções (5.2.1)–(5.2.5) será utilizada a seguinte fun-ção objetivo

Φ(k) =N

∑j=1

xT(k+ j|k)Q( j)x(k+ j|k)+ (84)

+N

∑j=1

τT(k+ j −1|k)R( j)τ(k+ j −1|k)+ (85)

+ xT(k+N|k) P x(k+N|k) (86)

comQ( j) = 2 j−1Q, de acordo com (48). Entretanto, nas simulações de tempo real optou-se por utilizar a função objetivo convencional, dada pela expressão (45), já que a função

74

objetivo modificada requer mais tempo para a solução do problema de otimização.

Φ(k) =N

∑j=1

xT(k+ j|k)Qx(k+ j|k)+ τT(k+ j −1|k)Rτ(k+ j −1|k) (87)

Os resultados a seguir apresentam o comportamento das variáveis de posição angulare de velocidade angular para cada uma das juntas ao longo da realização do movimentopara cada simulação. Além das variáveis de junta serão apresentados os valores de torquescalculados para a execução do movimento desejado.

5.2.1 Simulação 1: Modelo Não-linear – Ponto de Referência

Nessa seção apresenta-se os resultados da simulação utilizando o MPC com modelonão-linear, tendo como objetivo fazer com que o robô bracejador se movimente de talmodo a atingir a linha horizontal em uma posição mais à frente, realizando o movimentode bracejamento único.

A simulação ora apresentada consiste em analisar o movimento realizado pelo robôbracejador a partir da posição inicial:

x =

[

−5π6

−π3

π3

0 0 0

]T

considerando como variáveis de decisão na função objetivo as coordenadas cartesia-nas (posição e velocidade) da extremidade do robô. O ponto dereferência utilizado comoposição a ser atingida pelo robô bracejador é dado por:

Xr =

[

l1+ l20

]

(88)

ou seja, essa é a posição do robô com os dois elos alinhados horizontalmente. Deseja-se,assim, que o robô se desloque o máximo possível na direçãoX e atinja a posição hori-zontal. Obviamente que o robô nunca atingirá tal posição devido às perdas por atrito, maso objetivo é fazer uso da solução ótima (sub-ótima), a fim de verificar o comportamentodo controlador na tentativa de se aproximar ao máximo dessa posição, maximizando odeslocamento horizontal, sem abrir mão da necessidade de atingir a posição horizontalY = 0.

Para a realização dessa simulação foram utilizados como parâmetros do controladorNMPC os seguintes valores:

N = 5, Q =

5 0 0 00 5 0 00 0 0,01 00 0 0 0,01

, R =

[

0,01 00 0,01

]

, P = 250

sendo considerado o período de amostragem igual aT = 0,01s.Os valores máximo e mínimo para as amplitudes de posição angular e para as ampli-

tures de velocidade angular de cada junta, bem como os valores limites para as entradasde controle (torques máximo e mínimo aplicáveis por cada motor) podem ser consultadosna tabela 3.

Nas figuras 24–27 são apresentados os resultados obtidos em simulação da estratégiaMPC utilizando modelo não-linear, tendo como objetivo o movimento por bracejamento

75

Tabela 3: Valores máximo e mínimo para as variáveis (simulação 1).Variável Unidade Máximo Mínimo

θ1 rd π −πθ2 rd π −πθ3 rd π −πθ1 rd/s 20 −20θ2 rd/s 20 −20θ3 rd/s 20 −20τ1 Nm 20 −20τ2 Nm 20 −20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo (s)

Posi

cao

de J

unta

(rd)

Θ

1

Θ2

Θ3

Figura 24: Posição angular de cada junta (simulação 1).

a fim de atingir a linha horizontal no ponto de referênciaXr . A posição angular e a veloci-dade angular de cada junta ao longo do movimento realizado pelo robô bracejador podemser observadas, respectivamente, nas figuras 24 e 25. Ao se observarem as figuras refe-rentes à posição e velocidade de cada junta, fica evidente queos valores das variáveis nãoultrapassaram os valores limites impostos pelas restrições da tabela 3. Além disso, podese perceber o comportamento suave de cada junta durante a realização do movimento, nãohavendo mudanças abruptas nos valores ao longo do movimento.

Na figura 26 tem-se os torques externos aplicados às juntas 2 e3 do robô e é possí-vel verificar que os valores de torque obtidos como solução doproblema de otimizaçãonão-linear ficaram dentro dos limites de saturação, sendo que apenas na parte final domovimento acontece a saturação das entradas de controle.

Por último, a trajetória executada no plano verticalXY pelo robô bracejador é apre-sentada na figura 27, onde se pode verificar que o robô foi capazde alcançar a linhahorizontal de sustentação em uma posição à frente. Como ditoanteriormente, a posição

76

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10Velocidade de Junta

Tempo (s)

Velo

cida

de (r

d/s)

dΘ

1

dΘ2

dΘ3

-

Figura 25: Velocidade angular de cada junta (simulação 1).

final robô não é a posição de referência apresentada ao controlador, entretanto a lei decontrole obtida realizou de maneira satisfatória o objetivo maior, que é permitir que orobô, a partir da posição inicial atinja a linha de sustentação em posição mais avançada.

77

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25Torque

Tempo (s)

Torq

ue (N

m)

τ2

τ3

Figura 26: Torques aplicados ao robô (simulação 1).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2Trajetoria Plano−XY

Distancia X (m)

Dis

tanc

ia Y

(m)

XY

Figura 27: Trajetória XY executada pelo robô (simulação 1).

78

5.2.2 Simulação 2: Modelo Não-linear – Trajetória de Referência

Nessa seção são apresentados os resultados obtidos pela simulação do esquema decontrole baseado em MPC com modelo linear, tendo como objetivo de controle fazer comque o robô bracejador siga a uma trajetória de referência previamente calculada.

Um aspecto importante a ser abordado é o modo de geração da trajetória de referência.As diferentes técnicas de geração de trajetórias comumenteutilizadas no caso de robôsmanipuladores completamente atuados não se adequam quandose trata de robôs subatu-ados, como no caso de robôs bracejadores. Sendo assim, uma maneira de se obter umatrajetória de referência é utilizar a trajetória obtida pela simulação do MPC com modelonão-linear. Outra maneira consistem na execução do algoritmo MPC não-linear com umhorizonte de predição longo o suficiente para gerar uma solução ótima que atinja a po-sição horizontal, com a desvantagem de gastar um tempo excessivamente grande para aobtenção dessa trajetória de referência.

A trajetória de referência utilizada nesta simulação foi obtida por meio da simula-ção do MPC não-linear, de maneira semelhante ao caso apresentado anteriormente naseção 5.2.1.

Diferentemente da simulaçao 1, a qual faz uso das coordenadas cartesianas do efetu-ador final do robô bracejador como variáveis de decisão, nesse caso considerou-se comovariáveis de decisão para a função objetivo o próprio vetor de coordenadas generalizadasdo robô bracejador e as entradas externas de controle. A posição inicial do robô é dadapor:

x =

[

−5π6

−π3

+0,1π3

0 0 0

]T

Observa-se que a posição inicial ajustada para o robô bracejador não é a mesmo posi-ção inicial da trajetória de referência, justamente para mostrar que o controlador é capazde conduzir o sistema à trajetória de referência.

Agora, para a simulação do esqueme de controle MPC não-linear para seguimento datrajetória de referência, os parâmetros do controlador sãoapresentados a seguir:

N = 5, Q =

15 0 0 0 0 00 15 0 0 0 00 0 15 0 0 00 0 0 10 0 00 0 0 0 10 00 0 0 0 0 10

, R =

[

5 00 5

]

, P = 250

sendo utilizado o período de amostragemT = 0,01s.Na tabela 4, apresentada na seqüência, são definidos os valores utilizados para as

limitações impostas ao robô bracejador. Os valores impostos são diferentes dos valoresutilizados na simulação 1, apresentados na tabela 3, para demonstrar a capacidade do con-trolador em obter a solução do problema de otimização quandona presença de alteraçõesnos diferentes limites impostos às variáveis de decisão.

Nas figuras 28–33 são mostrados os diversos resultados obtidos pela simulação doesquema de controle MPC baseado em modelo não-linear para seguimento de trajetória.

O comportamento de cada junta durante a realização do movimento de bracejamentopode ser observado, juntamente com a trajetória de referência imposta, a partir da posiçãoangular e da velocidade angular de cada junta, as quais podemser analisadas, respectiva-mente, nas figuras 28 e 29.

79

Tabela 4: Valores das restrições para as variáveis de decisão (simulação 2).Variável Unidade Máximo Mínimo

θ1 rd 0 −πθ2 rd 3π

43π4

θ3 rd π −πθ1 rd/s 3π −3πθ2 rd/s 3π −3πθ3 rd/s 3π −3πτ1 Nm 20 -20τ2 Nm 20 -20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−3

−2

−1

Junt

a 1

(rd)

Posicao de Junta (rd)

Θ

1

Θ1ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−5

0

5

Junt

a 2

(rd)

Θ

2

Θ2ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−2

0

2

Junt

a 3

(rd)

Tempo (s)

Θ

3

Θ3ref

Figura 28: Posição angular (e referência) de cada junta (simulação 2).

80

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−5

0

5Velocidade de Junta (rd/s)

Junt

a 1

(rd/s

)

dΘ

1

dΘ1ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10

Junt

a 2

(rd/s

)

dΘ

2

dΘ2ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10

Tempo (s)

Junt

a 3

(rd/s

)

dΘ

3

dΘ3ref

Figura 29: Velocidade angular (e referência) de cada junta (simulação 2).

Na figura 30 tem-se os torques externos aplicados nas juntas 2e 3 do robô bracejador,juntamente com as respectivas referências. É importante observar que a partir da mesmaposição inicial utilizada na simulação 1, mas mudando os limites das restrições impos-tas ao sistema, os valores calculados para o torque nao atingiram o ponto de saturação,respeitando os limites das restrições. Salienta-se que, doponto de vista prático, a nãosaturação dos atuadores preserva os equipamento, aumentando sua vida útil.

As perturbações existentes entre os valores de torque aplicados e as respectivas refe-rências podem ser visualizados na figura 31.

A trajetória cartesiana executada pelo robô bracejador utilizando o controlador MPCnão-linear, juntamente com a trajetória de referência podeser visualizada na figura 32.Observa-se que, embora haja uma pequena diferença entre a posição final do robô brace-jador e a posição final da trajetória de referência (conformemostrado na figura 33), o robôfoi capaz de realizar o movimento de bracejamento, buscandosempre seguir a trajetóriade referência.

81

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−20

−10

0

10

20Entrada de Controle −− Junta 2

Tempo (s)

Torq

ue (N

m)

Torque Aplic.Torque Ref.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10


Tempo (s)

Torq

ue (N

m)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

−5

0

5

10

15

20

25Perturbacao −− Entrada de Controle

Tempo (s)

Torq

ue (N

m)

Pert. Torque 2Pert. Torque 3

Figura 31: Perturbações de torque de entrada (simulação 2).

82

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2Trajetoria da Garra no Plano XY

Distancia X (m)

Dis

tanc

ia Y

(m)

Real

Referencia

Figura 32: Trajetória XY executada pelo robô (simulação 2).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15Erro em X e Y

Tempo (s)

Erro

(m)

Erro XErro Y

Figura 33: Erro referente às coordenadas cartesianas (simulação 2).

83

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−3

−2

−1

Junt

a 1

(rd)

Posicao de Junta (rd)

Θ

1

Θ1ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−5

0

5

Junt

a 2

(rd)

Θ

2

Θ2ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−2

0

2

Junt

a 3

(rd)

Tempo (s)

Θ

3

Θ3ref

Figura 34: Posição angular (e referência) de cada junta (simulação 3).

5.2.3 Simulação 3: Modelo Linear – Trajetória de Referência

Nessa seção apresentam-se os resultados relacionados à simulação do esquema decontrole MPC baseado em modelo linearizado, no entorno de uma trajetória de referência,utilizado durante o horizonte de predição.

Novamente, adota-se as coordenadas generalizadas de juntae as entradas externas decontrole como sendo as variáveis de decisão do problema de otimização linear, uma vezque agora considera-se a versão linear do MPC. Os parâmetrosdo controlador utilizadospara a realização dessa simulação foram:

N = 5, Q =

5 0 0 0 0 00 5 0 0 0 00 0 5 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

, R =

[

5 00 5

]

, P = 50

com período de amostragem igual aT = 0,01s.De maneira semelhante às simulações anteriores, mostra-se, nas figuras 34–39 os re-

sultados relacionados à simulação do caso linearizado. A posição e velocidade angularpara cada junta, e as respectivas referências, podem ser observadas nas figuras 34 e 35,respectivamente.

Na figura 36 apresentam-se os torques externos aplicados ao robô e as respectivasentradas de controle utilizadas como referência. A perturbação entre os torques aplicadose os sinais de referência são mostrados na figura 37.

A trajetória cartesiana realizada pelo robô pode ser observada na figura 38 e o erroassociado às coordenadas cartesianasX eY são apresentadas na figura 39.

84

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−5

0

5Velocidade de Junta (rd/s)

Junt

a 1

(rd/s

)

dΘ

1

dΘ1ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10

Junt

a 2

(rd/s

)

dΘ

2

dΘ2ref

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10

Tempo (s)

Junt

a 3

(rd/s

)

dΘ

3

dΘ3ref

Figura 35: Velocidade angular (e referência) de cada junta (simulação 3).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−20

−10

0

10


Tempo (s)

Torq

ue (N

m)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−10

0

10


Tempo (s)

Torq

ue (N

m)



85

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05Erro −− Entrada de Controle

Tempo (s)

Torq

ue (N

m)

Erro Torque 2

Erro Torque 3

Figura 37: Perturbação no sinal de controle (simulação 3).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2Trajetoria da Garra no Plano XY

Distancia X (m)

Dis

tanc

ia Y

(m)

Real

Referencia

Figura 38: Trajetória XY realizada pelo robô (simulação 3).

86

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02Erro em X e Y

Tempo (s)

Erro

(m)

Erro XErro Y

Figura 39: Erro nas coordenadas cartesianas (simulação 3).

Nesse momento é relevante comentar que, mesmo com os resultados apresentados,deve se levar em consideração o fato de o horizonte de predição ser pequeno (N = 5) e,além disso, não se estar considerando a presença de perturbações externas ao sistema.

Apesar dessas últimas considerações, cabe ressaltar que, após serem analisados osresultados obtidos pela simulação do esquema de controle MPC baseado em modelo line-arizado, que o fato de se utilizar uma modelo de predição linearizado durante o horizontede predição não afetou o desempenho do sistema em malha fechada.

87

5.2.4 Simulação 4: Recuperação de Movimento

Até o presente momento foram apresentados resultados em queo robô bracejador,partindo da posição inicial, consegue completar o movimento de bracejamento na pri-meira tentativa de atingir a linha horizontal. Entretanto,é possível imaginar situações emque o robô não tenha êxito em completar o movimento de bracejamento logo na primeiratentativa, sendo necessário realizar balançar o corpo do robô com o objetivo de injetarenergia no sistema e, finalmente, conseguir completar o movimento de bracejamento.

Ao contrário das diversas técnicas já desenvolvidas para o controle de robôs brace-jadores, apresentadas na seção 3, as quais eram projetadas para executarem somente umtipo de movimento de bracejamento, a estratégia de controleproposta nesse trabalho pararobôs bracejadores é suficientemente inteligente para permitir que o robô consiga recupe-rar o movimento de bracejamento, uma vez que o robô não tenha obtido êxito na primeiratentativa.

Nessa seção serão apresentados os resultados iniciais de uma situação em que o robôbracejador não obtém êxito em atingir a linha horizontal na primeira tentativa. A fim dese conseguir gerar em simulação foi utilizada a seguinte configuração mecânica para orobô bracejador, diferente da empregada até o momento:

Tabela 5: Parâmetros da dinâmica do robô.Parâmetro Unidade Elo 1 Elo 2 Elo 3

Massa Kg 1,0 1,0 1,0Comprimento m 1,0 1,0 1,0Atrito Viscoso Nm/rad/s 0,01 0,01 0,01

Atrito de Coulomb Nm/rd 0,01 0,01 0,01

Além da mudança na configuração mecânica do sistema, uma outra alteração necessá-ria para se gerar a recuperação do movimento é fazer com que o atuador acoplado à junta3 (junta que movimenta o corpo do robô) esteja em falha, ou seja,τ3 = 0.

Assim, a partir dessas alterações, os parâmetros do controlador utilizados para essasimulação são apresentados a seguir:

N = 5, Q =

[

30 00 30

]

, R =

[

5 00 0

]

, P = 50

com período de amostragem igual aT = 0,01s. Utilizou-se, nesse caso, as variáveiscartesianas do efetuador final e a entrada de controle referente à junta 2 como variáveisde decisão do problema de otimização não-linear a ser resolvido para obtenção do sinalde controle.

Resultados preliminares apresentados nas figuras 40, 41, 42e 43 demonstram, emduas diferentes situações, que a estratégia MPC pode ser facilmente empregada para arecuperação dalização de diferentes tipos de movimento de bracejamento.

5.2.4.1 Falha na Primeira Tentativa

Na primeira situação o robô bracejador não consegue completar o movimento já naprimeira tentativa e, na continuidade, consegue atingir a linha horizontal de sustentação.A trajetória realizada pelo robô bracejador pode ser analisada na figura 40. O torqueaplicado obtido pelo esquema de controle MPC, a ser aplicadona junta 3 (lembrando queessa é a única entrada de controle) pode ser visualizado na figura 41.

88

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Trajetoria no Plano XY

Distancia X (m)

Dis

tanc

ia Y

(m)

Elo 1Elo 2

Elo 3

Elo 1

Elo 2

Elo 3

Figura 40: Trajetória realizada pelo robô durante recuperação de movimento (caso 1 –simulação 4).

0 2 4 6 8 10 12 14 16−3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo (s)

Torq

ue n

a Ju

nta

2 (N

m)

Figura 41: Torque exigido para recuperar o movimento (caso 1– simulação 4).

89

5.2.4.2 Falha na Segunda Tentativa

Já no segunda caso, o robô bracejador completa o movimento naprimeira tentativae, após tentar realizar o segundo movimento de bracejamentoconsecutivo, o robô nãoobtém sucesso. Em seguida, o robô recomeça o movimento deswing-upe, na continui-dade, consegue completar o movimento de bracejamento. Podese observar na figura 42 atrajetória percorridade pelo robô bracejador para alcançar a linha de sustentação. Por fim,

−2 −1 0 1 2 3 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Trajetoria no Plano−XY

Distancia X (m)

Dis

tan

cia

Y (

m)

Figura 42: Trajetória realizada pelo robô durante recuperação de movimento (caso 2 –simulação 4).

o torque necessário aplicar para que seja possível a realização da recuperação do segundomovimento é apresentado na figura 43

É importante salientar que são necessários realizar estudos mais aprofundados e de-talhados sobre a recuperação de movimento de bracejamento,com o intuito de melhorentender em que situação tal fato ocorre e como influencia a posição inicial do robô paraque isso venha a acontecer.

90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−10

−5

0

5

10

15Torque na Junta 1

Tempo (s)

To

rqu

e (

Nm

)

Figura 43: Torque exigido para recuperar o movimento (caso 2– simulação 4).

5.2.5 Simulação 5: Bracejamento tipoOver Hand

Até o presente momento, todas as simulações apresentadas, seja utilizando o MPCcom modelo não-linear ou MPC com modelo linearizado duranteo horizonte de predição,e considerando as restrições impostas a cada junta, mostrama realização do movimentode bracejamento denominado deunder-swing, no qual o braço se desloca por baixo dobraço de sustentação.

Nessa seção serão apresentados os resultados referentes à realização do movimentode bracejamento denominado de bracejamento porover hand, movimento este em que orobô desloca o braço livre lateralmente ao braço de sustentação, sem a possibilidade deexecutar a parte inicial deswing-up

Um estudo inicial foi realizado para a execução do movimentode bracejamentooverhand. Para tanto foi empregada a abordagem MPC não-linear, sem trajetória de referên-cia, sendo necessário somente ajustar as restrições referentes ao deslocamento angularpermitido a cada junta, de tal forma que o controlador foi capaz de interpretar essas novasrestrições e gerar um outro tipo de bracejamento. Até onde foi possível conhecer nessetrabalho, utilizando-se uma mesma estratégia de controle,não foi possível encontrar emnenhuma das variadas estratégias empregadas no controle derobôs bracejadores a capa-cidade de realizar os dois modos de bracejamento, seja bracejamento porunder-swingouseja bracejamento porover hand.

As restrições impostas para a realização do bracejamento tipoover handsão apresen-tadas na tabela 6.

Resultados preliminares apresentados nas figuras 44 e 47 demonstram que a estratégiaMPC pode ser facilmente empregada para a realização de diferentes tipos de movimentode bracejamento. Na figura 44 se pode observar a trajetória cartesiana realizada pelo robôbracejador e o comportamento das variáveis de junta (posição e velocidade angular) aolongo desse movimento podem ser vistas respectivamente nasfiguras 45 e 46.

Os torques aplicados em cada uma das juntas para a realizaçãodesse movimento debracejamentoover handé apresentado na figura 47. Observa-se que os valores limitesimpostos foram respeitados.

91

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1Trajetoria no Plano XY

Distancia X (m)

Dis

tanc

ia Y

(m)

Figura 44: Trajetória cartesiana realizada pelo robô – bracejamentoover hand(simulação5).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

Posi

cao

de J

unta

(rd)

Θ1

Θ2

Θ3

Figura 45: Posição angular – bracejamentoover hand(simulação 5).

92

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tempo(s)

Velo

cida

de d

e Ju

nta

(rd/s

)

dΘ1

dΘ2

dΘ3

Figura 46: Velocidade angular – bracejamentoover hand(simulação 5).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−20

−15

−10

−5

0

5

10

15Torque

Tempo (s)

Torq

ue (N

m)

τ2

τ3

Figura 47: Torque necessário para realizar o movimento – bracejamentoover hand(si-mulação 5).

93

Uma das grandes questões ainda em aberto com relação ao tipo de movimento debracejamento a ser executado pelo robô, sejaunder-swingou sejaover-hand, é determinarquais critérios devem ser utilizados para decidir qual o melhor movimento a ser realizado.Tal fato vem a demonstrar, além das justificativas já apresentadas ao longo desse trabalho,a grande dificuldade existente no controle de robôs bracejadores, os quais são sistemasmecânicos subatuados.

5.3 Implementação e Resultados em Tempo Real

Nessa seção serão apresentados os resultados da simulação realizada em tempo real,diferentemente das simulações anteriores. Para a realização das simulações em tempo-realé considerado nesse trabalho a implementação do esquema de controle MPC, devendo ocontrolador fornecer o valor do sinal de controle em tempo inferior ao período de amos-tragem empregado nas simulações.

Os programas desenvolvidos para o equema de controle MPC (tanto considerando mo-delo não-linear quanto modelo linearizado) foram implementados em linguagem C++ e,para garantir a precisão necessária para temporização foi utilizado o o sistema RTAI (Li-nux Realtime Application Interfaceversão 3.6) que é uma extensão do sistema operacionalLinux com a finalidade de oferecer funcionalidades de tempo real. Foi desenvolvido noDIAPM (Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale - Politecnico di Milano). O sistemaconsiste de umpatchao kernel do Linux (foi utilizada a versão 2.6.22.15), fornecendouma camada de abstração dehardwaree uma série de funcionalidades direcionadas aprofissionais que precisem trabalhar com sistemas de tempo real.

Considerando-se o esquema de controle MPC baseado em modelonão-linear, é neces-sário a resolução em tempo de execução do problema de otimização não-linear. Para talfoi decidido utilizar uma versão modificada da bibliotecadonlp2(SPELLUCCI, 1999).Originalmente essa biblioteca foi escrita em Fortran e logoem seguida foi traduzida parao padrão ANSI C. A versão utilizada nesse trabalho consiste na conversão das interfacespara o padrão C++, realizada no próprio laboratório LASCAR/UFRGS.

Já para a implementação do esquema de controle MPC utilizando modelo linearizadodurante o horizonte de predição, a fim de resolver o problema de otimização quadráticafoi considerada a biblioteca OOQP (Object-Oriented Software for QUadratic Program-ming) (GERTZ; WRIGHT, 2004).

Tabela 6: Valores máximo e mínimo para as variáveis (simulação 5).Variável Unidade Máximo Mínimo

θ1 rd 0 −πθ2 rd 3π

43π4

θ3 rd π2 −π

2θ1 rd/s 3π −3πθ2 rd/s 3π −3πθ3 rd/s 3π −3πτ1 Nm 20 -20τ2 Nm 20 -20

94

Para as simulações apresentadas a seguir o robô tem a seguinte posição inicial:

x0 =

−3π4

−π2π

2000

(89)

Além disso, para a realização das simulações foi utizilizo um computador com proces-sador Intel(R) Core(TM)2 CPU T5600 1.83GHz, sendo que, mesmo empregando-se umsistema capaz de realizar processamento paralelo, osoftwareprojetado para implementaro esquema de controle MPC foi desenvolvido para utilizar somente um único processador.

5.3.1 Simulação 6: Modelo Não-linear – Tempo Real

Nessa seção serão apresentados os resultados referentes a duas simulações em temporeal da estratégia de controle MPC baseado em modelo não-linear, empregando dois ta-manhos distintos para o horizonte de predição, a saber:N1 = 5 e N2 = 3. Assim, oobjetivo de se considerar diferentes tamanhos para o horizonte de predição é encontraruma configuração tal que a execução do algoritmo de controle seja rápida o bastante paraser realizada num tempo menor que o período de amostragem considerado no trabalho.

5.3.1.1 Horizonte de Predição N1 = 5

Nessa primeira simulação considera-se um horizonte de predição N1 = 5, igual aoutilizado na simulação apresentada na seção 5.2.1. Os parâmetros do controlador paraa simulação do MPC em tempo real empregando o modelo não-linear são definidos naequação 90. Utilizou-se como variáveis de decisão no problema de otimização as coor-denadas cartesianas da extremidade do robô bracejador e as entradas independentes decontrole.

N = 5, Q =

[

0,5 00 0,5

]

, R=

[

0,25 00 0,25

]

(90)

As figuras 48–51 apresentam os resultados obtidos nessa simulação. A trajetória re-alizada pelo robô, no plano cartesiano pode ser visualizadana figura 48, sendo possívelobservar que o robô foi capaz de executar o movimento completo de bracejamento na pri-meira tentativa. Os torques computados pelo controlador para a execução do movimentopodem ser visualizados na figura 49

Nas figuras 50 e 51 apresentam-se, respectivamente, a trajetória angular de cada juntaao longo do movimento de bracejamento executado pelo robô e otempo de computaçãonecessário pela estratégia de controle para calcular os torques necessários. É importantedestacar que o tempo total é gasto, na sua grande parte, pelo algoritmo de otimizaçãonão-lineardonlp2 empregado para o cálculo da lei de controle.

5.3.1.2 Horizonte de Predição N2 = 3

O objetivo dessa seção é apresentar o mesmo esquema de controle MPC da seção an-terior utilizando um horizonte de predição menor, na tentativa de, uma vez conseguindocompletar o movimento de braceljamento, obter o valor do sinal de controle em um tempotambém menor, na expectativa de se ter a solução do problema num tempo pequeno sufi-ciente para poder ser executado dentro do período de amostragemT = 10ms.

95

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Y (

m)

X (m)

Trajetoria no Plano XY

Figura 48: Trajetória cartesiana realizada pelo robô (simulação 6 –N1 = 5).

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Torq

ue (N

)

Tempo (s)

Torque aplicado por cada Motor

Motor 2Motor 3

Figura 49: Torque aplicado por cada motor (simulação 6 –N1 = 3).

96

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ang

ulo

(rd)

Tempo (s)

Posicao Angular (rd)

Junta 1Junta 2Junta 3

Figura 50: Posição angular de cada junta (simulação 6 –N1 = 5).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Te

mp

o N

ece

ssa

rio

(n

s)

Tempo (s)

Tempo de Iteracao

Figura 51: Tempo necessário para cálculo do sinal de controle (simulação 6 –N1 = 5).

97

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Y (

m)

X (m)


Figura 52: Trajetória cartesiana realizada pelo robô (simulação 6 –N2 = 3).

Os parâmetros do controlador para a simulação do MPC em temporeal empregandoo modelo não-linear são definidos na equação 91.

N = 3, Q =

[

0,5 00 0,5

]

, R=

[

0,25 00 0,25

]

(91)

As figuras 52–55 apresentam os resultados da simulação utilizando o horizonte de pre-diçãoN2 = 3. A trajetória realizada pelo robô, no plano cartesiano, pode ser visualizadana figura 52.

O torque desenvolvido pelos motores para mover o robô são mostrados na figura 53 eos valores das coordenadas de junta ao longo do movimeto podem ser vistos na figura 54.

Na figura 55 pode se observar o tempo requerido pelo controlador para o cálculo dossinais de controle.

Como era de se esperar, a partir da observação das figuras 51 e 55 que é muito menoro tempo requerido para se calcular a lei de controle com horizonte de prediçãoN2 = 3em relação ao tempo gasto para executar a simulação com horizonte de prediçãoN1 = 5.Entretanto, o tempo necessário para a execução do algoritmode controle, em ambos oscasos, é maior que o período de amostragem utilizado (10ms).

Desse modo, não é possível utilizar até o momento, o controlador proposto baseadoem modelo não-linear considerando aspectos de tempo real. Acredita-se que seja pos-sível melhorar o desempenho com o uso de programação paralela para o algoritmo deotimização e, também, alterar a configuração dos parâmetrosenvolvidos no algoritmo deotimização utilizado para a solução do problema.

98

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 2 4 6 8 10 12 14

Torq

ue (N

)

Tempo (s)


Motor 2Motor 3

Figura 53: Torque aplicado por cada motor (simulação 6 –N2 = 3).

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14

Ang

ulo

(rd)

Tempo (s)

Posicao Angular (rd)

Junta 1Junta 2Junta 3

Figura 54: Posição angular de cada junta (simulação 6 –N2 = 3).

99

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14

Te

mp

o N

ece

ssa

rio

(n

s)

Tempo (ns)

Tempo de Iteracao

Figura 55: Tempo necessário para cálculo do sinal de controle (simulação 6 –N2 = 3).

5.3.2 Simulação 7: Modelo Linearizado – Tempo Real

Nessa seção serão mostrados os resultados do controlador MPC, considerando-se ape-nas um único horizonte de predição, com os parâmetros definidos a seguir:

N = 5, Q =

10 0 0 0 0 00 10 0 0 0 00 0 10 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

, R=

[

0.5 00 0.5

]

(92)

A figura 56 apresenta a posição cartesiana do robô ao longo do movimento e a traje-tória de referência utilizada. O torque de referêcia e o torque aplicado ao robô, respecti-vamente nas juntas 1 e 2 podem ser visualizados nas figuras 57 e58.

As variáveis de posição angular são apresentadas nas figuras59, 60 e 61. O tempogasto para o cálculo do sinal de controle é apresentado na figura 51.

Observa-se, ao final dessa simulação, que o tempo necessáriopara a obtenção dosinal de controle utilizando a estratégia de controle MPC com modelo linearizado duranteo horizonte de prediçãp foi bastante menor do que o tempo gasto para a realização docálculo do sinal de controle considerando-se o MPC com o modelo não-linear.

Assim, o tempo requerido para este caso é menor que o período de amostragem de-finido (10ms), o que torna possível a utilização desse esquema de controle MPC commodelo linearizado em uma aplicação prática para controle de robôs bracejadores.

100

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Y (

m)

X (m)


RoboReferencia

Figura 56: Trajetória executada pelo robô – simulação 7.

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Torq

ue J

unta

1 (N

)

Tempo (s)


Torque 1Torque 1 -- Ref.

Figura 57: Torque aplicado na junta 2 (simulação 7).

101

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Torq

ue J

unta

2 (N

)

Tempo (s)


Torque 2Torque 2 -- Ref

Figura 58: Torque aplicado na junta 3 (simulação 7).

-2.4

-2.2

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ang

ulo

(rd)

Tempo (s)

Posicao Angular - Junta 1 (rd)

Junta 1Ref. Junta 1

Figura 59: Posição angular da junta 1 (simulação 7).

102

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ang

ulo

(rd)

Tempo (s)


Junta 2Ref. Junta 2


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Ang

ulo

(rd)

Tempo (s)


Junta 3Ref. Junta 3


103

0.00045

0.0005

0.00055

0.0006

0.00065

0.0007

0.00075

0.0008

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Te

mp

o N

ece

ssa

rio

(s)

Tempo (s)

Tempo de Iteracao

Figura 62: Tempo necessário de computação – simulação 7.

105

6 CONCLUSÃO

Ao longo das últimas décadas tem sido grande o interesse da comunidade científicano estudo de sistemas mecânicos subatuados, tanto pela diversidade de aplicações, comopor exemplo, falha de algum atuador em sistemas totalmente atuados, decisão de pro-jeto (redução do peso total do robô) ou mesmo pela característica intrínseca da aplicaçãodesejada (caso de robôs flexíveis eVTOL) quanto pelo desafio que se apresenta o desen-volvimento de estratégias de controle de tais sistemas, umavez que ainda hoje não há, atéonde se pôde conhecer, uma teoria geral para o controle de sistemas subatuados. Muitoembora existam diferentes estratégias de controle, tais técnicas fazem uso de característi-cas particulares de cada aplicação.

O trabalho ora apresentado tem por objetivo a caracterização dinâmica de um robôbracejador e o desenvolvimento de uma estratégia de controle em malha fechada que,além de ser capaz de tratar de modo direto a propriedade de subatuação desse sistema eas restrições não-holônomicas a que está submetido, conduza o robô para a realização domovimento completo de bracejamento.

Inicialmente foram desenvolvidos os modelos matemáticos para a cinemática diretae para a dinâmica do robô proposto. Para o caso da cinemática direta, utilizou-se umaextensão da convenção deDenavit-Hartenberg, a qual considera somente uma seqüênciade elos. Para esse trabalho foi necessária uma simples alteração na determinação dossistemas de coordenadas de referência, para que seja possível considerar situações emque mais de um elo são ligados ao elo anterior (tipo bifurcação, no caso de dois elos).Para a obtenção do modelo dinâmico foi utilizada a metodologia de Euler-Lagrange, aqual se baseia na energia do sistema (OLIVEIRA; LAGES, 2006c,d).

Na seqüência, uma vez desenvolvido o modelo matemático paraa dinâmica do robôbracejador, partiu-se, então, para a análise desse sistema, já que, devido ao fato de ser umsistema subatuado, apresenta restrição diferencial de segunda ordem (também chamadade restrição de aceleração). Após, as restrições dinâmicasexistentes foram analisadas e,com base no Teorema de Frobenius, foram classificadas como restrições diferenciais desegunda ordem não-holonômicas, o que torna o trabalho bastante desafiador do ponto devista da teoria de controle.

Várias são as abordagens encontradas na literatura para o controle de sistema mecâ-nicos subatuados e, de modo particular a esse trabalho, pararobôs bracejadores. Na suagrande maioria, para o controle efetivo desses sistemas é feita a combinação de diferen-tes estratégias de controle, a fim de se conseguir que o robô execute o movimento debracejamento de forma completa. Sendo assim, depois de se estudar várias estratégiasde controle para a aplicação desejada, destaca-se, de maneira particular, a estratégia decontrole preditivo baseado em modelo como uma estratégia decontrole que apresentaimportantes características desejadas para o controle de robôs bracejadores.

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Na tentativa de estabelecer um esquema de controle em malha fechada para ser utili-zado para controladr o robô bracejador apresentado no capítulo 1, optou-se por empregaro controlador preditivo baseado em modelo com horizonte de predição deslizante, o qualapresenta várias vantagens que são importantes para tratara questão de subatuação dosistema em análise.

Apresentam-se como principais vantagens dessa abordagem de controle a possibili-dade de se obter uma lei de controle a partir da otimização de algum critério definido pormeio da função objetivo e a possibilidade de tratar de maneira direta restrições no estadoe nas entradas independentes de controle. Tal característica permite que a lei de controlecalculada seja aplicada ao sistema de modo que o movimento realizado pelo robô respeitoos limites físicos definidos, como limite de torque dos motores e amplitude máxima decada uma das juntas (pode se definir, também, valores limitespara a velocidade angularde cada junta).

Entretanto, tem-se como principal desvantagem dessa estratégia de controle o exces-sivo tempo de processamento necessário para a solução do problema de otimização a cadavez que se deseja obter uma nova entrada para o sistema, o que poderia tornar inviável ouso dessa estratégia, em situação prática, para o controle do robô bracejador.

Assim, com esse objetivo, diferentes simulações foram realizadas na tentativa de va-lidar a aplicação do controlador preditivo para o controle do robô bracejador, para a exe-cução do movimento de bracejamento (tanto bracejamento único quanto bracejamentocontínuo) ao longo de uma linha horizontal. Para tal, foram consideradas duas versõespara esse controlador, uma baseada em modelo não-linear da dinâmica para ser utilizadono horizonte de predição e outra considerando uma versão linearizada da dinâmica (OLI-VEIRA; LAGES, 2006a,e).

Numa primeira implementação foram realizadas simulações considerando MPC commodelo não-linear de predição, tendo como tarefa a realização tanto de bracejamentoúnico quanto de bracejamento contínuo. Pode se verificar, por meio dos gráficos apre-sentados, que as restrições impostas ao problema de otimização foram todas satisfeitas.Também simulou-se o MPC utilizando-se um modelo linearizado da dinâmica para o ho-rizonte de predição e, novamente, os resultados obtidos foram plenamente satisfatórios,sendo as restrições impostas igualmente respeitadas. Nesse caso, a tarefa consistia emseguir uma dada trajetória de referência, em torno da qual realiza-se a linearização domodelo.

É importante salientar o caso simulado de o robô não conseguir realizar o braceja-mento logo após se soltar da posição inicial. Ao não conseguir segurar na linha hori-zontal numa posição à frente, o controlador calcula a seqüência de controle para que orobô realize o movimento de balanço para adquirir energia suficiente para, num segundomomento, conseguir alcançar a linha horizontal, de forma a completar o movimento debracejamento. Aqui salienta-se o fato de que nenhuma informação adicional foi dada aocontrolador, sendo ele responsável em determinar o sinal decontrole capaz de levar orobô a realizar a tarefa inicialmente proposta.

Outro resultado bastante interessante obtido foi a possibilidade de realização de bra-cejamento tanto porunder-swingquanto porover hand, sendo necessário somente alteraras variações angulares de cada junta, e o controlador foi capaz de interpretar tais restri-ções e gerar um outro tipo de bracejamento. Tal capacidade não é possível encontrar emnenhuma das variadas estratégias empregadas no controle derobôs bracejadores.

Fica evidente, depois de se observar as diferentes simulações apresetandas no ca-pítulo 3, que o trabalho ora proposto, baseado na estratégiade controle MPC aplicada

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a robôs bracejadores, apresenta resultados de simulação muito promissores. Embora agrande desvantagem dessa estratégia seja o alto custo computacional para a obtenção dosinal de controle devido à solução do problema de otimizaçãono qual baseia, tem-seresultados que comprovam a viabilidade de aplicação dessa proposição. Os tempos medi-dos para o cálculo do controle, considerando-se a versão do MPC com modelo linearizadopara a predição, mostram-se menores que o período de amostragem do sistema, ou seja,é possível, sim, resolver o problema de otimização (para esse caso otimização linear) e,conseqüentemente, calcular a lei de controle dentro do tempo de amostragem definido.Para o caso do MPC baseado em modelo não-linear para a predição, os tempos obtidosmostram que não seria possível a usa utilização na prática, pois os tempos de computa-ção foram maiores que o período de amostragem utilizado (na ordem de 10 a 15 vezesmaiores).

De modo geral, pode-se dizer que a estratégia de controle empregada nesse trabalho écapaz de fazer com que o robô realize, com sucesso, o movimento de bracejamento (bra-cejamento único ou contínuo), de tal modo que as restrições impostas ao sistema nãosejam violadas.

6.1 Perspectivas Futuras

Durante a realização desse trabalho, várias respostas foram apresentadas ao problemainicialmente proposto, qual seja, o controle em malha fechada de um robô bracejador.Ao mesmo tempo, vários questionamentos também eram suscitados, de tal modo queo assunto não poderia, mesmo que desejado, ser exaustivamente tratado nesse trabalho.Assim, vários são os temas que necessitam ser melhor e mais profundamente investiga-dos, visto que se apresentam como temas em aberto, sem uma teorização generalista edefinitiva.

Uma interessamente questão que se apresenta é quando se torna mais vantajoso reali-zar o movimento de bracejamento tipounder-swingou bracejamento tipoover-hand. Apartir da posição inicial e das restrições do sistema, seriainteressante saber, a priori, qualseria o tipo de bracejamento a ser executado pelo robô.

Ainda com relação ao tipo de bracejamento que o robô pode executar, não se abordounesse trabalho o caso de bracejamento tipo ricocheteamento, no qual o robô adquire ve-locidade suficiente para, em vôo livre, alcançar a linha horizontal numa distância além dasua envergadura (comprimento total dos dois braços).

Outra possibilidade de movimento que se apresenta é a realização de movimento con-tínuo junto à linha horizontal, sem que seja necessário soltar umas dasmãosdo robô.Acredita-se que seja possível a execução desse movimento utilizando o mesmo esquemade controle apresentado nesse trabalho, sendo necessário,entretanto, ajustar de maneiraadequada as restrições impostas ao controlador MPC.

Como fora afirmado anteriormente, o controlador MPC utilizando modelo não-linearapresenta tempos de processamento que não permitem a sua aplicação prática para o con-trole de robôs bracejadores, de acordo com os resultados expostos. Entretanto, pode seinvestigar uma melhor sintonia dos parâmetros do algoritmode otimização empregado,na tentativa de se reduzir o tempo necessário para o cômputo da lei de controle e parale-lização da solução implementada, aproveitando os processadoresmulti-coredisponíveishoje em dia.

Uma pequena alteração na estratégia de controle proposta nesse trabalho, a inclusão deuma malha interna de controle que realiza a linearização parcial do sistema, pode ser uma

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opção viável para a redução do tempo necessário à solução do problema de otimização.O problema ainda será um problema de otimização não-convexa, entretanto, de dimensãomenor. Deve-se investigar, também, que tipo de linearização parcial melhor se adequa, sea linearização parcial colocada ou a linearização parcial não-colocada.

Do ponto de visto do estudo de robôs subatuados, pode se pensar a proposição de duasclasses diferentes de robôs, as quais apresentam diferentes configurações de atuação. Adiferença entre as configurações está na relação entre o número de graus de liberdadeativos (atuados diretamente) e o número de graus de liberdade passivos (não atuados di-retamente) (OLIVEIRA; LAGES, 2007a,b).

Também se deve estabelecer critérios para o cotejamento entre as classes de robôs su-batuados propostas, de tal modo a se definir qual classe é maisadequada de se utilizar parauma dada tarefa. Inicialmente pensa-se em empregar alguma metodologia que relacionea energia necessária para executar o movimento e o tempo gasto na solução do problema.

Por fim, todo o trabalho teórico apresentado deverá ser validado em um robô real, oqual se encontra em fase de projeto. A partir dos resultados práticos será possível verificara utilização da estratégia de controle proposta nesse trabalho.

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