Estudo dos Pontos de Equilíbrio em

Modelos Determinísticos da

Dinâmica do HIV

Aluna: Ligia Belarmino da SilvaOrientadora: Prof.ª Dr.ª Joyce da Silva Bevilacqua

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

Programa

• Introdução

• Objetivo

• Modelos matemáticos

• Ponto de equilíbrio

• Implementação numérica

• Resultados

• Conclusão

Introdução

• Histórico da doença

1982 1983

Evidência epidemiológica

Instituto Pasteur – França Institutos Nacionais de Saúde – Estados Unidos

1986

HIV: Human Immunodeficiency Vírus

1987

Aprovado o uso da droga anti-HIV AZT

1995

Aprovado o uso de mais dois tipos de droga: inibidores de protease e inibidores reversos não-nucleóides

2003

Teste da primeira vacina contra o HIV falha

Introdução

• AIDS no Brasil

Casos de AIDS e ano de diagnóstico

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

1980

-199

219

9319

9419

9519

9619

9719

9819

9920

0020

0120

0220

0320

04

Ano

Cas

os Masculino

Feminino

Casos de AIDS por ano de diagnóstico

Introdução

• AIDS no BrasilÓbitos por AIDS por região

0

5000

10000

15000

20000

25000

Ano

Ób

ito

s

Norte

Nordete

Sul

Centro-Oeste

Sudeste

Óbitos por AIDS segundo ano do óbito e região

Introdução

• Apresentação do fenômeno

Esboço do ciclo de vida do HIV

Objetivos

• Analisar variação temporal dos parâmetros dos modelos existentes na literatura

• Calcular numericamente e classificar pontos de equilíbrio para os sistemas não-lineares dos modelos

• Construir mapas com identificações de áreas de estabilidade e instabilidade

Modelos – Modelo Básico

*dT

dt

dT

dt

dV

dt

T

T*V

s p

dT

k

c

k

s pT Td T kVT

kVT *T

*N T cV

Modelo 1Alan S. Perelson, Denise E. Kirshner e Rob de Boer - 1993

cVVTkTNdt

dV

TTkdt

dT

TkTdVTkdt

dT

VTkT

TTTpTTds

dt

dT

T

T

1**

***2

**

*2

*1

*

1max

***

1

Modelo 2Alan S. Perelson, Patrick W. Nelson - 1999

cVTNdt

dV

TkVTdt

dT

kVTTdT

TpTs

dt

dT

TR

TRT

*

**

max

1

11

Pontos de equilíbrioDefinição

• Biológica

• Matemática

Condição em que o paciente permanece estabilizado em torno dela durante certo período de tempo.

**

*

T

dTs pT d T kVT

dt

dTkVT T

dtdV

N T cVdt

*

0

0

0

dT

dt

dT

dtdV

dt

*, ,T T V tal que,

y(t)

y0

Pontos de equilíbrio

0

Estável

Instável

Assintoticamenteestável

Classificação

Pontos de equilíbrio

Técnicas de classificação (Liapunov):

• Funções auxiliares (método direto)

• Linearização (método indireto)

Classificação

- Função de Liapunov para estabilidade- Função de Liapunov para estabilidade assintótica- Função de Liapunov para instabilidade

Seja um ponto de equilíbrio.Se os autovalores de têm - Parte real menor que zero, então é assintoticamente estável - Parte real maior que zero, então é instável

0y0( )JF y

0y0y

Resolução numérica

Resolução de equações

• Bissecção

• Ponto fixo

• Newton

• Secante

• Falsa posição

Resolução numéricaPonto Fixo

0f x x g x

y

xa

a

b

b

p

p = g(p)

y = g(x)

y = x

Resolução numérica

pp0p1

p2

Inclinação f’ ( p1 )y = f ( x )

y

x

Inclinação f’ ( p0 )

Newton

f x

g x xf x

Newton para sistemas

F x 0 x G x

1( ) ( )J

G x x F x F x

1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( ).k k k k kJ x G x x F x F x

( 1) ( 1)( )k kJ F x y F x

( ) ( 1)k k x x y

Implementação numéricaModelo 1

• s : taxa de suprimento de células T CD4+ a partir de células precursoras

• p : taxa de crescimento para a população de células T CD4+

• dT : taxa de morte da população de células T CD4+ não infectadas

• : taxa de morte da população de células T CD4+ infectadas produtivamente

• c : taxa de morte de vírus livres

• k1 : taxa pela qual as células T CD4+ tornam-se infectadas por vírus livres

• k2 : taxa pela qual as células T CD4+ infectadas latentemente tornam-se

ativamente infectadas

• N : número de partículas virais produzidas por lise das células infectadas

• Tmax : nível máximo da população de células T CD4+

Implementação numéricaModelo 2

• s : taxa de suprimento de células T CD4+ a partir de células precursoras

• p : taxa de crescimento para a população de células T CD4+

• dT : taxa de morte da população de células T CD4+ não infectadas

• : taxa de morte da população de células T CD4+ infectadas produtivamente

• c : taxa de morte de vírus livres

• k : taxa pela qual as células T CD4+ tornam-se infectadas produtivamente por vírus livres

• N : número de partículas virais produzidas por lise das células infectadas

• Tmax : nível máximo da população de células T CD4+

• TR : eficácia do inibidor de transcriptase reversa

Implementação numéricaModelo 1 dT k1 k2 N c

Tmax

dT

k1

k2

N

Modelo 2 dT k TR N c

Tmax

dT

k

TRN

Implementação numérica

• Criar arquivo de entrada

• Execução do Método de Newton para sistemas

• Classificação do ponto de equilíbrio

Para cada par de parâmetros:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

dT

Tm

ax

Implementação numérica

Par1

10%0%-10%-20%-50% 20% 50%

50%

20%

10%

0%

-10%

-20%

-50%

Par

2

Implementação numéricaModelo 1 dT k1 k2 N c

Tmax

dT

k1

k2

N

Modelo 2 dT k TR N c

Tmax

dT

k

TRN

OK OK

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

k1

dT

ResultadosModelo 1

10%

20%

50%

0%

-10%

-20%

-50%

-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%

dT k2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nk2

10%

20%

50%

-20%

-50%

0%

-10%

-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

NTm

ax

ResultadosModelo 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

c

I-NT

10%

20%

50%

0%

-10%

-20%

-50%

-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%

TRTm

10%

20%

50%

-20%

-50%

0%

-10%

-50% -20% -10% 0% 10% 20% 50%

Conclusões e sugestões de continuidade

• Resultados consistentes e esperados.

• Grade de valores dos parâmetros.

• Introdução de novas equações reestruturando os

modelos para retratar melhor a dinâmica.

• Implementação de outro método numérico .