ESTUDO DOS MODELOS DE QUEBRA E COALESCÊNCIA PARA

ESCOAMENTOS POLIDISPERSOS

João Felipe Mitre de Araujo

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA QUÍMICA.

Aprovada por:

________________________________________________ Prof. Paulo Laranjeira da Cunha Lage, D.Sc.

________________________________________________ Prof. José Carlos Costa da Silva Pinto, D.Sc.

________________________________________________ Dr. Flávio Barboza Campos, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2006

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ARAUJO, JOÃO FELIPE MITRE DE

Estudo dos modelos de quebra e

coalescência para escoamentos

polidispersos [Rio de Janeiro] 2006

XI, 173 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Química, 2006)

Dissertação - Universidade Federal do Rio

de Janeiro, COPPE

1. Escoamento polidisperso

2. Quebra e coalescência

3. Ajuste de parâmetros

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

ii

Dedico à minha mãe.

iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço minha mãe, Leila, por que mesmo quando eu duvidei, ela não o fez.

Agradeço ao meu orientador Paulo Lage, por tudo que aprendi, seja a nível

técnico ou humano, e por tudo que fez para a conclusão deste trabalho.

Agradeço a todos os meus amigos, em especial os de convívio diário no

laboratório, Ricardo, Luiz e Cláudio, que mesmo nos momentos mais ríspidos

representaram um ponto de orientação e exemplo e nas horas mais alegres um alento,

em especial ao Rodrigo, por que além de tudo mencionado, colaborou muito na

obtenção dos dados experimentais desta tese.

Agradeço a todos os meus antigos e eternos professores da Universidade Federal

Fluminense, em especial, ao Arlindo, Rosenir, Rogério, Antônio Maurício e Lacerda

que por 4 anos me orientaram e educaram, dia após dia, para que cada passo dado

permitisse, no futuro, o atual presente, a realização deste trabalho.

Acima de tudo, agradeço a Deus, por tornar possível tudo que foi feito, quando

nem mesmo eu acreditei.

Obrigado.

iv

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ESTUDO DOS MODELOS DE QUEBRA E COALESCÊNCIA PARA

ESCOAMENTOS POLIDISPERSOS

João Felipe Mitre de Araujo

Março/2006

Orientadores: Paulo Laranjeira da Cunha Lage

Programa: Engenharia Química

Este trabalho tem como objetivo principal o estudo dos modelos de quebra e

coalescência para escoamentos polidispersos, com ênfase em colunas de

borbulhamento. Inicialmente foi realizada uma extensa e crítica análise dos vários

modelos de quebra e coalescência existentes na literatura com o objetivo de qualificar e

caracterizar os diversos modelos. Em paralelo, foram obtidos dados experimentais de

distribuição de tamanho de bolhas em uma coluna de borbulhamento com duas

velocidades vazões distintas de ar e três alturas em cada vazão. Posteriormente, com os

dados experimentais e com as conclusões da revisão bibliográfica, foi realizada a

estimação de parâmetros associados aos modelos de quebra e coalescência selecionados.

A técnica da máxima verossimilhança foi usada para o ajuste de parâmetros e o método

das classes foi empregado para a solução do problema direto de balanço populacional.

Os resultados permitiram concluir que, embora a faixa de velocidades avaliadas e a

qualidade dos dados experimentais não permitam uma estimativa muito precisa dos

parâmetros dos modelos de quebra e coalescência, alguns dos modelos analisados não

tem consistência interna, isto é, seus parâmetros variam com as condições experimentais

utilizadas, indicando que os mesmos são inadequados. Mostrou-se, assim, que o

procedimento usado é adequado para aplicação e desenvolvimento dos modelos de

quebra e coalescência, necessitando porém de dados experimentais de melhor qualidade.

v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

STUDY OF BREAK-UP AND COALESCENCE MODELS POR DISPERSEDS

FLOWS

João Felipe Mitre de Araujo

March/2006

Advisor: Paulo Laranjeira da Cunha Lage

Departament: Chemical Engineering

This work has as objective the study of the breakage and coalescence models for

polidisperse flows, with emphasis in their applications to bubble columns. Initially, an

extensive and critical analysis of the literature on fluid particle breakage and

coalescence models aiming an initial evaluation of the existing models. In parallel,

experimental data on bubble size distributions was collected at three heights of a bubble

column operating with air-water in semi-batch mode using two air superficial velocities.

Later, the experimental data was interpreted using the breakage and coalescence models

selected by the bibliographical revision. Model parameters were estimated using the

maximum likelihood technique applied to an one-dimensional population balance

model, which was solved by the method of classes. Although the experimental data was

not sufficient to accurately determine the model parameters, the results allowed us to

conclude that some models are internally inconsistent, because they need different

parameters values for different operation conditions. The procedure seems to be

adequate for developing and discriminating particle breakage and coalescence models

but requires experimental data of higher quality.

vi

Sumário

NOMENCLATURA .......................................................................................................X

ALFABETO GREGO........................................................................................................ XI

CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO................................................................................... 1 MOTIVAÇÃO .................................................................................................................. 2 O ESCOAMENTO MULTIFÁSICO POLIDISPERSO................................................................ 2 A QUEBRA E A AGREGAÇÃO........................................................................................... 3 O CONTEXTO DO ESTUDO............................................................................................... 4 O PRESENTE TRABALHO................................................................................................. 4

CAPÍTULO II – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA......................................................... 6

INTRODUÇÃO................................................................................................................. 7 A EQUAÇÃO DO BALANÇO POPULACIONAL .................................................................... 7 A QUEBRA DE PARTÍCULAS FLUIDAS............................................................................ 10 MODELOS DE QUEBRA DE PARTÍCULAS FLUIDAS.......................................................... 13

Modelos de freqüência de quebra .......................................................................... 14 Coulaloglou e Tavlarides (1977) ........................................................................ 14 Konno et al. (1980)............................................................................................. 15 Lee et al. (1987).................................................................................................. 15 Prince e Blanch (1990) ....................................................................................... 16

Modelos de quebra ................................................................................................. 20 Tsouris e Tavlarides (1994)................................................................................ 20 Luo e Svendsen (1996) ....................................................................................... 23 Hagesaether et al. (2002a) .................................................................................. 27 Lehr et al. (2002) ................................................................................................ 33 Wang et al. (2003) .............................................................................................. 39 Martínez-Bazán et al. (1999a) ............................................................................ 43

MODELAGEM DA DISTRIBUIÇÃO DAS PARTÍCULAS FILHAS ........................................... 49 Modelos estatísticos................................................................................................ 50 Modelos híbridos .................................................................................................... 53

Konno et al. (1980)............................................................................................. 53 Modelos fenomenológicos baseados em colisão com vórtices............................... 55

Nambiar et al. (1992).......................................................................................... 55 Tsouris e Tavlarides (1994)................................................................................ 56 Luo e Svendsen (1996) ....................................................................................... 57 Hagesaether et al. (2002a) .................................................................................. 60 Lehr et al. (2002) ................................................................................................ 61 Wang et al. (2003) .............................................................................................. 62

Modelos fenomenológicos de equilíbrio de tensões ............................................... 63 Martínez-Bazán et al. (1999b) ............................................................................ 63

CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS SOBRE MECANISMOS DE QUEBRA .................................. 68 CONCLUSÕES SOBRE OS MODELOS DE QUEBRA ............................................................ 71 MODELOS DE COALESCÊNCIA...................................................................................... 71

Modelagem da Freqüência de Coalescência.......................................................... 72 Modelagem da Freqüência de Colisão................................................................... 72

Modelagem da força e duração da colisão.......................................................... 74 Modelagem da drenagem do filme líquido......................................................... 76

vii

Drenagem do filme entre esferas rígidas ............................................................ 76 Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interface imóveis .......... 77 Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interfaces parcialmente móveis................................................................................................................. 78 Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interfaces completamente móveis................................................................................................................. 79 Modelagem do ponto de ruptura do filme .......................................................... 80 Modelagem do ponto inicial de drenagem do filme........................................... 80

Modelagem da eficiência de coalescência ............................................................. 81 Partículas rígidas em escoamento cisalhantes simples ....................................... 81 Partículas deformáveis com interfaces parcialmente móveis em escoamento cisalhante ............................................................................................................ 82 Bolhas em escoamento turbulento...................................................................... 83

Modelos de Coalescência ....................................................................................... 84 Modelos de freqüência de colisão .......................................................................... 85 Modelos de freqüência de colisão devido à turbulência ........................................ 85

Saffman e Turner (1956) e Kuboi et al. (1972b) ................................................ 85 Coulaloglou e Tavlarides (1977) ........................................................................ 86 Prince e Blanch (1990) ....................................................................................... 86 Lehr e Mewes (2001).......................................................................................... 87 Kamp et al. (2001) .............................................................................................. 87 Wu et al. (1998) .................................................................................................. 90 Wang et al. (2005) .............................................................................................. 92

Freqüência de Colisão devido à interações bolha-bolha....................................... 93 Prince e Blanch (1990) e Lehr e Mewes (2001)................................................ 93 Wu et al (1998) ................................................................................................... 94 Wang et al. (2005) .............................................................................................. 95

Freqüência de Colisão Devido à Recirculação do Líquido ................................... 96 Prince e Blanch (1990) ....................................................................................... 96

Modelos para a eficiência de coalescência............................................................ 98 Ross (1971), Verhoff et al. (1977) e Ross et al. (1978)...................................... 98 Coulaloglou e Tavlarides (1977) ........................................................................ 99 Prince e Blanch (1990) ..................................................................................... 100 Chesters (1991)................................................................................................. 103 Luo (1993) ........................................................................................................ 103 Kamp et al. (2001) ............................................................................................ 104 Marruci (1969).................................................................................................. 107 Nicodemo et al. (1972) ..................................................................................... 108 Sagert e Quinn (1978) ...................................................................................... 109

Considerações adicionais sobre os modelos de coalescência.............................. 109 Conclusão sobre os modelos de coalescência...................................................... 110

CAPÍTULO III - METODOLOGIA MATEMÁTICA........................................... 112 MODELO MATEMÁTICO............................................................................................. 113 MODELAGEM DA COLUNA DE BORBULHAMENTO ....................................................... 113 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO POPULACIONAL ............................................. 114 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ................................................................................. 117 PROCEDIMENTO NUMÉRICO....................................................................................... 118

CAPÍTULO IV – METODOLOGIA E RESULTADOS EXPERIMENTAIS ..... 119 MONTAGEM EXPERIMENTAL ..................................................................................... 120

viii

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................... 120 RESULTADOS EXPERIMENTAIS................................................................................... 122

CAPÍTULO V – RESULTADOS .............................................................................. 128 MODELOS DE QUEBRA SELECIONADOS....................................................................... 129 MODELOS DE COALESCÊNCIA SELECIONADOS ........................................................... 130

Modelos de freqüência de colisão selecionados .................................................. 130 Modelos de eficiência de coalescência selecionados. .......................................... 132

EQUAÇÕES DOS MODELOS SELECIONADOS................................................................. 133 Equação de Balanço Populacional ...................................................................... 133 Modelos de quebra selecionados.......................................................................... 135 Modelos de coalescência selecionados ................................................................ 137

Modelos de freqüência de colisão .................................................................... 137 Modelos de eficiência selecionados ................................................................. 137 Forma final dos modelos de coalescência selecionados................................... 139

CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS SOBRE AS SIMULAÇÕES ............................................... 140 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DOS PARÂMETROS DOS MODELOS .................................. 141 RESULTADOS DA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ......................................................... 143 CONVERGÊNCIA DA SOLUÇÃO DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ................................ 155

CAPÍTULO VI – CONCLUSÃO .............................................................................. 157

CAPÍTULO VII – BIBLIOGRAFIA ........................................................................ 160

ANEXO I ..................................................................................................................... 172

ix

Nomenclatura a : raio do disco do filme líquido formado entre duas partículas b : freqüência de quebra das partículas Ca : número capilar d : diâmetro da partícula dispersa D : diâmetro adimensional da partícula dispersa fa : função de distribuição de partículas da fase α fV : fração de volume da menor partícula formada na quebra h : espessura do filme líquido formado entre duas partículas H : termo fonte da equação de balanço populacional k : número de onda associado ao vórtice de tamanho de L : tamanho da escala de Kolmogorov m : massa da partícula dispersa P : função de distribuição de partículas na quebra Q : freqüência de coalescência

r : raio da partícula R : raio da coluna Re : número de reynolds tc : tempo de coalescência ti : tempo de contato uG : velocidade superficial do gás v : volume da partícula dispersa We : número de Weber y : vetor das variáveis da fase contínua z : direção axial da coluna

x

Alfabeto Grego

ε : energia de dissipação turbulenta

φ : retenção gasosa η : eficiência de coalescência θ : freqüência de colisão μ : viscosidade ρ : densidade

σ : tensão superficial

sτ : tensão associada à energia superficial

tτ : tensão de deformação média devido à turbulência Ω : freqüência de quebra específica

xi

Capítulo I – Introdução

1

Motivação

O estudo dos fenômenos de quebra e agregação de partículas se iniciou na década de 30

com estudos sobre a quebra das partículas, porém apenas na década de 50 a quebra e

coalescência ganharam destaque na comunidade científica. Entretanto, mais de 40 anos

depois, pouco se sabia a respeito do fenômeno. Apenas nos últimos 7 anos os estudos

começaram a serem realizados utilizando experimentos criteriosos.

Nos últimos 50 anos foram produzidos uma grande quantidade de modelos que,

devido ao pouco critério científico utilizado, estabeleceram mais desinformação do que

informação a respeito dos problemas que envolvem quebra e agregação de partículas.

Este trabalho surgiu frente à necessidade de qualificar e quantificar o conjunto

de informações gerado a respeito do assunto nos últimos 50 anos, investigando as

diferentes premissas e outros aspectos da modelagem adotados pelos diversos autores

do período.

O escoamento multifásico polidisperso

O escoamento multifásico é o escoamento que contém pelo menos duas fases, sendo

uma fluida. A distribuição destas fases caracteriza o tipo de escoamento. O escoamento

bifásico disperso é aquele com duas fases, uma das quais, sólida ou fluida, está

subdividida em pequenos elementos, as partículas, dentro da outra fase, que é fluida.

O escoamento polidisperso é um escoamento bifásico disperso onde os

elementos da fase dispersa tem propriedades que os diferenciam entre si, as quais são

caracterizadas por diferentes valores das chamadas variáveis internas. Assim, as

variáveis internas são propriedades intrínsecas de uma partícula, por exemplo, sua

massa, seu tamanho, sua energia interna, sua idade, etc.

O escoamento multifásico está presente na maior parte das operações unitárias

da engenharia química, seja para favorecer a transferência de massa como na

humidificação, absorção e destilação ou para favorecer a transferência de calor e massa

como na evaporação por contato direto. Na maior parte destes processos, o escoamento

multifásico está presente na forma de um escoamento polidisperso. Para estes processos,

em geral, a principal propriedade de interesse é o tamanho das partículas dispersas na

2

fase contínua, cuja função distribuição deve ser obtida. Para atender esse objetivo, é

necessário modelar os processos de interação entre as fases que afetam a distribuição de

tamanho das partículas, que são os processos de quebra e agregação. Então, a evolução

da função distribuição de tamanho das partículas é obtida através da sua equação de

conservação, conhecida como a equação de balanço populacional.

A quebra e a agregação

Entende-se por fenômeno de quebra a ruptura de uma partícula dispersa em pelo menos

duas outras partículas. Já o processo de agregação é a união de pelo menos duas

partículas para formar uma nova partícula no meio contínuo.

Os modelos de quebra e agregação originam termos fontes na equação de

balanço populacional, integrando a modelagem da evolução da distribuição de tamanhos

(ou outra variável interna) das partículas dispersas no meio contínuo.

O fenômeno de quebra tem a sua origem na interação da partícula com campos

cisalhantes, turbulência ou mesmo impacto contra superfícies sólidas. A quebra

ocasionada devido à turbulência do meio contínuo é observada em todo escoamento

polidisperso onde exista turbulência com intensidade suficiente para promovê-la.

Existem diversos modelos que tentam explicar a quebra por interação com turbulência

que, resumidamente, se apóiam em uma de duas teorias básicas: colisão entre partículas

e eddies (vórtices do meio contínuo) ou ruptura devido à deformação sofrida pelas

partículas por interação com o meio contínuo.

O fenômeno de coalescência é subdivido em três processos: colisão das

partículas, drenagem do filme líquido formado entre as partículas e ruptura do filme

líquido. Portanto, a coalescência é observada em um escoamento polidisperso onde os

três processos descritos possam ocorrer seqüencialmente.

Para modelar a quebra é preciso conhecer, para cada tipo de partícula, a

freqüência com que o fenômeno ocorre, o número de partículas resultantes na quebra

(partículas filhas) e como as propriedades expressas pelas variáveis internas se

distribuem pelas filhas. Para a coalescência é necessário saber com que freqüência duas

partículas de tipos determinados irão colidir e qual a probabilidade condicional de

coalescência quando da colisão, ou seja, qual a probabilidade de ocorrer o fenômeno de

drenagem e subseqüente ruptura do filme líquido formado entre as partículas.

3

O contexto do estudo

O estudo dos modelos de quebra e coalescência constituem uma etapa crucial ao

entendimento dos escoamentos polidispersos. Até o ano de 2005, vários trabalhos

realizados no laboratório de Termofluidodinâmica do Programa de Engenharia Química

da Coordenação de Programas de Pós-Graduação em Engenharia da Universidade

Federal do Rio de Janeiro, avaliaram o problema do escoamento bifásico em colunas de

bolhas e evaporadores por contato direto. Na maioria destes trabalhos, a polidispersão

das bolhas foi desconsiderada ou considerada de forma simplificada. Uns poucos

trabalhos do grupo a analisaram mais em detalhe.

Todavia, o nível de turbulência das aplicações industriais intensifica os efeitos

de quebra e coalescência. Logo, em análises destas aplicações é imprescindível a

aplicação de modelos de quebra e coalescência.

Nesse contexto, esta dissertação servirá de referência básica para os modelos de

quebra e coalescência aplicados a colunas de bolhas.

O presente trabalho

O presente trabalho teve como objetivo principal realizar uma extensa revisão crítica da

literatura associada aos fenômenos de quebra e coalescência de partículas, avaliando e

comparando os modelos de quebra e coalescência mais promissores com resultados

experimentais próprios obtidos em uma coluna de borbulhamento.

Inicialmente, será descrita a revisão dos modelos existentes, caracterizando-os

quando aos seus fundamentos e sua consistência interna. Em seguida, descrever-se-ão

os resultados do ajuste dos parâmetros dos modelos selecionados utilizando dados

experimentais de distribuição de tamanho de bolhas em três alturas da coluna de

borbulhamento operando com duas velocidades superficiais de gás. Para tanto, os

modelos foram implementados e a equação de balanço populacional resultante foi

resolvida utilizando o método das classes. O ajuste de parâmetros foi realizado

utilizando mínimos quadrados ponderados. A análise dos modelos e dos resultados do

ajuste de parâmetros permitiu qualificar a consistência interna de alguns modelos de

quebra e coalescência.

4

É interessante ressaltar que apesar da revisão ser dita abrangente, ela se limita a

escoamentos polidispersos bifásicos de fluidos newtonianos, com uma abordagem

superficial dos efeitos da presença de eletrólitos na mistura. O estudo se concentra em

modelos que podem ser empregados na modelagem da coluna de borbulhamento,

abordando também alguns modelos que foram desenvolvidos para sistemas líquido-

líquido.

5

Capítulo II – Revisão Bibliográfica

6

Introdução

Este trabalho possui o objetivo principal de avaliar os modelos de quebra e coalescência

de escoamentos polidispersos com o foco direcionado para colunas de borbulhamento.

O primeiro passo consistiu em entender, modelar e estudar a literatura existente na

modelagem de quebra e coalescência.

Este capítulo apresentará a revisão dos conceitos básicos de modelagem dos

processos de quebra e coalescência (agregação de partículas fluídas). Para tal,

inicialmente será visto a equação do balanço populacional aplicada à coluna de

borbulhamento, com o objetivo de apresentar o contexto dos modelos de quebra e

coalescência e suas principais características. Em seguida, será apresentada a revisão da

literatura propriamente dita, primeiramente sobre a modelagem da quebra, partindo dos

seus princípios fundamentais até a apresentação das formulações dos modelos.

Finalmente, serão apresentados os fundamentos e os detalhes dos modelos de

coalescência.

Ainda não existe um claro entendimento dos mecanismos associados à quebra e

coalescência, possivelmente devido ao fato de que muitos pesquisadores terem

analisados os processos em escoamentos complexos (tais como tanques agitados) para

os quais pouco se sabe a respeito do escoamento da fase contínua e sua interação com as

partículas. Por isso, não existe, atualmente, consenso sobre a modelagem destes

processos.

Uma convenção de nomenclatura foi adotada com o objetivo de não

sobrecarregar as equações matemáticas exibidas ao longo da dissertação. Toda

propriedade característica de fluido que não tiver sub-índice refere-se ao fluido da fase

contínua, assim como toda propriedade característica de fluido da fase dispersa terá um

sub-índice d, logo, sendo ρ a densidade, ρ propriamente dito é a densidade da fase

contínua e ρd é a densidade da fase dispersa. Ainda sobre a nomenclatura, entende-se

que todo sub-índice i ou j, refere-se a uma partícula específica do meio, isto é, com

determinados valores das variáveis internas.

A equação do balanço populacional

7

Considere o escoamento bifásico no qual a fase α está dispersa na fase β na forma de

partículas. Então, a fase α é chamada de fase dispersa e a fase β de fase contínua. As

partículas da fase dispersa podem estar distribuídas segundo diversas características,

como tamanho, composição, energia térmica, idade, etc., que são as chamadas

variáveis internas. Por outro lado, as coordenadas espaciais, z, são denominadas

variáveis externas. O número de partículas por unidade de volume com determinadas

propriedades e por unidade destas propriedades internas é a chamada função de

distribuição, fα , onde o índice α representa a respectiva fase.

Para modelar a evolução da distribuição de tamanho com o tempo e as variáveis

externas, é preciso considerar apenas uma única variável interna: a massa das partículas,

m. Assim, fα(t, m, z) é a chamada de função de distribuição de tamanho de partícula.

Para fluidos incompressíveis, pode-se usar, de forma equivalente, o volume da partícula,

v, ou, por conseqüência, o diâmetro, d.

A modelagem da evolução da distribuição de tamanho de partículas é realizada

através da chamada equação de balanço populacional (PBE, Population Balance

Equation), que é obtida pela integração da equação de Boltzmann aplicada ao problema

de muitos corpos. Ela fornece a conservação da função de distribuição de tamanhos de

partículas em um processo que inclua quebra e agregação das mesmas. Ignorando a

existência de nucleação ou crescimento das partículas (variação da sua massa através de

transporte através de sua interface), a PBE é dada por:

( ) Hft

f=⋅∇+

∂∂

ααα U (II-1)

onde Uα(t, m, z) é a velocidade das partículas de massa m da fase dispersa α na posição

z e no instante t, e H é o termo fonte não homogêneo composto por:

CCBB DBDBH −+−= (II-2)

onde BBB, DBB, BBC e DC são os termos de nascimento e morte de partículas por quebra e

coalescência (agregação), respectivamente. Para o caso de uma distribuição

monovariada na massa da partícula, estes termos são expressos por (Ramkrishna, 2000):

8

( ) ( ) ( ) ( )∫ −−=m

C dmmmmQmtfmmtfmtB0

' ,',',,,',21,,, yzzyz αα (II-3)

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

=0

' ,',,',,,,,, dmmmQmtfmtfmtDC yzzyz αα (II-4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

='

'd ,',,','|,',,,m

B mmtfmbmmPmmtB zyyyyz ας (II-5)

( ) ( ) ( zyyz ,,,,,, mtfmbmtDB α )= (II-6)

onde o vetor y(t, z) representa variáveis da fase contínua, ( )y,', mmQ é a freqüência de

agregação das partículas de massa m e ' , m ( )y,mb é freqüência de quebra da partícula

de massa m, é o número de filhas produzidas na quebra da partícula de massa m

e é a probabilidade condicional de uma partícula de massa m ser gerada

quando da quebra de uma partícula de massa ' . Nestas equações, assumiu-se que as

funções de quebra e coalescência (a, b,

( y,mς ))( y,'| mmP

m

ς , P) só dependem de (t, z) através das variáveis

da fase contínua.

A função tem as seguintes propriedades: ( y,'| mmP )(1) nenhuma partícula-filha tem massa maior que a partícula-mãe:

( ) ',0,'| mmmmP >∀=y (II-7)

(2) a probabilidade total de serem geradas partículas-filhas com massa menor

ou igual a massa da partícula-mãe é unitária:

( ) 1,'|'

0

=∫m

dmmmP y (II-8)

(3) a massa se conserva na quebra, de forma que a massa de todas as partículas-

filhas é igual a massa da partícula-mãe:

9

( ) ( ) ','|'

0

mdmmmmPmm

=′ ∫ yς (II-9)

Os modelos de quebra de partículas precisam modelar as funções

, e ( )y,mb ( )y,mς ( )y,|' mmP . Em muitos dos modelos de quebra de partículas, a função

básica que é modelada é ( ) ( ) ( ) ( )yyyy ,,|',,|' mbmmPmmm ς≡Ω , que é a taxa específica

de quebra de partícula de massa m gerando partículas filhas com massa entre ' e

. Note que a propriedade dada pela equação (II-8) permite escrever que

m

'' dmm +

( ) ( )[ ] ( )∫ Ω=m

dmmmmmb0

',|',1, yyy ς .

A freqüência de agregação ou coalescência, ( )y,',mmQ , representa a fração dos

pares de partículas de massa m e ' que estão em uma certa vizinhança em torno do

ponto z, que se agregam na unidade de volume/tempo. Esta função é obtida pela

integração na vizinhança do ponto z da verdadeira freqüência de coalescência, que

depende da posição das partículas e tem unidade de inverso tempo, usando a hipótese de

homogeneidade local da distribuição de tamanho. Apenas a função é

usualmente modelada devido a complexidade do fenômeno e será a referida freqüência

de coalescência nesta dissertação.

m

( )y,',mmQ

O produto ( ) ( ) 'z,',z,,)y,',( dmdmmtfmtfmmQ αα fornece a taxa de coalescência

de pares de partículas de massa m e no ponto z por unidade de volume físico. Uma

integração dupla em todo o domínio de m e fornece a taxa global de coalescência por

unidade de volume físico que ocorre no ponto z.

'm

'm

A quebra de partículas fluidas

O primeiro estudo sobre o fenômeno de quebra promovida pelo escoamento local

externo à partícula foi de Taylor (1934). Porém, apenas Hinze (1955) propôs uma

classificação das causas de deformação e quebra das partículas (tensões viscosas e

dinâmicas) para diferentes tipos de escoamento (paralelo laminar, Couette e turbulento),

resumindo o conhecimento sobre o assunto até então. Hinze (1955) tentou relacionar

10

estas causas nos diversos escoamentos através de um balanço de forças em termos das

tensões envolvidas.

O estudo de Hinze (1955), resumidamente, consistia em tentar calcular, para

cada tipo de escoamento, a tensão T que causa a deformação da partícula. A tensão

superficial tende a contrabalançar esta força atuando com uma tensão da ordem de σ/d,

onde d é o diâmetro da partícula. A razão entre estas duas tensões fornece um número

adimensional, σTd , que caracteriza a deformação da partícula. Quando as forças

viscosas dominam o escoamento, T é uma medida da tensão viscosa, ST μ= , onde S é a

taxa de deformação, e o número adimensional se torna o número capilar:

σμSdCa = (II-10)

Quando o escoamento é dominado pelas forças inerciais, T é uma medida das

tensões dinâmicas do escoamento, , onde U é uma velocidade característica do

escoamento da fase contínua, e o número adimensional se torna o número de Weber:

2UT ρ=

σρ dUWe

2

= (II-11)

Por vezes o número capilar também é chamado de número de Weber associado

às forças viscosas.

A quebra da partícula é esperada sempre que o número adimensional exceder um

valor limite, que depende das características do escoamento, das razões entre as

densidades e viscosidades das fase dispersa e contínua e de um número adimensional

que é a razão entre as forças viscosas e de tensão superficial na partícula fluida, o

número de Ohnesorge, dOh dd σρμ= . O número de Ohnesorge pode ser substituído

pelo número de Reynolds, μρUdRe = , pois ( ) ReWeOh dd μμρρ= .

A teoria de quebra de partículas fluidas em escoamentos turbulentos foi proposta

de forma independente por Komolgorov (1949) e Hinze (1955), sendo baseada em duas

hipótese fundamentais: (i) para eddies (i.e., vórtices) maiores que a microescala de

Komolgorov, ( ) 413 εν=l , a inércia domina e (ii) apenas as flutuações da velocidade em

11

uma distância similar ao diâmetro da partícula são capazes de causar grandes

deformações. Neste caso, ( )duT 2Δ= ρ e ( ) σρ dduWe 2Δ= onde ( )du 2Δ é o valor

médio dos quadrados das flutuações da velocidade entre dois pontos afastados pela

distância d.

Assumindo que a turbulência é praticamente isotrópica na região de

comprimentos de onda comparáveis ao diâmetro da maior partícula, podemos utilizar

alguns resultados da teoria da turbulência homogênea e isotrópica (Batchelor, 1953,

Hinze, 1959). Para e considerando os vórtices dentro do subintervalo inercial da

turbulência homogênea e isotrópica,

ld >>

( ) ( ) 322 2 ddu ε≈Δ (Hinze, 1955). Neste caso,

temos

σρε 35322 d

We = (II-12)

Assumindo que a partícula quebra se seu diâmetro for acima de um certo valor

crítico do número de Weber, tem-se que o diâmetro máximo permissível em uma

dispersão onde ocorrem processos de quebra seria dado por:

5253

5353

max 2 ερσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= critWed (II-13)

Por outro lado, se (faixa sub-Kolmogorov), há um número capilar crítico

acima do qual ocorre a quebra, o qual é função da razão das viscosidades das fases

(Taylor, 1932):

ld <<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

μμ

σμ d

critSdCa F (II-14)

Porém, para um escoamento turbulento localmente isotrópico, temos

( ) 12 152 −= νεS , de forma que:

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

μμ

εν

μσ dgd

21

max (II-15)

A teoria até então permitia dizer se ocorre ou não quebra, porém para simular a

evolução dos tamanhos das partículas, é necessário conhecer quantas partículas

quebram nas unidades de tempo e volume (freqüência de quebra das partículas) e

quantas e como são as partículas formadas. Os modelos de quebra tentam responder a

estas perguntas. Muitos deles tomaram como base a teoria de quebra de partículas

fluidas de Komolgorov (1949) e Hinze (1955), postulando a interação de vórtices com

as partículas fluidas, além de outras hipóteses que dependem de cada modelo.

Entretanto, resultados experimentais e teóricos recentes em escoamentos

turbulentos bem definidos (jatos axialmente simétricos) indicam que existe mais de um

mecanismo de quebra de partículas fluidas em escoamentos turbulentos e que o

postulado por Komolgorov (1949) e Hinze (1955) é mais complexo do que apenas um

limite crítico para o balanço das tensões envolvidas. Detalhes destes resultados recentes

serão vistos mais adiante.

Modelos de quebra de partículas fluidas

Inicialmente revisaremos os principais modelos desenvolvidos para estimar as funções

de quebra (equações II-5 e II-6): ( )y,mb , ( )y,m′ς e ( )y,| mmP ′ . A dependência destas

funções com as variáveis da fase contínua, y, não será explicitada e, em geral, utilizar-

se-á o diâmetro da partícula, d, ou o seu volume, v, no lugar da massa m, uma vez que

todos os modelos assumem que a densidade da fase dispersa é constante.

A análise dos modelos da freqüência de quebra, ( )mb , e do número de partículas

filhas, , e da distribuição de tamanhos das partículas filhas formadas na quebra,

, será realizada em duas seções diferentes porque os modelos de quebra podem

ser classificados, fundamentalmente, em dois tipos:

( )mς

( mmP |′ )

• os modelos de freqüência de quebra, que fornecem uma expressão para freqüência

de quebra, , e postulam as formas funcionais de número de filhas, , e da

probabilidade de distribuição de tamanhos das filhas,

( )mb ( )mς

( )mmP |′ .

13

• os modelos de quebra, que fornecem uma expressão para a freqüência específica de

quebra, , e postulam apenas o número de filhas na quebra, ,

usualmente considerado igual a 2 (quebra binária), a partir do qual se obtém a

freqüência de quebra, , e a probabilidade de distribuição de tamanhos das

filhas,

( )mm |′Ω ( )mς

( )mb

( )mmP |′

Apenas os modelos mais empregados ou mais recentes serão revisados, com maior

ênfase na análise dos mais recentes.

Modelos de freqüência de quebra

Coulaloglou e Tavlarides (1977)

Coulaloglou e Tavlarides (1977) definiram a freqüência de quebra da partícula de

diâmetro d como sendo o produto do inverso do tempo de quebra pela fração das

partículas que quebram:

( ) ( )( )dN

dNt

dbb

Δ=

1 (II-16)

onde é o número total de partículas de tamanho d. ( )dN

Considere que a quebra ocorre devido à colisão entre vórtices e partículas

quando os vórtices possuírem energia cinética superior do que a energia da superfície da

partícula. Sendo assim, a fração de partículas que quebram é proporcional à fração de

vórtices com energia suficiente para a quebra.

Coulaloglou e Tavlarides (1977) assumiram uma distribuição exponencial para a

média quadrática das flutuações de velocidade (Macedo, 1978) e, portanto, para a

energia cinética dos vórtices. Eles também assumiram que as partículas seguem esta

mesma distribuição, de forma que:

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ΔEE

dNdN cexp (II-17)

14

onde a energia de superfície é e a energia cinética turbulenta média das

partículas é

2dEc σ∝

( )dudE d23 Δρ∝ , onde ( )du 2Δ é o valor médio dos quadrados das

flutuações da velocidade entre dois pontos afastados pela distância d, que no

subintervalo inercial da turbulência isotrópica é dado por ( ) ( ) 322 ddu ε∝Δ . O tempo de

quebra foi assumido proporcional ao tempo característico do movimento relativo de

afastamento dos vórtices, ( ) 2/12/ udtb Δ∝ , portanto, 3132 −∝ εdtb . Assim, eles obtiveram

a seguinte expressão para a freqüência de quebra em dispersões diluídas:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

353223132

1 expd

CdCdbd

cc ερ

σε (II-18)

onde Cc1 e Cc2 são constantes a serem ajustadas experimentalmente. Coulaloglou e

Tavlarides (1977) e Hsia e Tavlarides (1983) propuseram formas diferentes de corrigir a

equação (II-18) para a sua aplicação a dispersões concentradas.

Konno et al. (1980)

O modelo de Konno et al. (1980) é um modelo híbrido onde a freqüência de quebra foi

obtida seguindo o mesmo procedimento de Coulaloglou e Tavlarides (1977), mas

assumindo uma distribuição de Maxwell para a velocidade das partículas. Isto origina a

seguinte expressão:

( ) ( ) dxxxdudCdbu

k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πΔ= ∫

∞

∗

−

23exp63

2221 ,

( )du

uu c

2Δ=∗ (II-19)

onde uc é uma velocidade crítica e Ck uma constante a ser determinada.

Lee et al. (1987)

Lee et al. (1987) consideraram que a quebra é um resultado da interação de vórtices com

partículas sendo regulada pela relação entre a energia dos vórtices e a energia

superficial da partícula. Eles desenvolveram um modelo de quebra baseados no trabalho

de Narsimham et al. (1979), usando análise dimensional para estimar a freqüência

15

média dos vórtices que chegam a uma partícula, obtendo a seguinte freqüência de

quebra:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫−

1

03113532

231321 1 φ

φερσε d

dCFdCdb

d

LL (II-20)

onde F é a distribuição cumulativa χ2 e CL1 e CL2 são parâmetros a serem determinados.

Prince e Blanch (1990)

Prince e Blanch (1990) postularam que a quebra das partículas é o resultado da colisão

entre partículas e vórtices. Assim, a freqüência de quebra seria o produto da freqüência

de colisão entre partículas e vórtices de um certo tamanho, θde, com uma eficiência de

quebra, F(u):

( ) ( ) ( )( duFddb dee θ= ) (II-21)

Usando argumentos da teoria cinética dos gases (Macedo, 1978) eles estimaram

a freqüência de colisão entre partículas e vórtices como sendo:

( ) 2122eddeede uuSn +=θ (II-22)

onde ne é a concentração dos vórtices na faixa de interesse, 2du e 2

eu são as velocidades

turbulentas médias das partículas e vórtices, respectivamente, e Sde é a seção reta de

colisão entre as partículas de raio d/2 e vórtices de tamanho kre π= , onde k é o

número de onda associado aos vórtices. Eles definiram a seção reta de colisão como

2

24⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π= ede rdS (II-23)

16

A equação (II-23) está equivocada pois o fator 1/4 só faria sentido se o termo quadrático

fosse dado em termos dos diâmetros da partícula e vórtices (d e kde π= 2 ). Pela teoria

cinética dos gases, a expressão correta é ( )( )24 ede ddS +π= (Macedo, 1978).

O número de vórtices em uma dada faixa de tamanhos é obtido integrando o

espectro de energia no subintervalo inercial da turbulência isotrópica:

( ) 21,0 kdk

kdne = (II-24)

Como a equação (II-24) é válida, apenas, no subintervalo inercial, o valor de ne

vai a infinito quando k vai a infinito (pequenos vórtices). Para evitar este problema, eles

usaram a consideração de Hinze (1955) de que apenas os vórtices com tamanho similar

ao da partícula podem provocar a quebra, pois vórtices muito menores não teriam a

energia necessária e vórtices muito maiores provocariam a convecção da partícula, e

não a sua quebra. Assim, eles arbitraram um intervalo de integração da equação (II-24)

para incluir apenas os vórtices com 0,2d ≤ de ou k ≤ 10π/d.

Prince e Blanch (1990) definiram uma eficiência de quebra de forma similar à

expressão da fração dos vórtices que quebram de Coulaloglou e Tavlarides (1977):

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2

expe

c

uduuF (II-25)

onde ( ) 312 4,1 ee du ε≅ é a velocidade média dos vórtices de tamanho de e uc é a

velocidade crítica que provoca a quebra. Utilizando uma correlação para o diâmetro

máximo das partículas e um valor de 2,3 para o número de Weber crítico baseado neste

diâmetro, eles estimaram, para bolhas de ar em água, que ( ) 2152,1 duc ρσ≅ .

A forma final para a freqüência de quebra é obtida usando os resultados acima

na equação (II-21) e a integrando na faixa relevante e estipulada por Prince e Blanch

(1990) para os tamanhos dos vórtices (ou números de onda):

( ) ( ) ( ) ( )∫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

dke

e

cedde dk

dkkdn

uduuuSdb

π10

02

22122

max

exp (II-26a)

17

ou

( )( )∫

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dk

dkkd

kk

dk

ddbπ

ρεσ

πεπππ10

0

232

32

3231

213232

2max

218,1exp22

1614,0 (II-26b)

onde a forma originalmente fornecida pelos autores para a seção reta de colisão

(equação II-23) foi utilizada. A generalização desta equação para outros sistemas

implicaria em admitir outro valor para o número de Weber crítico, alterando a constante

dentro da exponencial. Prince e Blanch (1990) não utilizaram a equação como mostrada

em (II-26b), mas uma forma discretizada da mesma, com a qual realizaram a validação

do modelo.

Lasheras et al. (2002) analisaram a hipótese de que vórtices muito menores que a

partícula não teriam a energia necessária para quebrá-la, feita por Prince e Blanch

(1990) e embutida no truncamento da integral no limite superior apresentado na equação

(II-26). Para tanto, eles variaram o limite superior de integração para os casos de de,min =

20, 10 e 5% de d e até mesmo para a microescala de Komolgorov, definida por

( ) 413max 5,0 νε=k . A figura (II-1) reproduz o estudo de sensibilidade do modelo de

Prince e Blanch (1990) realizado por Lasheras et al. (2002) e confirma a alta

sensibilidade do modelo ao valor do limite superior da equação (II-26), kmax.

18

Figura II-1 – freqüência de quebra do modelo de Prince e Blanch (1990), sistema ar-

água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3 e ε = 1 m2/s3.

Lasheras et al. (2002) também analisaram o comportamento da taxa de quebra

com o diâmetro para os modelos de Coulaloglou e Tavlarides (1977), Konno et al.

(1980) e Prince e Blanch (1990) (figura II-2).

A figura (II-2) mostra que, com exceção do modelo de Prince e Blanch (1990),

os modelos apresentam um máximo para a freqüência de quebra em um certo diâmetro

para os no valor de ε considerado. Todavia, existe um máximo matemático nos três

modelos, a questão é que no valor de ε considerado o ponto máximo de freqüência de

quebra do modelo de Prince e Blanch (1990) ocorre em um valor de diâmetro muito alto

e sem significado físico.

A representação dos modelos na figura (II-2) foi adimensionada para melhor

comparação e interpretação pelo maior valor de freqüência de quebra obtido em cada

modelo na faixa avaliada, bmax.

19

Figura II-2 –freqüência de quebra adimensional em função do diâmetro, modelos de

Coulaloglou e Tavlarides (1997), Konno et al. (1980) e Prince e Blanch (1990), sistema

ar-água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3 e ε = 1 m2/s3.

Modelos de quebra

Tsouris e Tavlarides (1994)

Tsouris e Tavlarides (1994) criticaram o comportamento não-monotônico do modelo de

freqüência de quebra de Coulaloglou e Tavlarides (1977) que, sem explicações

adicionais, foi considerado fisicamente errado, mesmo esse comportamento aparecendo

em outros modelos até então (figura II-2). Eles propuseram um modelo para freqüência

de quebra das partículas baseado no choque de vórtices e partículas, que é ligeiramente

diferente do modelo de Prince e Blanch (1990):

( ) ( ) ( )∫Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

k

ecteddet dk

dkkdn

eECuuSCdb 1

21221 exp (II-27)

20

onde a seção reta de colisão foi definida como ( )2ede ddS +π= , mas com a definição do

diâmetro do vórtice dada por kde /2= , que é diferente da usada por Prince e Blanch

(1990), as velocidades médias dos vórtices e das partículas eram calculadas por

( ) 322 2,8 kue ε≅ , ( ) 322 07,1 dud ε≅ , respectivamente, e e é a energia média de um vórtice

de tamanho de, sendo dada por:

( ) 32311323

23

43,022,821

621

6επρερπρπ

eee

ee dddude === (II-28)

A maior diferença entre os modelos de Tsouris e Tavlarides (1994) e Prince e

Blanch (1990) é a energia mínima necessária à quebra, Ec. No modelo de Prince e

Blanch (1990) é a energia associada à velocidade crítica, calculada a partir do número

de Weber crítico, no de Tsouris e Tavlarides (1994) ela é a média da energia de

superfície em excesso necessária para gerar um par de partículas, média que considera

os casos que formam as menor e maior partículas filhas possíveis e duas partículas de

mesmo volume:

(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧πσ= 22

min2max

22

3122

21 dddddEc )

)

(II-29)

onde é o diâmetro da menor partícula filha que pode ser formada na quebra e mind

( 313min

3max ddd −= o diâmetro da outra partícula resultante desta quebra.

A equação final para a freqüência de quebra é dada por:

( ) ( )( )∫

=

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

edk

dk

tt dk

kddddC

kd

kdkFCdb

min,max

min

2

232311

22min

2max

2312

21

3232

2231

1 243,022

2exp2,807,12

επρπσε (II-30)

onde F é uma correção da dissipação turbulenta para dispersões densas e função da

retenção gasosa e Ct1 e Ct2 são constantes a serem ajustadas.

Tsouris e Tavlarides (1994) admitem que apenas os vórtices com tamanho entre

o diâmetro da partícula e um certo tamanho mínimo, (ou ddd ee ≤≤min,

21

min,/2/2 edkd ≤≤ ), podem interagir com a partícula para gerar a quebra. Estes são os

limites definidos na integral da equação (II-30). Isto implica em assumir que a

freqüência de quebra seria independente dos limites de integração e da

integral da equação (II-30), para valores correspondentes a partículas com tamanho

dentro do subintervalo inercial da turbulência isotrópica, isto é, e

, onde L

mink maxk

dkLe /2/2 min ≤≤

edkl min,max /2/2 ≤≤ e e l são as escalas integral e de Kolmogorov. Lasheras et

al. (2002) fizeram uma análise de sensibilidade deste modelo ao valor de (2/d no

modelo original) e os seus resultados mostram a alta sensibilidade do modelo a este

limite. Quando muda de 2/d para 1/d a freqüência de quebra de bolhas de 1 mm de

diâmetro muda de 0.2 s

mink

mink-1 para 32 s-1. Quando eLk /2min = , com , mm1=eL diâmetro da

maior partícula considerada, ou seja, para 2000min =k , o comportamento da freqüência

de quebra com o diâmetro modifica-se qualitativamente (figura II-3).

Figura II-3 – Análise da dependência do modelo de freqüência de quebra de Tsouris e

Tavlarides (1994) com o valor de kmin (σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3, ε = 1 m2/s3).

22

Luo e Svendsen (1996)

Luo e Svendsen (1996) também propuseram um modelo baseado em resultados da

teoria cinética dos gases, onde a freqüência de quebra de partículas com tamanho d

devido à interação com vórtices na faixa de tamanho entre de e de+dde é dada pelo

produto de uma freqüência de colisão entre uma partícula e estes vórtices, ( )ddeθ , e uma

eficiência de quebra, , isto é, ( )dF ( ) ( ) ( )dFddb dee θ= . A freqüência de colisão foi dada

por:

( ) ( )e

ededeede dd

dnuuSdd2122, +=θ (II-31)

onde a seção reta de colisão foi dada por ( )( )24 ede ddS +π= (Macedo, 1978), a

velocidade relativa foi aproximada pela velocidade média dos vórtices,

( ) ( ) ( ) 31212122122eede duuu εβ≅≈+ , 045,2=β .

A densidade numérica dos vórtices, ne, foi calculada segundo Tennekes e

Lumley (1972). Sendo o espectro de energia, E(k), a energia cinética dos contida em

um vórtice com o comprimento de onda é dada por k + dk, ))(1()( dkkE −−φρ . Por

outro lado, a definição da energia cinética contida em um vórtice de tamanho de + dde é

dada por ( )eeeee dduddddn 23)6/()/( πρ . Dessa forma, com base na relação do

comprimento de onda com o tamanho do vórtice ( edk /2π= ), considerando a relação

, permite-se determinar que é dado por : 3/53/2)( −= kkE φε )/( ee dddn

( )41822,0ee

e

ddddn φ−

= (II-32)

onde o fator envolvendo a fração volumétrica da fase dispersa, φ, transforma a

densidade numérica de partículas por volume da fase contínua na densidade numérica

de partículas por volume da mistura bifásica. Utilizando as equações (II-32) e (II-31) e a

variável adimensional dde=ξ , Luo e Svendsen (1996) fornecem:

23

( ) ( )( ) ( )3112

231 11923,0

ξξεφξθ

ddde

+−= (II-33)

Para calcular a eficiência de quebra e assumindo quebra binária, Luo e Svendsen

(1996) propuseram que a quebra sempre ocorre se o vórtice tiver energia, ,

superior ao aumento da energia superficial que ocorre na geração das duas partículas

filhas,

( )ede

( 1,ddEc ) ), onde d o diâmetro da partícula mãe, d1 e ( 3131

3 dd − são,

respectivamente, o diâmetro da menor e da maior partícula filha resultante da quebra

binária. Utilizando a distribuição normalizada de probabilidade para a energia cinética

dos vórtices de tamanho de dada por:

( ) ( )χ−=χ expep , ( )( )e

e

dede

=χ , (II-34) ( ) 10

=χχ∫∞

dpe

definiu-se a eficiência de quebra como sendo igual a probabilidade que o vórtice tenha

energia maior que ( 1,ddEc ), o que leva a:

( ) ( ) ( )cee

c

dpdddF χχχχ

−== ∫∞

exp,, 1 , ( )( )e

cc de

ddE 1,=χ (II-35)

Note que a equação acima fornece a probabilidade de quebra de uma partícula de

tamanho d pela interação com um vórtice de tamanho de para originar a menor filha de

tamanho d1. A integral desta probabilidade para todo valor possível de de e d1 deve

fornecer o valor unitário, pois o modelo de Luo e Svendsen (1996) sempre admite que

ocorrerá quebra se a energia do vórtice for suficientemente grande ou o aumento da

energia superficial for suficientemente pequena. Desta forma, uma partícula sempre

quebra neste modelo. Isto implica que a verdadeira variável de distribuição da equação

(II-35) é ( 1,ddec )χ , pois . Mais adiante, vermos que Luo e Svendsen

(1996) assumiram, erroneamente, uma variável de distribuição diferente.

( ) 1exp0

=−∫∞

cc dχχ

Assim, Luo e Svendsen (1996) chegaram a uma função exponencial similar a do

modelo de Tsouris e Tavlarides (1994). Entretanto, elas são formulações diferentes

24

devido à forma usada para a energia necessária à quebra que aparece no numerador do

argumento da função exponencial. Portanto,

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

e

ce de

ddEdddF 11

,exp,, (II-36)

onde a energia cinética média dos vórtices de tamanho de, para o subintervalo inercial

da turbulência isotrópica, foi dada por

( ) ( ) ( ) 32331132311323

23

121221

621

6dddddudde ee

ee

ee ερξπβερπβερβπρπ

==== (II-37)

Comparando a equação acima com a equação (II-28), do modelo de Tsouris e

Tavlarides (1994), verifica-se que a única diferença é o fator multiplicativo

( 535,012 =πβ ).

A maior diferença entre este e os modelos de Tsouris e Tavlarides (1994) e

Prince e Blanch (1990) está na definição da energia crítica média, que é aqui definida

como o aumento da energia superficial quando a partícula de diâmetro d se quebra:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) 23232223231

3211 11, dfCffdddddddE VfVVc πσ=−−+πσ=−−+πσ= (II-38)

onde ( 31 ddfV = ) é a fração de volume e ( ) 11 3232 −−+= VVf ffC , de forma que

[ ]12,0 31 −∈fC .

Para determinar a freqüência de quebra de uma partícula com diâmetro d e que

gera a menor partícula filha de diâmetro d1 é necessário integrar na faixa relevante dos

tamanhos dos vórtices, o que fornece segundo Luo e Svendsen (1996):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3113532

1

311

231

2

12,exp11923,0|

minξβρεσ

χξχξ

ξεφξ d

fCd

dvf Vf

ccV =−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=Ω ∫ (II-39)

onde o limite superior da integração desconsiderou todos os vórtices maiores que a

partícula e o limite inferior foi definido como o limite inferior do subintervalo inercial

25

da turbulência isotrópica, dd emin,min =ξ com 4,314,11min, −≈ld e , onde l é a

microescala de Kolmogorov. Note que equação (II-39), Luo e Svendsen (1996)

assumiram que é a variável de distribuição no lugar de Vf cχ .

Convertendo a variável que representa o tamanho da partícula filha de fV para v,

através da relação ( ) ( ) VV dfvfdvvv || 11 Ω=Ω , pode-se escrever que

. Das definições das funções de quebra, tem-se que

. Assim, a integral em v

( ) ( vfvvv V ||1 Ω=Ω )

)( ) ( ) ( ) (vbvvPvvv || 11 ς≡Ω 1 no intervalo [ ]2,0 v de

fornece a taxa total de quebra binária da partícula de volume v, ou diâmetro d. Isto

equivale a integrar

( )vv |1Ω

( vfV | )Ω em no intervalo Vf [ ]21,0 :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

∫∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Ω=Ω=

1 21

03113532311

231

2

21

0

1

0

min

12exp11923,0

||21

ξ

ξξεβρσ

ξξεφ ddf

dfC

d

dfvfdfvfvb

Vcc

Vf

VVVV

(II-40)

Embora o modelo não dependa de ajuste de parâmetros, ele depende dos limites

de integração presentes na equação (II-39). Lasheras et al. (2002) avaliou a dependência

do modelo ao limite superior de integração no tamanho dos vórtices e seus resultados

estão reproduzidos na figura (II-4). Pode-se verificar na figura (II-4) que existem

grandes variações para o valor da freqüência de quebra (até superiores a 100%) com a

alteração do valor de maxξ .

26

Figura II-4 – Sensibilidade do modelo de Luo e Svendsen (1996) à variação do limite

superior de integração no tamanho dos vórtices.

Hagesaether et al. (2002a)

Hagesaether et al. (2002a, 2002b) mostraram que o modelo de Luo e Svendsen (1996)

apresenta uma inconsistência devido ao critério de quebra adotado, apresentando, então,

uma modificação do mesmo. Ao se admitir que a quebra irá ocorrer sempre que a

energia do vórtice for superior ao aumento de energia superficial devido à quebra,

chega-se à conclusão que toda partícula será sempre quebrada ao se chocar com um

vórtice, pois o aumento de energia superficial vai a zero quando d1 vai a zero.

Isso implica que, na solução discretizada do balanço populacional, qualquer

classe de partículas pequenas, por menor que sejam, que seja adicionada a discretização

será povoada por partículas filhas geradas por quebra, ocorrendo um apreciável aumento

na taxa total de quebra das partículas. Portanto, não é possível atingir uma solução

estacionária para o problema de balanço populacional independente da malha de

discretização.

27

No modelo de Luo e Svendsen (1996), há uma limitação na quebra da partícula

se ela for menor do que o tamanho mínimo dos vórtices considerados, que são aqueles

pertencentes à faixa inercial da turbulência isotrópica, isto é, quando o limite superior

da integral da equação (II-39) é menor que o seu limite inferior. Neste caso, assume-se

que a integral é nula. Tal limitação não foi considerada por Hagesaether (2002), que

assumiu , o que viola as próprias hipóteses usadas no desenvolvimento do

modelo de Luo e Svendsen (1996). Desta forma, a inconsistência apontada por

Hagesaether e colaboradores é, parcialmente, o resultado da utilização da aproximação

de . Entretanto, a inconsistência apontada por eles realmente existe.

0min ≅ξ

0min ≅ξ

Para eliminar este problema, Hagesaether et al. (2002a) fizeram duas

modificações na eficiência de quebra de Luo e Svendsen (1996). A primeira foi

adicionar um novo critério necessário para que a quebra da partícula ocorra, o de

densidade de energia, ao critério de energia superficial. O critério de densidade de

energia é uma proposta, ainda sem validação teórica, que consiste em postular que um

vórtice só pode quebrar uma partícula se a sua densidade de energia, we, (energia

cinética dividida pelo seu volume) for maior do que a densidade de energia, ws, (energia

superficial dividida pelo seu volume) da menor partícula formada, isto é:

( ) ( )1dwdw see ≥ (II-41)

onde

( ) ( )3

6e

eee d

dedwπ

≡ e ( )1

16d

dwsσ

= (II-42)

Assim, um vórtice só quebra uma partícula de diâmetro d para gerar a menor

partícula de diâmetro d1 se ele tiver energia superior ao aumento de energia da

superfície ( ( ) ( 1,ddEde ce ≥ ) , equação II-38) e que a sua densidade de energia seja maior

que a da partícula filha de diâmetro d1 (equação II-41).

A segunda modificação foi postular que a probabilidade na quebra da uma

partícula condicionada à ocorrência do choque com um vórtice é proporcional tanto à

diferença entre a energia do vórtice e o aumento de energia superficial associada à

quebra quanto à diferença entre as densidades de energia do vórtice e da menor partícula

28

filha. Desta forma a eficiência de quebra de uma partícula de diâmetro d para gerar a

menor partícula de diâmetro d1 devido ao choque com o vórtice de tamanho de e energia

e(de) seria dada por:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]111 ,,,, ddEdedwdwdedddF ceseeee −−∝ (II-43)

Foi utilizada a distribuição normalizada da energia cinética dos vórtices de tamanho de,

, do modelo de Luo e Svendsen (1996) (equação II-34) com a energia médio do

vórtice de tamanho d

( )χep

e, também fornecido pelo modelo de Luo e Svendsen (1996) e dada

pela equação (II-37).

Os critérios de quebra adotados por Hagesaether et al. (2002a) levam às

seguintes conseqüências.

• O critério de energia superficial pode levar a uma restrição ao valor máximo de d1

inferior ao valor máximo obtido pela quebra em duas partículas iguais,

( ) 31 2max dd = , caso a energia do vórtice seja inferior ao máximo de ( )1,ddEc ,

isto é, ( ) [ 3 2,ddEde ce < ] . Estabelece-se, assim, um valor máximo, d1,max, para o

qual a equação (II-43) se aplica, obtido por:

( ) [ ] ( ) [ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ <==≤

contrário caso em ,22, para,, de solução

3

3max,1

max,11d

ddEdeddEdedd cece (II-44)

• O critério de densidade de energia estabelece um valor mínimo para d1 para o qual a

equação (II-43) se aplica, obtido a partir da equação (II-41):

( )e

e

deddd

3

min,11πσ

≡≥ (II-45)

Assim, para [ , ]max,1min,11 ,ddd ∉ 0=F , podendo-se escrever a probabilidade de

quebra por:

29

( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

−−

−−

= ∫max,1min,11

max,1min,1111

1

,,0

,,,

,

,,,max,1

min,1

ddd

ddddxxdEdexwdw

ddEdedwdw

dedddFd

dcesee

cesee

ee (II-46)

Além disso, para um dado tamanho do vórtice, cresce indefinidamente

com a diminuição da energia do vórtice enquanto que cresce com o aumento da

energia do vórtice até atingir o maior valor possível,

min,1d

max,1d

( ) 31 2max dd = . Desta forma,

existe um valor da energia do vórtice para o qual max,1min,1 dd = , que é chamado de ponto

crítico de quebra, , pois qualquer vórtice de tamanho d( ePCQ dde , ) e com energia inferior

a este limite não quebra a partícula de diâmetro d porque os dois critérios não são

simultaneamente satisfeitos.

Para o cálculo das taxas de quebra, Hagesaether et al. (2002a, 2002b)

consideraram a mesma expressão que Luo e Svendsen (1996) para a taxa de colisão

específica entre partícula e os vórtices, dada pela equação (II-31), mas com a velocidade

relativa entre vórtice e partícula sendo dada por ( ) ( )[ ] 2122ett dudu + com ( ) ( ) 322 ddut εβ≅ .

Eles também permitiram que o vórtice tivesse qualquer tamanho, podendo ser muito

maior que a própria partícula. Este último ponto elimina do modelo de Hagesaether et

al. (2002a) o ponto que foi criticado por Lasheras et al. (2002) no modelo de Luo e

Svendsen (1996), que é a sensibilidade do modelo ao valor máximo considerado para o

tamanho do vórtice.

Hagesaether et al. (2002a) evitaram calcular diretamente o modelo, empregando

discretizações tanto na variável de distribuição de energia, χ , quanto no tamanho dos

vórtices, de. Fornecendo:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )∑=)(

11 ,,,,,,,e

ede

eedeeee dedddedddFdddF ω (II-47)

onde eω fornece a fração de vórtices de tamanho de que possui energia e(de), tal que:

(II-48) ( ) ( )( )( )

( ) ( ede

eede ddFddedde

e,exp,,

0

≅−≅ ∫∑∞

χχω )

30

De forma que:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=Ω

min,

),,()(

111923,0| 14

2/13/2231

21ed

ee

ee dddFdd

ddddd

vv εφ (II-49)

O modelo de Hagesaether et al. (2002a), como mencionado, apresenta duas

discretizações, a primeira discretização é a variável de distribuição de energia, χ .

Hagesaether et al. (2002a) integra χ a partir de PCQχ a Φ+PCQχ dividindo em n

classes. Todas as classes possuem o mesmo tamanho, de forma que:

( ) ( ) ( ) Ξ=Φ−−−−=−∫Φ+

nd PCQPCQ

PCQ

PCQ

χχχχχ

χ

expexpexp (II-50)

onde PCQχ é definido por:

( ) ( )( )e

ePCQPCQ de

dded

,, =ξχ (II-51)

onde a energia no ponto crítico de quebra, ( )ePCQ dde , , é calculada por

( )c

eePCQ d

dddemin,,1

3

, πσ= (II-52)

e onde o diâmetro crítico (quando max,1min,1 dd = ) da menor filha é obtido pela solução da

equação:

[ ccc

e ddEd

dmin,,1

min,,1

3

,=πσ ] (II-53)

31

quando [ 33

3

2,2

ddEd

de ce

CDE <πσ

≡ ] , sendo dado por 3min,,1 2dd c = em caso contrário.

é a energia mínima do vórtice que satisfaz o critério de energia superficial para

todos os valores de d

CDEe

1, de forma que a quebra é controlada basicamente pelo critério de

densidade de energia. Portanto, uma vez definido o valor de , pode-se

calcular pela equação (II-52).

( ec ddd ,min,,1 )

)( ePCQ dde ,

Hagesaether et al. (2002a) afirma que para precisão da ordem de 0,001 o valor

de é igual a 6,91. Sendo assim, Φ kΦ pode ser obtido da série:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Φ+Φ−

−−+

−−−−=Φ ∑

−

=

1

1exp

11

111ln

k

ook knkn

(II-54)

onde k é o índice da divisão por classe (1 ... n).

A segunda discretização ocorre no diâmetro dos vórtices, de. Primeiramente

defini-se o número de classes¸ ne, e a fração de vórtices contida na primeira classe, fe.

Em seguida, integra-se a equação (II-32) nos limites máximo e mínimo do tamanho dos

vórtices, de,mim e de,max, obtemos o número total de vórtices, TOTΞ . Por fim, Hagesaether

et al. (2002a) assume que a distribuição de tamanho dos vórtices respeita a seguinte

forma:

(II-55) ∑=

− Ξ=Ξn

i

ieTOT f

0

1

onde é o número total de vórtices na primeira classe. Tal distribuição precisa da

informação de d

Ξ

e,mim, porém, a equação (II-55) é uma série convergente para fe < 1, o

que implica que o modelo é independente do valor de de,max.

O diâmetro de cada classe pode ser obtido com a integração da equação (II-32)

na classe de vórtices. De forma geral, o diâmetro da n-ésima classe é dado por:

( ) nene

ne

nene

ne

dd

de

nee

dd

d e

e

dfdd

dddn ,1,

1,

,1,

1,

31

318226,0

+

−+ −

−

−

−

−−=Ξ=∫

φ (II-56)

32

o que resulta em:

( )( ) 1,

3/1

31,

1

31,

, )1(3/8226,0)1(3/8226,0

−−

−− −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ξ−−−

= nene

ne

nene d

dfd

dφ

φ (II-57)

Lehr et al. (2002)

Lehr et al. (2002) também propuseram um modelo de quebra de partículas fluidas

baseado em modificações do modelo de Luo e Svendsen (1996).

A freqüência de colisão entre vórtices e uma partícula é dada pela equação (II-

31) usando a aproximação de que a velocidade relativa entre vórtice e partícula é igual a

( ) ( ) ( ) 312121

221

22eede duuu εβ≅≈+ , β = 2. Entretanto, a densidade numérica dos vórtices

foi dada sem o termo envolvendo a fração volumétrica da fase dispersa e com uma

constante multiplicativa ligeiramente diferente:

48413,0

ee

e

ddddn

= (II-58)

Usando a mesma expressão para a seção reta de colisão do modelo de Luo e Svendsen

(1996), eles chegaram a seguinte expressão para a freqüência de colisão entre o vórtice

e uma partícula:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3112

2314312 1934,0934,0

ξξεεθ

ddddddd eeede

+=+= − (II-59)

A maior diferença entre este modelo e o de Luo e Svendsen (1996) (equação II-

33) está na definição da probabilidade de quebra. Lehr et al. (2002) assumiram que a

quebra ocorre sempre que a força de pressão dinâmica do vórtice, , for maior do

que a força de tensão superficial da partícula mãe, de diâmetro d. Esta força de tensão

superficial da partícula mãe foi calculada assumindo que a partícula está alongada na

forma de um cilindro com diâmetro igual a da menor partícula filha a ser formada, d

25,0 euρ

1,

33

sendo, pois, dada por 12 dσ . Desta forma, o critério de quebra é dado por um balanço

de tensões na forma:

1

2 221

due

σρ ≥ (II-60)

O lado esquerdo da equação (II-60) é a energia cinética do vórtice por unidade

de volume, isto é, a sua densidade de energia, ( )ee dw , enquanto que o lado direito é

proporcional a densidade de energia superficial da menor partícula filha, , ambas

definidas na equação (II-42). Sendo assim, o critério de quebra usado por Lehr et al.

(2002) (equação II-41) é muito similar ao critério de densidade de energia de

Hagesaether et al. (2002a), sendo diferente apenas em uma constante multiplicativa

originária na suposição de forma da partícula mãe, podendo a equação (II-60) ser

escrita na forma:

( )1dws

( ) ( )131 dwdw see ≥ (II-61)

A eficiência de quebra de uma partícula de diâmetro d quando colide com um

vórtice de tamanho de para gerar a menor partícula filha com diâmetro d1, , é

igual a definida pela equação (II-35), isto é:

( )edddF ,, 1

( ) ( ) [ ] ( ) ( )ceeee

c

dpddddFpdddF χ−=χχ=χχχ= ∫∫∞

χ

∞

exp,,,,,0

11 (II-62)

porém, assumindo partículas filhas esféricas e os critérios deste modelo χc é dado por:

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

( )( ) 329231

1

91

32321

321

21

16222

5,02,,

εξρσπ

εξρσ

ερσ

ρσξχ

vvddddud

dede

vveee

cec ===== (II-63)

onde 6311 dv π= é o volume da menor partícula filha.

Lehr et al. (2002) interpretaram corretamente que a variável de distribuição que

34

caracteriza a menor partícula filha é cχ , relacionado-a com d1 ou v1 através da equação

(II-63), dentro das hipóteses do modelo.

Lehr et al. (2002) determinaram a freqüência de quebra das partículas de

diâmetro d, ou volume v, para gerar duas partículas (quebra binária) com o volume da

menor partícula, v1, em uma faixa de valores que corresponde ao intervalo entre e e

, na forma:

cχ

cc dχ+χ

( ) ( ) ( )∫ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω

max

min

exp1943,0| 311

231

2

ξ

ξ

ξχξ

ξεχ dd

v cc (II-64)

A variável que caracteriza a partícula filha é uma variável de distribuição. A

integral de Ω ao longo de todo o domínio possível de qualquer variável de distribuição

deve ser fornecer o mesmo resultado. Assim, para v1, d1 e fV tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ Ω=Ω=Ω=21

0

2

011

2

011 |||

3

VV

dv

dfvfdddddvvvvb (II-65)

enquanto que para cχ

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω

max

min min,

exp1943,0| 311

231

2

2

011

ξ

ξ χ

ξχχξ

ξε ddd

dvvvc

cc

v

(II-66)

onde o limites da integral em vem da equação (II-63) com cχ ( )vvcc ,2,min, ξχ=χ . Da

equação (II-63) obtemos que:

11 3vdvd cc −=χχ (II-67)

assim, podemos escrever:

( ) ( ) ( )∫ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω

max

min

exp3

1943,0|1

311

231

21

ξ

ξ

ξχχξ

ξε dvd

vv cc (II-68)

35

Lehr et al. (2002) definiram os limites de integração assumindo que apenas

vórtices com tamanho entre o diâmetro da partícula mãe e o diâmetro da menor

partícula filha contribuíam para a freqüência de quebra, ou seja:

ddd e ≤≤1 ou 11 ≤ξ≤dd ⇒ dd1min =ξ e 1max =ξ (II-69)

Logo, a freqüência total de quebra da partícula de volume v é dada integrando

em v( vv |1Ω ) 1 (equação II-65) que leva, usando a equação (II-68), a

( ) ( ) ( )∫ ∫ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

01

1311

231

2

max

min

exp3

1943,0v

cc dvd

vdvb

ξ

ξ

ξχχξ

ξε (II-70)

Na realidade, a variável de distribuição de tamanho da menor partícula filha na

equação que define Ω em um dado modelo é aquela definida pela eficiência ou

probabilidade de quebra, F. No modelo de Hagesaether et al. (2002a), esta variável de

distribuição é, sem dúvida, . Note que a freqüência total de quebra de uma partícula

com diâmetro d, calculada pela equação (II-66) usa as variáveis de distribuição

adimensionais

cχ

( c )χξ , no lugar de ( )1,dde .

Para o desenvolvimento acima feito por Lehr et al. (2002) e para o modelo de

Luo e Svendsen (1996), a probabilidade de quebra, F, é definida como sendo 1 ou 0, se

a energia adimensional do vórtice for maior ou menor, respectivamente, a um valor

crítico, sendo este valor diferente nos dois modelos.

Como comentado anteriormente, Luo e Svendsen (1996) interpretaram

erroneamente que a probabilidade de quebra é função de fV (equação II-39) e não de

. Portanto a equação (II-39) fornece cχ ( )vc |χΩ . Corrigindo o modelo e utilizando a

definição de χc do modelo de Luo e Svendsen (1996), pode-se deduzir que a equação

(II-39) deveria ser substituída por:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−−

−=Ω −−

1

3113532322

23131

3731min

12exp1118923,0|

ξ

ξξβρεσ

ξξ

βρεφσ d

dfC

ffd

vf VfVVV

(II-71)

36

Entretanto, é possível comprovar que a freqüência de quebra dada pela equação

(II-71) não tem a dependência física correta, fornecendo valores de b(d) que aumentam

quando d diminui, ou seja, prediz que a quebra é mais intensa em partículas pequenas

do que em partículas grande (figura II-5). Isso significa que o equívoco na definição da

variável de distribuição cometido por Luo e Svendsen (1996) originou um modelo que

prediz qualitativamente o comportamento físico esperado.

Comparando os modelos Luo e Svendsen (1996) não corrigido (equação II-39) e

Lehr et al. (2002) (equação II-70), as únicas diferenças são:

• o limite inferior de integração: dd1min =ξ no modelo de Lehr et al. (2002),

enquanto que no modelo de Luo e Svendsen (1996) vem do limite inferior do

intervalo inercial da turbulência isotrópica

minξ

dd emin,min =ξ ,

• o valor de : no modelo de Lehr et al. (2002) dado pela equação (II-63) baseado

em um critério de densidade de energia dado pela equação (II-61), enquanto que no

modelo de Luo e Svendsen (1996)

cχ

cχ é baseado em um critério de energia dado na

equação (II-39), e

• uma pequena variação no termo multiplicativo da integral.

A figura (II-5) compara os resultados de Lehr et al. (2002) com os resultados do

modelo de Luo e Svendsen (1996) e Luo e Svendsen (1996) corrigido (equação II-71).

37

Figura II-5 – Modelos de freqüência de quebra de Luo e Svendsen (1996) (original e

corrigido) e o modelo de Lehr et al. (2002)

Como o modelo Lehr et al. (2002) mantém o limite superior da integral no

tamanho dos vórtices igual ao tamanho da partícula mãe, ele apresenta o mesmo

problema de sensibilidade ao valor de maxξ observado no modelo de Luo e Svendsen

(1996).

O critério de quebra utilizando no modelo de Lehr et al (2002) implica em uma

probabilidade de quebra dependente do tamanho da menor partícula filha (equação II-

63) e independente do tamanho da partícula mãe. Isto significa que a formação de uma

partícula filha de tamanho d1 é independente do tamanho da partícula mãe. Como a

quebra ocorre devido ao choque de um vórtice de tamanho de com a partícula mãe de

tamanho d, não parece fisicamente razoável que a formação de uma filha de tamanho d1

tenha probabilidade indiferente do tamanho da partícula mãe.

38

Wang et al. (2003)

Wang et al. (2003) apresentaram o seu trabalho como sendo uma modificação do

modelo de Luo e Svendsen (1996), mas o seu modelo é, na realidade, muito parecido

com o modelo de Hagesaether et al. (2002a).

Assim como no modelo de Luo e Svendsen (1996), eles admitem que a quebra é

binária e ocorre pela interação com vórtices de tamanho menores que a partícula mãe. A

freqüência de quebra de uma partícula de volume v, e diâmetro d, para gerar a menor

partícula filha com fração de volume entre e Vf VV dff + é dada pela integração no

tamanho dos vórtices do produto da freqüência de colisão entre vórtices e a partícula e a

probabilidade da colisão resultar em quebra com a menor partícula com fração de

volume entre e : Vf VV dff +

( ) ( ) ( )∫θ=Ωd

deeVeeV

e

ddddfFddvfmin,

,|,| (II-72)

onde o limite inferior da integração, de,min, é assumido como sendo o limite inferior do

intervalo inercial da turbulência isotrópica, tal como no modelo de Luo e Svendsen

(1996). A freqüência de colisão, ( )ede dd ,θ , é também calculada exatamente como no

modelo de Luo e Svendsen (1996), sendo dada pela equação (II-33).

A única diferença entre os modelos reside na probabilidade de quebra associada

ao choque entre partícula e vórtice, ( )eV ddfF ,| . Para calcular esta probabilidade de

quebra, Wang et al. (2003) admitiram que há quebra apenas quando dois critérios são

satisfeitos.

O primeiro critério é que a força inercial associada à pressão dinâmica do vórtice

supera a força capilar da menor partícula gerada na quebra, cujo diâmetro é d1, isto é:

1

2

21

duec

σ≥ρ (II-73)

Esta expressão é similar ao critério usado no modelo de Lehr et al. (2002), equação (II-

60), e também pode ser colocada na forma de um critério de densidade de energia:

39

( ) ( )161 dwdw see ≥ (II-74)

que lembra o critério do modelo de Hagesaether et al. (2002a), equação (II-41). Tal

como no modelo de Hagesaether et al. (2002a) (equação II-45), este critério implica em

definir um limite inferior para o diâmetro da menor partícula filha originária da quebra,

d1,min, ou, equivalentemente, um limite inferior da fração de volume desta partícula,

fV,min:

( )e

e

deddd

6

3

min,11πσ

≡≥ ⇒ ( )

333min,1

min, 6 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πσ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

eV dde

dd

df (II-75)

O segundo critério necessário para ocorrer quebra é que a energia do vórtice seja

superior ao aumento da energia superficial no processo de quebra, que foi usado tanto

por Luo e Svendsen (1996) quanto por Hagesaether et al. (2002a), e pode ser

matematicamente escrito como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11,, 323221 −−+≡πσ=≥ VVVfVfce fffCdfCddEde (II-76)

Assim como no modelo de Hagesaether et al. (2002a) (equação 44), este critério

estabelece um valor máximo para o diâmetro da menor partícula filha, d1,max, que pode,

alternativamente, ser escrito em termos de um valor máximo de Cf e, portanto, de fV:

( )σπ

≤ 2ddeC e

f ⇒ ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

σπ−= 2

31max, ,12min

ddeC e

f (II-77)

e fV,max é calculado resolvendo a equação ( ) 11 32max,

32max,max, −−+≡ VVf ffC .

As diferenças entre o modelo de Wang et al. (2003) e o modelo de Hagesaether

et al. (2002a) começam na definição da probabilidade de quebra da partícula de

diâmetro d pelo choque com um vórtice de tamanho de e energia e(de) para dar a menor

partícula filha com fração de volume fV, quando Wang et al. (2003) assumiram uma

distribuição uniforme para o intervalo válido de fV:

40

( )[ ] ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

max,min,

max,min,min,max,

,,0

,,1,,|

VVV

VVVVVeeV

fff

fffffdeddfF (II-78)

onde o intervalo aberto impede a ocorrência de uma singularidade quando

. Wang et al. (2003) impedem a singularidade matemática numericamente

limitando a divisão por

max,min, VV ff =

( )min,max, VV ff − na equação (II-78) por um valor positivo

pequeno, isto é, consideram que δ>− min,max, VV ff sempre, sendo δ um parâmetro de

pequeno valor a ser especificado.

Admitindo a mesma distribuição exponencial de energia cinética dos vórtices

dada pela equação (II-34), a probabilidade de quebra ( )eV ddfF ,| pode ser calculada

por:

( ) [ ] ( )∫∞

χχχ=0

,,|,| dpddfFddfF eeVeV (II-79)

sendo χ definido pelas equações (II-34) e (II-37).

Utilizando todas as considerações acima, ( )vfV |Ω é obtido na forma:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∫ξ

∞

ξχχχ−ξ

ξ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

φ−=Ω1

0311

231

2min

,,|exp11923,0| ddddfFd

vf eVc

V (II-80)

A taxa total de quebra da partícula de volume v é obtida por integração de

em no intervalo ( )vfV |Ω Vf [ ]21,0 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∫ ∫∫ξ

∞

ξχχχ−ξ

ξ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

φ−=Ω=1 21

0 0311

231

2

21

0 min

,,|exp11923,0| ddfdddfFd

dfvfvb VeVc

VV (II-81)

Esta expressão de dada na equação (II-80) é similar a do modelo de

Hagesaether et al. (2002a) (equação II-47). As diferenças residem em pequenas

variantes de aproximações usadas para a freqüência de colisão, nos limites de integração

( vfV |Ω )

41

em ξ e na forma de probabilidade de quebra. Wang et al. (2004) apresentaram um

algoritmo para o cálculo de definido pela equação (II-79) e presente na

equação (II-80). Nesse algoritmo, os autores truncaram o limite superior de (infinito)

no valor de 10, o que pode ter levado a erros numéricos.

( eV ddfF ,| )χ

Embora Wang et al. (2003) não mencionem isto, é possível definir um limite

inferior maior que zero na integração em χ nas equações (II-79) e (II-80). Pela

similaridade entre este e o modelo Hagesaether et al. (2002a), existe um valor crítico de

abaixo do qual não há quebra, definido anteriormente como o ponto crítico de quebra.

No presente modelo, este ponto é calculado por

χ

max,min, VV ff = ⇒ ( ) ( )max,min, VfVf fCfC = , [ ]5,0,0∈Vf (II-82)

pois a função é monotônica neste intervalo. Isso é exatamente o que Wang et

al. (2003) deveria ter feito para evitar a necessidade de um truncamento numérico no

uso da equação (II-78).

( Vf fC )

Usando as equações (II-75) e (II-77) podemos escrever a equação (II-82) como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σπ

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πσ2

31

33

,12min6 d

eeddC PCQ

PCQ

ef (II-83)

cuja solução determina ou ( )ePCQ dde , ( )ξχ ,dPCQ , em forma adimensional.

Desta forma as equações (II-80) e (II-81) podem ser escritas na forma:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∫∞

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=Ω

1

311

231

2min

,,|exp11923,0|ξ χ

ξχχχξ

ξεφ ddddfFd

vfPCQ

eVV (II-84)

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∫ ∫ ∫∞

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1 21

0311

231

2min

,,|exp11923,0ξ χ

ξχχχξ

ξεφ dddfddfFd

vbPCQ

VeV (II-85a)

42

A equação (II-85a) pode ser simplificada usando o fato que é

uma distribuição normalizada no intervalo de f

[ ]χ,,| eV ddfF

V entre 0 e 0,5. O resultado final é similar

à expressão do modelo de Hagesaether et al. (2002a), sendo dada por:

( ) ( ) ( ) ( )∫ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1

311

231

2min

exp11923,0ξ

ξχξ

ξεφ dd

vb PCQ (II-85b)

Da mesma forma, tal como no modelo de Luo e Svendsen (1996), haverá

dependência do modelo de Wang et al. (2003) com o valor usado como limite superior

na integração em ξ.

Podemos concluir que o modelo de Wang et al. (2003) é extremamente similar

ao de Hagesaether et al. (2002a). As diferenças de aproximação entre suas expressões

(limites da integração em ξ e freqüência de colisão) podem ser facilmente corrigidas. A

única diferença fundamental e real entre estes modelos é a forma da probabilidade de

quebra no choque entre a partícula e um vórtice.

O modelo de Wang et al. (2003) na forma proposta mostra-se de difícil

avaliação.

Martínez-Bazán et al. (1999a)

Os modelos descritos acima foram construídos a partir de diversos postulados sobre o

comportamento das partículas no campo de turbulência e, então, empregados para

analisar o comportamento de sistemas polidispersos de interesse, usualmente vasos

agitados ou colunas de borbulhamento.

Os escoamentos de colunas de bolhas e tanques agitados são complexos demais

para a validação de modelos de quebra de partículas, possuindo um campo de

turbulência de difícil caracterização, sendo não homogêneo e anisotrópico, e também

por existirem efeitos associados à presença de velocidade relativa entre as fases,

causada ou não por empuxo, e efeitos de paredes sólidas móveis sobre as partículas, que

originam outros mecanismos de quebra de partículas, como a quebra devido à colisão de

uma pá de agitação com uma partícula.

Martínez-Bazán et al. (1999a, 1999b) realizaram um extenso estudo da quebra

de bolhas de ar com velocidade relativa praticamente nula em um jato turbulento

axialmente simétrico de água em um equipamento cuidadosamente projetado e operado

43

para evitar a interferência de outros efeitos que não a turbulência. O escoamento

turbulento foi cuidadosamente caracterizado e as medidas foram realizadas em regiões

do escoamento com turbulência completamente desenvolvida e localmente homogênea

e isotrópica. Os efeitos de empuxo são desprezíveis devido à grande velocidade do jato

em relação à velocidade terminal das bolhas e ao fato de que as bolhas permaneciam na

zona de medição um tempo muito menor (tempo de residência inferior a 0,01 s) do que

o necessário para elas serem aceleradas até a sua velocidade terminal. Efeitos de

oscilações na forma das bolhas foram também considerados pouco importantes porque o

tempo de residência das bolhas na zona de medição eram inferiores ao tempo de

resposta das oscilações. A fração volumétrica da fase dispersa foi sempre inferior a 10-5,

de forma que as bolhas não interferem na turbulência da fase contínua e a coalescência

de bolhas pode ser desprezada. Na região de medida, o valor de εc variou menos de

10%, sendo a turbulência praticamente homogênea e isotrópica. Valores de εc nos

experimentos foram na faixa de 25 a 2700 m2s-3. As distribuições de tamanho das

bolhas foram medidas por cuidadosa análise de imagens obtidas por filmagem de alta

velocidade.

Martínez-Bazán et al. (1999a) determinaram experimentalmente a freqüência de

quebra das bolhas pertencentes a maior classe das bolhas consideradas, para a qual a

equação de balanço populacional (PBE) pode ser simplificada pela exclusão o termo de

nascimento por quebra. Por integração em regime estacionário, a PBE gera uma relação

direta entre a freqüência de quebra e a evolução da quantidade de bolhas nesta classe.

Os autores verificaram que a taxa de quebra obtida experimentalmente aumentava com

a dissipação de energia, εc, na forma de uma lei de potência com o expoente de εc igual

a 0,37-0,39, que é concordante com a dependência prevista pelo modelo por eles

proposto, que será visto a seguir.

A partir do comportamento experimental, Martínez-Bazán et al. (1999a)

propuseram um modelo fenomenológico no qual a quebra origina-se da deformação da

partícula causada pela sua interação com a turbulência do escoamento. A deformação da

partícula é controlada por um balanço de tensões, conforme a teoria clássica de Hinze

(1955) e Kolmogorov (1949). A energia mínima necessária para deformar a partícula

está associada a soma da sua energia superficial ( ) e a energia viscosa

associada à taxa de deformação do fluido no interior da partícula

(

2dEs πσ=

( )( ) ( )( )6Re6 3223 ddddUE ddddd πρμ∝πμ∝ , ddd Ud μρ≡Re ). Note que o número

44

de Ohnesorge pode ser interpretado como a raiz quadrada da razão entre as tensões

viscosa e a superficial ou, equivalentemente, entre a densidade de energia viscosa e

superficial, pois ( )( ) 1222 −σρμ= ddOh dd . Como o número de Ohnesorge é muito

pequeno (menor que 10-2) para bolhas, a energia superficial é a única parcela relevante e

a tensão que tende a manter a partícula coesa é apenas a tensão associada à energia

superficial:

( )dd

Ed ss

σ=

π=τ

663 (II-86)

onde se assume que a partícula fluida mantém a forma esférica. De forma geral,

( ) dkds σ=τ σ , onde é uma constante que depende da forma geométrica da

partícula.

σk

Assumindo que as partículas estejam na faixa inercial da turbulência isotrópica,

a tensão de deformação média originadas das flutuações de velocidade existentes entre

dois pontos na fase contínua separados de uma distância d pode ser calculada por:

( ) ( )dud tt2

21

Δ= ρτ (II-87)

onde ( )dut2Δ é o valor médio quadrático das flutuações de velocidade entre dois pontos

separados de uma distância d. A condição de igualdade de tensões, ,

estabelece um diâmetro crítico, d

( ) ( )dd st τ=τ

c. Partículas com diâmetros menores que o crítico não

quebram, enquanto que as partículas com diâmetros maiores que o crítico quebram

porque sua energia superficial de coesão seria inferior à energia dinâmica para a sua

deformação (Hinze, 1955, Kolmogorov, 1949). Para d pertencente ao intervalo inercial,

( ) ( ) 322 ddut εβ=Δ , 2,8=β , de forma que:

5253

12 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε

βρσ

cd (II-88)

45

Para uma partícula com , dois pontos em sua superfície são separados

pela distância , , onde é a distância na qual a tensão dinâmica

associada as flutuações de velocidade se iguala a tensão interfacial da partícula:

cdd >

d ′ ddd <′<min mind

( )d

d σερβ 621 32

min = ⇒ 123

min12 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ε

βρσd

d (II-89)

Como há uma faixa de valores possíveis para d ′ é de se esperar que a partícula

possa quebrar gerando filhas de diferentes tamanhos.

Martínez-Bazán et al. (1999a) postularam que a velocidade característica de

quebra da partícula, ub, é dependente da diferença entre o gradiente de pressão dinâmica

exercida na superfície da partícula devido às flutuações de velocidade, ( )dutc25,0 Δρ , e a

pressão coesiva associada à tensão interfacial, dσ6 , devendo ir a zero quando as duas

tensões se igualarem. Desta forma, eles assumiram que o tempo de quebra da partícula,

tb, é dado por:

( ) ( )ddu

dudt

tb

bρσ122 −Δ

=∝ (II-90)

A freqüência de quebra de uma partícula de diâmetro d é o inverso do tempo de

quebra, sendo, então, dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

ddK

dddu

Kdb t ρσεβρσ 1212 322 −=

−Δ= (II-91)

onde o valor de K para bolhas foi obtido por regressão dos seus dados experimentais

sendo igual a 0,25 ± 0,3. A concordância com os dados experimentais foi dentro do erro

experimental de 10%.

Analisando a dependência da freqüência de quebra com o diâmetro da partícula

(equação II-91) observa-se que esta passa por um valor máximo quando o diâmetro é

definido por ( ) ccb ddd 63,149 53max, ≅= . O valor máximo da freqüência de quebra é

dado por:

46

( ) 535210954

max,max 2753 ε

σρβ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Kdbb b (II-92).

No limite de partículas muito grandes, , a tensão superficial pode ser

desprezada frente a tensão dinâmica das flutuações de velocidade e a equação (II-91)

reduz-se a:

cdd >>

( ) 323121 −≈ dKdb εβ para (II-93) cdd >>

Por outro lado, para partículas com diâmetro d tal que max,bc ddd << é possível

obter o comportamento da freqüência de quebra quando cdd ≈ , que são as condições

vigentes em sistemas onde a quebra ocorre em condições próximas ao equilíbrio da

distribuição de tamanho. A equação (II-91) pode ser escrita em termos da variável

adimensional cddx = na seguinte forma:

( ) [ 112 35235310952

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

xxKxb εβρσ ] (II-94)

Aproximando o termo da equação (II-94) entre colchetes pelo primeiro termo de sua

série de Taylor em torno de x = 1, obtém-se:

( ) 112315 53109

52

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

cddKdb εβ

ρσ para 1≈

cdd (II-95)

Esta condição é a usualmente válida quando o valor de ε não é muito elevado. Nesta

região de d, b(d) é monotonicamente crescente com 1−cdd que fornece um

comportamento da freqüência de quebra com o diâmetro da partícula similar aos obtidos

pelo modelo de Luo e Svendsen (1996) e Wang et al. (2003).

47

A figura (II-6) mostra o comportamento do modelo com a variação do diâmetro

da partícula mãe, percebe-se a presença de um ponto máximo em todas as curvas e que

a freqüência de quebra aumenta com o aumento da energia de dissipação turbulenta, ε.

O modelo Martínez-Bazán contraria o “sentimento” introduzido por Tsouris e

Tavlarides (1994) de que com o aumento do diâmetro da partícula maior a freqüência de

quebra e reafirma trabalhos anteriores (Coulaloglou e Tavlarides, 1977, Konno et al.,

1980 e Prince e Blanch, 1990) de que existe um valor máximo para a freqüência de

quebra relativa a um determinado diâmetro. Tsouris e Tavlarides (1994) criticaram o

comportamento não-monotônico de Coulaloglou e Tavlarides (1977) sem justificativas

teóricas, comportamento monotonico novamente observado no trabalho experimental de

Martinez-Bazán (1999a).

Figura II-6 – Comportamento do modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a) com o

diâmetro da partícula mãe no sistema ar-água.

O modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a, 1999b) é o único dos modelos de

quebra revisados que tem uma forte base experimental e apresentou resultados para a

quebra de bolhas com qualidade muito superior aos outros modelos (Lasheras et al.,

48

2000). Este é o modelo recomendado por Rafique et al. (2004) para a simulação de

colunas de borbulhamento.

Este modelo chegou a ser estendido para sistemas líquido-líquido por Eastwood

et al. (2000), mas estudos mais recentes (Eastwood et al., 2004), que serão comentados

mais adiante, mostraram que tal extensão não é completamente válida.

Modelagem da distribuição das partículas filhas

Em relação à determinação da distribuição das partículas originadas na quebra, existem

quatro classes de modelos de quebra de partículas fluidas (Lasheras et al., 2002, Rafique

et al., 2004):

• os modelos estatísticos (Valentas et al., 1966, Coulaloglou e Tavlarides, 1977, Lee

et al., 1987, Chatzi et al., 1989, Chatzi e Kiparissides, 1992, Prince e Blanch, 1990,

Longuet-Higgins, 1992, Novikov e Dommermuth, 1997),

• os modelos fenomenológicos baseados em considerações sobre colisões entre

partículas e vórtices (Tsouris e Tavlarides, 1994, Luo e Svendsen, 1996,

Hagesaether et al., 2002, Lehr et al., 2002, Wang et al., 2003),

• os modelos híbridos, que envolvem uma combinação das duas alternativas acima

(Konno et al., 1980, 1983, Cohen, 1991),

• os modelos fenomenológicos baseados em considerações envolvendo as tensões

turbulentas e de superfície (Martínez-Bazán et al., 1999a, 1999b).

Para os modelos de quebra que fornecem uma expressão para a taxa específica

de quebra, a função de distribuição de probabilidade de tamanho das partículas filhas é

calculada por:

( ) ( )( ) ( )vbv

vvvvPςΩ

=|| 1

1 (II-96)

Assumindo a forma esférica, 63111 dmv d π=ρ= , e que o fluido que forma a

fase dispersa é incompressível, e lembrando que o tamanho da partícula filha é uma

variável de distribuição, temos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1131

3311111 ||||| ddddPddddPdfvfPdvvvPdmmmP VV ==== (II-97)

49

o que permite relacionar as diferentes formas de escrever a função de distribuição de

probabilidade de tamanho das partículas filhas por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ddPdddPdvfPfvvPvmmPm VV |3

|||| 1133

1311111 ==== ) (II-98)

Como a unidade da função de distribuição de probabilidade de tamanho das partículas

filhas, P, é igual ao inverso da unidade da variável de distribuição, também é comum

definir uma forma adimensional de P multiplicando-o pela mesma variável, mas relativa

à partícula mãe. Por exemplo, ( )vvvP |1 e ( )331

3 | ddPd são formas adimensionais muito

usadas para mostrar o comportamento das funções de distribuição.

Modelos estatísticos

Os modelos estatísticos postulam as formas funcionais de ( )mς e . Quase

invariavelmente,

( mmP |1 )( ) 2=ς m .

Um dos primeiros modelos para ( )mmP |1 foi proposto por Valentas et al.

(1966). Na realidade, eles fizeram duas propostas. Na primeira, o modelo é

determinístico, com a partícula quebrando-se em duas de igual massa, de forma que:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ=

2| 11

mmmmP (II-99)

No segundo modelo, este estatístico, eles propuseram a que a distribuição de diâmetro

das partículas filhas fosse uma distribuição normal truncada em torno de um diâmetro

médio dado por ( ) 311 ddd ς= e com variância ( ) 31

dcd ς=ζ :

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ζ−

−πζ

= 2

211

1 2exp

21| ddddP (II-100)

onde ( )dς é o número médio de partículas filhas geradas na quebra de uma partícula de

50

diâmetro d e c é uma constante que limita a distribuição em uma região em torno de 1d .

Como era de se esperar, Valentas et al. (1966) verificaram que este modelo depende

fortemente do valor de ( )dς .

Outros autores também empregaram distribuições normais. Por exemplo,

Coulaloglou e Tavlarides (1977) adotaram um modelo similar ao de Valentas et al.

(1966). Eles assumiram quebra binária com uma distribuição normal, mas no volume da

partícula. Eles usaram com c = 3 de forma que 99,6% das partículas formadas tem

volume entre 0 e o volume da partícula mãe. A distribuição empregada foi:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−= 6

2331

333

125,4exp4,2|

ddd

dddP (II-101)

Note que , mas, com o truncamento, temos 0,996. ( ) ( )∫ =3

0

31

331 1|

dddddP

Este modelo estatístico assume que a quebra de um conjunto grande de

partículas é formada por uma seqüência de muitos eventos randômicos, gerando assim a

distribuição normal das partículas filhas.

Hsia e Tavlarides (1983) mostraram que o modelo estatístico de Coulaloglou e

Tavlarides (1977) não consegue reproduzir diversos resultados experimentais, propondo

a utilização de quebra binária com a distribuição das partículas filhas dadas por uma

função beta. A forma empregada por eles foi:

( )2

3

31

2

3

31

333

1 130| ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dd

dd

dddP (II-102)

Lee et al. (1987) também assumiram uma distribuição beta para o volume das

partículas filhas na forma:

( ) ( )( ) ( )

11

1|−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

ΓΓ+Γ

=′ba

vv

vv

vbabavvP ou ( ) ( )

( ) ( )

1

3

31

1

3

31

333

1 1|−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

+Γ=

ba

dd

dd

dbabaddP

(II-103)

51

onde v é o volume da partícula mãe e v′ o volume da partícula filha e a e b são

constantes empíricas que, para quebra binária, tiveram seus valores ajustadas para dados

experimentais de um reator air-lift, fornecendo a = b = 2.

A distribuição beta é uma função dois parâmetros que varia muito de forma com

os valores destes parâmetros, sendo capaz de ajustar facilmente diversos dados

experimentais. Entretanto, a seleção dos valores dos parâmetros, tal como para a

distribuição normal truncada, dependem fortemente dos dados experimentais.

O modelo de Prince e Blanch (1990) não inclui uma expressão para a

distribuição das partículas filhas. Eles assumiram que a quebra era binária com as

partículas filhas tendo tamanhos aleatórios, o que implica em uma distribuição uniforme

de probabilidade ( ( ) vvvP 1|1 = ). Uma possível justificativa para esta distribuição seria

a de que, em sistemas onde a dissipação de energia fosse bem elevada, haveria energia

para quebrar as partículas em ampla faixa de tamanho dos vórtices. Entretanto, a

distribuição de energia dos vórtices não é a mesma em todas as suas escalas de tamanho

e, assim, não se deve esperar uma distribuição uniforme de probabilidade de tamanho

das partículas filhas mesmo em elevados níveis de dissipação de energia.

Hesketh et al. (1991) investigaram experimentalmente a quebra de partículas em

escoamentos turbulentos em tubos. Eles tentaram interpretar seus resultados usando

diversas distribuições de probabilidade de tamanho das partículas filhas considerando

quebra binária, incluindo a quebra em partículas iguais (equação II-99), quebra aleatória

(distribuição uniforme), quebra por atrito (maior probabilidade de gerar partículas muito

pequenas que seriam arrancadas da partícula mãe pela ação do escoamento) e uma

distribuição empírica é dada por:

( ) 3331

331

331 5,0

21

11|dI

BBddBddddP ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+−

++

= (II-104)

onde B é determinada experimentalmente e I é uma constante de normalização. A

distribuição dada pela equação (II-104) tem, na realidade, a forma de um U e foi

proposta porque os resultados experimentais tendiam a se ajustar melhor com um

modelo que fosse entre a quebra aleatória e a de atrito.

O melhor ajuste obtido por Hesketh et al. (1991) dos seus próprios dados

experimentais usando a distribuição empírica de probabilidade de tamanho das

52

partículas filhas (equação II-104) não foi muito boa, pois subestimava o número de

partículas filhas na região 5,0225,0 ≤≤ Vf (Lasheras et al., 2002). Os coeficientes do

modelo são empíricos e dependentes das condições do escoamento. Embora sem

nenhuma base física, este modelo empírico introduziu uma forma em U para a

distribuição de probabilidade de tamanho das partículas filhas que é a obtida em

diversos modelos baseados na colisão de partículas e vórtices e na energia de superfície

das partículas que serão vistos na próxima seção.

Esta distribuição empírica de probabilidade tem um valor mínimo para a quebra

binária gerando partículas iguais, o que contrasta com as distribuições dos modelos

estatísticos (que tem um máximo) e a distribuição uniforme.

A figura (II-6) mostra o comportamento dos modelos estatísticos de Coulaloglou

e Tavlarides (1977), Hsia e Tavlarides (1983) e Lee et al. (1987).

Figura II-7 – Modelos estatísticos de distribuição de tamanho das filhas, sistema

ar-água.

Modelos híbridos

Konno et al. (1980)

Konno et al. (1980) propuseram um modelo em que assume que cada partícula mãe, de

volume v, é formada por J volumes elementares, ve, evvJ = . As m partículas filhas

53

geradas na quebra são formadas por um número inteiro dos K volumes elementares,

tendo um volume adimensional igual a eii vvK ′= . Pela conservação de volume na

quebra, tem-se que:

JKm

ii =∑

=1 (II-105)

Eles ainda assumiram que a quebra gerando uma partícula filha de tamanho iv′

ocorre apenas quando a partícula mãe interage com um vórtice de mesmo tamanho da

partícula filha, sendo a probabilidade de gerar tal filha proporcional à energia cinética

contida nos vórtices de tal tamanho. Desta forma, a probabilidade de quebra em m

partículas de tamanho adimensional Ki seria proporcional ao produto das energias dos

vórtices de tamanho veKi para i = 1, ..., m. Usando o espectro de energia de Heisenberg e

J = 100, Konno et al. (1980) obtiveram uma distribuição quase contínua para o tamanho

das partículas filhas que representava bem os seus dados experimentais para m = 3

(quebra ternária). Curiosamente, Konno et al. (1983) mostraram que a distribuição

obtida para o tamanho das partículas filhas poderia ser bem aproximada pela seguinte

função beta:

( ) ( )( ) ( )

21

81

1 139

12| ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΓΓΓ

=dd

dd

dddP ou ( )

2

33

31

2

3

31

333

1 1165| ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dd

dd

dddP (II-106)

onde . ( ) ( )∫ =d

ddddP0 11 1|

Embora o espectro de energia de Heisenberg dependa da dissipação de energia, o

resultado do modelo de Konno et al. (1980) não depende, já que ele pode ser

aproximado pela equação (II-106) (Lasheras et al., 2002). Da mesma forma, não há

dependência da distribuição adimensional de probabilidade das partículas filhas com o

aumento do tamanho da partícula mãe, o que contraria dados experimentais.

Apesar deste modelo ser de 1980, pouco foi desenvolvido em relação aos

modelos híbridos. Eles são particularmente interessantes por que idealmente trazem

conhecimentos fenomenológicos e complementarem informações não conhecidas com

características estatísticas.

54

Modelos fenomenológicos baseados em colisão com vórtices

Nambiar et al. (1992)

Nambiar et al. (1992) foram os primeiros a desenvolver um modelo de quebra que

calcula, além da freqüência de quebra, a distribuição de tamanho das filhas. O modelo

foi desenvolvido para dispersões líquido-líquido em vasos agitados. Tal como

Coulaloglou e Tavlarides (1977) e Prince e Blanch (1990), eles assumiram que a quebra

ocorre pela interação entre partículas e vórtices com tamanho menores que a partícula,

mas com energia suficiente para superar o aumento de energia superficial associado à

quebra. O tamanho mínimo do vórtice que pode gerar a quebra, , é calculado pelo

modelo, bem como o diâmetro máximo que uma partícula pode ter sem sofrer quebra,

. O modelo leva em conta a energia superficial das partículas filhas e, devido a isto,

prediz que a função de distribuição de probabilidade passa por um mínimo quando se

formam duas partículas iguais, exceto quando a partícula tem diâmetro , quando a

quebra ocorre apenas gerando partículas de mesmo tamanho. A distribuição de tamanho

das partículas filhas do modelo de Nambiar et al. (1992) é dada por

min,ed

maxd

maxd

( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−=ϕϕπ

≤≤ϕ−π

=′ −

vv

dd

ddddpvvP

e

eeee

21cos,sen

|32sen4

| 1min,

(II-107)

onde ( )ddddp eeee ≤≤min,| é a probabilidade de se achar um vórtice de tamanho de tal

que , o volume da partícula filha, e d e v são o diâmetro e o volume,

respectivamente, da partícula mãe.

ddd ee ≤≤min, v′

O modelo de Nambiar et al. (1992) possuí a forma da distribuição de

probabilidade de tamanho das partículas obtida no formato em V. Quando a partícula é

maior que o menor tamanho para o qual a quebra ocorre, a quebra em partículas iguais

representa o mínimo na distribuição de probabilidade e este mínimo é zero. Conforme o

tamanho da partícula mãe aumenta, a distribuição de probabilidade de tamanho das

partículas aproxima-se de uma distribuição uniforme (o ângulo do V aumenta). A

55

probabilidade nula de se ter uma quebra binária em partículas iguais para é

altamente improvável (Lasheras et al., 2002).

maxdd >

Tsouris e Tavlarides (1994)

Tsouris e Tavlarides (1994) desenvolveram um modelo para a freqüência de quebra

admitindo quebra binária, visto anteriormente, que calculava a energia crítica a ser

superada pela energia do vórtice para causar a quebra como sendo a média aritmética

entre os valores do aumento de energia superficial (equação II-38) nos casos limites de

quebra gerando partículas de mesmo tamanho (corresponde ao maior aumento da

energia superficial) e ou gerando o par de partículas com o menor e o maior tamanhos

possíveis (corresponde ao maior aumento da energia superficial), conforme expresso na

equação (II-29), que pode ser escrita na forma:

( minmin,31max,min,max, ,,

2,,

2ddEEddEE

EEE ss

ssc ≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≡ )+

= (II-108)

onde ( ) ( )[ ] 223231

3211, dCddddddE fs πσ=−−+πσ= , e

( ) ( ) ( )( )[ ]11,323

12

11 −−+≡ ddddddC f ou ( ) ( ) 11 3232 −−+≡ VVVf fffC e

( 31 ddfV ≡ ) . Logo, ( ) 2

max,231

max, 12 dCdE fs πσ=πσ−= , 26,0max, ≅fC . Eles assumiram

então que a probabilidade de formar a menor partícula filha com diâmetro d1 seria

proporcional a diferença entre min,max, ss EE + e o aumento de energia superficial na

quebra, , de forma que: ( 1,ddEs )

( ) ( )

( )[ ]∫ −+

−+=

max

min

11min,max,

1min,max,1

,

,| d

dsss

sss

ddddEEE

ddEEEddP (II-109)

onde ( ) 313min

3max ddd −= . Tsouris e Tavlarides (1994) usaram e, portanto,

, levando a . Logo,

0min =d

dd =max 0min, =sE

56

( ) ( )

( )

( )

( )[ ]∫∫ −−+−

−=

−

−= 1

0

3222max,

1max,

011max,

1max,1

11

,1

,

,|

dxxxC

ddCCd

ddddCC

ddCCddP

f

ffd

ff

ff (II-110)

ou seja,

( ) ( )[ ]1max,1 ,302,8| ddCCd

ddP ff −≅ (II-111)

Na forma adimensional da função de distribuição de probabilidade do diâmetro

das partículas geradas na quebra, dada pela equação (II-111), verifica-se que a

probabilidade de quebra gerando partículas filhas iguais é nula, pois Cf(d,d1) é igual a

Cf,max, e que a quebra por atrito gerando uma partícula filha muito pequena tem um

probabilidade finita e diferente de zero. Da equação (II-111), também fica claro que a

forma de independe do nível de turbulência do escoamento, o que, juntamente

com a probabilidade nula para quebra em partículas iguais não representa a realidade.

( ddP |1 )

)

Luo e Svendsen (1996)

Luo e Svendsen (1996) foram os primeiros a derivar a freqüência de quebra de uma

partícula com volume v para gerar a menor partícula filha com volume entre v1 e v1+dv1

ou, equivalentemente, com fração de volume entre fV e fV+dfV, a chamada freqüência de

quebra específica, ( vv |1Ω ou ( )vfV |Ω , conforme a equação (II-39). A integração de

para o domínio de f( vfV |Ω ) V permite calcular a freqüência de quebra, , conforme

a equação (40). A distribuição de probabilidade das partículas geradas na quebra pode

ser calculada pela equação (II-96) com os resultados das equações (II-39) e (II-40) e

com .

( )vb

( ) 2=ς v

A dependência das freqüências de quebra com o valor usado como limite

superior das integrais no tamanho dos vórtices, presentes nas equações (II-39) e (II-40),

propaga-se para ( )vvP |1 . No modelo de Luo e Svendsen (1996), o maior vórtice que

pode interagir com a partícula é do tamanho da mesma. Além disso, o tamanho mínimo

dos vórtices nas mesmas integrais, , é um parâmetro indeterminado do modelo,

que é fixado dentro da faixa que delimita inferiormente a região de turbulência inercial:

edmin,

dd emin,min =ξ , 4,314,11min, −≈ld e . Lasheras et al. (2002) mostraram que o valor

57

escolhido para afeta a distribuição minξ ( )331

3 | ddPd predita pelo modelo de Luo e

Svendsen (1996) (figura II-8).

Figura II-8 – Dependência da distribuição de filhas na quebra do modelo de Luo e

Svendsen (1996) com o valor de minξ . Sistema ar-água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3,

ε = 100 m2/s3, d = 3 mm.

A figura (II-8) mostra que distribuição de probabilidade adimensional,

( )331

3 | ddPd , do modelo de Luo e Svendsen (1996) tem sempre a forma de U com um

mínimo associado à quebra de partículas de igual tamanho e com densidades de

probabilidade tendendo a infinito para a quebra por atrito, ou seja, com uma

probabilidade de geração de uma partícula filha muito pequena e a outra praticamente

do tamanho da partícula mãe muito elevada.

58

Figura II-9 – Evolução modelo de distribuição das filhas de Luo e Svendsen (1996) com

a dissipação de energia turbulenta. Sistema ar-água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3,

ξmin = 21,4l/d, d = 3 mm.

A figura (II-9) exibe a tendência do modelo de Luo e Svendsen (1996) com o

aumento de ε. As curvas tendem a colapsarem em uma única para valores elevados de ε,

o que pode ser visto na figura (II-9) pela pequena diferença entre os resultados com

valores de ε de 10 e 100 (m2/s3).

A figura (II-10) exibe o comportamento do modelo de Luo e Svendsen (1996)

com a variação do tamanho da partícula mãe, permitindo concluir que com o aumento

do diâmetro da partícula mãe, a distribuição de probabilidade tende a se tornar mais

uniforme em torno de fV = 0,5 (quebra binária de partículas em igual tamanho). Ainda

assim a probabilidade de associada à formação de partículas muito pequenas tende a

infinito. As variações na distribuição de probabilidade se tornam menos acentuadas

quando o diâmetro da partícula mãe vai aumentando, tendendo a se chegar a uma

distribuição de probabilidade limite para as partículas maiores.

59

Figura II-10 – Evolução modelo de distribuição das filhas de Luo e Svendsen (1996)

com o diâmetro da partícula mãe. Sistema ar-água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3, ξmin

= 21,4l/d, ε = 10 m2/s3.

Conclui-se que o modelo de Luo e Svendsen (1996) não é completamente

preditivo devido ao valor a ser escolhido para minξ . Além disso, o modelo é sensível ao

valor empregado para (originalmente, maxξ 1max =ξ ). Como se não fosse suficiente,

ainda existe o fato da densidade de probabilidade tender a infinito para a quebra por

atrito, desconsiderando a elevada tensão superficial existente em partículas fluidas

muito pequenas. Esse comportamento já foi criticado e invalidado em trabalhos

posteriores do mesmo grupo de autores e não é comportamento fisicamente observado

(Hagesaether, 2002).

Hagesaether et al. (2002a)

O modelo desenvolvido por Hagesaether et al. (2002a) permite obter a distribuição das

filhas integrando da equação (II-46) de forma discreta em todos os possíveis diâmetros

de vórtices.

60

Hagesaether et al. (2002a) realizam um truncamento no tamanho dos vórtices

que possivelmente comprometeu a qualidade dos resultados por ele mostrados e por isso

uma análise mais profunda não será apresentada neste trabalho. Entretanto é possível

dizer que o truncamento realizado por Hagesaether et al. (2002a) não compromete de

forma definitiva o modelo, o qual possuí observações teóricas que contribuem de forma

apreciável como uma evolução do modelo de Luo e Svendsen (1996).

Lehr et al. (2002)

O modelo desenvolvido por Lehr et al. (2002) calcula a freqüência específica de quebra

binária, , dada pela equação (II-68), enquanto que a freqüência de quebra é

avaliada pela equação (II-70), de forma que a equação (II-96) permite calcular .

( vv |1Ω )( )vvP |1

A figura (II-11) mostra que para baixos valores de ε, a maior probabilidade de

quebra é para gerar partículas iguais. Conforme ε aumenta, a distribuição adimensional

de tamanho das partículas filhas se altera continuamente até que a quebra por atrito seja

a mais provável. Para valores intermediários de ε ao longo desta transição, a

distribuição da probabilidade de quebra é aproximadamente uniforme.

Figura II-11 – Evolução modelo de distribuição das filhas de Lehr et al. (2002) com a

energia de dissipação turbulenta, ε. Sistema ar-água, σ = 0,072 N/m, ρ = 1000 kg/m3,

d = 2 mm.

61

Wang et al. (2003)

O modelo desenvolvido por Wang et al. (2003) calcula a freqüência específica de

quebra binária, ( )vfV |Ω , dada pela equação (II-84), enquanto que a freqüência de

quebra é avaliada pela equação (II-85), de forma que a equação (II-96) permite calcular

que pode ser convertida em ( vfP V | ) ( )vvP |1 pela equação (II-98).

Considerando os resultados obtidos por Wang et al. (2003), pode-se concluir que

o modelo não prediz a existência de quebra preferencial em partículas iguais para

nenhuma das condições analisadas. O máximo da densidade de probabilidade de quebra

se encontra sempre entre fV = 0 e 0,3. Assim, o modelo sempre prediz a existência de

quebra por atrito, com o máximo da densidade de probabilidade de quebra se

aproximando de fV = 0 conforme o tamanho da partícula mãe aumenta (Figura II-12).

P(f V

|ν)

fV

Figura II-12 – Modelos de Wang para sistema ar-água e diâmetro da partícula mãe igual

a 3 mm (σ = 0,072 N/m e ρ = 1000 kg/m3 ) (Figura de Wang et al., 2003)

O modelo de Wang et al. (2003) é pouco sensível a dois de seus parâmetros, o

tamanho mínimo de vórtices dentro do intervalo inercial da turbulência isotrópica e o

valor de δ, usado para evitar a singularidade na equação (II-78). A sensibilidade ao

62

valor do tamanho máximo de vórtices existe e é similar ao do modelo de Luo e

Svendsen (1996).

Modelos fenomenológicos de equilíbrio de tensões

Martínez-Bazán et al. (1999b)

Martínez-Bazán et al. (1999b) propuseram uma nova distribuição de probabilidade das

partículas formadas na quebra com base na análise da quebra realizada no artigo

anterior, Martínez-Bazán et al. (1999a). Em ambos os casos eles analisaram

experimentalmente a quebra de bolhas em água, para as quais o número de Ohnesorge é

suficientemente pequeno (Oh < 10-3) para a energia armazenada na partícula fluida

consistir unicamente na energia superficial.

No artigo de Martínez-Bazán et al. (1999a), revisto anteriormente, uma partícula

de diâmetro d sofria quebra se , sendo o diâmetro crítico, dcdd > c, calculado pelo

balanço entre as tensões superficial e dinâmica. Se essa condição for satisfeita, a quebra

pode ocorrer.

Entretanto, existe um diâmetro mínimo da partícula, dmin, onde a tensão

dinâmica calculada ( ( ) ( ) 32minmin

2 2,8 ddut ε=Δ ) se iguala a tensão superficial. Para

diâmetro abaixo de dmin, a tensão superficial é maior. O valor de dmin, assim calculado,

se encontra na equação (II-89). Este valor foi interpretado como sendo a menor

distância na qual a quebra pode ocorrer, sendo assim, dmin seria o menor diâmetro

possível para a menor partícula originada da quebra.

Assim, quando há quebra, a menor partícula filha formada tem diâmetro, d1, tal

que . A função de distribuição de tamanho das partículas filhas é zero para

.

min1 dd ≥

min1 dd <

Martínez-Bazán et al. (1999b) tiveram que introduzir uma hipótese sobre o

número de partículas filhas. Embora o modelo possa ser estendido à quebra não binária,

eles inicialmente supuseram que a quebra é binária e que há conservação de volume na

mesma, o que somente é verdade para partículas de densidade constante. Assim, a

quebra da partícula de diâmetro d gera uma filha de diâmetro d1 e outra de diâmetro

( )[ ] 31312 1 dddd −= . Ambas devem satisfazer a condição acima, isto é, e

. Esta última condição implica que

min1 dd ≥

min2 dd ≥ ( )[ ] max

313min1 1 ddddd ≡−≤ . Portanto,

63

função de distribuição de tamanho das partículas filhas é diferente de zero apenas

quando uma das filhas tem diâmetro d1 tal que max1min ddd ≤≤ .

No modelo da freqüência de quebra, Martínez-Bazán et al. (1999a) assumiram

que a velocidade de quebra e, portanto, a freqüência de quebra era proporcional à raiz

quadrada da tensão em excesso (equação II-90), que é a diferença entre as tensões

dinâmica e superficial, sendo dada por (equações II-86 e II-87):

( ) ( ) 2,8,621, 32

11 =−≡Δ βσερβτ dddd (II-112)

Martínez-Bazán et al. (1999b) assumiram que, quando há quebra, a

probabilidade de quebra deveria ser proporcional às tensões em excesso de ambas as

partículas filhas. Isto levou os autores a postular a seguinte função de distribuição das

partículas originadas na quebra:

( ) ( ) ( ) [ ][ ]⎩

⎨⎧

∉∈τΔτΔ=

maxmin1

maxmin1211 ,,0

,,,,| ddddddddddCddP (II-113)

onde C é uma constante de normalização. Substituindo a equação (II-112) na equação

(II-113) e usando o valor de dc definido pela equação (II-88), pode-se escrever que:

( ) ( ) [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

maxmin1

maxmin1

359231

35321

232

1

,,0

,,121

|

ddd

ddddd

dd

dd

dddCddP

ccερβ

(II-114)

ou, em termos das variáveis adimensionais, ddD 1= , ddc=Λ , ddD minmin = e

ddD maxmax = :

( ) ( ) [ ]( )[ ] [[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈Λ−−Λ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

maxmin

maxmin359233532

232

1

,,0

,,121

|DDD

DDDDDdCddP ερβ ] (II-115a)

64

Como , temos que ( ) ( ) 1||1

00 11 == ∫∫ dDdDPddddPd ( ) ( )ddPddDP || 1= é a função

distribuição adimensional do tamanho das filhas. A constante de normalização é

determinada a partir desta integral, de forma que a distribuição adimensional

normalizada é dada por:

( )[ ]( )[ ][ ]( )[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈Λ−−Λ−

Λ−−Λ−

= ∫maxmin

maxmin359233532

359233532

,,0

,,1

1

|max

min

DDD

DDDDdDD

DD

dDPD

D

(II-115b)

Esta função de distribuição de tamanho das partículas filhas tem o seu máximo

para a quebra em partículas de mesmo tamanho.

A figura (II-13) mostra que quando o diâmetro da partícula é pouco maior que o

diâmetro crítico a função de distribuição pode ser nula em algumas regiões, e conforme

o diâmetro da partícula mãe aumenta, a função de distribuição de tamanho das

partículas filhas tende a atingir uma distribuição limite. Uma região limite também é

atingida conforme o valor da dissipação de energia aumenta.

65

Figura II-13 – Evolução do modelo de distribuição das filhas de Martínez-Bazán

(1999b) com o diâmetro da partícula mãe. Sistema ar-água.

Martínez-Bazán et al. (1999b) verificaram experimentalmente que a hipótese de

quebra binária para bolhas era satisfatória para valores baixos ou moderados do número

de Weber definido por σρ duWe t2Δ≡ quando a superfície da bolha é relativamente

lisa. Um exemplo típico de quebra é mostrado em uma seqüência de imagens obtidas

por filmagem a alta velocidade na Figura (II-14).

Martínez-Bazán et al. (1999b) mostraram que, se uma extensão da equação (II-

115) for assumida válida para calcular a função distribuição das partículas filhas para

uma quebra múltipla ( ) e se for assumido que a energia total (superficial +

dinâmica) do sistema se conserva na quebra, é possível deduzir uma equação que

determina o número de partículas filhas. Para valores altos do número de Weber (ε =

1000 m

2>ς

2/s3) no sistema ar-água, Martínez-Bazán et al. (1999b) calcularam que . O

uso de quebra ternária no modelo, assumindo que duas partículas das três partículas são

iguais, permitiu obter uma melhor concordância com os dados experimentais para a

evolução da distribuição de tamanho das bolhas.

3≈ς

66

Figura II-14 – Evolução temporal da quebra de bolhas mostrando sucessivas quebras

binárias (Martínez-Bazán et al., 1999b).

Lasheras et al. (2002) compararam os dados experimentais de Martínez-Bazán et

al. (1999a, 1999b) com as predições dos modelos de Konno et al. (1980, 1983), Tsouris

e Tavlarides (1994), Luo e Svendsen (1995) e Martínez-Bazán et al. (1999a, 1999b)

(considerando quebra binária). O único modelo que conseguiu prever adequadamente a

evolução da distribuição de tamanho das bolhas foi o de Martínez-Bazán et al. (1999a,

67

1999b). Utilizando as propriedades padrões de temperatura de 25º C e pressão de 1

atm com tensão superficial de 0,072 N/m para o sistema ar-água e densidade da água de

1000 kg/m3 foram obtidos valores completamente diferentes dos apresentados por

Lasheras et al. (2002), inclusive na reprodução numérica do modelo de Martínez-Bazán

et al. (1999a). Isso significa que as propriedades termodinâmicas associadas ao

experimento de Martínez-Bazán (1999a) são diferentes, de forma que os experimentos

foram executados em condições diferentes das condições padrões. Infelizmente, os

autores (Martínez-Bazán et al., 1999a) não divulgaram os valores dessas condições (em

especial a tensão superficial do sistema), de forma que não é possível reproduzir as

informações obtidas por Lasheras et al. (2002).

Considerações adicionais sobre mecanismos de quebra

Risso e Fabre (1998) demonstraram que uma bolha acumula energia no seu movimento

oscilatório de deformação. A dinâmica desta deformação é que define quanto de energia

pode ser extraída de um vórtice por colisão. Assim, a colisão de um vórtice com uma

bolha pode tanto aumentar quanto diminuir a energia de deformação armazenada na

bolha. Em média, eles mostraram que a energia de deformação armazenada na bolha

aumenta com o constante bombardeamento dos vórtices, de forma que ela acaba

sofrendo quebra quando esta energia consegue superar a energia superficial coesiva.

Desta forma, Risso e Fabre (1998) identificaram dois mecanismos de quebra. O

primeiro corresponde à clássica interpretação do balanço de tensões da teoria de Hinze

(1955) e Kolmogorov (1949), e ocorre quando um vórtice de intensa energia causa uma

quebra instantânea da bolha ao interagir com ela. O segundo é um mecanismo de

ressonância, no qual a bolha vai aumentando gradativamente a sua energia através da

interação com vórtices de baixa energia até que a sua quebra ocorra. Para que este

segundo mecanismo exista, é necessário que o tempo de amortecimento das

oscilações de forma da bolha seja menor que o tempo médio entre colisões da mesma

com vórtices. É evidente que o tempo de observação do fenômeno também deve ser

longo o suficiente para que este mecanismo possa ser percebido.

Eastwood et al. (2004) estudaram experimentalmente a quebra de gotas de vários

líquidos (heptano, óleos de silicone e de oliva) em um jato de água turbulento. Seus

resultados experimentais indicaram que a freqüência de quebra de partículas com

68

densidade não desprezível para baixos valores do número de Weber não obedecem à

teoria de Hinze-Kolmogorov.

Eastwood et al. (2004) mostraram que a freqüência de quebra depende da

freqüência de passagem dos vórtices de grande escala do escoamento, isto é, dependem

de Lu′ , onde u é o RMS das flutuações de velocidade e L é a escala integral local da

turbulência. Eles mostraram também que a freqüência de quebra era inversamente

proporcional a uma escala de tempo construída com a viscosidade da fase dispersa e a

tensão interfacial, isto é,

′

( ) ( ) 1−σμ∝ ddb d .

A Figura (II-15) mostra imagens sucessivas obtidas por filmagem de alta

velocidade de gotas de um óleo de silicone (ρd = 970 kg/m3, μ d = 50,9 × 10-3 Pa s, σ =

0,037 N/m) em água. Esta figura mostra claramente a existência de um mecanismo de

deformação com posterior quebra das gotas alongadas. O mecanismo final da quebra

parece ser a capilaridade, pois os locais de quebra correspondem às regiões onde se

formaram os filamentos de menor diâmetro da fase dispersa da gota original. Um

número grande de gotas filhas é observado no processo. As gotas são alongadas por

interação com vórtices de grandes escalas. Estes resultados são qualitativamente

análogos aos obtidos para escoamentos laminares a baixos números de Reynolds

(Taylor, 1934, Bentley e Leal, 1986a, 1986b, Stone et al., 1986, Stone & Leal, 1989a,

1989b) e para escoamentos estocásticos na escala sub-Kolmogorov (Cristini et al.,

2003).

69

Figura II-15 - Evolução temporal da quebra de duas gotas (A e B) mostrando um

mecanismo de deformação com posterior quebra das gotas alongadas. Δt entre as

imagens de 10-3s. (Eastwood et al., 2004)

Eastwood et al. (2004) puderam excluir uma possível influência de um

mecanismo de quebra por ressonância, como sugerido por Risso e Fabre (1998),

analisando os tempos de ressonância e amortecimento das gotas e o tempo de

observação de seus experimentos.

As principais diferenças nos sistemas experimentais analisados por Eastwood et

al. (2004) e Martínez-Bazán et al. (1999a, 1999b) (“estudos preliminares”) são que para

gotas, os números de Weber são mais baixos e os números de Ohnesorge são mais altos

em relação aos seus valores para as bolhas.

70

Eastwood et al. (2004) explicaram a não conformidade destes resultados com a

teoria de Hinze-Kolmogorov argumentando que estes experimentos foram realizados

em uma região do jato com menor dissipação de energia (baixos valores de We), de

forma que os vórtices na faixa inercial da turbulência deformam as gotas mas não tem

energia suficiente para quebrá-las. Como o mecanismo de ressonância de Risso e Fabre

(1998) não ocorre, as gotas são quebradas apenas por interação com vórtices das

maiores escalas da turbulência.

Conclusões sobre os modelos de quebra

Da extensa revisão realizada sobre os modelos de quebra de partículas fluidas, chega-se

a algumas conclusões.

Observa-se que os modelos que tem como base o modelo Luo e Svendsen (1996)

possuem dependência com os limites máximo e mínimo do tamanho dos vórtices, sendo

portanto dependente de fatores que definam quais são os valores máximo e mínimo dos

vórtices.

De todos os modelos analisados apenas o modelo de Martínez-Bazán et al.

(1999a, 1999b) não tem hipóteses que levam à existência de fatores cujos valores

arbitrariamente especificados no modelo interferem nos resultados preditos pelo mesmo.

Este possui apenas um parâmetro experimental que deve ser ajustado conforme o

experimento.

Note que o modelo de Hagesaether et al. (2002a) ainda não foi avaliado de

forma satisfatória para obtenção de maiores conclusões, já que os seus autores

utilizaram um procedimento numérico com um truncamento de domínio que deve ter

afetado seus cálculos.

Modelos de Coalescência

A coalescência possuí mecanismos ainda mais complexos que o fenômeno da quebra,

incluindo a relação entre o escoamento turbulento do meio contínuo e os efeitos

interfaciais.

A revisão descrita a seguir apresentará os conceitos básicos da modelagem da

freqüência de coalescência e dos mecanismos envolvidos nesta modelagem.

71

Modelagem da Freqüência de Coalescência

A coalescência é um processo de três etapas principais, primeiro as partículas

envolvidas precisam colidir, depois, o filme líquido formado entre as partículas precisa

ser drenado até uma espessura onde ocorre à ruptura e, portanto, a coalescência das

partículas.

Sendo assim, a freqüência de coalescência, Q, é modelada como um produto de

dois fatores: a freqüência de colisão, θ, e a eficiência de coalescência, η.

( ) ( ) ( )y,',y,',y,', mmmmmmQ ηθ= (II-116)

A eficiência de coalescência é definida como a probabilidade condicional de que

ocorra coalescência considerando uma colisão que já ocorreu. Ela depende basicamente

de dois processos: a drenagem do filme, que é a expulsão do filme líquido que fica

retido na região entre as partículas, e a ruptura do filme, processo que ocorre quando o

filme líquido entre as partículas atinge um tamanho crítico, se rompendo. Se o tempo de

colisão entre as partículas não for longo o bastante para que ocorra a drenagem até o

ponto de ruptura do filme, a coalescência não ocorre.

A modelagem do processo de coalescência é decomposto em dois sub-processos

em escalas de tamanho diferentes: a escala de tamanho igual ou superior ao tamanho da

partícula, que permite determinar a freqüência de colisão, a duração das colisões e a

força de interação ou velocidade de aproximação das partículas e a escala associada à

espessura do filme e ao tamanho do raio da região deformada das partículas, a, que

delimita o filme líquido, onde o fenômeno de drenagem é modelado para determinar a

eficiência de coalescência.

Modelagem da Freqüência de Colisão

Chesters (1991) destaca que a freqüência de colisão devido à turbulência do meio

contínuo é modelada por similaridade com a teoria cinética dos gases. Logo, para

partículas com diâmetros di e dj, ela é fornecida pela formulação:

72

( )ijsijij dukS ,=θ (II-117)

onde S é a seção reta de colisão, u é uma velocidade característica entre dois pontos no

escoamento separados pela distância ds,ij e k é um fator de correção.

Pela teoria cinética dos gases (Macedo, 1978), a seção reta de colisão de

partículas com diâmetros di e dj é fornecida por:

( 2

4 jiij ddS += )π (II-118)

A velocidade característica para escoamentos turbulentos depende da escala d

considerada. Dois casos, desenvolvidos para partículas de mesmo tamanho, são:

• d pertence ao intervalo inercial da turbulência:

( ) 38 ,)( 3/1 πε == cdcdu (II-119)

• d está abaixo da escala de Kolmogorov

( ) 32 ,/)( 2/1 πνε == cdcdu (II-120)

onde ε é a energia de dissipação turbulenta da fase contínua.

Para o caso de partículas de tamanhos diferentes, a escala d é na verdade ds,ij.

Como avaliar a velocidade característica média para partículas de diferentes tamanhos

constitui um ponto cuja modelagem varia entre os diversos autores, o que será abordado

posteriormente.

Durante uma colisão, as partículas serão empurradas uma contra a outra de

acordo com a velocidade relativa vigente sobre as suas superfícies nas posições

diametralmente opostas à região de colisão. Logo, a escala de tamanho associada ao

cálculo da velocidade característica de colisão é convenientemente fornecida por:

jiji

ijs rrdd

d +=+

=2, (II-121)

73

O fator de correção k pretende corrigir os desvios da teoria, como por exemplo, o

fato de uma flutuação da velocidade das partículas ser diferente da flutuação da

velocidade da fase contínua ou da variação da massa virtual das partículas conforme

aproximação das partículas para a colisão (Kamp et al., 2001).

A freqüência de coalescência devido a outros fatores que não a turbulência

possui modelos e teorias próprias que não são facilmente generalizadas, portanto, cujo

detalhamento será apresentado posteriormente.

Modelagem da força e duração da colisão

As forças que governam a colisão serão viscosas ou inerciais dependendo do número de

Reynolds da partícula, Red, ser baixo ou alto, respectivamente. No caso de um

escoamento turbulento, os dois casos podem ocorrer dependendo da partícula ser menor

ou muito maior que a escala de Kolmogorov, respectivamente.

Para o caso viscoso, Chesters (1991) fornece estimativas para a força, F, e a

duração da colisão na forma, ti, no caso de colisão de partículas de mesmo tamanho:

( )rrF kγπμ &6≈ (II-122)

(II-123) ( ) 1−≈ kit γ&

onde a taxa de deformação da escala de Kolmogorov é fornecida por:

(II-124) ( ) 2/1/νεγ =k&

Para um escoamento viscoso cisalhante laminar, as equações (II-122) e (II-123)

são válidas com kγ& substituída pela taxa de deformação do escoamento laminar γ& .

Chesters (1991) mostrou que existem duas escalas para a força e para a duração

do contato entre as partículas para o caso inercial. Assumindo que a escala de

velocidade característica seja fornecida por ( ) 3/2dε , a força característica que o

escoamento faz sobre a partícula de diâmetro d é dada por ( ) 3/2222 ddduFext ερρ ≈≈

74

enquanto que o tempo que a partícula passa pela outra, também de diâmetro d, é da

ordem de . ( ) 3/12 // εdudtext ≈≈

Por outro lado, a análise de um choque elástico de duas partículas de mesmo

tamanho mostra que o tempo de interação durante a colisão é dado por:

2/13

32

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

σρ

ρρ rCt vm

di (II-125)

onde Cvm é o coeficiente de massa virtual para as duas partículas em choque, que é de

ordem unitária para partículas próximas. A força de interação no choque pode ser

estimada pelo excesso de pressão interfacial associado às interfaces deformadas:

( ) 2/1

2/1

222

2

32

22 −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅≈ WeCduaraF vm

d

ρρρπσπ (II-126)

onde ( ) σερ 23/2 ddWe ≡ (equação II-12) é o número de Weber da partícula baseado no

seu raio e na velocidade característica ( ) 3/2dε , logo obtemos:

2/1

2/1

31 WeC

tt

vmd

ext

i ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

ρρ (II-127)

2/1

2/1

32

2−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈ WeC

FF

vmd

ext ρρπ (II-128)

Chesters (1991) assume que não devem existir partículas com We alto pois elas

quebram, sendo We < 1, dessa forma, ti < text e Fext < F, portanto o tempo de interação

durante a colisão, ti, e a força de interação no choque, F, são mais relevantes do que o

tempo que uma partícula passa pela outra, text, e do que a força característica do

escoamento, Fext. Isto pois, o tempo de interação durante a colisão é menor que o tempo

que uma partícula passa pela outra e a força de interação no choque é maior que a força

característica do escoamento.

75

Modelagem da drenagem do filme líquido

Existe uma grande quantidade de modelos para a drenagem de filme líquido, estes

modelos estão associados às características das interfaces, que podem ser rígidas ou

deformáveis, podem ser imóveis, parcialmente móveis ou completamente móveis e

mesmo existir ou não a presença de tensoativos.

O objetivo destes modelos é descrever a variação da espessura de filme com o

tempo, h(t), para determinar o tempo necessário, tc, para que a espessura crítica, hc, seja

alcançada, a qual leva à ruptura do filme.

Estes modelos usualmente admitem que a força de interação, F, e/ou a

velocidade de aproximação das partículas, V, são constantes durante a colisão. Em

colisões reais, ambas variam. O caso de força de interação constante é mais comum,

pois uma aproximação para a mesma vem das condições do escoamento externo e por

que a velocidade de aproximação das partículas na drenagem do filme é a própria

derivada de h(t), dtdhV /−= .

Chesters (1991) revisa diversos modelos de drenagem para partículas de um

mesmo diâmetro, apresentados a seguir. A generalização para partículas de tamanhos

diferentes é possível desde que utilizado o diâmetro equivalente do par de partículas,

deq,ij ( jiijeq ddd /1/1/1 , += ). A justificativa desta aproximação reside no fato de que as

equações governantes da drenagem axialmente simétrica do filme entre duas partículas

de tamanhos diferentes são as mesmas que governam a drenagem no choque de duas

partículas com o diâmetro equivalente (Chesters, 1991).

Drenagem do filme entre esferas rígidas

Uma simplificação das equações de conservação de massa e de quantidade de

movimento no filme líquido, assumindo a força de interação constante, fornece:

(II-129) μπ 23/2/ rhFdtdh =−

cuja solução, assumindo que a força de interação é constante, é dada por:

(II-130) ( ) Frttthh chch 2/3 ,/exp 20 μπ=−=

76

onde ho é a espessura inicial no filme durante a colisão. Do modelo se observa que o

aumento da força de interação da colisão aumenta a taxa de redução da espessura do

filme, ou seja, o aumento da força de interação – choques intensos entre as partículas –

favorece a coalescência.

Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interface imóveis

Um modelo baseado no escoamento entre duas placas planas paralelas fornece a

seguinte expressão para a taxa de redução da espessura do filme:

(II-131) Frhdtdh 232 3/8/ μπσ≈−

cuja solução na forma adimensional é dada por:

thh o ≈− −− 22 (II-132)

onde:

πσπσ 8/3

,4/3 Fr

ttF

hh ≡≡ (II-133)

Para h << ho, a equação (II-132) resume-se em:

th /12 = (II-134)

Neste caso, o aumento da força de interação da colisão diminui a taxa de redução

da espessura do filme, o que significa que a coalescência é desfavorecida com choques

intensos entre as partículas envolvidas.

Chesters (1991) analisa as soluções numérica obtida por Yiantsios e Davis

(1990) para um modelo com deformação diferenciada das interfaces ao longo do raio do

filme, isto é, não assume a hipótese de filme entre placas paralelas, e demonstra que a

espessura mínima do filme líquido para grande valores de t tende a equação

th /959,02 ≈ , concordando perfeitamente com o resultado do modelo de filme entre

placas paralelas.

77

Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interfaces parcialmente móveis

A aproximação de imobilidade das interfaces do filme líquido somente é válida quando

a densidade da fase dispersa é elevada, ou seja, quando existe um surfactante solúvel na

fase contínua. Em caso contrário, a drenagem do filme líquido é controlada pela

movimentação das interfaces do filme, sendo desprezíveis outros efeitos que provoquem

o escoamento do filme, que é o que ocorre em sistemas líquido-líquido purificados. Por

outro lado, a movimentação das interfaces é controlada pelo escoamento adjacente a

elas, que existe no interior das gotas, o qual satisfaz à aproximação de escoamento

escorregante, ou seja, sem efeitos inerciais (Chesters, 1991). Este é o caso denominado

de mobilidade parcial da interface, para contrastar com o caso em que o fluido interno

não oferece resistência à movimentação da interface, ou seja, a tensão cisalhante é nula

sobre a mesma, que é chamado de mobilidade completa da interface. Este último caso é

característico de bolhas.

Pode-se deduzir um modelo de filme entre placas paralelas com interfaces

parcialmente móveis utilizando a equação da continuidade do filme líquido e um

balanço de forças sobre a interface para obter a seguinte equação para a taxa de redução

da espessura do filme:

( ) 22/1

2/3/22/ hF

rdtdhdπμ

πσ≈− (II-135)

cuja solução na forma adimensional é dada por:

( ) 2/131**11 6/ t ,3 −−−− ≡≈− σπμ Frtthh do (II-136)

para h << ho, a equação (II-136) fica:

*3/1 th = (II-137)

A solução numérica de Yiantsios e Davis (1990) pode ser aproximada para

tempos pequenos pela equação (II-137), porém, para tempos maiores, o melhor ajuste

foi obtido por Chesters (1991) na forma:

78

*66,0/1 th = (II-138)

Note que a espessura do filme é proporcional à raiz quadrada da força de

interação na colisão, de forma que, também neste caso, a coalescência é desfavorecida

em choques intensos entre as partículas envolvidas.

Drenagem do filme entre partículas deformáveis com interfaces completamente

móveis

Quando a viscosidade da fase dispersa é suficientemente pequena (como o caso de

bolhas), a drenagem do filme não é controlada pela resistência ao escoamento no

interior desta fase e sim pela resistência oferecida pela deformação e aceleração do

filme líquido. Quando o efeito da deformação é mais importante que o da aceleração, o

regime é denominado viscoso, em um caso oposto, inercial.

Chesters (1975) desenvolveu um modelo de filme entre placas paralelas

incorporando os termos viscosos e inerciais, obtendo a seguinte expressão para a taxa de

redução da espessura do filme líquido:

( ) hHra

tdtdHr

dtdHo

ln ,3

12exp/3

/ 2 ≡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈−

μσ

ρμ

μσ (II-139)

As soluções da equação (II-139) para os limites viscoso ( )∞→μ e inercial são

fornecidas por Chesters (1991) na seguinte forma adimensional:

(II-140) ( )cho tthh ˆ/ˆexpˆˆ −=

sendo

⎩⎨⎧

=≡≡inercial limite ,8/1 viscosolimite ,2/3ˆ ,ˆ ,ˆ RE

trWEtVt

rWEhh ch (II-141)

e , σρ /2rVWE ≡ μρ /VrRE ≡ são os números de Weber e Reynolds baseados na

velocidade de aproximação e no raio das partículas.

Soluções numéricas da equação (II-139) para V constante obtidas por Chesters e

Hoffman (1982) mostra que a solução inercial é recuperada para . 100≥RE

79

Modelagem do ponto de ruptura do filme

Considerando que a espessura do filme seja grande em comparação com o alcance das

forças intermoleculares, o efeito destas forças é corretamente representado através do

conceito de uma tensão superficial. Porém, quando o filme se torna fino, as forças

tangenciais adicionais tornam-se significativas e afetam o processo de drenagem. Para

fluidos puros, as forças são exclusivamente de van der Waals e tendem a desestabilizar

o filme, de forma que, se o mesmo atinge uma determinada espessura crítica, hc, ele se

rompe. Chesters (1991) fornece a seguinte expressão para a espessura crítica:

3/1

8 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

πσeq

c

Adh (II-142)

onde é a constante de Hamaker. J 10 20−≈A

Por outro lado, Kim e Lee (1987) assumem um valor constante para hc em

qualquer situação e igual a 10-8 m. Em um cálculo considerando a tensão superficial

igual a 0,072 N/m e raio equivalente de 0,01 m, segundo o modelo de Chesters (1991),

hc é 3,8 × 10-8 m, ou seja, praticamente da mesma ordem de grandeza do valor proposto

por Kim e Lee (1987). Apesar de existirem diferentes propostas para o cálculo da

espessura crítica, existe uma concordância na literatura que o valor é da ordem de

grandeza de 10-8.

Modelagem do ponto inicial de drenagem do filme

Todos os modelos de drenagem apresentados até aqui são equações ou resultados de

equações diferenciais de primeira ordem, ou seja, todos dependem de um parâmetro

cujo valor não abordado até o momento, que é a espessura inicial que determina o inicio

da drenagem do filme.

Assumindo que a pressão gerada pela aproximação de bolhas esféricas é

suficientemente grande para promover deformação, Chesters (1975) propôs que a

espessura inicial é proporcional ao produto do número de Weber (equação II-12) pelo

diâmetro equivalente ( ), enquanto Kirkpatrick e Locket (1974) 4/Wedh eqo =

80

consideraram para o sistema ar-água um valor igual a 0,1 mm (10-4 m), para todas os

possíveis tamanhos de bolhas.

Assumindo o sistema ar-água, tensão superficial igual 0,072 N/m, raio

equivalente de 1 cm (0,01 m), assumindo o valor típico de 0,5 m2/s3 para a energia de

dissipação turbulenta, o modelo 4/Wedh eqo = fornece o valor de 5 × 10-3 m (usando

( ) σερ 23/2 ddWe ≡ ) um valor 50 vezes maior que a estimativa de Kirkpatrick e Locket

(1974).

Modelagem da eficiência de coalescência

As considerações anteriores podem ser usadas para estimar a probabilidade de

coalescência durante a colisão de duas partículas. Se o tempo de interação entre as

partículas durante colisão, ti, tempo de contato, for superior ao tempo necessário para

que ocorra a ruptura do filme, tc, tempo de coalescência, a coalescência ocorre.

As características do escoamento e do choque entre partículas são muito mais

complicadas do que os modelos anteriormente apresentados. Uma relação simplificada

obtida a partir de modelo estocástico é usualmente empregada para estimar a

probabilidade de coalescência (eficiência de coalescência), η, sendo dada por Ross et al.

(1978) e Verhoff et. al. (1997) como:

( )ic tt /exp −=η (II-143)

Chesters (1991) utiliza os resultados mostrados acima para estimar a

probabilidade de coalescência em três casos comuns: partículas rígidas em escoamento

cisalhantes simples, aplicadas em casos onde a fase dispersa possuem surfactantes,

partículas deformáveis com interfaces parcialmente móveis em escoamentos cisalhantes

simples e bolhas em escoamento turbulento.

Partículas rígidas em escoamento cisalhantes simples

Partículas realmente rígidas não coalescem, mas sim coagulam (aderem-se umas as

outras) através da ação das forças de van der Waals. A única consideração adicional, às

relações matemáticas apresentadas requerida para descrever esse problema é uma

formulação para hc que considere a força de atração de van de Waals comparável com a

81

força de interação, F (equação, II-122). Para esferas iguais e pequenas perturbações a

atração de van der Waals é dada por . Igualando esta expressão a equação (II-

122), obtemos para h = h

212/ hAr

c :

(II-144) ( ) 2/172/ rAhc γπμ &≈

Considerando a definição de hc dada pela equação (II-144), as equações (II-122)

(para a força de interação) e (II-129) (para o escoamento do filme líquido entre as

partículas, o que incluiu assumir a velocidade aproximação das partículas igual a

) e a espessura inicial do filme como aproximadamente r/4, se obtêm a

probabilidade de coagulação como:

dtdh /−

(II-145) ( ) ( ) 8/38/11

2/64/3 cArc −−= γπμη &

onde c1 e c2 são parâmetros empíricos de ordem unitária.

Partículas deformáveis com interfaces parcialmente móveis em escoamento

cisalhante

Considerando o modelo fornecido pelas equações (II-138), (II-136) e (II-133), nos

permite escrever a equação (II-143) na forma:

( )cf hh /exp −=η (II-144)

onde hc é a espessura de ruptura do filme e hf é a espessura do filme ao final do tempo

de interação das partículas, ti, usando o modelo de drenagem dado pela equação (II-

138).

Utilizando as estimativas para F e ti fornecidas pelas equações (II-122) e (II-

123), respectivamente, para um escoamento viscoso laminar, a equação (II-137) permite

obter hf. Substituindo os valores de hc e hf encontrados em (II-144) obtemos a expressão

de eficiência como:

82

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

3/122/3

18exp

ArCac d πσ

μμη (II-145)

onde c1 é uma constante de ordem unitária e σγμ &rCa ≡ é o número capilar. O

argumento exponencial da equação (II-145) tem dependência com r13/6. Assim, gotas

menores têm maior possibilidade de coalescerem. A coalescência também aumenta

quando a fase dispersa é menos viscosa que a contínua.

Bolhas em escoamento turbulento

Chesters (1991) mostra que o efeito da viscosidade do gás na drenagem do líquido é

importante apenas nos estágios finais de drenagem, quando as forças de van der Waals

são importantes, afirmando, entretanto, que este efeito contribui pouco para o tempo

total da drenagem.

Chesters (1991) recomenda, como aproximação inicial, que ambos os efeitos da

viscosidade do gás e das forças de van der Waals sejam desprezados, e o tempo de

drenagem estimado através da solução no regime inercial da drenagem entre partículas

deformáveis com interfaces completamente móveis, dada pela forma dimensional das

equações (II-140) e (II-141).

Ignorar as forças de van der Waals implica na necessidade de definir um tempo

para que uma certa espessura crítica do filme se estabeleça por uma equação diferente

da equação (II-142). Utilizando os resultados da solução numérica de Chesters e

Hoffman (1982) e definindo a espessura crítica como aquela que ocorre quando a

pressão no filme atinge a metade do valor necessário para a deformação das interfaces

para a forma plana ( )8/1ˆ =h , se obtém o valor de:

2

WEVrtc ≈ (II-146)

Usando o valor de ti estimado pela equação (II-125) com 0/ ≈ρρd (bolhas) e

considerando o valor do coeficiente virtual de massa para partículas de igual tamanho e

em contato, , temos: 8,0≈vmC

83

2/1

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈WE

Vrti (II-147)

Portanto, a probabilidade de coalescência é fornecida por:

( )[ ]2/12 2/exp WEc−=η (II-148)

onde c2 é uma constante de ordem unitária

A velocidade de aproximação das partículas, V, pode ser substituída pela

velocidade característica dos vórtices no intervalo inercial, ( ) 3/2dε , para o caso de

bolhas muito maiores que a escala de Kolmogorov, de forma que a eficiência pode ser

escrita como:

(II-149) ( )[ ]2/13 2/exp Wec−=η

onde c3 é uma constante que incorpora um fator de correção para a diferença de

magnitudes das flutuações de velocidade das fases contínua e dispersa, ou seja,

incorpora a hipótese de usar no lugar de V, além de incluir o fator c de definição

da velocidade (equação II-119). A constante c

( ) 3/2dε

3 pode incluir também efeitos não

modelados associados ao processo.

A definição da eficiência obtida na equação (II-149) implica que a coalescência

é menos favorável em choques intensos, quando os altos valores da velocidade

característica implicam em elevados valores de We.

Modelos de Coalescência

Uma vez revistos os princípios básicos da coalescência, veremos nessa seção os

modelos de coalescência propriamente ditos, isto é¸ como os princípios apresentados

acima foram empregados por diversos autores para gerar os modelos de freqüência de

colisão e os modelos de eficiência de coalescência.

Muito embora os modelos desenvolvidos sejam de freqüência de colisão e

eficiência de coalescência e estes representem processos independentes, é o modelo de

84

freqüência de coalescência, , que é usualmente validado, ou seja, existe uma

clara dificuldade de validar as hipóteses associadas a freqüência de colisão e a

eficiência de coalescência, pois o desvio de um modelo pode ser compensado com

desvios no outro modelo.

)',( mmQ

Modelos de freqüência de colisão

Os modelos de freqüência de colisão se dividem em basicamente três tipos

fundamentais: colisão devido à turbulência da fase contínua, devido à ação de forças de

campo, como as causadas pelos gradientes de velocidade do líquido em uma coluna de

borbulhamento, cujo movimento de deve à ação da gravidade e devido às interações

tipo bolha-bolha, incluindo a captura de uma partícula na esteira de outra (wake

entrainment).

Com exceção de Lehr e Mewes (2001), todos os autores consideram que a

freqüência de colisão total de um sistema é a soma de todas as freqüências de colisão.

Por outro lado, Hibiki e Ishii (2000) afirmam, sem bases teóricas, que a freqüência de

colisão devido à captura de uma partícula na esteira de outra possuí um tipo próprio de

eficiência de coalescência, ou seja, o modelo deve utilizar parâmetros empíricos

diferenciados para este processo em relação ao mecanismo de coalescência devido à

turbulência.

Modelos de freqüência de colisão devido à turbulência

Saffman e Turner (1956) e Kuboi et al. (1972b)

Saffman e Turner (1956) propuseram a seguinte expressão para a freqüência de colisão

de duas partículas de diâmetros di e dj em um escoamento turbulento:

( ) ( ) 2/1

22

2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +≅ ji

ijTij

duduSθ (II-153)

onde Sij é a seção reta de colisão obtida pela equação (II-118) e

85

( ) ( ) ( ) 3/23/22 2 dddu εεβ == (II-154)

é a média do quadrado das flutuações de velocidade associadas aos vórtices de tamanho

d, que são também as flutuações de gotas e bolhas dispersas no escoamento turbulento

segundo resultados experimentais de Kuboi et al. (1972a). Esta expressão será utilizada

em todos os modelos que serão apresentados.

Kuboi et al. (1972b) mostrou experimentalmente que a freqüência de colisão de

partículas de mesmo tamanho era bem representada por:

( )[ ] ( ) ( ) 3/222/1

3/222/1

2/12

2/1

38

34

34

iiiiiiiTii ddddduS επεβπ

πθ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (II-155)

onde β foi experimentalmente obtido como 2.

Coulaloglou e Tavlarides (1977)

Estes autores utilizaram a teoria cinética dos gases para obter:

( ) ( ) ( )[ ] 2/12222

2 jijiTij dududd ++≅

πθ (II-156)

Entretanto, o modelo apresentado (equação III-156) está errado no que se refere à seção

reta de colisão. Hsia e Tavlarides (1982) e Tsouris e Tavlarides (1994) corrigiram a

expressão para uma forma equivalente à expressão utilizada na equação (II-153) que usa

a equação (II-118) para Sij e tem uma constante multiplicativa ajustável e um fator de

correção para o efeito de população.

Prince e Blanch (1990)

Prince e Blanch (1990) propuseram expressões para a freqüência de colisão devido a

diferentes efeitos e são os autores mais citados na literatura no que concerne à aplicação

de modelos de coalescência.

No caso da freqüência de colisão devido à turbulência do escoamento, eles

propuseram:

86

( ) ( )[ ] 2/122iiij

Tij duduS +≅θ (II-157)

O termo Sij foi definido como a seção reta de colisão em analogia a teoria cinética dos

gases e matematicamente definido como ( )2/4 ji rr +π , o que está errado. Corrigindo esse

erro a expressão seria idêntica a utilizada na equação (III-153), ( )2/4 ji dd +π (equação

II-118).

Lehr e Mewes (2001)

Lehr e Mewes (2001) desenvolveram um modelo misto que leva em conta as colisões

associadas à turbulência da fase líquida e a existência de velocidades diferenciadas para

bolhas de tamanhos diferentes. Considerando apenas a parte relativa à freqüência de

colisão devido à turbulência, têm-se:

( ) ( )[ ] 2/122

2 jiijT

ij duduS

=θ (II-158)

onde Sij é a seção reta de colisão obtida pela equação (II-118). Note que eles utilizaram

a média geométrica da velocidade de flutuação das bolhas e uma constante de

proporcionalidade igual a 21 , a qual surge devido a redefinição do valor da constante

multiplicativa da equação (II-119). Essas modificações não possuem justificativas

físicas.

Kamp et al. (2001)

Kamp et al. (2001) generalizaram a expressão de freqüência de colisão obtida por Kuboi

et al. (1972b), equação (III-155), para partículas de diferentes tamanhos utilizando uma

velocidade características associada a soma dos raios das partículas:

( )[ ] 2/12

2/1

,34

jiijTij dduS⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

πθ (II-159)

87

com:

( ) ( ) ( ) 2/ ;, 3/22222jimmvmtkcji ddddkCcddu +== ε (II-160)

e onde Sij é a seção reta de colisão obtida pela equação (II-118) e ckc é um parâmetro

empírico de ordem unitária. A equação (III-159), válida apenas para bolhas, incluí duas

outras modificações no cálculo da velocidade de flutuação (equação II-160): a primeira

modificação foi a substituição do fator 2 ( β ) de Kuboi et al. (1972) (equação II-

155) pelo fator no cálculo da velocidade de flutuação, com o objetivo de considerar

as diferenças das flutuações das bolhas em relação à fase líquida existentes devido a

grande diferença dos seus valores de densidade. Kamp et al. (2001) apresentam um

modelo para escoamentos tem tubos horizontais para a predição do valor de C

tC

t dado

por:

( )( ) 2

,2,4312,439

3/23/1

3/23/12 ji

mm

mt

ddd

ddC

+=

++

=ενεν (II-161)

onde é possível observar que o valor máximo de Ct é 3, que ocorre quando a energia de

dissipação turbulenta, ε, vai a infinito. Kamp et al. (2001) afirmam que Ct perde o

sentido físico caso seja menor que 1, que é o valor utilizado já por Saffman e Turner

(1956), nos primórdios da modelagem da freqüência de coalescência. No caso típico do

sistema ar-água em condições ambientes, partículas da ordem de 1 mm e energia de

dissipação turbulenta variando de 0,1 a 1 m2/s3 levam a valores de Ct de 2,8 a 2,95,

respectivamente. Para Kuboi et al. (1978a,b), que não consideraram as diferenças entre

as flutuações de bolhas e da fase líquida, esse valor é constante e igual a

4,12 ≅=β .

A segunda modificação no modelo foi à inclusão do fator, km, que possui o

objetivo de corrigir a variação do valor do coeficiente de massa virtual, Cvm, durante a

colisão. O coeficiente virtual de massa é o fator associado à correção da forma da

partícula, ou seja, sendo a massa da partícula esférica definida como a densidade

multiplicada pelo volume da partícula esférica, a massa real da partícula (que não é

realmente esférica) é definida como o produto da densidade (que é igual a anterior)

88

pelo volume real da partícula, por sua vez, este é definido como o produto do volume da

partícula esférica com o coeficiente virtual de massa. O coeficiente virtual de massa

varia durante a colisão, pois nesta a forma da partícula varia com a aproximação das

partículas. Considerando que a densidade da fase dispersa é muito menor que a da fase

contínua (o que limita a análise em sistemas gás-líquido) e desprezando a dissipação

viscosa, a soma da energia cinética e superficial das bolhas permanece constante

durante o choque. Sendo ( )[ ] ( )[ ]∞

≅ jijivm ddudduk ,, 20

2 , onde ( )[ ]∞ji ddu ,2 é a

velocidade de flutuação das partículas quando estas estão infinitamente afastadas e

( )[ ]∞ji ddu ,2 a velocidade de flutuação das partículas quando estas estão em contato e

considerando um balanço de energia cinéticas para as bolhas, temos

( )[ ] ( )[ ] ∞∞= vmjivmji CdduCddu ,, 2

002 o que determina ∞≅ vmvmvm CCk //1 0 .

Quando as partículas são de igual tamanho, di igual a dj, os coeficientes o

coeficiente virtual de massa possui os valores limites de 0,5 e 0,803 quando as

partículas estão infinitamente afastadas ou em contato, respectivamente, logo

61,1/1≅vmk . Por outro lado, quando a razão dos diâmetros é muito distinta

( )∞→ji dd / , os coeficientes de massa virtual sofrem com uma diminuição de 4 no seu

valor, sendo 0,125 e 0,201 quando as partículas estão infinitamente afastadas ou em

contato, respectivamente, o que fornece 61,1/1≅vmk .

Conclui-se que um fator constante e igual a 61,1/1 constitui uma razoável

aproximação para o valor de km. Essa valor varia sensivelmente com a razão das

densidades entre as fases dispersa e contínua, ou seja, usar este valor constante somente

é uma boa aproximação em sistemas gás-líquido que tenha pequena variação da razão

de densidades entre as fases no sistema.

A figura (II-13) compara o comportamento dos modelos de freqüência de colisão

de Prince e Blanch (1990), Lehr e Mewes (2001) e Kamp et al. (2001), assumindo que

uma das partículas possui diâmetro dj igual a 1 cm e para uma energia de dissipação

turbulenta de 0,5 m2/s-3. O modelo de Prince e Blanch (1990) possuí os maiores valores

de freqüência de colisão, enquanto o modelo de Lehr e Mewes (2001) possuí os

menores valores de freqüência de colisão. Embora a freqüência de colisão cresça com o

diâmetro da partícula em todos os modelos, a diferença entre as predições não é de

apenas um fator de proporcionalidade, pois a mesma é causada pelas diferentes

89

definições usadas para ( )du2 e por diferentes formas de representar o argumento desta

função, d, quando as partículas são de tamanhos diferentes.

Figura II-16 – Modelos de freqüência de colisão de Prince e Blanch (1990), Lehr e

Mewes (2001) e Kamp et al. (2001). Sistema ar-água

(dj = 1 cm, ε = 0,5 m2/s3, ρ = 1000 kg/m3 e σ = 0,072 N/m)

Wu et al. (1998)

Wu et al. (1998) consideram que o intervalo entre colisões para bolhas de igual tamanho

é dado por:

( )[ ]22/ duLt =Δ (II-162)

onde L representa a distância livre média percorrida por uma bolha entre colisões,

podendo ser aproximadamente definida como:

( )3/113/113/1 1 φδ

φδ

φδ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−∝

dddddL e (II-163)

90

sendo ed a distância entre os centros, δ a distância na qual inicia-se a colisão (por

definição, é a soma do diâmetro da partícula com a espessura inicial de filme), 1δ é uma

proporcionalização linear do fator constante δ com o livre caminho médio.

Quando a retenção gasosa tende ao limite máximo de empacotamento na coluna,

maxφ , o caminho livre médio percorrido deve ser zero, ou seja:

( ) 01 3/1max1 =− φδ (II-164)

Logo, temos que:

(II-165) 3/1max1−= φδ

Considerando a consistência necessária para o modelo, o caminho livre médio

percorrido pode ser modelado como:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

3/1

max3/1 1

φφ

φdL (II-166)

Por definição, a freqüência de colisão entre duas bolhas é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−∝

Δ= 3/13/1

max

3/1max3/11

φφφφ

du

tr eqT (II-167)

Wu et al. (1998) definem a probabilidade de duas bolhas se chocarem, Pc, deve

ser considerada modificando a freqüência de colisão. Esta é a probabilidade de duas

bolhas quaisquer se movimentarem em direção ao choque. Assumindo empacotamento

denso hexagonal temos:

3/2

max

3/22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∝⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∝⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

φφ

φφ

cec d

dP (II-168)

91

onde cφ é a retenção quando não é mais possível o deslocamento das bolhas em uma

direção na qual não ocorra colisão, valor esse que pode ser aproximado pela retenção

gasosa máxima.

Wu et al. (1998) não consideram um modelo para a eficiência de coalescência,

admitindo que uma vez que ocorra a colisão existirá coalescência. Logo, a freqüência de

colisão é a freqüência de coalescência. Portanto a taxa de colisão é definida como

, considerando que , podemos isolar a freqüência de

colisão, , como:

ct PrffQf ααα = 6/)( 3df πφ α∝

TQ θ=

( )[ ] ( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡

−= 3/13/1

max3/1

max

2/122 1φφφ

θ dudCWET (II-169)

onde o fator representa a correção associada ao volume da partícula,

e C

([ 13/13/1max

3/1max

−− φφφ )]

WE é um parâmetro empírico ajustado como 0,0565 por Wu et al. (1998).

A conversão da equação (II-169) para considerar diferentes tamanhos de

partículas não é óbvia. Pode-se considerar uma generalização da seção reta de colisão,

d2, apesar desta não ser de fato um área de seção reta, mas sim a razão entre o volume

da partícula líder e o diâmetro da partícula capturada, e da velocidade característica

das partículas, mas a generalização do fator de correção, por princípio, deveria incluir

uma forma de considerar diferentes tamanhos de partícula no modelo de

empacotamento das partículas, ou seja, o fator deveria incluir efeitos relativos ao

diâmetro das partículas.

Wang et al. (2005)

Wang et. al. (2005) generalizaram o modelo de Wu et. al. (1998) para colisão de

partículas de diferentes tamanhos. A seção reta de colisão, que no modelo de Wu et al.

(1998) é d2, neste modelo é baseada na expressão de Macedo (1978), ,

relembrando que esta interpretação, apesar de intuitiva, é equivocada. Wang et al.

(2005) utilizam a definição de Prince e Blanch (1990) para a velocidade característica,

( )2/4 ji dd +π

92

ou seja, no lugar de ( )[ ] 2/12 du do modelo de Wu et al. (1998) (equação II-169) aparece

( ) ( )[ ] 2/122ii dudu + .

A principal dificuldade da generalização é o fator de correção devido relação as

dimensões das partículas, no modelo Wu et al. (1998) esse fator é dado por

, enquanto no modelo de Wang et al. (2005) ele é definido como ([ 13/13/1max

3/1max

−− φφφ )]

( )[ ] ijδφφφ −maxmax / . A parte da expressão que correlaciona a retenção gasosa é obtida

direto do modelo de Hibiki e Ishii (2000), que por sua vez a obteve do modelo de Wu et

al. (1998), já o ijδ depende da razão entre distância entre as bolhas e do caminho livre,

na forma ( )[ ]ijijij L/exp ψδ −= onde Lij é dado por ( ) 2/12289,0 ji dd + e ijψ é fornecido por

, sendo aproximado por . [ ] 3/1)()(63,0 −+ ii dfdf αα )( idfα )6//()( 3ii ddf πφα ∝

Freqüência de Colisão devido à interações bolha-bolha

Efetivamente, interações entre bolhas promovidas por qualquer outra força que não

tenha origem na turbulência ou em movimentos oriundos da recirculação de líquido.

Podemos citar como exemplos, a colisão devido ao empuxo, originário da diferença de

tamanho das bolhas, interações de wake, trajetórias tipo zigzag/helicoidais.

Prince e Blanch (1990) e Lehr e Mewes (2001)

Prince e Blanch (1990) e Lehr e Mewes (2001) modelam a interação devido ao empuxo,

utilizando exatamente a mesma formulação.

jririjBij uuS ,, −=θ (II-170)

Prince e Blanch (1990) utilizaram o modelo fornecido em Clift et. al. (1978)

para bolhas com interface móvel no regime elipsoidal, dado por:

2/1

505,014,2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= gd

du

lr ρ

σ (II-172)

93

A diferença básica entre Prince e Blanch (1990) e Lehr e Mewes (2001) é que,

enquanto o primeiro coloca a freqüência de colisão total como uma soma de freqüências

de colisão originárias de diferentes efeitos (turbulência, empuxo e recirculação do

líquido), o segundo assume que a freqüência de colisão de maior valor numérico é

dominante e única no sistema.

Note que, de acordo com o modelo, uma bolha “i” de menor velocidade que a

bolha “j” poderá ser alcançada pela bolha “j”, isso está correto quando a bolha “j” está

posicionada abaixo da bolha “i”. Entretanto o modelo não diferencia quando a bolha “i”

está acima ou abaixo da bolha “j”, e conta o mesmo par i-j duas vezes. Seria mais

sensato, mesmo que ainda não representasse a realidade, considerar o modelo de

freqüência devido ao empuxo como sendo a metade do modelo proposto originalmente

pelos autores.

Todavia, o efeito de diferença de empuxo não representa a realidade. O que

realmente ocorre é a captura de uma bolha na zona de arrasto de uma outra bolha

(Bilicki e Kestin, 1987, Stewart, 1995, Otake et al., 1997, Wu et al. , 1998, Colella et al.

1999, Hibiki e Ishii, 2000, Wang et al., 2003, Raquife et al., 2004), como veremos a

seguir.

Wu et al (1998)

Wu et. al. (1998) idealizaram um modelo para colisões devido à captura de uma bolha

na zona de arrasto de outra bolha, que é o fenômeno que realmente ocorre (Bilicki e

Kestin, 1987, Stewart, 1995, Otake et al., 1997, Wu et al. , 1998, Colella et al. 1999,

Hibiki e Ishii, 2000, Wang et al., 2003) . Assumindo bolhas de igual tamanho, Wu et al.

(1998) propõem:

) (II-173) (duC rWEWE =θ

com

( )wWE LdFC /

81 π= (II-174)

onde a velocidade relativa vem do modelo de Ishii e Chawla (1979) na forma:

94

( ) ( ) 2/1

3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ρρρ d

arrastor C

dgdu (II-175)

com:

( )d

darrastoC

ReRe1,0124

75,0+= (II-176)

( φμ

)ρ−≡ 1Re dur

d (II-177)

A forma funcional ( wLdF ) determina a correlação entre o diâmetro da partícula

líder e do tamanho da zona de arrasto. A forma precisa dessa relação funcional não é

importante desde que a região de arrasto não esteja completamente estabilizada. De

acordo com Tsuchiya, et. al. (1989), o comprimento característico das esteiras das

bolhas é da ordem de 5-7 vezes o seu diâmetro em sistemas ar-água, logo ( )wLdF

pode ser considerado um valor constante, dependendo apenas das propriedades do

fluido. Entretanto, esta é uma forte aproximação quando aplicada a alguns sistemas

fortemente anisotrópicos como a coluna de bolhas.

Wang et al. (2005)

Wang et al. (2005) modificaram o modelo de Wu et al. (1998), generalizando-o para

bolhas de tamanhos diferentes.

A modelagem em si é diferente, pois deve levar em conta a diferença de

tamanhos entre as partículas, mas por fim é obtido um modelo exatamente igual ao da

equação (II-173). As diferenças relevantes estão na freqüência de colisão, ,

na definição de no lugar de , o que significa que a freqüência de colisão é

dada apenas por uma das bolhas, ou seja, a freqüência de colisão é fornecida por:

),( jiWE ddθ

)( ir du )(dur

)( irWEWE duC=θ (II-178)

95

onde a constante CWE é ligeiramente diferente da obtida pela equação (II-173)

(diferença está associada à presença de vários tamanhos possíveis para as bolhas

dispersas), mas continua sendo um parâmetro constante e empírico.

Note que o modelo prediz que a freqüência de colisão da partícula i com a

partícula j é diferente da freqüência de colisão da partícula j com a partícula i. Isso

induz a uma freqüência de colisão não simétrica, o que não corresponde à realidade.

Assim como também não parece ser muito razoável que a freqüência de colisão

da partícula i com a partícula j não seja dependente do tamanho da partícula j.

Freqüência de Colisão Devido à Recirculação do Líquido

Prince e Blanch (1990)

Segundo Kamp et al. (2001), em escala industrial, a contribuição de freqüência de

colisão devido a gradientes de velocidade do líquido é de, no mínimo, 1,5 vezes menor

que a colisão devido à turbulência da fase contínua. Em outros sistemas, em geral,

ambos são significativos, sendo necessário um maior rigor experimental no

desenvolvimento e validação de modelos de coalescência.

Prince e Blanch (1990) propuseram uma modelagem abordando esse aspecto,

onde a freqüência de colisão era baseada em Friendlander (1977):

( )dRdUrr l

jiLS 3

34

+=θ (II-178)

Entretanto, devido à dificuldade de modelagem, eles aproximaram o perfil de

velocidade do líquido por um modelo proposto por Walters e Blanch (1983):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

max, 1TU

ll RRUU

α (II-179)

onde R é a coordenada radial da coluna, RT a diâmetro da coluna, Uα é o raio

adimensional onde ocorre o ponto de estagnação da velocidade do líquido, ou seja,

96

ponto onde a velocidade do líquido troca de sentido. Sendo Uα dado experimentalmente

como aproximadamente 0,7.

Figura II-13 – Perfil de velocidade de líquido do modelo de Walters e Blanch (1983) e

dados experimentais de Chen et al. (2005).

Observa-se que até o valor de mais ou menos 0,9 do raio adimensional a

predição para a velocidade condiz com os dados experimentais de Chen et al. (2005)

(pontos). Após esse valor, a velocidade determinada pelo modelo (curva contínua)

continua diminuindo, enquanto os dados experimentais demonstram um aumento

abrupto da velocidade que na parede é nula.

A média do gradiente da velocidade do líquido pode ser calculada como:

T

ll

RU

dRdU max,4.5= (II-180)

[ ]( )φ,2 3/1max,max, Tll RUU = (II-181)

97

O modelo da média do gradiente de velocidade do líquido é dependente da

velocidade máxima alcançada pelo fluido no escoamento. O modelo de velocidade

máxima de líquido adotado por Prince e Blanch (1990) é o de Miyauchi e Shyu (1970),

que é válido apenas para velocidade de superficial de gás superior a 4,0 cm/s quando,

segundo Prince e Blanch (1990), os efeitos de recirculação de líquido se destacam.

Modelos para a eficiência de coalescência

Todos os modelos que são apresentados a seguir modelam a eficiência de coalescência

utilizando a equação (II-144), proposta originalmente por Ross (1971), juntamente com

estimativas para os tempos de interação das partículas durante o choque, ti, e do tempo

necessário a se chegar à condição de ruptura do filme, tc. Todos os autores consideram a

etapa de drenagem do filme líquido entre as partículas como sendo a etapa limitante. Os

modelos apresentados foram selecionados pela sua notoriedade ou por serem modelos

clássicos. Inicialmente serão apresentados os modelos para sistemas bifásicos sem

eletrólitos (ou, eventualmente, por questões didáticas, um modelo misto) e,

posteriormente, serão apresentados os modelos clássicos de eficiência considerando a

existência de eletrólitos.

Ross (1971), Verhoff et al. (1977) e Ross et al. (1978)

Estes autores determinaram o tempo de drenagem usando um modelo para gotas

deformáveis de interfaces imóveis para estimar o tempo de ruptura, obtendo:

2222

11eq

ofc r

hhFt ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

σμ (II-182)

onde a força de interação foi estimada a partir da pressão dinâmica turbulenta exercida

na distância igual a soma dos diâmetros das gotas em choque:

( ) 22eqjid rdduF +≈ ρ (II-183)

A presença da densidade da fase dispersa na equação (II-183) não possui sentido físico,

especialmente analisando as equações de onde ela foi derivada, já que a turbulência é

98

gerada na fase contínua. Entretanto, considerando que a razão de densidade entre as

fases para misturas líquidas em pressão moderada é constante e de ordem unitária, todo

o erro associado à troca da densidade da fase contínua pela densidade da fase dispersa

na equação (II-183) é incorporado na constante de ajuste do modelo. Assim, os autores

não perceberam o erro no modelo ao utilizá-lo em seus próprios estudos.

O tempo de interação foi estimado como sendo o tempo característico de

flutuação da velocidade de um vórtice de tamanho di + dj (Levich, 1962):

( )[ ] 2/1

2ji

jii

ddu

ddt

+

+≈ (II-184)

Incorporando o termo que envolve as espessuras inicial e final do filme em uma

constante multiplicativa, c, a forma final do modelo é dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 4

2exp eqd rc

σεμρη (II-185)

Devido à presença da densidade da fase dispersa fica inapropriado expressar a

equação (II-184) na forma de número de Weber.

Coulaloglou e Tavlarides (1977)

Coulaloglou e Tavlarides (1977) fizeram duas únicas modificações no modelo de Ross

et al. (1977, 1978). A primeira foi corrigir a densidade presente na equação (II-183),

escrevendo corretamente a densidade da fase contínua. A segunda modificação foi

incluir um fator de correção para dispersões mais densas. A expressão final para a

eficiência de coalescência é dada por:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=φσ

μεφσ

μρεη1)(

exp1

exp23/1

42

ddWecrc (II-186)

onde φ é a fração volumétrica da fase dispersa e We é definido como

. σερ /)( 3/1 ddWe =

99

Prince e Blanch (1990)

Prince e Blanch (1990) utilizaram o modelo de drenagem de filme de Oolman e Blanch

(1986) (equação II-187) (um modelo misto) para sistemas com interfaces

completamente móveis, considerando que a vazão de drenagem de líquido por pressão

capilar aumenta com a contribuição de Hamaker.

O modelo de Prince e Blanch (1990) é dado por:

2/1

32

2

2 6248

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

hA

rh

dCd

TRC

adtdh

eqsg

s

πσσ

ρ (II-187)

onde Cs é a concentração de sulfactantes no filme líquido, A é a constante de Hamaker,

Rg é a constante universal dos gases e a é o raio do disco formado entre as partículas

deformadas. O termo da equação (II-187) representa a variação da tensão

superficial com a concentração de sulfactantes no filme líquido.

( )2/ SdCdσ

O efeito de Hamaker é observado na aproximação das partículas (na concepção

da idéia, moléculas) devido a forças de van der Waals. Ignorar esse termo significa

ignorar um efeito que acelera a drenagem do filme. Sendo assim, ao ignorar o efeito de

Hamaker obtemos um valor de tempo de coalescência maior do que o real. O efeito de

Hamaker pode se desprezado a distâncias razoáveis, mas possuí valores significativos

perto da espessura crítica do filme.

Além disso, o modelo de Prince e Blanch (1990) não considera os efeitos de

deformação das bolhas devido à interação com os vórtices, o que aumenta o valor

predito

Desprezando a presença de surfactantes e a contribuição de Hamaker e

assumindo um valor constante para o raio do disco formado entre as partículas na

coalescência, a, dado como uma fração inteira do raio equivalente das bolhas, req, o

modelo é facilmente integrável de t = 0, h = h0 a tc, hf, fornecendo para bolhas de

tamanhos distintos a expressão:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=f

eqc h

hrt 0

2/13

ln6σ

ρ (II-188)

100

Desconsiderando apenas a presença de sulfactantes, a equação diferencial (II-

187) reduz-se a:

2/1

32

2

628

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

hA

rah

dtdh

eq πσ

ρ (II-189)

A equação (II-189) não possui solução analítica, de forma que o tempo de

coalescência deve ser obtido numericamente a partir da forma integral:

dhhr

Arht

h

h eqeqc

f

∫−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

02/1

23

2 13

416ρπρ

σ (II-190)

ou

dhh

khkth

hf

∫−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

0 2/1

22

11 (II-191)

3116

eqrk

ρσ

= (II-192)

ρπ 22 3

4

eqrAk = (II-193)

A equação (II-191) representa os dois casos abordados aqui utilizando a equação

(II-187), pois a solução analítica pode ser obtida desprezando o termo de Hamaker, ou

seja, com k2 igual a zero.

Usando o resultado do modelo de Prince e Blanch (1990) dado pela equação (II-

188) para o tempo de coalescência e o tempo de contato como postulado por Levich

(1962), ( ) ( )3/13/2 / εbi rt ∝ , onde rb é uma distância característica aproximada pelo raio

equivalente da bolha, obtém-se a seguinte expressão para a eficiência de coalescência:

101

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=feq

eq

PBji hh

r

r

Cdd 03/2

2/13/23

ln6

exp),(σ

ρε

η (II-194)

ou na forma de número de Weber definido por ( ) σερ 2/3/2 ddWe ≡ , temos:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2/1

30

22.6ln2

exp),( WehhCdd f

PBjiη (II-195)

onde o é uma parâmetro empírico que corrige as duas aproximação realizadas por

falta de informações adicionais.

PBC

A figura (II-14) exibe as diferenças associadas em desconsiderar ou não o efeito

de Hamaker utilizando para o caso com solução analítica a equação (II-194), ou seja,

CPB igual a 1 na equação (II-194).

Figura II-14 – Modelo de Prince e Blanch (1990) considerando ou não o efeito de

Hamaker.

102

Chesters (1991)

Chesters (1991) observa uma tendência geral dos modelos de eficiência, sendo

expressos pela forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

chk

CHWeC2

expη (II-196)

onde o número de Weber, We, é definido em termos do raio da partícula é fornecido por

, C( ) σερ 2/3/2 ddWeR ≡ CH é um fator de ajuste e kch é igual a 0,5 para bolhas e gotas

com interfaces parcialmente móveis e 0,25 para gotas com interfaces imóveis. A

generalização do modelo a tamanhos diferentes de bolhas pode ser realizada através do

conceito de diâmetro equivalente.

O modelo de Chesters (1991) é uma generalização que engloba o modelo de

Prince e Blanch (1990), como podemos verificar na comparação entre a equação (II-

195) e (II-196)

Comparando o modelo de Chesters (1991) com o de Prince e Blanch (1990) sem

efeitos de surfactantes ou de Hamaker, a seguinte correlação entre os parâmetros de

cada modelo é derivada:

( ) ( ) ( )

1822,2ln

2.3ln

2.6ln2 0

30

30 f

PBf

PBf

PBCH

hhC

hhC

hhCC === (II-198)

Luo (1993)

O modelo de Luo (1993) incorpora na eficiência de coalescência os efeitos da razão

entre os tamanhos das partículas participantes na colisão (Rafique et al., 2004):

( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++−= 2

1

32/1

2/132

15,01175,0

exp Wecijd

ijij

ζρρζζ

η (II-199)

sendo

103

j

iij d

d=ζ (II-200)

e o número de Weber é dado em termos de diâmetro e definido como

. O expressão envolvendo o fator ( ) σερ 2/3/2 ddWe ≡ ijζ representa a consideração de

efeitos relacionados a partículas de diferentes tamanhos.

O modelo de Luo (1993) tem sido amplamente utilizado em aplicações de

modelos de quebra e coalescência na literatura, seja apenas em uma dada aplicação

(Chen et al., 2005) ou para acompanhar outros modelos de freqüência de colisão (Wang

et al, 2005).

Kamp et al. (2001)

Kamp et al. (2001) elabora o seu modelo de eficiência baseando-se na equação de

energia do movimento durante a colisão, considerando bolhas de diferentes tamanhos,

com velocidades distintas e se movendo sobre um mesmo eixo de direção, com alto

número de Reynolds e baixo número de Weber. Desprezando o trabalho das forças

viscosas e/ou forças de corpo e considerando o sistema isotérmico, o aumento da

energia de superfície está acoplado à diminuição da energia cinética.

Utilizando a modelagem de Lamb (1932) para determinar o tempo de contato

entre as bolhas e usando a formulação de Chesters (1991), desprezando as forças

viscosas e as iterações tipo van der Waals, para o tempo de coalescência, o tempo de

contato foi obtido, em termos de diâmetro equivalente, na forma:

σ

ρ8

20

1eq

c

dVkt = (II-201)

onde k1 é uma constante de ordem unitária e é definido por 0V ( )[ ] 2/120 , ji dduV ∝ é a

velocidade característica do choque, que é proporcional a flutuação turbulenta de

velocidade de dois pontos no escoamento separados por uma distância igual a soma dos

raios das bolhas. Incorporando os fatores de correção associados aos efeitos da massa

virtual e da flutuação diferenciada das bolhas, a velocidade característica do choque foi

dada por:

104

3/1

20 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ji

vmt

ddkCkV ε (II-202)

onde k2 é uma constante ajustável de ordem unitária.

Kamp et al. (2001) resolvem as equações dinâmicas associadas ao choque das

bolhas para estimar o tempo de contato.

O tempo de contato é definido como o intervalo de tempo entre o instante em

que as bolhas se tocam até o momento em que elas começam a se afastar. Assim, o

valor obtido é dado por:

2/13

34 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

σρπ eqvm

i

dCt (II-203)

Portanto, Kamp et. al. (2001) obtiveram a razão do tempo de coalescência pelo

tempo de contato, agrupando apropriadamente as constantes, como:

2/16

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

vm

eqKC

i

c

CWe

Ctt

π (II-204)

onde CKC é parâmetro empírico, Weeq é o número de Weber equivalente, definido com

base na velocidade característica e o diâmetro equivalente, e Cσρ 2/20 eqeq dVWe ≡ vm é

denominado de coeficiente virtual de massa e é fornecido por uma expressão funcional

dos diâmetros em série convergente truncada (Kamp et. al., 2001).

3

2 12 eq

vm dNMLMLNC+−

−= (II-205)

onde L, M e N são coeficientes geométricos expressos em séries convergentes dada por:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++= 18

99

3

3

3

33

323

23

1ldd

ddd

ddd

dL ji

ji

j

ji

ji O (II-206)

105

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= 18

99

3

33

72251

ldd

dddd

M ji

ji

ji O (II-207)

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++= 18

99

3

3

3

33

323

231

ldd

ddd

ddddN ji

ij

i

ij

ij O (II-208)

Com base na equação (II-204), a eficiência de coalescência foi obtida como:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2/1621exp

vm

eqKC C

WeC

πη (II-209)

A figura (II-15) compara os modelos de Kamp et al. (2001), Luo (1993),

Chesters (1991) e Prince e Blanch (1990) (com e sem considerar o efeito de Hamaker).

Esta figura mostra que o modelo de eficiência de coalescência de Prince e Blanch

(1990) considerando o efeito de Hamaker está muito mais próximo dos demais modelos

de eficiência do que o modelo de Prince e Blanch (1990) sem levar em consideração o

efeito de Hamaker. Além disso, se observa uma curva diferenciada para o modelo de

eficiência de Kamp et al. (2001).

Ao contrário dos modelos de quebra, nenhum modelo de eficiência pode ser

descartado por uma simples análise das tendências. Isso por que todos os modelos

possuem comportamento similar com a variação do diâmetro das partículas ou da

velocidade superficial de gás. Esse comportamento era de se esperar por que todos os

modelos tiveram como base as mesmas hipóteses, diferenciando-se em detalhes que

podem ser compensados com ajustes numéricos apropriados.

106

Figura II-15 – Modelos de eficiência de coalescência. Sistema ar-água, dj = 1 cm, ε =

0,5 m2/s3, ρ = 1000 kg/m3 e σ = 0,072 N/m

Marruci (1969)

Marruci (1969) considerou superfícies móveis e estudou a coalescência com a presença

de sulfactantes e soluções eletrolíticas, assumindo que a tensão superficial é função

apenas da concentração dos sulfactantes e considerando que esta é pequena.

O tempo de coalescência foi obtido resolvendo o balanço de massa que incluí o

processo de difusão e a mudança da concentração de soluto devido à drenagem do

filme. Considerando a variação da pressão interna do filme devido à pressão capilar e às

forças de van der waalls, a força de interação do choque, F, foi calculada como:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Δ= 3

22

62

hA

raaPF

b πσππ (II-210)

Resolvendo as equações associadas e assumindo constante o raio do disco

formado, a, temos o tempo de drenagem do filme definido por:

107

D

xaft ec 2

= (II-211)

onde D é o coeficiente de difusão de massa, x é a profundidade de difusão do filme, é o

comprimento da borda do filme até a distância onde existe gradiente de concentração

desenvolvido, portanto, assume-se que a concentração é uniforme no resto do filme. Já

fe, juntamente com k (que inclui o valor da constante de Hamaker, A) e rb são obtidos

da solução do sistema de equações:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+= −−

312tan

312

tan3

11111

ln61

11

ln 01130

33

3330

2

3320

3

30

323 khkhhkkhhkkhkcr

hkhkhkhk

f f

f

fb

f

fe

σ

( )0

20

2 1kh

khcrk+=

σ

( )f

fb

khkhkcr 12

2

+−=σ

(II-212)

Nicodemo et al. (1972)

Nicodemo et al. (1972) demonstraram que o raio do disco formado entre as partículas

não é constante e propõem que este seja modelado como proporcional a raiz quadrada

do tempo de coalescência, ou seja, cc tKa = , sendo igual a 8,1.10cK -4 m/s1/2 (Sagert

et al., 1976). Modificando o modelo de Marruci (1969) com essa nova hipótese, o tempo

de coalescência foi obtido como:

( ) 2

222

16DKxft ce

c = (II-213)

onde f e é fornecido pela equação (II-212).

A princípio, a forma como o raio do disco varia com o tempo de coalescência

não é uma expressão exclusiva de sistemas eletrolíticos, porém, segundo Nicodemo et.

al. (1972) a dependência não linear do raio do disco com o tempo de coalescência é

mais significativa em sistema com solutos.

108

Sagert e Quinn (1978)

Sagert e Quinn (1978) incorporaram a influência da repulsão eletrostática em adição às

forças capilares e de Hamaker na força de interação durante o choque, F, que foi

expressa por:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=Δ= −kh

elb

eBCh

Ar

aaPF 322

62

πσππ (II-214)

onde Cel é a concentração total de eletrólitos e B um parâmetro do sistema. A utilização

da definição (II-214) em conjunto com o balanço de massa e um modelo apropriado

para a drenagem do filme resulta em um sistema de equações similar ao obtido por

Marruci (1969), porém com uma equação a mais no sistema, que permite obter o valor

do parâmetro B.

Todas as diferenças entre o modelo de Sagert e Quinn (1978) e de outros autores

em relação ao de Marruci (1969) derivam da diferença na definição da força de

interação do choque. Alguns autores (como Nicodemo et. al., 1972) propõem outras

abordagens que incluem simplificações utilizadas nas deduções das equações de

drenagem de filme ou na equação de balanço de massa do problema.

Considerações adicionais sobre os modelos de coalescência

A presente revisão avaliou os modelos de coalescência no atual estágio do seu

desenvolvimento. Entretanto, outros efeitos estão sendo estudados, mas ainda não

geraram modelos suficientemente acurados para aplicações. Muitos destes estudos

incluem extensões dos modelos apresentados para sistemas com eletrólitos e outros

efeitos, porém ainda não se chegou a um consenso na literatura a respeito dos modelos

para os sistemas mais simples, ou seja, ainda não se determinou um modelo que

conseguisse incorporar todos os aspectos fenomenológicos para o sistema água-ar.

Portanto, as extensões destes modelos para sistemas eletrolíticos possuem lacunas ainda

não preenchidas.

Por outro lado, existe uma recente linha de pesquisa que tenta explicar

fenomenologicamente o processo de indução da quebra pela coalescência (Ko e Ryou,

2005), ainda considerando o sistema água-ar.

109

Considere a colisão de duas partículas. Segundo os modelos e teorias vistas até o

momento ou as partículas coalescem ou elas não coalescem. Dependendo da intensidade

da colisão e do tamanho das partículas as possibilidades são apenas essas. Entretanto, se

a colisão das partículas for muito intensa, devido ao stress do cisalhamento na colisão

elas produzem pequenas partículas, originando um processo de quebra devido ao

cisalhamento da colisão de duas partículas. As pequenas partículas formadas são

denominadas partículas satélites. Outra possibilidade, ainda para colisões intensas, é de

ocorrer a coalescência e devido à inércia do movimento ocorrer uma imediata quebra

binária com formação de partículas satélites.

Os modelos existentes não permitem calcular a distribuição de tamanho das

partículas satélites, apenas o seu número e o volume das partículas maiores, sendo

possível obter o tamanho médio das partículas satélites. Os modelos também

apresentam parâmetros empíricos que são assumidos como constantes como forma

aproximada, o que representa uma grande dificuldade de aplicação destes modelos.

Avaliações e observações experimentais associadas a esse processo realizadas

por Ko e Ryou (2005) permitem dizer que para sistemas água-ar e velocidades

superficiais de gás inferiores 8 cm/s existe a formação de um número de partículas

satélites muito pequeno, ou seja, formação residual de partículas satélites. O efeito para

sistemas água-ar começa a ser significativo em velocidades superiores a 15 cm/s. Em

sistemas onde a razão da densidade da fase dispersa pela densidade da fase contínua é

de ordem unitária ou superior, como no caso de muitos sistemas líquido-líquido,

observa-se uma significativa formação de partículas satélites a velocidades superficiais

da fase contínua da ordem de 5 cm/s. Todas essas observações foram feitas à

temperatura ambiente.

Conclusão sobre os modelos de coalescência

Exceto por uma constante multiplicativa, existe apenas uma diferença na modelagem da

freqüência de colisão entre todos os modelos analisados, que é a forma empregada para

a flutuação de velocidade das partículas de tamanhos diferentes. Assim, existe uma sutil

diferença na forma de calcular a flutuação de velocidade das partículas entre os modelos

de Saffman e Turner (1956), equação (II-153), Lehr e Mewes (2001), equação (II-158),

e Kamp et al. (2001), equação (II-159). Entretanto, nenhuma das formas de avaliar a

110

flutuação da velocidade das partículas pode ser considerada inválida apenas por sua

simples análise.

Por outro lado, os modelos de freqüência de colisão devido ao empuxo foram

idealizados erroneamente. Enquanto que dos modelos que consideram a captura de

partículas pela esteira de outra partícula, apenas Wang et al. (2005) introduziu esse

modelo de forma expansível a múltiplos tamanhos de partículas e fez isso erroneamente.

A única afirmação consistente até o momento é que este processo possui um peso

diferenciado em relação aos demais processos, logo precisa de uma constante ajustável

diferenciada.

Por último, a freqüência de colisão devido à recirculação de líquido constitui um

processo relevante em médio-altas velocidades em colunas de pequeno diâmetro (Kamp

et al., 2001). Ainda assim, diversas inconsistências e o pouco desenvolvimento dado a

esse processo fazem do modelo de Prince e Blanch (1990) questionável.

Todos os modelos de eficiência apresentado nesta dissertação possuem a forma

exponencial apresentada na equação (II-143) e consideram que a drenagem do filme

líquido é a etapa limitante no cálculo do tempo de ruptura. Todos os modelos possuem

formas funcionais diferenciadas, porém, com a mesma dependência central do número

de Weber, mas com pequenas variações na definição do número de Weber, elevado a

um número entre 0,25 e 0,5, mas igual, em todos os casos, a 0,5 para o sistema bifásico

água-ar.

Os modelos de eficiência para eletrólitos e surfactantes apresentados são

considerados clássicos em relação aos desenvolvidos atualmente, mas são à base de

todos estes modelos e, portanto, transmitem suas principais características, como por

exemplo, a forte dependência do conhecimento pleno da mistura bifásica e a grande

influência de pequenas variações de composição. Assim, como todos os modelos estão

fortemente dependentes do conhecimento preciso da composição e suas variações no

sistema, na ausência dessas informações eles acabam se tornando aproximações

empíricas que utilizam valores médios. Isto dificulta a validação de qualquer modelo de

eficiência de coalescência na presença de eletrólitos ou surfactantes.

Quase todos os modelos possuem dois parâmetros, um multiplicativo e outro

exponencial, o primeiro, introduz correções a respeito da freqüência de colisão,

independente de qual a origem fenomenológica da colisão, o segundo, corrige

imperfeições nas estimativas dos modelos da drenagem do filme.

111

Capítulo III - Metodologia Matemática

112

Modelo Matemático

Para atingir os objetivos da dissertação, faz-se necessário aplicar a equação de balanço

populacional, equação (II-1) ao problema da coluna de borbulhamento, para a qual

dados experimentais foram obtidos, incluindo os modelos de quebra e coalescência que

se deseja avaliar. A equação resultante deve ser então resolvida com um método

matemático apropriado e acoplada a uma metodologia de estimação de parâmetros.

Neste capítulo será apresentado um resumo básico das diversas técnicas de

solução da equação populacional, seguida de um detalhamento da técnica de solução

selecionada. Além disso, será dada uma introdução ao problema de estimação de

parâmetros.

Modelagem da coluna de borbulhamento

A coluna de borbulhamento é um equipamento que nunca atinge um estado

estacionário, mas que atinge um estado pseudo-estacionário, isto é, um estado onde as

variáveis fluidodinâmicas permanecem constantes em uma média temporal

convenientemente definida (Rodrigues, 2005). Portanto, é possível modelar a coluna

como um equipamento em estado estacionário, desde que se entenda que se trata de um

estado pseudo-estacionário. No presente caso, permite a análise desprezando a variação

da densidade numérica de bolhas com o tempo.

Os dados experimentais obtidos fornecem a freqüência relativa de bolhas

existentes em diversas classes de tamanho a diferentes alturas da mistura bifásica na

coluna de borbulhamento. Assim, não existe informação radial ou angular da

distribuição de partículas na coluna. Com essas simplificações a equação (II-1) pode ser

escrita como:

HdzdfU z =α (III-1)

113

onde fα é a função de distribuição de tamanho das partículas na fase α, H é o termo

fonte definido pela equação (II-2) e Uz é a velocidade da partícula de massa m na

direção z, que é direção axial da coluna.

A velocidade de ascensão da bolha Uz é obtida através de modelos, nesta

dissertação foi utilizada a correlação de Karamarev (1994), com a correção para o

efeito de população de Behring (1936) e a correção para o efeito de parede de Clift et al.

(1978), conforme descrito em Ribeiro-Jr e Lage (2004).

Solução da Equação de Balanço Populacional

Com o objetivo de solucionar a equação integro-diferencial resultante da modelagem do

balanço populacional descrita na equação (III-1), diversas técnicas numéricas foram

analisadas, entre as quais se destacam: o método dos momentos e o método das classes.

O momento de ordem k, kμ , da função distribuição de tamanho de partículas é

definido por:

dmmtfmkk ∫

∞

=0

)z,,(αμ (III-2)

O método dos momentos consiste em operar a equação (III-1) com o operador da

equação (III-2). Entretanto, essa técnica resulta em um problema de fechamento quando

os termos de quebra e agregação são considerados, exceto em casos bem particulares.

Em geral, sendo n o número de classes, para resolver o problema para 2n momentos, é

necessário possuir informação do momento 2n+1.

O método QMOM (Quadrature Method of Moments) (McGraw, 1997) é baseado

no método dos momentos, mas não tem problema de fechamento, que é evitado usando

a quadratura de Gordon (Gordon, 1968) para calcular os termos de quebra e

coalescência. O DQMOM (Direct Quadrature Method of Moments) (Marchisio et al.,

2003) é uma evolução do método QMOM que possibilita o uso de uma modelagem

mais abrangente, incluindo problemas multivariáveis. Além disso, ele tem a vantagem

adicional de reduzir o esforço computacional presente na solução do QMOM, o que o

torna mais adaptado ao acoplamento a códigos CFD. Ambas as técnicas podem ser

114

aplicadas aos problemas abordados nesta dissertação, mas apresentam dificuldades

adicionais quando as soluções são usadas em problemas de ajuste de parâmetros. Isto

ocorre porque, para iniciar a solução do problema, é necessário conhecer os 2n

momentos da distribuição inicial de tamanho de partículas. Os dados experimentais

aproximam a distribuição de tamanho normalizada dentro da coluna, mas com erros

suficientemente elevados para gerar erros muito elevados no cálculo dos momentos de

ordem superior a zero. Por esse motivo, o método dos momentos e variantes não foram

utilizados nesta dissertação.

O método das classes (Ramkrishna, 2000, Campos e Lage, 2003) consiste em

assumir que a população de bolhas encontra-se distribuída entre valores característicos

xk da propriedade de interesse. Assim, definindo n classes de partículas, Nk é o momento

seccional (ou restrito à classe) de ordem zero da distribuição de tamanho de partículas,

sendo k o índice que representa as classes. Nk inclui todas as partículas com

propriedades entre mk e mk+1 (mk < xk < mk+1):

( ) ( ) dmzmfzNk

k

m

mk ∫

+

=1

,α k = 1, ..., n (III-3)

Assim, Nk é o número médio de partículas por unidade de volume com propriedade m

em torno xk. É usual representar a distribuição de tamanho pela seguinte representação

usando funções delta de Dirac:

( ) ( ) ( )k

n

kk xmzNzmf −= ∑

=

δα1

, (III-4)

Operando a equação (III-1) com o operador da equação (III-3), a equação de

balanço populacional transforma-se na seguinte equação para Nk com k definido 1 à n:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫

∫∫

++

+

+

−+

−

−−=

∞

∞

11

1

1

,''|'','

'',,',

'',',','21

0

0

k

k

k

k

k

k

k

k

m

mm

m

m

m

m

mm

m

kzk

dmzmfmbdmmmPmbmzmfdm

dmmmQzmfdmzmf

dmmmmQzmfzmmfdmdz

dNU

αα

αα

αα

ς

(III-5)

115

sendo ainda necessário a discretização dos termos do lado direito da equação (III-5),

usando a equação (III-4), para que o sistema de equações diferenciais resultante possa

ser resolvido para Nk.

Utilizando a massa das partículas como propriedade de interesse e admitindo a

conservação de dois momentos, momento zero (conservação do número das partículas) e

o primeiro momento (conservação da massa das partículas), Kumar & Ramkrishna

(1996) obtiveram o seguinte sistema de equações discretizadas, o qual é válido para uma

malha genérica fixa:

( )( )

kk

M

kiiiik

M

ikiik

ji

xxxxji

jijiijkijkz

k

bNNb

QNNNNQdz

dNU

kjik

−+

−−=

∑

∑∑

=

=

≥

≤+≤ +−

,

1,

,,

11

5,01

ϕ

ψδ

(III-6)

onde ϕ e ψ são funções cujas expressões dependem dos momentos conservados. No

caso da conservação do número de partículas e da massa, tem-se:

( ) ( )dmxmPxxxmdmxmP

xxmx

i

x

x kk

kx

xi

kk

kik

k

k

k

k

||1

1

1

1

1

1, ∫∫

−

+

−

−

+

+

−−

+−−

=ϕ (III-7)

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+≤−

−+

≤+≤−

+−

=

−−

−

++

+

kjikkk

kji

kjikkk

jik

ijk

xxxxxx

xxx

xxxxxx

xxx

11

1

11

1

,

,ψ (III-8)

116

Estimação dos Parâmetros

Uma vez implementada a solução do modelo direto, que é constituído pelas equações

(III-6), (III-7) e (III-8) em conjunto com os modelos de quebra e coalescência

selecionados, o programa foi transformado em uma sub-rotina que foi então incorporada

ao software ESTIMA (Pinto, 1999). A estimação dos parâmetros dos modelos de quebra

e coalescência foi realizada pela técnica da máxima verossimilhança, cujos resultados

serão apresentados posteriormente, utilizando os dados experimentais de distribuição de

tamanho de bolhas que serão apresentados no capítulo IV da dissertação.

Considere um grupo de dados experimentais obtidos a partir de um conjunto de

NE testes. Para cada teste i, existem NW variáveis medidas, iϖ m, cujos valores reais,

iϖ , são desconhecidos, visto que as variáveis medidas estão sujeitas a erros aleatórios.

As p equações do modelo, também denominadas restrições, fornecem relações entre os

valores reais das variáveis medidas, e incluem os parâmetros a serem estimados,

contidos no vetor κ :

( ) pjF ij ...,,2,10,ˆ ==κϖ (III-9)

A aplicação do método requer a especificação de uma função de densidade de

probabilidade ωi para as variáveis medidas. Assumindo que os testes são independentes,

a função de verossimilhança pode ser formulada como sendo o produto das funções ωi

dos NE testes:

( ) (∏=

=ΘNE

ii

mii

1

m ,,W,W ϖϖωκ ) (III-10)

A função de verossimilhança Θ é a probabilidade de se observar o conjunto

completo de dados Wm. Para um dado conjunto com NE observações, o valor da função

de verossimilhança depende dos valores reais das variáveis medidas, W. Uma vez que

esses valores devem satisfazer às restrições dadas pela equação (III-10), Θ depende

também dos parâmetros contidos no vetor κ.

A premissa básica do princípio da máxima verossimilhança é de que o conjunto

de dados experimentais obtidos é o mais provável. Conseqüentemente, a melhor

117

estimativa dos parâmetros do modelo e dos valores reais das variáveis medidas

experimentalmente é aquela que maximiza a função de verossimilhança sujeita às

restrições do modelo (Anderson et al., 1978).

Admitindo que os erros das variáveis medidas seguem a distribuição normal,

maximizar Θ corresponde a minimizar a função objetivo Z:

( ) ( )∑=

− −−=NE

ii

mii

Ti

mi VZ

1

1 ϖϖϖϖ (III-11)

onde Vi é a matriz de variância-covariância das variáveis medidas no teste i.

No problema admitido, não existe correlação de erro entre as variáveis medidas,

logo, a máxima verossimilhança se resume a mínimos quadrados ponderados.

Procedimento Numérico

O sistema de equações diferenciais que constitui o modelo foi resolvido empregando-se

a sub-rotina DASSL (Petzold, 1989). A estimativa dos parâmetros, por sua vez, foi

realizada com o software ESTIMA (Pinto, 1999), inicialmente utilizando o método

enxame e posteriormente utilizando o método de Newton.

118

Capítulo IV – Metodologia e Resultados Experimentais

119

Montagem Experimental

Os resultados experimentais consistem de medições da distribuição de tamanho das

bolhas em três alturas diferentes de uma coluna de borbulhamento com 7,3 cm de

diâmetro interno operando em semi-batelada em duas velocidades superficiais de gás

distintas.

Os experimentos foram realizados com o sistema ar-água em condições

ambientes, temperatura de 25 ºC e pressão de 1 atm. Essas condições resultaram nas

seguintes propriedades termodinâmicas para o líquido: tensão superficial de 0,067 N/m

e densidade de 980 kg/m3 (Perry e Green, 1997). O gás foi considerado gás ideal para o

cálculo da densidade.

O esquema de uma coluna de borbulhamento pode ser visto na figura (IV-1). O

ar é injetado na base da coluna através de um distribuidor de placas perfuradas com 89

orifícios de 0,5 mm de diâmetro. As bolhas formadas ascendem pela coluna e se

desprendem no seu topo.

Saída de ar

Entrada de ar

Figura IV-1 – Esquema de uma coluna de borbulhamento.

Procedimento Experimental

O dados experimentais foram obtidos por técnica fotográfica, ou seja, se fotografa a

coluna a uma dada altura ajustando o foco sobre uma escala graduada e, posteriormente,

120

analisa-se a imagem digitalmente para medir a área das bolhas que estão no mesmo foco

que a escala. Para uma boa caracterização da distribuição normalizada do tamanho das

bolhas é necessário que cada medida experimental seja constituída de, no mínimo, 500

bolhas. Uma fotografia típica é mostrada na (Figura IV-2).

A partir das fotografias e utilizando o software Tnimage®, o experimentalista

circunda cada bolha inteira, visualmente possível de ser identificada, obtendo a área da

partícula. Na margem direita da figura (IV-2), verifica-se a existência de uma escala

milimetrada que foi usada como referência para calcular a área da partícula.

O erro na medida de área é obtido através da repetição da medição de uma área

de tamanho conhecido na região milimetrada da figura. Assume-se que este erro relativo

para a área de todas as partículas.

Assumindo que a área medida é a área seccional máxima de uma partícula

esférica determina-se o diâmetro da partícula e o erro associado.

Observa-se um efeito de paralaxe devido à curvatura da coluna. Para efetuar a

correção devido a esse efeito, foram tiradas fotografias de uma esfera de aço de

tamanho conhecido (4,77 ± 0,01 mm) em três posições diferentes, no centro da coluna,

junto à parede da coluna e a meia distância radial entre a parede e o centro da coluna.

Por definição o fator de correção do efeito de paralaxe é definido como a razão entre o

valor real da área da secção reta da esfera e o valor obtido pela técnica fotográfica. Esse

fator foi determinado como 0,68 ± 0,02 para a esfera localizada no centro da coluna e de

0,70 ± 0,03 nas outras duas medidas. Um único valor, média dos valores obtidos, foi

adotado para toda a coluna, sendo este de 0,69 ± 0,03. Esse valor é concordante com os

obtidos por Ribeiro e Lage (2004) e Silva e Lage (2000).

Uma vez identificada as bolhas, elas são dividas em classes, ou seja, assumindo

a faixa de diâmetros dk-1/2 e dk+1/2, todas as bolhas de tamanho d que satisfizerem a

condição de dk-1/2 < d < dk+1/2, serão contabilizadas na classe k, de número total nk e

representadas pelo diâmetro dk, sendo dk = (dk-1/2 + dk+1/2)/2. Detalhes do experimento e

do equacionamento matemático do calculo do erro associado ao valor de nk podem ser

encontrado em Ribeiro e Lage (2004).

Os erros associados à subjetividade do experimentalista só podem ser

quantificados se dois experimentalistas seguirem o mesmo procedimento de medição.

As imagens fotográficas digitais obtidas nas diversas condições experimentais foram

independentemente analisadas por dois experimentalistas e os resultados da distribuição

121

normalizada de tamanho foram praticamente idênticos dentro da sua margem de erro.

Isto significa que os erros associados ao experimentalista cuidadoso são inferiores ao

erro combinado de identificação de tamanho das bolhas individuais e de estimativa da

distribuição normalizada de tamanho.

Figura IV-2 – Exemplo de fotografia processada na coluna de bolhas

Resultados Experimentais

Medidas de distribuição normalizada de tamanho de bolhas foram realizadas usando

duas velocidades superficiais de gás, 2,0 e 3,8 cm/s, e em três alturas na coluna para

cada uma destas condições operacionais, listadas na tabela (IV-1).

Como usual em vazões medidas com rotâmetros, considera-se que a velocidade

superficial do gás possui um erro de 10 % do seu valor, ou seja, as velocidades de

operação são: 2,0 ± 0,2 e 3,8 ± 0,4 cm/s.

122

Alturas (cm)

uG = 2,0 ± 0,2 cm/s uG = 3,8 ± 0,4 cm/s

Base 11 11

Meio 64,6 80,1

Topo 142 132,4

Tabela IV-1 – Especificação dos valores das alturas em cada condição operacional.

Como a altura da coluna supera 1 m, foi realizada uma correção no volume das

partículas e, portanto, no diâmetro, corrigindo a expansão das bolhas com a diminuição

da pressão hidrostática ao longo de sua ascensão. Tomando como referência o topo da

coluna e usando a hipótese de gás ideal em compressão isotérmica, os fatores de

correção de diâmetro, usando a hipótese de partículas esféricas, são aproximadamente

iguais a 0,97 para a base e 0,99 para o meio da coluna.

Outro resultado experimental obtido foi para a retenção gasosa, φ, definida

como a fração de volume de gás retido na coluna de borbulhamento. A rigor, a retenção

gasosa varia nas três dimensões físicas da coluna de borbulhamento, porém, o resultado

obtido foi para a retenção gasosa global, que é um valor médio da fração de gás

acumulada no interior de toda a coluna. Este é um dado de entrada para o processo de

estimação de parâmetros. O valor de φ foi mensurado com base na diferença de altura

de líquido na coluna com e sem entrada de ar, sendo igual a 0,095 ± 0,002 para a

velocidade de 2,0 cm/s e de 0,106 ± 0,002 para a velocidade de 3,8 cm/s.

A primeira observação a respeito dos dados experimentais está relacionada às

réplicas destes. A figura (IV-3) exibe um exemplo típico de resultados de experimentos

replicados. Pode-se observar que as réplicas concordam dentro da margem do erro

experimental calculado para cada ponto da distribuição normalizada de tamanho. Tal

fato ocorreu para todas as distribuições de tamanho determinadas neste trabalho,

independentemente das condições operacionais ou número de classes usadas para

caracterizá-las.

123

Figura IV-3 – Reprodutividade das distribuições normalizadas de tamanho de bolhas

entre as duas réplicas (base da coluna na velocidade de 2,0 cm/s divida em 5 classes)

Uma das dificuldades do processo de obtenção dos dados experimentais é

determinar a discretização do domínio de diâmetros de bolhas, isto é, quantas classes

devem ser usadas e quais os diâmetros que as delimitam. Quanto maior o número de

classes, melhor é a representação discreta da função distribuição de tamanho, porém,

maior é o erro experimental associado ao valor da freqüência relativa de cada classe,

pois o número de bolhas em cada classe diminui. Assim, deve-se utilizar o maior

número de classes possível que não implique em erros excessivamente grandes como

está representado, por exemplo, na figura (IV-4b). A figura (IV-4) exemplifica bem o

que ocorre com o erro relativo ao número de partículas com o aumento do número de

classes.

124

Figura IV-4 – velocidade de 3,8 cm/s nas três alturas (a) divisão em 5 classes (b) divisão

em 16 classes

125

Na figura (IV-4) percebe-se nitidamente a dificuldade encontrada com o

aumento do número de classes. Na figura (IV-4a), podemos observar que, as curvas da

distribuição de partículas para diferentes alturas praticamente se superpõem, quando

considerados os erros nos valores da freqüência relativa, enquanto que, na figura (IV-

4b), elas se superpõem completamente. Isto implica que existe uma boa chance de que,

com o aumento do número de classes, qualquer parâmetro que tenha que ser ajustado

incluirá o zero. Pode parecer muito fácil dizer que a figura (IV-4b) é um resultado ruim,

mas não é tão elementar assim. A verdade é que apenas com resultados da estimação de

parâmetros pode-se afirmar qual é o número de classes que não induz o surgimento de

um zero na faixa estimada para o valor de um parâmetro.

Para os presentes resultados, optou-se por utilizar apenas 5 classes, já que

usando 6 classes, os dados experimentais implicaram na obtenção de parâmetros nulos

ou de erros incluindo o zero. A figura IV-5 mostra os resultados experimentais obtidos

que serão utilizados no processo de estimação.

Para analisar os fundamentos, é necessário avaliar a quebra e a coalescência de

forma independente, ou seja, medir diretamente a freqüência de quebra e a freqüência

de coalescência e nesta medir a freqüência de colisão e a eficiência de coalescência.

Portanto, os experimentos realizados não permitem discriminar modelos em termos de

seus fundamentos. Estes permitem avaliar apenas os modelos em relação à aplicação

selecionada.

A conversão da freqüência relativa em momento seccional de ordem zero é dada

para cada condição experimental por:

3306

dNT π

φ= , ∑∫

=

∞

≅=M

iii FddddFdd

1

3

0

3330 )( (IV-1)

com , sendo F a freqüência relativa e N o momento seccional. iTi FNN =

126

Figura IV-5 – resultados experimentais obtidos para a estimação de parâmetros (a)

velocidade de 2,0 cm/s (b) velocidade de 3,8 cm/s

127

Capítulo V – Resultados

128

Uma vez revisados os modelos de quebra e coalescência, definidas as abordagens

matemáticas para o problema e obtidos os resultados experimentais, resta relatar as

simulações utilizadas para a estimativa de parâmetros.

Neste capítulo serão apresentados os modelos de quebra e coalescência pré-

selecionados da revisão da literatura e os resultados obtidos com as simulações. O

objetivo principal da análise não foi obter valores de parâmetros que permitem simular

adequadamente as condições experimentais isoladamente, mas sim qualificar os

modelos, caracterizando-os pela homogeneidade dos valores dos parâmetros com a

variação das condições experimentais.

Modelos de quebra selecionados

Dos modelos de quebra apresentados na revisão da literatura, apenas o modelo de

Martínez-Bazán (1999a,b) apresenta-se como um modelo sem erros de modelagem que

o desqualifique antes mesmo da simulação e por isso, este é o primeiro modelo

selecionado.

O modelo de Martínez-Bazán (1999a,b) é apresentado pelas equações (II-91)

para a freqüência de quebra e, admitindo a quebra binária, pela equação (II-115a) para a

distribuição de tamanhos das filhas na quebra. Esse modelo, conta com apenas um

parâmetro, K, que neste capítulo será o K1. No resultado da estimação deste parâmetro

envolvendo experimentos em jato turbulento com fluidodinâmica perfeitamente

estudada e conhecida (ao contrário da coluna de borbulhamento), Martínez-Bazán

(1999a,b) determinaram o valor de 0,25 para o parâmetro K1. Segundo este modelo de

quebra, não existe quebra na velocidade superficial de gás de 2,0 cm/s e apenas existirá

quebra na última das 5 classes da distribuição de tamanho associada à maior velocidade

superficial de gás (3,8 cm/s). Isto dificulta a validação do resultado do ajuste do

parâmetro de quebra.

O outro modelo selecionado é o modelo de Luo e Svendsen (1996), como

definido pelos autores, que é composto pelas equações (II-40), para a freqüência de

quebra, e pela equação (II-96) juntamente com as equações (II-39) e (II-40) e com

, para a distribuição de tamanhos das filhas na quebra. Esse modelo pode ser

considerado inadequado antes mesmo de qualquer simulação, pois, como visto,

apresenta erros na sua derivação, dependência com parâmetros arbitrários e admite que

sempre existe quebra nem que gerando partículas muito pequenas, não sendo, pois,

( ) 2=ς v

129

consistente. Entretanto, é o modelo mais utilizado pela literatura e um dos

implementados nos poucos códigos computacionais de CFD que incluem a solução do

problema acoplado de balanço populacional, como o CFX. Assim, seu estudo é de

interesse geral.

O modelo de Luo e Svendsen (1996) não possui um parâmetro de ajuste

implícito. Entretanto, como usualmente empregado, um fator multiplicativo de correção

é utilizado na freqüência específica de quebra, sendo, pois, o parâmetro ajustável, K1,

neste modelo. Assim, se o modelo fosse perfeito, o parâmetro determinado pelo ajuste

deveria ter valor unitário. As variações em relação a este valor representam a magnitude

dos ajustes empregados no modelo.

Os demais modelos de quebra apresentados na revisão bibliográfica não foram

utilizados no ajuste de parâmetros porque apresentam erros variados de formulação, que

foram explicados no capítulo 2, e não são modelos amplamente empregados como o

modelo de Luo e Svendsen (1996).

Modelos de coalescência selecionados

Os modelos de coalescência apesar de serem mais numerosos, são muito parecidos entre

si. Portanto, é mais difícil selecionar um modelo específico e justificar essa escolha por

motivos técnicos, especialmente no caso dos modelos de freqüência de colisão. Nesta

seleção, optou-se por modelos com características diferentes e que, em algum ponto,

representaram uma evolução real no desenvolvimento dos modelos. Considerou-se aqui

dois tipos de modelo, o de freqüência de colisão e o de eficiência de coalescência.

Modelos de freqüência de colisão selecionados

O primeiro modelo selecionado é o modelo de Prince e Blanch (1990), definido pela

equação (II-157), com a definição correta da área da seção reta de colisão (II-118).

Assim como o modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996), este modelo é amplamente

utilizado na literatura, tanto na forma com a seção reta de colisão definida de acordo

com Macedo (1978), como na forma erradamente definida pelos autores, sendo um dos

poucos modelos de coalescência programados em pacotes comerciais de CFD. Além

disso, ele, a menos de uma constante multiplicativa, representa a maior parte dos

modelos existentes para a freqüência de colisão devido à turbulência, como o de

130

Saffman e Turner (1956). Aqui, esta constante multiplicativa será o parâmetro ajustável

K2.

O outro modelo de freqüência de colisão selecionado é o de Kamp et al. (2001).

Este modelo, representado pelas equações (II-159) e (II-161), é o único modelo a

apresentar uma evolução sensível e consistente ao modelo de Prince e Blanch (1990).

Ele conta com um parâmetro ajustável, representado por cck no capítulo 2 mas que, neste

capítulo, é também denominado de K2. Para o caso estudado pelos autores, que foi a

coalescência de bolhas isoladas em microgravidade, esse parâmetro foi igual a 1.

Porém os autores ressaltam que esse valor pode depender sensivelmente do

experimento.

Note que o modelo de Wang et al. (2005) é similar ao modelo de Prince e

Blanch (1990) quando a variação da retenção gasosa não é expressiva. Assim, a

eventual melhoria da expressão da freqüência de coalescência no modelo de Wang et al.

(2005) não seria percebida na faixa de retenção gasosa estudada. Logo, a

implementação deste modelo não se fazia necessária.

Não foi selecionado nenhum modelo de freqüência de colisão devido a outro

fenômeno que não o fenômeno de colisão devido à turbulência, ou seja, não se utilizou

o modelo de Prince e Blanch (1990) considerando a velocidade relativa das bolhas por

que este está incorreto, como mencionado no texto. Não se utilizou o modelo de Wu et

al. (1998) por que este modelo está incompleto, representando somente a interação entre

bolhas de mesmo tamanho. E não foi implementado o modelo de Wang et al. (2005),

pois ele apresenta um modelo de freqüência de colisão que não é simétrico em relação

às partículas, o que é irreal.

Por outro lado, o modelo de freqüência de colisão devido à recirculação do

líquido de Prince e Blanch (1990) não foi utilizado por que este é inaplicável a

velocidades superficiais de gás inferiores a 4 cm/s.

Note que, nas condições experimentais estudadas, existe, possivelmente, um

efeito da freqüência de colisão devido à captura de bolhas pela zona de esteira de uma

bolha. Por outro lado, o efeito da freqüência de colisão devido à recirculação do líquido

é pouco importante a baixas velocidades superficiais de gás.

Segundo Prince e Blanch (1990) a freqüência total de colisão é dada pela soma

de todas as freqüências de colisão dada por diversos efeitos ponderadas pela mesma

probabilidade de coalescência (eficiência de coalescência). Entretanto, segundo Wu et

al. (1998), Hibiki e Ishii (2000) e Wang et al. (2005) é a freqüência de coalescência

131

resultante de cada efeito que deve ser somada, porque cada efeito é ponderado por uma

constante empírica diferente. Assim, o ajuste da freqüência de colisão associada a cada

fenômeno físico deve ser feita de forma independente, pois cada modelo de freqüência

de colisão possuí diferentes modelos de eficiência ou no mínimo possuí um parâmetro

diferenciado.

Modelos de eficiência de coalescência selecionados.

As duas primeiras escolhas são óbvias, são elas: o modelo de eficiência de Prince e

Blanch (1990), representado pela equação (II-195) e o modelo de Kamp et. al. (2001),

representado pela equação (II-209), pelas mesmas razões citadas anteriormente, cada

modelo é utilizado com seus respectivos modelos de freqüência de colisão. Ambos

possuem parâmetros ajustáveis no argumento da exponencial que aqui denominaremos

K3.

O terceiro modelo de eficiência estudado é o modelo de Luo (1993),

representado pela equação (II-199). Assim como os modelos selecionado anteriormente,

também possui uma constante interna à exponencial que aqui denominaremos K3. Esse

modelo é selecionado por que representa um estágio significativo na evolução dos

modelos de eficiência entre os modelos de Prince e Blanch (1990) e Kamp et al. (2001).

Prince e Blanch (1990) consideravam na estimativa da eficiência de coalescência

que o choque era de partículas perfeitamente esféricas e de mesmo tamanho. Luo (1993)

considerou partículas perfeitamente esféricas, mas introduziu um fator de correção para

o choque de partículas de diferentes tamanhos. Já o modelo de Kamp et al. (2001)

realiza as duas correções: um fator de correção para a forma da partícula e outro para os

diferentes tamanhos.

O modelo de eficiência Luo (1993) foi desenvolvido para ser utilizado com o

modelo de freqüência de colisão de Prince e Blanch (1990), a menos de uma constante

multiplicativa. Assim, quando for mencionado o uso do modelo de Luo (1993) na

estimação de parâmetros fica estabelecido que o modelo de Prince e Blanch (1990) para

a freqüência de colisão foi usado junto com o modelo de Luo (1993) para a eficiência de

coalescência.

O valor do parâmetro K3 foi teorizado por Prince e Blanch (1990) como 1,

estimado por Kamp et al. (2001) como 2 e estimado por Luo (1993) como 0,4.

132

Equações dos modelos selecionados

Nesta seção estão reapresentadas as equações pertinentes aos modelos de quebra e

coalescência selecionados, inicialmente reapresentando a equação de balanço

populacional aplicada ao escoamento de bolhas em uma coluna de borbulhamento

seguido dos modelos de quebra e coalescência (freqüência de colisão e eficiência de

coalescência).

Equação de Balanço Populacional

Considere a equação de balanço populacional aplicada ao problema tratado

reapresentada abaixo:

HdzdfU z =α (V-1)

onde fα é a função de distribuição de tamanho das partículas na fase α, Uz é a velocidade

da partícula de massa m na direção z, que é direção axial da coluna e H é o termo fonte

não homogêneo composto por:

CCBB DBDBH −+−= (V-2)

onde BBB, DBB, BBC e DC são os termos de nascimento e morte de partículas por quebra e

coalescência (agregação), respectivamente. Para o caso de uma distribuição

monovariada na massa da partícula, estes termos, simplificados as condições do

problema, são expressos por (Ramkrishna, 2000):

( ) ( ) ( ) ( )∫ −−=m

C dmmmmQzmfzmmfzmB0

' ',',,'21, αα (V-3)

( ) ( ) ( ) ( )∫∞

=0

' ',,',, dmmmQzmfzmfzmDC αα (V-4)

133

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞

′

=m

B mzmfmbmmPmzmB 'd ,'''|', ας (V-5)

( ) ( ) ( zmfmbzmDB ,, α= )

)

(V-6)

onde é a freqüência de agregação das partículas de massa m e ' , é

freqüência de quebra da partícula de massa m,

( mmQ ′, m ( )mb

( )mς é o número de filhas produzidas na

quebra da partícula de massa m e ( )'| mmP é a probabilidade condicional de uma

partícula de massa m ser gerada quando da quebra de uma partícula de massa ' m

O modelo de Luo e Svendsen (1996) a função básica modelada é

( ) ( ) ( ) (mbmmPmmm |'|' )ς≡Ω , que é a taxa específica de quebra de partícula de massa m

gerando partículas filhas com massa entre m′ e mdm ′+′ . Considerando as propriedades

de estabelecidas no capítulo II da dissertação podemos escrever : ( mmP |' )

( ) ( )[ ] ( )∫ Ως=m

dmmmmmb0

'|'1 (V-7)

( ) ( )( ) ( )

( )( )∫ Ω

Ω=

ςΩ

= mdmmm

mmmbmmmmmP

0'|'

|'|'|' (V-8)

Por outro lado, a freqüência de coalescência ( )mmQ ′, é determinada pelo

produto dos modelos selecionados da freqüência de colisão, θ, pela eficiência de

coalescência, η.

Considerando a discretização da equação (V-1) pelo método das classes e

definindo n classes de partículas, Nk é o momento seccional (ou restrito à classe) de

ordem zero da distribuição de tamanho de partículas, sendo k o índice que representa as

classes. Nk inclui todas as partículas com propriedades entre mk e mk+1 (mk < xk < mk+1):

( ) ( ) dmzmfzNk

k

m

mk ∫

+

=1

,α (V-9)

134

Assim, Nk é o número médio de partículas por unidade de volume com propriedade m

em torno xk. operando a equação (V-1) pela (V-9), obtemos, após a discretização

apropriada do termo fonte da equação, a seguinte expressão:

( )( )

kk

M

kiiiik

M

ikiik

ji

xxxxji

jijiijkijkz

k

bNNb

QNNNNQdz

dNU

kjik

−+

−−=

∑

∑∑

=

=

≥

≤+≤ +−

,

1,

,,

11

5,01

ϕ

ψδ

(V-10)

onde ϕ e ψ são funções cujas expressões dependem dos momentos conservados. No

caso da conservação do número de partículas e da massa, tem-se:

( ) ( )dmxmPxxxmdmxmP

xxmx

i

x

x kk

kx

xi

kk

kik

k

k

k

k

||1

1

1

1

1

1, ∫∫

−

+

−

−

+

+

−−

+−−

=ϕ (V-11)

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+≤−

−+

≤+≤−

+−

=

−−

−

++

+

kjikkk

kji

kjikkk

jik

ijk

xxxxxx

xxx

xxxxxx

xxx

11

1

11

1

,

,ψ (V-12)

Modelos de quebra selecionados

O modelos de quebra selecionados consideram que o número de partículas filhas na

quebra ( )mς é igual a 2.

O modelo de Luo e Svendsen é dado pela seguinte equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3113532

1

311

231

2

12,exp11923,0|

minξβρεσ

χξχξ

ξεφξ d

fCd

dvf Vf

ccV =−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=Ω ∫ (V-13)

Considerando que , ( ) 2=ς m ( ) ( ) VV dfvfdmmm || 11 Ω=Ω e que é

simétrica em torno de f

( )vfV |Ω

V = 0,5, pode-se calcular ( )mb por:

135

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

∫∫

ξ

ξ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ξεβρσ

−ξ

ξ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

φ−=

Ω=Ω=

1 21

03113532311

231

2

2/1

0

1

0

min

12exp11923,0

||21

ddfd

fCd

dfvfdfvfmb

Vcc

Vf

VVVV

(V-14)

Dessa forma o modelo com o parâmetro de ajuste, K1, é dado por:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1 21

03113532311

231

21

min

12exp11923,0

ξ

ξξεβρσ

ξξεφ ddf

dfC

dKmb V

cc

Vf (V-15)

Por outro lado, já que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/(|/||1 mbmmvfmvfPmmP VV )ςΩ== , pode-se

obter por: ( mmP |1 )

( )

( ) ( )

( ) [ ]

( )31135321 21

0311

2

1

311

2

1

12,

exp1

exp121

|

min

min

ξβρεσ

χξχ

ξξ

ξχξ

ξ

ξ

ξ

dfC

ddf

dm

mmP Vfc

Vc

c

=

−+

−+

=

∫ ∫

∫ (V-16)

O modelo de freqüência de quebra de Martínez-Bazán (1999a,b) é fornecido pela

seguinte expressão, já representada com o parâmetro, K1 :

( ) ( ) ( )d

ddKdb

ρσεβ 12321 −

= (V-17)

O modelo de probabilidade de quebra e Martínez-Bazán (1999a,b) é fornecido

pela seguinte expressão:

( ) ( ) [

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

maxmin1

maxmin1

359231

35321

232

1

,,0

,,121

|

ddd

ddddd

dd

dd

dddCddP

ccερβ ] (V-18)

Note que ( ) ( ) 1111 || ddddPdmmmP = , o que permite relacionar para bolhas

esféricas . ( ) ( ddPdmmPm |)3/(| 1111 = )

136

Modelos de coalescência selecionados

Foram selecionados os modelos de coalescência de Kamp et al. (2001), Luo (1993) e

Prince e Blanch (1990). As equações do modelo serão reapresentadas abaixo sendo K2 o

parâmetro de ajuste do modelo de freqüência de colisão e K3 o parâmetro de ajuste do

modelo de eficiência de coalescência. Lembrando que a freqüência de colisão é

modelada unicamente devido à turbulência do meio contínuo.

Modelos de freqüência de colisão

O modelo de freqüência de colisão devido Prince e Blanch (1990) parametrizado com

K2 é dado por:

( ) ( )[ 2/1222iiij

Tij duduSK +=θ ] (V-19)

A freqüência de colisão de Kamp et al. (2001) é definida como:

3/1

3/12/1

2

234

61,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ji

ijtT

ij

ddSCK ε

πθ (V-20)

onde Ct é dado pelo modelo:

( )( ) 2

,2,4312,439

3/23/1

3/23/12 ji

mm

mt

ddd

ddC

+=

++

=ενεν (V-21)

Nos dois casos, . ( )2/4 jiij ddS += π

Luo (1993) utiliza o modelo de freqüência de colisão de Prince e Blanch (1990)

(equação V-19).

Modelos de eficiência selecionados

Os modelos de Prince e Blanch (1990), Luo (1993) e Kamp et al. (2001), sendo estes,

respectivamente:

137

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2/103

21822,2ln

exp WehhK f

ijη (V-22)

( )( )[ ]

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++−= 2

1

32/1

2/1323

15,01175,0

exp WeKijd

ijijij ζρρ

ζζη , com

j

iij d

d=ζ (V-23)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2/13 6

21exp

vm

eqij C

WeK

πη (V-24)

onde K3 é o parâmetro ajustável do modelo, o número de Weber é definido como

e o número de Weber equivalente é definido por

, sendo

( ) σερ 2/3/2 ddWe ≡

σρ 2/20 eqeq dVWe ≡ ( ) ( )[ ] 3/1

0 2/61,1/ jit ddCV += ε e ( )jieq ddd /1/1/1 += .

O coeficiente virtual de massa, Cvm, é fornecido por uma expressão funcional dos

diâmetros em série convergente truncada (Kamp et. al., 2001):

3

2 12 eq

vm dNMLMLNC+−

−= (V-25)

onde L, M e N são coeficientes geométricos expressos em séries convergentes dada por:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++= 18

99

3

3

3

33

323

23

1ldd

ddd

ddd

dL ji

ji

j

ji

ji O (V-26)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= 18

99

3

33

72251

ldd

dddd

M ji

ji

ji O (V-26)

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++= 18

99

3

3

3

33

323

231

ldd

ddd

ddddN ji

ij

i

ij

ij O (II-27)

138

Forma final dos modelos de coalescência selecionados

Os modelos de coalescência, Qij, são definidos pelo produto da freqüência de colisão,

, com a eficiência de coalescência, Tijθ ijη , ou seja, . Assim, os modelos

escolhidos assumem as seguintes expressões finais.

ijTijijQ ηθ=

Para o modelo de Prince e Blanch (1990):

( ) ( )[ ] ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

2/1032/1222

21822,2ln

exp WehhKduduSKQ f

iiijij (V-28)

com , = 10( ) σερ 2/3/2 ddWe ≡ fh -8 m (Kim e Lee, 1987) e = 100h -3 m (Kirkpatrick e

Locket, 1974). Para o modelo de Luo (1993):

( ) ( )[ ] ( )( )[ ]( ) ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++−+= 2

1

32/1

2/13232/1222

15,01175,0

exp WeKduduSKQijd

ijijiiijij ζρρ

ζζ (V-29)

com jiij dd /=ζ e ( ) σερ 2/3/2 ddWe ≡

Para o modelo de Kamp et al. (2001):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/13

3/13/1

2/12 6

21exp

234

61,1 vm

eqjiij

tij C

WeK

ddSCKQ

πε

π (V-30)

com , sendo σρ 2/20 eqeq dVWe ≡ ( ) ( )[ ] 3/1

0 2/61,1/ jit ddCV += ε e Cvm definido de

acordo com a equação (V-24).

Considerando a correlação entre os parâmetros K2 e K3 nos modelos, os modelos

foram reescritos nas seguintes formas:

Para o modelo de Prince e Blanch (1990):

139

( ) ( )[ ] ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

2/1032*

2/122

21822,2ln

exp WehhKKduduSQ f

iiijij (V-31)

Para o modelo de Luo (1993):

( ) ( )[ ] ( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++−+= 2

1

32/1

2/13232*

2/122

15,01175,0

exp WeKKduduSQijd

ijijiiijij ζρρ

ζζ (V-32)

Para o modelo de Kamp et al. (2001):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/132*

3/13/1

2/1 621exp

234

61,1 vm

eqjiij

tij C

WeKK

ddSCQ

πε

π (V-33)

Considerações adicionais sobre as simulações

As simulações foram realizadas considerando que a curva de distribuição de tamanhos

da base da coluna (menor altura) é a condição contorno da modelagem do problema

representado pelas equações (V-10), (V-11), (V-12) e os modelos selecionados

apontados anteriormente, equações (V-15), (V-16), (V-17), (V-18), para a quebra e

equações (V-28), (V-29) e (V-30), para coalescência. Foi simulada a evolução da

distribuição de tamanho de bolhas ao longo da altura de forma a compará-la com as

curvas experimentais nas duas alturas superiores, ou seja, as alturas no meio e no topo

da coluna.

Como condição de contorno experimental, a curva de distribuição de tamanhos

da base da coluna foi considerada juntamente com o erro experimental associado, assim

como também foram considerados os erros na velocidade superficial de gás e o erro na

retenção gasosa total, isto é, todos os erros nas variáveis de entrada foram incluídos no

processo de estimação dos parâmetros.

Algumas hipóteses foram assumidas para a realização das simulações, são elas:

• Foi admitido que o valor global da retenção gasosa é representativo do valor local

exigido pelos modelos.

140

• Os modelos de quebra e coalescência pressupõem o conhecimento da energia de

dissipação turbulenta local associado ao escoamento do meio contínuo. Uma

aproximação realizada com freqüência é a utilização de um modelo simplificado

para a determinação da energia de dissipação turbulenta, definido por: Ggu=ε ,

onde ε é a energia de dissipação turbulenta, g a gravidade e uG a velocidade

superficial de gás. Este modelo assume que a dissipação é igual ao input de energia

mecânica, desconsiderando a variação de pressão dentro da coluna.

Análise de sensibilidade dos parâmetros dos modelos

Antes de identificar os parâmetros ótimos do ajuste, foram realizadas simulações do

problema direto considerando os valores de parâmetros teóricos ou indicados pelos

autores dos modelos, com o objetivo de identificar a necessidade do ajuste.

Considerando a distribuição da base da coluna como condição de contorno

foram obtidos os resultados das demais alturas, nesta seção apenas o meio da coluna

será apresentado para diminuir carga visual das figuras.

A figura V-1 mostra o resultado obtido na predição da distribuição de tamanhos

à meia altura da coluna considerando os valores de K2 e K3 propostos ou teoricamente

definidos pelos autores.

141

Figura V-1 – Resultado da distribuição de tamanhos no meio da coluna na velocidade de

2,0 cm/s, utilizando os modelos de coalescência selecionados para o estudo e sem

modelos de quebra

Em todos os casos se observa que os valores preditos para a distribuição de

partículas são completamente diferentes dos valores experimentais. O resultados

predizem mais coalescência do que realmente é observado.

De forma similar, foram observados os resultados da distribuição de partículas

para o caso de maior velocidade superficial de gás, utilizando os modelo de

coalescência de Kamp et al. (2001) e os modelos de quebra selecionados. A figura (V-

II) mostra esses resultados.

142

Figura V-3 – Resultado da distribuição de tamanhos no meio da coluna na velocidade de

3,8 cm/s, utilizando o modelo de coalescência de Kamp et al. (2001) e os modelos de

quebra selecionados para o estudo.

Observa-se na figura (V-3) que o modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996)

tende a formar um número muito grande de partículas muito pequenas. Por outro lado, o

modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a,b) parece não consegue compensar a

K3, apenas para a velocidade de 2,0 cm/s, considerando apenas os modelos de

coalescência predita pelo modelo de Kamp et al. (2001), pois os resultados indicam um

aumento no tamanho médio das partículas.

As observações acima permitem concluir que é realmente necessário ajustar os

parâmetros dos modelos para permitir a predição adequada das curvas de distribuição de

partículas.

Resultados da estimação de parâmetros

Considerou-se, inicialmente, a realização da simulação para estimar um ou dois

parâmetros dos modelos de coalescência: o parâmetro pré-exponencial que corrige a

freqüência de colisão, K2, e o parâmetro exponencial que ajusta o modelo de eficiência,

143

coalescência (sem quebra). Assumindo a base como condição de contorno do problema,

ajustaram-se os parâmetros considerando o conjunto base-meio, base-topo e base-duas

alturas.

Inicialmente o ajuste foi realizado considerandos 2 parâmetros, K2 e K3,

Evidentemente, devido à natureza matemática da forma funcional do modelo, há

correlação entre os parâmetros e os modelos tiveram que ser reescritos em outra forma

funcional (equações V-31, V-32, V33). Porém, observa-se que o valor da eficiência de

coalescência em todos os modelos nunca foi inferior a 0,96, isto é, o argumento da

função exponencial de coalescência foi sempre um número negativo muito próximo de

zero.

Isto impossibilitou a determinação do valor do parâmetro K3 que pode variar de

0 a 20 sem influenciar o resultado do modelo neste caso específico. Por esse motivo, o

valor de K3 não foi mais estimado nas outras simulações, mas sim definido com bases

nos valores encontrados por seus respectivos autores. Logo, não foi necessário utilizar

as equações (V-31), (V-32) e (V33), sendo utilizadas apenas as formas das equações (V-

28), (V-29) e (V-30) nas outras simulações.

Todos os resultados de ajuste dos dados são similares ao representado na figura

(V-4). Isto comprova que em termos de representação do resultado, uma vez realizado

um ria

d

torna-se crucial a análise dos result tabela (V-1) traz os resultados da

stimação de parâmetros considerando apenas o parâmetro K2. Nesta e nas próximas

tabelas com ajustes de parâmetros, da função objetivo.

ajuste de parâmetros, qualquer modelo consegue realizar uma predição satisfató

entro da margem de erro experimental. Assim, para qualificar e diferenciar os modelos

ados estatísticos. A

e

Z é o valor obtido

144

Figura V-4 – Comparação entre experimento (uG = 2,0 cm/s) e simulação usando

parâmetros ajustados para o modelo de Prince e Blanch (1990) usando as duas alturas

simultaneamente.

Alturas – Base-Meio Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 Z Kamp et al. (2001) 3 ± 2 48 Luo (1993) 1,5 ± 0,7 49 Prince e Blanch (1990) 8 ± 5 48

Alturas – Base-Topo Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 Z Kamp et al. (2001) 7 ± 6 22 Luo (1993) 3 ± 2 24 Prince e Blanch (1990) 20 ± 12 22

Alturas – Base-Duas alturas Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 Z Kamp et al. (2001) 5 ± 4 28 Luo (1993) 3,5 ± 3 29 Prince e Blanch (1990) 13 ± 6 28

Tabela V-1 – Valores estimados dos parâmetros de coalescência para a condição de

velocidade igual a 2,0 cm/s.

145

A

para não sobrecarregar a notação do gráfico. Cada gráfico será divido em seções onde

cada seção apresenta três condições experimentais em relação à(s) altura(s) da coluna

usadas no ajuste. Em cada seção, os ajustes correspondem sempre aos conjuntos Base-

Meio, Base-Topo e as Duas alturas, em ordem crescente. Cada seção está legendada

com a velocidade superficial de gás, numericamente explícita, e com os modelos

utilizados para o ajuste em questão. Com relação a nomenclatura utilizada para definir

os modelos tem-se: PB, Modelo de Prince e Blanch (1990), LUO, Modelo de Luo

(1993), KAMP, Modelo de Kamp et al. (2001), LS, Modelo de Luo e Svendsen (1996),

MB, Modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a,b).

Para todos os modelos em cada conjunto de alturas apresentados na tabela (V-1),

tem-se que os parâmetros são iguais dentro da margem de erro (fato melhor observado

nas figuras V-5, V-6 e V-7). O valor da função objetivo em cada caso usado na

e

q

espe ção

experimental.

Para melhor entendimento da figuras (V-5) à V-9, que representam os valores

ajustados dos parâmetros, é preciso estabelecer algumas convenções de nomenclatura.

primeira refere-se ao fato que será omitido o erro da velocidade superficial de gás

stimação é praticamente constante, informando que não se diferenciam os modelos no

ue se refere ao ajuste do dado experimental versus dados calculados. Isto já era de se

rar devido ao bom ajuste obtido com todos os modelos em cada condi

Figura V-5 – Gráfico do parâmetro de coalescência, K2, obtido utilizando o modelo de

coalescência de Kamp et al. (2001). Cada seção representa os conjuntos de dados Base-

Meio, Base-Topo e Base-Duas alturas em cada condição de ajuste, conforme legenda.

146

Figura V-6 – Gráfico do parâmetro de coalescência, K2, obtido utilizando o modelo de

coalescência de Luo (1993). Cada seção representa os conjuntos de dados Base-Meio,

Base-Topo e Base-Duas alturas em cada condição de ajuste, conforme legenda.

Figura V-7 – Gráfico do parâmetro de coalescência, K2, obtido utilizando o modelo de

coalescência de Prince e Blanch (1990). Cada seção representa os conjuntos de dados

Base-Meio, Base-Topo e Base-Duas alturas em cada condição de ajuste, conforme

legenda.

147

Três informações podem ser obtidas da tabela V-1. A primeira é que o valor do

arâmetro em todos os casos está muito abaixo do valor esperado. Para todos os casos

K2 deveria, teoricamente, ser de or em torno de 10-2/10-3. A segunda

info iferenç e s d Prince Blanch

(1990) e Luo (1993), mesmo ajustando apenas K2 que, nos dois casos, pondera a mesma

freqüência de colisão. Isto é, mesmo do poss ar nu camente o valor

da constante K3, o modelo de efic e forma sensível no resultado do

mo

bservação é em ao alto valor da função objetivo, essa

ten e deve à dif e magnitude dos valores envolvidos no

ajuste. Os erros associados aos valores à freqüência relativa da ordem de 10-3 são mais

expressivos do que os erros associados aos valores de freqüência relativa da ordem de

0,7 ue um erro da or e 0,001 1 é d nde m

enquanto erros de 0,04 em 0,7 não po grande Con e que quenos

e

do qu

Prosseguindo com o estudo do problema, considerou-se a realização da

mula

p

dem unitária e não

rmação é que existe d a apreciável ntre os modelo e e

não sen ível ajust meri

iência interfere d

delo.

A terceira o relação

dência possivelment erença d

. O problema é q dem d em 0,00 e gra agnitude,

ssuem impacto. clui-s pe

rros nos menores valores de freqüência relativa influenciam muito mais os resultados

e os erros dos maiores valores de freqüência relativa.

si ção com dois parâmetros (um para quebra, K1, e outro para coalescência, K2)

apenas da velocidade de 3,8 cm/s, considerando os conjuntos de modelos selecionados,

assumindo a base como condição inicial do problema e ajustando os parâmetros

considerando os dados para base-meio, base-topo e base-duas alturas.

A representação gráfica dos resultados não trouxe informações adicionais e, por

isso, será omitida. As tabelas (V-2) e (V-3) apresentam os resultados obtidos para os

casos estudados, onde γ é a correlação estatística entre os parâmetros.

148

Alturas - Base/Meio

Modelos de Coalescência (K2 ± erro)x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 3,7± 0,2 1,6 ± 0,6 0,03 2 Luo (1993) 1,5 ± 0,4 1,1 ± 0,4 0,02 1 Prince e Blanch (1990) 9,8 ± 4 1,1 ± 0,5 0,02 1

Alturas - Base/Topo

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 1,6 ± 0,7 2,1 ± 0,4 0,02 5 Luo (1993) 6,5 ± 1,4 1,9 ± 0,4 0,03 5 Prince e Blanch (1990) 4,2 ± 0,8 2 ± 0,4 0,03 6

Alturas – Base/Duas alturas

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 3 ± 1 1,6 ± 0,4 0,02 8 Luo (1993) 4 ± 2 1,8 ± 0,4 0,03 9 Prince e Blanch (1990) 6 ± 0,7 1,8 ± 0,4 0,02 8

Tabela V-2 – Estimativa dos parâmetros de quebra e coalescência para a condição de

velocidade igual a 3,8 cm/s e o modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996).

q e

coal . É

ifícil dizer a origem do erro pois, como foi mencionado anteriormente, o modelo de

Na tabela V-2, observa-se que não existe correlação entre os parâmetros de

uebra e coalescência. Também observamos que, assim como no caso dos modelos d

escência, o parâmetro dos modelos de quebra são menores do que o esperado

d

Luo e Svendsen (1996) possuí inúmeros erros teóricos e somente foi considerado nesta

análise devido a questões históricas. Ainda assim, o valor do parâmetro ajustado se

manteve razoavelmente constante com a condição de alturas usadas no ajuste, sendo

possível utilizar o modelo para predizer resultados com boa exatidão. A figura (V-8)

permite observar a constância do parâmetro com a variação da a condição de alturas

usadas no ajuste para a maior velocidade superficial de gás e para cada par de modelos.

149

Figura V-8 – Gráfico do parâmetro de qu odelo de quebra

996). Cada seção ta os co dado se-M o,

Também é possível cência de Prince e Blanch

990) perdeu consistência interna, não tendo mais o mesmo valor do parâmetro nos três

Finalmente, a tabela (V-2) e a figura (V-7) mostra que os valores dos parâmetros

o modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996) estimado conjuntamente com os

odelos de Prince e Blanch (1990) e Luo (1993) somente são iguais considerando os

mites das grandes margens de erro associadas, diferentemente do resultado obtido

ebra, K1, obtido utilizando o m

de Luo e Svendsen (1 represen njuntos de s Ba ei

Base-Topo e Base-Duas alturas em cada condição de ajuste, conforme legenda.

observar que o modelo de coales

(1

conjuntos de dados mencionados (essa observação fica muito fácil de ser entendida na

figura V-7). Além disso, comparando resultados na mesma altura (figura V-7), porém

em velocidades superficiais de gás diferentes (conjunto de experimentos 1-4, 2-5 e 3-6 e

1-7, 2-8 e 3-9, conjuntamente com o modelo de quebra de LS e MB, respectivamente), o

modelo de Prince e Blanch (1990) não mantém constante o valor do seu parâmetro, nem

mesmo quando considerada a margem de erro para os casos dos conjuntos Base-Topo

(figura V-4, experimentos 2-5 e 2-8) e Base-Duas alturas (figura V-4, experimentos 3-6

e 3-9).

d

m

li

150

quando o mesmo modelo de quebra foi analisado em conjunto com o modelo de

coalescência de Kamp et al. (2001), cujos valores são ligeiramente mais concordantes.

A tabela (V-3) traz os resultados dos parâmetros de coalescência quando o

modelo de quebra é o de Martínez-Bazán et al. (1999a,b) para a velocidade de 3,8 cm/s.

Alturas - Base/Meio Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) γ Z Kamp et al. (2001) 4,2 ± 0,7 0,6 ± 0,3 0,03 1 Luo (1993) 2,7 ± 0,9 0,57 ± 0,25 0,02 1 Prince e Blanch (1990) 3,6 ± 0,8 0,52 ± 0,3 0,02 1

Alturas - Base/Topo

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) γ Z Kamp et al. (2001) 3 ± 0,8 0,16 ± 0,09 0,02 5 Luo (1993) 1,8 ± 0,5 0,16 ± 0,11 0,03 5 Prince e Blanch (1990) 6 ± 0,5 0,76 ± 0,4 0,03 5

Alturas - Base/Duas alturas

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) γ Z Kamp et al. (2001) 3,6 ± 0,7 0,42 ± 0,3 0,02 8 Luo (1993) 2,3 ± 0,7 0,41 ± 0,21 0,03 9 Prince e Blanch (1990) 4 ± 0,5 0,58 ± 0,32 0,02 8

Tabela V-3 – Estimativa dos parâmetros dos modelos de quebra e coalescência para a

condição de velocidade superficial de gás igual a 3,8 cm/s, e o modelo de quebra de

Martínez-Bazán et al. (1999a,b)

Como mencionado anteriormente, o modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a,b)

prediz quebra apenas da classe 5, ou seja, apenas 1 classe. Logo, pequenos erros nesta

classe implicam em grandes erros no modelo de quebra, o que justifica o alto valor do

erro no parâmetro associado ao modelo de quebra. Ainda assim, duas observações são

interessantes: a primeira é que o modelo teve os valores ajustados muito próximos para

as diferentes condições de ajuste, a segunda é que quase todos os parâmetros

encontrados incluem o valor 0,25 ± 0,03 obtido por Martínez-Bazán et al. (1999a,b)

(figura V-9).

151

0,25

Figura V-9 – Gráfico do parâmetro de quebra, K1, obtido utilizando o modelo de quebra

de M

o se sabe

ue os erros determinados por essa classe são ponderados de forma mais significativa

ue a maior parte das classes da distribuição. Ainda assim é impressionante como nestas

ondições adversas o modelo consegue predizer a quebra adequadamente, e ainda com

m valor de parâmetro da similar ao ajustado pelos autores do modelo em condições

xperimentais totalmente diferentes. Mais adiante, será avaliada a convergência

umérica do método quanto ao número de classes na solução da equação de balanço

opulacional, na qual será possível avaliar o mesmo modelo com três classes numéricas

gnificativas (diferentes de zero), obtendo-se o mesmo valor para o parâmetro em cada

aso avaliado.

Por curiosidade científica, foi fixado o valor do parâmetro de quebra como 0,25

ara o modelo de Martínez-Bazán et al. (1999a,b) e como 0,0018 para o modelo de Luo

Svendsen (1996) ajustando assim apenas o parâmetro de coalescência em cada caso. O

artínez-Bazán et al. (1996). Cada seção representa os conjuntos de dados Base-

Meio, Base-Topo e Base-Duas alturas em cada condição de ajuste, conforme legenda.

É muito difícil defender um modelo que é ajustado com apenas uma classe de

uma distribuição de bolhas em uma condição experimental, ainda mais quand

q

q

c

u

e

n

p

si

c

p

e

152

0,0018 foi escolhido por ser um val es obtidos no ajuste do modelo de

Luo e iv is. Os sultad obtidos

foram nte os mesmos ap s nas (V-2) -3), n sendo

justifi de outras t com resultados quase idênticos. Existe uma

pequena variação nos valores estim relação ao ajuste anterior,

porém alo garis

obtêm s mesmos valores. A maior variação entre estes ajuste com 1 ou

2 parâ a ao valor o de se erar, é

de magnitude maior com apenas do.

V e Prin e Blan (1990)

não c um único val seu parâ para a ersas dições

experi O modelo anter a

cons ao

valor do parâ (figura V-5)

onsegue se sobressair como o modelo que mantém uma razoável consistência interna

nas condições experimentais estuda ativos no valor do seu pa metro

men e Luo (1

mo estudo foi realizado novamente o os c tos e

Meio, Base-Topo e Base-Duas alturas, por m unindo as duas velocidades como dois

experimentos distintos para todos modelos, obtendo os resultados

estat bela etros podem

tamb ser observados nas f -5), (V ), (V-8) e (V-9).

or médio dos valor

Svendsen (1996) nas d ersas condições experimenta re os

praticame resentado tabelas e (V ão

cável a apresentação abelas

ados dos parâmetros em

, ao se aproximar o v r dos parâmetros para os al mos significativos,

-se exatamente o

metros está associad da função objetivo, que com era esp

1 parâmetro sendo ajusta

Considerando a figura ( -7) concluí-se que o modelo d ce ch

onsegue estimar or do metro s div con

mentais estudadas. de Luo (1993) (figura V-6) consegue m

istência do seu parâmetro, mas, em alguns casos, só porque os erros associados

metro são elevados. Já o modelo de Kamp et al. (2001)

c

das e com erros rel râ

ores que os do modelo d 993).

Um últi dividind onjun m Base-

é

os conjuntos de

ísticos mostrados nas ta s (V-4) e (V-5). Os resultados dos parâm

ém podem iguras (V -6), (V-7

153

Alturas – Base-Meio

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 3,3 ± 0,5 1 ± 0,6 0,01 7 Luo (1993) 1,5 ± 0,7 1 ± 0,9 0,02 5 Prince e Blanch (1990) 9,1 ± 4 1 ± 1 0,03 6

Alturas – Base-Topo

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 4 ± 1 1 ± 2 0,01 11 Luo (1993) 1,5 ± 1,1 1 ± 1 0,03 12 Prince e Blanch (1990) 12 ± 8 2 ± 2 0,03 10

Alturas – Base-Duas alturas

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) x 103 γ Z

Kamp et al. (2001) 4 ± 1 1 ± 2 0,02 10 Luo (1993) 1,5 ± 2 1 ± 2 0,01 11 Prince e Blanch (1990) 12 ± 7 1 ± 1 0,02 10

Tabela V-4 – Estimativas dos parâmetros de quebra e coalescência para as duas

velocidade e o modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996).

Alturas - Base/Meio

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) γ Z

Kamp et al. (2001) 3,6± 0,2 0,6 ± 0,3 0,03 2 Luo (1993) 2,1 ± 0,4 0,5 ± 0,2 0,02 1 Prince e Blanch (1990) 7 ± 4 0,5 ± 0,3 0,02 1

Alturas - Base/Topo

Modelos de Coalescência 2 3 1(K ± erro) x 10 (K ± erro) γ Z

Kamp et al. (2001) 4 ± 0,7 0,3 ± 0,1 0,02 5 Luo (1993) 2,4 ± 1,5 0,3 ± 0,1 0,03 5 Prince e Blanch (1990) 10 ± 4 0,2 ± 0,1 0,03 6

Alturas - Base/Duas alturas

Modelos de Coalescência (K2 ± erro) x 103 (K1 ± erro) γ Z

Kamp et al. (2001) 4 ± 1 0,4 ± 0,3 0,02 8 Luo (1993) 3 ± 2 0,4 ± 0,2 0,03 9 Prince e Blanch (1990) 8 ± 4 0,5 ± 0,3 0,02 8

Tabela V-5 – Estimativas dos parâmetros de quebra e coalescência para a condição de

velocidade igual a 3,8 cm/s e o modelo de quebra de Martínez-Bazán (1999a,b).

Na tabela (V-4) (e também na figura V-8), observa-se que os valores dos

parâmetros associados ao parâmetro do modelo de quebra de Luo e Svendsen (1996)

anecemperm , em média, praticamente constantes quando comparados com os da tabela

(V-2), porém seus erros crescem de forma expressiva, algo facilmente observado na

154

figura (V-8). Isto se deve ao fato do modelo de quebra prever a existência de quebra na

velocidade de 2,0 cm/s para a qual ela não deve existir segundo o modelo de Martínez-

Bazán et al. (1999a,b), que tem forte base física. Para compensar a falha do modelo, o

parâmetro incluiu o valor zero na margem de erro.

erifica-se que, de todos os modelos de

oalescência, o de Kamp et al. (2001) foi o que apresentou valores mais consistentes

entre as diferentes condições exper menores erros relativos (25% para

o ajuste usando am to, não se pode dizer que os outros modelos

não sã bas as

alturas) fazem com que haja uma coincidência de seus parâmetros. Para reduzir o erro

xperimental é necessário contar um maior número de bolhas e, para isso, utilizar

técnicas que permitam a contagem pressivo de partículas, algo pouco

viável na técnica fotográfica.

Convergência da lução de estimação e parâmetro

Os resultados acima correlacionam ação de parâmetros ao número de

5 classes experimentais. Não é possível aumenta entais,

mas é lasses as utilizad lução do

problema direto. Em termos de ajuste de parâme ada é modificado, porém em

os de convergência da solução em si teremos um maior quantidade de informação

eiro momento,

ero e a massa das partículas. Sendo assim, a única forma

de estender a solução do problema para um número de classes numéricas superior ao

Na tabela (V-5) (e na figura V-9) o parâmetro de quebra de Martínez-Bazán et

al. (1999a,b) não apresentou modificações significativas quando comparado com a

tabela (V-3), o que era esperado, uma vez que o modelo de quebra de Martínez-Bazán

(1999a,b) não prediz quebra na velocidade de 2,0 cm/s.

Pode-se observar em ambos os resultados (tabelas V-4, V-5 e figura V-5, V-6 e

V-7) a tendência do parâmetro de coalescência de ser mais ou menos a média dos

valores equivalentes encontrados em cada velocidade, mantendo uma coerência

numérica com a variação dos conjuntos de alturas. Considerando o ajuste usando o

modelo de quebra de Martínez-Bazán (1999a,b), v

c

imentais e com os

bas as alturas). Entretan

o consistentes porque os elevados erros (50-67% para o ajuste usando am

e

de um número ex

so d s

a solução da estim

r o número de classes experim

p r e cossível aumentar o núme o d numéric as a son

tros n

term

o que permite verificar se o método numérico está afetando a solução do problema

direto de forma significativa.

O método das classes permite conservar o momento zero e o prim

a

o que significa conservar o núm

155

número de classes experimentais e manter a consistência do método é realizar uma

ivisão em cada classe em que seja satisfeita a conservação de massa e de número de

artículas. Isso permite que cada classe experimental seja dividida em duas outras

lasses, formando um total de 10 classes.

Todos os ajustes realizados anteriormente foram refeitos com esta nova divisão

e classes numéricas. Os resultados encontrados foram praticamente idênticos, não

xistindo variação nos valores estimados que ao se representar em algarismos

gnificativos que justifique a reapresentação de todos os resultados. Evidentemente, o

alor da função objetivo é diferente, porém, os valores não são comparáveis entre si.

m exemplo da comparação entre os resultados obtidos com 5 e 10 classes segue na

bela (V-6) para os parâmetros ajustados dos modelos de Kamp et al. (2001) e

artínez-Bazán et al. (1999a,b). Observa-se que os valores são similares em todos os

ados exceto quanto ao valor da função objetivo.

Alturas - Base/Meio

d

p

c

d

e

si

v

U

ta

M

d

5 classes 10 classes Kamp et al. (2001 4,2 ± 0,6 ) (K2 ± erro) x 103 4,2 ± 0,7

Martínez-Bazán et al. 0,6 ± 0,4 (1999a,b) (K1 ± erro) 0,6 ± 0,3 γ 0,03 0,03 Z 1 6

Alturas - Base/Meio 5 classes 10 classes

Kamp et al. (2001) (K2 ± erro) x 103 3 ± 0,8 3 ± 0,7 Martínez-Bazán et al. (1999a,b) (K1 ± erro) 0,16 ± 0,09 0,16 ± 0,09

γ 0,02 0,02 Z 5 12

Alturas - Base/Meio 5 classes 10 classes

Kamp et al. (2001) (K2 ± erro) x 103 3,6 ± 0,7 3,6 ± 0,7 Martínez-Bazán et al. (1999a,b) (K1 ± erro) 0,42 ± 0,3 0,43 ± 0,3

γ 0,02 0,02 Z 8 15

Tabela V-6 – Estimativa dos parâmetros do modelo de quebra Martínez-Bazán et al.

999a,b) e do modelo de coalescência de Kamp et al. (2001) para a condição de

elocidade superficial de gás igual a 3,8 cm/s, com 5 e 10 classes.

(1

v

156

Capítulo VI – Conclusão

157

O trabalho apresentou uma revisão crítica da literatura dos fenômenos de quebra e

coalescência com o objetivo de caracterizar e qualificar os modelos associados. Com

ase em dados experimentais próprios em coluna de borbulhamento operando com duas

elocidades superficiais de gás, a distribuição de tamanho de bolhas foi medida a três

lturas diferentes. Analisou-se o ajuste de parâmetros dos modelos de coalescência de

rince e Blanch (1990), Luo (1993) (com freqüência de colisão definida pelo modelo de

rince e Blanch, 1990) e Kamp et al. (2001) e dos modelos de quebra de Luo e

vendsen (1996) e Martínez-Bazán et al. (1999a,b).

Conclui-se que os modelos clássicos de Prince e Blanch (1990) e Luo e

vendsen (1996), apesar de serem os mais utilizados e de possibilitar o ajuste dos dados

xperimentais, não constituem modelos satisfatórios, pois tem erros de formulação.

lém disso, apresentaram parâmetros dependentes das condições experimentais. A

onclusão de sua inadequação não é decorrente da avaliação experimental realizada,

as sim devido aos erros conceituais na própria concepção destes modelos.

O modelo de Kamp et al. (2001) se mostrou mais consistente, com um valor

stimado para o seu parâmetro independente das condições experimentais e cujo erro foi

menor dentre os erros associados aos parâmetros ajustados de todos os modelos de

oalescência considerados. Além disso, ele representa uma evolução na modelagem do

rocesso, mostrando que as correções associadas às diferenças de aceleração que a

olha e a fase líquida sofrem devido a grande diferença de densidade e à variação que o

oeficiente virtual de massa sofre na colisão são efeitos importantes a serem

onsiderados. Ou seja, possui um fundamento teórico consistente aliado a um resultado

xperimental adequado.

Embora a avaliação do modelo de Martínez-Bazán (1999a,b) tenha ficado

rejudicada devido ao pouco número de condições experimentais existentes neste

abalho onde a quebra é efetivamente predita pelo mesmo, ele se apresentou como um

odelo internamente consistente pois seu cujo parâmetro teve valor independente das

ondições experimentais e cuja faixa de valores inclui o valor fornecido pelos seus

utores para a quebra de bolhas em jato turbulento de água.

Como sugestão para trabalhos futuros fica o desenvolvimento de técnicas

xperimentais capazes de medir um número maior de bolhas, possibilitando uma

escrição mais apropriada das funções de distribuição de tamanho de partículas (maior

úmero de classes com erros pequenos). Além disso, é interessante desenvolver técnicas

xperimentais que permitam a sua avaliação em maiores velocidades superficiais de gás.

b

v

a

P

P

S

S

e

A

c

m

e

o

c

p

b

c

c

e

p

tr

m

c

a

e

d

n

e

158

Outra sugestão é o acoplamento da equação de balanço populacional a códigos

FD, permitindo remover várias hipóteses adotadas neste trabalho.

C

159

Capítulo VII – Bibliografia

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T

V

W

W

W

170

171

Anexo I

172

173

O anexo I traz todas as curvas experimentais obtidas com a coluna de borbulhamento

em forma de tabela, para as duas velocidades superficiais de gás nas três alturas.

Sendo d o diâmetro da classe e as alturas (base, meio e topo) definidas de acordo

com a tabela (IV-1), temos:

Tabela AI-I – freqüência relativa para a condição experimental de velocidade superficial

de gás igual a 2,0 ± 0,2 cm/s.

Tabela AI-II – freqüência relativa para a condição experimental de velocidade

superficial de gás igual a 3,8 ± 0,4 cm/s.

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