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Izael Araujo Lima

ESTUDO DO MODELO ISING DESORDENADO

BIDIMENSIONAL USANDO O ALGORITMO

WANG-LANDAU

TERESINA

2012

Izael Araujo Lima

ESTUDO DO MODELO ISING DESORDENADO

BIDIMENSIONAL USANDO O ALGORITMO

WANG-LANDAU

Trabalho de Dissertação de Mestrado apresentado ao Pro-

grama de Pós - Graduação em Física - PPGF da Universi-

dade Federal do Piauí - UFPI como requisito parcial para a

obtenção do título de Mestre em Física da Matéria Conden-

sada.

Orientador: Dr. Paulo Henrique Ribeiro Barbosa - UFPI

TERESINA

2012

Ó Deus como são grandes os teus pensamentos, se os contasse excederiam

os grãos de areia; contaria, contaria sem jamais chegar ao �m (Sl 139.17,18). . .

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, que meu deu forças pra seguir em frente.

Ao professor Paulo Henrique, que acreditou neste trabalho e que esteve sempre à dis-

posição, e pelos computadores cedidos. E ao professor Umberto Fulco que deu a ideia

do trabalho e que também esteve à disposição para tirar dúvidas, a todos os professores

do Departamento de Física da UFPI que direta ou indiretamente contribuíram com este

trabalho.

À minha esposa Brisa pela sua compreenssão, palavras de ânimo e pelo apoio nos

momentos mais difíceis, mas não há vitórias sem lutas.

Aos meus pais, que mesmo com tantas di�culadades acreditaram em mim, e me icenti-

varam durante esses anos, mesmo nos momentos difíceis não deixaram que eu desanimasse,

e ao meu irmão Samuel pelos conselhos.

A todos os alunos da Pós, em especial Francílio, Wemerson, Raul, Rogê, David, Paulo

Roberto, Anilton, Emanuel e Moreira, pelas conversas e amizade.

À Seduc pelo apoio �nanceiro, por um período de um ano.

Resumo

Neste trabalho usamos o algoritmo Wang-Landau no espaço da energia e da magne-

tização para estudarmos o modelo Edwards-Anderson (±J) bidimensional para várias

concentrações de ligações antiferromagnéticas. O modelo apresenta desordem e frus-

tração devido a aleatoriedade e a competição entre as interações, para analisarmos então

os efeitos da desordem aplicamos a teoria de escala de tamano �nito e data-colapso para

as concentrações de ligações antiferromagnéticas p=0.05 e p=0.10, onde encontramos o

expoente crítico ν e os valores para as razões entre os expoentes críticos α/ν, β/ν e γ/ν,

comparamos então esses valores com os valores encontrados para o modelo Ising ferromag-

neto bidimensional na ausência de campo externo, onde veri�camos um cenário de fraca

universalidade. Também estudamos o modelo Vidro de Spin bidimensional em que as

ligações são escolhidas aleatoriamente para a concentração p = 0.50, usando o algoritmo

Wang-Landau agora no espaço da energia e do parâmetro de ordem Edwards-Anderson.

Palavras-chave:modelo Edwards-Anderson bidimensioanl, Vidro de Spin bidimensional,algoritmo Wang-Landau.

Abstract

In this paper we use the Wang-Landau algorithm in espace of energy and magnetization

to study the two-dimensional Edwards-Anderson (± J) model to various concentrations

antiferromagnetic bond. The model present disorder and frustration due to random and

competition between interactions, then we have to analyze the e�ects of disorder applied

the theory of Finite-Size Scaling and data-collapse for concentrations of anti-ferromagnetic

bonds p = 0.05 and p = 0.10, where we �nd the critical exponent ν and the values for

the ratios of the critical exponents α/ν, β/ν and γ/ν, then compare these values with the

values found for the model two-dimensional Ising ferromagnet in the absence of external

�eld, where veri�ed a scenario of weak universality. We also studied the two-dimensional

spin glass model in which bonds are chosen randomly to concentration p = 0.50, using

the algorithm Wang-Landau now in the space of energy and order parameter Edwards-

Anderson.

Keywords: two-dimensional Edwards-Anderson model, two-dimensional Spin Glass, Wang-Landau algorithm.

Sumário

1 Introdução 6

2 Desordem magnética 9

2.1 Introdução a desordem magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Modelo Edwards-Anderson (±J) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Modelo Ising ferromagneto 2D diluído por sitio e diluído por ligação . . . . 16

3 Monte Carlo 17

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Processos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Quantidades termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Método Wang-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Método de histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.2 Algoritmo Wang-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.3 Implementação do algoritimo Wang-Landau ao modelo Ising. . . . . 26

3.4.4 Implementação do algoritimo Wang-Landau ao modelo Edwards-

Anderson (±J) vidro de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

3.5 Teoria de escala de tamanho �nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Resultados e discussão 30

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Concentração p = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Concentração p = 0.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Concentração p = 0.50 modelo Edwards-Anderson vidro de spin . . . . . . 52

5 Considerações �nais 53

Referências Bibliográ�cas 54

2

Lista de Figuras

2.1 Tipos de desordem: (a) estrutura cristalina geral, (b) desordem substitu-

cional, (c) desordem estrutural, (d) sistema real . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Exemplo de frustração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Diagrama de fase do modelo Edwards-Anderson em uma rede quadrada no

plano T − p, em que p é a concentração de ligações antiferromagnéticas.

De acordo com o método numérico de Matriz Transferência [9] . . . . . . . 14

2.4 Parâmetro de ordem Edwards-Anderson q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Magnetização media para p = 0.05, para tamanhos de rede L=21, 26, 40, 55 32

4.2 Suscepitibilidade magnética para p=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Calor especí�co para p=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Magnetização média para redes de tamanho L=34, usando o método Wang-

Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Magnetização média de acordo com o método de Teoria de Campo Efetivo [34] 36

4.6 Ajuste do máximo da susceptibilidade magnética de acordo com a FSS para

p=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4.7 Colapso da susceptibilidade magnética (χc) para 95%(+J). Onde ν = 1.1

e γ/ν = 1.79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.8 Ajuste da Magnetização no ponto crítico de acordo com a FSS, mostrando

compatibilidade com o valor da razão entre os expoentes β/ν = 0.131(6)

para p = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.9 Ajuste do máximo do calor especí�co de acordo com a FSS para p = 0.05 . 40

4.10 Máximo do calor especí�co contra ln(L) para p=0.05 . . . . . . . . . . . . 41

4.11 Colapso do cumulante para a concentração p=0.05, ν = 1.05 e Tc = 1.967 . 42




4.15 Colapso do cumulante para a concentração p=0.05, ν = 1.10± 0.05 e para

Tc = 1.967± 0.006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.16 Susceptibilidade magnética média para p=0.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.17 Calor especí�co médio para p=0.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.18 Ajuste do máximo do calor especí�co de acordo com a FSS para p=0.10,

onde obtemos α/ν = −0.013207± 0.000188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.19 Ajuste do máximo da susceptibilidade magnética de acordo com a FSS para

p=0.10, onde obtemos γ/ν = 1.7518± 0.0024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.20 Colapso da susceptibilidade magnética (χc) para p = 0.10, onde ν = 1.35±

0.05 e γ/ν = 1.75± 0.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.21 Ajuste da Magnetização no ponto crítico de acordo com a FSS para p=0.10 50

4.22 Colapso do cumulante de Binder para p = 0.10 e para ν = 1.35± 0.05 . . . 51

4.23 Parâmetro de ordem q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4

Lista de Tabelas

5.1 A razão entre os expoentes críticos α/ν, β/ν, γ/ν e o expoente crítico ν

para diferentes valores de concentrações antiferromagnéticas p . . . . . . . 53

5

1Introdução

Há algum tempo muitas investigações teóricas e experimentais vem sendo realizadas

para entender a in�uência de desordem em sistemas físicos na matéria condensada na

presença ou ausência de �campo� externo. Um exemplo são os semicondutores diluidos

(DMS) [1], dopados com baixa concentração de impurezas magnéticas, e que têm atraido

muita atenção de teóricos e experimentais devido ao seu potencial tecnológico na área de

spintrônica [2]. Mais recentemente, cristais 2D [3] e quase 2D [4] começaram a ser fabrica-

dos e estudados graças às técnicas avançadas de decomposição, abrindo possibilidade para

a veri�cação e investigação de uma enorme variedade de modelos teóricos e fenômenos

físicos.

Sistemas magnéticos desordenados aleatoriamente como os vidros de spin, em que as

interações estão em competição umas com as outras devido a alguma desordem no sistema

são encontrados em muitos ferromagnetos fortemente diluidos. Nestes sistemas, uma pe-

quena porcentagem de íons magnéticos de Manganês(Mn) são diluidos aleatoriamente em

Cobre(Cu) para formar uma liga ( Cu-Mn ), em que as interações oscilam com a distância,

conhecida como interação RKKY [5, 6], podendo ser ferromagnéticas e antiferromagnéti-

cas. Edwards e Anderson( 1975) [5] então propuseram um modelo para estes sistemas,

chamado de modelo Edwards-Anderson em que as interações (Jij = ±J) são escolhidas

6

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 7

aleatoriamente de acordo com uma distribuição das interações de troca P (Jij), uma es-

colha mais comum é aquela em que as interações de troca (Jij = ±J) são distribuídas

com igual probabilidade. O modelo Edwards-Anderson também pode ser aplicado para

o caso mais geral em que uma quantidade maior de íons de Manganês(Mn) é diluida em

Cobre(Cu) com isso as interações de troca possuem uma probabilidade maior de serem

ferromagnéticas(+J) do que anti-ferromagnéticas(−J). Outras ligas como AuFe e CuFe

também podem ser modeladas da mesma forma [5,7].

Uma das propriedades dos sistemas vidros de spin é que apresentam um pico na sus-

ceptibilidade em uma temperatura bem de�nida, indicativo de uma transição de Fase. A

primeira evidência experimental de comportamento vidro de spin foi veri�cada experimen-

talmente no início da década de 70 por Cannella e Mydosh [8] na realização de medidas

da susceptibilidade magnética em ligas metálicas do tipo CuMn e AuFe, onde observaram

que a susceptibilidade apresentava um pico acentuado em uma temperatura bem de�nida

chamada de temperatura crítica Tc.

Entretanto, sistemas que apresentam desordem são difíceis de serem modelados e re-

solvidos exatamente por causa da distribuição espacial aleatória que quebra a simetria

translacional do cristal e com assim complica em muito a solução teórica do modelo [3].

Consequentemente, métodos numéricos como, método Monte Carlo, método de histogra-

mas; e métodos analíticos como, teoria de campo médio, teoria de grupo de renormaliza-

ção, teoria de campo efetivo e outros, tem sido desenvolvidos para abordarem estes sis-

temas desordenados. Neste trabalho usamos o algoritmo Wang-Landau para estudarmos o

modelo Edwards-Anderson. Sendo este um e�ciente algoritmo que permite encontrarmos

a densidade de estados g(E,M), ou seja, o número de todos os estados ou con�gurações

possíveis para uma determinada energia E e magnetização M do sistema, no qual é feita

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 8

uma estimativa direta de g(E,M) independente da temperatura, assim podemos construir

distribuições canônicas a qualquer temperatura. Conhecendo-se g(E,M) podemos então

calcular a função de partição.

Z =∑

{estados}

e−E/KBT =∑E,M

g(E,M)e−E/KBT , (1.1)

de posse da qual podemos encontrar todas as quantidades termodinâmicas do sistema.

2Desordem magnética

2.1 Introdução a desordem magnética

A importância da desordem está diretamente relacionado ao fato dos materiais reais

apresentarem algum tipo de impureza, ao longo dos anos foram feitos esforços no sentido

de modelar esses materiais. Como um cristal perfeito é caracterizado pela regularidade es-

pacial da rede, apresentando uma ordem translacional e pela regularidade na distribuiçao

dos átomos, apresentando uma ordem composicional, ou seja, os cristais perfeitos pos-

suem invariância translacional. Já quando se considera os cristais reais, essa invariância

translacional e composicional não existe, devido a imperfeições do cristal. Estas imper-

feições que são desordens na estrutura dos materiais podem ser classi�cadas da seguinte

forma:

1- Desordem substitucional ou composicional, este tipo de desordem acontece quando

uma célula unitária do material pode ser ocupada por mais de um tipo de átomos, que é

o caso das ligas binárias e em algumas vezes em estruturas biológicas, como no caso em

que uma molécula de água compartilha um sitio com sódio, cloreto ou outros íons.

2- Desordem posicional, quando o material não está regularmente distribuído na rede,

mas todos os átomos são de um único tipo e possuem o mesmo número de coordenação,

9

CAPÍTULO 2. DESORDEM MAGNÉTICA 10

o sistema está desordenado estrururalmente. Já quando o número de coordenação dos

átomos é variável, mesmo que haja um único tipo de átomo, o material é dito está des-

ordenado topologicamente, e que são exemplos desta clase de materiais, os materiais

amorfos, e vidros. Vale ressaltar que os materiais reais apresentam uma mistura dos três

tipos de desordem apresentada, conforme mostra a Fig. (2.1).

Figura 2.1: Tipos de desordem: (a) estrutura cristalina geral, (b) desordem substitucional,(c) desordem estrutural, (d) sistema real

A desordem ainda pode ser classi�cada como, congelada (estática) ou recozida (dinâmica),

que são desordens aleatórias. Também podemos ter desordem sequencial, em que as con-

�gurações do sistema seguem uma certa sequência.

A desordem congelada é caracterizada por um processo termodinâmico em que a tem-

peratura é aumentada e logo depois o sistema é resfriado rapidamente, impedindo que


haja uma variação da desordem com o tempo e que seus constituintes ocupem estados

que minimizem a energia livre do sistema. A energia livre para uma con�guração de

desordem ci é dada por:

F{ci} = − 1

βlnZ{ci}.

Logo, a energia livre do sistema é a sua média na desordem.

F{S} = 〈F{ci}〉 = − 1

β〈lnZ{ci}〉.

A desordem recozida é caracterizada por um lento resfriamento do sistema de modo

que a desordem evolui com o tempo, possibilitando que seus constituintes ocupem posições

de energia livre mínima. Logo os efeitos de correlação não permitem uma distribuição

aleatória. Como a desordem varia no tempo, temos que levar em conta a desordem no

hamiltoniano e somente posteriormente calcular a função de partição e as propriedades

termodinâmicas. A função de partição pode ser escrita como:

Z = 〈Z{ci}〉 = Tr{ci}(e−βH),

e a energia livre do sistema é dada por:

F{S} = − 1

βln〈Z{ci}〉.

A desordem congelada pode ser de vários tipos: por sitio em que um sitio está ocupado

ou não; por ligação em que existe ou não interação entre sitios vizinhos; e o caso em que

as interações são diferentes, por exemplo o caso em que as interações são ferromagnéticas

ou anti-ferromagnéticas com probabilidade p para ligação +J e (1 − p) para ligação −J ,


que é objeto de estudo deste trabalho.

A desordem sequencial é aquela em que os sitios seguem uma certa sequência �xa de

sitios magnéticos e não magnéticos, ou de ligações ferromagnéticas e anti-ferromagnéticas.

2.2 Modelo Edwards-Anderson (±J)

Omodelo Edwards-Anderson [5] é um modelo em que a amplitude e o sinal da interação

spin-spin ( J ) varia aleatoriamente de ligação para ligação. Neste modelo os spins em

sitios vizinhos em uma rede interagem uns com os outros. Quando a interação favorece

o alinhamento paralelo dos spins a ligação é chamada ferromagnética, enquanto a ligação

favorecendo o alinhamento antiparalelo é chamada antiferromagnética. A hamiltoniana

do modelo é dada por,

H = −∑〈i,j〉

JijSiSj, (2.1)

onde a soma é sobre todos os pares de sitios primeiros vizinhos. Neste trabalho escolhemos

as interações entre os sitios Jij = ±J .

O modelo apresenta frustração ou competição entre as interações, uma vez que as

interações não são todas satisfeitas devido a competição entre as mesmas. Um exemplo de

frustração é mostrado na Fig. (1), que mostra quatro sitios ao redor de um quadrado com

uma interação antiferromagnética (negativa) e três interações ferromagnética (positiva).

Figura 2.2: Exemplo de frustração.


Neste trabalho as interações de troca Jij são variáveis aleatórias descorrelacionadas(

congelada), onde seus valores ±J são dados pela seguinte distribuição de probabilidade:

P (Jij) = pδ(Jij + J) + (1− p)δ(Jij − J). (2.2)

onde p é a concentração de ligações (−J ). Para p = 0, temos o modelo Ising ferromagneto,

enquanto para p = 1/2 temos o modelo Edwards-Anderson vidro de spin, o diagrama de

fase para o Modelo Edwards-Anderson (±J) é mostrado na �gura (2.2) [9]. A intersecção

da linha de Nishimori com a linha de transição Ferro-Para deve possuir um ponto �xo,

este ponto é chamado de ponto de Nishimori (N) abaixo do qual a transição Ferro-Para

deixa de existir e uma nova classe de universalidade pertencendo à família de pontos �xos

fortemente desordenados passa a existir [9]. Para o caso bidimensional é esperado que

apresente uma fase vidro de spin somente a temperatura zero [10]. Na linha de Nishimori,

a energia interna pode ser calculada exatamente e um limite superior pode ser dado ao

calor especí�co [11]. Para a distribuição de probabilidade da Eq. (2.2) a linha de Nishimori

é dada por:

eβ =1− pp

(2.3)

onde β = 1/KBT e p é a concentração de ligações (−J )

Modelo Edwards-Anderson vidro de spin (±J)

Sistemas como vidro de spin são difíceis de simular, devido a um grande tempo de

relaxação. Em 1976, Binder e Schröder encontraram um �pico� na susceptibilidade. E

em 1980 através de trabalho feito por simulações numéricas e método recursivo numeri-


Figura 2.3: Diagrama de fase do modelo Edwards-Anderson em uma rede quadrada noplano T − p, em que p é a concentração de ligações antiferromagnéticas. De acordo como método numérico de Matriz Transferência [9]

camente exato, Binder sugeriu que Tf = 0 para d = 2 [12]. Em 1985, Ogielski construiu

um computador com o propósito de estudar estes sistemas para mostrar que Tf = 0 para

d = 2, mas Tf ≈ 1.2 para d = 3 [13].

O modelo Edwards-Anderson vidro de spin (±J) mais estudado, corresponde ao caso

em que as interações de troca Jij são variáveis aleatórias de mesma intensidade (J) e

p = 0.5 na distribuição de probabilidade da Eq.(2.2), apresentando uma fase onde os

spins �cam congelados a baixa temperatura devido a frustração do sistema. Edwards e

Anderson então propuseram um parâmetro de ordem para o modelo [5], que é chamado

de �parâmetro de ordem de Edwards-Anderson( q)� [5,14,15], e que é dado pela Eq.(2.4)

q ≡ 〈N∑i=1

S0i Si/N〉, (2.4)

onde S0i corresponde a uma das con�gurações de spin do estado fundamental �ground


state�, e Si é qualquer con�guração de spin durante o passeio aleatório, e que é similar

ao parâmetro de�nido por Edwards-Anderson [5]. O parâmetro de�nido dessa forma foi

facilmente aplicado em simulações numéricas por Binder [12]. Um esboço do prâmetro de

ordem é mostrado na Fig.(2.4)

Figura 2.4: Parâmetro de ordem Edwards-Anderson q

onde,

q =

1, se T = 0

6= 0, se 0 ≤ T < Tc

0, se T ≥ Tc

podendo a intensidade de q a T = 0 ser diferente de um devido à degenerescência do

estado fundamental �ground state�. O estado vidro de spin é caracterizado pela magne-

tização zero m = 〈Si〉 = 0 e q = 〈Si〉2diferente de zero, 〈...〉2 é a média con�guracional

para um arranjo particular de interações Jij, e a barra é a media sobre todas as possíveis

distribuições de Jij. Para o caso �congelado� somente é necessária a média con�guracional

já que esta não muda com o tempo.


2.3 Modelo Ising ferromagneto 2D diluído por sitio e

diluído por ligação

O modelo Ising ferromagneto diluído é um dos modelos mais estudados na atuali-

dade. Vários trabalhos foram realizados usando-se tanto diluição por sitio [16�22], quanto

diluição por ligação [23�27].

O modelo Ising 2D diluído por sitio é descrito pela seguinte Hamiltoniana:

H = −J∑〈i,j〉

∈ij SiSj (2.5)

Os coe�cientes ∈ij chamados variáveis de ocupação são variáveis aleatória descorrela-

cionadas. Escolhidas para serem iguais a um com probabilidade p quando o sitio i está

ocupado, e zero com probabilidade q = 1−p do sitio não está ocupado, que é a distribuição

de probabilidade.

P (∈ij) = (1− p)δ(∈ij) + pδ(∈ij −1) (2.6)

Já o modelo Ising 2D diluído por ligação é descrito pela seguinte Hamiltoniana:

H = −J∑〈i,j〉

∈ij SiSj, (2.7)

onde agora a variável de desordem (∈ij) está relacionada a interação de troca (J), que

são escolhidas para serem igual a um com probabilidade p quando existe interação e zero

com probabilidade q = 1− p, que é a distribuição de probabilidade da eq.( 2.6 ).

3Monte Carlo

3.1 Introdução

A ideia de se fazer cálculos usando o método de Monte Carlo [28] é mais velha do que o

computador, quando os cálculos eram feitos usando caneta e papel, mas só recentemente

recebeu o nome de �Monte Carlo� dado por Nicolas Metropolis em 1949 e sob o nome de

�amostragem estatística�. Nos últmos anos o método vem sendo aprimorado, e algoritmos

foram criados para tornar o método mais e�ciente, dentre estes se destaca o algoritmo

de Metropolis e o de Wang-Landau. O método atualmente vem sendo muito aplicado

no estudo de transição de fase, que são sistemas complexos de difícil resolução e que

são estudados por métodos de aproximação, analíticos ou numéricos. Com os avanços

dos computadores que se tornam cada dia mais potentes, o método de Monte Carlo vem

ganhando destaque por sua resolutividade e por sua e�ciência no estudo de fenômenos

críticos, e que vem revolucionando esses estudos.

3.2 Processos de Markov

Geramos uma cadeia Markoviana de con�gurações (xo, x1, ..., xi),tal que a con�guração

xi+1 depende somente da con�guração anterior xi, esse processo é chamado de processo

17

CAPÍTULO 3. MONTE CARLO 18

de Markov. Então a probabilidade de se obter xi+1 de xi é dada pela probabilidade de

transição W (xi+1 | xi).

Como queremos obter amostras de con�gurações de spin onde o fator de Boltzmann

exp[−H(x)/KbT ] tem um pico, mas a priori não conhecemos quais são essas regiões.

Suponhamos então que inventamos um processo pelo qual estados são gerados de acordo

com a importancia da contribuição da magnetização ou qualquer outro observável, este

processo é o processo de markov, com uma adequada probabilidade de transição por

importância de uma con�guração a outra.

A condição de ergodicidade é requerida no processo de Markov para que a partir de

qualquer estado do sistema qualquer outro estado posssa ser acessado, sendo necessário

para gerar estados com a probabilidade de Boltzmann correta. Para sistemas no equilíbrio

outra condição necessária é a de balanço detalhado, que é a condição que assegura que a

distribuição gerada pelo sistema após atingir o equilíbrio é a distribuição de Boltzmann,

em que no equilíbrio a taxa de transição de qualquer estado para qualquer outro seja a

mesma. Podemos expressá-la da seguinte forma:

∑ν

pµP (µ→ ν) =∑ν

pνP (ν → µ) (3.1)

Como, ∑ν

P (µ→ ν) = 1 (3.2)

Substituindo a Eq.(3.2) na Eq.(3.1) temos,

pµ =∑ν

pνP (ν → µ) (3.3)

para qualquer conjunto de probabilidades de transição satisfazendo esta equação, a dis-


tribuição de probabilidade pµ estará no equilíbrio da dinâmica do processo de Markov.

A probabilidade de transição é escolhida tal que a distribuição dos estados (x0, x1, ..., xn)

é a distribuição de Boltzmann.

P (x) ∝ exp

(−H(x)

KBT

)(3.4)

Devemos então escolher uma probabilidade de transição, que garanta que os estados

sejam gerados de acordo com a lei de Boltzmann.

Suponha que ao inverter um spin de Si para −Si há perda de energia, como quere-

mos sempre está próximo do estado fundamental do modelo devemos aceitar tal movi-

mento com probabilidade um. Então no caso onde a mudança na energia ∆H é negativa,

∆H = H(xnovo) − H(xvelho) temos W (xnovo | xvelho) = 1. Entretanto deste modo cer-

tamente �caremos preso em um mínimo local de energia. Para evitar isto aceitamos

movimentos que aumentam a energia, mas para o caso em que aumenta muito temos

baixa probabilidade. Enquanto que se a mudança na energia é pequena, aceitamos o

movimento com uma alta probabilidade, deste modo podemos sair de um mínimo local

de energia. A probabilidade de transição é então dada por:

W (xi + 1 | xi) = min

[1, exp

(−∆H(x)

KBT

)](3.5)

que é chamada função Metropólis. Existem outras escolhas, por exemplo a função Wang-

Landau:

W (xi + 1 | xi) = min

[1,g(E ′(x))

g(E ′′(x))

]

O objetivo mais comum das simulações de Monte Carlo em sistemas térmicos por

exemplo, é obter a média termodinâmica ou valor médio 〈Q〉 de uma certa quantidade


observável Q, Cujo valor médio é dado pela Eq.(3.6)

〈Q〉 ≡∑

iQie−βEi∑

i e−βEi

, (3.6)

a Eq.(3.6) somente é tratável para sistemas muito pequenos. Em sistemas grande o que

fazemos é uma média sobre um subconjunto de estados, pois muitos estados são acessíveis.

Porém sabemos que podemos selecionar m estados {i1, . . . , im}, mais signi�cativos.

QM =

∑Mi=1Qie

−βEi∑Mj=1 e

−βEj

, (3.7)

QM é o valor estimado de 〈Q〉, como as energias Ei são degeneradas, ou seja, existem

vários estados com uma mesma energia Ei. A equação (3.7) pode ser reescrita como:

QM =

∑EiQig(Ei)e

−βEi∑Ejg(Ej)e−βEj

, (3.8)

onde g(Ei) é o número de estados com energia Ei

3.3 Quantidades termodinâmicas

Conhecendo a densidade de estados g(E,M), podemos calcular quantidades termodinâ-

micas diretamente como, energia interna U , magnetização M , energia livre de Helmotz F ,

entropia S . E suas derivadas termodinâmicas, como: calor especí�co C e susceptibilidade

magnética χ, de acordo com as equações abaixo:

U(T ) = 〈E〉T =

∑E,M Eg(E,M)e−E/KBT

N∑

E,M g(E,M)e−E/KBT(3.9)


M(T ) = 〈M〉T =

∑E,M Mg(E,M)e−E/KBT

N∑

E,M g(E,M)e−E/KBT(3.10)

C(T ) =∂U(T )

∂T=N(〈E2〉T − 〈E〉2T )

T 2(3.11)

χ =∂M

∂H=N(〈M2〉 − 〈M〉2)

KBT(3.12)

F = −KBT log(Z) (3.13)

S =U(T )− F (T )

T(3.14)

Z =∑E,M

g(E,M)e−E/KBT (3.15)

onde Z é a Função Partição do sistema.

3.4 Método Wang-Landau

3.4.1 Método de histograma

A ideia de construir histogramas via simulações de Monte Carlo não é nova, mas somente

nos últimos anos foi aplicada com sucesso no estudo de fenômenos críticos por Ferrenberg

e Swendsen [29] em 1988.

O Método de hisograma [32] realiza uma simulação de Monte Carlo a uma temperatura

T = T0 gerando con�gurações com uma frequência proporcional ao peso de Boltzmann,

exp[−K0H], onde K0 = 1/KBT0 e H é a hamiltoniana do modelo em estudo. Logo a

probabilidade de observar o sistema com energia E e magnetizaçãoM a uma temperatura

T0 é dada por

PK0(E,M) =1

Z(K0)W (E,M) exp[K0E], (3.16)


onde W (E,M) é a densidade de estados, ou seja, o número de estados com energia E e

magnetizaçãoM e Z(K0) é a função de partição do sistema a uma temperatura T0. Assim

um histograma H(E,M) do número de vizitas no espaço da energia E e da magnetização

M é armazenado, em que H(E,M)/N , onde N é o número de medidas feitas fornece uma

estimativa para a distribuição de probabilidade PK0(E,M). Logo podemos fazer uma

estimativa para a densidade de estados W (E,M), invertendo a Eq.(3.16) e substituindo

PK0(E,M) por H(E,M)/N , obtemos

W (E,M) =Z(K0)

NH(E,M) exp[K0E], (3.17)

com este resulado podemos calcular a distribuição de probabilidade para qualquer K, onde

PK(E,M) =H(E,M)e(K−K0)E∑H(E,M)e(K−K0)E

(3.18)

Conhecendo-se então PK(E,M), podemos encontrar o valor médio de qualquer função

f(E,M),

〈f(E,M)〉K =∑

f(E,M)PK(E,M). (3.19)

A capacidade de variar K continuamente e portanto a temperatura faz o método de

histograma ideal para localizar máximos em picos estreitos, que ocorrem geralmente em

diferentes derivadas termodinâmicas divergentes. Dessa forma, o método de histograma

possibilita estudar o comportamento crítico com resolução sem precedentes.

3.4.2 Algoritmo Wang-Landau

O algoritmo Wang-Landau [30, 31] é baseado na observação de que se realizarmos um

passeio aleatório no espaço da energia e da magnetização, invertendo spins aleatoriamente


para um sistema de spin, a probabilidade de visitar um dado nível de energia E e magneti-

zação M é proporcional a densidade de estados 1/g(E,M), então um �plano� histograma

é gerado para a distribuição de energia e magnetização. Isto é realizado modi�cando a

densidade de estados de um modo sistemático para produzir um �plano� histograma sobre

o intervalo de energia e magnetização, e simultaneamente fazendo g(E,M) convergir para

o verdadeiro valor. A função g(E,M) é modi�cado constantemente durante cada passo

ao longo do passeio aleatório e usa-se a densidade de estados atualizada para realizar mais

um passeio aleatório no espaço da energia e magnetização. Um fator de modi�cação f é

controlado cuidadosamente, e no �nal da simulação ele deve ser próximo de 1 que é o caso

ideal do passeio aleatório com a verdadeira densidade de estados.

Inicialmente g(E,M) é desconhecida, e a mais simples aproximação é iniciar o conjunto

dos g(E,M) = 1, para todas as possíveis energias E e magnetizações M . Então, um

passeio aleatório no espaço da energia e da magnetização é iniciado invertendo spins

aleatoriamente com uma dada probabilidade proporcional a 1g(E,M)

. Se E1 ,M1 e E2 ,M2

são as energias e magnetizações antes e após o spin ser invertido, a probabilidade de

transição do nível de energia e magnetização E1 ,M1 para E2 ,M2 é dada por

p(E1,M1 → E2,M2) = min

[g(E1,M1)

g(E2,M2), 1

](3.20)

Cada vez que um nível de energia E e magnetização M é visitado, o valor existente é

multiplicado pelo fator de modi�cação f > 1, ou seja, g(E,M)→ g(E,M)∗f ( é preferível

se trabalhar com ln(g(E,M))→ ln(g(E,M)) + ln(f), tal que todos os possíveis g(E,M)

sejam ajustados dentro de números de dupla precisão), caso o passeio aleatório rejeite

um movimento g(E,M) também é modi�cado com o mesmo fator de modi�cação. Uma

boa escolha para o fator de modi�cação inicial é escolher f = f0 = e1 ' 2.71828..., o que


permite g(E,M) se desenvolver rapidamente. Se f0 for muito pequeno, o passeio aleatório

levará um tempo muito longo para checar todas as possíveis energias e magnetizações.

Entretanto se tomarmos f0 muito grande, teremos grandes erros estatísticos. Durante o

passeio aleatório, o histograma H(E,M) ( o número de visitas a cada nível de energia E e

magnetização M ) é acumulado, e quando ele é aproximadamente �plano�, a densidade de

estados terá convergido para o verdadeiro valor com uma precisão proporcional ao fator de

modi�cação ln(f). O fator de modi�cação é então reduzido e f1 =√f0, e o histograma é

zerado, e começa-se um novo passeio aleatório. Este processo iterativo continua até o fator

de modi�cação ser menor que um valor prede�nido, ou seja, ffinal = 10−8 ' 1.00000001.

O fator de modi�cação atua como um parâmetro de controle da precisão de g(E,M)

durante a simulação, e também determina quantos passos de Monte Carlo são necessários

para a simulação inteira. É impossível obter-se um histograma perfeitamente ��at�, e

a frase �histograma �at� signi�ca que todos os histogramas de energias e magnetizações

visitadas não são menores do que x% da média do histograma 〈H(E,M)〉, onde x% é

escolhido de acordo com o tamanho e complexidade do sistema e a precisão desejada de

g(E,M). Um vínculo essencial é que g(E,M) deve convergir para o verdadeiro valor. A

precisão de g(E,M) é proporcional a ln(f) em que iteragem. Entretanto, ln(ffinal) não

pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, ou o ln(g(E,M)) modi�cado não diferirá do

anterior por um número de dígitos signi�cantes. Caso isto aconteça o algoritmo já não

convergirá e o programa poderá rodar para sempre.

Note que o algoritmo não satisfaz a condição de balanço detalhado exatamente (espe-

cialmente para estágios iniciais de iteração), uma vez que g(E,M) é modi�cado constan-

temente durante o passeio aleatório. Entretanto após muitas iterações ela rapidamente

converge para o verdadeiro valor quando f → 1. Se p(E1,M1 → E2,M2) é a probabili-


dade de transição do nível de energia E1 e magnetização M1 para o nível de energia E2

e magnetização M2 , da Eq.(3.20) a razão das probabilidades de E1 ,M1 para E2 ,M2 e de

E2 ,M2 para E1 ,M1 é dada por:

p(E1,M1 → E2,M2)

p(E2,M2 → E1,M1)=g(E1,M1)

g(E2,M2)(3.21)

Onde g(E,M) é a densidade de estados. Em outas palavras, o algoritimo de passeio

aleatório satisfaz o balanço detalhado.

1

g(E1,M1)p(E1,M1 → E2,M2) =

1

g(E2,M2)p(E2,M2 → E1,M1) (3.22)

Neste trabalho usamos um critério de �plano� histograma diferente no algoritimo

Wang-Landau, dependente do tamanho da rede e da concentração p. Para p = 0 .05

e L = 21, 26 usamos o seguinte critério, o histograma será �plano� quando 0 .30 ∗ N ∗ N

das entradas no histograma forem maiores que 2000, onde N = L ∗ L. Já para L=40,

0 .20 ∗ N ∗ N e para L = 55, 0 .15 ∗ N ∗ N . Enquanto que para p = 0 .10 o critério

escolhido é diferente apenas para L = 55 que é 0 .20 ∗ N ∗ N .

Já para p = 0 .15 e para o caso vidro de spin. Usamos um critério diferente, onde o

histograma é considerado �plano� quando depois de N ∗10 6 passos, o número de entradas

no histograma maiores que 2000 permanecem praticamente os mesmos. Esses critérios

foram escolhidos de acordo com a complexidade e tamanho do sistema, ou seja, quanto

maior o tamanho e a desordem do sistema maior é o esforço computacional necessário

para o desenvolvimento do mesmo, e dependendo do critério escolhido o programa pode

rodar sem parar.


3.4.3 Implementação do algoritimoWang-Landau ao modelo Ising.

O modelo Ising com interação entre sitios primeiros vizinhos em uma rede quadrada

LXL, possui a seguinte expressão para a energia do sistema:

E = −J∑〈i,j〉

SiSj. (3.23)

Em vez de recalcular a energia toda vez que um spin é invertido, somente a diferença na

energia é calculado. Por exemplo, para 8 spins em um arranjo unidimensional, temos:

−Ek = S0S1 + S1S2 + S2S3 + S3S4 + S4S5 + S5S6 + S6S7 + S7S0 (3.24)

onde a interação entre S0 e S7 é devido ao uso de condições de contorno periódicas. Se o

spin 5 é invertido, a nova energia é:

−Ek+1 = S0S1 + S1S2 + S2S3 + S3S4 − S4S5 − S5S6 + S6S7 + S7S0 (3.25)

e a diferença na energia é:

∆E = Ek+1 − Ek = 2(S4 + S6)S5. (3.26)

Já para um rede quadrada bidimensional de tamanho 8X8, a diferença na energia quando

o spin Si,j é invertido, é dada por:

∆E = 2Si,j(Si+1,j + Si−1,j + Si,j+1 + Si,j−1), (3.27)


que pode assumir os valores; −8,−4, 0, 4, 8, onde existem dois estados de energia mínima

−2N para um sistema 2-D com N spins, e elas correspondem a todos os spins na mesma

direção( para cima, ou para baixo). A energia máxima +2N é obtida alternando a direção

dos spins vizinhos. Cada vez que um spin da rede é invertido, a energia muda de quatro

unidades e a magnetização muda de 2 unidades entre estes limites, e assim os valores da

energia e magnetização são:

Ei = −2N,−2N + 4,−2N + 8, ..., 2N − 8, 2N − 4, 2N. (3.28)

Mi = N,N − 2, N − 4, N − 6, ...,−N + 4,−N + 2,−N. (3.29)

Estas energias e magnetizações, podem ser armazenadas em um arranjo unidimensional

via um simples mapeamento,

E ′ = (E + 2N)/4⇒ E ′ = 0, 1, 2, ..., N. (3.30)

M ′ = (M +N)/2⇒M ′ = N, ..., 2, 1, 0. (3.31)

3.4.4 Implementação do algoritimoWang-Landau ao modelo Edwards-

Anderson (±J) vidro de spin.

Para encontrarmos a energia do estado fundamental, usamos o próprio Wang-Landau

que é muito e�ciente em sua determinação, bastando para isto realizarmos um único

passeio aleatório no espaço da energia e da magnetização. Ao encontrarmos o estado

fundamental salvamos então esta con�guração para podermos calcular o parâmetro de


ordem (q) de acordo com a Equação (3.32)

q ≡ 〈N∑i=1

S0i Si/N〉, (3.32)

após termos encontrado o estado fundamental iniciamos um novo passeio aleatório, agora

no espaço da energia e do parâmetro de ordem Edwards-Anderson (q)

3.5 Teoria de escala de tamanho �nito

A teoria de escala de tamanho �nito [32, 33] , descreve muitas propriedades de um

sistema �nito de dimensão linear L com condições de contorno periódicas em termos do

tamanho relativo do comprimento de correlação ξ e do tamanho da rede L. Próximo a

Tc, ξ ∼| T −Tc |−ν e então os efeitos de tamanho �nito aparecem quando | T −Tc |−ν∼ L.

Esta aproximação troca a parte �singular� da energia livre F (L, T ) de um sistema �nito a

temperatura T por uma forma escalar que depende de uma única variável x = tL1/ν , em

decorrência da auto-similaridade, ou homogeneidade

F (L, T ) = L(−2+α)/νf(x), (3.33)

onde t =| 1 − T/Tc | é a temperatura reduzida. Como consequência desta expressão

escalar as grandezas derivadas da energia livre, também podem ser expressas como uma

simples forma escalar.

m = L−β/νX(x) (3.34)

χ = Lγ/νY (y) (3.35)

C = Lα/νZ(z), (3.36)


para o parâmetro de ordem, susceptibilidade, e calor especí�co respectivamente. Todas

as propriedades termodinâmicas exibem um comportamento de lei de potência como uma

função de L determinadas unicamente pelos correspondentes expoentes críticos da rede

in�nita. Em Tc, ou seja em x = 0, as funções escalares X(0), Y (0), Z(0) se reduzem a

constantes e portanto,

M ∝ L−β/ν (3.37)

χ ∝ Lγ/ν (3.38)

C ∝ Lα/ν (3.39)

Uma �temperatura de transição efetiva� Tc(L) pode ser de�nida como a posição do

máximo do calor especí�co ou do máximo da susceptibilidade, e isto pode estar relacionado

à temperatura crítica da rede in�nita por:

Tc(L) = Tc + aL−1/ν . (3.40)

Todas estas expressões são válidas somente para L grande e para t no regime crítico

assintótico.

Usaremos a teoria de escala em nosso trabalho para extrair os expoentes críticos em

algumas concentrações consideradas. No próximo capítulo, apresentaremos os resultados

obtidos e discutiremos os mesmos de forma detalhada.

4Resultados e discussão

4.1 Introdução

Quando é introduzido desordem em um sistema, de acordo com o criterio de Harris [33]

se o expoente do calor especí�co é tal que α > 0, os expoentes críticos do sistema com

a introdução de desordem serão diferentes dos do sistema puro e se α < 0 os expoentes

críticos não mudam. Para o modelo Ising bidimensional ferromagneto, é conhecido da

solução exata que α = 0 sendo esta uma situação marginal.

Neste trabalho os dados foram obtidos analisando várias amostras, usando o algoritmo

Wang-Landau no espaço da energia e da magnetização, onde través da densidade de

estados g(E,M) estimada precisamente, podemos calcular a função de partição do sistema

Z(β) =∑

E,M g(E,M)e−βE e através desta calcular as quantidades termodinâmicas. Este

método se torna muito prático, já que de posse da densidade de estados, construída

iterativamente durante o passeio aleatório, podemos calcular as quantidades de interesse

à qualquer temperatura. Como as ligações são escolhidas aleatoriamente, para cada valor

da concentração p e do tamanho da rede L foram produzidas várias amostras para uma

mesma concentração p e mesmo tamanho de rede L, e foram realizadas médias sobre estas

amostras com o intuito de estudarmos o comportamento do modelo Edwards-Anderson 2D

30

CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 31

(±J). Calculamos as seguintes grandezas média [M(p, L)], [C(p, L)], [χ(p, L)], [U(p, L)]

que são, magnetização, calor especí�co, susceptibilidade e cumulante de quarta ordem,

respectivamente. A média foi feita sobre X amostras, de acordo com as seguintes equações

[M(p, L)] =1

X

X∑x=1

mx(p, L), (4.1)

[C(p, L)] =1

X

X∑x=1

cx(p, L), (4.2)

[χ(p, L)] =1

X

X∑x=1

χx(p, L), (4.3)

[U(p, L)] =1

X

X∑x=1

ux(p, L), (4.4)

onde mx(p, L), cx(p, L), χx(p, L) e ux(p, L), são os valores dessas grandezas para uma

mesma concentração p e tamanho de rede L. Aplicando a teoria de escala de tamanho

�nito ( �nite size scaling-FSS ) no ponto crítico (T = Tc), temos

[M(p, L)] ∝ L−β/ν (4.5)

[C(p, L)] ∝ Lα/ν (4.6)

[χ(p, L)] ∝ Lγ/ν (4.7)

Para o modelo Edwards-Anderson (EA), �zemos medidas com concentrações de ligações

anti-ferromagnéticas (−J ) para p = 0 , 0 .05 , 0 .10 e 0 .15 . Para p = 0.05 �zemos médias

sobre as amostras, onde geramos 40 amostras para as redes L=21, 26; 20 amostras para

L=40; e 20 amostras para L=55. Já para p = 0.10 geramos 40 amostras para as redes


L=21, 26, 30, 34; e 25 amostras para L=55. Já para p=0.15 geramos 30 amostras para

L=21, 26, e 34, observamos que quanto maior a concentração de ligações antiferromagnéti-

cas (p) maior é o esforço computacional para termos boas médias. Para determinarmos a

temperatura crítica para cada p, usamos o cumulante de Binder de quarta ordem,

UL = 1− 〈m4〉L

3〈m2〉2L, (4.8)

por ser muito preciso na determinação da temperratura crítica.

O resultado para p=0.05, ou seja, 5% (−J ) para a magnetização média é mostrado na

Fig. (4.1), onde observamos que a magnetização máxima por sitio não chega a ser igual

Figura 4.1: Magnetização media para p = 0.05, para tamanhos de rede L=21, 26, 40, 55


a um, e isso se deve à frustração do sistema, já que a menor energia do sistema( estado

fundamental) não corresponde a todos os spins pra cima.

Os resustados para p=0.05 para a susceptibilidade magnética média e calor especí�co

médio, são mostrados nas Fig.(4.2) e (4.3), respectivamente, em que observamos que a

Figura 4.2: Suscepitibilidade magnética para p=0.05

divergência aumenta com o tamanho da rede, e que isto é mais visível para a susceptibili-

dade magnética, já que para o calor especí�co esta divergência �ca quase estável, podemos

dizer então que o calor especí�co apresenta uma divergência logarítimica.


Figura 4.3: Calor especí�co para p=0.05

A magnetização média para p=0, 0.05, 0.1, 0.15, é mostrado na Fig. (4.4), onde

observamos que a medida em que o sistema possui mais interações antiferromagnéticas,

a magnetização do sistema diminui, chegando no limiar de percolação a um pc crítico

em que a magnetização vai a zero, em decorrência do aumento da concentração p que

faz com que a frustração e a energia do estado fundamental aumentem. O aumento da


frustração quebra a ordem de longo alcance, como mostra o parâmetro de ordem que vai

a zero à medida em que a frustração aumenta, mesmo em baixa temperatura. De acordo

com o método de matriz transferência [9] a concentração de percolação no modelo EA

é pc = 0.1094 ± 0.0002. Já de acordo com o método de Teoria de Campo Efetivo [34]

pc = 0.17, e que está em acordo com o nosso trabalho usando o método Wang-Landau,

uma vez que ainda temos ordem de longo alcance em p = 0 .15 .

Figura 4.4: Magnetização média para redes de tamanho L=34, usando o método Wang-Landau

Em que observamos que para p < pc o parâmetro de ordem (m) é uma função decres-

cente de p, ou seja, à medida em que p aumenta o parâmetro de ordem diminui, chegando


Figura 4.5: Magnetização média de acordo com o método de Teoria de Campo Efetivo [34]

a zero no limiar de percolação quando p = pc. Na Figura (4.5), p=1, 0.9, 0.85, equivale a

p=0, 0.1, 0.15 na Figura (4.4). O método de Teoria de Campo Efetivo [34] super estima

a temperatura crítica, já o método Wang-Landau dá uma melhor estimativa da temper-

atura crítica, podendo ser determinada pelo ponto de in�exão das curvas (ponto em que

ocorre a transição Ferro-Para).

Nas secções seguintes, usaremos a teoria de escala de tamanho �nito (FSS ) para

estimar os expoentes críticos no modelo Edwards-Anderson (EA) para as concentrações

de ligações antiferromagnéticas consideradas.


4.2 Concentração p = 0.05

Fizemos um ajuste para p=0.05 de acordo com a Eq.(4.7), em que encontramos a razão

para os expoentes γ/ν = 1.788 ± 0.007 em que a margem de erro é dada pelo próprio

programa grá�co no ajuste mostrado na Fig. (4.6), cujo valor está um pouco acima do

valor encontrado através da solução exata do modelo Ising ferromagneto bidimensional,

que é γ/ν = 1.75 [35]. Também foi feito um colapso para a susceptibilidade magnética

Figura 4.6: Ajuste do máximo da susceptibilidade magnética de acordo com a FSS parap=0.05


média, para os seguintes valores: γ/ν = 1.79± 0.02, e ν = 1.10± 0.05. Cujo resultado é

mostrado na Fig. (4.7), em que é observado que os dados ajustados de acordo com a FSS

está em acordo com o colapso feito.

Figura 4.7: Colapso da susceptibilidade magnética (χc) para 95%(+J). Onde ν = 1.1 eγ/ν = 1.79

Também analisamos a magnetização e o calor especí�co de acordo com a teoria de escala

de tamanho �nito, a�m de encontrarmos a razão entre os expoentes β/ν e α/ν, respecti-


vamente. Os resultados são mostrados nas Fig. (4.8) e Fig. (4.9), onde encontramos os

valores β/ν = 0.129 ± 0.014 e que está em acordo com o modelo de Ising ferromagneto

a campo externo nulo que é β/ν = 0.125 [35] e α/ν = 0.1157 ± 0.0078 em acordo com

o valor para o modelo Ising ferromagneto a campo externo nulo que é α = 0 [35], que

corresponde a uma divergência logarítimica do calor especí�co.

Figura 4.8: Ajuste da Magnetização no ponto crítico de acordo com a FSS, mostrandocompatibilidade com o valor da razão entre os expoentes β/ν = 0.131(6) para p = 0.05


Figura 4.9: Ajuste do máximo do calor especí�co de acordo com a FSS para p = 0.05

Na Fig. (4.10) observamos que C ∼ ln(L), ou seja, o calor especí�co médio diverge

logarítimicamente.


Figura 4.10: Máximo do calor especí�co contra ln(L) para p=0.05

Também colapsamos as curvas do cumulante de Bider para ν = 1.10 ± 0.10, onde

observamos que o melhores ajustes ocorrem para ν = 1.10 ± 0.05. Já os ajustes para

ν = 1.00 e ν = 1.20 não são bons, conforme mostra �guras (4.13) e (4.14),


Figura 4.11: Colapso do cumulante para a concentração p=0.05, ν = 1.05 e Tc = 1.967





Logo para p = 0.05 temos, ν = 1.10 ± 0.05 e que está um pouco acima do valor

encontrado da solução exata para o modelo Ising ferromagneto na ausência de campo


Figura 4.15: Colapso do cumulante para a concentração p=0.05, ν = 1.10 ± 0.05 e paraTc = 1.967± 0.006

externo que é ν = 1.00 [35].

4.3 Concentração p = 0.10

A susceptibilidade magnética média e o calor especí�co médio são mostrados nas Figuras

(4.16) e (4.17) respectivamente, em que observamos uma divergência na susceptibilidade


e um leve decréscimo no calor especí�co. Também observamos através da Fig.(4.18) que

o calor especí�co não diverge, ou seja, ele decai com o aumento do tamanho do sistema.

Figura 4.16: Susceptibilidade magnética média para p=0.10


Figura 4.17: Calor especí�co médio para p=0.10

Aplicando a FSS Para o calor especí�co, encontramos o valor para razão entre os ex-

poentes α/ν = −0.013207 ± 0.000188 ( a margem de erro é dada pelo próprio programa

grá�co), e que é mostrada na Fig. (4.18). Já de acordo com o método de Matriz Transfe-

rência [36] para p = 0.1094 tem-se que α/ν = −1.5 que aponta para um forte decaimento

do calor especí�co, e que está muito diferente do resultado que encontramos. Como o

valor máximo do calor especí�co decresce com o aumento do tamanho do sistema, temos

que o calor especí�co ( C ) é uma função decrescente de L, logo o expoente α é negativo.


Figura 4.18: Ajuste do máximo do calor especí�co de acordo com a FSS para p=0.10,onde obtemos α/ν = −0.013207± 0.000188

Aplicando a FSS para a susceptibilidade magnética, encontramos a razão para os ex-

poentes γ/ν = 1.7518±0.0024, cuja margem de erro é dada pelo próprio programa grá�co

e que é mostrada na Fig.(4.19), onde observamos que o valor para a razão γ/ν é o mesmo

encontrado para o modelo Ising puro bidimensional se considerada a margem de erro, que

é γ/ν = 1.75 [35].


Figura 4.19: Ajuste do máximo da susceptibilidade magnética de acordo com a FSS parap=0.10, onde obtemos γ/ν = 1.7518± 0.0024

No entanto de acordo com o trabalho de séries [36] tem-se o seguinte valor para a razão

entre os expoentes γ/ν = 1.80±0.09, e que está em acordo com o nosso trabalho levando-

se em conta a margem de erro. Já de acordo com o método de Matriz Transferência [36]

γ/ν = 1.80± 0.02, e que está um pouco acima do valor de γ/ν que encontramos.

O calapso feito para a susceptibilidade magnética para os valores de γ/ν = 1.75±0.02

e ν = 1.35 ± 0.05 é mostrado na Fig. (4.20), em que se observa que o colapso feito está


em acordo com a FSS.

Figura 4.20: Colapso da susceptibilidade magnética (χc) para p = 0.10, onde ν = 1.35 ±0.05 e γ/ν = 1.75± 0.02

Aplicando a FSS para a magnetização no ponto crítico, encontramos o seguinte valor

para a razão entre os expoentes críticos β/ν = 0.106 ± 0.011 ( a margem de erro é dada

pelo próprio programa grá�co ) e que é mostrada na Fig. (4.21), em que obtemos um valor

que se considerada a margem de erro no limite superior está em acordo com o modelo

Ising ferromagneto bidimensional a campo externo nulo que é β/ν = 0.12 [35].


Figura 4.21: Ajuste da Magnetização no ponto crítico de acordo com a FSS para p=0.10

O colapso para o cumulante de Binder pra ν = 1.35± 0.05 é mostrado na Fig. (4.22),

e que foi o melhor colapso que obtivemos. Temos então que o valor do expoente ν =

1.35 ± 0.05 que encontramos para p = 0.10 está em acordo com o valor encontrado

usando-se o método de Matriz Transferência [36] para p = 0.1094, que é ν = 1.33± 0.03.


Figura 4.22: Colapso do cumulante de Binder para p = 0.10 e para ν = 1.35± 0.05


4.4 Concentração p = 0.50 modelo Edwards-Anderson

vidro de spin

O parâmetro de ordem Edwards-Anderson q é mostrado na �gura abaixo, onde nota-

mos um decaimento com o aumento do tamanho do sistema. Sugerimos então que este

decaimento se mantém e vai a zero tendo uma transição somente a T = 0, o que concorda

com os resultados de simulações anteriores [12].

Figura 4.23: Parâmetro de ordem q

5Considerações �nais

Usamos o algoritmo Wang-Landau no estudo do modelo Edwards-Anderson(±J) para

diferentes concentrações p = 0.05, 0.10 de ligações antiferromagnéticas (−J). Os resulta-

dos são mostrados na tabela(5.1)

Tabela 5.1: A razão entre os expoentes críticos α/ν, β/ν, γ/ν e o expoente crítico ν paradiferentes valores de concentrações antiferromagnéticas p

α/ν β/ν γ/ν ν

p = 0 0 0.125 1.75 1.00(literatura)

p = 0.05 0.1157± 0.0078 0.129± 0.014 1.79± 0.02 1.10± 0.05

p = 0.10 −0.013207± 0.000188 0.106± 0.011 1.75± 0.02 1.35± 0.05

p = 0.1094 −1.5 1.80± 0.09 1.33± 0.03(literatura) [36]

Observamos através dos resultados apresentados na tabela (5.1), que as razões α/ν e

γ/ν, não se mantiveram para concentrações p diferentes de ligações antiferromagnéticas.

Observamos também que para p=0.10 e que está bem próximo do ponto de Nishimore,

a razão entre os expoentes γ/ν = 1.75 ± 0.02 está em acordo com o valor encontrado

da solução exata para o modelo de Ising ferromagneto a campo externo nulo que é 1.75.

Já a razão entre os expoentes α/ν = −0.013207 ± 0.000188 que corresponde não a uma

divergência, mas a um decréscimo do calor especí�co e que é diferente da solução exata do

53

CAPÍTULO 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 54

modelo Ising ferromagneto a campo externo nulo em que α = 0, que corresponde a uma

divergência logarítimica. Já a razão entre os expoentes β/ν decresce com o aumento da

concentração p, mas dentro da margem de erro. Enquanto que o valor do expoente ν =

1.35± 0.05 é diferente do encontrado para o modelo Ising ferromagneto a campo externo

nulo que é ν = 1.00, isto acontece por causa da frustração, causada pela competição entre

as interações e que quebra a ordem de longo alcance, com isto o expoente ν aumenta. Logo

os nossos resultados corroboram com um cenario de fraca classe de universalidade, ou seja,

o modelo Edwards-Anderson (±J) 2D está fracamente na mesma classe de universalidade

do modelo Ising ferromagneto 2D. Também observamos que os nossos resultados estão

em acordo com os encontrados da literatura, exceto para o calor especí�co.

Analizando os resultados para o Vidro de Spin em que p=0.50, vemos através do

parâmetro de ordem Edwards-Anderson que o modelo apresenta transição de fase somente

a T=0 e que está em acordo com outros trabalhos. Pretendemos futuramente estudar o

modelo vidro de spin em que as interações de troca seguem uma sequência de Fibonacci,

usando o algoritmo Wang-Landau.

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estudo do modelo ising desordenado … · a importância da desordem está diretamente relacionado...

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