UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE

SUZANNE BARUH SUSSKIND

ESTUDO DAS PERDAS DEPENDENTES DA POLARIZAÇÃO

NO ANEL DE RECIRCULAÇÃO ÓPTICO

São Paulo 2006

SUZANNE BARUH SUSSKIND

ESTUDO DAS PERDAS DEPENDENTES DA POLARIZAÇÃO

NO ANEL DE RECIRCULAÇÃO ÓPTICO

Dissertação apresentada à Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica.

ORIENTADORA: PROF.ª DR.ª MARIA APARECIDA G. MARTINEZ

São Paulo

2006

1

Dedico este trabalho ao meu marido e a minha filha.

2

AGRADECIMENTOS

A D’us, por possibilitar chegarmos a esta ocasião com saúde, paz e alegria.

A minha orientadora, Maria Aparecida G. Martinez, pela dedicação ao nosso trabalho e pela

grande amizade cultivada.

Ao meu marido, Rafael Susskind, pelo apoio em todos os momentos de dificuldade.

A minha filha Hanna Susskind, que iluminou minha vida.

A minha mãe, Perla Bark que sempre esteve ao meu lado.

A Mônica L. Rocha, Cláudio Florídia e Sérgio Szpigel pela ajuda e apoio na realização deste

trabalho.

3

RESUMO

O estudo experimental da Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss –

PDL) é realizado em um Anel de Recirculação Óptico (Recirculating loop - RCL). A PDL por

sua natureza estatística tem seu valor acumulado diferente da soma da PDL de cada elemento

que constitui o anel. Estudos teóricos são conduzidos utilizando o método da matrix de Jones

e Mueller para representar os diferentes elementos ópticos constituintes do anel. Erros

experimentais são introduzidos nos resultados teóricos e comparados com os resultados

experimentais. Verifica-se que uma despolarização em torno de 7% ocorre no aparato

experimental. Essa despolarização tem forte indicação de ser oriunda do amplificador óptico

devido a natureza não polarizada da emissão espontânea amplificada.

4

ABSTRACT

An investigation of Polarization Dependent Loss (PDL) behavior is performed in an

Recirculation Loop (RCL) experimental apparatus. The PDL statistical nature turns its

accumulated contribution in the RCL different from the sum of each different elements

contributions. Theoretical analyses are also performed using the Jones and Mueller matrix

approach to represent each element in the loop. Experimental errors are considered in the

theoretical results and compared with experimental ones. A 7% depolarization most likely due

to optical amplifier amplified spontaneous emission is identified in the experimental apparatus

5

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................11

2 POLARIZAÇÃO DA LUZ .......................................................................................14

2.1 POLARIZAÇÃO LINEAR .........................................................................................15

2.2 POLARIZAÇÃO CIRCULAR....................................................................................17

2.3 POLARIZAÇÃO ELÍPTICA ......................................................................................19

3 REPRESENTAÇÕES DA POLARIZAÇÃO DA LUZ..........................................24

3.1 VETOR DE JONES ....................................................................................................26

3.1.1 Polarização Linear.....................................................................................................27

3.1.2 Polarização Circular..................................................................................................28

3.1.3 Polarização Elíptica ...................................................................................................29

3.1.4 Aplicação ....................................................................................................................30

3.2 VETOR DE STOKES .................................................................................................32

3.3 MATRIZ DE MUELLER............................................................................................36

3.4 GRAU DE POLARIZAÇÃO ......................................................................................37

3.5 ESFERA DE POICARÉ..............................................................................................39

4 PERDAS DEPENDENTES DE POLARIZAÇÃO (PDL) .....................................40

4.1 DEFINIÇÃO................................................................................................................42

4.2 TÉCNICAS DE MEDIDA ..........................................................................................43

4.2.1 Técnica de escaneamento da Polarização ................................................................44

4.2.2 Técnica do Método de Mueller .................................................................................46

5 ANÁLISE EXPERIMENTAL E TEÓRICA ..........................................................52

5.1 DESCRIÇÃO DA MONTAGEM EXPERIMENTAL ...............................................53

5.2 ANÁLISE TEÓRICA..................................................................................................56

6

5.3 RESULTADOS ...........................................................................................................58

6 CONCLUSÃO.............................................................................................................68

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................70

ANEXOS ................................................................................................................................68

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Representação da polarização linear..........................................................17

Figura 2 - Representação da polarização circular à direita ........................................18

Figura 3 - Representação da elipse deslocada do eixo cartesiano..............................21

Figura 4 - Representação da ordem dos elementos ópticos........................................31

Figura 5 - Esfera de Poincaré .....................................................................................39

Figura 6 - Efeito da PDL em componentes ópticos passivos .....................................42

Figura 7 - Esquema de medidas de PDL (técnica de escaneamento de polarização).45

Figura 8 - Transformador de polarização com três anéis de fibra..............................46

Figura 9 - (a) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização

(b) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização ............47

Gráfico 1 - Acúmulo da PDL no RCL e no sistema em linha reta ..............................53

Figura 10 - Montagem experimental utilizada para a medição da PDL no RCL.........54

Figura 11 - Montagem experimental na Fundação CPqD............................................55

Figura 12 - Varredura da Esfera de Poincarè ...............................................................57

Gráfico 2 - Histograma teórico de valores de PDL normalizada .................................59

Gráfico 3 - Histograma experimental de valores de PDL normalizada .......................60

Gráfico 4 - PDL normalizada para o caso de 7% de depolarização por volta no anel.62

Gráfico 5 - PDL normalizada para o caso de 4% de depolarização por volta no anel.63

Gráfico 6 - PDL normalizada experimental para a primeira volta...............................64

Gráfico 7 - Comparação da PDL normalizada experimental para 1 volta e os valores

teóricos obtidos através da convolução com a função Gaussiana .............64

8

Gráfico 8 - Resultados numéricos comparados com a convolução com a Gaussiana .65

Gráfico 9 - Comparação dados experimentais e de simulação (DOP = 0,93) .............66

Gráfico 10 - Comportamento do valor médio de PDL acumulada por volta .................67

9

SIGLAS

BER Taxa de Erro de Bit (Bit Error Rate)

DOP Grau de Polarização (Degree of Polarization)

DSF Fibras com Dispersão Deslocada (Dispersion Shifted Fiber)

DUT Dispositivo sob teste (Device Under Test)

DWDM Multiplexação por Divisão de Comprimento de Onda Densa (Dense Wavelength

Division Multiplexing)

EDFA Amplificador de Fibra Dopada à Erbio (Erbium Doped Fiber Amplifier)

L+45 Luz com polarização linear com ângulo de 45 graus (Linear +45 degrees)

LHC Luz com polarização circular à esquerda (Left Hand Circular)

LHP Luz com polarização linear horizontal (Linear Horizontal Polarized)

LVP Luz com polarização linear vertical (Linear Vertical Polarized)

OADM Multiplexadores ópticos add/drop (Optical Add and Drop Multiplexing)

PDF Probability Density Function

PDL Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss)

PMD Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode Dispersion)

RCL Anel de Recirculação (Recirculating Loop)

RHC Luz com polarização circular à direita (Right Hand Circular)

SOP Estado de Polarização (State of Polarization)

WDM Multiplexação por divisão de comprimento de onda (Wavelength Division

Multiplexing)

10

1 INTRODUÇÃO

Os sistemas de comunicações que utilizam a fibra como meio de transmissão oferecem

uma largura de banda de dezenas de THz e perdas da ordem de décimos de dB por kilometro.

Essas características tornam esses sistemas extremamente atrativos para aplicações de longa

distância.

O desenvolvimento, montagem e estudo da transmissão de canais ópticos através de

elementos alternados com fibra é de grande importância não apenas para a implantação de

enlaces de longa distância, mas também para a avaliação da evolução da qualidade do sinal ao

passar por uma cascata de elementos (BARUH, 2003). Entretanto, a construção de um sistema

com elementos em cascata requer grandes investimentos associados à aquisição de vários

desses dispositivos e rolos de fibra.

A alternativa para este tipo de estudo é a montagem de um anel de recirculação

(Recirculating loop - RCL), que permite simular a transmissão por vários enlaces de fibra

com apenas um amplificador de linha, alguns filtros e dispositivos para testes e um rolo de

fibra, sendo assim, com um custo muito menor. Para efeito de pesquisas tecnológicas, um

sistema de longo alcance pode se tornar inviável, devido a fatores como custo e espaço físico

(BARROS, 2002).

A montagem de um RCL permite emular uma transmissão por vários enlaces de fibra e

analisar o desempenho, a taxa de erro de bit (Bit Error Rate – BER), além de fenômenos

específicos da luz no sistema.

O desempenho de sistemas é influenciado diretamente pela polarização da luz, e com o

aumento da taxa de transmissão e do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos

parâmetros à serem testados, como a Perda Dependente da Polarização (Polarization

Dependent Loss – PDL), e a Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode

11

Dispersion – PMD), cujo efeito principal é distorção do sinal, acumulativa ao longo da

distância (HENTSCHEL,2002).

Altas taxas de transmissão (10 Gb/s ou 40 Gb/s) requerem pulsos de curta duração e no

domínio da freqüência causam o alargamento do espectro. Para a obtenção de qualidade de

transmissão necessita-se de faixas espectrais com baixa PDL, para evitar a variação de

atenuação entre diferentes componentes de freqüência (AGILENT, 2002).

A PDL presente nos dispositivos deve ser caracterizada corretamente, com o objetivo de

prever o impacto no desempenho das novas gerações de sistemas DWDM1 (Dense

Wavelength Division Multiplexing ) de alta velocidade.

A PDL pode ser definida como a relação entre a máxima e a mínima transmissão através

de um dispositivo óptico, considerando-se todos os estados de polarização da luz (State of

Polarization – SOP) (AGILENT, 2002).

Usualmente, dispositivos ópticos, como isoladores, acopladores e amplificadores de

fibra dopadas à érbio (Erbium Doped Fiber Amplifier – EDFA) podem apresentar uma PDL

superior à 0,3 dB, com flutuações de até 0,1 dB, conforme as condições ambientais, isto é,

temperatura, umidade ou stress da fibra (VINEGONI, 2004).

Para estimar o valor da PDL de um sistema óptico, utiliza-se a análise estatística da PDL

total acumulada, pois o alinhamento entre os elementos com PDL muda com o tempo,

dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura (FUKADA, 2002).

Segue abaixo uma sucinta descrição do conteúdo deste documento.

No Capítulo 2 serão analisados os diferentes tipos de polarização da luz e suas

representações matemáticas na forma cartesiana. No Capítulo 3, serão apresentados os

formalismos matemáticos, tais como Vetor de Jones e Stokes, entre outros, utilizados para

representar os diversos SOPs e conseqüentemente a PDL.

1 Sistemas DWDM se caracterizam por utilizar a múltiplas portadores ópticas com espaçamento menor do que 50GHz.

12

O Capítulo 4 trata do estudo e das técnicas de medida da PDL e no Capítulo 5 são

apresentados os resultados experimentais e teóricos obtidos.

13

2 POLARIZAÇÃO DA LUZ

A luz é uma onda eletromagnética constituída de campos elétricos e magnéticos

variantes no espaço e tempo. No estudo da polarização da luz analisa-se apenas campo

elétrico ( Er

), pois na maioria dos meios ópticos, as interações físicas com a luz envolvem o

campo elétrico (HECHT, 1998).

A luz ao interagir com um meio dielétrico produz uma oscilação nas cargas ligadas do

material, induzindo dipolos elétricos e conseqüentemente uma polarização no meio. Essa

polarização induzida é dependente da direção do campo elétrico da luz (polarização da luz).

A polarização da luz refere-se ao comportamento do vetor campo elétrico Er

em

função do tempo t, num determinado ponto fixo no espaço z. A variação no tempo é senoidal,

portanto o campo elétrico oscila numa freqüência definida. Assumindo que a luz se propaga

na direção z, o campo elétrico irá surgir predominantemente, no plano xy. A componente x

pode oscilar independentemente da componente y e o efeito produzido pelas duas oscilações

independentes resulta numa variedade de comportamentos do vetor campo elétrico total.

No caso da orientação do campo elétrico ser constante no espaço, mesmo variando em

magnitude e no tempo, ocorre uma polarização linear ou luz plana polarizada e o campo

elétrico ou perturbação ótica reside num plano de vibração também chamado de plano de

polarização. Como será visto a seguir, este plano fixo é definido pela direção do campo

elétrico e a direção de propagação da onda eletromagnética.

Se duas ondas harmônicas linearmente polarizadas, com a mesma freqüência, movem-

se através da mesma região e mesma direção e seus vetores de campo elétrico forem

colineares, estas irão simplesmente se combinar resultando numa onda linearmente

polarizada.

14

Por outro lado, se duas ondas possuem seus respectivos vetores de campo elétrico

perpendiculares entre si, a onda resultante pode ou não ser linearmente polarizada. Portanto,

dependendo da amplitude e fase relativa entre as componentes de campo elétrico xE e yE , a

onda eletromagnética apresentará polarização linear, circular ou elíptica e sua forma exata da

polarização é chamada de estado de polarização (State of Polarization - SOP). Seus tipos,

como podem ser observados, representados e suas interações com o meio serão analisados

neste capítulo.

2.1 POLARIZAÇÃO LINEAR

Uma onda plana uniforme com direção de propagação na direção z é chamada de onda

linearmente polarizada (Linear Polarized - LP), quando possuir suas duas componentes de

campo (Ex e Ey) ou componentes transversais em fase.

Consideram-se duas ondas eletromagnéticas ortogonais, se propagando na direção z,

como pode ser observado nas Equações (1) e (2):

)cos(),( xoxxx tkzEâtzE δω +−= (1)

)cos(),( yoyyy tkzEâtzE δω +−= (2)

onde, xE0 e yE0 representam as amplitudes complexas de xE e yE , respectivamente.

A diferença relativa de fase (δ ) entre as ondas, pode ser definida como:

xy δδδ −= (3)

15

A resultante óptica é representada pelo vetor soma, conforme equação abaixo:

),(),(),( tzEtzEtzE yx += (4)

Se 0=δ ou múltiplo de π2± , as ondas estão em fase e com amplitude fixa, logo:

)cos()(),( tkzEâEâtzE oyyoxx ω−⋅+= (5)

Portanto, o campo eletromagnético resultante apresenta-se linearmente polarizado com

amplitude constante e igual ao módulo de ( )20

20 yx EE + . Os campos xE

r e yE

r avançam

através de um plano e o campo resultante cossenoidal no tempo Er

, representado como a

soma entre as duas componentes, pode ser observado ao longo do eixo de propagação, através

da sua projeção num plano de observação. Como mostra a Figura 1, nota-se que a diferença

de fase entre as duas componentes é nula e o vetor campo elétrico resultante possui direção

constante.

Figura 1 – Representação da Polarização linear

16

Para polarização linear horizontal, a resultante é a própria componente de campo xEr

e

para vertical, o campo resultante é igual à componente yEr

. No caso da polarização linear à

45º, os campos xEr

e yEr

devem possuir amplitudes iguais; e linear à -45º, apenas estão

defasados de 180º ou π rad. Através da variação das magnitudes dos vetores xEr

e yEr

, obtém-

se o campo resultante linear Er

com diferentes ângulos de polarização.

2.2 POLARIZAÇÃO CIRCULAR

A polarização circular ocorre quando os campos elétricos da onda possuírem a mesma

amplitude (Eox = Eoy = Eo ) e diferença de fase relativa entre eles igual à ππδ m22 +±= ,

onde m = 0, ±1, ±2, ..., ou seja:

)cos(),( tkzEâtzE oxx ω−=r

(6)

)cos(),(2

tkzEâtzE oyy

πω ±−=

r (7)

A resultante Er

pode ser escrita como:

)]()cos([ tkzsenâtkzâEE yxo ωω −±−=r

(8)

A amplitude do campo Er

é constante e igual à Eo, mas sua direção varia no tempo e

não está restrita a um plano. Como mostra a Figura 2, o campo elétrico Er

possui amplitude

constante, existe ao longo de um eixo de referência e se observado ao longo do eixo de

propagação descreve uma trajetória circular.

17

Figura 2 – Representação da polarização circular à direita

Quando o campo xEr

estiver adiantado de π/2 em relação à yEr

, ou seja, a diferença de

fase entre eles for de ππδ m22 +−= , o movimento do vetor resultante do campo elétrico

Er

será no sentido horário e, portanto, a onda possuirá polarização circular à direita (Right

Hand Circular - RHC). Neste caso, tem-se:

t) ]z ây sen (kt) (kz [ âx E E o ωω −+−= cosr

(9)

Assim sendo, o caminho traçado pela ponta da flecha que representa o vetor

instantâneo do campo elétrico Er

, descreve o SOP, e está rodando no sentido horário com

freqüência angular ω. O vetor Er

completa uma rotação quando a onda avançar um

comprimento de onda (λ).

De forma similar, se ππδ 22 m++= , onde m = 0 , ±1, ±2, ..., tem-se:

t) ]z ây sen (kt) (kz [ âx E E o ωω −−−= cosr

(10)

18

Neste caso, Er

realiza rotação no sentido anti-horário, pois o campo ),( tzExr

está

atrasado de π/2 em relação à ),( tzEyr

, portanto, a onda possui polarização circular à esquerda

(Left Hand Circular - LHC).

Uma onda polarizada linearmente pode ser sintetizada através da soma de duas ondas

eletromagnéticas com amplitudes iguais e polarizações circulares opostas. Através da soma

das Equações (9) e (10) obtém-se:

)cos(2 tkzâEE xo ω−=r

(11)

onde, a amplitude é constante e igual à 2Eo e linearmente polarizado.

2.3 POLARIZAÇÃO ELÍPTICA

Toda polarização que não é circular nem linear pode ser chamada de polarização

elíptica e possui rotação à direita ou à esquerda, como será visto à seguir.

A polarização elíptica, de um modo geral, indica que a resultante Er

realiza rotação,

porém altera sua magnitude ao longo do tempo, pois Eox é diferente de Eoy. Considerando

δx=0, tem-se:

( )tkzcosEE oxx ω−= (12)

)( δω +−= tkzcosEE oyy (13)

Expandindo Ey:

19

δωδω sentkzsencostkzcosE

E

oy

y ⋅−−⋅−= )()( (14)

Substituindo a Equação (12) em (14), tem-se:

δωδ sentkzsenE

E

E

E

ox

x

oy

y ⋅−−=⋅− )(cos (15)

Da Equação (12), obtém-se:

212

1)(

−=−

ox

x

E

Etkzsen ω (16)

Substituindo a Equação (16) na Equação (15), tem-se:

δδ 2

22

1 senE

Ecos

E

E

E

E

ox

x

ox

x

oy

y ⋅

−=

⋅− (17)

Reagrupando os termos, obtêm-se a equação de uma elipse, conforme Equação (18).

δδ 2

22

2 sencosE

E

E

E

E

E

E

E

ox

x

oy

y

ox

x

oy

y =−

+

(18)

20

Os eixos da elipse não coincidem com os eixos x e y do sistema de coordenadas

retangulares, particularmente, eles encontram-se deslocados de um ângulo α em relação às

coordenadas do sistema (Ex, Ey), conforme Figura 3.

Figura 3 – Representação da elipse deslocada do eixo cartesiano

O ângulo de deslocamento α é dado por:

δα cos2

2tan22⋅

−=

oyox

oyox

EE

EE (19)

O ângulo ε pode ser calculado através da razão dos eixos principais da elipse ( ab ≤ )

e representa a elipticidade (e) da elipse, pode ser definida como:

a

btane ±== ε (20)

O sentido da rotação de uma polarização elíptica é determinado pelo sinal do δsin ou

pela elipticidade. O vetor de campo elétrico irá girar no sentido horário quando δsin > 0 ou

e > 0 e no sentido anti-horário se δsin < 0 ou e < 0.

21

As polarizações circulares e lineares podem ser consideradas como casos particulares da

polarização elíptica. Se α = 0, o eixo da elipse está alinhado com o eixo das coordenadas

cartesianas, e portanto, δ = ± π/2, ±3π/2, ±5π/2, ... Deste modo tem-se:

122

=

+

ox

x

oy

y

E

E

E

E (21)

Se o eixo maior e menor da elipse forem iguais, ou seja, Eoy = Eox = Eo, obtêm-se a

equação de um círculo, ou seja um caso particular da equação da elipse:

Ey2 + Ex

2 = Eo

2 (22)

Se δ for múltiplo par de π, a Equação (18) resulta em:

xx0

y0y E

E

EE = (23)

Similarmente, se δ for múltiplo ímpar de π, tem-se:

xx0

y0y E

E

EE −= (24)

As Equações (23) e (24) representam a polarização linear da luz com inclinação de

x0

y0

E

E± .

22

Pode-se nomear a luz polarizada particular em termos dos seus específicos SOPs. A

polarização linear ou polarização plana é chamada de estado P e a luz circular à direita e à

esquerda é denominada estado R e estado L, respectivamente. A condição de polarização

elíptica corresponde ao estado E.

O SOP de um campo elétrico não possui nenhuma dependência com a fase ou a

intensidade do campo, entretanto, há uma forte dependência entre a diferença de fase entre as

componentes de campo elétrico.

23

3 REPRESENTAÇÕES DA POLARIZAÇÃO DA LUZ

O sistema de coordenadas cartesianas, utilizado no Capítulo 2, descreve o estado de

polarização da luz em função da amplitude e da diferença de fase entre as componentes x e y

do campo elétrico. Entretanto, a representação através dos números complexos também pode

ser empregada.

A representação complexa do campo elétrico de uma onda plana monocromática

propagando-se na direção z é dada por:

( )[ ]tkzi

oeEtzE ω−= Re),( (25)

onde, Eo é o vetor complexo no plano xy.

Pode-se escrever o campo elétrico na forma complexa a partir da Equação (8):

)2()(),( πωω ±−− += tkzi

oyy

tkzi

oxx eEâeEâtzE (26)

Utilizando a identidade ieπi ====2 , tem-se:

)()(),( tkzi

oyy

tkzi

oxx eEâieEâtzE ωω −− ⋅±= (27)

O sinal negativo indica polarização com rotação à direita e o sinal positivo, à

esquerda. Define-se Eo como o vetor complexo:

oyyoxxo EâiEâE ⋅+=r

(28)

24

Portanto, a correspondente função da onda que representa qualquer tipo de polarização

é definida como:

)( tkzioeEE ω−=

r (29)

Se a componente real de oEr

for diferente da componente imaginária, a resultante do

campo elétrico sofre rotação com alteração da sua magnitude, descrevendo assim uma elipse.

Porém, se existir apenas a componente real, teremos polarização linear. No caso da

polarização circular as partes real e imaginária de oEr

são iguais.

Vários métodos foram desenvolvidos para facilitar a representação dos estados de

polarização, dos elementos polarizadores e da evolução da luz ao passar por tais componentes.

No caso de campo quase-monocromático, os quatro elementos do vetor de Stokes descrevem

o estado da luz utilizando intensidades de campo medidas experimentalmente. O cálculo de

Mueller representa os componentes ópticos como matrizes 4 x 4, e quando combinadas com

os vetores de Stokes, fornecem descrições quantitativas da interação da luz com os

dispositivos ópticos.

Em contraste, o cálculo de Jones caracteriza a luz utilizando um vetor com 2

elementos de campo elétrico e não descreve a luz parcialmente polarizada ou não polarizada,

apenas retém a informação de fase.

A esfera de Poincaré é uma representação usual para o melhor entendimento da

interação entre retardadores ópticos e os estados de polarização. Neste Capítulo, todos os

métodos citados serão analisados.

25

3.1 VETOR DE JONES

O vetor de Jones, introduzido em 1941 pelo físico americano R. C. Jones, descreve

eficientemente o estado de polarização de uma onda plana. O SOP é descrito em função da

amplitude e do ângulo de fase das componentes x e y do vetor de campo elétrico, portanto,

toda a informação sobre a polarização da onda está contida na amplitude complexa Eo da onda

plana (FOWLES, 1975; HECHT, 1998).

A Equação (28) assume que a componente x é real e a componente y é imaginária,

porém, uma maneira geral de expressar a onda plana é:

oyyoxxo EâEâE +=r

(30)

onde, Eox e Eoy podem ambos ser complexos e escritos na forma exponencial, conforme

Equações (31) e (32):

xi

oxox eEEδ⋅= (31)

yi

oyoy eEEδ⋅= (32)

A representação na forma do vetor de Jones é bidimensional e corresponde às

amplitudes complexas do campo elétrico, onde:

⋅

⋅=

=

yi

oy

i

ox

oy

ox

eE

eE

E

EJ

x

δ

δ

(33)

26

J não é um vetor no espaço físico real, representa um vetor num espaço matemático

abstrato (YARIV, 1984). O vetor de Jones especifica somente a onda, fornecendo

informações completas de amplitude e fase, entretanto, para obter-se o SOP da onda não é

necessário saber exatamente a amplitude e fase das componentes. Portanto, o vetor de Jones

pode ser normalizado, desprezando os fatores de fase e deve satisfazer a seguinte condição de

normalização:

122=+=⋅∗ oyox EEJJ (34)

onde o asterisco (*) denota o complexo conjugado.

Os SOPs podem ser representados através do vetor de Jones complexo conjugado, como

será analisado a seguir (CANTRELL, 2004).

3.1.1 Polarização linear

Uma onda linearmente polarizada com o vetor do campo elétrico oscilando ao longo de

uma dada direção, pode ser representada pelo vetor Jones:

⋅Ψ⋅

⋅Ψ⋅=

0.

0.cosi

o

i

o

esenE

eEJ ⇒ J = Eo.

senΨ

Ψcos (35)

onde, Ψ é o ângulo entre a direção de oscilação e o eixo x.

O vetor de Jones normalizado que representa o SOP é:

27

J =

senΨ

Ψcos (36)

Portanto, o vetor de Jones para o caso de polarização linear horizontal, cujo ângulo Ψ é

igual à zero, pode ser escrito como:

=

0

1hJ (37)

O SOP linear vertical é ortogonal ao estado representado anteriormente pela Equação

(37), portanto pode ser determinado pelo vetor de Jones conjugado, substituindo Ψ por

2

π+Ψ , e resulta em:

−⋅=∗

cosΨ

senΨEJ o (38)

Portanto, o vetor normalizado de Jones que representa a polarização linear vertical é:

=

1

0vJ (39)

3.1.2 Polarização circular

Para uma onda com polarização circular à direita e à esquerda, os vetores de Jones são

respectivamente:

28

⋅°⋅

⋅°⋅= −

245

45πi.

o

i.o

o

RHC

esenE

ecosEJ ⇒

−=

iJ RHC

1

2

1 (40)

⋅°⋅

⋅°⋅=

2.

.

45

45πi

o

oi

o

LHC

esenE

ecosEJ ⇒

=

iJ LHC

1

2

1 (41)

As duas polarizações circulares são ortogonais entre si, pois:

0=⋅∗ LHCRHC JJ (42)

3.1.3 Polarização elíptica

O vetor de Jones para casos gerais, os quais englobam todos os SOP, inclusive a caso da

polarização elíptica é dado por:

Ψ

Ψ=

sene

cosJ

i δ. (43)

onde, δ = δy – δx

29

3.1.4 Aplicação

Pode-se obter o resultado da adição de duas ou mais ondas com uma dada polarização,

simplesmente pela adição dos vetores de Jones. Um exemplo é a superposição de duas ondas

com mesma amplitude, uma delas com polarização circular à direita e outra, à esquerda,

resultando numa onda com polarização linear, na direção x e com o dobro da amplitude,

conforme Expressão (44):

⋅=

=

−

+=

+

− 0

12

0

21111

iiii (44)

O estudo do efeito da propagação de uma onda plana através de elementos ópticos,

birrefringentes e polarizadores, pode ser realizado através da matriz Jones. Enquanto a luz é

representada pelo vetor complexo de Jones 2 x 1, os componentes ópticos são representados

por matrizes quadradas complexas de Jones de ordem 2 (ROCHFORD).

Se o vetor da luz incidente é

B

A, e o vetor da luz emergente é

'

'

B

A, então:

=

⋅

'

'

B

A

B

A

dc

ba (45)

onde,

dc

baé a matriz Jones do elemento óptico.

30

Através da matriz Jones do elemento óptico pode-se determinar a polarização do raio

emergente. Deste modo, se a luz passa por uma série de elementos ópticos, representados

pelas matrizes A1, A2, ..., An, tem-se:

ine JAAAJ 12...= (46)

As matrizes não comutam, portanto devem ser aplicadas na ordem correta. O primeiro

elemento pelo qual a onda passa é A1, como pode ser observado na Figura 4, portanto a luz

emergente será A1Ji. Após atravessar o segundo elemento, o vetor de Jones emergente será

A2A1Ji e assim por diante.

Figura 4 – Representação da ordem dos elementos ópticos, através dos quais se calcula o vetor de Jones emergente.

Entretanto, o cálculo através da notação Jones é utilizado apenas para raios de luz

inicialmente polarizados. Não existe representação através de vetor Jones para luz não

polarizada, pois este método fornece apenas a representação instantânea do campo elétrico,

enquanto os parâmetros de Stokes descrevem o valor médio do sinal.

A luz pode ser considerada não polarizada, ou natural, se a variação no tempo da

diferença de fase (δ) entre Eox e Eoy for totalmente não correlacionada e conseqüentemente a

luz apresentará aleatórios SOPs. A luz randomicamente polarizada se dispersa em todas as

direções, enquanto que na luz polarizada, ocorre dispersão apenas no plano perpendicular à

direção do vetor de polarização (NEWPORT, 1999). Quase toda a luz natural que existe,

como o Sol, não é polarizada ou pouco polarizada.

A1 A2 A3 Je Ji

31

3.2 VETOR DE STOKES

Os parâmetros de Stokes foram introduzidos em 1852, por George Gabriel Stokes, e

são caracterizados pela intensidade do campo elétrico, portanto o vetor de Stokes descreve

completamente a potência e o SOP de um sinal óptico e pode ser representado na seguinte

forma:

=

3

2

1

0

S

S

S

S

S (47)

Os parâmetros de Stokes relacionam-se com os vetores do Jones, através das matrizes

de Pauli, conforme Equação (48). A partir de agora, será utilizada a notação de Dirac, para

representar os Vetores de Jones (GORDON, 2000):

JJS σ= (48)

onde, S representa cada componente dos parâmetros de Stokes, J representa o vetor coluna

de Jones, J seu complexo conjugado e σ o vetor de Pauli no espaço de Stokes, ou seja:

==

y

x

J

JJJ (49)

( )***yx JJJJ == (50)

),,,( 3210 σσσσσ = (51)

32

A matriz identidade é definida com:

=

10

010σ (52)

As matrizes de Pauli são conhecidas da mecânica quântica e são definidas

como (COHEN-TANNOUDJI, 1977):

−=

10

011σ

=

01

102σ

−=

0

03

i

iσ (53)

Substituindo as expressões (49), (50) e (51) na Equação (48) tem-se (SHTAIF):

**0 yyxx JJJJS += (54)

**1 yyxx JJJJS −= (55)

yxyx JJJJS **2 += (56)

)( **3 yxyx JJJJjS −= (57)

Cada parâmetro de Stokes está relacionado com a diferença de intensidades de luz

entre específicos pares ortogonais de SOPs, e podem ser facilmente encontrados através da

determinação da potência transmitida em polarizadores diferentes.

Considerando o vetor de Jones da luz incidente ou inicial ( )iJ , representado

conforme Equação (49), o vetor de Jones da luz emergente ( )eJ , após atravessar os

polarizadores (An), pode ser obtido através da Equação de Transferência (58):

33

ine JAJ .= (58)

A intensidade de campo transmitida pode ser obtida através da seguinte relação:

eeee JJJJI == .* (59)

A Tabela 1 apresenta as matrizes de Jones dos polarizadores, os respectivos vetores de

Jones dos raios emergentes e as intensidades de campo.

Tabela 1 – Matrizes de Jones dos Polarizadores ópticos, vetor de Jones da luz emergente e expressão da intensidade de campo (I).

Comparando as expressões de Intensidade de Campo (I), constantes na Tabela 1, e os

parâmetros de Stokes, representados pelas Equações 54 à 57, conclui-se que:

1. S0 representa a intensidade de campo total de luz que passa pelo polarizador linear

horizontal (eixo x) e o vertical (eixo y);

Polarizador óptico

Matriz de Jones Luz emergente

(Je) Intensidade de Campo (I)

Linear Horizontal

00

01

0xJ

xx JJ *

Linear Vertical

10

00

yJ

0 yy JJ *

Linear à 45º

11

11

2

1

+

+

yx

yx

JJ

JJ

2

1 ( )yyyxyxxx JJJJJJJJ ****

2

1+++

Linear à -45º

−

−

11

11

2

1

+−

−

yx

yx

JJ

JJ

2

1 ( )yyyxyxxx JJJJJJJJ ****

2

1+−−

Circular à direita

− 1

1

2

1

i

i

+

−

yx

yx

JJi

JiJ

2

1 ( )yyyxyxxx JJJJiJJiJJ ****

2

1+−+

Circular à esquerda

−

1

1

2

1

i

i

+−

+

yx

yx

JJi

JiJ

2

1 ( )yyyxyxxx JJJJiJJiJJ ****

2

1++−

34

2. S1 representa a diferença de potência entre a luz que passa pelo polarizador linear

horizontal (eixo x) e o vertical (eixo y);

3. S2 representa a diferença de potência entre a luz que passa pelo polarizador linear à 45º e

à -45º, ou seja, é a diferença de intensidade entre as componentes, linearmente

polarizadas, orientadas à +45° e – 45°; e

4. S3 é a diferença de intensidade de campo entre as componentes circularmente

polarizadas à direita e à esquerda.

Portanto, a medida das intensidades de campo das componentes da onda, descritos

pelos parâmetros de Stokes, permite a determinação do SOP e corresponde ao princípio de

operação dos polarímetros ou medidores de SOP. O vetor de Stokes pode ser escrito como:

−

−

−

+

=

=−

LHCRHC

xy

yx

II

II

II

II

S

S

S

S

S4545

3

2

1

0

(60)

Uma das vantagens da utilização do vetor de Stokes é a possibilidade de representar a

luz não polarizada ou parcialmente polarizada, pois os parâmetros de Stokes descrevem o

valor médio do sinal.

O vetor de Stokes pode ser representado na esfera de Poincaré, como será analisado no

item 3.5.

35

3.3 MATRIZ DE MUELLER

Dispositivos ópticos e sistemas de transmissão ópticos possuem coeficientes de

transmissão dependentes da polarização. A matriz de Mueller descreve as propriedades de

polarização e de potência de um dispositivo sob teste (Device under test – DUT), portanto

relaciona o vetor de Stokes de entrada e de saída, como representado no diagrama de blocos e

descrito na equação a seguir:

inDUTout SMS .= (61)

onde, MDUT é a matriz quadrática de Mueller do DUT, de ordem 4, e Sin o vetor de Stokes de

entrada, representados como:

=

44434241

34333231

24232221

14131211

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

M DUT (62)

=

3

2

1

0

in

in

in

in

in

S

S

S

S

S (63)

Substituindo Sin e MDUT na Equação 61, tem-se:

DUT (M)

Sin Sout

36

inoutS

S

S

S

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

S

S

S

S

=

3

2

1

0

44434241

34333231

24232221

14131211

3

2

1

0

(64)

Apenas os elementos da primeira linha da matriz de Mueller, m11, m12, m13 e m14,

descrevem a potência de transmissão total através do DUT. Os demais elementos referem-se a

frações de intensidades de campo presentes em específicos SOPs, como foi analisado

anteriormente no item 3.2.

Portanto, a potência total transmitida pode ser escrita como:

Sout0 = m11 Sin0 + m12 Sin1 + m13 Sin2 + m14 Sin3 (65)

A análise da polarização da luz pode ser realizada através do Grau de Polarização da

Luz (Degree of Polarization - DOP), como será visto a seguir.

3.4 GRAU DE POLARIZAÇÃO (DOP)

Quando a luz não se apresenta polarizada nem despolarizada, ela pode ser chamada de

parcialmente polarizada. A fração da sua intensidade que permanece polarizada por um

período maior que o período óptico é conhecida como Grau de Polarização (Degree of

Polarization - DOP), e pode variar de DOP = 0, referente à luz não polarizada, à DOP = 1,

para luz totalmente polarizada. Portanto, a luz é parcialmente polarizada quando 0 < DOP < 1

e ocorre quando as amplitudes de campo Ex(t) e Ey(t) e as respectivas fases δx(t) e δy(t) não

estão completamente correlacionadas.

37

A luz parcialmente polarizada, também pode ser representada como a soma das

componentes da luz completamente polarizada e não polarizada e a redução do DOP da onda,

representa a despolarização da luz (ROCHFORD).

Pode-se definir o DOP linear, como sendo a fração de intensidade de luz que apresenta

polarização linear, e o DOP circular, a fração com polarização circular. Portanto, o DOP

caracteriza a variação do SOP da onda, e pode ser descrito através formalismo de Stokes da

seguinte forma:

0

23

22

21

S

SSSDOP

++= (66)

Para a luz completamente polarizada a seguinte relação entre os vetores de Stokes

pode ser aplicada, pois DOP = 1:

23

22

21

20 SSSS ++= (67)

E para luz não polarizada, cujo DOP é igual à zero:

023

22

21 =++ SSS (68)

38

3.5 ESFERA DE POINCARÉ

A esfera de Poincaré, criada pelo matemático e físico francês Henri Poincaré em 1892,

permite um método visual de representação de todos os possíveis SOPs da luz e prevê suas

alterações devido a qualquer tipo de atraso.

A esfera de Poincaré tem raio unitário e todos os estados ortogonais são pontos

diametralmente opostos sobre a superfície da esfera. Os pólos, superior e inferior, representam

a luz polarizada circularmente à esquerda e à direita, respectivamente, enquanto pontos no

equador da esfera indicam polarização linear. Quaisquer outros pontos na esfera representam

polarização elíptica. Um ponto genérico na superfície da esfera é especificado em termos de

latitude e longitude.

Cada ponto na superfície da esfera de Poincaré representa um único SOP, e sua

alteração durante qualquer interação óptica, pode ser descrita através de uma curva unindo o

SOP inicial ao final.

O vetor de Stokes, que define o SOP da onda, pode ser representado na esfera de

Poincaré na forma de um ponto de coordenadas (S1, S2, S3), chamado Vetor de Stokes

normalizado, como pode ser observado na Figura 5 (ESPINOZA).

Figura 5 – Esfera de Poincaré

39

4 PDL

As redes de comunicação óptica de longa distância sofrearam drásticas alterações

devido à crescente demanda por largura de banda, pois além da implementação de novos

serviços, houve um aumento substancial do número de usuários (ZHU, 2000).

O sistema de DWDM e canais ópticos de alta velocidade conduzem ao crescimento da

capacidade de transmissão das redes.

O rápido desenvolvimento da tecnologia em redes de fibra óptica intensifica-se pelo

avanço nos projetos e na fabricação de novos dispositivos ópticos passivos e ativos. Porém, a

necessidade de obtenção de taxas de transmissão mais elevadas tem conduzido

gradativamente, ao limite de utilização da tecnologia existente nos componentes ópticos

(AGILENT, 2002).

O desenvolvimento e testes de novos componentes tornaram-se mais desafiante e

complexo, como por exemplo:

1. Devido a redução constante do espaçamento entre canais, as medidas dependentes do

comprimento de onda necessitam de maior precisão;

2. A complexidade dos sistemas de teste realizados em multi-canais aumenta conforme

novos canais são adicionados;

3. A ampliação das regiões espectrais utilizadas para transmissão de dados ópticos, como a

banda L, envolve o desenvolvimento de componentes ópticos específicos e equipamentos

para testá-los;

4. O desempenho de sistemas DWDM é influenciado diretamente pela polarização da luz, e

com o aumento do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos parâmetros a serem

testados, como a Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss – PDL),

40

e a Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode Dispersion – PMD), cujo

efeito principal é distorção do sinal, acumulativa ao longo da distância.

5. Altas taxas de transmissão (10 Gb/s ou 40 Gb/s) requerem pulsos de curta duração e no

domínio da freqüência causam o alargamento do espectro. Para a obtenção de qualidade

de transmissão necessita-se de faixas largas do espectro com baixa PDL, para evitar a

variação de atenuação entre diferentes componentes espectrais.

6. Devido ao rápido crescimento do mercado tecnológico de fibras ópticas, os fabricantes

necessitam aumentar o volume de produção através do aumento da capacidade de

fabricação e diminuição do tempo dispensados a testes, sem comprometer sua exatidão.

Além da dispersão, a PDL combinada com a PMD na fibra e nos componentes de fibra

óptica representam uma grande fonte de distorção e alargamento do sinal, pois causam

flutuação de potência no enlace e aumentam a BER do sistema.

A PDL presente nos dispositivos deve ser caracterizada corretamente, com o objetivo

de prever o impacto no desempenho das novas gerações de sistemas DWDM de alta

velocidade.

41

4.1 DEFINIÇÃO

A PDL pode ser definida como a máxima alteração de potência transmitida, através de

um componente óptico ou sistema, considerando todos os possíveis estados de polarização, ou

seja, é a relação entre a transmissão máxima e mínima através de um dispositivo óptico em

relação à todos os estados de polarização.

Portanto, a equação que define a PDL, em dB, é dada por:

⋅=

min

maxlog10P

PPDLdB (69)

onde, Pmax e Pmin referem-se à potência transmitida ou refletida máxima e mínima,

respectivamente.

A Figura 6 mostra o efeito da aplicação de todos os possíveis estados de polarização

através de um dispositivo óptico passivo. O sinal de entrada é aplicado ininterruptamente,

com potência constante e luz totalmente polarizada. Através da variação apenas do estado de

polarização da luz de entrada, o sinal de saída apresenta uma correspondente variação de

potência.

Figura 6 – Efeito da PDL em componentes ópticos passivos.

DUT Sinal de entrada

Sinal de saída

PMAX

PMIN

42

As principais causas de PDL são curvaturas na fibra, interfaces ópticas angulares e

reflexões oblíquas. Estes efeitos ocorrem em grande parte dos componentes ópticos padrões

utilizados em redes de fibra óptica, por exemplo, acopladores, isoladores, multiplexadores por

divisão de comprimento de onda (Wavelength Divison Multiplexing - WDM) e fotodectores.

Porém, o estado de polarização que exibe máxima perda, ou seja, mínima transmissão, através

de um componente óptico, não é o mesmo para todos os elementos pertencentes à um enlace,

portanto, o eixo de máxima transmissão de todos os componentes estarem alinhados, não

corresponde ao efeito de máxima ou mínima sensibilidade à polarização.

Além disso, o estado de polarização não é constante ao longo da fibra e sua evolução

é completamente estatística. O aumento do efeito da PDL de forma incontrolada, pode resultar

na degradação da qualidade de transmissão do enlace ou até à falhas no sistema óptico.

Portanto, os sistemas de comunicações ópticas modernos requerem componentes com baixa

PDL.

4.2 TÉCNICAS DE MEDIDAS

A combinação da contribuição dos efeitos da PDL de cada componente causa grandes

flutuações de potência, e afeta seriamente o desempenho de todo sistema. Porém, a PDL total

de diversos componentes não pode ser obtida através da adição individual de PDL, pois

resultaria no pior caso atingido por um sistema óptico (ZHU, 2000).

Existem duas categorias de técnicas de medidas de PDL, a determinística e a não

determinística. A técnica determinística computa o valor de PDL através da matriz de Jones

ou da matriz de Mueller, obtidas através dos parâmetros de Stokes relacionados a um conjunto

de estados de polarização pré-fixados.

43

O método não determinístico define o valor de PDL através de medidas da máxima

sensibilidade à polarização de um dispositivo referente a todos os possíveis estados de

polarização.

A empresa Agilent Technologies recomenda duas técnicas de medidas em

componentes passivos para determinação da PDL, o escaneamento de polarização e o método

de Mueller (AGILENT, 2002).

A técnica de escaneamento de polarização é adequada para a realização de medidas

de PDL em comprimento de onda específicos, enquanto o método de Mueller é apropriado

para medidas em diversos comprimentos de onda.

4.2.1 Escaneamento da polarização

A técnica de escaneamento da polarização, também chamada de potência

mínima/máxima, é o método não determinístico fundamental de medidas de PDL e consiste

na transmissão de todos os estados de polarização, através do DUT, obtendo-se, assim, as

variações máximas e mínimas na potência de transmissão e conseqüentemente o valor da

PDL.

A geração de todos os estados de polarização é praticamente impossível, porém, na

prática, um grande número de estados diferentes pode ser obtido, através de transformadores

de polarização, de forma determinística ou pseudo-randômica. No primeiro caso, o método

percorre toda a esfera de Poincaré ao longo de trajetórias pré-estabelecidas e no segundo caso,

um conjunto de esferas de Poincaré é percorrido por trajetórias geradas por variações pseudo-

randômicas no atraso do controlador de polarização.

44

Os transformadores de polarização promovem o escaneamento dos estados de

polarização, a uma certa taxa, referente à rapidez de alteração da polarização da luz. Quanto

maior a taxa, maior o número de estados de polarização. A taxa de escaneamento deve ser

favorável ao tempo médio de resposta do medidor de potência, e o seu ajuste é crítico, pois,

quanto menor o tempo de varredura, maior a incerteza das medidas de PDL.

Um típico esquema de montagem para a realização de medidas de PDL pode ser

observado na Figura 7. A fonte óptica gera luz totalmente polarizada e o controlador de

polarização a transforma utilizando anéis de fibra motorizados. A esfera de Poincaré está

representada no esquema indicando que toda a sua superfície é escaneada. Em seguida,

localiza-se o DUT e o medidor de potência.

Figura 7 – Esquema de medidas de PDL utilizando a técnica de escaneamento de polarização.

O controlador de polarização possui anéis de fibra óptica, cujo movimento causa a

variação da birrefringência da fibra e conseqüentemente, a variação do estado de polarização

da luz. Neste caso, a variação ocorre de forma pseudo-randômica devido à velocidade

rotacional diferente dos anéis. A Figura 8 mostra um exemplo de transformador de

polarização com três anéis de fibra.

A transmissão máxima e mínima é medida diretamente na saída do DUT para cada

estado de polarização, e conseqüentemente, tem-se a PDL, através da Equação (69).

Fonte óptica

Controlador de polarização DUT

Medidor de potência

45

Figura 8 - Transformador de polarização com três anéis de fibra

O método do escaneamento da polarização é demorado, apesar da utilização de

controladores automatizados e medidores de potência com rápido tempo de resposta,

principalmente no caso de medidas de PDL dependentes do comprimento de onda, em que são

necessárias diversas medidas em cada componente espectral e com precisão. Torna-se mais

viável, portanto a utilização do método de Mueller ou de Jones.

4.2.2 Método de Mueller

Medidas de PDL podem ser obtidas através da matriz de Mueller de um DUT, esta

técnica é conhecida como Método de Mueller.

Diferente da técnica de escaneamento de polarização, o método de Mueller determina

a PDL através da exposição do DUT à apenas quatro estados de polarização conhecidos, por

exemplo, luz polarizada linear horizontal (linear horizontal polarized – LHP) e vertical

(linear vertical polarized – LVP), linear com ângulo de 45 graus (linear +45 degrees – L+45)

e circular direita (right hand circular – RHC).

Os quatro estados de polarização são sintetizados através do controlador de

polarização, o qual consiste de um polarizador e duas lâminas retardadoras (1/4 de onda e 1/2

de onda).

46

Todos os elementos são rotativos com eixo de rotação paralelo à direção de

propagação da luz. O polarizador gera luz com polarização linear e, em seguida, através de

ajustes angulares dos pratos retardadores, os estados de polarização desejados são obtidos.

O processo de medidas de potência é realizado em duas fases, como pode ser

observado na Figura 9a e 9b.

Inicialmente, realizam-se medidas de potência óptica, para calibração, nos quatro

estados de polarização e determina-se um sistema de equações lineares, ou vetor de Stokes de

entrada (Sin). Em seguida, estes mesmos estados são aplicados ao DUT e a potência

transmitida é medida, e caracterizada pelo o vetor de Stokes de saída (Sout).

Figura 9 – (a) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização;

(b) medidas de potência transmitida através do DUT

Como foi visto no Capítulo 3, apenas os elementos da primeira linha da matriz de

Mueller, m11, m12, m13 e m14, descrevem a potência total transmitida através do DUT, e através

deles pode-se determinar as potências máximas e mínimas, suficientes para a obtenção da

PDL. Portanto, a potência total transmitida pode ser escrita como:

Sout0 = m11 Sin0 + m12 Sin1 + m13 Sin2 + m14 Sin3 (70)

Fonte óptica

Controlador de polarização

Medidor de potência (Pa,b,c,d)

Sin

Fonte óptica

Controlador de polarização

DUT

Medidor de potência (P1,2,3,4)

Sin Sout

(a)

(b)

47

Os quatro SOPs transmitidos pelo DUT, são caracterizados pelos vetores de Stokes e

substituindo na Equação (70), pode-se obter as respectivas potências de saída, ou seja, o Vetor

de Stokes na saída, como pode ser analisado na Tabela 2 (AGILENT, 2002):

SOP na entrada Vetor de Stokes na

entrada Potência de Saída

Linear Horizontal (0º) Sin1 = (Pa, Pa, 0, 0) P1 = m11Pa + m12Pa

Linear Vertical (90º) Sin2 = (Pb, -Pb, 0, 0) P2 = m11Pb – m12Pb

Linear Diagonal (+45º) Sin3 = (Pc, 0, Pc, 0) P3 = m11Pc + m13Pc

Circular Direita Sin4 = (Pd, 0, 0, Pd) P4 = m11Pd + m14Pd

Tabela 2 – SOPs aplicados ao DUT e suas respectivas potências de saída

onde, Pa,b,c,d refere-se às potências ópticas de entrada no DUT e P1,2,3,4 são as correspondentes

potências de saída.

Solucionando o sistema de equações que relaciona a potência de entrada e saída,

obtêm-se os elementos da primeira linha da matriz de Mueller:

−

−

−

+

=

1d

4

1c

3

b

2

a

1

b

2

a

1

14

13

12

11

mP

P

mP

P

P

P

P

P

2

1

P

P

P

P

2

1

m

m

m

m

(71)

Através dos elementos da primeira linha da matriz de Mueller é possível calcular a

PDL do DUT. Inicialmente, calcula-se a transmissão de potência (T) a partir da Equação (70)

(HENTSCHEL, 2002):

48

0in

3in142in131in120in11

0in

0out

S

SmSmSmSm

S

ST

+++== (72)

0in

3in14

0in

2in13

0in

1in1211

S

Sm

S

Sm

S

SmmT +++= (73)

Para o cálculo da PDL é necessário obter-se a transmissão máxima e mínima.

Reescrevendo a Equação (73), tem-se:

31421311211 xmxmxmmT +++= (74)

Para luz totalmente polarizada, os componentes do Vetor de Stokes estão relacionados

da seguinte forma:

23in

22in

21in

20in SSSS ++= (75)

1S

S

S

S

S

S2

0in

3in

2

0in

2in

2

0in

1in =

+

+

(76)

Reescrevendo a Equação (76) em função de x1, x2 e x3, tem-se:

01xxx23

22

21 =−++=ϕ (77)

Através do método dos multiplicadores de Lagrange encontram-se os extremos de uma

função. Aplicando nas Equações (74) e (77), obtêm-se três Equações, conforme abaixo:

49

02 11211

1 =+=+= xmdx

d

dx

dTLx β

ϕβ (78)

02 21322

2 =+=+= xmdx

d

dx

dTLx β

ϕβ (79)

02 31433

3 =+=+= xmdx

d

dx

dTLx β

ϕβ (80)

onde, β representa o multiplicador de Lagrange.

Das Equações (78), (79) e (80) obtêm-se os valores de x1, x2 e x3 em função de β .

Substituindo na Equação (77), resulta em:

214

213

2122 mmm ++±=β (81)

Substituindo o multiplicador de Lagrange nas Equações (78), (79) e (80), obtêm-se os

valores máximos e mínimos de x1, x2 e x3. Substituindo na Equação (74), tem-se os extremos

da função de transmissão de potência.

( )214

213

212

214

213

212

11 mmm

mmm

1mT ++

++±= (82)

214

213

21211 mmmmT ++±= (83)

Portanto, a Equação (83) mostra que a transmissão de potência máxima e mínima pode

ser calculada através dos elementos da primeira coluna da Matriz de Mueller.

50

Calculados os extremos de transmissão de potência, ou seja, mínimo e máximo, a PDL

pode ser facilmente determinada, conforme Equação (84).

⋅=

min

maxlog10T

TPDLdB (84)

51

5 ANÁLISE EXPERIMENTAL E TEÓRICA

Como mencionado anteriormente, para o estudo das propriedades de um enlace óptico

muito longo, utiliza-se o RCL, pois permite fácil controle de cada parâmetro dos componentes

presentes e economia do número de elementos usados. Porém, devido à periodicidade do

sistema em anel, os fenômenos relacionados com a polarização da luz possuem

comportamento diferente quando comparados com sistemas em linha reta (YHU, 2003).

Em particular, a PDL média acumulada no RCL, apresenta crescimento linear em

relação ao número de voltas no anel, e no caso de enlaces reais de comunicação, o acúmulo da

PDL cresce com a raiz quadrada da distância percorrida pelo sinal.

O Gráfico 1, mostra a comparação entre os 2 casos, sendo que a linha cheia representa o

acúmulo da PDL no sistema em linha reta e “traço-ponto”, o crescimento da PDL no RCL.

Outro fenômeno importante em relação à PDL refere-se ao fato de que a PDL total de

uma série de elementos concatenados é diferente da soma das PDLs de cada componente,

devido aos eixos de polarização não estarem necessariamente alinhados entre si. Além disto,

dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura, o alinhamento entre os

elementos com PDL muda com o tempo, o que sugere a importância do estudo estatístico em

enlaces ópticos, sendo necessário, portanto, um embaralhamento dos SOPs no RCL a cada

volta. A variação induzida dos SOPs da luz no anel implica na obtenção de resultados

similares aos encontrados num sistema em linha reta.

52

Gráfico 1 - Acúmulo da PDL no sistema em linha reta (linha cheia) e o crescimento da PDL no RCL (traço-ponto).

5.1 DESCRIÇÃO DA MONTAGEM EXPERIMENTAL

A montagem experimental utilizada para a medição de PDL no RCL está ilustrada na

Figura 10, onde, PQH é o controlador de polarização utilizado para gerar as polarizações de

interesse. O PQH é constituído por um elemento polarizador (P), uma lâmina retardadora de

¼ de onda (Quarter Wave Plate) e uma lâmina de ½ de onda (Half Wave Plate).

O controlador de polarização do anel, indicado por PC, “embaralha” as polarizações

aleatoriamente a cada volta, varrendo a esfera de Poincarè, e assim obtêm-se as variações

estatísticas de potência na saída. Os filtros são inseridos no anel para remover o ruído ASE

(Amplified Spontaneous Emission – ASE) introduzido pelo EDFA e ao mesmo tempo inserir

PDL no sistema.

53

O atenuador (ATT) é usado para a equalização da potência de saída nas voltas do anel.

O sistema de detecção consiste em um fotodetector acoplado a um osciloscópio, que mede a

potência óptica na porta 4 do acoplador ACC para cada volta.

Figura 10 - Montagem experimental utilizada para a medição da PDL no RCL.

O anel é controlado por duas chaves acusto-ópticas, chave de transmissão (TS) e a chave

do anel (LS) e possui um rolo de 25 km de fibra com dispersão deslocada (Dispersion Shifted

- DS).

O carregamento do RCL com uma seqüência de bits ocorre quando a primeira chave

(TS) está fechada e a segunda (LS) aberta. Quando a primeira chave (TS) está aberta e a

segunda (LS) fechada limita-se o tempo durante o qual esta seqüência de bits circula no RCL

(BARROS, 2002). O sinal óptico gerado pelo laser CW é centrado em 1545 nm.

A Figura 11 mostra uma foto do laboratório experimental, localizado na Fundação

CPqD, onde pode ser observado o experimento sobre a bancada.

O método de medição utilizado foi o método de Mueller. As potências de entrada e saída

são obtidas considerando o anel de recirculação como o DUT e transmitindo os quatro SOPs,

54

definidos anteriormente. A potência para cada volta é obtida e assim, pode ser calculada a

PDL do DUT. Para obter-se uma boa estatística foram realizadas 5000 medidas para cada

volta.

Figura 11 – Montagem experimental na Fundação CPqD.

55

5.2 ANÁLISE TEÓRICA

A simulação de elementos em cascata pode ser reduzida para apenas dois elementos

presentes: o primeiro é o elemento controlador de polarização, dado pela matriz MPC, que

representa o controlador de polarização (PC) que gera todos os SOPs de interesse, e o

segundo corresponde ao gerador de PDL para apenas uma volta no anel dado pela matriz

MPDL. No formalismo de Jones estas matrizes são dadas pelas Equações (85) e (86)

(VINEGONI, 2004):

−=

−− φφ

φφ

θθθθ

ii

ii

PCee

eeM

cossin

sincos (85)

=

sM PDL 0

01 (86)

onde, s corresponde à PDL presente em uma volta do anel, tal que:

=s

dBPDL1

log10)(1 (87)

Para a obtenção de uma boa estatística foram gerados 5000 SOPs, assim como no

experimento, e para garantir que os SOPs gerados estão uniformemente distribuídos sobre a

esfera de Poincaré, os ângulos θ e φ devem seguir as seguintes funções distribuições de

probabilidade (FDP):

( ) ( )

∈=2

,0,2π

θθθ senp (88)

56

( ) [ ]πφπ

φ 2,0,2

1∈=p (89)

Utilizando as FDPs acima, pode-se avaliar, através do software MatLab, os pontos

resultantes, na esfera de Poincaré, e como observa-se na Figura 12, os SOPs estão

uniformemente distribuídos.

A transmissão no anel, TLOOP, é dada por:

( )NPCPDLLOOP MMT .= (90)

onde, N é o número de voltas no anel, ou pode ser considerado o número de elementos em

cascada.

Figura 12 – Varredura da Esfera de Poicarè

Para cada SOP, gerado pela MPC, tem-se a PDL para N voltas. A PDL para N voltas

pode ser obtida através da seguinte equação (HENTSCHEL,1998):

57

=

1

2log10)(ξξ

dBPDLN (91)

onde, ξi são os autovalores da matriz LOOPLOOP TT .* .

5.3 RESULTADOS

Inicialmente foi realizada a análise teórica utilizando o software MatLab e obteve-se as

PDFs da PDL normalizada para N = 2, 3, 4, 5, 6 e 10 voltas, conforme pode ser observado no

Gráfico 2.

Os valores de PDL obtidos para cada volta são normalizados pelo valor médio da PDL

resultante da primeira volta (<PDL1>), representado pelo eixo x e analisados num histograma,

o qual possui o mesmo comportamento dos resultados da literatura (VINEGONI, 2004). O

eixo y representa o número de ocorrências da PDL normalizada e o maior valor da PDL

normalizada coincide com o número de voltas no anel.

.

58

Gráfico 2 – Histograma teórico de valores de PDL normalizada para

N = 2, 3, 4, 5, 6, e 10 voltas.

Posteriormente foi realizado o experimento, obtendo-se os histogramas apresentados no

Gráfico 3.

59

Gráfico 3 - Histograma experimental de valores de PDL normalizada para N = 2, 3, 4, 5, 6, e 10 voltas.

Nota-se que os resultados experimentais estão próximos do reportado na literatura

apenas até a quinta volta (N=5), pois provavelmente, está ocorrendo a despolarização da luz

introduzida no sistema pela ASE do EDFA dentro do anel. De fato, observa-se que a ASE, por

sua natureza de emissão espontânea, é despolarizada, correspondendo à um valor nulo de

PDL. Portanto, o DOP da luz por volta deve ser analisado.

Para incluir uma possível despolarização do sinal por volta, deve-se realizar o estudo

teórico utilizando apenas o formalismo de Mueller, pois o formalismo de Jones não considera

a luz não polarizada (HECHT, 1998). Desta forma, as novas matrizes MPC e MPDL de um

sistema de transmissão são dadas por (FUKADA, 2002):

60

−−

−=

φφθφθφφθφθ

θθ

cos2cos.2.0

2cos.cos2.cos0

022cos0

0001

sensensen

sensen

senM PC (92)

+−

−+

=

s

s

ss

ss

M PDL

000

000

002

1

2

1

002

1

2

1

( 93)

onde, os ângulos θ e φ obedecem às mesmas distribuições de probabilidade das Equações

(88) e (89), e s corresponde à PDL do dispositivo.

Foi proposta a inserção de uma matriz de despolarização da luz MDEP na matriz de

transmissão do sistema, dada por (FLORIDIA, 2005):

=

DOP

DOP

DOPM DEP

000

000

000

0001

(94)

Portanto, a matriz de transmissão para N voltas no anel é dada pela Equação (95) e a

PDL pode ser obtida substituindo a matriz de transmissão na Equação (91).

( )NPCDEPPDLLOOP MMMT ..= (95)

61

O DOP foi obtido por tentativas, com melhor valor estimado em 7% (DOP=0,93). O

efeito da inserção da matriz de despolarização da luz no sistema teórico pode ser observado

no Gráfico 4.

Gráfico 4 – PDL normalizada para o caso de 7% de despolarização por volta no anel (DOP = 0,93)

Considerando DOP = 0,96, ou seja, uma despolarização da luz de 4% por volta no

anel, obteve-se os resultados apresentados no Gráfico 5.

62

Gráfico 5 – PDL normalizada para o caso de 4% de despolarização por volta no anel. (DOP = 0,96)

Como pode ser observado nos Gráficos 4 e 5, houve uma diminuição da PDL

normalizada ao longo das voltas, em ambos os casos, não coincidindo com o número de voltas

no anel. No caso específico, em que não há despolarização da luz, isto é DOP = 1, a matriz

MDEP corresponde à matriz identidade, reproduzindo o histograma do Gráfico 2.

Para a análise comparativa entre valores teóricos e experimentais é necessário simular

os erros experimentais. Notou-se que, no experimento, a PDL normalizada, para a primeira

volta, possui um comportamento correspondente à uma função distribuição de probabilidade

gaussiana, com média zero e desvio padrão 0,3, conforme pode ser observado no Gráfico 6.

63

Gráfico 6 - PDL normalizada experimental para a primeira volta.

Foi realizada, portanto, a convolução dos valores teóricos obtidos para a primeira volta

com a função Gaussiana teórica, com o objetivo de simular os erros experimentais. A

comparação dos dois resultados pode ser observada no Gráfico 7.

Gráfico 7 - Comparação da PDL normalizada experimental para 1 volta e os valores teóricos obtidos através da convolução com a função Gaussiana.

64

Os resultados teóricos para as demais voltas devem também ser convoluídos com a

distribuição Gaussiana, apresentada no Gráfico 6, com o objetivo de serem comparados com

resultados experimentais. No Gráfico 8, pode ser observado o resultado numérico (barras

verticais) comparados com sua convolução (linha sólida) (FLORIDIA, 2005).

No Gráfico 9, comparam-se os resultados experimentais com as simulações numéricas,

devidamente convoluídas com a distribuição gaussiana, e observa-se que, para o caso de 2

elementos concatenados ou 2 voltas no anel (N=2), a distribuição de probabilidade da PDL

obedece a uma função linear e para N>2, a distribuição tende a ser uniformemente distribuída.

Gráfico 8: Resultados numéricos (linha sólida) comparados com sua convolução

com a função Gaussiana (barras verticais).

65

Gráfico 9 - Comparação dos dados experimentais (barras) e de simulação com convolução (linhas sólidas). As simulações foram realizadas assumindo uma despolarização de 7% por volta.

Foi analisada também a PDL média acumulada para os dois casos e constatou-se

novamente que o modelo é uma boa aproximação dos resultados experimentais, como pode

ser observado no Gráfico 10.

66

A curva superior é o resultado teórico esperado para o sistema correspondente ao

RCL, ou seja, a PDL média acumulada cresce linearmente com o número de voltas (N)

enquanto a curva inferior apresenta o resultado esperado para um sistema em linha reta, ou

seja, o crescimento da PDL acumulada ocorre com N . Entre estas curvas temos o resultado

experimental obtido e a comparação com o modelo que inclui despolarização parcial da luz

por volta.

Gráfico 10 - Comportamento do valor médio de PDL acumulada por volta

67

6 CONCLUSÃO

Foi realizado o estudo e a montagem experimental, na Fundação CPqD, de um anel de

recirculação (Recirculating loop - RCL), que permite simular a transmissão por vários enlaces

de fibra com apenas um amplificador de linha, alguns filtros e dispositivos para testes e um

rolo de fibra, sendo assim, com um custo muito menor.

O desempenho de sistemas é influenciado diretamente pela polarização da luz, e com

o aumento da taxa de transmissão e do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos

parâmetros à serem testados. No caso deste trabalho, a PDL presente nos dispositivos foi

caracterizada no RCL, com o objetivo de prever o impacto no desempenho das novas

gerações de sistemas DWDM de alta velocidade.

Inicialmente, foram analisados os diferentes tipos de polarização da luz e suas

representações matemáticas na forma cartesiana, os formalismos matemáticos, tais como

Vetor de Jones e Stokes, entre outros, utilizados para representar os diversos SOPs e

conseqüentemente a PDL e posteriormente, foi realizado o estudo das técnicas de medida da

PDL.

Foram utilizados os métodos de Mueller e Jones para análise da PDL, tanto

experimental quanto teórica.

Notou-se que a PDL média acumulada no RCL apresenta crescimento linear em

relação ao número de voltas no anel, e no caso de enlaces reais de comunicação, o acúmulo da

PDL cresce com a raiz quadrada da distância percorrida pelo sinal.

Outro fenômeno importante em relação à PDL refere-se ao fato de que a PDL total de

uma série de elementos concatenados é diferente da soma das PDLs de cada componente,

devido aos eixos de polarização não estarem necessariamente alinhados entre si.

68

Além disto, dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura, o

alinhamento entre os elementos com PDL muda com o tempo, o que sugere a importância do

estudo estatístico em enlaces ópticos, sendo necessário, portanto, um embaralhamento dos

SOPs no RCL a cada volta. A variação induzida dos SOPs da luz no anel implica na obtenção

de resultados similares aos encontrados num sistema em linha reta.

Os resultados experimentais iniciais obtidos estavam próximos do reportado na

literatura apenas até a quinta volta (N=5), pois provavelmente, estava ocorrendo a

despolarização da luz introduzida no sistema pela ASE do EDFA dentro do anel. De fato,

observa-se que a ASE, por sua natureza de emissão espontânea, é despolarizada,

correspondendo à um valor nulo de PDL.

Para incluir uma possível despolarização do sinal por volta, realizou-se o estudo

teórico utilizando apenas o formalismo de Mueller, pois o formalismo de Jones não considera

a luz não polarizada. O DOP foi obtido por tentativas, com melhor valor estimado em 7%

(DOP=0,93).

Para a análise comparativa entre valores teóricos e experimentais foi necessário

simular os erros experimentais. Foi realizada, portanto, a convolução dos valores teóricos

obtidos para a primeira volta com a função Gaussiana teórica, com o objetivo de simular os

erros experimentais. O modelo apresentou uma boa aproximação dos resultados

experimentais.

As análises apresentadas até aqui correspondem ao caso em que a despolarização por

volta é pequena. Constatou-se que em alguns casos, a PDL acumulada é muito menor que o

esperado não superando o valor de PDL / <PDL1> = 4, mesmo para o caso de 10 voltas.

Acredita-se que ocorra uma maior despolarização por volta, pois nos experimentos utiliza-se

apenas um filtro para a eliminação da ASE no anel.

69

REFERÊNCIAS

AGILENT Technologies – Polarization Dependent Loss Measurement of Passive Optical

Components – Application Note – 2002 – 12p.

BARROS, Miriam Regina X.; ROCHA, Mônica de L.; HORIUCHI, Mariza R. Anel de

Recirculação para testes de Cascatas de Amplificadores e Nós Ópticos em Sistemas

Modulados em 10 Gb/s. Funttel – PA ASDAC OS 40126 – Parte 1. 15 p. Outubro 2002

BARUH, S.; BARROS, M. R. X.; ROCHA, M. de L.; HORIUCHI, M. R.; ROSOLEM, J. B.;

ARRADI, R.; ROSSI, S. M.; PARADISI, A.; GIRALDI, M. T. M. R.; MARTINEZ, M. A. G.

Experimental Demonstration and Numerical Simulation of an Optical Recirculating Loop

Operating at 10 Gb/s. International Microwave and Optoelectronics Conference - IMOC 2003

– Iguazu Falls, Parana, Brazil – 20/23 September 2003.

CANTRELL, C.D. – Polarization – The University of Texas at Dallas (UTD) – Erik Jonsson

School PhoTEC – 09/2004

COHEN-TANNOUDJI, Claude; DIU, Bernard; LALOË, Frank – Quantum Mechanics –

Willey-Interscience Publication – vol 1 – 1977 – p. 417

ESPINOZA, Walter Américo Arellano, Ganho Dependente da Polarização e Buracos

Espectrais em Amplificadores Ópticos a Fibra Dopada com Érbio - - Tese de Doutorado

apresentada ao Instituto de Física “Gleb Wataghin” da Universidade Estadual de Campinas

FLORIDIA, Cláudio; ROCHA, Mônica L.; BARUH, Suzanne; OLIVEIRA, Júlio C. R. F.;

SIMÕES, Fábio D.; Martinez, Maria A. G. – Degree of Polarization (DOP) Loss in the

Statistics os Polarization Dependent Loss (PDL) in Recirculating Loop – XXII Simpósio

Brasileiro de Telecomunicações (SBrT’05) – Campinas SP - Set 2005

FLORIDIA, Cláudio; BARUH, Suzanne; ROCHA, Mônica L.; OLIVEIRA, Júlio C. R. F.;

SIMÕES, Fábio D.; Martinez, Maria A. G. - Inclusion of Depolarization Effects in

Polarization-Dependent Loss Statistics of a Recirculating Loop - SPIE Europe Regional

Meeting – The International Society for Optical Engineering – SPIE 2005 – Dublin, Ireland

– 4/6 April 2005

FOWLES, Grant R. - Introduction to Modern Optics –– 2ª Edition – 1975

70

FUKADA, Y., “Probability density function of polarization dependent loss (PDL) in optical

transmission system composed of passive devices and connecting fibers”, Journal of

Lightwave Technology, v. 20, n. 6, pp. 953 – 964, 2002.

GORDON, J.P.; KOLGELNIK, H. - PMD fundamentals: Polarization mode dispersion in

optical fibers – Crawford Hill Laboratories, Lucent Technologies – 25 Abr. 2000 – pp. 4541-

4550 – vol. 97 – n. 9

HECHT, Eugene. Optics – Addison Wesley Longman, Inc – 3ª Edition - 1998

HENTSCHEL, C.; Derickson D. - Fiber Optic Test and Measurement, Prentice Hall, 1998.

HENTSCHEL, Christian; SCHMIDT, Siegmar – PDL Measurement using the Agilent 8169A

Polarization Controller Polarization Dependent Loss Measurement of Passive Optical

Components – Application Note – 2002 – 13p.

MONTEIRO, Hoan C..; BARUH, Suzanne; MARTINEZ, Maria A.; ROCHA, Mônica L.;

BARROS, Miriam R. – Avaliação do Desempenho de Sistemas Utilizando um Anel de

Recirculação Óptico - XXI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações – SBrT 2004 –

Universidade da Amazônia – UNAMA – BR – Belém – Pará – 06/09 de Setembro de 2004

NEWPORT – Projects in Fibers Optics – Applications Handbook –1999

ROCHFORD, Kent – Polarization and Polarimetry – National Institute of Standards and

Technology – Encyclopedia of Physical Science and Technology, 3ª ed. Vol. 12

SHTAIF, Mark – Three Lectures on Polarization Light – School of Electrical Engineering,

Dept. of Physical Eletron. Tel Aviv University

VINEGONI, Claudio; Karlsson, Magnus; Petersson, Mats; Sunnerud, Henrik. The Statistics

of Polarization-Dependent Loss in a Recirculating Loop - Journal of Lightwave Technology –

vol 22 - nº 4 - p. 968-975 - April 2004.

YARIV, Amnon; YEH and Pochi - Optical Waves in Crystal. Propagation and Control of

Laser Radiotion – 1984