estudo da recta no plano. recta no plano passando na origem inclinação da recta
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ESTUDO DA RECTA NO PLANO
Recta no plano passando na origem
40.67 ( 67%)
6( 0.67)
tg declive da recta
m Notar que é positivo
4 2
6 3
2
3
P
P
P P
ym
x
y x
P(6,4)
Em qualquer ponto P( , ) da recta veri
(eq.re
fica
duzi
-s
da da recta)
e
y
yx y
mx
mx
Inclinação da recta
Recta no plano passa na origem
40.67 ( 67%)
6( 0.67)
tg declive da recta
m Notar que é negativo
4 2
6 3P
P
P P
ym
x
y mx
P(6,-4)
Em qualquer ponto P( , ) da recta veri
(eq.re
fica
duzi
-s
da da recta)
e
y
yx y
mx
mx
Recta no plano não passa na origem
40.67 ( 67%)
6( 0.67)
tg declive da recta
m Notar que é positivo
4 2
6 3
22
(6) 63P Py b
m
mx
Em qualquer ponto P( , ) da recta veri
(eq.red
fica-
uzida da recta
s
)
e:
y mx b
x y
P(6,4)
Ordenada da recta na origem2b
4
6
Recta no plano não passa na origem
20.33 ( 33%)
61
Tangente negativa, logo -3
tg declive da recta
m
P(6,-4)
6
2
Ordenada da recta na origem2b
Em qualquer ponto P( , ) da recta veri
(eq.red
fica-
uzida da recta
s
)
e:
y mx b
x y
1(6) 4
3( 2)P Py mx b
Generalizar y=mx+b (conhecidos 2 pontos da recta)
(2,4)A
P(x,y)
Declive “m” da recta
( )A
A AA y
y ym
xy m x
xx
Equação da recta
( )
4 ( 2)
2
A Ay y m x x
y m x
y mx
2x
4y
K
y=m
x+2
Verificação em K(0,2)
4 21
2 0
( )
4 2 1(2 0) 2
2 2 . . .
A K
A K
A K A K
y ym
x x
y y m x x
q e d
Equação da recta no plano definida por dois pontos A e B
Considerar um ponto P(x,y) pertencente à rectaConsiderar o triângulo verde com catetos de dimensão igual à diferença de coordenadas dos 2 pontos definidores da recta.
Notar que a ordem escolhida para as diferenças foi A-B
Considerar o triângulo azul com catetos de dimensão igual à diferença de coordenadas de P e do 2º dos pontos anteriores.
Notar que se obedeceu à ordem anterior pois fez-se P-B
Os dois triângulos são semelhantes pelo que:
B(2,-2)
A(8,8)
A Bx x
By y
Bx x
A B B
A B B
y y y y
x x x x
A By y( , ) •P x y
Equação da recta no plano definida por dois pontos A e B
B(2,-2)
A(8,8)
A Bx x
By y
Bx x
A B B
A B B
y y y y
x x x x
A By y( , ) •P x y Não é novidade...
- :
( )
( )
"m" :
A BB B
A B
A B
B
A
B
B
Da equação anterior obtém se
y yy y x x
x x
y yé o d
y y
eclive da recta pelo quex x
m x x já apresentada
Rectas paralelas (r//s)
r
s
Rectas paralelas têm igual declive
tg tg
Rectas paralelas (exemplo)3
" ": 24
Equação recta r y x " " " " (-2, -3)
" "
A recta s é paralela a r e passa em P
Calcular a equação da recta s
r
s
Resolução3
( )4s rm m rectas paralelas
1 1
" "
( )P s P
Equação da recta s
y y m x x
P 1
1 1
1
1 1
3( 3) ( (
3 3
4
2)4
33 ( )
2
24
y x
y x
y x
3 -
2Notar b
1 1( , )y x
Rectas perpendiculares entre si
3
22 3
. 13 2
2
3r
s
r s
m
m m
m
r
P(3,7)
(0,9)Q s
(4,0)A
(6,3)B
Nas rectas perpendiculares entre si, o produto dos seus declives é igual a -1
Rectas perpendiculares entre si (exemplo)3
" ": 24
Equação recta r y x
" " " " (2,6)
" "
A recta s é perpendicular a r e passa em P
Calcular a equação da recta s
r
Resolução. 1 ( )
3 41
4 3
s r
s s
m m perpendicularidade
m m
1 1
" "
( )P s P
Equação da recta s
y y m x x
P
1
1
1
1
46 ( 2)
23
4 6
3 3y
y x
x
s
26
3Notar b
Equação geral da recta no plano
3 " ": 2
4Equação reduzida da recta r y x
0 Ax By C
: 3 4 8 0
3
4
8
Equação geral da recta x y
A
B
C
Exercício 1
Círculo com centro O e raio 2. Pontos A(-2,0); B(0,2). Coordenadas de C?
A
B
C
Raciocínio
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 0 2 2
4 4 ( 2 2) 4
(5 8) 04 8 4 4 5 8 0
16 62
5 58
805
5
y x y x
x y x y x x
x xx x x x x
y
x xx
8 6,
5 5C
Exercício 2
Raciocínio
Re " 3 - 2 4 0.
(5,6) " "
cta r com equação y x
Calcular distância de P à recta r
P
I
3
2
r
Exercício 2
Cálculo
2 4Re "
3 3 (5,6) " "
cta r com equação y x
Calcular distância de P à recta r
P
I
3
2
23
Recta "s" "r" passando em P:
1 1 3declive da recta "s": m .m =-1 m
m 2r s sr
s
r
Coordenadas do ponto I
892 3 4 13
3 2 27 42
13
xx y
x yy
2 22
89 425 6
13 13
3.33
Distância PI
PI
PI
Equação de "s"
( )
36 ( 5)
23 27
2 2
P s Py y m x x
y x
y x
Exercício 3
Raciocínio e Cálculo
B b
b
a
A
3
2
b
a
C
3
2
b
a
Exercício 3
B 20b
b
a
A
3
2
b
a
C
y ax b 2y ax b
Raciocínio e Cálculo
Vector
3
4Paralelo a AB. Tem declive 4/3. AB tem a=4/3
4Re :
3cta AB y ax b y x b
2 223 3
: 225 225 400 2044
:
4
3
Do an
b bÁ
terior sabemos
rea triângulo b ba
3 3(20)22.5
42 23
20225 22.5
2
bBase do triângulo
a
ACou AC
43
83
20( ,0) ( ,0) ( 15,0)
20( ) ( ,0) (7.5,0)2
bA
a
bC
a
2 2 2
2 2 2
15 20 25
7.5 20 21.36
AB AB
BC BC
22.5 25 21.36 68.86Perímetro 3
2
b
a
322.5
2
b
a
Exercício 4
B
3
A C
3 9y x 6 9y x
Raciocínio e Cálculo
. : 3 9
0 0 3 9 -3 (-3,0)
Eq recta AB y x
Vértice A tem y x x A
. : 6 9
9 (0,9)
0 6 9 1.5 (1.5,0)
Eq recta BC y x
Vértice B é ordenada na origem b B
Vértice C tem ordenada nula x x C
9b
1.5
(4.5)(9)20.25
2Área de ABC
1' ' ' (20.25) 2.25
9Área de A B C
2
' ' ' .
20.25 9 3
' ' ' 2.25
ABC e A B C são semelhantes
Área ABCRazão desemelhança é r r
Área A B C
13 ' (3) 1 ' 1
33 9 3( 1) 9 6
'( 1,6)
AO A K abcissa de A
y
A
x
11.5 ' (1.5) 0.5 ' 0.5
'(0.5,6
36 9 6( 5
)
0. ) 9 3
OC KC abcissa de C
y
C
x
K
Isto é lindo, lindo…