distância entre dois pontos •na recta •no plano •no espaço © paulo correia 2001

Distância entre Dois PontosDistância entre Dois Pontos

•Na Recta

•No Plano

•No Espaço

© Paulo Correia 2001

0

A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada.

5x

P(5) dPO=5 5

Distância entre dois pontos na Recta

Início


0

A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada.

-5x

Q(-5) dQO=5

5


Início


De uma forma geral, a distância de um ponto à origem é o valor absoluto da própria coordenada.

ax

P(a) dPO=|a|

0

|a|


Início


0

A distância entre dois pontos será dada pela subtracção das coordenadas.

5x

P(3)Q(5)

dPQ=5-3 =2

3

2


Início


a

Se não soubermos qual é o maior valor (a ou b), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim vamos obter sempre um valor positivo para a distância.

bx

P(a)Q(b)

dPQ=|a-b||a-b|


Início


0 3x

P(5)Q(3)

dPQ=|a-b|Exemplo:

5

dPQ= |3-5| = |-2| = 2

dPQ= |5-3| = |2| = 2

Início


0 3x

P(-1)Q(3)

Exemplo:

-1

dPQ= |-1-3| = |-4| = 4

dPQ= |3-(-1)| = |3+1| = |4| = 4

Início


dPQ=|a-b|

0-6x

P(-2)Q(-6)

Exemplo:

-2

dPQ= |-6-(-2)| = |-6+2| = |-4| = 4

dPQ= |-2-(-6)| = |-2+6| = |4| = 4

Início


dPQ=|a-b|

-24 x

P(-2,4)Q(-2,9)R(4,4)

5

Distância entre dois pontos no Plano

y

0 P 9Q

4 R

6

No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas:

dPR = |-2-4| = = 6

No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas:

dPQ = |4-9| = = 5 Início


x


y

0

P(a1,b1)Q(a2,b2)

Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos?

a1

b1

a2

b2

P

Q

?

Início


x


y

0

P(a1,b1)Q(a2,b2)

Começamos por considerar um terceiro ponto cuja abcissa seja igual à de um dos pontos e a ordenada igual à do outro ponto.

a1

b1

a2

b2

P

Q

?

R(a2,b1)

R

Início


x


y

0

P(a1,b1)Q(a2,b2)

Determinamos a distância do ponto novo a cada um dos pontos dados.

a1

b1

a2

b2

P

Q

?

R(a2,b1)

R

dPR = | a1-a2 |

dQR = | b1-b2 |

Início


x


y

0

P(a1,b1)Q(a2,b2)

Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância entre os dois ponto iniciais.

a1

b1

a2

b2

P

Q

R(a2,b1)

R

dPR = | a1-a2 |

dQR = | b1-b2 |

(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2

Início


x


y

0

P(a1,b1)Q(a2,b2)

Podemos expressar adistância entre dois pontos através das suas coordenadas.

a1

b1

a2

b2

P

Q

R(a2,b1)

R

dPR = | a1-a2 |

dQR = | b1-b2 |

(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2

(dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2

d

2212

21 bbaadPQ

Início


Exemplo: 2212

21 bbaadPQ

x

y

0

P(7,-2)7

-2P

A distância de um ponto à Origem é dada por:

22 badPO

53

449

)2(7 22

POd

Início


Exemplo: 2212

21 bbaadPQ

x

y

0

P(7,-2)Q(-3,4)

7

-2P

342

136

36100

)6()10(

)42()37(

)42())3(7(

22

22

22

PQd

-3

4

Início


x

Distância entre dois pontos no Espaço

y

zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)

P

Q

a1

b1

c1

a2

b2

c2

?

Início


x


y

zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)R(a2, b2 ,c1)

P

Q

a1

b1

c1

a2

b2

c2

Começamos por considerar um ponto com duas coordenadas iguais a um dos pontos e a outra igual ao outro ponto.

R

Início


x


y

zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)R(a2, b2 ,c1)

P

Q

a1

b1

c1

a2

b2

c2

Determinamos a distância desse ponto a cada um dos outros pontos.

R

(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2

dQR = | c1-c2 |

Início


x


y

zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)

P

Q

a1

b1

c1

a2

b2

c2

Através do Teorema de Pitágoras podemos agora determinar a distância entre os ponto P e Q.

R

(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2

dQR = | c1-c2 |

(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2

(dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2

Início


x


y

zP(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)

P

Q

a1

b1

c1

a2

b2

c2

Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas.

R

(dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2

dQR = | c1-c2 |

(dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2

(dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2

2212

212

21 ccbbaadPQ Início


A distância de um ponto à Origem é dada por:

222 cbadPO

53

45

16254

45)2( 222

POd

Exemplo: 2212

212

21 ccbbaadPQ

x

y

zP(-2,5,4)

P

-2

5

4

Início


Exemplo: 2212

212

21 ccbbaadPQ

x

y

z

P(2,-2,-4)Q(-4,6,3)

P

Q

2

-2

-4

-4

6

3

149

496436

)7()8()6(

)34()62()42(

)34()62())4(2(

222

222

222

PQd

Início


Distância entre Dois PontosDistância entre Dois Pontos

•Na Recta

•No Plano

•No Espaço

P(a)Q(b)

dPQ=|a-b|

2212

21 bbaadPQ P(a1,b1)Q(a2,b2)

P(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)

2212

212

21 ccbbaadPQ

Início


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