1

Estudo da Parábola

.

1. Definição da Parábola que se cortarmos o duplo cone com um plano paralelo a uma geratriz do cone teremos a

cônica denominada parábola

Nas duas aulas que se seguem vamos fazer os tratamentos analíticos da parábola, começando

pela sua definição.

Parábola é o conjunto de todos os pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo e de

uma reta fixa desse mesmo plano. 2. Elementos da Parábola Foco: ponto fixo Diretriz: reta fixa Eixo de simetria: reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz Vértice: ponto onde a parábola corta o eixo de simetria Distância focal: distância do foco à diretriz, representado por p

2

3. Equação da Parábola com vértice na origem dos eixos e eixo de simetria sobre eixo y Elementos dessa parábola V (0,0) vértice F(0, p/2) foco P1(x,y) um ponto qualquer da curva P2(x, -p/2) um ponto sobre a diretriz y = -p/2 equação da diretriz x = 0 equação do eixo de simetria Pela definição de parábola a distância do foco ao ponto P1 deve ser igual à distância do ponto P1 ao ponto P2 que é a distância do ponto à diretriz

x

y

F

Diretriz

V

Eixo de simetria

Distância focal

p/2

p/2

x

y

F

Diretriz

V

Eixo de simetria

P1

P2

p/2

p/2x

y

distância

distância

3

Expressando analiticamente essa definição temos:

1P2P1FP ==== a distância do foco ao ponto P1 tem que ser igual à distância de P1 ao P2,

isto é , a distância de qualquer ponto da curva à diretriz.

2)2

py(2)xx(2)

2

py(2)0x( ++++++++−−−−====−−−−++++−−−− aplicando a distância entre dois pontos

2

2)2

py(2)xx(

22)

2

py(2)0x( ++++++++−−−−====−−−−++++−−−− elevamos ao quadrado para “escapar”

das raízes

2)2

py(2)xx(2)

2

py(2)0x( ++++++++−−−−====−−−−++++−−−− resolvendo os parênteses

4

2ppy2y

4

2ppy2y2x ++++++++====++++−−−−++++ reduzindo os termos semelhantes

4

2ppy2y

4

2ppy2y2x ++++++++====++++−−−−++++

x2 = 2py

x2 = 2py Equação Reduzida da Parábola Observe o que necessitamos para determinar essa equação! Apenas a distância focal aparece como incógnita nessa equação, pois x e y é o ponto qualquer que sempre temos em uma equação de uma cônica. Exemplo 1: Determine vértice, foco, diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por x2 = 12y É fundamental identificar que essa equação é de uma parábola que tem vértice na origem e eixo de simetria sobre eixo y. A partir daí devemos ter presente o formulário para esse caso:

Para saber mais vá à

Virtualteca

[MA1] Comentário: Distância entre dois Pontos no plano

· Fórmula para calcular a

distância entre dois pontos

4

V (0,0) vértice F(0, p/2) foco y = -p/2 equação da diretriz x2 = 2py equação da parábola x = 0 equação do eixo de simetria x2 = 12y x2 = 2py 2p=12 p=6 logo: V(0,0) vértice F (0, 3) foco y = -3 diretriz x = 0 equação do eixo de simetria Exemplo 2: Determine vértice, foco, diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por x2 = -8y Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (0,0) e eixo de simetria sobre eixo y

x

y

V

F

Diretriz

5

Formulário: V (0,0) vértice F(0, p/2) foco y = -p/2 equação da diretriz x2 = 2py equação da parábola x2 = 2py x2 = -8y 2p = -8 p = - 4 logo: V(0,0) vértice F(0, p/2) F (0, -2) foco y = - p/2 y = 2 diretriz x = 0 equação de eixo de simetria Observe esses dois exemplos! Podemos registrar se p > 0 parábola com abertura para cima se p < 0 parábola com abertura para baixo

x

y

V

F

Diretriz

6

4. Equação da Parábola com vértice na origem dos eixos e eixo de simetria sobre eixo x Elementos dessa parábola V (0,0) vértice F(p/2, 0) foco P1(x,y) um ponto qualquer da curva P2(-p/2, y) um ponto sobre a diretriz x = -p/2 equação da diretriz y = 0 equação do eixo de simetria

x

y

x

y

p > 0 abertura para cima

p < 0 abertura para baixo

x

y

F

Diretriz

7

Para encontrarmos a equação dessa curva devemos considerar um ponto genérico P1(x,y) e o ponto que determina a distância de P1 à diretriz que está representado na figura abaixo por P2. Considerando os pontos V(0,0) vértice F(p/2,0) foco x = - p/2 diretriz P1(x,y) um ponto qualquer da curva P2(-p/2,y) um ponto sobre a diretriz y = 0 equação de eixo de simetria Expressando analiticamente essa definição temos:

x

y

F

Diretriz

P1P2

V

p/2 p/2

distância

distância

8

1P2P1FP ==== a distância do foco ao ponto P1 tem que ser igual à distância de P1 ao P2,

isto é , a distância de qualquer ponto da curva à diretriz.

2)yy(2)2

px(2)0y(2)

2

px( −−−−++++++++====−−−−++++−−−− aplicando a distância entre dois pontos

2

2)yy(2)2

px(

22)0y(2)

2

px( −−−−++++++++====−−−−++++−−−− elevamos ao quadrado para “escapar”

das raízes

2)yy(2)2

px(2)0y(2)

2

px( −−−−++++++++====−−−−++++−−−− resolvendo os parênteses

4

2ppx2x

4

2ppx2y2x ++++++++====++++−−−−++++

4

2ppx2x

4

2ppx2y2x ++++++++====++++−−−−++++ reduzindo os termos semelhantes

y2 = 2px

y2 = 2px Equação Reduzida da Parábola Exemplo 3: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por y2 = 18x Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (0,0) e eixo de simetria sobre eixo x apresenta o seguinte quadro: V (0,0) vértice F (p/2,0) foco x = - p/2 equação da diretriz y2 = 2px equação da parábola

9

y = 0 equação do eixo de simetria y2 = 2px y2 = 18x 2p = 18 p = 9 p/2 = 9/2 Logo: V(0,0) vértice F (p/2,0) F (9/2,0) foco x = - p/2 x = -9/2 diretriz y = 0 equação de eixo de simetria Exemplo 4: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por y2 = -16x Novamente consulte o quadro: V (0,0) vértice F (p/2,0) foco x = - p/2 equação da diretriz y2 = 2px equação da parábola y = 0 equação do eixo de simetria

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

FV

10

y2 = 2px y2 = -16x 2p = -16 p = - 8 p/2 = - 4 Logo: V(0,0) vértice F (p/2,0) F (-4,0) foco x = - p/2 x = 4 diretriz y = 0 equação de eixo de simetria Podemos nesse caso das parábolas cujo eixo de simetria coincide com o eixo das abscissas fazer a observação de sua abertura: se p > 0 parábola com abertura para direita se p < 0 parábola com abertura para esquerda Atenção: Fica aqui a sugestão de dividir o estudo da parábola em duas aulas. A partir daqui teremos a aula 13 da semana que vem!

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

F V

11

As duas equações de parábola que se seguem apenas deslocam o vértice para um ponto qualquer dos eixos coordenados. 5. Equação da Parábola com vértice em um ponto qualquer dos eixos e eixo de simetria sobre eixo y A técnica que podemos utilizar para demonstrar essa equação é fazer a construção anterior, com vértice na origem e chamar esses eixos de auxiliares. Para entender, observe a construção abaixo:

Figura 1 Definindo o valor das coordenadas x e y temos:

x

y

F

Diretriz

V

Eixo de simetria

y’

x’

x

y

0

y’ y

x’

x

P

x

y

F

Diretriz

V

Eixo de simetria

y’

x’

x

y

0

y’ y

x’

x

P

y’

k

h x’

12

Na figura 1 temos a equação da parábola de centro (0,0) cuja equação é x’2 = 2py’ Na figura 2 onde acrescentamos os eixos xoy de translação teremos: x = x’ +h y = y’ + k isolando x’ e y’ teremos: x’ = x - h y’ = y - k onde h e k são as coordenadas do vértice nos eixos xoy, isto é: V (h,k) substituindo as igualdades acima na equação x’2 = 2py’ (x-h)2 = 2p(y-k)

(x-h)2 = 2p(y-k) Equação Reduzida da parábola cujo vértice está no ponto (h,k) e eixo de

simetria é paralelo ao eixo y

Exemplo 5: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (3,2), eixo de simetria paralelo ao eixo y e cuja distância focal é 4u.c. Lembre! Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (h,k) e eixo de simetria paralelo ao eixo y apresenta o seguinte quadro: V (h,k) vértice F (h,k+p/2) foco

Figura 2

13

y = k - p/2 equação da diretriz (x-h)2 = 2p(y-k) equação da parábola Para determinar a equação da parábola precisamos de (h,k) e do p que nesse exemplo são dados, portanto substituindo (x-h)2 = 2p(y-k) (x-3)2 = 2.4(y-2) (x-3)2 = 8(y-2) Equação Reduzida resolvendo teremos: x2- 6x+9 = 8y-16 x2- 6x - 8y+25 = 0 Equação Geral isolando y: x2- 6x+9 = 8y-16 x2- 6x+9 +16 = 8y

y = 8

256x -2x ++++ Equação Explícita

Exemplo 6: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (-1,4) e cujo foco está no ponto (-1,7).

V (h,k) vértice F (h,k+p/2) foco y = k - p/2 equação da diretriz (x-h)2 = 2p(y-k) equação da parábola

−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

VDiretriz

14

V (h,k) V( -1 , 4) h = -1 k = 4 F (h,k+p/2) F( -1 , 7) k+p/2 = 7 4+p/2 = 7 p/2 = 7 – 4 p/2 = 3 p = 6 Equação : (x-h)2 = 2p(y-k) (x+1)2 = 2.6(y-7) (x+1)2 = 12(y-7) Equação Geral Encontre a Explícita

6. Equação da Parábola com vértice em um ponto qualquer dos eixos e eixo de simetria sobre eixo x

De forma análoga ao da parábola do item anterior podemos encontrar a equação nesse caso. Observe a parábola abaixo com vértice em um ponto qualquer segundo os eixos xOy. Nos eixos x’Oy’ a parábola tem vértice na origem

V

F x’

y’ y

x

15

Figura 1

E na figura 2 onde fizemos a translação teremos: x = x’ +h y = y’ + k isolando x’ e y’ teremos: x’ = x - h y’ = y - k onde h e k são as coordenadas do vértice nos eixos xoy, isto é: V (h,k) substituindo as igualdades acima na equação y’2 = 2px’ (y-k)2 = 2p(x-h)

V

F x’

y’

y

x

x’

x

y

y’

P

h

k

Figura 2

Figura 1

16

(y-k)2 = 2p(x-h)

Equação Reduzida da parábola cujo vértice está no ponto (h,k) e eixo de simetria é paralelo ao eixo x

Observe que apenas houve a troca das variáveis x e y da equação anterior.

O quadro abaixo servirá de consulta para esse caso.

V (h,k) vértice F (h+p/2 , k) foco x = h - p/2 equação da diretriz (y-k)2 = 2p(x-h) equação da parábola

Exemplo 7: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (-5,1) , eixo de simetria paralelo ao eixo x e cuja distância focal é 3u.c. (y-k)2 = 2p(x-h) (y-1)2 = 2.3(x+5) (y-1)2 = 6(x+5) Equação Reduzida y2-2y +1 = 6x+30 y2-2y -6x-29 = 0 Equação Geral isolando x teremos: y2 - 2y - 29 = 6x

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

17

x = 6

29-2y-y2 Equação Explícita

7. Determinação de vértice, foco e diretriz da parábola

Quando temos a equação da parábola na forma explícita podemos encontrar seus elementos comparando-a à equação de 2° grau. Você pode observar que a forma explícita da equação da parábola pode ser expressa por : y = ax2+ bx + c eixo de simetria paralelo ao eixo y x = ay2+ by +c eixo de simetria paralelo ao eixo x Vamos primeiramente fazer a comparação da primeira equação com a de 2° grau y = ax2+ bx + c (x-h)2 = 2p(y-k) x2-2hx+h2 = 2py - 2pk isolando y 2py - 2pk = x2-2hx+h2 2py = x2-2hx+h2+2pk

2p

2pk2h2hx-2xy

++++++++==== comparando com

y = ax2+ bx + c Equação Termo em x2 Termo em x

Termo Independente

2p

2pk2h2hx-2xy

++++++++==== p2

1

p2

h2−−−−

p2

pk22h ++++

y = ax2+ bx + c

a b c

Igualando os termos das duas equações teremos:

p2

1=a 1 = 2pa 2pa = 1 p =

a2

1 distância focal

18

p2

h2−−−− = b b

p

h====−−−− -h = bp h = -bp h = -b

a2

1 h = -

a2

b abscissa do vértice

podemos encontrar a ordenada do vértice substituindo o valor da abscissa na equação e encontrando seu respectivo valor de y, isto é, k. Exemplo 8: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola de equação

12

1x22xy

++++++++====

Continuamos com o primeiro passo estabelecido desde a primeira solução: Identificar a equação que temos: V (h,k) vértice F (h,k+p/2) foco y = k - p/2 equação da diretriz Para fornecer as respostas temos apenas que encontrar h, k e p Iniciando por p:

distância focal p = a2

1 p =

12

12

1= 6

6

11====

abscissa do vértice : h = -a2

b h = - 1

12

12

1

6.

12

2

6

112

2

12

12

12

2

−−−−================

substituindo na equação 12

1x22xy

++++++++====

encontraremos k

12

1x22xy

++++++++====

19

12

1)1.(22)1(y

++++−−−−++++−−−−====

012

0y ========

k = 0 Substituindo no quadro teremos V (h,k) vértice V (-1,0) F (h,k+p/2) foco F (-1 , 0+3) F (- 1 , 3) y = k - p/2 equação da diretriz y = 0 - 3 y = -3 Exemplo 9: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola de equação

4

21y62yx

++++++++====

Quadro dessa equação: V (h,k) vértice F (h+p/2 , k) foco x = h - p/2 equação da diretriz

distância focal p = a2

1 p =

4

12

1= 2

2

11====

abscissa do vértice : k = -a2

b k = - 3

4

12

1

2.

4

6

2

14

6

4

12

4

6

−−−−====−−−−====−−−−========

substituindo na equação 4

21y62yx

++++++++====

encontraremos h

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

V

F

20

4

21y62yx

++++++++====

4

21)3.(62)3(x

++++−−−−++++−−−−====

4

12x ====

h = 3 Substituindo no quadro teremos V (h,k) vértice V (3, -3) F (h+p/2 , k) foco F (3+1 , 3) F ( 4 , -3) x = h - p/2 equação da diretriz x = 3 -1 x = 2

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

VF