ESTUDO DA GEOMETRIA ASSOCIADA ÀS QUESTÕES DO COTIDIANO

DO ALUNO

Autora: Silvana Marta Marcello1

Orientadora: Raquel Lehrer2

RESUMO

Este artigo pretende refletir acerca da construção do conhecimento matemático a partir da Modelagem Matemática na forma de construção de planilha de custos para uma suposta execução de reforma de uma casa. Saber utilizar as formas geométricas para representar e visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para transformar problemas da vida em problemas matemáticos. Nessa visão, no descompasso entre o implícito e o explícito quanto ao ensino da Matemática na sala de aula e a relação com sua prática no cotidiano, pode-se levantar os seguintes questionamentos: Como construir o conhecimento de objetos geométricos? De que forma fazer com que os alunos estabeleçam relações entre o objeto de estudo e a Geometria? Como parte integrante do raciocínio geométrico, o qual espera-se que o aluno adquira durante sua formação, está o desenvolvimento das habilidades de visualização, de forma de interpretação de gráficos, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas. Portanto, a escolha dessa temática deve-se ao fato de agregar a teoria à prática no ensino de Geometria Plana e Espacial no 3º ano do período matutino do Ensino Médio, utilizando como modelo matemático a residência do aluno para a feitura da planta baixa e exploração de conteúdos afins. Preocupa-se, neste trabalho, em instaurar uma ação pedagógica que supere os conflitos, infindo a visão da matemática mecânica, estática e neutra.

Palavras-chave: Geometria; Modelagem Matemática; Ensino Médio.

1 Professora PDE/2010, graduada em Ciências, com habilitação em Matemática pela

FACEPAL, com especialização em Metodologia do ensino da Matemática pela CPEA e especialização “Latu Sensu” em educação Matemática pela UNIOESTE. Atua no Colégio Estadual Doze de Novembro, médio e profissional na cidade de Realeza - PR. E-mail silvanamarta@seed.pr.gov.br. 2 Professora Orientadora do PDE/2010, Mestre em Matemática pela Universidade de Brasília –

DF, Professora Assistente Unioeste – Cascavel – PR.

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1 INTRODUÇÃO

O presente Artigo Científico é parte integrante do Programa de

Desenvolvimento Educacional – PDE/2010, da Secretaria de Estado da

Educação do Paraná onde apresenta a fundamentação teórica do Projeto que

tem o tema: “Estudo da Geometria associada às questões do cotidiano do

aluno”, descreve as práticas desenvolvidas na Proposta de Intervenção

Pedagógica e apresenta comentários dos integrantes do GTR - Grupo de

Trabalho em Rede.

A proposta metodológica foi implementada no Colégio Estadual Doze

de Novembro, Médio e Profissional, da cidade de Realeza - PR., e direcionada

para alunos do 3º ano “B”, Bloco 2, turno matutino.

A SEED-PR oportunizou toda a rede pública que oferta Ensino Médio

a optar em permanecer com o Ensino Médio Regular ou optar pela organização

por Blocos de Disciplinas Semestral, de acordo com a INSTRUÇÃO Nº

021/2008 – SUED/SEED, com a implantação a partir do ano letivo seguinte a

data da escolha.

Em 2010, o Colégio, após consultar a comunidade escolar optou pelo

ensino em blocos que consiste na divisão das disciplinas da série/ano em dois

blocos distintos: o primeiro ofertando as disciplinas de Arte, Física, Geografia,

Matemática, Química e Sociologia, o outro bloco com as disciplinas de Biologia,

Educação Física, Filosofia, História, Inglês e Português.

Em 2011, passou a ofertar o Ensino Médio na forma de ensino em

blocos de forma experimental, com o objetivo de diminuir a evasão e a

reprovação escolar, visando melhoria no aproveitamento dos estudos.

O Colégio trabalha pautado na filosofia de preparar o aluno para o

exercício consciente da cidadania capaz de defender seus direitos e cumprir

seus deveres, aprimorando-se como pessoa humana em sua formação ética,

moral, autonomia intelectual e compreensão dos conhecimentos científicos e

tecnológicos do mundo contemporâneo, através de uma educação

transformadora (PPP do Colégio Estadual Doze de Novembro – EMP, 2012).

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A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo que ajuda a

estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. Porém, também desempenha

um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e

para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas.

No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino

Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e

estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como

para a atividade profissional. Não se espera que os alunos possuam muitas e

sofisticadas estratégias de conhecimento geométrico, mas sim, desenvolvam a

iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as

adequadamente no momento oportuno.

Torna-se cada vez mais evidente a necessidade de contextualizar o conhecimento matemático a ser transmitido ou construído, não apenas inserindo-o numa situação-problema, ou numa abordagem dita concreta, mas buscando suas origens, acompanhando sua evolução, explicitando sua finalidade ou seu papel na interpretação e na transformação da realidade com a qual o aluno se depara e/ou de suas formas de vê-la e participar dela. (FONSECA, 2005, p.54).

O ensino da Matemática a nível médio está inserido em inúmeras

contradições sociais e indica a existência de movimentos de ação pedagógica

de resistência às relações de dominação, sendo comum a transmissão de uma

visão estática do conteúdo matemático, como se ele fosse pronto e acabado,

como se seus princípios, suas regras, fossem absolutas no tempo e no espaço.

Percebe-se que grande parte dos alunos apresenta desinteresse, tendo

como meta passar de ano, sem preocupação com o conhecimento científico.

Nessa visão, no descompasso entre o implícito e o explícito em relação

ao ensino da Matemática, pode-se levantar os seguintes questionamentos:

Como construir o conhecimento de objetos geométricos? Como fazer com que

os alunos estabeleçam relações entre o objeto de estudo e a Geometria?

O presente estudo tem a intenção de refletir acerca da construção do

conhecimento matemático a partir da Modelagem Matemática na forma de

construção de planilha de custos para uma suposta execução de reforma de

uma casa.

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Nessa perspectiva, o projeto pedagógico para o ensino da Geometria

possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para

compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo em que

vive. Também é fato que as questões geométricas costumam despertar o

interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontâneo. Preocupa-

se, neste trabalho, em instaurar uma ação pedagógica que supere os conflitos,

infindo a visão da matemática mecânica, estática e neutra.

No entanto, a proposição de um trabalho de qualidade com esse tema, exige uma melhor compreensão das práticas escolares desenvolvidas com a geometria em escolas de nossa comunidade, observando como os alunos reagem em relação a elas, como (re) constroem conceitos/noções/ideias nesse campo do conhecimento humano e as dificuldades que enfrentam nesse processo de re(construção),bem como a forma como utilizam esses conceitos em diferentes situações-problema, escolares ou não. (PAVANELLO, 1998, p.28).

Acredita-se que o conteúdo matemático precisa ser apropriado pelos

educandos, pois, se pela exclusão se processa a reprovação, é pela melhoria

da qualidade do ensino que a função transformadora poderá se efetuar, ao

buscar a melhor maneira de trabalhar este conteúdo educativo.

Tendo como objetivo geral de investigação elaborar atividades práticas

de Geometria Plana e Espacial para a aplicabilidade no cotidiano do aluno,

especificamente, pretende-se:

a) aplicar conhecimentos sobre medições, proporções, regra de três,

perímetros, áreas e volumes na resolução de problemas;

b) desenvolver noções sobre o sistema dedutivo formal; e,

c) conhecer e aplicar propriedades e relações geométricas na

resolução de problemas.

As supostas reformas estipulada pelos educandos, tem por objetivo, de

um lado, contribuir para melhorar o conhecimento geométrico e, de outro,

favorecer em criar noções básicas da construção civil e que são indispensáveis

na vida de qualquer cidadão.

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Usar as formas geométricas para representar e visualizar partes do

mundo real é uma capacidade importante para transformar problemas da vida

real em problemas matemáticos

Como parte integrante do raciocínio geométrico, o qual espera-se que

o aluno adquira durante sua formação, está o desenvolvimento das habilidades

de visualização, de interpretação de gráficos, de argumentação lógica e de

aplicação na busca de solução para problemas.

O ensino de geometria no 1º grau completo está estruturado para propiciar uma primeira reflexão dos alunos, através da experimentação e de deduções informais, sobre as propriedades relativas a lados, ângulos e diagonais de polígonos, bem como o estudo de congruência e semelhança de figuras planas, é possível então que no ensino médio haja um aprofundamento dessas ideias no sentido de que o aluno possa sistematizar o conhecimento já adquirido vivenciando situações problemáticas da geometria espacial. (PCN, 1º versão, 1997, p.87).

Portanto, a escolha dessa temática deve-se ao fato de agregar a teoria

à prática no ensino de Geometria Plana e Espacial no 3º ano do período

matutino, do Ensino Médio, utilizando a planta baixa da casa do educando para

que se possa elaborar uma suposta reforma utilizando o saber geométrico nas

ações efetuadas.

Ao realizar esse projeto, foi possível ensinar e construir o saber

geométrico do educando de forma a relacionar os conhecimentos teorizados a

prática na construção civil.

2 DESENVOLVIMENTO 2.1USO PRÁTICO DA GEOMETRIA

A palavra Geometria possui origem grega, advém do grego antigo:

γεωμετρία; geo- "terra", -metria "medida”, ou seja, medir a terra, e está ligada a

algumas práticas do cotidiano relacionadas ao plantio, construções e

movimento dos astros, sendo usada para cálculo de áreas, superfícies e

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volumes. “Seu estudo iniciou-se na antiguidade, nas civilizações egípcia e

babilônica, por volta do século XX a.C.” (BRAZ, 2009, p. 09).

No Egito Antigo, a geometria surge das necessidades dos homens em

solucionar seus problemas com as demarcações dos terrenos, que se

apagavam todos os anos devido às cheias do Rio Nilo. Assim, era preciso que

os chamados agrimensores ou esticadores de corda, que eram os funcionários

do governo, fizessem novas demarcações ao longo da margem do rio. Em

contrapartida, as águas do Rio Nilo fertilizavam os campos, deixando-o muito

fértil, beneficiando a agricultura do Egito. Para realizar estas demarcações, os

funcionários usavam cordas com uma unidade assinalada, essa corda era

esticada para que se verificassem quantas vezes aquela unidade de medida

estava contida nos lados do terreno. “Foi assim que nasceu a geometria. Estes

agrimensores acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno

dividindo-os em retângulos e triângulos” (BRAZ, 2009, p.09).

E assim, na maioria das vezes, na unidade de medida escolhida não

cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno, surge a necessidade

do número fracionário para resolver estes problemas. (GERDES, 1992).

2.2 A GEOMETRIA COMO UM CONHECIMENTO ORGANIZADO

Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou

como um sistema organizado.

Segundo Freitas (1986), o auge da matemática grega se deu com a

criação do museu de Alexandria, em 332 a.C.. O período de uns 100 anos que

vai de 300 a 200 a.C., é considerado a idade de ouro da matemática grega,

pois nele viveram e trabalharam os três expoentes máximos da matemática:

Euclides, Arquimedes e Apolônio.

Sobre a vida de Euclides pouco se conhece. Sabe-se que ele escreveu

várias obras, sendo a principal delas “Elementos” onde reuniu praticamente

todos os conhecimentos matemáticos acumulados pelos gregos e esta obra foi

utilizada nas escolas de boa parte do mundo.

A obra “Elementos” foi constituída de 13 volumes contendo mais de

500 proposições, sendo a apresentação feita de forma elegante e sistemática.

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No primeiro volume, introduz noções fundamentais de geometria e enuncia

cinco axiomas e, a partir daí, trata de obter dedutivamente toda teoria,

aplicando a lógica deixada por Platão e Aristóteles.

Enquanto Euclides foi, basicamente, um sistematizador dos

acontecimentos existentes, isto não aconteceu com Arquimedes e Apolônio

que foram grandes inventores.

Arquimedes é considerado o maior sábio da antiguidade e também,

devido aos seus métodos, o primeiro matemático moderno. Desenvolveu a

estática e a hidrostática por ter utilizado a parte experimental, o que o

diferenciou de outros sábios gregos. Entre os principais trabalhos de

Arquimedes estão: “Sobre a esfera e o cilindro”, “Sobre os cones e os

esferoides”, “Sobre as espirais” e “A quadratura da parábola”. Estes livros e

outros foram traduzidos por Heiberg, que teve uma grande satisfação ao

encontrar em 1906, na biblioteca de um mosteiro da Constantinopla, outro, “O

Método”, até então considerado perdido, onde ele relata como descobrira os

teoremas. Arquimedes descobriu muitas propriedades interessantes e relevou

ter muita paciência efetuando cálculos e medidas.

Os trabalhos de Apolônio também são de muita originalidade, sendo de

oito volumes. Derrotaram todos os rivais no campo das cônicas, inclusive “As

Cônicas” de Euclides, deixando muito pouco a fazer aos seus sucessores na

geometria métrica das cônicas.

Depois de Euclides, Arquimedes e Apolônio, a matemática grega entra

em declínio. A decadência se deu como consequência da expansão do Império

Romano, onde a força física era prioritária em relação ao desenvolvimento

intelectual.

Durante a Idade Média, na Europa houve um período de muita

repressão pela Igreja Católica, onde pensar e escrever sobre a forma do Sol ou

da Terra, merecia a fogueira como castigo. Já no Oriente, livre da repressão da

Igreja, a ciência e, particularmente, a Matemática encontraram espaço para se

desenvolver.

No período do Renascimento, surgem a Geometria Analítica, tendo

como precursores Descarte e Fermat; e o Cálculo Infinitesimal, sendo Newton

e Leibniz seus defensores.

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O início das ideias modernas em Matemática ocorreu no início do

século XVII com a fusão entre Álgebra e a Geometria.

2.3 A GEOMETRIA NO ENSINO ATUAL DA MATEMÁTICA O ensino da Geometria foi perdendo o lugar que possuía no contexto

educacional. Em particular no Brasil, a causa da perda do espaço para esse

ensino nos currículos tem diversas justificativas e fundamentações.

No início da década de 60, generaliza-se no Brasil a influência da

“Matemática Moderna”, cuja preocupação é com as estruturas algébricas e com

a utilização da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos, o que acabou por

fazer com que a maioria dos professores deixasse de ensinar Geometria,

concentrando-se exclusivamente no ensino da Álgebra onde Lorenzato (1995)

justifica:

[...] antes de sua chegada ao Brasil, nosso ensino da Geometria era marcadamente lógico-dedutivo, com demonstrações, e nosso aluno o detesta. A proposta da Matemática Moderna de algebrizar a Geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior criando assim uma lacuna nas nossas práticas pedagógicas que perdura até hoje (LORENZATO, 1995, p.3).

Durante alguns anos a Geometria foi relegada para um segundo plano

no ensino da Matemática. Hoje se nota uma preocupação crescente com o seu

ensino, dada sua reconhecida importância. Podemos constatar isso através do

número de artigos sobre o ensino da Geometria.

[...] para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola, bastaria o argumento de que estudar Geometria, as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou raciocínio visual, e sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar à geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas do conhecimento humano. Sem conhecer a geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das ideias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida (LORENZATO, 1995, p.20).

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Realmente o método desenvolvido na sistematização da Geometria

atingiu um alto nível de formalização, no entanto, os conhecimentos de

natureza geométrica são resultados das necessidades do homem e da

observação da natureza.

Portanto, o ensino da Geometria deve ser organizado de forma a

permitir articulações consistentes entre o conhecimento empírico e a sua

sistematização.

2.4 MÉTODO DA MODELAGEM

A Modelagem Matemática nasceu a partir da Matemática Aplicada que

se traduz em estudos para fazer inferências sobre determinados sistemas

físicos descritos pela teoria matemática.

A outra atividade da Matemática Aplicada é o uso de técnicas

matemáticas, atividade muito importante para a Modelagem pois esta requer

dedução matemática de todas as consequências e comparações com

observações pela técnica.

Desta forma, Bassanezi (2010, p.16) reforça que,

[...] a modelagem – que pode ser tomada tanto como um método científico de pesquisa quanto uma estratégia de ensino-aprendizagem – tem se mostrado muito eficaz. A Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.

Na escola, a Modelagem Matemática objetiva trabalhar o programa

estabelecido pelo currículo com uma matemática calçada na realidade

cotidiana. Assim, a Modelagem permite uma significação especial para o aluno

partindo de um tema ou modelo matemático para nortear o aluno na realização

de seu próprio modelo.

Segundo Burak (1998, apud Revista PRÓ-MAT, p.32-33) o processo do

ensino da Modelagem Matemática envolve quatro etapas distintas:

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1. A escolha de um tema: o tema deve ser escolhido pelos próprios

alunos. Ao professor, cabe avaliar a sua viabilidade e conferir a

possibilidade de desenvolvimento da tarefa, segundo a etapa de

desenvolvimento em que se encontram os alunos dando liberdade e

atuando como mediador em relação ao ensino aprendizagem. O

papel que o professor desempenhará é de fundamental importância

para o sucesso da experiência. Ele deve dar liberdade para os

alunos, atuando como mediador em relação ao ensino-aprendizagem.

Ele deve apresentar-se como o orientador dos trabalhos, devendo

levar o aluno a pensar e refletir sobre os problemas envolvidos no

tema escolhido.

2. A pesquisa exploratória: é a parte mais importante do processo. É

nesse momento, que os alunos vão coletar as informações

necessárias para colocarem em prática a experiência escolhida. Os

dados a serem colhidos referem-se aos aspectos quantitativos e

qualitativos do assunto escolhido. Neste ponto, o professor deve

discutir com os alunos todos os aspectos envolvidos na pesquisa

sobre o tema, assim como deve levar os alunos a levantarem as

questões gerais a respeito do tema.

3. O levantamento do problema: esta fase corresponde ao levantamento de todos os problemas que envolvem a situação escolhida. Os problemas que se apresentam podem ser gerais, como exemplo o custo do projeto, ou de ordem específica, como o custo de cada material que será empregado. Esta ação poderá necessitar do envolvimento de outras pessoas, como os pais dos alunos, a direção da escola ou outros. O professor deverá reconhecer a necessidade de ajuda e deixar que os próprios alunos a busquem. Trabalhando com problemas reais, escolhidos pelos próprios alunos, eles se sentem orgulhosos de darem conta de um tema.

4. A resolução do problema: é nesta fase que são trabalhados o conteúdo propriamente dito. Tais conteúdos são ensinados à medida que os problemas exigem. O professor deve pois, estar atento, para mudar o cronograma previsto pelo currículo escolar, na medida em que necessitar. Trabalhando os problemas, o professor terá a oportunidade de mostrar relação entre os conteúdos matemáticos e a realidade diária dos alunos, seja por meio de simples operações, equações mais complexas, porcentagem, medidas, estatística, geometria e outros que surgem no desenvolvimento dos problemas. A procura de solução para problemas, favorece a interação do aluno com o seu meio ambiente. (BURAK, 1998, apud Revista PRÓ-MAT, p.32-33).

Segundo Burak (1998, apud Revista PRÓ-MAT., p.37), “[...] o aluno vê

sentido naquilo que estuda, em função da satisfação de suas necessidades, da

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realização dos seus objetivos e intenções, não existe o desinteresse pois

trabalhará com alegria, entusiasmo e perseverança”.

Desta forma, com este tipo de trabalho, a relação do aluno com a

Matemática, não é árida como no ensino tradicional. Ao contrário, mostra-se

positiva, pois se torna concreta e real.

2.5 VANTAGENS DA MODELAGEM MATEMÁTICA SOBRE O ENSINO

O ensino da Matemática realizada por meio da Modelagem, não é

preso ao planejamento curricular, não têm sequência rígida. À medida que a

tarefa exige, o professor muda a ordem do cronograma. Da mesma maneira a

forma de trabalhar um projeto também não é rígida. É a situação do momento

que indica a forma mais adequada. Isto denota um espírito de liberdade

permitida por essa modalidade de ensino.

Uma das maiores vantagens desse método é que a teoria e a prática

andam juntas, facilitando a aprendizagem dos conteúdos, pois permite o

raciocínio lógico e prático ao mesmo tempo. Por ser ligada a uma atividade

prática, a ação desperta o interesse do aluno, prendendo-lhe a atenção e

despertando o interesse para questões sociais.

O papel do professor no ensino tradicional da Matemática é o de mero

repassador dos conteúdos exigidos pelo planejamento escolar, conteúdo

estanque, que não prende a atenção do aluno.

Na Modelagem, o professor apresenta-se como,

[...] mediador entre o conhecimento do aluno e o conhecimento já estabelecido. O fato de o professor compartilhar com os alunos o processo de ensino, que geralmente é sua prerrogativa, produz conseqüências positivas no processo de aprendizagem. (BURAK , 1998, apud Revista PRÓ-MAT, p.32).

No ensino tradicional, é muito fácil o aluno esquecer-se dos conteúdos

logo após a avaliação, pois os conteúdos são vazios e livres de objetivos. O

aluno não sabe sua finalidade. Ao contrário, a praticidade exigida pela

Modelagem, faz com que os próprios alunos busquem as soluções para os

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problemas, facilitando a aprendizagem. Além disso, os conteúdos podem ser

enfatizados em discussões nos grupos de trabalho, até não restar nenhuma

dúvida.

A criatividade do aluno não tem sido respeitada no ensino tradicional

da Matemática. Não é propiciada ao aluno a oportunidade de passar por

ensaios e tentativas de resoluções de questões e busca de novos caminhos.

Os alunos são induzidos à importância frente à “sabedoria” do mestre que

sempre tem os melhores caminhos para a solução das questões matemáticas.

Aos alunos é colocada uma única opção que normalmente é a ter que

adentrar o mundo da matemática em um espaço de tempo pré-determinado,

apesar de suas condições e pontos de partidas diferentes.

Os alunos possuem suas especificidades culturais de grupo, enquanto

seres individuais, em relação às quais há profundo desinteresse por parte da

escola, aquilo que o aluno traz de sua vivência é pouco utilizado como

elemento de construção de um raciocínio abstrato. É possível que uma

costureira de quem sempre é exigido visão espacial na confecção de peças

complicadas do vestuário, não entenda o que lhes é ensinado em aulas de

Geometria, porque o raciocínio abstrato não é construído a partir de sua

vivência.

O culto da precisão e da exatidão não permite, quer ao professor, quer

ao aluno, o desenvolvimento de raciocínio criativo, limitando-se à memorização

de problemas-modelo ou de demonstração inteira.

Novos caminhos para resolver os problemas matemáticos também não

são buscados devido ao medo de que nós professores temos de nos expormos

ao erro. O erro é visto como algo que deve ser evitado na sala de aula. Esse

comportamento que não leva em conta o seu potencial heurístico (descoberta

por si) traz consigo ocultos o mito da eficiência e o princípio da autoridade, tão

caros à ideologia dominante em uma sociedade de classes que tem pressa.

Não se trata de abandonar, em sala de aula, as soluções já produzidas,

ou seja, as antigas soluções de problemas matemáticos. Trata-se de negar a

sua exclusividade e a forma tradicional em que são apresentados. É preciso

buscar com os alunos caminhos ainda não trilhados e não apenas os já

constantes na memória do professor.

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Ao adotar uma certa prática pedagógica, o professor de Matemática

assume, ainda que não lhe seja clara, uma concepção psicológica, uma

posição acerca do que é o homem, encarando o aluno como produtor ou,

contrariamente, como mero consumidor do conhecimento. A ação do professor

em sala de aula evidencia tão bem sua ideologia quanto ao seu discurso fora

da sala, acerca do que pensa sobre educação.

O ensino que adota o treinamento conseguirá, quando muito, um aluno

adestrado, mas sem uma criatividade iminente. Pode até tornar-se criativo,

transformador ativo das ideias e das coisas, apesar da passividade enraizada,

porque este aluno continua, por ser humano, com uma criatividade em

potencial.

Muitos são os alunos para os quais a liberdade fala mais alto e estes

deixam de centrar a atenção no que lhes é ensinado, frustrando os objetivos

comportamentais do professor. O professor “dá” a Matemática para o aluno, faz

para ele e não com ele. E o aluno recusa esta Matemática que lhes é dada

como um presente, por não perceber um sentido em sua posse.

Alguns alunos até permitem emitir algumas respostas pelo professor de

Matemática, para satisfazer a escola. Porém, a uma rápida aprendizagem,

segue-se um quase imediato esquecimento. Outros alunos, apesar da escola,

conseguem até mesmo transcendê-la, tal é a firmeza com que se dispõem à

tarefa do aprender, mas boa parte dos alunos engana a escola da mesma

forma que são por ela ludibriados. Outros ainda que por já terem suas vidas

marcadas por uma condição econômica não condizente com a dignidade

humana, não suportam acrescentar o peso de uma matemática não

compreendida e, irremediavelmente, afastam-se da escola. É o não aprender

como recusa à domesticação, ao treinamento no decorar fórmulas matemáticas

sem nenhum sentido existencial.

É necessário uma didática que inicie o aluno na produção do

conhecimento matemático, permitindo-lhe ser sujeito de sua ação, já que no

tempo de que dispõe a escola, não seria possível mesmo responder a todas as

perguntas e dúvidas.

Algumas vantagens do uso da Modelagem Matemática são

enumeradas por Silveira e Ribas (2008, p.1, parte 2, apud BRANDT et al.,

2010, p.67):

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1) Motivação dos alunos e do próprio professor. 2) Facilitação da aprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter mais significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto. 3) Preparação para a profissão. 4) Desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo em geral. 5) Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de sua realidade. 6) Compreensão do papel sociocultural da matemática, tornando-a assim, mais importante.

Para que haja um diálogo científico é preciso uma atitude quanto ao

ouvir e ao falar, na qual é tão importante o que pensa ou fala o aluno, quanto o

que pensa ou fala o professor. Isso, porém só é possível se o aluno quiser

aprender e se o professor possuir um conhecimento do que ensina e deseja

que o aluno aprenda.

A superação dialética consistia em tomar os distintos significados

atribuídos pelos alunos às situações matemáticas, captando o real pensado por

cada um, aquilo que as pessoas pensam a partir de suas vivências do passado

ou do presente. Consistia em tomar suas distintas atitudes heurísticas e

problematizá-las, estabelecendo a dúvida, o conflito, com o objetivo de explorar

o crescimento das contradições que nela apareçam e propiciar o surgimento de

uma síntese. É o diálogo se dando através do conflito. O estado de dúvida é

necessário para aprender.

Como iremos perceber, através do processo todo, a modelagem

matemática parte de uma situação-problema, um questionamento do mundo

em que vivemos. Depois que determinamos o problema, outro passo será

abstrair, que nada mais é do que passá-lo para uma linguagem simbólica, para

que possa ser trabalhado em sala de aula. Para que o modelo possa ser válido,

deve ser testado com os possíveis teoremas e postulado.

A validação do modelo consiste na aplicação dos dados disponíveis e a

comparação do resultado com o real. Se existir uma relação razoável entre o

modelo matemático e a situação real, então o modelo é válido. Sendo validado

o modelo atesta-se para fazer predileções a respeito do problema. Se não

existe uma boa relação entre o problema e o modelo estudado, há

necessidades de reformulação. A reformulação consiste em se estabelecer

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novas relações, introduzir ou retirar variáveis, a fim de possibilitar ao modelo

reproduzir características gerais do problema e então, novamente volta-se ao

processo.

Na modelagem, a memorização não é processada apenas pelo

armazenamento de dados, como no ensino tradicional. Esta armazenagem é

substituída pela experiência, proporcionada pela ação. Assim, a aprendizagem

se dá pela experiência e não pela memorização.

3 IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA

ESCOLA

O Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná -

PDE – Formação Continuada, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná

- SEED teve abrangência de agosto de 2010 a agosto de 2012, envolvendo

uma série de ações, e apresentamos a seguir os resultados da implementação

do projeto de intervenção pedagógica na escola.

Esta implementação de atividades na escola foi direcionada para

alunos do 3º ano “B”, Bloco 2, do Ensino Médio, totalizando trinta e dois (32)

alunos de um colégio da rede estadual, no município de Realeza, Paraná, no

segundo semestre de 2011.

Durante a implementação foram realizadas algumas adequações tendo

em vista que o sistema de ensino regular anual passou a ser ofertado no

regime semestral na forma de blocos sendo assim todo o conteúdo

programático da série precisaria ser contemplado durante o semestre.

Iniciamos com uma conversa informal com os alunos dessa turma

sobre a Matemática bem como a Geometria e foi possível constatar que a

maioria não conseguia relacionar a aplicabilidade de conteúdos matemáticos

com situações cotidianas. Nessa conversa apresentamos as intenções do

projeto, citamos algumas relações da matemática e o quanto a engenharia está

presente em nossa vida.

Após essa conversa, comentamos sobre a forma de encaminhamento

do trabalho durante o desenvolvimento das atividades e o uso da Modelagem

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Matemática como uma metodologia de ensino, os alunos se apresentaram

entusiasmados na possibilidade de eles mesmos projetarem algo e aprender

matemática para solucionar questões vinculadas ao seu cotidiano.

Como primeira atividade, dividimos os alunos em grupos e como

atividade extraclasse os alunos realizaram uma pesquisa sobre a História da

Geometria e apresentaram na forma de slides uma síntese para que a turma se

inteirasse do assunto. Concluída a apresentação dos grupos, foi realizado um

debate e, de forma integrada, feita a ligação do surgimento da geometria para

solucionar problemas de medições de terra e a geometria nos dias de hoje,

bem como, a arte que ela desempenha em facilitar a aprendizagem

matemática.

Sondagem: dando continuidade aos trabalhos, vimos a necessidade

de fazer uma sondagem com os alunos quanto ao conhecimento adquirido nas

séries anteriores sobre área e perímetro de figuras planas.“O grau de

conhecimento matemático permite estabelecer os conteúdos matemáticos, bem

como a ênfase necessária e o número de exercícios a serem propostos em

cada etapa.” (BIEMBENGUT, 2005, p.19).

Neste momento, os alunos responderam a uma questão isolada de

forma individual: “O que você entende por área e perímetro de uma sala de 4m

de largura por 5m de comprimento:”

O resultado obtido foi: 63% dos alunos conceituaram corretamente

área ou perímetro, 5% dos alunos conceituaram corretamente somente área,

5% conceituaram corretamente somente perímetro e 27% não souberam

conceituar área e perímetro. Foram consideradas respostas como corretas

todas aquelas que dessem a entender o conceito de área ou perímetro. Uma

das respostas considerada correta foi: “Área é o espaço de algo, a medida total

de um lugar, o espaço que tem dentro dele, para descobrir quanto mede o piso

ou teto, já perímetro é apenas a soma de todos os lados.”.

De acordo com o resultado insatisfatório obtido, foi necessário checar

com mais precisão as dificuldades que os alunos apresentavam sobre a

compreensão de conteúdos pertencentes à geometria plana. Foi aplicado um

instrumento de atividades contendo questões relativas ao conceito e cálculo de

área e perímetro de figuras planas, utilizado como método o ensino tradicional.

17

Durante esta checagem de atividades sobre a geometria plana

evidenciou-se grande dificuldades de interpretação de problemas bem como a

resolução de cálculo de área de figuras planas, já abordado em todo o Ensino

Fundamental.

No GTR – Grupo de Trabalho em Rede aplicado na forma de EAD –

Educação à Distância, aplicado no segundo semestre de 2011, mesmo período

de aplicação da unidade didática aos alunos, os professores inscritos no curso

“O estudo da geometria associadas às questões do cotidiano do aluno” fizeram

a leitura, comentários e debates referentes ao Projeto e à Unidade Didática no

qual um dos professores cursistas salienta: “Precisamos dar mais ênfase ao

ensino da geometria no Ensino Fundamental para que os alunos consigam

fazer a relação da teoria à prática no decorrer de suas vidas.”.

Percebeu-se também que para alguns alunos o conteúdo de Geometria

está ausente de suas vidas, como se nunca tive sentido a oportunidade de tê-lo

vivenciado, por não conseguirem fazer relações com situações do cotidiano.

Tendo em vista que durante muitos anos temos presenciado esta

dificuldade dos alunos quando se trata de geometria, nos propusemos nesta

implementação em trabalhar com uma metodologia que possibilitasse aos

alunos uma vivência diferenciada do método tradicional. Para isso, nos

propomos em aplicar a modelagem matemática.

Escolha do tema: o tema escolhido reforma construção ou ampliação,

foi definido pelo professor e apresentado aos alunos.

Na etapa do desenho da planta baixa, cada aluno realizou como

atividade extraclasse a medição e o desenho da própria residência sem

orientação alguma. Nesta atividade, percebemos o quanto o aluno nesta série

do ensino médio possui dificuldades no manuseio da régua, no traçado de

retas perpendiculares e proporcionalidade. Foi necessário que em sala de aula

eles refizessem os esboços com a orientação da professora. Definimos a

escala ideal e constatamos que algumas medidas não eram correspondentes

aos ambientes e ao tamanho da casa. Para alguns alunos foi necessário fazer

nova medição. Nestes esboços foram contemplados os primeiros elementos de

geometria.

Concluídos os esboços, cada aluno realizou o cálculo de área de cada

cômodo da casa. Os alunos se sentiram entusiasmados em realizar esta

18

atividade. Para alguns, os cálculos foram simples, pois os cômodos

apresentavam figuras, na sua maioria na forma de retângulos, enquanto que

para outros, foi necessária mais elaboração nos cálculos.

Uma professora, aluna do GTR postou no fórum de discussão que não

imaginava que alunos, por estarem no 3º ano do ensino médio poderiam

apresentar dificuldades no manuseio da régua e relatou “[...] realmente na

disciplina de Matemática, não proporcionamos aos alunos no ensino

fundamental atividades para que sejam desenhadas com o auxílio da régua,

nos preocupamos em atividades que envolvam cálculo.”

A escolha do modelo foi realizada pelos alunos em horário extraclasse

em que cada aluno fez uma sondagem com seus familiares de acordo com a

necessidade de ocorrer uma possível reforma, ampliação ou construção da sua

própria residência para poderem argumentar quanto a viabilidade de escolha

do grupo envolvido. Realizamos um debate em sala de aula, os argumentos

apresentados por alguns alunos foram bem convincentes e percebemos o

envolvimento da família no momento da definição da proposta de reforma,

ampliação ou construção. A proposta de trabalho desta unidade didática

contemplaria apenas um modelo, mas devido ao grande interesse dos alunos

foram selecionados seis modelos e a turma organizou-se em seis grupos para

dar continuidade às atividades.

Nos modelos escolhidos por eles, foram contemplados: reforma

interna, ampliação de garagem, ampliação da ala externa com piscina, a

construção de muro na divisa do lote e até mesmo a organização de um jardim.

Em sala de aula, os estudantes foram orientados a fazer uma nova

planta baixa, baseados no primeiro esboço da mesma. Foram projetadas as

mudanças e observou-se grande criatividade. Nesta fase, foi necessário muito

auxílio da professora para que suas ideias fossem realmente expressas no

esboço do projeto. Isso é fundamental, pois além de permitir estimar o custo da

obra, é o guia do construtor. Gradativamente os alunos foram realizando os

cálculos de área da nova planta baixa.

Burak (2012, s.p) em seu artigo “Modelagem Matemática e a Sala de

Aula”, salienta que o uso da Modelagem Matemática como alternativa

Metodológica para o ensino da Matemática contribui gradativamente na

aprendizagem:

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[...] a oportunidade de um mesmo conteúdo poder ser abordado diversas vezes, no contexto de um tema e em situações distintas, favorecendo significativamente a compreensão das ideias fundamentais, pode contribuir significativamente para a percepção da importância da Matemática no cotidiano da vida de cada cidadão¸ seja ele ou não um matemático.

A pesquisa exploratória: cada grupo listou os produtos que seriam

utilizados e passamos para a fase exploratória. Foram realizadas pesquisas de

preço e de materiais, em período extraclasse, pelos alunos através de visitas a

lojas de materiais de construção e conversas informais com pedreiros e

mestres de obras.

Nesta etapa foi constatada a diferente forma usada para calcular a

quantidade de tijolo por m2. É importante salientar que um dos entrevistados

calculavam a quantidade dividindo um m2 pela área do tijolo, desprezando a

quantidade de argamassa usada no rejunte, enquanto a maioria adiciona 10%

para as perdas. Outro fator interessante constatado pelos alunos, ao questionar

um mestre de obras na forma usada por ele no cálculo da mão-de-obra, o

mesmo demonstrou na prática como fazia, e verificou-se o uso indevido da

trena de carpinteiro onde desprezava 10 cm no início da mesma (parte de

metal). Os questionamentos foram trazidos para a sala de aula gerando

reflexões importantes para a elaboração de conceitos usados na construção

civil.

O orçamento: nesta etapa, os alunos foram orientados a organizar no

próprio caderno uma planilha de custos contendo: quantidade de produto,

unidade, preço unitário e preço total. Na elaboração desta planilha, foi

necessário orientação da professora de forma individualizada para cada grupo

chamando atenção no item quantidade, fator fundamental para que o valor total

do orçamento tenha a menor margem de erro possível.

Neste momento, o papel do professor é muito importante: ele é o

mediador, o problematizador, para conduzir o cálculo de todas as situações

problemas fazendo sugestões e ou modificações para a validação do modelo

matemático. Durante a resolução das situações problemas, foram abordados

os assuntos de proporcionalidade, regra de três simples, porcentagem,

20

medidas de comprimento, cálculos de área de figuras planas, medidas de

capacidade, geometria espacial, entre outros. É normal muitas vezes o

professor se sentir incapacitado de dar continuidade, a modelagem prevê que

isso ocorra, pois o conhecimento é construído de acordo com a pesquisa

exploratória.

Foi proporcionado aos alunos o uso de recursos tecnológicos como a

calculadora e do programa computacional BrOfficeCalc.

Maquete: nesta etapa os alunos foram conduzidos ao refeitório da

escola, cada grupo foi orientado em ampliar o esboço do projeto da planta

baixa em papel cartolina, a mesma representando o terreno. Feita a ampliação

na cartolina, a mesma foi fixada à base que serviu de sustentação da maquete.

Para Biembengut (2005, p.58-59), “maquete é um modelo da casa que

se quer construir! Como modelo, permite não apenas dar uma noção de como

será a casa, mas também calcular a quantidade de material necessário para a

construção”.

A escolha do material para a confecção das maquetes foi de livre

escolha ficando a critério de cada grupo o tipo de material.

Foram destinadas várias aulas exclusivas para a confecção das

maquetes sob a orientação da professora. Neste momento, surgiram muitas

dúvidas quanto a medida das portas e janelas (proporcionalidade) e quanto a

altura das paredes e caimento do telhado. Foi necessário destinar uma aula

para orientar os alunos quanto ao percentual correto de caimento de acordo

com o tipo de material usado no telhado da casa.

Para solucionar o problema citado anteriormente foi necessário recorrer

a um engenheiro civil que orientou a professora sobre cálculos usados pela

engenharia civil.

O telhado foi confeccionado em papel ondulado, colado em papelão e

separado para ser retirado da maquete para melhorar a visualização dos

cômodos. Foi necessário que os alunos se reunissem em grupos em horário

extraclasse para concluir a maquete dentro da data prevista para a mostra.

Observamos que esta fase, apesar de ser trabalhosa, foi muito

prazerosa em sua realização. Na medida em que os grupos foram avançando

na feitura da maquete, o grau de satisfação foi aumentando, pois cada grupo

queria ser o melhor.

21

No final desta etapa, foram observados alguns problemas quanto a

desmotivação e desinteresse por determinado grupo em realizar as atividades

estipuladas pela professora no espaço de tempo destinado, as quais foram

cumpridas devido a muitas conversas e ajuda da professora.

Sobre essa problemática que enfrentamos diariamente em sala de aula

e que muito nos preocupa enquanto professores, um professor participante do

GTR, considerou que:

[...] tornar nossas aulas dinâmicas nem sempre é possível, devido a determinados conteúdos, mas poder estar usando metodologias diferenciadas do ensino tradicional demonstra o interesse do professor em tornar a Matemática mais significativa e interessante para o aluno.

Pelo fato de os alunos nunca terem trabalhado com maquetes de

proporcionalidade, os mesmos apresentaram muitas dificuldades no início do

trabalho, que foram superadas durante o desenvolvimento da montagem.

Apresentação do trabalho: no dia 26 de novembro de 2011, foi

realizada a mostra para toda a comunidade escolar durante todo o período. Os

alunos foram orientados quanto a forma de apresentação do projeto aos

visitantes, além de mostrarem através da Data Show o registro de fotos e

filmagens das etapas vivenciadas por eles para a realização deste projeto.

Na visitação, os alunos foram interrogados pelos visitantes e

justificaram as perguntas com argumentos bem elaborados, demonstrando o

conhecimento matemático desenvolvido durante as etapas do projeto.

Um dos grupos se destacou no momento da apresentação por detalhar

muito bem todas as fases. Por exemplo,justificaram através da comparação de

orçamentos, que construir uma piscina de tijolos é mais econômico do que

outra de fibra, do mesmo tamanho. Este fato despertou interesse de toda a

comunidade escolar pela Matemática, e em especial, as Geometrias

envolvidas.

Avaliação: os alunos foram sendo avaliados na medida em que as

etapas foram sendo concluídas pelos grupos. Esta avaliação não ocorreu no

mesmo momento para todos, pois as atividades foram concluídas em tempos

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diferentes, sendo sempre observado o conhecimento geométrico adquirido

pelos mesmos, e o prazo final para a conclusão de cada etapa.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Segundo os PCNs (1997), podemos destacar algumas justificativas

para o ensino de Matemática na escola desde as primeiras séries do Ensino

Fundamental até o Ensino Médio. A atividade matemática escolar não é olhar

para coisas prontas e definitivas, mas sim, a construção e a apropriação de um

conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar

sua realidade.

Para isso, dois aspectos básicos são necessários: um consiste em

relacionar observações do mundo real com representações; e outro, em

relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Isso

é o que se analisou nas atividades propostas para este trabalho de

implementação da matemática.

É uma concepção fundamentada no pensamento de Platão: a

Matemática é resultado puro do pensamento humano, independentemente de

bases materiais, onde o conhecimento matemático se desenvolve a partir de

certos termos aceitos sem explicação formal.

A matemática formalista, na concepção metodológica, está organizada

segundo uma poderosa linguagem de signos e conceitos formais que ocultam a

gênese desses mesmos conceitos.

O estudo da Geometria e das medidas, por exemplo, assume um papel

secundário nos currículos, em que o importante é o estudo das formas. Assim,

o aluno apenas identifica e nomeia as formas geométricas, sem compreender

suas propriedades.

Acreditamos que o significado da Matemática para o aluno resulta das

conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e o

seu cotidiano e das conexões estabelecidas entre os diferentes temas

matemáticos.

23

A resolução de problemas é um caminho importante para se ensinar e

aprender Matemática e não uma mera aplicação de conceitos aprendidos. O

problema é um estímulo para que o aluno desenvolva, defenda e valide suas

próprias estratégias e não um simples exercício de aplicação. Isso estará

construindo competências para que o aluno tenha condições, no mundo real,

de resolver os problemas que lhe forem apresentados.

O desenvolvimento da ciência e da técnica exige, hoje maior e mais

completo conhecimento matemático que no passado. Praticamente todas as

ciências não podem prescindir do auxílio da Matemática, tanto no processo de

ensinar como no processo de aprender.

Cônscios dessa importância, nós professores, reconhecemos que os

alunos aprendem melhor a Matemática quanto a compreendem e encontram

nela significado e utilidade para a vida, quando realizam experiências

concretas, quando a sua aprendizagem é significativa. Essa aprendizagem

inclui a informação de hábitos e atitudes, o desenvolvimento de habilidades e

até mudanças de comportamento, favorecendo a formação da personalidade

do indivíduo e a compreensão das situações da vida real.

REFERÊNCIAS:

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BURAK, Dionísio. Uma experiência com a Modelagem Matemática. In REVISTA PRÓ-MATEMÁTICA. Curitiba: Imprensa Oficial, nº 01, Dezembro de 1998, p.32 – 37. _______. Modelagem matemática e a sala de aula. Disponível em: <http://dionisioburak.com.br/I%20EPMEM.pdf> Acessado em 28 de junho de 2012. DCE. Diretrizes Curriculares Da Educação Básica. Matemática. Governo Do Paraná.Secretaria De Estado Da Educação Do Paraná.Departamento De Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. FONSECA, Maria da Conceição Ferreira Reis. Educação matemática de jovens e adultos. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. FREITAS, José Luiz Magalhães. A evolução do Pensamento Matemático. Campo Grande (MS): UFMS, 1986. GERDES, Paulus. Sobre o Despertar do Pensamento Geométrico. Curitiba: Editora da UFPR, 1992. INSTRUÇÃO Nº 021/2008 – SUED/SEED. LORENZATTO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista, SBEM, ano III, 1995. PAVANELLO, Regina Maria. Os alunos das séries iniciais do ensino fundamental e o conhecimento geométrico. In REVISTA PRÓ-MATEMÁTICA. Curitiba: Imprensa Oficial, nº 01, Dezembro de 1998, p.28. PCN. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS. Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias/Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 1º versão, 1997. PPP. PROJETO POLÍTICO PEDAGÓGICO. Colégio Estadual Doze de Novembro – EMP. Versão 2012.