estudo comparativo de otimizações da sintonia de

XL ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO “Contribuições da Engenharia de Produção para a Gestão de Operações Energéticas Sustentáveis”

Foz do Iguaçu, Paraná, Brasil, 20 a 23 de outubro de 2020.

Estudo Comparativo de Otimizações da Sintonia

de Controladores PID pelo Método de Nelder

Mead Simplex

Matheus Cardoso Nunes Arouca Glória (CEFET-MG)

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Marlon José do Carmo (CEFET-MG)

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Luana Rosa dos Santos (CEFET-MG)

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Este trabalho utiliza um método simplex de programação não linear proposto por Nelder e Mead para otimizar os parâmetros de sintonia de

controladores PID. O controlador PID possui muitos métodos para sintonia de seus parâmetros, este trabalho, porém emprega um método

não convencional, utilizando uma ferramenta matemática iterativa muito utilizada em outras áreas, com o intuito de obter controles com melhores desempenhos. O trabalho apresenta análises comparativas dos

resultados obtidos pelos métodos de Nelder-Mead e métodos tradicionais. No primeiro sistema testado, os métodos de Ziegler-

Nichols, de Cohen e Coon e CHR 20% apresentaram os seguintes valores de sobre-elevação respectivamente: 24,8%, 17,7% e 2,6% e tempos de acomodação de 3,9s, 5,6s e 4,8s, enquanto uma das

simulações do método de Nelder-Mead apresentou 1,8% de sobre-elevação e 1,7 de tempo de acomodação, demonstrando que o método

proposto apresentou melhores resultados.Insira aqui o resumo do seu trabalho.

Palavras-chave: Otimização, Nelder Mead, Simplex, PID.

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1. Introdução

O controle de sistemas tem produzido um importante para o avanço para a engenharia, além de

ter se tornado primordial para as indústrias, exercendo determinados controles específicos como

pressão, vazão e temperatura, melhorando a produtividade (DORF; BISHOP, 2018).

Alguns outros setores em que o controle tem papel de destaque são, por exemplo: veículos

espaciais, controle da trajetória de mísseis, sistemas robóticos, projeto de fabricação e

orientação de automóveis, aviões e navios (NISE, 2017) (OGATA, 2015).

Com o aumento da utilização das técnicas de controle nas indústrias, aumentou a busca por

métodos para otimizar os resultados encontrados em um sistema de controle. A otimização tem

como objetivo encontrar a melhor solução para o sistema, sem precisar testar todas as

possibilidades envolvidas, economizando tempo e viabilizando uma solução sub ótima, já que

para maioria dos sistemas reais, testar todas combinações de valores possíveis para as variáveis

que podem ser controladas de um sistema, leva um certo tempo e muita das vezes é impossível

de serem feitas (MINEIRO, 2007).

A busca de uma solução boa pode ser feita manualmente ou utilizando técnicas que visam

procurar uma solução sub ótima sem a necessidade de executar todas as soluções possíveis,

uma forma de otimização é o uso da pesquisa operacional.

A Pesquisa Operacional (PO) consiste em aplicar técnicas e procedimentos matemáticos em um

sistema, visando otimizá-lo, buscando alcançar o melhor resultado possível (ANDRADE,

2011). A pesquisa operacional é um método que vem sendo amplamente usado nas

organizações em diversos setores das indústrias como: planejamento, manufatura, logística e

financeiro, para otimizar o processo de tomada de decisões, servindo como uma base

quantitativa para justificar tal decisão, visando um maior lucro (IGNÁCIO, 2009). A utilização

da PO pode, portanto, ser também uma solução para otimização de resultados obtidos em

sistemas de controle.

Ao se deparar com a enorme importância dos sistemas de controle nos dias atuais, percebe-se

uma busca constante do aperfeiçoamento dos métodos tradicionais de controle ou da criação de

métodos alternativos para se obter resultados mais precisos. Encontram-se diversos trabalhos

com a utilização da pesquisa operacional (PO) como método de otimização, validando,

portanto, o uso da mesma como uma grande ferramenta matemática já consolidada.

O controle PID (Proporcional + Integral + Derivativo) é um tema muito difundido nos cursos

de Engenharia, devido sua grande importância, já que é o controle mais usado nas indústrias. A

ideia do trabalho é além de aplicar o método de Nelder-Mead na sintonia do PID, comparar os



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resultados obtidos com métodos de sintonia tradicionais como Ziegler e Nichols, Cohen-Coon

e CHR 20% (CARMO, 2006). O objetivo principal do trabalho é, portanto, demonstrar que uma

ferramenta matemática como a programação não linear, muito utilizada em outras áreas, pode

ser utilizada para melhorar respostas dinâmicas em sistemas de controle.

O trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 apresenta-se o método Nelder – Mead

Simplex; a seção 3 discute a metodologia proposta; já na seção 4, os resultados são

apresentados, e por fim, na seção 5 conclui-se este trabalho.

2. O método Nelder – Mead Simplex

Este método, proposto por Nelder e Mead (1965), é utilizado para resolver problemas de

programação não linear sem a utilização de derivadas, pertence à classe de métodos de busca

direta. Apesar de não possuir convergência teórica garantida, geralmente produz resultados

satisfatórios, sendo um dos métodos sem derivadas mais utilizados (CERVELIN, 2013).

A popularidade do método de Nelder-Mead pode ser atribuída a diversos fatores como:

simplicidade da implementação computacional, não uso do cálculo explícito ou implícito de

derivadas da função objetivo e o fato de fornecer um acentuado decréscimo da função objetivo

logo nas primeiras iterações (GONÇALVES, 2013).

Métodos de busca direta são métodos iterativos, que não calculam nem aproximam derivadas e

utiliza a função objetivo para comparações ao longo das iterações (CERVELIN, 2013).

Um problema de otimização por métodos iterativos, segue a seguinte ideia básica: um ponto

inicial 𝑥 0 é escolhido, este pode ser considerado a primeira aproximação do ponto ótimo que

deseja se encontrar. A partir de 𝑥 0, um algoritmo gera uma aproximação melhor 𝑥 1. Esse

procedimento é repetido, encontrando-se aproximações ainda melhores, formando uma

sequência de pontos 𝑥0,𝑥 1, 𝑥 2,… 𝑥 𝑛 que converge para um ponto ótimo. Em muitas aplicações

não se pode garantir a convergência para um ponto ótimo, porém o ponto limite lim𝑘→∞

𝑥 𝑘 é

considerado satisfatório (ZÖRNIG, 2011).

Dentro da classe dos métodos de busca direta, encontra-se o método de busca Nelder – Mead

Simplex. O método consiste em ordenar 𝑛 + 1 pontos, 𝑥 0,𝑥 1, 𝑥 2,…, chamados de vértices do

simplex. A cada iteração k, o método ordena os pontos como em (1) e substitui o ponto 𝑥 𝑛 por

um de menor valor de função objetivo (CERVELIN,2013).

𝑓(𝑥𝑘0) ≤ 𝑓(𝑥𝑘

𝑇) ≤ ⋯ ≤ 𝑓(𝑥𝑘𝑃) (1)



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O método de Nelder-Mead tenta melhorar o pior vértice, por substituição, fazendo por exemplo

uma reflexão deste em direção ao centroide dos n melhores vértices, encontrando um novo

ponto. O conjunto de direções de busca, portanto, pode se alterar após cada iteração. O

diferencial do método de Nelder-Mead é a possibilidade além da reflexão, fazer outros

movimentos como: contração externa, interna e expansão do simplex. Quando não é possível

encontrar um ponto melhor para substituição, o simplex é reduzido na direção do melhor ponto

(PEDROSO, 2009). Em métodos simplex, trabalha-se sempre com simplex não degenerados, o

que significa que o conjunto {𝑥2 − 𝑥1,𝑥3 − 𝑥1, … , 𝑥𝑛+1 − 𝑥1} é linearmente independente, ou

seja, forma uma base para o espaço ℝ𝑛 (CERVELIN,2013). Um Simplex não degenerado é,

geometricamente, um segmento de reta em uma reta, um triangulo em um plano, um tetraedro

em um espaço de 3 dimensões, etc. (GONÇALVES, 2013). E se um simplex inicial é não

degenerado, todos os outros simplex gerados serão também não degenerados. O método de

Nelder-Mead usado neste trabalho, usa três pontos (três variáveis) e, portanto, seu simplex será

um triângulo sobre um plano. O método em uma forma geral já foi descrito, mas para melhor

compreensão um método com apenas 3 pontos será descrito pois facilitará na explicação,

inclusive geométrica, como visto na Figura 1.

Figura 1: Iterações do método de Nelder-Mead em duas dimensões: (1) Reflexão (2) Expansão (3) Contração

Externa (4) Contração Interna (5) Redução.

O método de Nelder-Mead aplicado neste trabalho pode ser descrito pelo seguinte

pseudocódigo, na Figura 2.

Fonte: os autores



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Figura 2: Pseudocódigo do método Nelder-Mead Simplex.

Fonte: os autores

3. Metodologia proposta

Apesar da grande popularidade do PID (Proporcional + Integral + Derivativo) nas indústrias e

seu bom desempenho em uma ampla variedade de cenários operacionais, em algumas plantas,

principalmente nas não lineares, a sintonia pode levar muito tempo e resultar em alguns efeitos,

como obter parâmetros do controlador que estão longe de serem ótimos. Geralmente as plantas

que não produzem parâmetros adequados são os de sistemas caracterizados por grandes atrasos

de tempo, para solucionar este problema, alguns métodos de otimização estão sendo estudados

em aplicações de sintonia do PID.

Daley e Liu (1999) utilizaram um algoritmo de busca direta, simplex, chamado quase-newton,

para otimização dos parâmetros de um controlador em dois processos industriais e obtiveram

sucesso em ambas aplicações, demonstrando a aplicabilidade da programação não linear para

sintonia de um controlador.

Em sistemas eletro-hidráulicos, embora várias técnicas de controle inteligente têm sido

aplicadas para melhorar o seu desempenho, o PID continua sendo o preferível, obtendo valores

satisfatórios. O maior problema do uso PID nesse tipo de aplicação é ajustar os parâmetros para

se encontrar uma solução ótima (TAJJUDIN et al., 2011). Visando esse problema Tajjudin.

(2011) elaborou um estudo para otimização dos parâmetros do PID utilizando a abordagem

Nelder-Mead para controle de posição do atuador eletro-hidráulico. Nesse estudo o algoritmo

de otimização buscava valores viáveis de 𝐾𝑃 , 𝐾𝐼 e 𝐾D a partir de determinados requisitos de



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resposta e restrições de atuador. Os resultados obtidos utilizando Nelder-Mead para controlar o

atuador foram considerados satisfatórios.

Sinlapakun e Assawinchaichote (2015) utilizaram o método Nelder-Mead para otimizar os

parâmetros de sintonia de um controlador PID, para sistemas de temperatura de um forno

elétrico. A utilização deste método visava substituir métodos como Ziegler -Nichols e Cohen-

Coon que não apresentavam bons resultados para o sistema em questão, o método apresentou

resultados melhores que os métodos tradicionais de sintonia, como Ziegler-Nichols e Cohen-

Coon, provando sua eficácia para otimizar parâmetros de sintonia de um PID. No trabalho de

Sinlapakun e Assawinchaichote o algoritmo de Nelder-Mead adota um simplex inicial

totalmente randômico, a busca de uma solução ótima pode então começar de quaisquer pontos,

já neste trabalho o simplex inicial possui um intervalo de valores já escolhidos, levando como

base os resultados de métodos tradicionais, o que faz com que o algoritmo comece de pontos

provavelmente mais próximos da solução ótima.

Esse trabalho aplica o método de Nelder-Mead para simular a otimização dos parâmetros de

um controlador PID em diferentes plantas. O primeiro passo para aplicação do método de

Nelder-Mead é adotar um simplex inicial, 𝑘1, 𝑘2e 𝑘3, onde:

𝑘1 = [𝑘P1,𝑇I1, 𝑇D1 ] (3)

𝑘2 = [𝑘P2, 𝑇I2, 𝑇D2] (4)

𝑘3 = [𝑘P3, 𝑇I3, 𝑇D3] (5)

O simplex inicial é formado pelos resultados dos próprios métodos abordados (Ziegler-Nichols,

Cohen-Coon e CHR 20%) (CARMO, 2006) mais um número randômico entre 0 e 2.

4. Resultados obtidos

Neste trabalho os métodos foram simulados em duas plantas diferentes, proposta como modelo

por Ästrom e Hägglund (2000) (ÄSTROM, 2006). Segue os gráficos dos resultados obtidos,

fazendo uma comparação dos métodos de sintonia empregados.

4.1. Planta 1

Esta planta é utilizada para descrever a dinâmica de pequenos motores de corrente contínua

bem como pequenos circuitos com dinâmica de segunda ordem (ÄSTROM, 2006).



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G(s) =1

(s+1)2 (6)

Aplicando as fórmulas dos métodos tradicionais de sintonia, obtiveram-se os seguintes

resultados:

Tabela 1: Resultados dos métodos de sintonia tradicionais para a Planta 1.

Método de Sintonia 𝑲𝐏 𝑻𝐈 𝑻𝐃

Ziegler-Nichols 3,852 1,018 0,255

Cohen-Coon 2,276 1,113 0,258

CHR 20% 3,050 2,288 0,239

Fonte: os autores

A resposta ao degrau para a planta em (4) para os métodos de sintonia propostos, bem como

sua comparação com o método de Nelder-Mead pode ser observada na Figura 3.

Figura 3 - Resposta ao degrau da Planta 1 utilizando Nelder-Mead.

A Figura 3 mostra uma melhoria na aplicação do método Nelder-Mead com 500 iterações

quando comparado aos métodos convencionais de sintonia. Nesta resposta o método proposto

Fonte: os autores



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apresentou, como observado na Tabela 2, uma menor sobre-elevação e menores tempos de

subida e estabilização em comparação com os outros métodos. A Figura 4 demonstra que

enquanto o método de Nelder-Mead já minimizou a integral do erro absoluto, os outros métodos

ainda estão oscilando.

Figura 4: IAE da Planta 1 utilizando Nelder-Mead.

4.2. Planta 2

Esta planta é utilizada para descrever a dinâmica de processos de alta razão de controlabilidade

como os processos de temperatura (ÄSTROM, 2006).

G(s) =1

(s+1)(1+0,5s)(1+0,52s)(1+0,53s) (7)

Aplicando as fórmulas dos métodos tradicionais de sintonia, obtiveram-se os seguintes

resultados:

Tabela 2 - Resultados dos métodos de sintonia tradicionais para a Planta 2.

Método de Sintonia 𝑲𝐏 𝑻𝐈 𝑻𝐃

Ziegler-Nichols 2,197 1,396 0,349

Cohen-Coon 1,246 1,418 0,230

CHR 20% 1,739 1,789 0,328

Fonte: os autores

Fonte: os autores



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Utilizando os dados da Tabela 2 para se formar o simplex inicial e aplicando o método de

Nelder-Mead com 500 iterações, obteve-se os seguintes resultados:

Figura 5 - Resposta ao degrau do sistema 3 utilizando Nelder-Mead simples.

A Figura 5 demonstra que o método proposto possui tempo de subida maior que o Ziegler-

Nichols mas apresenta uma menor sobre-elevação. Os dois métodos com menores sobre-

elevações, Cohen-Coon e CHR 20%, apresentam tempos de subida e tempo de estabilização

maiores que o Nelder-Mead Simples. O método de Ziegler - Nichols apresenta um menor tempo

de subida comparado aos demais, mas apresenta a maior sobre-elevação.

Fonte: os autores



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Figura 6: IAE do sistema 3 utilizando Nelder-Mead.

A Figura 6 demonstra que o método de Nelder-Mead foi o que minimizou a IAE de forma mais

rápida, o método de Ziegler- Nichols também apresentou resultado satisfatório.

5. Conclusões

Este trabalho propôs a utilização de um método de sintonia não convencional, para ajuste de

controladores PID, como forma de se criar mais uma alternativa aos métodos tradicionalmente

aplicados. Se encontra pouquíssimas referências do uso do método de Nelder-Mead Simplex

para ajuste da sintonia de controladores.

Foram criados algoritmos com ponto de partida dos métodos de sintonia mais um pequeno

número randômico, a comparação entre esses métodos nos mostra que o método randômico um

alcance melhor quanto a otimalidade em relação às bibliografias citadas que apontam um ponto

inicial determinístico.

Os resultados encontrados, em comparação com métodos tradicionais como Ziegler- Nichols,

Cohen-Coon e CHR 20%, comprovaram a eficácia dos métodos propostos, já que tanto o

método de Nelder-Mead, obtive melhor desempenho.

Fonte: os autores



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6. Agradecimentos

Os autores agradecem ao CEFET-MG e a fundação CEFET Minas pelo apoio e fomento

oferecidos.

REFERÊNCIAS

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