estudando trigonometria com applets desenvolvidos no ... · para demonstrar essa relação vamos...

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra

Elaborada por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes

Orientada por: Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista

NOVEMBRO/ 2008

2

Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra

Esta apostila de atividades foi elaborada por Cíntia da Silva Gomes e Larissa de Sousa Moreira sob

orientação das professoras Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista.

ATIVIDADE 1

1.1-Clique em “Triângulo Retângulo I” no menu. Observando o applet, anote o valor das razões

entre:

a) a medida do cateto oposto a α e a medida da hipotenusa: ab =

b) a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa: ac =

c) a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente: cb =

1.2- Mova o seletor k e observe, inicialmente, o triângulo. Mova, novamente, o seletor k e observe

as razões apresentadas. A seguir, anote o valor de:

a) ab = b)

ac = c)

cb =

1.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α . Observe o triângulo e as razões.

Considere um determinado valor de e anote o valor de:

α =

a) ab = b)

ac = c)

cb =

1.4- Mantendo o mesmo valor de considerado no item 1.3, mova o seletor k, observe as razões

e anote seus valores:

a) ab = b)

ac = c)

cb =

1.5- Em um triângulo retângulo, do que depende o valor das razões entre seus lados?

______________________________________________________________________________

1.6- Marque as três caixas no applet e visualize o nome dessas razões.

3

Razões Trigonométricas

As razões consideradas na atividade 1 não dependem das medidas dos lados do triângulo

retângulo, e sim do ângulo agudo α. Estas são chamadas razões trigonométricas e cada uma

recebe um nome, conforme já visto no applet e mostrado, novamente, a seguir:

ab =

hipotenusadamedidaaopostocatetodomedida = sen α (lê-se seno de α)

ac =

hipotenusadamedidaaadjacentecatetodomedida

= cos α (lê-se cosseno de α)

cb =

aadjacentecatetodomedidaaopostocatetodomedida

= tg α (lê-se tangente de α)

1.7- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (ativando-a).

Utilizando o campo de entrada (na parte inferior do applet), solicite e anote o valor de:

a) sen 47º (para tanto digite t = sin(47°)).

b) cos 18º (para tanto digite u = cos(18°)).

c) tg 31º (para tanto digite v = tan(31°)).

1.8- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra

(desativando-a). Movendo o seletor adequado, identifique:

a) um ângulo agudo cujo seno seja aproximadamente 0,34.

b) um ângulo agudo cujo cosseno seja aproximadamente 0,88.

c) o ângulo agudo cuja tangente é 1.

4

Relações

As duas relações a seguir decorrem das razões trigonométricas:

a)

Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo ABC a seguir e que

sen α = ab , cos α =

ac e tg α =

cb .

Dessa forma, temos que:

cossen

=

acab

= ab .

ca =

cb = tg α

b)

Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo retângulo ABC abaixo.

A partir dele podemos afirmar que:

sen α = ab

, cos α = ac

;

a² = b² + c² (teorema de Pitágoras).

Dessa forma, temos que:

tg =

cossen

sen² α + cos² α = 1

5

sen² α + cos² α = 2

22

2

2

2

222

acb

ac

ab

ac

ab

Como a² = b² + c², podemos afirmar que:

12

2

2

22

aa

acb

Ou seja, sen² α + cos² α = 1, que é chamada de relação fundamental

1.9- Sem utilizar os recursos do applet, calcule tg x, sabendo que cos x = 54

( 0 < x < 90º).

ATIVIDADE 2

2.1- Clique em “Triângulo Retângulo II” no menu. Observando o applet, anote os valores das

razões trigonométricas, abaixo:

a) sen α =

b) cos α =

c) tg α =

d) sen β =

e) cos β =

f) tg β =

Compare os valores encontrados nos itens acima. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.2- Mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores:

a) sen α =

b) cos α =

c) tg α =

d) sen β =

e) cos β =

f) tg β =

Compare os valores encontrados nos itens acima.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α, observe o triângulo e as razões. Considere

um determinado valor de α, e anote o valor de:

α = β =

a) sen α =

b) cos α =

c) tg α =

d) sen β =

e) cos β =

f) tg β =

6

Compare os valores encontrados nos itens acima. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 2.1, 2.2 e 2.3. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Conclusão:

Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então:

2.5- Sem utilizar os recursos do applet, sabendo que sen (90° - a) = 21

, calcule tg a, sendo

0º < a < 90º.

ATIVIDADE 3

3.1- Clique em “Medidas de Ângulo” no menu (a medida do ângulo , que aparece na tela, está

com aproximação de uma casa decimal) e:

a) observando o applet, complete a tabela abaixo:

comprimento do arco medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment

b) considerando a medida de do item anterior, movimente o seletor correspondente à medida do

raio e complete a tabela, para dois raios diferentes:

comprimento do arco medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment

57,3º

sen α = cos β = ab cos α = sen β =

ac tg α =

tg1

7

c) descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2- No applet, marque a caixa que está ao lado dos seletores e observe o texto.

3.3- Altere a medida do ângulo , movendo o seletor correspondente. Para o valor de

consideradopreencha a tabela abaixo, utilizando três raios diferentes (para tanto, movimente o

seletor correspondente ao raio).

Comprimento do arco Medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment

3.4- Considerando três valores diferentes para e uma medida fixa para o raio, preencha a

tabela abaixo:

Comprimento do arco Medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment

3.5- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 3.3 e 3.4.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.6- Mova o seletor correspondente à medida do raio até obter raio = 1.

a) Compare o comprimento do arco com a sua medida em radianos.

______________________________________________________________________________

b) Altere a medida do ângulo , movendo o seletor correspondente. Compare novamente o

comprimento do arco com a sua medida em radiano.

______________________________________________________________________________

c) Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.7- Utilizando o campo de entrada do applet e observando a razão apresentada na tela, converta

para radianos a medida dos seguintes ângulos:

a) = 150º b) = 31º

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Conclusões:

1- Dado um ângulo central, é constante a razão entre o comprimento do arco determinado e a

medida do raio. Logo, podemos definir que a medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo central de uma circunferência e a medida do raio dessa circunferência. Sendo assim, quando o comprimento do arco for igual à

medida do raio, podemos afirmar que o ângulo central mede 1 radiano (1 rad).

2- Quando R = 1, a medida do ângulo central, em radianos, coincide com o comprimento do arco.

Conversão grau/radiano

Como o comprimento de uma circunferência é 2R (sendo R o raio), a medida em radianos

de um ângulo de 360º é dada por R

R2π , ou seja, 2 rad. A medida do ângulo central em graus é

diretamente proporcional a sua medida em radianos. Isto nos permite fazer a conversão de

unidades por meio de regra de três simples:

Medida em graus Medida em radianos

180

x α

Para 1 rad, temos:

180º ---- rad

x ---- 1 rad

x =

180 143

180,

º,357

9

3.8 Utilizando regra de três, complete a tabela abaixo:

Medida do ângulo em graus Medida do ângulo em radianos

45º

3

90º

3

75º

Tabela Trigonométrica

Ao longo da história, os matemáticos determinaram as razões trigonométricas por variados

processos. Com os valores encontrados foram construídas tabelas ou tábuas trigonométricas

para serem consultadas sempre que a resolução de um problema exigisse o conhecimento de

um desses valores. Atualmente, as calculadoras e os computadores permitem obter as razões

trigonométricas com várias casas decimais.

No estudo da Trigonometria, os ângulos de 30º, 45º e 60º são freqüentemente utilizados.

Para estes é comum utilizar os valores exatos das razões trigonométricas. O seno, o cosseno

e a tangente de 30º e 60º são obtidos a partir de um triângulo eqüilátero, e o seno, o cosseno

e a tangente de 45º, a partir de um quadrado. Para facilitar, colocamos estes valores na tabela

abaixo:

10

ATIVIDADE 4

4.1- Clique em “Circunferência Trigonométrica” no menu. Marque a caixa 1, leia atentamente o

texto correspondente e observe o applet. Repita o procedimento para as demais caixas,

executando as ações solicitadas.

4.2- Sem utilizar o applet, identifique os quadrantes da circunferência trigonométrica a que

pertencem as extremidades dos arcos cujas medidas são:

a) 18º d) 141º g) 3 rad

b) 6

rad e) 3

rad h) 4

5rad

c) - 5 rad f) –100º i) - 2 rad

4.3- Determine, em radianos, a medida dos arcos com origem em A e extremidades nos vértices

dos polígonos regulares inscritos nas circunferências trigonométricas abaixo.

a) b)

c)

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Função de Euler

Até aqui, o seno e o cosseno foram definidos para ângulos maiores que 0º e menores que

90º. Como esses ângulos podem ser medidos em radianos estão definidos o seno e o cosseno de

números reais maiores que zero e menores que 2

. Agora, vamos estender as definições

estudadas para todos os números reais.

Para isto imagine a circunferência trigonométrica C como um “carretel” no qual se enrola a

reta IR, de modo que o zero fique sobre o ponto (1, 0). Assim, a reta real está sendo imaginada

como um longo “fio”, que deverá ser enrolado no “carretel” considerado. Ao enrolar o “fio” no

“carretel”, este coincidirá com algum arco da circunferência.

Se convencionarmos que o zero da reta real estará no ponto (1, 0) e que, ao enrolar o “fio’

no sentido anti-horário ele representará um número positivo (no sentido horário o fio representará

um número negativo), poderemos associar o número real “1” (fio de comprimento 1) ao arco de

comprimento 1 e também ao ângulo que subentende esse arco de comprimento 1. Como o raio da

circunferência é unitário (mede 1 também), então cada arco de comprimento 1 mede 1 radiano,

assim como o ângulo que o subentende.

Dessa forma, conseguimos associar cada número real a um ângulo da circunferência. O

número 1 associa-se ao ângulo de 1 rad, o número 2 associa-se ao ângulo de 2 rad, o número

associa-se ao ângulo que mede rad, e assim por diante. O número 2 associa-se ao ângulo de

comprimento 2 , que coincide com o ponto inicial (lembre-se de que o comprimento da

circunferência unitária é 2 ).

Clique em “Função de Euler” no menu. Movimente o seletor e observe a

correspondência entre números reais e pontos da circunferência trigonométrica no intervalo de

[0, 2 ].

A maneira mais natural de definir as funções trigonométricas tem como ponto de partida a

função de Euler E: IR → C, cujo contradomínio é a circunferência C de raio 1 e centro na origem

do plano cartesiano. Esta função faz corresponder a cada numero real t o ponto E (t) = (x, y) da

circunferência unitária obtido do seguinte modo (LIMA1, 2001):

E (0) = (1, 0).

Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de

comprimento t, sempre andando no sentido positivo. O ponto final do caminho será

chamado E (t).

Se t < 0, E (t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento |t|, que

parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo.

1 LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2001.

12

Sendo t um número real e P = E (t) na circunferência trigonométrica, defini-se

nesta circunferência:

sen t = ordenada de P;

cos t = abscissa de P.

P = (cos t, sen t)

ATIVIDADE 5

5.1- Clique em “Seno e Cosseno (sentido anti-horário)” no menu. Observe o applet. Altere a

medida do ângulo , movendo o seletor correspondente, e complete, corretamente, com > ou <,

os itens abaixo:

a) Considerando no primeiro quadrante:

sen ___ 0

cos ___ 0

b) Considerando no segundo quadrante:

sen ___ 0

cos ___ 0

c) Considerando no terceiro quadrante:

sen ___ 0

cos ___ 0

d) Considerando no quarto quadrante:

sen ___ 0

cos ___ 0

5.2- No campo de entrada digite = 0º, observe os valores de sen e cos que aparecem no

applet e preencha a coluna correspondente da tabela abaixo. Repita o procedimento, alterando os

valores de , de forma a preencher toda a tabela.

0º 90º 180º 270º 360º

sen

cos

13

5.3- Movimente o seletor, observe o valor de sen e cos e responda:

a) Qual o valor máximo assumido pelo seno? E o mínimo?

b) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno? E o mínimo?

Conclusão: O seno de um número real é a ordenada do seu ponto correspondente na circunferência

trigonométrica. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e os do 2º quadrante e os

pontos de ordenadas negativas são os do 3º e os do 4º quadrante, temos o seguinte quadro de

sinais para o seno:

O cosseno de um número real é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos

de abscissas positivas são os do 1º e os do 4º quadrante e os pontos de abscissas negativas são

os do 2º e os do 3º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno:

Como, para todo x IR temos sen x entre [-1, 1]. Então o valor mínimo para sen x é -1 e o

máximo é 1. O mesmo ocorre para o cos x.

14

5.4- Identifique a quais quadrantes podem pertencer o ângulo apresentado em cada item (utilize

o applet, se necessário):

a) sen = 41

b) cos = 22

c) sen = 23

d) cos = - 21

5.5- Identifique o sinal de (utilize o applet, se necessário):

a) sen 5

b) cos 5

c) sen 1,4

d) cos 2

e) sen 4

f) cos 3,5

5.6- Nos parênteses, coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas:

a) ( ) cos 7 < cos

65

b) ( ) cos 4

> cos 1

c) ( ) cos 4 < 0

d) ( ) sen 3 > sen 2

e) ( ) sen 2 > 0

ATIVIDADE 6

6.1- Clique em “Seno e Cosseno (sentido horário)” no menu. Movimentando o seletor, identifique o

sinal de:

a) sen , -90º < < 0º

b) sen , -180º < < -90º

c) sen , -270º < < -180º

d) sen , -360º < < -270º

e) cos , -90º < < 0º

f) cos , -180º < < -90º

g) cos , -270º < < -180º

h) cos , -360º < < -270º

6.2- Apresente um valor para , -360º < < 0º tal que:

a) sen > 0 e cos < 0 b) sen < 0 e cos < 0

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ATIVIDADE 7

7.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Complementares” no menu. Observe o applet e

anote o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (90º - ) = ______

d) cos = cos (90º - ) = ______


______________________________________________________________________________

7.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 37º e anote o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (90º - ) = ______

d) cos = cos (90º - ) = ______


______________________________________________________________________________

7.3- Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:

= ____

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (90º - ) = ______

d) cos = cos (90º - ) = ______


______________________________________________________________________________

7.4- Descreva o que você observou.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

16

Conclusão:

Na atividade 2, no estudo de Trigonometria no triângulo retângulo, foi verificado que

quando dois ângulos e são complementares,

sen = cos ou sen = cos (90º - )

cos = sen ou cos = sen (90º - )

É possível provar que essa relação é verdadeira também na circunferência trigonométrica.

Para tanto se observa na figura abaixo que o triângulo ABO é congruente ao triângulo CDO pelo

caso LAAo. (Lado, Ângulo adjacente e Ângulo oposto).

Essa relação pode ser escrita como:

, para x IR, ou

, para x IR.

ATIVIDADE 8

8.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Suplementares” no menu. Observe o applet e anote

o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º - ) = ______

d) cos = cos (180º - ) = ______

Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________

8.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 27º e anote o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º - ) = ______

d) cos = cos (180º - ) = ______

sen x = cos

x2

cos x = sen

x2

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8.3 - Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:

= ____

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º - ) = ______

d) cos = cos (180º - ) = ______


______________________________________________________________________________

8.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens anteriores desta atividade.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ATIVIDADE 9

9.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Explementares” no menu. Observe o applet e anote

o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º + ) = ______

d) cos = cos (180º + ) = ______


9.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 35º e anote os valores

representados na tela de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º + ) = ______

d) cos = cos (180º + ) = ______



= ____

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (180º + ) = ______

d) cos = cos (180º + ) = ______


9.4- Descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

18

ATIVIDADE 10

10.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Replementares” no menu. Observe o applet e anote

o valor de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (360º - ) = ______

d) cos = cos (360º - ) = ______


10.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 43º e anote os valores

representados na tela de:

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (360º - ) = ______

d) cos = cos (360º - ) = ______



= ____

a) sen = ______

b) cos = ______

c) sen = sen (360º - ) = ______

d) cos = cos (360º - ) = ______


10.4- Descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19

Simetrias

Em uma circunferência trigonométrica, se um arco tiver sua extremidade no 2º, 3º ou 4º

quadrante, sempre existirá um arco com extremidade no 1º quadrante e cujas funções

trigonométricas terão, em módulo, o mesmo valor das do arco considerado.

Simetria em relação ao eixo dos senos

Dado o ângulo tal que 90º < < 180º, seja P a extremidade de na circunferência

trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos senos, o ângulo

correspondente ao arco e ’ o ângulo correspondente ao arco .

Observando a figura podemos afirmar que

+ = 180º (I).

Além disso,

= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação ao eixo dos senos.

Substituindo (II) em (I) temos que

+ = 180º (no sentido anti-horário).

Portanto + = 180º ou = 180º - (III)

Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação ao eixo dos senos

estes pontos têm mesma ordenada e abscissas simétricas. Ou seja:

(IV)

Substituindo (III) em (IV) temos que:

sen = sen

cos = - cos

sen (180º - ) = sen

cos (180º - ).= - cos .

20

Logo, dois ângulos suplementares têm senos iguais e cossenos simétricos.

Essas relações podem ser escritas como:

, para x IR, e

, para x IR.

Simetria em relação à origem


trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação à origem e o ângulo correspondente

ao arco .


- = 180º (I).

Além disso,

= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação à origem.


- = 180º (no sentido anti-horário).

Portanto - = 180º ou = 180º + (III)

Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação à origem estes pontos

possuem ordenadas e abscissas simétricas. Ou seja:

(IV)

sen x = sen x

cos x = - cos x

sen = - sen

cos = - cos

sen = - sen

cos = - cos

21


Logo, dois ângulos que somam 180º têm senos e cossenos simétricos.


, para x IR, e

, para x IR.

Simetria em relação ao eixo dos cossenos


trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos e o ângulo

correspondente ao arco .


+ = 360º (I).

Além disso,

= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos.


+ = 360º (no sentido anti-horário).

Portanto + = 360º ou = 360º - (III)

sen x = - sen x

cos x = - cos x

sen (180º + ) = - sen

cos (180º + ).= - cos .

22

Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação ao eixo dos cossenos

estes pontos têm mesma abscissa e ordenadas simétricas. Ou seja:

(IV)


Logo, dois ângulos que somam 360º têm senos simétricos e cossenos iguais.


, para x IR, e

, para x IR

ATIVIDADE 11

No menu, clique em “Definição da Função Seno” e marque as caixas numeradas.

11.1- Clique em “Transformação da Função Seno” no menu. O applet apresenta o gráfico da

função xsen)x(f . Observando-o, determine o conjunto imagem (Im) e o período (p) da função f.

Im =________ p = _______

11.2- Mova o seletor d até encontrar d = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e

o período da função g.

Im =________ p = ________

11.3- Mova o seletor d até encontrar d = -3. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e


Im =________ p = _______

11.4- Movimente o seletor d e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a

transformação que o parâmetro d, das funções da forma xsen+d=)x(g , causa sobre o gráfico da

função xsen)x(f .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

sen x2 = - sen x

cos x2 = cos x

sen = - sen

cos = cos

sen (360º - ) = - sen cos (360º - ).= cos .

23

11.5- Mova o seletor d até encontrar d = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente

com o gráfico da função g. Mova o seletor c até encontrar c = 2,9. Observando o gráfico,

determine o conjunto imagem e o período da função g.

Im =________ p = _______

11.6- Mova o seletor c até encontrar c = - 3,7. Observando o gráfico determine o conjunto imagem

e o período da função g.

Im =________ p = ________

11.7- Movimente o seletor c e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a

transformação que o parâmetro c, das funções da forma )c+x(sen=)x(g , causa sobre o gráfico

da função xsen)x(f .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.8- Mova o seletor c até encontrar c = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente

com o gráfico da função g . Mova o seletor a até encontrar a = 0,5. Observando o gráfico,

determine o conjunto imagem e o período da função g.

Im =________ p = ________

11.9- Mova o seletor a até encontrar a = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e


Im =________ p = ______

11.10- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores positivos e observe os

gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma xsena=)x(g ,

causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando 0 < a < 1 e quando a > 1.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.11- Mova o seletor a até encontrar a = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem


Im =________ p = ______

Compare os gráficos das funções xsen)x(f e xsen)x(g e descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.12- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores negativos e observe os

gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma xsena=)x(g ,

causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando -1 < a < 0 e quando a < - 1.

24

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.13- Mova o seletor a até obter a = 1, para que o gráfico da função f coincida novamente com o

gráfico da função g . Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico, determine o

conjunto imagem e o período da função g.

Im =________ p = ________

11.14- Mova o seletor b até encontrar b = 0,25. Observando o gráfico determine o conjunto

imagem e o período da função g.

Im =________ p = ________

11.15 Mova o seletor b até encontrar b = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e


Im =________ p = _______

11.16 Mova o seletor b até encontrar b = 4. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e


Im =________ p = _______

11.17- Movimente o seletor de forma que b assuma apenas valores positivos e observe os

gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma bxsen=)x(g ,

causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando 0 < b < 1 e quando b > 1.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.18- Mova o seletor b até encontrar b = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem


Im =________ p = ______

Compare os gráficos das funções xsen)x(f e )x(sen)x(g e descreva o que você observou. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.19- Mova o seletor de forma que b assuma apenas valores negativos e observe os gráficos.

Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma bxsen=)x(g , causa sobre o

gráfico da função xsen)x(f , quando -1 < b < 0 e quando b < - 1.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

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Conclusões:

Funções na forma g (x) = d + sen x

A imagem é [-1 + d, 1 + d] e o período é 2π.

Em relação à função f(x) = sen x:

- quando d > 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para cima.

- quando d < 0, estas funções sofrem uma translação vertical de |d| unidades para baixo.

Funções na forma g (x) = sen (x + c)

A imagem é [-1, 1] e o período é 2π.


- quando c > 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a esquerda.

- quando c < 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de |c| unidades para a direita.

Funções na forma g (x) = a sen x

A imagem é [-a, a] e o período é 2π.


- quando 0 < a < 1, estas funções sofrem uma contração vertical.

- quando a > 1, estas funções sofrem uma dilatação vertical.

- quando -1 < a < 0, estas funções sofrem uma contração vertical e uma reflexão em relação ao eixo x.

- quando a < -1, estas funções sofrem uma dilatação vertical e uma reflexão em relação ao eixo x

Funções na forma g (x) = sen bx

A imagem é [-1, 1] e o período é bπ2

.


- quando 0 < b < 1, estas funções sofrem uma dilatação horizontal .

- quando b > 1, estas funções sofrem uma contração horizontal.

- quando -1 < b < 0, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma dilatação

horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.

- quando b < -1, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma contração

horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.

26

11.20- De acordo com o que foi estudado até aqui, determine o que se pede em cada item, sem

utilizar o applet.

a) Dadas as funções abaixo, determine o conjunto imagem e o período de cada uma:

f: IR IR / f (x) = 3 sen x

f: IR IR / f (x) = sen 3x

f: IR IR / f (x) = 1 – sen x

f: IR I R / f (x) = 2 + sen 2x

b) Determine o valor de b sabendo que o período da função xbcos+1=)x(f é igual a 8 π :

c) Determine o valor de a sabendo que a imagem da função x2sena=)x(f é [-3, 3].

EXERCÍCIOS

1- Uma pessoa está a 380 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30º. O

aparelho que mede o ângulo está a 1,6m do solo. Determine a altura do prédio.

2- (F. E. Edson Queiroz – CE) É dada a expressão cos x = m – 6. Os números reais m, de modo

que existam x satisfazendo essa igualdade, são tais que:

a) 5 ≤m ≤ 7 b) -7≤m ≤ 5 c) -1≤m ≤ 5 d) -7≤m ≤ 1 e) -1 ≤m ≤ 1

3- (Unifor-CE) O valor de sen (-210º) é:

a) 23

b) 22- c)

21- d)

21 e)

23

4- (Unifor – CE) O valor de tg 150º + 2 sen120º - cos 330º é igual a:

a) 3 b) 23

c) 23 d)

63 - e)

63

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5- (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:

a) y = sen x

b) y = 2 sen

2x

c) y = 2 sen x

d) y = 2 sen 2x

e) y = sen 2x

6- (Puccamp) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por

f(x)=k.cos(tx).

Nessas condições, calculando-se k - t obtém-se:

a) -23

b) -1 c) 0 d) 23

e) 5

estudando trigonometria com applets desenvolvidos no ... · para demonstrar essa relação vamos...

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