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Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot

Silvia Cristina Freitas Batista Gilmara Teixeira Barcelos

Campos dos Goytacazes /RJ

2008

1

Estudando Função do 2º grau e Sistemas Lineares utilizando o Software Winplot

� Seção 1

A primeira seção deste material contém algumas informações básicas sobre a utilização do software Winplot.

Conhecendo o Software Winplot

O Winplot é um programa gráfico de propósito geral, que permite o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um disquete. É um programa gratuito, disponível em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html .

Para abrir o Winplot, clique duas vezes no ícone Winplot.lnk

. Com isso, se abrirá a janela inicial do software:

Clicando em Janela, aparecerão as seguintes opções:

Para visualizar o gráfico de uma função de uma variável y = f(x), escolhe-se opção 2-dim. Assim, será apresentada a seguinte janela:

2

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada:

Para digitar as formulas das funções é preciso respeitar as regras de sintaxe do

software. Clicando em Equação e, em seguida, em Biblioteca, obtém-se informações sobre a forma de digitar diversas funções. Na tabela abaixo apresentamos a sintaxe de algumas funções elementares:

Função xn a

x x n x xlog xln x xsen xcos

Sintaxe nx^ na^ sqrt(x) root(n, x) )log(x )ln(x )(xabs )(xsin )cos(x

Para personalizar seu plano cartesiano, clique em Ver (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Grade. Isso abrirá uma janela na qual é possível fazer algumas escolhas:

setas Exibe os eixos com setas escala Exibe as escalas nos eixos

rótulos Exibe os rótulos x e y, nos respectivos eixos grade

Exibe linhas de grade no plano do gráfico

Para alterar a cor do fundo da janela principal, clique em Misc (no alto da janela principal), em seguida deslize o cursor até Cores e, então, selecione Fundo.

Tomemos, como exemplo, a função 1)( 24−++= xxxxf , para analisarmos outros

recursos do Winplot.

Aumentando o valor na caixa “espessura da linha”, obtém-se gráficos com linhas mais “grossas”.

É possível visualizar a equação do gráfico construído, na cor do gráfico, e no local desejado. Para visualizar a equação, clique em equação na janela inventário. Para arrastar a equação pela tela e colocá-la no local desejado, clique em Mouse (no alto da janela principal) e, em seguida, selecione Texto. Clique, então, sobre a equação, com o botão esquerdo do mouse e arraste.

3

Para encontrar os zeros ou raízes de uma função entre em Um (no alto da janela principal) e, a seguir, em zeros. Para descobrir outras raízes da função, caso existam, basta

clicar em próximo. Considerando a função 1)( 24−++= xxxxf , temos:

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, caso existam, entre em Um e a seguir em Extremos. Para descobrir um outro ponto extremante, caso exista, basta

clicar em próximo extremo de. Considerando a função 1)( 24−++= xxxxf , temos:

Para encontrar a imagem de um determinado valor de x, clique em Um e, a seguir, em Traço. Digite o valor de x na linha onde se vê “x =” e tecle enter.

Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas curvas clique em Dois

(no alto da janela principal) e, a seguir, em Interseções. Para descobrir um segundo ponto de interseção, caso exista, basta clicar em prox interseção. Considerando as funções

1)( 24−++= xxxxf e 3 2 1)( += xxg , temos:

4

È possível ampliar ou reduzir o gráfico através das teclas Page Up e Page Down, respectivamente. É possível modificar a posição da superfície através das teclas:

. Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, clique

em Equação e, em seguida, em Explícita. No campo “f(x) =”, digite joinx (lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta Lei 1 no intervalo ax ≤ , lei 2 no intervalo bxa ≤< , e assim sucessivamente, até a última lei Lei n no intervalo formado pelos demais valores. Consideremos o seguinte exemplo:

Se desejar limitar um intervalo de x, à esquerda e à direita, para a função considerada, preencha os campos x mín e x máx e, a seguir, marque travar intervalo. No exemplo abaixo a função foi restrita ao intervalo [-3,3].

>+−

≤<−−

−≤+

=

2se ,72

21se,1

1se,1

)(2

xx

xx

xx

xf

5

Para visualizar o gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), utiliza-se a opção Janela, na tela inicial do software e, em seguida, seleciona-se a opção 3-dim na coluna de comandos.

Clicando em Equação (no alto da tela) e, em seguida, escolhendo a opção Explícita, será apresentada uma janela na qual digitamos a fórmula da função desejada. Como

exemplo, consideremos a função dada por 2),( xyxf = .

x

y

z

É possível rotacionar o gráfico em 3-dim, utilizando as setas .

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� 2ª Parte

A 2ª parte deste material é composta de atividades abordando função do 2º grau (transformações gráficas), a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Função do 2º Grau - Transformações Gráficas

1. Comparação da função y = x2 com as funções da forma y = x2 + p, sendo p ∈ IR. a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um

mesmo plano cartesiano.

1.1 y = x^2 1.4 y = x^2 – 3 1.2 y = x^2 + 2 1.5 y = x^2 – 1 1.3 y = x^2 + 4

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas. 1.1 __________________________________ 1.4 ________________________________

1.2 __________________________________ 1.5_________________________________

1.3 __________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = x2 + p (p ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções

do tipo y = x2 + p (p ∈ IR). e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o

parâmetro p, das funções da forma y = x2 + p (p ∈ IR), causa sobre o gráfico da função y = x2 ?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 2. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = (x + h)2 sendo h∈ IR.

a) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir, em um mesmo plano cartesiano.

2.1 y = x^2 2.4 y = (x - 3)^2 2.2 y = (x + 1)^2 2.5 y = (x + 4)^2 2.3 y = (x - 1)^2

b) Determine as coordenadas do vértice e o conjunto imagem de cada uma das parábolas esboçadas.

2 1 _______________________________ 2.4__________________________________

2.2 _______________________________ 2.5___________________________________

2.3 _______________________________

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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = (x + h)2 (h ∈ IR). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro.

d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do

tipo y = (x + h)2 (h ∈ IR). e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o

parâmetro h, das funções da forma y = (x + h)2 (h ∈ IR), causa sobre o gráfico da função y = x2 ?

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR*+


3.1 y = x^2 3.3 y = 223

^x 3.5 y = 21

x^2

3.2 y = 2x^2 3.4 y = 32

x^2


3.1 ________________________________ 3.4 _________________________________

3.2 ________________________________ 3.5_________________________________

3.3 ________________________________

c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2 (a ∈ IR*

+). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções

do tipo y = ax2 (a ∈ IR+*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR+

*), causa sobre o gráfico da função y = x2? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 4. Comparação da função y = x2 com as funções do tipo y = ax2 sendo a ∈ IR-

*.


4.1 y = x^2 4.3 y = - 2x^2

4.2 y = - x^2 4.4 y = - 221

^x


4.1 ________________________________ 4.3 __________________________________

4.2 ________________________________ 4.4 __________________________________

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c) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e da família de funções y = ax2 (a ∈ IR-

*). Explicite o intervalo escolhido para o parâmetro. d) Utilizando o Winplot, esboce o gráfico da função y = x2 e anime o gráfico das funções do

tipo y = ax2 (a ∈ IR-*).

e) Analisando o que foi realizado nos itens anteriores, descreva a transformação que o

parâmetro a, das funções da forma y = ax2 (a ∈ IR-*), causa sobre o gráfico da função

y = x2? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 5. Determine o que se pede em cada item :

a) utilizando o Winplot, esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir; b) determine as coordenadas do vértice de cada parábola; c) determine o conjunto imagem de cada uma das funções; d) indique as transformações que ocorreram em relação à função y = x2.

5.1 y = (x – 3)2 + 2 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.2 y = (x + 1)2 – 4 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 5.3 y = 2(x + 1)2 + 1 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

5.4 y = - 4

1(x – 2)2 + 3

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

6. A partir das observações feitas nos exercícios anteriores, determine as coordenadas

do vértice das parábolas que representam as funções da forma y = a (x + i)2 + p,

sabendo que a ∈ IR*, i ∈ IR e p ∈ IR.

__________________________________________________________________________

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7. (UFJF) O esboço do gráfico que melhor representa uma função f: IR → IR definida por f(x) = (x – a)2 – b , onde a e b são números reais positivos, é: a) c) e)

b) d)

� 3ª Parte

A 3ª parte deste material contém teoria sobre análise gráfica de sistemas lineares e atividades sobre o tema a serem desenvolvidas com o auxílio do software Winplot.

Sistemas Lineares – Análise Gráfica

1. Sistemas Lineares com Duas Equações e Duas Incógnitas

Seja o sistema linear S1:

=+

=+

222

111

cybxa

cybxa

No qual 212121 ,,,,, ccbbaa são números reais.

Consideremos:

),( 111 bal = e ),( 222 bal = ;

),,( 1111 cbaL = e L2 = ( ),, 222 cba ,

com l1 e l2 não nulos e, conseqüentemente, L1 e L2 também não nulos. As duas equações do sistema S1 representam retas, que chamaremos 1r e 2r .

São três as posições relativas de duas retas no plano. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.

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Posições Relativas de Duas Retas no Plano e Condições Algébricas a) As duas retas coincidem. 21 rr =

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y) da reta

1r (ou 2r , já que são coincidentes). O sistema é possível e indeterminado.

Condição algébrica:

Existe k, real não nulo, tal que:

L2 = kL1 (ou seja, L2 é múltiplo de L1).

b) As duas retas são paralelas.

1r

2r

Nesse caso, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível.


Existe k, k∈R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 .

c) As duas retas são concorrentes.

Nesse caso, o sistema admite uma única solução, que é o ponto comum entre as duas retas. Logo, o sistema é possível e determinado.


Para todo k, k ∈ R, l2 ≠ kl1 (ou seja, l2 não é múltiplo de l1).

r

1r

2r

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2. Sistemas Lineares com Três Equações e Três Incógnitas

Seja o sistema linear S2:

=++

=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

No qual ,,,,,,,,, 321321321 cccbbbaaa 321 ,, ddd são números reais.

Consideremos: ),,( 1111 cbal = , ),,( 2222 cbal = e ),,( 3333 cbal = ;

),,,( 11111 dcbaL = , L2 = ( ),,, 2222 dcba e L3 = ( ),,, 3333 dcba ,

com l1, l2 e l3 não nulos e, conseqüentemente, L1, L2 e L3 também não nulos. As três equações do sistema S2 representam planos, que chamaremos 1π , 2π e 3π .

São oito as posições possíveis de três planos no espaço, um em relação aos outros. Cada uma dessas posições é assegurada por uma condição algébrica, conforme descrito a seguir.

Posições Relativas dos Planos e Condições Algébricas

a) Os três planos coincidem.

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) do plano

1π (ou 2π ou 3π , já que são coincidentes). O sistema é indeterminado de grau 2.


Existem k e p, reais não nulos, tais que: L2 = kL1 e L3 = pL1

(ou seja, L1, L2 e L3 são múltiplos um do outro).

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b) Dois desses planos coincidem e são paralelos ao terceiro

Nesse caso, o sistema não tem solução.


Existe k, k∈R*, tal que L2 = kL1 e existe p, p∈R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.

c) Dois desses planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, formadas pelos pontos (x, y, z) da reta

comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.


Existe k, k∈R*, tal que L2 = kL1 e para todo p, p∈R, l3 ≠ pl1.

d) Os três planos são paralelos entre si



Existe k, k∈R*, tal que l2 = kl1 mas, L2 ≠ kL1 e existe p, p∈R*, tal que l3 = pl1, mas, L3 ≠ pL1.

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e) Dois desses planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas



Existe k, k ∈ R*, tal que l2 = kl1 mas L2 ≠ kL1 e para todo p, p∈R, l3 ≠ pl1.

f) Os três planos têm exatamente uma reta comum

Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções, que são os pontos (x, y, z) da reta

comum aos planos. O sistema é indeterminado de grau 1.


l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas L3 = kL1 + pL2

(isto é, L3 é uma combinação linear de L1 e L2, sendo k∈R* e p∈R*).

g) Os três planos se intersectam dois a dois segundo retas paralelas



l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é múltiplo do outro, mas existem k e p, reais

não nulos, tais que l3 = kl1 + pl2 e L3 ≠ kL1 + pL2.

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h) Os três planos têm exatamente um ponto em comum

Nesse caso, o sistema admite uma única solução.


l1, l2 e l3 são tais que nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Isso significa que o determinante formado pelas componentes de l1, l2 e l3 é diferente de zero:

0

333

222

111

≠

cba

cba

cba

Bibliografia

LIMA, E. L. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: IMPA/VITAE, 1992. MACHADO, A. S., Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Atual, 1982.

Atividades

1. Com auxílio do programa Winplot, analise geometricamente os sistemas abaixo, classificando-os em possível e determinado; possível e indeterminado ou impossível.

Obs.: do item a até c, a atividade será desenvolvida na janela 2-dim; de d até l, na janela 3-dim .

a)

=+

−=−

835

12

yx

yx e)

=−+

=−+

=−+

4322

12936

8624

zyx

zyx

zyx

i)

=++

=−−

=++

53

132

2432

zyx

zyx

zyx

b)

=−

=+−

41510

132

yx

yx f)

=−+

=−+

=−+

532

12936

10624

zyx

zyx

zyx

j)

=++

=−−

=++

33

132

2432

zyx

zyx

zyx

c)

=−

=−

3

622

yx

yx g)

=+−

=+−

=+−

12462

5642

432

zyx

zyx

zyx

l)

=+−

−=−+

=++

1224

132

72

zyx

zyx

zyx

d)

=+−

=+−

=+−

3333

2222

1

zyx

zyx

zyx

h)

=+−

=+−

=+−

12462

8642

432

zyx

zyx

zyx

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2. Em cada item, monte um sistema linear atendendo às condições dadas e,

utilizando o Winplot, verifique se o sistema elaborado realmente corresponde ao que foi pedido. Classifique o sistema em possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

a) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja

um par de retas concorrentes;

b) um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas cuja representação gráfica seja um par de retas paralelas;

c) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes, paralelos a um terceiro plano;

d) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos paralelos entre si;

e) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos coincidentes e um terceiro plano intersectando-os;

f) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 2 planos paralelos e um terceiro plano intersectando-os;

g) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos que possuem em comum apenas uma reta.

h) um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja representação gráfica seja composta de 3 planos concorrentes em um único ponto.

estudando função do 2º grau e sistemas lineares utilizando ... · 1.1 y = x^2 1.4 y = x^2 – 3...

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