Estruturas de

concreto Armado II

Aula IV – Flexão Simples – Equações de Equilíbrio da Seção

Fonte / Material de Apoio:

Apostila “Fundamentos do Concreto e Projeto de

Edifícios” – Prof. Libânio M. Pinheiro – UFSCAR

Apostila “Projeto de Estruturas de Concreto

Armado para Edifícios” – Prof. Thomas Carmona – FESP – São Paulo

Domínios

Flexão na Ruína

Hipóteses Básicas para o Cálculo:

• Para flexão simples, a força cortante pode ser calculada separadamente;

• Perfeita aderência entre a armadura e o concreto, de forma que ambos se deformam igual;

• A resistência a tração do concreto é desprezada;

• Manutenção da seção plana – deformações específicas proporcionais.

Simplificação do Diagrama de Tensões no Concreto

O diagrama de compressão no concreto se dá através de uma parábola-retângulo.

A norma permite então que seja simplificado na forma de uma carga retangular distribuída homogeneamente, mas com altura equivalente a 0,8 vezes a altura do carregamento anterior, simplificando o cálculo das tensões.

Ou seja, transformar:

A tensão resistente do concreto deve ser multiplicada por um fator equivalente a 0,85, ou 0,80 (depende do tipo da seção).

Isto devido a:

• Crescimento da resistência ao longo de 28 dias;

• Efeitos de cargas de longa e curta duração;

• A diferença entre o estudo feito no laboratório com corpos de prova, e o comportamento do concreto armado em sua utilização.

Tensão Resistente de Cálculo

Fatores que minoram a tensão resistente (�cd) do concreto, conforme o tipo de seção:

No curso, utilizaremos apenas seção retangular, logo:

�cd = 0,85.fcd

Conceito de Altura Útil

Altura útil “d” é a distância entre a face comprimida da viga e o centro de gravidade da armação tracionada.

d = h – c – Øt – Øs 2�

Onde:

h = altura da seção transversal;

c = cobrimento;

Øt = diâmetro nominal dos estribos;

Øs = diâmetro nominal do aço longitudinal.

Nem sempre o C.G. da armação tracionada está nas barras, neste caso, deve ser calculado especificamente:

Conceito de x

�x nada mais é do que uma relação entre a altura da linha neutra e a altura útil da seção transversal.

Trata-se de um parâmetro para descobrirmos em qual domínio a viga está trabalhando.

�x =x/d

Onde:

x = distância entre a borda comprimida e a linha neutra;

d = altura útil da seção transversal.

Domínio 2: Aproveitamento máximo da capacidade de deformação da armadura (alongamento do aço);

Domínio 3: Aproveitamento máximo da capacidade de deformação do concreto (por encurtamento), e aproveitamento da capacidade de deformação da armadura em escoamento;

Domínio 4: Aproveitamento máximo da capacidade de deformação do concreto, mas sem deixar o aço escoar;

Domínios em que é possível se dimensionar uma viga à flexão:

Como saber então em qual domínio a viga está trabalhando?

Encontramos os limites de cada domínio dentro da seção por semelhança de triângulos, e

comparamos com o valor de �x

Domínio 2

Ruína por deformação plástica excessiva do aço, com deformação máxima de 1,0%

Limite do domínio 2 – deformação máxima do concreto – 0,35%

d → 1,00% + 0,35% x → 0,35%

x . 1,00% + 0,35% = d . 0,35%

x

d =

0,35%

1,00% + 0,35%

βx23 = 0,35%

1,00% + 0,35% = 0,259

Domínio 3

Ruína por deformação plástica excessiva do concreto, porém com deformação plástica do aço em escoamento

d → εys + 0,35%

x → 0,35%

εys = fydEs�

Onde:

�ys = deformação plástica de escoamento do aço;

fyd = resistência de cálculo do aço;

Es = módulo de elasticidade do aço = 2,10 x 105 MPa.

fyd = 500 / 1,15 = 434,78 MPa, para aço CA50;fyd = 600 / 1,15 = 521,74 MPa, para aço CA60.

Para aço tipo CA50

d → εys + 0,35%

x → 0,35%

x . 434,78

2,10 . 105 + 0,35% = d . 0,35%

x

d =

0,35%

0,207% + 0,35%

βx34 = 0,35%

0,207% + 0,35% = 0,628

Para aço tipo CA60

d → εys + 0,35%

x → 0,35%

x . 521,74

2,10 . 105 + 0,35% = d . 0,35%

x

d =

0,35%

0,248% + 0,35%

βx34 = 0,35%

0,248% + 0,35% = 0,585

Domínio 4Ruína por deformação plástica excessiva do concreto,

sem deformação da armadura.

Deve-se sempre evitar trabalhar no domínio 4, pois além de desperdiçar material, promove a ruína do concreto armado abruptamente.

�x < 0,29 – Domínio 2

0,29 < �x < 0,628 – Domínio 3(para CA60, �x < 0,585)

�x > 0,628 – Domínio 4

Limite imposto pela NBR 6118:

�x ≤ 0,50 – Para fck < 50 MPa;�x < 0,45 – Para fck ≥ 50 MPa;

434,78

Roteiro para Dimensionamento da Armadura de Flexão

• Encontra-se a posição da linha neutra pela equação de equilíbrio de momentos fletores na seção;

• Verifica-se em qual domínio a peça está trabalhando;

• Encontra-se a área de aço pelo equilíbrio da área comprimida de concreto pela área de aço tracionada.

Equações de Equilíbrio da Seção

Md = Rcd . z = 0,85 . fcd . bw . 0,8x . ( d – 0,4x)

Md = Rsd . z = As . fyd . ( d – 0,4x)

Rcd = Rsd, logo:

As . fyd = 0,85 . fcd . bw . 0,8x

Resistência do concreto

Área comprimida z = distância

Resistência do açoÁrea de aço z = distância

Armadura Mínima

Segundo NBR 6118:

Onde ρ = taxa de armadura de aço por concreto

ρ = As / Ac

Quando Uma Seção Não Passa – O Que Fazer?

Quando uma seção transversal se encontrar em domínio 4, ou simplesmente não resistir aos esforços solicitantes, pode-se:

• Aumentar a largura– Nem sempre é possível, devido ao embutimento da viga; além de não ser

muito efetivo;

• Aumentar o fck– Nem sempre é possível, devido ao custo da obra; além de não ser muito

efetivo;

• Aumentar a altura da viga– Nem sempre é possível, devido ao pé-direito; mas é muito efetivo;

• Considerar seção “T”– Só é possível se houver lajes maciças na lateral da viga;

• Considerar armadura dupla– Sempre é possível.

Exercícios

Dados:

Concreto C25;

Aço CA50;

bw= 30 cm;

Mk = 210 kN.m;

Coeficientes: �q = 1,4 / �c = 1,4 / �s = 1,15;

Calcule a altura útil (d) e a área de aço (As) de uma seção transversal em domínio 2.

Depois, faça o mesmo, mas considerando domínio 3.

Dados:Concreto C30;Aço CA50;bw= 19 cm;h = 50 cm;d = h – 5cmMk = 100 kN.m;

Coeficientes: �q = 1,4 / �c = 1,4 / �s = 1,15;

Calcule a área de aço (As) desta seção transversal.

Dados:Concreto C25;Aço CA50;bw= 30 cm;h = 45 cm;d = h – 5cmMk = 252 kN.m;

Coeficientes: �q = 1,4 / �c = 1,4 / �s = 1,15;

Calcule a altura útil a área de aço (As) desta seção transversal.

Caso seja necessário, faça modificações para que a seção passe.

Dados:Concreto C25;Aço CA50;bw= 30 cm;h = 50 cm;d = h – 5cmMk = 450 kN.m;

Coeficientes: �q = 1,4 / �c = 1,4 / �s = 1,15;

Calcule a altura útil a área de aço (As) desta seção transversal.

Caso seja necessário, faça modificações para que a seção passe.

Dada a seguinte viga, verifique qual é o momento fletor máximo que ela é capaz de suportar:

Dados:

Concreto C30;

Aço CA50

As Ø16mm ≅ 2,00 cm2

Coeficientes: �q = 1,4 / �c = 1,4 / �s = 1,15;