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So Cristvo/SE2009
Kalasas Vasconcelos de Araujo
Estruturas Algbricas II

Hermeson Alves de Menezes
Elaborao de ContedoKalasas Vasconcelos de Araujo
-- So Cristvo: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009. 1. Matemtica. 2. lgebra. I. Ttulo.
CDU 512
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FICHA CATALOGRFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Estruturas Algbricas II
Capa
A663e Araujo, Kalasas Vasconcelos de. Estruturas Algbricas II / Kalasas Vasconcelos de Araujo.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitria Prof. Jos Alosio de Campos
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Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD
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NCLEO DE MATERIAL DIDTICO
Hermeson Menezes (Coordenador)Edvar Freire CaetanoIsabela Pinheiro EwertonLucas Barros Oliveira
Diretoria PedaggicaClotildes Farias (Diretora)Hrica dos Santos MotaIara Macedo ReisDaniela Souza SantosJanaina de Oliveira Freitas
Diretoria Administrativa e Financeira Edlzio Alves Costa Jnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves
Coordenao de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)
Ncleo de Formao ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)
Ncleo de AvaliaoGuilhermina Ramos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosElizabete SantosMarialves Silva de Souza
Ncleo de Servios Grfi cos e Audiovisuais Giselda Barros
Ncleo de Tecnologia da InformaoJoo Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceio Souza
Assessoria de ComunicaoGuilherme Borba Gouy
Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloTadeu Santana Tartum
Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Portugus)Eduardo Farias (Administrao)Haroldo Dorea (Qumica)Hassan Sherafat (Matemtica)Hlio Mario Arajo (Geografi a)Lourival Santana (Histria)Marcelo Macedo (Fsica)Silmara Pantaleo (Cincias Biolgicas)
Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Fsica)Geraldo Ferreira Souza Jnior (Matemtica)Janana Couvo T. M. de Aguiar (Administrao)Priscilla da Silva Ges (Histria)Rafael de Jesus Santana (Qumica)Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a)Trcia C. P. de Santana (Cincias Biolgicas)Vanessa Santos Ges (Letras Portugus)

Sumrio
Aula 1: Polinmios 15
1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 A estrutura algbrica dos polinmios e o significado
da expresso anxn + . . . a1x + a0 . . . . . . . . . . 18
1.4 Termos e Monmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 31
Aula 2: Algoritmo da diviso em k[x] 33
2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 O Algoritmo da diviso em k[x] . . . . . . . . . . . 34
2.3 O teorema do resto e do fator . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Aula 3: Teoria da divisibilidade Em k[x] 43
3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Glossrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Ideais em k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 MDC em k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 MDC DIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Irredutveis e Fatorao nica em k[x] . . . . . . . . 53
3.7 Irredutibilidade versus razes de funes polinomiais 55
3.8 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Aula 4: Irredutibilidade em Q[x] 61
4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Teste da raiz racional . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 O contedo de um polinmio . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Irredutibilidade em Q[x] irredutibilidade em Z[x] . 664.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Aula 5: Critrios de irredutibilidade
Em Z[x] 71
5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Critrio de Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Critrio Zp[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4 Critrio f(x + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5 O polinmio ciclotmico p(x), p primo . . . . . . . 77
5.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Aula 6: Anis quocientes k[x]/I 83
6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 O anel quociente k[x]/I . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 A estrutura de k[x]/(p(x)) quando p(x) irredutvel . 89
6.5 Adjuno de razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Aula 7: Extenses de Corpos 97
7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Glossrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Fatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5 Exerccios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Aula 8: Extenso de um
Isomorfismo 119
8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 m,F (x) = m,F (x) F () = F () . . . . . . . . 1218.3 Extenso de isomorfismos para extenses simples . 122
8.4 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Aula 9: Extenses algbricas 129
9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Finita algbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.3 Finitamente gerada algbrica ? . . . . . . . . . . 1319.4 Finita finitamente gerada e algbrica . . . . . . . 1329.5 Transitividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 O corpo dos elementos algbricos . . . . . . . . . . 133
9.7 Algbrica Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.8 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Aula 10: Corpo de razes 139
10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.3 Existncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.4 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.5 Corpo de razes finita e normal . . . . . . . . . . 145

10.6 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Aula 11: Separabilidade 151
11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . .

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