ta 3 - relacoes e expressoes algebricas

Texto de Apoio 3

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TA3 Relações e Expressões Algébricas

1. Correspondências - Aplicações

1.1. Plano Cartesiano A ideia de localizarmos pontos num plano é muito antiga. Atribui-se a René

Descartes, Matemático Francês do século XVIII, o desenvolvimento de um sistema

que hoje designamos por sistema de coordenadas cartesianas.

O Plano Cartesiano é formado por duas rectas perpendiculares que se cruzam num

ponto 0, a origem dos eixos.

Se associarmos a cada um dos eixos o conjunto dos números reais, obtemos o que

se designa usualmente por Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano

Cartesiano.

Estes dois eixos dividem o plano em quatro regiões que se designam por

quadrantes e que são enumeradas em sentido anti-horário.

Cada ponto do plano cartesiano fica identificado através de um único par de

números, que se designam por coordenadas de um ponto. Assim, o ponto P da

figura seguinte tem coordenadas ( )a,b e obtém-se pela intersecção das

perpendiculares aos eixos OX e OY no pontos a e b , respectivamente.

y

x

1º quadrante

4º quadrante 3º quadrante

2º quadrante

y

x

Eixo das Abcissas

Eixo das Ordenadas

Origem 0

UC - C.C.M. Expressões e Relações Algébricas

2/46 FBS & CFM

Sempre que um ponto P do plano cartesiano é identificado pelo par ( )a,b , dizemos

que a é a Abcissa e b a Ordenada, de P , e a sua representação matemática pode

ser dada por: ( )P a,b= ; ( )P a,b↔ ; ( )P a,b→ , entre outras.

Assim, como é importante a ordem dos elementos do par ( )a,b , então este é um

par ordenado, isto é, se a b≠ temos ( ) ( )a,b b,a≠ .

�� Exemplos 1

( )4 3P ,→ e ( )3 4Q ,→ �� Observação

Podemos dizer que no plano cartesiano, cada ponto é representado por um

único par ordenado ( )a,b , onde a e b pertencem ao conjunto dos números

reais. Da mesma forma, um par ordenado representa apenas um único ponto.

b

a x

P

y

.

y . 3

4 x

P .

3

4 Q

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1.2. Noção de Função

�� Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função a toda a aplicação

(correspondência) de A em B na qual, a todo o elemento de A está associado

um único elemento de B.

Deste modo, todos os elementos de A têm que estar associados a algum elemento

de B.

�� Exemplos 2

Observe, nos diagramas seguintes, as características das aplicações que são

funções e aquelas cujos critérios de associação não estabelecem funções.

1f não é uma função de A em B, pois o elemento 3 não está associado a

qualquer elemento de B.

2f também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 2 de A

possui duas imagens.

A B 2f : A B→

1

2

3

1

2

3

A B 1f : A B→

1

2

3

1

2


4/46 FBS & CFM

3f é uma função de A em B , uma vez que cada elemento de A está associado a um

único elemento de B.

�� Notações/Designações

Consideremos uma função f de um conjunto A num conjunto B (ou definida

num conjunto A e tomando valores em B ) que associa a cada elemento x de A

um único elemento y de B .

� O elemento x designa-se por objecto e ao elemento y correspondente

chama-se imagem de x por f , e denota-se por ( )f x (que se lê “f de x”).

Não se deve confundir f com ( )f x , uma vez que f representa uma função

enquanto que ( )f x é apenas o valor que a função assume em x .

� Usualmente x é designada por variável independente e y por variável

dependente.

� O conjunto A é o domínio da função.

� O contradomínio (conjunto imagem) da função é formado por todas as

imagens dos elementos de A , ( ) ( )' ImfD f f A= = , isto é, o conjunto de

todos os elementos de B que são imagem, por f de algum elemento de A .

Frequentemente B designa-se por conjunto de chegada e pode, em vários

casos, coincidir com o contradomínio.

A B 2f : A B→

1

2

3

1

2

3

x1

f (x2) x2

f (x1)

A B

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1.3. Modos de definir uma Função

Diagrama de Venn

Tabela

x 1 2 3 4

( )y g x= u d t Q

x ( )y f x=

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Expressão Analítica

( ) { }2 3 2 1 0 1 2 3, , , , , , , ,f x x x= ∀ ∈ − − − ( ) 2 ,h x x x= ∀ ∈

Gráfico

A B

f

x

f (x)


6/46 FBS & CFM

�� Observações

� O Gráfico de uma função ( )( )Gr f é o conjunto de todos os pontos do plano

correspondentes a pares ( )( )x, f x com fx D∈ , isto é:

( ) ( ) ( ){ }2, : fGr f x y y f x x D= ∈ = ∧ ∈ℝ

Ter acesso à representação geométrica do gráfico de uma função ajuda a

compreender o seu comportamento e características permitindo, muitas vezes,

obter informações importantes através de uma análise cuidadosa suportada por

uma verificação analítica.

� Nem todas as funções podem ser representadas por uma expressão

analítica, ou, se fossem, seria uma expressão muito complexa, por exemplo:

� Um electrocardiograma

� O custo das peras no mês de Agosto no mercado da Ribeira

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1.4. Algumas Propriedades Básicas das Funções

Zeros de uma função

são os valores da variável independente, x , para os quais a função é nula,

isto é, as soluções da equação ( ) 0f x = : ( ){ }0fx D f x∈ =: . São importantes

na representação gráfica de uma função uma vez que nos fornecem os

pontos de intersecção com o eixo das abcissas (Ox).

A intersecção com o eixo das ordenadas (Oy) é a imagem de “0”, isto é, obtém-

se calculando ( )0f (não confundir com os zeros da função).

Monotonia de uma função f

Consideremos a função real f e um conjunto fA D⊆ ⊆ R . Diz-se que f é monótona:

- crescente em Α se ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A ⇒ > ∀ ∈

isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens também “aumentam” (ver imagem (a)). - decrescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ < ∀ ∈

isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens “diminuem” (ver imagem (b)). - constante em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ = ∀ ∈

isto é, à medida que os objectos “aumentam” as imagens mantêm-se constantes (ver imagem (C)).

ou ainda

2x

f (x2)

f (x1)

1x

(a)

g(x2)

g(x1)

2x

1x

(b)

h(x1) = h(x2)

1x

(c)

2x


8/46 FBS & CFM

- não decrescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ ≥ ∀ ∈

- não crescente em Α sse ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2x > x f x f x x ,x A⇒ ≤ ∀ ∈ (1)


Quando se diz que uma função é monótona sem se mencionar qualquer

conjunto, pretende-se dizer que A é monótona em todo o seu domínio.

Uma função pode não ser monótona em todo o seu domínio mas possuir partes

deste onde o é, por exemplo, nas figura seguintes podemos ver o exemplo de

uma função crescente em − e decrescente em + (figura (a)) e outra uma

função crescente em + e decrescente em − (figura (b)).

1.5. Funções Constantes �� Definição

Tal como o nome indica, são funções cuja imagem de qualquer valor da

variável independente é sempre a mesma. São usualmente definidas por

uma expressão do tipo: ( )f x K= onde K é um número real.

(1) Usualmente designadas por crescente ou decrescente em sentido lato, respectivamente, aqui designadas pela “negativa”.

(a) (b)

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O gráfico representativo de uma função constante ( )f x K= é uma recta

horizontal de equação y = K.

�� Exemplos 3

Como já referimos, o gráfico de uma função constante é uma recta horizontal

(ver figura (a)). Se fizermos variar o valor de K obtemos um conjunto ou

família de rectas horizontais (ver figura (b)).


- O eixo das abcissas (Ox) tem equação y = 0.

- A expressão ( )f x K= pode, dependendo do contexto, ter significados

distintos. Tanto pode ser a expressão analítica de uma função constante, como

pode representar uma equação que é satisfeita para algum valor de x, como por

exemplo, se tivermos a expressão acima, dada a função ( ) 2f x x= , então

( )f x K= não é mais do que a equação: ( )f x K= . Será, necessária alguma

atenção para o contexto em que a expressão é apresentada.

1.6. Funções do Primeiro Grau

�� Definição

Uma função do primeiro grau ou função afim pode ser representada por

uma equação da forma ( ) .f x m x b= + , onde m e b são números reais.

(0,K) y = K

y = 3

y = 2

y = 1

y = 0

y = -1

y = -3

y = -2

(a) (b)


10/46 FBS & CFM

Quando não houver indicação explícita do domínio e contradomínio supõe-se que

esta função é de em . Como o gráfico representativo de uma função afim é

uma recta oblíqua (ou horizontal se 0m = ), surgem as várias designações ligadas a

uma qualquer recta:

�� Notações/Designações

� m é o declive ou coeficiente angular da recta

� b é a ordenada na origem a ordenada do ponto onde a recta intersecta o

eixo Oy.

� O zero da função não é mais do que abcissa do ponto onde a recta intersecta o

eixo Ox, que se pode designar por abcissa na origem.

� Os pontos de recta não são mais do que pares ordenados da forma ( )( ),x f x .


Os parâmetros da recta, m e b , tomam valores distintos variando consoante a

função em análise.

Se mantivermos b fixo e fizermos variar o parâmetro m na equação

f (x) = mx + b

obtemos uma família de rectas cuja ordenada na origem é a mesma (ver

figura (a)).

Se mantivermos m fixo e fizermos variar o parâmetro b na equação

f (x) = mx + b

obtemos uma família de rectas paralelas cujo declive é o mesmo (ver figura

(b)).

f(x) = mx + b (b fixo e m variando)

f(x) = mx + b (m fixo e b variando)

(a)

(b)

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�� Exemplos 4

São exemplos de funções de primeiro grau:

( ) 2 3f x x= − onde se tem 2m = e 3b = −

( ) 3g x x= − + onde se tem 1m = − e 3b =

4y x= onde se tem 4m = e 0b =

A construção do gráfico de uma função afim é importante para que, a partir

dele, se possa analisar de um modo completo a função.

No caso da função ( ) 2 3f x x= − , podemos construir uma tabela de valores e, a

através da sua marcação no plano cartesiano, obter a sua representação

geométrica

Assim, para se construir um gráfico de uma função afim (uma recta), basta

conhecermos dois de seus pontos. Esses pontos podem ser obtidos atribuindo

apenas dois valores arbitrários para x e determinando suas imagens. Os dois

pontos mais “simples” são aqueles em que a recta intersecta os eixos.

No caso anterior teríamos:

x f(x) 0 -3

1,5 0

-6-5-4-3-2-10123456

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

x ( )f x

-1 -5 0 -3 1 -1 2 1 3 3 4 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2 3 4 5


12/46 FBS & CFM

A recta intersecta o eixo Ox na raiz (ou zero) da função ( )f x , ou seja, onde

( )f x é igual a zero.

A recta intersecta o eixo Oy em b , isto é, no valor de ( )0f b= .

Genericamente temos, para uma função ( )f x mx b= + :

( )0f b= e ( ) 0b

f x xm

= ⇔ = −

Sinal e monotonia de uma função do 1º grau

Uma função de primeiro grau ( )f x mx b= + é

CRESCENTE - se 0m >

DECRESCENTE - se 0m <

Se considerarmos que a raiz da função (o ponto em que a recta intersecta o eixo

OX) é o valor de x para o qual, ( ) 0b

f x xm

= ⇔ = − , podemos esquematizar dois

casos possíveis para a função de primeiro grau.

1.7. Caso Particular – Função Linear �� Definição

Uma função linear é uma função do 1º grau onde 0b = , isto é, pode

sempre ser representada por uma equação da forma ( ) .f x m x= .

Y

X

b

- b/m

y

-m/a x

+

–

a < 0 função decrescente

-m/a x

+

a > 0 função crescente

y

–

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 13/46


O gráfico de uma função linear é uma recta que passa pela origem do sistema

cartesiano, isto é: ( ) ( )0 0.f x m x f= ⇒ = . Assim para desenhar o gráfico de

uma função linear basta determinar apenas mais um de seus pontos, pois um já

é conhecido: a origem (0,0).

�� Exemplos 5

Consideremos a função ( ) 2

3f x x= . Atribuindo-se, por exemplo, a x o valor 3

teremos: ( )2 3f = f(3)= 2. Assim podemos traçar a recta que passa por (0,0)

e (3,2).

Existem duas funções lineares que merecem um destaque especial:

- a função ( )f x x= cujo gráfico é a bissectriz dos quadrantes ímpares, é

também é denominada função identidade.

- A função ( )f x x= − cujo gráfico é a bissectriz dos quadrantes pares.

Função Identidade(bissectriz dos quadrantes ímpares)

y = x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

(bissectriz dos quadrantes pares)

y = -x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7


14/46 FBS & CFM

1.8. Proporcionalidade Directa

�� Definição

Duas grandezas x e y dizem-se directamente proporcionais se a razão

entre elas é constante, isto é, se o quociente entre cada valor de y e o

respectivo valor de x for sempre igual.

Esta razão escreve-se y

kx

= ou .y k x= , onde k é a constante de

proporcionalidade.

A correspondência .x k x→ representa uma função de proporcionalidade directa,

sendo k a constante de proporcionalidade. A função que está subjacente a esta

correspondência é uma função linear, representada geometricamente por uma

recta que passa na origem. Note-se que, toda a função cujo gráfico é uma recta

que passa pela origem do referencial é de proporcionalidade directa.

�� Exemplos 6

Na figura abaixo estão dois desenhos cujas grandezas são proporcionais.

1. Qual a razão entre as dimensões dos seus comprimentos? 6

41 5,

k = =

2. Se o carro grande tiver altura a = 1,6m qual a altura a' do pequeno ? 1 6

0 44

,' ,a = =

3. Se a distância entre os eixos do carro pequeno é d'= 0.5m qual será essa distância d no carro grande ? 0 6 4 2 4' , ,a = × =

Na resposta às duas últimas alíneas poderíamos ter usado outra forma de

resolução, utilizando a proporção (igualdade de fracções): . .a c

a d b cb d

= ⇔ = .

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1.9. Proporcionalidade Inversa

�� Definição

Duas grandezas x e y dizem-se inversamente proporcionais se o

produto delas elas é constante, isto é, se o produto de cada valor de y pelo

respectivo valor de x for sempre igual.

Este produto escreve-se .x y k= ou k

yx

= , onde k é a constante de

proporcionalidade.

A correspondência k

xx

→ representa uma função de proporcionalidade inversa,

sendo k a constante de proporcionalidade.

Para dizermos, que duas variáveis são inversamente proporcionais, não é suficiente

que uma aumente enquanto a outra diminui; é também necessário que esta relação

se verifique na mesma proporção.


Relativamente a estas funções observe que:

� Nas tabelas o produto de dois valores correspondentes é constante.

� Nos gráficos os pontos não são colineares; o produto das coordenadas de cada

ponto do gráfico é sempre o mesmo.

� Sempre que o valor de uma das variáveis vem multiplicado por um número, o

valor correspondente de outra vem dividido pelo mesmo número.

� Sendo o domínio de uma função de proporcionalidade inversa o conjunto de

todos os números diferentes de zero, o seu gráfico é uma curva chamada

hipérbole.

�� Exemplos 7

A tabela junta apresenta alguns valores de pressões (em atmosferas) a que está

sujeita uma massa de hidrogénio, e os correspondentes volumes (em 3cm ) que esta

ocupa. P 12 6 4 2 ...

V 5 10 15 30 ...


16/46 FBS & CFM

1. P e V variaram no mesmo sentido ou em sentido contrário? Em sentido contrário

2. Verifique que V é inversamente proporcional a P e indique a constante de

proporcionalidade. 12 5 6 10 4 15 2 30 60k = × = × = × = × =

3. Escreva uma expressão analítica dessa função de proporcionalidade. 60

VP

=

4. Calcule o valor de V correspondente a P = 3 atmosferas. 60

203

V = =

5. Que acontece a V quando P duplica? E quando P triplica? Passa para metade e

para a terça parte.

Sugestão: Resolva os Exercícios Propostos 3 – Relações e Expressões Algébricas

– Grupo 1

Objectivos

- Reconhecer e representar uma função

- Identificar domínio e contradomínio de uma função

- Determinar imagens e objectos.

- Representar geometricamente uma função afim.

- Reconhecer e distinguir variáveis directa e inversamente proporcionais.

- Resolver problemas envolvendo as funções de proporcionalidade directa e inversa.

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 17/46

2. Sucessões Numéricas Reais

Em Matemática o termo “sucessão” é utilizado da mesma forma que na linguagem

corrente(2). Quando dizemos que um conjunto de objectos ou acontecimentos está

em “sucessão”, temos em mente que o conjunto é ordenado de modo a ter um

primeiro elemento, um segundo elemento, etc. Matematicamente, uma sucessão é

uma sequência de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função. No

conceito de sucessão também podemos incluir sequências de números sem lei ou

função conhecida a priori, mas que podem ser obtidas por meio de uma regra

aleatória. Nesta secção vamos recordar algumas noções básicas sobre sucessões.

Informalmente, uma sucessão numérica infinita, ou, mais simplesmente, uma

sucessão numérica é uma sequência interminável de números, que se designam

por termos: { }1 2 nu ,u , ,u…… … , onde n pertence ao conjunto dos números naturais.

Os índices, 1 2 3, , ..., indicam a posição dos termos na sequência. Assim, entende-se

que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo u1, um

segundo termo u2, e assim sucessivamente.

2.1. Definição de Sucessão

�� Definição

Uma sucessão real ( )n nU ∈ℕ é uma aplicação de em .

Os valores da sucessão, 1 2, ,u u … , são números reais e designam-se por

termos da sucessão.

À expressão nU , que traduz a lei da sucessão, chama-se termo geral da

sucessão.

A letra n designa-se por índice e representa a ordem do termo.

Assim, uma sucessão numérica pode ser definida como uma função dos números

naturais em ou seja é toda a função real de variável real cujo domínio .

( ) n

u :

n u n u

→=

ℕ ℝ

֏

(2) Sucessão – acto ou efeito de suceder; sequência; continuação;…


18/46 FBS & CFM

�� Observação

- Não é essencial usar n como índice, qualquer letra não reservada para outros

propósitos pode ser usada.

- A expressão ( )n nU ∈ℕ não é mais do que uma notação alternativa para a

função ( ) 1 2 3, , , ,...nf n U n= =

- As sucessões numéricas podem ser definidas por um algoritmo recursivo, isto

é, através de um primeiro termo u1, dado, e de uma relação de recorrência que

permite obter cada termo seguinte à custa do anterior, da forma: ( )1n nu R u+ =

onde R é uma relação real (ver subsecção seguinte).

- Estabelecendo um paralelo entre o que se passa com a notação relativa às

funções de variável real, podemos dizer que, numa sucessão numérica:

- As imagens chamam-se termos.

- O objecto de cada imagem (o original de cada termo) é a ordem desse

termo.

- { }nu ,n∈ℕ é o contradomínio da sucessão, ou seja, o conjunto de todos os

termos da sucessão.

�� Exemplos 1

Considere a sucessão definida pelos termos:

3 5 7 9 11 13 15 ….

1. Qual o termo geral da sucessão?

Resposta: A sucessão é definida pelos números impares a partir do número

3. Assim, o termo geral é 2 1nu n= + .

2. Indique o termo de ordem 10.

Resposta: 10 2 10 1 21u = × + =

∴ O termo de ordem 10 é 21.

3. Indique a ordem cujo termo é igual a 135.

Resposta: 134

2 1 135 2 134 672

n n n n+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∴ 135 é o termo de ordem 67.

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 19/46

2.2. Modos de definir uma sucessão

Em Matemática são importantes as sucessões numéricas para as quais é possível

estabelecer uma lei de formação, ou seja, uma expressão que permita calcular

qualquer um dos seus termos. A essa “fórmula” ou expressão, tal como já

referimos, designa-se por termo geral.

Estas leis de formação podem ser apresentadas de diferentes modos:

� Por uma expressão designatória (termo geral);

� Por duas ou mais expressões designatórias;

� Por uma fórmula de recorrência.

Uma sucessão está definida por recorrência quando é indicado o valor do

primeiro termo (ou dos primeiros termos) e, o valor de um qualquer termo é

definido a partir do anterior (ou de mais do que um termo anterior)

�� Exemplos 2

• Expressão designatória (termo geral): 3na n= − ou 2nnb =

• Por duas ou mais expressões designatórias: 1

1

é par

é ímparn

n se nb

n se n

+= −

• Por uma fórmula de recorrência: Considere-se a sucessão representada na figura

Sendo ( )n nU ∈ℕ a sucessão do número de pontos, em cada figura temos:

1 1u = ; 2 13 2u u= = + ; 3 26 3u u= = + ; 4 310 4u u= = +

……………………………

1n nu u n−= +

A sucessão é então definida por: 1

1

1

2nn n

uu

u u n, se n−

== = + ≥

Tal como as funções, as sucessões podem ser classificadas quanto à monotonia, do

seguinte modo:


20/46 FBS & CFM

�� Definição

Uma sucessão real ( )n nU ∈ℕ diz-se:

- Crescente se para todo o número natural n se tem 1n nu u +≤ .

- Decrescente se para todo o número natural n se tem 1n nu u +≥ .

- Constante se para todo o número natural n se tem 1n nu u += .

�� Observação

Pode distinguir-se, ainda, o facto de ser crescente ou decrescente em sentido lato

(definido) ou sentido estrito se for retirada a possibilidade da igualdade, isto é, se

1n nu u +< ou 1n nu u +> .

2.3. Representação Geométrica dos Termos de uma Sucessão

Uma vez que as sucessões são aplicações (que a um objecto, n ∈ ℕ , fazem

corresponder uma imagem nu ) convém referir, sucintamente, a sua representação

geométrica. Tal representação é sempre constituída por um conjunto de pontos

isolados, distinto da representação de uma função definida em IR.

�� Exemplos 3

Por exemplo, a representação geométrica da sucessão 1

nn ∈

ℕ

(figura 1. (a)) é

distinta da representação da função 1

1 ,y xx

= ≥ , que é uma curva contínua

(figura 1.(b)).

(a) (b)

Distinção entre representação geométrica de uma Sucessão e de uma Função

0

1

x

y

1 2 3 4 5

0

1

1 2 3 4 5 n

y

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 21/46

• 1nu n= + (fig. (1)) • ( )1n

nu = − (fig. (2))

• 1n

nu

n=

+ (fig. (3)) •

11

2

n

nu = + −

(fig. (4))

(1) (2)

(3) (4)


– Grupo 2

Objectivos

(1) Escrever um número de termos específico de uma sucessão.

(2) Identificar um termo pela sua ordem e vice versa.

(3) Escrever, dada uma sucessão numérica, o termo geral da mesma (caso seja possível generalizar)

(4) Analisar se uma dada sucessão é, ou não, monótona.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

y

1

- 1

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

y 1


22/46 FBS & CFM

3. Expressões com variáveis – Expressões Algébricas

�� Equação

Dá-se o nome de equação a uma igualdade entre duas expressões

onde figura, pelo menos, uma variável (incógnita).

Chama-se solução ou raiz de uma equação a qualquer valor que se

atribua à incógnita e transforme a equação numa afirmação

verdadeira.

�� Notação/Designação

�� 1º Membro – é a expressão que está à esquerda do sinal “=”;

�� 2º Membro – é a expressão que está à direita do sinal “=”;

�� Termos – são as parcelas que constituem os membros da equação;

�� Incógnitas – são as “letras” que aparecem nos vários termos;

�� Termos independentes– são os termos constantes ou que não dependem

da incógnita presente na equação;

�� Soluções – são os valores da(s) incógnita(s) que transformam a equação

numa afirmação (proposição) verdadeira.

�� Equações equivalentes – duas ou mais equações dizem-se equivalentes se

admitem a(s) mesma(s) solução(ões). Entre equações equivalentes utiliza-se

o símbolo “⇔ ”.

�� Conjunto Solução – é o conjunto formado por todas as soluções da equação.

�� Exemplos 1

Na equação 4 5 10x x− = + , podemos identificar: - A incógnita: “ x ” - 1º Membro: “4 5x − ” - 2º Membro: “10 x+ ” - Termos do 1º Membro: “4x ” e “ 5− ” - Termos do 2º Membro: “10” e “ x ” - Termos independentes: Do 1º membro “ 5− ” e do 2º Membro “10”; - Solução: “5” uma vez que “ 5154 5 0× − = + ” é uma proposição verdadeira

Existem operações que se podem efectuar sobre os membros de uma equação e

que garantem a equivalência entre a anterior e a “nova” equação. Estas operações

baseiam-se nas seguintes propriedades gerais dos números:

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 23/46

Se a b= então a c b c+ = + , c∀ ∈ℝ

Se a b= então a.c b.c= , { }0c \∀ ∈ℝ

Assim, em termos de equações podemos dizer que:

�� Se adicionarmos a ambos os membros de uma equação a mesma quantidade

(ou expressão) obtemos uma equação equivalente à equação dada.

�� Se multiplicarmos ambos os membros de uma equação por uma quantidade (ou

expressão) não nula obtemos uma equação equivalente à equação dada.

3.1. Resolução

A breve descrição metodológica da resolução de uma equação do 1º grau que

se segue, será acompanhada com o exemplo da equação: ( )2 13

34 6

xx −+ = .

Procedimento

Formal Regra Prática Equação - Exemplo

Remover os parêntesis da

equação, aplicando a

propriedade distributiva

“desembaraçar” de

parêntesis (PF) e (RP)

3 2 23

4 6

x x −+ =

(PF)

3 2 212 3 12 9 36 4 4

4 6x x

x x− + = ⇔ + = −

Multiplicar os membros da

equação pelo mmc dos

denominadores das

fracções aí presentes

Reduzir todos os termos

da equação (nos dois

membros) ao mesmo

denominador, recorrendo

preferencialmente ao seu

mmc, eliminando os

denominadores.

(RP)

( ) ( ) ( )3 212

3 2 23 9 36 4 4

4 6x x

x x−+ = ⇔ + = −

(PF)

( ) ( ) ( ) ( )0 0

4 36 4 369 36 4 4x xx x

= =

+ + + = + − +− − − −��

5 40x⇔ = −

Adicionar a ambos os

membros o(s) simétrico(s)

dos termos: em “ x ”

,presentes no 2º membro

e independentes, do 1º

membro. Adicionar os

termos semelhantes

Passar os termos em “ x ”

do 2º para o 1º membro e

os termos independentes

do 1º para o 2º membros

trocando-lhe o sinal.

Adicionar os termos

semelhantes.

(RP)

4 369 4 5 40xx x− ⇔−= − = −

(PF)

( )

1

405 40 8

51155

x x x

=

= − ⇔ =× − ⇔ = −×

Multiplicar ambos os

membros pelo inverso do

coeficiente de “ x ” (não

nulo). Simplificar, se

possível, o resultado

obtido

Dividir ambos os membros

pelo coeficiente de “ x ”

(não nulo) (RP)

540

8x x−

= ⇔ = −

O conjunto solução desta equação resolvida é: { }8CS = −


24/46 FBS & CFM

3.2. Classificação de Equações

As equações podem ser classificadas em função da(s) sua(s) soluções.

Se uma equação admite, pelo menos, uma solução diz-se que a equação é

possível e se não admite qualquer solução diz-se impossível. No entanto, a

solução de uma equação pode não ser única, isto é, podem existir várias soluções

de uma mesma equação. Assim, se a equação admite apenas uma solução ela diz-

se possível determinada e se admite mais do que uma solução ela diz-se

possível indeterminada.

�� Exemplos 2

Resolver, em IR, se possível as seguintes equações:

1. ( ) 4 4 7 4 4 44 1 7 4 0 17 14x x x x x xx ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔= =− +

Equação Impossível, logo CS = ∅

2. ( ) 4 21

4 2 2 4 2 4 4 2 2 0 012

x x xx xx x⇔ − = − = −

− ⇔ − = − ⇔ =

Condição Universal, logo CS = ℝ


– Grupo 3

Objectivos

(1) Identificar todas as componentes de uma equação.

(2) Resolver equações lineares.

EQUAÇÕES

Possíveis

Impossíveis

Determinadas

Indeterminadas

( )0#CS =

( )1#CS >

( )1#CS =

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 25/46

4. Inequações do 1º Grau

Se numa equação substituirmos o sinal de igualdade (=) por qualquer um dos

sinais de desigualdade ( ), , ,< ≤ > ≥ , obtemos uma condição que se designa por

inequação. Assim:

Uma inequação é uma desigualdade onde figuram uma ou mais variáveis.

As designações genéricas são idênticas às que foram apresentadas para as

equações: Membros, termos, incógnita, etc.

Tal como com as equações, existem operações que se podem efectuar sobre os

membros de uma inequação e que garantem a equivalência entre a anterior e a

“nova” inequação.

Estas operações baseiam-se no 3º axioma de ordem (pág.7):

Se a b< então a c b c+ < + , c∀ ∈ℝ

e nas seguintes propriedades:

Se a b< então a.c b.c< , c +∀ ∈ℝ

Se a b< então a.c b.c> , c −∀ ∈ℝ

Assim, relativamente às inequações podemos dizer que:

�� (1) Se adicionarmos a ambos os membros de uma inequação a mesma

quantidade (ou expressão) obtemos uma inequação equivalente à inequação

dada.

�� (2) Se multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por uma

quantidade (ou expressão) positiva obtemos uma inequação equivalente à

inequação dada.

�� (3) Se multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por uma

quantidade (ou expressão) negativa obtemos uma inequação equivalente à

inequação dada, se efectuarmos a troca de sinal “<” por “>” (ou “>” por “<”).


26/46 FBS & CFM


Recordando que

A expressão a b< é equivalente à expressão b a>

não é difícil entender o resultado (3). Senão vejamos:

Se na inequação:

4x− <

“passarmos” o “4” para o 1º membro e o x para o segundo, estes

“trocam de sinal” (consequência de (1), adicionando a ambos os

membros os respectivos elementos simétricos), temos

4 x− <

que, pelo resultado acima referido (isto é, lendo da direita para a

esquerda) é o mesmo que escrever

4x > −

�� Exemplos 1

Resolver, em IR, se possível, as seguintes inequações:

1. ( ) 4 4 10 2 4 2 10 44 1 10 1 72 2 4x x x x x x x x⇔ − ≥ + ⇔− ≥ + − ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥

[ [7,CS = +∞

2. ( ) 2 2

2 5 2 22 1

2 53

6 153

xx

xx xx

−⇔ ≥ − ⇔ − ≥− −−

≥

13

2 6 15 2 4 134

x x x x⇔ − ≥ − + ⇔ − ≥ − ⇔ ≤

13

,4

CS = − ∞

3. ( ) 3 6 3 153 3 95 06x x x x x⇔ − < − ⇔− − < −<

Condição impossível, logo CS = ∅

4. ( ) 3 6 3 15 0 23 3 5 16x x x x x⇔ − < + ⇔− << +

Condição Universal, logo CS = ℝ

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 27/46

4.1. Módulo ou Valor Absoluto

�� Definição

Por definição, o módulo, ou valor absoluto, de um qualquer número real

representa a distância deste (ponto que o representa na recta real) à

origem, assim:

se 0

se 0

x xx , x

x x

≥= ∀ ∈− <

ℝ


Note-se que o módulo, uma vez que mede uma distância, é sempre uma

quantidade não negativa. Assim, as condições

x m< ou x m≤ para 0m < são impossíveis { }( )CS =

x m> ou x m≥ para 0m < são universais ( )CS = ℝ

�� Propriedades

�� 0 0x x= ⇔ =

�� x.y x . y=

�� 0xx

, yy y

= ≠

�� x x− =

�� 2 2x x=

�� x y x y+ ≤ +

�� 0x m x m x m , m= ⇔ = ∨ = − ∀ >

�� 0x m x m x m , m> ⇔ > ∨ < − ∀ >

�� 0x m x m x m m x m , m< ⇔ > − ∧ < ⇔ − < < ∀ >

0 x +∞−∞( x > 0 )

x ( x < 0 )

d = - x d = x

UC - C.C.M. Relações e Expressões Algébricas

28/46 FBS & CFM

�� Exemplos 2

Resolver, em IR, se possível, as seguintes inequações:

1. 2 3 5 2 3 5 2 2 2 8 12 43 5 x x x x x xx ⇔ − = − ∨ − = ⇔ = − ∨ = = −= ⇔ ∨ =−

{ }1,4CS = −

2. 3 2 3 2 1 5 1 53 2 x x x x xx ⇔ − > − ∧ − < ⇔ > ∧ < ⇔ << <−

] [1,5CS =

3.

( ) ( ) ( ) ( )3 32 2

2 1 2 12 1 2 1 2

3 2 3 2 2 3 2 3

1

3 2x x x x x⇔ − ≤ − ∨ − ≥ ⇔ ≤ + ∨ ≥ +≥ −−

3 4 3 4 1 7

6 6 6 6x x x x

− + +⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥

1 7

, ,6 6

CS = − ∞ +∞

∪


– Grupo 4

Objectivos

(1) Identificar todas as componentes de uma inequação.

(2) Efectuar a correspondência entre o conjunto solução de uma inequação e um intervalo de números

reais.

(3) Traduzir a conjunção/disjunção de condições na intersecção/reunião dos seus conjuntos solução.

(4) Determinar o conjunto solução da conjunção e disjunção de inequações/condições.

(5) Resolver algumas condições simples que envolvem módulos.

5. Expressões Polinomiais – Polinómios de coeficientes reais

Não apresentaremos aqui a definição matemática de polinómio pois esta ultrapassa

os objectivos a que nos propusemos com este texto. No entanto, podemos dizer,

sem comprometer a correcção científica de tal definição, que uma expressão

polinomial ou polinómio, em x, é a soma de parcelas do tipo na.x , onde a é um

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 29/46

número real e n um número natural. Assim temos, genericamente um polinómio

representado por:

0 1 21 2 2

1 2 2 1 0 ( i , , , ..., n )n n n

n n n ia .x a .x a .x a .x a .x a , a , n=− −

− −+ + + + + + ∈ ∈… ℝ ℕ

�� Notação/Designação

�� Este polinómio diz-se de grau não superior a n. Se se tiver 0na ≠ então o

polinómio é de grau n.

�� Cada parcela do polinómio designa-se por termo.

�� Cada termo iia x de um polinómio é formado pela parte literal ix e pelo

respectivo coeficiente ia , e designa-se por termo de grau i.

�� Dois termos de dizem-se semelhantes se tiverem a mesma parte literal.

�� Um polinómio constante, isto é, formado apenas pelo termo

independente 0a , é um polinómio de grau zero.

Operações entre polinómios 5.1. Adição e Subtracção de Polinómios

Na adição e subtracção de polinómios só se podem adicionar termos semelhantes.

A operação efectua-se tomando a parte literal (que é a igual) e adicionando ou

subtraindo os respectivos coeficientes. Por exemplo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 2

3

6 2 3 1 2 2 5

6 2 2 2 3 1 1 5

8 4 4

x x x x x x

x x x

x x

− + + + + + − =

= + + − + + + + − =

= + −

5.2. Produto de Polinómios

Para efectuarmos o produto de polinómios recorremos à propriedade distributiva

generalizada, procedendo, seguidamente à adição de termos semelhantes, caso

existam. Não esquecer que o produto de um termo de grau k por um termo de grau

r é um termo de grau k + r (regras do produto de potências com a mesma base).

Por exemplo:


30/46 FBS & CFM

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

3 2 2 3 2

2 3 2 1

2 1 3 1 2 1

2 2 3 3 2 2 2 5 2

x x . x

x . x x. x . x

x x x x x x x x

+ − − + =

= − + + − + − − + =

= − + − + + − = − − + −

Produtos Notáveis ou Casos Notáveis

�� Quadrado de uma soma ou diferença: ( )2 2 22x a x ax a± = ± +

�� Diferença de quadrados: ( ) ( )2 2x a x a x a− = − +

podemos ainda acrescentar de modo a contornar alguns cálculos :

�� ( ) ( ) 2x a x b x ( a b )x a.b+ + = + + +

ATENÇÃO

Tendo em vista os casos notáveis referidos não devemos esquecer que, em geral:

( )2 2 2x a x a+ ≠ +

( ) 1n n nx a x a , n+ ≠ + >

Com a frase “em geral ( )2 2 2x a x a+ ≠ + ” queremos dizer que

( )2 2 2x a x a+ = + não é uma identidade, ou seja, não vale quaisquer

que sejam x e a reais, sendo óbvio que vale para x = 0. �� Exemplos 1

Desenvolver as expressões:

1. ( ) 2 222 2 33 3 6 9xx xx. x.+ + ++ == +

2. ( ) 2 222 2 33 3 6 9xx xx. x.− + −− == +

3. ( ) 2 222 1 1 1 221 .xx xx x− = −× = +− +

4. ( )( ) 2 2 2111 1x x xx−− + = = −

5. ( ) ( ) ( )22 23 2 3 2 9 43 2x x xx− =− + = −


Chama-se conjugado de um binómio (polinómio com apenas dois termos) a um

outro binómio que tem o primeiro termo igual e o segundo simétrico ao binómio

dado, isto é, dado o binómio ( )a b+ o seu conjugado é ( )a b− e vice-versa. O

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 31/46

conjugado de uma expressão irracional é utilizado para a Racionalização de

expressões numéricas.

Quando um radical aparece no denominador de uma fracção, é conveniente

transformar a fracção numa fracção equivalente, mas sem radicais no

denominador. A esta transformação dá-se o nome de racionalização do

denominador.

�� Exemplos 2

Racionalizar os denominadores das seguintes expressões irracionais:

1. 33 3 3 3

333 3 3

××

= = =

2. ( )

( )( ) ( )22

11 5 1 5 1 5 1

5 1 45 1 5 1 5 1

5 1

5 1

− − −= = = =−+ + −

−

− (regra do conjugado)

3. ( )

( )( )( )

( )( ) ( )2

2

2 2 2 3 2 2 322 2 3

4 32 3 2 3 2

2 3

2 3 3

− −= = = = −

−+ + −

−

−

5.3. Divisão de Polinómios

Sendo e com 0A( x ) B( x ), B( x ) ,≠ dois polinómios em x de coeficientes reais, tais

que: grau de grau de A( x ) B( x )≥ , então existem unicamente dois polinómios

e Q( x ) R( x ) , com grau de grau de QR( x ) ( x )< tais que:

= A( x ) B( x ).Q( x ) R( x )+

e Q( x ) R( x ) designam-se, respectivamente, por quociente e resto da divisão de

por A( x ) B( x ). Neste contexto e A( x ) B( x ) são, respectivamente o dividendo e o

divisor.

A relação acima não é mais do que a Identidade Fundamental da Divisão que pode

ser rescrita como:

= A( x ) R( x )

Q( x )B( x ) B( x )

+

Algoritmo da Divisão:


32/46 FBS & CFM

Existe um algoritmo para efectuar a divisão de dois polinómios, análogo ao da

divisão de números que passamos a ilustrar com o exemplo seguinte:

Para dividir 33 6 1x x+ + por 2 1x x− + (possível porque o grau do

primeiro, 3, é maior que o do segundo, 2) utilizamos a mesma

disposição da divisão de números escrevendo tanto o dividendo como

o divisor ordenados segundo as potências decrescentes de x, colocando

“0” quando uma das potências não aparece. Assim temos, neste caso:

3 2 26 0 3 1 1x x x x x+ + + − +

Divide-se a primeira parcela do dividendo, 36x , pela primeira parcela

do divisor, 2x , para obter a primeira parcela do polinómio quociente, 6x,

seguidamente, multiplica-se 6x pelo divisor, mudando o sinal de todas

as parcelas e escreve-se o resultado obtido por baixo do dividendo

para proceder, posteriormente à adição de ambos, então temos:

3 2 2

3 2

2

6 0 3 1 1

6 6 6 6

6 3

____________________

x x x x x

x x x x

x x

+ + + − +

− + −

−

Baixa-se o próximo termo, a saber 1:

3 2 2

3 2

2

6 0 3 1 1

6 6 6 6

6 3 1

____________________

x x x x x

x x x x

x x

+ + + − +

− + −

− +

Repete-se o processo, considerando agora o polinómio 26 9 1x x+ +

como dividendo:

3 2 2

3 2

2

2

6 0 3 1 1

6 6 6 6 6

6 3 1

6 6 6

3 5

____________________

_______________

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

+ + + − +

− + − +

− +

− + −

−

Como a expressão obtida, 3x - 5, tem grau 1, inferior ao grau do divisor

2 1x x− + , que é 2, a divisão está terminada.

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 33/46

Portanto o quociente é 6x + 6 e o resto 3x – 5 .

O processo da divisão anterior permite-nos escrever a seguinte

identidade em ℝ :

( )( )3 26 3 1 1 6 6 3 5x x x x x x+ + = − + + + −

ou então:

3

2 26 3 1 3 5

6 61 1

x x xx

x x x x

+ + −= + +− + − +

identidade esta válida apenas para valores de x que não anulam o

denominador, isto é, para 2 1 0x x− + ≠ . Como neste caso o divisor não

tem raízes reais esta identidade também é válida emℝ .

6. Equações do segundo grau

Um polinómio do segundo grau pode ser representado genericamente por:

2ax bx c+ +

onde a, b e c são números reais, com 0a ≠ . Quando b = 0 ou c = 0 o polinómio diz-se

incompleto. Assim, podemos definir

�� Definição

Uma equação do segundo grau ou equação quadrática em x , é uma

equação que pode ser colocada sob a forma (canónica)

2 0ax bx c+ + =

onde a, b e c são números reais, com 0a ≠ .

Quando b = 0 ou c = 0 a equação diz-se incompleta.

6.1. Resolução de equações do segundo grau incompletas Relativamente às equações quadráticas incompletas ( 0a ≠ ) temos dois casos a

distinguir:

�� c = 0 : 2 0ax bx+ =

Esta equação tem sempre solução pois pode ser escrita como:


34/46 FBS & CFM

( )Lei do Anulamento

do produto

0 0b

x ax b x xa

+ = ⇔ = ∨ = −

�� b = 0 : 2 0ax c+ =

Esta equação nem sempre tem solução:

Se a e c têm sinais contrários, a equação é possível e tem duas soluções;

Se a e c têm o mesmo sinal, a equação é impossível;

Se 0c = a equação possui apenas uma solução: 0x =

�� Exemplos 3

A equação 22 8 0x − = tem duas soluções: 2 22 8 0 4 2 2x x x x− = ⇔ = ⇔ = − ∨ =

No entanto, a equação 22 8 0x + = não tem solução:

2 22 8 0 4x x+ = ⇔ = −

o que é impossível uma vez que 2 0x , x≥ ∀ ∈ℝ

6.2. Resolução de equações do segundo grau completas Para resolvermos, em ordem a x, uma equação do segundo grau completa:

2 0ax bx c+ + = onde { }0a,b,c \∈ℝ

Recorremos, usualmente, à conhecida:

�� Fórmula Resolvente

2 0ax bx c+ + =2 4

2

b b acx

a

− ± −⇒ =

para 20 e 4 0a b ac≠ − ≥ .

A expressão que figura na raiz quadrada da fórmula resolvente: 2 4b ac− ,

representa-se usualmente pela letra grega maiúscula “∆ ” (que se lê delta) e

designa-se por binómio discriminante. O “sinal” do binómio discriminante

( 2 4b ac∆ = − ) caracteriza as soluções destas equações:

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 35/46

�� Se 0∆ < a equação é impossível em ℝ , isto é, o polinómio do segundo

grau não tem zeros reais, uma vez que, em ℝ , não existem raízes

quadradas de números negativos.

�� Se 0∆ = a equação é possível e admite apenas uma solução.

�� Se 0∆ > a equação é possível e admite duas soluções reais distintas.

�� Exemplos 4

Resolver, em ℝ , cada uma das seguintes equações:

1. 2 5 6 0x x− + =

Resolução Identificam-se os seguintes coeficientes

1 5 6a ,b e c= = − =

Como ( ) ( )25 4 1 6 25 24 1 0∆ = − − × × = − = > , a equação é possível e terá duas soluções

reais distintas. Assim, utilizando a fórmula resolvente,

( ) ( )25 5 4 1 6 5 25 24 5 1

2 1 2 2x

− − ± − − × × ± − ±= = =×

5 1 5 13 2

2 2x x x x

+ −⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = { }2 3,CS =

2. 22 4 2 0x x− + =


2 4 2a ,b e c= = − =

Como ( )24 4 2 2 16 16 0∆ = − − × × = − = , a equação é possível e terá apenas uma

solução real. Assim, utilizando a fórmula resolvente,

( ) ( )24 4 4 2 2 4 16 16 4 0

2 2 4 4x

− − ± − − × × ± − ±= = =×

4 0 4 01

4 4x x x

+ −⇔ = ∨ = ⇔ = { }1CS =

3. 2 3 5 0x x+ + =


1 3 5a ,b e c= = =


36/46 FBS & CFM

Como ( )23 4 5 9 20 11 0∆ = − × = − = − < , a equação é impossível e não possui qualquer

solução real. Assim, não há necessidade de recorrer à resolvente para concluirmos

que o conjunto solução desta equação é: { }CS =

6.3. Representação geométrica �� Definição

Uma equação da forma: ( )02y = ax +bx+c a ≠

designa-se por equação quadrática ou do segundo grau em x.

A representação geométrica desta equação é uma parábola que, dependendo do

facto de a ser positivo ou negativo, tem uma das formas ilustradas na figura

seguinte.

Em ambos os casos a parábola é simétrica relativamente a uma recta vertical,

paralela ao eixo das ordenadas (Oy). Este eixo de simetria “corta” a parábola num

ponto designado por vértice. Se a > 0 o vértice é o ponto mais baixo da curva e se

a < 0 o vértice é o ponto mais alto.


- Se a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima (ri!).

- Se a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo (chora…).

vértice

vértice

2

b

a−

2

b

a−

2y = ax +bx+c a > 0

2y = ax +bx+c a < 0

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 37/46

Frequentemente é necessário conhecer os pontos em que o gráfico da parábola

intersecta os eixos coordenados. Para obtermos a intersecção com o eixo das

ordenadas (Oy) basta substituir, na relação acima, x por zero. No entanto, para

obtermos a intersecção com o eixo das abcissas (Ox), fazemos y = 0, isto é, teremos

de resolver a equação quadrática: 02ax +bx+c = .

Recorrendo, mais uma vez à informação que nos é transmitida pelo binómio

discriminante, 2 4b ac− = ∆ , podemos termos três casos seguintes:

�� Se 0∆ < a equação é impossível em ℝ , isto é, a equação não tem

solução, logo o gráfico desta parábola não intersecta o eixo das abcissas

(Ox). (situações (1) nas figuras seguintes)

�� Se 0∆ = a equação só tem uma solução, logo o gráfico desta parábola

toca o eixo das abcissas (Ox) num só ponto, isto é, no vértice. (situações (2)

nas figuras seguintes))

�� Se 0∆ > a equação tem duas soluções em ℝ , logo o gráfico desta

parábola intersecta o eixo das abcissas (Ox) em dois pontos. (situações (3)

nas figuras seguintes)

2y = ax +bx+c a > 0

(1) ∆ < 0

(2) ∆ = 0

(3) ∆ > 0

2y = ax +bx+c a < 0

(1) ∆ < 0

(2) ∆ = 0

(3) ∆ > 0

x

x

x

x

x

x


38/46 FBS & CFM

6.4. Inequações do segundo grau

Com base no que referimos na secção anterior, podemos resolver inequações do

segundo grau de um modo simples e intuitivo.

O eixo das abcissas “divide” o plano em dois semiplanos – um positivo (superior) e

um negativo (inferior - ver figura seguinte).

Se “conjugarmos” esta figura com as anteriores, conseguimos resolver

(visualmente) qualquer inequação do segundo grau.

Nos quadros seguintes exemplificamos o que acabamos de referir genericamente,

recorrendo a algumas inequações do segundo grau específicas:

x

-

+

x

-

+

0∆ =

a > 0

r1 x

-

+

0∆ >

a > 0

r1 r2 x

-

+

0∆ <

a > 0

x

-

+

0∆ <

a < 0

x

-

+

0∆ =

a < 0

r1 x

-

+

0∆ >

a < 0

r1 r2

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 39/46

Inequação Solução da Equação Representação Conjunto

Solução

2 3 6 0x x− + >

(zona a rosa na

figura)

2

03 6 0

Impossível

x x∆ <

− + =

Assim, a condição dada é

Universal

CS = ℝ

2 3 6 0x x− + <

(zona a rosa na

figura)

2

03 6 0

Impossível

x x∆ <

− + =


Impossível

CS = ∅

2 3 6 0x x− + − >

(zona a rosa na

figura)

2

03 6 0

Impossível

x x∆ <

− + − =


Impossível

CS = ∅

2 3 6 0x x− + − <

(zona a rosa na

figura)

2

03 6 0

Impossível

x x∆ <

− + − =


Universal

CS = ℝ

23 6 3 0x x− + >

(zona a rosa na

figura)

( )2

1

3 6 3 00

x

x x

⇔ =

− + =∆ =

Assim, a condição dada é válida

para qualquer valor excepto o 1

{ }1\CS = ℝ

x

-

+ a > 0

∆ = 0

1

x

-

+ a < 0

∆ < 0

x

-

+ a < 0

∆ < 0

x

-

+ a > 0

∆ < 0

x

-

+ a > 0

∆ < 0


40/46 FBS & CFM

Inequação Solução da Equação Representação Conjunto

Solução

2 3 2 0x x− + >

(zona a rosa na

figura)

( )2 3 2 0

01 2

x x

x x

− + =∆ >

= ∨ =


válida excepto entre 1 e 2

] [ ] [1 2, ,

CS

−∞ +∞=∪

23 6 3 0x x− + − ≤

(zona a rosa na

figura)

( )2

1

3 6 3 00

x

x x

⇔ =

− + − =∆ =


válida para qualquer valor

CS = ℝ

2 3 2 0x x− + − ≥

(zona a rosa na

figura)

( )2 3 2 0

01 2

x x

x x

− + =∆ >

= ∨ =


válida entre 1 e 2

1 2,

CS=


– Grupo 5

Objectivos

(1) Desenvolver e identificar os casos notáveis da multiplicação de polinómios.

(2) Operar, genericamente, com expressões polinomiais.

(3) Racionalizar os denominadores de expressões irracionais.

(4) Resolver equações e inequações do segundo grau.

(5) Resolver algumas condições simples que envolvem módulos.

x

-

+ a < 0

∆ > 0

1 2

x

-

+ a < 0

∆ = 0

1

x

-

+ a > 0

∆ > 0

1 2

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 41/46

7. Sistemas de Equações

Designa-se por sistema de duas equações a duas incógnitas a conjunção de duas

equações onde figuram duas incógnitas. Usualmente estes sistemas são

representados, através da “junção” das duas equações por uma chaveta à esquerda

das mesmas.

Diz-se que um sistema está na forma canónica quando se apresenta sob a forma:

{ 1 1 12 2 2

. .

. .a x b y ca x b y c

+ =+ = onde 1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c ∈ ℝ

Os pares ordenados ( ),x y (com ,x y ∈ ℝ ), que satisfazem as equações do sistema

designam-se por soluções do sistema.

�� Proposições

Obtemos sistemas equivalentes quando:

�� Um expressão ou equação é substituída por outra equivalente;

�� É trocada a ordem das equações;

�� Um múltiplo de uma equação é adicionado a outra equação.

O método de substituição, para a resolução de sistemas, é baseado na primeira

das proposições anteriores, e descrevemo-lo, de um modo muito resumido, no

quadro seguinte, acompanhado da resolução de um sistema exemplificativo.

Procedimento Exemplo

Resolva uma das equações em ordem a uma das variáveis

(isolando-a num dos membros da equação escolhida. { {2 3 3 22 3 4x y x yx y+ = = −⇔− = −

Substitua, na outra equação, essa incógnita pela

expressão obtida anteriormente. ( )2 3

2 3 2 3 4x y

y y+ =⇔ − − =

Obtém-se uma equação onde apenas figura uma

incógnita. Resolve-se essa equação, determinando-se o

valor dessa incógnita.

{ {6 4 3 4 7 2

2

7

y y y

y

− −⇔ ⇔− − = − = −−⇔ =

Substitui-se o valor encontrado anteriormente na outra

(ou numa das equações originais do sistema) para

encontrar o valor da outra incógnita

2 173 2

7 72277

x x

yy

= − = ⇔ ⇔ ==


42/46 FBS & CFM

�� Classificação de Sistemas

Analogamente às equações do 1º grau, os sistemas podem ser classificados em

função da(s) sua(s) soluções (pares ordenados de números).

Se um sistema admite, pelo menos, uma solução diz-se que é possível e se não

admite qualquer solução diz-se impossível. No entanto, se a solução não é única o

sistema diz-se possível indeterminado. Se admite apenas uma solução (par

ordenado) ele diz-se possível determinado.

O esquema seguinte é idêntico ao apresentado para as equações, no entanto

chamamos à atenção para o facto de quando referimos, por exemplo, 1#CS =

estamos a referir a unicidade de uma solução que é um par ordenado de valores

reais (usualmente, ( ),x y ).

�� Exemplos

Resolver, em IR, se possível os seguintes sistemas de equações:

1. ( ) 6 3 6 26 3 16 3 2 2

1 21 1 22

2x x xx x

y x

y

y yx x

− − − = − + = ⇔

− =− + =

⇔ ⇔ = + −= +

0 5

y

CS = ←⇔ ⇒ = ∅

−

Eq.Impossível

2. ( ) 6 3 6 36 3 16 3 3

2 1

2 3

1 2 1 2

x xx x

y

x y

y x y xx

− + − = − − + = ⇔ ⇔ ⇔ = − + −= − +

− =− + = −

( ){ }0 0

, : 1 2x

x

CS x y y x

= ←⇔ ⇒ = = − + −

Eq.possível

para qualquer valor de

SISTEMAS

Possíveis

Impossíveis

Determinados

Indeterminados

( )0#CS =

( )1#CS >

( )1#CS =

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 43/46


– Grupo 6

Objectivos

Resolver sistemas de duas equações lineares e não lineares.

8. Interpretação e Resolução de Problemas

De um modo muito resumido, podemos dizer que as etapas fundamentais na

resolução de um qualquer problema são as seguintes:

1. Compreender o Problema

Ler com atenção o enunciado e identificar os dados e o que é pedido.

2. Identificar as incógnitas e representá-las simbolicamente (por letras)

3. Traduzir em linguagem matemática as condições do problema

(equações, inequações, sistemas, etc).

4. Resolver as condições “construídas”

5. Verificar se as soluções obtidas podem ser soluções do problema

6. Responder ao problema proposto.

Para uma abordagem mais formal à resolução de problemas, podemos referir dois

autores, George Polya e Miguel de Guzmán, com um trabalho intenso nesta área.

Assim apresentamos, seguidamente, um resumo das estratégias apresentadas por

George Polya em “A arte de resolver problemas” e por Miguel de Guzmán em

“Aventuras Matemáticas” para a resolução geral de problemas.


44/46 FBS & CFM

George Polya - A Arte de Resolver Problemas

Como Resolver um Problema

COMPREENSÃO DO PROBLEMA

Primeiro

É preciso compreender o

problema

Qual é a incógnita?

Quais são os dados?

Quais são as condições?

É possível satisfazer as condições? As condições são suficientes para

determinar a(s) incógnita(s)? Ou são insuficientes? Ou redundantes?

Ou contraditórias?

Trace uma figura. Adopte uma notação adequada. Separe as diversas

partes das condições. É possível anotá-las?

ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

Segundo

Encontre a conexão entre

os dados e a(s)

incógnita(s). É possível que

seja obrigado a considerar

problemas auxiliares se não

puder encontrar uma

conexão imediata. É preciso

chegar a um plano para a

resolução.

Já o viu antes?

Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente

diferente?

Conhece um problema do mesmo tipo ou sobre o mesmo assunto?

Conhece um problema que lhe poderia ser útil?

Considere a incógnita! E procure pensar num problema do mesmo tipo

que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

Eis um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente.

É possível utilizá-lo?

É possível utilizar o seu resultado?

É possível utilizar o seu método?

Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua

utilização?

É possível reformular o problema?

É possível reformulá-lo ainda de outra maneira?

Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto,

procure antes resolver algum problema do mesmo tipo.

É possível imaginar um problema parecido mais acessível?

Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um

problema análogo? É possível resolver uma parte do problema?

Mantenha apenas uma parte das condições, deixe a outra de lado; até

que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É

possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em

outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar

a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira

que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou

todas as condições? Levou em conta todas as noções essenciais

implicadas no problema?

Texto de Apoio 3

FBS & CFM 45/46

EXECUÇÃO DO PLANO Terceiro

Execute o seu plano.

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.

É possível verificar claramente que o passo está correcto?

É possível demonstrar que ele está correcto?

RETROSPECTIVA

Quarto

Examine a solução obtida

É possível verificar o resultado?

É possível verificar o argumento?

É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?

É possível perceber isto rapidamente?

É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

Adaptado da compilação disponibilizada on line por Joaquim Pinto

Miguel de Guzmán - Aventuras Matemáticas

Para resolver problemas

A. Antes de fazer, tenta entender

B. À procura de estratégias

B.1 Procura semelhanças com outros jogos e problemas

B.2 Começar pelo fácil torna fácil o difícil

B.3 Experimenta e procura regularidades, temas

B.4 Faz um esquema e, se vier a calhar…, pinta-o às cores

B.5 Modifica o problema, muda qualquer coisa no enunciado, para ver se assim te

ocorre um caminho possível.

B.6 Escolhe uma boa notação.

B.7 Explora a simetria… se puderes

B.8 Suponhamos que não… Aonde é que isso nos leva?

B.9 Suponhamos o problema resolvido

B.10 Pensa em técnicas gerais: indução, redução ao absurdo, …

C Explora a tua estratégia

C.1 Explora as melhores ideias que te tenham ocorrido na fase B. Uma a uma. Não

as mistures ao princípio.

C.2 Não desistas facilmente. Mas também não teimes demais com uma só ideia. Se

as coisas se complicarem de mais, haverá provavelmente outro caminho.

C.3 Resultou? De certeza? Olha para a tua solução com mais cuidado.


46/46 FBS & CFM

D. Extrai o “sumo” do jogo e da tua experiência

D.1 Examina a fundo o caminho que seguiste. Como chegaste à solução? Ou:

porque é que não chegaste à solução?

D.2 Tenta perceber não só que a coisa de facto funciona, mas também porque tem

de funcionar assim.

D.3 Agora vê se consegues fazê-lo de maneira mais simples

D.4 Vê até onde pode ir o método que seguiste, para ver se o podes utilizar noutras

circunstâncias

D.5 Reflecte um pouco sobre o teu próprio processo de pensamento e tira

consequências para o futuro

Adaptado da compilação disponibilizada on line por Joaquim Pinto

ta 3 - relacoes e expressoes algebricas

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