1 CIÊNCIA E ENGENHARIA DOS MATERIAIS

ESTEREOGRAFIA

Prof. Ney Quadros.

1. Introdução.

Como visto anteriormente nos estudos cristalográficos, o que interessa essencialmente são os planos (hkl), as direções [uvw] (normais aos planos) e suas relações angulares. Há cerca de 3 séculos os cristalógrafos tentaram métodos de representar as relações cristalinas em duas dimensões de uma maneira simples, clara e precisa. As projeções gnomônicas e as projeções estereográficas se mostraram como as que melhor resolviam os problemas cristalográficos, sendo que as segundas são mais fáceis de compreender e usar. A Estereografia é altamente adequada para a análise de /1/:

• deformação dos cristais por escorregamento, maclação ou clivagem; • determinação da orientação de um monocristal; • reorientação de monocristais para o corte de faces cristalinas específicas; • planos de hábito de crescimento de cristais por precipitação formando cristais tipo

Widmanstätten dentro de outro cristal; • planos de hábito de maclações em monocristais e policristais; • planos de hábito em reações martensíticas (como em materiais com efeito memória de forma); • análise da difração de Raios-X, principalmente no Método de Laue.

2. A PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA E A ESFERA DE REFERÊNCIA. A primeira hipótese que se deve fazer é considerar um cristal muito pequeno colocado no centro de uma esfera, a Esfera de Referência, semelhante a um Globo usado para mapear a geografia do planeta (Mapa Mundi). Como neste, a esfera é composta de Meridianos e Paralelos. Por outro lado a Projeção Estereográfica traçada por Wulff (rede de Wulff) é equivalente a um mapa (duas dimensões) com meridianos e paralelos distantes 2° entre si. A função dessa Rede é representar as relações entre os ângulos dos planos e das direções cristalográficas (3 dimensões). É evidente que deve se escolher a orientação do cristal que será colocado no centro da esfera de referência ou, o que é a mesma coisa, a posição do observador em relação ao _ ao cristal ( por exemplo, olhando na direção [100] ). A figura 1(a) mostra um cristal colocado no centro de um plano qualquer na esfera de referência ilustrando o local (pólo) onde a direção normal ao plano (hachuriado) encontra a esfera de referência e 1(b) mostra os meridianos (longitudes), os paralelos (latitudes), o equador e os referenciais (Norte e Sul ). 3. REDE DE WULFF, O MAPA-MUNDI DA CRISTALOGRAFIA. No ANEXO I está desenhada uma Rede de Wulff que deverá ser copiada para exercícios e aprendizado prático em Sala de Aula. Recomenda-se tirar uma boa Xerox (Cuidado! Uma máquina de reprografia quando não é muito bem cuidada e bem calibrada pode distorcer bastante a imagem!!!) em bom papel (de 75 a 80 g). Em seguida a reprodução deverá ser colada ( quatro pontos de cola nos quatro cantos do papel é suficiente ou o uso de durex é recomendável...) em papelão grosso ou, melhor ainda, em uma folha fina de compensado (ou uma tábua de pinho retirada de algum caixote) após pequeno lixamento. Atenção: NÃO É PERMITIDO COLOCAR PERCEVEJO NAS CARTEIRAS...!!!

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(a) (b) Fig. 1- (a) Projeção de um plano cristalino na esfera de referência; (b) Um globo com as linhas fundamentais. /1, fig. 2.1 e 2.5/. Regras Úteis para Uso das Projeções Estereográficas.

1- O Grande Círculo que representa o contorno da esfera de referência também representa o plano cujo pólo está no Centro.

2- Todos os Meridianos sempre estão em verdadeira grandeza (são Grandes Círculos). 3- Todos os Paralelos, exceto o Equador, são pequenos círculos (portanto, não estão em verdadeira

grandeza). 4- Os planos cristalinos são representados por suas normais. 5- O cristal é imaginado no centro da esfera e as normais são projetadas até encontrarem a esfera de

referência. 6- As intersecções dessas normais com a esfera são transferidas para uma rede de Wulff obtendo-se a

projeção. 7- As relações angulares entre as normais (os planos) (HKL) e as normais (os planos) (hkl) são

fornecidas numa tabela adrede preparada (pode-se usar cálculo vetorial para determinar exatamente os ângulos. Evidentemente não seria prático!).

8- Em redes de Wulff com 15 cm de diâmetro um erro de ± 1° é razoável. Em redes com 20 cm de diâmetro é possível um erro de 0,75°.

9- A distância angular em verdadeira grandeza pode ser medida diretamente apenas nos meridianos. 10- Pode-se girar o papel transparente aplicado à rede de Wulff. Isto facilita a locação de pólos que não

estejam situados no equador. 11- Vernhoeven introduziu a idéia de usar a célula unitária como um “cubo de referência” /3/. Para isto

deve-se colocar a origem no centro da célula unitária. a. Construir linhas perpendiculares aos planos mais importantes do cristal formando suas

normais.

3 b. Marcar a interseção destas normais com a célula unitária com o símbolo de simetria do

plano representado (Fig. 2). c. Colocar o cubo de referência no centro de uma esfera e aumentar as normais até haver a

interseção com a superfície da esfera (Fig. 3). 12- Os ângulos entre as normais aos planos (pólos) são os ângulos entre os planos. 13- Pode-se medir diretamente os ângulos interpolares em verdadeira grandeza desde que eles estejam

no mesmo meridiano, no equador ou na circunferência exterior da rede de Wulff. 14- Quando os pólos não estão situados nos casos do item 13, deve-se girar o papel transparente até

que os dois pólos se encontrem em um mesmo meridiano. 15- Latitude são as coordenadas segundo o eixo N-S e longitude são as coordenadas angulares no eixo

L-O.

Fig. 2- Cubos de Referência mostrando os planos mais importantes do sistema cúbico /3, fig. 1.13/.

Fig. 3- Projeções das normais aos planos na esfera /Ref. 3, fig.1.14/.

4 4. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO OU DE COMO APRENDER FAZENDO. As Regras Úteis referidas na seção anterior só o serão se aplicadas. Nos exercícios a seguir erscolheu-se uma série de exercícios que ilustrarão os procedimentos (ou o uso correto) requeridos para resolver uma grande gama de problemas em estereografia. Exemplo. Medida de Ângulos (exemplo típico)- Dados os pólos A, B e C, mostrados na figura 4(a) e (b), com as coordenadas dadas na Tabela 1 (e os pontos D e E que deverão ser locados na figura que deverá ser redesenhada na sua rede de Wulff), medir os ângulos (em verdadeira grandeza) entre AM, B(M-1), C(M-2) e D(M-3), onde M = A, B, C e D. Tabela 1- Coordenadas na rede de Wulff.

Ponto Longitude Latitude A

��������������������������������������������������������������0°

����������

���������� 40° N

B 60° L 40° N C 60° L 10° N D 30° O 10° S E 60° O 30° S

Em primeiro lugar deve-se dar uma olhada nas regras gerais. Assim o fazendo nota-se que as Regras 2, 3, 13, 14 e 15 podem ser aplicadas na solução deste exercício. Observe-se que, neste caso, não se está levando em conta qualquer sistema cristalino em especial. Por exemplo, o ângulo entre A e B medido no paralelo 40° N é 60° [α’, na fig. 4(b)]. Evidentemente este ângulo não está em verdadeira grandeza (Regra 3), portanto, deve-se usar a Regra 14 para achar o ângulo entre A e B em verdadeira grandeza [α na Fig. 4(b)].

Fig. 4- (a) Projeção estereográfica dos pólos A, B e C. (b) Imagem em 3D da esfera de referência (in Ref. /3/, Fig. 1.16).

5 Exemplo 1. Construa uma Projeção Estereográfica Padrão (001). Uma projeção estereográfica padrão (hkl) é uma projeção da esfera de referência com o pólo hkl no centro da rede de Wulff e, usualmente, mostrando, ao menos, os pólos {100}, {110} e {111}. Para isto coloca-se um papel transparente na rede de Wulff com o pólo 001 no centro. Na fig.5(a) pode-se observar que o pólo 100 estará no pólo Sul da projeção e o pólo 010 no terminal Leste do equador, como mostrado na fig. 5(b).

Fig. 5- (a) A imagem em 3D do quadrante pertinente e (b) a solução na rede de Wulff /3, Fig. 1.17/. Considere agora o plano da fig. 5(a) que contém a origem, o pólo 100 e o pólo 110. Deve ficar bem claro pela geometria da figura que este plano produz um traço na esfera que será mostrada na projeção como a longitude 45° Leste. Deve ficar claro que o pólo 011 ficará locado na intersecção desta longitude com o equador. O pólo 111 está situado nesta longitude 45° Leste como mostrado na fig. 5(a). O pólo 111 também deve estar situado no grande círculo entre os pólos 100 e 110. Este círculo será uma linha reta na projeção e o pólo 111 deve ser locado na intersecção desta linha e a longitude 45° Leste como mostrado na fig. 5(b). . Pela simetria quaternária dos cristais cúbicos o restante da projeção pode ser facilmente construída (Fig. 6).

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Figura 6- A Projeção Padrão (001) /Ref. 3, Fig. 1.18/ Exemplo 2- Localizar o Pólo 2)31( numa Projeção Padrão (001) /3/. Em primeiro lugar, deve-se marcar os pólos 0)31( e 2)31( . Os planos correspondentes se interceptam segundo a direção 0]31[ e como o plano 0)31( é paralelo à direção [001] seu pólo deve ficar situado no círculo mais externo (que é o traço do plano (001), como mostrado na figura 6). Notar que todos os pólos situados no grande círculo externo das projeções padrão {100} possuem seu índice l igual a zero (hk0). Usando-se a Tabela de ângulos pode-se observar que planos do tipo {310} fazem ângulos de 18,4°, 71,6° e 90° com os planos {100}.

Fig. 7(a)- Construção em 3D para o Exemplo 2 /3, Fig. 1.19

7 É claro que o pólo 0)31( estará situado no grande círculo externo, no Quadrante II, como mostrado na figura 7(b). Qualquer pólo aí situado está a 90° do pólo (001). Olhando- se a figura 6 de cima para baixo (vista de topo) pode-se ver que o pólo 0)31( deve estar mais próximo do pólo 0)1(0 que do pólo 0)10( e, portanto, deve-se marcar este pólo a 18,4°a partir do pólo 0)1(0 no grande círculo exterior. Para marcar o pólo 2)31( é de bom alvitre observar que, na figura 6, girando-se o plano 0)31( em torno da direção 0]31[ , seu pólo mover-se-á para cima na esfera de referência segundo a linha tracejada na figura 7(a), até cair no pólo (001) da rede de Wulff. Contudo, ao se efetuar essa operação, haverá um momento em que esta rotação (menor do que 90°) causará uma coincidência entre os planos 0)31( ) e 2)31( e este deverá estar situado sobre a linha tracejada. Da Tabela de ângulos pode-se ler que os planos {321} fazem 36,7°, 57,7° e 74,5° com os planos {100}. Trazendo-se a linha tracejada para o equador marcam-se os pontos A, B e C com estes ângulos. Finalmente, medem-se os ângulos que estes pontos fazem com o pólo Sul fazendo-se coincidir um meridiano com o pólo (S) e cada um dos pontos (A,B e C) e traçando-se linhas pontilhadas sobre os meridianos respectivos. Isto posto nota-se que apenas o ponto B faz um dos ângulos da Tabela (74,5°) com o pólo sul. Repetindo-se a operação entre o ponto B e o pólo Oeste nota-se que o ângulo é 36,7°°°°, confirmando que o ponto B é a locação correta do pólo 2)31( .

Fig. 7(b)- Construção final para o exemplo 2 na rede de Wulff /Ref. 3, fig.1-20/ Exemplo 3- Locar a posição do pólo 0)31( após uma rotação de 90°°°°, da esquerda para a direita, em torno do pólo 2)31( numa projeção padrão 001. Para efetuar uma rotação de um pólo em torno de outro é muito útil trazer um dos pólos para a posição (001). Deve-se pois efetuar uma rotação do pólo 2)31( para a posição do pólo (001) e depois fazer outra rotação do pólo 0)31( em torno dele. Deve ficar bem claro que , com o pólo 2)31( situado na posição (001), a rotação realizada fará com que o pólo 0)31( se mova segundo um círculo na projeção cujo centro está na posição central da projeção. O procedimento a seguir ilustra uma solução elegante para o problema.

8 1- Localizar os pólos 0)31( e 2)31( na projeção (Exemplo 2) e girar a projeção em torno do seu centro

com a finalidade de trazer o pólo 2)31( para o equador da rede de Wulff (Figura 6). 2- O pólo 2)31( está situado a 57,7° do pólo (001) e, movendo-o sobre o equador da rede de Wulff para a

posição (001) trará o pólo 0)31( sobre o equador por 57,7° de tal maneira que ele ficará no equador e a 32,3° do pólo (001), como mostrado na figura 6, etapa (2).

3- O pólo 0)31( sofreu uma rotação de 90° na direção dos ponteiros do relógio sobre o pólo (001) com a ajuda de um compasso. Uma vez que o ângulo é exatamente 90°, a nova posição daquele pólo estará situada no eixo N-S da rede de Wulff (etapa 3).

4- Efetua-se agora a rotação do pólo 2)31( sobre o equador da rede por 57,7° para a sua posição original. Esta rotação faz com que a esfera de referência seja rotacionada sobre seu correspondente eixo N-S (veja a figura 5 para localizar o eixo N-S na esfera e na projeção). Uma rotação deste tipo fará com que os pontos projetados se movam do Leste para o Oeste segundo as latitudes da rede de Wulff. Considere-se, por exemplo, como os pontos em um globo se movem quando ele é girado.

Exemplo 3- Locar a posição do pólo (130) após uma rotação de 90°°°°, da esquerda para a direita, em torno do pólo (132) numa projeção padrão 001. Para efetuar uma rotação de um pólo em torno de outro é muito útil trazer um dos pólos para a posição (001). Deve-se pois efetuar uma rotação do pólo (132) para a posição do pólo (001) e depois fazer outra rotação do pólo (130) em torno dele. Deve ficar bem claro que , com o pólo (132) situado na posição (001), a rotação realizada fará com que o pólo (130) se mova segundo um círculo na projeção cujo centro esté na posição central da projeção. O procedimento a seguir ilustra uma solução elegante para o problema. 1- Localizar os pólos (130) e (132) na projeção (Exemplo 2) e girar a projeção em torno do seu centro

com a finalidade de trazer o pólo (132) para o equador da rede de Wulff (Figura 6). 2- O pólo (132) está situado a 57,7° do pólo (001) e, movendo-o sobre o equador da rede de Wulff para a

posição (001) trará o pólo (130) sobre o equador por 57,7° de tal maneira que ele ficará no equador e a 32,3° do pólo (001), como mostrado na figura 6, etapa (2).

3- O pólo (130) sofreu uma rotação de 90° na direção dos ponteiros do relógio sobre o pólo (001) com a ajuda de um compasso. Uma vez que o ângulo é exatamente 90°, a nova posição daquele pólo estará situada no eixo N-S da rede de Wulff (etapa 3).

4- Efetua-se agora a rotação do pólo (132) sobre o equador da rede por 57,7° para a sua posição original. Esta rotação faz com que a esfera de referência seja rotacionada sobre seu correspondente eixo N-S (veja a figura 5 para localizar o eixo N-S na esfera e na projeção). Uma rotação deste tipo fará com que os pontos projetados se movam do Leste para o Oeste segundo as latitudes da rede de Wulff. Considere-se, por exemplo, como os pontos em um globo se movem quando ele é girado. Portanto, esta rotação faz com que o pólo (130) se mova para o Oeste 57,7° sobre a latitude que passa por ele .

5- A projeção é retirada da rede e o pólo referido está em posição após a rotação sofrida.

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Figura 8. Rotação de um pólo do tipo {310} sobre um pólo da família {321} (Ref. 3, fig. 1.22). APLICAÇÕES /1, 3, 4/. Como ajuda para o iniciante, é desejável listar os problemas mais comuns e as operações pelas quais eles podem ser resolvidos graficamente. No entanto deve-se ter em mente que muitas destas operações tornam-se auto-evidentes logo que a pessoa se acostumar a pensar claramente na esfera de referência e na sua "pintura", a rede de Wulff. Obviamente, as soluções são independentes da escolha do plano de projeção e são aplicáveis a problemas em trigonometria esférica pura. Serão apresentadas algumas soluções típicas em detalhe. Estas soluções podem ser aplicadas a superfícies polidas de amostras metálicas e aos traços dos planos cristalográficos nestas superfícies ( linhas de intersecção). O plano de projeção deverá pertencer a uma superfície deste tipo. A noção de Zona ( de planos) e de Eixo de uma Zona é muito importante em Cristalografia e a Estereografia simplifica enormemente o desenho de todos os planos de uma mesma zona. Eis sua definição: Eixo de uma Zona é a direção comum a todos os planos paralelos a uma mesma direção. Uma propriedade importante: todos os planos que contêm uma mesma direção são planos da zona e esta direção comum é o seu eixo. Note-se que todas as direções normais aos planos de uma zona são perpendiculares ao plano normal ao eixo da zona (vide Aplicação 2 e 3).

10 1. Orientação de Planos que causam um Traço dado numa Superfície. Seja a Projeção Estereográfica de uma superfície polida contendo o traço de um plano cristalino. Imagine que a projeção seja feita numa folha de papel transparente paralelo à superfície polida da amostra. A superfície será representada no papel pelo círculo básico e as marcas na superfície serão desenhadas como pontos na circunferência deste círculo básico. Uma linha (ou traço) na superfície que corra de um lado a outro da área escolhida será desenhada na projeção como pontos diametralmente opostos T e T', por exemplo, nas posições Norte e Sul (ou acima e abaixo). Um traço em qualquer outra direção será desenhada similarmente , isto é, como pontos terminais de um diâmetro paralelo à direção dada (fig. 1). Para encontrar os planos que intersectam a superfície na direção TT', superpõem-se os pontos TT'nos pólos N e S da rede de Wulff. Ver-se-á então que os meridianos da rede - como os meridianos A, B e C da fig. 1- serão as projeções dos planos requeridos, uma vez que eles intersectam o círculo básico em T e T'. Similarmente, dado o pólo de um plano situado no equador da rede de Wulff, intersectará a superfície na direção do eixo NS. Por outro lado, caso seja dado o pólo de um plano (como A' na figura), é facílimo encontrar seu traço no plano de projeção. Coloca-se o papel transparente na rede de Wulff e gira-se o mesmo até que o pólo caia no equador. Nesta posição, o traço será paralelo ao eixo NS, e, a 90º contado a partir do pólo, traça-se o meridiano correspondente.

Figura 9. Planos A, B e C com seus pólos A', B' e C'. Todos os pólos sobre o equador interceptarão o plano de projeção no traço TT' (In Ref./1/, fig. 2.11)

11 2. Traço de um plano em outro quando ambos estão inclinados entre si no plano de projeção. Dados dois pólos A' e B' (fig. 8), deve-se desenhar, em princípio, os seus traços A e B. Isto pode ser facilmente realizado para A' através de uma rotação do papel transparente sobre a rede de Wulff de tal maneira que o pólo A' caia sobre o equador EA , traçando então o meridiano que se encontrar a 90º do pólo A'. Usa-se o mesmo método para o pólo B'. O local onde os traços dos dois planos se cruzam (C' na Fig. 8) é um pólo que representa a linha de intersecção dos dois planos. É, portanto o Eixo da Zona dos planos e o plano C são um plano perpendicular aos mesmos. Isto significa que os dois pólos A'e B' devem se encontrar sobre o traço do plano C, o que facilita a localização de planos (ou pólos) desconhecidos. Figura 8. Planos A e B (pólos A' e B') interceptando-se Figura 9. Método alternativo de locar C’ que segundo a direção C'( In Ref. /1/, fig. 2.12). é normal a A'e B'. (Idem, fig. 2.13) . 3. Eixo da Zona de dois planos a partir de seus pólos. Suponha-se agora que as direções (pólos) A'e B' são dados e que se quer determinar a direção normal a ambas (que será o eixo da zona). A projeção deverá ser girada sobre a rede de Wulff até que A' e B' se encontrem no mesmo meridiano (Fig. 3). O ponto C', situado no equador e a 90º deste meridiano é a projeção da linha de intersecção dos dois planos.

12 4. Determinação da Orientação de um Plano a partir de seus Traços em duas Superfícies Em primeiro lugar deve-se desenhar as duas superfícies no papel transparente (ou projeção). A Fig. 4 mostra um bloco de metal com as superfícies A e B. Note-se que o ângulo do traço em B (TB)com a aresta comum é dado por ϕB e que o ângulo do traço em A (TA) com a mesma aresta é dado por ϕA . Deve-se medir cuidadosamente o ângulo feito pelas duas superfícies e, neste exemplo, este é dado por Φ. Então, para usar a projeção estereográfica, faz-se necessário escolher um plano que seja paralelo à rede de Wulff, ou seja, que esteja com seu pólo no centro e, portanto, será representado pela circunferência que limita a rede (Fig. 5). A outra superfície B deverá coincidir com o meridiano da rede localizado no ângulo Φ do plano A, em torno de NS (para desenhar este meridiano deve-se girar o papel transparente por ϕA de tal maneira que a direção NS fique paralela à linha de intersecção das duas superfícies). Deve---se agora localizar os pólos TA e TB nos planos A e B, respectivamente. Os ângulos devem ser medidos como diferenças de latitude no grande círculo exterior (plano A) e no meridiano que representa o plano B. Uma vez desenhados os pólos TA e TB pode-se desenhar facilmente o plano de intersecção apenas girando o papel transparente de tal maneira que algum meridiano da rede passe (ao mesmo tempo) pelo dois pólos. Este meridiano será então a projeção do plano de intersecção (C na figura).

Figura 10- Determinação da orientação de um plano a partir dos seus traços em duas superfícies. Os traços são TA e TB nos planos A e B, respectivamente. O plano determinado é C /Ref. 1, fig. 2.14/. PROBLEMAS. 1- Os átomos de um cristal estão situados nos pontos de uma rede tetragonal com a=b e c= ½ a. Um

plano intercepta o quarto átomo, a partir da origem, no eixo Z, o segundo no eixo Y e o terceiro no eixo X. Quais são os índices de Miller deste plano?

2- Mostre que a direção [111] é perpendicular aos planos (111) no sistema cúbico. Esta relação poderia ser válida no sistema tetragonal?

3- Os planos (111) do sistema cúbico formam um octaedro e são, às vezes, chamados de planos octraédricos. Faça uma lista completa dos índices de Miller destes planos {111}. Num esboço

13 mostre o octraedro que estes planos formam dentro da célula unitária da rede cúbica. Não esqueça de colocar os índices de Miller no esboço.

4- (a) Faça um desenho do plano (111) da célula unitária FCC através de um corte que mostre claramente as posições dos átomos. (b) Mostre e nomeie, na secção desenhada, as direções <101> e <211>.

5- Mostre um traço do plano (1012) numa célula unitária completa do sistema hexagonal. Mostre as direções [1120] e [1011]. Faça uma lista de todos os índices de Miller de todos os planos {1012}. 6- O ASM Metals Handbook dá a seguinte informação para descrever a estrutura cristalina do

estanho-β: tetragonal de corpo centrado, quatro átomos por célula nas posições 0, 0, 0; 12

, 12

, 12

;

0, 12

, 14

; 12

, 0, 34

. a = 5,83 A e c = 3,18 A.

(a) Com as informações fornecidas desenhe uma célula unitária para o Sn-β. (b) Liste todas as direções com simetria binária de rotação da rede do Sn. 7- Calcule a Fração de Empacotamento Atômico (FEA= percentagem em volume de um cristal

ocupado pelos átomos) para os sistemas CS, CCC, CFC e HC, considerando válido o modelo da esfera dura.

8- Demonstre que a razão c/a num cristal HC de esferas perfeitas é 1,633. 9- A tabela seguinte fornece o tipo de empacotamento, o número de coordenação e a razão entre o

Raio de Vazios e o Raio das Esferas (Rv/Re). Derive as razões fornecidas para os vazios tetraédricos para os empacotamentos (empilhamentos) compacto e CCC.

Empilhamento Nc Rv/Re Compacto 3 Ternário 0,155 Compacto 4 Quaternário (tetraédrico) 0,225 Compacto 6 Hexagonal (octaédrico) 0,414 Compacto 12 Dodecaédrico 1,000 CCC Vazio Tetraédrico 0,291 CCC Vazio Octaédrico 0,154 CCC 8 1,000

10- (a) O aço é uma solução de carbono em ferro. Uma vez que os átomos de carbono são

consideravelmente menores que os de Fe, é de se esperar que os átomos de C estejam situados em vazios intersticiais (solução sólida intersticial) na rede cristalina do Fe. (Baseado em 9a) em sua resposta ao problema 7, qual deveria ser a sua expectativa sobre qual estrutura do ferro Fe-α (CCC) ou Fe- γ (CFC) dissolveria mais carbono? (b) Através da difração de raios-X conseguiu-se uma boa evidência de que o raio do Fe e do C são dados por:

rFe(fase γ) = 1,25 A rFe (fase α) = 1,24 A rC = 0,7 A

11- Baseado(a) no modelo da esfera dura: a. Em qual tipo de vazios intersticiais você espera encontrar mais átomos de C, na fase-α

ou na fase-γ do Fe? b. Você acha que alguma das duas fases é capaz de dissolver mais átomos de C do que a

outra? 12- Construa uma projeção estereográfica padrão (001). Localize os pólos dos planos (210) e (211) na

sua projeção. Qual o ângulo entre estes dois planos? Identifique e localize o pólo do eixo da zona e o traço deste eixo ao qual esses dois planos pertencem.

13- O pólo A (20° N, 50° L) deverá sofrer duas rotações (abaixo). Em cada caso encontre a posição final do pólo A e mostre o caminho percorrido durante a rotação.

14 a. Uma rotação de 60° em torno de um eixo normal ao plano de projeção, no sentido

dos ponteiros do relógio para o observador. b. Uma rotação de 60° em torno de um eixo inclinado, B (10° S, 30° O), no mesmo

sentido. Respostas: (a) 27° S, 48° L; (b) 39° S, 61° L. 14- O estanho branco tem uma estrutura tetragonal com c/a = o,545. Liste os planos da forma {001},

{100}, {110}, {011} e {111}. Desenhe uma projeção padrão 001 para o Sn branco e indique os pólos desses planos com os símbolos de simetria. Mostre os círculos das zonas importantes.

15- Dados os pólos A (20° S, 40° O) e B (10° N, 10° L). Locar a posição do pólo B após este sofrer uma rotação de 90° no sentido dos ponteiros do relógio em torno do ponto A. Resolva este problema de três maneiras, girando o pólo A até a origem de três modos diferentes.

Modo 1. Gire o pólo A para o equador da sua projeção e depois seguindo o equador até a origem. Não use um compasso para a primeira rotação: gire o pólo A segundo uma latitude ou longitude (a que for correta) segundo a rede de Wulff. Modo 2. Repita o Modo 1 usando um compasso para a primeira rotação. Modo 3. Gire a rede de Wulff em torno da origem ( deixe o papel transparente estacionário) até que o equador da rede esteja situado diretamente sob A. Agora gire o pólo A na sua projeção diretamente para a origem segundo o equador da rede de Wulff. Note a posição do pólo B depois da rotação do pólo A para a origem é diferente em cada um dos três casos mas o ângulo entre os dois pólos é o mesmo. 16- Construa uma projeção padrão 110. Mostre os planos {100}, {110}, {111}, {210}, {211}, {221},

{310} e {321}. Mostre os traços dos principais eixos de zona. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. /1/ BARRET, C. S. & MASSALSKI, T. B. - Structure of Metals, Third Edition, McGraw-Hill, New York, 1966. /2/ REED-HILL, R. E. - Princípios de Metalurgia Física, Segunda Edição, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1982. /3/ VERNHOEVEN, J. D. - Fundamentals of Physical Metallurgy, John Wiley & Sons, New York, 1975. /4/ REED-HILL, R. E. & ABBASCHIAN, R. - Physical Metallurgy Principles, Third Edition, PWS Publishing Company, 1994. /5/ CULLITY, B.D.- Elements of X-Ray Diffraction, Second Edition, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1978.

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16 ANEXO 1.

Figura 11. Projeção Estereográfica Padrão (001)com os pólos e os círculos das zonas para os cristais cúbicos /Ref. 1, fig. 2.9/.

17 ANEXO 2.

Figura 12. A rede de Wulff com intervalos de 2° /Ref. 1, fig 2.6/.

18 ANEXO 3 MACLAÇÃO EM CRISTAIS /5/. Cristais que possuem duas partes simetricamente relacionadas entre si são chamados de cristais maclados (twinned crystals, em inglês) e são bastante comuns nos minerais e nos metais e suas ligas. A relação entre as duas partes de um cristal maclado pode ser descrita por uma operação de simetria que torna coincidentes ou uma parte com a outra ou com uma extensão da outra/1-5/. Existem dois tipos distintos de maclação ou macla de acordo com a operação de simetria envolvida: (a) rotação de 180° em torno de um eixo (chamado de eixo da macla) e (b) reflexão através de um plano, chamado plano da macla. O plano comum às duas partes de um cristal maclado é chamado de plano de composição. No caso da macla de reflexão o plano de composição pode coincidir ou não com o plano da macla. Para os metalurgistas e o engenheiro de materiais, os quais lidam principalmente com as estruturas BCC, CFC e HC, há duas espécies de maclas fundamentais:

1. Maclas de Recozimento. Ocorrem nos metais e ligas CFC (Cu, Ni, latão-α, Al, etc...) após encruamento por deformação a frio e recozimento para recristalização.

2. Maclas de Deformação. Ocorrem durante o processo de deformação