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Recife, 2010

Estatística Exploratória

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO (UFRPE)

COORDENAÇÃO GERAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD/UFRPE)

Marco Domingues Jeísa Domingues

Volume 2

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Atividades de Extensão: Prof. Delson LaranjeiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª Maria José de SenaPró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação: Profª Antonia Sherlânea Chaves VérasPró-Reitor de Planejamento: Prof. Romildo Morant de HolandaPró-Reitor de Gestão Estudantil: Prof. Valberes Bernardo do NascimentoCoordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Rafael Lira, Italo Amorim e Arlinda TorresRevisão Ortográfica: Elias VieiraIlustrações: Allyson Vila NovaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos

Sumário

Apresentação ................................................................................................................. 4

Conhecendo o Volume 2 ................................................................................................ 5

Capítulo 1 – Probabilidade ............................................................................................. 7

1.1. Teoria dos Conjuntos ................................................................................................8

1.2. Análise Combinatória .............................................................................................10

1.3. Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos ............................................12

1.4. Definições de Probabilidade ..................................................................................14

1.5. Probabilidade Condicional e Independência ..........................................................16

1.6. Teorema de Bayes ...................................................................................................20

Capítulo 2 – Variáveis Aleatórias .................................................................................. 27

2.1. Variáveis Aleatórias.................................................................................................27

2.2. Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas ...........................28

2.3. Densidade de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas .............................32

2.4. Função Distribuição de Probabilidade Acumulada ................................................34

2.5. Esperança de Variáveis Aleatórias ..........................................................................38

2.5.1. Caso em que H(X) = X .....................................................................................38

2.5.2. Caso em que H(X) = (X-E[X])2 .........................................................................39

Conheça os Autores ..................................................................................................... 46

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Apresentação

Caro(a) aluno (a),

Seja bem-vindo (a) ao segundo volume do curso de Estatística Exploratória. No segundo módulo, vamos aprender como calcular a probabilidade de ocorrência de determinados eventos, vamos estudar como representar fenômenos estocásticos e finalmente, vamos classificar e estudar as distribuições de probabilidades.

O objetivo principal deste segundo volume é proporcionar ao aluno o conhecimento das principais abordagens estatísticas utilzadas na análise probabilística de diversos fenômenos.

Bons estudos!

Marco Domingues e Jeísa Domingues

Autores

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Conhecendo o Volume 2

No primeiro volume, você estudou os conteúdos da estatística exploratória. Foram vistos os procedimentos para realização de experimentos estatísticos, você aprendeu como construir e analisar gráficos e aplicar medias resumo para sintetizar um conjunto de dados. Neste segundo módulo, você terá oportunidade de compreender o comportamento estocástico de diversos fenômenos. A seguir, você pode entender a organização deste segundo módulo.

Probabilidade, distribuições discretas e contínuas.

Carga horária: 15 h/aula

Objetivo do volume 2: Ao final deste módulo, o aluno terá condições de calcular a probabilidade de ocorrência de eventos, reconhecer a natureza da distribuição dessas probabilidades e entender porque é tão importante verificar a aderência de um conjunto de dados a uma determinada distribuição conhecida.

Assuntos

» Teoria dos Conjuntos e Análise Combinatória;

» Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos;

» Definições de Probabilidade;

» Teorema da Bayes;

» Variáveis Aleatórias;

» Função Distribuição de Probabilidade Acumulada;

» Provas de Bernoulli e Distribuição de Bernoulli;

» Distribuições Binomial, Poisson e Uniforme;

» Distribuição Normal;

» Teorema Central do Limite;

» Distribuição Normal Como Aproximação da Distribuição Binomial.

Dicas de Estudo

» O Capítulo 1 aborda os conceitos da teoria dos conjuntos e análise combinatória, elementos essenciais para a compreensão da teoria das probabilidades. Você precisará dedicar bastantes atenção nos exemplos resolvidos;

» No Capítulos 2, você aprenderá como representar a ocorrência de um fenômeno através de variáveis aleatórias. É importante que você revise alguns exercícios do calculo diferencial para poder resolver os exercícios;

» Os Capítulo 3 e 4 abordam as principais distribuições discretas e continuas. Além das outras distribuições e fenômenos que elas podem modelar, você deve dedicar atenção especial à distribuição normal. Ela será muito utilizada no volume 3.

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Capítulo 1

Metas

Ao final do capítulo, esperamos que você consiga:

» Entender como a teoria dos conjuntos é utilizada em probabilidade;

» Utilizar a análise combinatória como ferramenta para cálculo de probabilidades;

» Modelar fenômenos e determinar as probabilidades de ocorrência.

Assuntos

» Teoria dos Conjuntos;

» Análise Combinatória;

» Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos;

» Definições de Probabilidade;

» Probabilidade Condicional e Independência;

» Teorema da Bayes.

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Capítulo 1 – Probabilidade

Vamos conversar sobre o assunto?

Quando uma moeda sem vícios é arremessada para cima e é deixada livre, estamos diante de um experimento com dois possíveis resultado, também chamados de eventos. Um dos eventos, é que termos a certeza de que a moeda irá cair até chão. O outro evento, é que não sabemos com certeza, qual face ficará voltada para cima. O primeiro evento é chamado de determinístico, pois todas as vezes que uma moeda for jogada e deixada livre, ela irá cair até o chão. O segundo evento é chamado de não determinístico ou probabilístico, pois não há certeza quanto ao seu resultado final. Sabemos que existe a chance de ser cara ou a chance de ser coroa. Mas qual é essa chance? Vivemos cercados de fenômenos, sistemas e tarefas não determinísticas. Quando jogado um dado, você sabe qual é a chance da face superior ser 4? Ou quando você puxa uma carta do baralho, qual é a chance dela ser do naipe de copas? Quando vai para o trabalho, pode afirmar com certeza absoluta que irá chegar no horário? Existe uma chance de se atrasar? Quantas vezes você já viu a “previsão” do tempo errar ao dizer que haveria um dia ensolarado e choveu? Para entender estes fenômenos e saber calcular qual é a chance de muitos deles ocorrerem, precisaremos estudar probabilidade.

Diversas áreas do conhecimento, seja na área de exatas, humanas ou saúde, estudam fenômenos cujo comportamento é não determinístico. Por esse motivo, a teoria das probabilidades tem sido utilizada para entender e descrever esses fenômenos da forma que eles devem ser tratados, probabilisticamente.

Os primeiros estudos sistemáticos da teoria de probabilidade começaram no século XVII, motivados por se entender o funcionamento dos jogos de azar. No final do século XIX, um modelo probabilístico para descrever o movimento das moléculas em um líquido foi proposto, sendo chamado de movimento browniano (HINES, 2006). Porém, foi a partir da década de 30 do século passado, que as bases da teoria das probabilidades começaram a ser consolidadas através de R. A. Fisher e R. Von Mises (FELLER, 1976).

A probabilidade é a área da matemática que estuda as incertezas vindas de experimentos não determinísticos. Para um experimento não determinístico qualquer, a probabilidade de um evento ocorrer, é uma medida quantitativa da chance deste evento ocorrer, quando há possibilidade de outros eventos também ocorrerem. Se o experimento for jogar um dado (não viciado), por exemplo, os eventos possíveis são os números 1,2,3,4,5 ou 6. Todos eles possuem a mesma chance de ocorrer, pois a probabilidade de qualquer um deles é a mesma e vale 1/6.

Este capítulo abordará os conceitos fundamentais da Teoria de Probabilidade. Começaremos com uma revisão sobre Teoria de Conjuntos, pois precisaremos freqüentemente utilizar operações de união e interseção entre conjuntos para calcular probabilidades. Em seguida apresentaremos o conceito de Variáveis Aleatórias para definir Probabilidade e então falaremos sobre uma questão muito importante chamada “Independência de Eventos”, que nos conduzirá ao conceito de Probabilidade Condicional. Depois de consolidar todos esses conceitos, chegaremos finalmente ao Teorema de Bayes, que resume todo o conhecimento de Probabilidade que iremos abordar.

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1.1. Teoria dos Conjuntos

Um conjunto pode ser definido como um agregado ou uma coleção de objetos que possuem alguma característica comum a todos eles. Ele é sempre representado por uma letra maiúscula e seus objetos são chamados de elementos.

Seja A um conjunto, se x for um elemento de A, então x ϵ A (lê-se: x pertence a A). Caso contrário x ∉ A (lê-se: x não pertence a A). São exemplos de conjuntos:

» C1 é o conjunto das letras que formam a palavra “banana”, C1 = {a,b,n};

» C2 é o conjunto formado pelos números ímpares menores que 10, C2 = {1,2,3,5,7,9};

» C3 é o conjunto formado pelos números reais entre 0 e 1, C3 = {x|x ϵ R, 0 < x < 1} (lê-se: x pertence C3 tal que x pertence ao conjunto dos reais R e x é maior que zero e menor que um);

» C4 é o conjunto das faces de uma moeda, C4 = {cara,coroa};

» C5 é o conjunto de letras e números presentes em cartas de um baralho, C5 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,a,d,j,k}.

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, se todos os elementos de A pertencerem a B, então A será um subconjunto de B. Matematicamente, A ⊂ B (A está contido em B). Se F for o conjunto tal que F = {a,d,j,k}, então F será um subconjunto de C5. Dois conjuntos A e B serão iguais se e somente se A ⊂ B e B ⊂ A. Se A = {1,2,3} e B = {2,3,1}, pela propriedade anterior, A = B. Isto significa que a ordem os elementos é indiferente, importando somente os elementos que compõe o conjunto.

Alguns conjuntos são muito importantes e por isso precisam ser definidos. O primeiro é o conjunto vazio ou conjunto nulo, representado por Ø. Observe que o conjunto {0} não é vazio pois ele é o conjunto formado pelo elemento zero. Portanto {0} ≠ Ø. O segundo conjunto importante é chamado de conjunto universo, representado em geral pela letra U. O conjunto universo é formado por todos os objetos em consideração.

Quatro conseqüências diretas da propriedade de subconjuntos e dos Conjuntos U e Ø:

» Seja A um conjunto, então Ø ⊂ A;

» Seja U o conjunto universo e A é um conjunto do contexto de U, então A ⊂ U;

» Seja A um conjunto, então A ⊂ A;

» Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

Você perceberá que estas informações, até aqui apresentadas, servirão para a compreensão das três principais operações entre conjuntos que serão apresentadas a seguir. São elas: complemento, interseção e união.

Sejam dois conjuntos A e B, e o conjunto universo U definido no contexto de A e B, então:

» O conjunto complemento de A, representado por AC, será, AC = { x|x ∉ U, x ∉ A};

» O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem a ambos conjuntos A e B, A ∩ B = { x|x ∈ A e x ∈ B }. Se A ∩ B = Ø, diz-se que A e B são conjuntos mutuamente excludentes ou disjuntos;

» O conjunto união é formado por todos os elementos dos conjuntos A e B, A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B };

Graficamente estas operações podem ser vistas através dos diagramas de Venn,

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mostrados na Figura 1. Os conjuntos estão representados pelas regiões sombreadas.

Figura 1 – Representação de conjuntos por Diagrama de Venn. U é o conjunto universo que contém todos os elementos de todos os conjuntos. Em (a), o conjunto A. Em (b), Ac é o conjunto formado pelo complemento de A.

Em (c), o conjunto B. Em (d), Bc é conjunto formado pelo complemento de B.Em (e), o conjunto formado pela interseção dos conjuntos A e B;

Em (f), conjunto formado pela união dos conjuntos A e B.

Outras operações úteis entre Conjuntos. Sejam A, B e C três conjuntos, então:

» (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)

» (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

» (A ∪ B)C = AC ∩ BC

» (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Aprenda Praticando

Exemplo 1 – Seja o conjunto universo definido como U = {a,b,c,d,e,f,g} e os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,d,f} e C = {a,c,e,g}. Calcule:

AC, BC, CC, A ∪ B, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, AC ∩ B, CC ∩ A.

AC = {d, e, f, g} BC = {a, c, f, g} CC = {b, d, f}

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f} B ∪ C = U A ∩ B = {b} A ∩ C = {a, c}

B ∩ C = Ø AC ∩ B = {d,f} CC ∩ A = {b}

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1.2. Análise Combinatória

Além como os conceitos sobre Conjuntos, a Teoria das Probabilidades utiliza a análise combinatória para definir a cardinalidade de conjuntos. Entende-se cardinalidade de um conjunto como o tamanho ou número de elementos deste conjunto.

Na próxima seção, você aprenderá o conceito de probabilidade em termos de conjuntos, e principalmente em termos da razão entre o número de elementos de conjuntos. Por esse motivo, precisamos entender e saber calcular o número de elementos de conjuntos, que é feito através de análise combinatória.

Existem dois conceitos que iremos estudar em análise combinatória: permutações, combinações e arranjos.

Permutação

A permutação é uma disposição ordenada de objetos distintos (diferentes). Uma permutação difere da outra se a ordem de organização ou se os objetos são diferentes. Veja se você entendeu - suponha, por exemplo, que existem um conjunto chamado Letras = {a,b,c,d,e}. De quantas maneiras diferentes podemos formar pares com essas letras?

» Os pares que poderão ser formados serão: ab, ac, ad, ae, ba, bc, bd, be, ca, cb, cd, ce, da, db, dc, de, ea, eb, ec, ed, totalizando 20 permutações possíveis. Observe que o par “ab” é distinto de “ba”.

Apresentamos um exemplo em que tínhamos um conjunto com 5 elementos e queríamos permutá-los dois a dois. Mas poderíamos querer três a três também. Para um caso geral, onde temos n elementos e desejamos permutá-los r a r, podemos calcular o número de permutações possíveis através da equação:

onde n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. Por definição 0! = 1 e quando r = n temos que Pn,n = n!.

Se desejarmos realizar permutações com objetos indistinguíveis, devemos utilizar outra equação. Suponha que o conjunto possui n objetos, dos quais n1 são todos de um mesmo tipo, porém indistinguíveis entre si, n2 são de outro tipo e também indistinguíveis entre si, e assim por diante até nk. Sabe-se que n = n1 + n2 + ... + nk. Então o número de permutações possíveis será:

Suponha que desejamos saber o número de permutações possíveis com as letras da palavra “Araraquara”, então teremos que, n=10, n1=5 (A), n2=3 (R), n3=1(Q), n4=1(U), e o número de permutações será:

.

Existe também a situação em que desejamos combinar elementos, mas a ordem em que eles estão dispostos não é importante. Por exemplo, suponha que uma sala de aula tenha 15 alunos e desejamos formar grupos de 3 alunos para realizar uma tarefa. O grupo formado por “Taís, Bruno e Miguel” é o mesmo que “Bruno, Miguel e Taís”, não é? Nestas situações estamos falando sobre combinações. Uma combinação será diferente da outra se os elementos que formam a combinação forem diferentes. Vamos utilizar novamente o exemplo do conjunto Letras = {a,b,c,d,e}, se combinarmos as letras duas a duas, então teremos: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, ed, totalizando 10 combinações possíveis. Para um caso geral, onde temos n elementos e desejamos combiná-los r a r, podemos calcular o

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número de combinações possíveis através da equação:

A representação com parênteses é muito comum, e em muitos casos, até mais utilizada que a Cn,r.. Duas propriedades das combinações são muito utilizadas na resolução de problemas, são elas:

Aprenda Praticando

A seguir, você será apresentado a exemplos de problemas que envolvem combinações ou permutações. É importante, antes de tudo, que você tente reconhecer se o problema trata de uma combinação ou de uma permutação.

» Exemplo 1 – Uma equipe de basquete possui 12 jogadores inscritos na competição. Sabendo que entram em quadra apenas 6 jogadores, quantas formações o técnico tem a sua disposição?

Neste caso, a ordem dos 6 jogadores em quadra não é um fator importante, por isso, trata-se de um problema de combinação. Dado que temos 12 jogadores, queremos combiná-los 6 a 6.

formações.

» Exemplo 2 – Uma moça possui 3 blusas e 2 calças, todas as 5 peças têm cores diferentes. A cada dia, ela quer sair com uma blusa e uma calça diferente. Quantos dias ela poderá sair sem que tenha repetido nenhuma vez o conjunto blusa-calça?

Vamos resolver este exemplo através de um diagrama de árvore. Um diagrama de árvore mostra graficamente, todos os resultados possíveis.

Portanto, a moça poderá sair 6 dias sem ter que repetir nenhum conjunto blusa-calça.

» Exemplo 3 – De quantas maneiras 9 pessoas podem sentar em um banco que possui 4 lugares?

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Trata-se de um problema de permutação, onde n=9 e r=4, então

maneiras.

» Exemplo 4 – Devemos arrumar em uma estante, 6 livros de biologia, 4 livros de história e 2 livros de matemática. De quantas formas podemos dispor os livros considerando que os livros de cada assunto devem ficar juntos

Os livros de biologia podem permutar entre si, gerando, portanto P6,6 = 6!=720. O mesmo para os livros de história e matemática, gerando P4,4 = 4! = 24 e P2,2 = 2! = 2. Depois os três conjuntos de livro podem permutar entre si, então P3,3 = 3! = 6. Assim o número de posições possíveis será 4! × 6! × 2! × 3! = 207360.

1.3. Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos

Existe uma relação intuitiva entre o estudo da probabilidade e os chamados experimentos que envolvem incertezas, sejam esses experimentos reais ou imaginários (abstratos). Por exemplo, quando olhamos para o céu e dizemos - “acho que a chance de chover hoje é baixa”, ou quando estamos dando um palpite sobre o placar de um jogo - “acho que o time A tem mais chances de vencer do que o time B” - estamos falando de experimentos reais em que, apesar de conhecermos os resultados possíveis (chove ou não chove, vitória empate ou derrota), não há certeza de qual deles ocorrerá. Geralmente esses experimentos são complexos porque envolvem muitas variáveis, e isso gera dificuldades em tentar calcular ou medir matematicamente a chance de ocorrência.

Por outro lado, os experimentos imaginários são aqueles em que utilizamos jogos de dados, cartas ou moedas para conseguir mostrar exemplos de aplicações de probabilidade. Novamente, nós sabemos quais são os possíveis resultados para cada experimento, porém não termos certeza de quais respostas ocorrerão. A grande vantagem desses experimentos é sua simplicidade. Por exemplo, Qual é chance de eu jogar uma moeda 3 vezes e observar nas 3 vezes a face da coroa? Todas as variáveis do problema são conhecidas, o que facilita imensamente a sua compreensão.

Os exemplos de experimentos citados até agora são chamados de experimentos aleatórios. Todo experimento aleatório possui um conjunto de características comuns, são elas:

» Não sabemos qual será a resposta do experimento, mas conhecemos todas as respostas possíveis;

» Quando repetimos o experimento, sob as mesmas condições, ele não reproduz a mesma resposta;

» Na medida em que o número de repetições do experimento aumenta, sob as mesmas condições, começamos a observar certos padrões de freqüência de ocorrência das respostas possíveis.

» Quando um experimento aleatório é realizado, sabemos de antemão quais são as possíveis respostas deste experimento. O conjunto S formado por todas as respostas possíveis de um experimento é chamado de Espaço Amostral.

» Entende-se por evento um subconjunto de elementos do espaço amostral S. Entende-se por evento simples quando nos referimos a apenas um elemento de S,

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qualquer que seja ele, contanto que pertença a S.

Um experimento não aleatório, também chamado de determinístico, irá gerar sempre o mesmo resultado. Por exemplo, suponha que estejamos na janela de um apartamento situado no 3º andar. Então soltamos uma pedra, e medimos o tempo que ela demora a cair. Se repetirmos o experimento tantas vezes quanto quisermos, iremos medir o mesmo tempo. Só mediremos outro valor de tempo, se as condições do experimento mudarem (por exemplo, se formos para local mais alto ou mais baixo e soltarmos a pedra).

Aprenda Praticando

A partir de agora você verá um conjunto de exemplos de experimentos aleatórios com seus respectivos Espaços Amostrais e Eventos relacionados, para que você possa refletir e verificar como eles estão presentes no dia-dia.

» Exemplo 1 - Jogar uma moeda 3 vezes e observar as seqüências de caras e coroas. Considere a face “cara” representada por C e “coroa” por .

.

Evento 1: sequências com uma coroa, .

Evento 2: sequências apenas com caras, E = {CCC}.

» Exemplo 2 – Jogar um dado e observar a face superior. S = {1,2,3,4,5,6}.

Evento: observar face do dado maior ou igual a 5, E (x > = 5) = {5,6}.

» Exemplo 3 – Retirar um lote de um produto em uma linha de produção e contar o número de produtos defeituosos. Este número deve variar de lote para lote. S = {0,1,2,3,...}.

Evento: lotes com menos de quatro defeitos, E = {0, 1, 2, 3}.

» Exemplo 4 – Puxar duas cartas de um baralho e observar os naipes das cartas. Seja o naipe de copas representado por C, espadas por E, paus por P e ouro por O, então o Espaço Amostral será S = {CC, CE, CP, CO, EE, EP, EO, PP, PO, OO}.

Evento: ao menos uma carta do naipe de espada, E = {CE, EE, EP, EO}.

» Exemplo 5 – Observar os carros que entram em um estacionamento em um determinado horário do dia. Este número deve variar dia a dia. S = {0,1,2,3,...}.

Evento: carro deve ser vermelho, E = {0,1,2,...}.

» Exemplo 6 – Uma moeda é lançada até que apareça coroa pela primeira vez.

Evento: seqüência possui duas caras, .

» Exemplo 7 – Observar o volume de água que cai nas Cataratas do Iguaçu, em um dia. Os eventos são números reais.

Evento: volumes menores que um valor W, E (x<W) = {x|x ∈ S, x < W}.

Os Exemplos 1, 2 e 4 possuem Espaço Amostral finito, enquanto os exemplos 3, 5 e 6 apresentam Espaço Amostral infinito, mas enumerável. O exemplo 7 apresenta Espaço Amostral infinito e inumerável.

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1.4. Definições de Probabilidade

A probabilidade de um evento ocorrer é uma medida quantitativa da possibilidade da ocorrência do evento, visto que o experimento aleatório possui incertezas quanto ao seu resultado (ou seja, qual evento irá ocorrerá). Existem três formas de se definir a probabilidade de um evento para um experimento aleatório: a forma clássica ou a priori, a forma baseada na frequência ou a posteriori e a forma axiomática.

Porém, antes de entendermos como calcular probabilidades, precisamos aprender o conceito de eventos “igualmente prováveis”. Quando um experimento aleatório é realizado, supomos a princípio, que qualquer evento pode ocorrer com a mesma chance que os outros, como quando jogamos um dado. A chance da face superior ser 5 deve ser a mesma que para todas as outras faces - 1,2,3,4 ou 6. Caso isso não ocorra (por exemplo, se um trapaceiro modificar o dado), então diremos que o dado é viciado e os eventos não são “igualmente prováveis”.

Forma Clássica ou a priori

Seja um experimento com espaço amostral S composto por N eventos simples “igualmente prováveis”. Seja A um evento em S composto por m eventos simples. A probabilidade clássica ou a priori do evento A ocorrer, chamado de P(A), é definida como:

Calma! Vamos devagar. Veja o caso do jogo de um dado já citado aqui. O número de eventos simples do experimento é N = 6. Se o evento A for: a face superior do dado é 2. Qual é a probabilidade do evento A ocorrer?

Sendo A = {2} e m =1, então P(A = 2) = 1/6, que é a mesma probabilidade de ocorrer qualquer outro número. Mas se o evento A for: a face superior do dado deve ser um número maior ou igual a 3. Então A = {3,4,5,6} e m = 4. A probabilidade de A ocorrer será P (A ≥ 3) = 4/6 = 2/3.

Forma baseada na frequência ou a posteriori

Para se calcular a probabilidade a posteriori, é necessário repetir o experimento N vezes. A probabilidade é calculada empiricamente e surgiu a partir do conceito de freqüência relativa dos eventos. Para um evento A, contamos a freqüência da ocorrência de A, durante as N repetições, chamando-a de nA. A freqüência relativa de A, fn,A, será igual a probabilidade a posteriori P(A) do evento A ocorrer::

Neste caso, Suponha que uma moeda seja jogada 1000 vezes. O evento A é a observação da face “cara”. Ela foi observada 520 vezes. Então a probabilidade do evento A ocorrer é P(A = cara) = 520/1000 = 0,52.

As duas formas usadas para calcular a probabilidade apresentadas até aqui possuem deficiências. No caso da probabilidade a priori, o termo “igualmente provável” é vago. Por outro lado, para definirmos a probabilidade a posteriori, precisamos definir o número N de repetições do experimento, que em geral é grande, mas não sabemos o quão grande ele deve ser para resultar em uma boa estimativa da probabilidade (SPIEGEL,1977). Por esses motivos, procurou-se definir probabilidade em termos axiomáticos, utilizando para isso a teoria dos conjuntos.

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Forma Axiomática

Seja S um espaço amostral e A um evento de S, então a função probabilidade P(A) deve satisfazer as seguintes propriedades:

0 ≤ P (A) ≤ 1, A ∈ S

P(S) = 1

P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +..., onde Ai são conjuntos disjuntos ou mutuamente excludentes.

Diante da definição de probabilidade como uma função que segue as três propriedades acima, podemos listar as seguintes propriedades para dos eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S:

» Se A = Ø, então P(A) = 0

» P(AC) = 1 – P(A)

» P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

» Se A e B forem eventos de S, e A ⊂ B, então P(A) < P(B)

» P(A ∩ B) = 0, se A e B forem mutuamente excludentes

» P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).

Sejam A e B dois eventos de S, então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A ∩ B) = 0.

Aprenda Praticando

Exemplo 1 – Uma caixa possui 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Retira-se uma bola da caixa. Qual é a probabilidade de a bola:

A) ser vermelha

B) ser branca

C) ser azul

D) não ser vermelha

E) ser branca ou azul

Sejam as bolas vermelhas, brancas e azuis representadas por V, B e A.

P(B ou A) = P(B ∪ A) = P(B) + P(A) - P(B ∩ A) =

Exemplo 2 – Seja um baralho com 52 cartas. Retira-se uma carta. Qual a probabilidade da carta ser:

A) um ás

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B) o valete de copas

C) três de paus ou seis de ouro

D) uma carta de copas

E) um dez ou uma carta de espadas

F) nem quatro nem cartas de paus.

Sejam os naipes representados por: C copas, P paus, O ouro, E espada, e as cartas representadas por números de 2 a 10, ás (1), valete (11), dama (12), rei (13). O 6 de copas será 6∩C e o ás de espada será 1∩E, por exemplo.

P(1) = P((1 ∩ C) ∪ (1 ∩ P) ∪ (1 ∩ 0) ∪ (1 ∩ E)) = P(1 ∩ P) + P(1 ∩ 0) + P(1 ∩ E)

P(1) =

P(11 ∩ C) =

P((3 ∩ P) ∪ (6 ∩ 0)) = P(3 ∩ P) + P(6 ∩ 0) =

P(C) = P((1 ∩ C) ∪ ... ∪ (13 ∩ C)) = P(1 ∩ C) + ... + P(13 ∩ C) =

P(10 ∪ E) = P(10) + P(E) - P(10 ∩ E) =

P(4C ∪ PC) = 1 - P(4 ∪ P), mas P(4 ∪ P) = P(10 ∪ P) P(4C ∪ PC) = 1 -

Exemplo 3 – Dois dados são lançados. Calcule as seguintes probabilidades:

A) Sair a face 3 num só dado

B) sair a face 4 em pelo menos um dado

C) a soma das faces seja um número par

O espaço amostral S é composto pela permutação de 6, visto que os dados são diferentes, então S = {{i,j}}, i,j = 1,2,3,4,5,6, portanto N = 6x6 = 36.

Evento A = {{3,1}, {3,2}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {1,3}, {2,3}, {4,3}, {5,3}, {6,3}},

m = 10.

Evento B = {{4,1}, {4,2}, {4,3}, {4,4}, {4,5}, {4,6}, {1,4}, {2,4}, {3,4}, {5,4}, {6,4}},

m = 11, .

Evento C = {{1,1}, {1,3}, {1,5}, {2,2}, {2,4}, {2,6}, {3,1}, {3,3}, {3,5}, {4,2}, {4,4}, {4,6},

{5,1}, {5,3}, {5,5}, {6,2}, {6,4},{6,6}}, m=18,

1.5. Probabilidade Condicional e Independência

Em muitas situações o fenômeno aleatório que estamos estudando pode ser separado em etapas. A informação obtida em uma etapa anterior poderá influenciar na probabilidade da etapa atual, e assim por diante.

Vejamos o exemplo do lançamento consecutivo de uma moeda (duas vezes). O evento que desejamos, será, por exemplo, saber a probabilidade de ocorrer a sequência “cara-cara”. Para que isso ocorra, é necessário que o primeiro lance resulte “cara”. E depois que o segundo lance também resulte “cara”. Dessa forma podemos separar o problema em

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duas etapas.

Mas lembre-se que o evento que desejamos é “cara-cara”. Se a primeira etapa resultar em “coroa” o que faremos? Precisamos impor uma condição de antemão, “que o primeiro lance resulte cara”, para depois podemos calcular a probabilidade do segundo lance também resultar em “cara”. Vamos tentar entender graficamente antes de apresentarmos o conceito formal de probabilidade condicional.

No gráfico da Figura 02, vemos em (a), o conjunto de todos os eventos simples do experimento aleatório de jogar duas moedas e observar a seqüência das faces viradas para cima (onde c = cara e = coroa). Em (b), aplicamos a condição de que “cara” ocorreu na primeira jogada, reunindo os eventos simples de U que possuem essa condição no subconjunto A. Em (c), reunimos no subconjunto B os eventos simples de U, cujo segundo lançamento da moeda resultou em “cara”. Em (d), juntamos os resultados de (b) e (c), avaliando que eventos são comuns aos conjuntos a A e a B. Observe que (d) pode ser interpretado da seguinte forma: uma vez que sabemos que a primeira jogada foi “cara” (ou seja, o evento que desejamos pertence ao conjunto A), quais elementos de A tiveram a segunda jogada “cara” (conjunto B)?

Figura 2 – Probabilidade condicional em termos de Diagrama de Venn. Veja no texto explicações mais detalhadas.

Vamos então definir probabilidade condicional. Sejam dois eventos A e B, onde P(A) > 0,a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu será dada por:

Sejam A e B dois eventos então:

P(A ∩ B) = P(B/A) P(A) = P(A/B) P(B)

Como exemplo didático, suponha que um dado seja lançado e desejamos saber qual a probabilidade da face superior ser maior ou igual a 4 quando: não sabemos qualquer informação sobre o valor da face que ficou para cima; quando sabemos que o resultado do dado foi ímpar? No primeiro caso já calculamos anteriormente, então a probabilidade será:

P(B > 4) = P(B = 4) + P(B = 5) + P(B = 6) = .

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No segundo caso, sabemos que o dado resultou em um número ímpar. Então o evento A será “o número é impar” → A = {1,3,5} e o evento B será “o número é maior ou igual a 4” → B = {4,5,6}. P(A) = ½, pois esta é a probabilidade de uma jogada de dado resultar em um número ímpar. Agora A ∩ B = {5}, então m=1, N=6, e P(A ∩ B) - m/N = 1/6. Portanto

P(x > 4 | x é ímpar) = .

Se tivermos A1, A2, ..., An, eventos do espaço amostral S, então a probabilidade ocorrer A1 e A2 e A3, ..., e An será P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1)P(A2| A1) P(A3| A1 ∩ A2) ... P(An| A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An-1).

Comentaremos agora sobre uma situação frequente em problemas da probabilidade condicional chamada de independência de eventos. Quando utilizamos a idéia de separar o problema em etapas, associamos a cada etapa a ocorrência de um evento. A questão posta aqui é a seguinte: esses eventos possuem alguma relação entre si? No exemplo do arremesso do dado, o evento “ser ímpar” influencia de alguma forma no evento “ser maior ou igual a 4”? Ou no caso em que uma moeda é lançada duas vezes, o evento “observar os resultados do primeiro lançamento” pode influenciar de alguma maneira no segundo evento ”observar os resultados do segundo lançamento”? Se a resposta for não, estão dizemos que os eventos são independentes.

Matematicamente, dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de A, não altera a probabilidade da ocorrência de B. Isto é:

P(B|A) = P(B)

Ou, equivalentemente

P(A ∩ B) = P(B) × P(A)

Podemos então listar algumas propriedades que envolvem probabilidade condicional e independência de eventos:

1) Se A1, A2 eA3 forem independentes, então

a) P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj) i,j = 1,2,3

b) P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2) P(A3)

Aprenda Praticando

Exemplo 1 – Uma loja possui três armários iguais, cada um com duas gavetas. No primeiro armário, cada gaveta guarda um relógio de ouro. No segundo armário, cada gaveta guarda um relógio de prata. No terceiro armário, uma gaveta guarda um relógio de ouro e a outra gaveta guarda um relógio de prata. Suponha que um funcionário escolha um dos armários e abra uma das gavetas, ambos ao acaso. Ele observa um relógio de prata. Qual a probabilidade dele abrir a outra gaveta do mesmo armário e encontrar um relógio de ouro?

Sabemos de antemão que a gaveta aberta possui um relógio de prata, então ele escolheu abrir uma gaveta ou do armário 2 ou do armário 3. Se for o armário 2 e ele irá encontrar o relógio de ouro. Se for o armário 3 ele irá encontrar o relógio de prata. Como, inicialmente o funcionário se dirigiu para um dos armários de forma casual, a probabilidade dele escolher o armário 2 é a mesma do armário 3. Então a probabilidade dele achar observar um relógio de ouro em uma gaveta, dado que ele observou um relógio de prata na outra gaveta será 1/2.

Exemplo 2 – Uma caixa possui 3 bolas brancas e 7 vermelhas. Duas bolas são retiradas da caixa, uma após a outra, sem reposição. Determine o espaço amostral e as

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probabilidades de cada par evento possível.

Bolas brancas e vermelhas serão representadas pelas letras B e V. Então o espaço amostral será S = {B1B2, B1V2, V1B2, V1V2}.

P(B1 ∩ B2) = P(B1 e B2) = P(B2|B1) P(B1) =

P(B1 ∩ V2) = P(B1 e V2) = P(V2|B1) P(B1) =

P(V1 ∩ B2) = P(V1 e B2) = P(B2|V1) P(V1) =

P(V1 ∩ V2) = P(V1 e V2) = P(V2|V1) P(V1) =

Exemplo 3 – Um dado é jogado duas vezes. Calcule a probabilidade de que na primeira jogada ocorra um número menor que 3 e na segunda jogada ocorra um número maior ou igual a 2.

Sejam os eventos A e B, relacionado à primeira jogada SA = {1,2} e a segunda jogada SB = {3,4,5,6}. Precisamos calcular a probabilidade condicional P(B e A). Então,

P(B e A) = P(B ∩ A) = P(B|A) P(A) = P(A) P(B) = , observe que os eventos A e B são independentes.

Exemplo 4 – Um equipamento eletrônico é formado por duas componentes A e B. Por procedimentos anteriores sabe-se que P(A falhar) = 0.2, P(apenas B falhar) = 0.15, P(A e B falharem simultaneamente) = 0.15. Calcule:

A) a probabilidade de apenas A falhar.

B) a probabilidade de A falhar, dado que B falhou.

Seja o evento A = “componente A falhou” e o evento B = “componente B falhou”, temos então pelos dados do problema que P(A) = 0,2; P(AC ∩ B) = 0,15 e P(A ∩ B) = 0,15.

A probabilidade de apenas A falhar será P(A ∩ BC) = P(A) - P(A ∩ B) = 0,2 – 0,15 = 0,05.

P(A/B) =P(A ∩ B)/P(B), mas P(B) = P(B ∩ AC) + P(A ∩ B) = 0,15 + 0,15 = 0,3. Então

Exemplo 5 – Um dado é lançado n vezes. Qual é a probabilidade de que ao menos uma vez tenha ocorrido o valor 6?

Seja o evento A “ocorreu o 6 ao menos uma vez”. P(A) = 1 – P(Ac), em que P(Ac) é a probabilidade de que o valor 6 não ocorra. Em uma jogada, a probabilidade de não ocorrer o 6 vale p = 5/6, e em n jogadas será pn = (5/6)n. Então P(A) = 1 - (5/6)n.

Exemplo 6 – Numa casa moram três pessoas. Qual a probabilidade de que:

A) todos façam aniversário em dias diferentes da semana?

B) todos façam aniversário no mesmo dia?

C) pelo menos dois façam aniversário no mesmo dia da semana?

Seja os eventos A1 “todos fazem aniversário em dias diferentes”, A2 “ao menos dois fazem aniversário no mesmo dia” e A3 “dois fazem aniversário no mesmo dia”.

,

,

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P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1 P(A3) = 1 -

Exemplo 7 – Em uma caixa estão 4 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Em outra caixa estão 3 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Retira-se uma bola de cada caixa. Qual a probabilidade de:

A) ambas as bolas serem brancas?

B) ambas as bolas serem vermelhas?

C) uma bola seja vermelha e outra branca?

Seja o evento B1 “ bola branca retirada da caixa 1”, evento B2 “ bola branca retirada

da caixa 2”. Então a probabilidade de duas bolas brancas é P(B1 ∩ B2) =P(B2/B1) P(B1), como

os eventos são independentes P(B1 ∩ B2) = P(B2) P(B1) = .

Para duas bolas vermelhas, P(B2C ∩ B2

C) = P(B2C) P (B1

C) =

P(BC ∩ B) + P(B1C ∩ B2

C) + P(B ∩ B) = 1 P(BC ∩ B) = 1 -

Exemplo 8 – Considere o experimento aleatório de jogar duas moedas. Considere ainda os eventos: A1 “cara no primeiro lançamento”, A2 “cara no segundo lançamento”, A3 “nos dois lançamentos ocorre a mesma face”. Os eventos A1, A2 e A3 são independentes?

O espaço amostral do experimento será e os eventos serão , e . Os eventos serão independentes se

P(A1 ∩ A2 ∩ A3 = P(A1) P(A2) P(A3) e A1 ∩ A2 ∩ A3 = {CC} P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = . Temos que

P(A1) = , P(A2) = e P(A3) = . Então P(A1 ∩ A2 ∩ A3) ≠ P(A1) P(A2) P(A3) e os eventos A1, A2 e

A3 não são independentes. Observe porém, que se avaliarmos apenas aos pares (A1, A2), (A1,

A3) e (A3, A2), eles serão independentes entre si.

1.6. Teorema de Bayes

O Teorema de Bayes, que iremos enunciar a seguir, sintetiza todo o nosso estudo sobre probabilidade realizado até aqui. Tudo que abordamos ao falar de probabilidade, todos os conceitos e propriedades apresentadas, está resumido em uma simples formulação matemática. Seja persistente caso não consiga entender com a primeira leitura. Leia e releia quantas vezes forem necessárias.

Seja um espaço amostral S, que representa os resultados de um experimento aleatório. Seja S dividido em B1, B2, B3, ..., Bn partições mutuamente excludentes ( ou seja B1 ∩ B2 = Ø, B1 ∩ B3 = Ø, ..., B1 ∩ Bn = Ø, B2 ∩ B3 = Ø, ..., B2 ∩ Bn = Ø, B3 ∩ B4 = Ø, ... B3 ∩ Bn = Ø, ...). Dado que um evento A ocorreu. A probabilidade de Bk ocorrer, dado que A ocorreu será:

Calma! Vamos apresentar vários exemplos para que você entenda essa equação. Mas é importante que você faça todos os exemplos até entender bem esse importante conceito.

O Teorema de Bayes permite determinar a probabilidade dos eventos B1, B2, B3, ..., Bn, que podem ser a causa da ocorrência do evento A. Para elucidar melhor o Teorema de

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Bayes faremos três exemplos de sua utilização .

Aprenda Praticando

Exemplo 1 – Sejam três caixas, onde a caixa nº 1 possui 3 bolas brancas e 5 vermelhas, a caixa nº 2 possui 5 bolas brancas e 1 bolas vermelhas, e a caixa nº 3 estão 1 bola branca e 3 vermelhas. Escolhe-se uma bola de uma das três caixas de acordo com as seguintes probabilidade: P(caixa nº 1) = 2/6, P(caixa nº 2) = 3/6 e P(caixa nº 3) = 1/6. Calcule a probabilidade de:

A) se sortear uma bola branca.

B) se a bola branca foi sorteada, a probabilidade que ela tenha vindo da caixa 3.

Observe que a bola branca pode vir de qualquer uma das três caixas. O evento B será “bola branca sorteada” e o evento Ci, será “bola sorteada da caixa i”, i=1,2,3. Então a probabilidade da bola sorteada ser branca será:

P(B) = P(B ∩ C1) + P(B ∩ C2) + P(B ∩ C3) pois a bola pode ter vindo de qualquer caixa.

P(B/C1) = P(B ∩ C1) = P(B/C1) P(C1) =

P(B/C2) = P(B ∩ C2) = P(B/C2) P(C2) =

P(B/C3) = P(B ∩ C3) = P(B/C3) P(C3) =

Exemplo 2 – Três empresas fornecem o mesmo tipo de componente para uma fábrica. Em todos os casos, é suposto que os componentes sejam feitos da mesma forma. Porém a fábrica testou os componentes vindos das três empresas ao longo de anos, e percebeu que: da empresa 1 na qual ela compra 15% deste componente, 2% deles vem com defeito; da empresa 2, na qual a fábrica compra 80% deste componente, 1% vem com defeito; da empresa 3, na qual a fábrica compra 5% deste componente, 3% vem com defeito. Um componente que acabou de chegar na fábrica foi testado e avaliado. Qual é a probabilidade de:

A) ele ter vindo da empresa 1, dado que o teste mostrou que ele é defeituoso?

B) ele ter vindo da empresa 2, dado que o teste mostrou que ele é defeituoso?

C) ele ter vindo da empresa 3, dado que o teste mostrou que ele é perfeito?

Seja o evento D “o componente é defeituoso” e Ei, “o componente veio da empresa i”, com i=1,2,3.

Então a probabilidade dele vir da empresa 2, sabendo que ele é defeituoso será:

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Atividades e Orientações de Estudos

Questão 1 – De quantas maneiras podemos ordenar 7 livros em uma prateleira quando:

A) qualquer arranjo é possível.

B) três determinados livros devem ficar juntos?

C) 2 livros determinados devem ficar nas extremidades?

Questão 2 – Quantos números de 5 algarismos diferentes podem ser formados com os algarismo 0, 1, ..., 9 se:

A) os números devem ser ímpares.

B) os dois primeiros algarismos devem ser pares?

C) recalcule A) e B) para o caso em que os algarismos podem se repetir

Questão 3 – De quantas maneiras podemos agrupar 10 pessoas em:

A) dois grupos de 7 e 3 pessoas?

B) três grupos de 5, 3 e 2 pessoas?

Questão 4 - Para cada experimento descrito a seguir, construía o conjunto S referente ao Espaço Amostral e o conjunto E de eventos, quando definido.

Experimento A: arremessar dois dados e avaliar a soma das faces viradas para cima. Evento: a soma é maior ou igual a três e menor que sete.

Experimento B: arremessar um dado duas vezes e observar as seqüências possíveis das faces viradas para cima. Evento: a soma do par de dados é menor ou igual a 3.

Experimento C: jogar uma moeda duas vezes e observar as possíveis seqüências de cara e coroa. Evento: cara aparece duas vezes.

Experimento D: jogar uma moeda até que apareçam duas caras seguidas. Evento: aparecerem duas coroas.

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Experimento F: jogar uma moeda e um dado. Evento: cara e faces do dado menor ou igual a 2.

Experimento G: Número de atendimentos em um hospital infantil em um dia. Evento: pessoas com mais de dezoito anos atendidas no dia.

Questão 5 – Joga-se um par de dados duas vezes. Calcule a probabilidade de se obter um total de 7:

A) uma vez

B) ao menos uma vez.

C) duas vezes.

Questão 6 – Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 10 bolas vermelhas, 30 brancas 20 azuis e 15 laranjas. Determine a probabilidade de:

A) a bola extraída ser vermelha ou laranja.

B) não-vermelha ou azul.

C) não-azul

D) branca

Questão 7 – Para os dados da Questão 6, suponha que duas bolas sejam retiradas, uma após a outra com reposição. Determine a probabilidade de que:

A) ambas as bolas sejam brancas.

B) a primeira seja vermelha e a segunda branca.

C) nenhuma seja laranja

D) ou ambas sejam vermelhas, ou ambas brancas, ou vermelho e branca (não importando a ordem).

E) a segunda seja não-azul

F) a primeira seja laranja.

G) ao menos uma seja azul

Questão 8 – Um lote de 20 artigos é avaliado a partir da inspeção ao acaso de 4 artigos extraídos individualmente do lote. Se um artigo for defeituoso o lote é rejeitado. Se o lote possui 10% dos artigos com defeito, calcule a probabilidade dele ser rejeitado quando:

A) as verificações são feitas com reposição

B) as verificações são feitas sem reposição

Questão 9 – Em uma caixa existem 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. São retiradas três bolas sucessivamente. Qual é a probabilidade de se retirar a seqüência vermelho-branca-azul quando:

A) há reposição das bolas?

B) não há reposição das bolas?

Questão 10 – Em uma cidade, cerca de 20% dos habitantes são alérgicos. Estima-se ainda que 50% dos alérgicos praticam atividades físicas, enquanto 40% dos não-alérgicos praticam atividades físicas. Se um indivíduo é escolhido ao acaso, calcule a probabilidade dele:

A) não praticar atividades físicas.

B) ser alérgico sabendo que ele não pratica atividades físicas.

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Questão 11 – Dois armários guardam pares de sapatos masculinos e femininos. No armário da esquerda, estão guardados 3 pares femininos e 1 masculino. No armário da direita, estão guardados 2 pares femininos e 3 masculinos. Abre-se um armário ao acaso e pega-se um par de sapatos. Qual a probabilidade de:

A) encontrar um par feminino?

B) encontrar um par feminino sabendo que o armário aberto foi o 1?

C) encontrar um par masculino, sabendo que o armário aberto foi o 2?

Questão 12 – Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo pontos aleatórios para perfurar um poço. Se em três tentativas não achar água, ela desiste. Admita que a probabilidade de perfurar um poço e encontrar água é de 0,7. Calcule a Probabilidade de:

A) encontrar água na segunda tentativa.

B) encontrar água em até duas tentativas

C) de encontrar água.

Questão 13 – Seja o experimento aleatório de jogar uma moeda três vezes e observar a seqüência de caras. Sejam os eventos A1 “cara no primeiro lançamento”, A2 “cara no segundo lançamento”, A3 “cara no primeiro lançamento”. Os eventos A1, A2 e A3 são independentes? Os eventos são independentes aos pares? Os eventos A1, A2 e A3 são completamente independentes?

Questão 14 – Seja o experimento aleatório de jogar uma moeda três vezes e observar a seqüência de caras. Sejam os eventos , e . Os eventos A1, A2 e A3 são independentes? Os eventos são independentes aos pares? Os eventos A1, A2 e A3 são completamente independentes?

Questão 15 – Uma fábrica de televisores compra 1/4 dos transistores que necessita de um fornecedor 1 que garante uma confiabilidade de 0,8 ao seu material (probabilidade do componente não ter defeito). O restante dos transistores é comprado aos fornecedores 2 e 3, na mesma proporção, sendo que um garante confiabilidade de 0,9 e o outro de 0,7. Seleciona-se ao acaso um transistor que está na fábrica:

A) qual é a sua confiabilidade?

B) se ele está com defeito, qual é o provável fornecedor?

Respostas:

Questão 1 – (a) 5040 (b) 720 (c) 240

Questão 2 – (a) 8400 (b) 2520 (c) 32805 e 11664

Questão 3 – (a) 120 (b) 2520

Questão 4 – Exp. A: S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, E = {3,4,5,6}; Exp. B: S = {{1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,1}, {2,2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,1}, {3,2}, {3,3}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,1}, {4,2}, {4,3}, {4,4}, {4,5}, {4,5}, {5,1}, {5,2}, {5,3}, {5,4}, {5,5}, {5,6},

{6,1}, {6,2}, {6,3}, {6,4}, {6,5}, {6,6}}, E = {{1,1}, {2,1}, {1,2}}; Exp. C: ,

E = {CC}; Exp. D: , E = ; Exp. F:

, E = S = {1C,2C}; Exp. G: S = {0, 1, 2, 3, ...}, E = {0};

Questão 5 – (a) 5/18 (b) 11/36 (c) 1/36

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Questão 6 – (a) 1/3 (b) 3/5 (c) 11/15 (d) 2/5

Questão 7 – (a) 4/25 (b) 4/75 (c) 16/25 (d) 64/225

(e) 11/15 (f) 1/5 (g) 104/225

Questão 8 – (a) 0,00486 (b) 3/95

Questão 9 – (a) 8/225 (b) 4/91

Questão 10 – (a) 0,58 (b) 0,172

Questão 11 – (a) 0,675 (b) 0,75 (c) 0,4

Questão 12 – (a) 0,21 (b) 0,91 (c) 0,973

Questão 13 – A1 e A2 independentes; A1 e A3 independentes; A3 e A2 independentes; A1, A2 e A2 independentes; portanto A1, A2 e A2 são complemente independentes.

Questão 14 – A1 e A2 independentes; A1 e A3 dependentes; A3 e A2 independentes; A1, A2 e A2 independentes; portanto A1, A2 e A2 não são complemente independentes.

Questão 15 – (a) 0,8 (b) P(fornecedor1|falha) = 0,25; P(fornecedor2|falha) = 0,1875, P(fornecedor3|falha) = 0,5625, portanto é mais provável que o transistor venha do fornecedor3.

Vamos Revisar?

Neste capítulo aprendemos os conceitos básicos de probabilidade. Primeiro fizemos uma revisão sobre teoria dos conjuntos e análise combinatória. Então definimos os conceitos de experimento aleatório, evento e espaço amostral, para então apresentamos o conceito de probabilidade visto nas suas três formas: a priori, a posteriori e axiomática. Você deve lembrar antes de tudo, que probabilidade de um evento A é um número real tal que, 0 < P(A) < 1. Abordamos também experimentos aleatórios mais complexos que podem ser divididos em partes, e mostramos como calcular a probabilidade de uma seqüência de eventos relacionados entre si através da probabilidade condicional. Definimos ainda o conceito de independência de eventos. Finalizamos apresentando o Teorema de Bayes – uma equação simples que traz consigo todos os conhecimentos abordados durante este capítulo.

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Capítulo 2

Assuntos

» Variáveis Aleatórias;

» Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas;

» Densidade de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas;

» Função Distribuição de Probabilidade Acumulada;

» Esperança de Variáveis Aleatórias.

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Capítulo 2 – Variáveis Aleatórias

Vamos conversar sobre o assunto?

Quando realizamos ou queremos descrever um experimento aleatório, em geral, o fazemos através de uma quantificação numérica. Suponha que estejamos interessados em estudar a proporção de meninos e meninas que nascem em uma dada maternidade. A variável “sexo do bebê” é aleatória, podendo assumir “masculino” ou “feminino”. Observe que “proporção dos nascidos por semana na maternidade que são meninas” é uma variável aleatória quantitativa pois pode assumir valores numéricos diferentes a cada semana. Quando nos deparamos com variáveis aleatórias que podem ser quantificadas numericamente, podemos extrair informações à respeito do comportamento do experimento aleatório na qual ela faz parte. Por esse motivo, nós precisamos estudar os diferentes tipos de variáveis aleatórias para assim entender as propriedades estatísticas que elas trazem consigo.

2.1. Variáveis Aleatórias

A forma mais adequada de descrever um experimento aleatório, é feita através da escolha de uma variável numérica quantitativa, chamada de variável aleatória. Para entender melhor o conceito de variável aleatória, vamos apresentar alguns exemplos antes de definirmos formalmente seu conceito.

Exemplo 1: lançar uma moeda duas vezes e observar o número de vezes que a mesma cai com a face “coroa” para cima. A variável aleatória “X” representa o número de vezes que a moeda cai com a face “coroa” para cima. A Figura 1 mostra o espaço amostral S que contem todos os eventos do experimento. RX representa o conjunto de todos os possíveis valores que a variável aleatória “X” pode assumir ou seja, RX = {0, 1, 2}. Observe que X será uma variável enumerável e finita devido a RX.

Figura 1 – S é o espaço amostral do experimento aleatório lançar uma moeda duas vezes e observar a face virada para cima (C representa cara e K coroa). Seja X a variável aleatória que

denota o número de vezes que face “coroa” ficou voltada para cima neste experimento, RX é o conjunto de valores que a variável aleatória X pode assumir.

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Exemplo 2: número de e-mails que chegam na sua caixa de entradas toda manhã. A variável aleatória X poderá assumir valores RX = {0, 1, 2, ..., n}. Observe que X é enumerável e finita devido a RX.

Exemplo 3: número de acessos a um sítio de busca, em um dia. A variável aleatória X poderá assumir valores RX = {0, 1, 2, ...}. Como RX é enumerável e infinito, X também será enumerável e infinito.

Exemplo 4: tempo de vida de uma lâmpada. A variável aleatória X será contínua pois os elementos de RX são continuos.

Exemplo 5: observar a taxa de transmissão de dados de um servidor em dado instante. A variável aleatória X será contínua pois RX é continua. RX = {x ∈ RX : x < xmax}, onde xmax é a capacidade máxima de transmissão que o servidor consegue trabalhar.

Podemos agora definir o conceito de variável aleatória. Seja um experimento aleatório com espaço amostral S e um evento E de S, uma variável aleatória X é uma função definida sobre este espaço amostral S, de forma a assumir valores numéricos, ou seja, X = X(E).

Um fato muito importante, mas que muitas vezes torna-se confuso é a questão da notação. Utilizamos uma letra maiúscula para denominar a varíavel em si, enquanto a mesma letra minúscula representa um valor numérico que a variável pode assumir. Por exemplo seja X a variável aleatória que denota a altura de uma pessoa, então x = 1,75 m é um possivel valor que X pode assumir.

Os Exemplos 1, 2 e 3 motram situações em que a variável aleatória X assume valores discretos (pois X pertence a um conjunto enumerável) portanto X é discreta, enquanto que nos Exemplos 4 e 5 X é contínua pois assume valores contínuos. Apresentaremos a seguir, de forma separada, as distibuições de probabilidade discretas e contínuas.

2.2. Distribuição de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas

Quando associamos uma variável aleatória X a um experimento aleatório, desejamos conhecer não apenas os valores possíveis que essa variável pode assumir, mas também qual a probabilidade da sua ocorrência. Voltemos ao Exemplo 1 da seção anterior. Se X representa o número de vezes que a face “coroa” fica voltada para cima, sabemos que X pode assumir valores 0, 1 ou 2. Mas desejamos também saber quais as probabilidades de ocorrência de cada um desses valores.

Portanto, quando estamos tratando de variáveis aleatórias discretas, podemos descrevê-las através de uma Tabela, associando os valores que X pode assumir, com sua respectiva probabilidade. Vejamos como montar esta tabela com um exemplo.

Exemplo 6: lançamos dois dados e observamos a soma dos valores dos lançamentos. A tabela abaixo, relaciona os valores que X pode assumir aos eventos de S e as probabilidade de ocorrência de X.

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Valor de X Eventos de S Probabilidade

2 (1,1) 1/36

3 (2,1), (1,2) 2/36

4 (3,1), (1,3), (2,2) 3/36

5 (4,1), (1,4), (3,2), (2,3) 4/36

6 (5,1), (1,5), (4,2), (2,4), (3,3) 5/36

7 (6,1), (1,6), (5,2), (2,5), (4,3), (3,4) 6/36

8 (6,2), (2,6), (5,3), (3,5), (4,4) 5/36

9 (6,3), (3,6), (5,4), (4,5) 4/36

10 (6,4), (4,6), (5,5) 3/36

11 (6,5), (5,6) 2/36

12 (6,6) 1/36

Então, a Probabilidade de que a soma dos dados seja 3 será de P(X = 3) = P((2,1)) + P((1,2)) = 1/36 + 1/36 = 2/36. Graficamente podemos representar a tabela acima como:

Figura 2 – Gráfico da Distribuição de Probabilidade da variável aleatória discreta X, construída a partir dos dados da tabela do Exemplo 6.

Em geral assumimos a seguinte notação para variáveis discretas: dado um valor xi que a variável X pode assumir, então P(X=xi) = pX(xi). Observe então que as seguintes relações são sempre válidas:

pX(xi) > 0

30


Aprenda Praticando

Exemplo 1: Em um experimento de lançamento de 3 moedas, deseja-se estudar a quantidade de vezes que a face “cara” (C) fica voltada para cima. Construa uma Tabela que relacione esta variável com os eventos do experimento aleatório e as probabilidades associadas. Calcule ainda a probabilidade de que o número de moedas com a face “cara” seja pelo menos 2 e construa o gráfico da distribuição de probabilidade.

Valor de X Eventos de S pX(x)

0 KKK 1/8

1 CKK, KCK, KKC 3/8

2 CCK, CKC, KCC 3/8

3 CCC 1/8

P(X > 2) = pX(X > 2) = pX(2) + pX(3) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = ½.

Exemplo 2: Suponha que a variável aleatória discreta X descreva o número de e-mails que chegam na caixa de entrada de uma conta toda manhã. Suponha ainda que X possua a seguinte distribuição de probabilidade: px (x) = e– λ λx/x! onde λ = 2 e x = 0, 1, 2, 3, ... Construa uma tabela e o gráfico de distribuição de probabilidade. Calcule:

a) a probabilidade de que apenas um e-mail chegue em um dado dia.

b) a probabilidade de que dois ou mais e-mails cheguem num dado dia.

X px(x) = e–λλx/x! X px(x) = e–λλx/x!

0 0,1353 4 0,0902

1 0,2707 5 0,0361

2 0,2707 6 0,0120

3 0,1804 7 0,0034

31


px(X = 1) = px(1) = 0,2707

px(X > 2) = 1 - px(X < 2) = 1 - (px(0) + px(1)) = 1 - 0,1353 - 0,2707 = 0,5940

Exemplo 3: Suponha que um dado seja lançado quatro vezes, e deseja-se contar o número de vezes que a face 4 ficou voltada para cima. Construa uma tabela e um gráfico da distribuição de probabilidade. Qual é a probabilidade que a face 4 apareça ao menos uma vez?

Valor de X Eventos de S px(x)

0 1 × (5/6)4 = 0,4823

1 4 × (1/6) × (5/6)3 = 0,3858

2 6 × (1/6)2 × (5/6)2 = 0,1157

3 4 × (1/6)3 × (5/6)1 = 0,0154

4 444 1 × (1/6)4 = 0,0008

px (X > 1) = 1 - px (X = 0) = 1 - px (0) = 1- 0,4823 0,5173

32


2.3. Densidade de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas

As variáveis aleatórias contínuas se originam de experimentos aleatórios contínuos como o tempo de vida de uma lâmpada, o fluxo de informação que trafega em uma rede, ou a vazão de água em uma hidroelétrica. No caso discreto, utilizamos uma tabela que relaciona os valores que a variável X pode assumir com as respectivas freqüências (probabilidade) de ocorrência de X. No caso contínuo, esta tabela é substituída por uma função contínua, chamada de função densidade ou densidade de probabilidade.

Como os valores que X pode assumir são contínuos, a probabilidade que X assuma um valor específico, X = x0, por exemplo, é nula. O cálculo da probabilidade sempre ocorrerá sobre um intervalo, de forma que iremos calcular a probabilidade de a < X < b,

onde f(x) é a função de densidade de probabilidade. Podemos observar que p(a < X < b) = p(a < X < b) = p(a < X < b) = p(a < X < b) e que

.

Para que f(x) possa ser considerada uma função densidade de probabilidade, ela deve possuir as seguintes propriedades:

f(x) > 0 ∀ x.

f (x) deve ser contínua por partes.

Aprenda Praticando

Exemplo 1: seja a função . Esta função pode ser uma

função densidade probabilidade? Calcule a P(1/2 < x < 1) e P(x > 1) e faça um gráfico hachurado destas probabilidades.

Para responder a pergunta devemos satisfazer as três propriedades. A primeira e a terceira já são satisfeitas pois f(x) > 0 ∀ x e f(x) é contínua sobre todo o intervalo Real,

portanto ela é contínua por partes. Devemos calcular .

Assim,

,

portanto, f(x) satisfaz todas as condições para ser uma função densidade de probabilidade.

33


Podemos observar as áreas hachuradas abaixo da curva da função para os casos 1/2 < x < 1 (gráfico da esquerda) e x > 1 (gráfico da direita) são iguais as probabilidades 0,2325 e 0,1353 calculadas anteriormente. A área total abaixo da curva, ou seja P(x>0), é igual a 1.

Exemplo 2: Seja a função:

Mostre que ela pode ser considerada uma função distribuição de probabilidade. Calcule as probabilidades de X < 2 e de 1,5 < X < 2,5, exibindo a área que representa cada probabilidade, sob a curva.

Veja que f(x) > 0 ∀ x e f(x) é contínua por partes sobre todo o intervalo Real, satisfazendo assim duas propriedades das três necessárias. Por fim, precisamos calcular

.

Graficamente, podemos observar as regiões hachuradas correspondentes a X < 2 (à esquerda) e de 1,5 < X < 2,5(à direita).

34


2.4. Função Distribuição de Probabilidade Acumulada

A Função Distribuição de Probabilidade Acumulada, ou Função Acumulada é representada por F(x). Dado uma variável aleatória X, então a probabilidade do evento X< x ocorrer será:

P (X < x) = F(x)

Quando a variável aleatória é contínua, F(x) representa a integral da função de densidade de probabilidade f(x) até o valor x, ou seja:

Para o caso em que X é discreta, F(x) representa o somatório das freqüências p(xi) tal que xi < x, ou seja:

Toda Função Acumulada possui as seguintes propriedades:

0 < F(x) < 1

F(x) é sempre crescente, ou seja, se x2 > x1, então F(x2) > F(x1) ∀ x1 e x2. F(x) é contínua.

Aprenda Praticando

Vamos utilizar os exemplos apresentados nas seções de variáveis aleatórias discretas e contínuas para entender o comportamento de suas respectivas funções de Distribuição Acumuladas.

Exemplo 1 – Dois dados são lançados e deseja-se observar a soma das faces dos mesmos. A Tabela a seguir traz os mesmos valores da distribuição discreta de probabilidade, com uma coluna a mais com os valores de F(x). Observe, por exemplo, que F(4) = P (x < 4) = p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4), desse modo F (4) = 6/36.

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Valor de X Eventos de S p(x) F(x)

2 (1,1) 1/36 1/36

3 (2,1), (1,2) 2/36 3/36

4 (3,1), (1,3), (2,2) 3/36 6/36

5 (4,1), (1,4), (3,2), (2,3) 4/36 10/36

6 (5,1), (1,5), (4,2), (2,4), (3,3) 5/36 15/36

7 (6,1), (1,6), (5,2), (2,5), (4,3), (3,4) 6/36 21/36

8 (6,2), (2,6), (5,3), (3,5), (4,4) 5/36 26/36

9 (6,3), (3,6), (5,4), (4,5) 4/36 30/36

10 (6,4), (4,6), (5,5) 3/36 33/36

11 (6,5), (5,6) 2/36 35/36

12 (6,6) 1/36 36/36

Graficamente, a Distribuição de Probabilidade e sua respectiva Função Distribuição Acumulada podem ser vistas na figura abaixo.

Exemplo 2 – X é a variável aleatória discreta que descreve o número de e-mails que chegam na caixa de entrada de uma conta toda manhã. Suponha ainda que X possua a seguinte distribuição de probabilidade: px(x) = e-λλx/x! onde λ = 2 e x = 0, 1, 2, 3, ... A distribuição de probabilidade, juntamente com a função de distribuição acumulada, estão na tabela abaixo.

X p(x) F(x) X p(x) F(x)

0 0,1353 0,1353 4 0,0902 0,9473

1 0,2707 0,4060 5 0,0361 0,9834

2 0,2707 0,6767 6 0,0120 0,9954

3 0,1804 0,8571 7 0,0034 0,9988

Os gráficos da distribuição de probabilidade e de sua respectiva função acumulada podem ser vistos a seguir.

36


Exemplo 3 – Seja uma variável aleatória contínua X, que possui a seguinte

distribuição de probabilidade . Sua função acumulada será dada por:

Graficamente, podemos observar o comportamento de f(x) e F(x) nas figuras a seguir. Os gráficos superiores esquerdo e direito, mostram respectivamente a função densidade de probabilidade f(x) e a função acumulada F(x). A área da região hachurada do gráfico inferior esquerdo vale 0,865 mesmo valor do ponto em destaque do gráfico inferior direito. Na verdade, os valores que F(x) pode assumir representam os valores das áreas abaixo da curva de f(x), medidas sempre a partir da origem, por exemplo, F(1,5) é igual a área abaixo de f(x) no intervalo de x = -∞ a x = 1,5 (como f(x) = 0 para x < 0, então na prática começamos a contar sempre de x = 0 em diante).

37


Exemplo 4 – Seja uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de

probabilidade é contínua por partes, da forma

Então a função distribuição acumulada será a integral de f(x) por partes, de forma que:

Portanto a função distribuição acumulada F(x) será:

38


2.5. Esperança de Variáveis Aleatórias

Em muitas situações, é desejável utilizarmos características descritivas da variável aleatória X que estamos interessados. Apresentamos então o conceito da função esperança, ou simplesmente esperança designado por E[ ].

Vamos mostrar primeiro o caso mais geral onde a variável aleatória H é uma função da variável aleatória X, ou seja H = H(X). Então a esperança de H(X) será dada por:

no caso em que H é discreta

no caso em que H é continua

Devemos entender E[H(X)] como o valor esperado de H(X) , ou o valor mais provável de H(X). Como H(X) é uma função genérica qualquer, iremos apresentar a seguir as situações mais comuns utilizadas na estatística descritiva: H(X) = X e H(X) = (X – E[X])2.

2.5.1. Caso em que H(X) = X

E[X] é chamada de primeiro momento ou esperança de X e representa o valor mais provável que a variável deve assumir. Se X for uma variável aleatória discreta, cujos eventos xi do espaço amostral S possuem probabilidade de ocorrência de p(xi), a esperança de X, será dado por:

Se o espaço amostral S for composto por eventos com frequência de

ocorrência , então o valor médio de X será , que coincide com

E[X]. Então podemos concluir que a esperança de X é igual ao valor médio de X, E[X] = μ. Esta conclusão deve valer também para o caso de variáveis contínuas, apresentadas no parágrafo a seguir.

Quando X for uma variável aleatória continua, com função densidade de probabilidade f(x), a esperança de X será dada por:

Se X e Y forem variáveis aleatórias (ambas discretas ou ambas contínuas) do espaço amostral S, então as propriedades de linearidade são válidas:

39


onde c é uma constante. Uma decorrência direta destas propriedades é que:

E[X1 + X2 + ... + Xn] = E[X1] + E [X2] + ... + E [Xn]

onde X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias do espaço amostral S.

2.5.2. Caso em que H(X) = (X-E[X])2

A segunda variável muito utilizada para descrever estatisticamente uma variável aleatória X é chamada de Variância, identificada como V[X], Var[X] ou σ2. A Variância é calculada como a esperança da seguinte equação:

Var[X] = E[(X - E[X])2] = E[(X - μ)2] = σ2

Observe que:

Var[X] = E[(X - E[X])2] = E[X2 - 2XE [X] + (E[X])2] =

E[X2] = - 2E[X] E[X] + (E[X])2 = E[X2] - (E[X])2

Quando X é uma variável aleatória discreta, tem-se:

Var[X] = σ2 = E[(X - E[X])2] =

onde .

Por outro lado, quando X for uma variável aleatória contínua, a variância será:

onde .

Podemos verificar que:

Var[aX] = E[(aX - E[aX])2] = E[(aX - aE[X])2]

Var[aX] = a2 E[(X - E[X])2] = a2 Var[X]

onde a é uma constante.

Se X e Y forem variáveis aleatórias independentes, então:

Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] ou

Aprenda Praticando

Exemplo 1 – Voltemos ao exemplo do lançamento de três moedas, onde a variável aleatória discreta desejada é o número de vezes que a faca “cara” fica virada para cima (veja seção 1.2). A esperança de X, ou seja, o número médio de “caras” será dado por:

Então, espera-se que em média 1,5 caras fiquem voltadas com a faca para cima.

Exemplo 2: Em uma rifa, 100 bilhetes foram vendidos, cada um a R$ 2,00. O bilhete sorteado receberá um prêmio de R$ 150,00. Qual é a esperança do ganho?

40


Seja a variável aleatória X definida como o ganho, x1 =-2,00 com probabilidade p(x1) = 0,99 ou x2 = 150-2 = 148 com probabilidade p(x2) = 0,01

.

Assim, em média aquele que comprar a rifa irá perder R$ 0,50.

Exemplo 3: Um jogo de dados, o jogador ganha R$ 30,00 se o dado der 4, ganha R 60,00 se der 5, perde R$ 50,00 se der 6 ou 1, e não ganha nem perde se der outro resultado. Qual é a esperança do ganho?

Seja X a variável aleatória que representa o ganho, precisamos calcular E[X]. Para isso, vamos construir uma tabela com os valores possíveis de X e suas respectivas probabilidades.

Lances do dado 2, 3 4 5 1,6

X 0 60,00 30,00 -50,00

p(x) 2/6 1/6 1/6 2/6

Então, um jogador em média, não ganha dinheiro neste jogo e sim perde R$ 1,67.

Exemplo 4: Qual é o valor esperado da soma dos valores das faces num lance de dois dados?

Observe que este problema pode ser resolvido de duas formas. Uma delas é considerar que os lances dos dois dados conjuntamente e montar uma tabela de pares (xi,pi), como mostrado no Exemplo 6 da seção 1.2. Neste caso teremos que:

A outra forma é considerar o lançamento de cada dado como experimentos independentes Y e Z, de forma que:

Exemplo 5: Seja a função densidade de probabilidade , calcule E[X] e Var[X].

41


Exemplo 6: Calcule Var[X] do Exemplo 4.

Novamente, existe duas formas de se calcular Var[X]. Na primeira consideramos os dois dados de forma que:

Var[X] = σ2 = E[X2] - E[X]2 =

Se considerarmos os dados como experimentos independentes, então

Var[X] = Var[Y + Z] onde Var[Y] = = E[Y2] - E[Y]2 = Var[Z]

Var[Y] = 2,917 = Var[Z] Var[X] = Var[Y] + Var[Z] = 5,83

Atividades e Orientações de Estudos

Questão 1 – Determine a distribuição de probabilidade do número de meninas em famílias com três filhos, admitindo chances iguais de nascimento de meninos e meninas. Faça um gráfico da distribuição.

Questão 2 – Uma urna contem 5 bolas pretas e 3 bolas brancas. Duas bolas são extraídas sem reposição. Seja X o número de bolas pretas:

A) determine a distribuição de probabilidade de X.

B) faça um gráfico dessa distribuição

Questão 3 – Seja Z a variável aleatória que descreve a diferença entre o número de faces “cara” e “coroa” em um experimento com três moedas.

A) determine a distribuição de probabilidade de X.

B) faça um gráfico dessa distribuição.

Questão 4 – Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de

probabilidade . Calcule

A) o valor de c, para que f(x) possa ser uma considerada uma função de densidade de probabilidade.

B) P(X<1)

C) P(X > 2).

42


Questão 5 – Uma variável aleatória contínua possui a seguinte função densidade de

probabilidade . Calcule:

A) a constante c.

B) P(X<1)

C) P(X > 2).

D) a função distribuição acumulada

Questão 6 – Seja a distribuição acumulada da forma Calcule:

A) a função densidade de probabilidade f(x).

B) P(X > 2)

C) P(-3 < X < 4)

Questão 7 – Seja a distribuição acumulada da forma .

Se P(X=3) = 0 então determine:

A) a constante c.

B) a função densidade f(x).

C) P(X>1)

D) P(1 < X < 2)

Questão 8 – A demanda de um produto é de -2, -1, 0, +1,+ 2 por dia, com probabilidades 1/10, 1/10, 1/10, 2/5 e 3/10, respectivamente. Uma demanda -1, por exemplo, representa que o produto foi devolvido. Calcule a demanda esperada e sua variância.

Questão 9 – Considere a função .

A) Calcule k para que f(x) possa ser considerada uma função densidade de probabilidade.

B) Calcule o valor esperado e a variância de X.

C) A função de distribuição acumulada F(x).

Questão 10 – Seja a função de densidade de probabilidade . Calcule:

A) a função de distribuição acumulada

B) o valor esperado e a variância de X

C) ache o valor m, tal que P(X < m) = P(X > m), m é chamada de mediana.

Questão 11 – Seja X a variável aleatória discreta com função distribuição de probabilidade dada pela equação:

A) determine k.

B) calcule o valor esperado e a variância de X.

C) ache a função distribuição acumulada F(x).

43


Questão 12 – Seja uma variável aleatória X tal que x = -2, 1 ou 3 com probabilidades p(-2) = 1/3, p(1) = 1/6 e p(3) = ½. Calcule:

A) E[X]

B) E[2X+1]

C) E[X2 – 1]

Respostas:

Questão 1 – p(x=0) = 1/8, p(x = 1) = 3/8, p(x = 2) = 3/8, p(x = 3) = 1/8

Questão 2 – (a) p(x=0) = 3/28 p(x=1) = 15/28 p(x=2) = 10/28

Questão 3 –(a) p(x=-3) = 1/8 p(x=-1) = 3/8 p(x=1) = 3/8 p(x=3) = 1/8

Questão 4(–a) c = 1 (b) P(X < 1) = 1 – e–1 (c) P(X > 2) = e–2

Questão 5 – (a) 6/29 (b) 15/29 (c) 19/116

(d)

Questão 6 – (a) (b) e–4 (c) 1 – e–8

Questão 7 – (a) 1/27 (b)

(c) 26/27 (d) 1/9

Questão 8 – μ = 0,7, σ2 = 1,41.

Questão 9 – (a) k = 1/4 (b) m = 2 σ2 = 2/3

(c)

Questão 10 – (a) (b) μ = 2 σ2 = 1/2 (c)

Questão 11 – (a) 8/7 (b) μ = 11/7, σ2 = 26/49

(c)

Questão 12 :

(a) 1

(b) 3

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(c) 5

Vamos Revisar?

Neste capítulo aprendemos os conceitos básicos de variáveis aleatórias, que podem ser discretas ou contínuas. Para as variáveis aleatórias discretas, vimos que as probabilidades de ocorrência p(xi) para o evento xi, estão dispostos em tabelas

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Referências

DANTAS, Carlos A.B. Probabilidade: Um Curso Introdutório. 2ª. ed. São Paulo, EdUSP, 2000.

FELLER, William. Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações. São Paulo, Edgard Blücher, 1976.

HINES, W.W.; MONTGOMERY, D.C.; GOLDSMAN, D.M; BORROR, C.M. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4ª. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2006.

PAULINO, C.D. Exercícios de Probabilidade e Estatística. Lisboa, ESCOLAR, 2005.

SPIEGEL, Murray R. Probabilidade e Estatística. São Paulo, Makron Books, 1977.

BUSSAB, W., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica. Probabilidade e Inferência. Volume Único. São Paulo. Pearson, 2009.

SPIEGEL, MURRAY R. Estatística. Bookman, 2009.

RUNGER, C., HUBELE, F., MONTGOMERY, C. Estatística aplicada à engenharia. 2ª Edição. LTC, 2004.

BORNIA, C., BARBETTA, A., REIS, M. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática - 3ª Ed. 2010

TRIOLA, M. Introdução à Estatística. 10ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

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Conheça os Autores

Marco Antonio de Oliveira Domingues

O professor Marco Domingues é doutor em Ciência da Computação pelo Centro de Informática da UFPE, na área de inteligência computacional. Obteve o título de mestre em 2004, na área de redes de computadores no mesmo centro, atuou como engenheiro eletricista e também é graduado em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Amazonas. Trabalhou na UFPE em diversos projetos de pesquisa na área de redes móveis e atualmente é professor e coordenador do curso superior de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas no Instituto Federal de Pernambuco – IFPE.

Jeísa Pereira de Oliveira Domingues

A professora Jeísa defenderá a sua tese de doutorado em Ciência da Computação pelo Centro de Informática da UFPE, em março de 2011. Sua tese tem foco na área de redes de sensores e middleware. A professora Jeísa é graduada em Ciência da Computação pela Universidade Federal da Paraíba e obteve o título de mestre em 2004, na área de redes de computadores, também no Centro de Informática. Trabalhou como pesquisadora em diversos projetos de pesquisa na área de redes sensores e simulação e atualmente é professora no Departamento de Estatística e Informática na Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE.

estatística exploratóriapsb/ead/semana5/estatistica exploratoria - volume 2 v9.pdf · 4...

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