Estatística Descritiva

Tabela

s

Gráficos Números

x , s2,

s, mo,

Q1, Q2, Q3,

...etc.

1

3. Números

3.1. Medidas de posição (ou tendência )

3.2. Medidas de dispersão

Estatística Descritiva

2

3.1. Medidas de posição (ou medidas de tendência central)

a) Moda

b) Média

c) Separatrizes (Mediana, Quartis e percentis)

3

a) 1, 3, 5, 7, 8, 9

b) 1, 3, 5, 5, 5, 8, 8, 9

amodal

unimodalMo=5

Mo= ?

c) 0, 0, 1, 2, 4, 4, 5, 7, 9 bimodalMo= 0 e 4

Logo, um conjunto de dados pode ter

mais do que uma moda.

Valor que apresenta maior freqüência (que ocorre mais vezes) no

conjunto de dados (amostra).

a) Moda (Mo)

4

^

^

^

Exemplo 1

Variedade n. de talhões

CB40-13 12

CB41-76 40

CB46-47 4

IAC48-65 2

IAC51-205 6

IAC52-179 21

NA56-62 10

Total 95

Tabela 1. Variedades de cana-de-açúcar

cultivadas nas fazendas que

abastecem a usina A

Para variáveis qualitativas: é a classe ou categoria de maior frequência.

Mo= Variedade CB41-76

5

^

Exemplo 2

f

Diâmetro (cm)

10

20 30 40 50

20

40

30

Para dados quantitativos: o ponto médio da classe com maior frequência é

chamado de moda bruta.

MoX

106

^

Exemplo 3 = 25 cm^

Moda bruta: Mo

Mo= 10

1 3 5 72 4 6 8 90 10

No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre

tem utilidade como elemento representativo do

conjunto de dados.

7

^

Exemplo 4

Dentre as medidas de posição é considerada a mais importante.

b) Média

8

x

Média de uma população:

Média de uma amostra:

b.1) Aritmética simples;

b.2) Ponderada; e

b.3) Dados agrupados

Como calcular a média?

OBS: Pode-se também ter interesse na obtenção da média

associada a alguma outra variável.

Por exemplo, média por curso.

9

PROBLEMA: a média não é uma medida

adequada para a representação deste conjunto!

Suponha que uma empresa possui 5 funcionários. Seus salários mensais são:

R$ 400,00; R$ 545,00; R$ 610,00; R$475,00; R$5500,00.

média salarial: R$ 1506,00

Exemplo 1

b.1) Média Aritmética simples:

Definição: Se x1, ..., xn são os valores (distintos ou não) da variável X, a

média aritmética de X é dada por:

n

x

x

n

i

i 1 Somando-se todos os valores de

um conjunto e dividindo-se esta

soma pelo número de valores.

10

1) Limpar a memória:

2) Mudar para o módulo estatístico (SD):

3) Entrar com os dados

...

4) Pedir a função:

MODE

SHIFT CLR 3

M+número M+número

= =

SHIFT 1

Modelo Cassio fx-82MS

SHIFT 2

Calculadora, como usar?

11

Modelo Cassio fx-83WA

1) Limpar a memória:

2) Mudar para o módulo estatístico (SD):

3) Entrar com os dados

...

4) Pedir a função (ver capa!)

MODE

SHIFT Scl =

M+número M+número

Calculadora, como usar?

Ponto de equilíbrio

ou

Centro de gravidade

Pesos

Trave3210

Interpretação da média

1264,1

14

23

14

123...320x

ovos por folha

Seja X a variável n. de ovos por folha e os seguintes valores observados:

0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1

Exemplo 2

CUIDADO: A média

aritmética nem sempre

está no centro.

Seja X a variável número de ovos por folha e os seguintes valores observados:

0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 25

3210 7654 111098 1312 17161514 18 212019 2322 2524

Todos os valores, exceto um (25),

estão abaixo da média!

Inconveniente da média:

Ser muito sensível a valores extremos13

Exemplo 3

36,314

2523...320x

ovos por folha

Inconveniente da média:

Pode não ser uma medida de posição indicada quando a

distribuição dos dados é assimétrica, bimodal ou multimodal.

A média é melhor para medidas mais simétricas.14

b.2) Média aritmética ponderada:

15

Um professor resolve passar um

trabalho para ser feito em casa.

Suponha que a prova tenha peso 7,0 e o

trabalho tenha peso 3,0.

Tendo um aluno obtido nota 6,0 na

prova e 9,0 no trabalho, qual será a sua

média nesta disciplina?

9,60,10

0,69

0,30,7

)0,30,9()0,70,6(

px

Exemplo 4

Definição:

A média ponderada dos números x1, ..., xn, com pesos p1, ..., pn,

representada por , é dado por:px

n

i

i

n

i

ii

p

p

xp

x

1

1

N0 de TV´s

(xi)

No de residências

( fi )

xi ∙ fi

0 1 0

1 6 6

2 13 26

3 10 30

Total 30 62

30 residências de um certo bairro foram sorteadas e visitadas por um entrevistador que,

dentre outras questões, perguntou sobre o número de televisores em cada residência.

Interpretação:

Neste bairro cada residência tem

em média 2,1 televisores.

Tabela 2. n. de televisores por residência

16

Exemplo 5

Definição: A média de uma variável quantitativa discretas agrupados em

uma tabela de distribuição de frequências é dada:

k

i

i

k

i

ii

f

fx

x

1

1

sendo k o número de diferentes valores que a variável assume.

17

b.3) Média de dados agrupados em tabelas de distribuição de frequências

Soma dos produtos dos

valores da variável (x)

pelas respectivas

frequências (f) simples,

dividida pela soma das

frequências simples.

Salário

Mínimo

(X)

No de professores

(f)

Ponto médio

(m)m ∙ f

1 |— 3 14 2 28

3 |— 5 25 4 100

5 |— 7 18 6 108

7 |— 9 9 8 72

9 |— 11 4 10 40

Total 70 - 348

Tabela: Salário mínimo de professores do ensino fundamental da rede

privada de uma determinada cidade. Com os dados

agrupados em

classes, perde-se

informação sobre

cada observação

individual

Sempre que

possível devemos

trabalhar com os

dados originais.

Salários mínimos

18

Exemplo 6

Definição:A média de uma variável quantitativa contínua agrupada em classes

apresentada em uma tabela de distribuição de frequências é dada:

k

i

i

k

i

ii

f

fm

x

1

1

sendo k o número de classes e mi o ponto médio da i-ésima classe.

19

Estatística de ordem

Se x1, ..., xn são os valores (distintos ou não) da variável X.

Considere as observações ordenadas.

Denotaremos a menor observação por x(1), a segunda por x(2),

e assim por diante, obtendo-se:

x(1) x(2) ... x(n–1) x(n)

Que são chamadas de estatística de ordem.

20

21

c) Separatrizes

São medidas de posição que permitem calcularmos valores da variável

que dividem ou separam a distribuição em partes iguais. Temos quatro

tipos de separatrizes:

i) a mediana;

ii) os quartis;

iii) os decis;

iii) os percentis.

Definição (dados originais):

Seja n o tamanho da amostra. Se

onde x(i) é a observação que ocupa a i-ésima posição no conjunto de dados

colocados em ordem crescente ou decrescente.

c1) Mediana (MdX)

22

É o valor central de um conjunto de dados ordenados (crescente ou decrescente),

ou seja, é o valor que divide o conjunto em 2 partes iguais:

2

122

2

1

nn

X

nX

xx

Mdparén

xMdímparén

Md

50% são valores

superiores a esse valor

50% dos valores observados

são inferiores a Md

23

Exemplo 1:

Número de estacas de roseira enraizadas

por 5 estacas

Exemplo 2:

Número de estacas de roseira enraizadas

por 5 estacas

X={ 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0} Y={ 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0}

Dados ordenados: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2 Dados ordenados: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2

MdX = 0 MdY = (0 + 0)/2 = 0

Resumindo:

• Se o número de observações é ímpar: é o valor do meio.

• Se o número de observações é par: é média dos 2 valores centrais.

Calcular a média e a mediana dos conjuntos de dados a seguir:

a) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 32}

b) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 200}

c) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18}

ma = 18,25^

A mediana é pouco afetada

por valores extremos ou

discrepantes, ou seja, a

mediana é uma medida mais

robusta do que a média

aritmética.

Além disso, representa

melhor dados assimétricos.

24

Tarefa 1

1 ) Repira o Exercício 1

fazendo os cálculos

com a planilha do

Excel.

mb = 39,25^

mda = 16,5^

mc = 16,28571^ m̂dc = 15,0

mdb = 16,5^

Exemplo 1

a<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 32)

b<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 200)

c<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18)

sort(a); sort(b); sort(c)

mean(a); mean(b); mean(c)

median(a); median(b); median(c)

max(a); max(b); max(c)

min(a); min(b); min(c)

No software R:

Caso só tenhamos acesso aos dados agrupados em uma tabela de distribuição

de frequências em classes e não aos dados originais, podemos calcular a mediana

a partir de uma ogiva. Ou então:

Classe f fa fr (%) fra(%)

40,0 |— 50,0 8 8 16,0 16,0

50,0 |— 60,0 22 30 44,0 60,0

60,0 |— 70,0 8 38 16,0 76,0

70,0 |— 80,0 6 44 12,0 88,0

80,0 |— 90,0 5 49 10,0 98,0

90,0 |— 100,0 1 50 2,0 100,0

Total 50 - 100,0 -

Inicialmente

identifica-se o

retângulo que deve

conter a mediana.

25

0,44

0,160,16

0,12

0 ,10

0,02

%

40 50 60 70 80 90 100

Usando a fra(%) resulta que a

mediana pertence ao intervalo

[50; 60), uma vez que até o valor

60 acumulou-se 60% das

observações.

Com o uso de proporções, estabelece-se a seguinte igualdade:

73,5744,0

5060

34,0

50

X

X MdMd

44%

16%16%

12%

10%

2%

%

40 50 60 70 80 90 100 50 Md 60

44%

34% 10%

Dentro deste intervalo necessita-se de uma área de 34%, que é o que falta

para atingir o valor 50%.

26

Tarefa 2

Os dados a seguir mostram os resultados de 25 medidas de peso em kg

efetuados em pacientes que consultaram em um posto de saúde.

a) Determinar a média, mediana e moda da amostra.

63 73 70 64 77 72 79 76 62 69 73 75 65

71 67 74 75 69 61 71 73 67 72 70 62

27

b) Utilizando os mesmos dados, construa uma tabela de distribuição de

frequências para os dados acima, considerando 6 classes.

c) Em seguida, considere que você não tem mais acesso aos dados originais,

desta maneira, obtenha baseado na tabela de frequências: a média, mediana e

moda. Os valores são iguais? Porque isso ocorre?

28

Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, isto é, 25% dos

elementos deve estar em cada parte.

c.2) Quartis

em que:

Q1= 1o quartil, deixa 25% dos elementos;

Q2= 2o quartil, deixa 50% dos elementos (coincide com a mediana);

Q3= 3o quartil, deixa 75% dos elementos.

Q1 Q2 Q3

25% 50% 75%

Amostra ordenada

Tabela: Distribuição dos pesos dos pacientes

X f fr fac

61|– 64 4 0,16 0,16

64|– 67 2 0,08 0,24

67|– 70 4 0,16 0,40

70|– 73 6 0,24 0,64

73|– 76 6 0,24 0,88

76 |–| 79 3 0,12 1

Total 25 1

Q1 = 67,19 Q3 = 74,38

Determine o primeiro, segundo e terceiro quartil deste conjunto de dados,

além do P67.

Tarefa 3

Para dados agrupados em Tabelas de frequência

Q2 =? P67 =? 29

Como obter os quartis para dados não

agrupados em tabelas?

“Os métodos usados para calcular os quartis têm pequenas

diferenças”

(VIEIRA, 2012)

Apresentaremos apenas dois deles:30

Os dados:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 9, 10}

1) Q2 = ?

1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 9, 10

2) Q1 = ?

1, 2, 3, 4

3) Q3 = ?

5, 7, 9, 10

5

Q2 = 5

Q1 = (2+3)/2 = 2,5

2, 3

Q3 = (7+9)/2 = 8

a.1) Conjunto com número ímpar de dados a.2) Conjunto com número par de dados

Os dados:

X = {1, 2, 2, 5, 5, 7, 8, 10, 11, 11}

1) Q2 = ?

2) Q1 = ?

1, 2, 2, 5, 5

3) Q3 = ?

7, 8, 10, 11, 11

Q2 = (5+7)/2 = 6

Q1 = 2

Q3 = 10

1, 2, 2, 5, 5, 7, 8, 10, 11, 115, 7

2

107, 9

a) Método dos quartis

31

E agora?

Os dados a seguir mostram os resultados de 25 medidas de peso em kg

efetuados em pacientes que consultaram em um posto de saúde.

Como determinar o primeiro, segundo e terceiro quartil deste conjunto

de dados?

63 73 70 64 77 72 79 76 62 69 73 75 65

71 67 74 75 69 61 71 73 67 72 70 62

n=25

61 62 62 63 64 65 67 67 69 69 70 70 71

71 72 72 73 73 73 74 75 75 76 77 79

Ordenando os dados:

Q2 = n(13) = 71 Q1 = ?

Q3 = ?

Para dados não agrupados (dados originais)

32

33

Dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais.

c.3) Decis

34

Permitem dividir o conjunto de dados em cem partes iguais, isto é, 1% dos

elementos deve estar em cada parte.

c.4) Percentis

em que:

P1= 1º percentil, deixa 1% dos elementos abaixo dele;

P2= 2º percentil; deixa 2% dos elementos abaixo dele;

...

P25= 25º percentil, deixa 25% dos elementos abaixo dele (coincide com o Q1);

...

P50= 50º percentil, deixa 50% dos elementos abaixo dele(coincide com a Md);

...

P75= 75º percentil, deixa 75% dos elementos abaixo dele (coincide com o Q3);

...

P99= 99º percentil, deixa 99% dos elementos abaixo dele.

2

)1()(

100

npnp

p

xxP

)1](int[100 npp xP

n.p é inteiro:

n.p é não inteiro:

sendo:

x(i) é a observação que ocupa a i-ésima posição no conjunto de dados

colocados em ordem crescente ou decrescente;

0 < p < 1 ;

n o tamanho da amostra; e

int[.] é a função que arredonda um número para o inteiro mais próximo.

Definição: Se

O cálculo do percentil de ordem 100p (P100p) para dados não

agrupados em tabelas é feito baseado na seguinte regra:

35

b) Método do maior inteiro

a) Considere o conjunto de dados da Tabela 1. Obtenha o percentil que separa a produção

das 10% seringueiras mais produtivas das demais, utilize o método do maior inteiro.

10,2 10,2 10,3 10,6 10,8 11,0 11,6 11,8 11,9 12,0

20,3 20,3 21,9 22,0 22,2 22,4 22,8 23,3 23,5 23,8

14,0 14,9 15,2 15,3 15,3 15,4 15,8 16,0 16,2 16,3

24,2 24,5 24,6 24,9 25,1 25,5 26,0 26,3 26,8 28,1

16,9 17,7 18,1 18,3 18,4 18,7 19,6 19,8 19,9 20,0

12,4 12,6 12,6 12,8 12,8 13,0 13,1 13,2 13,4 13,5

Tabela 1. Dados de produção de borracha seca por sangria, por seringueira, em g, na área A

b) Calcule também: Q1, Q2, Q3, P2,5 e P97,5.

Respostas:

a) P90 = 25,0; b) P2,5 = 10,2 ; P97,5 = 26,8 36

Tarefa 4

No software R:

x<- c(10.2, 10.2, 10.3, 10.6, 10.8, 11.0, 11.6, 11.8, 11.9, 12.0,

20.3, 20.3, 21.9, 22.0, 22.2, 22.4, 22.8, 23.3, 23.5, 23.8,

14.0, 14.9, 15.2, 15.3, 15.3, 15.4, 15.8, 16.0, 16.2, 16.3,

24.2, 24.5, 24.6, 24.9, 25.1, 25.5, 26.0, 26.3, 26.8, 28.1,

16.9, 17.7, 18.1, 18.3, 18.4, 18.7, 19.6, 19.8, 19.9, 20.0,

12.4, 12.6, 12.6, 12.8, 12.8, 13.0, 13.1, 13.2, 13.4, 13.5)

sort(x)

Não esqueça

de ordenar

os dados!!!

Assim, para o cálculo da:

Moda: precisamos apenas da distribuição de frequências (contagem);

Mediana: necessitamos minimamente ordenar as realizações da variável;

Média: só pode ser calculada para variáveis quantitativas.

Daqui em diante, por este fato, iremos trabalhar com as

variáveis quantitativas, que permitem o uso de

operações aritméticas com seus valores.

Estas condições limitam bastante o cálculo para variáveis qualitativas:

• Para as nominais somente podemos trabalhar com a moda;

• Para as ordinais, além da moda, podemos usar também a mediana.

37

É possível calcular moda, média e media para TODOS os

tipos de variáveis?

38

Caracterização de uma

distribuição por meio das

medidas de posição(simetria e assimetria)

Quando uma distribuição é

simétrica, as três medidas coincidem

Assimétrica à direitaAssimétrica à esquerda

Quando os valores são diferentes a distribuição é assimétrica

Avaliação de assimetria por média, mediana e moda

freq.

39

Em distribuições

dispersas os valores dos

quartis e extremos ficam

mais afastados da

mediana.

(a) Menor dispersão do que em (b) (b) Maior dispersão do que em (a)

(c) Assimetria à direita (d) Assimetria à esquerda

Em distribuições

assimétricas, a distância

entre a Md e Q1 ou Min

é diferente da distância

entre Md e Q3 ou Max.

40

Avaliação de assimetria por mediana e quartis

Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica,

deveríamos ter:

a) Q2 – x(1) x(n) – Q2 , isto é, a dispersão inferior seja aproximadamente igual a

dispersão superior.

b) Q2 – Q1 Q3 – Q2 ;

c) Q1 – x(1) x(n) – Q3 ;

d) Distâncias entre : Md e Q1 ; e Md e Q3 devem ser menores do que distâncias

entre extremo (x(1)) e Q1 , e extremo (x(n)) e Q3 .

x(1) Q1 Q2 Q3 x(n)

50%

das

obs.

Chamada de distribuição normal ou

gaussiana

OBS: Os três primeiros itens são válidos

para qualquer que seja a distribuição

simétrica. Já o item d) é esperado para

distribuições aproximadamente normais.

41