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MATEMÁTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS: OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO,

MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO);

Conjunto dos Números Inteiros – Z

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o con-junto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}

- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é

sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Adição de Números Inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

Subtração de Números Inteiros

A subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas

tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a

uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença

subtraendo minuendo

Considere as seguintes situações:

1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?

Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3

2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) –

(+3) é o mesmo que (+5) + (–3).


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Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mes-mo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente al-guma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adi-ção onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indi-cado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal que

z x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

Divisão de Números Inteiros

Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:

40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:

(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)Logo: (–20) : (+5) = +4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efe-tuar a divisão exata de um número inteiro por outro número in-teiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quo-ciente é um número inteiro positivo.

- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quo-ciente é um número inteiro negativo.

- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.

- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.

1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um

número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de

zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números Inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produ-to de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

- Toda potência de base positiva é um número inteiro posi-tivo.

Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9


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- Toda potência de base negativa e expoente par é um núme-ro inteiro positivo.

Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64

- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.

Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:

Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1

Radiciação de Números Inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a ope-ração que resulta em outro número inteiro não negativo b que ele-vado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

9 = ±3mas isto está errado. O certo é:

9 = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a ope-ração que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.

(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.

(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.

(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Exercícios

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:

a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as infor-mações?

Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:

a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à pri-meira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?


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Respostas

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81

2) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270Portanto, o número inteiro é 270.

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 =

6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8

5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º,

0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?x= 99(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214x = 2214

3x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma

parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8Ao sub-trairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unida-des: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

Números Racionais – Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma nm ,

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.

Como podemos observar, números racionais podem ser obti-dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {nm : m e n em Z, n diferente de zero}


MATEMÁTICA

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional qp , tal que p não seja múltiplo

de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um nú-mero finito de algarismos. Decimais Exatos:

52 = 0,4

41 = 0,25

435 = 8,75

50153 = 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Deci-mais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

31 = 0,333...

221 = 0,04545...

66167

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional es-crito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 109

5,7 = 1057

0,76 = 10076

3,48 = 100348

0,005 = 1000

5= 200

1

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tan-to, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333

Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da se-gunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... 9x = 3 x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 93 .

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717... .

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99512 .

Exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .

Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... 990x = 1222 x

= 1222/990

Simplificando, obtemos x = 495611

, a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que repre-senta esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de – 23 é

23 . Indica-se

23

− = 23

Módulo de + 23 é

23 . Indica-se

23

+ = 23

Números Opostos: Dizemos que – 23

e 23

são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos –

23 e

23 ao ponto zero da reta

são iguais.


MATEMÁTICA

Soma (Adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números ra-cionais

ba e

dc , da mesma forma que a soma de frações, através de:

ba +

dc =

bdbcad +

Propriedades da Adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria ope-ração de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números ra-cionais b

ae

dc

, da mesma forma que o produto de frações, através de:

ba

x dc

= bdac

O produto dos números racionais a e b também pode ser in-dicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ba

em Q, q diferente de zero, existe q-1 =

ab em Q: q × q-1 = 1

ba x

ab

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números Racionais

A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números Racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fa-tores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 3

52

=

52

.

52

.

52

= 125

8

b) 3

21

− =

−

21

.

−

21

.

−

21

= 81

−

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

0

52

+ = 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

1

49

− =

49

−

- Toda potência com expoente negativo de um número racio-nal diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do ex-poente anterior.

2

53 −

− =

2

35

− =

925


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- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

3

32

=

32

.

32

.

32

= 278

- Toda potência com expoente par é um número positivo.2

51

− =

−

51

.

−

51

= 251

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um pro-duto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

2

52

.

3

52

=

532

52

52

52.

52.

52.

52.

52

=

=

+

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conser-vamos a base e subtraímos os expoentes.

32525

23

23

23.

23

23.

23.

23.

23.

23

23:

23

=

==

−

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multipli-camos os expoentes.

62322222232

21

21

21

21.

21.

21

21

=

=

=

=

+++

Radiciação de Números Racionais

Se um número representa um produto de dois ou mais fato-res iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2.

Exemplo 2

91

Representa o produto 31

. 31

ou2

31

.Logo,

31

é a raiz

quadrada de 91

.Indica-se 91 =

31

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 216,0 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o nú-mero zero ou um número racional positivo. Logo, os números ra-cionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número 9100

− não tem raiz quadrada em Q, pois tanto

310

− como

310

+ , quando elevados ao quadrado, dão 9

100 .

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjun-to dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 32

não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê

32

.

Exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:a)

247 –

+−−

−

43

67

81

125

b)

+

−

+

25

121:

163

–

−

27

49

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potên-

cia.

3. Escreva o quociente 412

2516:

2516

−

− como uma só

potência.

4. Qual é o valor da expressão

+

−−−

43:

21

2413 3

?

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu

com 16 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com 3

4 das

figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contri-

buíram?


MATEMÁTICA

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14 do livro e no dia seguinte leu 1

6 do livro. Então calcule:

a) A fração do livro que ela já leu.

b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1

3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59

da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13

desses apartamentos foi vendido e 16 foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?

b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:

a) 2,08

b) 1,4

c) 0,017

d) 32,17

Respostas

1) Solução:

a) 247 -

+−−

−

43

67

81

125 =

247

-

+−

−

−

12914

24310

247

= – 724 + 5

12 = 724−

7+1024 =

724 −

1724 = −

1024 = −

512

b)

+

−

+

25

121:

163 -

−

27

49

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

10

32

+


MATEMÁTICA

3) Solução:

8

2516

−

4) Solução:

+

−−−

43:

21

2413 3

−1324 −

18 :

34 = −

1324 +

424 =

−13 + 424 = −

924 = −

38

5) Resposta “ 1112

”.

Solução:

16

+34 =

212 +

912 =

1112

6) Solução:

a) 14 + 1

6 = 312 + 2

12 = 512

b) 1 − 5

12 =1212 −

512 =

712

7) Respostas “7

15 ”.Solução:

45 −

13 = 12

15 −5

15 = 715

8) Resposta “49 ”.

Solução: 1−

59

=99−

59

=49

9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26 + 1

6 = 36 = 1

2

b) 1− 12 =

22−

12 =

12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100 =

5225

b) 1,4 → 1410 = 7

5

c) 0,017 → 17

1000

d) 32,17 → 3217100

EXPRESSÕES NUMÉRICAS;

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúme-ros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de difi-culdade e abordagem dos conteúdos.

Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os proble-mas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;- O triplo de um número adicionado ao dobro do número:

3x + 2x;- A metade da soma de um número mais 15:

𝑥2 + 15;

- A quarta parte de um número: 𝑥4 .

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x2º número: x + 23º número: x + 4

(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução:

x + x + 2 + x + 4 = 963x = 96 – 4 – 23x = 96 – 63x = 90

x = 903

x = 30

1º número: x = 302º número: x + 2 = 30 + 2 = 323º número: x + 4 = 30 + 4 = 34

Os números são 30, 32 e 34.

Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadra-do de 5. Calcule-o:


MATEMÁTICA

Resolução:3x + 4 = 52

3x = 25 – 43x = 21

x = 213

x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:AtualmenteFilho: xPai: 4xFuturamenteFilho: x + 5Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 . (x + 5)4x + 5 = 3x + 154x – 3x = 15 – 5X = 10

Pai: 4x = 4 . 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 205x = 20

x = 205

x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: GCoelhos: CG + C = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:2G + 4C = 100

Sistema de equaçõesIsolando C na 1ª equação:G + C = 35C = 35 – G

Substituindo C na 2ª equação:2G + 4C = 1002G + 4 . (35 – G) = 1002G + 140 – 4G = 1002G – 4G = 100 – 140- 2G = - 40

G = 402

G = 20

Calculando CC = 35 – GC = 35 – 20C = 15

Exercícios

1. A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um, se a idade de Arthur é

52 da idade de Baltazar?

2. A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é

59 da

idade de Maria?

3. Verificou-se que numa feira 95

dos feirantes são de origem japonesa e

52 do resto são de origem portuguesa. O total de fei-

rantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes dessa feira?

4. Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O primeiro menino recebe

73 da quantidade e o segundo, metade do

resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards ha-via para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino?

5. Num dia, uma pessoa lê os 53

de um livro. No dia seguinte, lê os 4

3 do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais. Quantas

páginas têm o livro?

6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. As medalhas de ouro totalizam

53 das medalhas da caixa. O núme-

ro de medalhas de prata é 30. O total de medalhas de bronze é 41

do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa?


MATEMÁTICA

7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa, percorrem-se os

72 da distância total. Na segunda, os 5

3 do resto.

Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram percor-ridos 60 quilômetros.

Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa?

8. A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é

43 da idade

de Gabriela?

9. Num dia, um pintor pinta 52 de um muro. No dia seguin-

te, pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou 97 do muro

todo. Quantos metros têm o muro?

10. Um aluno escreve 83 do total de páginas de seu caderno

com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa maneira, 9

7 do total de páginas do caderno. Quantas páginas pos-suem o caderno?

Respostas

1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”.Solução:A + B = 42 anosA = 2

5 .𝐵

(substituindo a letra “A” pelo valor ) + B = 42 (mmc: 5)2B + 5B = 2107B = 210

B = 2107

B = 30 A = 12

2) Resposta “Maria 25; José 45”.Solução:J – M = 20 (substituindo a letra “J” por

95 𝑀)

J = 95 𝑀

95 M = 20 (mmc:1;5)

9M – 5M = 100 4M = 100

M = 1004

M = 25 e J = 45

3) Resposta “135”.Solução:F = feirantes (substituindo a letra “J” por 5/9.F)

J = 5/9.F 59𝐹 + 2

5 . 𝐹 − 59𝐹 = 99

P = 25 . (𝐹.

59𝐹) 5

9𝐹 +25 .

9𝐹 − 5𝐹9 = 99

J + P = 99 59𝐹 +

25 .

4𝐹9 = 99

59𝐹 + 8𝐹

45 = 99 (mmc:9;45)

2545𝐹 +

8𝐹45 =

445545

33F = 4455

F = 4455

33 F = 135

4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”.Solução: X = cards (substituindo o “1°” e “2º” pelos valores respectivos)

1º = 37

. 𝑥 37 𝑥 + 2𝑥

7 = 250 (mmc: 1;7)

2º = 3x + 2x = 1750

1º + 2º = 250 5x = 1750 X = 1750

5

X = 350 cards.-------------------------------------------------------------------------

1º = 37

. 350 = 150

2º = 27

. 350 = 100

3º = 350 – 250 = 100

5) Resposta “200”.Solução: X = livro

1 dia = 35𝑥

1 dia + 2 dia + 3 dia = x

2 dia = ¾ (x – 35𝑥 )

35𝑥 + ¾ (x –

35𝑥 ) + 20 = x

3 dia = 20 páginas 35𝑥

+ ¾ ( 5𝑥 − 3𝑥5

)+ 20 = x

35𝑥 + ¾ .

2𝑥5 + 20 = x

35𝑥 +

6𝑥20

+ 20 = x (mmc:5;20)

12x + 6x + 400 = 20x 20x – 18x = 400 2x = 400

X = 400

2 = 200 páginas


MATEMÁTICA

6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”.Solução: O + P + B = T

T = total 3

5𝑇 + 30 + 1

4𝑇 = T (mmc:5;4)

O = 3

5𝑇 12𝑡20

+ 5𝑡20 +

60020

= 20𝑡20

P = 30 17T + 600 = 20T

B = 1

4𝑇 20T – 17T = 600

3T = 600

T = 6003

= 200 medalhas

----------------------------------------------------------------------

O = 35𝑇

= 35 . 200 = 120

B = 14𝑇

= ¼ . 200 = 50

7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”.Solução:T = total

1ª = 2

7𝑇

2ª = 35 𝑇 −

27𝑇 =

35 .

7𝑇 − 2𝑇7 =

35 .

5𝑇7 =

3𝑇7

3ª =

1ª + 2ª + 3ª = 60

2𝑇7 + 3𝑇7 + 2𝑇14 = 60 (mmc:7;14)

4T + 6T + 2T = 84012T = 840

T = 84012

T = 70

4ª = 70 – 60 = 10

8) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”.Solução:

L + G = 49 anos (substitui a letra “L” por 34𝐺

)

L = 34𝐺

34𝐺 + G = 49 (mmc:1;4)

3G + 4G = 196 7G = 196

G = 1967

= 28 anos L = 49 – 28 = 21 anos

9) Resposta “135 metros”.Solução: M = muro

1 dia = 25𝑀

2 dia = 51 metros25𝑀 + 51 =

79𝑀 (mmc:5;9)

18𝑀45 + 2295

45 = 35𝑀4518M + 2295 = 35M35M – 18M = 229517M = 2295

M = 229517

M = 135 metros.

10) Resposta “144 páginas”.Solução:

P = total 38𝑃 + 58 =

79𝑃 (mmc:8;9)

Azul = 38𝑃

27P + 4176 = 56P

Vermelha = 58 56P – 27P = 4176 29P = 4176

P = 4176

29 = 144 páginas

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS; PROBLEMAS.

Múltiplos e Divisores

Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.Podemos dizer então que:

“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”

Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.

Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.

Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...


MATEMÁTICA

Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos na-turais:

7 x 0 = 07 x 1 = 77 x 2 = 147 x 3 = 217 x 4 = 287 x 5 = 35

O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.

Observações:

- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.- Todo número natural é múltiplo de 1.- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múl-

tiplos.- O zero é múltiplo de qualquer número natural.- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares,

e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k∈ N).

Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos pos-sibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão.

Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.

Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos:

a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.

b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4.

Exemplos:

a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divi-

sível por 4.c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não

é divisível por 4.

Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplos:

a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.

Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).

b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).

c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.

Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7

Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos confe-rir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.

Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.

Exemplos:

a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.

b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8.

c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algaris-mos formam o número 125, que não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um núme-ro divisível por 9.

Exemplos:

a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.

b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplos:

a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.


MATEMÁTICA

Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11.

Exemplos:

a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)

4 3 8 1 3 2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos algaris-

mos de posição par:3 + 1 = 4)

15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é divi-sível por 11.

b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)

8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição

par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)

19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11.


Exemplos:

a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).

b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).

c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).


Exemplos:

a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).

b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).

c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).

Exercícios

1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 me-nores que 30.

2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50.

3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7?

4. Como são chamados os múltiplos de 2?

5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004 e) 58617

6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20.

7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você con-tar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê?

8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.

9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.

10. Responda sim ou não:a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133?

Respostas

1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.Solução:5 x 0 = 05 x 1 = 55 x 2 = 105 x 3 = 155 x 4 = 205 x 5 = 25

2) Resposta “32, 40, 48”.Solução:8 x 4 = 328 x 5 = 408 x 6 = 48

3) Resposta “6”.Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.

4) Resposta “Pares”. Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N)

5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.Solução:a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.

6) Resposta “14”.Solução:7 x 2 = 14.


MATEMÁTICA

7) Resposta “72”. Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o

número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.

8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.Solução:9 x 0 = 09 x 1 = 99 x 2 = 189 x 3 = 279 x 4 = 36

9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.

10) Solução:a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número parb) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número in-

teiro.d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número

inteiro.

FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.

Números Fracionários

Adição e Subtração

Frações com denominadores iguais:

Exemplo

Jorge comeu 83

de um tablete de chocolate e Miguel 82

desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?

A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram:

3/8 2/8

5/8

Observe que 83

+ 82 =

85

Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 85 do tablete de

chocolate.

Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores.

Outro Exemplo:

21

2753

27

25

23

=−+

=−+

Frações com denominadores diferentes:

Calcular o valor de 65

83+ . Inicialmente, devemos reduzir as

frações ao mesmo denominador comum:

mmc (8,6) = 24 65

83+ =

2420

249+

24 : 8 . 3 = 924 : 6 . 5 = 20Devemos proceder, agora, como no primeiro caso,

simplificando o resultado, quando possível:

2420

249+ =

2429

24209

=+

Portanto: 65

83+ = 24

20249+ =

2429

24209

=+

Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que procedemos como no primeiro caso.

MultiplicaçãoExemplo

De uma caixa de frutas, 54

são bananas. Do total de bananas,

32

estão estragadas. Qual é a fração de frutas da caixa que estão estragadas?

Representa 4/5 do conteúdo da caixa

Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.

Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de 3

2 de 54 que, de acordo com a figura, equivale a

158 do total de

frutas. De acordo com a tabela acima, 32

de

54

equivale a

32 .

54 .

Assim sendo:

32 .

54 =

158

Ou seja:

32 de

54 =

32 .

54 =

5.34.2 =

158


MATEMÁTICA

O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

Outro exemplo:

32 .

54 .

13556

9.5.37.4.2

97

==

Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.

1

1

32 .

54 .

2512

109

5

3

=

Divisão

Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa.

Exemplo

32

é a fração inversa de 23

5 ou 15 é a fração inversa de

51

Considere a seguinte situação:

Lúcia recebeu de seu pai os 54

dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?

A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 5

4 : 3.Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular

31 desse

algo.Portanto:

54 : 3 =

31 de

54

Como 31

de 54

= 31

. 54

= 54 .

31 , resulta que

54 : 3 =

54

: 13 =

54 .

31

São frações inversas

Observando que as frações 13 e

31 são frações inversas,

podemos afirmar que:Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira

pelo inverso da segunda.

Portanto 54

: 3 = 54

: 13

= 54

. 31

= 154

Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu 154

do total de

chocolates contidos na caixa.

Outro exemplo: 65

85.

34

58:

34

2

1

==

Observação:

Note a expressão:

5123

. Ela é equivalente à expressão 51:

23 .

Portanto 5123

= 51:

23 =

15.

23 =

215

Números Decimais

Adição e Subtração

Vamos calcular o valor da seguinte soma:

5,32 + 12,5 + 0, 034Transformaremos, inicialmente, os números decimais em

frações decimais:

5,32 + 12,5 + 0, 034 = =++1000

3410125

100352

100017854

100034

100012500

10005320

=++= = 17, 854

Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854

Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra:

- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula

embaixo de vírgula.- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles

fossem números naturais.- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos

números dados.Exemplo

2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5

Disposição prática:2,350014,30000,00755,000021,6575

Multiplicação

Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4.Transformaremos, inicialmente, os números decimais em

frações decimais:

2,58 x 3,4 = 772,810008772

1034.

100258

==

Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772


MATEMÁTICA

Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras:

- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.

- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às do segundo fator.

Exemplo: 652,2 x 2,03

Disposição prática: 652,2 → 1 casa decimalx 2,03 → 2 casas decimais 19 5661 304 41 323,966 → 1 + 2 = 3 casas decimais

DIVISÃO

Numa divisão em que:

D é o dividendod é o divisor temos: D d D = q . d + rq é o quociente r qr é o resto

Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor

Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 24 : 0,5.Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da

divisão dada por 10.

24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5

A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em número natural o número decimal que aparecia na divisão. Com isso, a divisão entre números decimais se transforma numa equivalente com números naturais.

Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de

acordo com as seguintes regras:- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do

divisor.- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os

números fossem naturais.

Exemplo 1

24 : 0,5

Disposição prática: 24,0 0,5 40 48 0

Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato.

Exemplo 2

9,775 : 4,25

Disposição prática: 9,775 4,250 1 275 2

Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão aproximada e o quociente é aproximado.

Se quisermos continuar uma divisão aproximada, devemos acrescentar zeros aos restos e prosseguir dividindo cada número obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vírgula no quociente.

9,775 4,250 9,775 4,250 1 2750 2, 1 2750 2,3 0000

Acrescentamos um zero Colocamos uma ao primeiro resto. vírgula no quociente.

Exemplo 3

0,14 : 28

0,14000 28,00 0000 0,005

Exemplo 4

2 : 16 20 16 40 0,125 80 0

Exercícios

1. Indique as divisões em forma de fração:a) 14 : 7b) 18 : 8c) 5 : 1d) 15 : 5 e) 18 : 9 f) 64 : 8

2. Efetue as adições:

a) 3/6 + 2/6 b) 13/7 + 1/7 c) 2/7+ 1/7 + 5/7 d) 4/10 + 1/10 + 3/10


MATEMÁTICA

3. Efetue as subtrações:a) 7/9 – 5/9 b) 9/5 – 2/5 c) 2/3 – 1/3 d) 8/3 – 2/3

Respostas

1) Solução:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Solução:

a)

b)

c)

d)

3) Solução

a)

b)

c)

d)

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS: RAZÕES E PROPORÇÕES; DIVISÃO EM

PARTES PROPORCIONAIS; REGRA DE TRÊS; PORCENTAGEM E PROBLEMAS.

Relação entre Grandezas

Números diretamente proporcionais

Considere a seguinte situação:

Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 ovos1 lata de leite condensado1 xícara de leite2 colheres das de sopa de farinha de trigo1 colher das de sobremesa de fermento em pó1 pacote de coco ralado1 xícara de queijo ralado1 colher das de sopa de manteiga

Veja que:

- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha;



- Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de ovos: 6 9 12Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes

são iguais:

64= 32

96= 32

128

= 32

Assim: 64= 96= 128

= 32

Dizemos, então, que:

- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcio-nais aos da sucessão 4, 6, 8;

- o número 23

, que é a razão entre dois termos corresponden-tes, é chamado fator de proporcionalidade.


MATEMÁTICA

Duas sucessões de números não-nulos são diretamente pro-porcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais:

2 8 y3 x 21

Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é: 2

3= 8x= y21

32 =

x8

32

= 21y

2x = 3 . 8 3y = 2 . 212x = 24 3y = 42

x=242 y=

423

x=12 y=14

Logo, x = 12 e y = 14

Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.

Solução:Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de

Toni por z, podemos escrever:

==

=++

300002700024000

32400zyx

zyx

x24000

= y27000

= z30000

= x + y + z32400

24000 + 27000 + 3000081000

Resolvendo as proporções:x

24000= 32400

4

8100010

10x = 96 000x = 9 600

y27000

= 410

10y = 108 000y = 10 800z

3000= 410

10z = 120 000z = 12 000

Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.

Números Inversamente Proporcionais

Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5:

1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.

Observe agora as duas sucessões de números:Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20

Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais:

11120

= 2160

= 4130

= 6120

= 120

Dizemos, então, que:- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente propor-

cionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira

sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado fator de proporcionalidade.

Observando que

1120

é o mesmo que 1.120=120 4130

é mesmo que 4.30=120

2160

é o mesmo que 2.60=120 6120

é o mesmo que 6.20= 120

Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais:

4 x 820 16 y

Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter:

4 . 20 = 16 . x = 8 . y

16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10

Logo, x = 5 e y = 10.


MATEMÁTICA

Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos:

41

31

21

zyx==

41

31

21

zyx== =

41

31

21

104

++

++

zyx

Como, vem

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:

Dias Sacos de açúcar1 5 0002 10 0003 15 0004 20 0005 25 000

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar,

e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.

Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:

Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.

Tomemos agora outro exemplo.

Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool.

De acordo com esses dados podemos supor que:- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza

o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza

o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.

Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:

Velocidade Tempo30 km/h 12 h60 km/h 6 h90 km/h 4 h120 km/h 3 h

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica reduzido à metade;

- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo:

3060

612

= inverso da razão 12 6

3090

412


30120

312


6090

4 6


60120

3 6


90120

3 6



MATEMÁTICA

Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.

Acompanhe o exemplo a seguir:Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De

acordo com esses dados, podemos supor que:- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na

metade do tempo, isto é, 18 dias;- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na

terça parte do tempo, isto é, 12 dias.Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas

e tempo são inversamente proporcionais.

EXERCÍCIOS

1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:

a) 1 x 7 5 15 y

b) 5 10 y x 8 24

c) x y 21 14 35 49

d) 8 12 20 x y 35

2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:

a) 4 x y 25 20 10

b) 30 15 10 x 8 yc) 2 10 y x 9 15

d) x y 2 12 4 6

3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.

4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a

61

41,

31 e .

5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a

31

25,

43 e .

6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Ma-theus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente pro-porcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.)

8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?

9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família?

10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um?

Respostas

1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 21

2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 33- 80, 32, 20 4- 21, 28, 435- 45, 150, 206- 907- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio

R$24.000,008- R$350.000,009- 60, 90, 15010- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto

R$400.000,00

Resolução 04

x+y+z--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque

3+4+6 as partes são inversas)91/13=x/313x=273x=2191/13=y/413y=364y=28

91/13=z/613z=546z=42


MATEMÁTICA

Resolução 05

x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)x + y + z = 2153k/4 + 5k/2 + k/3 = 215(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 x = 60.(3/4) = 45y = 60.(5/2) = 150z = 60/3 = 20

(x, y, z) → partes diretamente proporcionais

Resolução 06

x = Rafaely = Mateus

x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo proporções, só calcular)

x/15=6x=90

y/12=6y=72

Razão

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

Exemplos

a) A fração 53 lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.

Os termos da razão recebem nomes especiais.

O número 3 é numerador

a) Na fração 53

O número 5 é denominador

O número 3 é antecedente

a) Na razão 53

O número 5 é consequente

Exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é 2050

= 25

; já a razão entre 50 e 20 é 5020

= 52

.

Exemplo 2

Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 18

24= 34

, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 1842

= 37

, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3

são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplo

Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:

Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

384dm2

1800dm2 =3841800

= 1675

Razão entre grandezas de espécies diferentes

Exemplo 1

Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.

Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2h

Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:

140km2h

= 70km / h

A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve

acompanhar a razão.


MATEMÁTICA

Exemplo 2

A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

6628000927286

≅ 71,5hab. / km2

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.

A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.

Exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

83,76km8l

≅ 10,47km / l

A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é

representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real

= 20cm8m

= 20cm800cm

= 140ou1: 40

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 3

5= 610

(lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

Exemplo 1

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 14= 416

, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.

Exemplo 2

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.

Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

5gotas2kg

= x12kg

→ x = 30gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

5gotas2kg

= 20gotas / p→ p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)

Propriedades da ProporçãoO produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa

propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção.

43e129 formam uma proporção, pois

Produtos dos extremos ← 4.936 = 3.12

36→ Produtos dos meios.

A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

52= 104⇒ 5 + 2

5⎧⎨⎩

= 10 + 410

⇒ 75= 1410

ou52= 104⇒ 5 + 2

2⎧⎨⎩

= 10 + 44

⇒ 72= 144

A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=⇒−

= −

⇒=


MATEMÁTICA

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒−

= −

⇒=

A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 128⇒ 1510

= 128

ou

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 32⇒ 1510

= 32

A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 315

⇒ 210

= 315

ou

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 15⇒ 210

= 15

Exercícios

1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Pal-mas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?

6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de Determine o comprimento de cada uma das partes.

8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Saben-do-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45 b) 81 c) 85 d) 181 e) 126

10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o pri-meiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

Respostas

1) Resposta “1320 km”.Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.

2) Resposta “1: 7 000 000”.Solução: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000

000 cm

Escala = comprimentododesenhocomprimentoreal

= 1070000000

= 17000000

ou1: 7000000

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.

3) Resposta “8,75 kg/dm³”.Solução: De acordo com os dados do problema, temos:

densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm

3

Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.


MATEMÁTICA

4) Resposta “75,5 km/h”.

Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

velocidademédia = 453km6h

= 75,5km / h

Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.

5) Resposta “4,15 hab./km²

Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:

Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km2

6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.Solução:

A – V = 12 anosA = 12 + V𝐴𝑉 =

52 →

12 + 𝑉𝑉 =

52

2 (12+V) = 5V24 + 2V = 5V5V – 2V = 243V = 24

V = 243

V (Vera) = 8

A – 8 = 12A = 12 + 8A (Ângela) = 20

7) Resposta “24 cm; 54 cm”.Solução:x + y = 78 cmx = 78 - y𝑥𝑦

=49

→78 − 𝑦𝑦

=49

9 (78 - y) = 4y702 – 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702

y = 70213

y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm

8) Resposta “2716

𝑐𝑚 ”.

Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção exis-tente entre elas: no caso, 3

4 = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa

é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm.

Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. Portanto a sequência seria: (4...3... 9

4.... 2716

...) e assim por dian-te.

Onde a razão de proporção é 34 ... e pode ser representada

pela expressão:Ti . P elevado à (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:(Ti = 4; P =

34 ; n – 1 = 3)

4 . = 3³4 = 27

16

9) Resposta “E”.Solução:A = 81 litros

𝐴𝑇

=95 →

81𝑇 =

95

9T = 405

T = 405

9

T = 45

A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta “117 e 52”.Solução:x – y = 65x = 65 + y

𝑥𝑦 =

94 →

65 + 𝑦𝑦 =

94

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y – 4y = 2605y = 260

y = 260

5y = 52x – 52 = 65x = 65 + 52x = 117


MATEMÁTICA

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B dire-tamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

𝐴𝑝

=𝐵𝑞

A solução segue das propriedades das proporções:

𝐴𝑝

=𝐵𝑞

=𝐴+ 𝐵𝑝 + 𝑞

=𝑀

𝑝 + 𝑞= 𝐾

O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

𝐴2

=𝐵3 =

𝐴+ 𝐵5 =

1005 = 20

Segue que A=40 e B=60.Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcio-

nais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resol-ver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

𝐴8

=𝐵3

=𝐴− 𝐵

5=

605

= 12

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn dire-tamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

𝑥1𝑝1

=𝑥2𝑝2

= ⋯ =𝑥𝑛𝑝𝑛


𝑥1𝑝1

=𝑥2𝑝2

= ⋯ =𝑥𝑛𝑝𝑛

=𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑝1 + 𝑝2 + ⋯𝑝𝑛

=𝑀𝑃 = 𝐾

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

𝐴2 =

𝐵4 =

𝐶6 =

𝐴 + 𝐵 + 𝐶𝑃 =

12012 = 10

logo A=20, B=40 e C=60.Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente propor-

cionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.


𝐴2 =

𝐵4 =

𝐶6 =

2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶2𝑥2 + 3𝑥4 − 4𝑥6 =

120−8 = −15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos.

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversa-mente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas in-cógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

𝐴1/𝑝 =

𝐵1/𝑞 =

𝐴 + 𝐵1/𝑝 + 1/𝑞 =

𝑀1/𝑝+ 1/𝑞 =

𝑀. 𝑝. 𝑞𝑝 + 𝑞 = 𝐾

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

𝐴1/2 =

𝐵1/3 =

𝐴 + 𝐵1/2 + 1/3 =

1205/6 =

120.2.35 = 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente propor-cionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

𝐴1/6 =

𝐵1/8 =

𝐴 − 𝐵1/6− 1/8 =

101/24 = 240

Assim A=40 e B=30.


MATEMÁTICA

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

𝑥11/𝑝1

=𝑥2

1/𝑝2= ⋯ =

𝑥𝑛1/𝑝𝑛

Cuja solução segue das propriedades das proporções:

𝑥11/𝑝1

=𝑥2

1/𝑝2= ⋯ =

𝑥𝑛1/𝑝𝑛

=𝑥1 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑛

1/𝑝1 + 1/𝑝2 + ⋯1/𝑝𝑛=

𝑀1/𝑝1 + 1/𝑝2 + ⋯+ 1/𝑝𝑛

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

𝐴1/2

=𝐵

1/4 =𝐶

1/6 =𝐴 + 𝐵 + 𝐶

1/2 + 1/4 + 1/6 =220

11/12 = 240

A solução é A=120, B=60 e C=40.Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as pro-

porções:

𝐴1/2

=𝐵

1/4 =𝐶

1/6 =2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶

2/2 + 3/4− 4/6 =10

13/12 =12013

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.Existem proporções com números fracionários!

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

𝐴𝑐/𝑝 =

𝐵𝑑/𝑞 =

𝐴 + 𝐵𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞 =

𝑀𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞 =

𝑀. 𝑝. 𝑞𝑐. 𝑞 + 𝑝.𝑑 = 𝐾

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7,

deve-se montar as proporções:

𝐴2/5 =

𝐵3/7 =

𝐴 + 𝐵2/5 + 3/7 =

5829/35 = 70


MATEMÁTICA

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcio-

nais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escre-ver que A-B=21 resolver as proporções:

𝐴4/6

=𝐵

3/8 =𝐴− 𝐵

4/6 − 3/8 =21

7/24 = 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn dire-tamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

𝑥1𝑝1/𝑞

1=

𝑥2𝑝2/𝑞

2= ⋯ =

𝑥𝑛𝑝𝑛/𝑞𝑛


𝑥1𝑝1/𝑞

1=

𝑥2𝑝2/𝑞

2= ⋯ =

𝑥𝑛𝑝𝑛/𝑞𝑛

=𝑥𝑛 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑛

𝑝1/𝑞1 + 𝑝2/𝑞2 + ⋯+ 𝑝𝑛/𝑞𝑛

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente propor-cionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

𝐴1/4 =

𝐵2/5 =

𝐶3/6 =

𝐴+ 𝐵 + 𝐶1/4 + 2/5 + 3/6 =

11523/20 = 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente propor-cionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

𝐴1/2 =

𝐵10/4 =

𝐶2/5 =

2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶2/2 + 30/4− 8/5 =

1069/10 =

10069

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Três Simples

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.

Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Solução:O problema envolve duas grandezas: distância e litros de

álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma

coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x mesmo sentido

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:

x15

210180

7

6

=

6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6

105 x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h,

eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x


MATEMÁTICA

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:


Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:


sentidos contrários

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x 4x = 4 . 3 4x = 12 x =

412 x = 3

Resposta: Farei esse percurso em 3 h.

Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade

(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).

Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso

200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x =

2403600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Regra de Três Composta

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.

Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?

Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x

Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.

As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:


Mesmo sentido

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:


Sentidos contrários

Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x

4, com o produto das outras razões, obtidas

segundo a orientação das flechas

300160.

86 :

5

1

15

8

1

2

300160.

864

=x

524

=x => 2x = 4 . 5 a x = 1

2

25.4

=> x = 10

Resposta: Em 10 dias.


MATEMÁTICA

Exercícios

1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura.

Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo?

4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?

5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches?

6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?

a) 315b) 2 2520c) 840d) 105e) 1 260

7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em:

a) 3 horas e 10 minutosb) 3 horasc) 2 horas e 55 minutosd) 2 horas e 50 minutose) 2 horas e 48 minutos

8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 dias?

9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?

10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Respostas

1) Resposta “30min”. Solução:Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra

de três é inversa:5 tor. ------ 75min2 tor. ------ x5x = 2 . 75 = 5x = 150 =

x =

2) Resposta “52 km/h”.Solução:Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a

regra de três é inversa:6h30min = 390min5h15min = 315min

315min ------ 42km/h390min ------ x315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X = km/h.

3) Resposta “20 palitos de fósforo”.Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de

largura.

Portanto temos:

Comprimento Largura12 palmos 5 palmos48 palitos X palitos

Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura.

As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer:

Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura.

4) Resposta “18 segundos”.Solução: Levando em consideração os dados:Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20sVelocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?

Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).


MATEMÁTICA

Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:

Velocidade km/h Tempo (s)180 20200 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:

180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 →

Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.

5) Resposta “5 pacotes”.Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.

Pacotes de Pães Sanduíches3 63x 105

Basta fazermos apenas isso:63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 →

Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.

6) Resposta “D”.

Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada

Pessoas estrada tempo 210 75 4 X 225 8

=

=

=

x =

x = 315 pessoas para o término315 210 que já trabalham = 105 pessoas.

7) Resposta “E”.Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz

por minuto. Para isso temos que dividir:

Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min)

5 . 59,524 = 297, 62.Portanto temos:1 min --------------------- 297,62x min --------------------- 50000

Fazendo a regra de 3 teremos:

297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 →

168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.

8) Resposta “840 peças”.Solução: Dados:5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças7 máquinas em 9 dias produzem x peças.

Organizando os dados no quadro temos:

N˚ de Máquinas (A)

N˚ de Máquinas (B)

Número de Peças (C)

5 6 4007 9 x

Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.

Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”.

Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao produto da variação das outras duas.

De acordo com o quadro, temos:

Resolvendo a proporção:

30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 →

Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 840 peças.

9) Resposta “4 dias”.Solução: Dados:4 horas por dia, 200 km em 2 dias5 horas por dia, 500 km em x dias


MATEMÁTICA

Organizando um quadro temos:

N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)200 4 2500 5 x

Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente proporcionais”.

Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”.

Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B.

A razão inversa de Daí, temos:

1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → .

10) Resposta “7260 kgs”.

Solução:

Ração Dias Bois2420 8 2

x 12 4

Porcentagem

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 50100

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração

100p por V.

P% de V = 100p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

Exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 67100

.56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custo

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.

Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.

Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =

100p . V


MATEMÁTICA

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) é o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V =

100p . V

VD = V – D = V – 100

p . V

VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p) é o fator de desconto.

Exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 100

1p )

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 –

1001p )

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p )

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 100

2p )Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer

um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+

1001p )

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Exemplo

(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendi-mento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1. 15100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

.1000

VA = 1 000 . (1,15)n

VA = 1 000 . 1,15n

VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.


MATEMÁTICA

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:

a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:

10100

. 10100

= 1100

= 1%

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =4005

= 80%

3) Resposta “D”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “C”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x +50100

= 100x + 50100

= 10x + 510

= 2x +12 (divi-

dimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%:

20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de

lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 + 100

1p ).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 – 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 – 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta “E”.Solução:

SA = 1+ 80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 1+

80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x


MATEMÁTICA

7) Resposta “C”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 - 100

1p ).(1 – 100

2p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 – 30100

)

V2 = ( 100 − 20100

).( 100 − 30100

)

V2 = ( 80100

).( 70100

)

V2 = 100005600

V2 = 56100

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta “A”.Solução:

1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

5100

= 5%ou 25000500000

= 5100

= 5%

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = 4100

= 0,004 , podemos escrever:

0,04 . x = 20 → x = 200,04

→ x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA; DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA.

Conceitos Básicos

A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político…

Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para to-madas de decisão, há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de re-censeamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sonda-gens. Existem indícios que há 300 mil anos a.C. já se faziam censos na China, Babilônia e no Egito. Censos estes que se destinavam à taxação de impostos. Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso quotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas.

Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos.

Em Estatística, um resultado é significante, portanto, tem signi-ficância estatística, se for improvável que tenha ocorrido por acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de chan-ce), caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. A expressão teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher.

Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em frequ-ência estatística, a significância de um teste é a probabilidade má-xima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de α e não deve ser confundido com o valor p (p-value).

Por exemplo, podemos escolher um nível de significância de, digamos, 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da hipótese nulo, ser 5%. Se o valor estatísti-co calculado (ou seja, o nível de 5% de significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante “ao nível de 5%”.

Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é me-nor, o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um resultado que é “significante ao nível de 1%” é mais significante do que um resultado que é significante “ao nível de 5%”. No entanto, um teste ao nível de 1% é mais suscep-tível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso terá menos poder estatístico.


MATEMÁTICA

Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar maxi-mizar o poder de uma dada significância, mas ultimamente tem de reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compro-misso entre significância e poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II.

É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filoso-ficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Esta confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística.

Divisão da Estatística:

- Estatística Descritiva: Média (Aritmética, Geométrica, Har-mônica, Ponderada) - Mediana - Moda - Variância - Desvio padrão - Coeficiente de variação.

- Inferência Estatística: Testes de hipóteses - Significância - Potência - Hipótese nula/Hipótese alternativa - Erro de tipo I - Erro de tipo II - Teste T - Teste Z - Distribuição t de Student - Normaliza-ção - Valor p - Análise de variância.

- Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial - Teste Qui--quadrado (uma amostra, duas amostras independentes, k amostras independentes) - Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra, duas amostras independentes) - Teste de McNemar - Teste dos Sinais - Teste de Wilcoxon - Teste de Walsh - Teste Exata de Fisher - Teste Q de Cochran - Teste de Kruskal-Wallis - Teste de Friedman.

- Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência - Kaplan--Meier - Teste log-rank - Taxa de falha - Proportional hazards mo-dels.

- Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição, sem reposição) - Amostragem estratificada - Amostragem por con-glomerados - Amostragem sistemática - estimador razão - estimador regressão.

- Distribuição de Probabilidade: Normal - De Pareto - De Pois-son - De Bernoulli - Hipergeométrica - Binomial - Binomial negati-va - Gama - Beta - t de Student - F-Snedecor.

- Correlação: Variável de confusão - Coeficiente de correlação de Pearson - Coeficiente de correlação de postos de Spearman - Co-eficiente de correlação tau de Kendall).

Regressão: Regressão linear - Regressão não-linear - Regressão logística - Método dos mínimos quadrados - Modelos Lineares Ge-neralizados - Modelos para Dados Longitudinais.

- Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada - Componentes principais - Análise fatorial - Análise discriminante - Análise de “Cluster” (Análise de agrupamento) - Análise de Cor-respondência.

- Séries Temporais: Modelos para séries temporais - Tendência e sazonalidade - Modelos de suavização exponencial - ARIMA - Modelos sazonais.

Panorama Geral:

Variáveis: São características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspectos, prin-cipalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas.

Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A

maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma des-sas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levan-tamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) ne-nhuma variável, mas apenas as mede e procura por relações (corre-lações) entre elas, como pressão sangüínea e nível de colesterol. Em

uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipulação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também calcula “correlações” entre va-riáveis, especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas pela manipulação. Entretanto, os dados experimentais po-dem demonstrar conclusivamente relações causais (causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador descobrir que sempre que muda a variável A então a variável B também muda, então ele poderá concluir que A “influencia” B. Dados de uma pesquisa cor-relacional podem ser apenas “interpretados” em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente provar causalidade.

Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis

independentes são aquelas que são manipuladas enquanto que vari-áveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta distinção confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos variável de-pendente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa ex-perimental, onde algumas variáveis são manipuladas, e, neste sen-tido, são “independentes” dos padrões de reação inicial, intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais).Espera-se que outras variáveis sejam “dependentes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas dependem “do que os sujeitos farão” em resposta. Contrariando um pouco a natureza da distinção, esses termos também são usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes, literalmente falando, mas apenas se designam sujeitos a “grupos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos próprios sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count em inglês, WCC) de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de variável dependente.

Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem”

elas podem ser medidas, isto é, em quanta informação seu nível de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada medi-da, o que determina o “montante de informação” que se pode obter, mas basicamente o fator que determina a quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Sob este prisma as variáveis são classificadas como nominais, ordi-nais e intervalares.

- Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Ou seja, elas podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias, mas não se pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exem-plo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais” da qualidade re-presentada pela variável. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc.

- Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em ter-mos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representa-da pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status sócio--econômico das famílias residentes em uma localidade: sabe-se que


MATEMÁTICA

média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que é 18% mais alta. A própria distinção entre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê me-nos informação do que uma medida ordinal, mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se compara à diferença en-tre mensuração ordinal e intervalar.

- Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos, mas também quantificar e compa-rar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo, temperatura, medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que 30C e que um au-mento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C para 40C.

Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer

estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras palavras, as variáveis estão relacionadas se seus valores correspon-dem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de obser-vações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso porque tipicamente in-divíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos; Q.I. está relacionado ao número de erros em um teste se pessoas com Q.I.’s mais altos cometem menos erros.

Importância das relações entre variáveis: Geralmente o

objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encon-trar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio de representar “significado” exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os casos en-volvem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sem-pre tem que envolver a descoberta de novas relações entre variá-veis. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimen-tais. Por exemplo, o experimento já mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis.

Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas proprie-dades formais mais elementares de qualquer relação entre variáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação.

- Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a confiabilidade. Por exemplo, se cada homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderia--se dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. Em outras palavras, poderia--se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão).

- Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas extremamente importante. Relaciona-se à “representatividade” do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a popu-lação. Em outras palavras, diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está na população. O interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. Se o estudo atender certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confia-

bilidade de uma relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística).

Significância Estatística (nível-p): A significância estatística de

um resultado é uma medida estimada do grau em que este resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que ocorre na popu-lação, ou seja no sentido de “representatividade da população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-p representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais alto o nível-p, menos se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amos-tra é um indicador confiável da relação entre as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido, isto é, como “representativo da população”. Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra, seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de interesse seja repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do expe-rimento haveria apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é costumeiramente tratado como um “limite aceitável” de erro.

Como determinar que um resultado é “realmente” significan-te: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente “significante”. Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. Na prática, a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados; no total de evidências consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na área particular de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0,05 são considerados estatisticamente significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%). Resultados com um nível-p 0,01 são comumente considerados estatisticamente sig-nificantes, e com nível-p 0,005 ou nível-p 0,001 são freqüentemente chamados “altamente” significantes. Estas classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experi-ência geral de pesquisa. Uma conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a 0,05, por exemplo, pode não sê-lo a 0,01.

Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível de significância convencionado. Por exemplo, ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correlação), seria ra-zoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população. Alguns métodos estatís-ticos que envolvem muitas comparações, e portanto uma boa chance para tais erros, incluem alguma “correção” ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto, muitos métodos estatísticos (es-pecialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este problema. Cabe então ao pesqui-sador avaliar cuidadosamente a confiabilidade de descobertas não esperadas.


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Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Contudo, eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação entre variáveis, mais confiável a relação.

Assumindo que não há relação entre as variáveis na popula-ção, o resultado mais provável deveria ser também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim, quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na população. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar forte-mente relacionadas, e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas se o ta-manho da amostra é mantido constante, porque uma relação de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra.

Por que a significância de uma relação entre variáveis de-pende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma combi-nação desses valores que indique uma forte relação é relativamente alta. Considere-se o seguinte exemplo:

Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC: alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2 mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por acaso, uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quan-to 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC, ou vice-versa, mesmo que tal relação não exista na população. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero.

Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma popu-lação teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se retiram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). Na maioria dos experimento os resultados das diferenças se-rão próximos de zero.

Contudo, de vez em quando, um par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulheres consideravelmente dife-rente de zero. Com que freqüência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso, indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal rela-ção não existe. Observe-se mais um exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987):

Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Em média a razão de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo dia, em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que me-ninos. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da amostra).

Por que pequenas relações podem ser provadas como sig-nificantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos pará-grafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as vari-áveis em questão (na população) é pequeno, então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato “perfeitamente representativa” da população o efeito não será esta-tisticamente significante se a amostra for pequena. Analogamente, se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo:

Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quan-do lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez lan-çamentos não seriam suficientes para convencer alguém de que a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Entre-tanto, dez lançamentos não são suficientes para provar nada? Não, se o efeito em questão for grande o bastante, os dez lançamentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada lançamento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há “algo errado” com a moeda. Em outras palavras, seria considerada prova convincente de que a população teórica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. Assim, se a relação é grande, então poderá ser considerada significante mes-mo em uma pequena amostra.

Pode uma “relação inexistente” ser um resultado significan-te: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. Por exemplo, imagi-ne-se quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas 0,000001 %! En-tão, o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma pro-porção em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Isso quer dizer que, se quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da população, que teoricamente é considerado infinitamente grande.

A significância estatística representa a probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. Assim, qualquer coisa que fosse encontrada após testar toda a popu-lação seria, por definição, significante ao mais alto nível possível, e isso também inclui todos os resultados de “relação inexistente”.

Como medir a magnitude (força) das relações entre vari-áveis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas, níveis de mensuração usados, natureza das re-lações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral: elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a “máxima relação imaginável” entre aquelas variáveis específicas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações é obser-var quão diferenciados são os valores das variáveis, e então calcu-lar qual parte desta “diferença global disponível” seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas devida à


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relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relacionadas”. Outro exemplo:

Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em ho-mens e 102 em mulheres. Assim, poderia-se dizer que, em média, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma compo-nente devida ao sexo do sujeito, e o tamanho desta componente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma medida da relação entre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida muito pobre, porque não diz quão relativamente grande é aquela componente em relação à “diferença global” dos valores de WCC. Há duas possibilidades ex-tremas: S

- Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Poderia--se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças observadas entre os sujeitos rela-tivas a suas WCC’s devem-se a seu sexo.

- Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000, a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. Por exemplo, um sujeito a mais que fosse considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da diferença. Portanto, toda boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais na amostra e avaliar a relação em ter-mos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à relação em questão.

“Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o objeti-vo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre variá-veis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma medida da dife-renciação comum nas variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por exemplo, teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que po-dem se dever ao sexo pela diferenciação global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de razão da variação explicada pela variação total.

Em estatística o termo variação explicada não implica necessaria-mente que tal variação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas para denotar a variação comum às variáveis em questão, ou seja, a parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores específicos da outra variável e vice-versa.

Como é calculado o nível de significância estatístico: Assu-ma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é “quão signi-ficante é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação global ser ex-plicada pela relação entre duas variáveis é suficiente para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamente, a significância depende principalmente do tamanho da amostra. Como já foi expli-cado, em amostras muito grandes mesmo relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, enquanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito grandes não poderão ser considera-das confiáveis (significantes). Assim, para determinar o nível de sig-nificância estatística torna-se necessária uma função que represente o

relacionamento entre “magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis, dependendo do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente “quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior) de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis na população”. Em outras palavras, aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso per-mitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a idéia de que a relação em questão não existe na população. Esta hipóte-se “alternativa” (de que não há relação na população) é usualmente chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente, a função é mais com-plexa, e não é sempre exatamente a mesma. Entretanto, em muitos casos, sua forma é conhecida e isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras de certo tamanho. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de normal (ou gaussiana).

Por que a distribuição normal é importante: A “distribuição normal” é importante porque em muitos casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição de muitas estatís-ticas de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, filosoficamente, a distribuição normal representa uma das elementares “verdades acerca da nature-za geral da realidade”, verificada empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição normal (a característica “curva do sino”) é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão.

Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores, e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. Em outras palavras, em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que -2 ou mais do que +2 tem uma freqüência relativa de 5% ou me-nos (valor padronizado significa que um valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida pelo desvio padrão).

Ilustração de como a distribuição normal é usada em ra-ciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discutido, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. Embora o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um par de amostras apresentará uma dife-rença substancialmente diferente de zero. Quão freqüentemente isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são “normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente a probabili-dade de obter “por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média populacional 0 (zero). Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo na popula-ção do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experimentos) foi avaliado.


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Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos, mas muitos são ou baseados na distribuição normal di-retamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). Tipicamente, estes testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou seja, que elas atendam à “suposição de normalidade”. Muitas variáveis observadas realmente são normalmente distribuídas, o que é outra razão por que a distribuição normal representa uma “característica geral” da realidade empírica. O problema pode surgir quando se ten-ta usar um teste baseado na distribuição normal para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas. Em tais casos há duas opções. Primeiramente, pode-se usar algum teste “não paramé-trico” alternativo (ou teste “livre de distribuição”); mas isso é fre-qüentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente me-nos poderosos e menos flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternativamente, em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se ape-nas houver certeza de que o tamanho das amostras é suficientemente grande. Esta última opção é baseada em um princípio extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos tes-tes baseados na distribuição normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra aumente, mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da normal, mesmo que a distribuição da variável em ques-tão não seja normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite.

Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm provas te-óricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimen-tos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória de números). Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas por um computador seguindo especificações pré-designadas e os resul-tados de tais amostras são analisados usando uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os estudos de Monte Carlo foram usa-dos extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população. A conclusão geral destes estudos é que as conseqüências de tais viola-ções são menos severas do que se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa.

Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, anali-sar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as téc-nicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situ-ações que representam. Quando se aborda uma problemática envol-

vendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenien-tes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medi-da em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes dispo-níveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

Mediana, Moda e Quartis

Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais para a mediana.

É uma medida de localização do centro da distribuição dos da-dos, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amos-tra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divi-de ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois ele-mentos médios.

A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distri-buição dos dados, definida do seguinte modo:

Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (per-tencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos mé-

dios.

Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; então uma expressão para o cál-culo da mediana será:


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Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente.

Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75.

Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amos-tra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será:

Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coin-cidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (ou-tliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influen-ciada por valores «muito grandes» ou «muito pequenos», mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes va-lores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:

- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da me-dianas a média tende a ser maior que a mediana.

- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como “outliers”), a média tende a ser inferior à mediana.

Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais.

Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coin-cidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (ou-tliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas me-didas de localização é preferível, dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas.

Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo com a seguinte tabela de frequ-ências:

Salário (em euros) 75 100 145 200 400 1700Frequência absoluta 23 58 50 20 7 2

Frequência acumulada 23 81 131 151 158 160

Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos. Resolução: = = (75.23+100.58+...+400.7+1700.2)/160 =

156,10Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80

e 81 = 100 euros.Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e

uma mediana de 100, é reflexo do fato de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita essa ideia.

Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente simétrica, as medidas de lo-calização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende com a pouca resistência da média.

Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral:


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Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os da-dos são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o va-lor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.

Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de no-mes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).

Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vi-mos anteriormente é a medida de localização, tal que 50% dos ele-mentos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Qp.

Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica.

Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o cálculo dos quartis:

Qp =

onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a.Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome

de 1º quartil e 3º quartil.

Exemplo: Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, obtiveram-se os se-guintes valores (em kg):

a) Determine os quantis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis.

b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado “nor-mal”, isto é nem demasiado magro, nem demasiado gordo?

Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos:

a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5

b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco “for-te”, pois naquela turma só 25% dos alunos é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg.

Médias

Noção Geral de Média

Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A.

Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação.

Média Aritmética

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética.

Cálculo da média aritmética

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:

n parcelase, portanto,


MATEMÁTICA

Conclusão

A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida por n.

Exemplo

Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.

Resolução

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:

A média aritmética é 7.

Média Aritmética Ponderada

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Cálculo da média aritmética ponderadaSe x for a média aritmética ponderada dos elementos do

conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:

P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,

Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então: que é a média aritmética simples.

Conclusão

A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.

Exemplo

Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.

Resolução

Se x for a média aritmética ponderada, então:

A média aritmética ponderada é 18.

Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética.

Exercícios

1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.

2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.

3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?

4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?

5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguin-tes casos:

a) 15; 48; 36b) 80; 71; 95; 100c) 59; 84; 37; 62; 10d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respecti-vos pesos 5 , 3 e 2.

8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma?

9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:

Profissionais → Quantidade → SalárioServentes → 20 profissionais → R$ 320,00Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00Engenheiros → 5 profissionais → R$ 1.600,00

10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respec-tivos pesos 10, 5 e 20.

Respostas

1) Resposta “5”.Solução:M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.

2) Resposta “6”.Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5

e 10 ) = 6.


MATEMÁTICA

3) Resposta “10”.Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos

números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto:

Logo, a média aritmética é 10.

4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao di-

minuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média.

Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.

Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pa-res, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:

Solucionando-a temos:

Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.

5) Solução:a) (15 + 48 + 36)/3 =99/3 = 33

b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=346/4 = 86,5

c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5== 252/5= 50,4

d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=45/9 == 56) Resposta “22”.Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos

cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes pro-dutos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:

Logo, a média aritmética ponderada é 22.

7) Resposta “4,9”.Solução:

8) Resposta “Solução:

9) Resposta “Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética

ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:

10) Resposta “11,42”.Solução:

Média Geométrica

Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valo-res e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.

Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elemen-tos e obtemos o produto 216.

Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.

Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 ele-mentos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

Neste exemplo teríamos a seguinte solução:

Utilidades da Média Geométrica

Progressão Geométrica

Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63.

Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63.

Vejamos:

Variações Percentuais em Sequência

Outra utilização para este tipo de média é quando estamos tra-balhando com variações percentuais em sequência.

Exemplo

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta ca-tegoria?


MATEMÁTICA

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais.

A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:

Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento.

Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.

Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:

Salário Inicial

+ % Informado

Salário final

Salário inicial

+ % médio

Salário final

R$ 1.000,00

20%R$

1.200,00R$

1.000,0012, 8417

R$ 1.128,74

R$ 1.200,00

12%R$

1.334,00R$

1.287,7412, 8417

R$ 1.274,06

R$ 1.334,00

7%R$

1.438,00R$

1.274,0612, 8417

R$ 1.438,08

Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica.

Cálculo da Média Geométrica

Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é

A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor inter-mediário às duas.

A média geométrica é também a média aritmética harmôni-ca no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:

E

então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.

Cálculo da Media Geométrica Triangular

Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividi-mos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos.

Exemplo

A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação Prática

Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta

É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica

A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.


MATEMÁTICA

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Exercícios

1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.

2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.

3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respec-tivamente, iguais a 4 e 9.

4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 uni-dades ?

5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?

6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números?

7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números?

8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.

9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81

10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.

Respostas

1) Resposta “4”.Solução:

2) Resposta “2”.Solução:

Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números.

3) Resposta “6”.Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:

g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.

4) Resposta””.Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, pode-

mos escrever:

Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:

e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → 5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este

exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tra-tam de cinco números:

Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?

Repare que todos os números são potência de 2, podemos en-tão escrever:

Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos:

Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resol-vendo a potência resultante:

Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.

6) Resposta “16, 25”.Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média

aritmética deles pode ser expressa como:

Já média geométrica pode ser expressa como:

Vamos isolar a na primeira equação:

Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é ne-cessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:


MATEMÁTICA

Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:

Solucionando a mesma temos:

O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos con-ferir.

Sabemos que , portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.

Para b = 16 temos:

Para b = 25 temos:

Logo, os dois números são 16, 25.

7) Resposta “12”.Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números,

a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação:

Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, ire-mos obter o valor numérico do produto destes dois números:

Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada:

Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.

Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12.

8) Resposta “6”.Solução: G = 4.92 = 6

9) Resposta “9”.Solução: G = 3.3.9.814 = 9

10) Resposta “6”.Solução:G = 1.1.1.32.243= 65

Probabilidade

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espa-ço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amos-tral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.

Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocor-rência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:

- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.


MATEMÁTICA

- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 -

P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos ExaustivosQuando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em

dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É repre-sentada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:


MATEMÁTICA

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a de-finição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o

evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.

- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade dese-jada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas bran-cas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mu-lheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alu-nas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ím-pares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas

vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a proba-bilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:


MATEMÁTICA

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abaca-xi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lan-chonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que

a1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =

41 e p(AB) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,

V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4

B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como AB = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(AB) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os se-

guintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

08. Sendo A e B eventos independentes, P(AB) = P(A) . P(B) e

como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Temos: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos:

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de su-cos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois se-riam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:


MATEMÁTICA

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS.

A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos no estudo da variação do dinheiro ao longo do tempo. A origem da Matemática Financeira está intimamente ligada a dos regimes econômicos, o surgimento do crédito e do sistema financei-ro. Todo o desenvolvimento da Matemática Financeira está ligado à utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrário de sua simples propriedade, que por si só não apresenta rendimento.

Capital ou Principal: é valor de uma quantia em dinheiro “na data zero”, ou seja, no inicio de uma aplicação. Capital poder ser o dinheiro investido em uma atividade econômica, o valor financiado de um bem, ou de um empréstimo tomado. Para evitar problemas com mudanças de unidades monetárias, e para tornar este livro mais amigável a leitores lusófonos, utilizaremos sempre uma unidade fictícia, chamada de unidade monetária, abreviada por u.m. ou re-presentada por $, junto ao valor. Capital pode ser apresentado sob várias siglas e sinônimos: C (de Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); PV (de Present Value); C (Capital Inicial).

Juros: são a remuneração paga pelo uso do dinheiro. Pode ser

tanto o rendimento de uma aplicação quanto o juro a ser pago em um financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicação financeira, enquanto o capital é o motivo da aplicação financeira. Os Juros sempre são expressos em unidades monetárias, e representam o montante financeiro referente a uma aplicação. Representado pela letra J.

Juros (Capitalização) Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

Juros (Capitalização) Compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

Taxa de juros: representa a razão entre o juro e o capital (J/C). O cálculo da taxa de juros é responsável pela observação da ren-tabilidade de uma operação financeira, sendo indispensável para a tomada de decisão de investimentos. Normalmente é representada em forma percentual. Um valor percentual é um valor que repre-senta a taxa de juros para um capital de 100 u.m. Para efeito de cálculo sempre é utilizado a taxa unitária, que é aquela que resulta diretamente no juro de um período, quando multiplicada pelo ca-pital. Representada por i. Por exemplo: 0,05 = 5%

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %. Outro item importante a considerar nas taxas de juro, é que elas sempre devem estar de acordo com o período de capitalização. Pode-se ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais, semestrais, anuais.

8% a.a. - (a.a. significa ao ano).10% a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Observações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tem-po deverá ser descrito em meses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma unidade de tempo. Além disso outra informação muito importante e que às vezes passa por despercebido é que a taxa de juros (i) deve estar em forma decimal durante o cálculo e não em percentual.

Taxa exata e comercial: a taxa exata é como chama-se a taxa

de juros que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 ou 366 dias no ano, 28, 29, 30 ou 31 dias no mês. A taxa comercial é a convenção usada nos mercados, onde se considera meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).

Taxa efetiva e nominal: a taxa efetiva é a taxa que está sendo

referenciada ao período de capitalização. A taxa nominal é a taxa dada em desconformidade com o período de capitalização. Usual-mente utiliza-se para conversão, a convenção comercial. Assim, uma taxa anual capitalizada mensalmente deve ser dividida pelo número de meses do ano para obter a taxa efetiva.

Prazo ou Período de Capitalização: é o tempo pelo qual o capital é aplicado. Representado por: n ou t.

Montante: (também conhecido como valor acumulado) é a

soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo. Matematicamente:

(considerando-se M a representação de Montante)

Como é o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value); C.

Prestação: é a parcela contínua que amortiza o Capital e os

Juros, representada por: R (de Renda). Outras representações: PMT (de payment); Pgto (de Pagamento); a (Anuidade).

Desconto: é um abatimento oferecido sobre o valor nominal

de um título ou sobre o montante de uma dívida a vencer, quando paga antecipadamente. Geralmente, o desconto é expresso em for-ma percentual. Por exemplo, um produto que custa R$500,00 com desconto de 5% sairá R$ 500,00 - 0,05 x R$ 500,00 = R$475,00. Representado por d:

Capitalização e Descapitalização Chamamos de capitalização o processo de aplicação de uma

taxa de juros sobre um capital, resultando de um juro e, por con-seguinte de um montante. Quando queremos saber qual o valor de um montante, estamos querendo saber o resultado da capitalização do valor atual.

A descapitalização, por outro lado, corresponde a operação in-versa, sabemos o valor do montante e queremos saber o valor atual. Fazemos descapitalização quando queremos saber, por exemplo, quanto precisamos investir hoje em um determinado regime de ca-pitalização, durante um determinado número de períodos, para ter numa data futura um determinado montante.


MATEMÁTICA

Capitalização Simples

No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na moda-lidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto ban-cário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total.

O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capi-talização simples, porém, representa o início do estudo da matemá-tica financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008).

Juros Simples

No regime de juros simples, os juros de cada período são sem-pre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004).

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou sim-plesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P . i . n

Onde:J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + JurosMontante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número

de períodos)

M = P . ( 1 + ( i . n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de

R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Solução:

M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma uni-

dade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.

Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Fórmula: M = P (1 + i.n)

Desenvolvimento:2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 nn = 2/3 ano = 8 meses

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)


MATEMÁTICA

Capitalização Composta No regime de capitalização composta, os juros produzidos

num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo pe-ríodo também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O inter-valo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamen-tal, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de pe-ríodos) represente sempre o número de períodos de capitalização.

Em economia inflacionária ou em economia de juros eleva-dos, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções sig-nificativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008).

Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema fi-nanceiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capita-lização o momento em que os juros são incorporados ao principal. (BRANCO, 2002).

Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i)3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M =

P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcu-larmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:P = R$6.000,00t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 → x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.Portanto o montante é R$9.054,00

Exercícios

1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o di-nheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do emprés-timo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros?

Primeiramente iremos calcular o valor do capital.

A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital:

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 3% ------------- ½ ano (1 mês)i % ------------ 1ano

Resolvendo:

Identificando-se os termos disponíveis, temos:

C= R$ 2.500,00i= 3% a.m.→ 36% a.a. → a.a. → 0,36 a.a.j= R$ 1.800,00


MATEMÁTICA

Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Portanto: O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.

Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo re-sultado, pelo seguinte raciocínio:

Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, ire-mos obter o juro referente a cada período:

Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-rado:

2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo

qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material?

Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total.

Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00):

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades.


↓ 2,4% ------------- ½ ano (1 mês) ↓i % ------------ 1ano

Resolvendo:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

C= R$ 27.000,00i= 2,4% a.m.→ 28,8% a.a. → a.a. → 0,288 a.a.j= R$ 11.664,00



Logo:

Portanto: Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos.



Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, re-ferente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado:

3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00,

após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00):

M= R$74.932,00j= R$ 22.932,00 C = M – j → C = 74.932,00 – 22.932,00 → C = 52.000,00

Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não es-tão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades.

Montando uma regra de três simples direta, temos: ↓ 3 bimestres ------------- 1 semestre ↓

n bimestres ------------ 3,5 semestres


MATEMÁTICA

Resolvendo:


Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula:


Logo:

Portanto: 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Ani-nha investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de sorte a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 10,5, obteríamos a taxa desejada:

4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Res-gatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtrain-do-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00):

C= R$ 2.000,00j= R$ 450,00 n = 1 mês → 30 dias

Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades.




Logo:

Portanto: A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d.

Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a encon-trar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,225 pelo período de tempo, 30, obteríamos a taxa desejada:

5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo.

Neste caso, devemos converter uma das unidades. Identifican-do-se os termos disponíveis, temos:

C= R$ 1.800,00i= 1,3% a.m. → a.m. → 0,013 a.m.n = 1 ano → 12 meses

Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: j = C . i . n

Substituindo o valor dos termos temos: j = 1.800,00. 0,013 . 12


MATEMÁTICA

Logo: j = 280,80

O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor total dos juros. Tal como na fórmula: M = C+ j

Ao substituirmos o valor dos termos temos: M = 1.800,00 + 280,80 → M= 2.080,80

Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: 1.800,00 . 0,013 → 23,40

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado: 23,40 . 12 → 280,80

O valor do montante será encontrado, simplesmente soman-do-se ao valor do principal, o valor total dos juros: 1.800,00 + 280,80 → 2.080,80

6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 24,72% ------------- 2 semestres (1 ano) ↓ i % ------------ 1 semestreResolvendo:


C= R$ 35.000,00i= 24,72% a.a. → 12,36% a.s. → a.s → 0,1236 a.s.n = 1 semestre

Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula:


Logo:

Portanto: Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mes-

mo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado

multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o va-lor do juro por período seria:

Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente ao período de tempo, para termos o valor procurado:

7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro

ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação?




No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

↓ i ------------- 360 dias (1 ano) ↓ 0,0009 ------------ 1 dia

Resolvendo:


MATEMÁTICA

Portanto: 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros,

R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a encon-trar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de tem-po, 45, obteríamos a taxa desejada:

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bi-mestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada?




No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’).

Logo:

↓ i ------------- 6 bimestres (1 ano) ↓ 0,062 ------------ 1 bimestreResolvendo:

Portanto: A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. Alternativamente pode-ríamos dividir o valor total dos juros, R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a encontrar a taxa de juros total do período:

Dividindo-se então, esta taxa de 0,062 pelo período de tempo, 1, obteríamos a taxa desejada:

Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de conversão conforme efetuado acima.

9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado?

Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:

↓ 37,5% ------------- 12 meses (1 ano) ↓ i% ------------ 1 mês

Resolvendo:


i= 37,5% a.a. → 3,125% a.m. → a.m. → 0,03125 a.m.j= R$ 5.000,00n = 1 mês

Para calcularmos o capital vamos utilizar a fórmula:

C =


C =


MATEMÁTICA

Logo: C = 160.000,00Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual

recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, iremos obter o valor do juro por período:

Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor do capital:

10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses?

Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos conver-ter uma das unidades.


↓ 19,2% ------------- 6 meses (1 semestre) ↓ i% ------------ 1 mês

Resolvendo:


C = R$ 8.200,00i= 19,2% a.s. → 3,2% a.m. →

a.m. → 0,032 a.m.j= R$ 1.049,60



Logo:

Portanto: O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s.



Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.049,60, referente ao valor total do juro, por R$ 262,40 correspondente ao valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procu-rado:

11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis for-necidas pelo enunciado do problema:

Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.

Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o mon-tante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante:

Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos:

Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante:

Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então:


MATEMÁTICA

Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um to-tal de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.

12) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um

empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada para financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação

Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro com-posto é:

Mas como estamos interessados em calcular o capital, é me-lhor que isolemos a variável C como a seguir:

Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do mon-tante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:

Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:

Vamos então novamente isolar a variável C:

Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:

Logo: O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96. 13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de

18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos em busca:

Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada com os seguintes passos:

Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores obtidos do enunciado:


MATEMÁTICA

O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 2,25%. Logo: Para que eu venha obter o montante desejado, é pre-ciso que a taxa de juro composto seja de 2,25% a.m.

4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:

Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro com-posto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo que estamos a procura:

Substituindo o valor das variáveis na fórmula:

Assim sendo: Para que eu consiga dobrar o valor do meu ca-pital precisarei de 41,12 meses de aplicação.

5) Se um certo capital for aplicado por um único período a

uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Na modalida-de de juros simples, temos que o montante pode ser obtido através da seguinte fórmula:

Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula:

Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à se-guinte expressão:

Que após colocarmos C em evidência teremos:

Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de apli-cação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, a fórmula ficará apenas como:

Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido através da fórmula:

Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, chega-remos à expressão:

Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chega-mos à mesma fórmula. Por quê?

Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao fi-nal de cada período, assim como acontece na modalidade de juros compostos.

Como há apenas um período, não há distinção entre uma mo-dalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor princi-pal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, por se tratar de apenas um período de aplicação.

Temos então que: Em qualquer uma das modalidades o rendi-mento será o mesmo.

Descontos Simples e Compostos

São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, ou seja:

D = S - C

Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:

- Desconto comercial, bancário ou por fora; - Desconto racional ou por dentro.

Descontos Simples

Por Fora (Comercial ou Bancário). O desconto é calculado sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples


MATEMÁTICA

Df = S.i.t

É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas. O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja

C = S.(1- i.t)

Por Dentro (Racional). O desconto é calculado sobre o valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples

Dd = C.i.t

Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo:

C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + i.t) = S

C = S/(1 + i.t)

Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero.

Descontos Compostos

O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s):

Dc = S - C

onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que C = S/(1 + i)n

Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O valor da comissão é de:

Resposta:h = 0.04iB = 0.12 * 3

AB = N * [1-(iB * h)]300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]300000 = N * [1-0.4]N = 500000Vc = 0.04 * NVc = 0.04 * 500000Vc = 20000

Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:

Resposta:N = 256000n = 7 mesesi = 0.04 a.m.iB = n*i = 7*0.04 = 0.28A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000

Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de:

Resposta:Dc = 860Dr = 781.82Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 =

8600.22

Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:

Resposta:i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a.A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)5D = N – D → N = 6DA = N * ( 1 – i*n)5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 – 3.6 * n3.6 * n = 1n = 0.277 (anos)n = 0.277 * 365 diasn = 101.105 dias

Questão 5. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:

Resposta:N = 600000Ab = 516000h = 0.02i = 0.96 a.a.Db = Db + N*hAb = N * [1 - (i*n+h)]516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.020.8533 = 0.98 – 0.96*n0.96 * n = 0.1267n = 0.1319 anos ≈ 45 dias

Questão 6. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples:

Resposta:Dc = 600i = 0.05 a.m.n = 4

Dc = Dr * (1 + i*n)600 = Dr * (1 + 0.05*4)Dr = 600/1.2Dr = 500


MATEMÁTICA

Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

Resposta:Dr = 800i = 0.04 a.m.n = 5 mesesDc = Dr * (1 + i*n)Dc = 800 * (1 + 0.04*5)Dc = 800 * 1.2Dc = 960

Questão 8. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de deconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

Resposta:Dc = 9810n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dc = Dr * (1 + i*n)9810 = Dr * (1 + 0.03*3)9810 = Dr * 1.09Dr = 9810/1.09Dr = 9000Questão 9. Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve

sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal:

Resposta:N = 10900Dc = 981n = 3

Dc = N * i * n981 = 10900 * i * 3981 = 32700 * ii = 0.03 (3% a.m.)

Dr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 900

outra forma de fazer a questão seria usando:N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)10900 = 981 * Dr / (981-Dr)10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr11881 * Dr = 1069290011881 * Dr = 10692900Dr = 900

Questão 10. Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional:


Dc = N * i * nDr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 1856 / (1+0.04*4)Dr = 1856 / 1.16Dr = 1600

Questão 11. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.

Resposta:N =10000n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)3 = 1.092727Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727Dcr = 848.58Dcr = N – A848.58 = 10000 – AA = 10000 – 848.58A = 10000 – 848.58A = 9151.42

Questão 12. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m.

Resposta:n = 4 mesesi = 0.03 a.m.A = 840

Dcr = N – ADcr = N – 840Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)4 = 1.12550881(1+0.03)4 -1 = 0.12550881Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004N = 945.4274004Dcr = 945.4274004 – 840Dcr ≈ 105.43

Questão 13. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.:


MATEMÁTICA

Resposta:Dcr = 6465.18n = 4 mesesi = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.21550625(1+i)n – 1 = 0.215506256465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625N = 36465,14

Questão 14. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m. (despreza os centavos):

Resposta:Dcr = 340.10n = 6 mesesi = 0.05 a.m.Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.05)6 = 1.340095640625(1+i)n – 1 = 0.340095640625340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625N ≈ 1340.10Dcr = N – A340.10 = 1340.10 – AA = 1000Questão 15. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes

o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:

Resposta:N = 5 * Drcn = 10 mesesA = 200000

Drc = N – ADrc = 5 * Drc – 2000004 * Drc = 200000Drc = 50000Drc = N – A

50000 = N – 200000N = 250000

Questão 16. Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.

Resposta:N = 1000000n = 3 anosi = 0.1 a.a.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.331(1+i)n -1 = 0.331Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331Dcr = 248,685.20A = N – DrcA = 1000000 – 248,685.20A = 751,314.80

Questão 17. Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:

I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.;II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.;III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.

Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção:

Resposta:N = 11245.54n = 60 dias = 2 mesesI) Dc = N * i * nDc = 11245.54 * 0.025 *2Dc = 562.277A = N – DcA = 11245.54 – 562.277A = 10683.26II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)Dr = 674.7324 / 1.06Dr = 636.54A = N – DcA = 11245.54 – 636.54A = 10609.0

III) Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n]Dcr = 11245.54 * 0.05740409Dcr = 645.54A = N – DcA = 11245.54 – 645.54A = 10600

Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c.

Questão 18. Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..



MATEMÁTICA

Dc = N * i * n672 = N * 0.03 * 4N = 5600Dcr = N * [1 - (1/(1+i)n)]Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881Dcr = 624.47

Questão 19. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).

Resposta:A = 4400n = 4 mesesi = 0.03 a.m.

A = N – DrcA + Drc = NDrc = N * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657Drc * 0.888487048 = 490.657Drc = 552.23N = A + DrcN = 4400 + 552.23N = 4952.23

Questão 20. Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por Carlos a título de quitação do empréstimo.

Resposta:N = 100000n = 4 meses = 120 diasi = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.

M =C * (1+i)n

M =100000 * (1+0.005)120

M = 181939.67A = M / (1+0.3/2)A = 158208.4

Questão 21. Calcule o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitalização semestral.

Resposta:n = 1.5 anos = 3 semestresDrc = 25000i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.520875(1+i)n -1 = 0.52087525000 = N * 0.520875 / 1.520875N = 25000 * 1.520875 / 0.520875N = 72996.16

Descontos Racional e Comercial

Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio; Fatura; Duplicata; Nota promissória. Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do ven-cimento do compromisso.

O valor do título no dia do vencimento é chamado de: valor nominal e este vêm declarado no mesmo. O valor do título em uma data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual. O valor atual é menor que o valor nominal

Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. Observe:

A = N – Dc ou A = N - DrOnde: A – Valor atualExemplos para fixação de conteúdo: Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no

valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo do seu vencimento?

Resolvendo: N = 15.000I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)T = 6 Dc = 15000 x 24 x 6 = 2160000 1200 1200 Dc= 1800A = 15000 – 1800 = 13200A = 13200 Observe algumas notações:

D Desconto realizado sobre o títuloN Valor nominal de um títuloA Valor atual de um títuloI Taxa de desconton Número de períodos para o desconto


MATEMÁTICA

Assim: Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre

o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual “A” do título em questão.

D = N - A Fórmula do desconto: Dc = N . i . t 100Tipos de desconto Há basicamente dois tipos de descontos:– Desconto comercial (por fora)– Desconto racional (por dentro) Desconto comercial: Também chamado de desconto por fora,

comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal “N”. Assim, de acordo com a fórmula dada:

Dc = N . i . t 100 Onde: Dc = desconto comercialN = valor nominal do título dadoi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em anos Observações: a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema

em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e utilizado o valor de 36000.

b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o

tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200. Exemplos para fixação de conteúdo: 1) Uma fatura foi paga com 30 dias antes do vencimento do

prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 25.000,00.

Resolvendo:

Dados do problema N = 25000i = 45% a.a.t = 30

Dc = N . i . t 36000 Dc = 25000 x 45 x 30 = 33750000 = 937,50 36000 36000 O valor de desconto é de R$ 937,50. Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso

em dias. 2) A que taxa foi calculada o desconto simples de

R$ 5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipada-mente em 8 meses ?

Resolvendo: Dados do problema N = 35000i = ?t = 8 mesesDc = 5.000,00Dc = N . i . t 1200 i = 1200 . Dc N. t I = 1200 x 5000 = 6000000 = 21,43% 35000 x 8 280000 O valor da taxa é de 21,43% Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso

em meses. O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo: Dc = A . i . t 100 + it Desconto Racional (por dentro): É chamado de desconto

racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo sobre o valor atual do título, temos então:

Dr = A . i .t 100 O qual: Dr = valor do desconto racional na operaçãoA = valor atual do títuloi = taxa de descontot = período de tempo na operação100 = tempo considerado em ano


MATEMÁTICA

Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer do tempo em que a taxa é considerada :

Ano = 100Mês = 1200Dias = 36000 Relembrando que: A = N – Dr Substituindo → Dr = N . i . t 100 + it Exemplo para fixação de conteúdo: Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$

16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 24% a.a.

Resolvendo: Dados do problema N = 16000i = 24% a.a.t = 3 mesesDr = N . i . t 100 + it Dr = 16000 x 24 x 3 = 1152000 = 905,66 1200 + 24 x 3 1272 O valor do desconto é de R$ 905,66.

TAXAS DE JUROS: NOMINAL, EFETIVA, EQUIVALENTES, PROPORCIONAIS, REAL E

APARENTE.

Taxa Nominal

A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:

Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimoAssim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00,

deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:

Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%

Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, taxa efe-tiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, financiamentos, con-sórcios e etc.

Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são apresentados de um maneira clara.

Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorpora-ção de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.

Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva?

Vamos acompanhar através do exemplo:Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados

durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equi-valente mensal:

Respostas e soluções: 1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capita-

lizado com a taxa anual.2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas con-

venções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12):

12%/12 = 1% a.m.b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$

1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse mesmo capital).

Cálculo da taxa equivalente mensal:

( ) 11 −+= tq

tiqi

onde:iq : taxa equivalente para o prazo que eu queroit : taxa para o prazo que eu tenhoq : prazo que eu querot : prazo que eu tenho

( ) 112,01 121−+=qi = (1,12)0,083333 – 1

iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m. 3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva

mensala) pela convenção da taxa proporcional:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147M = 1.196,15 b) pela convenção da taxa equivalente:M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296M = 1.185,29 NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equi-

valente a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:


MATEMÁTICA

M = c (1 + i)n

M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297M = 1.185,29 Conclusões:

- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!

- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.).

- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos públicos a grande maioria das bancas exa-minadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa equivalente.

Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os conceitos acima.

1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com ca-

pitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva?a) 27,75 %b) 29,50%c) 30 %d) 32,25 %e) 35 % 2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime

de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equi-valente composta ao mês de:

a) 12%b) 20%c) 22%d) 24% Respostas: 1) d 2) b

Taxa Real e Taxa Efetiva

As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da ma-temática financeira. Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. Não importando se a capitalização é simples ou compos-ta, existem três tipos de taxas: taxa nominal, taxa efetiva e taxa real. No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado de cada um dos tipos de taxa. Vamos compreender o conceito de cada uma delas.

Taxa Nominal: A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal.b) 5% ao trimestre com capitalização semestral.c) 15% ao semestre com capitalização bimestral.

Taxa Efetiva: A taxa efetiva é aquela que o período de forma-ção e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos:

a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal.b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual.c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.

Taxa Real: A taxa real é aquela que expurga o efeito da infla-ção no período.

Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores ne-gativos.

Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período.

Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir)(1+iinf)

Onde,ief→é a taxa efetivair→é a taxa realiinf→é a taxa de inflação no período

Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fór-mula.

Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento efe-tivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação.

Solução: A solução do problema consiste em determinar o ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação financeira. Temos que:

Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos:


MATEMÁTICA

Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao ano.

Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste sala-rial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado.

Solução: Temos que

Aplicando a fórmula, teremos:

Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa ca-tegoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período.

A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interes-sante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in .

O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o mesmo período,

a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).

A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escre-ver: S1 = S2 (1 + r)

Substituindo S1 e S2 , vem:P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)

Daí então, vem que:(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:in = taxa de juros nominalj = taxa de inflação no períodor = taxa real de juros

Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. Veja o exemplo a seguir:

Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pe-de-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.

Teremos que a taxa nominal será igual a:in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 =

25%Portanto in = 25%

Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:

(1 + in) = (1+r). (1 + j)(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)1,25 = (1 + r).1,101 + r = 1,25/1,10 = 1,1364Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%

Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:

(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)1,25 = (1 + r).1,301 + r = 1,25/1,30 = 0,9615

Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa.

Agora resolva este: $100.000,00 foi emprestado para ser quita-do por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?

Resposta: 25%

Taxas Equivalentes e Capitais Equivalentes

A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais podero-sas da matemática financeira e tem sido constantemente pedida nas provas de concursos públicos.

Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, de um capital que se encontrava na data presente. Relativo a descontos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data Presente, de um valor nominal que se encontrava em uma data futura.

Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, es-távamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, estáva-mos movendo o valor nominal (que também é um capital) contra o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se encontra ilus-trado nos esquemas a seguir.

Conceito de Equivalência

Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data. Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece três opções para retirar o dinheiro:


MATEMÁTICA

1a) você retira R$ 100,00 hoje;2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro de

4 meses;3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9

meses.

Qual delas é a mais vantajosa para você?

Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, tam-bém chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser hoje (= data zero).

O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data de hoje; portanto, já se encontra atualizado.

Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futu-ros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). Esquemati-zando, a situação seria esta:

Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial sim-ples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, esco-lher a fórmula do valor atual racional simples:

Vars = N/1 + inVars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos

na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples.

Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00:

Vacs = N (1 – in)Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19

Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três capi-tais deixam de ser equivalentes.

E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional simples?

Acontecerá o seguinte:

O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:

Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67

O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:

Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76

Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se--ão dois meses de juros, conforme segue:

Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120

No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles não serão mais equivalentes.

No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em apenas uma única data, para uma determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já que, no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na capi-talização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes para uma determinada data o são para qualquer outra data.

Podemos então concluir que:Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais capitais

somente se verifica para uma determinada taxa, para uma determi-nada data focal e para uma determinada modalidade de desconto.

Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma:

Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem iguais.

A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegocia-ção de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto de títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto por-que o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, mas também para grupos de capitais).

Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e se compromete e quitá-lo segundo um determinado plano de pagamento.

Todavia, devido a contigências nos seus negócios, ele percebe que não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas do finan-ciamento nas datas convencionadas. Então, propõe ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pa-gamento e os respectivos valores nominais de forma que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVA-LENTE ao plano original.

No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do problema fica bastante facilitada com a construção de um dia-grama de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se vê nos problemas a seguir.

Exercícios Resolvidos

1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 6 me-ses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, respecti-vamente, foram substituídos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor do título de 18 meses, em R$, é igual a:

Resolução:Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa

utilizando os dados do problema:A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de paga-

mento estão expressos em meses, vamos tranformá-la em mensal:i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.


MATEMÁTICA

A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o pro-blema não mencionou qual a data focal a ser considerada. Em ca-sos como este, presumimos que a data focal seja a data zero.

Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. Além disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do desconto comercial simples:

Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação:2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 .12) = 1.000 (1 – 0,015

. 9) + x (1 – 0,015 . 18) (total da dívida conforme o plano (total da dívida conforme o plano Alternativo Original de pagamento, pro-posto, atualizado para a data zero).

Calculando o conteúdo dos parênteses, temos:2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73)1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x0,73x = 1.820 + 2.460 – 865x = 3.415/0,73 = 4.678,08

Observe que a data focal era anterior à data de vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (valor atual) de cada um deles, para trazê-los à data local. Efetuamos um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalização (desincor-poração dos juros), porque estávamos transportando os valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma capitali-zação (incorporação de juros) para ser transportado para a data 9 (data futura em relação à data 6).

A atualização do valor desse capital para a data 9, então, far--se-ia com a utilização da fórmula do montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do valor descontado (valor atual).

Conclusão: para transportarmos um capital para uma data pos-terior à original, devemos capitalizá-lo; para transportarmos um capital para uma data anterior à original, devemos descapitalizá-lo.

2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O segu-rador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional simples, o valor das parcelas trimestrais será, em R$:

Resolução:Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos:

i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m.

Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a fórmula do valor atual racional simples

Vars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que:

Total da divida conforme o plano original de pagamento, atua-lizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12

Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, atua-lizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24

1.297,22 = 3,49 . xx = 1.297,22/3,49x = 371,68

3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações é, em R$:

Resolução:Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira

aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que:N = C (1 + in)N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420

Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser ca-pitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:

2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x2.528,9 + 6.422,02 = xx = 8.950,92Equação de Valor

Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores nomi-nais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis nas datas na , nb , nc …, basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto é:

Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …

A equação acima é chamada de Equação de Valor.

Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência

Ao começar a resolução de problemas que envolvem equiva-lência de capitais utilize o seguinte roteiro:

1. leia o problema todo;2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de

fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano ori-ginal de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as in-cógnitas a serem descobertas – esse diagrama é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a equação de valor para resolução do problema;


MATEMÁTICA

3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromis-sos estão na mesma unidade de medida de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a transformação que torne os cálculos mais simples);

4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;

5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de cima do dia-grama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa;

6. resolva a equação de valor;7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que

você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às ve-zes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, colo-cada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).

Desconto e Equivalência

Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender pa-péis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou refinan-ciar uma dívida.

Rendas Uniformes

Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimen-tos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através de um método alternativo.

Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.

1º Caso: Cálculo do Valor Atual

a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primei-ro pagamento acontecerá em UM período após contrair o emprés-timo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:

A = P . a[n,i], onde:A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamen-to acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.


A = P . a[n-1,i] + P, onde:A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou finan-ciamento.


A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:A = valor atual da renda certa;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

2º Caso: Cálculo do Montante

a) Quando o montante é calculado no momento da data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . s[n,i], onde:M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Quando o montante é calculado em um momento que não coincide com a data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:M = valor do montante;P = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

Rendas Variáveis

Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou retorno de capital não pode ser dimensionado no momento da aplicação, podendo variar positivamente ou negativamente, de acordo com as expectativas do mercado.

Os mais comuns são: ações, fundos de renda variável (fundo de ação, multimercado e outros), quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda e outros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de Valores, de mercadorias, de futuros e assemelhadas).


MATEMÁTICA

Taxas Proporcionais

Para se compreender mais claramente o significado destas ta-xas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois prazos:

- o prazo a que se refere à taxa de juros; e - o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF

NETO, 2001).

Taxas Proporcionais: duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 1996). Exemplos

1) Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre.

Solução:

a)

b)

2) Encontrar as taxas de juro simples mensal, trimestral e anual, proporcionais a 2% ao dia.

Solução

Taxa Aparente

Os rendimentos financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. As ta-xas de juros são corrigidas pelo governo de acordo com os índices inflacionários referentes a um período. Isso ocorre, no intuito de corrigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma cres-cente alta da inflação.

Entendemos por taxa aparente o índice responsável pelas operações correntes. Dizemos que a taxa real e a aparente são as mesmas quando não há a incidência de índices inflacionários no período. Mas quando existe inflação, a taxa aparente será formada por dois componentes: um ligado à inflação e outro, ao juro real. Para entendermos melhor o funcionamento da taxa aparente e da taxa real de juros vamos simular uma situação, observe:

Um banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros efe-tiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de remune-ração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram reajustados.

Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o ca-pital à taxa de 12% e corrigir monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento. Supondo um capital de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas.

Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12%150 . 1,12 = 168

Montante da correção do índice inflacionário correspondente a 5%

150 . 1,05 = 157,5Observe que o ganho real foi de R$ 10,50 em relação ao valor

corrigido de acordo com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão:

10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6%A taxa real foi de 6,6%.

Podemos determinar a taxa real, a taxa aparente e a inflação de uma forma simples, utilizando a seguinte expressão matemática:

1 + ia = ( 1 + ir ) * ( 1 + I )

Onde:ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação

Exemplo 1

Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Con-siderando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.

Taxa aparente = 32% = 0,32Inflação = 21% = 0,211 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)1,32 = (1 + ir) * 1,211,32/1,21 = 1 + ir1,09 = 1 + irir = 1,0909 – 1ir = 0,0909ir = 9,09%A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.

Exemplo 2

Uma instituição financeira cobra uma taxa real aparente de 20% ano, com a intenção de ter um retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflação?

Taxa aparente = 20% = 0,2Taxa real = 8% = 0,081 + 0,2 = (1 + 0,08) * (1 + I)1,2 = 1,08 * (1 + I)1,2 / 1,08 = 1 + I1,11 = 1 + I1,11 – 1 = II = 0,11I = 11%A taxa de inflação deve ser igual a 11%.


MATEMÁTICA

Exemplo 3

Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de 1,2% ao mês e uma inflação de 15% no período?

Taxa real = 1,2% = 0,012Inflação = 15% = 0,151 + ia = (1 + 0,012) * (1 + 0,15)1 + ia = 1,012 * 1,151 + ia = 1,1638ia = 1,1638 – 1ia = 0,1638ia = 16,38%

PLANOS OU SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS.

Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao paga-mento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. (HAZZAN, 2007).

Sistema de Amortização Constante – SAC

Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra de amortização que permanece constante.

Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do empréstimo.

Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.

O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de amortização.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização iremos obter uma valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica:

Nº Prestação Prestação Juros Amortização Saldo

Devedor0 1200001 11200 1200 10000 1100002 11100 1100 10000 1000003 11000 1000 10000 900004 10900 900 10000 800005 10800 800 10000 700006 10700 700 10000 600007 10600 600 10000 500008 10500 500 10000 400009 10400 400 10000 3000010 10300 300 10000 2000011 10200 200 10000 1000012 10100 100 10000 0

Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior,a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo assim,o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00. Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressao aritmética(PA) de r=100.

Sistema de Amortização Crescente – SACRE

O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Por isso, ele começa com prestações mensais mais altas, se comparado à Tabela Price.

Pelo sistema SACRE, as prestações mensais mantêm-se próximas da estabilidade e no decorrer do financiamento, seus valores tendem a decrescer. A prestação inicial pode comprometer até 30% da renda familiar e o prazo máximo de financiamento é de 25 anos.

Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal. A diferença básica entre este sistema e os outros é o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando uma redução mais rápida do saldo devedor. Também neste plano a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos outros o comprometimento máximo é 25%.

O valor das prestações é decrescente.

Sistema Francês de Amortização - Tabela Price

Pela Tabela Price, o comprador começa a pagar seu imóvel com parcelas mensais mais baixas que às do Sacre. Ao longo do contrato, no entanto, as parcelas sobem progressivamente, superando, e muito, às do Sacre.


MATEMÁTICA

Pelo sistema Price, as prestações e o saldo devedor são corrigidos mensalmente pela TR, pelos bancos privados e anualmente pela Caixa. A amortização inicial dos juros nesse sistema é menor, fazendo com que apenas a partir da metade do número de anos estabelecido em contrato comece a ser reduzido o saldo devedor do comprador.

Apenas 25% da renda familiar pode ser comprometida com a aquisição do imóvel e o prazo máximo de financiamento é de 20 anos.Consiste em um plano de amortização em que as prestações são iguais. As amortizações crescem ao longo do período da operação:

como a prestação é igual, com a redução do saldo devedor o juro diminui e a parcela de amortização aumenta.

Comparativo SAC SACRE TABELA PRICE - TPPrestações = Amortização + Juros

Decrescentes Decrescentes Constantes

Amortizações Constantes Decrescentes CrescentesJuros Decrescentes Decrescentes Decrescentes

Vantagem

Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação ao TP

Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação a TP ou SAC

Prestação inicial menor em relação a calculada pelo SAC oi SACRE

Desvantagem Prestação inicial maior

Prestação inicial maior

Saldo devedor diminui mais lentamente em relação ao SAC ou SACRE

Sistema Alemão de Amortização

O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do período seguinte.

Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão: Co = C - C i = C (1-i), mas o cliente deverá pagar C no final do período.

No início do 2º período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo neste momento: C1 = C - A1

Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser: P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C - A1)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.No início do 3º período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo: C2

= C1 - A2Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a

i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2), ou seja P2 = A2 + i (C - A1 - A2)O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.No início do 4º período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste

momento de: C3 = C2 - A3Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que

corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 - A3) = A3 + i (C1 - A2 - A3), ou seja P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)

O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do período.Este processo continua até um certo mês com índice k e poderemos escrever: Ck = Ck-1 - Ak e Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)Resumindo até o momento, temos:


MATEMÁTICA

n Cn Pn

1 C1 = C - A1 P1 = A1 + i (C - A1)

2 C2 = C - A1 - A2 P2 = A2 + i (C - A1- A2)

3 C3 = C - A1 - A2 - A3 P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)

4 C4 = C - A1 - A2 - A3 - A4 P4 = A4 + i (C - A1 - A2 - A3 - A4)

... ... ...

k Ck = C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)

A última amortização An deverá coincidir com o pagamento Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então segue que P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P

Como P1=P2, então A1 + i (C - A1) = A2 + i (C - A1 - A2), Logo A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) - i A2Assim A1 = A2 - i A2 e dessa forma A1 = A2 (1-i) e podemos

escrever que A2 = A1 / (1-i)De forma análoga, podemos mostrar que A3 = A2 / (1-i), para

concluir que A3 = A1 / (1-i)2

Temos em geral que, para todo k=2,3,4,...,n: Ak = A1 / (1-i)k-1

Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o capital C emprestado ou financiado, segue que: C = A1 + A2 + A3 + ... + An

Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, obtemos:

Evidenciando o último termo, poderemos escrever:

Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:

e desse modo

Já observamos antes que

e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, teremos:

Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período n.

Para obter os cálculos com as fórmulas básicas

com os seguintes elementos:

Objeto DescriçãoC Capital financiadoi Taxa de juros ao períodon Número de períodosP Valor de cada prestaçãoA1 Primeira amortização

AkAmortização para k=1,2,...,n.

Problema Típico

Determinar a prestação mensal de um financiamento de R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, através do sistema Alemão de amortização.

Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para obter a prestação

Sistema Americano de Amortização

O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida,deixando o valor da dívida constante,que pode ser paga em apenas um único pagamento.

Esse sistema de amortização tem a vantagem em relação ao sistema de pagamento único,pois nele não há incidência de juros sobre juros.Os juros sempre incidem sobre o valor original da dívida.Com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser.

Tem como desvantagem que o pagamento de juros pode,em tese,ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si.Para isso,basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.Vamos a um exemplo.

Vamos supor que foi-se contraido uma dívida no valor de R$13.000,00 que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.Teríamos algo como:


MATEMÁTICA

Nº Prestação Amortização Juros(9% de 13.000,00) Dívida

0 0 0 130001 0 1170 130002 0 1170 130003 0 1170 130004 0 1170 130005 0 1170 130006 0 1170 130007 0 1170 130008 0 1170 130009 0 1170 13000

10 0 1170 1300011 0 1170 1300012 13000 1170 0

O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e ainda sim a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00,dando um total de R$27.040,00.No entanto,esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida,o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros.

Sistema de Amortização Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5º período.

Sistema Americano

n JurosAmortização do Saldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 12.000,00 300.000,00

2 12.000,00 12.000,00 300.000,00

3 12.000,00 12.000,00 300.000,00

4 12.000,00 12.000,00 300.000,00

5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0

Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00

Sistema de Amortização Misto - SAM

No sistema de amortização misto as prestações são as médias aritméticas das prestações do sistema de amortização constante com o sistema francês. Os juros é a multiplicação do saldo devedor com a taxa de desconto e a amortização é a subtração das prestações com os juros.

Exemplo: Admita que você esteja interessado na compra de um veículo no valor de R$35.000,00. Um vendedor lhe propõe uma entrada de R$8.000,00 mais 12 prestações mensais a uma taxa pré-fixada de 42,00% ao ano. Atenção! Utilize quatro casas decimais para taxas na forma unitária. Monte a tabela para esse financiamento.

Veja o resultado na figura abaixo.

Veja que se tirarmos a média das prestações, a primeira ficaria assim.

2879,76 = (3051,9 + 2707,62) / 2

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.Cálculo: PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

n PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,062 69.600,00 67.388,13 68.494,073 67.200,00 67.388,13 67.294,074 64.800,00 67.388,13 66.094,075 62.400,00 67.388,13 64.894,07

Sistema de Amortização Misto (SAM)

n JurosAmortização do Saldo devedor

Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94

2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11

3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20

4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14

5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0

Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94


MATEMÁTICA

CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E

INVESTIMENTO.

O rendimento dos agentes econômicos pode ser aplicado de duas formas diferentes: em consumo ou em poupança. As chamadas “ope-rações financeiras” estão intimamente ligadas à aplicação do rendimento em poupança, sendo a base do chamado “investimento financeiro” da poupança. A gênese do investimento financeiro reside no valor temporal do dinheiro – o juro. Assim para analisar um investimento financeiro (quer seja na perspectiva de cedência de moeda ou na óptica de financiamento) é necessário compreender a ligação que existe entre capital, tempo e juro.

Estando o tempo presente em qualquer operação financeira e, variando valor de um capital com este fator, existe a necessidade de efetuar a equivalência entre capitais reportados a instantes de tempo diferentes. A equivalência entre capitais pode ser efetuada recorrendo a uma equação matemática, denominada equação de equivalência (ou de valor), que pode ser escrita através do conhecimento de dois pro-cessos (inversos um do outro): o processo de capitalização e de atualização.

Rendimento - Aplicações Possíveis

Podemos definir rendimento como sendo o resultado da produção de bens e serviços num determinado período de tempo. No caso mais geral, o rendimento apresenta-se sobre a forma de moeda. O rendimento dos agentes econômicos possui variadas origens e, de uma forma genérica, pode ser classificado em dois tipos: o rendimento do setor privado e o rendimento do setor público. No setor privado, o rendimento tem normalmente origem em quatro fontes: os salários (rendimento do trabalho), as rendas (rendimento da terra), o juro (rendimento do capital) e o lucro (rendimento resultante da atividade econômica das empresas). O rendimento no setor público, denominado rendimento nacional, pode ser encarado como uma medida do fluxo de bens e serviços na economia do país.

Segundo a Teoria Econômica, o rendimento pode ser aplicado de duas formas: em consumo ou em poupança. O consumo é o total de despesa em bens e serviços que tenham um tempo de vida definido e sejam utilizados de um modo específico. Do consumo não resulta qual-quer retorno do capital investido. Com base na definição anterior, constata-se que o consumo pode ser feito em bens e serviços de caráter duradouro e não duradouro. A título indicativo considerem-se um automóvel e um sabonete, classificáveis, respectivamente, como bem de consumo duradouro e bem de consumo não duradouro. O rendimento excedente do consumo denomina-se por poupança. Também à luz da Teoria Econômica, existem duas formas de aplicar a poupança: o entesouramento e o investimento.

O entesouramento consiste em guardar a poupança (excedente do rendimento após consumo) sob a forma de moeda. O entesouramento não permite assim nenhum tipo de ganho ao longo do tempo. O investimento consiste em aplicar um determinado montante de poupança com o objetivo de o incrementar. O investimento pode ser concretizado essencialmente de duas formas distintas: em investimentos reais diretos nos chamados bens de investimento (e.g. uma fábrica), ou através de investimentos financeiros (quer em depósitos bancários ou de outras instituições financeiras ou ainda através da aquisição de títulos (e.g. ações) nos mercados financeiros). Ao montante de moeda poupada e aplicada em investimento dá-se o nome de capital financeiro. A figura seguinte resume as possíveis aplicações do rendimento.

Figura 1: Aplicações do rendimento


MATEMÁTICA

Capital, Tempo e Juro

A essência do Cálculo Financeiro reside num único conceito – o valor temporal do dinheiro. É intuitivo que qualquer quantia não tem o mesmo valor consoante fique disponível imediatamente ou apenas daqui a algum tempo. Este fato é justificado pela chamada “preferên-cia pela liquidez”, descrita pelo economista John Maynard Keynes. Segundo este economista temos preferência pela liquidez porque, es-tando na posse de ativos líquidos, podemos escolher a forma de os aplicar (seja em consumo e/ou em poupança).

Verifica-se assim que o tempo tem extrema importância em qual-quer análise que envolva capitais e, portanto, é necessário atribuir--lhe um valor. Esse valor denomina-se juro. Pode então definir-se juro como sendo a remuneração de um capital financeiro, durante um certo prazo. A existência do juro tem sido largamente discutida ao longo dos tempos. Na Idade Média já existiam estudos sobre o conceito de juro, sendo este considerado usura e até condenado pela Igreja Católica.

Atualmente existem várias teorias que tentam explicar e justificar a existência do juro, destacando-se a da autoria de J.M. Keynes, refe-rida anteriormente, e a teoria da “preferência pelo tempo”, da autoria da Escola Austríaca de Economistas, que afirma que a existência de juro deve-se à necessidade de indução de atividades econômicas que consomem mais tempo e são mais produtivas. De uma forma sintética podemos afirmar que o juro existe por três razões, todas elas intima-mente ligadas ao fator tempo:

- Privação da liquidez: ao “cedermos” capital a outrem estamos a oportunidade de escolher o que fazer com o capital (consumo e/ou poupança).

- Perda do poder de compra: a inflação faz com que o valor do dinheiro se altere ao longo do tempo.

- Risco: ao “cedermos” capital não existe a garantia que o recu-peremos.

A importância do fator tempo faz com que, na resolução de qual-quer problema que envolva capitais reportados a diferentes momen-tos, exista a necessidade de homogeneizar os capitais numa mesma unidade, i.e., reportá-los ao mesmo momento. Em Cálculo Financeiro, podemos reportar os capitais ao mesmo instante de tempo através de uma equação matemática que traduz a equivalência entre os capitais envolvidos nesse momento – a equação de equivalência ou de valor. Para a construção correta dessa equação é necessário ter em conta três fatores, dos quais depende o juro:

- Capital- Tempo- (Taxa de) juro

O juro varia diretamente com qualquer dos fatores anteriores, i.e., aumenta quando qualquer um deles aumenta e os outros dois se mantêm constantes e diminui quando qualquer um deles diminui, mantendo-se os restantes constantes. Do exposto neste tópico resulta a regra de ouro do cálculo financeiro: “Para comparar ou operar com capitais é necessário que estes estejam reportados ao mesmo período de tempo”.

Em Cálculo Financeiro surgem dois tipos de problemas:

1. Problemas de capital único: onde pretende estabelecer-se uma equivalência entre dois ou mais capitais, capital a capital (e.g. “Quanto receberei, daqui a um ano, se efetuar hoje um depósito de R$1.000,00 à taxa de juro anual 5%”).

2. Problemas de conjunto de capitais: onde pretende estabele-cer-se uma equivalência entre um capital e um conjunto de capitais ou entre dois conjuntos de capitais (“Quanto receberei daqui a um ano se todos os meses depositar R$100,00 e a taxa de juro for de 2,5% ao ano?”).

Operações Financeiras

Denomina-se por operação financeira qualquer operação de envolva a aplicação de poupança destinada a investimento onde estejam envolvidos simultaneamente os fatores capital, tempo e taxa de juro. As operações financeiras são assim resultantes da aplicação da poupança em investimento financeiro.

Figura 2 – Fatores presentes numa operação financeira.

As operações financeiras podem dividir-se em operações de curto, médio ou longo prazo, consoante o seu horizonte temporal seja até um ano, de um a cinco anos ou a mais de cinco anos, respectivamente. Numa operação financeira intervêm, pelo menos, duas partes: o mutuário (o que pede emprestado - devedor) e o mutuante (aquele que empresta - credor). As instituições financei-ras intervêm com frequência nas operações financeiras importando distinguir a situação em que estas têm subjacente o recebimento de juros – operações ativas, e a situação em que estas têm subjacente o pagamento de juros – operações passivas.

Custos: são medidas monetárias dos sacrifícios financeiros com os quais uma organização, uma pessoa ou um governo, têm de arcar a fim de atingir seus objetivos, sendo considerados esses ditos objetivos, a utilização de um produto ou serviço qualquer, utilizados na obtenção de outros bens ou serviços. A Contabilidade gerencial incorpora esses e outros conceitos econômicos para fins de elaborar Relatórios de Custos de uso da Gestão Empresarial. No Brasil, o Decreto-Lei 1.598/77, em seu artigo 14 determina que: o contribuinte que mantiver sistema de contabilidade de custo integrado e coordenado com o restante da escrituração poderá uti-lizar os custos apurados para avaliação dos estoques de produtos, principalmente para fins fiscais.


MATEMÁTICA

TAXAS DE RETORNO

Taxa Interna de Retorno

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é a taxa necessária para igualar o valor de um investi-mento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o pro-jeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja “tentativa e erro”, ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recupera-do progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é deter-minada a partir do cash-flow relativo.

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser:- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o

investimento é economicamente atrativo.- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está

economicamente numa situação de indiferença.- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimen-

to não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.

A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Método

Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto.

O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte

forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefí-cios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamen-te, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimes-tral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso de uma folha de cálculo é possível obter o valor da TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva.

Quando a TIR calculada é superior á taxa efetiva de reinvesti-mento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, ás vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equiva-lente ao do projeto de investimento.

Exemplo

Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20%Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar

investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimen-to atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atrati-vidade (TMA), este investimento não deve ser realizado.

Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os ca-sos de alteração frequente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pes-quisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores mo-netários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as al-ternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alter-nativas suficientemente ruins.

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.


MATEMÁTICA

QUESTÕES

01- Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao valor global de R$ 200.000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% a. a., num prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$ 150,00. Caso haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Desprezando a figura da correção monetá-ria, podemos afirmar que neste caso:

a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses,

não haverá saldo devedor.b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este

é crescente.c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$

50.000,00 (valor arredondado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal).

d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 meses de pagamento.

Resolução: Dados que a questão nos fornece: Imóvel = R$ 200.000,00Taxa de Juros = 10% ao anoParcela Mensal Devida = R$ 150,00Saldo Residual = caso haja, será pago ao final do período I – Regime de Capitalização Mensal:

n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Saldo Devedor Inicial = 200.000 Saldo Devedor (Período 1) = 200.000 x (1 + i) – 150 Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i) – 150] x (1 +

i) – 150Saldo Devedor (Período 2) = 200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 +

i) – 150 Saldo Devedor (Período 3) = [200.000 x (1 + i)2 – 150 x (1 +

i) – 150] x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período 3) = 200.000 x (1 + i)3 – 150 x (1 + i)2 – 150 x (1 + i) – 150

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n – 150 x (1 + i)n-1 – 150 x (1 + i)n-2 – …. – 150

x (1 + i) – 150 Quando “n” tender ao prazo estabelecido (por exemplo: 15

anos x 12 meses) o termo que vai prevalecer é o de maior potência, tendo em vista que a prestação de R$ 150,00, com certeza, é menor que o valor da prestação que reduz o saldo devedor a zero,ou seja:

Saldo Devedor (Período n) = 200.000 x (1 + i)n

02- Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a op-ção correta para as seguintes sentenças:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispos-

tos numa seqüência histórica (de datas).II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma de-

terminada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo).

III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de cai-xa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

a) V, F, Vb) F, V, Fc) V, V, Vd) F, F, Fe) V, V, F

Resolução:

I. Um fluxo de caixa é uma série de capitais (valores) dis-postos numa seqüência histórica (de datas).

Fluxo de Caixa → Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos)e saídas (pagamen-tos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as en-tradas por uma seta para cima.

Exemplo:

A alternativa é VERDADEIRA. II. Dois (2) fluxos de caixa são equivalentes, segundo uma

determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em deter-minada data (valor atual, por exemplo).


MATEMÁTICA

Fluxos de Caixa Equivalentes → dois ou mais fluxos de caixa, com datas diferentes, são ditos equivalentesquando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais.

A alternativa é VERDADEIRA. III. A taxa interna de retorno de um determinado fluxo de

caixa é a taxa para a qual o valor atual do fluxo é nulo (igual a zero).

Métodos de avaliação de fluxo de caixa:Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são:

- Método do valor presente líquido (VPL)- Método da taxa interna de retorno (TIR)

Valor Presente Líquido → é o valor dos fluxos financeiros trazi-dos à data zero, considerando-se a taxa dada.

Taxa Interna de Retorno → é a taxa de desconto que iguala o valor atual líquido dos fluxos de caixa de um projeto a zero. Ou seja, é a taxa onde o valor atual das entradas torna-se igual ao valor atual das saídas (fluxo é nulo).

A alternativa é VERDADEIRA. 03- Um investimento consiste na realização de 12 depósitos

mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será

(A) 1200,00 (B) 1224,00(C) 1241,21 (D) 1368,03(E) 2128,81

Resolução:FV = PMT*[(1+i)^n - 1] / iFV = montantePMT = depósitosn = quantidade de depósitos

FV = PMT.[(1+i)n - 1] / iFV = 100.[(1+0,02)12 - 1] / 0,02FV = 100.[1,2682417 - 1] / 0,02FV = 100.[0,2682417] / 0,02FV = 100 . 13,412085FV = 1.341,21

Como o resgate desse montante ocorre um mês depois, então:FV = 1.341,21 . 1,02FV = 1.368,03

04- A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimes-tralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

Resolução:Uma taxa nominal de i% ao semestre é igual a uma taxa efe-

tiva de i/3 ao bimestre. Em um ano, teremos 6 capitalizações da taxa bimestral.

(1+i/3)6=1,5

1+!3

!!=

1510

!

!Usa-se log para resolver essa raiz.

! = 21%!!

Sendo 21=3.7 , podemos concluir que o mesmo pos-sui 2.2=4 divisores inteiros positivos.

05- A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Período (anos) 0 1 2Valor (milhares de reais) – 410 P P

Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser

(A) 216,5 (B) 217,5(C) 218,5 (D) 219,5(E) 220,5

Resolução:A taxa interna de retorno é a taxa real que um investimento

render ao longo do tempo para “zerar” o valor aplicado inicialmen-te. Isso tudo levando ao valor presente.

Tomando o valor presente como o ano zero.No 1º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/1,05No 2º ano, o retorno é p, levando esse valor para o ano zero,

temos p/(1,05)²

Montando a equação de fluxo de caixa: p/1,05+p/(1,05)²-410=0

Resolvendo a equação, obtemos p=220,5

06- Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta pres-tação será

(A) 50,00 (B) 52,00(C) 54,00 (D) 56,00(E) 58,00


MATEMÁTICA

Resolução:Um empréstimo de 300,00 será pago em 6 prestações mensais

sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo com ju-ros de 4%a.m. sobre o saldo devedor pelo sistema de amortização constante. O valor em reais da quarta prestação será?

Sistema de Amortização Constante (SAC)Os juros incidem somente sobre o saldo devedor.

P(n) = Prestação (n é o número de ordem da prestação= no caso é a quarta = 4))

M= montante do empréstimo = 300J= juro= 0,04 => 4%N= número de prestações = 6F= fração ( M/N) = 300/6= 50

P(n) = F + JM - JF(n-1)P(4) = 50 + 0,04x300 - 0,04x50x(4-1)P(4) = 50 +12 -6 = 56

Resposta = 56,00

07- Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não vicia-do, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é:

(A) 150/216(B) 91/216(C) 75/216(D) 55/216(E) 25/216

Resolução:A = ocorre a face 6

daí, para n < 4 teremos:

A ocorre na primeira jogada ouA ocorre na segunda jogada ouA ocorre na terceira jogada.

probabilidade de ocorrer na primeira jogada = 1/6probabilidade de ocorrer na segunda jogada = ( 5/6 ) * (1/6 )

= 5/36probabilidade de ocorrer na terceira jogada = (5/6)*(5/6)*(1/6)

= 25/216então a probabilidade pedida será:

( 1/6 ) + ( 5/36 ) + ( 25/216 ) = ( 36 + 30 + 25 )/216 = 91/216.

08- Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pa-gamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

(A) 110,00 (B) 108,00(C) 106,00 (D) 104,00(E) 102,00

Resolução:Saldo devedor = 600 - 150 = 450.i = 2% a.m. = 0,02 a.m.450*1,02 - 159 = 300,00300*1,02 - 206 = 100100*1,02 = 102,00

09- Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será

(A) 50,00 (B) 55,00(C) 60,00 (D) 65,00(E) 70,00

Resolução:

Em SAC, os juros sobre o saldo são pagos junto com a parcela.

Portanto, o valor da i-ésima parcela de um empréstimo (V) em (n) parcelas com uma taxa de juros (j) é calculada como:

P ｉ = j×(V - (i-1)V/n) + V/nP ｉ = ( j (n - i + 1) + 1 ) V /n

V - (i-1) V/n corresponde ao saldo anterior S ｉ₋₁ (o valor inicial menos as parcelas anteriores, pagas); isto multiplicado por j corresponde aos juros sobre o saldo; V/n corresponde à parcela fixa de amortização. A segunda linha é a mesma fórmula, simpli-ficada.

Portanto:

P ₃ = ( 10% ( 4 - 3 + 1 ) + 1 ) 200 / 4 = ( 0.1 × 2 + 1 ) 50 = 1.2 × 5 0 = 60

Resp.: C) 60,00 //

10- Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros com-postos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

(A) 75,0% (B) 72,8%(C) 67,5% (D) 64,4%(E) 60,0%

Resolução:ie = taxa efetivain = taxa nominaln = período

Sabendo que 1 quadrimestre tem 2 bimestres, então com apli-cação direta da fórmula, vc faz:

ie = 40%/2 -> ie = 20% ao bimestre


MATEMÁTICA

Como enunciado pede a taxa efetiva semestral, em juros com-postos, equivalente a tx nominal, qnd falar equivalente e juros compostos, basta vc usar a fórmula:

1 + I = (1 + i )^ n (elevado a n)I = Tx de maior período, ou seja, taxa mais longai = Tx mais curta

Nesse caso; semestre é mais longo que bimestre. Portanto, I = tx ao semestre (as) e i = tx

o bimestre (ab)

Aplicando na fórmula:1 + Ias = (1 + iab)^nSabendo que 1 semestre tem 3 bimestres, então n = 31 + I = (1 + 20%)^31 + I = (1+0,02)^3 > 1 + I = 1,02^3I = 1,728 – 1I = 0,728 as

Colocando em porcentagem: I = 72,8%

11- Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5.a prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta.

(A) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês.(B) Todas as prestações foram de mesmo valor.(C) Após a 5.a amortização, o valor da dívida era de R$

4.000,00.(D) O valor dos juros pagos na 3.a prestação foi de R$ 200,00.(E) A soma das 3.a e 6.a prestações foi igual a R$ 4.000,00.

Resolução:P = 12.000n = 6

A = P/n----> A = 12.000/6---->A = 2.000

J = i.A(n-t+1)J5 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.(6-5+1)80 = i.2000.280 = 4000ii = 80/4000i = 0,02 am.i = 2% a.m.

12- Uma instituição financeira capta investimentos oferecen-do a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir deter-minada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$ 10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$ 11.025,00, dois meses após o depósito, então o va-lor investido foi igual a

(A) R$ 18.000,00.(B) R$ 18.500,00.(C) R$ 19.000,00.(D) R$ 19.500,00.(E) R$ 20.000,00.

Resolução:

PV = 10.500/(1+0,05) + 11.025/(1+0,05)2

PV = 10.500/1,05 + 11.025/1,052

PV = 10.000 + 10.000PV = 20.000,00

ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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