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Estatística Aplicada

Distribuição Normal

Professor Lucas Schmidt

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Estatística Aplicada

DISTRIBUIÇÕES NORMAL


É uma distribuição teórica de frequências onde a maioria das observações se situa em torno da média (centro) e diminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos. Pode variar de – ∞ a +∞.

A distribuição normal é representada graficamente pela curva normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétrica em relação ao centro, onde se localiza a média μ.


A distribuição normal é representada graficamente pela curva normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétrica em relação ao centro, onde se localiza a média μ.

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Estatística Aplicada – Distribuição Normal – Prof. Lucas Schmidt


Função Densidade de Probabilidade

Função Densidade de Probabilidade

A estimativa de probabilidades associadas a variáveis aleatóriascontínuas envolve o cálculo de áreas sob a curva da densidade.O cálculo de áreas sob a curva normal deverá ser feito sempre emfunção dos valores particulares de μ e σ.Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi determinada umadistribuição normal padrão ou reduzida.

A estimativa de probabilidades associadas a variáveis aleatórias contínuas envolve o cálculo de áreas sob a curva da densidade.

O cálculo de áreas sob a curva normal deverá ser feito sempre em função dos valores particulares de μ e σ.

Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida.


Padronização – Z

O uso da distribuição normal padronizada nos permite calcular áreas soba curva de uma distribuição normal qualquer, pois as áreas associadascom a normal padronizadas são tabeladas.

Padronização – Z

O uso da distribuição normal padronizada nos permite calcular áreas sob a curva de uma distribuição normal qualquer, pois as áreas associadas com a normal padronizadas são tabeladas.Padronização – Z



A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva.A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva.


Distribuição normal padrão

Os valores negativos não são apresentados na tabela, pois a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são exatamente iguais às dos seus simétricos positivos.

Por exemplo: P(- 1 < Z < 0) = P(0 < Z < 1).



Exemplo – padronização

Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média μ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine:

a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;b) o número estimado de alunos que têm nota superior a 4,27.

Exemplo - padronizaçãoSabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas,

com média μ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine:

a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;

b) o número estimado de alunos que têm nota superior a 4,27.

Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável X para a variável Z.


Questões

1. (FUNDATEC – CORAG – Economista – 2013)

Os valores das contas a receber de dada empresa apresentam média de R$ 5.000,00 e desvio padrão de R$ 2.000. Por ser grande o número dessas contas, aceita-se que seus valores estejam distribuídos normalmente. Analise as seguintes afirmações sobre esses dados e sobre a propriedade da variância e do desvio padrão.

I. A probabilidade de uma conta escolhida aleatoriamente situar-se acima de R$ 9.000,00 é menor de 1%.

( ) Verdadeiro ( ) Falso

II. A probabilidade de uma conta escolhida aleatoriamente situar-se entre R$ 5.000,00 e R$ 7.000,00 é aproximadamente de 34,13%.


III. Uma proporção menor de 0,15% das contas apresenta valores menores que R$ 1.000,00.


2. (FUNDATEC – AFRE – SEFAZ RS – 2009)

Seja Z uma variável aleatória contínua normalmente distribuída com média zero e desvio padrão um. Seja P(Z < – 1) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228. Seja X uma variável aleatória contínua normalmente distribuída com média 200 e desvio padrão 20, então P(180 < X < 240), é:

a) 0,9772.b) 0,8413.c) 0,3413.d) 0,8185.e) 0,4772.


3. (FUNDATEC – AFRE – SEFAZ RS – 2009)

Uma pesquisa indica que a distribuição do tempo que os candidatos de um concurso levam para entregar uma prova é aproximadamente normal, com tempo médio de 1,5 horas e desvio padrão de 15 minutos. Sabendo que P(μ < X < μ + 2σ) = 0, 4772 e P(μ − σ < X < μ + σ) = 0, 6827 o número esperado de candidatos que levam entre 1 e 2 horas para entregar a prova, de um total de 10.000 candidatos, é:

a) 5.228b) 9.972c) 9.544d) 6.827e) 3.173

Para responder às questões seguintes, considere a figura e a tabela abaixo, que indica a área tabulada para o caso da Distribuição Normal de Probabilidade, considerando que a resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 5.000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio padrão de 150 quilogramas por centímetro quadrado.



4. (FUNDATEC – CORAG – Engenharia – 2013)

A probabilidade aproximada de a resistência da amostra ser menor que 5.300 quilogramas por centímetro quadrado é de:

a) 2,28%.b) 47,72%.c) 97,72%.d) 50%.e) 42,07%.

5. (FUNDATEC – CORAG – Engenharia, 2013)

A probabilidade aproximada de a resistência da amostra estar entre 4.850 e 5.225 quilogramas por centímetro quadrado é de

a) 77,45%.b) 34,13%.c) 43,32%.d) 22,25%.e) 0,62%

Gabarito: 1. F - V - F 2. D 3. C 4. C 5. A

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