ESTATÍSTICA

Prof.: Paulo Cesar Costa

CONCEITOS INICIAIS

Definição de EstatísticaEstatística é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que tem por objetivo coletar, apresentar e analisar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.

PopulaçãoÉ o conjunto formado por todas as pessoas (ou objetos) que têm em comum a característica que está sendo investigada.

AmostraÉ uma porção ou parte da população.

TABELAS DE FREQUÊNCIA

Exemplo 01A tabela a seguir refere-se aos resultados de uma pesquisa realizada com 25 pessoas a respeito de seu estado civil.

Exemplo 02A tabela a seguir refere-se aos resultados de uma pesquisa realizada com 25 pessoas a respeito de sua renda mensal.

Exemplo 03A tabela seguinte refere-se aos resultados de uma pesquisa realizada com 400 adolescentes a respeito de seu lazer preferido. Quais os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i, j e k?

0,06 24 e 6400a a b

92 0,23 e 23400

c c d

0,09 36400

e f e

180 0,45 45400

g g e h

92 180 400 68a e i i

68 0,17 17400

j j e k

Exemplo 04(Enem) Muitas usinas hidroelétricas estão situadas em barragens. As características de algumas das grandes represas e usinas brasileiras estão apresentadas no quadro abaixo.

A razão entre a área da região alagada por uma represa e a potência produzida pela usina nela instalada é uma das formas de estimar a relação entre o dano e o benefício trazidos por um projeto hidroelétrico. Pelos dados apresentados no quadro, o projeto que mais onerou o ambiente em termos de área alagada por potência foi:a) Tucuruíb) Furnasc) Itaipud) Ilha Solteirae) Sobradinho

REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS

Exemplo 01A população da Índia é estimada em 1,04 bilhão de habitantes. Os segmentos religiosos que compõem essa população são descritos, quantitativamente, pelo gráfico de setores ao lado, em que x representa uma medida em grau. Pelo gráfico, a população hinduísta da Índia corresponde a:

a) 780 milhõesb) 924 milhões c) 894 milhõesd) 832 milhões e) 980 milhões

1. Gráfico de setores

8x + x + 36 = 360 360º - 1,04 288º - p

x = 36 p = 0,832

Exemplo 02(UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Trabalhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a distribuição desse orçamento e representou o resultado em um gráfico de setores, como na figura a seguir. Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para quem ganha até dois salários mínimos foi representada por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador verificou, então, que o gráfico não estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais,

a) 8,8b) 9,1 c) 9,5d) 9,8 e) 10,6

360º - 4372º - x

360x = 72.43

x = 8,6

Exemplo 03(UF-RS) O gráfico a seguir apresenta a distribuição em ouro, prata e bronze das 90 medalhas obtidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais desde as Olimpíadas de Atenas de 1896 até as de 2004. Considerando-se que o ângulo central do setor circular que representa o número de medalhas de prata mede 96º, o número de medalhas desse tipo recebidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais, nesse período de tempo, é

a) 22b) 24 c) 26d) 28 e) 30

360º - 9096º - x

360x = 90.96

x = 24

2. Gráfico de barras

(Enem) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: a) 465b) 493 c) 498d) 538 e) 699

Exemplo 01

Variação anual: (461 – 239)/(2007 – 1983) = 9,25 Número es espécie ameaçadas em 2011: 461 + 4x9,25 = 498

(Enem) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400.000,00, distribuídos de acordo com o gráfico 1. No ano seguinte a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução está no gráfico 2.

Exemplo 02

Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013?a) R$ 114.285,00 b) R$ 130.000,00 c) R$ 160.000,00d) R$ 210.000,00 e) R$ 213.333,00

salario de um funcionário com E.F.: salario de um funcionário com E.M.: salario de um funcionário com E.S.:

(0,125x400.000)/50 = 1.000(0,75x400.000)/150 = 2.000

(0,125x400.000)/10 = 5.000 Folha sal. em 2014: 1.000x70 + 2.000x180.000 + 5.000x20 = 530.000

(Enem) I. Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050.

Exemplo 03

Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050, a) a taxa de crescimento populacional da China será negativa. b) a população do Brasil duplicará. c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA. d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.

(Enem) II. Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a mesma projetada para o período 2000-2050. Sendo assim, no início do século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será .

Exemplo 03

a) inferior a 2,0.b) superior a 2,0 e inferior a 2,1. c) superior a 2,1 e inferior a 2,2. d) superior a 2,2 e inferior a 2,3. e) superior a 2,3.

1.572x1,56 = 2.452,32

3. Histograma

4. Gráfico de linhas

Exemplo 01

Exemplo 02(Enem) Os gráficos 1 e 2 mostram, em milhões de reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 2005.

Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em

a) janeiro, fevereiro e outubro. b) fevereiro, março e junho. c) março, maio e agosto. d) abril, agosto e novembro. e) julho, setembro e dezembro.

Exemplo 03(Enem) O gráfico abaixo foi extraído de matéria publicada no caderno Economia & Negócios do jornal O Estado de S. Paulo, em 11/6/2006.

É um título adequado para a matéria jornalística em que esse gráfico foi apresentado:a) Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA.b) Inflação do terceiro mundo supera pela sétima vez a do primeiro.c) Inflação brasileira estável no período de 2001 a 2006.d) Queda no índice de preços ao consumidor no período 2001-2005.e) EUA: ataques terroristas causam hiperinflação.

Exemplo 04(Enem) As características dos vinhos dependem do grau de maturação das uvas nas parreiras porque as concentrações de diversas substâncias da composição das uvas variam à medida que as uvas vão amadurecendo. O gráfico a seguir mostra a variação da concentração de três substâncias presentes em uvas, em função do tempo.

O teor alcoólico do vinho deve-se à fermentação dos açúcares do suco da uva. Por sua vez, a acidez do vinho produzido é proporcional à concentração dos ácidos tartárico e málico. Considerando-se as diferentes características desejadas, as uvas podem ser colhidasa) mais cedo, para a obtenção de vinhos menos ácidos e menos alcoólicos.b) mais cedo, para a obtenção de vinhos mais ácidos e mais alcoólicos.c) mais tarde, para a obtenção de vinhos mais alcoólicos e menos ácidos.d) mais cedo e ser fermentadas por mais tempo, para a obtenção de vinhos mais alcoólicos.e) mais tarde e ser fermentadas por menos tempo, para a obtenção de vinhos menos alcoólicos.

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Paulo, Pedro e José são três engenheiros de uma grande indústria e testaram o tempo de duração de um tipo de lâmpada. Para isso, deixaram acesas, ininterruptamente, nove lâmpadas. Os tempos de vida útil, em hora, das lâmpadas foram: 890, 890, 890, 930, 950, 960, 970, 990 e 990. No rótulo das lâmpadas que serão vendidas aos consumidores, deve constar o tempo aproximado de vida útil. Para decidir sobre o número que melhor representava esse tempo, cada engenheiro escolheu um número com os seguintes argumentos: Paulo escolheu o número 940, pois, somando os tempos de

duração das lâmpadas e dividindo por 9, obtém-se 940. Pedro escolheu o número 950, pois antes e depois dele existem

quatro valores. José escolheu o número 890 pois é o valor de maior frequência.

OBS: As escolhas de Paulo, Pedro e José são chamadas, respectivamente, de MÉDIA, MEDIANA E MODA.

1. Média aritmética

1 2 ... x

x x xnn

A média aritmética dos n números x1, x2, ..., xn, é dada por:

2. Média aritmética ponderada

1 1 1 2

1 2

. . ... .x

...n

n

x p x p x pnp p p

A média aritmética ponderada dos n números x1, x2, ..., xn, com pesos p1, p2, ..., pn, respectivamente, é dada por:

Exemplo 01Os rendimentos de uma aplicação financeira em 4 dias foram: R$45,50; R$52,34; R$48,22 e R$42,00. Qual foi o rendimento médio diário dessa aplicação nesses quatro dias

45, 20 52,34 48, 22 42 187,76x 46,94 reais4 4

Exemplo 02Em um dia de pesca nos rios do Pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Cuiabá:

x x x3 18 5 10 9 6 158x 4,65 reais18 10 6 34

Tipo de peixeQuantidade

pescada (Kg)Preço por quilo

peixe A 18 R$ 3,00

peixe B 10 R$ 5,00

peixe C 6 R$ 9,00

Determine o preço médio do quilo do peixe.

Exemplo 03(ENEM) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é

média antiga18 16 17 13 14 1 19 14 16 12 14

10

a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior.

e) 2,00 pontos menor.

média nova18 16 17 13 14 14 16 12 15

8

Exemplo 04(FGV) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. Determine o salário médio dos empregados nesse mês.

x x x x20 1.500 18 2.500 9 3.500 3 4.500 120.000x 2.400 reais20 18 9 3 50

Número da classe

Salário do mês R$

Número de empregados

1 1000 → 2000 20

2 2000 → 3000 18

3 3000 → 4000 9

4 4000 → 5000 3

3. Mediana

n+12

n n +12 2

x , se n for ímpar

Me = x + x, se n for par

2

Sejam x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn os n valores ordenados assumidos por uma variável X, em um conjunto de observações. Define-se a mediana por meio da relação:

Exemplo 02Qual a mediana do conjunto de valores: 44 - 43 - 42 - 43 - 45 - 44 - 40 - 41 - 49 - 46.

40 - 41 - 42 - 43 - 43 - 44 - 44 - 45 - 46 - 49

43 44 87Me = 43,52 2

Exemplo 01A mediana do conjunto: 1 – 4 – 6 – 8 – 9 é Me = 6

Exemplo 03(ENEM) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00.

50 50 80 20

200 200 ... 200300 ... 300 400 ... 400600 ... 600vezes vezes vezes vezes

300+400Me = =350

2

Exemplo 04Os salários dos empregados de uma empresa estão representados no histograma abaixo. Qual é a mediana dos salários?

porcentagem variação salarial 52,2% - 600 32,6% - X

x52, 2X 32,6 600 X 374,71

Logo o valor da mediana é Me 1.000 +374,71 =1.374,71

4. ModaConsidere uma amostra cujas frequências dos elementos não são todas iguais. Chama-se moda, e se indica por Mo, todo elemento de maior frequência.

a) Mo = 6

Exemplo 01Determine a moda das amostras abaixo:a) 2, 6, 4, 6, 4, 6 e 5.b) 1, 4, 3, 7, 2, 7, 8 e 4.c) 1, 8, 3, 5, 0, 2, 7 e 4.

b) Mo = 4 e (Mo)´ = 7 OBS: Neste caso a amostra é dita bimodal c) Não tem moda, pois todos os elementos tem a mesma frequência

Exemplo 02(ENEM) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então:a) X = Y < Z.b) Z < X = Y.c) Y < Z < X.d) Z < X < Y.e) Z < Y < X.

0.5 1.3 2.4 3.3 4.2 5.2 7.1 45X 2,255 3 4 3 2 2 1 20

0,0,0,0,0,1,1,1,2,2, 2, 2,3,3,3,4,4,5,5,5 10 11 2 2Y 22 2

x x

Z 0

Exemplo 03(ENEM) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro. Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a:a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C. b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C. c) 17 °C, 13,5 °C e 18°C.d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C

15,5 14 ... 20 16 255Ma 1715 15

13,5 13,5 13,5 13,5 14 15,5 16 18 18 18,5 19,5 20 20 20 21,5 8Me 18x

Mo 13,5

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Um professor de Inglês está interessado em comparar o desempenho de suas quatro turmas de um mesmo curso. Para isso, ele considerou a média final dos cinco alunos de cada turma:

Turma A 5 5 5 5 5

Turma B 5 6 5 4 5

Turma C 3 7 6 5 4

Turma D 1 8 5 2 9

A5 5 5 5 5 25Média da turma A: M 5

5 5

B5 6 5 4 5 25Média da turma B: M 5

5 5

C3 7 6 5 4 25Média da turma C: M 5

5 5

D1 8 5 2 9 25Média da turma D: M 5

5 5

Exemplo 01

1. VariânciaSeja x1, x2, ..., xn a relação dos valores assumidos por uma variável X e a média aritmética desses valores. Chama-se variância de X - indicamos σ2 (σ é a letra grega sigma) - o número real não negativo:

x

2 2 22 1 2 n(x - x) + (x - x) + ... + (x - x)σ =

n

Turma A 5 5 5 5 5Turma B 5 6 5 4 5Turma C 3 7 6 5 4Turma D 1 8 5 2 9

2 2 2 2 22 (5 - 5) + (5 - 5) +(5 - 5) + (5 - 5) (5 5) 0turma A: σ = 0

5 5

2 2 2 2 2

2 (5 - 5) + (6 - 5) +(5 - 5) + (4 - 5) (5 5) 2turma B: σ = 0,45 5

2 2 2 2 22 (3 - 5) + (7 - 5) + (6 - 5) + (5 - 5) (4 5) 10turma C: σ = 2

5 5

2 2 2 2 2

2 (1 - 5) + (8 - 5) + (5 - 5) + (2 - 5) (9 5) 50turma D: σ = 105 5

Exemplo 01

2. Desvio padrãoO desvio padrão, representado por σ, é a raiz quadrada da variância.

Turma A 5 5 5 5 5

Turma B 5 6 5 4 5

Turma C 3 7 6 5 4

Turma D 1 8 5 2 9

2turma A: σ 0 0 0 2turma B: σ = 0, 4 0, 4 0,632 2turma C: σ = 2 2 1,412 2turma D: σ 10 10 3,162

x x x x x x500 10 1.000 5 1.500 1 2.000 10 5.000 4 10.500 1 62.000Ma 2.00031 31

Exemplo 02(Fuvest) A distribuição de dos salários em uma empresa é dada na tabela seguinte:

Salário (R$) Número de funcionários500,00 10

1.000,00 51.500,00 12.000,00 105.000,00 410.500,00 1

Total 31a) Qual a média dos salários nessa empresa?

b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários, com salários de R$ 2.000,00 cada um. A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?

312

i2 i=1

(x -2.000)antes: σ =

31

33 312 2

i i2 i =1 i =1

(x -2.000) (x -2.000)depois: σ =

33 33

Resp.: como 33 > 31 a variância da nova distribuição será menor que a anterior.

Exemplo 03(Profmat) Em uma turma de quatro alunos, o professor aplicou duas provas P1 e P2, obtendo as seguintes notas:

P1 = {30, 40, 50, 60} e P2 = {15, 35, 55, 75}. Analisando os resultados, é possível afirmar que a) P1 e P2 possuem a mesma média aritmética e o mesmo desvio padrão. b) P1 e P2 possuem médias aritméticas diferentes e desvios padrões diferentes. c) P1 e P2 possuem a mesma média aritmética e desvios padrões diferentes. d) P1 possui maior desvio padrão que P2. e) P2 possui maior média aritmética que P1. P1

30 40 50 60 180Ma = 454 4

2 2 2 22 (30 45) (40 45) (50 45) (60 45) = 125

4

125 5 5

P215 35 55 75 180Ma = 45

4 4

2 2 2 2

2 (15 45) (35 45) (55 45) (75 45) = 5004

500 10 5

** FIM **

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