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Estatística

Tópicos

Média AritméticaVariânciaDesvio padrãoModaDistribuição de probabilidadeDistribuição BinomialCoeficiente de variaçãoDistribuição contínua Distribuição normal

Moda

Definição: Em um levantamento estatístico, a moda é o valor que aparece com maior frequência em um espaço amostral.

Dado o conjunto {1,2,2,3,5,4,3,2}, sua Moda é 2.

Obs: se existirem 2 números que se repetem a mesma quantidade de vezes, dizemos que o evento é bimodal, ou seja, tem duas modas:

Ex: {1,2,2,3,3,5,4,3,2}Modas 2 e 3

Mediana

Definição: Em estatística ou teoria da probabilidade, a mediana é o valor intermediário que divide o espaço amostral na mesma quantidade de elementos maiores e menores que a mediana.

Dado o conjunto {1,9,8,5,4} ordenado: {1,4,5,8,9}, a Mediana é 5.

Dado o conjunto {1,3,9,8,6,2,4,7} ordenado: {1,2,3,4,6,7,8,9}, a Mediana é (4+6)/2 = 5.

Mediana

Passos:

1 – Ordenar os elementos do conjunto.2 – Contar o número de elementos (n).3 – • se n par, mediana é a média entre (n/2)-ésimo e

(n/2+1)-ésimo elemento.• se n ímpar, mediana é o (n+1)/2-ésimo elemento.

Range

Definição: É a diferença entre o maior termo e o menor termo de um conjunto numérico.

Ex: Dado o conjunto {1,3,9,8,6,2,4,7} ordenado: {1,2,3,4,6,7,8,9}, o range é 9-1=8.

Média aritmética

Definição: Dado um conjunto de n valores numéricos {x1,x2,…,xn}, sua média aritmética é:

A média aritmética de 6 números positivos é 5. Se a média do menor e maior valor é 7, qual a média dos outros 4 números?

Solução:

Se x1 é o menor valor, e x6 o maior valor, então:

Assim:

Média aritmética

Média aritmética

Exercício

Nos 3 primeiros testes dentre 4, um estudante tem uma média aritmética de 85 pontos. Este estudante quer aumentar sua média em 2 pontos. Quantos pontos ele deve tirar no quarto e último teste?

Média aritmética

Solução

Média 1 = (x1+x2+x3)/3x1+x2+x3 = 85*3

Média 2 = (x1+x2+x3+x4)/4x1+x2+x3+x4 = 87*4x4 = 87*4 – 85*3x4 = 93

Média aritmética

ExercícioSe a média aritmética de a, b e 7 é 13; qual é a média de a+3, b-5 e 6?

Média aritmética

Solução

(a+b+7)/3 = 13a+b = 39-7 = 32

(a+3+b-5+6)/3 = (a+b+4)/3 = (32+4)/3 = 12

Variância

Definição: É a quantidade de variação dos elementos do conjunto, ou quão distantes os elementos do espaço amostral estão uns dos outros.

Variância

Q 66Petrobrás – 2011 – Químico de Petróleo Jr

Variância

A média inicial será dada por:

Mi = (x1 +x2 + x3 + ....+xn)/n

Após o aumento e o abono temos que:

Mf = (1,1x1 +100 +1,1x2 +100 + 1,1x3 +100 + ....+1,1xn +100)/n

Então:

Mf = 1,1 Mi + 100

A variância inicial será dada por:

Vi=[(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2]/n

Após o aumento e o abono, temos que:Vi=[(1,1x1+100--100)2+(1,1x2+100--100)2+(1,1xn+100--100)2]/n

Então:Vf =1,21Vi Resposta E

•

Desvio padrão

Definição: O desvio padrão é a medida de quão distantes os elementos do espaço amostral estão de sua média. De forma análoga, o desvio padrão é o quanto os números desviam da média, e é a raiz quadrada da variância.

Exemplo:

Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. Determine o valor da moda, mediana, média aritmética, variância, range e do desvio padrão dessa população.

Estatística

Solução:Ordenando a população:

16, 16,16, 16, 17, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23.

Temos que:

Moda: 16

Média: (16+16+16+16+17+17+18+19+20+21+22+23)/12=18,42

Variância: [(16-18,42)2x4+ [(17-18,42)2x2+ [(18-18,42)2+ [(19-18,42)2+ [(20-18,42)+ [(21-18,42)2+ [(22-18,42)2+23 [(16-18,42)2]/12 = 6,45

Desvio padrão:

Range: 23-16= 7

Estatística

= 2,54

Desvio padrão

• Definição: descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores.

• O conjunto deste tipo de função está sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

• Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua.

Distribuição de probabilidade

• Modelo determinístico: experimentos que apresentam um resultado com um padrão matemático;– Ex: As leis da Física (Gravitacional e as

de Kepler) • Modelo Não Determinístico: resultados

irregulares quando analisados individualmente

• Ex: jogar um dado comum, tirar uma carta de um baralho de 52 cartas, etc.


Variável aleatória: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, que não estão sob o controle do observador.

Tipos: • DISCRETA – se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado; • CONTÍNUA – se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado.


Distribuições

A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que e média, a mediana e a moda são todas coincidentesEx: altura e idades de uma determinada população

Distribuições

A distribuição assimétrica positiva tem a maior frequência para valores menores e a cauda mais longa à direita

Ex: uso de máquinas fotográficas de filme

Distribuições

A distribuição assimétrica negativa tem a maior frequência para os maiores valores e a cauda mais longa à esquerda

Ex: Demanda por eletricidade ao longo do tempo

Distribuições

Ex: Quantidade de UV recebido em uma região ao longo de um período

Distribuições

Ex: Concentração de aerossóis, gotículas

Distribuições

Ex: Eficiência de reações químicas

Distribuição Discreta de Probabilidade – enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade. Ex: Demanda diária de aluguel de caminhonetes durante um período de 50 dias


P(X) é denominada função de probabilidade ou de frequência de X.

Propriedades Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.

0 ≤ P(X ) ≤1 A soma de todas as probabilidades é 1.

∑P(X ) =1


Média - representado por E(X ) ou µ: É o valor médio que resulta das inúmeras observações de uma variável aleatória.

Média

Variância: representada por Var(X) ou σ2 Medida de dispersão de uma variável aleatória X calculada em relação a E(X).

Variância

• Desvio Padrão: •

Desvio Padrão

Coeficiente de variação: é uma medida de dispersão relativa. Sua principal qualidade é a capacidade de comparação de distribuições diferentes.

Onde,Cv → é o coeficiente de variaçãos → é o desvio padrãoX → é a média dos dados

O coeficiente de variação é dado em %, por isso a fórmula é multiplicada por 100

Coeficiente de variação:

Distribuição Binomial: Se p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa única e q = 1 – p é a de insucesso, então a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes, em N tentativas (isto é, de que haja X sucessos e N – X insucessos), é dada por:

Distribuição Binomial

Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes, ou equivalentemente, seis moedas são lançadas. a) Qual é a probabilidade de exatamente duas

caras ocorrerem? b) Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo

menos 4 caras? c) Qual é a probabilidade de não ocorrerem

caras? d) Qual é a probabilidade de ocorrer pelos

menos uma cara?


Solução:


Exercício:Um homem de vendas calcula que cada contato resulta em venda com probabilidade de 20%. Certo dia, ele contata dois possíveis clientes. a) Construir a tabela de distribuição de probabilidade para a variável X: número de clientes que assinam um contrato de vendas. b) Calcular a número esperado de clientes que assinam um contrato de vendas, a variância e o desvio padrão desta distribuição.


Solução:

a)P(0)=1.0,20.0,82=0,64P(1)=2.0,21.0,81=0,32P(2)=1.0,22.0,80=0,04


b)

E(X)= 0,32 + 0,08 = 0,40

c)

Var(X) = 12.0,32+22.0,64-[0,32+(2.0,64)]2

Var(X)=0,32

σ= 0,56


Exercício: Página 32 da apostilaUma firma exploradora de petróleo acha que 95% dos poços que perfura não acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, a probabilidade de obter resultado positivo em pelo menos um deles é, aproximadamente, de:(A) 96,1%(B) 73,5%(C) 30,0%(D) 26,5%(E) 3,9%


Solução:A probabilidade de pelo menos 1 poço conter petróleo é:

P(X>1)=1-[P(0)]

P(0)=1.0,950.0,956-0

P(0)=0,735

P(X>1)=1-0,735=0,265Resposta (D)


Distribuição Contínua de Probabilidade: A variável aleatória X é contínua e por isso não é possível enumerar todos os seus possíveis valores.

É representada por uma curva contínua, a curva de probabilidade, cuja equação é Y = P(X ). • P(X ) é denominada função densidade de probabilidade.

Distribuição Contínua

• A área total limitada por essa curva e os eixo dos X é igual a 1. • A área compreendida entre as verticais X = a e X = dá a probabilidade de X ser um valor entre a e b. P(a ≤ X ≤ B)

Distribuição Contínua

Distribuição normal: A distribuição ou curva

normal (de Gauss) é definida como segue:

• onde: -∞ < X < ∞ • μ= média da distribuição• σ= desvio padrão da distribuição• p = 3,1416....• e = 2,71828...

Distribuição Normal

Cada distribuição normal fica determinada pelos parâmetros µ(média) e σ(desvio padrão).Notação:


Características:

• Curvas com forma de “sino”;• Simétricas em torno de X=μ;• Possuem ponto máximo em X=μ;• Tendem a zero quando X tende a

•


Variável normal padronizadaSendo X uma variável aleatória com distribuição N(μ ,σ2), quando μ = 0 e σ2 =1 temos uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Assim a função densidade reduz-se a:

onde a variável Z é obtida pela transformação linear:


Tabela de curva normalHá vários tipos de tabelas que nos oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal. O tipo mais frequente é a tabela da faixa central, que dá a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z.


Exemplo: As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) entre 1,50 m e 1,80 m;b) mais de 1,75 m.


Solução:


b)


Exercício: Página 32 da apostilaEm um concurso público serão chamados para contratação imediata 20% dos candidatos com as maiores notas. As notas obtidas seguem uma distribuição normal com média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o candidato seja chamado para contratação imediata é, aproximadamente:

(A) 7,0(B) 7,5(B) 8,0(C) 8,5(E) 9,0

Obs: Lembre-se que a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30%. Na tabela, 0,30 corresponde a um Z de 0,85


Solução:Normalizando-se a função para Z(0,1), temos que:

Mas a tabela Z é bicaudal, ou seja (50%-20%) =30% (ver tabela)Na tabela, vemos que 0,30 corresponde a um Z de 0,85. Assim:

0,85=(X-5,5)/3

X=8,05

Resposta (C)


Exercício: Página 32 da apostilaA tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações de três empresas dos setores de petróleo e química. Os dados referem-se às últimas 80 semanas.

Exercícios

Considere as armações derivadas das estatísticas acima.I - O coeficiente de variação das ações da empresa A é o mesmo que o das ações da empresa C.II - A rentabilidade média das ações da empresa B é maior do que das demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.III - A rentabilidade média das ações da empresa C é menor do que das demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.

Estão corretas as armações(A) I, apenas.(B) I e II, apenas.(C) I e III, apenas.(D) II e III, apenas.(E) I, II e III.

Exercícios

Solução:Cálculo dos coeficientes de variação:

CA= 3,5/0,5=7%

CB= 3,9/0,6=6,5%

CC = 2,8/0,4=7%

Resposta (B)

Exercícios

Exercício: Página 35 da apostila

Na curva de distribuição de permeabilidades da rocha de um reservatório, mostrada na figura, os atributos X, Y e Z, respectivamente, são:(A) mediana, média e moda.(B) mediana, moda e média.(C) moda, mediana e média.(D) moda, média e mediana.(E) média, mediana e moda.

Exercícios

Solução:

A Moda é o elemento de maior frequência, e a maior frequência está no topo (no ponto mais alto da curva!). A Mediana está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais. A Média é sempre influenciada por valores extremos, portanto é menor que a mediana.

Resposta: (C)

Exercícios


Suponha os pesos dos pacotes de arroz normalmente distribuídos com média 1Kg e desvio padrão 20g. Escolhendo um pacote ao acaso, qual é a probabilidade de ele pesar mais de 1030g?(A) 13;4%(B) 11;6%(C) 10;0%(D) 8;4%(E) 6;7%

*Dado que P(Z=1,5)=0,43319

Exercícios

• Solução:

Μ=1000gσ= 20gP(X>1030) = ?

Z= (1030-1000)/20= 1,5P(Z=1,5)=0,43319

P(Z>1,5)=0,5-0,43319= 0,067 ou 6,7%

Resposta (E)

Exercícios

Exercício: Página 36 da apostilaEstudando o número de infrações cometidas por postos de gasolina em determinada cidade, numa amostra de 100 postos foram encontradas as seguintes quantidades de infrações. Quais são, respectivamente, a média, a mediana, a moda e a variância desta amostra?

(A) 0,7 1 0 0,94(B) 0,7 1 1 0,94(C) 0,8 0;5 0 0,96(D) 0,8 1 0 0,96(E) 0,8 1 1 0,96

Exercícios

Solução:Média:E(X)=(1x30+2x10+3x10)/100E(X)= 0,8

Mediana: se ordenarmos os dados de acordo com o número de infrações, existirão 50 zeros nas 50 primeiras posições, seguidos de 30 uns. Como a mediana será a media entre os pontos mais centrais da população, ela será 0,5.

Moda: a moda é o elemento com maior frequência, portanto zero

Exercícios

Variância:Var(X)= [50x(0-0,8)2]+ [30x(1-0,8)2]+[10x(2-0,8)2]+[10x(3-0,8)2]/100

Var(X)=(32+1,2+14,4+48,4)/100 = 0,96

Resposta (C)

Exercícios


A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é o valor médio:(A) da soma dos desvios de X e Y em relação ao valor absoluto de suas médias.(B) da soma dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.(C) do produto dos desvios de X e Y em relação ao quadrado de suas médias.(D) do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.(E) do quadrado do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.

Exercícios

Solução:O valor esperado do produto dos desvios é denominado covariância entre as variáveis aleatórias x e y e é definida por:

Cov(x,y)=σxy

Resposta (D)

Exercícios

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