estabilidade aerodinÂmica de estruturas · resumo apresentam-se e discutem-se neste trabalho os...

ESTABILIDADE AERODINÂMICA DE ESTRUTURAS Aplicação à Análise de Tabuleiros de Pontes

Miguel de Morais Tavares

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil

Júri Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara Orientadores: Professor Doutor António Manuel Figueiredo Pinto da Costa Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões Vogais: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro Professor Doutor Pedro António Martins Mendes

Outubro 2012

Resumo

Apresentam-se e discutem-se neste trabalho os resultados de um algoritmo de cálculo imple-mentado para obter as condições para a ocorrência de instabilidade aerodinâmica por �utterde estruturas esbeltas, nomeadamente pontes de secção esbelta. Apresenta-se a formulaçãoque esteve na base do programa de análise numérica desenvolvido em ambiente MATLAB eindicam-se os parâmetros adimensionais mais importantes que caracterizam a ocorrência de ins-tabilidade. Para a validação do programa criado comparam-se os resultados com os de artigoscientí�cos. Numa primeira abordagem implementou-se o algoritmo para um modelo de 2 grausde liberdade. Fazendo uso desse programa construíram-se ábacos que poderão ser utilizadospara avaliação da suscetibilidade ao �utter de pontes reais. É dada também atenção a outrotipo de instabilidade aerodinâmica que afeta as estruturas esbeltas, nomeadamente a divergên-cia. A partir do algoritmo implementado para os casos bidimensionais, escreveu-se um outroprograma para obter velocidades críticas de �utter para casos tridimensionais de estruturasesbeltas, nomeadamente um aerofólio e uma ponte de cabos semelhante à ponte suspensa deJiangyin. Uma das conclusões mais interessantes deste trabalho é a coerência de resultadosentre ambos os modelos de cálculo (bidimensional e tridimensional), sugerindo que as análisessimpli�cadas de modelos de 2 graus de liberdade são su�cientes para obter uma boa estimativada suscetibilidade à instabilização aerodinâmica. Finalmente fazem-se algumas sugestões parainvestigações futuras, nomeadamente no que respeita à modelação das forças aerodinâmicas eàs duas abordagens possíveis deste problema (análise no domínio das frequências ou análise nodomínio do tempo).

Palavras-chave:Instabilidade aerodinâmicaFlutterDerivadas seccionais de �utterAeroelasticidade

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Abstract

The results of an algorithm implemented to obtain the conditions for the occurrence of aerody-namic instability by �utter in slender structures, namely bridges with slender cross sections,are presented and discussed in this dissertation. The formulation which was in the basis ofthe numerical analysis program developed using MATLAB is introduced. The most impor-tant dimensionless parameters characterizing the occurrence of instability are shown as well.In order to validate the algorithm implemented in the scope of this dissertation a comparisonis made between the results obtained with those of scienti�c papers. In a �rst approach wehave implemented the algorithm for a two-degrees of freedom model. Making use of this pro-gram, abacuses for the evaluation of �utter susceptibility of real bridge deck sections were built.Another type of aerodynamic instability that a�ects slender structures, divergence instability,is also discussed. A more complex algorithm to solve three-dimensional problems, including anairfoil and a cable bridge similar to Jiangyin suspension bridge was also implemented. One ofthe most interesting conclusions of this work is the consistency of the results between the twomodels (two-dimensional and three-dimensional), suggesting that simpli�ed models with twodegrees of freedom are enough to obtain a good estimate of the susceptibility to aerodynamicinstability. Finally, some suggestions for future research are made, particularly on the mode-ling of aerodynamic forces and on the di�erent approaches that can be made to this problem(frequency domain versus time domain).

Key-words:Aerodynamic instabilityFlutterFlutter derivativesAeroelasticity

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Agradecimentos

Aos Professores António Pinto da Costa e Fernando Simões, orientadores cientí�cos desta disser-tação, por todo o apoio prestado, cedência de material e completa disponibilidade que tiverampara o desenvolvimento do programa e escrita da dissertação.

Agradeço também ao Prof. Masaru Matsumoto da Universidade de Kyoto, Japão, pelo en-vio do seu artigo [Matsumoto, 1996] e pelo esclarecimento de uma dúvida acerca das derivadasseccionais de �utter.

Aos Professores Pedro Mendes, António Reis e José Oliveira Pedro desejo também agrade-cer os esforços no estabelecimento de contactos internacionais com vista à obtenção de dadosrelativos a pontes reais.

Ao Professor António Ferreira (Universidade do Porto), pelas rotinas MATLAB gentilementecedidas a um dos orientadores deste trabalho durante um curso ministrado sobre resolução deproblemas de elementos �nitos em MATLAB.

À minha família e amigos por todo o apoio prestado durante estes anos.

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Conteúdo

1 Introdução 11.1 O fenómeno da instabilidade aerodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Estrutura da dissertação e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Instabilidade aerodinâmica de estruturas 7

3 Modelos bidimensionais 133.1 O modelo físico e as equações do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 O problema não linear de valores e vetores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Secção de um aerofólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Secções retangulares de esbelteza variada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Secções transversais de pontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.1 Ponte Golden Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.2 Ponte Tsurumi Fairway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.3 Ponte projetada para o estreito de Messina . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.4 Ponte de Jiangyin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.5 Ponte projetada para o estreito de Gibraltar . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.6 Ponte de Tacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.7 Apreciação global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6 Instabilidade por divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Modelos tridimensionais 754.1 Viga em consola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Ponte suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Conclusões e desenvolvimentos futuros 89

A Anexos IA.1 Amortecimento de Rayleigh em sistemas dinâmicos elásticos com N graus de

liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IA.1.1 Ortogonalidade dos modos de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IA.1.2 Prescrição de fatores de amortecimento estruturais . . . . . . . . . . . . II

B Valores numéricos das velocidades críticas de �utter adimensionais VIIB.1 Secção de um aerofólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

B.1.1 Amortecimento ζh = ζα = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIB.1.2 Amortecimento ζh = ζα = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXB.1.3 Amortecimento ζh = ζα = 0.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI

B.2 Secções retangulares de esbelteza variada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIIB.2.1 Esbelteza B/D=5, amortecimento ζh = ζα = 0 . . . . . . . . . . . . . . . XIIIB.2.2 Esbelteza B/D=5, amortecimento ζh = ζα = 0.01 . . . . . . . . . . . . . XVB.2.3 Esbelteza B/D = 5, amortecimento ζh = ζα = 0.02 . . . . . . . . . . . . XVII

vii

B.2.4 Esbelteza B/D = 10, amortecimento ζh = ζα = 0 . . . . . . . . . . . . . XIXB.2.5 Esbelteza B/D = 10, amortecimento ζh = ζα = 0.01 . . . . . . . . . . . . XXIB.2.6 Esbelteza B/D = 10, amortecimento ζh = ζα = 0.02 . . . . . . . . . . . . XXIIIB.2.7 Esbelteza B/D = 20, amortecimento ζh = ζα = 0 . . . . . . . . . . . . . XXVB.2.8 Esbelteza B/D = 20, amortecimento ζh = ζα = 0.01 . . . . . . . . . . . . XXVIIB.2.9 Esbelteza B/D = 20, amortecimento ζh = ζα = 0.02 . . . . . . . . . . . . XXIX

viii

Lista de Tabelas

1 Quadro resumo comparativo das velocidades críticas de �utter (Ucrit) obtidaspelo programa desenvolvido com as suas homólogas recolhidas de diversas publi-cações (Uartigo). FD = �utter derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Frequências de oscilação livres do modelo da consola e identi�cação dos primeirosmodos de �exão (F-1) e de torção (T-1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Dados geométricos e mecânicos da ponte suspensa. . . . . . . . . . . . . . . . . 864 Frequências de oscilação livres do modelo da ponte suspensa e identi�cação dos

primeiros modos de �exão (F-1) e de torção (T-1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.1 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.2, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . VIIB.2 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.3, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . VIIB.3 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.4, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . VIIIB.4 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.5, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . VIIIB.5 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.6, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . VIIIB.6 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . IXB.7 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.3, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . IXB.8 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.4, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XB.9 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.5, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XB.10 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.6, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XB.11 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.2, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XIB.12 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.3, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XIB.13 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.4, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XIIB.14 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.5, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XIIB.15 Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.6, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XIIB.16 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.2, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIIIB.17 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.3, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIIIB.18 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.4, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIVB.19 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.5, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIVB.20 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.6, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIVB.21 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . . XVB.22 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.3, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . . XVB.23 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.4, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . . XVIB.24 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.5, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . . XVIB.25 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.6, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . . XVIB.26 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.2, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . . XVIIB.27 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.3, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . . XVIIB.28 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.4, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . . XVIIIB.29 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.5, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . . XVIIIB.30 Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.6, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . . XVIIIB.31 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.2, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIXB.32 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.3, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XIXB.33 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.4, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XX

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B.34 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.5, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXB.35 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.6, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXB.36 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXIB.37 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.3, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXIB.38 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.4, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXIIB.39 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.5, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXIIB.40 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.6, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXIIB.41 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.2, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIIIB.42 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.3, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIIIB.43 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.4, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIVB.44 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.5, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIVB.45 Velocidade crítica adimensional (B/D=10, r = 0.6, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIVB.46 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.2, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXVB.47 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.3, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXVB.48 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.4, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXVIB.49 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.5, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXVIB.50 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.6, ζh = ζα = 0). . . . . . . . . . XXVIB.51 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXVIIB.52 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.3, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXVIIB.53 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.4, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXVIIIB.54 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.5, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXVIIIB.55 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.6, ζh = ζα = 0.01). . . . . . . . XXVIIIB.56 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.2, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIXB.57 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.3, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXIXB.58 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.4, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXXB.59 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.5, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXXB.60 Velocidade crítica adimensional (B/D=20, r = 0.6, ζh = ζα = 0.02). . . . . . . . XXX

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Lista de Figuras

1 Colapso da ponte de Tacoma (EUA) em 7 de novembro de 1940. . . . . . . . . . 12 Grá�co ilustrativo da trajetória das raízes características até à ocorrência de

�utter. U designa a velocidade do vento, que neste problema desempenha opapel de parâmetro de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Modelo de dois graus de liberdade com coordenadas generalizadas h (desloca-mento transversal) e α (rotação). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Fluxograma do algoritmo implementado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Derivadas seccionais de �utter para um aerofólio (expressões (57) a (60)): A∗1,

A∗2, A∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Derivadas seccionais de �utter para um aerofólio (expressões (53) a (56)): H∗1 ,H∗2 , H

∗3 e H∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Derivadas seccionais de �utter A∗1, A∗2, A

∗3 e A

∗4 aproximadas por funções racionais

[Ding et al., 2010]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Derivadas seccionais de �utter H∗1 , H

∗2 , H

∗3 e H∗4 aproximadas por funções raci-

onais [Ding et al., 2010]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.2. 2810 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.3. 2911 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.4. 2912 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.5. 3013 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.6. 3014 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0.01,

r = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3115 Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0.01,









r = 0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

24 Derivadas seccionais de �utter para uma secção retangular de esbeltezaB/D = 5:A∗1, A

∗2, A

∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

25 Derivadas seccionais de �utter para uma secção retangular de esbeltezaB/D = 5:H∗1 , H

∗2 , H

∗3 , H

∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

26 Velocidades adimensionais críticas de �utter para secção retangular de esbeltezaB/D = 5, ζh = ζα = 0, r = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37





31 Velocidades adimensionais críticas de �utter para secção retangular de esbeltezaB/D = 5, ζh = ζα = 0.01, r = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40











∗2, A

∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


∗2 , H

∗3 , H

∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46



xii




48 Velocidades adimensionais críticas de �utter para secção retangular de esbeltezaB/D = 10, ζh = ζα = 0.01, r = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49











∗2, A

∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


∗2 , H

∗3 , H

∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55







xiii










75 Derivadas seccionais de �utter do modelo B1 do artigo [Sarkar et al., 2009]: A∗1,A∗2, A

∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

76 Derivadas seccionais de �utter do modelo B1 do artigo [Sarkar et al., 2009]: H∗1 ,H∗2 , H

∗3 e H∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

77 Derivadas seccionais de �utter de um modelo da ponte de Jiangyin: A∗1, A∗2, A

∗3

e A∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6678 Derivadas seccionais de �utter de um modelo da ponte de Jiangyin: H∗1 , H

∗2 , H

∗3

e H∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6779 Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Gibraltar: A∗1, A

∗2,

A∗3 e A∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

80 Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Gibraltar: H∗1 , H∗2 ,

H∗3 e H∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6981 Derivadas seccionais de �utter para ummodelo da ponte de Tacoma: A∗2. Consideram-

se nulas as derivadas seccionais A∗1, A∗3 e A

∗4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

82 Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Tacoma: H∗1 , H∗2 ,

H∗3 e H∗4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7083 Velocidade críticas adimensionais para a ocorrência de instabilidade por diver-

gência e por �utter para uma secção de aerofólio com ζh = ζα = 0, r = 0.6 eµ = 0.08. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

84 Coordenadas generalizadas onde atuam as forças aerodinâmicas. . . . . . . . . . 7585 Forças aerodinâmicas - representação tridimensional esquemática. . . . . . . . . 7686 Coordenadas generalizadas de um modelo 3D de elemento de barra e sua orien-

tação em relação à direcção da velocidade do vento. . . . . . . . . . . . . . . . . 7687 Forças nodais generalizadas de um modelo de barra 3D. . . . . . . . . . . . . . . 7788 Elemento de barra - modelo 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xiv

89 Modelo simpli�cado da viga em consola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8490 Modelo simpli�cado da ponte de Jiangyin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1 Fator de amortecimento ζi em função da frequência angular natural. . . . . . . . V

xv

Lista de Símbolos

Carateres Latinos

A Área da secção transversal do tabuleiro da ponteAa Matriz dos coe�cientes da componente de amortecimento das forças

aerodinâmicasAr Matriz dos coe�cientes da componente de rigidez das forças aerodinâmicasA∗i Derivada seccional de �utter A∗i (i = 1, ..., 6)B Largura do tabuleiroch Coe�ciente de amortecimento estrutural correspondente ao grau

de liberdade de deslocamento transversalcα Coe�ciente de amortecimento estrutural correspondente ao grau

de liberdade de rotação de torçãoC Matriz de amortecimento efetiva (englobando as componentes estrutural e

aerodinâmica)Cs Matriz de amortecimento estruturalci Amortecimento modal do i-ésimo modo de vibraçãoDf Força aerodinâmica de arrastamento por unidade de comprimentoE Módulo de elasticidadeF Vetor das forças aerodinâmicasG Módulo de distorçãoh Grau de liberdade correspondente ao deslocamento transversal (vertical)H∗i Derivada seccional de �utter H∗i (i = 1, ..., 6)i Raio de giração em torno do centro de gravidadei Unidade imaginária (i2 = −1)I Momento de inércia geométrico de �exão em torno do eixo de menor

inérciaI Matriz identidadeIg Inércia de torção do tabuleiro por unidade de comprimentoIp Momento polar de inércia geométrico em torno do centro de gravidade

da secção (coincidente com o centro de torção)J Fator de rigidez à torção da secção transversalkh Rigidez estrutural correspondente ao grau de liberdade de deslocamento

transversalkα Rigidez estrutural correspondente ao grau de liberdade de rotação

de torçãoki Rigidez modal do i-ésimo modo de vibraçãoK Frequência reduzidaK Matriz de rigidez efetiva (englobando as componentes estrutural e

aerodinâmica)

xvii

Ks Matriz de rigidez estruturalL Comprimento do elemento �nito de barraLf , Lh Força aerodinâmica de sustentação por unidade de comprimentom Massa do tabuleiro por unidade de comprimentoM Matriz de massa efetiva (coincide com a matriz Ms)Ms Matriz de massa estruturalMf , Mα Momento aerodinâmico por unidade de comprimentomi Massa modal do i-ésimo modo de vibraçãop Grau de liberdade de arrastamentopi Frequência natural circular de oscilação do i-ésimo modo de vibraçãoP ∗i Derivada seccional de �utter P ∗i (i = 1, ..., 6)q Quociente entre as frequências de torção e translação verticalr Raio de giração adimensionalu Vetor de coordenadas generalizadasU Velocidade dimensional do vento longe do escoamento perturbadoUcrit Velocidade dimensional crítica do ventouh Deslocamento transversal adimensionaluα Rotação de torção adimensionalv Velocidade do vento adimensionalvi Modo de vibração izi Coordenada normal do i-ésimo modo de vibração

Carateres Gregos

α Grau de liberdade correspondente à rotação de torçãoδ Vetor de deslocamentos generalizadosδi Decremento logarítmico do i-ésimo modo de vibraçãoζα Fator de amortecimento estrutural correspondente ao grau de liberdade

de rotação de torçãoζh Fator de amortecimento estrutural correspondente ao grau de liberdade

de deslocamento transversalλi Vetor próprio associado ao i-ésimo modo de vibraçãoµ Massa do ar relativamente à massa do tabuleiro (adimensional)ρ Massa volúmica do arρs Massa volúmica do tabuleiroτ Tempo adimensionalφi Vetor próprio associado a λiω Frequência circular de oscilaçãoωcrit Frequência circular de oscilação críticaωh Frequência circular natural de translação verticalωα Frequência circular natural de rotação

xviii

1 Introdução

1.1 O fenómeno da instabilidade aerodinâmica

A construção de obras de arte nos últimos anos tem levado à necessidade de vencer vãos degrande comprimento, projetando-se para tal pontes cada vez mais leves e esbeltas, vulgarizandoa solução atirantada ou suspensa. Ao longo do tempo as gamas de vãos típicos para as pontes detirantes e as pontes suspensas têm vindo a aumentar sustentadamente. É a grande �exibilidadede algumas pontes, sobretudo as suspensas, que leva à crescente preocupação da parte dosprojetistas com os fenómenos de instabilidade provocados pela ação do vento. Deste modo,tomar o vento como ação variável de base torna-se fulcral uma vez que a grande �exibilidadedeste tipo de pontes torna a ação do vento comparável à ação sísmica. Também os danosinduzidos por assentamentos de apoio são secundários face à ação do vento já que existe umaboa capacidade de acomodar os esforços gerados na ocorrência de um deslocamento imposto.Até mesmo a crescente esbelteza e �transparência� das pontes pedonais e passadiços vierampenalizar o comportamento dinâmico e a rigidez estrutural comprometendo consequentementea segurança destas estruturas sob a ação do vento. Hoje em dia a utilização de materiais cadavez mais leves e a necessidade de transpor grandes distâncias aliado aos avanços nas técnicas deanálise numérica convidam a uma conceção mais arrojada, cada vez mais sensível aos fenómenosde instabilidade.

Foi em 1940, com o colapso da ponte de Tacoma (Figura 1), que surgiram as primeiraspreocupações com os fenómenos de instabilidade provocados pelo vento no campo da engenhariacivil. Efetivamente, até aos anos 20 do século XX, no campo da indústria aeronáutica, não

Figura 1: Colapso da ponte de Tacoma (EUA) em 7 de novembro de 1940.

houve grandes desenvolvimentos na teoria da instabilidade de aerofólios apesar de se detetaremproblemas nas asas dos aviões nos primórdios da aviação. Com a catástrofe da ponte de Tacoma(7 de novembro de 1940) houve tendência para comparar o fenómeno com o que se observavanos aerofólios. Inicialmente alguns investigadores pensaram que a causa do acidente era ada ressonância forçada de um oscilador mecânico; defendiam que o vento produzia uma açãoexterior com uma frequência que coincidia com uma das frequências naturais da estrutura.

1

Isto é, supunham que o colapso da ponte de Tacoma foi consequência das grandes amplitudesgeradas por excitação externa, que num sistema com um grau de liberdade é regido pela bemconhecida equação diferencial ordinária de segunda ordem

m[x+ 2ζpx+ p2x] = F sinωt, (1)

quando ω ' p =√k/m para um amortecimento ζ pequeno.

Atente-se numa descrição possível para o fenómeno da ressonância: quando um sistemacom capacidade de oscilar é atuado por forças periódicas tendo uma frequência igual (ou quaseigual) a uma das frequências de oscilação naturais do sistema este reage com uma oscilaçãode grande amplitude que poderá gerar o colapso da estrutura. Ora, se o que ocorreu com aponte de Tacoma foi de facto um fenómeno de ressonância, surge a questão da proveniência dasforças periódicas excitadoras, já que registos apontam para que, na iminência do colapso daestrutura, o vento atuava com uma velocidade constante de 68 km/h [Billah e Scanlan, 1991].Alguns físicos defendiam que a ressonância forçada tinha tido origem nos vórtices gerados asotavento do tabuleiro e que esta tenha sido a fonte de excitação externa causadora dos danosquando o período natural de libertação de vórtices igualou uma das frequências naturais daestrutura. Este fenómeno, denominado �periodic vortex shedding�, sucede em corpos maciçosquando atuados por um �uido, onde os vórtices gerados conduzem a uma diferença de pressõesna direção transversal à da velocidade do �uido que tem como resposta a oscilação.

A posição de alguns engenheiros perante este assunto não foi de encontro à dos que pensa-vam tratar-se de um fenómeno de ressonância por excitação externa. O principal argumento dosprimeiros reside no facto de a frequência de oscilação observada no colapso da ponte de Tacomater sido de 0.2 Hz e a frequência de destacamento de vórtices calculada pela relação de Strouhalpara a velocidade do vento registada no colapso ser de 1 Hz, ou seja, totalmente dessincronizadada frequência que o tabuleiro da ponte exibiu no pré-colapso. Atualmente é unânime que ofenómeno ocorrido foi provocado por uma situação de �auto-excitação aerodinâmica�, tambémdesignada de �amortecimento negativo�, no grau de liberdade de torção, correntemente desig-nado na literatura por �utter. No início dos anos 70 do século XX identi�cou-se a verdadeiracausa do acontecimento nefasto ocorrido em Tacoma Narrows [Scanlan e Tomko, 1971], tendo�cado demonstrado que se tratou, não de um fenómeno de excitação externa, mas antes daauto-excitação (�utter) de um modo de torção anti-simétrico. O mecanismo de instabilidadepor �utter pode também ser explicado com um modelo de 1 grau de liberdade. A equação querege o modo de torção (grau de liberdade α) pode escrever-se na forma

Ig[α + 2ζαpαα + p2αα] = M(α, α), (2)

em que Ig é um momento polar de inércia modal, pα a frequência natural de torção, ζα o fatorde amortecimento modal eM o momento aerodinâmico que é função do estado do tabuleiro emrelação ao escoamento e não uma função explícita do tempo. A função M(α, α) determina-seexperimentalmente para cada tipo de secção transversal, contendo termos que, passados para oprimeiro membro, afetam o coe�ciente de amortecimento 2ζαpα e o coe�ciente de rigidez p2α. Oque provocou o colapso da ponte de Tacoma Narrows foi a instabilidade por �utter decorrentedo facto de o fator de amortecimento efetivo (soma do estrutural com o aerodinâmico) se ter

2

tornado negativo. Note-se que o fenómeno de amortecimento negativo de (2) nada tem a vercom o da excitação externa produzido por uma força osciladora função explícita do tempo comoindicado em (1). Não se descarta, no entanto, a formação de vórtices, mas crê-se que estes nãoterão sido relevantes na oscilação do tabuleiro. Admite-se, aliás, que foi a oscilação iniciadapelo fenómeno de �utter a causa da formação dos vórtices. O fenómeno da instabilidade por�utter em pontes será alvo de um estudo detalhado nesta tese.

Uma das principais di�culdades na modelação da instabilidade gerada pelo vento prende-se com a representação das forças aerodinâmicas para uso num modelo numérico. O pioneirodeste tema foi o norueguês Theodore Theodorsen [Theodorsen, 1935] que, em 1935, desenvolveuexpressões analíticas para a ação do vento sobre um aerofólio. Nas expressões de Theodorsenas forças do vento relacionam-se linearmente com o movimento (deslocamentos generalizadose velocidades generalizadas) do aerofólio através das derivadas seccionais de �utter (ou �ut-terderivatives) que são função da frequência de oscilação. Alguns investigadores tentaramtranspor a teoria desenvolvida para a análise de tabuleiros de pontes. Bleich, no seu artigo[Bleich, 1949], aplicou a formulação de Theodorsen ao estudo do acidente de Tacoma mas con-cluíu que a velocidade crítica de �utter era consideravelmente superior à que causou o colapsoda ponte. Foi Scanlan [Scanlan e Tomko, 1971] quem formulou a hipótese de que as forçasdo vento num tabuleiro de ponte se relacionam linearmente com o deslocamento e com a ve-locidade tal como na teoria de Theodorsen. No entanto, as derivadas seccionais de �utter nãoseriam as de Theodorsen (aerofólio) mas deveriam antes ser determinadas experimentalmente.Curiosamente, dada a esbelteza dos atuais tabuleiros (em contraste com o da ponte de Tacoma)o cálculo da velocidade crítica do vento com as funções de Theodorsen fornece uma boa apro-ximação.

Ainda nos anos 30 do século passado, sem meios analíticos para modelar as forças aerodi-nâmicas, �zeram-se estudos experimentais em túnel de vento. Basicamente existem dois modosde obter as forças aerodinâmicas [Ge e Tanaka, 2000]: (1) fazer uma medição direta com dina-mómetros quando ao modelo é prescrito o movimento ou (2) calcular as forças indiretamente apartir do movimento induzido no modelo. Estão disponíveis na literatura derivadas seccionaisde �utter obtidas por ambos os métodos para várias secções; neste trabalho utilizaram-se da-dos, nomeadamente de [Scanlan e Tomko, 1971; Matsumoto, 1996; Larsen e Walther, 1997; Gee Tanaka, 2000; Gu et al., 2001; Sarkar et al., 2009; Ding et al., 2010 e Kirch et al., 2011].

Outra forma de determinar as características aerodinâmicas do tabuleiro de uma ponteimplica o estudo do movimento do ar em torno do tabuleiro oscilante baseado na resoluçãonumérica das equações de Navier-Stokes. Uma vez conhecido o movimento do ar e as pressõesno tabuleiro podem-se obter as correspondentes forças aerodinâmicas [Mendes, 1994; Robertsonet al., 2003; Ge e Xiang, 2008; Starossek et al., 2009 e Bai et al., 2010].

Os resultados das simulações numéricas aqui apresentados referem sempre a origem das for-ças aerodinâmicas, quer estas tenham sido obtidas a partir de expressões analíticas ou atravésde ensaios experimentais; neste último caso apresentam-se os grá�cos dos diversos coe�cientesenvolvidos.

Para simpli�cação do problema, e em linha com o que muitos autores praticam, admitiram-sealgumas hipóteses. Despreza-se o movimento de arrastamento (drag), na direção da velocidadedo vento. As forças aerodinâmicas são todas dadas em função da frequência de oscilação admi-

3

tindo que o corpo oscila com um movimento harmónico simples simultaneamente de translaçãovertical e de torção, com a mesma frequência e pequenas amplitudes de vibração.

As análises são realizadas no domínio da frequência, isto é, para cada frequência livre devibração da estrutura avalia-se a ocorrência de instabilidade precorrendo-se uma determinadagama de velocidades do vento. A análise no domínio do tempo encontra di�culdades na de�ni-ção de funções que representem adequadamente as forças aerodinâmicas, sobretudo quando assecções do tabuleiro se afastam da geometria das placas rígidas �nas, pelo que não foi realizadaneste trabalho. Referem-se alguns autores que desenvolveram análises no domínio do tempopara investigar a instabilidade por �utter em pontes, nomeadamente [Scanlan e Tomko, 1971;Bucher e Lin, 1988; Miyata e Yamada., 1990; Diana et al., 1992 e Kovacs et al., 1992].

Encontram-se na literatura análises da instabilidade por �utter no domínio da frequência,nomeadamente em

[Lin e Yang, 1983; Agar, 1989; Miyata e Yamada., 1990; Agar, 1991; Jones

e Scanlan 1991; Namini et al., 1992; Tanaka et al., 1992; Chen, 1993; Chen, 1994; Cheng, 1995e Jain et al., 1996

]. A dissertação de mestrado [Semião, 1998] contém análises de instabilidade

aerodinâmica de pontes nacionais, tais como a ponte Vasco da Gama e a ponte sobre o rioArade.

1.2 Estrutura da dissertação e objetivos

Na secção anterior o esclarecimento do fenómeno que ocorreu na �Tacoma Narrows Bridge�teve o propósito de elucidar, desde o início do trabalho, sobre a verdadeira natureza do tipode instabilidade que esta dissertação trata. Pretendeu-se evitar confusões com outros tipos deinstabilidade provocada pela ação do vento. De facto perdura ainda nalguma literatura que acatástrofe de Tacoma foi consequência de um fenómeno de ressonância.

O presente trabalho tem como objectivo a implementação de um algoritmo de cálculo queefetue análises das condições para a ocorrência de �utter de tabuleiros de pontes. Apresenta-sea formulação que esteve na base do programa de análise numérica desenvolvido em ambienteMATLAB e indicam-se os parâmetros adimensionais mais importantes que caracterizam a ocor-rência de instabilidade. Comparam-se os resultados com os de artigos cientí�cos.

Deste modo, a dissertação principia com a explicação do fenómeno de instabilidade em causa,expondo a formulação matemática do problema, seguindo-se a aplicação para os casos mais sim-ples (modelos bidimensionais). As primeiras análises dizem respeito à instabilidade por �utterde um aerofólio [Ge e Tanaka, 2000]. Seguidamente, aproveitando o trabalho desenvolvido em[Matsumoto, 1996], �zeram-se várias análises de �utter para prismas de diferentes secções re-tangulares. O principal objetivo destas análises foi a obtenção de ábacos que fornecessem asvelocidades críticas de �utter, em função da esbelteza e outras propriedades geométricas e mate-riais, caracterizadas de forma adimensional. Deste modo, para efeitos de pré-dimensionamento,pela consulta dos ábacos, pode-se obter uma estimativa da suscetibilidade à instabilização por�utter que poderá ser útil aos projetistas de obras de arte. De seguida analisam-se diversassecções de pontes reais com base na informação de diversos artigos cientí�cos, referidos opor-tunamente, no sentido de validar as análises realizadas com o algoritmo desenvolvido. Para�nalizar a análise dos modelos bidimensionais é dada atenção a outro fenómeno de instabili-dade (a �instabilidade por divergência�) que pode ocorrer para velocidades de vento inferiores

4

à velocidade crítica de �utter.Usando o algoritmo de cálculo para o caso bidimensional construíu-se um programa adap-

tado a casos tridimensionais que recorre ao método dos elementos �nitos. Começa-se por apre-sentar a formulação do problema com a dedução das matrizes aerodinâmicas de amortecimentoe rigidez e apresentam-se também as matrizes elementares que, depois de reunidas, intervêmna equação geral do movimento. Apresentam-se os dois exemplos estudados: o de um aerofólio,já estudado no caso bidimensional, e o caso da ponte suspensa semelhante à de Jiangyin.

Por �m, na conclusão faz-se uma apreciação geral dos resultados das análises realizadas ereferem-se alguns aspetos relevantes merecedores de atenção em investigações futuras.

5

2 Instabilidade aerodinâmica de estruturas

A instabilidade por �utter pode ocorrer em estruturas esbeltas expostas a um �uido em mo-vimento devido à interação entre as forças aerodinâmicas e o seu movimento oscilatório. Defacto, as forças do vento, ao atuarem sobre um corpo esbelto (por exemplo, a asa de um avião)transferem energia para o sistema dinâmico constituído pela estrutura e o �uxo da massa dear. O sistema dinâmico aqui referido deverá ser visto como um todo, onde o movimento osci-latório é de carácter auto-excitado e, por esse motivo, o fenómeno em causa é fortemente nãolinear. A não linearidade do problema é tida em conta na resolução numérica da equação geraldo movimento, pelo que se procede nesta secção à formulação matemática do problema cujaresolução numérica faremos.

Tomando um sistema com N graus de liberdade, as equações gerais do movimento podem-seescrever na forma

Msδ + Csδ + Ksδ = F (3)

onde o índice inferior s designa entidades estruturais, δ é o vetor de deslocamentos generalizados,Ms corresponde à matriz de massa da estrutura, Cs é a matriz de amortecimento estrutural,Ks é a matriz de rigidez da estrutura e F o vetor das forças aerodinâmicas. A matriz deamortecimento estrutural de�ne-se como uma combinação linear da matriz de massa Ms e damatriz de rigidez Ks estruturais (amortecimento do tipo Rayleigh)

Cs = a0Ms + a1Ks (4)

em que a0 e a1 são constantes reais cujo modo de cálculo se indica no Anexo A.1. As forçasaerodinâmicas presentes no membro direito relacionam-se linearmente com os deslocamentos evelocidades generalizados [Scanlan e Tomko, 1971]

F = Fa + Fr = Aaδ + Arδ (5)

em que as matrizes Aa e Ar são função das derivadas seccionais de �utter, usualmente designa-das na literatura por �utter derivatives que por sua vez são função da frequência de oscilação eda velocidade do vento [Scanlan e Tomko, 1971]. Os índices inferiores a e r aludem à origem dasmatrizes, respetivamente �amortecimento� e �rigidez�. As componentes destas matrizes podemser obtidas analiticamente para o caso do aerofólio devendo no entanto ser determinadas expe-rimentalmente para os casos de geometria mais complexa. Substituindo (5) em (3) e associandoos dois termos da equação obtém-se uma nova forma de representar a equação do movimento

Msδ + (Cs −Aa)δ + (Ks −Ar)δ = 0 (6)

que considera a estrutura e o movimento da massa de ar em conjunto. Deste modo o sistemapode ser representado pela seguinte equação diferencial de 2a ordem homogénea, semelhante aocaso de vibrações livres de uma estrutura

Mδ + Cδ + Kδ = 0, (7)

em que, naturalmente, M é a matriz de massa, M = Ms, K = Ks−Ar é a matriz de rigidez eC = Cs−Aa é a matriz de amortecimento do sistema (estrutura, massa de ar) em movimento.

7

A equação (7) tem no entanto a particularidade de as suas matrizes de amortecimento C erigidez K serem não simétricas devido ao carácter não conservativo das forças aerodinâmicas,como veremos aliás nas Secções 3 e 4. Uma outra particularidade do sistema (7) é o seuparâmetro de carga ser, como veremos adiante, a velocidade do vento, que está presente nasmatrizes Aa e Ar incorporadas em C e K. Novamente se chama a atenção para o facto de ainstabilidade aerodinâmica não ter o carácter de ressonância clássica associada a uma excitaçãoexterna; (7) não tem nenhum termo independente explicitamente dependente do tempo!

A solução do sistema dinâmico (7) tem a forma

δ = φeλt (8)

em que t designa o tempo físico. De�nindo y1 = δ e y2 = δ, o sistema de N equações de 2a

ordem pode ser escrito como um sistema de 2N equações de 1a ordem{y1 = y2 ,

My2 + Cy2 + Ky1 = 0(9)

o que equivale a {y1

y2

}=

[0 I

−M−1K −M−1C

]{y1

y2

}. (10)

De�nindo y = (yT1 ,yT2 )

T e assumindo uma solução do tipo exponencial

y(t) = Yeλt (11)

em que Y = (φT , λφT )T , obtém-se um problema de valores e vetores próprios que consiste emcalcular as soluções não triviais (Y 6= 0) do sistema[

λI −IM−1K λI + M−1C

]Y = 0 (12)

cuja equação característica é de grau 2N , com 2N raízes (valores próprios). Quando os valorespróprios se agrupam em N pares de valores próprios complexos conjugados, a solução geralescreve-se como uma combinação linear de N pares de soluções:

δ(t) =N∑j=1

(z0jφje

λjt + z1jφjeλjt)

(13)

em que λj designa o número complexo conjugado de λj, z0j e z1j ∈ C são constantes complexas

arbitrárias, φj = ξj + iζj e φj = ξj − iζj, onde i representa a unidade imaginária (i2 = −1).Adote-se ainda a notação λj = µj + iνj e λj = µj − iνj. Desenvolvendo a equação (13) pode-se

8

escrever

δ(t) =N∑j=1

[z0j (ξj + iζj)e

(µj+iνj)t + z1j (ξj − iζj)e(µj−iνj)t

](14)

=N∑j=1

[z0j (ξj + iζj)e

µjt(cos νjt+ i sin νjt)

+ z1j (ξj − iζj)eµjt(cos νjt− i sin νjt)

](15)

=N∑j=1

eµjt[z0j (ξj + iζj)(cos νjt+ i sin νjt)

+ z1j (ξj − iζj)(cos νjt− i sin νjt)]

(16)

=N∑j=1

eµjt{z0j

[ξj cos νjt− ζj sin νjt+ i

(ζj cos νjt+ ξj sin νjt

)]+ z1j

[ξj cos νjt− ζj sin νjt− i

(ζj cos νjt+ ξj sin νjt

)]}(17)

=N∑j=1

eµjt{

(z0j + z1j )ξj cos νjt− (z0j + z1j )ζj sin νjt

+ i(z0j − z1j )ζj cos νjt+ i(z0j − z1j )ξj sin νjt}. (18)

Para que a parte imaginária seja nula (δ ∈ RN pois é um vetor de coordenadas generalizadas)basta que z0j + z1j ∈ R e i(z0j − z1j ) ∈ R, o que se consegue se z0j = z1j . Fazendo z

0j = αj + iβj e

z1j = αj − iβj, obtemos z0j + z1j = 2αj e i(z0j − z1j ) = −2βj, pelo que

δ(t) =N∑j=1

eµjt{

2αjξj cos νjt− 2αjζj sin νjt

− 2βjζj cos νjt− 2βjξj sin νjt}

(19)

=N∑j=1

eµjt{

2(αjξj − βjζj

)cos νjt

− 2(βjξj + αjζj

)sin νjt

}. (20)

Uma vez que νj tem o carácter de uma frequência angular fazemos νj = ωj, pelo que

δ(t) =N∑j=1

eµjt{− 2(βjξj + αjζj

)sinωjt+ 2

(αjξj − βjζj

)cosωjt

}︸︷︷︸

fator harmónico do movimento

. (21)

9

Como foi evidenciado, cada parcela da fórmula (21) decompõe-se em dois fatores: um corres-pondente à parte real dos valores próprios do sistema que controla a amplitude do movimentooscilatório e outro correspondente à parte imaginária responsável pelo movimento harmónico.As condições de instabilidade podem-se resumir nas seguintes situações [Huseyin, 1978]:

1. No caso de a parte real de um dos valores próprios com parte imaginária nula se tornarpositiva (pelo menos um µj > 0) o sistema torna-se instável. Nesse caso o movimento é nãooscilatório (νj = 0) e exponencialmente crescente. A instabilidade é do tipo divergência.Aludiremos a este tipo de instabilidade na Secção 3.6.

2. No caso de haver um valor próprio com parte imaginária não nula cuja parte real passea positiva (pelo menos um νj 6= 0 com µj > 0) ocorre um movimento oscilatório de am-plitude exponencialmente crescente. Esta instabilidade designa-se por �utter. O objetivodesta dissertação é o estudo das condições para as quais este tipo de instabilidade ocorre.

Deste modo, a ocorrência de �utter num modelo de 2 graus de liberdade poderá ser iden-ti�cada quando o sistema, inicialmente estável, se torna instável pelo facto das duas raízes dopolinómio característico coalescerem no eixo real do plano de Argand e uma delas passar a terparte real positiva. Este fenómeno é ilustrado na Figura 2.

Outra possibilidade para a ocorrência de �utter consiste em uma raíz complexa do polinó-mio característico adquirir, para certa velocidade do vento, uma parte real positiva. De facto,na prática, o �utter nos tabuleiros de pontes é resultante da auto-excitação de um modo deoscilação, usualmente um modo de torção de baixa frequência. Envolve interação entre as for-ças elásticas, de amortecimento, de inércia e aerodinâmicas que atuam fornecendo energia aotabuleiro aumentando a amplitude da sua oscilação até níveis catastró�cos.

10

Figura 2: Grá�co ilustrativo da trajetória das raízes características até à ocorrência de �utter.U designa a velocidade do vento, que neste problema desempenha o papel de parâmetro decarga.

11

3 Modelos bidimensionais

3.1 O modelo físico e as equações do movimento

Para efetuar a análise numérica para a obtenção das velocidades do vento e frequências críti-cas de �utter implementou-se em MATLAB um algoritmo de cálculo. Numa primeira fase oalgoritmo foi aplicado a um modelo simpli�cado de 2 graus de liberdade (translação vertical erotação de torção) como se ilustra na Figura 3. Nessa �gura U designa a velocidade do ventosu�cientemente longe da zona de escoamento perturbada pelo sólido. A largura do tabuleiroé designada por B e uma con�guração genérica é parametrizada pelo deslocamento verticaldescendente h transversal à velocidade do vento e pelo ângulo de ataque α medido entre avelocidade do vento e o eixo da maior dimensão do modelo da secção do tabuleiro de ponte.

Figura 3: Modelo de dois graus de liberdade com coordenadas generalizadas h (deslocamentotransversal) e α (rotação).

Para este caso a equação (3) toma a forma[m 00 Ig

]{hα

}+

[ch 00 cα

]{hα

}+

[kh 00 kα

]{hα

}=

{LhMα

}(22)

em que as quantidades m e Ig são, respetivamente, a massa e a inércia de torção por unidadede comprimento, kh e kα são os coe�cientes de rigidez, respetivamente linear e angular porunidade de comprimento e ch e cα são os coe�cientes de amortecimento, respetivamente linear eangular por unidade de comprimento. O membro direito da equação acima representa as forçasaplicadas ao sistema, neste caso as forças aerodinâmicas de sustentação, Lh (lift force), e omomento, Mα (pitching moment), ambos por unidade de comprimento do tabuleiro (despreza-se aqui o deslocamento e a força de arrastamento, (drag force) [Scanlan e Tomko, 1971]:

Lh =1

2ρU2B

(KH∗1

h

U+KH∗2

Bα

U+K2H∗3α +K2H∗4

h

B

)(23)

13

Mα =1

2ρU2B2

(KA∗1

h

U+KA∗2

Bα

U+K2A∗3α +K2A∗4

h

B

)(24)

em que K = BωU

se designa por frequência reduzida, ρ é a massa volúmica do ar, U é avelocidade do vento e B é a largura do tabuleiro, sendo ω a frequência circular de oscilaçãodo tabuleiro. As quantidades adimensionais H∗i e A∗i (i = 1, ..., 4) são função de K e podemdeterminar-se experimentalmente. Em Português tomam o nome de �derivadas seccionais de�utter � (designação adotada em [Mendes, 1994]). Em casos particulares (caso 2D e �uidoinvíscido) algumas das derivadas de �utter podem ser obtidas por expressões analíticas para ocaso de um aerofólio [Ge e Tanaka, 2000; Theodorsen, 1935].

As forças aerodinâmicas deverão ser representadas na forma matricial com o objetivo de seassociarem às matrizes de amortecimento e rigidez da estrutura, como na equação (6). Destemodo, as matrizes Ar e Aa representam-se para o caso bidimensional na forma

Ar =1

2ρU2K2

[H∗4 −BH∗3−BA∗4 B2A∗3

],

Aa =1

2ρUBK

[H∗1 −BH∗2−BA∗1 B2A∗2

].

O sistema de duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem que regem o movimentodo modelo de 2 graus de liberdade �ca então[

m 00 Ig

]{hα

}+

+

[ch − 1

2ρUBKH∗1

12ρUB2KH∗2

12ρUB2KA∗1 cα − 1

2ρUB3KA∗2

]{hα

}+

+

[kh − 1

2ρU2K2H∗4

12ρU2BK2H∗3

12ρU2BK2A∗4 kα − 1

2ρU2B2K2A∗3

]{hα

}=

{00

}. (25)

Neste momento é importante transformar as duas equações anteriores num sistema de duasequações adimensionais. De�nindo i como o raio de giração em torno do centro de gravidadei =

√Ig/m (Ig = mi2), a equação (25) �ca

[1 00 i2

]{hα

}+

+

[chm− ρUBK

2mH∗1

ρUB2K2m

H∗2ρUB2K

2mA∗1

cαm− ρUB3K

2mA∗2

]{hα

}+

+

[khm− ρU2K2

2mH∗4

ρU2BK2

2mH∗3

ρU2BK2

2mA∗4

kαm− ρU2B2K2

2mA∗3

]{hα

}=

{00

}. (26)

14

É pertinente lembrar que a quantidade i não tem qualquer relação com a unidade imaginária i(i2 = −1). De�nindo os coe�cientes

khm

= ω2h (27)

ekαm

= i2ω2α (28)

e os deslocamentos adimensionais

uh =h

B(29)

euα = α, (30)

a equação (26) �ca [1 00 i2

]{Buhuα

}+

+

[chm− ρUBK

2mH∗1

ρUB2K2m

H∗2ρUB2K

2mA∗1

cαm− ρUB3K

2mA∗2

]{Buhuα

}+

+

[ω2h −

ρU2K2

2mH∗4

ρU2BK2

2mH∗3

ρU2BK2

2mA∗4 i2ω2

α −ρU2B2K2

2mA∗3

]{Buhuα

}=

{00

}(31)

⇐⇒[B 00 i2

]{uh

uα

}+

+

[chmB − ρUB2K

2mH∗1

ρUB2K2m

H∗2ρUB3K

2mA∗1

cαm− ρUB3K

2mA∗2

]{uhuα

}+

+

[ω2hB −

ρU2BK2

2mH∗4

ρU2BK2

2mH∗3

ρU2B2K2

2mA∗4 i2ω2

α −ρU2B2K2

2mA∗3

]{uhuα

}=

{00

}. (32)

Dividindo a 1a equação por B 6= 0 obtém-se[1 00 i2

]{uhuα

}+

+

[chm− ρUBK

2mH∗1

ρUBK2m

H∗2ρUB3K

2mA∗1

cαm− ρUB3K

2mA∗2

]{uhuα

}+

+

[ω2h −

ρU2K2

2mH∗4

ρU2K2

2mH∗3

ρU2B2K2

2mA∗4 i2ω2

α −ρU2B2K2

2mA∗3

]{uhuα

}=

{00

}. (33)

15

De�nindo da maneira habitual os fatores de amortecimento

ζh =ch

2mωh(34)

eζα =

cα2Igωα

(35)

obtém-se ainda [1 00 i2

]{uhuα

}+

+

[2ζhωh − ρUBK

2mH∗1

ρUBK2m

H∗2ρUB3K

2mA∗1 2ζαωαi

2 − ρUB3K2m

A∗2

]{uhuα

}+

+

[ω2h −

ρU2K2

2mH∗4

ρU2K2

2mH∗3

ρU2B2K2

2mA∗4 i2ω2

α −ρU2B2K2

2mA∗3

]{uhuα

}=

{00

}. (36)

Utilizando também um tempo adimensional τ = ωht, tem-se

˙( ) =ddt

=ddτ

dτdt

= ωhddτ

= ωh( )′

e¨( ) = ω2

h( )′′

pelo que o sistema (36) toma a forma

[1 00 i2

]{u′′hu′′α

}+

+

[2ζh − ρUBK

2mωhH∗1

ρUBK2mωh

H∗2ρUB3K2mωh

A∗1 2ζαωαωhi2 − ρUB3K

2mωhA∗2

]{u′hu′α

}+

+

1− ρU2K2

2mω2hH∗4

ρU2K2

2mω2hH∗3

ρU2B2K2

2mω2hA∗4

(ωαωh

)2i2 − ρU2B2K2

2mω2hA∗3

{uhuα

}=

{00

}. (37)

Uma vez que o raio de giração i tem dimensões de comprimento e aparece ao quadrado na

16

matriz de massas, divide-se a segunda equação em (37) por B2 obtendo-se[1 0

0(iB

)2]{u′′hu′′α

}+

+

[2ζh − ρUBK

2mωhH∗1

ρUBK2mωh

H∗2ρUBK2mωh

A∗1 2ζαωαωh

(iB

)2 − ρUBK2mωh

A∗2

]{u′hu′α

}+

+

1− ρU2K2

2mω2hH∗4

ρU2K2

2mω2hH∗3

ρU2K2

2mω2hA∗4

(ωαωh

)2 (iB

)2 − ρU2K2

2mω2hA∗3

{uhuα

}=

{00

}. (38)

De�nindo-se o raio de giração adimensional

r =i

B=

1

B

√Igm

(39)

a equação (38) �ca na forma[1 00 r2

]{u′′hu′′α

}+

+

[2ζh − ρUBK

2mωhH∗1

ρUBK2mωh

H∗2ρUBK2mωh

A∗1 2ζαωαωhr2 − ρUBK

2mωhA∗2

]{u′hu′α

}+

+

1− ρU2K2

2mω2hH∗4

ρU2K2

2mω2hH∗3

ρU2K2

2mω2hA∗4

(ωαωh

)2r2 − ρU2K2

2mω2hA∗3

{uhuα

}=

{00

}. (40)

No sistema de equações anterior identi�ca-se o coe�ciente ρUB2mωh

na matriz de amortecimento

efetiva e o coe�ciente ρU2

2mω2hna matriz de rigidez efetiva. Esses coe�cientes são adimensionais

como se demonstra seguidamente:[ρUB

2mωh

]=ML−3LT−1L

ML−1T−1=L−1

L−1= adim.

[ρU2

2mω2h

]=ML−3L2T−2

ML−1T−2=L−1

L−1= adim.

Reescrevemos agora essas duas quantidades na forma de produtos de outras quantidades adi-mensionais

ρUB

2mωh=ρB

2m

U

ωh=ρB2

2m

U

Bωh= µv,

ρU2

2mω2h

=ρ

2m

(U

ωh

)2

=ρB2

2m

(U

Bωh

)2

= µv2,

17

em que

µ =ρB2

2m(41)

é um coe�ciente adimensional que avalia a importância da massa do ar relativamente à massado tabuleiro e

v =U

Bωh(42)

é uma velocidade do vento adimensional. Obtém-se �nalmente[1 00 r2

]{u′′hu′′α

}+

+

[2ζh − µvKH∗1 µvKH∗2

µvKA∗1 2ζαqr2 − µvKA∗2

]{u′hu′α

}+

+

[1− µv2K2H∗4 µv2K2H∗3

µv2K2A∗4 q2r2 − µv2K2A∗3

]{uhuα

}=

{00

}, (43)

em queq =

ωαωh

(44)

designa o quociente entre as duas frequências angulares para U = 0.

3.2 O problema não linear de valores e vetores próprios

Seguidamente estabelece-se o problema de valores e vetores próprios que, resolvido iterati-vamente, permite calcular, para cada velocidade do vento, as (duas) frequências naturais deoscilação do sistema e os respetivos modos de oscilação. Procuram-se soluções do sistemadinâmico (43) da forma {

uh(t)uα(t)

}=

{UhUα

}eiωt (45)

ou, dado que t = τωh, {

uh(τ)uα(τ)

}=

{UhUα

}ei ωωhτ, (46)

em que i é a unidade imaginária (i2 = −1). Assim,{u′h(τ)u′α(τ)

}= i

ω

ωh

{UhUα

}ei ωωhτ e

{u′′h(t)u′′α(t)

}= −

(ω

ωh

)2{UhUα

}ei ωωhτ.

Substituindo no sistema de duas equações diferenciais ordinárias representado na equação(43), obtém-se sucessivamente

18

(−[1 00 r2

](ω

ωh

)2

+

+

[2ζh − µvKH∗1 µvKH∗2

µvKA∗1 2ζαqr2 − µvKA∗2

]iω

ωh+

+

[1− µv2K2H∗4 µv2K2H∗3


]){UhUα

}=

{00

}(47)

⇐⇒−(ωωh

)2+ i ω

ωh(2ζh − µvKH∗1 ) i ω

ωhµvKH∗2

+ 1− µv2K2H∗4 + µv2K2H∗3

i ωωhµvKA∗1 −r2

(ωωh

)2+ i ω

ωh(2ζαqr

2 − µvKA∗2)+ µv2K2A∗4 + q2r2 − µv2K2A∗3

{UhUα

}=

{00

}. (48)

As raízes ω do sistema anterior são as frequências angulares de oscilação do modelo de doisgraus de liberdade para uma determinada velocidade adimensional do vento v. O problemaanterior tem que ser resolvido iterativamente porque as derivadas seccionais de �utter A∗i e H

∗i

(i = 1, ..., 4) são funções de K = ωBU

= 1vωωh. O problema de valores e vetores próprios não

linear anterior pode ainda ser simpli�cado atendendo a que vK = ωωh

e v2K2 =(ωωh

)2:

1−(ωωh

)2+ 2ζh

ωωh

i µ(ωωh

)2(H∗3 + iH∗2 )

− µ(ωωh

)2(H∗4 + iH∗1 )

r2[q2 −

(ωωh

)2]+ 2ζαqr

2 ωωh

i

µ(ωωh

)2(A∗4 + iA∗1) − µ

(ωωh

)2(A∗3 + iA∗2)

{UhUα

}=

{00

}. (49)

Podemos ainda de�nir {u′hu′α

}=

{vhvα

}e obter o seguinte sistema de quatro equações diferenciais de primeira ordem

[−M−1C −M−1K

I 0

]vh(τ)vα(τ)uh(τ)uα(τ)

=

v′h(τ)v′α(τ)u′h(τ)u′α(τ)

.

19

Uma vez que na forma adimensionalizada a matriz M é diagonal então

M−1 =

[1 00 1

r2

],

−M−1C =

[−2ζh + µvKH∗1 − µ

r2vKH∗2

−µvKA∗1 −2ζαq + µr2vKA∗2

]e

−M−1K =

[−1 + µv2K2H∗4 − µ

r2v2K2H∗3

−µv2K2A∗4 −q2 + µr2v2K2A∗3

].

O sistema de quatro equações diferenciais de primeira ordem �ca então

−2ζh + µvKH∗1 − µ

r2vKH∗2 −1 + µv2K2H∗4 − µ

r2v2K2H∗3

−µvKA∗1 −2ζαq + µr2vKA∗2 −µv2K2A∗4 −q2 + µ

r2v2K2A∗3

1 0 0 0

0 1 0 0

vh(τ)

vα(τ)

uh(τ)

uα(τ)

=

v′h(τ)

v′α(τ)

u′h(τ)

u′α(τ)

Procurando agora soluções da forma

vhvαuhuα

=

VhVαUhUα

eλt =

VhVαUhUα

eλωhτ

=

VhVαUhUα

eλ′τ ,

em que λ = iω ou λ′ = i ωωh, obtém-se o problema de valores e vetores próprios

λ′ + 2ζh − µvKH∗1

µr2vKH∗2 1− µv2K2H∗4

µr2v2K2H∗3

µvKA∗1 λ′ + 2ζαq − µr2vKA∗2 µv2K2A∗4 q2 − µ

r2v2K2A∗3

−1 0 λ′ 0

0 −1 0 λ′

Vh

Vα

Uh

Uα

=

0

0

0

0

em que K = ωB

U= 1

vωωh

= −iλ′

v.

Tem-se ainda vK = −iλ′ e v2K2 = (−iλ′)2 = −(λ′)2 pelo que o problema anterior pode serreescrito na forma do seguinte problema não linear de valores e vetores próprios não simétricoe complexo

20

(1 + iµH∗1 )λ′ + 2ζh −i µ

r2H∗2λ

′ 1 + µH∗4λ′2 − µ

r2H∗3λ

′2

−iµA∗1λ′ (1 + i µ

r2A∗2)λ

′ + 2ζαq −µA∗4λ′2 q2 + µr2A∗3λ

′2

−1 0 λ′ 0

0 −1 0 λ′

Vh

Vα

Uh

Uα

=

0

0

0

0

.

Note-se que, quando U → 0, todas as derivadas seccionais de �utter tendem para zero, àexceção da H∗4 , segundo o artigo [Ge e Tanaka, 2000] (caso do aerofólio). Este comportamentode H∗4 (limU→0H

∗4 > 0) é estranho pois esperar-se-ia que, na ausência de velocidade do vento

se recuperasse o sistema original conservativo. Note-se, contudo, que para pontes reais todasas derivadas seccionais de �utter obtidas experimentalmente tendem para zero quando U → 0,segundo o mesmo artigo.

O problema de valores e vetores próprios não linear anterior pode ser escrito na formacanónica A(λ′)x = λ′x, que é a forma geralmente usada em programas como o MATLAB

−2ζh − iµH∗1λ′ i µ

r2H∗2λ

′ −1− µH∗4λ′2µr2H∗3λ

′2

iµA∗1λ′ −2ζαq − i µ

r2A∗2λ

′ µA∗4λ′2 −q2 − µ

r2A∗3λ

′2

1 0 0 0

0 1 0 0

Vh

Vα

Uh

Uα

=

= λ′

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

VhVαUhUα

O problema de valores e vetores próprios não linear terá de ser resovido de forma iterativa

como se indica seguidamente, em que N é o número de graus de liberdade do modelo:

1.Resolver o problema de valores e vetores próprios correspondente às vibrações livres amor-

tecidas na ausência de vento (U = 0), o que corresponde a anular todas as derivadas seccionaisde �utter A∗l e H

∗l (l = 1, ..., 4) e a resolver o problema de vetores próprios clássico:

(D− λI2N)x = 0 (50)

em que

D =

[−M−1

s Cs −M−1s Ks

IN 0

]. (51)

Do espetro do problema anterior importa reter os valores de λ que correspondam a frequênciasnaturais com parte real positiva, as únicas com signi�cado físico. Recordar que ω = −iλ (nota:i2 = −1).

21

j = 0

2.j = j + 1

Para λj com Im(λj) > 0 (correspondentes a frequências naturais com parte real positiva)inicia-se um processo incremental em que se aumenta a velocidade do vento U de 1 km/h em1 km/h (de 0.2(7) m/s em 0.2(7) m/s) até um valor máximo UM de 486 km/h (135 m/s). Osincrementos de U designam-se por ∆U .

2.1i← i+ 1, Ui = Ui−1 + ∆U

Calcular o par (λ, ω)i para a velocidade do vento Ui que corresponde a (λ, ω)0 = (λj, ωj)para a velocidade do vento nula (este passo será pormenorizado mais adiante).

2.2Veri�car se Re(λi) > 0⇔ Im(ωi) < 0.Se Re(λi) > 0 ⇔ Im(ωi) < 0 pára-se o processo iterativo pois já se atravessou a fronteira

de �utter da solução 1:Ujf = Ui

Se Re(λi) < 0⇔ Im(ωi) > 0 retorna-se ao passo 2.1.

3.Se j < 2N regressar ao passo 2 com o objectivo de determinar a fronteira de �utter das

soluções m ≥ 2 : Ujf

4.A velocidade crítica de �utter será então:

Uf = minj{Ujf}

• Pormenorização do processamento do passo 2.1:

k = 0

2.1k = k + 1

Para a velocidade Ui, calcular A∗l e H∗l (l = 1, ..., 4) e formar a matriz dinâmica incluindo

todos os termos aerodinâmicos:

D =

[−M−1

s

(Cs −Aa

)−M−1

s

(Ks −Ar

)IN 0

]. (52)

22

2.1.1Usando o programa MATLAB, calcular os 2N valores próprios λkij (j = 1, ..., 2N). Calcular

também as frequências naturais complexas ωkij = −iλkij (o índice i pretende apenas relembrarque essas quantidades correspondem à velocidade do vento Ui).

2.1.2Comparar cada um dos λkij (j = 1, ..., 2N) ou ωkij (j = 1, ..., 2N) com o último λ ou ω obtido

(designado por λki ou ωki , respetivamente).

Se k = 1 a comparação é:

|λkij − λi−1| ou |ωkij − ωi−1| (j = 1, ..., 2N).

Se k > 1 a comparação é:

|λkij − λk−1i | ou |ωkij − ωk−1i | (j = 1, ..., 2N).

Selecionar o valor de λkij (ωkij) que corresponda à menor diferença das comparações anteriores.

2.1.3Comparar λki com λk−1i ou ωki com ωk−1i .

Se |λki − λk−1i | < TOL = 10−6 ou |ωki − ωk−1i | < TOL = 10−6 então a solução convergiu.Logo λi = λki e ωi = ωki , seguindo-se para 2.2.

Se |λki − λk−1i | > TOL = 10−6 ou |ωki − ωk−1i | > TOL = 10−6 então regressar a 2.1 paraatualizar os A∗l , H

∗l e a matriz D com λki .

Apresenta-se também na Figura 4, em forma de �uxograma, o algoritmo implementado.Testaram-se várias secções de tabuleiros de pontes no sentido de obter as respetivas velo-

cidades críticas de �utter fazendo variar as principais características mecânicas e geométricasrepresentadas pelos parâmetros adimensionais q, ζh, ζα µ e v. Apresentam-se os resultados emábacos que podem ser utilizados para, a nível de pré-dimensionamento, estimar a velocidadedo vento para a qual se prevê que uma ponte instabilize.

23

Figura 4: Fluxograma do algoritmo implementado.

24

3.3 Secção de um aerofólio

O nosso estudo começou com o uso das derivadas seccionais de �utter para o caso de umaerofólio, uma vez que são estes coe�cientes que permitem caracterizar as forças aerodinâmi-cas (membro direito da equação (22)) para o caso clássico tratado em [Theodorsen, 1935] deuma secção transversal muito esbelta (caso de uma asa de um avião). Como referido anterior-mente, algumas das derivadas de �utter, H∗i e A∗i , têm expressões analíticas (trabalho notáveldesenvolvido por Theodorsen nos anos 30 do séc. XX para aerofólios)

H∗1 = − 2π

Re(K)F (Re(K)), (53)

H∗2 = − π

2Re(K)

[1 + F (Re(K)) +

4

Re(K)G(Re(K))

], (54)

H∗3 = − π

2Re(K)

[4

Re(K)F (Re(K))−G(Re(K))

], (55)

H∗4 =π

2

[1 +

4

Re(K)G(Re(K))

], (56)

A∗1 =π

2Re(K)F (Re(K)), (57)

A∗2 =π

8Re(K)

[F (Re(K)) +

4

Re(K)G(Re(K))− 1

], (58)

A∗3 =π

64(Re(K))2[(Re(K))2 + 32F (Re(K))− 8Re(K)G(Re(K))

], (59)

A∗4 = − π

2Re(K)G(Re(K)), (60)

em que F e G são as funções de Theodorsen apresentadas seguidamente (por uma questão desimpli�cação de escrita a variável K nas funções F e G corresponde apenas à sua parte real)

F (K) =J1(K)[J1(K) + Y0(K)] + Y1(K)[Y1(K)− J0(K)]

[J1(K) + Y0(K)]2 + [Y1(K)− J0(K)]2(61)

G(K) = − Y1(K)Y0(K) + J1(K)J0(K)

[J1(K) + Y0(K)]2 + [Y1(K)− J0(K)]2(62)

em que J0, J1 e Y0, Y1 são as funções de Bessel de primeira e segunda ordem, respetivamente(ver as equações (XII) e (XIII) de [Theodorsen, 1935] ou as equações (41a) e (41b) de [Ge eTanaka, 2000]).

Representam-se nas Figuras 5 e 6 as derivadas seccionais de �utter (�utter derivatives)utilizadas para a obtenção das velocidades críticas de �utter. Note-se que estes coe�cientes sãofunção de 2π

K.

25

0 10 20 30−10

0

10

20

30

2πK

A3*

A1*

A4*

A2*

Figura 5: Derivadas seccionais de �utter para um aerofólio (expressões (57) a (60)): A∗1, A∗2,

A∗3 e A∗4.

Há autores [Ding et al., 2010] (equações (23a) e (23b)) que calculam as derivadas seccionaisde �utter utilizando as seguintes aproximações racionais das funções de Theodorsen:

F (k) = 1− 0.165

1 + (0.0455/k)2− 0.335

1 + (0.3/k)2, (63)

G(k) = −0.1650.0455/k

1 + (0.0455/k)2− 0.335

0.3/k

1 + (0.3/k)2(64)

em que k = K/2. Representam-se nas Figuras 7 e 8 as derivadas seccionais de �utter calculadasde acordo com o artigo [Ding et al., 2010] que aproximam por funções racionais as funções deTheodorsen; comparar com as Figuras 5 e 6, respetivamente.

Apresentam-se, nas Figuras 9 a 23 desta sub-secção, os ábacos que permitem calcular a ve-locidade crítica de �utter de um aerofólio, com as derivadas seccionais de �utter obtidas pelasexpressões analíticas de Theodorsen. Estes ábacos foram obtidos fazendo variar os parâme-tros de amortecimento ζh e ζα (que se consideraram iguais), o quociente q entre as frequênciasnaturais de torção e de �exão (44), a velocidade reduzida v (42), o raio de giração adimen-sional r (39) e a relação entre a massa de ar e a massa do tabuleiro da ponte µ (41). Hátrês famílias de ábacos que se obtiveram �xando os valores de ζh = ζα = ζ ∈ {0, 0.01, 0.02}e de r ∈ {0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6}. Em cada ábaco a abcissa é q, a ordenada é v e mostram-sevárias curvas correspondentes a vários valores de µ ∈ {0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.08}. No AnexoB.1 apresentam-se os valores numéricos das velocidades críticas de �utter adimensionais cor-respondentes aos ábacos.

26

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H2*

H1*

H4*

H3*

Figura 6: Derivadas seccionais de �utter para um aerofólio (expressões (53) a (56)): H∗1 , H∗2 ,

H∗3 e H∗4 .

0 10 20 30−10

0

10

20

30

2πK

A3*

A1*

A2*

A4*

Figura 7: Derivadas seccionais de �utter A∗1, A∗2, A

∗3 e A∗4 aproximadas por funções racionais

[Ding et al., 2010].

27

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H2*

H1*

H4*

H3*

Figura 8: Derivadas seccionais de �utter H∗1 , H∗2 , H

∗3 e H∗4 aproximadas por funções racionais

[Ding et al., 2010].

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

0.030.05

0.08

µ = 0.01

0.02

Figura 9: Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0, r = 0.2.

28

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


29

1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


30

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

0.08

0.050.030.02

µ = 0.01

Figura 14: Velocidades adimensionais críticas de �utter para aerofólios: ζh = ζα = 0.01,r = 0.2.

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


31

1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.05

0.08


32

1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.030.05

0.02

0.08


33

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.05

0.08


34

1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


35

3.4 Secções retangulares de esbelteza variada

É também interessante estudar como variam as velocidades críticas de �utter em função daesbelteza do tabuleiro da ponte. Nesse sentido tira-se partido do estudo feito por Mastumoto[Matsumoto, 1996] que obteve as derivadas seccionais de �utter para prismas de secção retan-gular de diferentes esbeltezas. Refere-se que as derivadas seccionais de �utter foram obtidasexperimentalmente em túnel de vento para diferentes relações (largura do tabuleiro)/(altura),isto é B/D.

Nas Figuras 24 e 25 representam-se as derivadas seccionais de �utter, obtidas por inter-polação a partir dos pontos experimentais, para uma relação largura/altura de 5 (B/D = 5),portanto uma secção transversal pouco esbelta [Matsumoto, 1996].

0 10 20 30−10

0

10

20

30

2πK

A3*

A1*

A4*

A2*

Secção retangular B/D=5

Figura 24: Derivadas seccionais de �utter para uma secção retangular de esbelteza B/D = 5:A∗1, A

∗2, A

∗3 e A

∗4.

Realizando uma análise numérica, semelhante à da Secção 3.3, construíram-se os ábacosdas velocidades críticas de �utter para este caso de esbelteza de tabuleiro (Figuras 26 a 40).Os parâmetros adimensionais são, naturalmente, os mesmos que foram utilizados na secçãoanterior para o caso de um aerofólio.

36

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK


H3*

H4*

H1*

H2*

Figura 25: Derivadas seccionais de �utter para uma secção retangular de esbelteza B/D = 5:H∗1 , H

∗2 , H

∗3 , H

∗4 .

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.05

0.08

Figura 26: Velocidades adimensionais críticas de �utter para secção retangular de esbeltezaB/D = 5, ζh = ζα = 0, r = 0.2.

37

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

vµ = 0.01

0.020.03

0.08

0.05


1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.01

0.030.05

0.08

0.02


38

1 2 3 40

1

2

3

4

q

vµ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

q

v

0.020.03 0.05

0.08

µ = 0.01


39

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

vµ = 0.01

0.02

0.050.08

0.03

Figura 31: Velocidades adimensionais críticas de �utter para secção retangular de esbeltezaB/D = 5, ζh = ζα = 0.01, r = 0.2.

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

0.03

0.05

0.08

0.02µ = 0.01


40

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.01

0.020.03 0.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

q

v

µ = 0.01

0.02

0.030.05

0.08


41

1 2 3 40

1

2

3

4

q

v

µ = 0.010.02

0.03

0.05

0.08


1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.05

0.08


42

1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.010.02

0.03

0.05

0.08


1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

q

v

µ = 0.01

0.05

0.08

0.03

0.02


43

1 2 3 40

1

2

3

4

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

q

v

µ = 0.010.02

0.030.05

0.08


44

Representam-se nas Figuras 41 e 42 as derivadas seccionais de �utter, obtidas por interpo-lação a partir dos pontos experimentais, para uma relação largura/altura de 10 (B/D = 10),portanto um valor de esbelteza intermédio [Matsumoto, 1996].

0 10 20 30−10

0

10

20

30

2πK

A1*

A2*

A4*

A3*



∗2, A

∗3 e A

∗4.

Nas Figuras 43 a 57 apresentam-se os ábacos que permitem obter as velocidades críticasde �utter para este caso de esbelteza de tabuleiro. Notar que nalguns casos registaram-seproblemas de convergência que não permitiram calcular a velocidade crítica de �utter.

45

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H2*

H4*

H1*

H3*



∗2 , H

∗3 , H

∗4 .

1 2 3 40

1

2

3

4

5

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.050.08


46

1 2 3 40

1

2

3

4

5

q

v

µ = 0.01

0.02

0.05

0.08

0.03


1 2 3 40

1

2

3

4

5

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.050.08


47

1 2 3 40

1

2

3

4

5

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.05 0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

q

v

µ = 0.01

0.02

0.08

0.03

0.05


48

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

vµ = 0.01

0.02

0.050.08

0.03


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


49

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


50

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.010.02

0.03

0.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

v

µ = 0.01

0.020.03

0.050.08


51

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

vµ = 0.01

0.020.03

0.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

v

µ = 0.01

0.020.030.05

0.08


52

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

v

µ = 0.01

0.02

0.050.03

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

v

µ = 0.010.02

0.030.05

0.08


53

A esbelteza B/D = 20 é a que mais se aproxima à de um tabuleiro de ponte real. NasFiguras 58 e 59 representam-se as derivadas seccionais de �utter, obtidas por interpolação apartir dos pontos experimentais, para este caso [Matsumoto, 1996]. Pode-se observar neste casoa relativa semelhança com as derivadas seccionais de �utter de um aerofólio (Figuras 5 e 6).

0 10 20 30−10

0

10

20

30

2πK

A2*

A1*

A4*

A3*Secção retangular

B/D=20


∗2, A

∗3 e A

∗4.

Apresentam-se igualmente em ábacos os resultados da análise numérica que permitem cal-cular as velocidades críticas de �utter para os diferentes parâmetros físicos deste tabuleiro(Figuras 60 a 74).

No Anexo B.2 disponibilizam-se os valores numéricos das velocidades críticas de �utteradimensionais para as secções de esbelteza variada e que correspondem às Figuras a 26 a 74.

54

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H4*

H1*

H3*Secção retangular

B/D=20

H2*


∗2 , H

∗3 , H

∗4 .

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.08

0.05


55

1 2 3 40

2

4

6

8

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.08

0.05


1 2 3 40

2

4

6

8

q

v

µ = 0.01

0.02

0.080.05

0.03


56

1 2 3 40

2

4

6

8

q

v

µ = 0.010.02

0.030.05

0.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

q

v

µ = 0.010.02

0.03

0.05

0.08


57

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.08

0.05


1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.080.05


58

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.080.05


1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


59

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

vµ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

q

v

µ = 0.01

0.02 0.05

0.08

0.03


60

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01 0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.05

0.08


61

1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

µ = 0.01

0.02

0.03

0.050.08


1 2 3 40

2

4

6

8

10

q

v

0.03

0.050.08

0.02

µ = 0.01


62

3.5 Secções transversais de pontes

Analizaram-se diversas secções de pontes reais tendo em vista a comparação entre as velocidadescríticas de �utter obtidas com o programa criado no âmbito desta dissertação e as velocidadescríticas de �utter indicadas em artigos cientí�cos. No �nal desta secção apresenta-se um quadro-resumo de todas as simulações efetuadas.

Um dos casos em análise baseou-se no exemplo estudado no artigo de Kirch [Kirch et al.,2011]. As derivadas seccionais de �utter usadas nesse artigo para o cálculo da velocidade críticade �utter baseiam-se nas funções de Theodorsen ((61) e (62)) e representam-se nas Figuras 5e 6 da Secção 3.3. Os dados do problema são:

ρ = 1.225 kg/m3, B = 30 m, m = 25000 kg/m, Ig = 2.8× 106 kgm2/m,

ζh = ζα = 0.002, ωh = 0.5032 rad/s, ωα = 1.006 rad/s.

O algoritmo de cálculo da Figura 3 obteve uma velocidade crítica de �utter de 49 m/s, bas-tante próximo do que se indica no artigo, 45 m/s [Kirch et al., 2011]. O modo de vibração cujafrequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequênciade oscilação crítica de 0.75 rad/s.

3.5.1 Ponte Golden Gate

Analisou-se também o caso da ponte suspensa Golden Gate Bridge, em San Francisco de 1280 mde vão. As derivadas seccionais de �utter para a secção desta ponte foram obtidas, por inter-polação a partir dos pontos experimentais, do artigo [Sarkar et al., 2009] e representam-se nasFiguras 75 e 76. Segundo o mesmo artigo estes coe�cientes foram obtidos experimentalmenteatravés de ensaios em túnel de vento de modelos reduzidos. Os dados da ponte são [Caracogliaet al., 2009]:



O algoritmo de cálculo obteve uma velocidade crítica de �utter de 71.96 m/s, ao passo que aindicada no artigo [Caracoglia et al., 2009] é 79.9 m/s. É igualmente o modo de vibração detorção cuja frequência se torna complexa com parte imaginária negativa (ωcrit = 0.926 rad/s).

Com as mesmas derivadas seccionais de �utter estudaram-se outros dois casos: o da TsurumiFairway Bridge no Japão e o da ponte de Messina, projetada para fazer a ligação entre a Sicíliae a Itália continental.

63

0 10 20 30−10

−5

0

5

10

15

20

2πK

A3*

A1*

A4*

A2*

Figura 75: Derivadas seccionais de �utter do modelo B1 do artigo [Sarkar et al., 2009]: A∗1, A∗2,

A∗3 e A∗4.

3.5.2 Ponte Tsurumi Fairway

Os dados da ponte atirantada de Tsurumi, com 500 m de vão, são [Caracoglia et al., 2009]:



Para este caso a velocidade crítica de �utter obtida com o programa é de 136.36 m/s. O artigo[Caracoglia et al., 2009] refere uma velocidade de 108.2 m/s. É novamente o modo de vibra-ção de torção cuja frequência se torna complexa com parte imaginária negativa (ωcrit = 2.039rad/s). Sugere-se que no futuro se esclareça a razão da diferença considerável entre o valorobtido com o programa e o valor da literatura.

3.5.3 Ponte projetada para o estreito de Messina

Para a ponte suspensa de Messina (3000 m de vão), os dados são [Caracoglia et al., 2009]:

ρ = 1.225 kg/m3, B = 60 m, m = 54000 kg/m, Ig = 28× 106 kgm2/m,


64

0 10 20 30−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H3*

H2*

H1*

H4*

Figura 76: Derivadas seccionais de �utter do modelo B1 do artigo [Sarkar et al., 2009]: H∗1 ,H∗2 , H

∗3 e H∗4 .

Neste caso a velocidade crítica de �utter obtida com o algoritmo desenvolvido é de 38.64 m/s.O artigo [Caracoglia et al., 2009] refere uma velocidade de 32.2 m/s. O modo de vibração cujafrequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequênciade oscilação crítica de 0.361 rad/s.

3.5.4 Ponte de Jiangyin

O programa foi também testado para o caso da ponte de Jiangyin (ponte suspensa de 1385 mde vão). As derivadas seccionais de �utter foram retiradas do artigo [Gu et al., 2001], no qualé referido que estas foram determinadas experimentalmente (Figuras 77 e 78). Apresentam-sede seguida os dados da ponte de Jiangyin [Gu et al., 2001]:

ρ = 1.225 kg/m3, B = 36.9 m, m = 26680 kg/m, Ig = 3.69× 106 kgm2/m,


Com o programa obteve-se uma velocidade crítica de �utter 78.68 m/s. O mesmo artigo re-fere que a velocidade crítica de ocorrência de �utter é de 74.4 m/s. O modo de vibração cujafrequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequênciade oscilação crítica de 1.337 rad/s.

Com os mesmos dados da ponte de Jiangyin, excetuando o facto de o amortecimento ter

65

0 10 20 30−10

−5

0

5

10

15

2πK

A1*

A3*

A2*

A4*

Figura 77: Derivadas seccionais de �utter de um modelo da ponte de Jiangyin: A∗1, A∗2, A

∗3 e

A∗4.

sido considerado nulo, realizou-se uma nova simulação utilizando as derivadas seccionais de�utter dadas pelas expressões analíticas de Theodorsen. A velocidade crítica de instabilidadepor �utter foi de 79.24 m/s enquanto o artigo [Banerjee, 2003] indica 72.5 m/s. Para este casoo modo de vibração cuja frequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o detorção, com uma frequência de oscilação crítica de 1.254 rad/s.

Com a formulação dada pelas aproximações racionais às funções de Theodorsen (Secção3.3) a velocidade crítica de �utter calculada pelo algoritmo criado (72.8 m/s) aproximou-sebastante da velocidade indicada no artigo [Gu et al., 2001], 74.4 m/s. O modo de vibração cujafrequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequênciade oscilação crítica de 1.259 rad/s.

3.5.5 Ponte projetada para o estreito de Gibraltar

Foi também realizada uma simulação sobre a ponte suspensa em projeto sobre o estreito deGibraltar de 3550 m de vão. As derivadas seccionais de �utter apresentam-se nas Figuras 79e 80 e obtiveram-se do artigo [Larsen e Walther, 1997]. Os dados do problema são [Larsen eWalther, 1997]:



66

0 10 20 30−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H3*

H4*

H1*

H2*

Figura 78: Derivadas seccionais de �utter de um modelo da ponte de Jiangyin: H∗1 , H∗2 , H

∗3 e

H∗4 .

Para este caso a velocidade crítica de �utter foi de 70.84 m/s enquanto o artigo [Larsen eWalther, 1997] indica um valor bastante próximo (66 m/s). O modo de vibração cuja frequên-cia se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequência deoscilação de 0.505 rad/s.

3.5.6 Ponte de Tacoma

Finalmente testou-se o famoso caso da ponte suspensa de Tacoma Narrows (850 m de vão)onde as derivadas seccionais de �utter foram obtidas a partir dos grá�cos apresentados noartigo [Scanlan e Tomko, 1971], Figuras 81 e 82. Note-se que os coe�cientes seccionais de�utter A∗1, A

∗3 e A

∗4 foram considerados nulos. Os dados da ponte são [Scanlan e Tomko, 1971]:

ρ = 1.225 kg/m3, B = 11.9 m, m = 4250 kg/m, Ig = 1.777× 105 kgm2/m,


Sabe-se que o colapso da ponte ocorreu quando a velocidade do vento na região era aproxima-damente 18.77 m/s. O programa utilizado identi�cou a ocorrência de �utter para 10.64 m/se o modo de vibração cuja frequência se torna complexa com parte imaginária negativa é ode torção, com uma frequência de oscilação crítica de 1.257 rad/s (0.2 Hz). Este valor (10.64m/s) situa-se no intervalo determinado em [Billah e Scanlan, 1991] (entre 7.6 m/s e 13.68 m/s).

67

0 10 20 30−5

0

5

10

2πK

A3*

A1*

A4*

A2*

Figura 79: Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Gibraltar: A∗1, A∗2, A

∗3

e A∗4.

Segundo [Ge e Xiang, 2008] para uma secção com características semelhantes às da de Tacomao �utter ocorreu para uma velocidade do vento de 12.6 m/s.

3.5.7 Apreciação global

Na Tabela 1 apresenta-se um quadro-resumo de todos os casos analisados com o algoritmodesenvolvido e faz-se a comparação das velocidades críticas obtidas nesta dissertação com asindicadas nos artigos. Pela observação da Tabela 1 veri�ca-se que os resultados obtidos com oalgoritmo implementado conduzem, em geral, a boas aproximações, o que valida os ábacos ob-tidos para efeitos de avaliação da instabildade aerodinâmica de uma ponte. O facto de nalgunscasos o erro relativo ser superior a 20% dever-se-á a más aproximações das derivadas seccionaisde �utter, sobretudo quando estas são obtidas experimentalmente. De facto, o método utili-zado para representar os valores das derivadas seccionais de �utter no algoritmo implementadorecorre a rotinas de interpolação e extrapolação linear internas ao MATLAB, o que poderáconduzir a desvios dos valores apresentados em grá�cos nos artigos.

68

0 10 20 30−30

−20

−10

0

10

20

2πK

H3*

H1*

H4*

H2*

Figura 80: Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Gibraltar: H∗1 , H∗2 , H

∗3

e H∗4 .

0 10 20 30

−4

−2

0

2

4

6

8

2πK

A2*

Figura 81: Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Tacoma: A∗2.Consideram-se nulas as derivadas seccionais A∗1, A

∗3 e A

∗4.

69

0 10 20 30−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

2πK

H3*

H4*

H1*

H2*

Figura 82: Derivadas seccionais de �utter para um modelo da ponte de Tacoma: H∗1 , H∗2 , H

∗3

e H∗4 .

Tabela 1: Quadro resumo comparativo das velocidades críticas de �utter (Ucrit) obtidas peloprograma desenvolvido com as suas homólogas recolhidas de diversas publicações (Uartigo).FD = �utter derivatives.

Caso Ucrit (m/s) Uartigo (m/s) erro relativo

Aerofólio 49 45 9%Golden Gate bridge 71.96 79.9 -10%

Tsurumi Fairway bridge 136.36 108.2 26%Ponte de Messina (projeto) 38.64 32.2 20%

Jiangyin bridge 78.68 74.4 6%Jiangyin bridge (FD de Theodorsen) 79.24 72.5 9%

Jiangyin bridge (FD racionais) 72.8 74.4 -2%Ponte de Gibraltar (projeto) 70.84 66 7%

Ponte de Tacoma 10.64 12.6 -16%

70

3.6 Instabilidade por divergência

Outro tipo de instabilidade aerodinâmica que afeta as estruturas esbeltas é a instabilidade pordivergência. Como veremos, este fenómeno pode anteceder a instabilidade por �utter quandoa razão das frequências naturais q = ωα

ωhtende para valores baixos pelo que faz sentido estudar

também este tipo de instabilidade. Recorde-se que o sistema de equações diferenciais que regeo movimento de um oscilador com dois graus de liberdade é o apresentado em (43). Para ocaso de uma secção muito esbelta (aerofólio) os coe�cientes A∗k e H∗k (k = 1, ..., 4) podem serconsultados na Secção 3.3 (quer as expressões analíticas, quer os grá�cos). Assume-se que omovimento é do tipo (45) ou (46), isto é, sinusoidal de frequência angular ω, o que conduz aoproblema de valores e vetores próprios (47).

A condição para a ocorrência de divergência resulta da condição que exprime a existência desoluções não triviais

((Uh, Uα) 6= (0, 0)

)do sistema de valores e vetores próprios que se obtém

do anterior por passagem ao limite quando ωωh→ 0 (anulamento). Assim, os termos da inércia

(ω/ωh)2 e r2 (ω/ωh)

2 tendem para zero. Analogamente, os termos de amortecimento estrutural2ζhi

ωωh→ 0 e 2ζαqr

2i ωωh→ 0. Obtém-se então de (47):

limωωh→0

{(µvKi

ω

ωh

[−H∗1 H∗2

A∗1 −A∗2

]+

+

[1− µv2K2H∗4 µv2K2H∗3


])}{UhUα

}=

{00

}. (65)

Note-se que

vKω

ωh= vK

1

ωhKU

B︸︷︷︸ω

= vK2 U

Bωh︸︷︷︸v

= v2K2,

�cando a equação (65) na forma

limωωh→0

{(iµv2K2

[−H∗1 H∗2

A∗1 −A∗2

]+

+

[1− µv2K2H∗4 µv2K2H∗3


])}{UhUα

}=

{00

}. (66)

Dois limites úteis nas funções de Theodorsen são

limK→0

F (K) = 1 e limK→0

G(K) = 0.

Atendendo aos limites seguintes

limK→0

K2H∗1 = limK→0

[2πKF (K)] = 2π × 0×=1︷︸︸︷F (0) = 0 (67)

71

limK→0

K2H∗2 = limK→0

[−π

2(K + 4G(K))− π

2KF (K)

]=

= −π2

(0 + 4G(0)︸︷︷︸=0

)− π

2× 0× F (0)︸︷︷︸

=1

= 0 (68)

limK→0

K2A∗1 = limK→0

[π2KF (K)

]=π

2× 0× F (0)︸︷︷︸

=1

= 0 (69)

limK→0

K2A∗2 = limK→0

[−π

8(KF (K) + 4G(K)−K)

]=

= −π8

(0× F (0)︸︷︷︸=1

+4G(0)︸︷︷︸=0

−0) = 0 (70)

limK→0

K2A∗3 = limK→0

[ π64

(K2 + 32F (K)− 8KG(K)

)]=

=π

64

(02 + 32F (0)︸︷︷︸

=1

−8× 0×G(0)︸︷︷︸=0

)=π

2(71)

limK→0

K2H∗4 = limK→0

[π2K(K + 4G(K))

]=π

2× 0× (0 + 4G(0)︸︷︷︸

=0

) = 0 (72)

limK→0

K2A∗4 = limK→0

[−π

2KG(K)

]= −π

2× 0×G(0)︸︷︷︸

=0

= 0 (73)

limK→0

K2H∗3 = limK→0

[−π

2

(4F (K)−KG(K)

)]=

= −π2

(4F (0)︸︷︷︸

=1

−0×G(0)︸︷︷︸=0

)= −2π (74)

a equação (66) �ca [1 −2πµv2

0 q2r2 − π2µv2

]{UhUα

}=

{00

}. (75)

O sistema anterior tem soluções não triviais quando o determinante da matriz dos coe�cientesse anular, isto é, quando:

q2r2 − π

2µv2 = 0, (76)

ou seja, quando a velocidade adimensional do vento atingir o valor crítico

vdiv =

√2

πµrq. (77)

Interessa realçar que (i) a velocidade crítica para a ocorrência de divergência é uma funçãolinear do parâmetro q que quanti�ca o quociente entre as frequências naturais de rotação e de

72

translação, (ii) o aumento do raio de giração adimensional r atrasa a ocorrência de divergênciae (iii) a diminuição da massa do tabuleiro relativamente à massa de ar (aumento de µ) facilita aocorrência de divergência. A velocidade dimensional do vento para a ocorrência de divergênciaserá então dada por

Udiv = Bωhvdiv = Bωh

√2

πµrq (78)

= Bωh

√2

π ρB2

2m

i

B

ωαωh

= 2

√m

πρ

1

B

√Igmωα (79)

= 2

√Igπρ

ωαB. (80)

Os resultados obtidos coincidem com os apresentados no artigo [Kirch et al., 2011].Mostra-se no grá�co da Figura 83 as velocidades de vento adimensionais correspondentes à

instabilidade por divergência e à instabilidade por �utter no caso de um aerofólio numa situaçãode amortecimento nulo, raio de giração adimensional r = 0.6 e relação entre massa de ar emassa do tabuleiro de ponte µ = 0.08. Realça-se o facto de que para valores de q = ωα

ωh> 1.1

a instabilidade por �utter ser sempre condicionante (surge para velocidades inferiores às doinício da instabilidade por divergência). Note-se que um critério habitualmente utilizado pelosprojetistas de pontes é o de garantirem valores de q não inferiores a 3.

73

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

q

v

Flutter

Divergência

Figura 83: Velocidade críticas adimensionais para a ocorrência de instabilidade por divergênciae por �utter para uma secção de aerofólio com ζh = ζα = 0, r = 0.6 e µ = 0.08.

74

4 Modelos tridimensionais

Não podemos deixar de pensar que os modelos bidimensionais a 2 graus de liberdade tratadosna secção anterior não são mais do que uma aproximação da realidade (que é tridimensional).Isso foi uma grande motivação para dedicarmos este capítulo ao estudo da ocorrência de �utterem sólidos tridimensionais prismáticos expostos a um escoamento de ar. No entanto, comoveremos mais adiante, concluiremos que o modelo a dois graus de liberdade fornece valoressurpreendentemente precisos para a velocidade crítica de �utter, o que não é de espantar dadoque os modelos 2D incorporam informação do modelo tridimensional.

No caso tridimensional as forças aerodinâmicas, por unidade de comprimento do tabuleirosão dadas por [Scanlan e Tomko, 1971]:

Lf =1

2ρU2B

(KH∗1

h

U+KH∗2

Bα

U+K2H∗3α + +K2H∗4

h

B+KH∗5

p

U+K2H∗6

p

B

), (81)

Df =1

2ρU2B

(KP ∗1

p

U+KP ∗2

Bα

U+K2P ∗3α +K2P ∗4

p

B+KP ∗5

h

U+K2P ∗6

h

B

), (82)

Mf =1

2ρU2B2

(KA∗1

h

U+KA∗2

Bα

U+K2A∗3α +K2A∗4

h

B+KA∗5

p

U+K2A∗6

p

B

). (83)

em que Lf é a força aerodinâmica de sustentação (lift) por unidade de comprimento, Df éa força aerodinâmica de arrastamento (drag) por unidade de comprimento, Mf é o momentoaerodinâmico (pitching moment) por unidade de comprimento, h é o deslocamento transversaldo tabuleiro, p é o deslocamento de arrastamento, α é o ângulo de ataque do vento, U é avelocidade do vento, B é a largura do tabuleiro, K é a frequência reduzida (K = ωB

U) e A∗i ,

H∗i , P∗i são as derivadas seccionais de �utter, funções de K, U e B. As forças aerodinâmicas

supraindicadas são positivas nos sentidos positivos das coordenadas generalizadas (h, p, α)indicadas na Figura 84.

Figura 84: Coordenadas generalizadas onde atuam as forças aerodinâmicas.

Tridimensionalmente assumem o aspeto representado na Figura 85.Toma-se agora para análise um elemento de barra tridimensional de comprimento L com o

eixo coincidente com o eixo x e sujeito à ação de um vento de velocidade U soprando segundoo sentido positivo da direção principal de inércia z. A outra direção principal de inércia dassecções transversais do elemento de barra orienta-se segundo y (Figura 86).

75

Figura 85: Forças aerodinâmicas - representação tridimensional esquemática.

Figura 86: Coordenadas generalizadas de um modelo 3D de elemento de barra e sua orientaçãoem relação à direcção da velocidade do vento.

76

O elemento de barra tem 12 graus de liberdade; o vetor de coordenadas generalizadas tem aforma

δ ={ui vi wi αi βi γi uj vj wj αj βj γj

}Te o vetor das forças nodais generalizadas tem a forma

F ={Fxi Fyi Fzi Fαi Fβi Fγi Fxj Fyj Fzj Fαj Fβj Fγj

}Tcomo esquematizado na Figura 87.

Figura 87: Forças nodais generalizadas de um modelo de barra 3D.

Algumas forças nodais devidas à ação do vento são nulas

Fxi = Fxj = 0, (84)

Fβi = Fβj = 0, (85)

77

Fγi = Fγj = 0. (86)

Apresenta-se seguidamente as forças nodais que não são nulas:

Fyi = Fyj = −LfL2, (87)

Fzi = Fzj =DfL

2, (88)

Fαi = Fαj =MfL

2. (89)

Para se obter os sinais algébricos corretos das forças aerodinâmicas nas matrizes de amorteci-mento e rigidez aerodinâmicas há que efetuar a correspondência entre coordenadas generalizadasda Figura 84 e da Figura 86 com l ∈ {i, j}, obtendo-se

Fyl = −1

4ρU2BL

(KH∗1

h

U+KH∗2

Bα

U+K2H∗3α +K2H∗4

h

B+KH∗5

p

U+K2H∗6

p

B

)= −1

4ρU2BL

(KH∗1

−vlU

+KH∗2BαlU

+K2H∗3αl +K2H∗4−vlB

+KH∗5wlU

+K2H∗6wlB

)=

1

4ρU2BL

(KH∗1

vlU−KH∗2

BαlU−K2H∗3αl +K2H∗4

vlB−KH∗5

wlU−K2H∗6

wlB

), (90)

Fzl =1

4ρU2BL

(KP ∗1

wlU

+KP ∗2BαlU

+K2P ∗3αl +K2P ∗4wlB

+KP ∗5−vlU

+K2H∗6−vlB

)=

1

4ρU2BL

(KP ∗1

wlU

+KP ∗2BαlU

+K2P ∗3αl +K2P ∗4wlB−KP ∗5

vlU−K2P ∗6

vlB

)(91)

e

Fαl =1

4ρU2B2L

(KA∗1

−vlU

+KA∗2BαlU

+K2A∗3αl +K2A∗4−vlB

+KA∗5wlU

+K2A∗6wlB

)=

1

4ρU2B2L

(−KA∗1

vlU

+KA∗2BαlU

+K2A∗3αl −K2A∗4vlB

+KA∗5wlU

+K2A∗6wlB

). (92)

As forças aerodinâmicas podem escrever-se na habitual forma matricial (5) em que Ar e Aa

são as matrizes 12 por 12 indicadas seguidamente:

78

Ar =1

4ρU2LK2 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 H∗4 −H∗6 −BH∗3 0 0 0 0 0 0 0 00 −P ∗6 P ∗4 BP ∗3 0 0 0 0 0 0 0 00 −BA∗4 BA∗6 B2A∗3 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 H∗4 −H∗6 −BH∗3 0 00 0 0 0 0 0 0 −P ∗6 P ∗4 BP ∗3 0 00 0 0 0 0 0 0 −BA∗4 BA∗6 B2A∗3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(93)

Aa =1

4ρUBLK =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 H∗1 −H∗5 −BH∗2 0 0 0 0 0 0 0 00 −P ∗5 P ∗1 BP ∗2 0 0 0 0 0 0 0 00 −BA∗1 BA∗5 B2A∗2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 H∗1 −H∗5 −BH∗2 0 00 0 0 0 0 0 0 −P ∗5 P ∗1 BP ∗2 0 00 0 0 0 0 0 0 −BA∗1 BA∗5 B2A∗2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(94)

Uma vez obtidas as forças aerodinâmicas atuantes no modelo 3D passamos à formulaçãodo problema para o caso tridimensional com a dedução das matrizes intervenientes na equaçãogeral do movimento. Para simpli�cação do problema considera-se que a estrutura a analisar,seja ela um tabuleiro de uma ponte ou um aerofólio, está discretizada em n elementos �nitosde barra com três graus de liberdade por cada nó, como ilustrado na Figura 88. Na de�niçãodo modelo estrutural intervêm as seguintes variáveis:L � comprimento do elemento;A � área da secção transversal;I � momento de inércia geométrico relativo à �exão no plano perpendicular à velocidade dovento U ;B � largura do tabuleiro.Ip � momento polar de inércia geométrico em torno do centro de gravidade da secção (coinci-dente com o centro de torção);ρs � massa do tabuleiro por unidade de volume;

79

Figura 88: Elemento de barra - modelo 3D.

E � módulo de elasticidade do tabuleiro;G � módulo de distorção do tabuleiro;J � fator de rigidez à torção da secção transversal do tabuleiro.

Considerando que a secção é bi-simétrica, e que, portanto, o centro de massa e o centro detorção da secção coincidem, a matriz de massa elementar é dada por [Batoz e Dhatt, 1990]

Mks =

L

6

2ρsA 0 0 ρsA 0 0

0 2ρsI 0 0 ρsI 00 0 2ρsIp 0 0 ρsIpρsA 0 0 2ρsA 0 0

0 ρsI 0 0 2ρsI 00 0 ρsIp 0 0 2ρsIp

, (95)

usando funções de interpolação lineares. A matriz de massa pode ser também obtida utilizandofunções de interpolação cúbicas, denominando-se matriz de massa consistente. Neste caso amatriz de massa é dada pela soma de 3 parcelas (97), (98) e (99):

Mks = Mk

1 + Mk2 + Mk

3 (96)

80

em que

Mk1 = ρsA

L

420

156 −22L 0 53 13L 0−22L 4L2 0 −13L −3L2 0

0 0 0 0 0 054 −13L 0 156 22L 0

13L −3L2 0 22L 4L2 00 0 0 0 0 0

, (97)

Mk2 = ρsI

1

30L

36 −3L 0 −36 −3L 0−3L 4L2 0 3L −L2 0

0 0 0 0 0 0−36 3L 0 36 3L 0−3L −L2 0 3L 4L2 0

0 0 0 0 0 0

, (98)

e

Mk3 = ρsIp

L

6

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 2 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 2

. (99)

É também costume usar uma matriz de massa diagonal que se obtém da matriz (95) por colo-cação nos elementos da diagonal principal da soma de todos os elementos das linhas respetivas.Obtém-se então a matriz de massa diagonal

Mks =

L

2

ρsA 0 0 0 0 0

0 ρsI 0 0 0 00 0 ρsIp 0 0 00 0 0 ρsA 0 00 0 0 0 ρsI 00 0 0 0 0 ρsIp

. (100)

A inversa da matriz de massa precedente é também uma matriz diagonal

Mks

−1=

2

L

1ρsA

0 0 0 0 0

0 1ρsI

0 0 0 0

0 0 1ρsIp

0 0 0

0 0 0 1ρsA

0 0

0 0 0 0 1ρsI

0

0 0 0 0 0 1ρsIp

. (101)

A matriz de rigidez elástica é dada por

81

Kks =

12EIL3

6EIL2 0 −12EI

L36EIL2 0

6EIL2

4EIL

0 −6EIL2

2EIL

0

0 0 GJL

0 0 −GJL

−12EIL3 −6EI

L2 0 12EIL3 −6EI

L2 06EIL2

2EIL

0 −6EIL2

4EIL

0

0 0 −GJL

0 0 GJL

. (102)

As matrizes de rigidez e de amortecimento aerodinâmicas obtêm-se a partir de (93) e (94),respetivamente, desprezando o grau de liberdade responsável pelo arrastamento (drag) e osrestantes não intervenientes no modelo simpli�cado:

Akr =

1

4ρU2LK2

H∗4 0 −BH∗3 0 0 00 0 0 0 0 0

−BA∗4 0 B2A∗3 0 0 00 0 0 H∗4 0 −BH∗30 0 0 0 0 00 0 0 −BA∗4 0 B2A∗3

, (103)

Aka =

1

4ρUBLK

H∗1 0 −BH∗2 0 0 00 0 0 0 0 0

−BA∗1 0 B2A∗2 0 0 00 0 0 H∗1 0 −BH∗20 0 0 0 0 00 0 0 −BA∗1 0 B2A∗2

(104)

em que os índices inferiores r e a aludem às palavras �rigidez� e �amortecimento�, respetiva-mente.

O sistema global de N equações

Msδ + (Cs −Aa)δ + (Ks −Ar)δ = 0, (105)

em que N é o número de graus de liberdade do sistema, forma-se a partir das matrizes dosdiversos elementos de barra k ∈ {1, ..., n}.

Especial atenção deverá ser dada ao amortecimento estrutural, sendo este do tipo viscoso.Adota-se um amortecimento do tipo Rayleigh

Cs = a0Ms + a1Ks (106)

onde a0 e a1 são constantes reais calibradas por forma a se obterem os fatores de amortecimentopretendidos em dois modos de vibração. Prescrevem-se os fatores de amortecimento ζ1 e ζ2 paradois modos de vibração e calculam-se as constantes a0 e a1 por{

a0a1

}=

2p1p2p22 − p21

{p2ζ1 − p1ζ2− ζ1p2

+ ζ2p1

}(107)

82

em que p1 e p2 designam as frequências naturais circulares não amortecidas dos dois modosde vibração do sistema cujos fatores de amortecimento pretendemos prescrever. A dedução daexpressão (107) pode ser consultada no Anexo A.1.

Opta-se por uma análise de �utter completa, isto é, usando todos os modos de vibraçãoestrutura, como explicado na Secção 4.3 e Figura 5 do artigo [Ge e Tanaka, 2000]. Deste modo,a partir da equação geral do movimento (7) procuram-se soluções da forma

δ(t) = φeλt (108)

em que λ = µ± iω com µ > 0 e ω 6= 0 (�utter). De�nindo

y(t) =

{δ(t)δ(t)

}∈ R2N (109)

o sistema de equações que rege o movimento transforma-se num sistema de 2N equações deprimeira ordem:

y(t) = Dy(t) (110)

em que

D =

[−M−1C −M−1K

IN 0

]. (111)

De�nindo

y(t) =

{λφeλt

φeλt

}= xeλt (112)

em que x =

{λφφ

}é-se conduzido ao problema de valores e vetores próprios:

(D− λI2N

)x = 0 (113)

onde I2N designa a matriz identidade de ordem 2N . O problema anterior é não linear porqueD = D(λ). A dependência de D em λ é devida às matrizes de amortecimento e rigidezaerodinâmicas Aa e Ar, que dependem de K = ωB

U= −iλB

U.

O problema de valores próprios não linear resolve-se de forma iterativa como indicado naSecção 3.2 mas agora para múltiplos graus de liberdade e não apenas dois.

Os casos tridimensionais analisados (viga em consola e a ponte suspensa) apresentam-seseguidamente.

4.1 Viga em consola

O primeiro caso tridimensional analisado, e que serviu de teste ao programa, consiste numa vigaem consola modelada em oito elementos �nitos de igual comprimento. Sendo assim, tendo cadanó três graus de liberdade, a malha é constituída por 27 graus de liberdade estando 3 graus deliberdade restringidos devido ao encastramento (Figura 89). Uma vez que todos os elementosde barra são iguais (todas as propriedades são uniformes ao longo da consola e os elementos

83

têm todos o mesmo comprimento) as matrizes elementares de cada tipo são iguais para todos oselementos. O amortecimento considerou-se igual a zero numa primeira simulação e as derivadasseccionais de �utter foram obtidas recorrendo às expressões analíticas de Theodorsen, fórmulas(53) a (62), representativas de um aerofólio.

Figura 89: Modelo simpli�cado da viga em consola.

A viga possui as seguintes propriedades

Lvão = 200 m, B = 40 m, EI = 2.11× 1012 Nm2, GJ = 0.41× 1012 Nm2,

ρsA = 20× 103 kg/m, ρsIp = 544× 103 kgm, ρsI = 0.0568358× 106 kgm.

Coube ao algoritmo desenvolvido, agora para um caso tridimensional, montar a matriz derigidez da consola, obter as frequências fundamentais e averiguar, para cada frequência, qual avelocidade do vento que, eventualmente, deu origem ao �utter.

As frequências de oscilação livres estão disponíveis na Tabela 2. O programa calculou umavelocidade crítica de �utter de 110.32 m/s sendo esta a velocidade crítica mais baixa de todasas frequências analisadas. O modo de vibração cuja frequência se torna complexa com parteimaginária negativa é o de torção, com uma frequência de oscilação crítica de 1.675 rad/s.Este valor revela-se bastante próximo ao valor obtido pelo algoritmo desenvolvido para o casobidimensional (Vcrit = 106.12 m/s, ωcrit = 1.720 rad/s). Na análise bidimensional tomou-separa a frequência de �exão ωh = 0.89 rad/s e para frequência de torção ωα = 2.17 rad/s,naturalmente as frequências dos primeiros modos de �exão e torção do modelo tridimensionalda viga em consola.

Utilizando o ábaco da Figura 52 da publicação [ECCS, 1987] obtém-se uma velocidadecrítica de �utter de 96 m/s, valor relativamente próximo dos resultados obtidos pelo algoritmoimplementado.

4.2 Ponte suspensa

O programa desenvolvido em MATLAB foi testado para uma ponte de cabos semelhante à deJiangyin de 1400 m de vão utilizando um modelo tridimensional de elementos �nitos. A Figura90 ilustra o modelo simpli�cado usado neste trabalho.

84

Tabela 2: Frequências de oscilação livres do modelo da consola e identi�cação dos primeirosmodos de �exão (F-1) e de torção (T-1).

Modo Frequência (rad/s) Forma

1 0.89 F-12 2.17 T-13 5.50 -4 6.42 -5 10.42 -6 14.02 -7 15.15 -8 17.09 -9 19.50 -10 21.16 -

Uma das principais di�culdades residiu na modelação dos cabos e a sua in�uência no com-portamento aerodinâmico do tabuleiro da ponte. Pode-se dividir a estrutura em duas partes: aparte constituída pelo cabo principal e pendurais, onde cada elemento é modelado como barrabi-articulada e o tabuleiro da ponte, modelado com 70 elementos de viga. A ação dos penduraispode ser representada por molas de translação vertical e de rotação segundo o eixo do tabuleiroque, no fundo, tendem a rigidi�car o seu movimento.

A modelação da estrutura em elementos �nitos foi con�rmada recorrendo aos programasABAQUS e SAP2000, introduzindo-se forças estáticas na estrutura e comparando os valoresdos deslocamentos obtidos no programa desenvolvido e nos programas mencionados.

A Tabela 3 contém as principais características da ponte suspensa.

Figura 90: Modelo simpli�cado da ponte de Jiangyin.

85

Tabela 3: Dados geométricos e mecânicos da ponte suspensa.

Descrição Símbolo Unidades Valor

Vão principal Lspan m 1400Altura da torre Htow m 190

Altura do tabuleiro Hdeck m 60Área da secção transversal do cabo principal Amain m2 0.55Área da secção transversal dos pendurais Ahang m2 0.009

Flecha do cabo principal d m 128Número de pendurais Nhang - 69Largura do tabuleiro B m 35Módulo de elasticidade E Pa 200× 109

Rigidez de �exão EI Nm2 5× 1011

Rigidez de torção GJ Nm2 7.69× 1011

Massa por unidade de comprimento ρsA kg/m 14.0× 103

Inércia de torção por unidade de comprimento ρsIp kgm2/m 14000× 103

Inércia de �exão por unidade de comprimento ρsI kgm2/m 25× 103

As frequências de oscilação livres podem ser consultadas na Tabela 4.Numa primeira simulação o amortecimento considerou-se nulo e as derivadas seccionais de

�utter utilizadas foram obtidas a partir das expressões analíticas de Theodorsen. O seu traçadopode ser recordado nas Figuras 5 e 6. O programa calculou uma velocidade crítica de �utterna ordem dos 113.14 m/s para essas condições (ωcrit = 2.755 rad/s). O modo de vibração cujafrequência se torna complexa com parte imaginária negativa é o de torção.

No sentido de comparar o algoritmo desenvolvido com a tese [Salvatori, 2007] realizaram-sesimulações com os mesmos coe�cientes seccionais de �utter recorrendo aos resultados experi-mentais obtidos na secção B1 de um modelo de ponte do artigo [Sarkar et al., 2009] e que foramjá apresentados nas Figuras 75 e 76 . Para estas condições e para os dados do problema acimamencionados obteve-se uma velocidade crítica de �utter de 113.96 m/s, valor que se afasta dos77 m/s indicados em [Salvatori, 2007]. O modo de vibração cuja frequência se torna complexacom parte imaginária negativa é o de torção, com uma frequência de oscilação crítica de 2.37rad/s. No entanto não deixa de ser interessante veri�car que, utilizando os mesmos dados noalgoritmo desenvolvido para o caso bidimensional, a velocidade crítica de �utter obtida é de113.96 m/s (ωcrit = 2.37 rad/s), igual à do caso 3D para uma situação de amortecimento nuloem ambos os casos. Na análise bidimensional tomou-se para a frequência de �exão ωh = 0.12rad/s e para a frequência de torção ωα = 3.48 rad/s, correspondentes aos primeiros modos de�exão e torção do modelo tridimensional (ver a Tabela 4).

Efetuou-se também uma simulação colocando amortecimento estrutural. Prescreveram-se dois fatores de amortecimento ζh = ζα = 0.005, à semelhança da tese [Salvatori, 2007],tendo a velocidade crítica aumentado, como seria de esperar, para 115.08 m/s. Neste casoo modo de vibração cuja frequência se torna complexa com parte imaginária negativa voltaa ser o de torção, com uma frequência de oscilação crítica de 2.348 rad/s. Também no caso

86

Tabela 4: Frequências de oscilação livres do modelo da ponte suspensa e identi�cação dosprimeiros modos de �exão (F-1) e de torção (T-1).

Modo Frequência (rad/s) Forma

1 0.12 F - 12 0.26 -3 0.48 -4 0.74 -5 1.08 -6 1.45 -7 1.93 -8 1.95 -9 2.46 -10 3.01 -11 3.48 T - 112 3.49 -13 3.64 -14 4.33 -15 5.08 -

bidimensional, prescrevendo ζh = ζα = 0.005 a velocidade crítica de �utter aumenta para 114.8m/s (ωcrit = 2.35 rad/s).

As razões do afastamento dos valores obtidos com o algoritmo implementado face aos valoresobtidos em [Salvatori, 2007] podem residir no facto de este autor incluir explicitamente os cabosna sua modelação, ao passo que no algoritmo implementado no âmbito desta dissertação arigidez dos cabos está implícita na matriz de rigidez do tabuleiro da ponte através de rigidezesequivalentes. No entanto, julga-se que a principal razão para esta discrepância nos resultadosreside no facto de se fazer aqui uma análise geometricamente linear, enquanto na tese [Salvatori,2007] é feita uma análise geometricamente não linear. Outra razão poderá ser ainda o valor davelocidade crítica de �utter obtido em [Salvatori, 2007] provir de uma análise no domínio dotempo, enquanto nesta dissertação só se efetuaram análises no domínio da frequência. Não foipossível o esclarecimento cabal desta discrepância, uma vez que na tese [Salvatori, 2007] nãosão dadas as frequências naturais do modelo.

Na tentativa de chegar a valores de velocidade críticas de �utter mais próximos de [Salvatori,2007] foi feita uma última simulação usando a uma matriz de massa consistente (96), umavez que os resultados anteriores foram obtidos sempre com o caso simples de uma matriz demassa diagonal (100). Ainda assim não se veri�caram grandes alterações, uma vez que semamortecimento a velocidade crítica de �utter aumentou de 113.96 m/s para 114.24 m/s e nocaso com amortecimento não se registaram alterações (Ucrit = 115.08 m/s).

87

5 Conclusões e desenvolvimentos futuros

Neste trabalho desenvolveu-se um programa em ambiente MATLAB que permite determinar asvelocidades críticas de �utter para tabuleiros de pontes sujeitos à ação do vento. Este programa,inicialmente implementado para análise de casos bidimensionais (2 graus de liberdade), foiposteriormente ampliado para casos tridimensionais de pontes reais. Utilizou-se o algoritmoimplementado para os casos bidimensionais no traçado de ábacos que poderão ser aplicados naavaliação da suscetibilidade ao �utter de pontes reais. O algoritmo implementado para os casostridimensionais foi testado para o caso de um modelo de uma viga em consola e para o caso deuma ponte suspensa semelhante à de Jiangyin. Serviu também para mostrar a coerência dosresultados provenientes dos dois tipos de análises.

Apesar de em alguns casos os desvios dos resultados obtidos diferirem dos indicados emartigos por erros relativos superiores a 20%, a validade e coerência dos resultados obtidos peloprograma deve ser realçada:

• À medida que se diminui a massa do tabuleiro relativamente à massa de ar tornando aestrutura mais leve, a velocidade crítica de �utter diminui, como seria de esperar. Estaconclusão retira-se da generalidade dos ábacos: quando se incrementa o valor de µ, paraa mesma relação de frequências, a velocidade crítica de �utter diminui. Outro aspeto quedemonstra consistência nos resultados é o facto de, ao se introduzir amortecimento estru-tural mantendo os restantes parâmetros constantes, as velocidades críticas aumentarem.

• Observando os ábacos construídos para diferentes esbeltezas, concluímos que para secçõespouco esbeltas (B/D = 5) a velocidade crítica de �utter seja menor do que para secçõesmais esbeltas (B/D = 10 ou B/D = 20).

• Quando se analisa o fenómeno de instabilidade por �utter aplicando a formulação deTheodorsen à secção de uma ponte obtêm-se velocidades críticas de �utter superioresàs que se atingem quando se utilizam forças aerodinâmicas obtidas a partir de ensaiosexperimentais. Este facto sugere que a formulação de Theodorsen, desenvolvida paraaerofólios, pode dar resultados não conservativos quando se analisam tabuleiros de pontes.A comparação entre os ábacos traçados para os casos do aerofólio e de uma secção de maioresbelteza (B/D = 20) é a prova disso mesmo: as velocidades críticas são ligeiramentemenores para esta última secção.

• Analisando ainda os ábacos que foram traçados para as várias secções, veri�ca-se que asecção é mais instável (instabiliza para velocidades adimensionais menores) à medida queos valores das frequências naturais de torção e de �exão se aproximam; daí o princípiobásico de dimensionamento que consiste em afastar as duas primeiras frequências naturaisde �exão e torção.

• No entanto, quando o valor do quociente entre a frequência de torção e a frequência de�exão q se aproxima da unidade, ou chega mesmo a valores inferiores, a análise de �utterdeixa de ser condicionante, uma vez que o fenómeno de instabilidade que ocorre primeiroé do tipo divergência. O facto de a generalidade das pontes possuir uma frequência de

89

torção superior à de �exão faz com que a análise de �utter seja em geral mais importante,como se pode con�rmar pelo grá�co da Figura 83.

• Há que referir também que para certas condições o programa não calcula a velocidadecrítica de �utter devido a problemas de convergência causados pelo caráter discreto dosvalores experimentais das derivadas seccionais de �utter usadas. Apesar desse caráterdiscreto ser ultrapassado recorrendo a uma rotina interna de interpolação do MATLAB,tal não evitou que para certos valores de q não fossem obtidas velocidades críticas de�utter.

• Quanto aos casos tridimensionais analisados, nomeadamente a ponte suspensa semelhanteà de Jiangyin, a diferença entre a velocidade obtida pelo programa e a velocidade indicadana tese [Salvatori, 2007] pode atribuir-se, entre outras razões:

1. À falta de informação quanto ao modo de cálculo da matriz de massa da ponte, oqual não é explicitado na referida tese;

2. Ao facto de o mesmo autor ter no seu modelo discretizado todos os cabos e penduraisque constituem a superestrutura, incluindo os dos vãos laterais, ao passo que noprograma aqui implementado a in�uência destes elementos está incluída na matrizde rigidez do tabuleiro da ponte por intermédio de molas equivalentes;

3. A que nesta dissertação se faz uma análise geometricamente linear enquanto na tese[Salvatori, 2007] é feita uma análise geometricamente não linear;

4. Ao facto de na obtenção da velocidade crítica de �utter se recorrer a uma análiseno domínio do tempo e não da frequência [Salvatori, 2007], como é feita no âmbitodesta dissertação.

• Uma das conclusões mais interessantes deste trabalho surge quando se efetua a compa-ração entre as velocidades críticas de �utter obtidas com os modelos bidimensional etridimensional de um mesmo exemplo. A grande proximidade que se regista leva a crerque bastam as análises bidimensionais para se obter uma boa estimativa da velocidadede instabilização por �utter de uma ponte pela ação do vento. Esta conclusão reveste-sede grande importância já que os modelos tridimensionais são mais complexos e as suasanálises são substancialmente mais morosas. Esta desvantagem dos modelos tridimensio-nais deve-se principalmente à não linearidade do problema aerodinâmico que obriga, paracada iteração, à atualização das matrizes de rigidez e amortecimento efetivas e à contínuanecessidade de assemblagem dessas mesmas matrizes.

Tendo em conta alguns aspetos menos positivos que impediram, em certas situações, de seobter velocidades críticas de �utter há todo o interesse em abordar os seguintes assuntos nofuturo:

• Comparando os ábacos traçados para o aerofólio, onde foram utilizadas as expressõesanalíticas de Theodorsen para as derivadas seccionais de �utter, e os ábacos traçados paraas secções retangulates de esbelteza variada, constata-se que os primeiros têm sempre um

90

traçado mais regular que os últimos. Acredita-se que quando as forças aerodinâmicas sãodadas por expressões analíticas os resultados sejam bastante melhores do que quando sãointroduzidas as derivadas seccionais de �utter com interpolação dos valores resultantesde estudos experimentais. Sem querer descredibilizar esses mesmos estudos, recomenda-se que se faça a representação das forças aerodinâmicas ajustando funções contínuasaos resultados dessas experiências, embora polinómios de elevado grau possam originaraproximações indesejáveis. A metodologia de interpolação e extrapolação de valores usadano programa desenvolvido dá resultados aceitáveis, no entanto pode ser melhorada se forfeita uma recolha de dados mais re�nada dos valores das derivadas seccionais de �utter.

• Uma vez que os cabos assumem um papel determinante no comportamento estático edinâmico das pontes de tirantes e suspensas, sendo estes elementos estruturais intrinse-camente geometricamente não lineares, será pertinente averiguar a in�uência desta nãolinearidade nos valores das velocidades críticas de �utter.

• Em alternativa a uma análise no domínio da frequência pode-se realizar uma análise nodomínio do tempo que implica a integração direta da equação do movimento. De facto,o modelo de carregamento usando o parâmetro de carga U (velocidade dimensional dovento) e os coe�cientes seccionais de �utter ajusta-se bem para as análises no domínioda frequência, uma vez que as derivadas seccionais de �utter dependem da frequênciada resposta do sistema, mas não são muito práticos quando se pretende uma análise nodomínio do tempo. Para uma análise no domínio do tempo a de�nição das funções querepresentem adequadamente as forças aerodinâmicas reveste-se de alguma complexidade,juntando a isso o facto de estas análises serem mais pesadas em termos de recursoscomputacionais.

91

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95

A Anexos

A.1 Amortecimento de Rayleigh em sistemas dinâmicos elásticos com

N graus de liberdade

A.1.1 Ortogonalidade dos modos de vibração

O sistema de equações que rege o movimento de um sistema elástico linear dissipativo (viscoso)em regime livre é

Mu(t) + Cu(t) + Ku(t) = 0 ∈ RN , (A.1)

em que t designa o tempo, u(t) designa o vetor das coordenadas generalizadas , ˙( ) = ddt

designa derivação em ordem ao tempo e M, C e K são, respetivamente, as matrizes de massa,amortecimento e rigidez.

O caso não amortecido (C = 0)

Mu(t) + Ku(t) = 0 ∈ RN , (A.2)

merece uma atenção especial porque, para este caso, podem-se tirar conclusões interessantesacerca da relação entre os modos de vibração. A solução geral do sistema homogéneo (A.2)pode escrever-se na forma

u(t) = v sin(pt+ ϕ), (A.3)

em que v representa o modo (a geometria) da vibração e p é a frequência angular ( p2π

representaa frequência com que o movimento se repete por unidade de tempo). Derivando e substituindona equação diferencial, obtém-se(

K− p2M)v sin(pt+ ϕ) = 0, ∀t ≥ 0, (A.4)

o que conduz ao problema de valores e vetores próprios:(K− p2M

)v = 0, (A.5)

pois sin(pt + ϕ) varia entre −1 e 1. Uma vez que as matrizes K e M são reais, simétricas e

de�nidas positivas, as N raízes da equação característica det(K− p2M

)= 0,

{p : det(K− p2M

)= 0} = {p1, p2, ..., pN}

são todas reais e positivas. Para cada pi o vetor próprio correspondente vi caracteriza o modode vibração. Cada um dos vetores próprios v de�ne-se a menos de um fator multiplicativo,uma vez que a equação vetorial (A.5) é homogénea.

I

De seguida mostra-se que dois modos de vibração associados a frequências de vibraçãodistintas são ortogonais. Considere-se então dois modos de vibração vi e vj associados, respe-tivamente, às frequências angulares pi e pj, com pi 6= pj

Kvi = p2iMvi, Kvj = p2jMvj. (A.6)

Prémultiplica-se a equação que de�ne cada um dos modos pelo transposto do vetor do outromodo

vTj Kvi = p2iv

Tj Mvi, vT

i Kvj = p2jvTi Mvj. (A.7)

Transpondo ambos os membros da segunda das duas equações escalares anteriores obtém-se

vTj Kvi = p2iv

Tj Mvi, vT

j Kvi = p2jvTj Mvi. (A.8)

Usou-se a regra da álgebra linear pela qual a transposição de um produto de matrizes é igualao produto das matrizes transpostas por ordem inversa. Calculando a diferença, membro amembro, das duas equações anteriores, obtém-se

0 =(p2i − p2j

)vTj Mvi. (A.9)

Uma vez que pi 6= pj obtém-se uma condição de ortogonalidade entre modos envolvendo amatriz de massa

vTi Mvj = 0, ∀i 6= j. (A.10)

Substituindo o resultado anterior numa das equações (A.8) resulta uma condição semelhante,mas envolvendo a matriz de rigidez

vTi Kvj = 0, ∀i 6= j. (A.11)

A este propósito consulte-se também [Clough e Penzien, 1993].

A.1.2 Prescrição de fatores de amortecimento estruturais

Os modos de vibração vi obtidos do sistema não amortecido não cumprem, em geral, as condi-ções de ortogonalidade do tipo (A.10) ou (A.11). Contudo, Rayleigh mostrou que, se se assumiruma matriz de amortecimento estrutural como combinação linear das matrizes de massa e derigidez

C = a0M + a1K, (A.12)

tais condições de ortogonalidade veri�cam-se também em relação à matriz de amortecimento.Com efeito,

vTj Cvi = vT

j

(a0M + a1K

)vi

= a0vTj Mvi + a1v

Tj Kvi

= 0 se i 6= j.

II

Tratando-se de um sistema linear, a solução geral do sistema de equações diferenciais escreve-secomo uma combinação linear das respostas dos vários modos

u(t) =N∑i=1

vizi(t) (A.13)

em que zi(t), i ∈ {1, ..., N} se designam por coordenadas normais. Derivando uma e duas vezesa expressão anterior, obtém-se:

u(t) =N∑i=1

vizi(t) e u(t) =N∑i=1

vizi(t).

Substituindo na equação diferencial (A.1) obtém-se

MN∑i=1

vizi(t) + CN∑i=1

vizi(t) + KN∑i=1

vizi(t) = 0. (A.14)

Após pré-multiplicação por vTj obtém-se

vTj M

N∑i=1

vizi(t) + vTj C

N∑i=1

vizi(t) + vTj K

N∑i=1

vizi(t) = 0

o que equivale a

N∑i=1

vTj Mvizi(t) +

N∑i=1

vTj Cvizi(t) +

N∑i=1

vTj Kvizi(t) = 0.

Atendendo às condições de ortogonalidade (A.10) e (A.11)(vTi Mvi

)zi(t) +

(vTi Cvi

)zi(t) +

(vTi Kvi

)zi(t) = 0, ∀i = 1, ..., N

condições que se podem escrever na forma mais compacta seguinte

mizi(t) + cizi(t) + kizi(t) = 0, (A.15)

em que mi = vTi Mvi é a massa modal do modo i, ci = vT

i Cvi é o amortecimento modal domodo i e ki = vT

i Kvi é a rigidez modal do modo i. Dividindo a equação (A.15) por mi pode-sereescrevê-la na forma canónica

zi(t) + 2ζipizi(t) + p2i zi(t) = 0, (A.16)

em que

pi =

√kimi

(ver (A.8) com i = j)

III

e

ζi =ci

2mipi=a0mi + a1ki

2mipi(A.17)

é o fator de amortecimento modal. O fator de amortecimento relaciona-se com o decrementologarítmico pela expressão

ζi =δi√

(2π)2 + δ2i. (A.18)

A equação (A.17) pode ser reescrita na forma

2piζi = a0 + a1p2i (A.19)

o que permite estabelecer um sistema de duas equações algébricas a duas incógnitas (a0 e a1).Suponha-se então que se quer prescrever os fatores de amortecimento dos modos 1 e 2 (ζ1 e ζ2são conhecidos). Fazendo sucessivamente i = 1 e i = 2 em (A.19) obtém-se o sistema[

1 p211 p22

]{a0a1

}=

{2p1ζ12p2ζ2

}, (A.20)

que tem a solução analítica {a0a1

}=

2p1p2p22 − p21

{p2ζ1 − p1ζ2− ζ1p2

+ ζ2p1

}. (A.21)

Conhecidos os valores de a0 e de a1 obtém-se a matriz de amortecimento C = a0M + a1K,que garante os fatores de amortecimento ζ1 e ζ2 nos dois primeiros modos (o grá�co da FiguraA.1 representa a dependência do fator de amortecimento ζi com a frequência angular, equação(A.19)).

Os fatores de amortecimento dos N−2 modos remanescentes podem ser muito simplesmentecalculados pela fórmula

ζi =a02pi

+a1pi

2, i = 3, ..., N. (A.22)

IV

Figura A.1: Fator de amortecimento ζi em função da frequência angular natural.

V

B Valores numéricos das velocidades críticas de �utter

adimensionais

B.1 Secção de um aerofólio

B.1.1 Amortecimento ζh = ζα = 0

Tabela B.1: Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.2, ζh = ζα = 0).µ µ

q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.32 1.05 0.99 1.21 3.42 2.7 4.48 3.27 2.72 2.18 1.82

1.3 1.60 1.21 1.07 1.03 1.35 2.8 4.67 3.41 2.83 2.27 1.89

1.4 1.86 1.38 1.19 1.06 1.11 2.9 4.85 3.54 2.94 2.36 1.97

1.5 2.10 1.54 1.32 1.13 1.08 3 5.03 3.66 3.05 2.44 2.04

1.6 2.33 1.71 1.44 1.21 1.11 3.1 5.21 3.80 3.16 2.53 2.10

1.7 2.54 1.86 1.57 1.30 1.16 3.2 5.39 3.93 3.27 2.62 2.17

1.8 2.75 2.01 1.69 1.39 1.22 3.3 5.57 4.06 3.38 2.71 2.24

1.9 2.95 2.16 1.81 1.48 1.28 3.4 5.74 4.19 3.49 2.79 2.31

2 3.16 2.30 1.93 1.57 1.35 3.5 5.92 4.32 3.60 2.87 2.38

2.1 3.35 2.44 2.04 1.66 1.41 3.6 6.10 4.46 3.71 2.96 2.45

2.2 3.55 2.58 2.16 1.75 1.48 3.7 6.27 4.58 3.82 3.05 2.51

2.3 3.73 2.72 2.27 1.83 1.55 3.8 6.45 4.71 3.92 3.13 2.58

2.4 3.92 2.87 2.39 1.93 1.62 3.9 6.62 4.84 4.03 3.22 2.65

2.5 4.11 3.00 2.50 2.01 1.68 4 6.80 4.97 4.14 3.30 2.72

2.6 4.30 3.13 2.62 2.10 1.75


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.21 0.99 1.00 1.54 19.41 2.6 5.91 4.22 3.47 2.72 2.23

1.2 1.68 1.25 1.10 1.03 1.23 2.7 6.17 4.41 3.63 2.84 2.33

1.3 2.08 1.51 1.28 1.11 1.08 2.8 6.43 4.60 3.77 2.96 2.42

1.4 2.45 1.76 1.47 1.23 1.12 2.9 6.69 4.78 3.93 3.08 2.51

1.5 2.79 2.00 1.66 1.35 1.20 3 6.95 4.97 4.08 3.19 2.61

1.6 3.11 2.22 1.84 1.49 1.28 3.1 7.20 5.15 4.23 3.31 2.70

1.7 3.41 2.44 2.01 1.61 1.38 3.2 7.46 5.34 4.38 3.43 2.80

1.8 3.71 2.65 2.18 1.75 1.47 3.3 7.71 5.52 4.53 3.55 2.88

1.9 4.00 2.86 2.35 1.87 1.57 3.4 7.96 5.70 4.68 3.66 2.98

2 4.29 3.06 2.51 2.00 1.66 3.5 8.22 5.89 4.83 3.78 3.07

2.1 4.56 3.26 2.68 2.12 1.75 3.6 8.47 6.07 4.98 3.90 3.16

2.2 4.84 3.45 2.84 2.24 1.86 3.7 8.72 6.25 5.13 4.02 3.26

2.3 5.11 3.65 3.00 2.36 1.95 3.8 8.97 6.43 5.28 4.13 3.35

2.4 5.38 3.84 3.16 2.48 2.04 3.9 9.22 6.61 5.43 4.24 3.44

2.5 5.65 4.03 3.31 2.61 2.14 4 9.47 6.79 5.57 4.36 3.53

VII


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.37 1.06 0.99 1.12 3.68 2.6 7.23 5.07 4.10 3.16 2.55

1.2 1.96 1.41 1.21 1.06 1.10 2.7 7.56 5.29 4.28 3.30 2.66

1.3 2.46 1.74 1.45 1.21 1.11 2.8 7.88 5.53 4.47 3.45 2.77

1.4 2.91 2.04 1.68 1.36 1.21 2.9 8.21 5.76 4.66 3.59 2.88

1.5 3.34 2.33 1.91 1.53 1.31 3 8.53 5.98 4.84 3.73 2.99

1.6 3.73 2.61 2.12 1.68 1.43 3.1 8.85 6.20 5.02 3.86 3.10

1.7 4.12 2.87 2.34 1.84 1.53 3.2 9.17 6.43 5.21 4.00 3.21

1.8 4.49 3.13 2.54 1.99 1.65 3.3 9.48 6.66 5.39 4.14 3.32

1.9 4.85 3.39 2.75 2.15 1.77 3.4 9.80 6.87 5.57 4.28 3.43

2 5.21 3.64 2.95 2.29 1.88 3.5 10.12 7.10 5.75 4.42 3.53

2.1 5.55 3.88 3.15 2.44 2.00 3.6 10.43 7.32 5.93 4.55 3.64

2.2 5.90 4.13 3.34 2.58 2.11 3.7 10.74 7.54 6.11 4.69 3.75

2.3 6.23 4.36 3.53 2.73 2.22 3.8 11.06 7.76 6.28 4.82 3.86

2.4 6.57 4.60 3.73 2.87 2.33 3.9 11.37 7.98 6.46 4.96 3.96

2.5 6.91 4.83 3.92 3.02 2.44 4 11.68 8.21 6.64 5.10 4.07


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.48 1.12 1.02 1.05 1.81 2.6 8.28 5.70 4.56 3.46 2.76

1.2 2.16 1.52 1.28 1.10 1.08 2.7 8.67 5.96 4.77 3.62 2.89

1.3 2.75 1.89 1.56 1.28 1.15 2.8 9.04 6.22 4.97 3.77 3.01

1.4 3.27 2.25 1.82 1.46 1.27 2.9 9.42 6.48 5.18 3.93 3.12

1.5 3.77 2.58 2.08 1.64 1.39 3 9.79 6.74 5.39 4.09 3.25

1.6 4.23 2.90 2.33 1.82 1.52 3.1 10.16 6.99 5.59 4.24 3.37

1.7 4.67 3.20 2.57 1.99 1.64 3.2 10.53 7.25 5.79 4.39 3.48

1.8 5.11 3.50 2.80 2.16 1.77 3.3 10.90 7.50 6.00 4.54 3.60

1.9 5.53 3.79 3.04 2.33 1.90 3.4 11.27 7.76 6.20 4.70 3.72

2 5.94 4.07 3.26 2.50 2.03 3.5 11.63 8.01 6.40 4.85 3.84

2.1 6.34 4.35 3.48 2.66 2.15 3.6 12.00 8.26 6.61 5.00 3.96

2.2 6.74 4.63 3.70 2.83 2.27 3.7 12.36 8.52 6.81 5.15 4.08

2.3 7.13 4.90 3.92 2.98 2.40 3.8 12.72 8.77 7.01 5.30 4.20

2.4 7.52 5.17 4.13 3.15 2.52 3.9 13.08 9.02 7.21 5.46 4.31

2.5 7.91 5.43 4.35 3.30 2.65 4 13.44 9.27 7.41 5.61 4.43


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.57 1.16 1.04 1.03 1.45 2.6 9.11 6.17 4.89 3.67 2.90

1.2 2.32 1.60 1.33 1.14 1.09 2.7 9.54 6.45 5.11 3.84 3.04

1.3 2.97 2.01 1.64 1.33 1.18 2.8 9.95 6.74 5.33 4.00 3.16

1.4 3.55 2.40 1.93 1.53 1.31 2.9 10.37 7.02 5.56 4.17 3.29

1.5 4.10 2.76 2.21 1.72 1.44 3 10.78 7.31 5.78 4.34 3.41

1.6 4.61 3.11 2.47 1.91 1.58 3.1 11.20 7.59 6.01 4.49 3.55

1.7 5.11 3.44 2.73 2.10 1.71 3.2 11.60 7.86 6.22 4.66 3.67

1.8 5.58 3.77 2.99 2.28 1.86 3.3 12.01 8.14 6.44 4.82 3.80

1.9 6.05 4.08 3.24 2.46 1.99 3.4 12.42 8.42 6.66 4.99 3.92

2 6.51 4.39 3.48 2.64 2.12 3.5 12.83 8.69 6.88 5.15 4.05

2.1 6.96 4.70 3.73 2.82 2.26 3.6 13.22 8.97 7.10 5.31 4.17

2.2 7.40 5.00 3.96 2.99 2.39 3.7 13.63 9.24 7.31 5.47 4.30

2.3 7.84 5.29 4.20 3.16 2.52 3.8 14.03 9.51 7.53 5.63 4.42

2.4 8.27 5.59 4.42 3.34 2.65 3.9 14.43 9.79 7.75 5.79 4.54

2.5 8.69 5.88 4.66 3.50 2.78 4 14.83 10.06 7.96 5.95 4.67

VIII

B.1.2 Amortecimento ζh = ζα = 0.01

Tabela B.6: Velocidade crítica adimensional (aerofólio, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01).µ µ

q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.55 1.41 - - - 2.7 4.52 3.30 2.76 2.22 1.86

1.3 1.73 1.35 1.25 1.42 - 2.8 4.70 3.44 2.87 2.31 1.93

1.4 1.95 1.48 1.30 1.21 1.50 2.9 4.88 3.57 2.98 2.40 2.00

1.5 2.18 1.62 1.39 1.22 1.24 3 5.06 3.70 3.09 2.48 2.07

1.6 2.39 1.77 1.51 1.28 1.21 3.1 5.24 3.83 3.19 2.57 2.14

1.7 2.60 1.92 1.62 1.36 1.24 3.2 5.42 3.96 3.30 2.65 2.20

1.8 2.80 2.06 1.74 1.44 1.28 3.3 5.60 4.10 3.41 2.74 2.27

1.9 3.01 2.21 1.86 1.53 1.33 3.4 5.78 4.22 3.52 2.83 2.34

2 3.20 2.35 1.97 1.61 1.39 3.5 5.95 4.35 3.63 2.90 2.41

2.1 3.40 2.49 2.08 1.70 1.46 3.6 6.13 4.48 3.74 2.99 2.48

2.2 3.59 2.62 2.20 1.79 1.52 3.7 6.30 4.61 3.84 3.08 2.54

2.3 3.78 2.76 2.31 1.87 1.59 3.8 6.48 4.74 3.95 3.16 2.62

2.4 3.96 2.90 2.43 1.96 1.65 3.9 6.66 4.87 4.06 3.25 2.69

2.5 4.15 3.04 2.54 2.04 1.72 4 6.84 5.00 4.17 3.34 2.76

2.6 4.34 3.17 2.65 2.13 1.79


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.75 - - - - 2.6 5.97 4.29 3.54 2.80 2.29

1.2 1.89 1.46 1.32 1.35 - 2.7 6.24 4.48 3.69 2.91 2.40

1.3 2.23 1.65 1.43 1.26 1.30 2.8 6.50 4.67 3.84 3.03 2.49

1.4 2.58 1.88 1.59 1.34 1.25 2.9 6.76 4.85 4.00 3.16 2.58

1.5 2.90 2.10 1.76 1.46 1.30 3 7.02 5.03 4.15 3.27 2.68

1.6 3.20 2.31 1.93 1.57 1.37 3.1 7.27 5.22 4.30 3.39 2.77

1.7 3.51 2.52 2.10 1.70 1.46 3.2 7.52 5.40 4.46 3.51 2.87

1.8 3.80 2.73 2.26 1.82 1.54 3.3 7.78 5.59 4.60 3.63 2.96

1.9 4.08 2.94 2.43 1.94 1.64 3.4 8.03 5.77 4.75 3.74 3.05

2 4.36 3.13 2.59 2.07 1.73 3.5 8.28 5.95 4.90 3.86 3.15

2.1 4.64 3.33 2.75 2.19 1.82 3.6 8.53 6.14 5.06 3.98 3.24

2.2 4.91 3.52 2.91 2.31 1.92 3.7 8.79 6.32 5.21 4.10 3.33

2.3 5.18 3.72 3.07 2.44 2.01 3.8 9.04 6.50 5.36 4.21 3.42

2.4 5.45 3.92 3.23 2.55 2.11 3.9 9.29 6.68 5.50 4.32 3.52

2.5 5.72 4.10 3.38 2.68 2.20 4 9.54 6.86 5.65 4.44 3.61

IX


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.86 1.57 1.66 - - 2.6 7.36 5.20 4.24 3.30 2.67

1.2 2.23 1.66 1.45 1.32 1.47 2.7 7.69 5.43 4.42 3.44 2.79

1.3 2.67 1.93 1.63 1.38 1.30 2.8 8.01 5.66 4.61 3.59 2.90

1.4 3.09 2.22 1.84 1.51 1.35 2.9 8.34 5.89 4.80 3.73 3.01

1.5 3.50 2.49 2.06 1.66 1.44 3 8.66 6.12 4.98 3.87 3.12

1.6 3.89 2.76 2.27 1.82 1.54 3.1 8.98 6.34 5.17 4.01 3.23

1.7 4.27 3.01 2.47 1.97 1.65 3.2 9.30 6.57 5.35 4.15 3.34

1.8 4.63 3.27 2.68 2.12 1.76 3.3 9.62 6.80 5.54 4.29 3.45

1.9 4.99 3.52 2.88 2.27 1.88 3.4 9.94 7.02 5.72 4.43 3.57

2 5.34 3.77 3.08 2.42 1.99 3.5 10.26 7.24 5.90 4.57 3.68

2.1 5.68 4.02 3.28 2.57 2.11 3.6 10.57 7.47 6.08 4.71 3.79

2.2 6.03 4.25 3.47 2.72 2.22 3.7 10.89 7.69 6.26 4.85 3.90

2.3 6.37 4.49 3.66 2.86 2.33 3.8 11.20 7.92 6.44 4.99 4.01

2.4 6.70 4.73 3.85 3.01 2.45 3.9 11.52 8.14 6.62 5.13 4.12

2.5 7.03 4.96 4.05 3.15 2.56 4 11.83 8.36 6.80 5.27 4.23


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.05 1.65 1.58 2.10 - 2.6 8.52 5.93 4.78 3.68 2.96

1.2 2.53 1.85 1.58 1.39 1.41 2.7 8.89 6.19 5.00 3.84 3.09

1.3 3.05 2.17 1.81 1.50 1.37 2.8 9.28 6.46 5.21 4.01 3.21

1.4 3.54 2.50 2.06 1.67 1.45 2.9 9.65 6.72 5.43 4.17 3.34

1.5 4.01 2.81 2.30 1.84 1.57 3 10.03 6.98 5.64 4.33 3.46

1.6 4.46 3.12 2.54 2.01 1.68 3.1 10.41 7.24 5.85 4.49 3.59

1.7 4.90 3.42 2.78 2.18 1.81 3.2 10.78 7.50 6.05 4.64 3.71

1.8 5.32 3.71 3.01 2.36 1.94 3.3 11.16 7.76 6.26 4.80 3.84

1.9 5.75 4.00 3.24 2.53 2.07 3.4 11.53 8.02 6.48 4.96 3.96

2 6.15 4.28 3.47 2.69 2.20 3.5 11.89 8.28 6.68 5.12 4.08

2.1 6.56 4.56 3.70 2.87 2.33 3.6 12.26 8.53 6.89 5.28 4.20

2.2 6.96 4.84 3.92 3.03 2.45 3.7 12.64 8.79 7.09 5.43 4.33

2.3 7.35 5.11 4.13 3.19 2.58 3.8 13.01 9.05 7.30 5.59 4.46

2.4 7.74 5.39 4.35 3.36 2.71 3.9 13.37 9.30 7.51 5.75 4.57

2.5 8.13 5.66 4.57 3.52 2.83 4 13.73 9.56 7.71 5.90 4.70


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.25 1.77 1.65 1.84 - 2.6 9.48 6.52 5.23 4.00 3.19

1.2 2.80 2.02 1.71 1.48 1.45 2.7 9.91 6.82 5.47 4.17 3.33

1.3 3.37 2.38 1.97 1.62 1.45 2.8 10.34 7.11 5.70 4.35 3.46

1.4 3.92 2.74 2.25 1.80 1.55 2.9 10.76 7.40 5.94 4.53 3.60

1.5 4.45 3.09 2.51 1.99 1.68 3 11.18 7.69 6.16 4.70 3.73

1.6 4.95 3.43 2.78 2.18 1.81 3.1 11.60 7.98 6.40 4.87 3.87

1.7 5.44 3.76 3.04 2.36 1.95 3.2 12.02 8.27 6.62 5.04 4.00

1.8 5.92 4.08 3.30 2.55 2.09 3.3 12.43 8.55 6.85 5.21 4.13

1.9 6.38 4.40 3.55 2.74 2.22 3.4 12.85 8.84 7.08 5.39 4.28

2 6.84 4.71 3.79 2.92 2.36 3.5 13.26 9.12 7.31 5.56 4.41

2.1 7.29 5.02 4.04 3.10 2.51 3.6 13.67 9.40 7.53 5.73 4.54

2.2 7.74 5.32 4.28 3.29 2.65 3.7 14.09 9.69 7.76 5.90 4.67

2.3 8.18 5.63 4.53 3.47 2.78 3.8 14.50 9.97 7.99 6.07 4.81

2.4 8.62 5.93 4.76 3.64 2.92 3.9 14.91 10.26 8.21 6.24 4.94

2.5 9.05 6.22 5.00 3.82 3.05 4 15.32 10.54 8.44 6.41 5.07

X

B.1.3 Amortecimento ζh = ζα = 0.02


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.3 2.02 - - - - 2.7 4.56 3.34 2.80 2.26 1.89

1.4 2.10 1.62 1.46 1.63 - 2.8 4.74 3.47 2.90 2.34 1.97

1.5 2.28 1.72 1.50 1.36 1.64 2.9 4.92 3.60 3.01 2.43 2.03

1.6 2.47 1.85 1.59 1.38 1.35 3 5.10 3.73 3.12 2.51 2.10

1.7 2.68 1.98 1.69 1.43 1.33 3.1 5.28 3.86 3.23 2.60 2.17

1.8 2.87 2.12 1.79 1.50 1.35 3.2 5.46 3.99 3.34 2.69 2.23

1.9 3.07 2.26 1.91 1.58 1.39 3.3 5.63 4.13 3.45 2.77 2.30

2 3.26 2.40 2.02 1.66 1.45 3.4 5.81 4.25 3.55 2.85 2.37

2.1 3.45 2.53 2.13 1.75 1.50 3.5 5.99 4.38 3.66 2.94 2.44

2.2 3.64 2.67 2.24 1.82 1.57 3.6 6.16 4.51 3.77 3.02 2.51

2.3 3.83 2.80 2.35 1.91 1.63 3.7 6.33 4.64 3.88 3.11 2.58

2.4 4.01 2.94 2.46 2.00 1.69 3.8 6.51 4.77 3.99 3.19 2.65

2.5 4.20 3.07 2.58 2.08 1.76 3.9 6.69 4.89 4.09 3.28 2.72

2.6 4.38 3.20 2.69 2.17 1.82 4 6.87 5.03 4.20 3.37 2.79


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 2.23 1.82 1.85 - - 2.7 6.30 4.54 3.76 2.98 2.45

1.3 2.42 1.82 1.60 1.47 1.79 2.8 6.56 4.73 3.91 3.10 2.54

1.4 2.71 2.00 1.71 1.47 1.42 2.9 6.82 4.91 4.06 3.22 2.65

1.5 3.01 2.20 1.86 1.55 1.41 3 7.08 5.10 4.21 3.34 2.74

1.6 3.30 2.40 2.02 1.66 1.46 3.1 7.33 5.29 4.37 3.45 2.83

1.7 3.59 2.61 2.18 1.78 1.53 3.2 7.59 5.47 4.52 3.57 2.93

1.8 3.88 2.81 2.34 1.89 1.62 3.3 7.84 5.65 4.67 3.69 3.02

1.9 4.17 3.01 2.50 2.01 1.71 3.4 8.10 5.83 4.82 3.81 3.12

2 4.44 3.20 2.66 2.14 1.79 3.5 8.35 6.01 4.97 3.92 3.21

2.1 4.71 3.40 2.82 2.26 1.89 3.6 8.60 6.20 5.12 4.04 3.30

2.2 4.98 3.59 2.98 2.38 1.98 3.7 8.86 6.38 5.27 4.16 3.40

2.3 5.25 3.78 3.13 2.50 2.07 3.8 9.11 6.56 5.42 4.28 3.49

2.4 5.52 3.98 3.29 2.62 2.17 3.9 9.36 6.74 5.57 4.39 3.59

2.5 5.78 4.17 3.45 2.74 2.26 4 9.61 6.92 5.72 4.51 3.68

2.6 6.04 4.35 3.60 2.86 2.36

XI


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 2.54 1.93 1.73 1.68 - 2.7 7.81 5.54 4.53 3.55 2.89

1.3 2.88 2.11 1.81 1.57 1.52 2.8 8.13 5.77 4.72 3.70 3.01

1.4 3.27 2.36 1.99 1.65 1.50 2.9 8.46 6.01 4.91 3.84 3.12

1.5 3.65 2.62 2.18 1.79 1.56 3 8.78 6.23 5.10 3.99 3.23

1.6 4.02 2.88 2.39 1.93 1.65 3.1 9.10 6.46 5.29 4.13 3.34

1.7 4.39 3.14 2.59 2.07 1.75 3.2 9.42 6.69 5.47 4.28 3.46

1.8 4.75 3.39 2.80 2.22 1.86 3.3 9.74 6.91 5.66 4.42 3.57

1.9 5.11 3.64 2.99 2.37 1.98 3.4 10.06 7.14 5.84 4.56 3.69

2 5.46 3.88 3.19 2.52 2.09 3.5 10.38 7.37 6.03 4.70 3.80

2.1 5.80 4.13 3.39 2.67 2.20 3.6 10.70 7.60 6.21 4.84 3.92

2.2 6.15 4.37 3.58 2.82 2.32 3.7 11.02 7.82 6.40 4.99 4.02

2.3 6.48 4.60 3.77 2.97 2.44 3.8 11.33 8.04 6.58 5.13 4.14

2.4 6.81 4.84 3.97 3.12 2.54 3.9 11.65 8.27 6.77 5.27 4.25

2.5 7.15 5.07 4.16 3.26 2.66 4 11.96 8.50 6.95 5.41 4.36

2.6 7.48 5.31 4.35 3.41 2.78


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 3.25 - - - - 2.6 8.71 6.11 4.96 3.85 3.12

1.2 2.87 2.15 1.88 1.71 1.90 2.7 9.09 6.37 5.18 4.02 3.24

1.3 3.30 2.40 2.03 1.71 1.58 2.8 9.47 6.64 5.39 4.18 3.37

1.4 3.77 2.69 2.25 1.84 1.62 2.9 9.86 6.91 5.61 4.35 3.50

1.5 4.21 3.00 2.47 2.00 1.71 3 10.23 7.17 5.83 4.51 3.63

1.6 4.66 3.30 2.71 2.16 1.83 3.1 10.61 7.44 6.04 4.67 3.76

1.7 5.09 3.59 2.94 2.33 1.95 3.2 10.99 7.70 6.26 4.84 3.88

1.8 5.51 3.88 3.18 2.51 2.07 3.3 11.37 7.97 6.47 5.00 4.02

1.9 5.93 4.17 3.41 2.68 2.21 3.4 11.75 8.23 6.68 5.16 4.14

2 6.33 4.46 3.63 2.85 2.33 3.5 12.11 8.49 6.89 5.32 4.28

2.1 6.74 4.74 3.86 3.01 2.47 3.6 12.49 8.75 7.10 5.49 4.40

2.2 7.14 5.01 4.09 3.19 2.60 3.7 12.86 9.01 7.31 5.65 4.53

2.3 7.53 5.29 4.31 3.35 2.72 3.8 13.23 9.27 7.52 5.81 4.65

2.4 7.93 5.57 4.53 3.52 2.86 3.9 13.61 9.54 7.74 5.97 4.78

2.5 8.32 5.83 4.75 3.69 2.98 4 13.98 9.80 7.95 6.13 4.91


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 3.14 2.70 3.27 - - 2.6 9.76 6.79 5.49 4.24 3.41

1.2 3.19 2.36 2.04 1.82 1.88 2.7 10.20 7.09 5.72 4.42 3.55

1.3 3.69 2.65 2.23 1.86 1.69 2.8 10.63 7.38 5.97 4.60 3.69

1.4 4.20 2.98 2.47 2.01 1.75 2.9 11.06 7.68 6.20 4.78 3.83

1.5 4.71 3.32 2.73 2.18 1.86 3 11.49 7.98 6.44 4.96 3.97

1.6 5.21 3.66 2.99 2.37 1.99 3.1 11.92 8.27 6.68 5.14 4.11

1.7 5.70 3.99 3.26 2.56 2.13 3.2 12.34 8.57 6.91 5.32 4.25

1.8 6.17 4.31 3.51 2.75 2.26 3.3 12.76 8.86 7.15 5.50 4.39

1.9 6.64 4.63 3.77 2.94 2.41 3.4 13.19 9.15 7.38 5.67 4.53

2 7.10 4.95 4.02 3.12 2.55 3.5 13.61 9.44 7.62 5.85 4.67

2.1 7.56 5.26 4.27 3.31 2.69 3.6 14.02 9.73 7.85 6.03 4.81

2.2 8.00 5.57 4.51 3.50 2.83 3.7 14.45 10.02 8.09 6.21 4.95

2.3 8.45 5.88 4.76 3.68 2.98 3.8 14.86 10.31 8.32 6.38 5.09

2.4 8.89 6.19 5.00 3.87 3.12 3.9 15.28 10.60 8.55 6.56 5.23

2.5 9.33 6.48 5.25 4.05 3.27 4 15.70 10.89 8.79 6.73 5.36

XII

B.2 Secções retangulares de esbelteza variada

B.2.1 Esbelteza B/D=5, amortecimento ζh = ζα = 0

Tabela B.16: Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.2, ζh = ζα = 0).µ µ

q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 0.51 0.25 0.18 0.11 0.07 2.7 1.74 1.45 1.23 0.62 0.43

1.3 0.71 0.38 0.27 0.16 0.11 2.8 1.79 1.50 1.29 0.65 0.44

1.4 0.81 0.51 0.34 0.22 0.14 2.9 1.87 1.56 1.34 0.67 0.46

1.5 0.91 0.63 0.43 0.29 0.18 3 1.94 1.61 1.38 0.69 0.48

1.6 0.98 0.74 0.53 0.34 0.22 3.1 1.99 1.67 1.43 0.72 0.50

1.7 1.05 0.83 0.62 0.35 0.25 3.2 2.06 1.74 1.49 0.74 0.52

1.8 1.12 0.91 0.69 0.36 0.29 3.3 2.14 1.79 1.54 0.77 0.53

1.9 1.20 0.96 0.76 0.40 0.31 3.4 2.19 1.85 1.59 0.80 0.55

2 1.27 1.03 0.83 0.42 0.33 3.5 2.26 1.90 1.63 0.81 0.57

2.1 1.34 1.09 0.91 0.45 0.34 3.6 2.32 1.96 1.68 0.84 0.59

2.2 1.39 1.16 0.96 0.49 0.35 3.7 2.39 2.01 1.74 0.87 0.61

2.3 1.47 1.21 1.01 0.52 0.37 3.8 2.46 2.06 1.77 0.89 0.62

2.4 1.54 1.27 1.07 0.54 0.38 3.9 2.52 2.12 1.83 0.91 0.63

2.5 1.59 1.32 1.12 0.56 0.39 4 2.59 2.17 1.88 0.94 0.65

2.6 1.67 1.39 1.18 0.60 0.41


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.42 0.24 0.16 0.11 0.07 2.6 1.79 1.58 1.39 1.09 0.78

1.2 0.69 0.42 0.31 0.20 0.13 2.7 1.87 1.63 1.45 1.12 0.83

1.3 0.80 0.58 0.42 0.29 0.20 2.8 1.94 1.70 1.50 1.18 0.87

1.4 0.91 0.71 0.54 0.36 0.25 2.9 1.99 1.76 1.56 1.23 0.91

1.5 0.98 0.81 0.63 0.43 0.31 3 2.06 1.83 1.63 1.29 0.94

1.6 1.07 0.89 0.72 0.51 0.36 3.1 2.14 1.88 1.68 1.32 0.98

1.7 1.14 0.96 0.81 0.56 0.42 3.2 2.21 1.96 1.74 1.38 1.01

1.8 1.21 1.03 0.89 0.63 0.45 3.3 2.28 2.01 1.79 1.43 1.05

1.9 1.29 1.10 0.96 0.71 0.49 3.4 2.35 2.06 1.85 1.47 1.09

2 1.36 1.18 1.03 0.76 0.54 3.5 2.43 2.14 1.90 1.52 1.12

2.1 1.43 1.25 1.09 0.81 0.58 3.6 2.50 2.19 1.96 1.58 1.16

2.2 1.50 1.30 1.16 0.87 0.62 3.7 2.55 2.26 2.03 1.61 1.20

2.3 1.58 1.38 1.21 0.92 0.65 3.8 2.63 2.32 2.08 1.67 1.25

2.4 1.65 1.43 1.27 0.98 0.71 3.9 2.70 2.39 2.14 1.72 1.29

2.5 1.72 1.50 1.34 1.03 0.74 4 2.77 2.44 2.19 1.76 1.32

XIII


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.51 0.33 0.24 0.14 0.09 2.6 1.83 1.65 1.49 1.20 0.92

1.2 0.72 0.53 0.40 0.29 0.20 2.7 1.90 1.72 1.56 1.25 0.96

1.3 0.83 0.67 0.53 0.38 0.27 2.8 1.97 1.77 1.61 1.30 1.01

1.4 0.92 0.78 0.63 0.45 0.34 2.9 2.05 1.85 1.67 1.36 1.05

1.5 1.01 0.87 0.72 0.53 0.40 3 2.12 1.92 1.74 1.41 1.09

1.6 1.10 0.94 0.81 0.60 0.45 3.1 2.19 1.97 1.79 1.47 1.14

1.7 1.18 1.03 0.89 0.67 0.51 3.2 2.26 2.05 1.85 1.52 1.18

1.8 1.25 1.10 0.98 0.74 0.54 3.3 2.34 2.10 1.92 1.58 1.21

1.9 1.32 1.18 1.05 0.80 0.60 3.4 2.41 2.17 1.97 1.63 1.25

2 1.39 1.23 1.10 0.87 0.65 3.5 2.48 2.25 2.05 1.68 1.30

2.1 1.47 1.30 1.18 0.92 0.69 3.6 2.55 2.30 2.10 1.74 1.34

2.2 1.54 1.38 1.23 0.98 0.74 3.7 2.63 2.37 2.16 1.79 1.38

2.3 1.61 1.45 1.30 1.03 0.78 3.8 2.70 2.44 2.21 1.83 1.41

2.4 1.68 1.52 1.36 1.09 0.83 3.9 2.77 2.50 2.28 1.88 1.47

2.5 1.76 1.58 1.43 1.14 0.87 4 2.84 2.57 2.34 1.94 1.50


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.54 0.36 0.29 0.20 0.13 2.6 1.87 1.68 1.54 1.27 1.00

1.2 0.74 0.56 0.45 0.33 0.24 2.7 1.94 1.76 1.61 1.32 1.05

1.3 0.85 0.71 0.58 0.43 0.33 2.8 2.01 1.83 1.67 1.39 1.09

1.4 0.94 0.81 0.67 0.51 0.38 2.9 2.08 1.88 1.74 1.45 1.14

1.5 1.03 0.91 0.76 0.60 0.45 3 2.16 1.96 1.79 1.50 1.18

1.6 1.10 0.98 0.85 0.67 0.51 3.1 2.23 2.03 1.87 1.56 1.23

1.7 1.20 1.05 0.94 0.72 0.56 3.2 2.30 2.10 1.92 1.61 1.27

1.8 1.27 1.12 1.01 0.80 0.62 3.3 2.37 2.16 1.97 1.67 1.32

1.9 1.34 1.20 1.09 0.87 0.67 3.4 2.44 2.23 2.05 1.72 1.36

2 1.41 1.27 1.16 0.92 0.71 3.5 2.52 2.30 2.10 1.77 1.39

2.1 1.49 1.34 1.21 0.98 0.76 3.6 2.59 2.35 2.17 1.83 1.45

2.2 1.58 1.41 1.29 1.05 0.81 3.7 2.66 2.43 2.23 1.88 1.49

2.3 1.65 1.49 1.36 1.10 0.85 3.8 2.73 2.50 2.30 1.94 1.54

2.4 1.72 1.56 1.41 1.16 0.91 3.9 2.81 2.55 2.35 1.99 1.58

2.5 1.79 1.61 1.49 1.21 0.96 4 2.88 2.63 2.41 2.05 1.61


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.56 0.40 0.33 0.24 0.14 2.6 1.88 1.70 1.58 1.32 1.05

1.2 0.76 0.58 0.47 0.36 0.27 2.7 1.96 1.77 1.63 1.38 1.10

1.3 0.87 0.72 0.60 0.45 0.34 2.8 2.03 1.85 1.70 1.43 1.14

1.4 0.96 0.83 0.71 0.54 0.42 2.9 2.10 1.92 1.77 1.49 1.20

1.5 1.03 0.91 0.80 0.62 0.49 3 2.17 1.99 1.83 1.54 1.23

1.6 1.12 1.00 0.89 0.69 0.54 3.1 2.25 2.05 1.90 1.59 1.29

1.7 1.20 1.07 0.96 0.76 0.60 3.2 2.32 2.12 1.96 1.67 1.32

1.8 1.27 1.14 1.03 0.83 0.65 3.3 2.39 2.19 2.03 1.72 1.38

1.9 1.36 1.21 1.10 0.89 0.71 3.4 2.46 2.26 2.08 1.77 1.41

2 1.43 1.29 1.18 0.96 0.76 3.5 2.54 2.32 2.16 1.83 1.47

2.1 1.50 1.36 1.25 1.01 0.81 3.6 2.61 2.39 2.21 1.88 1.50

2.2 1.58 1.43 1.30 1.09 0.85 3.7 2.68 2.46 2.28 1.94 1.56

2.3 1.65 1.50 1.38 1.14 0.91 3.8 2.75 2.54 2.34 1.99 1.59

2.4 1.72 1.58 1.45 1.20 0.96 3.9 2.83 2.59 2.41 2.05 1.65

2.5 1.79 1.65 1.50 1.25 1.00 4 2.90 2.66 2.46 2.10 1.68

XIV

B.2.2 Esbelteza B/D=5, amortecimento ζh = ζα = 0.01

Tabela B.21: Velocidade crítica adimensional (B/D=5, r = 0.2, ζh = ζα = 0.01).µ µ

q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 0.56 0.29 0.22 0.14 0.09 2.7 1.88 1.52 1.27 0.62 0.45

1.3 0.78 1.56 0.29 0.20 0.13 2.8 1.96 1.58 1.32 0.65 0.46

1.4 0.89 0.54 0.36 0.25 0.16 2.9 2.03 1.65 1.38 0.67 0.48

1.5 1.00 0.69 0.43 0.29 0.20 3 2.10 1.70 1.43 0.70 0.49

1.6 1.07 0.80 0.54 0.34 0.24 3.1 2.17 1.76 1.49 0.72 0.51

1.7 1.16 0.87 0.63 0.37 0.27 3.2 2.25 1.81 1.54 0.74 0.52

1.8 1.23 0.94 0.72 0.39 0.31 3.3 2.32 1.88 1.59 0.77 0.54

1.9 1.32 1.01 0.80 0.42 0.32 3.4 2.39 1.94 1.65 0.80 0.55

2 1.39 1.09 0.87 0.44 0.34 3.5 2.44 1.99 1.68 0.81 0.57

2.1 1.47 1.14 0.94 0.47 0.35 3.6 2.52 2.05 1.74 0.84 0.58

2.2 1.54 1.21 1.00 0.49 0.37 3.7 2.59 2.12 1.79 0.87 0.60

2.3 1.61 1.27 1.05 0.52 0.38 3.8 2.66 2.17 1.85 0.89 0.62

2.4 1.68 1.34 1.10 0.54 0.40 3.9 2.73 2.23 1.90 0.91 0.63

2.5 1.76 1.39 1.16 0.57 0.41 4 2.81 2.28 1.94 0.94 0.65

2.6 1.81 1.47 1.21 0.60 0.43


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.53 0.29 0.22 0.14 0.09 2.6 2.03 1.74 1.49 1.14 0.81

1.2 0.81 0.45 0.33 0.24 0.14 2.7 2.10 1.81 1.56 1.20 0.85

1.3 0.96 0.65 0.45 0.31 0.22 2.8 2.17 1.88 1.61 1.25 0.91

1.4 1.07 0.80 0.58 0.38 0.27 2.9 2.26 1.96 1.68 1.30 0.94

1.5 1.14 0.89 0.71 0.45 0.33 3 2.34 2.03 1.74 1.36 0.98

1.6 1.23 0.98 0.80 0.53 0.38 3.1 2.41 2.08 1.79 1.41 1.01

1.7 1.30 1.07 0.89 0.60 0.42 3.2 2.50 2.16 1.87 1.47 1.05

1.8 1.39 1.14 0.96 0.67 0.47 3.3 2.57 2.23 1.92 1.52 1.10

1.9 1.47 1.23 1.03 0.74 0.51 3.4 2.64 2.30 1.99 1.58 1.14

2 1.56 1.30 1.10 0.80 0.54 3.5 2.73 2.37 2.05 1.61 1.18

2.1 1.63 1.38 1.16 0.87 0.60 3.6 2.81 2.44 2.10 1.67 1.21

2.2 1.70 1.45 1.23 0.92 0.63 3.7 2.88 2.52 2.17 1.72 1.25

2.3 1.79 1.52 1.30 0.98 0.69 3.8 2.97 2.57 2.23 1.77 1.29

2.4 1.87 1.59 1.36 1.03 0.72 3.9 3.04 2.64 2.28 1.83 1.32

2.5 1.94 1.67 1.43 1.09 0.78 4 3.11 2.72 2.35 1.88 1.36

XV


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.71 0.36 0.27 0.18 0.13 2.6 2.17 1.94 1.67 1.32 0.98

1.2 0.94 0.62 0.43 0.31 0.22 2.7 2.26 2.01 1.74 1.39 1.01

1.3 1.05 0.80 0.60 0.40 0.29 2.8 2.35 2.08 1.81 1.45 1.07

1.4 1.14 0.92 0.72 0.49 0.34 2.9 2.43 2.17 1.88 1.50 1.12

1.5 1.23 1.03 0.83 0.58 0.42 3 2.52 2.25 1.96 1.56 1.16

1.6 1.32 1.12 0.92 0.65 0.47 3.1 2.61 2.32 2.03 1.61 1.21

1.7 1.41 1.21 1.01 0.74 0.53 3.2 2.68 2.39 2.08 1.68 1.25

1.8 1.50 1.30 1.09 0.81 0.58 3.3 2.77 2.46 2.16 1.74 1.29

1.9 1.59 1.39 1.16 0.89 0.63 3.4 2.86 2.54 2.23 1.79 1.34

2 1.67 1.47 1.25 0.94 0.69 3.5 2.93 2.63 2.30 1.85 1.38

2.1 1.76 1.56 1.32 1.01 0.72 3.6 3.02 2.70 2.35 1.90 1.43

2.2 1.85 1.63 1.39 1.09 0.78 3.7 3.11 2.77 2.43 1.96 1.47

2.3 1.92 1.70 1.47 1.14 0.83 3.8 3.19 2.84 2.50 2.01 1.52

2.4 2.01 1.79 1.54 1.21 0.89 3.9 3.28 2.92 2.57 2.06 1.56

2.5 2.10 1.87 1.61 1.27 0.92 4 3.37 2.99 2.63 2.12 1.59


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.87 0.45 0.33 0.24 0.14 2.6 2.34 2.05 1.83 1.45 1.09

1.2 1.01 0.74 0.53 0.36 0.25 2.7 2.43 2.14 1.92 1.52 1.14

1.3 1.12 0.91 0.69 0.47 0.34 2.8 2.52 2.21 1.99 1.58 1.20

1.4 1.23 1.03 0.83 0.58 0.42 2.9 2.61 2.28 2.06 1.65 1.25

1.5 1.32 1.14 0.92 0.67 0.47 3 2.70 2.37 2.14 1.70 1.29

1.6 1.43 1.23 1.03 0.76 0.54 3.1 2.79 2.44 2.21 1.77 1.34

1.7 1.52 1.32 1.12 0.83 0.60 3.2 2.88 2.54 2.28 1.83 1.39

1.8 1.61 1.39 1.20 0.91 0.65 3.3 2.97 2.61 2.37 1.88 1.43

1.9 1.70 1.49 1.29 1.00 0.72 3.4 3.06 2.68 2.44 1.96 1.49

2 1.79 1.56 1.36 1.07 0.78 3.5 3.15 2.77 2.52 2.01 1.54

2.1 1.88 1.65 1.45 1.12 0.83 3.6 3.24 2.84 2.59 2.06 1.58

2.2 1.97 1.72 1.52 1.20 0.89 3.7 3.33 2.93 2.66 2.14 1.63

2.3 2.06 1.81 1.61 1.27 0.94 3.8 3.42 3.01 2.73 2.19 1.68

2.4 2.16 1.88 1.68 1.32 1.00 3.9 3.51 3.08 2.81 2.25 1.72

2.5 2.25 1.97 1.76 1.39 1.03 4 3.60 3.17 2.88 2.32 1.77


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.94 0.56 0.38 0.27 0.18 2.6 2.52 2.16 1.97 1.56 1.18

1.2 1.09 0.83 0.62 0.40 0.29 2.7 2.63 2.23 2.06 1.63 1.23

1.3 1.21 1.00 0.78 0.53 0.38 2.8 2.72 2.32 2.14 1.70 1.29

1.4 1.32 1.10 0.91 0.63 0.45 2.9 2.83 2.41 2.21 1.76 1.34

1.5 1.43 1.20 1.01 0.74 0.53 3 2.92 2.48 2.30 1.83 1.39

1.6 1.54 1.29 1.12 0.83 0.60 3.1 3.01 2.57 2.37 1.90 1.45

1.7 1.63 1.38 1.21 0.92 0.67 3.2 3.11 2.66 2.44 1.96 1.50

1.8 1.74 1.47 1.30 1.00 0.72 3.3 3.21 2.73 2.54 2.03 1.56

1.9 1.83 1.56 1.39 1.07 0.78 3.4 3.31 2.83 2.61 2.10 1.61

2 1.94 1.65 1.49 1.14 0.85 3.5 3.40 2.90 2.68 2.16 1.67

2.1 2.03 1.72 1.58 1.21 0.91 3.6 3.50 2.99 2.75 2.23 1.70

2.2 2.14 1.81 1.67 1.29 0.96 3.7 3.60 3.08 2.84 2.28 1.76

2.3 2.23 1.90 1.74 1.36 1.01 3.8 3.69 3.15 2.92 2.35 1.81

2.4 2.32 1.97 1.83 1.43 1.07 3.9 3.79 3.24 2.99 2.41 1.87

2.5 2.43 2.06 1.90 1.50 1.12 4 3.89 3.33 3.08 2.48 1.92

XVI

B.2.3 Esbelteza B/D = 5, amortecimento ζh = ζα = 0.02


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 0.65 0.33 0.25 0.18 0.11 2.7 1.94 1.59 1.32 0.62 0.43

1.3 0.83 0.45 0.31 0.22 0.14 2.8 2.01 1.65 1.38 0.65 0.44

1.4 0.96 0.58 0.38 0.27 0.18 2.9 2.08 1.72 1.43 0.67 0.46

1.5 1.05 0.72 0.45 0.31 0.22 3 2.16 1.77 1.49 0.70 0.48

1.6 1.14 0.83 0.56 0.36 0.25 3.1 2.23 1.85 1.54 0.72 0.50

1.7 1.21 0.91 0.67 0.38 0.29 3.2 2.30 1.90 1.59 0.74 0.52

1.8 1.29 0.98 0.76 0.40 0.31 3.3 2.37 1.97 1.65 0.77 0.53

1.9 1.36 1.07 0.83 0.43 0.32 3.4 2.44 2.03 1.70 0.80 0.55

2 1.43 1.12 0.91 0.45 0.33 3.5 2.52 2.10 1.74 0.81 0.57

2.1 1.50 1.20 0.98 0.47 0.34 3.6 2.59 2.16 1.79 0.84 0.58

2.2 1.58 1.27 1.03 0.49 0.35 3.7 2.66 2.21 1.85 0.87 0.60

2.3 1.65 1.34 1.09 0.52 0.37 3.8 2.73 2.28 1.90 0.89 0.62

2.4 1.72 1.39 1.14 0.54 0.38 3.9 2.81 2.34 1.96 0.91 0.63

2.5 1.79 1.47 1.20 0.57 0.39 4 2.88 2.41 2.01 0.94 0.65

2.6 1.87 1.52 1.27 0.60 0.41


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.69 0.36 0.27 0.18 0.13 2.6 2.16 1.87 1.59 1.21 0.85

1.2 0.92 0.53 0.36 0.25 0.16 2.7 2.23 1.94 1.65 1.27 0.89

1.3 1.03 0.72 0.49 0.33 0.24 2.8 2.32 2.01 1.72 1.32 0.92

1.4 1.12 0.87 0.63 0.40 0.29 2.9 2.41 2.08 1.79 1.38 0.98

1.5 1.21 0.98 0.76 0.47 0.33 3 2.48 2.16 1.85 1.43 1.01

1.6 1.30 1.07 0.85 0.54 0.38 3.1 2.57 2.23 1.92 1.49 1.05

1.7 1.39 1.16 0.94 0.63 0.43 3.2 2.64 2.30 1.99 1.54 1.10

1.8 1.49 1.25 1.01 0.71 0.47 3.3 2.73 2.37 2.05 1.59 1.14

1.9 1.56 1.34 1.09 0.78 0.53 3.4 2.83 2.44 2.12 1.65 1.18

2 1.65 1.41 1.18 0.85 0.56 3.5 2.90 2.52 2.17 1.70 1.21

2.1 1.74 1.49 1.25 0.91 0.62 3.6 2.99 2.59 2.25 1.76 1.27

2.2 1.81 1.56 1.30 0.98 0.65 3.7 3.06 2.66 2.32 1.79 1.30

2.3 1.90 1.63 1.38 1.03 0.71 3.8 3.15 2.73 2.37 1.85 1.34

2.4 1.99 1.70 1.45 1.09 0.76 3.9 3.24 2.81 2.44 1.90 1.38

2.5 2.06 1.79 1.52 1.16 0.80 4 3.31 2.88 2.50 1.96 1.41

XVII


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 0.89 0.47 0.33 0.24 0.14 2.6 2.41 2.05 1.85 1.41 1.03

1.2 1.03 0.72 0.49 0.33 0.24 2.7 2.52 2.12 1.94 1.49 1.09

1.3 1.16 0.91 0.67 0.42 0.29 2.8 2.61 2.21 2.01 1.54 1.12

1.4 1.27 1.05 0.81 0.53 0.36 2.9 2.70 2.28 2.08 1.61 1.18

1.5 1.36 1.14 0.92 0.62 0.42 3 2.79 2.37 2.16 1.67 1.23

1.6 1.47 1.23 1.01 0.71 0.49 3.1 2.88 2.44 2.23 1.72 1.27

1.7 1.56 1.30 1.12 0.80 0.54 3.2 2.97 2.52 2.30 1.79 1.32

1.8 1.67 1.39 1.20 0.89 0.60 3.3 3.08 2.61 2.37 1.85 1.38

1.9 1.76 1.49 1.29 0.96 0.65 3.4 3.17 2.68 2.44 1.90 1.41

2 1.85 1.56 1.38 1.03 0.72 3.5 3.26 2.77 2.52 1.97 1.47

2.1 1.94 1.65 1.45 1.10 0.78 3.6 3.35 2.84 2.59 2.03 1.50

2.2 2.05 1.72 1.54 1.16 0.83 3.7 3.44 2.92 2.66 2.08 1.56

2.3 2.14 1.81 1.61 1.23 0.87 3.8 3.53 3.01 2.73 2.16 1.59

2.4 2.23 1.88 1.70 1.29 0.92 3.9 3.62 3.08 2.81 2.21 1.65

2.5 2.32 1.96 1.77 1.36 0.98 4 3.73 3.15 2.88 2.26 1.70


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.01 0.63 0.40 0.27 0.18 2.6 2.75 2.21 1.99 1.59 1.18

1.2 1.16 0.89 0.63 0.38 0.27 2.7 2.86 2.30 2.08 1.67 1.23

1.3 1.30 1.03 0.81 0.51 0.36 2.8 2.97 2.39 2.16 1.74 1.29

1.4 1.43 1.14 0.94 0.63 0.43 2.9 3.08 2.48 2.25 1.81 1.34

1.5 1.54 1.23 1.07 0.74 0.51 3 3.19 2.55 2.32 1.87 1.39

1.6 1.67 1.32 1.18 0.83 0.56 3.1 3.30 2.64 2.39 1.94 1.45

1.7 1.77 1.41 1.27 0.92 0.63 3.2 3.40 2.73 2.48 2.01 1.50

1.8 1.88 1.50 1.36 1.01 0.71 3.3 3.51 2.83 2.55 2.08 1.56

1.9 1.99 1.59 1.43 1.09 0.78 3.4 3.62 2.92 2.63 2.14 1.61

2 2.10 1.68 1.52 1.16 0.83 3.5 3.71 2.99 2.72 2.21 1.67

2.1 2.21 1.77 1.59 1.25 0.89 3.6 3.82 3.08 2.79 2.28 1.72

2.2 2.32 1.87 1.68 1.32 0.96 3.7 3.93 3.17 2.86 2.34 1.76

2.3 2.43 1.96 1.76 1.39 1.01 3.8 4.04 3.26 2.95 2.41 1.81

2.4 2.54 2.05 1.85 1.45 1.07 3.9 4.15 3.33 3.02 2.48 1.87

2.5 2.64 2.12 1.92 1.52 1.12 4 4.26 3.42 3.10 2.54 1.92


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.16 0.81 0.51 0.31 0.22 2.6 3.13 2.39 2.14 1.77 1.30

1.2 1.34 1.00 0.74 0.45 0.31 2.7 3.26 2.48 2.21 1.85 1.38

1.3 1.50 1.12 0.94 0.60 0.40 2.8 3.37 2.59 2.30 1.92 1.43

1.4 1.65 1.23 1.07 0.72 0.49 2.9 3.50 2.68 2.39 1.99 1.49

1.5 1.77 1.34 1.18 0.85 0.58 3 3.62 2.77 2.46 2.06 1.54

1.6 1.90 1.43 1.27 0.94 0.65 3.1 3.73 2.86 2.55 2.16 1.61

1.7 2.03 1.54 1.36 1.03 0.72 3.2 3.86 2.95 2.64 2.23 1.67

1.8 2.16 1.63 1.45 1.12 0.80 3.3 3.98 3.04 2.72 2.30 1.72

1.9 2.28 1.72 1.54 1.21 0.87 3.4 4.11 3.15 2.81 2.37 1.77

2 2.39 1.83 1.61 1.30 0.94 3.5 4.22 3.24 2.88 2.44 1.83

2.1 2.52 1.92 1.70 1.38 1.00 3.6 4.35 3.33 2.97 2.52 1.90

2.2 2.64 2.01 1.79 1.47 1.07 3.7 4.47 3.42 3.06 2.59 1.96

2.3 2.77 2.12 1.88 1.54 1.12 3.8 4.58 3.51 3.13 2.66 2.01

2.4 2.88 2.21 1.96 1.61 1.20 3.9 4.71 3.60 3.22 2.73 2.06

2.5 3.01 2.30 2.05 1.68 1.25 4 4.84 3.69 3.30 2.81 2.12

XVIII

B.2.4 Esbelteza B/D = 10, amortecimento ζh = ζα = 0


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.05 0.89 - - - 2.7 2.83 - 1.97 - -

1.3 1.21 0.98 0.91 - - 2.8 2.93 - 2.04 - -

1.4 1.36 1.10 0.98 0.94 - 2.9 3.04 - 2.10 - -

1.5 1.50 1.21 1.07 0.94 - 3 3.15 - 2.16 - -

1.6 1.61 1.30 1.16 0.98 1.01 3.1 3.26 - 2.24 - -

1.7 1.74 1.41 1.25 1.05 0.98 3.2 3.37 - 2.31 - -

1.8 1.85 1.52 1.32 1.12 1.00 3.3 3.48 - 2.35 - -

1.9 1.96 1.61 1.39 1.20 1.03 3.4 3.59 - 2.43 - -

2 2.06 1.70 1.49 1.29 1.09 3.5 3.68 - 2.50 - -

2.1 2.17 1.79 1.58 1.34 1.12 3.6 3.79 - 2.58 - -

2.2 2.28 1.90 1.64 1.39 1.18 3.7 3.89 - 2.64 - -

2.3 2.39 1.99 1.71 1.47 1.25 3.8 4.00 - 2.70 - -

2.4 2.50 2.08 1.77 1.52 1.30 3.9 4.11 - 2.77 - -

2.5 2.61 - 1.84 1.59 - 4 4.22 - 2.84 - -

2.6 2.72 - 1.90 1.65 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.00 0.89 0.33 0.25 0.22 2.6 3.01 2.64 2.41 2.06 1.81

1.2 1.23 1.03 0.92 1.00 0.29 2.7 3.13 2.75 2.50 2.16 1.88

1.3 1.39 1.18 1.05 0.94 0.36 2.8 3.24 2.86 2.59 2.23 1.96

1.4 1.54 1.32 1.18 1.01 1.00 2.9 3.37 2.97 2.68 2.32 2.01

1.5 1.68 1.45 1.29 1.12 1.01 3 3.48 3.08 2.79 2.39 2.08

1.6 1.81 1.56 1.39 1.21 1.07 3.1 3.60 3.17 2.88 2.48 2.16

1.7 1.94 1.68 1.50 1.30 1.12 3.2 3.71 3.28 2.97 2.57 2.23

1.8 2.05 1.79 1.61 1.39 1.20 3.3 3.84 3.39 3.06 2.64 2.30

1.9 2.17 1.90 1.72 1.49 1.29 3.4 3.95 3.50 3.17 2.73 2.37

2 2.30 2.01 1.81 1.56 1.36 3.5 4.07 3.59 3.26 2.81 2.44

2.1 2.41 2.12 1.92 1.65 1.43 3.6 4.18 3.69 3.35 2.90 2.50

2.2 2.54 2.23 2.01 1.72 1.52 3.7 4.31 3.80 3.44 2.97 2.57

2.3 2.66 2.34 2.12 1.81 1.59 3.8 4.42 3.91 3.55 3.06 2.64

2.4 2.77 2.44 2.21 1.90 1.67 3.9 4.55 4.00 3.64 3.13 2.72

2.5 2.90 2.54 2.30 1.97 1.74 4 4.65 4.11 3.73 3.22 2.79

XIX


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.07 0.91 0.91 0.29 0.24 2.6 3.13 2.84 2.63 2.32 2.05

1.2 1.30 1.12 1.00 0.92 0.33 2.7 3.26 2.95 2.73 2.41 2.12

1.3 1.47 1.29 1.16 1.01 1.00 2.8 3.39 3.06 2.84 2.52 2.21

1.4 1.61 1.43 1.29 1.12 1.01 2.9 3.51 3.17 2.93 2.61 2.28

1.5 1.76 1.56 1.41 1.25 1.10 3 3.62 3.30 3.04 2.70 2.37

1.6 1.88 1.68 1.54 1.36 1.18 3.1 3.75 3.40 3.15 2.79 2.44

1.7 2.01 1.81 1.67 1.45 1.27 3.2 3.88 3.51 3.26 2.88 2.54

1.8 2.14 1.92 1.77 1.56 1.36 3.3 4.00 3.62 3.35 2.99 2.61

1.9 2.26 2.05 1.88 1.65 1.45 3.4 4.11 3.73 3.46 3.08 2.70

2 2.39 2.16 1.99 1.74 1.54 3.5 4.24 3.84 3.57 3.17 2.77

2.1 2.52 2.26 2.10 1.85 1.63 3.6 4.36 3.97 3.66 3.26 2.84

2.2 2.64 2.39 2.21 1.94 1.72 3.7 4.49 4.07 3.77 3.35 2.93

2.3 2.77 2.50 2.32 2.03 1.81 3.8 4.60 4.18 3.88 3.44 3.01

2.4 2.90 2.61 2.41 2.14 1.88 3.9 4.73 4.29 3.98 3.55 3.10

2.5 3.01 2.73 2.52 2.23 1.96 4 4.85 4.40 4.07 3.64 3.17


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.12 0.94 0.89 0.31 0.25 2.6 3.21 2.93 2.75 2.48 2.19

1.2 1.34 1.18 1.07 0.96 0.34 2.7 3.33 3.06 2.86 2.59 2.28

1.3 1.50 1.36 1.21 1.07 1.00 2.8 3.44 3.17 2.97 2.68 2.37

1.4 1.65 1.50 1.36 1.21 1.07 2.9 3.57 3.30 3.08 2.79 2.46

1.5 1.79 1.63 1.50 1.32 1.18 3 3.69 3.40 3.19 2.88 2.55

1.6 1.92 1.76 1.63 1.43 1.27 3.1 3.82 3.51 3.30 2.99 2.64

1.7 2.05 1.88 1.76 1.54 1.38 3.2 3.95 3.64 3.40 3.08 2.72

1.8 2.19 1.99 1.87 1.65 1.47 3.3 4.07 3.75 3.51 3.19 2.81

1.9 2.32 2.12 1.97 1.76 1.58 3.4 4.20 3.88 3.62 3.30 2.90

2 2.44 2.25 2.10 1.87 1.67 3.5 4.33 3.98 3.73 3.39 2.99

2.1 2.57 2.35 2.21 1.97 1.76 3.6 4.46 4.09 3.84 3.50 3.08

2.2 2.70 2.48 2.32 2.06 1.85 3.7 4.58 4.22 3.95 3.59 3.17

2.3 2.83 2.59 2.43 2.17 1.94 3.8 4.71 4.33 4.06 3.68 3.24

2.4 2.95 2.72 2.54 2.28 2.03 3.9 4.82 4.44 4.17 3.79 3.33

2.5 3.08 2.83 2.64 2.37 2.12 4 4.94 4.56 4.27 3.88 3.42


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.14 0.98 0.91 0.33 0.27 2.6 3.24 3.01 2.83 2.59 2.30

1.2 1.38 1.20 1.10 0.98 0.36 2.7 3.37 3.11 2.95 2.68 2.39

1.3 1.52 1.39 1.27 1.12 1.03 2.8 3.50 3.24 3.06 2.79 2.48

1.4 1.67 1.54 1.41 1.27 1.12 2.9 3.62 3.35 3.17 2.90 2.57

1.5 1.81 1.67 1.56 1.38 1.21 3 3.75 3.48 3.28 3.01 2.66

1.6 1.94 1.79 1.68 1.49 1.32 3.1 3.88 3.59 3.39 3.11 2.75

1.7 2.08 1.92 1.81 1.61 1.43 3.2 4.00 3.71 3.51 3.21 2.86

1.8 2.21 2.05 1.92 1.72 1.54 3.3 4.13 3.82 3.62 3.31 2.95

1.9 2.34 2.16 2.05 1.83 1.65 3.4 4.26 3.95 3.73 3.42 3.04

2 2.46 2.28 2.16 1.94 1.74 3.5 4.38 4.06 3.84 3.53 3.13

2.1 2.59 2.41 2.26 2.05 1.83 3.6 4.51 4.18 3.95 3.62 3.22

2.2 2.72 2.52 2.39 2.16 1.92 3.7 4.64 4.29 4.06 3.73 3.31

2.3 2.86 2.64 2.50 2.26 2.03 3.8 4.76 4.42 4.18 3.84 3.40

2.4 2.99 2.77 2.61 2.37 2.12 3.9 4.87 4.53 4.29 3.93 3.50

2.5 3.11 2.88 2.72 2.48 2.21 4 5.00 4.65 4.40 4.04 3.59

XX



q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.14 1.16 1.21 - - 2.7 2.93 - 1.97 - -

1.3 1.27 1.07 1.05 1.21 - 2.8 3.04 - 2.03 - -

1.4 1.41 1.14 1.07 1.09 - 2.9 3.15 - 2.10 - -

1.5 1.56 1.25 1.12 1.05 1.23 3 3.26 - 2.16 - -

1.6 1.68 1.34 1.20 1.07 1.12 3.1 3.37 - 2.23 - -

1.7 1.79 1.45 1.27 1.10 1.09 3.2 3.48 - 2.29 - -

1.8 1.92 1.54 1.34 1.18 1.07 3.3 3.60 - 2.35 - -

1.9 2.03 1.65 1.43 1.23 1.10 3.4 3.71 - 2.43 - -

2 2.14 1.74 1.50 1.29 1.14 3.5 3.82 - 2.50 - -

2.1 2.26 1.83 1.58 1.36 1.18 3.6 3.93 - 2.57 - -

2.2 2.37 1.94 1.65 1.41 1.23 3.7 4.04 - 2.63 - -

2.3 2.48 2.03 1.71 1.47 1.29 3.8 4.15 - 2.70 - -

2.4 2.59 - 1.78 1.54 1.34 3.9 4.26 - 2.77 - -

2.5 2.72 - 1.84 1.59 - 4 4.36 - 2.84 - -

2.6 2.83 - 1.90 1.67 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.18 1.20 1.23 1.30 - 2.6 3.28 2.75 2.46 2.10 1.83

1.2 1.32 1.12 1.07 1.20 - 2.7 3.42 2.86 2.57 2.19 1.90

1.3 1.50 1.25 1.12 1.09 1.23 2.8 3.55 2.99 2.66 2.28 1.97

1.4 1.67 1.38 1.23 1.10 1.12 2.9 3.68 3.10 2.75 2.36 2.05

1.5 1.81 1.50 1.34 1.18 1.10 3 3.80 3.21 2.86 2.44 2.12

1.6 1.96 1.63 1.45 1.27 1.14 3.1 3.93 3.31 2.95 2.52 2.17

1.7 2.08 1.74 1.56 1.34 1.20 3.2 4.07 3.42 3.06 2.60 2.25

1.8 2.23 1.87 1.67 1.43 1.27 3.3 4.20 3.53 3.15 2.68 2.32

1.9 2.35 1.97 1.76 1.50 1.34 3.4 4.33 3.64 3.24 2.76 2.39

2 2.50 2.08 1.87 1.59 1.41 3.5 4.46 3.75 3.35 2.84 2.46

2.1 2.63 2.21 1.97 1.68 1.49 3.6 4.58 3.86 3.44 2.92 2.54

2.2 2.75 2.32 2.06 1.76 1.56 3.7 4.71 3.97 3.55 3.00 2.61

2.3 2.90 2.43 2.17 1.85 1.63 3.8 4.85 4.07 3.64 3.08 2.68

2.4 3.02 2.54 2.26 1.94 1.68 3.9 4.98 4.18 3.73 - 2.75

2.5 3.15 2.64 2.37 2.03 1.76 4 5.11 4.29 3.84 - 2.83

XXI


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.27 1.18 1.20 1.27 - 2.6 3.69 3.04 2.75 2.39 2.10

1.2 1.47 1.25 1.12 1.10 1.25 2.7 3.84 3.15 2.86 2.50 2.17

1.3 1.67 1.39 1.25 1.14 1.14 2.8 4.00 3.28 2.97 2.59 2.26

1.4 1.83 1.52 1.38 1.21 1.14 2.9 4.15 3.40 3.08 2.68 2.34

1.5 1.99 1.67 1.50 1.30 1.20 3 4.29 3.51 3.19 2.79 2.43

1.6 2.16 1.79 1.63 1.41 1.27 3.1 4.44 3.64 3.30 2.88 2.50

1.7 2.32 1.92 1.74 1.50 1.36 3.2 4.58 3.77 3.40 2.97 2.59

1.8 2.48 2.05 1.85 1.61 1.43 3.3 4.73 3.88 3.51 3.06 2.66

1.9 2.64 2.17 1.97 1.72 1.52 3.4 4.87 4.00 3.62 3.17 2.75

2 2.79 2.30 2.08 1.81 1.59 3.5 5.03 4.11 3.73 3.26 2.83

2.1 2.95 2.43 2.19 1.92 1.68 3.6 5.18 4.24 3.84 3.35 2.92

2.2 3.10 2.55 2.30 2.01 1.76 3.7 5.32 4.36 3.95 3.44 3.01

2.3 3.24 2.68 2.41 2.12 1.85 3.8 5.47 4.47 4.06 3.53 3.08

2.4 3.40 2.79 2.52 2.21 1.92 3.9 5.61 4.60 4.17 3.64 3.17

2.5 3.55 2.92 2.63 2.30 2.01 4 5.76 4.71 4.27 3.73 3.24


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.38 1.20 1.20 1.25 1.34 2.6 4.04 3.26 2.93 2.59 2.28

1.2 1.59 1.32 1.21 1.12 1.21 2.7 4.20 3.39 3.06 2.70 2.37

1.3 1.81 1.49 1.36 1.20 1.16 2.8 4.36 3.51 3.17 2.81 2.46

1.4 2.01 1.63 1.49 1.30 1.21 2.9 4.53 3.64 3.30 2.90 2.55

1.5 2.21 1.79 1.61 1.41 1.29 3 4.69 3.77 3.40 3.01 2.64

1.6 2.41 1.92 1.74 1.52 1.38 3.1 4.84 3.91 3.53 3.11 2.73

1.7 2.57 2.06 1.87 1.65 1.47 3.2 5.00 4.04 3.64 3.21 2.83

1.8 2.75 2.19 1.99 1.76 1.56 3.3 5.16 4.17 3.77 3.31 2.92

1.9 2.92 2.34 2.10 1.87 1.65 3.4 5.32 4.29 3.88 3.42 3.01

2 3.08 2.46 2.23 1.97 1.74 3.5 5.49 4.42 3.98 3.51 3.10

2.1 3.24 2.61 2.35 2.08 1.83 3.6 5.63 4.55 4.11 3.62 3.19

2.2 3.40 2.73 2.46 2.17 1.92 3.7 5.80 4.67 4.22 3.73 3.28

2.3 3.57 2.86 2.59 2.28 2.01 3.8 5.96 4.80 4.35 3.82 3.37

2.4 3.73 2.99 2.70 2.39 2.10 3.9 6.12 4.94 4.46 3.93 3.46

2.5 3.89 3.13 2.83 2.50 2.19 4 6.27 5.07 4.58 4.04 3.55


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.47 1.25 1.21 1.25 1.34 2.6 4.36 3.46 3.10 2.73 2.43

1.2 1.74 1.39 1.29 1.18 1.21 2.7 4.53 3.60 3.22 2.84 2.52

1.3 1.99 1.58 1.43 1.27 1.20 2.8 4.71 3.73 3.35 2.95 2.63

1.4 2.21 1.74 1.56 1.38 1.27 2.9 4.87 3.88 3.48 3.06 2.72

1.5 2.39 1.88 1.70 1.50 1.36 3 5.05 4.02 3.60 3.17 2.83

1.6 2.59 2.03 1.83 1.63 1.45 3.1 5.22 4.15 3.71 3.28 2.92

1.7 2.77 2.19 1.96 1.74 1.54 3.2 5.40 4.29 3.84 3.39 3.01

1.8 2.95 2.34 2.10 1.85 1.65 3.3 5.56 4.44 3.97 3.50 3.11

1.9 3.13 2.48 2.23 1.97 1.74 3.4 5.74 4.56 4.09 3.60 3.21

2 3.31 2.63 2.35 2.08 1.83 3.5 5.90 4.71 4.20 3.71 3.30

2.1 3.48 2.75 2.48 2.19 1.94 3.6 6.08 4.84 4.33 3.82 3.40

2.2 3.66 2.90 2.61 2.30 2.03 3.7 6.25 4.98 4.46 3.93 3.50

2.3 3.84 3.04 2.73 2.41 2.14 3.8 6.43 5.13 4.58 4.04 3.60

2.4 4.00 3.19 2.86 2.52 2.23 3.9 6.59 5.25 4.71 4.15 3.69

2.5 4.18 3.31 2.97 2.63 2.34 4 6.76 5.40 4.82 4.26 3.79

XXII



q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.23 1.25 1.29 1.32 1.36 2.7 3.02 - - 1.67 -

1.3 1.34 1.18 1.20 1.27 1.32 2.8 3.15 - - - -

1.4 1.47 1.20 1.12 1.21 1.29 2.9 3.26 - - - -

1.5 1.61 1.29 1.16 1.12 1.27 3 3.37 - - - -

1.6 1.72 1.38 1.21 1.12 1.25 3.1 3.50 - - - -

1.7 1.85 1.49 1.29 1.16 1.16 3.2 3.60 - - - -

1.8 1.97 1.58 1.38 1.20 1.16 3.3 3.71 - - - -

1.9 2.08 1.68 1.45 1.25 1.18 3.4 3.84 - - - -

2 2.21 1.77 1.52 1.30 1.20 3.5 3.95 - - - -

2.1 2.34 1.87 1.58 1.38 1.23 3.6 4.06 - - - -

2.2 2.44 1.97 1.65 1.43 1.29 3.7 4.18 - - - -

2.3 2.57 2.06 - 1.49 1.32 3.8 4.29 - - - -

2.4 2.68 - - 1.56 1.38 3.9 4.40 - - - -

2.5 2.79 - - 1.61 1.43 4 4.53 - - - -

2.6 2.92 - - 1.68 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.32 1.30 1.32 1.36 1.39 2.6 3.59 2.84 2.54 2.14 1.85

1.2 1.43 1.23 1.21 1.25 1.32 2.7 3.73 2.97 2.63 2.21 1.92

1.3 1.59 1.30 1.20 1.18 1.27 2.8 3.88 3.08 2.73 2.28 1.99

1.4 1.76 1.43 1.29 1.16 1.20 2.9 4.02 3.19 2.83 2.36 2.06

1.5 1.92 1.56 1.39 1.23 1.18 3 4.17 3.30 2.93 2.44 2.14

1.6 2.08 1.68 1.49 1.30 1.21 3.1 4.29 3.42 3.02 2.52 2.21

1.7 2.25 1.81 1.59 1.38 1.27 3.2 4.44 3.53 3.13 2.60 2.28

1.8 2.41 1.94 1.70 1.47 1.32 3.3 4.58 3.64 3.24 2.68 2.35

1.9 2.55 2.05 1.81 1.54 1.38 3.4 4.73 3.75 3.33 - 2.43

2 2.70 2.17 1.92 1.63 1.45 3.5 4.87 3.88 3.44 - 2.50

2.1 2.86 2.28 2.01 1.72 1.50 3.6 5.00 3.98 3.53 - 2.57

2.2 3.01 2.39 2.12 1.81 1.58 3.7 5.14 4.09 3.64 - 2.63

2.3 3.15 2.52 2.23 1.88 1.65 3.8 5.29 4.20 3.73 - 2.70

2.4 3.30 2.63 2.32 1.97 1.72 3.9 5.43 4.31 3.84 - 2.77

2.5 3.44 2.73 2.43 2.06 1.79 4 5.56 4.44 3.93 - 2.84

XXIII


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.45 1.30 1.30 1.34 1.39 2.6 4.09 3.21 2.86 2.46 2.14

1.2 1.61 1.34 1.25 1.23 1.30 2.7 4.26 3.33 2.97 2.55 2.23

1.3 1.85 1.47 1.32 1.21 1.23 2.8 4.40 3.48 3.08 2.66 2.30

1.4 2.06 1.61 1.45 1.27 1.21 2.9 4.56 3.60 3.21 2.75 2.39

1.5 2.25 1.76 1.56 1.36 1.27 3 4.73 3.73 3.31 2.84 2.48

1.6 2.43 1.90 1.68 1.47 1.32 3.1 4.89 3.86 3.42 2.95 2.55

1.7 2.59 2.03 1.81 1.58 1.39 3.2 5.05 3.98 3.53 3.04 2.64

1.8 2.77 2.17 1.92 1.67 1.49 3.3 5.22 4.11 3.66 3.15 2.73

1.9 2.93 2.30 2.05 1.77 1.56 3.4 5.38 4.24 3.77 3.24 2.81

2 3.10 2.43 2.17 1.87 1.63 3.5 5.54 4.36 3.88 3.33 2.90

2.1 3.26 2.55 2.28 1.97 1.72 3.6 5.70 4.49 3.98 3.44 2.99

2.2 3.42 2.70 2.39 2.06 1.81 3.7 5.87 4.62 4.11 3.53 3.06

2.3 3.60 2.83 2.52 2.17 1.88 3.8 6.01 4.74 4.22 3.62 3.15

2.4 3.77 2.95 2.63 2.26 1.97 3.9 6.18 4.87 4.33 3.73 3.22

2.5 3.93 3.08 2.75 2.35 2.05 4 6.34 5.00 4.44 3.82 3.31


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.61 1.36 1.32 1.34 1.39 2.6 4.58 3.57 3.11 2.70 2.35

1.2 1.85 1.45 1.32 1.27 1.30 2.7 4.76 3.71 3.22 2.79 2.46

1.3 2.08 1.61 1.43 1.29 1.25 2.8 4.96 3.86 3.35 2.90 2.55

1.4 2.30 1.76 1.58 1.39 1.29 2.9 5.14 4.00 3.48 3.01 2.64

1.5 2.50 1.92 1.70 1.50 1.36 3 5.32 4.15 3.60 3.11 2.73

1.6 2.70 2.08 1.85 1.61 1.43 3.1 5.51 4.29 3.73 3.22 2.84

1.7 2.90 2.23 1.97 1.72 1.52 3.2 5.69 4.44 3.86 3.33 2.93

1.8 3.10 2.37 2.10 1.83 1.61 3.3 5.87 4.58 3.97 3.44 3.02

1.9 3.28 2.54 2.23 1.94 1.70 3.4 6.05 4.73 4.09 3.55 3.11

2 3.48 2.68 2.35 2.05 1.79 3.5 6.23 4.87 4.22 3.64 3.21

2.1 3.66 2.83 2.48 2.16 1.88 3.6 6.41 5.02 4.35 3.75 3.30

2.2 3.86 2.99 2.61 2.26 1.99 3.7 6.59 5.16 4.46 3.86 3.40

2.3 4.04 3.13 2.73 2.37 2.08 3.8 6.77 5.29 4.58 3.97 3.50

2.4 4.22 3.28 2.86 2.48 2.17 3.9 6.95 5.43 4.71 4.07 3.59

2.5 4.40 3.42 2.99 2.59 2.26 4 7.14 5.58 4.84 4.18 3.68


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.83 1.45 1.38 1.36 1.41 2.6 5.13 3.91 3.33 2.88 2.54

1.2 2.05 1.56 1.41 1.30 1.32 2.7 5.34 4.07 3.48 2.99 2.64

1.3 2.30 1.74 1.54 1.38 1.30 2.8 5.54 4.24 3.60 3.10 2.73

1.4 2.55 1.90 1.68 1.49 1.36 2.9 5.74 4.38 3.73 3.22 2.84

1.5 2.79 2.10 1.83 1.59 1.43 3 5.96 4.55 3.88 3.33 2.95

1.6 3.01 2.28 1.97 1.72 1.52 3.1 6.16 4.69 4.00 3.44 3.04

1.7 3.22 2.44 2.10 1.83 1.63 3.2 6.36 4.85 4.13 3.57 3.15

1.8 3.44 2.63 2.25 1.96 1.74 3.3 6.57 5.02 4.27 3.68 3.24

1.9 3.66 2.79 2.39 2.06 1.83 3.4 6.77 5.16 4.40 3.79 3.35

2 3.88 2.97 2.52 2.17 1.94 3.5 6.97 5.32 4.53 3.89 3.44

2.1 4.09 3.13 2.66 2.30 2.05 3.6 7.17 5.47 4.67 4.02 3.55

2.2 4.29 3.28 2.79 2.41 2.14 3.7 7.39 5.63 4.80 4.13 3.64

2.3 4.51 3.44 2.93 2.54 2.25 3.8 7.59 5.78 4.93 4.24 3.73

2.4 4.71 3.60 3.06 2.64 2.34 3.9 7.79 5.94 5.07 4.35 3.84

2.5 4.93 3.77 3.21 2.75 2.44 4 7.99 6.10 5.20 4.47 3.93

XXIV

B.2.7 Esbelteza B/D = 20, amortecimento ζh = ζα = 0


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.21 0.94 0.96 - - 2.7 3.23 2.50 2.21 1.99 -

1.3 1.45 1.10 0.96 1.00 - 2.8 3.35 2.59 2.25 2.06 -

1.4 1.63 1.27 1.07 0.98 - 2.9 3.47 2.68 2.29 2.12 -

1.5 1.83 1.43 1.21 1.01 1.03 3 3.59 2.77 2.33 2.19 -

1.6 1.96 1.54 1.32 1.07 1.03 3.1 3.71 2.86 2.38 2.26 -

1.7 2.10 1.65 1.45 1.16 1.03 3.2 3.83 2.95 2.42 2.34 -

1.8 2.20 1.77 1.56 1.27 1.07 3.3 3.95 3.04 2.46 2.38 -

1.9 2.29 1.90 1.65 1.36 1.12 3.4 4.07 3.13 2.50 2.43 -

2 2.39 2.03 1.72 1.43 1.18 3.5 4.18 3.22 2.57 2.50 -

2.1 2.52 2.12 1.81 1.52 1.25 3.6 4.31 3.31 2.63 2.55 -

2.2 2.64 2.21 1.90 1.59 1.30 3.7 4.43 3.40 2.70 2.63 -

2.3 2.75 2.30 1.99 1.68 1.38 3.8 4.55 3.50 2.77 2.70 -

2.4 2.88 2.31 2.10 1.77 1.45 3.9 4.66 3.59 2.84 - -

2.5 2.99 2.32 2.12 1.85 - 4 4.78 3.68 2.90 - -

2.6 3.11 2.41 2.14 1.92 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.18 0.92 0.98 1.41 1.49 2.6 5.05 3.62 2.93 2.44 2.08

1.2 1.50 1.21 1.00 0.98 1.43 2.7 5.23 3.80 3.04 2.54 2.17

1.3 1.83 1.43 1.23 1.01 1.03 2.8 5.40 4.00 3.15 2.64 2.26

1.4 2.03 1.59 1.39 1.12 1.03 2.9 5.58 4.18 3.26 2.73 2.35

1.5 2.34 1.76 1.56 1.29 1.09 3 5.76 4.38 3.37 2.84 2.44

1.6 2.72 1.97 1.68 1.41 1.16 3.1 5.94 4.56 3.48 2.93 2.52

1.7 3.10 2.12 1.81 1.52 1.25 3.2 6.12 4.76 3.59 3.02 2.61

1.8 3.31 2.25 1.94 1.65 1.36 3.3 6.30 4.94 3.69 3.13 2.70

1.9 3.53 2.39 2.08 1.76 1.47 3.4 6.50 5.13 3.80 3.22 2.79

2 3.77 2.52 2.23 1.87 1.58 3.5 6.68 5.31 3.91 3.33 2.88

2.1 3.98 2.68 2.39 1.96 1.65 3.6 6.88 5.51 4.02 3.44 2.95

2.2 4.20 2.86 2.50 2.06 1.74 3.7 7.06 5.65 4.14 3.53 3.04

2.3 4.42 3.04 2.61 2.16 1.83 3.8 7.25 5.81 4.26 3.64 3.11

2.4 4.64 3.24 2.72 2.25 1.92 3.9 7.44 5.96 4.36 3.75 3.21

2.5 4.84 3.44 2.83 2.35 1.99 4 7.62 6.12 4.47 3.86 3.28

XXV


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.32 1.00 0.94 1.38 - 2.6 5.87 4.38 3.39 2.83 2.44

1.2 1.76 1.36 1.18 1.00 - 2.7 6.12 4.60 3.53 2.93 2.54

1.3 2.03 1.58 1.39 1.14 1.03 2.8 6.37 4.84 3.66 3.04 2.64

1.4 2.44 1.81 1.59 1.34 1.10 2.9 6.65 5.05 3.80 3.17 2.75

1.5 2.92 2.06 1.74 1.49 1.21 3 6.92 5.27 3.97 3.28 2.86

1.6 3.28 2.23 1.90 1.63 1.36 3.1 7.19 5.51 4.11 3.40 2.95

1.7 3.53 2.39 2.06 1.76 1.50 3.2 7.46 5.69 4.26 3.53 3.06

1.8 3.80 2.57 2.26 1.88 1.61 3.3 7.73 5.87 4.40 3.66 3.15

1.9 4.07 2.77 2.44 2.01 1.72 3.4 7.99 6.07 4.55 3.79 3.24

2 4.33 3.01 2.57 2.12 1.81 3.5 8.26 6.25 4.69 3.91 3.33

2.1 4.58 3.22 2.72 2.25 1.92 3.6 8.53 6.43 4.84 4.04 3.44

2.2 4.85 3.46 2.84 2.35 2.03 3.7 8.78 6.61 5.00 4.17 3.53

2.3 5.11 3.69 2.99 2.46 2.14 3.8 9.06 6.79 5.14 4.29 3.62

2.4 5.36 3.93 3.11 2.59 2.23 3.9 9.33 6.97 5.29 4.42 3.73

2.5 5.61 4.15 3.26 2.70 2.34 4 9.58 7.15 5.45 4.55 3.82


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.39 1.10 0.96 1.01 1.45 2.6 6.41 4.91 3.71 3.08 2.68

1.2 1.87 1.47 1.29 1.03 1.03 2.7 6.74 5.14 3.89 3.21 2.79

1.3 2.25 1.70 1.52 1.29 1.07 2.8 7.04 5.40 4.06 3.33 2.92

1.4 2.79 2.01 1.70 1.45 1.18 2.9 7.35 5.63 4.22 3.48 3.02

1.5 3.24 2.21 1.87 1.61 1.36 3 7.66 5.83 4.38 3.62 3.11

1.6 3.55 2.41 2.06 1.77 1.52 3.1 7.97 6.03 4.55 3.77 3.22

1.7 3.84 2.61 2.30 1.90 1.65 3.2 8.26 6.25 4.69 3.91 3.33

1.8 4.13 2.84 2.48 2.03 1.76 3.3 8.57 6.45 4.85 4.06 3.44

1.9 4.44 3.10 2.64 2.17 1.88 3.4 8.87 6.65 5.03 4.18 3.55

2 4.73 3.37 2.79 2.30 1.99 3.5 9.16 6.86 5.20 4.33 3.66

2.1 5.00 3.62 2.95 2.43 2.10 3.6 9.47 7.06 5.36 4.47 3.77

2.2 5.29 3.88 3.10 2.55 2.23 3.7 9.76 7.26 5.54 4.62 3.88

2.3 5.58 4.15 3.26 2.68 2.34 3.8 10.07 7.46 5.70 4.74 3.98

2.4 5.85 4.40 3.40 2.83 2.44 3.9 10.36 7.66 5.87 4.89 4.07

2.5 6.12 4.65 3.57 2.95 2.57 4 10.65 7.88 6.03 5.03 4.18


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.45 1.20 1.00 1.00 1.43 2.6 6.85 5.27 3.97 3.24 2.84

1.2 1.94 1.52 1.34 1.09 1.03 2.7 7.19 5.52 4.15 3.40 2.97

1.3 2.43 1.79 1.58 1.36 1.10 2.8 7.53 5.76 4.31 3.55 3.08

1.4 3.04 2.10 1.77 1.54 1.25 2.9 7.86 5.98 4.49 3.71 3.19

1.5 3.40 2.32 1.96 1.70 1.47 3 8.19 6.19 4.65 3.86 3.31

1.6 3.73 2.54 2.21 1.87 1.61 3.1 8.51 6.41 4.84 4.02 3.42

1.7 4.06 2.77 2.44 1.99 1.74 3.2 8.84 6.63 5.02 4.17 3.53

1.8 4.36 3.06 2.61 2.14 1.87 3.3 9.18 6.85 5.20 4.31 3.64

1.9 4.67 3.33 2.79 2.28 1.99 3.4 9.49 7.06 5.38 4.47 3.77

2 4.98 3.62 2.95 2.43 2.12 3.5 9.82 7.28 5.56 4.62 3.88

2.1 5.29 3.89 3.11 2.55 2.23 3.6 10.14 7.50 5.74 4.76 3.98

2.2 5.60 4.18 3.28 2.70 2.35 3.7 10.47 7.71 5.90 4.93 4.09

2.3 5.89 4.46 3.44 2.84 2.48 3.8 10.78 7.93 6.08 5.07 4.22

2.4 6.18 4.73 3.62 2.97 2.61 3.9 11.10 8.15 6.27 5.22 4.33

2.5 6.50 5.00 3.79 3.11 2.72 4 11.43 8.37 6.45 5.38 4.44

XXVI



q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 1.41 1.38 1.43 1.49 1.52 2.7 3.23 2.50 2.21 2.01 -

1.3 1.52 1.32 1.34 1.41 1.49 2.8 3.35 2.59 2.30 2.06 -

1.4 1.74 1.39 1.29 1.38 1.47 2.9 3.47 2.68 2.37 2.14 -

1.5 1.85 1.49 1.32 1.29 1.43 3 3.59 2.77 2.41 2.21 -

1.6 1.96 1.58 1.41 1.27 1.39 3.1 3.71 2.86 2.45 2.28 -

1.7 2.07 1.68 1.50 1.30 1.34 3.2 3.83 2.95 2.49 2.35 -

1.8 2.18 1.81 1.58 1.34 1.32 3.3 3.95 3.04 2.53 2.40 -

1.9 2.29 1.96 1.67 1.41 1.32 3.4 4.07 3.13 2.57 2.45 -

2 2.41 2.05 1.76 1.49 1.29 3.5 4.18 3.22 2.61 2.50 -

2.1 2.52 2.14 1.85 1.56 1.36 3.6 4.30 3.31 2.64 2.56 -

2.2 2.64 2.21 1.94 1.65 1.41 3.7 4.42 3.40 2.72 2.63 -

2.3 2.75 2.30 2.03 1.72 1.47 3.8 4.55 3.50 2.77 2.70 -

2.4 2.87 2.39 2.14 1.79 1.50 3.9 4.66 3.59 2.84 2.77 -

2.5 2.99 2.40 2.14 1.87 - 4 4.78 3.68 2.92 - -

2.6 3.11 2.41 2.14 1.94 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.45 1.43 1.47 2.14 2.19 2.6 5.14 3.75 2.95 2.48 2.14

1.2 1.68 1.38 1.34 1.41 1.49 2.7 5.28 3.95 3.06 2.57 2.23

1.3 1.88 1.50 1.36 1.32 1.43 2.8 5.41 4.15 3.17 2.68 2.32

1.4 2.14 1.65 1.49 1.32 1.38 2.9 5.60 4.35 3.30 2.77 2.41

1.5 2.50 1.87 1.59 1.38 1.32 3 5.78 4.53 3.37 2.88 2.50

1.6 2.86 2.01 1.72 1.49 1.36 3.1 5.96 4.73 3.48 2.97 2.57

1.7 3.15 2.14 1.85 1.59 1.39 3.2 6.14 4.91 3.59 3.08 2.66

1.8 3.37 2.28 1.99 1.70 1.47 3.3 6.32 5.05 3.69 3.19 2.73

1.9 3.59 2.43 2.16 1.79 1.54 3.4 6.50 5.22 3.80 3.30 2.83

2 3.80 2.59 2.28 1.90 1.63 3.5 6.70 5.36 3.91 3.40 2.90

2.1 4.04 2.79 2.39 1.99 1.70 3.6 6.88 5.51 4.02 3.51 2.99

2.2 4.26 2.97 2.50 2.08 1.79 3.7 7.07 5.67 4.14 3.62 3.06

2.3 4.47 3.17 2.61 2.17 1.88 3.8 7.26 5.81 4.26 3.73 3.15

2.4 4.69 3.37 2.72 2.28 1.96 3.9 7.45 5.96 4.36 3.84 3.22

2.5 4.93 3.57 2.84 2.37 2.05 4 7.64 6.12 4.47 3.95 3.31

XXVII


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.63 1.41 1.43 1.49 2.19 2.6 6.12 4.64 3.48 2.90 2.52

1.2 1.87 1.49 1.39 1.38 1.47 2.7 6.41 4.82 3.64 3.04 2.61

1.3 2.23 1.68 1.50 1.36 1.39 2.8 6.70 5.02 3.79 3.17 2.70

1.4 2.70 1.94 1.65 1.45 1.36 2.9 6.97 5.20 3.95 3.30 2.81

1.5 3.08 2.12 1.81 1.58 1.41 3 7.24 5.38 4.11 3.44 2.90

1.6 3.37 2.28 2.01 1.70 1.49 3.1 7.53 5.58 4.27 3.57 2.99

1.7 3.64 2.48 2.21 1.81 1.58 3.2 7.81 5.76 4.44 3.69 3.10

1.8 3.91 2.72 2.34 1.94 1.68 3.3 8.10 5.94 4.60 3.84 3.19

1.9 4.18 2.95 2.48 2.05 1.77 3.4 8.37 6.12 4.76 3.95 3.28

2 4.47 3.21 2.61 2.17 1.88 3.5 8.66 6.32 4.93 4.06 3.39

2.1 4.73 3.44 2.75 2.28 1.99 3.6 8.95 6.50 5.09 4.17 3.48

2.2 5.00 3.68 2.88 2.41 2.10 3.7 9.22 6.68 5.25 4.29 3.57

2.3 5.29 3.93 3.02 2.52 2.21 3.8 9.47 6.88 5.40 4.40 3.68

2.4 5.56 4.17 3.17 2.64 2.32 3.9 9.74 7.06 5.56 4.51 3.77

2.5 5.85 4.40 3.33 2.77 2.41 4 10.00 7.24 5.72 4.64 3.88


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.77 1.45 1.43 1.47 1.54 2.6 6.99 5.13 3.95 3.28 2.75

1.2 2.08 1.59 1.47 1.38 1.45 2.7 7.32 5.32 4.13 3.44 2.86

1.3 2.63 1.90 1.61 1.45 1.39 2.8 7.64 5.54 4.31 3.57 2.97

1.4 3.06 2.10 1.79 1.58 1.43 2.9 7.99 5.76 4.49 3.69 3.08

1.5 3.39 2.32 2.05 1.72 1.52 3 8.29 5.96 4.69 3.84 3.19

1.6 3.71 2.57 2.23 1.85 1.63 3.1 8.60 6.18 4.87 3.97 3.30

1.7 4.04 2.84 2.39 1.97 1.74 3.2 8.91 6.39 5.05 4.09 3.40

1.8 4.35 3.13 2.55 2.10 1.85 3.3 9.24 6.59 5.23 4.22 3.51

1.9 4.67 3.40 2.72 2.25 1.97 3.4 9.54 6.81 5.41 4.35 3.62

2 5.00 3.69 2.86 2.37 2.08 3.5 9.85 7.01 5.60 4.47 3.73

2.1 5.32 3.97 3.04 2.52 2.21 3.6 10.18 7.23 5.78 4.60 3.84

2.2 5.67 4.24 3.22 2.66 2.32 3.7 10.49 7.43 5.96 4.73 3.95

2.3 5.99 4.49 3.39 2.81 2.43 3.8 10.79 7.64 6.14 4.85 4.06

2.4 6.32 4.69 3.57 2.97 2.54 3.9 11.12 7.84 6.32 4.98 4.17

2.5 6.65 4.91 3.77 3.13 2.64 4 11.43 8.06 6.50 5.13 4.27


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 1.90 1.50 1.45 1.47 1.54 2.6 7.73 5.51 4.33 3.53 2.93

1.2 2.35 1.79 1.54 1.43 1.47 2.7 8.08 5.72 4.55 3.68 3.06

1.3 2.92 2.03 1.72 1.54 1.43 2.8 8.44 5.96 4.74 3.82 3.17

1.4 3.30 2.26 1.99 1.67 1.50 2.9 8.78 6.19 4.94 3.95 3.30

1.5 3.66 2.55 2.19 1.81 1.61 3 9.15 6.41 5.14 4.09 3.40

1.6 4.02 2.86 2.37 1.96 1.74 3.1 9.51 6.65 5.34 4.24 3.53

1.7 4.36 3.17 2.55 2.10 1.87 3.2 9.85 6.86 5.54 4.38 3.64

1.8 4.74 3.48 2.73 2.25 1.99 3.3 10.21 7.10 5.74 4.51 3.75

1.9 5.13 3.79 2.92 2.39 2.12 3.4 10.56 7.32 5.94 4.65 3.88

2 5.51 4.11 3.11 2.57 2.23 3.5 10.92 7.55 6.14 4.80 3.98

2.1 5.87 4.35 3.31 2.73 2.35 3.6 11.26 7.77 6.34 4.93 4.11

2.2 6.25 4.58 3.51 2.92 2.46 3.7 11.63 8.00 6.54 5.07 4.22

2.3 6.61 4.82 3.71 3.10 2.59 3.8 11.97 8.22 6.74 5.22 4.35

2.4 6.99 5.03 3.93 3.26 2.70 3.9 12.31 8.44 6.92 5.34 4.46

2.5 7.39 5.27 4.13 3.39 2.83 4 12.68 8.67 7.12 5.49 4.56

XXVIII



q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.2 2.21 2.19 2.19 2.19 - 2.7 3.23 2.53 2.26 2.01 -

1.3 1.88 1.45 1.47 1.50 2.19 2.8 3.35 2.59 2.32 2.08 -

1.4 1.79 1.47 1.41 1.45 1.52 2.9 3.47 2.68 2.37 2.16 -

1.5 1.90 1.52 1.43 1.41 1.49 3 3.59 2.77 - 2.23 -

1.6 2.00 1.61 1.47 1.39 1.47 3.1 3.71 2.86 - 2.30 -

1.7 2.11 1.74 1.54 1.39 1.45 3.2 3.83 - - 2.35 -

1.8 2.21 1.88 1.61 1.43 1.41 3.3 3.95 - - 2.41 -

1.9 2.31 1.97 1.70 1.49 1.39 3.4 4.07 - - 2.46 -

2 2.41 2.05 1.77 1.54 1.41 3.5 4.18 - - 2.52 -

2.1 2.52 2.14 1.87 1.61 1.43 3.6 4.30 - - 2.57 -

2.2 2.64 2.23 1.97 1.68 1.47 3.7 4.42 - - 2.63 -

2.3 2.75 2.29 2.03 1.76 1.50 3.8 4.54 - - 2.70 -

2.4 2.87 2.35 2.09 1.81 1.56 3.9 4.66 - - 2.77 -

2.5 2.99 2.41 2.14 1.88 - 4 4.78 - - - -

2.6 3.11 2.47 2.20 1.96 -


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.28 2.23 2.21 2.21 2.25 2.6 5.22 3.88 2.97 2.50 2.19

1.2 1.88 1.50 1.47 1.50 2.19 2.7 - 4.07 3.10 2.61 2.28

1.3 1.99 1.58 1.47 1.47 1.50 2.8 - 4.27 3.22 2.72 2.35

1.4 2.28 1.76 1.54 1.43 1.47 2.9 - 4.46 3.35 2.83 2.44

1.5 2.64 1.92 1.65 1.49 1.45 3 - 4.62 3.37 2.93 2.52

1.6 2.97 2.05 1.76 1.56 1.45 3.1 - 4.76 3.48 3.04 2.59

1.7 3.19 2.17 1.92 1.65 1.49 3.2 - 4.91 3.59 3.15 2.68

1.8 3.40 2.32 2.08 1.74 1.54 3.3 - 5.05 3.69 3.26 2.75

1.9 3.64 2.50 2.19 1.83 1.61 3.4 - 5.22 3.80 3.39 2.84

2 3.86 2.68 2.30 1.92 1.68 3.5 - 5.36 3.91 3.50 2.92

2.1 4.09 2.88 2.41 2.01 1.76 3.6 - 5.51 4.02 3.59 3.01

2.2 4.31 3.08 2.52 2.12 1.85 3.7 - 5.67 4.14 3.68 3.08

2.3 4.55 3.28 2.63 2.21 1.94 3.8 - 5.81 4.26 3.79 3.17

2.4 4.76 3.48 2.73 2.30 2.01 3.9 - 5.98 4.36 3.88 3.24

2.5 5.00 3.68 2.84 2.41 2.10 4 - 6.12 4.47 3.97 3.33

XXIX


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.14 2.12 2.16 2.19 2.23 2.6 6.34 4.69 3.62 3.02 2.55

1.2 2.08 1.70 1.50 1.49 1.54 2.7 6.63 4.87 3.79 3.15 2.64

1.3 2.46 1.85 1.59 1.49 1.49 2.8 6.94 5.07 3.95 3.28 2.73

1.4 2.88 2.01 1.72 1.56 1.49 2.9 7.23 5.25 4.13 3.39 2.84

1.5 3.17 2.17 1.94 1.65 1.52 3 7.50 5.45 4.29 3.50 2.93

1.6 3.46 2.37 2.10 1.76 1.58 3.1 7.77 5.63 4.46 3.62 3.02

1.7 3.75 2.63 2.23 1.87 1.67 3.2 8.06 5.83 4.64 3.73 3.13

1.8 4.02 2.86 2.37 1.97 1.76 3.3 8.33 6.01 4.80 3.84 3.22

1.9 4.31 3.11 2.52 2.10 1.87 3.4 8.62 6.19 4.96 3.97 3.33

2 4.60 3.37 2.64 2.21 1.96 3.5 8.89 6.39 5.13 4.07 3.42

2.1 4.89 3.62 2.79 2.34 2.06 3.6 9.18 6.57 5.29 4.18 3.51

2.2 5.18 3.88 2.95 2.46 2.16 3.7 9.45 6.77 5.47 4.29 3.62

2.3 5.47 4.11 3.11 2.61 2.26 3.8 9.73 6.95 5.63 4.42 3.71

2.4 5.76 4.31 3.28 2.75 2.35 3.9 10.01 7.14 5.80 4.53 3.82

2.5 6.05 4.49 3.44 2.88 2.44 4 10.29 7.33 5.96 4.64 3.91


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.19 2.06 2.10 2.17 2.23 2.6 7.33 5.23 4.18 3.35 2.81

1.2 2.41 1.87 1.59 1.50 1.54 2.7 7.68 5.45 4.38 3.48 2.92

1.3 2.86 2.01 1.76 1.56 1.52 2.8 8.00 5.67 4.56 3.60 3.02

1.4 3.21 2.23 1.97 1.67 1.58 2.9 8.35 5.87 4.76 3.75 3.13

1.5 3.55 2.50 2.14 1.77 1.63 3 8.67 6.08 4.96 3.88 3.24

1.6 3.88 2.77 2.30 1.90 1.74 3.1 9.02 6.30 5.14 4.00 3.37

1.7 4.22 3.08 2.46 2.05 1.85 3.2 9.34 6.52 5.34 4.13 3.48

1.8 4.56 3.37 2.63 2.17 1.94 3.3 9.67 6.74 5.54 4.26 3.59

1.9 4.93 3.66 2.81 2.34 2.05 3.4 10.01 6.95 5.72 4.40 3.69

2 5.27 3.91 3.01 2.50 2.16 3.5 10.34 7.15 5.92 4.53 3.80

2.1 5.63 4.13 3.19 2.68 2.26 3.6 10.67 7.37 6.10 4.65 3.91

2.2 5.98 4.36 3.39 2.84 2.37 3.7 11.01 7.59 6.30 4.78 4.02

2.3 6.34 4.58 3.59 2.97 2.48 3.8 11.34 7.81 6.48 4.91 4.13

2.4 6.68 4.80 3.79 3.10 2.59 3.9 11.66 8.00 6.68 5.03 4.24

2.5 7.01 5.02 3.98 3.22 2.70 4 11.99 8.22 6.86 5.18 4.35


q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08 q 0.01 0.02 0.03 0.05 0.08

1.1 2.35 2.08 2.08 2.16 2.25 2.6 8.26 5.67 4.67 3.60 3.02

1.2 2.72 1.99 1.81 1.56 1.56 2.7 8.64 5.92 4.89 3.75 3.13

1.3 3.10 2.19 1.94 1.63 1.58 2.8 9.02 6.16 5.11 3.89 3.26

1.4 3.50 2.48 2.12 1.76 1.65 2.9 9.40 6.39 5.32 4.04 3.39

1.5 3.88 2.81 2.30 1.90 1.74 3 9.78 6.63 5.52 4.18 3.50

1.6 4.29 3.13 2.48 2.05 1.85 3.1 10.16 6.86 5.74 4.33 3.62

1.7 4.71 3.48 2.68 2.25 1.96 3.2 10.54 7.10 5.96 4.46 3.75

1.8 5.11 3.75 2.90 2.43 2.06 3.3 10.92 7.33 6.18 4.60 3.86

1.9 5.51 3.98 3.13 2.61 2.19 3.4 11.30 7.55 6.39 4.74 3.98

2 5.94 4.24 3.35 2.75 2.30 3.5 11.68 7.79 6.59 4.89 4.09

2.1 6.30 4.47 3.57 2.90 2.43 3.6 12.06 8.02 6.81 5.03 4.22

2.2 6.70 4.73 3.79 3.04 2.54 3.7 12.44 8.26 7.03 5.18 4.35

2.3 7.08 4.96 4.00 3.19 2.66 3.8 12.80 8.49 7.23 5.31 4.46

2.4 7.48 5.20 4.24 3.31 2.79 3.9 13.18 8.73 7.44 5.45 4.58

2.5 7.86 5.43 4.46 3.46 2.90 4 13.56 8.96 7.64 5.60 4.69

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estabilidade aerodinÂmica de estruturas · resumo apresentam-se e discutem-se neste trabalho os...

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