EST029 EST029 –– Cálculo de Probabilidade ICálculo de Probabilidade I

Cap. 1: Introdução à ProbabilidadeCap. 1: Introdução à Probabilidade

Prof. Prof. ClécioClécio da Silva Ferreirada Silva FerreiraDepto Estatística Depto Estatística -- UFJFUFJF

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Conjuntos: Definição e notação

Definição: É uma coleção bem definida deobjetos, elementos ou unidades.

Notação: Letras maiúsculas: A, B, C,…

São descritos de três formas:

Lista: A=1,2,3,4;

Por extenso: A contém os primeiros quatronúmeros inteiros maiores que zero; ou

A=x inteiros|0<x<5 ou B=x |0≤x ≤ 5(B: todos os reais entre 0 e 5, inclusive)

EXERCÍCIO: Defina C: Ano de ingresso na UFJF,e D: Estado (BR) de procedência de alunos daUFJF.

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Conjuntos: Definição e notação

Exemplo:

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Relação entre conjuntos

Definição: Cardinalidade de A é o número deelementos desse conjunto. Denota-se por n(A)ou #(A).

#(A) pode ser: finito, infinito enumerável ouinfinito.

Exemplos: quadro (fl. 5)!

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Representação Gráfica

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Operações com conjuntos

(1) União

(2) Interseção

(3) Diferença

(4) Complemento

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Propriedades das operações com conjuntos

Denote o conjunto universo por Ω. Então (1) ΩC = Ø

(4) Lei ComutativaA U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A

Exemplo: quadro (fl. 3)

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Propriedades das operações com conjuntos

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Produto Cartesiano

Definição: Dados dois conjuntos A e B, oproduto cartesiano de A por B é o conjunto dedescrito por:

A x B=(a,b)|a A e b B

Observações:

Em geral A x B B x A.

Pode ser estendido para n conjuntos.

Exemplo: Sejam os conjuntos A=x,z e B=1,2 temos:

A x B =(x,1),(x,2),(z,1),(z,2)

Exercício: A = 1,2,3 e B = 1,2,3,4. Mostre que A x B é diferente de B x A.

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Exercícios

Fazer exercícios 1.3, 1.4 e 1.5 Meyer (arquivoLista1_p1a da página)

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Modelo Matemático

Definição: Uma relação que explica de formasimplificada um fenômeno ou observação.

Tipos de fenômenos ou observações:

DETERMINÍSTICO: Determinado pelas condiçõessob as quais o experimento é executado.

Exemplo: Lei de Ohm, lei de Kepler, etc.ALEATÓRIO OU NÃO-DETERMINÍSTICO:Condições só determinam o comportamentoprobabilístico.

Exemplo: Fenômenos de radiação, chuvas etc.Os fenômenos ou observações são estudados ouobtidos via EXPERIMENTOS.

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Experimentos Aleatórios

Características:

1) Pode ser repetido indefinidamente sobcondições inalteradas.

2) Embora não seja possível saber qualresultado ocorrerá, pode-se descrever todosos possíveis resultados.

3) Os resultados individuais parecem ocorrer deuma forma acidental, porém, quandorepetidos um grande número de vezes surgeuma regularidade.Exemplos: livro texto, pág. 9

http://www.mathsisfun.com/data/quincunx.html

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Espaço Amostral

Definição: Dado um experimento E, o espaçoamostral é o conjunto de todos os resultadospossíveis do experimento.Notação: letra S.Observações: O resultado não é sempre um número. É importante conhecer o número de resultados. Estes resultados podem ser finitos, infinitos

enumeráveis ou infinitos não enumeráveis. Existem diferenças entre um espaço amostral

“idealizado” e o espaço amostral “realizável”.

Exemplos: livro texto, pág. 11Exercício: O experimento consiste em escolheraleatoriamente um ponto do círculo de raio unitário.Descreva S.

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Evento - Definição

Definição: Um evento A relativo a um espaçoamostral S e associado a um experimento é umconjunto de resultados possíveis. De outraforma, é qualquer subconjunto de um espaçoamostral.Notação: Letras maiúsculas.

Exercício: Considere o experimento que consisteem lançar dois dados, defina o Espaço Amostral,diversos interesses e Eventos para oexperimento.

Observação: Ø e S são eventos!Exemplo: Resultado de um Lançamento de um dado (face voltada para cima).S=1,2,3,4,5,6Eventos:A=ocorre par = 2,4,6, B = ocorre no máximo 3 = 1,2,3

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Evento - continuação

Se um espaço amostral S contém n elementos,quantos subconjuntos existem? Prova no Cap. 2.

Definição: Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se A ∩ B = Ø.

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Frequência

Ao definir o espaço amostral de umexperimento, é importante conhecer o númerode elementos que este contém.

Finalmente, é possível determinar o número deelementos para qualquer evento W que sedefina sobre o espaço amostral gerado peloexperimento E.

Determinar este número de elementos édeterminar sua Frequência.

Observação: O experimento (E), o espaçoamostral (S) e um evento (W) sempre estãorelacionados.

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Um Exemplo

Exemplo: Lançamento de dois dados com interesse nasoma das faces voltadas para cima.

Experimento (E): Lançamento de dois dados.

Algumas observações práticas a respeito são:

Forma de lançamento dos dados (um apósoutro ou juntos)

Os dados são identificáveis (por exemplo,cores diferentes).

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Um Exemplo - continuação

Espaço Amostral (S):

Considerando S1 e S2 os espaços amostrais dosexperimentos 1 e 2, respectivamente.

S1=1,2,3,4,5,6 e S2= 1,2,3,4,5,6

Logo o espaço amostral S pode ser construído apartir de S1 x S2.

S= S1 x S2=(x,y)|x S1 e y S2 ou

S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

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Um Exemplo

Evento (W): Soma resulta em 7.

W= (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)

Pela tabela, vemos que W é o evento (simples)mais frequente.Determinando frequências:

Soma do lançamento

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frequência 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Outro evento:A = diferença absoluta é menor ou igual a 1 entre os dois dados.A=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)

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Definição de Probabilidade (I)

Exemplo: Experimento anteriorE: Lançamento de dois dados, W: soma dos resultados igual a 7.n(Ω)=36, n(W) = 6, P(W) = 6/36 = 1/6.

Clássica ou à priori: Se um experimento aleatório tiver n(Ω) resultados exclusivos e igualmente prováveis e se um evento W tiver n(W) desses resultados, então a probabilidade de ocorrer o evento W é dada por

Verifica-se que:Os valores de probabilidade estão entre 0 e 1.Se Ω = w1, w2, ..., wn, então P(wi)=1/n, para todo i=1, 2, ..., n.

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Definição de Probabilidade (II)

Exemplo: Probabilidade de encontrar peças defeituosas em um lote de n, digamos, 1000 peças.

Freqüentista ou à posteriori: Repetimos o experimento Ω n vezes e contamos a freqüência com que um evento W ocorre. Sendo r esta freqüência (r≤n), a freqüência relativa r/n é uma estimativa da verdadeira probabilidade do evento. Ou seja,

A probabilidade calculada é próxima da verdadeira quando

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Como atribuir Probabilidade a um evento?

Problema: Atribuir um nº real, entre 0 e 1, a um evento.

Uma forma: repetir o experimento um grande nº de vezes e anotar a freq. Relativa do evento.

fA p quando n ∞, 0 < p < 1.

Problema: Qual deveria ser o tamanho de n? Para diferentes eventos, n deveria ser o mesmo? Custo!

Outra forma: Definição axiomática, sem recorrer à repetição de experimentos.

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Definição de Probabilidade (III)

e

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Teoremas

Teoremas básicos de probabilidade1. Sendo Ø o conjunto vazio, então P(Ø) = 0.2. Sendo WC o evento complementar do evento W, então

P(WC)=1-P(W).3. Se W1 e W2 são dois eventos quaisquer, então

P(W1 U W2) = P(W1) + P(W2) – P(W1 ∩ W2).4. Se W1, W2 e W3 são três eventos quaisquer, então

P(W1 U W2 U W3) = P(W1) + P(W2) + P(W3) – P(W1 ∩ W2) -P(W1 ∩ W3) - P(W2 ∩ W3) + P(W1 ∩ W2 ∩ W3).Extensão: Se W1, W2, ..., Wn são n eventos quaisquer, então

5. Se W1 e W2 são dois eventos quaisquer tal que W1 W2, então P(W1) ≤ P(W2).

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Teoremas básicos