UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARABACENTRO DE CINCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

Espaos de Sobolev

por

Joo Henrique Santos de Andrade

sob orientao da

Prof. Ms Flvia Jernimo Barbosa

Novembro 2012

Joo Pessoa-PB

1

Agradecimentos

Gostaria de Agradecer a Prof. Flvia por toda instruo que me foi dada para vencer maisesta etapa da minha vida acadmica, tambm ao Prof. Joo Marcos pela orientao e ensinamentos ,e por m ao CNPQ que me tem dado apoio nanceiro pra fazer este e demais trabalhos.

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Resumo

Deneremos os Espao de Sobolev W n,p(I) motivados pelo problema de achar soluoespara

(P )

{ u + u = f, se x [a, b]0, se x [a, b]

de encotrar funoes com derivada fraca, e estudaremos suas propriedades gerais , como o fato de serBanach , Reexivo e Separal.

3

Abstract

We are going to dene the Sobolev Spaces, based on the search for functions with

(P )

{ u + u = f, se x [a, b]0, se x [a, b]

of nd maps with weak derived , and we study their general properties , as facte be Banach , reexiveand separable.

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Contedo

1 Introduo 6

2 Espao de Sobolev 72.1 Soluo Clssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Espao W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Propriedades dos Espaos W n,p(I) 113.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Espao W n,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Topologia Fraca 12

5 Espao de Banach 14

6 Reexividade de W 1,p(I) 15

7 Separabilidade de W 1,p 16

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Captulo 1

Introduo

Os Espaos so espaos que aparecem naturalmente na busca por soluoes fraca para certosproblemas de EDP. No primeiro captulo , vamos motivar a denio atravs do problema

(P )

{ u + u = f, se x [a, b]0, se x [a, b]

onde falaremos de derivada fraca e de W 1,p(I) .No segundo captulo vamos falar sobre os W n,p(I) , e falar sobre propriedades , para no

captulo trs denir uma topologia fraca para W 1,p(I).Nos ultimos captulos vamos mostrar as principais propriedades deste espao que so o fato

de ser Banach , Reexivo e Separvel.

6

Captulo 2

Espao de Sobolev

2.1 Soluo ClssicaSeja f C([a, b],R) e considere o problema,

(P )

{ u + u = f, se x [a, b]0, se x [a, b]

Exerccio 1 Use o mtodo clssico e ache a soluo de (P)

Seja C1([a, b],R) com (a) = (b) = 0, multiplique a equaou+u = f por e obtenha

u+ u = f (2.1)Note que usando integrao por partes temos

ba

u = [u

ba ba

u]=

ba

u (2.2)

Equao Clssica

Equao Fraca

Usando algum mtodo prova existncia de soluo fraca

Prximo passo: provar regularidade, isto , que a soluo obitida acima clssica

obs: Lu = 0 clssico Lu = 0 fraco Lu = = 0

Vamos procurar pontos crticos de um funcional.

Se u C2 e satisfaz 2.2 ento usando integrao por partes temos ba

(u+ u f) = 0 (2.3)

Da segue que ba

(u + u f) = 0 (2.4)

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Logo u + u = f em [a, b] (antes era q.t.p usando continuidade temos geral, ou seja em todo[a, b]).Portanto conclumos que se u C2 e satisfaz 2.2, ento u tambem satisfaz a equao em (P).

2.2 Espao W 1,p(I)Seja I = (a, b), I = (a,), I = (, b), I = (,+) e 1 p , temos que

W 1,p(I) =

{u Lp(I); g Lp(I) com ()

I

u = I

g, C1c (I)}

,Se g satisfaz (*) , dizemos que g a derivada fraca de u.

C1c = { : I R de classe C1 cujo supp compacto e contido em I} supp = {x I, (x) = 0} C1c (I) o espao das funes teste Cc

Armao 1 Se u C1(I) Lp(I) e u Lp(I), ento u W 1,p(I) e a derivada fraca coincidecom sua derivada clssica

Prova: Seja C1c usando integrao por partes, temosI

u = I

u (2.5)

de fato, I

u (supxK

|u(x)|)(supxK

|g(x)|) (2.6)

onde K = supp compacto I

u =K

u eI

u =K

u (2.7)

Se K (a1, b2) com a1, b2 R

I

u = b2a1

u = ub2a1 b2a1

u = b2a1

u (2.8)

Portanto, para toda C1c (I) temos ,I

u =

u (2.9)

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Se I um intervalo limitado, ento C1(I) W 1,p(I)Exemplo 1 Seja I = (1, 1) e u(x) = |x|. Ento u W 1,p(I), para 1 p e u = g com

g(x) =

{ 1, se 0 x 11, se 1 x 0

u Lp(I) ok g Lp(I) ok Vericar que g satisfaz (*)

De fato, seja C1c (I), temos

I

udx = 01

udx+ 10

udx = 01

x(x)dx+ 10

x(x)dx = x(x)01 01(1)(x)dx+x

10

(x)dx = 01

g(x)(x)dx 10

g(x)(x)dx = 11

g(x)(x)dx

Exemplo 2 Agora vamos mostrar que a derivada fraca de u(x) no est em W 1,p(I). De fato, seja

g(x) =

{ 1, se 0 x 11, se 1 x 0

Suponhamos que g W 1,p para 1 p , assim ocorre que g Lp(I) h Lp tal que gfraco = h

11

g(t)(t)dt = 11

h(t)(t)dt, C1c (I) teste

temos que,

11

g(t)(t)dt = 01

(t)dt 10

(t)dt = [(0) (1)][(1) (0)] = 2(0), C1c (I)(2.10)

logo, 11 h(t)(t)dt = 2(0) = 0()

Por outro lado estudaremos o que acontece com 11 h(t)(t)dt ,para isto vamos dividir em casos

1. se 1 < p < ,

11

h(t)(t)dt

11

|h(t)||(t)|dt ( 1

1|h(t)|p

) 1p( 1

1|(t)|p

) 1p

C (2.11)

onde, 1p+ 1

p = 1

Agora construamos uma sequncia n(0) + e ||||Lp = 1 , sabemos que isso possvel , pois C1c (I)

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Armao 2 Sejam un : I R e un ||.|| 0, ento un ||.||Lp 0De fato , temos que |un(t)|p < |I| , n n0, t I , assim

I

|un(t)|pdt |I|I

1dt = (2.12)

Sendo assim, usando a armao acima podemos substituir por n em 2.10 e 2.11 , echegamos a uma contradio, pois por um lado 2n(0) =

11 h(t)n(t)dt C e poroutro limitada. Logo g / W 1,p(I).

2. se p = , 11

h(t)n(t)dt

||h||||n||L1 (2.13)e desta forma recamos no caso anterior

3. O caso p = 1 no foi feito ainda

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Captulo 3

Propriedades dos Espaos Wn,p(I)

3.1 IntroduoNa seo anterior denimos os espa o de Sobolev W1, p(I) , agora nesta seao , vamos falar

um pouco sobre o espao W n,p , estudaremos as principais caracteristicas destes espaos para o cason = 1 e 1 p

3.2 Espao Wn,p

Nos espaos W n,p(I) , temos que o n nos diz o nmero de derivadas fracas. Inicialmente vamosestudar o caso p = 1 e depois poderemos estender para o caso nito.Sabemos tambm que W 1,p(I) subespao vetorial de Lp(I) ,

W 1,p(I) < Lp(I).

Em W 1,p(I) denimos a seguinte norma

||.|1,p : W 1,p(I) Ru ||u||p + ||u||p

se 1 < p < so equivalentes,

u (||u||pp + ||u||pp) 1pVeremos que com a norma ||.||1,p o espao W 1,p(I) de Banach. Se p = 2 ele Hilbert pelo

fato de L2,o ser, e denotaremos W 1,2(I) = H1(I), com o seguinte produto interno

< u, v >: H1(I)H1(I) R(u, v)H1 < u, v >L2 + < u, v >L2=

Iu(t)v(t)dt+

Iu(t)v(t)dt

Exemplos 1 Seja E espao vetorial normado , mostre que ||.|| provm de um produto interno, se esomente se , vale a regra do paralelogramo , isto

||x+ y||2 + ||x y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)

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Captulo 4

Topologia Fraca

SejaE espao vetorial, denimos como Dual Algbrico , o conjunto de todos o funcionais linearesde E na reta

L(E,R) = {f : E R\f linear }denotaremos por E. Analogamente, demos Dual Topolgico , como sendo o conjunto de todos osfuncionais contnuos de E na reta

L(E,R) = {f : E R\f contnuo }

, e denotaremos por E .Em L(E,R) podemos denir as seguintes normas

||f || := supvE

|g(x)| , supvE

|f(v)|||v|| ou inf{C > 0; |f(v)| C||v||, E}

e , tamm e verdade que

E < E

Se dimE = n nito , temos que todo funcional linear contnuo e E = E , no caso dadimE = infty , ocorre que nem sempre isso verdade , e E E.

Outro problema de dimE = o fato de que a bola fechadaBE(0, 1) limitada, porm no compacta , o que comum aocntecer nos espao de dimenso nita, o problema que esta topologiapossui muitos abertos.

Vamos denir uma nova topologia que torna todos os funcionais lineares contnuos , e os queso ainda continuam contnuos. Seja f : E R , temos

Vq(a, b) = f1((a, b))

eE =

qE

Vq ums sub-base da topologia fraca , e contruimos a topologia fraca com interseces

nitas e unio dos Vq.e em E , a seguinte topologia fraca

Vf = {F1((a, b)), F E}Denamos tambm o espao Bidual de E como o conjunto dos funcionais contnuos de de

L(E,R) na reta , denotaremos por (E ) , ou seja

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(E ) = L(L(E,R),R)Para cada u E denimos a seguinte aplicao,

Ju : E R

f Ju(f) = f(u) facil ver que J(E) < E , alm disso a a aplicaao injetiva para todo u , quando Ju tambm

for sobrejetiva diremos que E reexivo.

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Captulo 5

Espao de Banach

Seja (E, ||.||) espao normado , diremos que E de Banach se E for compelto na norma ||.||

Teorema 1 O espao normado (W 1,p(I), ||.||1,p) de Banach, se 1 p

De fato, seja un W 1,p(I) uma sequncia de Cauchy, tal que

||un um||1,p = ||un um||p + ||un + um||psegue que||unum||p 0 e ||unum||p 0 quando m,n . Como (Lp(I), ||.||p) Banach, ento

existem u Lp e g Lp com

un uemLpeun gemLpnote que

I

un = I

un, C1c (I) (5.1)

Armao 3Iun

dt Iudt

De fato, pois[

un u]dt

I

|un u|||dtHlder ||un u||Lp ||||Lp 0 (5.2)

com 1p+ 1

p = 1.Analogamente,

I

undt I

gdt (5.3)

Usando as afrimaes acima, podemos concluir queI

gdt = I

udt, C1c (5.4)

isto nos diz que g u , logo un u em W 1,p(I)

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Captulo 6

Reexividade de W 1,p(I)

Corolrio 1 Seja E espao reexivo e F E fechado , ento F reexivo

Corolrio 2 Seja E reexivo e T : E F isometria , ento F reexivo

Corolrio 3 Sejam E1, E2, ..., En reexivos , ento E1 E2 ... En tambm o

Teorema 2 O espao W 1,p(I) reexivo se 1 < p <

De fato, considere a aplicao

T : W 1,p Lp Lpu (u, u)

Sabemos que ||Tu||LpLp = ||u||p + ||u||p , logo ||u||1,p = ||u||p + ||u||p e ||Tu||LpLp = ||u||1,pe conclumos que T isometria

Como W 1,p(I) Banach , e T (W 1,p) subespao fechado de Lp(I) Lp(I), comoLp(I) Lp(I) reexivo , se 1 < p < , ento T (W 1,p) tambm . Sendo T uma isometriaocorre que W 1,p(I) reexivo.

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Captulo 7

Separabilidade de W 1,p

Corolrio 4 Seja (X, d) espao mtrico separvel e U X ento U separvel

Seja un X um subconjunto denso em X , tome rm R+ com rn 0. Para n,m tomean,m B(un, rm) U

Armao 4 O conjunto {an,m} denso em U

Dado p U e > 0 , tome rm < 10 , un tal que d(un, p) < rnassim ,

d(an,m, p) d(an,m, un) + d(un, p) < rn + rn < (7.1)

Se un W 1,p(I) e vale

g(x) ={un u, emLp(I)un g, emLp(I)

}ento g = ufraco e u W 1,p(I)

Se 1 < p < , basta supor que un u em Lp(I) e ||un||Lp C para concluir queu W 1,p(I)

I

undt = I

undt

I

udt (7.2)

Teorema 3 Seja u W 1,p(I) com 1 p e I = (a, b) ou I = R ou I = (a,)ou(, b) ,a, b R .Ento existe

u C(I), tal que u = u q.t.p.e alm disso , vale o teorema fundamental do calclo

u(x) u(y) = yx

u(t)dt, x, y I (7.3)

Vamos dividir a demonstraao em lemas

Lema 1 Seja f L1loc(I) tal queIf = 0, C1c . Ento f = K q.t.p em I

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Tome C1c comI = c0 e dena

(t) = c1o (t)

onde I

(t)dt = c10

I

(t)dt = c10 c0 = 1 (7.4)

Podemos assumir que c0 = 1Dado w C1c existe C1c tal que

= w (

I

w

)

e h = w (Iw) contnua

supph compacto , pois suppW compacto e supp compacto sejam suppw [a, b] Iesupp [c, d] I temos

suppw supp [e, f ] I, ondee = min a, cef = min b, dcomo supph = {x I;h(x) = 0} , e se w(x) = 0 e (x) = 0 ento h(x) = 0 . Logo seh(x) = 0 ento w(x) = 0 ou (x) = 0 . da supph (suppw) (supp) [e, f ]

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Bibliograa

[1] Lima, Elon Lages Espaos Metrcos, Quarta Edio,IMPA 2009.

[2] Brezis, Haim Functional Analisys, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Edionica, Universit Pierre et Marie Currier

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