escola estadual de educação profissional - eeep · 2018-05-06 · escola estadual de educação...

Escola Estadual deEducação Profissional - EEEPEnsino Médio Integrado à Educação Profissional

Curso Técnico em Contabilidade

Estatística

Governador

Vice Governador

Secretário Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Cid Ferreira Gomes

Francisco José Pinheiro

Antônio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Secretária da Educação

Secretário Adjunto

Coordenadora de Desenvolvimento da Escola

Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurício Holanda Maia

Maria da Conceição Ávila de Misquita Vinãs

Thereza Maria de Castro Paes Barreto

Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional

CONTABILIDADE - Estatística 1

SUMÁRIO INTRODUÇÃO 2 CAPÍTULO I – ESTATÍSTICA 3 O que é Estatística População e amostra Exercícios CAPÍTULO II – ORGANIZAÇÃO DE DADOS 5 Dados estatísticos Tipos de dados Tabela de distribuição de frequência Diagramas Histograma de frequência Gráfico de setores Gráfico polar Cartograma Pictograma Exercícios CAPÍTULO III – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 13 Notação Sigma Média aritmética Média ponderada Média aritmética de uma distribuição de valores com dados agrupados Mediana Comparação entre média e mediana Moda Exercícios CAPÍTUO IV – MEDIDAS DE DISPERSÃO 23 Desvio médio Desvio médio para dados brutos Desvio padrão Dados não-agrupados Dados agrupados Variância Exercícios CAPÍTULO V – TABELAS FINANCEIRAS 29 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 37



INTRODUÇÃO

A presente apostila visa proporcionar uma visão geral do universo estatístico de forma a auxiliar e complementar a formação de técnicos em Contabilidade.

Bom curso a todos!



CAPÍTULO I – ESTATÍSTICA O QUE É ESTATÍSTICA A Estatística compreende três áreas entrelaçadas: a estatística descritiva, a teoria da probabilidade e a inferência. A estatística descritiva compreende a organização, o resumo, a simplificação de informações, que podem ser muito complexas, com o objetivo de torná-las mais fáceis de entender, relatar ou discutir. Como exemplos para essa parte da Estatística podem ser citados a taxa de desemprego, o custo de vida, o índice de mortalidade, as médias de estudantes, etc. A teoria da probabilidade analisa situações que envolvem o acaso como é o caso de jogos de dados e de cartas ou o lançamento de uma moeda para o ar. Os jogos esportivos, até um certo ponto, também são influenciados pelo acaso. A inferência analisa e interpreta dados amostrais. A ideia de amostragem é fazer uma mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de uma população e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população toda. Os exemplos para inferência são muitos como experimentar uma roupa diante do espelho, tocar na água para verificar a temperatura, folhear um livro, etc. As três áreas da Estatística utilizam o método científico, que é composto por cinco etapas listadas abaixo:

1. Definição do problema 2. Coleta de dados 3. Coligir dados 4. Analise e interpretação de dados 5. Tomada de decisões

POPULAÇÃO E AMOSTRA A estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, daí o nome População Estatística ou Universo Estatístico. Chama-se Unidade Estatística cada elemento da população estatística. Ex: Há 45 alunos matriculados no 3º semestre do Curso Técnico em Finanças. População estatística – 45 alunos

Unidade estatística – cada aluno matriculado

Amostra é um subconjunto da população. Uma amostra deve ter as mesmas características básicas da população. A técnica da amostragem deve ser utilizada quando não for possível fazer uma observação abrangendo todos os elementos da população. Há duas maneiras de obtermos uma amostra:



Amostra simples – é obtida por meio de um sorteio onde a população é numerada de 1 a n e dela retira-se aleatoriamente K elementos que corresponderam a amostra. Amostra proporcional estratificada – deve ser obtida quando a população dividir-se em subpopulações e a variável de estudo apresenta, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo. Assim o sorteio dos elementos da amostra deve levar em consideração esses estratos. EXERCÍCIOS

1. Quais as três áreas principais da estatística?

2. Defina os termos: Estatística, População e Amostra.

3. Quando devemos usar a técnica da amostragem?

4. Cite 5 situações onde a estatística é utilizada.

5. Quais as duas formas de obtermos uma amostra? Explique cada uma delas.



CAPÍTULO II – ORGANIZAÇÃO DE DADOS DADOS ESTATÍSTICOS Os dados estatísticos são obtidos através de observação ou mensuração de itens como notas escolares, renda anual de uma cidade, etc. os itens observados ou mensurados são chamados de variáveis, pois ao se fazerem mensurações sucessivas originam valores com certo grau de variabilidade. TIPOS DE DADOS Os dados estatísticos são divididos em quatro tipos de dados: contínuos, discretos, nominais e por postos. Contínuos – os dados podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Ex: altura, peso, velocidade, temperatura. Discretos – os dados assumem valores inteiros e são resultado da contagem do número de itens. Ex: número de clientes de uma loja, de alunos de uma sala, de paradas de um ônibus. Nominais – os dados surgem quando categorias são definidas e o número de observações pertencentes a cada categoria é contado. Ex: cor de cabelos, estado civil, sexo, profissão. Por postos – os dados consistem de valores relativos atribuídos para gerar uma ordem: primeiro, segundo, terceiro... Ex: classificações em concursos (de beleza, culinária, etc.) TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA A Tabela de Distribuição de Frequência é um quadro que resume um conjunto de observações. Para montarmos uma tabela é necessário conhecer as seguintes definições: Frequencia Absoluta (f i) – é o número de vezes que a variável assume o valor de xi. Freqüência Absoluta Acumulada (f a) – é o valor obtido adicionando-se a cada frequência absoluta os valores das frequências anteriores. Frequencia Reativa (f r) – é o quociente entre a frequência absoluta e o número de elementos da população estatística. F r = f i / N (na forma de porcentagem). A tabela abaixo foi montada tomando como exemplo as notas de matemática dos alunos de um curso técnico.



Notas de matemática dos alunos do curso técnico X i (Notas) f i (nº de alunos) f a F i F r

3,0 1 1 4% 4% 4,0 2 3 8% 12% 5,0 4 7 16% 28% 6,0 8 15 32% 60% 7,0 5 20 20% 80% 8,0 3 23 12% 92% 9,0 2 25 8% 100%

Observando a tabela podemos concluir que: 20% dos alunos obtiveram nota 7,0 60% dos alunos obtiveram nota inferior a 7,0 100% - 60% = 40% dos alunos obtiveram nota igual ou superior a 7,0 DIAGRAMAS Iniciaremos o estudo de diagramas pelo Polígono de frequências que obtemos quando unimos, por segmento de reta, as extremidades das barras. Ex:

Idade (X i) Número de alunos (f i) 15 5 16 8 17 12 18 5



DIAGRAMA DE BARRAS O exemplo acima também pode ser feito no diagrama de barras. Veja:

A distribuição de frequências absolutas geralmente pode ser representada pelo diagrama de barras. HISTOGRAMA DE FREQUENCIAS É a representação gráfica de distribuição de frequências com dados agrupados. Considere o seguinte exemplo: a idade em anos de 40 pessoas que trabalham em um mesmo escritório de advocacia.



Idade (X i) Número de pessoas (f i) Centro de intervalo

[15;25[ 10 15+25/2=20 [25;35[ 24 25+35/2=30 [35;45[ 12 35+45/2=40 [45;55[ 4 45+55/2=50

Note que os intervalos têm amplitude 10, pois 25 – 15 = 35 – 25 = 45 – 35 = 55 – 45 = 10. GRÁFICO DE SETORES É um gráfico de base circular. É empregado quando se quer ressaltar a participação do dado no total. O total é o círculo que é dividido em tantos setores quantas forem as partes. Veja: A tabela abaixo mostra o número de alunos de uma escola que praticam alguma atividade esportiva.

Atividade esportiva Número de alunos Voleibol 800

Basquetebol 300 Futebol 400 Natação 100 Outros 200

Para colocarmos os dados acima em ma circunferência devemos lembrar que toda circunferência tem 360° e por meio de uma regra de três simples calcularemos o ângulo correspondente para cada atividade esportiva. Veja: 1800 ------- 360° 800 ------- X X = 800 . 360° / 1800 = 160° ( voleibol ) 1800 ------- 360° 300 -------- Y Y = 300 . 360° / 1800 = 60° ( basquetebol) 1800 ------- 360° 400 -------- Z Z = 400 . 360° / 1800 = 80° ( futebol) 1800 ------- 360° 100 -------- W W = 100 . 360 ° / 1800 = 20° (natação)



1800 ------- 360° 200 -------- K K = 200 . 360° / 1800 = 40° (natação)

GRÁFICO POLAR É usado para representar séries temporais cíclicas, ou seja, que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade. Ex: consumo de energia durante o ano, passageiros de uma linha de ônibus durante a semana, etc. Ex: Precipitação pluviométrica do município de Recife em 1989.

Mês Precipitação (mm) Mês Precipitação (mm) Jan 174,8 Jul 538,7 Fev 36,9 Ago 323,8 Mar 83,9 Set 39,7 Abr 462,7 Out 66,1 Mai 418,1 Nov 83,3 Jun 418,4 Dez 201,2

Fonte IBGE



CARTOGRAMA É uma representação sobre uma carta geográfica. O cartograma é usado quando o objetivo é figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Ex: População projetada da Região sul do Brasil em 1990.

População projetada da Região Sul do Brasil em 1990 Estado População (hab) Área Densidade Paraná 9.137.700 199.324 45,8

Santa Catarina 4.461.400 95.318 46,8 Rio Grande do Sul 9.163.200 280.674 32,6



PICTOGRAMA É uma representação gráfica constituída de figuras e por sua forma atraente prende a atenção do público. Veja alguns exemplos:



EXERCÍCIOS

1. Um dado foi lançado 15 vezes e o resultado foi o seguinte: 2,5,6,6,1,4,2,6,5,1,3,3,2,4,6. Construa uma distribuição de frequências absolutas e frequências absolutas acumuladas.

2. Usando o gráfico em barras represente a tabela abaixo:

Produção de ovos de galinha no Brasil em 1988 Região Quantidade (mil dúzias) Norte 66.092

Nordeste 356.810 Sudeste 937.463

Sul 485.098 Centro-Oeste 118.468

3. Represente a tabela abaixo por meio de gráfico de setores.

Área Terrestre do Brasil Região Relativa (%) Norte 45,25

Nordeste 18,28 Sudeste 10,85

Sul 6,75 Centro-Oeste 18,86

Total 100

4. A sequência abaixo representa o número de atendimentos diários em um ambulatório. 72,81,57,64,87,90,74,69,77,73,80,96,55,58,88,92,91,60,68,80,77,76,59,57,83,81,90,68,65,74,91,97,86,82,73,64,69,71,88,94,77,72,81,91,96,59,52,50,63,70,82,53,76,82,60,75. Escolha um intervalo de amplitude conveniente e faça a representação da distribuição de frequências usando um histograma de barras.

5. No quadro abaixo está a distribuição das vendas mensais de 40 funcionários de uma loja.

Classe (nº de vendas) Nº de funcionários [80; 100[ 4 [100; 120[ 18 [120; 140[ 10 [140; 150[ 5 [150; 160[ 3

Represente por um meio de um histograma de barras essa representação de frequências

absolutas.



CAPÍTULO III – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL NOTAÇÃO SIGMA A maioria dos processos estatísticos exige o cálculo da soma de um conjunto de números e para denotar este tipo de soma usa-se a letra maiúscula grega (sigma). Assim, se a variável x tiver os valores 2, 4, 6, 8 e 10, então: x 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30. É possível agregar outros cálculos para os valores da variável x, além da soma, ao utilizarmos o veja abaixo alguns exemplos.

X = 2,4,6,8,10 x2 = 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 4 + 16 + 36 + 64 + 100 = 220 x)2 = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) = (30)2 = 900 Se apenas uma parte dos valores deve ser somada, indicamos esses valores usando índices. Veja: 3

xi = x1 + x2 + x3

i=1 n xi significa que devemos somar n observações. i=1 Propriedades:

1. Quando cada valor de uma variável deve ser multiplicado ou dividido por uma constante, essa constante pode ser aplicada após os valores serem somados.

kx = k x

Ex: 4 4 2xi = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2 (x1 + x2 + x3 + x4) = 2 xi i=1 i=1



2. A soma de uma constante é igual ao produto da constante pelo número n de vezes que ela ocorre.

n ki = nk

i=1 Ex: 6 3i = 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 = 18 i=1

3. A soma de uma soma ou diferença de duas variáveis é igual à soma ou diferença das somas individuais das duas variáveis. n n n n n n

( xi + yi ) = xi + yi ou ( xi - yi ) = xi - yi i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

Ex:

i x y (x – y) 1 8 5 3 2 3 2 1 3 4 0 4 4 5 4 1 20 11 9

(x – y) = 9 x – y = 20 – 11 = 9

MÉDIA ARITMÉTICA (X)

A média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores de uma variável pela quantidade deles. É utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade ou quando houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.

X = xi / n X = x1 + x2 + x3 + ... + xn / n Onde: X - é a média aritmética Xi - os valores da variável (x1, x2, x3, ... xn) n - a quantidade de valores



Ex: sabendo-se que a produção diária de uma padaria, em uma semana, foi de 12, 14, 16, 13, 15, 18 e 10 quilos de pão, qual a produção média da semana? x = 12 + 14 + 16 + 13 + 15 + 18 + 10 / 7 = 98 / 7 = 14 x = 14 quilos MÉDIA PONDERADA A média ponderada é o quociente da divisão da soma dos valores de uma variável multiplicados por suas frequências pela soma de todas as frequências.

x = xi.fi /N Usando o quadro de distribuição de frequência, o cálculo da média ponderada é bem mais fácil. Veja.

x fi xifi

10 5 50 12 11 132 13 4 52 15 8 120 16 2 32 N = 30 xifi = 386

Logo, x = 386 / 30 = 12,86 O cálculo da média ponderada utilizando o exemplo acima seria da seguinte forma: x = 10.5 + 12.11 + 13.4 + 15.8 + 16.2 / 5 + 11 + 4 + 8 + 2 x = 50 + 132 + 52 + 120 + 32 / 30 x = 386 / 30 = 12,86 Observação: o número de vezes que o valor se repete chama-se peso.



MÉDIA ARITMÉTICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE VALORES COM DADOS AGRUPADOS Em se tratando de dados agrupados, aceita-se que as frequências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o seu ponto médio é o valor representativo do conjunto. Veja a distribuição de frequência seguinte:

Altura Marca da classe Xi Frequência fi

158 |˗ 162 160 11 162 |˗ 166 164 8 166 |˗ 170 168 5 170 |˗ 174 172 3

∑ = 27 Para calcular a altura média, devemos fazer o seguinte cálculo: x = 160.11 + 164.8 + 168.5 + 172.3 / 11 + 8 + 5 + 3 x = 1760 + 1312 + 840 + 516 / 27 x = 4428 / 27 x = 164 cm MEDIANA (Md) Mediana é uma medida definida como o número que se encontra no centro de uma série de números dispostos em ordem crescente ou decrescente. Há duas formas de se calcular uma mediana: 1. Para uma série de números PAR – utiliza-se o ponto médio, ou seja a média aritmética do

números centrais. Ex: Considere a seguinte série de números: 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. Calcule a mediana da série. Md = 14 + 16 / 2 = 30 / 2 = 15 2. Para uma série de números ÍMPAR – a mediana será o elemento que ocupa a posição central

da série de ordem k + 1. Ex: Considere a série seguinte: 3, 5, 6 ,4 ,8, 9, 7, 1, 2, 6, 8, 5, 3. Calcule a mediana.

Observe que a série tem 13 números, ou seja, um número ímpar de dados. Para encontrar a mediana devemos ordenar os dados. Veja: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9 O número 5 está na 7ª posição, logo: Md = 5



MEDIANA SEM INTERVALOS DE CLASSE Para encontrarmos a mediana, neste caso, é preciso identificar a frequência acumulada superior à metade da soma das frequências. Ex: Considere a tabela abaixo

Nº de alunas fi Fi

0 2 2 1 6 8 2 10 18 3 12 30 4 4 34 ∑ = 34

Temos que, para uma distribuição, a partir de qualquer um dos extremos, a mediana é dada por:

∑ = fi / 2 Logo, ∑ = fi / 2 = 34/2 = 17 Assim, a menor frequência acumulada que supera 17 é 18 que corresponde ao valor 2 da variável e portanto será o valor da mediana. Md = 2 alunas MEDIANA COM INTERVALOS DE CLASSE Neste caso, para encontrarmos a mediana primeiramente devemos determinar em que ponto ela está compreendida. Para tanto, primeiro determina-se a classe que está compreendida a mediana-classe. Evidentemente esta será a classe que corresponderá à frequência acumulada imediatamente superior a ∑ fi /2. Ex: Considere a distribuição da tabela abaixo.

i Altura (cm) fi Fi

1 150 |˗ 154 4 4 2 154 |˗ 158 9 13 3 158 |˗ 162 11 24 classe mediana

4 162 |˗ 166 8 32 5 166 |˗ 170 5 37 6 170 |˗ 174 3 40 ∑ = 40



Temos,

∑ fi / 2 = 40/2 = 20 As primeiras três classes da distribuição possuem 24 valores. Supondo que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas, deveremos determinar o valor que ocupa a 20ª posição, a partir do início da série, este valor deve estar localizado na terceira classe (i=3). A terceira classe possui 11 elementos e seu intervalo é igual a 4, a distância deve ser tomada a partir do limite inferior:

20 – 13 x 4 = 7 x 4 11 11

Assim, a mediana será dada por: Md = 158 + 7 x 4 = 158 + 28 = 158 + 2,54 = 160,54 11 11 Logo, Md = 160,5 cm COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA Observe a figura abaixo. A primeira seta indica a mediana e a segunda seta indica a média. A escolha entre a média ou a mediana como medida de tendência central de um conjunto depende de alguns fatores. A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. A mediana não é influenciada pelos valores extremos. Assim valores muito grandes inflacionam a média aritmética e tornam a mediana uma medida descritiva mais adequada. Mas, de um modo geral, a média aritmética tem propriedades matemáticas que a torna mais atraente, como poder ser calculada em uma calculadora. Já o cálculo da mediana, que requer ordenação de dados, torna o cálculo enfadonho e não pode ser efetuado em uma máquina de calcular.



MODA (Mo) Moda nada mais é do que o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Podemos determinar a moda de dados não agrupados e com dados grupados. MODA COM DADOS NÃO AGRUPADOS Para determinarmos a moda com dados não agrupados é bastante fácil, basta procurarmos o valor que mais se repete. Ex: determine a moda da série de dados a seguir.

10,2,3,6,10,4,9,10,8,7,10,2,6,10

Logo percebemos que a série acima tem moda 10. Série Amodal – são séries que não apresentam moda. Ex: 8,10,12,14,16 Série Modais – são séries que possuem duas ou mais modas. Ex: 3,4,5,6,3,4,8,9,3,4,7 A série acima tem duas modas 3 e 4. MODA COM DADOS GRUPADOS Para determinarmos a moda com dados grupados, primeiro observaremos se os dados são caracterizados como: Sem intervalos de classe ou Com intervalos de classe. DADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE Para determinarmos a moda de dados grupados sem intervalo de classe, basta fixar o valor da variável que ocorre com maior frequência. Ex: Observe a tabela de distribuição abaixo com uma distribuição relativa a 30 famílias de três filhos, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino.



Número de meninos fi

0 2 1 6 2 10 3 12 ∑ = 30

Assim, de acordo com a distribuição, a frequência máxima corresponde ao valor 3 da variável. Logo,

Mo = 3

DADOS COM INTERVALOS DE CLASSE A classe modal é a classe que apresenta maior frequência. A moda, neste caso, é o valor dominante que stá compreendido entre os limites da classe modal. O cálculo da moda consiste em encontrarmos o ponto médio da classe modal. Veja o exemplo abaixo.

i Estatura (cm) fi

1 150 |˗ 154 4 2 154 |˗ 158 9 3 158 |˗ 162 11 ∑ = 24

Mo = l* + L* 2

Onde: l* é o limite inferior da classe modal L* é o limite superior da classe modal Assim, para a distribuição acima, temos: i= 3 ; l* = 158 ; L* = 162 Mo = l* + L* 2 Mo = 158 + 162 = 320 = 160 2 2 Logo, Mo = 160 cm



EXERCÍCIOS

1. Desenvolva as expressões abaixo.

5 a. ∑ xi

i=1 5

b. ∑ fixi2

i=1 n

c. ∑ xi n para n=8 i=1

2. Escreva em notação sigma.

a. X1 + X2 + X3 + ... + Xn

b. (x1 + x2 + ... + xn)

2

c. X1

2 + X22 + X3

2 + X42 + X5

2

3. Complete a tabela para o cálculo da média aritmética da distribuição.

xi 1 2 3 4 5 6 F i 2 4 6 8 3 1

xi fi xifi

∑ = ∑ =



4. Calcule a média aritmética da distribuição abaixo.

Classe Marca da classe xi fi

[4; 5[ 10 [5; 6[ 7 [6; 7[ 16 [7; 8[ 9 [8; 9[ 8

5. Calcule a mediana do conjunto de dados abaixo.

1,1,3,4,4,6,6,3,3,5,5,1,1,1,9

6. Ache a mediana do conjunto de dados dispostos na tabela abaixo.

xi fi

10 9 15 21 20 10 25 32 30 8 35 2

7. Calcule a moda da distribuição abaixo.

i Custos R$ fi

1 500 |˗ 600 5 2 600 |˗ 700 10 3 700 |˗ 800 15 ∑ = 30



CAPÍTULO IV – MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO O desvio médio mede o desvio dos valores em relação à média do grupo. Analisaremos dois tipos de desvios: desvio médio para dados brutos e desvio padrão. DESVIO MÉDIO PARA DADOS BRUTOS É o tipo de desvio para dados não dispostos em tabela. Para calcularmos o desvio médio para esses dados devemos aplicar as seguintes fórmulas:

n

∑ | xi – x | D m = i=1

n Onde di = (xi – x ) = desvio em relação à média aritmética.

n

∑ | xi – Md | D m = i=1

n Onde di = xi – Md = desvio em relação à mediana. Exemplo: Calcule o desvio médio do conjunto de número abaixo. A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 _ XA = 1+2+3+4+5+6+7 = 28 = 4 7 7 MdA = 4



xi xi – x |xi – x| xi – Md |xi –Md| 1 1 – 4 = - 3 3 1 – 4 = - 3 3 2 2 – 4 = - 2 2 2 – 4 = - 2 2 3 3 – 4 = - 1 1 3 – 4 = - 1 1 4 4 – 4 = 0 0 4 – 4 = 0 0 5 5 – 4 = 1 1 5 – 4 = 1 1 6 6 – 4 = 2 2 6 – 4 = 2 2 7 7 – 4 = 3 3 7 – 4 = 3 3

∑ = xi – x = 0 ∑ = |xi – x| = 12 ∑ = |xi – Md| = 12 Neste caso, o desvio médio terá o mesmo resultado se calculado a partir da média ou da mediana, pois: x = Md = 4. Cálculo pela média: 7

∑ | xi – 4 | D m = i=1 = 12 = 1,714 7 7 D m = 1,714 Cálculo pela mediana: 7

∑ | xi – 4 | D m = i=1 = 12 = 1,714 7 7 D m = 1,714 DESVIO PADRÃO É representado pelo símbolo: S e é a medida de dispersão mais usada. Assim como no desvio médio, o desvio padrão também considera os desvios em relação à média. Mas, no cálculo do desvio padrão não se usa os valores absolutos e sim o quadrado dos desvios. _____________

S = √ ∑ (xi2 – x2) / n

Simplificando temos: ∑ (xi – x)2 = ∑ x2 – (∑ xi)

2

n n



__________________ S = √∑ x2 / n – ((∑ xi)

2 / n)

O método acima além mais prático também é mais preciso. Caso o valor da média não seja exato, deve ser arredondado, cada desvio ficará ligeiramente afetado pelo erro devido ao arredondamento. DADOS NÃO AGRUPADOS Temos abaixo um exemplo de desvio padrão para dados não agrupados. Um conjunto de valores da variável x com 7 elementos ( n = 7 ).

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

xi xi2

3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81

∑ = 42 ∑ = 280 ________________ S = √ 280 / 7 – (42 / 7)2 _______ S = √40 – 36 ___ S = √ 4 S = 2 DADOS AGRUPADOS O desvio padrão para dados agrupados é calculado dependendo do tipo de agrupamento : sem intervalos de classe e com intervalos de classe. SEM INTERVALOS DE CLASSE Os dados agrupados sem intervalos de classe devem levar em consideração a presença das frequências para o cálculo do desvio padrão.



Assim, o resultado é a seguinte fórmula: ___________________

S = √∑ fixi2/n – (∑ fixi

/ n)2

Exemplo: O método mais prático para se calcular o desvio padrão é construir uma coluna para os produtos fixi e fixi

2.

xi fi fixi fixi2

0 2 0 0 1 4 4 4 2 10 20 40 3 8 24 72 4 6 24 96 ∑= 30 ∑ = 72 ∑ = 212

_________________ S = √ 212 / 30 – (72 / 30)2 __________ S = √7,06 – 5,76 ___ S = √ 1,3 S = 1,14 COM INTERVALOS DE CLASSE Para calcularmos o desvio padrão de dados agrupados com intervalos de classe devemos considerar a amplitude das classes. Assim, calculamos o desvio padrão através da seguinte fórmula: __________________

S = h √∑ fiyi2/n – (∑ fiyi / n)2

Veja o exemplo abaixo, temos uma distribuição a partir da estatura de um certo grupo de pessoas.

i Estatura fi xi yi fiyi fiyi2

1 150|˗ 154 4 152 -2 -8 16 2 154|˗ 158 9 156 -1 -9 9 3 158|˗ 162 11 160 0 0 0 4 162|˗ 166 8 164 1 8 8 5 166|˗ 170 5 168 2 10 20 6 170|˗ 174 3 172 3 9 27 h = 4 ∑ = 40 ∑ = 80



________________ S = 4√ 80 / 40 – (10 /40)2 __________ S = 4 √2 – 0,0625 ______ S = 4 √ 1,9375 S = 5,57 cm VARIÂNCIA A variância nada mais é que o quadrado do desvio padrão. Dizemos também que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. O símbolo da variância é: S2

A variância toma por base os desvios em torno da média aritmética, porém a média aritmética do quadrado dos desvios. Assim, sua fórmula é:

S2 = ∑ (xi – x)2 / ∑ fi

Observe o uso da variância no exemplo abaixo. Calcule a variância dado o conjunto de números A= 17,18,19,20,21,22,23 x = 20 S2 = ∑ (xi – x)2 / ∑ fi onde, ∑ fi = n S2 = ∑ (xi – 20)2 / 7 S2 = 4,667



EXERCÍCIOS

1. Você acha que o desvio padrão pode ser zero ou ter um valor negativo? Explique.

2. E o desvio médio, poder ser zero ou negativo?

3. Abaixo temos o lucro de um pequeno comércio no primeiro semestre de 2009. Calcule a média e o desvio padrão desses lucros. R$ 8.100; R$ 5.600; R$ 7.350; R$ 10.325; R$ 4.890; R$ 9.640

4. Considere a tabela abaixo

Mês Preço de venda (R$) Janeiro 28,00

Fevereiro 26,70 Março 23,99 Abril 30,00 Maio 27,30 Junho 25,00

Calcule o desvio padrão e a variância dos preços de venda.

5. A tabela abaixo expõe o tempo em minutos que um cliente aguarda na fila de um banco para ser atendido. Considere que o banco tenha 10 guichês para atender seus clientes. Calcule o desvio padrão e a variância do tempo de atendimento.

Guichê Tempo (min)

1 3 2 2 3 5 4 4 5 3 6 5 7 2 8 4 9 7 10 3



CAPÍTULO V – TABELAS FINANCEIRAS

i = 0,5% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,00500 0,99502 0,99502 1,00000 2 1,01002 0,99007 1,98510 2,00500 3 1,01508 0,98515 2,97025 3,01502 4 1,02015 0,98025 3,95050 4,03010 5 1,025025 0,97537 4,92587 5,05025 6 1,03038 0,97052 5,89638 6,07550 7 1,03553 0,96569 6,86207 7,10588 8 1,04071 0,96089 7,72296 8,14141 9 1,04591 0,95610 8,77906 9,18212 10 1,05114 0,95135 9,73041 10,22803 11 1,05640 0,94661 10,67703 11,27917 12 1,06168 0,94191 11,61893 12,33556 13 1,06699 0,93722 12,55615 13,39724 14 1,07232 0,93256 13,48871 14,46423 15 1,07768 0,92792 14,41662 15,53655 16 1,08307 0,92330 15,33993 16,61423 17 1,08849 0,91871 16,25863 17,69730 18 1,09393 0,91414 17,17277 18,78579 19 1,09940 0,90959 18,08236 19,87972 20 1,10490 0,90506 18,98742 20,97912 21 1,11042 0,90066 19,88798 22,08401 22 1,11597 0,89608 20,78406 23,19443 23 1,12155 0,89162 21,67568 24,31040 24 1,12716 0,88719 22,56287 25,43196 25 1,13280 0,88277 23,44564 26,55912 26 1,13846 0,87838 24,32402 27,69191 27 1,14415 0,87401 25,19803 28,83037 28 1,14987 0,86966 26,06769 29,97452 29 1,15562 0,86533 26,93302 31,12439 30 1,16140 0,86103 27,79405 32,28002



i = 1% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,01000 0,99010 0,99010 1,00000 2 1,02010 0,98030 1,97040 2,01000 3 1,03030 0,97059 1,94099 3,03010 4 1,04060 0,96098 3,90197 4,06040 5 1,05101 0,95147 4,85343 5,10101 6 1,06152 0,94205 5,79548 6,15202 7 1,07214 0,92348 6,72819 7,21354 8 1,08286 0,91434 7,65168 8,28567 9 1,09369 0,91434 8,56602 9,36853 10 1,10462 0,90529 9,47130 10,46221 11 1,11567 0,89632 10,36763 11,56683 12 1,12683 0,88745 11,25508 12,68250 13 1,13809 0,87866 12,13374 13,80933 14 1,14947 0,86996 13,00370 14,94742 15 1,16097 0,86135 13,86505 16,09690 16 1,17258 0,85282 14,71787 17,25786 17 1,18430 0,84438 15,56225 18,43044 18 1,19615 0,83602 16,39827 19,61475 19 1,20811 0,82774 17,22601 20,81090 20 1,22019 0,81954 18,04555 22,01900 21 1,23239 0,81143 18,85698 23,23919 22 1,24472 0,80340 19,66038 24,47159 23 1,25716 0,79544 20,45582 25,71630 24 1,26973 0,78757 21,24339 26,97346 25 1,28243 0,77977 22,02316 28,24320 26 1,29526 0,77205 22,79520 29,52563 27 1,30821 0,76440 23,55961 30,82089 28 1,32129 0,75684 24,31644 31,12910 29 1,33450 0,74934 25,06579 33,45039 30 1,34785 0,74192 25,80771 34,78489



i = 1,5% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,01500 0,98522 0,98522 1,00000 2 1,03022 0,97066 1,95588 2,01500 3 1,04568 0,95632 2,91220 3,04522 4 1,03136 0,94218 3,85438 4,09090 5 1,07728 0,92826 4,78264 5,15227 6 1,09344 0,91454 5,69719 6,22955 7 1,10984 0,90103 6,59821 7,32299 8 1,06699 0,93722 7,55615 8,39724 9 1,14339 0,87459 8,36052 9,55933 10 1,16054 0,86167 9,22218 10,70272 11 1,17195 0,84893 10,07112 11,86326 12 1,19562 0,83639 10,90751 13,04121 13 1,21355 0,82403 11,73153 14,23683 14 1,23176 0,81185 12,54338 15,45038 15 1,25023 0,79985 13,34323 16,68214 16 1,26899 0,78803 14,13126 17,93237 17 1,28802 0,77639 14,90765 19,20136 18 1,30734 0,76491 15,67256 20,48938 19 1,32695 0,76361 16,42617 21,79672 20 1,34686 0,74247 17,16864 23,12367 21 1,36706 0,73150 17,90014 24,47052 22 1,38756 0,72069 18,62082 25,83758 23 1,40838 0,71004 19,33086 27,22514 24 1,42950 0,69954 20,03041 28,63352 25 1,45095 0,68921 20,71961 30,06302 26 1,47271 0,67902 21,39863 31,51397 27 1,49480 0,66899 22,06762 32,98688 28 1,51722 0,65910 22,72672 34,48148 29 1,53988 0,64936 23,37608 35,99870 30 1,56308 0,63976 24,01584 37,53868



i = 2% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,02000 0,98039 0,98039 1,00000 2 1,04040 0,96117 1,94156 2,02000 3 1,06121 0,94232 2,88388 3,06040 4 1,08243 0,92385 3,80773 4,12161 5 1,10408 0,90573 4,71346 5,20404 6 1,12616 0,88797 5,60143 6,30812 7 1,14869 0,87056 6,47199 7,43428 8 1,17166 0,85349 7,32548 8,58297 9 1,19509 0,83676 8,16224 9,75463 10 1,21899 0,82035 8,98259 10,94972 11 1,24337 0,80426 9,78685 12,16872 12 1,26824 0,78849 10,57534 13,41209 13 1,29361 0,77303 11,34837 14,68033 14 1,31948 0,75788 12,10625 15,97394 15 1,34587 0,74301 12,84926 17,29342 16 1,37279 0,72845 13,57771 18,63929 17 1,40024 0,71416 14,29187 20,01207 18 1,42825 0,70016 14,99203 21,41231 19 1,45681 0,68643 15,67846 22,84056 20 1,48595 0,67297 16,35143 24,29737 21 1,51567 0,65978 17,01121 25,78332 22 1,54598 0,64684 17,65805 27,29898 23 1,57690 0,63416 18,29220 28,84496 24 1,60844 0,62172 18,91393 30,42186 25 1,64061 0,60953 19,52346 32,03030 26 1,67342 0,59758 20,12104 33,67091 27 1,70689 058586 20,70690 35,34432 28 1,74102 0,57437 21,28127 37,05121 29 1,77584 0,56311 21,84438 38,79223 30 1,81136 0,55207 22,39646 40,56808



i = 2,5% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,02500 0,97561 0,97561 1,00000 2 1,05062 0,95181 1,92742 2,02500 3 1,07689 0,92860 2,85602 3,07562 4 1,10381 0,90595 3,76197 4,15252 5 1,13141 0,88385 4,64583 5,25633 6 1,15969 0,86230 5,50813 6,38774 7 1,18869 0,84127 6,34939 7,54743 8 1,21840 0,82075 7,17014 8,73612 9 1,24886 0,80073 7,97087 9,95452 10 1,28008 0,78120 8,75206 11,20338 11 1,31209 0,76214 9,51421 12,48347 12 1,34489 0,74356 10,25776 13,79555 13 1,37851 0,72542 10,98318 15,14044 14 1,41297 0,70773 11,69091 16,51895 15 1,44830 0,69047 12,38138 17,93193 16 1,48451 0,67362 13,05500 19,38022 17 1,52162 0,65720 13,71220 20,86473 18 1,55966 0,64117 14,35336 22,38635 19 1,59865 0,62553 14,97889 23,94601 20 1,63862 0,61027 15,58916 25,54466 21 1,67958 0,59539 16,18455 27,18327 22 1,72157 0,58086 16,76541 27,18327 23 1,76461 0,56670 17,33211 30,58443 24 1,80873 0,55288 17,88499 32,34904 25 1,85394 0,53939 18,42438 34,15776 26 1,90029 0,52623 18,95061 36,01171 27 1,94780 0,51340 19,46401 37,91200 28 1,99650 0,50088 19,96489 39,85980 29 2,04641 0,48866 20,45355 41,85630 30 2,09757 0,47674 20,93029 43,90270



i =3% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,03000 0,97087 0,97087 1,00000 2 1,06090 0,94260 1,91347 2,03000 3 1,09273 0,91514 2,82861 3,09090 4 1,12551 0,88849 3,71710 4,18363 5 1,15927 0,86261 4,57971 5,30914 6 1,19405 0,83748 5,41719 6,46841 7 1,22987 0,81309 6,23028 7,66246 8 1,26677 0,78941 7,01969 8,89234 9 1,30477 0,76642 7,78611 10,15911 10 1,34392 0,74409 8,53020 11,46388 11 1,38423 0,72242 9,25262 12,80780 12 1,42576 0,70138 9,95400 14,19203 13 1,46853 0,68095 10,63496 15,61779 14 1,51259 0,66112 11,29607 17,08632 15 1,55797 0,64186 11,93794 18,59891 16 1,60471 0,62317 12,56110 20,15688 17 1,65285 0,60502 13,16612 21,76159 18 1,70243 0,58739 13,75351 23,41444 19 1,75351 0,57029 14,32380 25,11687 20 1,80611 0,55368 14,87747 26,87037 21 1,86029 0,53755 15,41502 28,67649 22 1,91610 0,52189 15,93692 30,53678 23 1,97359 0,50699 16,44361 32,45288 24 2,03279 0,49193 16,93554 34,42647 25 2,09378 0,47761 17,41315 36,45926 26 2,15659 0,46369 17,87684 38,55304 27 2,22129 0,45019 18,32703 40,70963 28 2,28793 0,43708 18,76411 42,93092 29 2,35657 0,42435 19,18845 45,21885 30 2,42726 0,41199 19,60044 47,57542



i = 3,5% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,03500 0,96618 0,96618 1,00000 2 1,07122 093351 1,89969 2,03500 3 1,10872 0,90194 2,80164 3,10622 4 1,14752 0,87144 3,67308 4,21494 5 1,18769 0,84197 4,51505 5,36247 6 1,22926 0,81350 5,32855 6,55015 7 1,27228 0,78599 6,11454 7,77941 8 1,31681 0,75941 6,87396 9,05169 9 1,36290 0,73373 7,60769 10,36850 10 1,41060 0,70892 8,31661 11,73139 11 1,45997 0,68495 9,00155 13,14199 12 1,51107 0,66178 9,66333 14,60196 13 1,56396 0,63940 10,30274 16,11303 14 1,61869 0,61778 10,92052 17,67699 15 1,67535 0,59689 11,51741 19,29568 16 1,73399 0,57671 12,09412 20,97103 17 1,79468 0,55720 12,65132 22,70502 18 1,85749 0,53836 13,18968 24,49969 19 1,92250 0,52016 13,70984 26,35718 20 1,98979 0,50257 14,21240 28,27968 21 2,05943 0,48557 14,69797 30,26947 22 2,13151 0,46915 15,16712 32,32890 23 2,20611 0,45329 15,62041 34,46041 24 2,28333 0,43796 16,05837 36,66653 25 2,36324 0,42315 16,48151 39,94986 26 2,44596 0,40884 16,89035 41,31310 27 2,53157 0,39501 17,28536 43,75906 28 2,62017 0,38165 17,66702 46,29063 29 2,71188 0,36875 18,03577 48,91080 30 2,80679 0,35628 18,39205 51,62268



i = 4% n (1 + i)n (1 + i)-n a

n| i S

n| i

1 1,04000 0,96154 0,96154 1,00000 2 1,08160 0,92456 1,88609 2,04000 3 1,12486 0,88900 2,77509 3,12160 4 1,16986 0,85480 3,62990 4,24646 5 1,21665 0,82193 4,45182 5,41632 6 1,26532 0,79031 5,24214 6,63298 7 1,31593 0,75992 6,00205 7,89829 8 1,36857 0,73069 6,73274 9,21423 9 1,42331 0,70259 7,43533 10,58280 10 1,48024 0,67556 8,11090 12,00611 11 1,53945 0,64958 8,76048 13,48635 12 1,60103 0,62460 9,38507 15,02581 13 1,66507 0,60057 9,98565 16,62684 14 1,73168 0,57748 10,56312 18,29191 15 1,80094 0,55526 11,11839 20,02359 16 1,87298 0,53391 11,65230 21,82453 17 1,94790 0,51337 12,16567 23,69751 18 2,02582 0,49363 12,65930 25,64541 19 2,10685 0,47464 13,13394 27,67123 20 2,19112 0,45639 13,59033 29,77808 21 2,27877 0,43883 14,02916 31,96920 22 2,36992 0,42196 14,45112 34,24797 23 2,46472 0,40573 14,85684 36,61789 24 2,56330 0,39012 15,24696 39,08260 25 2,66584 0,37512 15,62208 41,64591 26 2,77247 0,36069 15,98277 44,31174 27 2,88337 0,34682 16,32959 47,08421 28 2,99870 0,33348 16,66306 49,96758 29 3,11865 0,32065 16,98371 52,96629 30 3,24340 0,30832 17,29203 56,08494



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Estatística Básica - 6ª Ed. Morettin, Pedro Alberto; Bussab, Wilton de Oliveira / SARAIVA Estatística Fácil - 19ª Ed. Crespo, Antonio Arnot / SARAIVA Estatística Básica para Concursos Bello, Pedro / Ferreira Curso de Estatística - 6ª Edição 2006 Fonseca, Jairo Simon da; Martins, Gilberto de Andrade / ATLAS

Hino do Estado do Ceará

Poesia de Thomaz LopesMúsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glória conta!Terra, o teu nome a fama aos céus remontaEm clarão que seduz!Nome que brilha esplêndido luzeiroNos fulvos braços de ouro do cruzeiro!

Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao vê-lasRessoa a voz dos ninhos...Há de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do coração,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte,Acordando a amplidão.Peito que deu alívio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastidão do oceano,Se à proa vão heróis e marinheirosE vão no peito corações guerreiros?

Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!Porque esse chão que embebe a água dos riosHá de florar em meses, nos estiosE bosques, pelas águas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas!Abra-se ao vento o teu pendão natalSobre as revoltas águas dos teus mares!E desfraldado diga aos céus e aos maresA vitória imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hóstias brancas!

Hino Nacional

Ouviram do Ipiranga as margens plácidasDe um povo heróico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com braço forte,Em teu seio, ó liberdade,Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívidoDe amor e de esperança à terra desce,Se em teu formoso céu, risonho e límpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,És belo, és forte, impávido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada,Brasil!

Deitado eternamente em berço esplêndido,Ao som do mar e à luz do céu profundo,Fulguras, ó Brasil, florão da América,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;"Nossos bosques têm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símboloO lábaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flâmula- "Paz no futuro e glória no passado."

Mas, se ergues da justiça a clava forte,Verás que um filho teu não foge à luta,Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada, Brasil!

escola estadual de educação profissional - eeep · 2018-05-06 · escola estadual de educação...

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