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Escola Básica e Secundária de Barroselas . Curso Profissional Técnico 3D . Vânia Barros Lima

Geometria Descritiva A

Conceitos gerais


• Ponto, recta, segmento de recta e plano

• Ângulos

• Paralelismo

• Perpendicularidade

• Figuras planas

• Superfícies

• Sólidos

• Equipamento e normalizações


Ponto, recta, segmento de recta e plano

Ponto

O ponto enquanto elemento geométrico, é a unidade base da Geometria, não possuindo dimensão real: é uma forma infinitamente pequena, uma abstracção.

O ponto assinala, no plano ou espaço, uma dada posição, um lugar específico.


Recta

Por recta entende-se um conjunto infinito de pontos, dispostos sucessivamente ao longo de uma dada direcção.

Uma recta é um elemento unidimensional, e por ser gerada por formas infinitamente pequenas, não tem espessura. Possui apenas comprimento.

Tal como o ponto, a recta é uma abstracção – não tem principio nem fim.


Direcção de uma recta

Designa-se direcção de uma recta à posição que a recta possui no campo visual, ou no espaço, em relação às referencias visuais – Horizontal, vertical ou oblíqua.

Definir uma recta

Uma recta pode se definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção.


Recta definida por dois pontos:

A

B r


Recta definida por um ponto e uma direcção

A

r

s


Posição relativa de duas rectas

Duas rectas, no espaço, podem ser complanares ou não complanares, caso existam ou não no mesmo plano.

São rectas complanares quaisquer duas rectas paralelas ou concorrentes.

São rectas não complanares quaisquer duas rectas que não sejam paralelas (com diferentes direcções) nem concorrentes ( sem pontos comuns) –rectas enviesadas .


Atento/a na figura

A

D

B

C

E

F

H

G

r

m

a

b

s


Rectas complanares

Rectas concorrentes – são rectas que têm um ponto em comum (pertence simultaneamente às duas rectas).

Rectas paralelas – são rectas que têm a mesma direcção e sem pontos em comum. Mantêm-se sempre à mesma distância.


Segmento de recta

É uma porção de uma linha recta, com princípio e fim, possuindo um comprimento mensurável.

A

B r

Mediatriz de um segmento de recta

É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes dos extremos do segmento.

A

BP

Q


Mediatriz de um segmento de recta

A

B

M

r

Mediatriz de um segmento de recta é, assim, uma recta perpendicular ao segmento ( faz com este um ângulo de 90º) e que contém o seu ponto médio.

A mediatriz divide o segmento de recta em duas partes iguais.

Plano mediador de um segmento de recta

É o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão equidistantes dos extremos do segmento de recta.

É um plano ortogonal ao segmento e contém o seu ponto médio.


B

A P

R

S

α


Plano

O Plano é uma superfície bidimensional gerada pela deslocação de uma recta, paralelamente a si própria, ao longo de uma dada direcção (outra recta).

r


Orientação de um plano

Tal como já referido, num plano podem estar contidas rectas com direcções diferentes (rectas concorrentes) e rectas com uma mesma direcção (rectas paralelas).

A cada conjunto de rectas com a mesma direcção designamos de família de rectas.


a

bm

n

r

s

Como se pode observar a recta r é paralela à recta s e todas as rectas do plano com a mesma direcção (pertencem à mesma família de rectas).

A recta r é, por outro lado, concorrente a todas as outras rectas do plano e que pertencem a outras famílias de rectas: a e b; m e n.


Assim, existe num plano uma infinidade de famílias de rectas que são todas concorrentes entre si.

Um plano não possui uma direcção definida, mas uma sim, uma infinidade de direcções que são as direcções das famílias de rectas.


Um plano possui orientação – a posição que ocupa no espaço (horizontal, vertical ou oblíquo).

A orientação está para o plano assim como a direcção está para a recta: uma recta possui uma dada direcção e um plano possui uma dada orientação.


A

D

B

C

E

F

H

G

α β

δ


Recta pertencente a um plano

δ A

D

B

C

E

F

H

G

a

bK


A recta a passa por dois pontos do plano, B e E. A recta a pertence ao plano δ pois contém dois dos seus pontos.

A recta b passa por um ponto do plano, ponto A e é paralela à recta a. A recta b

pertence ao plano δ já que contém um ponto do plano e é paralela a uma recta do plano (pertence à família de rectas da recta a).


Concluindo:

uma recta só pertence a um plano se e só se contiver dois pontos desse plano, ou se passar por um ponto desse plano e for paralela a uma outra recta desse plano.



Ângulos

Ângulo e bissectriz

Por ângulo entende-se uma região do plano (superfície plana) compreendida entre duas rectas (lados) com diferentes direcções e a mesma extremidade (vértice).

V

ângulo

lado

lado

A bissectriz de um ângulo divide um ângulo em dois em ângulos iguais. É o lugar geométrico dos pontos do plano equidistante dos lados do ângulo.

A B


Diedro e plano bissector

Por diedro considera-se a região de espaço limitado por dois semiplanos (faces) com diferentes orientações e a mesma recta de origem (aresta do diedro).


Rectilíneo de um diedro é o ângulo formado pelas duas semi-rectas que resultam da intersecção dos dois semiplanos com um outro plano ortogonal à aresta do diedro.


Plano bissector de um diedro

O plano bissector de um diedro divide o diedro em dois diedros geometricamente iguais. É o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes das faces do diedro.

δ

A



ParalelismoParalelismo entre rectas e planos

A

D

B

C

E

F

H

G

rs

m

Critério de paralelismo entre rectas e planos:

- uma recta é paralela a um plano se for paralela a uma recta desse plano.

- bem como, um plano é paralelo a uma recta se não contiver essa recta, e contiver uma recta paralela à recta dada.


• Paralelismo entre planos

A

D

B

C

E

F

H

G

α β

δ

f

e

Critério de paralelismo entre planos:

- dois planos são paralelos entre si se e só se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro plano.

Assim, se dois planos são paralelos ( mesma orientação), qualquer recta de um dos planos é necessariamente paralela a uma infinidade de rectas que existe no outro plano (família de rectas).

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Planos secantes

Dois planos não paralelos (orientações diferentes)intersectam-se segundo uma recta e denominamos de secantes.

Ao contrario de dois planos paralelos, dois planos secantes têm em comum apenas uma única família de rectas, sendo que a recta de intersecção é necessariamente uma recta dessa família.



Perpendicularidade

Perpendicularidade diz respeito unicamente a rectas concorrentes que fazem entre si um ângulo de 90º. São rectas complanares, cujas suas direcções são ortogonais.

Ortogonalidade refere-se a duas rectas não complanares, paralelas a duas rectas perpendiculares ( não são concorrentes, mas as suas direcções são ortogonais)


Rectas perpendiculares e rectas ortogonais

A

D

B

C

E

F

H

G

b

a

s

r

Rectas perpendiculares são rectas concorrentes que fazem, entre si, ângulos de 90º. São duas rectas complanares, cujas direcções são ortogonais.

ex: rectas a e b

Rectas ortogonais são rectas não complanares, cujas direcções são ortogonais e são paralelas a duas recta perpendiculares.

ex: rectas r e s


Perpendicularidade (ortogonalidade) entre rectas e planos


A

D

B

C

E

F

H

G

α

r

Para que uma recta seja ortogonal a um plano, é necessário que seja ortogonal a duas rectas concorrentes do plano – a recta r é ortogonal e perpendicular às rectas a e b, que são rectas concorrentes do plano α.

Assim como, uma recta ortogonal a um plano é ortogonal ou perpendicular a todas as rectas desse plano.


Critério de ortogonalidade entre rectas e planos:

-uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas concorrentes do plano.

- um plano é ortogonal a uma recta se e só se contiver duas rectas concorrentes à recta dada.


Teorema da ortogonalidade entre rectas e planos:

-uma recta ortogonal a um plano é ortogonal e/ou perpendicular a todas rectas desse plano.


Perpendicularidade (ortogonalidade) entre planos

Dois planos não paralelos têm orientações diferentes e são secantes. Se formarem entre si, diedros rectilíneos de 90º, diz-se então que as suas orientações são ortogonais.



A

D

B

C

E

F

H

G

α

β

δ

f

r

b

Critério de ortogonalidade entre planos

- dois planos são ortogonais se e só se um dele contiver uma recta ortogonal ao outro.

δ

r


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