Escola Básica e Secundária da Graciosa

Matemática – 7.º Ano

Potências de Base Racional e Expoente Natural

Potências

A definição usual de potência, remetendopara um expoente natural, reporta-se auma multiplicação .

Dado a inteiro e n natural, an representa oproduto

a a … a

n factores

Assim, por exemplo, 2� representasimplificadamente o produto 2 × 2 × 2 × 2 × 2

��

Todas as potências têm uma base e um expoente

A base da potência é o factor que se repete.

O expoente indica o número de vezes que o

factor se repete.

É a base da potência

É o expoente da potência

Exemplos

Na potência 25 ...

2 é a base da potência 5 é o expoente da potência

Na potência (-3)2 ...

-3 é a base da potência 2 é o expoente da potência

A potência ab lê-se “a elevado a b”

Assim:32 lê-se “três elevado a dois”

(-8)9 lê-se “menos oito elevado a nove”

�

�

��lê-se “cinco sextos elevado a dezoito”.

Mesmo sem saber o valor de uma potência épossível saber o seu sinal...

Se a base for positiva, a potência é sempre positiva.

Se a base for negativa e se o expoente for par a potência é

positiva, caso contrário é negativa

Resumindo...

Sinal da Base

+ -

O valor da potência é

positivo

Expoente par

O valor da potência é

positivo

Expoente ímpar

O valor da potência é negativo

Exemplos

A potência representa um número positivo porque a base é negativa mas oexpoente é par.

(−5)�

De facto, tem-se que:

(−5)�= (−5) × (−5) × (−5) × (−5) [pela definição de potência]

= 25 × 25 [pela propriedade associativada multiplicação]

= 625

625 é um número positivo.

A potência representa um número negativo porque a base é negativa maso expoente é ímpar.

(−3)�

De facto, tem-se que:

(−3)�= (−3) × (−3) × (−3) × (−3) × (−3) [pela definição de potência]

= 9 × 9 × (−3) [pela propriedade associativada multiplicação]

= −243

-243 é um número negativo.

A potência representa um número positivo porque a base é positiva.3�

De facto, tem-se que:

3� = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 [pela definição de potência]

= 9 × 9 × 3 [pela propriedade associativada multiplicação]

= 243

243 é um número positivo.

Potências cujas Bases são Fracções

Se tiver uma potência, de expoente n, cuja baseé uma fracção , obtenho uma fracção cujonumerador é igual a an e cujo denominador éigual a bn

Exemplos

Operações com Potências

À semelhança do que acontecia para aspotências de base e expoente naturais...

As potências de base racional e expoenteinteiro também gozam de propriedadesoperatórias para a multiplicação e para adivisão.

No caso da soma e da subtracção depotências, a solução passa por determinar ovalor das potências.

Multiplicação de Potências com a mesmaBase

O produto de duas potências de bases iguais éigual a uma potência com a mesma base eexpoente igual à soma dos outros expoentes.

Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.

Exemplos

−2 � × −2 � = −2 ���

= −2 ��

[Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.]

= 2��

=2

5

��

[Na multiplicação de potências com a mesmabase, mantêm-se as bases e somam-se osexpoentes.]

[Se uma potência tem base negativa e expoentepar, o seu valor é positivo]

Multiplicação de Potências com o mesmoExpoente

O produto de duas potências de expoentesiguais é igual a uma potência com o mesmoexpoente e base igual ao produto das outrasbases.

Na multiplicação de potências com o mesmoexpoente, mantêm-se os expoentes emultiplicam-se as bases.

Exemplos

−2

7

��

×5

3

��

= −2 × 5

7 × 3

��

= −10

21

��

−2 � × −3 � = 2 × 3 � = 6�

Na multiplicação depotências com o mesmoexpoente, mantêm-se osexpoentes e multiplicam-seas bases.

Divisão de Potências com a mesma Base

O quociente de duas potências de bases iguaisé igual a uma potência com a mesma base eexpoente igual à diferença dos outrosexpoentes.

Na divisão de potências com a mesma base,mantêm-se as bases e subtraem-se osexpoentes.

Exemplos

−2 � ÷ −2 � = −2 ��� = (−2)�

[Na divisão de potênciascom a mesma base,subtraem-se os expoentes]

−12

5

��

× −5 �� ÷ 12�� =12 × 5

5 × 1

��

÷ 12��

= 12�� ÷ 12��

[Na multiplicação depotências com o mesmoexpoente, multiplicam-seas bases]

= 12�����

= 12� = 12

[Na divisão de potências com a mesmabase, subtraem-se os expoentes]

Divisão de Potências com o mesmoExpoente

O quociente de duas potências de expoentesiguais é igual a uma potência com o mesmoexpoente e base igual ao quociente das outrasbases.

Na divisão de potências com o mesmoexpoente, mantêm-se os expoentes edividem-se as bases.

Exemplos

−10 �� ÷ −5 �� = −10 ÷ −5��

= 2��

2

3

�

÷3

4

�

=2

3÷

3

4

� [Na divisão de potências com omesmo expoente, mantêm-se osexpoentes e dividem-se as bases.]

=2

3×

4

3

�

[Na divisão de potências com omesmo expoente, mantêm-se osexpoentes e dividem-se as bases.]

[O quociente de dois númerosracionais é igual ao produto dodividendo pelo inverso do divisor]

=8

9

�

−185

�

1110

� =−

185

1110

�

= −18 × 10

5 × 11

�

= −180

55

�

= −36

11

�

Potência de Potência

Uma potência de potência é obtida quando umapotência é elevada a um segundo expoente.

O seu valor é igual a uma potênciacom a mesma base e expoente igualao produto dos outros expoentes.

Exemplos

−3 � �= −3 �×� = −3 ��

Na simplificação de uma potência depotência, multiplicam-se os expoentes.

−5

4

��

×7

10

�

= −5

4

��

×7

10

� [numa potência de potência,multiplicam-se os expoentes]

= −5

4

�

×7

10

�

= −5

4×

7

10

� [na multiplicação de potênciascom o mesmo expoente,multiplicam-se as bases]

= −35

40

�

= −7

8

�

=7

8

�

O que acontece quando o expoente de uma potência é nulo?

Desde que a base não seja zero, oseu valor é igual a 1.

Porquê?

Considerando um número a diferente de 0...

a0= a1-1[1-1=0]

a0= a1-1 = a1÷ a1

[O quociente de potências com amesma base é a potência com amesma base e expoente igual àdiferença entre o expoente dodividendo e do divisor]

a0= a1-1 = a1÷ a1=1

Logo, dado a≠0, tem-se que �� = 1

Dado � número natural qualquer, o valor de 0� é zero, ou seja, 0� = 0

Isto porque se atendermos à definição de potência, veremosque

n factores

0� = 0 × 0 × ⋯ × 0

Mas como 0 é o elemento absorvente da multiplicação…

0� = 0 × 0 × ⋯ × 0 = 0

Contudo, não é possível determinar o valor de ��. Trata-se de uma indeterminação.

Dados � número racional qualquer e � um número natural qualquer,tem-se que:• −� � = �� quando � é par;• −� � = −�� quando � é ímpar.

Verifica-se que

−� � = −1 × � � [O simétrico de um racional é igualao produto deste por −1]

= −1 � × �� [Pelas propriedades operatórias daspotências.]

Mas sabe-se que −1 � = 1 quando � é par. Pelo que:−� � = −1 � × �� = 1 × �� = ��

E sabe-se que −1 � = −1 quando � é ímpar. Pelo que:−� � = −1 � × �� = −1 × �� = −��