errata “vibrações mecânicas” - savi & de...
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ERRATA
“VibraçõesMecânicas”-Savi&DePaula
Capítulo2
• Página15:
O parâmetro nω é a frequência natural que representa o número de ciclos que um
movimentoexecutaduranteumaunidadedetempo.Esseparâmetroéumacaracterísticafundamental do sistema, sendo definida a partir da relação entre a rigidez e a massa.Portanto, o aumento da rigidez sem alterar a massa, tende a aumentar a frequêncianatural, tornando a resposta naturalmais rápida. Por outro lado, o aumento damassa,mantendo a rigidez constante, tende a diminuir a frequência, o que proporciona umaresposta mais lenta. O parâmetro ξ é um fator de amortecimento e representa acaracterísticadedissipaçãodosistema.
• Página27,equação(2.72):!!! +!!! + ! = !(!)
! + !(!)!
• Página27,equação(2.73):
! + !!2! ! + !!!! = !(!)
! + ! !(!)!"
Capítulo3
• Página33,equação(3.12):
)cos(211 ϕAAAC =+=
=2C )sen()( 21 ϕAAAi =−
• Página38,equação(3.45):
)senh()cosh( θθθ ±=±e
• Página41,equação(3.59):
!!+ !!!"#$ ! + !" = !
Capítulo4
• Página51,equação(4.15):
! = !!!!!![!!"# !!!−! + !(!)!"# !!−!! ]
• Página60,equação(4.41):
! iΩ = !!!!!!(!Ω)
• Página61,parágrafoapósFigura4.9:
... Na Figura 4.10 apresentam-se três situações distintas: frequência de excitação
menor do que a natural (Ω /ωn <1 ); frequência de excitação igual a natural (Ω /ωn =1 );frequênciadeexcitaçãomaiordoqueanatural(Ω /ωn >1 ).
• Página66,P4.6:
ConsiderequeabarrademassaMecomprimentoLtemummovimentoprescrito:
! = !!sen !
sendo ! positivo no sentido anti-horário e nulo quando a barra está na posiçãovertical.Desconsidereoforçamentoharmônicoaplicadonoblocodemassam.
Capítulo5
• Página69Funçãoímpar: ! ! = −! −! Funçãopar: ! ! = ! −!
• Página69,Equação(5.10)
u(t) = a02+ Gp ap cos pΩ0t −φ p( )+bpsen pΩ0t −φ p( )⎡
⎣⎤⎦
p=1
∞
∑
• Página70
Na Figura 5.2, o forçamento do oscilador de cima é ! ! = !" ! . Nos osciladoresdebaixo,asforçassão!! ! ,!! ! ! !! ! aoinvésde!! ! , !! ! ! !! ! .
• Página75,Equação(5.26):
! = !!(!) =1
!!!!!!!!!!en !!!
• Página81,Equação(5.57):
! ! = !!!"! !! + !!!!"! !
! − ! (−!)!!!"!"#!!
Capítulo6
• Página99:
!!,! =12!! + !! !! + !! + !! !!
!!!!± 12!!!!
{ !! + !! !! + !! + !! !! !
+ −4!!!! !!!! + !!!! + !!!! }! !
• Página105,Eq.(6.47):
( !(!) ! ! !(!) )! = !(!) ! ! ! !(!) ! != !(!) ! ! !(!)
( !(!) ! ! !(!) )! = !(!) ! ! ! !(!) ! != !(!) ! ! !(!)
Ouseja,aEq.(6.46)podeserreescritanaforma:
• Página106,Figura(6.16):
• Página110,Equação(6.72):
[Γ]! ! Γ {!}+[Γ]! !! ! + !! ! Γ ! + [Γ]! ! Γ ! = Γ ! !
• Página110,Equação(6.76):
!! + !! + !!!!! !! + !!!!! = !! (! = 1,… , !)emque ! = [Γ]!{!}.
• Página113,segundalinhaapósaEq.(6.95):
Paraisso,pré-multiplica-seaEq.(6.95)pela...
ERRATA
“VibraçõesMecânicas”-Savi&DePaula
Exemplos
Capítulo 3
• Exemplo 3.1 (Página 41):
Um oscilador linear com m=10kg e ωn=35rad/s é deslocado de 10mm em
relação à sua posição de equilíbrio e solto a partir do repouso. Se o sistema está
sujeito a um amortecimento viscoso com c=50Ns/m, quando ciclos são percorridos
pelo sistema até que a sua amplitude de oscilação seja menor que 10% do
deslocamento inicial?
Solução:
O coeficiente de amortecimento viscoso adimensional pode ser calculado de
acordo com a Eq. (3.37):
! = !2!!!
= 50(2)(10)(45) = 0,0556
Em seguida, calcula-se o decaimento logarítmico:
! = (2!)(0,0556)1 − 0,0556!
= 0,3496
Utilizando a equação que relaciona o decaimento logarítmico com as amplitudes
do sistema, conforme apresentado na Eq.(3.55), tem-se que:
0,3496 = !! !"
!!,! → ! = 6,5862
Sabendo-se que n deve ser um número inteiro, a amplitude do sistema é menor
que 0,1cm após 7 ciclos.
Capítulo 4
• Exemplo 4.1 (Página 55):
Um motor de massa m é sustentado por quatro molas, cada uma possuindo
constante k. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa md
localizada a uma distância e do eixo de rotação. O movimento do motor é
restringido a ser vertical, representado pelo deslocamento u. Determine a equação
do movimento e estime a amplitude de vibração do motor, em regime
permanente, quando ele funciona a uma frequência Ω = ω!/3. Considere as
condições iniciais ! 0 = 2! Ω e ! 0 = 0.
md
m Ωt
u
Figura 4.6 Motor desbalanceado suportado por quatro molas.
Solução:
Considerando que os esforços são uniformemente distribuídos entre as 4 molas,
podemos calcular a rigidez equivalente conforme se segue:
!! = !!!
!!!= 4!
O desbalanceamento provoca um forçamento harmônico no sistema, sendo
representado por:
!! = !!!Ω! cos(Ω!)
Tem-se então a equação do movimento:
! + !!!! = !!!!!! cos (!")
onde !!! = !!/!.
Como não há amortecimento, a solução homogênea não pode ser
desconsiderada e a solução em regime permanente é dada por duas partes:
! = !! + !!
onde as soluções são dadas pelas Eqs. (3.13) e (4.12):
!! = ! !"# ω!! − !!
!! = ! Ω !"# Ω! − !!
Para o forçamento imposto (note que Ω < ω!) e ξ = 0, a amplitude e o ângulo
de fase da solução particular são:
! Ω = !!!Ω!!(!!! − Ω!)
!! = 0.
Considerando as condições iniciais, ! 0 = 2! Ω e ! 0 = 0, na solução
completa temos:
! cos !! = ! Ω (!)! sen !! = 0 (!)
Resolvendo o sistema, obtemos que:
! = ! Ω = !!!Ω!!(!!! − Ω!)
= !!!8!
!! = 0.
Desta forma, a solução é:
! = ! Ω !"# !!! + !"# !!! 3
Como Ω = ω!/3, os valores dos picos coincidem das soluções homogênea e
particular coincidem e o maior valor possível de amplitude ocorre quando
cos !!! = cos !!!/3 = 1, ou seja:
!!"# = 2! Ω = !!!4!
Capítulo 6
• Exemplo 6.1 (Página 91):
!!! = !!!!
• Exemplo 6.1 (Página 92):
ℒ = (! +!)2 !! +!"!! cos ! + 12!!
!!! −!"!! 1 − cos ! −!!!!
• Exemplo 6.6 (Página 107):
Considere o sistema discreto apresentado no Exemplo 6.5 quando uma força
harmônica F1(t)=cos(1,5t) é aplicada ao corpo de massa m1. Obtenha a resposta do
sistema em regime permanente para condições inicias nulas.
Solução:
A equação de movimento do sistema é expressa a seguir:
}{}{][}{][ Fukum =+!!
onde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1009
][m ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
33327
][k ; ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0
)5,1cos(}{
tF
Adotando a transformação }]{[}{ ηΓ=u , onde:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=Γ
113/13/1
21][
pode-se escrever o sistema em coordenadas normais:
}{}]{[}{ N=Λ+ ηη!!
onde:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Λ
4002
][ e ! = Γ ! ! = !!
cos (1,5!)−cos (1,5!)
Dessa forma,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
)5,1cos()5,1cos(
62
4002
2
1
2
1
tt
η
η
η
η!!!!
Para o sistema desacoplado, tem-se que a resposta de cada coordenada é dada
pela soma das Eqs. (3.13) e (4.12):
( ) )(coscos piiiiii tUtA ϕϕωη −Ω+−=
onde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Ω−
=2
0
1i
ii
fU
ω
(i=1,2).
Logo, 234
1 =U e 2214
2 =U .
Os ângulos de fase relacionados à solução particular, conforme mostrado na Eq.
(4.12), são !!! = ! (amortecimento nulo e Ω > !!) e !!! = 0 (amortecimento
nulo e Ω < !!). Os valores das frequências naturais foram obtidas no Exemplo 6.5.
Além disso, como não há amortecimento, a solução homogênea não pode ser
desconsiderada em regime permanente.
Para determinar as constantes iA e iϕ é necessário utilizar as condições iniciais:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
00
)0()0(
][][)0()0(
00
)0()0(
][][)0()0(
2
1
2
1
2
1
2
1
uu
m
uu
m
T
T
!!
!!
η
η
η
η
Com isso
!! 0 = !! cos !! − !! Ω = 0!! 0 = !!!! sen !! = 0
!! 0 = !! cos !! + !! Ω = 0!! 0 = !!!! sen !! = 0
( )( )⎩
⎨⎧
==
=Ω−=
0sin)0(0)(cos)0(
2222
2222
ϕωη
ϕη
AUA
!
De onde obtém-se que 021 ==ϕϕ , !! = !! Ω e !! = −!! Ω . Logo,
temos que:
!! = !![−cos 1,5! + cos 1,41! ] !! = !![+cos 1,5! − cos 2! ]
Realizando a transformada inversa, a resposta do sistema é:
!! =26 !! − cos 1,5! + cos 1,41! − !! +cos 1,5! − cos 2!
!! =22 !! −cos 1,5! + cos 1,41! + !! +cos 1,5! − cos 2!