Equilíbrio de um sólido

Condições de equilíbrio

De acordo com as leis da Dinâmica clássica de Newton, um ponto material (corpo com dimensões desprezíveis em comparação com sua trajetória) permanece em equilíbrio de translação, com ,0a

se

ExterioresF 0.

Nesse caso, o ponto material está em repouso ou encontra-se em movimento retilíneo e uniforme. Para um corpo extenso essa condição não é suficiente.

Imagine uma caixa colocada sobre o tampo horizontal de uma mesa. Essa caixa está em equilíbrio sob a ação das forças verticais P

e .N

Se lhe

aplicarmos duas forças horizontais, de mesma intensidade e de sentidos opostos, a caixa permanecerá em equilíbrio de translação, mas pode adquirir uma aceleração angular, caso as forças horizontais não estejam na mesma linha de ação.

O equilíbrio de um corpo de dimensões não desprezíveis (corpo extenso) exige mais que ExterioresF 0.

Um corpo rígido ou um sólido perfeito é um sistema no qual a distância

entre duas quaisquer de suas partículas não se altera. Tal sistema, indeformável, é uma idealização, uma vez que todos os corpos sofrem deformações. No entanto, para fins práticos, muitos corpos podem ser tratados como rígidos.

Considerando uma

chapa com um furo por onde passa um eixo horizontal no eixo O. Ao aplicarmos uma força F

no ponto P do corpo, como na figura 1, este adquire um movimento de rotação, em torno do eixo O, no sentido anti-horário.

r

F

P

O

figura 1

Se a força F

no ponto P do

corpo for aplicada como na figura 2, o sentido de rotação é horário.

O momento de alavanca de F

em relação ao eixo O é FrM

(O

momento é o produto vetorial entre r

e F

). O módulo de M

é senFrM .

A direção de M

é perpendicular ao plano que contém r

e F

.

O sentido de M

é dado pela regra da mão direita: Com o polegar na

direção do eixo, os outros dedos indicam a rotação do corpo. O polegar indicará o sentido do momento da força.

Ou ainda, se o corpo gira no sentido anti-horário: o momento sai. Se o corpo gira no sentido horário: o momento entra. Na figura 1, o momento aponta para fora do plano da folha e na figura 2

ele penetra na folha. Observe as representações para fora e para dentro. A distância senr , perpendicular do eixo de rotação à linha de ação da

força F

, chama-se braço de alavanca da força F

. O momento de alavanca ou torque pode ser calculado pelo produto bFM senrb

Adota-se o sinal + para os momentos de rotação anti-horário e o sinal –

para os momentos que tendem a produzir rotação no sentido horário.

r

F

P

O

figura 2

Podemos definir o momento ou torque de uma força F

aplicada num

eixo P, em relação a um eixo O é o produto entre a força e a distância b do eixo O à linha de ação da força, como ilustrado na figura 3.

M F b O momento ou torque será positivo se o corpo girar no sentido anti-horário e negativo se o corpo girar no sentido horário.

No Sistema Internacional, a unidade do momento de alavanca é o .mN

Um corpo extenso está em equilíbrio quando:

ExterioresF 0

(equilíbrio de translação) (primeira condição de

equilíbrio) e ExterioresM 0

(equilíbrio de rotação) (segunda condição de equilíbrio).

A segunda lei de Newton para a rotação de um corpo é ,IMExt ou

seja, a somatória dos momentos em relação a um eixo é igual ao produto do momento de inércia do corpo, em relação a esse eixo, pela aceleração angular

que ele adquire; com 2I r dm e .dtd

Teorema das três forças.

Para que um corpo esteja em equilíbrio sob a ação exclusiva de três forças elas devem ser coplanares e suas linhas de ação devem ser concorrentes ou paralelas. A figura 4 mostra dois corpos que podem estar em equilíbrio.

O b

P

F

figura 3

figura 4

A figura 5 mostra dois corpos que não podem estar em equilíbrio.

Tipos de equilíbrio

Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele retorna

para a posição de equilíbrio o equilíbrio é estável.

Para um corpo pendurado, o equilíbrio é estável se o centro de gravidade do corpo estiver abaixo do eixo de suspensão, como na figura 6.

Para uma esfera apoiada numa superfície côncava, o equilíbrio é estável, como na figura 7.

Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele afasta-se mais o equilíbrio é instável.

Para um corpo pendurado, o equilíbrio é instável se o centro de gravidade do corpo estiver acima do eixo de suspensão, como na figura 8.

Para uma esfera apoiada numa superfície convexa, o equilíbrio é instável, como na figura 9.

.O .CG

.CG

.O

figura 9

figura 5

figura 6

figura 7

figura 8

figura 9

Quando deslocamos o corpo ligeiramente da posição inicial e ele permanece em equilíbrio em outra posição, o equilíbrio é indiferente.

Para um corpo pendurado, o equilíbrio é indiferente se o centro de gravidade do corpo estiver no eixo de suspensão, como na figura 10.

Para uma esfera apoiada numa superfície plana, o equilíbrio é indiferente, como na figura 11.

Representando a força peso

O ponto de aplicação da força é importantíssimo na resolução de

problemas, duas forças iguais em módulo e direção, mas com sentidos opostos causam um efeito diferente num corpo, se forem aplicadas em locais diferentes. Se as duas forças tiverem a mesma linha de ação, o corpo estará em equilíbrio, mas se elas não tiverem a mesma linha de ação, será aplicado um momento de alavanca ao corpo. O corpo rígido deve ter a força peso aplicada no centro de gravidade do corpo, considerando que a gravidade é a mesma em todo o corpo, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. Para verificarmos isso, retomaremos a fórmula para cálculo do centro de massa:

i i1 1 2 2 3 3 i i i

CM1 2 3 i i

i

m xm x m x m x m xxm m m m m

Considerando que cada pequena parte do corpo tem uma força peso igual a mg , o momento de alavanca provocado por essa pequena parte será mg multiplicado pelo seu braço, ou mgx, se nomearmos essa pequena parte como parte 1 o momento de alavanca provocado por ela será 1 1m gx , pois consideramos a aceleração da gravidade constante no corpo todo. Se a massa total do corpo for M e igualando o momento de alavanca provocado por todo o corpo com a soma do momento de alavanca provocado por cada parte do corpo, temos:

CG 1 1 2 2 3 3 i iMgx m gx m gx m gx m gx 1 2 3 i CG 1 1 2 2 3 3 i im m m m gx g m x m x m x m x

.O

figura 10

figura 11

1 1 2 2 3 3 i iCG

1 2 3 i

m x m x m x m xxm m m m

i i

iCG

ii

m xx

m

CG CMx x

O centro de gravidade e o centro de massa de um corpo estão localizados no mesmo ponto se a gravidade é uniforme em todo o corpo. Etapas para a resolução de problemas de corpo rígido em equilíbrio:

o Faça um diagrama mostrando as forças envolvidas e onde são aplicadas, com os objetos separados. Só represente as forças nos corpos que estão sendo analisados no problema.

o Encontre os componentes da força. o Aplique a primeira condição de equilíbrio ExterioresF 0

em todas as

direções abrangidas pelo problema, considerando o sinal de cada força. o Escolher o eixo para o cálculo do momento de alavanca. Essa etapa

pode simplificar muito o problema, pois as forças que têm a linha de ação passando pelo eixo escolhido contribuem com momento de alavanca zero.

o Aplique a segunda condição de equilíbrio ExterioresM 0

,

considerando o sinal de cada momento de alavanca. o Resolva o sistema linear obtido. o Resultados negativos para as forças significam que o sentido correto da

força é o oposto ao adotado. Exemplo 1. Um pai com massa de 80,0 kg e sua filha de 30,0 kg brincam numa

balança de massa 20,0 kg, conforme a figura 12 ao lado. A balança tem comprimento total

4,00 m . A filha está a

uma distância de 2 do

apoio e o pai está a uma distância d. Calcule (a) a força que o apoio exerce sobre a balança. E (b) a distância d para que a balança fique em equilíbrio.

Solução: a) Fazendo que ExtF 0,

temos:

P F BN P P P 0 P F BN m g m g m g

N 80,0 9,80 30,0 9,80 20,0 9,80 3N 1,27 10 N. b) Fazendo que ExtM 0,

e escolhendo o ponto de apoio da balança como

pólo dos momentos, temos:

PP

BP

FP

N

figura 12

P FP d P 02

F

P

PdP 2

F

P

m gdm g2

30,0 4,00d80,0 2

d 0,750 m

Exemplo 2: Um caminhão com massa de 41,00 10 kg passa por uma ponte

com massa de 48,00 10 kg , conforme figura 13. Calcule as forças exercidas pelos apoios A e B, quando (a) o caminhão está sobre A, (b) o caminhão está sobre B, (c) o caminhão está a 15 m do ponto A. (d) faça um gráfico da força exercida pelo apoio A em função da posição do caminhão.

Solução: a) Quando o caminhão está sobre A a força exercida pelo apoio no ponto A pode ser calculado usando ExtM 0

e escolhendo o ponto B como pólo dos

momentos:

P P C C A AP x P x N x 0 P P C CA

A

P x P xNx

P P C CA

A

m g x m g xNx

4 4

A8,00 10 9,80 25,0 1,00 10 9,80 50,0N

50,0

5AN 4,90 10 N

Para calcular a força exercida pelo apoio no ponto B use ExtM 0

e escolha o ponto A como pólo dos momentos:

B B P PN x P x 0 P PB

B

P xNx

P PA

A

m g xNx

4

A8,00 10 9,80 25,0N

50,0

5AN 3,92 10 N

b) Se o caminhão estiver no ponto B a força 5AN 3,92 10 N e a força

5BN 4,90 10 N , pois a situação é idêntica ao do item A.

c) Para o caminhão distante 15,0 m do ponto A: Usando ExtM 0,

e escolha o ponto B como pólo dos momentos:

figura 13

P P C C A AP x P x N x 0 P P C CA

A

P x P xNx

P P C CA

A

m g x m g xNx

4 4

A8,00 10 9,80 25,0 1,00 10 9,80 35,0N

50,0

5AN 4,61 10 N

Usando ExtF 0,

temos:

A B C PN N P P 0 B C P AN P P N B C P AN m g m g N 4 4 5

BN 1,00 10 9,80 8,00 10 9,80 4,61 10 5BN 4,21 10 N

d) Para construir o gráfico use a segunda condição, com o pólo do momento

em B, a equação que relaciona AN e Cx é P P C CA

A

m g x m g xN ,x

assim:

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0 10 20 30 40 50

Exemplo 3. Uma cantoneira, de peso desprezível, sustenta um vaso de peso

,N20 como mostra a figura 14. A é uma articulação, que pode exercer força em qualquer direção. B é um rolete, que elimina eventual atrito. Determinar as forças exercidas nos eixos A e B da cantoneira.

figura 14

No vaso, conforme a figura 15, o módulo do peso P

é igual ao módulo da força N

aplicada pelo suporte no vaso.

O peso P

tem, em relação ao eixo A, momento de alavanca

horário, fazendo com que o rolete B comprima a parede vertical. A parede reage com força normal ao eixo B. A força exercida pelo pino da articulação A na cantoneira tem

componentes AXF

para a esquerda e AYF

para cima, permitindo equilibrar as forças, conforme a figura 16. Fazendo que ExtF 0,

temos:

0NF0FF

AY

AXB

como N20N N20FAY e .BAX FF

Fazendo ExtM 0,

e escolhendo o eixo A como pólo dos momentos, temos: 0cm10N20cm20FB .N10FB

Em notação de vetores unitários: A ˆ ˆF 10 i N 20 j N

B ˆF 10 i N

O módulo de AF

é 2

AY2AXA FFF .N4,22FA

A direção de AF

é dada por X

YFFtg

1020tg .117

Exemplo 4. Uma haste uniforme e homogênea, de peso N40 e m0,2 de comprimento, está articulada em sua extremidade A, sustentando um peso de

N30 à distância de m5,1 do eixo A. Em sua extremidade B prende-se um fio até a parede vertical, como mostra a figura 17. Determine a tração no fio e a força exercida pela articulação A na haste.

figura 13

figura 15

figura 16

figura 17

Fazendo que ,0FExt

temos:

0QPF0TF

AY

AX

0N30N40FAY .N70FAY e .TFAX Fazendo ExtM 0,

e escolhendo o eixo A como pólo dos momentos, temos:

037senm0,2T37cosm5,1N3037cosm0,1N40

N56T N56FAX

A ˆ ˆF 56 i N 70 j N.

Como você resolveria esse exercício se o fio formasse com a parede vertical um ângulo de ,60 acima do eixo D? Resposta: ;N9,36T A ˆ ˆF 31,4 i N 51,6 j N.

Exercícios 1. Uma família possui 4 membros, o pai tem massa de 100 kg, o filho tem massa de 40 kg, a mãe tem massa de 70 kg e a filha tem massa de 50 kg. Eles estão equilibrados numa gangorra de 10 metros com um apoio central. No lado esquerdo da gangorra estão o pai e o filho, o pai está a 2,0 m do apoio, o filho está a 3,0 m do apoio. No lado direito da gangorra estão a mãe e a filha, a mãe está a 4,0 m do apoio. (a) Qual é a distância entre a filha e o apoio para que a gangorra fique equilibrada? (b) qual o membro da família que provoca o maior torque (em módulo)? (c) Se a massa da mãe fosse de 80 kg, onde a filha poderia ficar, para equilibrar a balança?

2. Um objeto quadrado, rígido e de Peso desprezível é submetido à ação de três forças exercidas em vértices, distintos como é indicado na figura 18, em escala. (a) A primeira condição de equilíbrio é satisfeita? (b) A segunda condição de equiilíbrio é satisfeita? (c) Caso as duas respostas anteriores sejam não, poderia uma quarta força restaurar o equilíbrio do sistema? Em caso afirmativo, especifique o módulo, a direção, o sentido e o eixo de aplicação desta força.

figura 18 3. Para quebrar diretamente uma noz é necessário aplicar uma força de 50 N. Determine a força F necessária para quebrar esta noz utilizando um quebra nozes, conforme é indicado na figura 19.

figura 19 4. Na figura 20, um homem tenta retirar seu carro do atoleiro no acostamento de uma estrada; Ele prende firmemente a ponta de uma corda no para choque dianteiro e a outra ponta em um poste telefônico a 20 m de distância. Então, ele empurra transversalmente a corda no seu eixo central, com uma força de

,N560 deslocando o centro da corda de 40 cm em relação a sua posição primitiva. O carro está prestes a se mover. Que força a corda exerce no carro? (A corda distende-se um pouco sob tensão).

figura 20 5. Uma corda presa a uma parede sem atrito segura uma esfera uniforme de peso 10 N e raio r 5,0 cm . A corda está fixada a uma distância L 10 cm acima do centro da esfera, conforme a figura 21. Determine: (a) a tração na corda e (b) a força exercida pela parede sobre a esfera.

figura 21 6. Um nadador de 720 N está em pé na extremidade de um trampolim de

m5,4 e de massa desprezível. O trampolim está fixo em dois pedestais separados por uma distância de ,m5,1 conforme é indicado na figura 22. Calcule a tração (ou compressão) em cada um dos dois pedestais.

figura 22 7. Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma de peso P, repousam, como mostra a figura 23, no fundo de um recipiente retangular fixo. Determine, em termos de P, (a) as forças das superfícies do recipiente sobre cada esfera e (b) a força de uma esfera sobre a outra, se a linha que une os centros das esferas forma um ângulo de 45 com a horizontal.

figura 23 8. A força F na figura 24 é suficiente para manter o bloco de m 840 kg e as roldanas de pesos desprezíveis em equilíbrio. Despreze o atrito. Calcule a tração T no cabo superior.

figura 24 9. Quatro tijolos, cada qual com comprimento L, estão equilibrados um sobre o outro (veja a figura 25), de forma que cada tijolo se projeta além do tijolo colocado abaixo. Mostre que, para haver. equilíbrio, as maiores saliências

possíveis são: (a) o tijolo de cima se projeta a uma distância 2L além do tijolo

de baixo; (b) o segundo tijolo, a partir do topo, se projeta a uma distância 4L

além da extremidade do terceiro tijolo; (c) o terceiro tijolo se projeta a uma

distância 6L além do quarto e último tijolo.

figura 25 10. O sistema indicado na figura 26 está em equilíbrio. Na extremidade da escora S existe um bloco de .kg225 A massa da escora S é igual a .kg45 Calcule: (a) a tração T no cabo; (b) a componente vertical e a componente horizontal da força exercida pelo pivô P sobre o solo.

figura 26 11. Na escada da figura 27, as pernas AC e CE têm cada uma m4,2 e estão unidas por dobradiças em C (BD é uma barra que une as duas pernas, tem

m75,0 de comprimento e está a meia altura do solo. Um homem de kg72 sobe m8,1 ao longo da escada. Supondo que não haja atrito entre o pavimento

e a escada, e desprezando o peso desta, determine: (a) a tração na barra e (b) as forças exercidas na escada pelo pavimento. (Sugestão. É conveniente isolar partes da escada e aplicar as condições de equilíbrio.)

figura 27 12. A figura 28 mostra uma alavanca em equilíbrio com peso desprezível articulada em O. Despreze os atritos na articulação. Determinar o peso P e a força da articulação O na barra, quando .N2001Q

figura 28 13. A estrutura ABC mostrada na figura 29 tem peso desprezível. Determinar (a) a força aplicada pelo rolete B na estrutura e (b) a força aplicada pela articulação C na estrutura. .N200P

figura 29 14. Uma única força deve ser aplicada na barra AB para mantê-la em equilíbrio na posição indicada na figura 30. Despreza-se o peso da barra. (a) Quais são

os componentes X e Y dessa força? (b) Qual é a tangente do ângulo que a força faz com a barra? Qual é sua intensidade? Onde se deve aplicá-la?

figura 30 15. Em um disco circular com cm30 de diâmetro que gira em torno de um eixo horizontal, enrolou-se uma corda que passa pela roldana P, sem atrito. A corda está ligada a um corpo que pesa .N240 Prende-se ao disco uma barra uniforme de m2,1 de comprimento, com uma extremidade coincidindo com o centro do disco. O sistema está em equilíbrio e a barra está na horizontal. (a) Qual é o peso da barra? (b) Qual a nova direção de equilíbrio da mesma, quando se pendura um segundo corpo de ,N20 indicado pelas linhas tracejadas na figura 31?

figura 31 16. Uma escada de ,m10 de comprimento e peso de N400 está encostada a uma parede vertical sem atrito. A extremidade inferior da escada encontra-se a

m6 da parede. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é .4,0 Um homem, com peso de ,N800 sobe lentamente a escada. (a) Qual é o valor máximo da força de atrito que o chão pode exercer sobre a escada? (b) Qual é o valor da força de atrito quando o homem desloca-se m3 ao longo da escada? (c) Qual é o máximo deslocamento que o homem pode realizar ao longo da escada antes que a mesma comece a deslizar. 17. Sobre uma ponte horizontal AB passa um rolo compressor, conforme a figura 32. O peso da viga é desprezível e ela é simplesmente apoiada nas extremidades A e B. A distância entre os apoios é 4,80 m. As rodas do rolo exercem nas vigas forças P 2,00 tf e Q 1,00 tf. A distância na horizontal entre os eixos é de c 1,20 m. Determinar a distância x da roda maior ao apoio A quando a reação de apoio em A for duas vezes mais intensa do que a reação de apoio em B.

30 cm

figura 32

18. O esquema da figura 33 representa uma grua rolante, as dimensões estão em cm. Sem a carga Q e o contrapeso C, a máquina tem peso tf35P e o baricentro é G, no plano vertical mediano dos trilhos. (a) Sem contrapeso, que carga Q faria a máquina tombar? (b) Determinar o contrapeso C para que se realize a iminência de tombamento com .tf15Q

figura 33

19. Duas esferas idênticas, cada uma com peso ,kgf0,50P estão apoiadas como mostra a figura 34. A reta que une os centros das esferas forma um ângulo 30 com o horizonte. As superfícies em contato são lisas. Determinar as forças de contato nos pontos A, B, C e D.

figura 34

Resposta: kgf5,57RA kgf0,75RB kgf0,50RR DC 20. Um cilindro de revolução homogêneo , mostrado na figura 35, de raio R 1,00 m e peso P 500 kgf, deve ser alçado sobre um obstáculo de altura h 0,50 m, tracionando-se horizontalmente um cabo enrolado no cilindro. Admitir aderência perfeita entre o cilindro e a borda do obstáculo. Na iminência do alçamento, determinar (a) a força T

, no cabo e (b) a força F

da borda do

obstáculo.

figura 35 Resposta: T 289 kgf; F 577 kgf, 60 .