equação 1d de advecção e difusão utilizando transformada ...im250/site...

IM 250 – Prof Eugênio S. Rosa 1

Equação 1D de advecção e difusão utilizando transformada de

Laplace

Conteúdo

1. Introdução .................................................................................................................................... 2

2. Resumo das propriedades da transformada de Laplace ............................................................... 4

2-1 Convolução no tempo e no espaço de Laplace ...................................................................... 7

2-2 A função delta de Dirac (fonte wikipedia) ............................................................................ 9

2-3 Transformada de Laplace do Delta de Dirac ....................................................................... 10

3. Soluções fundamentais da equação de difusão .......................................................................... 11

3-1 Eq. transiente da difusão em 0 < x < (sólido semi-infinito) com u(0,t)=cte. ................... 11

3-2 Eq transiente da difusão em 0 < x < (sólido semi-infinito) com u(0,t)=f(t) .................... 13

3-3 Eq transiente da difusão em - < x < com u(x,0)=f(x).................................................... 14

3-4 Eq transiente da difusão em - < x < e o delta de Dirac ................................................. 18

4. Referências ................................................................................................................................. 19

versão fev/2018


1. Introdução

As equações de transporte 1D advectivo e difusivo são expressas de forma genérica através

de:

2

2u

t x x

, (1)

onde pode ser um escalar, energia interna, entalpia etc ou o vetor velocidade e o coeficiente de

difusão. Como o modelo é unidimensional o vetor velocidade reduz para uma representação escalar

assim como é a representação da energia. Além disto, o transporte e a difusão ocorrem somente em

x, a direção do escoamento, e não há gradiente transversal! Este tipo de equação ocorre com

frequência em simulação de escoamentos transiente em dutos, na difusão de quantidade de

movimento, energia ou vorticidade por exemplo.

O método da transformada de Laplace é uma técnica para solução de equações diferenciais

lineares com condições iniciais definidas. Qual o princípio dos métodos de transformação para se

chegar a solução de uma equação diferencial? Uma maneira simples para descrever o método de

transformação é considerar o exemplo a seguir. Suponha que seja desejado calcular o produto de VI

e XIV, em algarismos romanos, e expressar a resposta em algarismo Romano! O primeiro passo é

transformar os algarismos Romanos em algarismos Arábicos. VI é 6 e XIV é 14. O próximo passo é

calcular o produto 6 x 14 = 84 que é denominado por solução transformada. O último passo é

converter 84 em algarismos Romanos, LXXXIV; esta etapa é a transformação inversa.

A Figura 1 ilustra genericamente processo de um método de transformação. Estes métodos,

inclusive Laplace, sempre constituem a etapa de transformação, a solução do problema

transformado e por último a aplicação da transformada inversa para se chegar na solução do

problema original.

Figura 1 – Representação das etapas de processamento de um método de transformação usando o

exemplo dado.


Por que se empregam os métodos de transformação? Alguns problemas são difíceis de se resolver

diretamente. Com o uso do método de transformação, espera-se que seja mais fácil de se chegar a

solução do problema original. Isto é verdade para o exemplo dado. Porém a aplicação dos métodos

de transformação tem que levar em conta a dificuldade para transformar o problema original e

também para obter a transformação inversa para se chegar a solução do problema original.

No link wiki é fornecido um material sobre transformada de Laplace. Para aqueles que

nunca tiveram contato é necessário a leitura antes de continuar a leitura deste material. O restante

do material é dirigido a solução de equações diferenciais parciais lineares utilizando a transformada

de Laplace aplicada a problemas de difusão e advecção.

O capítulo 2 mostra a transformada de Laplace e sua inversa de algumas funções mais

simples. Em seguida destaca algumas propriedades da Transformada de Laplace. Estas informações

e conceitos são as ferramentas necessárias para se chegar ao problema transformado, resolver o

problema transformado e depois aplicar a inversa para obter a solução original.

O capítulo 3 aplica o método de transformada de laplace para resolver a equação de

transporte. Neste capítulo são executadas as etapas de transformação, manipulação para se chegar a

solução do problema transformado e a aplicação da inversa para se chegar na solução original.

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform


2. Resumo das propriedades da transformada de Laplace

A transformada de Laplace de f(t), t 0 é definida por:

st

0

F s e f t dt

. (2)

A função F(s) é chamada de transformada de Laplace da função f(t) e é denominada por L(f):

st

0

F s f e f t dt

L . (3)

As funções originais, por exemplo f(t), empregam letras minúsculas e sua transforma letras

maiúsculas, F(s). Se a função original fosse y(t), a representação de sua transformada seria Y(s) e

assim por diante.

Lembre que a função original depende de t, mas, a transformada depende de s. De forma

complementar denomina-se por transformada inversa de Laplace a operação que restaura f(t) a

partir de F(s):

1f t FL . (4)

O procedimento de transformação e sua inversa usualmente são realizados utilizando-se

tabelas ao invés de empregar a definição dada na Eq. (2). Por referência a Tabela 1 traz a

transformação de Laplace para algumas funções. Entretanto há muito mais outras funções com seus

pares de transformação. Uma boa fonte de referência são softwares com capacidade de

processamento simbólico, como o Mathematica (Wolfram).

https://www.wolfram.com/mathematica/


Tabela 1- Transformada de Laplace para algumas funções


Transformações de Laplace envolvendo exponenciais e a função erro. Estas serão úteis na

solução do transporte por difusão.

2

2

2 st

3ee

/L

λλ

πt (5)

2

2 s

s

e e

L

λ

t

π t (6)

2 s1 e

Erfst

L (7)

2 s 2 s1 1 e e

1 Erfs s st

L (8)

Aliado às transformações há também as propriedades desta transformação. Uma lista com as

mais comuns são mostradas nas Tabela 2a-b. Veja demonstração das propriedades em Kreyszig.

Tabela 2a – Propriedades da transformada de Laplace


Tabela 2b– Propriedades da transformada de Laplace

2-1 Convolução no tempo e no espaço de Laplace

A convolução no tempo de duas funções, f(t) e h(t) é definida pela integral:

t

0

g t h f t h t f d* , (9)

Para cada instante de tempo é feito o produto entre o sinal de f atrasado de com o h(t). A

convolução é a integral destes produtos. Considere por exemplo duas ondas quadradas h(t) e f(t)

centradas na origem num intervalo de tempo -0.5s < t < 0.5s, fora deste intervalo f e h valem zero.

A convolução h*f é mostrada na Figura 2.


Figura 2 – Exemplo de convolução entre duas ondas quadradas.

O teorema da convolução em particular será frequentemente utilizado na solução da equação

da difusão e é destacado abaixo com sua propriedade comutativa.

t

0

H s F s h f t h f t d*

L L . (10)

O resultado da convolução é comutativo: H(s).F(s) = F(s).H(s) assim como

t t

0 0

h f t d h t f d

Exemplo: Uso do Teorema da Convolução para encontrar a transformação inversa de 26 s s 9

.

Vamos escolher:

2

2 3F s e H s

s s 9

,

portanto,

1 1

2

1 3f t 2 2u t e h t 3t u t

s s 9Sin

L L .

A função u(t) é a função degrau (Heaviside function) definida por: u =1 para t0 e u = 0 para t<0.

A função seno vem multiplicada por u(t) pelo fato que sendo periódica, ela é válida para t< 0 e t> 0

enquanto que a transformada de Laplace aplica-se para t> 0 somente. O uso de u(t) garante que ela

exista somente para valores de t > 0.

Usando o Teorema da Convolução:

t

1

0

F s H s f h t 2u t 3 u d* Sin L


2-2 A função delta de Dirac (fonte wikipedia)

A função delta de Dirac, , é uma distribuição (função generalizada) que na origem (0)

mas sua integral em toda a curva possui valor unitário. Pode-se pensar no delta de Dirac como um

retângulo infinitamente estreito e infinitamente alto com área igual a unidade.

Para definir matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar outra função

singular, a chamada função de Heaviside, também conhecida por função salto ou degrau.

Considera-se o Delta como o limite de funções pulso unitário , num curto curto intervalo de

tempo , quando o parâmetro tende a zero:

Para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na

equação anterior:

Observa-se que as áreas dos retângulos formados pelas funções pulso unitário valem 1

independentemente do valor de . Ou seja:

Assim, considerando que quando , define-se a função Delta de Dirac

como sendo

A função Delta de Dirac pode também ser definida em termos de outras funções com propriedades

análogas. Por exemplo:

Resumidamente, pode se escrever:

Uma propriedade interessante da Delta de Dirac é a propriedade da filtragem:


Para chegar a este resultado utilizou-se o fato de que a é nula quando t≠a, então os

limites de integração podem ser alterados para a-ε e a+ε. E como é contínua em t=a seu valor

neste intervalo não será muito diferente de , pode-se dizer que aproximadamente,

[3]

2-3 Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Partindo-se da definição da Transformada de Laplace e utilizando a Propriedade da Filtragem,

.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac#cite_note-:0-3

https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace


3. Soluções fundamentais da equação de difusão

Nesta seção serão apresentadas soluções fundamentais da equação de difusão transiente para

um domínio semi-infinito, 0 < x < e domínio infinito, - < x < .

3-1 Eq. transiente da difusão em 0 < x < (sólido semi-infinito) com u(0,t)=cte.

Equação da difusão para 0 < x < e 0 < t < . Trata-se de um sólido semi-infinito que está

no estado 0 no tempo inicial e na sua origem para t > 0 ela passa a ser u(0,t) = 1. É um problema de

condução transiente.

2

2

2

u ua

t x

(11)

u 0 t 1 para t > 0C.C.

u t 0 para t > 0

C.I. u x 0 0

( , )

( , )

( , )

(12)

Fisicamente este problema representa um sólido semi-infinito numa temperatura inicial 0 e

subitamente uma de suas faces passa a ter temperatura 1. O calor é difundido no interior do sólido

semi-infinito e este transporte transiente é o objeto da solução analítica que estamos procurando.

As transformadas de Laplace para cada termo da equação são:

st

0

2 2 2

2 2 2

u x t U x s u x t e dt

du x t s u x t u x 0

dt

d d du x t u x t U x s

dx dx dx

, , ,

, , ,

, , ,

L

L L

L L

(13)

Substituindo Eq. (13) na Eq.(11) encontra-se:

2

2

2

0

ds U x s u x 0 a U x s

dx, , , (14)

2

2 2

d sU x s U x s 0

dx a, , (15)

Tomando como solução U(x,s) = C.ecx

, e substituindo na Eq. (15) encontra-se que ou autovalores

são:

2

2

s sc c

a a (16)


Portanto a solução geral no campo de Laplace é:

x s a x s aU x s A e B e, (17)

Para grandes valores de x, é antecipado que u(x,t) será uma função limitada de t, para tanto é

necessário que a transformada deve aproximar assintoticamente de zero para s . Para que isto

seja sempre satisfeito é necessário que o coeficiente B seja nulo.

A constante A é determinada considerando a condição inicial, u(0,t) = 1. Note que U(0,s) =

1/s consequentemente,

x s a1U x s e

s, (18)

Comparando a transformada de Laplace da Eq.(18) com a Eq.(7) determina-se que 2 = x/a e a

inversa da Eq.(18) é

2

x t

0

2e d onde u x t 1 0 e

22

,

ˆ ˆ ˆ, ;ˆ ˆˆ

x x

a ta t (19)

ou

u x t Erfc onde 02 2

,

x x

a t a t (20)

Figura 3 – Gráficos da função erro, Erf e da função erro complementar, Erfc.

A solução u(x,t) para vários instantes de tempo é mostrada na para L = 4 e a = 1. Observa-

se a variação da frente de u(x,t) para os diferentes instantes de tempo.

Figura 4 – u(x,t) ao longo x para vários instantes de tempo


3-2 Eq transiente da difusão em 0 < x < (sólido semi-infinito) com u(0,t)=f(t)

Equação da difusão para 0 < x < e 0 < t < . Trata-se de um sólido semi-infinito que está

no estado 0 no tempo inicial e na sua origem é submetido a uma variação dada por f(t). É um

problema de condução transiente. Observe que esta solução generaliza a solução obtida no item (1).

2

2

2

u ua

t x

(21)

u 0 t f t para t > 0C.C.

u t 0 para t > 0

C.I. u x 0 0

( , )

( , )

( , )

(22)

Portanto a solução geral no campo de Laplace é idêntica àquela encontrada na Eq.(17) uma vez que

u(x,0)=0 como no caso (1), então:

x s a x s aU x s A e B e, (23)

Para grandes valores de x, é antecipado que u(x,t) será uma função limitada de t, para tanto é

necessário que a transformada deve aproximar assintoticamente de zero para s . Para que isto

seja sempre satisfeito é necessário que o coeficiente B seja nulo.

A constante A é determinada considerando a condição inicial, u(0,t) = f(t). Note que U(0,s)

= F(s) consequentemente,

x s aU x s F s e, (24)

A partir do teorema da convolução pode-se determinar a transformada inversa da Eq.(24),

onde 2 = x/a e com a Eq.(5) é:

2

2

t

4a

0

3 2e

2au x t f t d

/,

xx

π . (25)

De forma generalizada pode-se dizer que a solução para u(x,t) é a convolução da condição de

contorno u(0,t) = f(t) com a solução homogênea da equação de difusão:

t

0

u x t f t g d, , (26)

onde a função g é definida por:

2

24a

3 2e

2x

ag

/,

xx

π . (27)


3-3 Eq transiente da difusão em - < x < com u(x,0)=f(x).

Equação da difusão para - < x < e 0 < t < . Trata-se de um sólido infinito onde o estão

inicial é definido por: u(x,0) = f(x) no estado 0 no tempo inicial e na sua origem é submetido a uma

variação dada por f(t). É um problema de condução transiente. Observe que esta solução generaliza

a solução obtida no item (1).

2

2

2

u ua

t x

(28)

u x 0 f x para - x < ( , ) (29)

Figura 5 – Evolução do campo de temperatura num sólido 1D com para - < x <

A equação transformada é similar à Eq.(14), mas com a diferença que a condição inicial não

é nula mas u(x,0) = f(x), veja Eq.(30):

2

2

2

f x

ds U x s u x 0 a U x s

dx, , , . (30)

Rearranjando os termos da Eq.(30) chega-se a:

2

2 2 2

f xd sU x s U x s

dx a a, , (31)

A eq. (31) possui uma solução homogênea e outra não-homogênea. A solução homogênea é

conhecida do caso (1) e mostrada abaixo por conveniência.

x s a x s a

HU x s A e B e, (32)

A solução particular é mostrada na Eq.(33):

x x

s a x s a s a x s a

P

0 0

1 1U x s f e d e f e d e

2a s 2a s,

(33)


Para verificar sua validade será calculado d2Up(x,s)/dx

2 e substituído na Eq.(31) para verificar se é

verdadeira veja nota rodapé 1

A solução geral é a soma da solução homogênea e particular, Eqs. (32) e (33) portanto:

x x

s a x s a s a x s a

H P

0 0

1 1U x s U x s A f e d e B f e d e

2a s 2a s, ,

(34)

s a s a

0 0

1 1A f e d e B f e d

2a s 2a s

(35)

1 Demonstração que a solução particular satifaz a equação

x

s a x s a x s a x s a

P 2

0

x


2

0

x

s a x s a s a

2 2

0

d 1 1U x s f e d e f x e e

dx 2a 2a s

1 1 f e d e f x e e

2a 2a s

1 1 f e d e f e d

2a 2a

,

x

x s a

0

e

Erro! Apenas o documento principal.(33)

x


P 3 2

0

x


3 2

0

x

s a x s a

3 3

0

d d s 1U x s f e d e f x e e

dx dx 2a 2a

s 1 f e d e f x e e

2a 2a

s s f e d e

2a 2a

,

x

s a x s a

2

0

f xf e d e

a


2

2 2 2

1 2

x x

s a x s a s a x s a

3 3 2

0 0

x x

s a x s a s a x s a

3 3

0 0

f xd sU x s U x s

dx a a

f xs s1 f e d e f e d e

2a 2a a

s 1 s 12 f e d e f e d e

2a 2a2a s 2a s

( ) ( )

, ,


Somando-se os termos (1) e (2) da Eq.(33) constata-se a identidade: f(x)/a2 = f(x)/a

2 , portanto a

solução particular é válida!


x x

s a s a x s a s a s a x s a

0 0 0 0

1 1U x s f e d f e d e f e d f e d e

2a s 2a s,

(36)

x

s a x s a s a x s a

x

1 1U x s f e d e f e d e

2a s 2a s,

(37)

Observe que o fator 2a s é comum, além disto, o fator x s ae

não depende de e, portanto podem

ir para dentro do integrando, assim U(x,s) reduz para:

s

a

xx s a x s a

x

x

1U x s f e d f e d

2a s

1f e d

2a s

,

(38)

O argumento -(x-) é simétrico a (x-), isto é se x, são iguais a 20 e -70, por exemplo, então -(x-)

=-90 e (x-) = +90. Assim ocorre para quaisquer valores de x ou . Para avaliar a expressão para x

= 20 é necessário resolver as integrais

20

20 s a 20 s a

20

1U x s f e d f e d

2a s,

(39)

Observe que a primeira integral o argumento 20 s a 0 porque <20 enquanto que a segunda

integral o argumento 20 s a 0 porque >20. Portanto conclui-se que o argumento da exponencial

é sempre menor que zero. Neste caso a Eq.(38) pode ser ainda simplificada para:

s

ax1

U x s f e d2a s

,

(40)

A transformada inversa de Laplace da Eq.(40), 1 U x s, L , pode ser alcançada

reconhecendo-se mais uma vez que a integral aplica-se para e não em s ou x, portanto a

transformada de Laplace passa a ser a integral com o argumento transformado, isto é:

s s

a ax x

1 1e eu x t f d f d

2a s 2a s,

L L . (41)

Recorrendo a Eq.(6) encontra-se = 1/2a e = |x-|/2a, portanto o campo em função de x e t passa

a ser:

2

2

x

4a t1

u x t f e d 2a t

,

(42)


2

2

x

4a t1

u x t f g x t d onde g x t e2a t

, , ,

. (43)


3-4 Eq transiente da difusão em - < x < e o delta de Dirac

A função g(x,t), Eq. (43) é uma solução fundamental da equação de difusão para um

domínio 1D infinito. g(x,t) é também denominado por Kernel da equação do calor por se tratar de

uma solução fundamental da EDP sob um domínio especificado.

Considere que em uma posição 1 no instante t = 0, é inserido uma função delta, (x-1). A

equação (43) revela que o campo de temperatura vem da convolução do campo inicial u(x,0) = ()

com o Kernel ou função g. Usando a propriedade de filtragem da função, chega-se que u(x,t) é a

própria função g conforme definição na Eq. (44):

2

1

2

x

4a t1 1

1u x t x g x t d u x t g x t e

2a t

, , , , (44)

Uma representação da distribuição de temperatura em x e t cuja carga térmica é concentrada num na

origem, x = 0, para diferentes instantes de tempo.

Figura 6 – representação g(x,t) com fonte na origem em diferentes instantes de tempo

Se houver na barra diversas fontes pontuais localizadas, por exemplo em 1, 2 e 3 no

instante t = 0, então a distribuição de temperatura no tempo e no espaço virá da soma das

contribuições individuais porque a equação diferencial parcial é linear:

2 2 2

1 2 3

2 2 2

x x x

4a t 4a t 4a t1 1 1

u x t = e e e2a t 2a t 2a t

, (45)

Sabendo-se que (x-)dx = 1 , isto significa uma fonte localizada em x = possui

intensidade 1. Se desejarmos atribuir fontes com diferentes intensidades basta adicionar uma

constante a frente da função , C(x-)dx = C, onde C é uma constante. Assim podemos

generalizar a solução para diversas fontes distribuídas em x com diferentes intensidades C como:

2

i

2

xni 4a t

i 1

Cu x t e

2a t

, (46)


4. Referências

Introdução da transformada de Laplace, wiki,

Como determinar a transformada de Laplace da função erro, youtube

Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 7th

Ed 1993, John Wyley

Carrier, G.F. and Pearson, C.E., “Partial Differential Equations: Theory and Technique”, 1976,

Academic Press

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

https://www.youtube.com/watch?v=5v7d8jmlMi4

equação 1d de advecção e difusão utilizando transformada ...im250/site...

Documents