equacoesdo1grau

1) Operações com Números Inteiros e Fracionários; 2) Múltiplos e Divisores, m . m . c. e M.D.C.; 3) Números Reais; 4) Expressões Numéricas; 5) Equações e Sistemas do 1º Grau.

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EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equações do 1º Grau: São todas e quaisquer equações que podem ser reduzidas à forma geral:

ax + b = 0, com “a” e “b” ∈ IR e “a” ≠ 0.

- Equação Inteira : é aquela onde todos os expoentes das incógnitas são números inteiros e positivos, não havendo, portanto, incógnitas em seus denominadores.

- Equação fracionária: ao contrário da equação inteira é aquela que possui incógnitas elevadas a expoentes inteiros e negativos, ou seja, incógnitas em seus denominadores.

- Raiz ou solução de uma equação : é todo valor que torna a equação como sendo uma sentença verdadeira (igualdade verificada). Ex: a) “5” é raiz da equação: 8x – 40 = 0 , porque 8 x 5 – 40 = 0 ; 40 – 40 = 0, logo 0 = 0 (V) b) “7” não é raiz da equação: 3x – 12 = 0 , porque 3 x 7 – 12 = 0 21 – 12 = 0, logo 9 = 0 (F) - Conjunto verdade “V” ou conjunto solução “S” de uma equação: é o conjunto formado por todos os valores que satisfazem a equação, ou seja, é o conjunto cujo seus elementos são as raízes ou soluções de uma determinada equação. Representam-se por “V” ou “S” . -Discussão de uma equação : é a analise ou a classificação dela segundo o número de raízes ou soluções da equação dada. Divide-se em:

I) Equação possível e determinada – é aquela que tem um número finito de raízes ou soluções . No caso da equação do 1º grau, ela só possui uma solução . II) Equação possível e indeterminada – é aquela que tem um número infinito de raízes ou soluções (também chamada de identidade – a equação é verificada, ou seja, se torna verdadeira para qualquer valor real assumido pela incógnita). Conjunto verdade = IR

III) Equação impossível – é aquela que não tem raízes ou soluções reais (nenhum valor atribuído à incógnita é capaz de verificar a equação – nenhum valor a satisfaz).

Conjunto verdade = ∅∅∅∅ = { }

1. Determine o conjunto verdade ou conjunto solução das equações abaixo - Resolva as equações inteiras do 1º grau: a) (x – 2) (x – 3) = x2 – 4x + 6

b) 3

x –

2

1+x = –1

c) x – 3

2−x = 2 –

4

2 x−

d) (x + 3) (x + 5) = (x – 3)2

e) x – 3.

−−3

2xx = –3

f) ++2

3x ++3

4x 16

4

5 =+x

g) 2

53 +x – 8

3

92 =−x

h) 2x – −=−1

3

1x

6

2+x

i) −+2

1x1

4

1 =−x

4

3

j) 2x – 2

21−x

= 2x – 3.

+−2

3xx

k) 4

13 −x –

( )3

32 x−=5.

( )

−−+−60

13

15

5472 xxx

l) 6

1

3

12

4

+=−− xxx


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m) ( )

2

15

5

21

5

32

4

35 −−+=+−−− xxx

n) 12

104

6

5

4

4

3

1

2

3 +=−+−−−+− xxxxx

o)

4

3

3

46

2

3

3

12

3

6

23

4

2

3

+−−

+−−

=+−−

+−−

xx

xx

xx

xx

2) Determine as restrições para o conjunto universo e resolva as equações fracionárias do 1º grau:

a) x

x 65 − –

xx

x 2

5

89 =−

b) ( )

x

xx

−

−−

2

1

12 =

3

2

c) x

x

+−

1

1 =

1

1

−+

x

x

d) −−1

1

x+

− 2

2

x 0

3

1 =−x

e) =+−

31

2

x

1

1

−x

f) =−−

1

5

x

x

x

x 3−

g) 3

4

4

1

2

3

−=

−+

− xxx

h) 3

2

2

1

−=

+ xx

i) =+−

15

37

x

x

15

37

−+

x

x

j) 2

8

3

2

2

4

−=+

− xx

k) 3

2

1

3

1

4

−−=

−−

−+

x

x

xx

x

l) 3

12

2

2

3

1

++=

+−+

+−

x

x

x

x

x

x

m) xx

x 52

3

2 =−+

n)

1

11

1

1

1

2

−++

+−+

−

x

xx

x

x = 2

1

o) 44

4

12

42 =−−−

+−

x

x

x

x

p) 24

2

4

12

4=

−+

−−−

− x

x

x

x

x

x

q) 5

2

2

1

5

3

−=+

− xx

r) xxx

5

3

2

4

3 =−

+−

3) Resolva e discuta as equações abaixo dando seu conjunto verdade :

a) 12

34

102

5

15

52

20

3 −−=+−− xxxx

b) 1+ 8

22

4

44

2

3

4

52 −+=−−− xxx

c) 6

45

121

4

−−=−+ xx

xx

d) 3

1

6

2

2

+=−− xxx

e ) 3

23

2

12 −=− xx

f) 5x + 1 = 4( )1+x + x

g) 3 ( ) ( ) 2422 −++=+ xxx

h) ( ) ( ) ( )

10

2328

5

23

232 +−−=−+

− xxxxx

i) ( ) ( )

10

2511

4

133

10

2116 +=−−+ xxx

j) 322

3 +=+ xx


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k) 4 ( ) 12

31222 ++=+− x

xx

l) 123

42

4

3 +=

+ xx

m) 12

3

3

2

2

3 −=

− xx

n) 164

5

2

1

82

4

−=+

− x

x

x

o) 433

=−

−− x

x

x

x


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GABARITOS

EXERCÍCIO 01 a) V = {0} b) V = {3}

c) V = {2}

d) V = {-3/7 } e) V = {1 }

f) V = {11}

g) V = {3 } h) V = {2/11 }

i) V = {4 }

j) V = {17/4 } k) V = {2 }

l) V = {2/7 }

m) V = {-13/29 } n) V = {6 } o) V = {41/3 }

EXERCÍCIO 02

a) V = {2} U = IR *

b) V = {-4} U = IR – {1/2}

c) V = {0} U = IR – {-1;1}

d) V = ∅∅∅∅ = { }= { }= { }= { } U = IR – {1;2;3}

e) V = {2/3} U = IR – {1}

f) V = {-3} U = IR* – {1}

g) V = {5} U = IR – {2;3;4}

h) V = {-7} U = IR – {-2;3}

i) V = {0} U = IR – {-1/5;1/5}

j) V = {8} U = IR – {2}

k) V = {5} U = IR – {1;3}

l) V = {-10/3} U = IR – {-3;-2}

m) V = {-15/11} U = IR* – {-3}

n) V = {3} U = IR – {-1;1}

o) V = {7/2} U = IR – {-1/2; 4}

p) V = {9} U = IR – {4}

q) V = {3} U =IR – {5}

r) V = {10/3} U = IR – {0;3;4}

EXERCÍCIO 03

a) IDENTIDADEa) IDENTIDADEa) IDENTIDADEa) IDENTIDADE

(ou INDETERMINADA) (ou INDETERMINADA) (ou INDETERMINADA) (ou INDETERMINADA) ▶▶▶▶ V=V=V=V=IRIRIRIR

b) IDENTIDADEb) IDENTIDADEb) IDENTIDADEb) IDENTIDADE


c) IMPOSSÍVELc) IMPOSSÍVELc) IMPOSSÍVELc) IMPOSSÍVEL ▶▶▶▶ V=V=V=V=∅∅∅∅ = { } = { } = { } = { }

d) IDENTIDADEd) IDENTIDADEd) IDENTIDADEd) IDENTIDADE


e) IMPOSSÍVELe) IMPOSSÍVELe) IMPOSSÍVELe) IMPOSSÍVEL ▶▶▶▶ V=V=V=V=∅∅∅∅ = { } = { } = { } = { } f) IMPOSSÍVELf) IMPOSSÍVELf) IMPOSSÍVELf) IMPOSSÍVEL ▶▶▶▶ V=V=V=V=∅∅∅∅ = { } = { } = { } = { }

g) IDENTIDADEg) IDENTIDADEg) IDENTIDADEg) IDENTIDADE


h) POSSÍVEL e DETERMh) POSSÍVEL e DETERMh) POSSÍVEL e DETERMh) POSSÍVEL e DETERMINADA INADA INADA INADA

▶▶▶▶

V={ V={ V={ V={----60/11}60/11}60/11}60/11}

i) POSSÍVEL e DETERMi) POSSÍVEL e DETERMi) POSSÍVEL e DETERMi) POSSÍVEL e DETERMINADA INADA INADA INADA ▶▶▶▶ V={ V={ V={ V={----1}1}1}1}

j) IMPOSSÍVELj) IMPOSSÍVELj) IMPOSSÍVELj) IMPOSSÍVEL ▶▶▶▶ V=V=V=V=∅∅∅∅ = { } = { } = { } = { } k) IMPOSSÍVELk) IMPOSSÍVELk) IMPOSSÍVELk) IMPOSSÍVEL ▶▶▶▶ V=V=V=V=∅∅∅∅ = { } = { } = { } = { } l) IDENTIDADEl) IDENTIDADEl) IDENTIDADEl) IDENTIDADE


m) IDENTIDADEm) IDENTIDADEm) IDENTIDADEm) IDENTIDADE


n) POSSÍVEL e DETERMn) POSSÍVEL e DETERMn) POSSÍVEL e DETERMn) POSSÍVEL e DETERMINADA INADA INADA INADA

▶▶▶▶

V={0} V={0} V={0} V={0}

o) POSSÍVEL e DETERMo) POSSÍVEL e DETERMo) POSSÍVEL e DETERMo) POSSÍVEL e DETERMINADA INADA INADA INADA

▶▶▶▶

V={2} V={2} V={2} V={2}


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01. Paula tinha 33 anos quando sua filha nasceu. Se hoje suas idades somam 75 anos, a idade da filha de Paula, em anos, é: a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. e) 24

02. Seja o sistema

=+−=+nyx

myx

43

42 nas

incógnitas ” x” e” y”. Se (5 ; -7) é solução desse sistema, o valor de nm deve ser: a) 169 b) 144 c) -64 d) -125 e) 81

03. Se os sistemas

−=−=+

72

12

yx

yx e

=+−=+33

12

byx

yax são equivalentes, então o valor

de “ab” é: a) 49 b) 7 c) 1/49 d) 1/7 e) -1/7 04. Se 3 é a raiz da equação ax -2 = 2x + 1, na incógnita x, o valor de “a” é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 05. Considere a equação 3x – 2y = 52. Se y = -5x, o triplo de “y” é: a) -12 b) 12 c) -60 d) 60 e) 30

06. O valor de “n” que verifica a igualdade

100

231

25

39 =− n é:

a) 279/100 b) 179/100 c) 133/100 d) 33/100 e) 233/100 07. Sabendo que o par ordenado (x ; y) é

solução do sistema

=−−=−5072

953

xy

yx, o valor do

produto “xy” é: a) -24 b) -5 c) 5 d) 24 e) 12/24

08. Para que as expressões

+4

1

3

1y e

( ) yy5

13

2

5 −− sejam iguais, o valor de ”y“deve

ser: a) -355/128 b) 355/128 c) 455/118 d) -455/118 e) 135/128 09. Após receber seu salário, Meire comprou um vestido de R$ 96,00, gastou a quinta parte do restante no supermercado, e voltou para casa com a metade do seu salário. O salário de Meire é múltiplo de R$: a) R$12,00 b) R$16,00 c) R$ 24,00 d) R$48,00 e) R$ 32,00

10. Na equação 2

11

2

1

1

5 −=−−x

, com x ≠ 1, o

valor de ” x” é: a) uma dízima periódica b) um número inteiro negativo c) um número natural d) uma fração imprópria e) uma fração própria


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11. No sistema

=+=+352

35310

ba

ba, o valor de “(a

+ b)” é: a) 103/22 b) 63/22 c) 73/11 d) 31/11 e)45/11 12. A diferença entre as idades de Ana e Carlos é 15 anos. Há um ano atrás, a idade de Carlos era a metade da idade que Ana terá daqui a três anos. A soma de suas idades, em anos, é: a) 30 b) 35 c) 55 d) 60 e) 45 13. O conjunto solução da equação 5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x a) é vazio. b) é unitário. c) é uma fração própria d) é uma fração imprópria. e) é o conjunto dos números reais 14. A diferença entre dois números é 1 e a soma deles é 5. O maior deles é um número: a) maior que 4. b) menor que 2. c) primo. d) par. e) zero

15. Sabendo-se que

=+−=−112

12

yx

yx, o valor de

“( x + 5)” é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 16. Dadas as equações 2x – y = 2 e

3

1

2

1

−=

− yx, se x ≠ 2 e y ≠ 3, então o valor

de: “(x + y)” é: a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8

17. A raiz da equação 12

12

3

1

5−−=−+ xxx é

um valor real que: a) fica entre 2 e 3 b) fica entre 1 e 2 c) é menor que 1 d) é maior que 3 e) fica entre 3 e 4 18. Paulo perguntou a Antônio e a Marcos quantos reais cada um tinha na carteira. Antônio disse que sua quantia era menor que a de Marcos em R$ 3,00. Marcos informou que tinha o dobro da quantia de Antônio. Com essas informações, Paulo descobriu as quantias de ambos, somou-as e encontrou: a) R$36,00. b) R$18,00. c) R$12,00. d) R$9,00. e) R$ 24,00 19. Se o conjunto solução do sistema

−=+−=−

103

69

yx

xyé S = {(a ; b)}, então o valor de

“(a + b)” é: a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e) -6 20. ao quádruplo de um número adicionarmos 23, o resultado será igual a metade de mesmo do mesmo número, mais 100. Esse número está compreendido entre: a) 20 e 25 b) 25 e 30 c) 15 e 20 d) 10 e 15 e) 12 e 18 21. Reparti R$ 109,00 entre três irmãs, de modo que a 2.ª recebeu R$ 6,00 a menos que a 1.ª, e a 3.ª recebeu R$ 10,00 a mais que a 2.ª. A quantia dada à 2.ª foi: a) R$35,00. b) R$33,00. c) R$31,00. d) R$29,00. e) R$ 37,00


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22. Resolvendo a equação

03

2

6

)1(5 =−−− xx, encontramos para raiz

um número racional cuja metade é: a) 3/2 b) 1/6 c) 1/14 d) 2/3 e) 3/4

01. O valor da expressão aritmética:

2,333... + 4 {23 – [25 : 0,5 + (3 . 9 – 25)]} é: a) um número natural b) um número inteiro negativo c) um número racional d) um número irracional e) é um número inteiro e não negativo

02. O valor de %9 é: a) 30% b) 300% c) 0,3% d) 3% e) 0,03% 03. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: a) 8 b) 80 c) 1/8 d) 1/125 e) 1/25 04. Um quartel tem 750 soldados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se o quartel tivesse mais 500 soldados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 16

05. Uma engrenagem de um relógio tem 36 dentes e está movimentando uma outra de 48 dentes. Enquanto a segunda engrenagem executa 120 voltas, a primeira executará quantas voltas?

a) 80 voltas b) 100 voltas c) 160 voltas d) 180 voltas e) 120 voltas

06. Em uma fuga de presos de um certo presídio a Polícia Militar, com um efetivo de 20 homens, leva em média 2 horas para capturar 5 bandidos. Quanto tempo em média, a Polícia levará para capturar 120 bandidos, aumentando seu efetivo em mais 30 homens?

a) 122 minutos. b) 15 horas e 36 minutos. c) 19 horas e 12 minutos. d) 120 horas. e) 12 horas e 45 minutos

07. Uma estrada de 180 km de extensão foi asfaltada por três equipes A, B e C, cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos números 3; 4 e 5, respectivamente. O trecho da estrada alfatado pela equipe C foi:

a) 75 b) 60 c) 72 d) 54 e) 84

08. A quantia de R$ 4.640,00 foi distribuída como abono, para três funcionários de uma firma, de forma inversamente proporcional ao número de faltas de cada um. Paulo faltou 6 dias, Cláudia faltou 9 dias e Ana faltou 8 dias. O abono que Cláudia recebeu foi de:

a) R$ 1.280,00 b) R$ 1.360,00 c) R$ 1.420,00 d) R$ 1.440,00 e) R$ 1.260,00

09. Distribuindo 400 litros de uma certa substância em frascos de 100 cm3 cada um, a quantidade de frascos utilizados deverá ser de: a) 4 b) 40 c) 400 d) 4000 e) 40000

EXERCÍCIOS DE REVISÃO


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10. Ao comprar um frasco de perfume, Vânia notou que estava registrado no rótulo a capacidade de 1 decilitro. Em centímetros cúbicos, o volume do frasco é igual a:

a) 0,01 b) 0,10 c) 10 d) 100 e) 1000

Exercícios sobre Operações com Números Inteiros e Fracionários (ou

Racionais) e também sobre Múltiplos, Divisores e

M.D.C e m.m.c.

1) O preço de um objeto é R$ 180,00. Quanto custa 1/3 desse objeto?

2) Corto 1/3 de um fio. Depois, corto 3m e restam-me, ainda, 5m. Qual é o comprimento do fio?

3) Um saco de feijão tem massa de 60kg. Qual a massa de 2/3 do saco de feijão?

4) Comprei uma bicicleta por R$ 96,00 e a revendi por um preço equivalente a 5/6 do seu valor. Por quanto revendi essa bicicleta?

5) Paula tem 84 anos e sua irmã 1/3 de sua idade. Quantos anos tem a irmã de Paula?

6) Um reservatório cheio de água contém 240 litros. Quantos litros conterão 5/8 desse reservatório?

7) Numa escola há 660 estudantes, sendo 2/3 meninas. Quantos são os meninos dessa escola?

8) A quantas horas correspondem 3/8 das horas de 1 dia?

9) A capacidade de um ônibus é de 50 lugares. Se apenas 4/5 dos lugares estão ocupados, quantos lugares vazios ainda têm o ônibus?

10) Toninho gastou 2/5 o seu salário e ainda sobrou R$ 93,00. Qual o salário de Toninho?

11) Edu gastou num bar 3/7 do que tinha no bolso, sobrando R$ 20,00. Quanto ele gastou no bar?

12) Se ¾ do percurso de minha casa ao colégio equivalem a 3 km, qual é, em km, o percurso total?

13) Um vasilhame de 32 litros de capacidade contém leite somente até os seus ¾. Tirando-se 2/3 do leite contido, quantos litros restam?

14) Ao comprar um aparelho de som dei entrada a quarta parte do valor, e o restante dividi em duas prestações de R$ 450,00 cada. Qual era o preço do aparelho?

15) João ficou 1/3 de sua vida solteiro, 2/5 casado, e ainda viveu mais 20 anos viúvo, com que idade faleceu?

16) Numa caixa, 2/3 das frutas verdes. Se havia 20 frutas verdes, quantas havia na caixa?

17) Qual o valor de 3/5 dos 5/9 de R$600,00?

18) Quanto vale 2/3 de 360?

19) Se ¾ e “x” valem 240, então quanto vale “x”?

20) Maria gastou em compras 3/5 da quantia que levava e ainda lhe sobraram R$90,00. Quanto levava Maria inicialmente?

21) Um moço separou 1/10 do que possuía para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda R$180,00. Quanto o rapaz possuía?

22) De um reservatório, inicialmente cheio, retirou-se ¼ o volume e, em seguida, mais 21 litros. Restaram então 2/5 do volume inicial. Qual a capacidade desse reservatório?

23) João gastou 2/3 do que tinha e, em seguida ¼ o resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto tinha João inicialmente?

24) Se 2/3 de ¾ do salário de Ana é igual a 5/7 de 2/9 do salário de Dinho, qual é o salário de Ana, se Dinho ganha R$6300,00?

25) Clara gastou ¼ o dinheiro que tinha na loja A, 1/3 na loja B e 1/6 na loja C. Se sobrou R$2100,00, quanto Clara gastou na loja B?

26) Numa adição com três parcelas, o total era 68. somando-se 14 a primeira parcela, 22 a segunda parcela e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

27) Carlos decide bonificar três vendedores de sua loja. O primeiro receberá R$235,00; o segundo receberá R$ 70,00 menos que o primeiro. O terceiro receberá R$ 237,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual é o valor total o prêmio que Carlos irá repartir entre seus três vendedores?


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28) Dona Bárbara tinha 36 bombons de chocolate e três netos. Resolveu distribuí-los da seguinte maneira: deu 1/3 ao neto mais velho, 4/12 ao neto do meio e 25/75 ao caçula. A quantidade recebia pelos netos satisfaz a seguinte afirmativa: a) O mais velho recebeu mais que o do meio; b) Todos receberam a mesma quantidade; c) O do meio recebeu mais do que o caçula; d) O mais velho recebeu a metade do caçula; e) O do meio recebeu mais do que o caçula.

29) Para que a fração 3/8 não se altere ao multiplicarmos por 5 seu numerador, devemos somar ao seu denominador:

a) 7 unidades b) 15 unidades c) 24 unidades d) 25 unidades e) 32 unidades

30) Num concurso, 1/3 dos candidatos foram reprovados, 3/5 foram aprovados e 56 candidatos desistiram. O número de candidatos inscritos no concurso foi:

a) 840 b) 560 c) 1400 d) 280 e) 1000

31) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

32) Dividindo-se um número por 19 obtém-se no quociente 12 e resto 11. O resto da divisão deste número por 15 é:

a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15

33) Um motorista percorreu 2/5 da distância entre duas cidades e parou para abastecer. Sabendo-se que ¼ a distância que falta para completar o percurso corresponde a 105 km, a distância que separa as duas cidades, em km, é igual a :

a) 180 b) 252 c) 420 d) 620 e) 700

34) Quanto vale o quociente da divisão o mínimo múltiplo comum dos números 40 e 60 pelo máximo divisor comum desses mesmos números?

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12

35) Três pessoas fazem o mesmo serviço: a primeira a cada quatro dias, a segunda a cada seis dias e a terceira a cada oito dias. Se no dia 1º de janeiro de 2008 as três saíram juntas, quantas vezes as três saíram juntas, até o dia 25 de dezembro do mesmo ano?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

36) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em:

a) 9 de dezembro de 2004 b) 10 de dezembro de 2004 c) 8 de janeiro de 2005 d) 9 de janeiro de 2005 e) 10 de janeiro de 2005

37) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10


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38) Um médico receitou dois remédios a um paciente: um para ser tomado a cada12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14h do dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente as:

a) 17h do dia 11/10/2000 b) 14h do dia 12/10/2000 c) 18h do dia 12/10/2000 d) 2h do dia 13/10/2000 e) 6h do dia 13/10/2000

39) Da rodoviária da cidade “A” saem ônibus, para a cidade “B” , de três empresas. Da empresa “X” saem ônibus de 10 em 10 minutos; da “Y” saem de 18 em 18 minutos e da “Z,” saem de 15 em 15 minutos. Todas começam a operar às 6h da manhã. Pergunta-se: quantas saídas de ônibus das empresas “X”, “Y” e “Z” , respectivamente, terão ocorrido quando saírem juntos novamente?

a) 9; 5 e 6 b) 5; 6 e 9 c) 6; 5 e 9 d) 5; 9 e 6 e) 9; 6 e 5

40) Paulo dispõe de duas cordas e vai cortá-las em pedaços de igual comprimento, que deve ser o maior possível. As cordas de que você dispõe são de 90 metros e 78 metros. De que tamanho Paulo deve cortar cada pedaço? Com quantos pedaços de cordas Paulo vai ficar?

a) 12 metros; 27 pedaços. b) 12 metros; 26 pedaços. c) 6 metros; 28 pedaços. d) 12 metros; 25 pedaços. e) 6 metros; 26 pedaços.

41) Uma floricultura recebeu uma encomenda de rosas, cravos e margaridas. Devem ser montados ramalhetes com o mesmo número de flores e com o maior número possível de flores em cada ramalhete. Sabendo-se que a floricultura possui 150 rosas, 90 cravos e 120 margaridas. Quantas flores devem ter cada ramalhete, se a floricultura deseja vender todas as flores? Quantos ramalhetes a floricultura vai vender?

a) 30 flores e 14 ramalhetes. b) 30 flores e 15 ramalhetes. c) 30 flores e 12 ramalhetes . d) 30 flores e 13 ramalhetes. e) 30 flores e 11 ramalhetes.

42) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um , a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamentos, o número de recipientes necessários para essa distribuição é:

a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4

43) Um concurso de redação foi realizado na escola e a produção da terceira, quarta e quinta séries foi contabilizada e organizada na seguinte tabela de dados:

Série Redações 3ª 210 4ª 140 5ª 175

Os professores responsáveis pela correção aguardam o envio das redações, que devem ser embaladas e remetidas em pacotes, de modo a seguir três regras: R1: redações de séries diferentes não podem estar misturadas no mesmo pacote. R2: todos os pacotes devem ter exatamente o mesmo número de redações. R3: o número total de pacotes enviados deve ser o mínimo possível. Nessas condições, a quantidade de redações que devem ser colocadas em cada pacote é:

a) 5 b) 7 c) 15 d) 35 e) 70

44) Três caminhões fazem um carre entre duas cidades da seguinte forma: o primeiro viaja a cada 6 dias, o segundo a cada 15 dias e o terceiro a cada 10 dias. Se esses caminhões num determinado dia partirem juntos, eles só voltarão a sair juntos depois de: a) 20 dias b) 24 dias c) 30 dias d) 32 dias e) 36 dias


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45) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora, e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a :

a) R$ 1200,00 b) R$1500,00 c) R$1800,00 d) R$2100,00 e) R$ 2400,00

GABARITO 1) 60 2) 12 3) 40 kg 4) R$ 80,00 5) 28 anos 6) 150 L 7) 220 8) 9 h 9) 10 10) R$ 155,00 11) R$ 15,00 12) 4 km 13) 8 L 14) R$ 120,00 15) 75 anos 16) 30 17) R$ 200,00 18) 240 19) 320 20) R$ 225,00 21) R$ 600,00 22) 60 L 23) R$ 1.200,00 24) R$ 2.000,00 25) R$ 2.800,00 26) 94 27) R$ 563,00

Divisores de um número � Determinação do número de divisores de um número: • Decompomos o número em um produto de fatores primos. • Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados. Ex.: Quantos são os divisores do número 120?

120 | 2 60 | 2 120 = 2³ x 3 x 5

30 | 2 (3 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2 x 2 = 16 15 | 3 5 | 5 1 |

� Determinação dos divisores de um número: • Decompomos o número dado em um produto de fatores primos. • Colocamos um traço à direita dos fatores primos e logo acima escrevermos o número 1, que é divisor de todos os números. • Multiplicamos os fatores primos pelos números que estão à direita do traço acima deles.

Ex.: Quais os divisores do número 120?

Máximo ou Maior divisor

comum (M. D. C.) � O M.D.C. de dois ou mais números é o maior número possível que os dividam exatamente. � É o produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes .

Ex.: Achar o M.D.C. entre 90, 120 e 150.

Mínimo ou Menor Múltiplo Comum (m.m.c.)

� m.m.c . de dois ou mais números é o menor número possível divisível por esses 2 ou mais números.

� É igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns , elevados aos maiores expoentes . Ex.: Achar o m.m.c. (2² x 3 x 5, 2 x 3² x 7 e 2 x 3 x 5) m.m.c = 2² x 3² x 5 x 7 = 1260


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� OBS.: O produto de dois números é sempre igual ao produto do m.m.c pelo M.D.C. destes dois números dados.

Subtração

� É a operação inversa da adição.

12 – 5 = 7 → resto ou diferença Minuendo ┘ └ Subtraendo

Onde:

M → Minuendo S → Subtraendo R → Resto

Divisão

� É a operação inversa da multiplicação.

ALGORITMO DA DIVISÃO

Relação fundamental: D = d x Q + R _

� R = 0 → divisão exata � Maior resto possível = (divisor – 1)

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO DADO

01 . Assinale a alternativa correta: a) Todo número é divisível por zero; b) Todo número é múltiplo de zero; c) 1 é divisor de todos os números; d) Zero é múltiplo de todos os números. e) duas afirmativas estão corretas

02. Três divisores comuns de 120 e 60, diferentes de 1, são: a) 10; 12, e 120. c) 3; 4, e 8. b) 0; 60 e 120. d) 10; 15 e 30 e) 4; 8 e 12

03. Verifique se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas. I - Todo número divisível por 3 é divisível por 9. II - Todo número múltiplo de 2 é divisível por 4. III - Todo número divisível por 10 é divisível por 2. IV - Todo número divisível por 9 é divisível por 3. V - Todo múltiplo de 15 é divisível por 5. Quantas dessas sentenças são verdadeiras? a) cinco b) duas c) três d) quatro e) todas

04. A soma dos divisores ímpares do número 150 é: a) 82. b) 95. c) 103. d) 124. e)100 05. Sejam: D(60) e D(150) os conjuntos de divisores naturais dos números 60 e 150, respectivamente. O número de elementos do conjunto D(60) ∩ D(150), isto é, o número de divisores comuns de 60 e 150 é:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

06. O número: A = 23.3n.52 tem 48 divisores se “n” for igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

07. Se o número: N = 2x.32 tem 6 divisores, o valor de N é: a) 18 b) 9 c) 2 d) 1 e)

08. A soma dos inversos dos divisores ímpares do número 56 é:

a) 8 b) 7 c) 7

1 d)

7

8 e) 7/8

OPERAÇÕES ENVOLVENDO OS CONJUNTOS NUMÉRICOS E

INCLUINDO DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E

COMPOSTAS

09. Seja o conjunto A =

8

7,

5

2,

7

4,

6

5,

4

3. O

maior elemento desse conjunto é:

a) 4

3 b)

6

5 c)

7

4 d)

5

2 e)

8

7

10. Sejam: 4

3A = ,

3

2B = ,

8

5C = e

12

7D = .

Desses quatro números, os dois maiores são: a) A e C b) B e D c) A e B d) B e C e) A e D

M = S + R 2

RSMM

++=


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11. Simplificando-se ...333,1

...222,3, obtém-se:

a) 13

32 b)

13

30 c)

12

32 d)

12

29 e)

12

31

12. A geratriz de 5,3212121... é:

a) 165

535 b)

165

215 c)

900

3215

d) 990

3215 e)

990

3115

13. A fração geratriz da dizima periódica 30,2 é:

a) 9

12 b)

30

61 c) 90

203

d) 300

617

e)

330

627

14. A diferença entre as frações geratrizes das

dízimas 10,4 e 3,444... é:

a) 9

1 b)

9

7 c)

99

20 d)

30

17 e) 1

15. O resultado da expressão

K888,0

10025,08 03

1×+ é:

a) 8

31 b)

8

13 c)

3

18 d) 3 e) 2

16. O valor da expressão

0,333...

1 . )017,0(

25

18 0

21

31

−

+−

é igual a:

a) 8

9 b)

3

16 c)

4

27 d) 9 e) 18


+

− 17

11:

3

11 :

5

2+2

4

1

2

9 é:

a) 13,0 b) 1,17 c) 1,23 d) 1,53 e) 2,31

18. O valor da expressão 27

4

3

2

14

1

7

22

÷

−÷ é:

a) 1 b) 7 c) 3 d) 5 e) 4


4

51

2

13

−

− é:

a) 2 b) 2

1 c) -

2

1 d)

32

1 e) 1

20. O resultado de

11

3

3

231015,0

15

8

5

13 ×

+×

×−− é:

a) 6

7 b)

7

6 c)

3

7 d)

7

3 e) 1

11. O inverso da divisão de 13

26 + por 1

3

55 − ,

obtém-se:

a) 23

17 b)

17

23 c)

23

14 d)

14

23 e) 1


6

11

6

11

3

11

3

11

−

+÷

−

+:

a) 7 b) 10

7 c)

7

10 d)

7

1 e) 1

23. Dos 48 lápis de uma caixa, Rui recebeu 1/6 e Cláudia, 3/8. Assim, o número de lápis restantes foi de:

a) 16 b) 18 c) 26 d) 28 e) 12

24. Uma bomba d’água é ligada para alimentar um reservatório. No 1º dia de funcionamento,

ela enche 3

1 do reservatório e no 2º dia, 5

2 .

Verifica-se, então, que faltam 4.400 litros para completar o reservatório. Qual é a capacidade deste em litros?

a) 6.000 b) 16.500 c) 11.600 d) 8.800 e) 10.500

25. Um pedreiro vai assentar ladrilhos de cerâmica em um salão. No 1º dia de trabalho

ele consegue ladrilhar 7

1 do salão e no 2º dia ,

8

3 . Se forem assentados 870 ladrilhos nesses

dois dias, quantos serão postos no salão todo?

a) 1.680 b) 3.255 c) 2.610 d) 1.740 e) 4.320


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m.m.c. e M.D.C.

26. O M.D.C. de dois números “A” e “B” é 25 . 32 . 54 .7. Sendo A = 2x . 34 . 5z . 7 e B = 26 . 3y . 55 . 7, então “xyz” é igual a:

a) 20 b) 80 c) 60 d) 40 e) 12

27. Uma pessoa deseja acomodar em uma estante 56 latas de cerveja e 72 latas de refrigerantes. Quantas fileiras terão ao todo, se cada prateleira possui o mesmo número de latinhas?

a) 8 b) 4 c) 16 d) 14 e) 6 28. De um aeroporto partem três aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e volta em 4 dias; o segundo, em 5 dias, e o terceiro, em 10 dias. Se, num certo dia, os três aviões partirem simultaneamente, depois de _____ dias, esses aviões partiram novamente juntos. Um dos valores que preenchem corretamente a lacuna anterior é:

a)10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40

29. Carla dispõe de 5 fios de nylon para fazer colares de mesmo comprimento, sendo este o maior possível. Se 3 desses fios têm cada um 1,5 m, e os outros 2 têm cada um 2,25 m, então o número de colares que Carla conseguirá fazer, sem perder qualquer pedaço de fio, é: a) 12. b) 35. c) 42. d) 75 e) 45

30. Sejam: M(12) e M(15), os múltiplos de 12 e de 15, respectivamente, entre 0 e 180. A soma dos múltiplos comuns entre esses números, vale: a) 280 b) 300 c) 360 d) 380 e) 420

31. Em um autódromo três pilotos partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O primeiro completa cada volta em 0,6 minutos; o segundo em 0,8 min e o terceiro em 1,2 minutos. Os três vão estar juntos novamente, no ponto de partida em .............. segundos. a) 288 b) 144 c) 180 d) 432 e)240

32. Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por min e a segunda 10 vezes por minuto. Se em certo instante as luzes piscam simultaneamente,

após quantos segundos elas voltarão a piscar ao mesmo tempo? a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 30

33. Certo jogo de cartas pode ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O número mínimo de cartas que esse jogo pode ter é: a) 52 b) 90 c) 80 d) 60 e) 120

34. Tenho 3 sarrafos que medem 12 m, 18 m e 30 m. Quero dividi-los em partes iguais e do maior tamanho possível. Em quantos pedaços devo dividi-los? a) 10 b) 6 c) 30 d) 20 e) 15

35. Certa quantia é superior a R$ 200,00 e inferior a R$ 300,00. Contando-a de R$ 20 em R$ 20,00, R$ 30,00 em R$ 30,00 ou de R$ 40,00 em R$ 40,00 sempre sobram R$ 15,00. O valor dessa quantia é: a) R$ 275,00 c) R$ 285,00 b) R$ 255,00 d) R$ 295,00 e) R$ 225,00

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO

36. O número de divisores do número 5.250 é:

a) 24 b) 32 c) 36 d) 48 e) 56

37. O número de divisores naturais de 80, que são múltiplos de 5, é : a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8

38. Dentre os divisores de 198, o maior número que é divisível por 16, é: a) 32 b) 64 c) 96 d) nenhum e) 48 39. O número de divisores de 112 é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

OPERAÇÕES ENVOLVENDO OS CONJUNTOS NUMÉRICOS E DÍZIMAS

PERIÓDICAS

40. O resultado da operação: 0,333...⋅4

3 –

316

...2666,1 é:

a) 1/20 b) 3/20 c) 0,4555. d) 1,333...e) 4,25


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41. A soma: 0,2 + 0,333... + 0,0121212... tem como resultado:

a) 173

4 b) 75

41 c) 55

36

d) 11

6 e) 6000

71

42. Dada a expressão: 2 - (0,8) ÷ (0,5), seu valor na forma fracionária é:

a) 5

12 b)

2

5 c)

5

8 d)

5

2 e) 1

43. O valor da expressão: 6,5 : 0,02 + 41,3 x 0,5 - 4,12 é: a) 341,53 b) 205,63 c) 49,03 d) 19,78 e) 287,29

44. O valor da expressão: 18 : 3,6 + (0,5)

0,2 1,25 - 52

× é:

a)9

19 b)

9

50 c)

3

25 d)

9

95 e) 1

45. O valor da expressão: 4,5 –

+− 0,1 x 14

1

2

1 é um número racional, cujo

oposto é:

a) 8

33− b) 4

33− c) 8

33 d)

4

33 e) 1

46. O resultado da expressão: (-0,5)2.4 + [10:0,5 - (-0,2)2] . 2 é: a) 10,92 b) 39,96 c) 40 d) 40,92

47. O resultado da soma entre as dízimas periódicas simples: 1,666... e 1,333... resulta em um número:

a) racional fracionário c) inteiro negativo b) irracional d) natural e) transcendente 48. O valor da expressão:

3,0181818... – 2,2

− ...3454545,055

192 vale:

a) -1 b) -2 c) -2,03 d) -0,015 e) -1,08

49. O resultado ( ) ( )[ ] 000005,005,00025,0 ÷⋅ é:

a) 25 b) 5 c) 0,5 d) 0,05 e) 50

50. O valor da expressão 2,06,1

3,008,0

÷×

é:

a) 0,3 b) 0,03 c) 0,003 d) 0,0003 e) 3

51. Dada a expressão: 4,8 – (5,4) ÷ (0,9), seu valor simétrico na forma fracionária é:

a) 5

6− b) 8

6 c)

5

6 d)

8

6− e) 3

2

52. Sendo: x = 60 ÷ 0,003, o valor de “x” é:

a) 20 b) 200 c) 2.000 d) 20.000 e) 200.000 53. O número misto que representa a dízima periódica 2,0666... é:

a) 15

22 b)

15

12 c)

2

12

d) 30

12 e)

45

12

54. Observe os dados apresentados na tabela abaixo: X Y X ÷ Y 2 3 0,666... 5 6 0,8333... 1 2 0,5 Se “S” for a soma dos três resultados apresentados na coluna: X ÷ Y, é correto afirmar que “S” :

a) é divisível por 3. b) é múltiplo de 5. c) é um número par. d) é uma dízima periódica sem representação decimal finita. e) é divisível por 7.

55. Efetuando-se: 22

2

3

4

3

÷

, obtém-se:

a) ¼ b) 1/6 c) 1/12 d) 1/24 e) 1 56. O valor da expressão :

b

a + a

b para: a2 + b2 = 10 e : ab = 48 é:

a) 25/12 b) 7/24 c) 5/24 d) 24/25 e) 1 57. O produto de dois números é 4.284. Se somarmos 5 unidades a um dos fatores, o produto passa a ser 4.914. A soma dos dois fatores é: a) 131 b) 144 c) 160 d) 269 e) 180


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58. Efetuando a expressão: 6

5 +

6

5 ÷

35

6 .

3

1 2 + 7

37,

encontramos:

a) 105

8 b) 3

1 c) 1 d) 126

129

e) ½

59. Se Ana somar 10

37 com

5

15 e do resultado

subtrair 4

310 , o número racional que Ana vai

obter, sem cometer erros, é:

a) 4

7 b)

4

3 c)

4

9−

d) 4

5− e) 1

Exercícios sobre m.m.c. e M.D.C.

60. Seja “N” um número inteiro positivo. O M.D.C. entre “N” e 40 é 8 e o m.m.c. de “N” e 40 é 240. Calcule “3N” . a) 48 b) 144 c) 180 d) 96 e) 220

61. A diferença entre o m.m.c. e o M.D.C. de 40 e 45 é:

a) 400 b) 355 c) 300 d) 295 e) 345

62. O mínimo múltiplo comum entre 48 e 55 possui como soma de seus algarismos:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 20

63. O máximo divisor comum entre 1.998 e 1.999 vale:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 6 64. O máximo divisor comum entre 11;18 e 25 é: a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 6 65. O M.D.C.: (420;480 e 600) é um número múltiplo de: a) 12 b) 16 c) 18 d) 25 e) 24 66. O M.D.C.: (70, 210, 280) é um número múltiplo de: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 21

67. O m.m.c.: (70, 75, 80) é um número divisível por: a) 16 e 9 b) 3 e 11 c) 32 e 25 d) 7 e 25 e) 8 e 45 68. O M.D.C. de dois números é 6 e o seu m.m.c. é 36. Sendo 12 um dos números, o outro será: a) 6 b) 18 c ) 24 d) 36 e) 48 69. Assinale a alternativa correta: a) Se um número é divisor de 8, então também é divisor de 2 b) Se um número é divisor de 20, então também é divisor de 10 c) Se um número é múltiplo de 4, então também é múltiplo de 2 d) Se um número é múltiplo de 10, então também é múltiplo de 20 e) A unidade é múltipla de todos os números naturais.

70. O M.D.C. de dois números é 2 e o m.m.c. é 90. Sendo um dos números 10, o outro é: a) 9 b) 18 c) 30 d) 45 e) 15

71. O menor número que dividido por 18, 20 e 24 dá sempre o mesmo resto 8 é:

a) 360 b) 368 c) 428 d) 548 e) 372

72. Decompondo o número: “M” em seus fatores primos, obtemos : M = 2n.32.5. Sabendo que “M” tem 30 divisores, então “ M” está entre:

a) 400 e 500 c) 600 e 700 b) 500 e 600 d) 700 e 800 e) 900 e 1000

73. Se os números: “A” e “B” são primos e “A” > “B” , então é verdade que:

a) (A + B) é primo b) A . B é primo c) (A – B) é primo d) o M.M.C. de “A” e “B” é o maior desses dois números e) o M.M.C. de “A” e “B” é “A.B”

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