EQUAES DIFERENCIAIS

1.Determine uma equao diferencial associada famlia de curvas ( ) ( )2 21 2x C y C 1 + = . 2.Determine na forma normal a equao diferencial que admite a famlia de curvas integrais

( ) ( 21 1 24C y C x C = )3.Considere a famlia de curvas 1 2

Cy Cx

= + x . a) Determine a equao diferencial que lhe est associada, na forma normal. b) Determine uma soluo particular que verifique as condies ( ) (y 1 1 y 1 1 )= = . 4.Justifique que ( ) 31 2 3x x xy x c e c e c e= + + ( )1 2 3, ,c c c \

0 o integral geral da equao

. 3 3y y y y + =

5. a)Determine a equao diferencial associada famlia de curvas ( )ln ax b cos y 0 a,b const. arb.+ =

b) Classifique a equao obtida quanto ordem e ao grau. 6.Determine a equao diferencial associada famlia de curvas ( ) 2ln Ay Bx= ( A ). , B const. arb.

7.Considere a equao ( ) . 2s 4 t s 4 = s

)a) Mostre que soluo desta equao. Que soluo ? Justifique. (2s 2C t C C= \b) Determine a soluo particular que verifica a condio ( )s 1 1= .

8.Considere a famlia de curvas ( ) 2 3C x y x = ( )C,cons tan te arbitrria . a) Identifique a equao diferencial que lhe est associada. b) Determine a soluo da equao diferencial obtida em a), que verifica a condio ( )y 2 1= . Haver alguma

soluo da equao que passe em ( )0,1 ? Justifique a resposta e em caso afirmativo calcule-a.

c) Determine a famlia das trajectrias ortogonais s curvas dadas.

9.As trajectrias ortogonais da famlia de curvas ( )y tg x C= + so as curvas yx y C+ + =33

. Justifique.

10.Mostre que as trajectrias ortogonais famlia passam todas no ponto ( ) (2 2 2x 3 2y C C + = \) ( )3,0 . 11.Mostre que a trajectria ortogonal da famlia de curvas 2 2x y 2C y 1+ + = que passa pelo ponto ( )1,2

uma circunferncia de centro em e raio ( 3,0 ) 2 2 . 12.Determine as trajectrias ortogonais famlia de curvas . 2y Cx= 13.Determine a trajectria ortogonal da famlia de curvas que passa em (1,1). 2 2y x C x = 3

14.Resolva as equaes:

a) x 2dy 2ydxd e

y+= b) 22 2 2 2

x 1 1 y 1 xdx dy 0x y y yx y x y

+ + + + = + +

c) dy 1 sin 2ydx x cos yx

=+

d) dy 1dx x cos y sin 2y

= + ; ( )x 0 1=

e) ( f) )3 2 2 12 y x y y 3 x y 0 + + = x xy 2ye 2 ye = g) h) ( )y x y 2x y 2 ln y 2 = + + + +( ) 2 212 y cosx dy y senx dx 01 x

= +

i) j) y / x y / xx y y x e x e = + + ( ) ( )2 x y 2 x yx 2x e 1 x e 2 y y + + = + k) ; l) ( )1 4x y x y 1 dy dx + = ( )y 1 1= ( )2 x 2 2 xe y dx e y 2 y dy 0 =

=y

m) n) ( ) ( ) ( )2y sen 2 x cos x dx 1 sen x dy 0 + + 2x ln x y y ln x =o) p) ( ) ( )2 2x 2 y dx y y 2 x d = ( )yy ln x ; y ex = + = 0 q) 2 yx dy y x cos dx

x= +

r) 2 24 x y dx 2 y dx 2 x dy =

s) t) ( ) ( )2 2 2y sec xy 2 x y dx x x x tg xy dy = 1+

=

( )4y x y 2 y x 1 + = +u) v) ( )1 2x z dx ln x 3z dz 0 + + = 2 2 2 2y x y x y = + +w) ( ) x) ( )2 2 2 23x y x d x 3x y 6 y 1 d y 0 + ( ) ( )y sen x y sen x y + = + ( )y 0 0= y) z) ( ) ( )y y2 x e dx x e dy 0; y 1 0+ + = = ( )3 2x y 2 y dx x dy 0+ + =

15. Resolva a equao 2 2dy 2ydx x

= , efectuando previamente a mudana de varivel 1y zx

= + . 16. Resolva a equao , fazendo (y sen x y = ) x y t = .

17. Fazendo a substituio 2y ux

= + , transforme a equao 2 2y 4y y 0x x

+ + = numa equao de tipo conhecido e resolva-a. 18.a) Fazendo a substituio , resolva a equao xy e z= + ( )2 x xy y e e 2 y 1 = + . b) Determine a curva integral da equao dada em18.a) que passa na origem.

19.Um circuito elctrico descrito pela equao diferencial d i R Eid t L L

+ = . Se R=50 , L=1H e E=5 V, determine a corrente no circuito em qualquer instante, sabendo que inicialmente nula. 20.Um circuito RL verifica a equao diferencial

( )di 10i sen t i 0 0dt

+ = = determine i(t). 21.Considere o conjunto { }x xS e , x e= . a)Prove que linearmente independente. b)Determine uma equao diferencial linear homognea, cujo conjunto fundamental de solues

seja S, com a respectiva soluo geral. 22.Considere a equao diferencial ( ) ( )x 1 y y x 1 y y 0 + + + = . a) Classifique a equao dada. b) Prove que so solues linearmente independentes da equao dada. x x1 2 3y e , y e , y x

= = = 1+c) Qual a soluo geral? Justifique. d) Determine a soluo particular da equao dada que verifica as condies y(0) 2 y (0)= =

y (0) 1= = 23.Considere a equao y 3y 3y y 0 + + + = . Determine todas as curvas integrais desta equa-o cujo grfico tem em ( )0,1 tangente horizontal. 24.Determine a curva integral da equao que passa em e tem a tangente paralela recta .

2 xy 4 y 4 y x e + = (0,0)y x=

25.Resolva as equaes:

a) 2

21

xx

x

ey y y x ee

= + + b) ( ) 12 x2 y 4 y 2 y 4 x e + = +

c) 224 4 1x

y y y e x + = d)3

3x 2y 6 y 9 y cos3x e x + = + e)

32

22 1 = + +

xx

x

ey y y ee

f)x

x ey 2y y 2ex

+ + = +

g) h)2y y sen x sec x + = + ( )3 x2y 2 y y x x e + = + i) 3x x

1y y 2 y e 21 e

= + +

x

j) y y tg x sec x 0 + + =

k) l)2y y cos x sec + = + x 3y 2 y y x x e x + = + 26. Determine uma equao diferencial linear homognea com coeficientes constantes de menor ordem possvel que admita as solues e x1y e cos x

= 2y x= . 27. Determine uma equao diferencial linear de coeficientes constantes de 5 ordem, que admita a soluo particular e tal que as funes e faam parte do conjunto fundamental de solues da respectiva equao homognea associada.

Py = x x sen x xe