EquaçõEsEquaçõEs litEraislitErais

173 =+ yx

yzx =+ 73

073 =+x

Observa as equações seguintes:Observa as equações seguintes:

As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é uma equação literal.

Então, qual será a definição de equação literal?Então, qual será a definição de equação literal?

Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é, pelo menos 2 incógnitas.

26 += xy

xy 6=

2lA =2

hbA

×= ( )2

hbBA

×+=

222 cba +=

Exemplos de equações literais:

que representa uma reta não vertical (função afim).

que representa uma reta que passa na origem do referencial (função linear).

•A fórmula do teorema de Pitágoras

•A equação

•A equação

(equações do 1.º grau com duas incógnitas)

Quantas soluções têm?

•As fórmulas:

que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e do trapézio.

• A equação da relatividade E = mc2.

GeogebraGeogebra

Como resolver equações literais? As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.

x

y

1222 =+ yx

xx

x

yx

yx

yx

yx

−=⇔

⇔−=⇔

⇔−=⇔⇔=+

62

212

2122

1222

Perímetro 12 cm

Nota: Quando uma letra é a incógnita, as outras letras funcionam como se fossem números.

Exemplo I:

Observa a figura:

Como a equação tem duas variáveis

e y, podemos resolvê-la em ordem a ou em ordem a y,

isto é:

A figura sugere a seguinte equação,

Resolvida em ordem a Resolvida em ordem a

Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isolada num dos membros da equação, neste caso no 1.º membro.

xy

xy

xy

yx

−=⇔

⇔−=⇔

⇔−=⇔⇔=+

62

212

2122

1222

Resolvida em ordem a y.

Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis?Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis?

x

yx −= 6426 =⇔−= xx

Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento?

Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a (é a incógnita, o valor desconhecido).

O comprimento é 4.Assim, é muito fácil dar a

resposta.

y

x

Perímetro 12 cm

Mas, se a pergunta fosse:

Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura?

Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y.Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y.

xy −= 6336 =⇔−= yy

Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessa resolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber asua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.

Conclusão:Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável) que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letras funcionam como números (valores dados).As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveis na resolução de equações literais.

c

lA=100 m2

1001100 =×=→= lclc mas,

100250 =×=→= lclc

100425 =×=→= lclc

100520 =×=→= lclc

10085,12 =×=→= lclc

mas,

mas,

mas,

…

Assim, a equação tem uma Assim, a equação tem uma infinidade de soluções.infinidade de soluções.

Equações do 1.º grau com duas incógnitas.Equações do 1.º grau com duas incógnitas.

ax+by=c; a, b e c

Quantas soluções têm?Quantas soluções têm?

As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de números.números.

x+2y=9 S=(1,4) Uma solução

S=(0, 9/2) Outra solução

Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0,

b=0 e c ). Cuidado:Cuidado:No contexto de problemas nem sempre todas as soluções servem. Dar ex.

Relacionar com as funções afins, reta, Relacionar com as funções afins, reta, todos os pontos que estão sobre a todos os pontos que estão sobre a reta são soluções da equação.reta são soluções da equação.

Exemplo II

A equação E=mc2 em que:

E- energiam- quantidade de

matériac- velocidade da luz

Descoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandes quantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bomba atómica é um dos frutos desta equação.

Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c.

2

2

2 2 2

E mc

E mc Em

c c c

= ⇔

⇔ = ⇔ =

Resolvida em ordem a m.

2 2 EE mc c

m

Ec

m

= ⇔ = ⇔

⇔ = ±

Resolvida em ordem a c.

lhVc

hl

hlc

lh

V

=⇔

⇔= ..

Neste caso, c é a incógnita.

Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se.

Exemplo III

A fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.

Resolve a equação em ordem a c.

( )2

hbBA

×+=

( )bB

AhhbBAh

bBA

+=⇔+=⇔×+= 2

22

Exemplo IV

A área de um trapézio é dada pela fórmula

Resolve a equação em ordem a h.

Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossem números.

Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo:(base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo:

Determina h, sabendo que A=10 cmDetermina h, sabendo que A=10 cm22, B=4 cm e b=1 cm., B=4 cm e b=1 cm.

2 104

4 1h cm

×= =+

Exercícios:

1. Resolve em ordem a x, a equação ( ) xy

y +=−2

13

5

Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número.

( )

( ) ( ) ( )( )

6

107

1076

631010

23

5

3

52

13

5

6322

−=⇔

⇔−=⇔⇔+=−⇔

⇔+=−⇔

⇔+=−

××××

yx

yx

xyy

xy

y

xy

y 1.º Tiram-se os parênteses

2.º Tiram-se os denominadores

3.º Isolam-se os termos com a incógnita (pretendida) num dos membros

4.º Reduzem-se os termos semelhantes

5.º Determina-se o valor da incógnita, quando são dados os valores das outras variáveis.

A equação está resolvida em ordem a x.

2. Resolver a mesma equação em ordem a y.

( )

( ) ( ) ( )( )6

32 2

51

3 25 5

3 3 2

10 10 3 6

10 3 10 6

7 10 6

10 6

7

yy x

yy x

y y x

y y x

y x

xy

××× ×

− = + ⇔

⇔ − = + ⇔

⇔ − = + ⇔⇔ − = + ⇔⇔ = + ⇔

+⇔ =

( ) xy

y +=−2

13

5

( ) ( )

3935199

2,70

59

322,102

559

=⇔=⇔=⇔−=××

CCCC

Celsius) e F (graus Fahrenheirt).

Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C.

Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C.

9

160516059

9

32

5

−=⇔−==−= FCFC

FC

9

32

5

−= FC3. Em Física, a fórmula estabelece a correspondência entre C (graus

A Isabel está doente. A sua temperatura é

102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?

Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas:Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas:

399

1602,1025 =−×=C R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC.