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Equações Elípticas Semilineares comdependência do gradiente por Passo da
Montanha
Luiz Fernando de Oliveira Faria
Orientador: Paulo Cesar Carrião
Dezembro - 2004
Agradecimentos
A Deus, que me capacita e sustenta. "Feliz o homem que em Deus cona".
Gostaria de agradecer a todos que, de uma forma ou de outra, con-tribuíram para viabilizar este trabalho. De uma forma especial gostaria deagradecer ao meu orientador professor Paulo César Carrião a quem muitoadmiro como pessoa e como prossional.
Registro meus agradecimentos ao CNPQ, instituição da qual fui bolsistade abril de 2003 a dezembro de 2004 como aluno do curso de mestrado.
Sou grato aos que compuseram minha banca, professores Olímpio HiroshiMiyagaki e Ronaldo Brasileiro Assunção , que contribuíram com suas pres-timosas sugestões.
Agradeço aos meus pais de quem apoio, incentivo e carinho sempre recebi;pelo afeto e colaboração de minhas irmãs que sempre estiveram presentese à minha querida esposa por nunca ter deixado que palavras de ânimo eincentivo faltassem.
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Sumário
0.1 Glossário de Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Regularidade de Soluções Fracas 71.1 Motivação -
Métodos Variacionais em Equações Diferenciais . . . . . . . . 71.2 Regularidade de Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Teorema do Passo da Montanha 252.1 Funcionais Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Construção do Campo Pseudo-Gradiente . . . . . . . . . . . . 262.5 Lema de deformação de Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Princípio Variacional de Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Princípio Geral Minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Equações Elípticas Semilineares com dependência do gradi-ente 40
A Alguns resultados da Análise Funcional 60
B Continuidade do Fluxo e domínio de denição 63
C Operador de Superposição em domínio limitado 64
D Desigualdades de Sobolev e caracterização de λ1 66D.0.1 Caracterização Variacional de λ1. . . . . . . . . . . . . 67
2
0.1 Glossário de Notações
C1c conjunto das funções C1 com suporte compacto
|u| norma euclidiana seja em R, ou em Rn
Lp(Ω;R) espaço das funções Lebesgue-mensuráveis u : Ω → Rcom norma-Lp nita ‖u‖Lp =
(∫Ω|u|pdx
) 1p , 1 ≤ p <∞,
e quando não houver ambiguidade, notaremos ‖u‖Lp = ‖u‖p
L∞(Ω;R) espaço das funções Lebesgue-mensuráveis e essencialmentelimitadas u : Ω → R com norma-L∞‖u‖∞ = essencialmente supx∈Ω |u(x)|
Hm(Ω;R) espaço de Sobolev Wm,2 com norma‖u‖Hm,2 =
∑k ‖Dαu‖2, onde
α = (α1, . . . , αn), αi ≥ 0; |α| =∑n
i=1 αi; Dαu = ∂α1+...+αn
∂x1···∂xnu.
Ou ainda notaremos ‖ · ‖ por norma em H1
H10 fecho de C1
c em H1
dist(A,B) distância entre os conjuntos A e Bw ⊂⊂ Ω indica que o fecho do aberto w é compacto e w ⊂ Ω∇u Para u ∈ W 1,p(Ω), Ω subconjunto aberto de Rn, denotamos
∇u =(
∂u∂x1, . . . , ∂u
∂xn
)τhu(x) indica u(x+ h)suppf indica o suporte da função fE ′ Espaço dual de EJacH Jacobiano do operador HΓ = ∂Ω Fronteira do aberto Ω(r.s), r, s ∈ Rn Produto interno em Rn
3
Introdução
Neste trabalho nós apresentamos uma técnica nova na abordagem do pro-blema de Dirichlet para equações elípticas semilineares com dependência nãolinear do gradiente da solução em dimensão maior do que ou igual a três(veja D. Figueiredo, M. Girardi, M. Matzeu - [9]), ou seja:
−4u = f(x, u,∇u) em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
(1)
onde Ω é um domínio suave e limitado em Rn, n ≥ 3.
Dizemos que a abordagem que apresentamos é uma técnica nova pois, atéentão, as formas apresentadas para resolver o problema (1) não envolviam ateoria de pontos críticos (ver: J. B. M. Xavier - [20], X. Wang & Y. Dang -[21], Z. Yan [22]), uma vez que (1) não é variacional.
Mas como resolver um problema não variacional com a teoria de PontosCríticos? Realmente neste caso, não é possível aplicarmos esta teoria direta-mente. Mas contornamos este empecilho da seguinte forma: ao problema (1),associamos uma família de problemas elípticos semilineares sem dependên-cia do gradiente da solução; isto é, para cada w ∈ H1
0 , nós consideramos oproblema
−4u = f(x, u,∇w) em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
. (2)
Agora o problema (2), com o conjunto de hipóteses que mencionaremosabaixo, é variacional e tem por funcional associado Iw : H1
0 (Ω) → R dadopor
Iw(v) =1
2
∫Ω
|∇v|2 −∫
Ω
F (x, v,∇w).
4
Conjunto de hipóteses:
(f0) f : Ω× R× Rn é uma função contínua e localmente de Lipschitz.
(f1) limt→0f(x,t,ξ)
t= 0 uniformemente para x ∈ Ω e ξ ∈ Rn.
(f2) Existem constantes a1 > 0 e p ∈(1, n+2
n−2
)tais que
|f(x, t, ξ)| ≤ a1(1 + |t|p) ∀x ∈ Ω, t ∈ R, ξ ∈ Rn.
(f3) Existem constantes θ > 2 e t0 > 0 tais que
0 < θF (x, t, ξ) ≤ tf(x, t, ξ) ∀x ∈ Ω, |t| ≥ t0, ξ ∈ Rn
ondeF (x, t, ξ) =
∫ t
0
f(x, s, ξ)ds.
(f4) Existem constantes a2, a3 tais que
F (x, t, ξ) ≥ a2|t|θ − a3 ∀x ∈ Ω, t ∈ R, ξ ∈ Rn.
(f5) f satisfaz as seguintes condições de Lipschitz locais
|f(x, t′, ξ)− f(x, t′′, ξ)| ≤ Lρ1|t′ − t′′|
∀x ∈ Ω, |t′| ≤ ρ1, |t′′| ≤ ρ1, |ξ| ≤ ρ2,
|f(x, t, ξ′)− f(x, t, ξ′′)| ≤ Lρ2|ξ′ − ξ′′|
∀x ∈ Ω, |t| ≤ ρ1, |ξ′| ≤ ρ2, |ξ′′| ≤ ρ2,onde Lρ1 , Lρ2 são tais que que vericam a relação
λ−11 Lρ1 + λ
− 12
1 Lρ2 < 1, (3)
onde λ1 é o primeiro autovalor de −4 relacionado com Ω e ρ2, ρ2 sãodados no lema 3.8, e dependem explicitamente de p, n, θ, a1, a2 e a3
dados nas hipóteses anteriores.
Obs.A condição (3) é como dada em M. Girardi & M. Matzeu - [13].As hipóteses (f0) a (f4) garantem que o problema (2) possui solução.
Agregando a hipótese (f5), conseguiremos mostrar que o problema (1) pos-sui solução.
5
O artigo central que iremos trabalhar nesta dissertação (D. de Figueiedo,M. Girardi & M. Matzeu - [9]), nos diz exatamente como utilizar técnicasdo Cálculo das Variações para resolvermos problemas de Equações ElípticasSemilineares com dependência do gradiente via Passo da Montanha.
No Capítulo 1, queremos ilustrar como técnicas do Cálculo das Variaçõespodem "facilitar" a procura de soluções em equações diferenciais parciais, emotivar o uso de tais métodos para resolver o problema central. Denimos anoção de solução no sentido fraco e apresentamos alguns resultados que nosgarantem a regularidade das soluções fracas (referências utilizadas [2], [6] e[12]). Enunciamos e provamos o Teorema 1.2.1 e citamos, sem demonstrar,os Teoremas 1.5.1 e 1.5.2. Sob certas condições, os Teoremas 1.2.1, 1.5.1 e1.5.2 nos dizem que uma solução no sentido fraco pertence a H2, W 2,p e C2
respectivamente.
No Capítulo 2, provamos o Teorema do Passo da Montanha, de Ambrosettie Rabinowitz, que nos auxiliou na busca por pontos críticos do funcional as-sociado ao problema (2). Provamos também o Lema da Deformação de Clarke os Teoremas de Ekeland, Brézis-Nirenberg, Shujie Li e o Princípio GeralMinimax ([18], [19]). Veremos que o ingrediente chave na demonstração doTeorema do Passo da Montanha é o Lema da deformação de Clark.
No capítulo 3, enunciamos e provamos os seguintes Teoremas:
Teorema 0.1.1. Suponha (f0), (f1), (f2), (f3), (f4) válidos. Então existemconstantes positivas c1 e c2 tais que, para cada w ∈ H1
0 (Ω), o problema (2)tem uma solução uw tal que c1 ≤ ‖uw‖ ≤ c2. Além disso, sob as hipótesesacima, (2) tem uma solução positiva e uma negativa.
A demonstração foi feita em várias etapas.
Teorema 0.1.2. Suponha as condições (f0),. . .,(f5) válidas, então o proble-ma (3.1) possui uma solução positiva e uma negativa no sentido clássico.
A demonstração deste Teorema consiste, basicamente, em extrair dafamília de soluções associadas ao problema (2), por métodos iterativos, umasequência convergente em H1
0 cujo limite é uma solução para o problema (1).
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Capítulo 1
Regularidade de Soluções Fracas
1.1 Motivação -
Métodos Variacionais em Equações Dife-
renciais
O Método Direto do Cálculo das Variações consiste na obtenção de pontoscríticos, para um funcional associado de modo natural ao problema difer-encial. Essa idéia de tratar equações diferenciais através de um funcionalassociado aparece em meados do século XIX, de modo explícito com Dirich-let e Riemann. Mostraremos, neste capítulo, a aplicação dessas técnicas naresolução do Problema de Dirichlet homogêneo.
Formulação variacional de um problema de contorno elíptico
Dado x ∈ Rn, escreveremos
x = (x′, xn) onde x′ ∈ Rn−1, x′ = (x1, x2, . . . , xn−1) e xn ∈ R,
e poremos
|x′| =
(n−1∑i=1
x2i
) 12
.
Notaremos aindaRn
+ = x = (x′, xn);xn > 0,Q = x = (x′, xn); |x′| < 1 e |xn| < 1,Q+ = Q
⋂Rn
+,Q0 = x = (x′, xn); |x′| < 1 e xn = 0.
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Denição 1. Dizemos que um aberto Ω ⊂ Rn é de classe Cm, onde m ≥ 1e inteiro, se para cada x ∈ Γ = ∂Ω existe uma vizinhança U (em Rn) de x euma bijeção H : Q→ U tal que
H ∈ Cm(Q), H−1 ∈ Cm(U), H(Q+) = U ∩ Ω, H(Q0) = U ∩ Γ.
O aberto Ω é de classe C∞ se for de classe Cm para todo m.
Problema de Dirichlet homogêneo - Seja Ω ∈ Rn um aberto limitadode classe C1; buscamos uma solução u : Ω → R que verica
−4u+ u = f em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
. (1.1)
4u =n∑
i=1
∂2u
∂x2i
é o Laplaciano de u e f é uma função dada em Ω. A condição de contornou = 0 sobre Γ (fronteira) se chama condição de Dirichlet (homogênea).
Uma solução clássica do problema (1.1) é uma função u ∈ C2(Ω) quesatisfaz a equação em (1.1).
Multiplicando a equação (1.1) por v ∈ C1c (Ω), e integrando por partes,
obtemos ∫Ω
∇u∇v +
∫Ω
uv =
∫Ω
fv, ∀v ∈ C1c (Ω).
E segue por densidade∫Ω
∇u∇v +
∫Ω
uv =
∫Ω
fv, ∀v ∈ H10 (Ω). (1.2)
A expressão (1.2) motiva a seguinte denição: uma função u ∈ H10 é uma
solução fraca de (1.1) se u satisfaz à relação (1.2).
Algo surpreendente que veremos é que a procura por uma solução clássicase "reduz" a encontrarmos uma solução fraca.
Toda solução clássica é solução fraca
Que uma solução clássica de (1.1) satisfaz (1.2) nós já sabemos. Basta, então,notarmos que u ∈ H1
0 . Com efeito, u ∈ H1(Ω) ∩C(Ω) e u = 0 sobre Γ = ∂Ωe portanto u ∈ H1
0 .
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Existência e unicidade da solução fraca
Para vericarmos este fato, tomemos
(u, v) =
∫Ω
(∇u.∇v + uv)
o produto interno do espaço de Hilbert H = H10 , e o funcional linear ϕ ∈ H ′
ϕ : v 7→∫fv.
O Teorema da Representação de Riesz nos diz que existe um único u ∈ Htal que
< ϕ, v >= ϕ(v) = (u, v) ∀v ∈ H,
ou seja ∫Ω
(∇u.∇v + uv) =
∫Ω
fv ∀v ∈ H.
Regularidade da solução fraca
Este é um ponto delicado da demonstração, e um tanto quanto surpreendente,e portanto vamos abordá-lo com detalhe na seção 1.2.
Recuperação da solução clássica
Supondo que a solução u ∈ H10 de (1.1) pertence a C2(Ω). Então u = 0 sobre
Γ. Por outro lado temos∫Ω
(−4u+ u)v =
∫Ω
fv ∀v ∈ C1c (Ω)
e portanto (−4u+u) = f para quase todo ponto em Ω já que C1c (Ω) é denso
em L2(Ω). Como u ∈ C2(Ω), segue que (−4u + u) = f em todo ponto deΩ. Assim, u é solução no sentido clássico de (1.1).
1.2 Regularidade de Soluções Fracas
Teorema 1.2.1. [Regularidade para o Problema de Dirichlet] Seja Ω umaberto de classe C2 com Γ (fronteira) limitada. Sejam f ∈ L2(Ω) e u ∈H1
0 (Ω) tais que ∫Ω
∇u∇ϕ+
∫Ω
uϕ =
∫Ω
fϕ ∀ϕ ∈ H10 (Ω). (1.3)
9
Então, u ∈ H2(Ω) e ||u||H2 ≤ C||f ||2 onde C é uma constante que só dependede Ω. Além disso, se Ω é de classe Cm+2 e se f ∈ Hm, então
u ∈ Hm+2(Ω) com ||u||Hm+2 ≤ C||f ||m.
Demonstração: Faremos esta demonstração em três etapas.
Etapa A: Ω = Rn.
Notação 1. Dado h ∈ R, h 6= 0 poremos
Dhu =1
|h|(τhu− u), ou seja, (Dhu)(x) =
u(x+ h)− u(x)
|h|.
Façamos algumas considerações antes de prosseguirmos. Dados u, v funçõesquaisquer denidas de Rn em R.
∫Rn
(Dhu)vdx =
∫Rn
u(x+ h)− u(x)
|h|v(x)dx
=
∫Rn
u(x+ h)
|h|v(x)dx−
∫Rn
u(x)
|h|v(x)
=
∫Rn
u(y)
|h|v(y − h)dx−
∫Rn
u(x)
|h|v(x)
=
∫Rn
v(x− h)− v(x)
|h|x(x)dx =
∫Rn
u(D−hv)dx. (1.4)
Como nesta etapa A da demonstração Ω = Rn, nos permitiremos colocarapenas
∫para indicar
∫Rn .
Seja u uma solução fraca do problema "inicial" (1.1). Como u ∈ H1(Rn) =H1
0 (Rn), note que em (1.3) podemos tomar ϕ = D−h(Dhu). Assim, de (1.4)obtemos ∫
|∇Dhu|2 +
∫|Dhu|2 =
∫fD−h(Dhu).
E então
||Dhu||2H1 =
∫fD−h(Dhu) ≤ ‖f‖2‖D−h(Dhu)‖2. (1.5)
Da Proposição A.1, temos que ||τhv−v||L2(ω) ≤ |h|||∇v||L2(Rn) ∀ω ⊂⊂ Rn,e portanto
||τhv − v||L2(Rn) ≤ |h|||∇v||L2(Rn),
10
ou ainda
||D−hv||L2(Rn) ≤ ||∇v||L2(Rn). (1.6)
De (1.5) e (1.6),
||Dhu||2H1 ≤ ‖f‖2||∇(Dhu)‖2 ≤ ‖f‖2‖Dhu‖H1 ,
e em particular ∣∣∣∣∣∣∣∣Dh∂u
∂xj
∣∣∣∣∣∣∣∣2
≤ ‖Dhu‖2 ≤ ||Dhu||H1 ≤ ‖f‖2.
Assim, ∣∣∣∣∣∣∣∣τh ∂u∂xj
− ∂u
∂xj
∣∣∣∣∣∣∣∣2
≤ |h|‖f‖2,
e da Proposição A.1 obtemos que
∂u
∂xj
∈ H1 ∀j = 1, 2, . . . , n
e, portanto, u ∈ H2.
Queremos observar agora que se f ∈ Hn, então, u ∈ Hn+2. Faremos ocaso
f ∈ H1 ⇒ u ∈ H3,
e o caso geral segue indutivamente.
Notemos por Du qualquer das derivadas parciais ∂u∂xj
, 1 ≤ j ≤ n. Paraf ∈ H1, vimos que u ∈ H2, ou seja, Du ∈ H1. Queremos mostrar queDu ∈ H2. Note que se mostrarmos∫
∇(Du)∇ϕ+
∫(Du)ϕ =
∫(Df)ϕ ∀ϕ ∈ H1
0 , (1.7)
caímos no caso anterior, e o resultado segue.
Seja dado ϕ ∈ C∞c (Rn). Substituindo em (1.3) por Dϕ obtemos∫∇u∇(Dϕ) +
∫u(Dϕ) =
∫f(Dϕ)
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e, portanto, ∫∇(Du)∇ϕ+
∫(Du)ϕ =
∫(Df)ϕ.
E como C∞c é denso em H1(Rn), segue (1.7).
Etapa B: Ω = Rn+.
Denição 2. Diremos que h é paralelo à fronteira se h ∈ Rn−1 × 0, eescreveremos h//Γ.
Obs. Dado u ∈ H10 (Ω), se h//Γ, então, τhu ∈ H1
0 (Ω). De fato, tomemosun ∈ C1
c (Ω) que converge para u em H1(Ω). Note que τhun ∈ C1c (Ω), e que
τhun converge para τhu em H1(Ω).
Dado h//Γ, pondo ϕ = D−h(Dhu) em (1.3) temos∫Ω
|∇Dhu|2 +
∫Ω
Dhu =
∫Ω
fD−h(Dhu),
ou ainda por Hölder
||Dhu||2H1 ≤ ‖f‖2‖D−h(Dhu)‖2. (1.8)
Lema 1.3. ||Dhu||L2(Ω) ≤ ‖∇u‖L2(Ω) ∀u ∈ H1(Ω),∀h//Γ.
Demonstração:Comecemos supondo que u ∈ C1
c (Rn). Seja h ∈ Rn e denamos
v(t) = u(x+ th), t ∈ R.
Então, v′(t) = h.∇u(x+ th) e
u(x+ h)− u(x) = v(1)− v(0) =
∫ 1
0
v′(t)dt =
∫ 1
0
h.∇u(x+ th)dt.
Portanto,
|τhu(x)− u(x)|2 ≤ |h|2∫ 1
0
|∇u(x+ th)|2dt.
Tomando h//Γ, como Ω + th = Ω, temos
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∫Ω
|τhu(x)− u(x)|2dx ≤ |h|2∫
Ω
∫ 1
0
|∇u(x+ th)|2dtdx
= |h|2∫ 1
0
∫Ω
|∇u(x+ th)|2dxdt
= |h|2∫ 1
0
∫Ω+th
|∇u(y)|2dydt
= |h|2∫ 1
0
∫Ω
|∇u(y)|2dydt.
E assim
||τhu− u||2L2(Ω) ≤ |h|2∫
Ω
|∇u|2. (1.9)
Logo,||Dhu||L2(Ω) ≤ ‖∇u‖L2(Ω) ∀u ∈ C1
c (Rn),∀h//Γ.
Como Rn+ é em particular C1, por densidade1 temos
||Dhu||L2(Ω) ≤ ‖∇u‖L2(Ω) ∀u ∈ H1(Ω),∀h//Γ.
Por (1.8) e o Lema 1.3, temos
‖Dhu‖2H1 ≤ ‖f‖2‖∇(Dhu)‖2 ≤ ‖f‖2‖∇(Dhu)‖H1 ,
donde
‖Dhu‖H1 ≤ ‖f‖2 ∀ h//Γ. (1.10)
Dados 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ n− 1, h = |h|ek e ϕ ∈ C∞c (Ω), temos
−∫uD−h
(∂ϕ
∂xi
)=
∫Dh
(∂u
∂xi
)ϕ
que por Hölder e (1.10) segue
1Se Ω é C1 então o conjunto das funções C∞c (Rn) restritas a Ω é denso em H1(Ω).
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∣∣∣∣∫ uD−h
(∂ϕ
∂xi
)∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥Dh
(∂u
∂xi
)∥∥∥∥2
‖ϕ‖2 ≤ ‖Dhu‖H1 ‖ϕ‖2 ≤ ||f ||2||ϕ||2.
Passando o limite |h| → 0 obtemos∣∣∣∣∫ u∂2ϕ
∂xi∂xk
∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2‖ϕ‖2 ∀ 1 ≤ i ≤ n, ∀ 1 ≤ k ≤ n− 1. (1.11)
Armação: ∣∣∣∣∫ u∂2ϕ
∂x2n
∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2‖ϕ‖2 ∀ϕ ∈ C∞c (Ω).
De fato, de (1.3) temos
∫∇u∇ϕ =
∫(f − u)ϕ,
ou ainda,
∣∣∣∣∫ ∂x
∂xn
∂ϕ
∂xn
∣∣∣∣−∣∣∣∣∣n−1∑i=1
∫∂u
∂xi
∂ϕ
∂xi
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣
n∑i=1
∫∂u
∂xi
∂ϕ
∂xi
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫ (f − u)ϕ
∣∣∣∣e, portanto, ∣∣∣∣∫ u
∂2ϕ
∂x2n
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ (f − u)ϕ
∣∣∣∣+∣∣∣∣∣n−1∑i=1
∫u∂2ϕ
∂x2i
∣∣∣∣∣ .Obtemos de (1.11) e do fato ‖u‖2
H1 ≤ ‖f‖2‖u‖H1 que∣∣∣∣∫ u∂2ϕ
∂x2n
∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2‖ϕ‖2 ∀ϕ ∈ C∞c (Ω). (1.12)
Assim, de (1.11) e (1.12) temos∣∣∣∣∫ u∂2ϕ
∂xi∂xk
∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2‖ϕ‖2 ∀ 1 ≤ i ≤ n, ∀ 1 ≤ k ≤ n.
E da Proposição A.1 segue que u ∈ H2(Ω).
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Finalmente, demonstremos que se f ∈ Hm(Ω), então, u ∈ Hm+2(Ω).Novamente, faremos o caso
f ∈ H1 ⇒ u ∈ H3,
e o caso geral segue indutivamente.
Denotemos por Du qualquer das derivadas parciais tangenciais Du =∂u∂xj, 1 ≤ j ≤ n− 1.
Lema 1.4. Seja u ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω) que verica (1.3). Então Du ∈ H1
0 (Ω)e ∫
∇(Du)∇ϕ+
∫(Du)ϕ =
∫(Df)ϕ ∀ϕ ∈ H1
0 . (1.13)
Demonstração: Dado ϕ ∈ C∞c , se substituirmos Dϕ em (1.3) no lugar
de ϕ, obtemos ∫Ω
∇Du∇ϕ+
∫Ω
Duϕ =
∫Ω
Dfϕ,
e por densidade segue (1.13).
Resta-nos mostrar que Du ∈ H10 . Tomemos h = |h|ej, 1 ≤ j ≤ n − 1;
então Dhu ∈ H10 (H1
0 é invariante por translações tangenciais).
Pelo Lema 1.3 temos‖Dhu‖H1 ≤ ‖f‖2.
Como H10 é Hilbert e Dhnu, hn → 0 é uma sequência limitada, passando a
uma subsequência se necessário, Dhnu g (fracamente)2. Logo, pela in-clusão de Sobolev (Teo. D.0.1), Dhnu g em L2.
Para ϕ ∈ C∞c (Ω) temos,∫
(Dhu)ϕ =
∫u(D−hϕ).
Fazendo hn → 0∫gϕ =
∫u∂ϕ
∂xj
∀ϕ ∈ C∞c (Ω), ou seja,
∂u
∂xj
= g ∈ H10 .
2Dada (xn) ∈ E, xn x ⇔< f, xn >→< f, x > ∀f ∈ E′.
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Segue de ∣∣∣∣∫ u∂2ϕ
∂x2n
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ (f − u)ϕ
∣∣∣∣+∣∣∣∣∣n−1∑i=1
∫u∂2ϕ
∂x2i
∣∣∣∣∣ ,e da Proposição (A.2) que
∂u
∂xn
∈ H10 .
Pelo processo já exibido,
∂u
∂xj
∈ H10 ∀1 ≤ j ≤ n
e, portanto, u ∈ H3(Ω).
Etapa C: Caso geral.
Fixe uma função ζ ∈ C∞c (Rn) tal que 0 ≤ ζ ≤ 1 e
ζ(x)
1 se |x| ≤ 10 se |x| ≥ 2
.
E dena a sequência
ζn(x) = ζ(xn
)para n=1,2,. . .
Esta sequência é conhecida como sequência de truncamento. Se comprova,sem diculdade, que dado u ∈ H1, supp(ζnu) é compacto para cada n ∈ N eζnu converge em H2 para u.
Seja u ∈ H10 (Ω), solução de (1.3). Queremos mostrar que se f ∈ L2(Ω),
então, u ∈ H2(Ω). Para simplicar, vamos supor Ω limitado, caso contráriotomaremos ζnu que é solução fraca da equação
−4(ζnu) + ζnu = ζnf − 2∇ζn∇u− (4ζn)udef≡ g.
Claramente ζnu pertence a H10 (Ω) e tem suporte compacto (e assim pode-
mos supor domínio Ω′ limitado). Note que g ∈ L2(Ω′). Se provarmos que
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ζnu ∈ H2(Ω′), teremos que ζnu ∈ H2(Ω′) ∩H2(Ω′) ⊂ H2(Ω) e pela comple-tude de H2(Ω), teremos que u ∈ H2(Ω).
Para comprovar que ζnu é solução fraca da equação
−4(ζnu) + ζnu = g,
basta notarmos que dado w ∈ H10 (Ω),∫
Ω
[−4(ζnu)w + ζnuw − ζnfw + 2∇ζn∇uw + (4ζn)uw] = 0
se e somente se∫Ω
∇(ζnu)∇w +
∫Ω
ζnuw −∫
Ω
ζnfw + 2
∫Ω
∇ζn∇uw −∫
Ω
∇ζn∇(uw) = 0
se e somente se ∫Ω
∇u∇(wζn) +
∫Ω
uwζn =
∫Ω
fwζn.
Como u satisfaz (1.3), em particular, tomando v = wζn.
Logo, supondo Ω limitado temos que ∂Ω = Γ é um compacto de Rn. Seja⋃ki=1 Ui ⊃ Γ uma cobertura nita de Γ tal que para cada i existe uma bijeção
Hi : Q→ Ui com
Hi ∈ C1(Q), H−1i ∈ C1(U), Hi(Q+) = Ui ∩ Ω, Hi(Q0) = Ui ∩ Γ.
Então, tomemos uma partição da unidade, θ0, θ1, θ2, . . . , θk ∈ C∞(Rn), su-bordinada a essa cobertura, isto é, suppθi ⊂ Ui , suppθ0 ⊂ Ω, com
(i) 0 ≤ θi ≤ 1 ∀i = 0, . . . , k e∑k
i=1 = 1 em Ω
(ii) supp θi é compacto.
TRATAMENTO NO INTERIOR - Queremos mostrar que θ0 ∈ H2(Ω)
Como θ0 ∈ C∞c (Ω), a função estendida por zero fora de Ω pertence a
H1(Rn). Note que θ0u é solução fraca da equação
17
−4(θ0u) + θ0u = θ0f − 2∇θ0∇u− (4θ0)udef≡ g.
Note também que g ∈ L2, de fato
‖g‖2 ≤ 2‖θ0‖2‖f‖2 + 2‖∇θ0‖2‖∇u‖2 + ‖4θ0‖2‖u‖2 ≤ c(‖f‖2 + ‖u‖2).
Como no caso A, obtemos que θ0u ∈ H2(Rn), logo, θ0u ∈ H2(Ω). Eainda, como θ0u é solução fraca de
−4(θ0u) + θ0u = g,
tomando v = uθ0, temos
‖θ0u‖2 =
∫Ω
∇(θ0u)∇(θ0u) +
∫Ω
θ0uθ0u =
∫Ω
gθ0u ≤ ‖g‖2‖θ0u‖H1 .
Daí,‖θ0u‖ ≤ c(‖f‖2 + ‖u‖2) ≤
∼c ‖f‖2,
já que ‖u‖H1 ≤ ‖f‖2.
ESTIMATIVA NA FRONTEIRA - Queremos mostrar que θiu ∈ H2(Ω)para cada i = 1, 2, . . . , k.
Fixemos i ∈ 1, 2, . . . , k. Como H é uma bijeção entre Q e Ui, podemosescrever
x = H(y) e H−1(x) = J(x) ∀x ∈ Ui.
Note que v = θiu ∈ H10 (Ω ∩ Ui), e que v = θiu é solução fraca em Ω ∩ Ui
da equação−4v = θif − θiu− 2∇θi∇u− (4θi)u
def≡ g.
Analogamente ao caso anterior obtemos
‖g‖2 ≤ c‖f‖2.
Assim, (lembrando que v = θiu) temos o seguinte problema∫Ω∩Ui
∇v∇ϕdx =
∫Ω∩Ui
gϕdx ∀ϕ ∈ H10 (Ω ∩ Ui). (1.14)
Transportaremos v|Ω∩Uipara Q+, para utilizarmos a noção de derivadas
parciais tangenciais. Assim ponhamos
w(y) = v(H(y)) para y ∈ Q+
w(J(x)) = v(x) para x ∈ Ω ∩ Ui.
18
Lema 1.5. Com as notações anteriores temos: w ∈ H10 (Q+) e
n∑k,l=1
∫Q+
akl∂w
∂yk
∂ψ
∂yl
dy =
∫Q+
∼g ψdy ∀ψ ∈ (Q+), (1.15)
onde∼g= (g H)|JacH| ∈ L2(Q+) e as funções akl ∈ C1(Q+) vericam as
condições de elipticidade (1.16)
n∑i,j=1
ai,j(x)ξiξj ≥ α|ξ|2 ∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ Rn, para algum α > 0. (1.16)
Demonstração:
Dado ψ ∈ H10 (Q+), ponhamos ϕ(x) = ψ(J(x)), x ∈ (Ω ∩ Ui). Então
existe uma sequência ψn ∈ C1c (Q+) tal que
ψn(J(x)) → ψ(J(x)) = ϕ.
Tomando ϕn(x) = ψn J(x) que claramente pertence a C1c (Ω ∩ Ui), segue
que ϕ ∈ H10 (Ω ∩ Ui). Por outro lado temos que
∂v
∂xj
=∑
k
∂w
∂yk
∂Jk
∂xj
,∂ϕ
∂xj
=∑
l
∂ψ
∂yl
∂Jl
∂xj
.
Assim,
∫Ω∩Ui
∇v∇ϕdx =
∫Ω∩Ui
∑j
∂v
∂xj
∂ϕ
∂xj
=
∫Ω∩Ui
∑j
[(∑k
∂w
∂yk
∂Jk
∂xj
)(∑l
∂ψ
∂yl
∂Jl
∂xj
)]dx
=
∫Q+
∑j,k,l
∂Jk
∂xj
∂Jl
∂xj
∂w
∂yk
∂ψ
∂yl
|JacH|dy
=
∫Q+
∑k,l
(∑j
∂Jk
∂xj
∂Jl
∂xj
|JacH|
)∂w
∂yk
∂ψ
∂yl
dy.
Ou seja,
∫Ω∩Ui
∇v∇ϕdx =
∫Q+
∑k,l
akl∂w
∂yk
∂ψ
∂yl
dy, (1.17)
19
ondeakl =
∑j
∂Jk
∂xj
∂Jl
∂xj
|JacH|.
Como J ∈ C2(U i), temos que akl ∈ C1(Q+).
Veriquemos as condições de elipticidade de akl. Dado ξ ∈ Rn, ξ =(ξ1, . . . , ξn),
∑k,l
aklξkξl =∑k,l
(∑j
∂Jk
∂xj
∂Jl
∂xj
|JacH|
)ξkξl
= |JacH|∑
j
(∑k,l
∂Jk
∂xj
ξk∂Jl
∂xj
ξl
)
= |JacH|∑
j
(∑k
∂Jk
∂xj
ξk
)2
≥ α|ξ|2,
com α > 0, visto que JacJ e JacH são não singulares. Esta última desigual-dade está provada na Proposição A.3.
Por outro lado,∫Ω∩Ui
gϕdx =
∫Q+
(g H)ψ|JacH|dy. (1.18)
De (1.14), (1.17) e (1.18) temos∫Q+
∑k,l
akl∂w
∂yk
∂ψ
∂yl
dy =
∫Q+
(g H)ψ|JacH|dy.
Demonstremos agora que w ∈ H2(Q) e ‖w‖H2 ≤ ‖∼g ‖2. (Isto implicará
que θiu pertence a H2(Ω∩Ui) com ‖θiu‖H2 ≤ c‖f‖2 e, portanto, θiu pertencea H2(Ω)).
Como no caso B, onde Ω = Rn, utilizaremos translações tangenciais. Em(1.15), tomemos ψ = D−h(Dhw) com h//Q0 e |h| sucientemente pequenopara que ψ ∈ H1
0 (Q+). Note que se v = θiu tem suporte compacto, então,suppw ⊂ (x′, xn); |x′| < 1− delta e 0 < xn < 1− δ.
20
Obtemos então
∑k,l
∫Q+
Dh
(akl
∂w
∂yk
)∂
∂yl
(Dhw) =
∫Q+
∼g D−h(Dhw). (1.19)
Mas ∫Q+
∼g D−h(Dhw) ≤ ‖
∼g ‖2‖D−h(Dhw)‖2 (1.20)
≤ ‖∼g ‖2‖∇(Dhw)‖2.
Por outro lado,
Dh
(akl
∂w
∂yk
)(y) =
(akl(y + h)
∂w
∂yk
(y + h)− akl∂w
∂yk
)1
|h|
= akl(y + h)∂
∂yk
Dhw(y) + (Dhakl(y))∂w
∂yk
(y)
e, portanto,∑k,l
∫Q+
Dh
(akl
∂w
∂yk
)∂
∂yl
(Dhw) =∑k,l
∫Q+
akl(y + h)∂
∂yk
Dhw(y)∂
∂yl
(Dhw)dy
+∑k,l
∫Q+
(Dhakl(y))∂w
∂yk
(y)∂
∂yl
(Dhw)dy.
Assim,
∑k,l
∫Q+
Dh
(akl
∂w
∂yk
)∂
∂yl
(Dhw) ≥ α‖∇Dhw‖22 (1.21)
− C‖w‖H1‖∇Dhw‖2.
De (1.19), (1.20) e (1.21)
‖∼g ‖2‖∇Dhw‖2 ≥ α‖∇Dhw‖2
2 − C‖w‖H1‖∇Dhw‖2,
ou aindaα‖∇Dhw‖2 ≤ ‖
∼g ‖2 + C‖w‖H1 .
E podemos concluir
21
‖∇Dhw‖2 ≤∼C ‖
∼g ‖2 (1.22)
pois de (1.15) segue que
α‖w‖2H1 ≤
n∑k,l=1
∫Q+
akl∂w
∂yk
∂w
∂yl
dy =
∫Q+
∼g wdy ≤ ‖
∼g ‖2‖w‖2
H1 .
Sejam 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ n− 1, h = |h|ek e ψ ∈ C∞c (Ω).∫
Q+
Dh∂w
∂yk
ψ = −∫
Q+
(Dhw)∂ψ
∂yk
e de (1.22) ∫Q+
Dh∂w
∂yk
ψ ≤ ‖∇Dhw‖2‖ψ‖2 ≤∼C ‖
∼g ‖2‖ψ‖2.
Ou seja ∣∣∣∣∫Q+
(Dhw)∂ψ
∂yk
∣∣∣∣ ≤∼C ‖
∼g ‖2‖ψ‖2.
Passando o limite: h→ 0
∣∣∣∣∫Q+
∂w
∂yl
∂ψ
∂yk
∣∣∣∣ ≤∼C ‖
∼g ‖2‖ψ‖2. (1.23)
Para concluirmos que w ∈ H2(Q+) (e ‖w‖H2 ≤ c‖∼g ‖2), basta mostrar-
mos que ∣∣∣∣∫Q+
∂w
∂yn
∂ψ
∂yn
∣∣∣∣ ≤∼C ‖
∼g ‖2‖ψ‖2. (1.24)
Em (1.15) substituindo ψ por 1ann
ψ, com ann ≥ α > 0, e ann ∈ C1(Q+),segue que
∫Q+
∼g
ψ
ann
dy =n∑
k,l=1
∫Q+
akl∂w
∂yk
∂
∂yl
(ψ
ann
)dy
=n∑
k,l=1
∫Q+
akl∂w
∂yk
(∂ψ
∂yl
1
ann
− ψ
ann
∂a2nn
∂yl
)dy.
22
Isolando o termo que queremos estimar obtemos
∫Q+
∂w
∂yn
∂ψ
∂yn
dy =∑
(k,l) 6=(n,n)
∫Q+
aklψ
a2nn
∂w
∂yk
∂ann
∂yl
−∑
(k,l) 6=(n,n)
∫Q+
akl
ann
∂w
∂yk
∂ψ
yl
+
∫Q+
∼g
ψ
ann
dy +
∫Q+
∂w
∂yn
∂ann
∂yn
ψ
ann
dy.
Reagrupando os termos conseguimos que
∫Q+
∂w
∂yn
∂ψ
∂yn
dy =∑
(k,l) 6=(n,n)
∫Q+
∂w
∂yk
ψ
ann
∂akl
∂yl
−∑
(k,l) 6=(n,n)
∫Q+
∂
∂yl
(akl
ann
ψ
)∂w
∂yk
+
∫Q+
∼g
ψ
ann
dy +
∫Q+
∂w
∂yn
∂ann
∂yn
ψ
ann
dy.
Assim, combinando (1.23) e (1.25), onde em (1.23) é necessário tomarmosakl
annψ no lugar de ψ, obtemos∣∣∣∣∫
Q+
∂w
∂yn
∂ψ
∂yn
∣∣∣∣ ≤ c(‖w‖H1 + ‖∼g ‖2)‖ψ‖2 ∀ ψ ∈ C1
c (Q+),
donde podemos concluir (1.24).
Finalmente, se f ∈ Hm(Ω), então, θu ∈ Hm+2(Ω) para todo θ ∈ C∞c (Ω).
Para vericarmos este fato, basta repetirmos as estimativas feitas no interiorde Ω para o caso
f ∈ H1 ⇒ θu ∈ H3,
e o caso geral segue indutivamente.
Enunciaremos agora, sem demonstrar, mais alguns resultados sobre re-gularidade que utilizaremos no Capítulo 3.
Teorema 1.5.1. Suponhamos que h ∈ Lp(Ω), 1 < p < ∞ e que u ∈ H10 (Ω)
seja uma solução fraca do problema−4u = h(x) em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
(1.25)
Então, u ∈ W 2,p(Ω).
23
Demonstração:Note que o caso p = 2 provamos no Teorema 1.22. O caso geral, vide Agmon[2], Th.8.2
Teorema 1.5.2. Seja 0 < α ≤ 1 e suponhamos que u ∈ Cα(Ω)∩H10 (Ω) seja
uma solução fraca do problema (1.25) com h ∈ Cα(Ω). Então u ∈ C2,α(Ω).
Demonstração:Vide Gilbarg & Trudinger [12], Th.6.14
24
Capítulo 2
Teorema do Passo da Montanha
O foco deste capítulo é a existência de pontos críticos para funcionais. Provare-mos aqui a versão usual do Teorema do Passo da Montanha e, para tal, oingrediente chave nesta demonstração é o Lema de Deformação de Clark. Everemos como este importante Teorema nos auxilia na busca de pontos críti-cos para funcionais. Provaremos também o Lema da Deformação de Clarke os Teoremas de Ekeland, Brézis-Nirenberg, Shujie Li e o Princípio GeralMinimax ([18], [19]).
2.1 Funcionais Diferenciáveis
Neste capítulo, ‖ · ‖ indicará a norma do espaço métrico em questão.Vamos relembrar algumas noções de diferenciabilidade.
Denição 3. Seja ϕ : U → R onde U é um aberto de um espaço de BanachX. O funcional ϕ é Gateaux diferenciável em u ∈ U se existe f ∈ X ′, talque para todo h ∈ X,
limt→0
1
t[ϕ(u+ th)− ϕ(u)− 〈f, th〉] = 0.
Se o limite acima existir, ele é único e a derivada de Gateaux em u serádenotada por ϕ′(u), e dada por
〈ϕ′(u), h〉 := limt→0
1
t[ϕ(u+ th)− ϕ(u)].
O funcional ϕ tem derivada a Fréchet f ∈ X ′ em u se
limh→0
1
‖h‖[ϕ(u+ h)− ϕ(u)− 〈f, h〉] = 0.
25
O funcional ϕ pertence a C1(U,R) se ϕ possui derivada a Fréchet e esta écontínua em U .
Se X é um espaço de Hilbert e ϕ é diferenciável a Gateaux em u ∈ U , ogradiente de ϕ em u é denido por
(∇ϕ(u), h) := 〈ϕ′(u), h〉.
Obs.O funcional diferenciável a Fréchet é diferenciável a Gateaux.
Proposição 2.2. Se ϕ tem derivada Gateaux contínua em U , então, ϕ ∈C1(U,R).
Demonstração:Dados u0 ∈ U , h ∈ X e ϕ′ a derivada de Gateaux. Dena F : X → R pondo
F (u) = ϕ(u)− 〈ϕ′(u0), u− u0〉.
Pelo teorema do Valor Médio,
|F (u)− F (u0)| = |ϕ(u)− 〈ϕ′(u0), u− u0〉 − ϕ(u0)| (2.1)≤ sup
0≤θ≤1‖ϕ′(u0 + θ(u− u0))− ϕ′(u0)‖‖u− u0‖.
Como ϕ tem derivada Gateaux contínua em U , então, dado ε > 0, encon-tramos δ > 0 tal que, para qualquer ‖h‖ < δ temos
‖ϕ′(u0 + h)− ϕ′(x0)‖ ≤ ε.
Por (2.1),
‖ϕ(u0 +h)−ϕ(u0)−〈ϕ′(u0), h〉‖ ≤ sup0≤θ≤1
‖ϕ′(u0 +θ(h))−ϕ′(u0)‖‖h‖ ≤ ε‖h‖,
donde segue que ϕ é diferenciável a Fréchet e esta é contínua.
2.3 Construção do Campo Pseudo-Gradiente
Neste capítulo, ao demonstrarmos o Teorema do Passo da Montanha, uti-lizaremos o conceito de pseudo-gradiente denido por Palais em 1966.
26
Denição 4. Seja M um espaço métrico, X um espaço normado e h : M →X ′\0 uma função contínua. Um campo vetorial g é um pseudo-gradientepara h em M se g : M → X é contínuo e localmente de Lipschitz tal quepara todo u ∈M ,
‖g(u)‖ ≤ 2‖h(u)‖ , 〈h(u), g(u)〉 ≥ ‖h(u)‖2.
Note que‖h(u)‖2 ≤ 〈h(u), g(u)〉 ≤ ‖h(u)‖‖g(u)‖
e
‖h(u)‖ ≤ ‖g(u)‖ ≤ 2‖h(u)‖,onde
‖h(u)‖ = sup‖y‖=1y∈X
〈h(u), y〉.
Lema 2.4. (Existência do pseudo-gradiente) Seja M um espaço métrico, Xum espaço normado e h : M → X ′\0 uma função contínua. Então existeum campo vetorial pseudo-gradiente para h em M .
Demonstração:Dado v ∈M , existe, por denição, x ∈M tal que ‖x‖ = 1 e
〈h(v), x〉 > 2
3‖h(v)‖. (2.2)
Dena y := 32‖h(v)‖x. Assim temos
‖y‖ =3
2‖h(v)‖ < 2‖h(v)‖
e
〈h(v), y〉 =3
2‖h(v)‖〈h(v), x〉 > ‖h(v)‖2,
e esta última desigualdade temos de (2.2). Como h é contínua, existe umavizinhança Nv de v tal que
‖y‖ ≤ 2‖h(u) , 〈h(u), y〉 ≥ ‖h(u)‖2 para todo u ∈ Nv. (2.3)
A família N := Nv; v ∈ M obviamente é uma cobertura aberta deM . Como M é métrico, logo, paracompacto (Ver Elon - Espaços Métricos,pg. 285), então existe uma cobertura M = Mi : i ∈ I de M , aberta elocalmente nita, que rena N. Isto é, para cada u ∈ M existem índices
27
λ1, . . . , λn ∈ I e uma vizinhança Wu 3 u tais que W ∩ Mλ 6= ∅ ⇒ λ ∈λ1, . . . , λn. E ainda para cada Mi ∈ M existe Nv ∈ N tal que Mi ⊂ Nv.Assim, para cada i, podemos eleger yi := y tal que (2.3) é satisfeito paracada u ∈Mi.
Seja ρi(u) a distância de u ao complemento de Mi. Então ρi(u) é lips-chitziana e ρi(u)=0 se u /∈Mi. Dena
g(u) :=∑i∈I
ρi(u)∑j∈I ρj(u)
yi.
Observamos que g está bem denida, pois para cada u ∈ M a soma nodenominador é nita (visto que o renamento Mi é localmente nito) ediferente de zero.
Veriquemos que g é um campo pseudo-gradiente para h em M .
(i) Localmente de Lipschitz: xado u ∈M , tomemos Wu uma vizinhança deu que intercepta um número nito de abertos Mλ1 , . . . ,Mλn de M. Dados ae b em Wu,
|g(a)− g(b)| ≤∑i∈I
∣∣∣∣∣ ρi(a)∑j∈I ρj(a)
− ρi(b)∑j∈I ρj(b)
∣∣∣∣∣ |yi|
≤∑i∈I
(∣∣∣∣∣ ρi(a)∑j∈I ρj(a)
− ρi(b)∑j∈I ρj(a)
∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ ρi(b)∑
j∈I ρj(a)− ρi(b)∑
j∈I ρj(b)
∣∣∣∣∣)|yi|
≤∑i∈I
[k1|ρi(a)− ρi(b)|+
|ρi(b)|k2
∑j∈I
|ρj(b)− ρj(a)|
]|yi|,
ondek1 =
1∑j∈I ρj(a)
, k2 =1(∑
j∈I ρj(a))(∑
j∈I ρj(b)) .
Logo, g é Lipschitz.
(ii) g satisfaz (2.3):
‖g(u)‖ ≤∑i∈I
∣∣∣∣∣ ρi(u)∑j∈I ρj(u)
∣∣∣∣∣ 2‖h(u)‖ ≤ 2‖h(u)‖,
28
〈h(u), g(u)〉 ≥∑i∈I
ρi(u)∑j∈I ρj(u)
‖h(u)‖2 = ‖h(u)‖2.
Logo, g é um campo pseudo-gradiente para h em M .
2.5 Lema de deformação de Clark
Esta versão do Lema de deformação foi apresentada por Willem M. em 1983,durante sua visita à Universidade de Brasília [19].
Para S ⊂ X e α > 0 dena Sα := u ∈ X; dist(u, S) ≤ α.
Para ϕ ∈ C(X,R), e d ∈ R, dena ϕd =: u ∈ X;ϕ(u) ≤ d.
Lema 2.6. Seja X um espaço de Banach e ϕ ∈ C1(X,R), S ⊂ X, c ∈ R, eε > 0, δ > 0 tais que para todo
u ∈ ϕ−1[c− 2ε, c+ 2ε] ∩ S2δ, temos ‖ϕ′(u)‖ ≥ 8ε
δ.
Então existe η ∈ C1([0, 1]×X,X) tal que
(i) η(t, u) = u se t = 0 ou se u /∈ ϕ−1([c− 2ε, c+ 2ε]) ∩ S2δ,
(ii) η(t, ϕc+ε ∩ S) ⊂ ϕc−ε,
(iii) η(t, ·) : X → X é homeomorsmo de X em X para toso t ∈ [0, 1],
(iv) ‖η(t, u)− u‖ ≤ δ, ∀ u ∈ X, ∀ t ∈ [0, 1],
(v) ϕ(η(·, u)) é não crescente para todo u ∈ X,
(vi) ϕ(η(t, u)) < c, para todo u ∈ ϕc ∩ Sδ, e todo t ∈ (0, 1].
Demonstração:Pelo Lema 2.4, existe um campo de vetor pseudo-gradiente g para ϕ′ em
M := u ∈ X;ϕ′(u) 6= 0
com ‖ϕ′(u)‖ ≤ ‖g(u)‖ ≤ 2‖ϕ′(u)‖. (2.4)
Vamos denir
29
A := ϕ−1([c− 2ε, c+ 2ε]) ∩ S2δ,
B := ϕ−1([c− ε, c+ ε]) ∩ Sδ.
Claramente A e B são fechados e B A. Assim, dist(u,X\A) e dist(u,B)não são simultaneamente nulos, e mais, dado u ∈ X, existem c, d em R euma vizinhança Wu 3 u tais que se v ∈ Wu
0 < c ≤ dist(v,X\A) + dist(v,B) ≤ d <∞.
Dena Ψ : X → R pondo
Ψ(u) :=dist(u,X\A)
dist(u,X\A) + dist(u,B).
Note que Ψ está bem denido (pois o denominador é diferente de zero paratodo u ∈ X) e que 0 ≤ Ψ ≤ 1 com
Ψ(u) = 0 se u ∈ B,
Ψ(u) = 1 se u ∈ X\A.
Como dist(u,X\A) e dist(u,B) são lipschitz, análogo à demonstração dopseudo-gradiente, temos que Ψ é Lipschitz contínua.
Consideremos o seguinte campo vetorial em X denido por
f(u) :=
−Ψ(u)‖g(u)‖−2g(u) , u ∈ A
0 u ∈ X\A (2.5)
Note que A ⊂M (logo podemos denir g em A), e por (2.4) temos que
‖f(u)‖ ≤ 1
‖g(u)‖≤ 1
‖ϕ′(u)‖≤ δ
8ε, para todo u ∈ X.
E portanto, f está bem denida.
Veriquemos que f é localmente lipschitziana. Dado u ∈ X, tomemosWu vizinhança de u tal que g|Wu e Ψ|Wu são lipschitz. Dados a, b em Wu.
• Se a, b ∈ X\A, temos
‖f(a)− f(b)‖ = 0 ≤ ‖a− b‖.
30
• Se a ∈ A e b ∈ X\A, temos
‖f(a)− f(b)‖ =
∥∥∥∥Ψ(a)g(a)
‖g(a)‖2
∥∥∥∥ =
∥∥∥∥Ψ(a)g(a)
‖g(a)‖2−Ψ(b)
g(a)
‖g(a)‖2
∥∥∥∥≤ δ
8ε‖Ψ(a)−Ψ(b)‖,
e temos o resultado usando o fato de Ψ ser localmente de Lipschitz.
• Se a, b ∈ A, temos
‖f(a)− f(b)‖ ≤∥∥∥∥Ψ(a)
g(a)
‖g(a)‖2−Ψ(a)
g(b)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥Ψ(a)g(b)
‖g(b)‖2−Ψ(b)
g(b)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥≤
∥∥∥∥ g(a)
‖g(a)‖2− g(b)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥+δ
8ε|Ψ(a)−Ψ(b)|.
Novamente, pela desigualdade triangular∥∥∥∥ g(a)
‖g(a)‖2− g(b)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥ ≤∥∥∥∥ g(a)
‖g(a)‖2− g(a)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥+
∥∥∥∥ g(a)
‖g(b)‖2− g(b)
‖g(b)‖2
∥∥∥∥≤ ‖g(a)‖
∣∣∣∣‖g(b)‖2 − ‖g(a)‖2
‖g(a)‖2‖g(b)‖2
∣∣∣∣+ δ2
64ε2‖g(a)− g(b)‖
=|〈g(b)− g(a), g(b) + g(a)〉|
‖g(a)‖‖g(b)‖2+
δ2
64ε2‖g(a)− g(b)‖
≤ ‖g(a)− g(b)‖‖g(a) + g(b)‖‖g(a)‖‖g(b)‖2
+δ2
64ε2‖g(a)− g(b)‖
≤ k‖g(a)− g(b)‖.
Donde segue que f é localmente de lipschitz.
Para cada u ∈ X, o problema de Cauchyddtσ(t, u) = f(σ(t, u))σ(0, u) = u
tem única solução, contínua e denida em todo R (ver proposição-lema B.1).
31
Vamos denir
η : [0, 1]×X → X
(t, u) 7→ σ(8εt, u).
Se t ≥ 0,
‖σ(t, u)− u‖ ≤∫ t
0
‖f(σ(τ, u))‖dτ ≤ δt
8ε
e, portanto,
‖η(t, u)− u‖ ≤∫ t8ε
0
‖f(σ(τ, u))‖dτ ≤ δt.
Vericação de (i):Claramente η(0, u) = u.Se u ∈ X\A, f(u) = 0 e σ(t, u) = u é solução do problema (2.6), ou seja
d
dtσ(t, u) = 0 = f(u).
E portanto, η(t, u) = u para todo t ∈ R.
Vericação de (iv):É imediato.
Notemos agora que
d
dtϕ(σ(t, u)) = 〈ϕ′(σ(t, u)),
d
dtσ(t, u)〉 = 〈ϕ′(σ(t, u)), f(σ(t, u))〉 =
= −Ψ(σ(t, u))〈ϕ′(σ(t, u)), g(σ(t, u))〉
‖g(σ(t, u))‖2≤ −Ψ(σ(t, u))
4,
e essa última desigualdade temos pois
〈ϕ′, g〉‖g‖2
≥ 〈ϕ′, g〉4‖ϕ′‖2
≥ 1
4.
Vericação de (v):
Como 0 ≤ Ψ ≤ 1, segue que ϕ(η(·, u)) é não crescente.
32
Vericação de (vi):
Por (i), temos queϕ(η(0, u)) = ϕ(u) ≤ c
para todo u ∈ ϕc. Se tomamos u ∈ ϕc ∩ Sδ, temos que
d
dtϕ(σ(t, u)) ≤ −1
4,
e portanto σ decrescente, donde segue
ϕ(η(t, u)) < ϕ(η(0, u)) = ϕ(u) ≤ c
para todo u ∈ ϕc ∩ Sδ, para todo t ∈ (0, 1].
Vericação de (iii):
Denamos ht : R → X pondo ht(x) = ϕ(t, 0, x) ∈ X. Note que a veri-cação de (iii) segue de vericarmos
ht+s = ht hs.
De fato, neste casoht h−t = I
eh−1
t = h−t, que é contínua.
Logo, ϕ(t, ·) é um homeomorsmo e, portanto, η(t, ·) = ϕ(8εt, ·) é um ho-moemorsmo .
Mostremos então que ht+s = ht hs.Fixando s, temos
ht hs = ht(hs(x)) = ϕ(t, 0, ϕ(s, 0, x)).
Ponhaξ(t) = ϕ(t+ s, 0, x) = ht+s.
E assim, ξ′(t) = ϕ′(t+ s, 0, x) = f(ϕ(t+ s, 0, x)) = f(ξ(t)). Logo, ξ é soluçãodo problema d
dtσ(t, u) = f(σ(t, u)). Temos ainda, em t = 0
ξ(0) = ϕ(s, 0, x),
33
h0 hs = h0(hs(x)) = ϕ(0, 0, ϕ(s, 0, x)) = ϕ(s, 0, x).
Como f é localmente de Lipschitz, temos a unicidade da solução passandopor (0, ϕ(s, 0, x)), ou seja
ht+s = ht hs.
Vericação de (ii):
Seja u ∈ ϕc+ε ∩ Sδ. Se existe t ∈ [0, 8ε] tal que ϕ(σ(t, u)) < c − ε, entãoϕ(σ(8ε, u)) < c− ε e (ii) é satisfeito, pois ϕ é não crescente.
Se σ(t, u) ∈ ϕ−1([c− ε, c+ ε]) para todo t ∈ [0, 8ε] temos:
ϕ(σ(8ε, u)) = ϕ(u) +
∫ 8ε
0
d
dtϕ(σ(t, u))dt
≤ ϕ(u)− 1
4
∫ 8ε
0
Ψ(σ(t, u))dt = ϕ(u)− 1
48ε
≤ c+ ε− 2ε = c− ε,
donde segue (ii).
2.7 Princípio Variacional de Ekeland
Aplicaremos o Lema da Deformação para produzirmos teoremas relevantesna busca por pontos críticos.
Teorema 2.7.1. (Ekeland,1974 - [10]) Seja X um espaço de Banach, ϕ ∈C1(X,R) limitado inferiormente, v ∈ X e ε, δ > 0. Se
ϕ(v) ≤ infXϕ+ ε
então existe u ∈ X tal que(a) ϕ(u) ≤ infX ϕ+ 2ε(b) ‖ϕ′(u)‖ < 8ε
δ
(c) ‖u− v‖ < 2δ(2.6)
Demonstração:Tomemos S := v e c := infX ϕ. Suponhamos, por absurdo, a tese falsa,isto é, que para todo u ∈ ϕ−1([c, c+ ε]) ∩ S2δ tenhamos
‖ϕ′(u)‖ ≥ 8ε
δ.
34
(Note que estamos nas hipóteses do Lema da Deformação)
Então, pelo item (ii) do Lema 2.6, temos
η(1, v) ∈ ϕc−ε.
Contradição pois c = infX ϕ.
Denição 5. Seja H Banach, I ∈ C1(H,R) e c ∈ R. O funcional I satisfaza condição (PS)c se qualquer sequência un ⊂ H tal que
I(un) → c e I ′(un) → 0
possui uma subsequência convergente.
Corolário 2.7.1. Seja ϕ ∈ C1(X,R) limitado inferiormente satisfazendo(PS)c, com c := infX ϕ, então toda sequência minimizante para ϕ (ou sejavn tal que ϕ(vn) → c) contém uma subsequência convergente. Em particularexiste u ∈ X tal que ϕ(u) ≤ infX ϕ.
Demonstração:Seja vn uma sequência minimizante. Fixado n, sejam
En = max
1
n, ϕ(vn − c)
, δn =
√En.
Pelo Teorema 2.7.1, existe un ∈ X tal queϕ(un) ≤ c+ 2En
‖ϕ′(un)‖ < 8En√En
‖un − vn‖ < 2√En
(2.7)
Como ϕ satisfaz (PS)c, existe uma subsequência unk→ u com ϕ′(u) = 0. E
por (2.7), vnk→ u e ϕ(u) = c.
Teorema 2.7.2. (Brézis-Nirenberg,1991 - [7]) Sejam ϕ ∈ C1(X,R) e c :=lim inf‖u‖→∞ ϕ(u) ∈ R, então para todo ε, δ > 0 e R > 2δ, existe u ∈ X tal
35
que
(a) c− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ c+ 2ε,
(b) ‖u‖ > R− 2δ,
(c) ‖ϕ′(u)‖ < 8ε
δ.
(2.8)
Demonstração:Suponhamos a tese falsa, isto é, para todo u ∈ X que satisfaz (a) e (b),
‖ϕ′(u)‖ ≥ 8ε
δ.
Ponhamos S := X\B(0, R). Pela denição de c, ϕc+ε ∩ S é ilimitado poisexiste (an) ⊂ X tal que
ϕ(an)an→∞−→ c
e ϕc−ε ⊂ B(0, r) para r sucientemente grande pois caso contrário
lim inf ϕ ≤ c− ε.
Pelo item (iv) do Lema da Deformação dado
u ∈ ϕc+ε ∩ S , ‖η(1, u)− u‖ ≤ δ
e do item (ii), η(1, ϕc+ε ∩ S) ⊂ ϕc−ε. Assim,
‖u‖ ≤ ‖u− η(1, u)‖+ ‖η(1, u)‖ < δ + r,
ou sejaϕc+ε ⊂ B(0, r + δ).
Que é uma contradição pois ϕc+ε ∩ S é ilimitado.
Corolário 2.7.2. (Shujie Li - 1986) Seja ϕ ∈ C1(X,R) limitado inferior-mente. Se toda sequência (un) ⊂ X tal que ϕ(un) → c e ϕ′(un) → 0 élimitado, então, ϕ(u) →∞ quando ‖u‖ → ∞.
Demonstração:Se a tese é falsa, existe uma sequência ‖an‖ → ∞ com ϕ(an) <∞. Logo
c := lim inf‖u‖→∞
ϕ(u) ∈ R.
Pelo Teorema anterior, existe uma sequência (un) ⊂ X tal que
ϕ(un) → c, ϕ′(un) → 0, ‖un‖ → ∞.
Contradição, logo, a tese é verdadeira.
36
2.8 Princípio Geral Minimax
Teorema 2.8.1. Seja X um espaço de Banach. Seja M0 um subespaçofechado do espaço métrico M e Γ0 ⊂ C(M0, X). Dena
Γ := γ ∈ C(M : X); γ|M0 ∈ Γ0.
Se ϕ ∈ C1(X,R) satisfaz
∞ > c := infy∈Γ
supu∈M
ϕ(γ(u)) > a := supγ0∈Γ0
supu∈M0
ϕ(γ0(u)) (2.9)
então, para todo ε ∈ (0, c−a2
), δ > 0 e γ ∈ Γ tal que
supM
ϕ γ ≤ c+ ε, (2.10)
existe u ∈ X tal que
(a) c− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ c+ 2ε,
(b) dist(u, γ(M)) ≤ 2δ,
(c) ‖ϕ′(u)‖ ≤ 8ε
δ.
Demonstração:Suponhamos que para todo u ∈ X satisfazendo (a) e (b),
‖ϕ′(u)‖ > 8ε
δ.
Queremos aplicar o Lema da Deformação com S := γ(M). Note que setomarmos ε′ < ε, e u satisfazendo
c− 2ε′ ≤ ϕ(u) ≤ c+ 2ε′,
dist(u, γ(M)) ≤ 2δ,
‖ϕ′(u)‖ > 8ε′
δ,
então, u satisfaz
(a) c− 2ε ≤ ϕ(u) ≤ c+ 2ε,
(b) dist(u, γ(M)) ≤ 2δ,
(c) ‖ϕ′(u)‖ > 8ε
δ.
37
Assim, assuma
c− 2ε > a. (2.11)
Denaβ(u) := η(1, γ(u)).
Para todo u ∈M0, de (2.11) e do item (i) do Lema de Deformação,
β(u) = η(1, γ0(u))(i)= γ0(u),
pois supu∈M0≤ a < c− 2ε, o que implica que β pertence à Γ. Por (2.10),
supM
ϕ γ ≤ c+ ε.
Assim, β(u) ∈ ϕc+ε ∩ S e pelo item (ii) do Lema da Deformação,
supu∈M
ϕ(β(u)) = supu∈M
ϕ(η(1, γ0(u)))(ii)
≤ c− ε,
o que contraria a denição de c. Logo a tese é verdadeira.
Corolário 2.8.1. Supondo (2.9) então existe uma sequência (un) ⊂ X sa-tisfazendo
ϕ(un) → c, ϕ′(un) → 0.
Em particular, se ϕ satisfaz (PS)c, então c é um valor crítico de ϕ.
Demonstração:Tomando
εn =1
n, e δ = 1,
pelo Teorema 2.8.1, existe un ∈ X tal que
c− 2
n≤ ϕ(un) ≤ c+
2
n,
‖ϕ′(un)‖ ≤ 8
n.
Logo, a sequência (un) é tal que
ϕ(un) → c, ϕ′(un) → 0.
38
Teorema 2.8.2. (Teorema do Passo da Montanha, Ambrosetti-Rabinowitz,1973 - [4]). Sejam X um espaço de Banach, ϕ ∈ C1(X,R), a ∈ X e r > 0tais que ‖a‖ > r e
b := inf‖u‖=r
ϕ(u) > ϕ(0) ≥ ϕ(a).
Se ϕ satisfaz (PS)c com
c := infγ∈Γ
maxt∈[0,1]
ϕ(γ(t)),
Γ := γ ∈ C([0, 1], X); γ(0) = 0, γ(1) = a,
então c é um valor crítico de ϕ.
Demonstração:
Basta aplicar o Corolário anterior com M = [0, 1], M0 = 0, 1, Γ0 =γ0, γ0(0) = 0 e γ0(1) = a.
39
Capítulo 3
Equações Elípticas Semilineares
com dependência do gradiente
Neste capítulo estudamos a solubilidade do problema de Dirichlet para equaçõeselípticas semilineares com dependência não linear também do gradiente dasolução (D. Figueiredo, M. Girardi & M. Matzeu [9]). Mais especicamente,estudamos o problema
−4u = f(x, u,∇u) em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
(3.1)
onde Ω é um domínio suave e limitado em Rn, n ≥ 3.
Queremos utilizar as técnicas do Teorema do Passo da Montanha para re-solver o problema (3.1), mas como este não é um problema variacional, nãoconseguimos aplicar a teoria de ponto-crítico diretamente. Mas esta dicul-dade foi contornada da seguinte forma: Ao problema (3.1), associamos umafamília de problemas elípticos semilineares sem dependência do gradiente dasolução. Isto é, para cada w ∈ H1
0 , consideramos o problema−4u = f(x, u,∇w) em Ωu = 0 sobre Γ = ∂Ω
. (3.2)
Agora, com restrições sobre o crescimento de f , podemos tratar o problema(3.2) com métodos variacionais.
Sob hipóteses adequadas vericamos, no Teorema 3.0.3, que o problema(3.2) tem solução. E da família associada, extraímos por métodos iterativosuma sequência cujo limite é solução do problema (3.1).
40
O primeiro conjunto de hipóteses sobre f que veremos ser suciente paraprovarmos que o problema (3.2) possui solução é o seguinte:
(f0) f : Ω× R× Rn é uma função contínua e localmente de Lipschitz.
(f1) limt→0f(x,t,ξ)
t= 0 uniformemente para x ∈ Ω e ξ ∈ Rn.
(f2) Existem constantes a1 > 0 e p ∈(1, n+2
n−2
)tais que
|f(x, t, ξ)| ≤ a1(1 + |t|p) ∀x ∈ Ω, t ∈ R, ξ ∈ Rn.
(f3) Existem constantes θ > 2 e t0 > 0 tais que
0 < θF (x, t, ξ) ≤ tf(x, t, ξ) ∀x ∈ Ω, |t| ≥ t0, ξ ∈ Rn
sendoF (x, t, ξ) =
∫ t
0
f(x, s, ξ)ds.
(f4) Existem constantes a2, a3 tais que
F (x, t, ξ) ≥ a2|t|θ − a3 ∀x ∈ Ω, t ∈ R, ξ ∈ Rn.
Observação 1: De (f2) e (f3) temos que θ < p + 1. De fato, de (f3), set > t0, então, θF ≤ tf e portanto∫ t
t0
θ
sds ≤
∫ t
t0
f(x, s, ξ)
F (x, s, ξ)ds,
ou ainda θ ln t ≤ ln cF.
Assim, tθ ≤ cF e por (f2)
tθ ≤ cF ≤ α
∫ t
0
(1 + sp)ds = α
(t+
tp+1
p+ 1
),
com α = a1c. Obtemos então que
αt+ αtp+1
p+ 1− tθ ≥ 0, para todo t > t0.
Assim, θ ≤ p+ 1.
41
Se θ = p+ 1, ainda considerando t > t0, por (f3) e (f2),
F (x, t, ξ) ≤ t
p+ 1a1(1 + tp) = a1
(t
p+ 1+
tp+1
p+ 1
),
masF (x, t, ξ) = a1
∫ t
0
(1 + tp) = a1
(t+
tp+1
p+ 1
),
que é uma contradição. Logo θ < p+ 1.
Observação 2: Um exemplo de uma função que satisfaz as hipóteses an-teriores é dado por
f(x, t, ξ) = b1|t|p−1tg(ξ), (3.3)
com b1 > 0, g ∈ C(Rn) ∩ L∞(Rn) é tal que g(ξ) ≥ b2 > 0.
Veriquemos que f assim denida satisfaz (f0), (f1), (f2), (f3), (f4).
(f0) Claramente f é contínua e como p > 1,
|f(x, t′, ξ)− f(x, t′′, ξ)| ≤ p|c|p−1b1‖g‖∞|t−′ t′′|,
para algum c ∈ (t′, t′′). Logo f é localmente lipschitz contínua.
(f1) Basta notar quef(x, t, ξ)
t≤ b1|t|p−1‖g‖∞.
(f2) Tome a1 = b1‖g‖∞, temos
|f(x, t, ξ)| ≤ b1|t|p‖g‖∞ < b1‖g‖∞(1 + |t|p).
(f3) Tome t0 = 1.
F (x, t, ξ) =
∫ t
0
b1|s|pg(ξ)ds = b1|t|p+1
p+ 1g(ξ) =
tf(x, t, ξ)
p+ 1.
(f4)
F (x, t, ξ) =
∫ t
0
b1|s|pg(ξ)ds ≥b1b2p+ 1
|t|p+1.
42
Teorema 3.0.3. Suponha (f0), (f1), (f2), (f3), (f4) válidos. Então existemconstantes positivas c1 e c2 tais que, para cada w ∈ H1
0 (Ω), o problema (3.2)tem uma solução uw tal que c1 ≤ ‖uw‖ ≤ c2. Além disso, sob as hipótesesacima, (3.2) tem uma solução positiva e uma negativa.
Demonstração:Como descrito no Capítulo 1, procurar uma solução clássica de (3.2) se′′limita′′ a procurar uma solução no sentido fraco. Ou seja, estamos procu-rando v ∈ H1
0 tal que v é ponto crítico do funcional associado Iw : H10 (Ω) → R
dado por
Iw(v) =1
2
∫Ω
|∇v|2 −∫
Ω
F (x, v,∇w). (3.4)
Assim, precisamos garantir a existência de pontos críticos para Iw. Para tal,vericaremos nos lemas 3.1, 3.2 e 3.3 que o funcional Iw possui a geometriado passo da montanha e satisfaz as condições de Palais-Smale.
Lema 3.1. Dado w ∈ H10 (Ω), existem números positivos ρ e α que não
dependem de w, tais que
Iw(v) ≥ α ∀v ∈ H10 (Ω), ‖v‖ = ρ.
Demonstração:De (f1), dado ε > 0 existe δ > tal que
• se |t| < δentão |f(x, t, ξ)| < |t|ε e
|F (x, t, ξ)| ≤∫ t
0
|f(x, s, ξ)|ds ≤∫ t
0
|s|εds = εt2
2. (3.5)
• se |t| > δanalisando o caso em que |t| ≤ 1 temos
a1|t| ≤ a1 ≤|t|p+1
|δ|p+1a1 ≤
kε
2|t|p+1
analisando o caso em que |t| > 1 temos
a1|t| ≤ a1|t|p+1 ≤ kε
2|t|p+1
comkε = 2 max
a1,
a1
δp+1
.
43
Portanto, se |t| > δ
|F (x, t, ξ)| ≤∫ t
0
a1(1 + |s|p)ds ≤ a1|t|+ a1|t|p+1 ≤ kε|t|p+1. (3.6)
De (3.5) e (3.6) temos:
|F (x, t, ξ)| ≤ εt2
2+ kε|t|p+1 ∀x ∈ Ω, t ∈ R, ξ ∈ Rn.
Logo, analisando o funcional temos
Iw(v) =1
2
∫Ω
|∇v|2 −∫
Ω
F (x, v,∇w) ≥ 1
2‖v‖2 − ε
2
∫Ω
|v|2 − kε
∫Ω
|v|p+1.
Pelos teoremas de Inclusão de Sobolev e Caracterização de λ1 feitos noApêndice-D temos
‖v‖22 ≤
1
λ1
‖v‖2
‖v‖p+1p+1 ≤ C‖v‖p+1
e portanto
Iw(v) ≥ 1
2
(1− ε
λ1
)‖v‖2 − kε‖v‖p+1,
com kε = Ckε, logo kε não depende de w .
Escolhendo ε tal que (1− ε
λ1
)> 0
é possível escolhermos ρ e α tais que
1
2
(1− ε
λ1
)ρ2 − kερ
p+1 ≥ α > 0.
Assim,Iw(v) ≥ α ∀v ∈ H1
0 (Ω), ‖v‖ = ρ.
Lema 3.2. Dado w ∈ H10 (Ω). Fixemos v0 ∈ H1
0 com ‖v0‖ = 1. Então existeT > 0, que não depende de w, tal que
Iw(tv0) ≤ 0 para todo t ≥ T.
44
Demonstração:De (f4) temos
Iw(tv0) =1
2
∫Ω
|∇(tv0)|2 −∫
Ω
F (x, tv0,∇w) ≤ |t|2
2− a2|t|θ
∫Ω
|v0|θ + a3|Ω|.
Lembrando que 2 < θ < p+ 1, pela Imersão de Sobolev temos
‖v0‖θ ≤ Sθ‖v0‖ = Sθ.
Armação: ‖v0‖θ 6= 0.
De fato, se ‖v0‖θ = 0, então, ‖v0‖2 = 0 e assim∫Ω
∂v0
∂xi
ϕ =
∫Ω
v0∂ϕ
∂xi
= 0 ∀i = 1, . . . , n e ∀ϕ ∈ C∞c .
E neste caso∂v0
∂xi
= 0 q.t.p,
o que implica ‖v0‖ = 0, o que é um absurdo pois ‖v0‖ = 1.
Logo, ‖v0‖θθ = K com 0 < K <∞, e temos a seguinte desigualdade
Iw(tv0) ≤t2
2− a2|t|θK + a3|Ω|.
Como θ > 2, existe T > 0 tal que
Iw(tv0) ≤ 0 para todo t ≥ T.
Pelos lemas (3.1) e (3.2) temos que o funcional
Iw(v) =1
2
∫Ω
|∇v|2 −∫
Ω
F (x, v,∇w)
possui a geometria do Passo da Montanha, isto é:
α := inf‖v‖=ρ
Iw(v) > I(0) = 0 ≥ Iw(a),
com a = tv0 para algum t > T . Para utilizarmos o Teorema 2.8.2, temosque vericar que Iw satisfaz as condições (PS). Para tal, vejamos o seguintelema
45
Lema 3.3. Supondo (f0), (f1), (f2), (f3), (f4) válidos, então o funcional Iw(v) =12
∫Ω|∇v|2−
∫ΩF (x, v,∇w) satisfaz a condição (PS)c, ou seja, I ∈ C1(H,R)
e dado c ∈ R, qualquer sequência un ⊂ H tal que
I(un) → c e I ′(un) → 0
possui uma subsequência convergente.
Demonstração:Primeiramente veriquemos que I ∈ C1(H,R). Para tal ponhamos
φ(u) =1
2
∫Ω
|∇u|2
eψ(u) =
∫Ω
F (x, u,∇w)
Armação 1: Nas hipóteses já mencionadas,∫Ω
F (x, u,∇w)dx
é Gateaux diferenciável, e ainda, a derivada Gateaux é contínua e portantoψ é C1. De fato, dados u, h ∈ H1
0 , x ∈ Ω e 0 < |t| < 1. Pelo Teorema doValor Médio, existe λ ∈ (1, 0) tal que
|F (x, u+ th,∇w)− F (x, u,∇w)||t|
= |f(x, u+ λth,∇w)h| .
Pelo item (f2)
|f(x, u+ λth,∇w)h| ≤ a1 [1 + (|u|+ |h|)p] |h| ≤ a1 [1 + 2p(|u|p + |h|p)] |h|.
E essa última desigualdade é verdadeira pois para A, B>0,
(A+B)p ≤ 2p ((A)p + (B)p) .
Por Hölder temos∫Ω
a1[1 + 2p(|u(x)|p + |h(x)|p)]|h(x)|dx ≤
≤ a1
∫Ω
dx+ a12p
(∫Ω
(|u(x)|p + |h(x)|p)p+1
p dx
) pp+1(∫
Ω
(|h(x)|)p+1dx
) 1p+1
46
que é nito pela Imersão de Sobolev (Teo.D.0.1 - visto que p+1 < 2nn−2
= 2∗).Como
F (x, u+ th,∇w)− F (x, u,∇w)
|t|→ f(x, u,∇w)h pontualmente,
segue do Teorema da Convergência Dominada que
〈ψ′(u), h〉 =
∫Ω
f(x, u,∇w)hdx.
Veriquemos a continuidade de ψ′.Dado (un) → u em H1
0 , por Hölder temos
|〈ψ′(un)− ψ′(u), h〉| ≤∫
Ω
|f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)||h|dx
≤ ‖f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)‖q‖h‖p+1
≤ Cp‖f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)‖q‖h‖,
Cp é a constante da imersão de Sobolev e q = p+1p.
Tomando o sup‖h‖=1 temos
‖ψ′(un)− ψ′(u)‖ ≤ Cp‖f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)‖q.
Pela Imersão de Sobolev, un → u em Lp+1. Então, do Lema C.2, segueque
f(x, un,∇w) → f(x, u,∇w) em Lq, com q =p+ 1
p.
E portanto‖ψ′(un)− ψ′(u)‖ → 0.
Armação 2: O funcionalφ(u)
é C1. De fato, dados u, h ∈ H10
φ(u+ h)− φ(u)−∫∇u∇h
‖h‖=
∫Ω
|∇(u+ h)|2‖h‖
2
−∫
Ω
|∇u|2‖h‖
2
−∫∇u∇h‖h‖
= ‖h‖.
47
Logo, φ é diferenciável a Fréchet.
Veriquemos a continuidade de φ. Dado un → u em H10 , temos∣∣∣∣∫ (∇un −∇u)∇h
∣∣∣∣ ≤ ‖un − u‖‖h‖.
Logo φ ∈ C1.
Assim, vericamos que o funcional
Iw(v) =1
2
∫Ω
|∇v|2 −∫
Ω
F (x, v,∇w)
é C1.
Veriquemos agora que Iw satisfaz as condições (PS)c. Dada qualquer se-quência (un) ⊂ H1
0 (Ω) tal que
Iw(un) → c <∞ e I ′w(un) → 0,
pelo Teorema da Representação de Riesz existe g ∈ H10
〈I ′w(un), un〉 ≤ ‖un‖‖g‖, com ‖g‖ = ‖I ′w(un)‖H′ .
Então, para n sucientemente grande,
c+ 1 + ‖un‖ ≥ Iw(un)− 1
θ〈I ′w(un), un〉 =
1
2‖un‖2 −
∫Ω
F (x, un,∇w)dx−
− 1
θ‖un‖2 +
1
θ
∫Ω
f(x, un,∇w)undx =
(1
2− 1
θ
)‖un‖2 −
−∫
Ω
F (x, un,∇w)dx+1
θ
∫Ω
f(x, un,∇w)undx.
Queremos garantir a limitação para ‖un‖, e note que para isso, se mos-trarmos a
Armação 3:∫
Ω
F (x, un,∇w)dx− 1
θ
∫Ω
f(x, un,∇w)undx é limitado.
teremos:
48
∫Ω
F (x, un,∇w)dx− 1
θ
∫Ω
f(x, un,∇w)undx+ c < d2
se e somente sed2 + ‖un‖ −
(1
2− 1
θ
)‖un‖2 ≥ 0,
se e somente sed2
‖un‖2+
1
‖un‖−(
1
2− 1
θ
)≥ 0,
somente se‖un‖ <∞.
Logo ‖un‖ é limitado.Prova da Armação 3: Seja t0 dado na condição (f3). Fixe n ∈ N e
considere o conjunto
Dn = x ∈ Ω; ‖un(x)‖ > t0.
Então ∫Ω
(F (x, un,∇w)− 1
θf(x, un,∇w)un
)dx
=
∫Dn
(F (x, un,∇w)− 1
θf(x, un,∇w)un
)dx+
+
∫Ω\Dn
(F (x, un,∇w)− 1
θf(x, un,∇w)un
)dx.
Pela condição (f3), se x ∈ Dn,
F (x, un,∇w) ≤ 1
θf(x, un,∇w)un
e portanto ∫Dn
(F (x, un,∇w)− 1
θf(x, un,∇w)un
)dx ≤ 0.
Se x ∈ Ω\Dn, temos∣∣∣∣∫Ω\Dn
F (x, un,∇w)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫Ω\Dn
a1(1 + |t0|p)|Ω|dx = a1(1 + |t0|p)|Ω|2 = k1,
∣∣∣∣1θ∫
Ω\Dn
f(x, un,∇w)undx
∣∣∣∣ ≤ ∫Ω\Dn
a1
θ
(|t0|+
|t0|p+1
p+ 1
)dx = k2.
49
Note que k1 e k2 não dependem de n. Assim, podemos concluir∫Ω
F (x, un,∇w)dx− 1
θ
∫Ω
f(x, un,∇w)undx < k1 + k2,
para todo n ∈ N, e portanto provamos a Armação 3 .
Passando a uma subsequência se necessário, temos que
un u em H10 .
Pelo Teorema D.0.3 (Rellich-Kondrachov)
un → u em Lp,
e pelo Lema C.2, temos
f(x, un,∇w) → f(x, u,∇w) em Lp′ . (3.7)
ComoI ′w(un)− I ′w(u) → −I ′w(u)
eun u em H1
0 .
Por resultados sobre convergência fraca (vide Proposição III.5, [6]), temosque
〈I ′w(un)− I ′w(u), un − u〉 → 0. (3.8)
Note que
‖un − u‖2 = 〈I ′w(un)− I ′w(u), un − u〉+
+
∫[f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)](un − u)dx
≤ 〈I ′w(un)− I ′w(u), un − u〉+
+ ‖f(x, un,∇w)− f(x, u,∇w)‖p′‖un − u‖p.
Logo, por (3.7) e (3.8)‖un − u‖ → 0,
e concluímos que I satisfaz (PS)c .
50
Assim, pelo Teorema 2.8.2, dado w ∈ H10 , o problema (3.2) tem pelo
menos uma solução (no sentido fraco) uw, que é obtida como um pontocrítico de Iw, a saber
I ′w(uw) = 0, Iw = infγ∈Γ
maxt∈[0,1]
Iw(γ(t)),
com Γ = γ ∈ C0([0, 1] : H10 ); γ(0) = 0, γ(1) = Tv0, para v0 e T dados no
lema 3.2.
Nos lemas 3.4 e 3.5, exibiremos constantes c1 e c2 tais que se uw é soluçãofraca do problema (3.2), então
c1 ≤ ‖uw‖ ≤ c2
para todo w ∈ H10 , ou seja, c1 e c2 não dependem de w.
Lema 3.4. Seja w ∈ H10 (Ω). Existe uma constante positiva, independente
de w, tal que‖uw‖ ≥ c1,
para toda solução uw obtida no lema 3.3.
Demonstração:Usando a equação que uw satisfaz, a saber (3.2), obtemos∫
Ω
|∇uw|2 =
∫Ω
f(x, uw,∇w)uw. (3.9)
Como no lema 3.1, segue de (f1) e (f2) a desigualdade
|f(x, t, ξ)| ≤ ε|t|+ cε|t|p.
Usando esta desigualdade em (3.9) temos:∫Ω
|∇uw|2 ≤ ε
∫Ω
|uw|2 + cε
∫Ω
|uw|p+1.
Assim,
‖uw‖2 ≤ ε‖uw‖22 + cε‖uw‖p+1
p+1 ≤ε
λ1
‖uw‖2 + cε‖uw‖p+1.
E essa última desigualdade obtemos da desigualdade de Poincaré e da imer-são de Sobolev (ver apêndice D).
51
Tomando ε > 0 tal que (1− ε
λ1
)> 0,
temos
‖uw‖ ≥[
1
cε
(1− ε
λ1
)] 2p+1
:= c1.
Note que c1 não depende de w.
Lema 3.5. Seja w ∈ H10 (Ω). Então existe uma constante positiva c2, inde-
pendente de w, tal que‖uw‖ ≤ c2,
para toda solução uw obtida no lema 3.3.
Demonstração:Pela caracterização de uw no lema 3.3, temos
Iw(uw) ≤ maxt≥0
Iw(tv0),
com v0 escolhido no lema 3.3.
Estimando Iw(tv0) usando (f4) temos:
Iw(tv0) =t2
2
∫Ω
|∇v0|2 −∫
Ω
F (x, tv0,∇w) ≤ t2
2− a2|t|θ
∫Ω
|v0|θ + a3|Ω|.
Dena
h(t) :=t2
2− a2|t|θ
∫Ω
|v0|θ + a3|Ω|. (3.10)
Como vimos no lema 3.2, ‖v0‖2 6= 0, e do fato de θ > 2 temos que hassume um máximo positivo, ou seja, para algum c2 > 0, h(t) ≤ c2 para todot ∈ R. E temos,
1
2‖∇uw‖2 −
∫Ω
F (x, uw,∇w) = Iw(uw) ≤ maxt≥0
Iw(tv0) ≤ c2.
52
Assim,
1
2‖∇uw‖2 ≤ c2 +
∫Ω
F (x, uw,∇w). (3.11)
Então, resta vericar o que ocorre com∫Ω
F (x, uw,∇w).
Para tal, seja t0 dado na condição (f3), dena
D := x ∈ Ω; |uw(x)| > t0.
∫Ω
F (x, uw,∇w) =
∫Ω\D
F (x, uw,∇w) +
∫Ω
F (x, uw,∇w)
≤∫
Ω\Da1
(t0 +
|t0|p+1
p+ 1
)+
1
θ
∫Ω
f(x, uw,∇w)uw
= a1
(t0 +
|t0|p+1
p+ 1
)|Ω\D|+ 1
θ‖uw‖.
Voltando à equação (3.11) temos
1
2‖∇uw‖2 ≤ c2 + a1
(t0 +
|t0|p+1
p+ 1
)|Ω\D|+ 1
θ‖uw‖.
Logo, (1
2− 1
θ
)‖∇uw‖2 ≤ c2 + a1
(t0 +
|t0|p+1
p+ 1
)|Ω\D|
e, portanto,
‖∇uw‖ ≤
1(
12− 1
θ
) [c2 + a1
(t0 +
|t0|p+1
p+ 1
)|Ω\D|
] 12
:= c2.
Note que c2 não depende de w, e pode ser explicitado.
Com este próximo lema, garantiremos que o problema (3.2) possui umasolução positiva e uma negativa.
53
Lema 3.6. Suponha (f0), (f1), (f2), (f3), (f4) válidos. Então o problema (3.2)possui uma solução positiva e uma negativa.
Demonstração:Dena
f(x, t, ξ) =
f(x, t, ξ) se t ≥ 0
0 se t < 0.
Claramente f satisfaz (f0), (f1), (f2) e satisfaz (f3), (f4), apenas para t ≥ 0.Mas se no lema 3.2, escolhermos v0 > 0 em Ω (por exemplo escolha ϕ
‖ϕ‖ umaautofunção associada ao autovalor λ1 - ver apêndice D), temos que os lemas3.1, 3.2 e 3.3 são válidos para f . Então, pelo Teorema do Passo da Montanha,nós obtemos uw ∈ H1
0 solução fraca de−4uw = f(x, uw,∇w) em Ω
uw = 0 sobre Γ = ∂Ω. (3.12)
Note que uma solução fraca de (3.12) é uma solução fraca de (3.2).
Multiplicando a equação em 3.12 por u−w e integrando por partes temos:
∫Ω∇uw∇u−w =
∫Ωf(x, uw,∇w)u−w
‖ ‖−∫
Ω|∇u−w |2
∫Ωf(x,−u−w ,∇w)u−w = 0
Logo u−w ≡ 0 e, portanto, uw é positiva.
Com um procedimento análogo, mas agora tomando f como
f(x, t, ξ) =
f(x, t, ξ) se t ≤ 0
0 se t > 0,
e tomando v0 < 0 em Ω, obtemos uma solução negativa (no sentido fraco)para o problema (3.2).
Até agora, temos, pelo lema 3.3, que o problema (3.2) possui uma soluçãono sentido fraco. Queremos mostrar que esta solução é classica, ou seja, éC2(Ω) e verica a equação (3.2). O próximo lema irá nos garantir, sob certashipóteses, a regularidade da solução.
54
Lema 3.7. Fixado w ∈ H10 ∩ C1(Ω), seja uw ∈ H1
0 (Ω) uma solução fraca de(3.2). Então uw ∈ C2(Ω).
Demonstração:Tome w, por exemlo, uma autofunção associada ao autovalor λ1. Pelo Teo-rema (D.0.2), u ∈ Lq(Ω), com q = 2n
n−2.
Denah(x) = f(x, uw(x),∇w(x)).
Pelo Lema (C.2) e pela hipótese (f2), temos que h ∈ Ls(Ω) com s = qp, e p é
dado na hipótese (f2).
Vamos, a seguir, mostrar que u ∈ W 2,r(Ω), para algum r tal que 2r > n.Se 2s > n, basta tomar r = s. De fato, uw é solução fraca do problema(1.25). Logo, aplicando o Teorema 1.5.1, temos que u ∈ W 2,r(Ω).
Suponhamos agora que 2s < n. Uma vez que 0 < p < n+2n−2
, existe umúnico ε > 0 tal que
s = (1 + ε)2n
n+ 2.
Como no caso anterior, usaremos o Teorema D.0.2 para concluir que
u ∈ W 2,s(Ω).
Utilizando o Teorema D.0.2, temos que u ∈ Lp1(Ω), com
p1 =ns
n− 2s.
Portanto, h(x) ∈ Ls1(Ω) para s1 = p1
pe então pelo Teorema 1.5.1,
u ∈ W 2,s1(Ω).
Para vermos que u tem regularidade maior, basta observarmos que
s1
s=p1
q=
ns
n− 2s
n− 2
2n=
(1 + ε)(n− 2)
n− 2− 4ε> 1 + ε.
Este último argumento é conhecido como bootstrapping.
Se 2s1 < n, aplicando novamente o bootstrapping, temos que
u ∈ W 2,s2(Ω), tal que
55
s2 =p2
pe p2 =
ns1
n− 2s1
.
Assim,s2
s1
=ns1(n− 2s)
ns(n− 2s1)> (1 + ε)
n− 2s
n− 2s1
> (1 + ε).
Podemos repetir este último argumento um número nito de vezes paramostrar que u ∈ W 2,r(Ω), para algum 2r ≥ n.
Para o caso 2s = n, como h ∈ Ls(Ω), temos que h ∈ Lk(Ω) para algumk < s tal que (1 + ε)k > s. Aplicando o argumento bootstrapping mais umavez para concluir que u ∈ W 2,r(Ω), com 2r > n.
Portanto, podemos aplicar o Teorema D.0.2 para mostrar que u ∈ Cλ(Ω),com 0 < λ < 1. Assim,
h(x) = f(x, uw(x),∇w(x))
é de classe Cλ(Ω), visto que w ∈ H10 ∩ C1(Ω). Aplicamos, então, o
Teorema 1.5.2 para concluir que
u ∈ C2(Ω).
Uma consequência direta que podemos tirar do Teorema D.0.3 e do lema3.5 é o seguinte lema:
Lema 3.8. Seja w ∈ H10 (Ω) ∩C1(Ω). Então existe constantes positivas ρ1 e
ρ2, que não dependem de w, tais que a solução uw obtida no lema 3.3 satisfaz
‖uw‖C0 ≤ ρ1 , ‖∇uw‖C0 ≤ ρ2.
Apresentamos agora a última hipótese sobre f para então garantir umasolução no sentido clássico para o problema 3.1.
(f5) f satisfaz as seguintes condições de Lipschitz locais
|f(x, t′, ξ)− f(x, t′′, ξ)| ≤ Lρ1|t′ − t′′|
56
∀x ∈ Ω, |t′| ≤ ρ1, |t′′| ≤ ρ1, |ξ| ≤ ρ2,
|f(x, t, ξ′)− f(x, t, ξ′′)| ≤ Lρ2|ξ′ − ξ′′|
∀x ∈ Ω, |t| ≤ ρ1, |ξ′| ≤ ρ2, |ξ′′| ≤ ρ2,com Lρ1 , Lρ2 tais que vericam a relação
λ−11 Lρ1 + λ
− 12
1 Lρ2 < 1,
sendo λ1 é o primeiro autovalor de −4 relacionado com Ω e ρ1, ρ2 dadosno lema 3.8, e dependem explicitamente de p, n, θ, a1, a2 e a3 dadosnas hipóteses (f0), . . . ,(f4).
Observação 3: Finalizando o Exemplo - Notemos que se tomarmos f comodada em (3.3), só que com g ∈ C1(Rn) ∩ L∞(Rn) e b1 de acordo, f satisfazas hipóteses (f0), . . . , (f5).
Teorema 3.8.1. Supondo as condições (f0),. . .,(f5) válidas, então o proble-ma (3.1) possui uma solução positiva e uma negativa no sentido clássico.
Demonstração:Dado u0 ∈ H1
0 (Ω) ∩ C1(Ω), seja u1 solução fraca de−4u1 = f(x, u1,∇u0) em Ωu1 = 0 sobre Γ = ∂Ω
dada no lema 3.3. Pelo lema 3.7, u1 ∈ C2(Ω). Assim, para n ∈ 2, 3, · · · ,tome un solução fraca de
−4un = f(x, un,∇un−1) em Ωun = 0 sobre Γ = ∂Ω
(3.13)
dada no lema 3.3. E novamente pelo lema 3.7, un ∈ C2(Ω).
Pelo lema 3.8, para todo n ∈ N,
‖un‖C0 ≤ ρ1 , ‖∇un‖C0 ≤ ρ2.
Da equação (3.13), temos∫Ω
∇un+1(∇un+1 −∇un) =
∫Ω
f(x, un+1,∇un)(un+1 − un),
57
∫Ω
∇un(∇un+1 −∇un) =
∫Ω
f(x, un,∇un−1)(un+1 − un).
Assim,
‖un+1 − un‖2 =
(∫Ω
f(x, un+1,∇un)−∫
Ω
f(x, un,∇un−1)
)(un+1 − un)
=
∫Ω
[f(x, un+1,∇un)− f(x, un,∇un)](un+1 − un) +
+
∫Ω
[f(x, un,∇un)− f(x, un,∇un−1)](un+1 − un).
Utilizando a hipótese (f5) temos,
‖un+1 − un‖2 ≤ L1
∫Ω
|un+1 − un|2 + L2
∫Ω
|∇un −∇un−1||un+1 − un|.
Agora, utilizando Cauchy-Schartz e desigualdade de Poincaré, temos
‖un+1 − un‖2 ≤ L1λ−11 ‖un+1 − un‖2 + L2‖un − un−1‖‖un+1 − un‖2
≤ L1λ−11 ‖un+1 − un‖2 + L2λ
− 12
1 ‖un − un−1‖‖un+1 − un‖.
Reordenando obtemos
‖un+1 − un‖ ≤L2λ
− 12
1
1− L1λ−11
‖un − un−1‖. (3.14)
Novamente pela hipótese (f5), temos
λ−11 Lρ1 + λ
− 12
1 Lρ2 < 1,
λ− 1
21 Lρ2 < 1− λ−1
1 Lρ1 ,
e como λ−11 Lρ1 < 1,
λ− 1
21 Lρ2
1− λ−11 Lρ1
< 1.
Voltando a (3.14) temos
‖un+1 − un‖ ≤ k‖un − un−1‖ sendo k < 1.
58
Assim, un é uma sequência de Cauchy em H10 . De fato
‖un+p − un‖ ≤ ‖un+p − un+p−1‖+ · · · ‖un+1 − un‖ ≤
≤ (1 + k + · · · kp−1)‖xn+1 − xn‖ ≤kn
1− k‖x1 − x0‖.
E portanto, existe u ∈ H10 tal que un → u em H1
0 .
Voltando a (3.13), e multiplicando a equação por un obtemos:
‖un‖2 =
∫Ω
f(x, un,∇un−1)un.
Pela imersão de Sobolev, un → u em L2 e, portanto, un → u pontualmenteq.t.p.. Assim, para n sucientemente grande,
‖u‖+ 1 > ‖un‖2 =
∫Ω
f(x, un,∇un−1)un.
Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada,
‖u‖2 =
∫Ω
f(x, u,∇u)u.
Assim, u é solução no sentido fraco do problema (3.1) inicialmente pro-posto, e com a mesma técnica empregada no lema 3.7, provamos que u ∈C2(Ω).
Como no Capítulo 1, faremos agora a recuperação da solução clássica, ouseja, mostraremos que uma solução no sentido fraco satisfaz (3.1).
Já que u ∈ H10 ∩ C2 é solução fraca de (3.1), então u = 0 sobre Γ. Por
outro lado temos ∫Ω
(−4u)v =
∫Ω
fv ∀v ∈ C1c (Ω)
e, portanto, (−4u) = f quase todo ponto em Ω já que C1c (Ω) é denso em
L2(Ω). Como u ∈ C2(Ω), segue que −4u = f(x, u,∇u) em todo ponto deΩ. Assim, u é solução no sentido clássico de (3.1).
Para conseguirmos uma solução positiva e uma negativa no sentido clás-sico, basta aplicarmos o lema 3.6.
59
Apêndice A
Alguns resultados da Análise
Funcional
Proposição A.1. Seja u ∈ Lp(Ω) com 1 < p < ∞ e Ω um aberto. Asseguintes propriedades são equivalentes:
(i) u ∈ W 1,p.
(ii) Existe uma constante C tal que∣∣∣∣∫Ω
u∂ϕ
∂xi
∣∣∣∣ ≤ C||ϕ||p′ ∀ϕ ∈ C∞c (Ω), ∀i = 1, 2, . . . N.
(iii) Existe uma constante C tal que para todo aberto ω ⊂ ⊂ Ω e para todoh ∈ Rn com |h| < dist(ω, Ω) se verica
||τhu− u||Lp(ω) ≤ C|h|,
com τhu(x) = u(x+ h). Além disso, se pode tomar C = ‖∇u‖p em (ii)e (iii).
Demonstração:Veja Proposição IX.3 [6] (Brézis).
Proposição A.2. Seja u ∈ Lp(Ω) com 1 < p <∞ e Ω um aberto de classeC1. As seguintes propriedades são equivalentes:
(i) u ∈ W 1,p0 .
60
(ii) Existe uma constante C tal que∣∣∣∣∫Ω
u∂ϕ
∂xi
∣∣∣∣ ≤ C||ϕ||p′ ∀ϕ ∈ C1c (R)n, ∀i = 1, 2, . . . N.
(iii) A função
u(x) =
u(x) x ∈ Ω
0 x ∈ Rn − Ω
pertence a W 1,p(Rn), e neste caso ∂u∂xi
= ∂u∂xi.
Demonstração:Veja Proposição IX.18 [6] (Brézis).
Proposição A.3. (lema) Se J é um difeomorsmo denido num compacto−Ui⊂ Rn. Então ∑
j
(∑k
∂Jk
∂xj
ξk
)2
≥ α|ξ|2,
para todo todo ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn
Demonstração:Ponha A = [JacJ ], e note que
∑j
(∑k
∂Jk
∂xj
ξk
)2
= 〈Atξ, Atξ〉 = 〈AAtξ, ξ〉.
Como A é invertível, pondo B = AAt, temos que B é positiva, ou seja,
∑j
(∑k
Bjkξkξj
)> 0.
Mas,
〈Bξ, ξ〉 =∑
j
∑k
Bjkξkξj > c(x,ξ) > 0, para algum c(x,ξ) ∈ R.
Denamos
T :−Ui ×Sn → R
(x, ξ) 7→ 〈Bxξ, ξ〉
61
|T (x, ξ)− T (y, γ)| = |〈Bxξ, ξ〉 − 〈Byγ, γ〉| ≤
≤ |〈Bxξ, ξ〉 − 〈Bxξ, γ〉|+ |〈Bxξ, γ〉 − 〈Bxγ, γ〉|+ |〈Bxγ, γ〉 − 〈Byγ, γ〉| ≤
‖Bxξ‖‖ξ − γ‖+ ‖Bxγ‖‖ξ − γ‖+ ‖γ‖2‖Bx −By‖.
Logo T é contínua, e denida no compacto−Ui ×Sn, segue
〈Bξ, ξ〉 > α para todo ξ ∈ Sn, e para todo x ∈ Ui.
62
Apêndice B
Continuidade do Fluxo e domínio
de denição
Proposição B.1. (lema) Seja X um espaço de Banach, e f contínua denidaem X × R e tal que ‖f‖ < M . Então toda solução de
ddtσ(t, u) = f(σ(t, u))σ(0, u) = u
(B.1)
é contínua e pode ser prolongada para reta toda.
Demonstração:Seja ϕ uma solução do problema acima e I = (w−, w+) o seu intervalo máxi-mo de denição. Temos que ϕ é contínua (vide [16] - Teo 1, pg. 38).
Usando a limitação da f temos
|ϕ(t)− ϕ(s)| = ‖∫ t
s
f(τ, ϕ(τ))dτ‖ ≤M |t− s|. (B.2)
Suponhamos que w+ <∞. Por (B.2), existe o limite
limt→w+
= a.
Assim, ϕ está denido em w+, e pelo Teorema de Picard , ϕ que é soluçãodo problema
ddtσ(t, u) = f(σ(t, u))σ(w+, ) = a
(B.3)
está denida em (w+ − k, w+ + k) para algum k. Analogamente obtemosque ϕ está denida em (w− − k′, w− + k′) para algum k' . Logo ϕ pode serprolongada para toda a reta.
63
Apêndice C
Operador de Superposição em
domínio limitado
Também conhecido como Operador Nemytski.
Lema C.1. Seja Ω um subconjunto aberto de Rn e 1 ≤ p < ∞. Se vn → uem Lp, existem (wn) subsequência de (vn) e g ∈ Lp(Ω) tais que
wn(x)q.t.p.→ u(x)
e |u(x)|, |wn(x)| ≤ g(x).
Demonstração:
Dado (vn) tal que vnLp
→ u. Passando a uma subsequência se necessário, temosque (vn) é tal que
vn′q.t.p.→ un.
Como vn é uma sequência de Cauchy em Lp, podemos extrair uma subse-quência wn ⊂ vn tal que
‖wj+1 − wj‖p ≤ 2−j ∀j ≥ 1.
Dena
g(x) := |w1(x)|+∞∑
j=1
|wj+1(x)− wj(x)|.
Assim,|wn(x)| ≤ g(x) e portanto |u(x)| ≤ g(x).
64
Lema C.2. Sejam |Ω| <∞, 1 ≤ p, r <∞, f ∈ C(Ω× R× Rn) e
|f(x, u, ξ)| ≤ c(1 + |u|pr ).
Então, para todo u ∈ Lp(Ω), f(·, u) ∈ Lr(Ω), o operador
A : LP (Ω) → Lr
u 7→ f(x, u, ξ)
é contínuo.
Demonstração:
Primeiramente, supondo que u ∈ Lp(Ω), notemos que
|f(x, u)|r ≤ cr(1 + |u|pr )r ≤ cr2r(1 + |u|p) ∈ L1(Ω).
Logo, f(·, u) ∈ Lr.
Agora se un → u em Lp(Ω). Dado (vn) uma subsequência de (un), tome(wn) como no lema C.1, e teremos
|f(x,wn, ξ)− f(x, u, ξ)|r ≤ 2rcr(1 + |g(x)|pr )r ∈ L1(Ω).
Pelo Teorema da Convergênca Dominada temos
A(wn) → A(u) em Lr,
e portantoA(un) → A(u) em Lr.
65
Apêndice D
Desigualdades de Sobolev e
caracterização de λ1
Neste apêndice, apresentaremos alguns resultados sobre imersões e dare-mos algumas características do λ1, sendo 1
λ1o maior autovalor do Operador
Solução da equação −4u = f, u = 0 na fronteira. Este Operador é com-pacto, autoadjunto e positivo denido.
Teorema D.0.1. (Imersão de Sobolev) Seja Ω ⊂ Rn um aberto de classe C1
com fronteira Γ limitada. As seguintes inclusões são contínuas.
se 1 ≤ p < n, então W 1,p(Ω) ⊂ Lp∗(Ω) com 1p∗
= 1p− 1
n,
se p = n, então W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [p,+∞[,se p > n, então W 1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω).
Demonstração:Vide Brézis [6] pg 168, Corolário IX.14
Teorema D.0.2. (Imersão de Sobolev-Morrey) Seja Ω ⊂ Rn um aberto declasse C1 com fronteira Γ limitada. Então as seguintes imersões são con-tínuas.
W k,p(Ω) ⊂ Lp(Ω) para 1 ≤ q ≤ np
n− kp, kp < n; se kp = n,
podemos tomar 1 ≤ q <∞.
W k,p(Ω) ⊂ Cλ(Ω) para algum 0 < λ < 1, quando kp > n.
66
Demonstração:Vide Adams [1], Th.5.4, Th.6.2
Teorema D.0.3. (Rellich-Kondrachov) Seja Ω ⊂ Rn um aberto de classe C1
com fronteira Γ limitada. As seguintes injeções são compactas:
se p < n, então W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1, p∗[ com 1p∗
= 1p− 1
n,
se p = n, então W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [p,+∞[ ,se p > n, então W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω).
Demonstração:Vide Brézis [6] pg 169, Teorema IX.16
Vamos caracterizar λ1, o primeiro autovalor de −∆.
D.0.1 Caracterização Variacional de λ1.
Nesta seção iremos usar uma versão do Teorema dos multiplicadores paraespaços de Banach.
Teorema D.0.4. (Teorema dos multiplicadores de Lagrange) Sejam X umespaço de Banach e J, F : X → R funcionais de classe C1(X,R). Considereo conjunto
M = u ∈ X;F (u) = 1.
Suponhamos que F ′(u) 6= 0 para todo u ∈M e que exista u0 ∈M tal que
J(u0) = infu∈M
J(u).
Então existe λ ∈ R vericando
J ′(u0) = λF ′(u0).
Obs.: O número λ é chamado de multiplicador de Lagrange.Demonstração:Esta demonstração encontra-se em [5] Teorema 8.36
67
Usaremos o Teorema dos multiplicadores de Lagrange para estudar oproblema de minimização
J∞ = infu∈H1
0 (Ω)\0|u|L2(Ω)=1
J(u).
E equivalentemente, estudaremos o mínimo do funcional
J(u) =
∫Ω
|∇u|2
sujeito a restriçãoM = u ∈ H1
0 (Ω);
∫Ω
|u|2 = 1.
O nosso objetivo é mostrar que
J∞ = λ1,
isto éλ1 = min
u∈H10 (Ω)\0
∫Ω|∇u|2∫
Ω|u|2
.
Note que provado este fato, 1λ1
é a melhor constante que podemos usarna Desigualdade de Poincaré.
Desigualdade de Poincaré: Suponhamos que Ω é um aberto limitado.Então existe uma constante C tal que
‖u‖2 ≤ C‖∇u‖2 ∀u ∈ W 1,20 (Ω).
Para aplicar o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange consideremos
X = H10 (Ω)
F (u) =
∫Ω
|u|2.
Observe que para todo u ∈M , temos
F ′(u)u = limt→0
∫Ω
|u+ tu|2 −∫
Ω
|u|2 = 2
∫Ω
|u|2 = 2
mostrando queF ′(u) 6= 0 ∀u ∈M.
68
Pela Desigualdade de Poincaré
J∞ = infu∈M
J(u) >1
C> 0.
Seja un ⊂M satisfazendo
J(un) → J∞ quando n→∞
isto é,‖un‖2 → J∞ quando n→∞,
mostrando que un é limitada em H10 (Ω). Pela reexividade de H1
0 , existemu0 ∈ H1
0 e uma subsequêcia unj ⊂ un tais que
unj u0 em H1
0
e pelo Teorema de Rellich-Kondrachov,
unj→ u0 em L2.
Portanto u0 ∈M e
J∞ = limnj→∞J(unj) = limnj→∞
∫Ω
|∇unj|2 ≥
∫Ω
|∇u0|2,
e como u0 ∈M ,J∞ ≥ J(u0) ≥ J∞.
Logo existe u0 ∈ M vericando J(u0) = J∞. Segue do Teorema D.0.4 (dosMultiplicadores de Lagrange) que existe λ ∈ R com
J ′(u0) = λF ′(u0) (D.1)
isto éJ ′(u0)v = λF ′(u0)v para todo v ∈ H1
0 (Ω),
portanto
2
∫Ω
∇u0∇v = 2λ
∫Ω
u0v. (D.2)
Note que podemos supor u0 ≥ 0 pois |u0| ∈ M e J(u0) = J(|u0|). De(D.2), podemos concluir que u0 verica o problema de autovalor
−4u = λu, em Ωu = 0, sobre Γ = ∂Ω
.
69
Pergunta: λ 6= 0?Sim, pois de (D.2) segue
J∞ = J(u0)u0 = λF (u0) = λ,
e J∞ ≥ 1C> 0.
Usando a denição de λ1, obtemos
λ1 ≤ λ = J∞. (D.3)
Considere agora ϕ uma autofunção associada a λ1 com ‖ϕ‖2 = 1. Assimϕ satisfaz
−4ϕ = λ1ϕ, em Ωϕ = 0, sobre Γ = ∂Ω
,
e portanto ∫Ω
∇ϕ∇v = λ1
∫Ω
ϕv para todo v ∈ H10 (Ω).
Escolhendo v = ϕ, temos ∫Ω
|∇ϕ|2 = λ1.
Assim,
λ = J∞ ≤∫
Ω|∇ϕ|2∫
Ω|ϕ|2
=
∫Ω
|∇ϕ|2 = λ1.
Logo, J∞ = λ1.
Propriedades Relacionadas a λ1
O primeiro autovalor de −4 possui propriedades interessantes, mas apre-sentaremos apenas a que vamos fazer uso no trabalho.
(P1) Toda autofunção associada a λ1 tem sinal denido.Seja ϕ uma autofunção associada a λ1 com ϕ+ não identicamente nula.
Recordemos queϕ+(x) = maxϕ(x), 0
e ϕ−(x) = max−ϕ(x), 0.
70
Segue da denição de λ1 que ocorre a seguinte igualdade∫Ω
∇ϕ∇ϕ+ = λ1
∫Ω
ϕϕ+
ou ainda∫
Ω
|∇ϕ+|2 = λ1
∫Ω
|ϕ+|2.
Portantoλ1 =
∫Ω|∇ϕ+|2∫
Ω|ϕ+|2
=
∫Ω
|∇w|2
com w =ϕ+
‖ϕ+‖2
.
Pelo Teorema D.0.4 (dos Multiplicadores de Lagrange) temos que−4w = λ1w em Ωw = 0 sobre Γ = ∂Ω
Sendo w ≥ 0, segue dos Princípios de Maximo (vide [6] Teo.IX.27) que
w(x) > 0 em Ω
mostrando queϕ(x) > 0 em Ω.
Repetindo o argumento supondo que ϕ− não seja identicamente nula,vamos concluir que
ϕ(x) < 0 em Ω.
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Referências Bibliográcas
[1] R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, (1975).
[2] S. Agmon, The Lp Approach to the Dirichlet Problem, Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa 13 (1959), pp. 405-448.
[3] C. O. Alves, Introdução à Teoria de Pontos Críticos (Notas de Aula),Univ. Federal de Campina Grande - Dep. Mat e Est., (2003).
[4] A. Ambrosetti & P. H. Rabinowitz, Dual variatioal methods in criticalpoint theory and applications, J. Funct. Anal 14 (1973), 349-381.
[5] T. Arbogast & J. Bona, Methods of Applied Mathematics, Departmentof Mathematics - The University of Texas at Austin, (2004).
[6] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Masson, São Paulo (1987).
[7] H. Brezis & L. Nirenberg, Remarks on nding critical points, Comm.Pure Appl. Math. 64 (1991), 939-963.
[8] D. De Figueiredo, Métodos Variacionais em Equações Diferenciais,Matemática Universitária N. 7, Junho de 1988, 21-47.
[9] D. De Figueiredo, M. Girardi & M. Matzeu, Semilinear elliptic equationswith dependence on de gradient via Mountain Pass techniques, Dieren-tial and Integral Equations 17 (1-2), (2004), 119-126.
[10] I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. Appl. 47 (1974),324-353.
[11] L. Evans, Partial Dierential Equations, American Mathematical Soci-ety, USA (1999).
[12] D. Gilbarg & N.S. Trudinger, Elliptic Partial Dierential Equations ofSecond Order, Spring-Verlag, New York (1977).
72
[13] M. Girardi & M. Matzeu, Positive and negative solutions of a quasi-linear elliptic equation by a Mountain Pass method and truncature tech-niques, Nonlinear Analysis 59 (2004) 199-210.
[14] A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Elementos da Teoria das Funções ede Análise Funcional, Mir·Moscou, (1982).
[15] E. L. Lima, Espaços Métricos, Projeto Euclides, São Paulo (1993).
[16] J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Eu-clides, São Paulo (1979).
[17] M. Struwe, Variational Methods, Springer, New York (1996).
[18] M. Willem, Minimax Theorems, Birkhäuser, Boston (1996).
[19] W. Willem, Lectures on critical point theory, Trabalho de Math. 199,Fundação Univ. Brasilia, (1983).
[20] J. B. M. Xavier, Some existence theorems for equations of the form−4u = f(x, u,∇u), Nonlinear Analysis T. M. A. 15 (1990), 59-67.
[21] X. Wang & Y. Dang, Existence of multiple solutions to nonlinear ellipticequations in nondivergece form, J. Math. Anal. and Appl. 189 (1995),617-630.
[22] Z. Yan, A note on the solvability in W 2,p(Ω) for the equation −4u =f(x, u,∇u), Nonlinear Analysis T. M. A. 24 (1995), 1413-1416.
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