Equações do 2º Grau, sua História e Metodologias Aplicadas

Autor: Carlos Alberto de Vicente1 Orientadora: Arleni Sella Langer2

RESUMO: Este artigo tem por finalidade relatar os estudos realizados sobre as equações do 2° Grau, sua história e momentos marcantes visando favorecer a compreensão da resolução. Pretendeu-se relacionar os métodos utilizados antes da síntese da fórmula resolutiva com a resolução usualmente proposta hoje. O objetivo do trabalho foi de promover estudos e reflexões sobre uma abordagem metodológica alternativa no ensino de equação do 2º grau por meio da utilização de material manipulável e de recursos à História da Matemática. Dentre os materiais manipuláveis, a ênfase foi ao utilizado para o completamento do quadrado. O material consistia num conjunto de peças confeccionadas em EVA3. O projeto foi desenvolvido no ano de 2011, por meio de encontros promovidos em contraturno com alunos dos 9°s anos A-B-C-D, do Ensino Fundamental, sendo envolvidos 20 alunos no total. No período da Intervenção Pedagógica, explorou-se, além da História da Matemática, a construção de materiais manipuláveis que auxiliassem na exploração dos conteúdos trabalhados durante os encontros e a utilização de um aplicativo de um software.

PALAVRAS-CHAVE: Equação do 2º grau; Material manipulável; História da Matemática.

1 Professor PDE- 2011.SEED-PR. Pós-graduação pela ESAP-PR. E-mail: carlos-vicente@hotmail.com

2 Professora Orientadora: Unioeste – Cascavel. Mestre em Educação pela UFPR

3 A sigla E.V.A é a abreviatura do nome em inglês. Ethil Vinil Acetat ou em português: Etileno Acetato de Vinila.

2

INTRODUÇÃO

Diante das dificuldades enfrentadas por nossos estudantes nos dias atuais cm

os estudos da equação de 2º grau, passou-se a pensar numa forma prática de

apresentá-la aos alunos de modo a estimular a compreensão desse conhecimento

que parece tão distante dos nossos estudantes.

Tendo em vista o embaraço dos alunos na compreensão das equações do 2º

grau, pautou-se este projeto no sentido de facilitar essa compreensão. Uma vez

definido o objeto de trabalho, nosso estudo envolveu tanto a sua contextualização

histórica como a pesquisa de possíveis abordagens metodológicas, sendo que as

atividades propostas foram aplicadas em um grupo formado por alunos oriundos de

quatro turmas do 9ºs anos do período matutino do Colégio Estadual "Professora

Júlia Wanderley" - EFM, em Cascavel - PR. O grupo foi formado inicialmente por 20

alunos convidados a participar voluntariamente e nele desenvolveram-se atividades

orientadas pelo professor PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional) no

contraturno de suas aulas regulares.

Realizou-se a confecção de um material em EVA para facilitar a compreensão

das atividades realizadas a fim de explorar as equações do 2º Grau. Com esse

trabalho, foi possível compreender o quanto o material facilita a visualização,

favorecendo a aplicabilidade e a resolução das equações.

É claro que o material apresenta algumas limitações e que há dificuldades

com as quais ainda se tem que lidar, pois nenhum objeto é infalível e perfeito.

Embora se reconheça que há fragilidades em todas as abordagens que foram

propostas ou em todo material que se escolha, seu uso ainda é valioso ao introduzir

os conceitos e apresentar-se como uma alternativa viável para a mera utilização da

fórmula, sem nenhuma discussão a respeito das outras formas possíveis de

resolução construídas pela humanidade.

Considera-se, então, que a opção pelo uso da fórmula resolutiva pode ser

vista como uma culminância, uma síntese de um conhecimento que foi se formando,

se consolidando gradativamente.

Como o trabalho se efetuou em contraturno, uma das dificuldades

enfrentadas foi a presença dos alunos para desenvolver os encontros semanais.

Tivemos, até o final das aulas, uma evasão de 50% dos alunos que iniciaram

os trabalhos, terminando com 10 alunos. Foram feitas várias tentativas para que os

3

demais continuassem, mas a maioria alegava ter outras atividades. Embora com

número reduzido de envolvidos, os objetivos foram alcançados, pois os alunos

participantes demonstraram uma aprendizagem muito significativa, tiveram facilidade

em manusear o conjunto de peças que foram confeccionadas, resolveram os

exercícios e as atividades propostas.

EQUAÇÕES DO 2º GRAU, SUA HISTÓRIA E METODOLOGIAS

APLICADAS

I- Fundamentação Teórica

Para aprender matemática em qualquer nível, é preciso entender as questões relevantes antes que você possa esperar que as respostas façam sentido. Entender uma questão, muitas vezes, depende de saber a história da idéia. De onde veio? Por que é ou era importante? Quem queria a resposta e por que a queria? Cada etapa no desenvolvimento da matemática é construída com base naquilo que veio antes. [...] Para ensinar matemática em qualquer nível é necessário ajudar os estudantes a entenderem as questões e formas de pensamentos que ligam os detalhes. A atenção dada a tais questões é o que marca os melhores currículos [...]. (BERLINGHOFF e GOUVÊA, 2010, p. 1).

Desde que surgiu a educação formal sempre foi uma dificuldade ensinar

Matemática nas escolas, pois o ensino da Matemática antiga trabalhava com

material abstrato, geralmente preocupando-se em ensinar métodos elaborados por

pessoas que dedicavam todo seu tempo para resolver problemas e acabavam

descobrindo fórmulas que na realidade funcionavam muito bem.

A grande dificuldade dos alunos hoje é compreender o porquê das fórmulas

apresentadas nas escolas e há dificuldade também em fazer a transferência desse

conhecimento para situações do cotidiano. Diante dessa problemática visitamos a

História da Matemática e as tendências em Educação Matemática. Abordagens que

intencionam mais do que o manejo de fórmulas, pois ambicionávamos criar

significados. A intenção era que os conhecimentos obtidos fossem sendo

construídos e não apenas transmitidos para os alunos. Sob essa perspectiva se

enfatizou principalmente o assunto das equações do 2º grau, de forma a facilitar a

compreensão da famosa fórmula dita de Bhaskara. Trabalhando com o material

manipulável e com problemas enfrentados ao longo da história e que propiciaram a

elaboração dessa fórmula, desejava-se dar-lhe significado. Uma das alternativas

4

facilitadoras desse processo poderia ser a utilização de objetos manipuláveis. A

sugestão de escolha foi produzir um material em EVA, similar o material comercial

existente de madeira e denominado Algeplan®4.

Esse material produzido pode ser uma ferramenta útil no trabalho em sala de

aula. Pretendia-se que os alunos notassem que a fórmula não é algo vago, mas algo

desenvolvido para simplificar grandes cálculos que necessitariam de um raciocínio

maior, o que tornaria complicado resolvê-los apenas por meio do material

manipulável.

De acordo com as necessidades atuais de gestão da sala de aula, com

indivíduos inquietos e questionadores, fica evidenciada a importância fundamental

de o professor ser investigador que procura novos métodos para sanar as

dificuldades encontradas pelos alunos, oferecendo-lhes atividades que desenvolvam

cada vez mais a capacidade intelectual de cada um. Ao buscar alternativas

metodológicas às “chatas” aulas expositivas e mecanizadas, exigem-se posturas nas

quais o professor possa ser o mediador dos conhecimentos, motivando os alunos a

aprofundarem as informações adquiridas. Uma das possibilidades é estimulá-los a

perceber que esses conhecimentos foram elaborados ao longo do tempo por

pessoas que dedicavam a maior parte da sua vida em construir uma matemática na

qual não se aprendia apenas superficialmente. Embora fossem geralmente

desenvolvidos em função de problemas oriundos da realidade, seus estudiosos

viajavam nas suas profundezas, com conhecimentos científicos que hoje não se

pode simplesmente abandonar. Ao se discutirem os métodos que os antigos

utilizavam, ao possibilitar-se sua visualização, ao se manipularem materiais que

favoreçam a percepção das equações quadráticas como áreas, completando os

quadrados, talvez se possam explorar, de forma prática, como as regras gerais e as

fórmulas foram inventadas e, a partir daí, entendê-las melhor e aplicá-las de modo

mais adequado.

As atividades propostas deveriam ser também atividades que não só

envolvessem os conhecimentos já construídos, mas principalmente as que

4 Algeplan :Material manipulável confeccionado em madeira, contendo 40 peças, usado para trabalhar as

equações do 2º Grau.

5

provocassem a produção de novos conhecimentos. Sugeriu e experimentou-se o

manuseio de materiais manipuláveis, a visualização da resolução geométrica de

diversas situações, possibilitando ações metodológicas diferenciadas em sala de

aula, para poder refletir sobre as diferentes formas de ver e de resolver equações do

2º grau.

Sendo esse o intento, exigiu-se do professor proponente deste projeto um

mergulho na literatura a fim de embasar-se teoricamente de modo a obter uma visão

clara das alternativas possíveis para sustentar as escolhas metodológicas

pertinentes ao trabalho pedagógico.

Entre as abordagens disponíveis, a opção pela História da Matemática como

alternativa se deu por se julgar relevante para esse tópico de conteúdo, reconhecer

que as fórmulas são sínteses de diversos métodos de resolução desenvolvidos por

variadas civilizações em diferentes momentos. Destaca-se então que estudar a

História da Matemática é tão importante como evidenciá-la no presente em toda a sua

magnitude.

Torna-se importante explorar a História da Matemática numa perspectiva de

levar o estudante à relação com o passado, para compreender o presente, tendo em

mente que os fatos não acontecem por si só, mas por necessidade de um grupo de

pessoas, com o objetivo de melhorar suas situações de vida:

A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. A história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais. (MIGUEL & MIORIM, 2004). (PARANÁ, 2008, p. 66).

Com o passar dos anos, a forma como a matemática vinha sendo ensinada,

bem como a forma de ensino de diversas outras disciplinas, teve a necessidade de

ser reformulada. Muitas opiniões divergiram e surgiram conflitos. Vários livros foram

escritos criticando o ensino da matemática nas escolas, afirmando que esse ensino

não estaria dando conta das necessidades impostas pela sociedade. Os fracos

desempenhos dos alunos nos testes padronizados aplicados no país (como a Prova

6

Brasil, o SAEB5 e o PISA6) , demonstram que o ensino e a aprendizagem em

Matemática estão deixando muito a desejar. Nesse sentido, recentemente

produzidas, as Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática (2008)

destacam que a visão de Matemática que o professor possui provavelmente vai

determinar suas escolhas quanto às estratégias de ensino que adotará. O

documento sustenta que se devam levar em conta dois aspectos:

Pode se conceber a Matemática tal como ela vem exposta na maioria dos livros didáticos, como algo pronto e acabado, em que os capítulos se encadeiam de forma linear, seqüencial e sem contradições;

Pode-se acompanhar a Matemática em seu desenvolvimento progressivo de elaboração, de modo a descobrir-se suas hesitações, dúvidas, contradições, as quais um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que logo surjam outras hesitações, outras dúvidas, outras contradições no fazer matemático. Isto é, sempre haverá novos problemas por resolver (CARAÇA, 2002, p. XXIII). (PARANÁ, 2008, p. 48)

1.1 EQUAÇÕES DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA E SUA HISTÓRIA

Todas as disciplinas, assim como a Matemática, tiveram o seu conhecimento

construído aos poucos pela humanidade, no decorrer da história, por necessidade

ou por curiosidade. Cada povo, usando tecnologias distintas, de acordo com o nível

em que seus habitantes viviam, tendo uma visão muito diferente da que temos hoje,

realizou algum esforço enorme e continuado, bem como produzindo registros dos

quais dispomos atualmente, para tentar compreender como pensavam. Os tempos

eram outros, poucas pessoas tinham acesso à escola, pois essa não era para todos,

e sim para uma classe minoritária que detinha o poder. Cada etapa da matemática

foi sendo construída embasada nos conhecimentos anteriores.

Os egípcios desenvolveram três formas de escrita. A mais antiga usada pelos

sacerdotes em monumentos e tumbas foi chamada hieroglífica. Dessa hierografia

deriva uma forma cursiva, usada nos papiros, chamada hierática, da qual resulta,

mais tarde, a escrita demótica, de uso geral. Aos escribas, assim como aos

5 SAEB; Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica ( usado para avaliar o desempenho escolar e à

eficiência do sistema educacional)

6 PISA: Programa Internacional de Avaliação de Alunos ( é uma rede mundial de avaliação de desempenho

escolar.

7

sacerdotes, não apenas na civilização egípcia como em outras, cabia o papel de

registrarem as práticas culturais. Mesmo assim, contudo, a forma de comunicação

entre culturas diferentes era muito lenta e difícil.

As transformações ocorridas ao longo de anos, décadas e séculos também

aconteceram com as equações. Não há possibilidade de afirmar, com exatidão,

quando se iniciaram estudos sobre o tema, uma vez que as técnicas usadas eram

bastante elementares e pouco duráveis. A maioria dos registros foi se deteriorando,

alguns ficaram incompletos, além de outros que nem chegamos a conhecer.

Segundo Fragoso (1999), o conhecimento matemático dos egípcios foi

registrado em vários papiros datando de 2000 a.C. até 300 a.C. Acredita-se que os

egípcios, muito anteriormente à era de Cristo, já haviam desenvolvido alguma forma

de abordagem das equações de primeiro e segundo graus. Essa crença se deve ao

fato de ter sido observada a utilização do método da falsa posição para a resolução

de alguns problemas contidos nos papiros de Rhind e de Kahun. O método da falsa

posição consiste em

[...] supor um valor qualquer para a incógnita, efetuar as operações indicadas e, partir da resposta obtida, verificar qual a relação existente entre esta e a igualdade indicada no problema, sendo essa relação válida para o valor suposto e o real a ser obtido [...]. (FRAGOSO, 1999, p. 14).

Já os conhecimentos matemáticos da Mesopotâmia foram registrados em

placas de argila, escritos em barro mole e secadas ao sol ou em forno. Segundo

Berlinghoff e Gouvêa,

De modo geral, a matemática babilônica era conduzida por métodos. Uma vez estando disponível o método para resolver um tipo de problema, os escribas pareciam gostar de construir outros mais e mais elaborados, que podiam ser resolvidos por esse método. Durante o período criativo das escolas para escribas, eles desenvolveram vários desses métodos, dos quais o mais impressionante é o da solução de equações quadráticas. (2010, p. 11).

Seus conhecimentos eram trabalhados apenas com a álgebra retórica e

acredita-se que, pela forma como resolviam as equações, buscavam estabelecer

relações entre o perímetro e a área de quadriláteros.

Dentre os problemas resolvidos pelos mesopotâmicos, um deles é

apresentado por Fragoso (1999, p. 17) e Boyer (1996, p. 23). Esses problemas eram

escritos no sistema sexagesimal de numeração, segundo Eves (1995, p. 78). O

8

problema mencionado pelos autores acima referidos, apresentado na forma na qual

se estuda hoje, seria:

“Qual é o lado de um quadrado, se a área menos o lado dá 870?”

1.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS

MANIPULÁVEIS

Embora se reconheçam as dificuldades enfrentadas pelos professores ao

ensinar a seus alunos as equações quadráticas, se sustenta que é função do

professor buscar novas abordagens metodológicas para que seus alunos

compreendam os mecanismos e procedimentos usados. Com essa compreensão

pode-se dar significado aos problemas relacionados e resolvê-los da forma mais

prática possível.

Cientes da necessidade de se evitar a mera mecanização, o que se propôs foi

a utilização de materiais manipuláveis visando favorecer a aprendizagem da

fatoração, da composição e decomposição de polinômios, tanto dos trinômios

quadrados perfeitos quanto daqueles nos quais haja a necessidade de se completar

os quadrados. Nossa hipótese é que encontrar o lado dos quadrados, e fazer desse

processo uma experiência visual, poderia facilitar a compreensão e a significação

das raízes de uma equação do 2º grau. Um dos materiais manipulativos que pode

auxiliar o professor na tarefa de ensinar a resolução de equações quadráticas, pelo

método de completar quadrados, é o Algeplan®.

Figura 1: Foto do Algeplan®. Disponível em: www.ime.ufg.br/bienal/2006/poster/rosimeire.pdf

Composto de quarenta peças de madeira,

consiste em: quatro quadrados grandes de lados

x e quatro quadrados médios de lados y, que

representam, respectivamente, as expressões x²

e y²; doze quadrados pequenos de lados 1,

representando a unidade; quatro retângulos de

lados x e y, representando cada um a expressão

xy, oito retângulos de lados x e 1, representando

a expressão x. 1 = x, e oito de lados y e 1,

representando a expressão

y. 1 = y

9

Um material similar a este, também pode ser confeccionado a partir de

cartolina ou de EVA, por exemplo. Nesse caso, há a possibilidade de se utilizar uma

cor para cada tipo de peça ou, ainda, fazer todas as peças da mesma cor.

Para representar as expressões negativas usam-se os versos das peças, que

são todas da mesma cor, no caso da confecção em madeira. Se o professor optar

por fabricar seu próprio material, pode marcá-lo, no verso de cada peça, com o sinal

negativo, ou então escolher uma única cor, diferente das já usadas, para construir

peças negativas (FANTI et al., 2006).

O objetivo principal do uso do Algeplan® (ou de um material similar) é

relacionar figuras geométricas com expressões algébricas, sendo útil em operações

com monômios e polinômios, na resolução de equações do 1º e 2º grau e na

fatoração de trinômios do 2º grau. Como a resolução de equações do 2° grau pelo

método de completar quadrados está ligada diretamente à fatoração de expressões

algébricas e, sendo este, conteúdo do 8° ano e aquele, conteúdo de 9° ano, talvez

seja necessário que o docente retome com seus alunos alguns conceitos, uma vez

que “[…] para o estudo da fatoração algébrica e da equação do 2° grau é necessário

que o professor já tenha trabalhado anteriormente os conceitos de trinômio, adição e

subtração algébrica, potenciação, radiciação e suas representações geométricas”

(PARANÁ, 1994, p. 60).

É importante que se incentive os alunos quanto ao valor da utilização desse

material, sendo que se espera que as atividades os levem a entender, de forma

prática, as equações quadráticas e evidenciá-las no seu cotidiano. Tendo em mente

que o material é limitado, cabe entender que não consegue resolver todos os

propósitos. Diante desse contexto, os parâmetros destacam:

A utilização desses recursos possibilita ao aluno conferir um tipo de significado às expressões. No entanto, a interpretação geométrica dos cálculos algébricos é limitada, pois nem sempre se consegue um modelo geométrico simples para explicá-lo. Além disso, é preciso que ele perceba que é possível atribuir outros significados às expressões. Assim, as visualizações desse tipo podem ser interessantes em alguns momentos, dependendo do contexto da situação-problema, mas o trabalho não pode apoiar-se exclusivamente nelas. (BRASIL, 1998, p. 121).

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II- ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

Na apresentação dessa proposta, aspirou-se em apresentar diferentes

alternativas de aprendizagem, utilizando uma exploração do material manipulável,

para favorecer a visualização e a compreensão, visando, além disso, tornar as aulas

mais atrativas. Empregar as tecnologias disponíveis em determinado momento, para

que o aluno se torne cada vez mais preparado durante a sua trajetória na escola,

este foi o nosso intento.

Este projeto teve a alternativa principal de evidenciar e refletir a pesquisa e a

produção de atividades que favoreçam cada vez mais uma educação de qualidade

para todos. Sendo assim, o professor PDE produziu uma unidade didática de

atividades explorando principalmente a História da Matemática e a utilização de

material manipulável, contendo várias atividades para aumentar o conhecimento dos

alunos e dos leitores. Posteriormente esse mesmo material poderá ser trabalhado

por outros professores em sala para que outros alunos possam adquirir tais

conhecimentos e ir mais além.

A execução do projeto se deu no Colégio Estadual "Professora Júlia

Wanderley”, no município de Cascavel. A escola é a de lotação dos dois padrões do

Professor PDE, sendo um de Matemática e o outro de Ciências. O colégio possui no

momento 1247 alunos e 60 professores, sendo desses 9 de Matemática. Possui um

laboratório de informática com 20 monitores conectados à internet no Sistema

Paraná Digital. Esses computadores foram utilizados para trabalhar de forma prática

os conteúdos relacionados à resolução de uma Equação do 2º Grau, contidos no

endereço eletrônico intitulado Algebra Tiles7. A escola conta ainda com 16

computadores conectados à internet, sendo que, por falta de sala para colocá-los

todos no mesmo espaço, esses são mantidos na biblioteca. Após análise feita no

momento da aplicação do projeto, estando o professor PDE na direção do colégio,

para não atrapalhar o andamento das aulas dos professores regentes, optou-se por

realizar o projeto em contraturno, sendo beneficiados 20 alunos dos quatro 9ºs anos

matutinos. Foram envolvidos, alunos interessados em participar do projeto, não

sendo excluído nenhum aluno que se propôs a participar. Inclusive, houve

dificuldade em se conseguir os 20 alunos iniciantes, pois muitos têm trabalho ou

7 Recurso usado na internet para trabalhar a resolução de uma equação do 2º Grau.

11

compromissos à tarde, além do fato de não disporem de dinheiro para investirem em

transporte em outro período além daquele das aulas regulares.

A escolha do tema se deu devido ao fato de o professor trabalhar há 3 anos

com turmas dos 9ºs anos, tendo percebido nos alunos muita dificuldade em

compreender a utilidade das equações do 2º grau e o porquê da fórmula de

Bhaskara. Há tempos começou a trabalhar com a utilização do chamado material

dourado, de modo parecido com o que se propôs no decorrer do projeto. Na primeira

iniciativa notou que o material dourado tem algumas deficiências, particularmente no

sentido de observar quando o valor do x e o termo independente são negativos.

Com esse novo material já foi possível compreender que se torna mais fácil à

aplicabilidade e a resolução das equações.

Com todo esse trabalho, o que se visa é que os alunos passem a

compreender melhor o sentido da Matemática como um todo, aprendendo que as

fórmulas são importantes, úteis e práticas. Todo o projeto foi realizado em 7

encontros presenciais com 18 horas de duração, nos quais cada dia foi escolhida

uma atividade diferente para que as aulas não fossem repetitivas e cansativas.

No primeiro encontro, recebi a todos com bastante entusiasmo e houve uma

conscientização a respeito da importância da participação deles e do envolvimento

nos trabalhos e das avaliações realizadas. Essa avaliação era apenas diagnóstica

para saber o nível de dificuldade de cada um, portanto é imprescindível que sejam

fieis nas colocações.

Após iniciei um trabalho, sobre a História da Matemática, expondo como os

estudiosos fizeram e a importância de cada um na história e na evolução da

matemática até os dias de hoje, bem como os antigos registravam as suas

descobertas. Foram citados alguns matemáticos que fizeram a história dessa

ciência: Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides, Bhaskara entre outros. Para explicar

todo o conteúdo foi confeccionada uma apostila para cada participante, na intenção

de que todos tivessem o material a fim de levá-lo para suas casas onde poderiam

aprofundar o assunto e possivelmente passá-lo para seus colegas que não puderam

participar.

A reflexão sobre o tema fez alguns alunos afirmarem que não gostariam de

viver naquela época na qual a dificuldade de escrever era imensa, começando pela

fabricação do papel, que não era como hoje, as atividades vem todas prontas e

12

acabadas, afirmaram que escrever em placas de argila seria muito complicado, mais

fácil é escrever em uma folha de caderno, na maioria das vezes não precisamos

nem escreve é só fazer xerox ou usar o computador e fazer o Ctrl-c e depois o Ctrl-

z.Também os questionei e comentei que os jovens e adolescentes de hoje querem

muita moleza.

Discutimos também sobre a fórmula que conhecemos hoje denominada de

fórmula de Bhaskara. Essa fórmula deve ser chamada de Fórmula Resolutiva de

uma Equação do 2º Grau, pois não foi Bhaskara quem a inventou, ele apenas

colaborou nesta descoberta. Estudamos, então os métodos usados pelo Matemático

Al-Khowarismi para resolver uma equação do 2º grau.

No segundo encontro, como coincidiu com a data da formação continuada

dos professores, também dita NRE itinerante8, houve pouca participação dos alunos,

apenas estiveram 5 presentes. Foi terminado de explicar sobre a História da

Matemática e também mostrado o método que Al-Khowarismi usava para resolver as

equações do 2º Grau. Realizamos um debate sobre a resolução de problemas

utilizando um Material Manipulável. O material era composto de 40 peças

confeccionadas em EVA e que seriam utilizadas para resolver as equações do 2º

grau; a utilização deste material manipulável visa fornecer a aprendizagem da

fatoração, da composição e da decomposição de polinômios, tanto dos trinômios

quadrados perfeitos quanto daqueles nos quais haja a necessidade de se completar

os quadrados. Analisamos que esse método não é muito diferente daquele resolvido

por Al-Khowarismi.

No terceiro encontro iniciou-se a confecção individual dos materiais

manipuláveis, todos em EVA, que seriam trabalhados para resolver as equações.

Como os alunos demonstraram dificuldade em medir e cortar no tamanho certo,

muitos materiais depois de confeccionados tiveram que serem refeitos. Sendo que

alguns alunos cortaram o material com vários defeitos. Percebi que eles têm muita

dificuldade na coordenação motora. Isso foi perceptível tanto no uso correto da

régua quanto no da tesoura. Ao utilizarem a régua não conseguiam medir os

centímetros corretamente. Comentei com eles sobre essa dificuldade, foi relatado

que esse tipo de trabalho não são realizados durante o período de suas aulas.

8 NRE Itinerante são cursos realizados para todos os professores da Rede Estadual de Ensino; neste dia os professores são dispensados de suas aulas para participarem do aperfeiçoamento.

13

Utilizamos 3 aulas para terminar a confecção. Todo o material foi

confeccionado em cores diferentes para facilitar a resolução das atividades,

procuramos escolher cores diferentes para diferenciar os valores positivos e

negativos, sendo que achamos que cores iguais poderiam dificultar as atividades

propostas e confundi-los.

No quarto encontro iniciamos a utilização do material manipulável, para

resolver os exercícios apenas com os valores positivos. Explorando todas as formas

de cálculos, analisando os lados obtidos nos quadriláteros formados, destacamos

que correspondem a cada um dos fatores da fatoração. São de fato a mesma

fatoração que resolvemos em sala de aula e que, se igualarmos os valores dos

lados iguais à zero, obtivemos o x’ e x”. Os alunos descobriram que, quando a

equação forma um trinômio quadrado perfeito, utiliza-se da mesma forma que Al-

Khowarismi fazia para resolver uma equação do 2º grau. Nesta etapa os alunos

entenderam bem, pois em pouco tempo calculamos todos os exercícios propostos.

Durante essa aula a maior parte dos alunos resolveram as atividades sem nenhuma

objeção. Certamente que alguns alunos tinham dificuldade, mas os colegas do grupo

mostravam a maneira correta de montar o material, pois o trabalho foi realizado em

duplas para facilitar o entendimento.

Vários outros exercícios foram propostos para que eles pudessem calcular e

foi evidente que a resolução dos mesmos era muito rápida. Os alunos comentaram

que compreenderam muito bem de como calcular as raízes de uma equação.

Percebi que eles tinham dificuldades em entender que calcular uma equação

do 2º grau nada mais é do calcular uma área, sendo que através do uso do material

foi possível sanar essas dificuldades.

No quinto encontro se deu a continuação do trabalho realizado na aula

anterior, só que desta vez usamos valores negativos. Esta atividade foi mais

complicada para lhes explicar, pois quando o x é negativo tem-se dificuldade em

entender que o termo independente deverá ser negativo e não positivo. Após

realizarmos vários exercícios eles foram entendendo e as dúvidas foram sendo

esclarecidas; nesta aula foi usado o papel quadriculado para facilitar o

entendimento, principalmente quando se vai fazer a dobradura, percebe-se que com

o papel quadriculado o entendimento dos termos negativos que sobram é mais fácil

à visualização.

14

Trabalharam-se também com alguns problemas que teriam que ser resolvidos

evitando a utilização da fórmula. Nesta etapa os alunos tiveram dificuldade em

resolver as atividades, pois teriam que pensar em uma maneira mais fácil de

encontrar a solução. Assim, aos poucos as atividades foram sendo resolvidas e, com

a ajuda do professor, as dificuldades foram sanadas.

No sexto encontro, a proposta era de trabalhar também no laboratório de

informática, para que os alunos familiarizassem com as tecnologias que hoje são

muito importantes nas nossas aulas. Não poderíamos deixar de lado mais esta

ferramenta. Exploramos então o site sobre o conteúdo intitulado ALGEBRA TILES.

Iniciamos aprofundando a função EXPAND (a expansão da forma fatorada). Os

alunos tiveram muita facilidade em resolver os exercícios disponibilizados, uma vez

que eram semelhantes às construções executadas com o material utilizado em sala

de aula, apenas com a diferenciação de que aqui eles estariam usando o

computador para formar as áreas, com a facilidade de apagar a equação e resolver

novamente, sem problema algum.

Esse tema apresenta outras atividades a serem desenvolvidas, como a parte

que trabalha com a função FACTOR (que propõe a fatoração), sendo uma forma

oposta de resolver uma equação.

Nas aulas dedicadas a esse tema não houve tempo suficiente para explorar

todo o conteúdo ali apresentado. porém expliquei para os alunos que eles deveriam

explorar em casa todas as outras atividades que ali estavam disponibilizadas para

que pudessem aumentar seus conhecimentos sobre equação do 2º Grau. Sabemos

que o conhecimento é algo que não podemos desprezar e tudo o que aprendemos

enriquecerá o nosso conhecimento e trará novas perspectivas, principalmente no

conhecimento matemático o qual, no momento, era a nossa fonte de interesse e

pesquisa.

Os alunos comentaram que com, o uso da informática, os resultados obtidos

seriam superiores e que o entendimento torna-se mais fácil, sendo que através do

computador pode-se deletar e recomeçar, tendo a vantagem de não gastar caderno.

Neste encontro estava presente o coordenador do CRTE9-NRE, que ficou

estipulado que seria a pessoa que supervisionaria o meu projeto. Ele entende

bastante de informática, gostou muito do trabalho e disse que nunca tinha visto este

9 CRTE: Coordenadoria Regional de Tecnologia na Educação.

15

programa. Entusiasmou-se e em pouco tempo ele assimilou tanto o conteúdo, tanto

que já conseguiu ajudar os alunos presentes a resolver as atividades propostas.

Após a saída dos alunos, ficamos nos aprofundando nos exercícios até mais tarde.

Tendo ele pediu minha autorização para divulgação do trabalho realizado.

Ao concluir o projeto, no sétimo encontro executou-se novamente a mesma

avaliação proposta no primeiro encontro, para diagnosticar a evolução dos alunos

durante os nossos encontros.

Para finalizar, fizemos as considerações finais do projeto. Foi dada a

oportunidade para que os alunos fizessem suas considerações. Seus relatos não

divergiram, dizendo que foi uma experiência inédita e que com certeza aprenderam

muito com esse projeto. Afirmaram que as atividades ali desenvolvidas foram de

grande importância para que pudessem aperfeiçoar as suas aprendizagens,

gostariam de continuar participando de outros trabalhos semelhantes para aumentar

seus conhecimentos matemáticos, achando que quem participou do projeto passou

a ter uma visão diferenciada da matemática.

Durante os nossos encontros houve a necessidade de realizar algumas

mudanças, principalmente no que diz respeito à formação dos grupos. Afinal

reconhecemos que todo planejamento é flexível e pode sofrer mudanças ao longo

do percurso.

Possivelmente outro professor, ao trabalhar em sala de aula, eleja objetivos

que não sejam os mesmos, contudo consideramos que a experiência pode ser

replicada e ainda melhorada. Através desses projetos foi possível sentir as

mudanças ocorridas nos alunos. Inicialmente eles tinham dificuldades em trabalhar

em grupos, mas em pouco tempo foi possível ver o crescimento deles principalmente

no momento de realizar a confecção dos materiais. Quanto ao crescimento dos

alunos, foi diferenciado daquele que costumeiramente se vê em sala de aula, pois

nesses trabalhos temos tempo para atender à individualidade de cada aluno. Nesse

sentido vemos a vantagem de trabalhar com um número reduzido de alunos, que foi

exatamente uma das reclamações dos professores que participavam do GTR.

Também foi possível observar o desenvolvimento dos alunos por meio da avaliação

ocorrida no início e no final do projeto. Os resultados da avaliação final foram muito

satisfatórios, mostrando o envolvimento de cada um dentro dos trabalhos realizados.

16

Conforme orientações recebidas, a unidade didática foi completamente

articulada com o projeto de Intervenção/implementação na escola sob a orientação

da Profª. Ms Arleni Elise Sella Langer. Sua composição envolvia uma parte inicial de

sustentação teórica e em seguida atividades para explorar os conteúdos elencados

no tema citado. As atividades propostas facilitaram a integração dos conhecimentos

anteriores adquiridos confrontando-os com os conhecimentos atuais.

UMA BREVE ANÁLISE DA AVALIAÇÃO FINAL

Algumas questões das avaliações foram sugeridas para que possamos ter um

diagnóstico das dificuldades enfrentadas pelos alunos e o que a mesma trouxe de

benefício:

As atividades foram apresentadas em 3 blocos:

No primeiro bloco deseja-se descobrir qual a compreensão dos alunos em

relação às Equações do 2º grau.

No segundo bloco, qual é a visão do estudante em relação a uma

expressão numérica do 1º e do 2º grau, principalmente a noção que eles têm do

valor do x colocado na expressão.

No terceiro bloco os exercícios apresentam o resultado final que

costumamos encontrar, sendo que eles deverão fazer a operação inversa para

chegar ao objetivo proposto.

Abaixo estão relacionados os blocos de questões apresentadas:

Avaliação diagnóstica e a avaliação final

Primeiro Bloco: RESPONDA:

a) O que é uma equação do 2º grau? b) O que é um trinômio quadrado perfeito? c) Onde é utilizada uma equação do 2º grau? d) A seu ver, por que a matemática é tão importante em nossa vida?

Segundo Bloco Ache o valor de x que torna verdadeiras as seguintes igualdades: a) x + 3 = 0 b) x – 5 = 8 c) x² - 4 = 0 d) x² + 2x + 1 = 0 e) x² + 3x + 2 = 0

17

Terceiro Bloco 1- A área de uma praça quadrada é 144 m². Quanto mede o lado dessa praça?

2- Considerando os polígonos abaixo.

Se, do número que expressa a área do quadrado, você subtrair o número que

expressa à área do retângulo, você vai encontrar 15.

a) Escreva a equação que representa essa figura

b) Descubra, entre os números abaixo, o valor do número x que satisfaz essa

equação.

2;5;9;6;4;7;10;12;15

Diante dos resultados obtidos percebeu-se que os melhores resultados,

obtivemos no primeiro e segundo bloco. Analisou-se que eles tinham dificuldades

em entender o significado de uma equação, simplesmente utilizavam fórmulas

prontas e chegavam um resultado, muitas vezes sem ter a noção do que estavam

fazendo.

No segundo bloco tiveram a facilidade, pois tinham em mão o material

confeccionado, facilitando assim a obtenção dos resultados.

Neste terceiro bloco, quando eles necessitariam raciocinar de uma maneira

diferente, do que costumeiramente estão habituados, não houve uma melhora

significativa.

Entendemos que talvez o tempo de trabalho foi curto e necessitaria de uma

atividade mais prolongada para que os alunos pudessem entender melhor o

projeto apresentado.

Isto possivelmente vem nos mostrar que a educação não se pode ser

transformada de um dia para o outro.

Observamos que houve uma melhora significativa no desempenho

evidenciado pelos estudantes em todos os blocos de questões aplicadas, mostrando

assim que o resultado final foi satisfatório em todos os sentidos.

Talvez os resultados poderiam ser melhores em algumas das questões,

principalmente no terceiro bloco, mas não tivemos tempo para explorar todos os

conteúdos.

x

x

x

2

18

Consideramos que, em sala de aula, com o professor trabalhando durante

um período de tempo maior, os objetivos a serem atingidos poderão ser melhor

avaliados do que os ora apresentados.

Observação:

Entre outras possibilidades de atividades a serem trabalhadas, foi explorada a

fatoração e uma prova para o completamento de quadrados com os alunos no

laboratório de informática. As atividades referem-se a aplets disponíveis no

endereço: <http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=all&standard=all>.

III – RELATOS E CONSIDERAÇÕES SOBRE O GTR

Durante a realização do projeto várias atividades e questionamentos foram

realizados com as pessoas que fizeram o GTR10 (Grupo de Trabalho em Rede)

2011. A proposta de trabalho teve uma grande importância e aceitação por parte dos

participantes, trocamos muitas experiências, tentei colocá-los a par do projeto para

que, ao compreendê-lo, pudessem colocá-lo em prática nas suas aulas. Percebi que

muitos não puderam trabalhar com o projeto por terem entrado em contato com o

mesmo no final do ano letivo, período em que estariam fechando os conteúdos.

Grande parte dos participantes disse que tentariam aplicar o projeto em suas turmas

no ano de 2012. Pelo andamento das leituras, muitos elogiaram a aplicabilidade dos

temas abordados nas atividades propostas pelo projeto. Durante o GTR realizou-se

um questionamento: Como você avalia a aplicabilidade dessa Produção Didático-

Pedagógico em sala de aula para os nossos alunos?

Apresento a seguir recortes de algumas respostas dos integrantes do GTR:

“Acredito que a Produção Didático-Pedagógica já apresenta a Matemática de forma a

contribuir para que o aluno tenha a percepção de sua importância, uma vez que a Proposta

descreve o aspecto geométrico para estabelecer relações entre a álgebra e a geometria”.

10

GTR: Constitui uma atividade obrigatória do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que se caracteriza pela interação virtual entre os professores PDE com os demais professores da Rede Pública Estadual.

19

Em relação à resposta apresentada pelo participante do GTR, foi feita uma

relação entre a Álgebra e Geometria. O professor participante afirmou que as duas

devem estar interligadas, considerou que dentro da proposta apresentada puderam

ser valorizados os dois conteúdos.

* “O aluno deve perceber que para a inserção no mundo do trabalho, os novos

métodos de produção exigem indivíduos que assimilem informações rapidamente, que saibam

propor e resolver problemas. Deste modo a Matemática desempenha um papel preponderante

na sociedade, não o de preparar mão-de-obra especializada, mas o papel de desenvolver uma

educação que coloque o aluno diante de desafios que lhe permitam o desenvolvimento de

atividades de investigação”.

* “Os modelos geométrico apresentados na proposta pelo material Algeplan fornece

uma perspectiva da qual os alunos podem analisar, perceber relações entre as formas e

resolver problemas. As interpretações geométricas podem ajudá-los a compreender mais

facilmente uma representação abstrata. O aluno com este material estará investigando,

experimentando e explorando, logo seu conhecimento terá mais significado”.

Os colegas também ressaltaram o preparo dos estudantes para a vida, e

também para o mundo do trabalho, sustentando que para isto devemos desafiá-los,

com atividades que busquem novas formas de ensinar. Manifestaram sua crença de

que o material proposto, se trabalhado em sala pode apresentar uma melhor

compreensão dos significados das fórmulas apresentadas, a fim de resolver

exercícios.

* “Especificando o conteúdo equação do 2º grau, mesmo na tentativa de

problematizá-los se nota uma repetição de exercícios entre os livros alternando entre eles

valores e figuras geométricas, uma escassez de critérios para tornar o conteúdo mais atrativo.

Para que os alunos entendam que a matemática ensinada nas escolas não é diferente da usada

no seu dia a dia, os exercícios têm que estar de encontro com suas necessidades e resolução de

problemas significativos a eles. Acredito que o algeplan é um bom recurso, mas para que a

aplicabilidade desse material manipulativo seja objetivada no entendimento das fatorações e

20

na aplicabilidade de equações do 2º grau, é necessário um bom domínio desses conceitos para

vencer as limitações que o material possa oferecer”.

Os livros são importantes, mas às vezes apresentam vários exercícios

repetitivos. Ao ver dos participantes do GTR, necessitamos de um trabalho

diferenciado para sanar os problemas de aprendizagem que enfrentamos,

mostrando que a Matemática que ensinamos não é diferente daquela usada no dia-

a-dia. O trecho a seguir destacado por um professor sugere que:

* “Ao analisarmos como os autores buscaram inspiração para resolver certos

problemas matemáticos, deparamos que nós e nossos alunos não conseguimos achar soluções

para tal cálculo ou resposta do exercício proposto, mas procurar informações de como os

antigos matemáticos conseguia ter essa façanha, então também sabemos que nossas

capacidades são ainda maiores, basta alguns esforços e insistência ao aprender. O matemático

Al-khowarismi ao resolver suas equações, também teve conhecimentos de outros

matemáticos, a diferença é que ele tinha perseverança, insistência e o entendimento pela sua

busca em resolver”.

O colega ainda prosseguiu:

* “Então como Al-khowarismi fazia com perfeição através da geometria, cabe a nós

fazer e utilizar esses recursos para que os alunos consigam, e o Algeplan ajudará na resolução

dos cálculos, porém precisamos mostrar na realidade do material manipulável que funciona e

que a resolução é simples, fazendo com que gosto da atividade na resolução da equação do 2ª

grau e que os alunos logo após entender possa resolver sem o material”.

A insistência faz parte do nosso trabalho, sabemos que enfrentamos

dificuldades com alunos que não se interessam, queremos crer que buscando

soluções mais atrativas teremos alunos mais dedicados e insistentes em buscar

soluções como faziam os estudiosos do passado no qual estudamos.

* “Posso afirmar, que o trabalho com material concreto no cotidiano de sala de aula é

muito satisfatório, pois já há alguns anos venho desenvolvendo a Equação do 2º Grau com

Material Dourado, o qual é semelhante ao que você nos apresentou, já trabalhei em salas com

até 40 alunos e percebi que até mesmo aqueles alunos que estão completamente

desinteressados desenvolvem o trabalho satisfatoriamente. Por isso esse tipo de atividade é

muito importante para nossos alunos, pois facilita a compreensão da Equação do 2ºGrau

aumentando o interesse e diminuindo assim a indisciplina”.

21

“Com o material manipulável o aluno consegue visualizar a atividade que está

resolvendo e assim quando utilizarmos a fórmula facilitará a compreensão da mesma”.

Foi bastante importante este relato, pois também iniciei o meu trabalho com

as equações do 2º Grau com o material dourado, como relata essa professora. A

troca de experiência com ela foi bastante positiva, uma vez que procurei mostrar-lhe

que com esse novo método a resolução seria ainda mais eficaz.

IV - RESULTADOS

Este trabalho foi muito importante para que pudéssemos trabalhar com os

alunos momentos históricos que passaram a Matemática como um todo, bem como

todas as pessoas que fizeram esforços para que esta disciplina fosse o que é hoje.

Enfrentando todas as intempéries e dificuldades, mas buscando sempre novos

rumos para transformá-la e buscar meios para que ela fosse disseminada até os

dias de hoje.

Temos a certeza que os participantes do projeto aprenderam muito e levarão

todo o aprendizado para o resto de suas vidas. Dificuldades sempre existiram,

existirão e vão existir, mas com esforço, podemos mudar a realidade das pessoas

através da Matemática, sendo uma disciplina importante na vida de todos aqueles

que procuram.

Estes alunos buscaram isso e julgo que conseguiram assimilar uma grande

parte do que foi proposto, que servirá para ensinar outros alunos. Como foi dito a

eles no projeto, cada aluno será responsável para transmitir seus conhecimentos e

ajudar outros alunos de sua classe, sendo o que aprenderam sobre as Equações do

2º Grau será novamente retomado em todo o Ensino Médio.

Todo o material confeccionado servirá de subsídio para o trabalho do docente

em anos posteriores, em que todo o conhecimento ali adquirido, deverá ser

repassado a outros alunos contribuindo para quitar o débito social que temos para

com todos. Durante os encontros foi trabalhado com um número pequeno de

estudantes, mas com o passar dos anos esse número deverá ser estendido para

uma quantidade cada vez maior de estudantes que apreciarão este novo método de

ensinar.

O trabalho realizado abre caminhos para que outras pessoas possam dar

continuidade e atingir objetivos ainda melhores. No GTR, que contou com 15

22

integrantes, 3 dos participantes eram professores colegas da própria escola. No final

do ano uma professora iniciou o trabalho com alunos utilizando algumas sugestões

do projeto e relatou que foi uma experiência muito significativa. Ela percebeu que

com o material a visualização torna-se melhor e os resultados alcançados superam

os objetivos esperados.

Quanto aos alunos, elogiaram bastante o trabalho realizado em sala e como

os resultados da avaliação diagnóstica mostram os resultados. Eles assimilaram

bem o conteúdo trabalhado. Talvez pudéssemos ter uma quantidade maior de

participantes no projeto. Contudo evidenciou-se uma dificuldade muito grande em

trazer alunos em contraturno. Pois os alunos estudantes do período da manhã

dificilmente querem participar de um projeto no período da tarde, alegando terem

outras atividades neste período.

V – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Sabemos que a escola deve procurar alternativas para atingir uma

aprendizagem com qualidade. Provavelmente isso só será possível se usarmos as

tecnologias de que dispomos hoje para, fomentar cada vez mais a busca por

informações que estimulem a vontade de aprender dos nossos estudantes. Isso

pode favorecer uma participação mais afetiva não só dos nossos alunos, mas da

família passar a valorizar mais a educação, colocando nela a credibilidade e

consequentemente mandando seus filhos em trabalhos fora do horário de estudo.

Percebe-se que com a evolução das escolas o que se promove é a escola em tempo

integral, no intento de melhorar a qualidade do ensino. Assim a família pode e deve

ser um fio condutor do que se pretende ensinar para se alcançar a escola desejada.

Neste momento ainda não se vê muito empenho dos familiares em mandarem seus

filhos em projetos de contraturno desta natureza. Essa foi uma das minhas

dificuldades, enfrentadas não só por mim, mas em outros projetos elaborados pela

escola com parcerias de Universidades. Infelizmente não temos muita participação

dos nossos estudantes.

Apesar dos percalços, esta pesquisa abriu a perspectiva de novos trabalhos

que estimulem a criatividade dos nossos educandos e possivelmente trará novas

discussões. Afinal este era um de nossos objetivos, propiciar conhecimentos e

23

experiências por meio de uma atuação ativa, crítica de educandos e educadores,

mesmo diante de todas as dificuldades enfrentadas nos caminhos percorridos.

Antes de concluir este artigo se deseja agradecer imensamente a todos e a

todas os que com ele contribuíram, à SEED em todas as esferas, ao pessoal do

PDE e seus representantes do NRE de Cascavel, aos colegas e participantes do

GTR que contribuíram significativamente com a discussão e que com certeza

enriqueceram o nosso trabalho. Agradecemos também ao Colégio Estadual

"Professora Júlia Wanderley", com todos os seus funcionários e alunos envolvidos

do 9ºs anos A, B, C, D do ano de 2011. Enfim, a todos os colegas que colaboraram.

REFERÊNCIAS

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Khwarizmi. htm>. Acesso em: 10 dez. 2010.

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24

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