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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais com retardo em biologia depopulações

Estudante: Renato Mendes Coutinho

Orientador: Roberto André Kraenkel

Instituto de Física Teórica (IFT) - Unesp

Defesa de Dissertação de MestradoSão Paulo, 2010

Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário

1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

4 Conclusão

Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário

1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

4 Conclusão

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário

1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

4 Conclusão

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário

1 IntroduçãoBiologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

2 Dinâmica da equação de HutchinsonEquações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

3 Capacidade de suporte periódicaSoluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

4 Conclusão

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Introdução

Renato Mendes Coutinho Eq. diferenciais com retardo em biologia de populações

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

O objeto de Estudo: populações

Vamos estudar populações biológicas.

Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

O objeto de Estudo: populações

Vamos estudar populações biológicas.

Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

O objeto de Estudo: populações

Vamos estudar populações biológicas.

Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.

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O objeto de Estudo: populações

Vamos estudar populações biológicas.

Populaçõessão conjuntos de organismos que vivem agregados e possuemcomportamento semelhante;são tratadas “como um todo”, ou seja, não analisamos o queacontece com cada indivíduo;crescem ou decrescem de acordo com os processos que afetamo tamanho da população: nascimento, morte, migração.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Populações não-interagentes

Estudaremos populações não-interagentessão populações cuja dinâmica não é afetada por outrasespécies.É claro que, na natureza, não existem organismos isolados;entretanto, o acoplamento da dinâmica de uma espécie comcada uma das outras com as quais ela interage pode ser fraca.Nesse caso, a variação das outras populações não afetaconsideravelmente a população em questão;modelos que levam em conta apenas uma população sãoaproximações aceitáveis.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Dinâmica de uma população

Qual a dinâmica de uma população?

Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

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Dinâmica de uma população

Qual a dinâmica de uma população?

Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

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Dinâmica de uma população

Qual a dinâmica de uma população?

Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

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Dinâmica de uma população

Qual a dinâmica de uma população?

Com recursos em abundância, ela cresce exponencialmente (leide Malthus);em altas densidades, a população satura em sua capacidadede suporte.A equação mais simples que dá conta desses fenômenos é aequação logística:

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Equação logística

0 4 8 12 16

tempo

K

popula

ção

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.

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tempo

K

popula

ção

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.

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Equação logística

0 4 8 12 16

tempo

K

popula

ção

dudt

= ru(t)[1−

u(t)K

]

r é a taxa de crescimento:natalidade menosmortalidade (na ausência defatores limitantes, ou seja,com abundância de recursos)K é a capacidade desuporte: é o valor atingidopela população após certotempo.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Generalizando a equação logística

A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:

dudt

= u(t) r[1−

u(t − τ)K

]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita

τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.

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Generalizando a equação logística

A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:

dudt

= u(t) r[1−

u(t − τ)K

]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita

τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.

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Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Generalizando a equação logística

A equação logística vai muito bem, mas é simples demais.Vamos supôr que a fecundidade per capita no instante tdeve ser calculada não com a quantidade de indivíduos notempo t, mas em um tempo anterior t − τ:

dudt

= u(t) r[1−

u(t − τ)K

]︸ ︷︷ ︸fecundidade per capita

τ é o chamado atraso temporal ou retardo na equaçãodiferencial.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

A equação de Hutchinson

dudt

= ru(t)[1−

u(t − τ)K

]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.

Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.

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A equação de Hutchinson

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= ru(t)[1−

u(t − τ)K

]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.

Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.

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A equação de Hutchinson

dudt

= ru(t)[1−

u(t − τ)K

]é a equação de Hutchinson, ou de Hutchinson-Wright, ou aindaequação logística com atraso.

Foi usada, por exemplo, para descrever populações de moscas(Nicholson blowflies).Será o centro de nossas atenções neste trabalho.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Interpretações do atraso temporal

Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.

Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.

Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).

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Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.

Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.

Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Interpretações do atraso temporal

Introduzimos a equação de Hutchinson de uma forma heurística.Ao longo do tempo, diversas interpretações do atraso temporalforam propostas.

Tempo de maturação sexual do indivíduoApenas os indivíduos sexualmente maduros são responsáveis pelocrescimento da população, daí a taxa de fecundidade estarrelacionada apenas a esses indivíduos, de idade maior que τ.

Tempo de recuperação dos recursosOs recursos dos quais a população depende não se recuperaminstantaneamente, mas têm um tempo típico de recuperação (τ).

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Interpretações do atraso temporal II

Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.

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Interpretações do atraso temporal II

Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.

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Interpretações do atraso temporal II

Uma outra interpretação, baseada numa nova derivação daequação de Hutchinson, é de que o atraso provém de umamortalidade acentuada de indivíduos de idade τ.Isso pode estar relacionado a uma estrutura de estágiossubjacente.Desse ponto de vista, considerar τ como o tempo dematuração do indivíduo é compatível com essa interpretação.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Aplicações

Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.

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Biologia de populaçõesEquação logísticaEquação de Hutchinson

Aplicações

Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.

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Aplicações

Apesar de reproduzir qualitativamente alguns fenômenosobservados em laboratório, a equação de Hutchinson é aindaum modelo muito simples.Não se deve esperar muito dela em termos de comprovaçãoexperimental.Vamos encará-la como um modelo mínimo que introduz ummecanismo de atraso temporal, e estudar seu comportamentoqualitativo sob diversos regimes.

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Dinâmica da equação deHutchinson

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Definição

A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais

Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.

dudt

= f (t, u(t), u (g(t)))

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Definição

A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais

Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.

dudt

= f (t, u(t), u (g(t)))

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Definição

A equação de Hutchinson pertence à uma classe de equaçõeschamadas equações diferenciais funcionais

Equações diferenciais funcionais são aquelas em que a derivada davariável dependente u no instante t está relacionada a u comofunção de alguma outra função do tempo.

dudt

= f (t, u(t), u (g(t)))

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Equações diferenciais com retardo

Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas

um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas

um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

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Equações diferenciais com retardo

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um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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Equações diferenciais com retardo

Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas

um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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Equações diferenciais com retardo

Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas

um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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Equações diferenciais com retardo

Vamos assumir uma forma bem mais simples do que umaequação diferencial funcional geral;Estudaremos equações em que há apenas

um único atraso temporal constanteque aparece apenas na variável dependente, e não em suasderivadas.

Essas equações são ditas equações diferenciais funcionaisdo tipo retardado. Por exemplo

du(t)dt − u(t − 1) = 0

dudt (t) + 2u(t)u(t − τ) − u(t − τ) = 0

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Solução por continuação

Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0

Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.

Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.

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Solução por continuação

Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0

Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.

Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t

0

2

4

6

8

10

12

u1

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Solução por continuação

Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0

Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.

Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t

0

2

4

6

8

10

12

u1

1 +t

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Solução por continuação

Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0

Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.

Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t

0

2

4

6

8

10

12

u1

1 +t

1/2 +t+t2 /2

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

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Solução por continuação

Vamos resolver um caso simplespara entender como evolui notempo uma equação diferencialcom retardo:dudt = u(t − 1), t ≥ 0

Para calcularmos u ′(0),precisamos de u(−1), entãovamos tomaru(t) = 1, t ∈ [−1, 0].

Com 0 < t < 1, integramos afunção constante e obtemos asolução.

Prosseguimos assim,sucessivamente para cadaintervalo de tamanho 1.

1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t

0

2

4

6

8

10

12

u1

1 +t

1/2 +t+t2 /2

1/6 +t/2 +t2 /2 +t3 /6

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Problema de valor inicial

A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:

dudt

= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0

u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0

Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

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Problema de valor inicial

A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:

dudt

= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0

u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0

Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.

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Problema de valor inicial

A ordem da descontinuidade nos pontos múltiplos do atrasoaumenta, quer dizer, a solução ganha regularidade.É necessário fornecer uma história inicial para que o problemade valor inicial esteja bem definido:

dudt

= f (t, u(t), u(t − τ)) , t ≥ 0

u(t) = φ(t),−τ ≤ t ≤ 0

Uma solução única é determinada apenas por uma funçãoinicial φ num intervalo [−τ, 0], o que indica que o problema éde dimensão infinita.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Soluções exponenciais

A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:

L(u) = a0dudt

+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,

u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0

h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Soluções exponenciais

A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:

L(u) = a0dudt

+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,

u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0

h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.

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Soluções exponenciais

A solução por continuação pode ser numericamente útil, masnão permite análise do comportamento para t → ∞.Para equações lineares, podemos procurar por soluçõesexponenciais:

L(u) = a0dudt

+ b0u(t) + b1u(t − τ) = 0,

u(t) = Ceλt ∴ a0λ+ b0 + b1e−λτ ≡ h(λ) = 0

h é o polinômio característico. As (infinitas) raízes de h(λ)(os autovalores) determinam o comportamento das soluções.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Autovalores complexos

Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.

ExemploA equação

dudt

= −π

2u(t − 1)

tem soluçãou(t) = A cos

(π2t)

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Autovalores complexos

Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.

ExemploA equação

dudt

= −π

2u(t − 1)

tem soluçãou(t) = A cos

(π2t)

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Autovalores complexos

Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.

ExemploA equação

dudt

= −π

2u(t − 1)

tem soluçãou(t) = A cos

(π2t)

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Autovalores complexos

Se λ for complexo, a solução pode oscilarIsso contrasta com equações diferenciais ordinárias, em queuma equação em uma única variável nunca oscila.

ExemploA equação

dudt

= −π

2u(t − 1)

tem soluçãou(t) = A cos

(π2t)

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson

Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional

dudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.

Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson

Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional

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= u(t) [1− u(t − τ)]

tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.

Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson

Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional

dudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.

Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson

Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional

dudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.

Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson

Reescrevemos a equação de Hutchinson na forma adimensional

dudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

tomando u = uK , t = rt e τ = rτ.

Há dois pontos fixos: u∗ = 0 e u∗ = 1.u∗ = 0 é sempre instável (pois r > 0).u∗ = 1 é mais complexo...

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II

A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt

+ u(t − τ) = 0

h(λ) = e−λτ + λ = 0

Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II

A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt

+ u(t − τ) = 0

h(λ) = e−λτ + λ = 0

Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II

A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt

+ u(t − τ) = 0

h(λ) = e−λτ + λ = 0

Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.

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Pontos fixos e estabilidade da equação de Hutchinson II

A linearização ao redor de u∗ = 1 édudt

+ u(t − τ) = 0

h(λ) = e−λτ + λ = 0

Para τ < e−1, a solução λ da equação característica de maiorparte real (ou seja, a que domina) é real. Portanto nessaregião as soluções vão monotonicamente para o ponto fixo.Quando π/2 > τ > e−1, todos os λ são complexos e de partereal negativa, de modo que u∗ = 1 ainda é estável, mas tendeao ponto fixo oscilando.Quando τ = π/2, um par de autovalores λ = ±i cruza o eixoimaginário e passa a ter parte real positiva. A partir daí oponto fixo é instável. A equação de Hutchinson passa a tersoluções com oscilações auto sustentadas.

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Soluções da equação de Hutchinson

0 5 10 15 20 25 30

tempo (t)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

densi

dade (

u)

τ=0.2

τ=0.7

τ=1.6

0 10 20 30 40 50

tempo (t)

0

1

2

3

4

5

densi

dade (

u)

τ=1.6

τ=2.0

τ=2.5

Gráficos das soluções da equação para diversos τ.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Oscilações periódicas em biologia de populações

Por que populações oscilam?Oscilações em populações são observadas com frequência nanatureza.É de grande interesse explicar qual o mecanismo responsávelpor essas oscilações.Os candidatos usuais são:

Oscilações ambientais, externas: variações sazonais, anuais,circadianas.Interações entre espécies, particularmente relações tipopredador–presa (e.g. Lotka-Volterra).Oscilações intrínsecas à dinâmica da população. Nestas seencaixam dinâmicas em tempo discreto e efeitos de atrasotemporal como o que descrevemos aqui.

Cada um desses mecanismos tem diferentes consequênciaspara a dinâmica resultante. Em particular, o período dessasoscilações fornece uma pista desse mecanismo.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Equações diferenciais funcionaisAnálise linearSoluções oscilantes

Período como função de τ

Podemos investigarnumericamente comose comporta o períododa solução quandoaumentamos τ.Ao lado, o período Tda solução em funçãodo parâmetro τutilizado.Assintoticamente,T (τ) u eτ.

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Capacidade de suporte periódica

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Perturbações externas

Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:

dudt

= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]

A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Perturbações externas

Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:

dudt

= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]

A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Perturbações externas

Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:

dudt

= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]

A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Perturbações externas

Quando se formula um modelo em biologia de populações, éimportante saber se ele é sensível a perturbações ambientais.Vamos adaptar a equação de Hutchinson de maneira que acapacidade de suporte seja periódica:

dudt

= u(t) [1− (1+ α cosγt)u(t − τ)]

A frequência γ corresponde a uma frequência externa, quepode corresponder a variações ambientais.

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Soluções

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

8

100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.9

Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.

As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Soluções

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

8

100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.9

Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.

As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Soluções

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.

8

100 200 300 400 500 600 700 800tempo (t)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

u(t

),γ

=0.9

Solução numérica da equação deHutchinson adaptada, para diversosvalores de γ, α = 0.1 e τ = 1.7.

As oscilações originais dosistema se mantém, porémsurge um novo modo deoscilação, que faz com que oenvelope da solução oscile.A amplitude das oscilaçõestambém varia com γ.Então: o que acontecequando γ se aproxima dafrequência natural dosistema, dependente de τ?

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Gráfico de ressonância

Ressonância!Ao redor da frequência natural, indicada em vermelho (bem como odobro desta). Aqui τ = 1.7 e α = 0.01.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Comportamento anômalo

0.890 0.895 0.900 0.905 0.910 0.915 0.920

Frequência da perturbação (γ)

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

Am

plit

ude (max(u

)−min

(u))

(a)

(b)

(c)

Figura anterior aproximada próximo doprimeiro pico da ressonância.

Entretanto, aparece umfenômeno curioso:próximo do que seria omáximo da ressonância,existe uma “fenda”.Vamos olhar para asolução em outra escalade tempo...

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Comportamento anômalo

0.890 0.895 0.900 0.905 0.910 0.915 0.920

Frequência da perturbação (γ)

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

Am

plit

ude (max(u

)−min

(u))

(a)

(b)

(c)

Figura anterior aproximada próximo doprimeiro pico da ressonância.

Entretanto, aparece umfenômeno curioso:próximo do que seria omáximo da ressonância,existe uma “fenda”.Vamos olhar para asolução em outra escalade tempo...

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Comportamento anômalo II

1.900

1.902

1.904

1.906

1.908

1.910

(b)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

tempo (t)

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

(c)

Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.

Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107

(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.

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Comportamento anômalo II

1.900

1.902

1.904

1.906

1.908

1.910

(b)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

tempo (t)

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

(c)

Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.

Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107

(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.

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Comportamento anômalo II

1.900

1.902

1.904

1.906

1.908

1.910

(b)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

tempo (t)

1.80

1.85

1.90

1.95

2.00

2.05

2.10

(c)

Envoltória da solução da equaçãode Hutchinson adaptada, comτ = 1.7, α = 0.01 e(b) γ = 0.911; e(c) γ = 0.915.

Na região da fenda, a frequênciada oscilação do envelope ficapróxima de zero, levando a períodos(desse modo de oscilação)extremamente longos, como vemosna figura (c).Simulações nessa região deparâmetros indo até t = 107

(tempo adimensional) não sãocapazes de eliminar esse efeito.Isso evidencia a necessidade detempos arbitrariamente grandespara chegar a um “estadoestacionário”.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Descrição da envoltória

Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.

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Descrição da envoltória

Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.

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Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.

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Descrição da envoltória

Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.

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Descrição da envoltória

Observamos numericamente o que acontece nesse sistema.A envoltória possui um comportamento interessante.Gostaríamos de ter uma descrição analítica da sua dinâmica.Vamos tentar fazer uso do método de múltiplas escalas.Começamos abordando a equação de Hutchinson usual, semvariações na capacidade de suporte.

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Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas I

O método de múltiplas escalas é um método perturbativoEm relação ao método de perturbações clássico, ele permiteuma forma bem mais geral para a dependência funcional dasolução no parâmetro perturbativo.Isto por meio da introdução de novas escalas temporais maislentas, também de acordo com o parâmetro perturbativo ε.Assim, escrevemos:

u = u0(t0, t1, t2, . . .) + εu1(t0, t1, t2, . . .) + ε2u2(t0, t1, t2, . . .) + . . .

em que t1 = εt0, t2 = ε2t0 etc.

Agora ε aparece não apenas na expansão assintótica, mas tambémde forma implícita em t1, t2 etc.

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Método de múltiplas escalas II

O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:

A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.

Vamos olhar para o exemplo à mão.

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Método de múltiplas escalas II

O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:

A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.

Vamos olhar para o exemplo à mão.

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Método de múltiplas escalas II

O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:

A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.

Vamos olhar para o exemplo à mão.

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Método de múltiplas escalas II

O objetivo dessa generalização é permitir a eliminação doschamados termos seculares, que são termos cuja amplitudenão pode ser controlada e que levam à perda daassintoticidade da solução perturbativa.Para definir a dinâmica das variáveis ui nas escalas de tempolentas, portanto, vamos impôr que:

A dinâmica nas escalas de tempo lentas será tal que os termosseculares sejam anulados.

Vamos olhar para o exemplo à mão.

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Aplicação à equação de Hutchinson I

A equação de Hutchinsondudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:

dudt

= −u(t −

π

2− σε2

)[1+ εu(t)]

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Aplicação à equação de Hutchinson I

A equação de Hutchinsondudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:

dudt

= −u(t −

π

2− σε2

)[1+ εu(t)]

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Aplicação à equação de Hutchinson I

A equação de Hutchinsondudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:

dudt

= −u(t −

π

2− σε2

)[1+ εu(t)]

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Aplicação à equação de Hutchinson I

A equação de Hutchinsondudt

= u(t) [1− u(t − τ)]

é uma equação não-linear com retardo para a qual não temossolução analítica.Para aplicar o método, vamos considerar que o termo linear éuma perturbação (isso não compromete a generalidade dasolução, pois se trata apenas de uma mudança de escala)e que τ ≈ π/2, já que em π/2 temos a solução da parte linear,que é apenas um seno.A escolha das potências de ε é arbitrária e ajustada de formaconveniente. Escrevemos então a equação da seguinte forma:

dudt

= −u(t −

π

2− σε2

)[1+ εu(t)]

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Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:

t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .

u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .

Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:

∂u0

∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0

∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)

∂u2

∂t0+ u2(t0 − π/2) = −

∂u0

∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)

− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1

∂t0(t0 − π/2)

...

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Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:

t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .

u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .

Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:

∂u0

∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0

∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)

∂u2

∂t0+ u2(t0 − π/2) = −

∂u0

∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)

− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1

∂t0(t0 − π/2)

...

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Aplicação à equação de Hutchinson IIEscolhemos as escalas de tempo e fazemos a expansão assintóticada solução:

t1 = ε2t0, t2 = ε4t0, t3 = ε6t0 . . .

u(t0, t1, . . . ) = u0(t0, t1, . . . ) + εu1(t0, t1, . . . ) + ε2u2(t0, t1, . . . ) + . . .

Expandimos tudo em potências de ε e comparamos os termos demesma ordem, chegando à série de equações:

∂u0

∂t0+ u0(t0 − π/2) = 0

∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = −u0(t0)u0(t0 − π/2)

∂u2

∂t0+ u2(t0 − π/2) = −

∂u0

∂t1(t0) − u0(t0 − π/2)u1(t0)

− u0(t0)u1(t − π/2) + σ∂u1

∂t0(t0 − π/2)

...

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Aplicação à equação de Hutchinson III

A solução em ordem 0 é

u0(t0, t1, . . . ) =∑

i

ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .

Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :

u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .

Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,

cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):

u1 =(2− i)A2

5e2it0 + c .c .

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A solução em ordem 0 é

u0(t0, t1, . . . ) =∑

i

ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .

Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :

u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .

Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,

cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):

u1 =(2− i)A2

5e2it0 + c .c .

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Aplicação à equação de Hutchinson III

A solução em ordem 0 é

u0(t0, t1, . . . ) =∑

i

ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .

Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :

u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .

Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,

cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):

u1 =(2− i)A2

5e2it0 + c .c .

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Aplicação à equação de Hutchinson III

A solução em ordem 0 é

u0(t0, t1, . . . ) =∑

i

ci (t1, t2, . . . )eλi t0 + c .c .

Entretanto, desprezaremos todas as soluções que decaem a zero, oque deixa apenas a solução de autovalor λ = i :

u0 = A(t1, t2, . . . )e it0 + c .c .

Substituindo na equação de ordem 1 em ε:∂u1

∂t0+ u1(t0 − π/2) = iA2e2it0 + c .c . ,

cuja solução é (supondo que a parte homogênea apareça só naordem 0):

u1 =(2− i)A2

5e2it0 + c .c .

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Aplicação à equação de Hutchinson IV

Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:

∂u2

∂t0+u2(t0−π/2) =

[∂A∂t1

− σA+3i − 1

5A2A

]e it0︸ ︷︷ ︸

termo secular

−3+ i5

A3e3it0+c .c .

e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que

∂A∂t1

= σA−3i − 1

5A2A

Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Aplicação à equação de Hutchinson IV

Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:

∂u2

∂t0+u2(t0−π/2) =

[∂A∂t1

− σA+3i − 1

5A2A

]e it0︸ ︷︷ ︸

termo secular

−3+ i5

A3e3it0+c .c .

e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que

∂A∂t1

= σA−3i − 1

5A2A

Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.

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Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:

∂u2

∂t0+u2(t0−π/2) =

[∂A∂t1

− σA+3i − 1

5A2A

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termo secular

−3+ i5

A3e3it0+c .c .

e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que

∂A∂t1

= σA−3i − 1

5A2A

Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.

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Aplicação à equação de Hutchinson IV

Substituindo as soluções em ordens 0 e 1 na equação para ordem 2:

∂u2

∂t0+u2(t0−π/2) =

[∂A∂t1

− σA+3i − 1

5A2A

]e it0︸ ︷︷ ︸

termo secular

−3+ i5

A3e3it0+c .c .

e aqui aparece um termo ressonante. Na presença dele, a soluçãoem ordem 2 diverge, e a série não pode ser truncada, ou seja, eladeixa de ser assintótica.Então, vamos impôr que

∂A∂t1

= σA−3i − 1

5A2A

Esta é chamada de equação secular. A solução desta equaçãodiverge em segunda ordem, o que nos obriga a prosseguir atéordens superiores.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Solução perturbativa I

15 10 5 0 5 10 15(A)

15

10

5

0

5

10

15

(A)

ordem 4

ordem 6

ordem 10

Partes real e imaginária da solução para aamplitude A da solução em ordem 0 com σ = 1e ε = 0.1. A condição inicial é A = 0.1 + 0.1i .

Os cálculos envolvidostornam-seexcessivamente longos,então implementamosum programa que faz usode uma bibliotecasimbólica.Uma vez obtidas asequações seculares,podemos integrá-lasnumericamente paraobter a amplitude emordem 0 (A) da solução.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

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Solução perturbativa I

15 10 5 0 5 10 15(A)

15

10

5

0

5

10

15

(A)

ordem 4

ordem 6

ordem 10

Partes real e imaginária da solução para aamplitude A da solução em ordem 0 com σ = 1e ε = 0.1. A condição inicial é A = 0.1 + 0.1i .

Os cálculos envolvidostornam-seexcessivamente longos,então implementamosum programa que faz usode uma bibliotecasimbólica.Uma vez obtidas asequações seculares,podemos integrá-lasnumericamente paraobter a amplitude emordem 0 (A) da solução.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Solução perturbativa II

Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:

solução período (T)u 6.33

u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28

Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.

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Solução perturbativa II

Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:

solução período (T)u 6.33

u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28

Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.

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Solução perturbativa II

Essa aproximação fornece os seguintes resultados para o período dasolução:

solução período (T)u 6.33

u(4) 5.21u(6) 5.36u(10) 6.28

Observa-se que a aproximação melhora com o aumento da ordem,mas talvez fosse necessário levar ainda mais longe o método paraobter boas aproximações.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Soluções numéricasRessonânciaMétodo de múltiplas escalasResultados da aplicação do método

Solução perturbativa III

Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.

A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.

A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.

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Solução perturbativa III

Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.

A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.

A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.

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Solução perturbativa III

Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.

A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.

A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.

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Solução perturbativa III

Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.

A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.

A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.

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Solução perturbativa III

Amplitude de A fornecida pelasolução perturbativa, ao longodo tempo.

A amplitude dessa solução,entretanto, mantém-se bem acimade 1.Isto não é aceitável, já que leva aoscilações que cruzam o zero,resultando em soluções negativas, oque não é observadonumericamente.Portanto o método não foi capazde produzir resultados coerentespara a amplitude.

A análise do caso com capacidade de suporte variável não foiconsiderada, já que o resultado no caso mais simples já não tinhase mostrado adequado.

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Capacidade de suporte periódicaConclusão

Conclusão

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário I

Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.

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Sumário I

Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.

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Sumário I

Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.

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Sumário I

Abordamos um modelo simples que pode descrever populaçõesnão-interagentes cuja dinâmica é oscilatória.Adaptamos esse modelo para introduzirmos perturbaçõesambientais periódicas.Analisamos a dinâmica resultante e a interação entre afrequência externa e aquela intrínseca à população,encontrando um novo modo de oscilação, bem comoressonância.A fim de estudar como evolui o envelope da solução, buscamosaplicar técnicas perturbativas, em particular o método demúltiplas escalas.

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IntroduçãoDinâmica da equação de Hutchinson

Capacidade de suporte periódicaConclusão

Sumário II

O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.

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Sumário II

O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.

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Sumário II

O método, entretanto, produz aproximações insatisfatóriaspara a amplitude já no caso sem perturbações externas,embora tenha resultados interessantes quanto à previsão doperíodo.Retomando a equação de Hutchinson adaptada, observamos einvestigamos um fenômeno peculiar – uma fenda próxima aopico da ressonância.Finalmente, podemos concluir que as perturbações externas,periódicas, não produzem efeitos catastróficos sobre apopulação, mas podem ser de relevância na sua evoluçãobiológica, já que essa população pode se beneficiar dedensidades maiores dependendo da frequência externa dosistema.

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Obrigado pela atenção!

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Apêndice

Apêndice

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Apêndice

Análise das frequências da equação de Hutchinson adaptada

0.5 1.0 1.5 2.0

Frequência da perturbação (γ)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Frequênci

as

pri

nci

pais Frequências de maior

potência na análise deFourier das soluções daequação de Hutchinsonadaptada em função dafrequência externa γ, comα = 0.01 e τ = 1.7.

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