EQUAÇÕES BÁSICAS

Lecture 4

Equação de EstadoA equação de estado para um gás ideal é

p = RT (1)

Onde, p, . R e T são a pressão, a densidade, a constante universal dos gases para o ar seco e a temperatura absoluta, respectivamente.

Em certas ocasiões, pode ser utilizado o volume específico (=1/ ), no lugar da densidade, levando ap = RT (2)

Se o ar contém vapor d` água, a equação de estado torna-sep = RTv (3)

Onde Tv é a temperatura virtual definida comoTv = T (1+ 0.61w) (4)

Onde w é a a razão de mistura definida como a razão entre a massa do vapor d` água num dado volume e a massa de ar seco neste mesmo volume.

Primeira Lei da TermodinâmicaA primeira lei da termodinâmica pode ser expressa da seguinte maneira

H = du + W (5)

onde H, du e W são, respectivamente, o calor adicionado por unidade de massa, a mudança da energia interna por unidade de massa e o trabalho realizado por unidade de massa, com relação ao sistema considerado.

Para um gás invíscidoW = p d

eH = du + p d (6)

A mudança da energia interna por unidade de massa pode ser escrita comodu = Cv dT

onde Cv é o calor específico a volume constante. Substituindo esta expressão na equação (6), obtêm-seH = Cv dT + p d (7)

O calor específico a volume constante é relacionado ao calor específico a pressão constante e à constante dos gases para o ar seco pela expressãoCp = Cv + R (8)

Usando esta expressão, (7) pode ser escrita comoH = Cp dT – RdT + pd, mas pela equação do estado nos temos pd + dp = RdT.

Entao,

H = Cp dT – dp (9)

Equação do Movimento HorizontalA equação do movimento horizontal na forma vetorial, em coordenadas

cartesianas, pode ser escrita comodV/dt + f k x V = – 1/ h p + F (10)

Onde V = u i + v j é o vetor velocidade horizontal, f = 2sin é o parâmetro de Coriolis, é a velocidade angular da rotação da terra, é latitude, F é a força de fricção, k é o vetor unitário na vertical, and h é o operador del horizontal, no qual em coordenadas cartesianas é definido como:

h = i/x + j/y + k/z

Desprezando os efeitos de fricção e reescrevendo a equação (10) em coordenadas de pressão, tem-sedV/dt + f k x V = – p (11)

onde = gz é a altura geopotencial

Equação Hidrostática

A equação hidrostática (ou aproximação) pode ser escrita comop/z = – g (12)

Na expressão (12) a força do gradiente de pressão vertical por unidade de massa é balanceada pela aceleração da gravidade.

Para movimentos de grande escala, que resultam de sistemas de escala sinótica, esta expressão é válida.

Para sistemas convectivos ou no caso de escoamento em regiões com terreno rugoso (montanhas), acelerações verticais são importantes e a expressão (12) não é válida.

Equação Hipsométrica (ou da Espessura)A equação hidrostática pode ser integrada para obter a equação hipsométrica ou da espessura.

Usando a equação do estado (p = RT) e substituindo ( =P/RT) na equação (12), obtemosp/Z = – pg/RT (13)

Equação (13) pode ser escrita comolnp/Z = – g/RT (14)

a qual, integrada no nível (p1, z1) até o nível (p2, z2) resulta em: ⌠p2 ⌠z2 (15)

⌡p1 d lnp = –g ⌡z1 dz/RT

Integrando e aproximando T por Tm (temperatura média para camada de z1 a z2), tem-seln (p2/p1) = g (z2 – z1)/(RTm) (16)

Portanto, para a espessura (z2 – z1) segue que

z2 – z1 = (RTm/g) ln(p1/p2) (17)

Equação (17) é chamada a equação hipsométrica ou da espessura. É utilizada operacionalmente no cálculo da altura de um dado nível de pressão a partir dos dados de radiossondagem. Na equação (17) Tm deveria ser, na realidade, Tvm (temperatura virtual media da camada).

Equação (17) pode também ser utilizada para inferir importantes propriedades da atmosfera terrestre. Dados dois níveis de pressão, a espessura, z2 – z1, correspondente a essas superficies de pressão é diretamente proporcional à temperatura media da camada. Esse ponto sera abordado varias vezes em seções futuras.

Equação da ContinuidadeA equação da continuidade pode ser escrita da seguinte forma

1/ d/dt + V = 0 (18)

onde V é a divergência tridimensional da velocidade, que em coordenadas cartesianas é dada por V = u/x + v/y + w/z (19)

e d/dt é a variação de massa acompanhando a parcela de ar.

Para o escoamento incompressível, temos d/dt = 0 and V = 0 (20)

A equação da continuidade em coordenadas de pressão é matematicamente mais simples, ou seja:

p V + /p = 0 (21)

onde,p V = u/xp + v/yp

e = dp/dt é o movimento vertical em coordenadas de pressão.

A relação aproximada entre ω e w é ω ≈ w p/ z ou ω ≈ - g .

Equação da VorticidadeA equação da vorticidade em coordenadas cartesianas pode ser escrita da seguinte forma

d(ζ+f)/dt = –(ζ+f)hV+(∂w/∂y ∂u/∂z–∂w/∂x ∂v/∂z)+(∂p/∂x ∂α/∂y–∂p/∂y ∂α/∂x) (22) (a) (b) (c)

onde ζ é a componente vertical da vorticidade relativa e (ζ + f) é a componente vertical da vorticidade absoluta.

- O termo (a) representa as mudanças na vorticidade devido a convergencia e divergencia do campo do vento

- o termo (b) representa as mudanças na vorticidade devidas ao movimento vertical diferencial num campo de vento com cisalhamento vertical (termo de inclinação);

- o termo (c) representa as mudanças na vorticidade causadas pelos gradients de densidade ao longo da direção do movimento (termo solenoidal).

Escrevendo a equação (22) em coordenadas de pressão, o termo solenoidal desaparece, ficandod(ζ + f)/dt = –(ζ + f)pV + (∂ω/∂y ∂u/∂p –∂ω/∂x ∂v/∂p) (23)

o termo de inclinação (“tilting”) é pequeno para escoamento de escala sinótica. Este termo é, contudo, localmente importante quando ocorre desenvolvimento rápido de um ciclone (ciclogênese) e também para fenômenos de mesoescala, tais como um cumulonimbus em rotação, tornados e convecção em geral.

COORDENADAS NATURAISO sistema de coordenadas naturais é um dos mais úteis para os

meteorologistas sinóticos.

Os eixos deste sistema são obtidos girando os eixos x e y do sistema de coordenadas cartesianas tal que o eixo x fique na direção do movimento, denotado por s (ver figura). Mediante rotação o eixo y fica na direção n, normal e à esquerda do movimento do ar. Os vetores unitários nas direções s e n, respectivamente, estabelecem a seguinte relação:s x n = k (24)

onde k é o vetor unitário na vertical. Por convenção, o ângulo de rotação (δ) é positivo se a rotação for anti-horária.

Relação entre as coordenadas naturais e as coordenadas cartesianas

Relação entre as coordenadas naturais e as coordenadas cartesianas

• No sistema de coordenadas naturais os eixos mudam de orientação à medida que o movimento do ar muda de direção. Os vetores unitários se n podem então ser função do tempo.

• Uma vantagem óbvia do sistema de coordenadas naturais é que o vetor velocidade horizontal tem somente uma componente, aquela na direção s. Então,

V = Vs (25)

É conveniente usar a equação do movimento em coordenadas de pressão pois os dados sinóticos de ar superior são geralmente fornecidos em níveis de pressão constante.

Equação do Movimento (Coordenadas Naturais )

A equação vetorial do movimento em coordenadas de pressão (equação 11) pode ser escrita como:

dV/dt + fk x V = – p (26)

onde f é o parâmetro de Coriolis e é a altura geopotencial (gz) de uma dada superfície de pressão.

• Os vetores unitários s e n podem ser expressos em termos dos vetores i e j, conforme segue:

s = sx i + sy jn = nx i + ny j

ondesx = s ● i = | s | | i | cosδ = cosδ,sy = s ● j = | s | | j | cos (90-δ) = senδ,nx = n ● i = | n | | i | cos(90+ δ) = – senδ,ny = n ● j = | n | | j | cos(δ) = cosδ

Desta forma,s = cosδ i + senδ jn = – senδ i + cosδ j

Substituindo (25) em (26), obtêm-se

dVs/dt + fk x Vs = – p (27)

Em coordenadas naturais,

p = s ∂/∂sp + n ∂/∂np

Substituindo p = s ∂/∂sp + n ∂/∂np em (27), obtêm-se dVs/dt + fk x Vs = – s ∂/∂s – n ∂/∂n (28) onde as derivadas parciais são avaliadas numa superfície de pressão constante.

O primeiro termo no lado esquerdo da expressão (28) pode ser escrito da seguinte forma:

dVs/dt = s dV/dt + V ds/dt

Utilizando a expressão para s em termos de i and j (slide anterior), ds/dt = (– i sinδ + j cosδ)dδ/dt = n dδ/dt

Porém, dδ/dt é a velocidade angular relativa do ar que pode expressa comod/dt = (d/ds) (ds/dt)

onde dδ/ds = 1/R, R é o raio da curvatura do escoamento (positivo para escoamento no sentido anti-horário)

δRNote: A mudança angular, se o fluxo completa o círculo,

é 2π. A distância que a parcela de ar atravessaria é a circunferência do círculo 2πR. Então, dδ/ds = 2π/ 2πR = 1/R

ds/dt = V, desta forma dδ/dt reduz paradδ/dt = V/RedVs/dt = s dV/dt + n V2/R (29)

Assim, a aceleração do vetor velocidade em coordenadas naturais é dada pela soma de duas acelerações, uma orientada ao longo do escoamento (aceleração da magnitude) e a outra orientada ortogonal ou na direção normal ao escoamento (aceleração centripeta).

Agora considerando o termo aceleração de Coriolisfk x Vs = fVk x s = fVn (30)

Mediante substituição de (29) e (30) em (28), obtêm-se a equação do movimento em coordenadas naturais:sdV/dt + nV2/R + fVn = – s ∂/∂s – n ∂/∂n (31)

O produto escalar de (31) com os vetores unitários s e n fornece, respectivamente, dV/dt = – ∂/∂s (32)V2/R + fV = – ∂/∂n (33)

É evidente em (32) que acelerações na magnitude da velocidade somente se verificam quando a altura geopotencial varia na direção do movimento do ar. Considere-se a análise esquemática da altura geopotencial mostrada na Figura abaixo para o HS e assuma que que a velocidade do ar é maior do que a velocidade de deslocamento do cavado

No ponto A o vento tem velocidade maximo e o vetor do vento é paralelo aos contornos de altura geopotencial, /s = 0 e dV/dt = 0). No ponto B, a velocidade esta diminuindo seguindo o movimento do ar (dV/dt < 0) o que necessita que /s > 0. De modo semelhante, no ponto C, dV/dt > 0 e /s < 0.

Uma vez que (32) nao envolve f, estes resultados aplicam-se a ambos os hemisférios. Em geral, o movimento do ar, numa superfície de pressão constante, acelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais baixas e desacelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais altas. O escoamento é dito uniforme, na direção do movimento, se dV/dt = 0 em todos os pontos.

50

C

40

1

2

3

4A

B

Cavado

isotacas

Se o escoamento for uniforme, então a equação do movimento em coordenadas naturais reduz-se a (3.11) e diz-se que o vento encontra-se em balanço gradiente. Este tipo de vento é chamado vento gradiente, frequentemente denotado pelo subscrito gr. Então,

Vgr2 /R + fVgr = – ∂/∂n (34)

Se o escoamento for retilínio (o escoamento atmosférico seguindo grandes círculos na Terra) então o termo da aceleração centripeta é zero. O escoamento resultante é dito estar em balanço geostrófico, e este tipo de vento é chamado vento geostrófico, frequentemente denotado pelo subscrito g. Então,

fVg = – ∂/∂n (35)

Em geral, em virtude do ar frequentemente realizar movimentos curvilíneos, associado com cavados e cristas, o vento gradiente é uma aproximação melhor do que o vento geostrófico para o vento observado. Em regiões onde a curvatura é pronunciada, o vento observado pode variar de 50% a 200% do vento geostrófico

No Hemisfério Norte (f > 0) deve diminuir na direção n positiva (∂/∂n < 0), e no Hemisfério Sul (f < 0) deve aumentar na direção n positiva.

HN (f>0) HS (f<0)

n n∂/∂n < 0 ∂/∂n > 0

L

H L

H

Se o escoamento ciclônico for definido como o movimento do ar curvilíneo que representa no seu centro baixo valor de altura geopotencial, então o escoamento ciclônico corresponde a R > 0 no HN e R < 0 no HS

HN HS

De modo semelhante, defini-se o escoamento anticiclônico como um movimento curvilíneo que representa no seu centro alto valor de altura geopotencial. O escoamento anticiclônico corresponde a R < 0 no HN e R > 0 no HS

HN HS

Escoamento Ciclônico

Escoamento Anticiclônico

N

N N

N

Substituindo (35) em 34, temosVgr

2 /R + fVgr = fVg que pode ser re-escrita como

Vgr – Vg = - Vgr2 /fR

Para o escoamento ciclônico (no HN: R>0, f> 0; no HS: R<0, f<0), o vento gradiente é menor que o vento geostrófico (Vgr – Vg < 0), e temos escoamento subgeostrófico

Para o escoamento anticiclônico (no HN: R<0, f>0; no HS: R>0, f<0), o vento gradiente é maior que o vento geostrófico(Vgr –

Vg > 0), e temos escoamento supergeostrófico

escoamento ciclônico

(subgeostrófico)

escoamento anticiclônico

(supergeostrófico)

N

N

N

N

NH HS

Divergência e ConvergênciaEm geral, a divergência da velocidade horizontal é uma grandeza difícil de medir acuradamente, em parte por causa dos erros nas medidas dos ventos e em parte porque sua representação matemática é a soma de dois termos que geralmente são de tamanhos comparáveis porém de sinais opostos. Também, neste caso o uso de coordenadas naturais fornece uma representação mais útil para o meteorologista sinótico. Em coordenadas naturais a divergência da velocidade horizontal pode ser expressa como:

p V = s∂/∂s Vs + n∂/∂n Vs

Expandindo os termos no lado direito da equação acima, obtêm-se:

p V = s s ∂V/∂s + Vs ∂s/∂s + ∂V/∂n n s + Vn ∂s/∂n

p V = ∂V/∂s + Vs n ∂δ/∂s + Vn n ∂δ/∂n or

p V = ∂V/∂s + V∂δ/∂n (36) (a) (b)

Onde (a) é a variação na magnitude da velocidade na direção do movimento e (b) representa a confluência ou difluência do escoamento do ar.

Para confluência, ∂δ/∂n é negative, and para difluência ∂δ/∂n é positivo.

Em geral (a) and (b) tem sinais opostos (velocidade aumenta na direção do escoamento para confluência, e velocidade diminui na direção do escoamento para difluência)

0

0

Corrente de Jato

δ>0

δ<0 δ>0

δ<0

Jet

Região de entrada do Jato Região de saída Jato

∂δ/∂n < 0,

Confluência

∂V/∂s > 0

∂δ/∂n > 0,

Difluência

∂V/∂s < 0

N

Vorticidade• A curvatura ou rotação apresentada pelo movimento do ar relativo à

Terra é chamada vorticidade relativa, que matemáticamente é expressa como

Vorticidade Relativa = x V (37)

Em coordenadas naturais, a componente vertical de (37) torna-seζ = k [(s ∂/∂s + n ∂/∂n) x Vs (38)

Expandindo o lado direito da equação(38), temosζ = k (s x ∂(Vs)/∂s + n x ∂Vs/∂n)

Expandindo as derivadas e usando as expressões para s e n em termos de i e j

s = cosδ i + senδ jn = – senδ i + cosδ j obtêm-se,

ζ = k (Vs x n ∂δ/∂s + s x s ∂V/∂s + Vn x n ∂δ/∂n + n x s ∂V/∂n)Como s x n = k, s x s = n x n = 0, n x s = -k e ∂δ/∂s =1/R, a

velocidade relativa em coordenadas naturais pode ser escrita como:

ζ = V/R – ∂V/∂n (39)

onde V/R é definido como a vorticidade devido à curvatura e -V/n é definido como a vorticidade devida ao cisalhamento

As figuras a seguir mostram exemplos da vorticidade devido à curvatura e devido ao cisalhamento, tanto no NH e SH.

As figuras a seguir mostram exemplos da vorticidade devido à curvatura e devido ao cisalhamento, tanto no NH e SH.

Vorticidade devido à Curvatura

NH SH

(a)

V/R>0

(b)V/R<0

V/R<0

V/R>0

Vorticidade relativa ciclônica

devido ao escoamento

curvado

Vorticidade relativa

anticiclônica devido ao

escoamento curvado

N

N

N

N

HN HS

(a)

– ∂V/∂n >0

(b)

– ∂V/∂n <0 Vorticidade relativa ciclônica

devido ao cisalhamento

horizontal

n

– ∂V/∂n <0

Vorticidade devido ao Cisalhamento

Vorticidade relativa

anticiclônica devido ao

cisalhamento horizontal