kousky lecture 4 basic eqns portuguese

7/23/2019 Kousky Lecture 4 Basic Eqns Portuguese

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EQUAÇÕES BÁSICASLecture 4



Equação de EstadoA equação de estado para um gás idea !

p = RT "#$%&de' p' ρ( ) e * são a pressão' a de&sidade' a co&sta&te u&i+ersa dosgases para o ar seco e a temperatura a,souta' respecti+ame&te(

Em certas ocasi-es' pode ser utii.ado o +oume espec/0co "α1#2 ρ$' &ougar da de&sidade' e+a&do a

pα 1 )* "3$

Se o ar co&t!m +apor d água' a equação de estado tor&a5sepα 1 )*+ "6$

%&de *+ ! a temperatura +irtua de0&ida como

*+ 1 * "#7 8(9#:$ "4$

%&de : ! a a ra.ão de mistura de0&ida como a ra.ão e&tre a massa do+apor d água &um dado +oume e a massa de ar seco &este mesmo+oume(



;rimeira Lei da *ermodi&<micaA primeira ei da termodi&<mica pode ser e=pressa da segui&te ma&eira

δ> 1 du 7 δ? "@$o&de δ>' du e δ? são' respecti+ame&te' o caor adicio&ado por u&idade de massa' amuda&ça da e&ergia i&ter&a por u&idade de massa e o tra,ao reai.ado por u&idadede massa' com reação ao sistema co&siderado(

;ara um gás i&+/scidoδ? 1 p dα

eδ> 1 du 7 p dα "9$

A muda&ça da e&ergia i&ter&a por u&idade de massa pode ser escrita comodu 1 C+ d*

o&de C+ ! o caor espec/0co a +oume co&sta&te( Su,stitui&do esta e=pressão &a equação"9$' o,tm5seδ> 1 C+ d* 7 p dα "$

% caor espec/0co a +oume co&sta&te ! reacio&ado ao caor espec/0co a pressão co&sta&tee D co&sta&te dos gases para o ar seco pea e=pressão

Cp 1 C+ 7 ) "$Usa&do esta e=pressão' "$ pode ser escrita comoδ> 1 Cp d* F )d* 7 pdα' mas pea equação do estado &os temos pdα 7 αdp 1 )d*(

E&tao'

δ> 1 Cp d* F α dp "G$



Equação do Ho+ime&to>ori.o&ta

A equação do mo+ime&to ori.o&ta &a orma +etoria' emcoorde&adas cartesia&as' pode ser escrita comodV2dt 7 k = V 1 F #2ρ

∇ p 7 F "#8$%&de V = u i 7 + j ! o +etor +eocidade ori.o&ta' 1 3Ωsi&φ

! o par<metro de Coriois' Ω ! a +eocidade a&guar da

rotação da terra' φ ! atitude' F ! a orça de ricção' k ! o+etor u&itário &a +ertica' a&d∇ ! o operador de

ori.o&ta' &o qua em coorde&adas cartesia&as ! de0&idocomoJ

∇ = i∂2∂= 7 j∂2∂K 7 k ∂2∂.

espre.a&do os eeitos de ricção e reescre+e&do a equação"#8$ em coorde&adas de pressão' tem5sedV2dt 7 k = V 1 F

∇pΦ "##$o&de Φ 1 g. ! a atura geopote&cia



Equação >idrostática

A equação idrostática "ou apro=imação$ pode serescrita como∂p2∂. 1 F ρg "#3$

Ma e=pressão "#3$ a orça do gradie&te de pressão+ertica por u&idade de massa ! ,aa&ceada pea

aceeração da gra+idade(

;ara mo+ime&tos de gra&de escaa' que resutam desistemas de escaa si&Ntica' esta e=pressão !+áida(

;ara sistemas co&+ecti+os ou &o caso deescoame&to em regi-es com terre&o rugoso"mo&ta&as$' aceeraç-es +erticais sãoimporta&tes e a e=pressão "#3$ &ão ! +áida(



Equação >ipsom!trica "ou daEspessura$

A equação idrostática pode se

r i&tegrada para o,ter a equação ipsom!trica ou daespessura( Usa&do a equação do estado "p 1 ρ)*$ e su,stitui&do ρ "ρ 1;2)*$ &aequação "#3$' o,temos∂p2∂O 1 F pg2)* "#6$

Equação "#6$ pode ser escrita como∂&p2∂O 1 F g2)* "#4$

a qua' i&tegrada &o &/+e "p#' .#$ at! o &/+e "p3' .3$ resuta emJ Pp3 P.3 "#@$

p# d &p 1 Fg .# d.2)*

I&tegra&do e apro=ima&do * por *m "temperatura m!dia para camada de .# a .3$' tem5se& "p32p#$ 1 g ".3 F .#$2")*m$ "#9$

;orta&to' para a espessura ".3 F .#$ segue que.3 F .# 1 ")*m2g$ &"p#2p3$"#$

Equação "#$ ! camada a equação ipsom!trica ou da espessura( R utii.adaoperacio&ame&te &o cácuo da atura de um dado &/+e de pressão a partir dos dadosde radiosso&dagem( Ma equação "#$ *m de+eria ser' &a reaidade' *+m "temperatura+irtua media da camada$(

Equação "#$ pode tam,!m ser utii.ada para i&erir importa&tes propriedades daatmosera terrestre( ados dois &/+eis de pressão' a espessura' .3 F .#' correspo&de&tea essas super0cies de pressão ! diretame&te proporcio&a D temperatura media da

camada( Esse po&to sera a,ordado +arias +e.es em seç-es uturas(



Equação da Co&ti&uidadeA equação da co&ti&uidade pode ser escrita da segui&te orma

#2ρ dρ2dt 7 ∇ V 1 8 "#$o&de ∇ V ! a di+erg&cia tridime&sio&a da +eocidade' que em coorde&adascartesia&as ! dada por

∇ V = ∂u2∂= 7 ∂+2∂K 7 ∂:2∂. "#G$

e dρ2dt ! a +ariação de massa acompa&a&do a parcea de ar(

;ara o escoame&to i&compress/+e' temosdρ2dt 1 8 a&d ∇ V 1 8 "38$A equação da co&ti&uidade em coorde&adas de pressão ! matematicame&te mais

simpes' ou seaJ ∇p V + ∂ω2∂p 1 8 "3#$

o&de'

∇

p V 1 ∂u2∂=p 7 ∂+2∂Kp

e ω 1 dp2dt ! o mo+ime&to +ertica em coorde&adas de pressão(

A reação apro=imada e&tre T e : ! T : ∂ p2 ∂ . ou T 5 ρg (



Equação da VorticidadeA equação da +orticidade em coorde&adas cartesia&as pode ser escrita da

segui&te ormad"W7$2dt 1 F"W7$∇ V7"X:2XK Xu2X.FX:2X= X+2X.$7"Xp2X= XY2XKFXp2XK XY2X=$"33$ "a$ ",$ "c$

o&de W ! a compo&e&te +ertica da +orticidade reati+a e "W 7 $ ! a compo&e&te+ertica da +orticidade a,souta(

5 % termo (a) represe&ta as muda&ças &a +orticidade de+ido a co&+erge&cia edi+erge&cia do campo do +e&to

5 o termo (b) represe&ta as muda&ças &a +orticidade de+idas ao mo+ime&to+ertica diere&cia &um campo de +e&to com cisaame&to +ertica "termo dei&ci&ação$Z

5 o termo (c) represe&ta as muda&ças &a +orticidade causadas peos gradie&tsde de&sidade ao o&go da direção do mo+ime&to "termo soe&oida$(

Escre+e&do a equação "33$ em coorde&adas de pressão' o termo soe&oidadesaparece' 0ca&dod"W 7 $2dt 1 F"W 7 $∇p V 7 "XT2XK Xu2Xp FXT2X= X+2Xp$ "36$

o termo de i&ci&ação "[titi&g\$ ! peque&o para escoame&to de escaa si&Ntica(Este termo !' co&tudo' ocame&te importa&te qua&do ocorre dese&+o+ime&torápido de um cico&e "cicog&ese$ e tam,!m para e&]me&os de mesoescaa'tais como um cumuo&im,us em rotação' tor&ados e co&+ecção em gera(



C%%)EMAAS MA*U)AIS% sistema de coorde&adas &aturais ! um dos mais ^teis para os

meteoroogistas si&Nticos(

%s ei=os deste sistema são o,tidos gira&do os ei=os = e K dosistema de coorde&adas cartesia&as ta que o ei=o = 0que &adireção do mo+ime&to' de&otado por s "+er 0gura$( Hedia&te

rotação o ei=o K 0ca &a direção &' &orma e D esquerda domo+ime&to do ar( %s +etores u&itários &as direç-es s e &'respecti+ame&te' esta,eecem a segui&te reaçãoJs = n 1 k "34$

o&de k ! o +etor u&itário &a +ertica( ;or co&+e&ção' o <&guode rotação "_$ ! positi+o se a rotação or a&ti5orária(

)eação e&tre as coorde&adas&aturais e as coorde&adas

cartesia&as



• Mo sistema de coorde&adas &aturais os ei=os mudam

de orie&tação D medida que o mo+ime&to do ar mudade direção( %s +etores u&itários se n podem e&tão seru&ção do tempo(

• Uma +a&tagem N,+ia do sistema de coorde&adas

&aturais ! que o +etor +eocidade ori.o&ta temsome&te uma compo&e&te' aquea &a direção s( E&tão'

V 1 Vs "3@$

R co&+e&ie&te usar a equação do mo+ime&to emcoorde&adas de pressão pois os dados si&Nticos de arsuperior são gerame&te or&ecidos em &/+eis depressão co&sta&te(



Equação do Ho+ime&to "Coorde&adasMaturais $

A equação +etoria do mo+ime&to em coorde&adasde pressão "equação ##$ pode ser escrita comoJ

dV2dt 7 k = V 1 F ∇pΦ "39$o&de ! o par<metro de Coriois e Φ ! a atura

geopote&cia "g.$ de uma dada super/cie depressão(

• %s +etores u&itários s e n podem ser e=pressosem termos dos +etores i e j' co&orme segueJ

s 1 s= i 7 sK jn 1 &= i 7 &K j



o&des= 1 s ` i 1 s i cos_ 1 cos_'sK 1 s ` j 1 s j cos "G85_$ 1 se&_'&= 1 n ` i 1 n i cos"G87 _$ 1 F se&_'&K 1 n ` j 1 n j cos"_$ 1 cos_

esta orma's 1 cos_ i 7 se&_ jn 1 F se&_ i 7 cos_ j

Su,stitui&do "3@$ em "39$' o,tm5se

dVs2dt 7 k = Vs 1 F ∇pΦ "3$

Em coorde&adas &aturais'

∇p 1 s X2Xsp 7 n X2X&p



Su,stitui&do ∇p 1 s X2Xsp 7 n X2X&p em "3$' o,tm5se dVs2dt 7 k = Vs 1 F s XΦ2Xs F n XΦ2X& "3$ o&de as deri+adas parciais são a+aiadas &uma super/cie de pressão

co&sta&te(

% primeiro termo &o ado esquerdo da e=pressão "3$ pode ser escritoda segui&te ormaJ

dVs2dt 1 s dV2dt 7 V ds2dt

Utii.a&do a e=pressão para s em termos de i a&d j "side a&terior$'

ds2dt 1 "F i si&_ 7 j cos_$d_2dt 1 n d_2dt

;or!m' d_2dt ! a +eocidade a&guar reati+a do ar que pode e=pressacomo

dδ2dt 1 "dδ2ds$ "ds2dt$

o&de d_2ds 1 #2)' ) ! o raio da cur+atura do escoame&to "positi+o paraescoame&to &o se&tido a&ti5orário$

δRNoteJ A muda&ça a&guar' se o bu=o

competa o c/rcuo' ! 3( A dist<&cia que aparcea de ar atra+essaria ! a circu&er&cia

do c/rcuo 3)( E&tão' d_2ds 1 32 3) 1 #2)



ds2dt 1 V' desta orma d_2dt redu. parad_2dt 1 V2)e

dVs2dt 1 s dV2dt 7 n V3

2) "3G$Assim' a aceeração do +etor +eocidade em coorde&adas&aturais ! dada pea soma de duas aceeraç-es' uma orie&tadaao o&go do escoame&to "aceeração da mag&itude$ e a outraorie&tada ortogo&a ou &a direção &orma ao escoame&to"aceeração ce&tripeta$(

Agora co&sidera&do o termo aceeração de Coriois k = Vs = Vk = s = Vn "68$Hedia&te su,stituição de "3G$ e "68$ em "3$' o,tm5se a equação

do mo+ime&to em coorde&adas &aturaisJ

sdV2dt 7 nV32) 7 Vn = F s XΦ2Xs F n XΦ2X& "6#$

% produto escaar de "6#$ com os +etores u&itários s e n or&ece'respecti+ame&te'dV2dt 1 F XΦ2Xs "63$

V3

2) 7 V 1 F XΦ2X& "66$



R e+ide&te em "63$ que aceeraç-es &a mag&itude da +eocidade some&te se +eri0camqua&do a atura geopote&cia +aria &a direção do mo+ime&to do ar( Co&sidere5se a a&áiseesquemática da atura geopote&cia mostrada &a igura a,ai=o para o HS e assuma queque a +eocidade do ar ! maior do que a +eocidade de desocame&to do ca+ado

No ponto A o +e&to tem +eocidade ma=imo e o +etor do +e&to ! paraeo aos co&tor&os deatura geopote&cia' ∂Φ2∂s 1 8 e dV2dt 1 8$( No ponto B' a +eocidade esta dimi&ui&do

segui&do o mo+ime&to do ar "dV2dt 8$ o que &ecessita que ∂Φ2∂s f 8( e modosemea&te' no ponto C' dV2dt f 8 e ∂Φ2∂s 8(

Uma +e. que "63$ &ao e&+o+e ' estes resutados apicam5se a am,os os emis!rios( Emgera' o mo+ime&to do ar' &uma super/cie de pressão co&sta&te' aceera5se qua&do omo+ime&to ! em direção a aturas geopote&ciais mais ,ai=as e desaceera5se qua&do omo+ime&to ! em direção a aturas geopote&ciais mais atas( % escoame&to ! ditou&iorme' &a direção do mo+ime&to' se dV2dt 1 8 em todos os po&tos(

50

C

40

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4

A

B

Cavado

isotacas



Se o escoame&to or u&iorme' e&tão a equação domo+ime&to em coorde&adas &aturais redu.5se a "6(##$ e di.5se que o +e&to e&co&tra5se em ,aa&ço gradie&te( Este tipode +e&to ! camado vento gradiente' reque&teme&tede&otado peo su,scrito gr( E&tão'

Vgr3 2) 7 Vgr = – XΦ2X& "64$

Se o escoame&to or reti/&io "o escoame&to atmos!rico

segui&do gra&des c/rcuos &a *erra$ e&tão o termo daaceeração ce&tripeta ! .ero( % escoame&to resuta&te ! ditoestar em ,aa&ço geostrN0co' e este tipo de +e&to ! camadovento geostrófco' reque&teme&te de&otado peo su,scritog( E&tão'Vg = – XΦ2X& "6@$

Em gera' em +irtude do ar reque&teme&te reai.ar mo+ime&toscur+i/&eos' associado com ca+ados e cristas' o +e&togradie&te ! uma apro=imação meor do que o +e&togeostrN0co para o +e&to o,ser+ado( Em regi-es o&de acur+atura ! pro&u&ciada' o +e&to o,ser+ado pode +ariar de@8 a 388 do +e&to geostrN0co



Mo >emis!rio Morte " f 8$ Φ de+e dimi&uir &a direção &positi+a "XΦ2X& 8$' e &o >emis!rio Su " 8$ Φ de+eaume&tar &a direção & positi+a(

HN (f>0) HS (f0)

n n∂Φ/∂n < 0 ∂Φ/∂n > 0

L

H L

H



Se o escoamento ciclônico or de0&ido como o mo+ime&to do arcur+i/&eo que represe&ta &o seu ce&tro ,ai=o +aor de aturageopote&cia' e&tão o escoame&to cic]&ico correspo&de a )

f 8 &o >M e ) 8 &o >SHN HS

e modo semea&te' de0&i5se o escoamento anticiclônicocomo um mo+ime&to cur+i/&eo que represe&ta &o seu ce&troato +aor de atura geopote&cia( % escoame&to a&ticic]&icocorrespo&de a ) 8 &o >M e ) f 8 &o >S

HN HS

Escoamento

Ciclônico

Escoamento

nticiclônico

!

! !

!



Su,stitui&do "6@$ em 64' temosVgr

3 2) 7 Vgr = Vg que pode ser re5escrita como

Vgr F Vg 1 5 Vgr3 2)

;ara o escoame&to cic]&ico "&o HN! )f8' f 8Z &o

HS! )8' 8$' o +e&to gradie&te ! me&or que o+e&to geostrN0co "Vgr F Vg 8$' e temosescoame&to subgeostrófco

;ara o escoame&to a&ticic]&ico "&o HN! )8' f8Z&o HS! )f8' 8$' o +e&to gradie&te ! maior queo +e&to geostrN0co"Vgr F Vg f 8$' e temosescoame&to supergeostrN0co



escoamento

ciclônico

"subgeostrófico)

escoamento

anticiclônico

"supergeostrófico)

!

!

!

!

NH HS



i+erg&cia e Co&+erg&ciaEm gera' a di+erg&cia da +eocidade ori.o&ta ! uma gra&de.a di/ci de mediracuradame&te' em parte por causa dos erros &as medidas dos +e&tos e em parte

porque sua represe&tação matemática ! a soma de dois termos que gerame&tesão de tama&os compará+eis por!m de si&ais opostos( *am,!m' &este caso ouso de coorde&adas &aturais or&ece uma represe&tação mais ^ti para ometeoroogista si&Ntico( Em coorde&adas &aturais a di+erg&cia da +eocidadeori.o&ta pode ser e=pressa comoJ

∇p V 1 sX2Xs Vs 7 nX2X& Vs

E=pa&di&do os termos &o ado direito da equação acima' o,tm5seJ∇p V 1 s s XV2Xs 7 Vs Xs2Xs 7 XV2X& n s 7 Vn Xs2X&

∇p V 1 XV2Xs 7 Vs n X_2Xs 7 Vn n X_2X& or

∇p V 1 XV2Xs 7 VX_2X& "69$ "a$ ",$

%&de (a) ! a +ariação &a mag&itude da +eocidade &a direção do mo+ime&to e (b$represe&ta a co&bu&cia ou dibu&cia do escoame&to do ar(

;ara co&bu&cia' X_2X& ! &egati+e' a&d para dibu&cia X_2X& ! positi+o(

Em gera (a) a&d (b) tem si&ais opostos "+eocidade aume&ta &a direção doescoame&to para co&bu&cia' e +eocidade dimi&ui &a direção do escoame&to

para dibu&cia$

0

0



Corre&te de hato

δ>0

δ<0 δ>0

δ<0

#et

Região de entrada do Jato Região de saída Jato

∂δ/∂n < 0$

Con%l&'ncia

∂(/∂s > 0

∂δ/∂n > 0$

)i%l&'ncia

∂(/∂s < 0

!



Vorticidade• A cur+atura ou rotação aprese&tada peo mo+ime&to do ar

reati+o D *erra ! camada vorticidade relativa' quematemáticame&te ! e=pressa comoVorticidade )eati+a 1 ∇ " V "6$

Em coorde&adas &aturais' a compo&e&te +ertica de "6$

tor&a5seW 1 k "s X2Xs 7 n X2X&$ " Vs "6$

E=pa&di&do o ado direito da equação"6$' temosW 1 k "s " X"Vs$2Xs 7 n " XVs2X&$

E=pa&di&do as deri+adas e usa&do as e=press-es para s e n em termos de i e j

s 1 cos_ i 7 se&_ j

n 1 F se&_ i 7 cos_ j o,tm5se'



W 1 k "Vs " n X_2Xs 7 s " s XV2Xs 7Vn " n X_2X& 7 n " s XV2X&$

Como s " n 1 k ' s " s 1 n " n 1 8' n " s 1 5k e X_2Xs1#2)' a +eocidade reati+a em coorde&adas&aturais pode ser escrita comoJ

W 1 V2) F XV2X& "6G$

o&de V2) ! de0&ido como a vorticidade devido àcurv atura e 5∂V2∂& ! de0&ido como a vorticidadedevida ao cisalhamento

As 0guras a seguir mostram e=empos da+orticidade de+ido D cur+atura e de+ido ao

cisaame&to' ta&to &o M> e S>(



Vorticidade de+ido DCur+atura

!H *H

"a+

(/R>0

",+

(/R<0

(/R<0

(/R>0

Vorticidadereati+a

cic#$nica de+ido ao

escoame&tocur+ado

Vorticidadereati+a

anticic#$nic

a de+ido aoescoame&tocur+ado

!

!

!

!



HN HS

"a+

- ∂(/∂n >0

",+

- ∂(/∂n <0 Vorticidadereati+a

cic#$nica de+ido ao

cisaame&to

ori.o&ta

n

- ∂(/∂n <0

Vorticidade de+ido aoCisaame&to

Vorticidadereati+a

anticic#$nica de+ido ao

cisaame&toori.o&ta

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