equacao2grau

EQUAES DO 2 GRAUMatemtica 9 ano

@ Susana Marques

EQUAES

DO

2

GRAU

EQUAO DO 2 GRAU uma equao equivalente a uma equao do tipo

ax + bx + c = 02

a em que , b, c IR e a 0a b c Coeficiente de x 2 Coeficiente de x Termo independenteNota: a no pode ser igual a zero

EQUAESEXEMPLO:

DO

2

GRAU

x 2 + 5 x = 3 x2

2

a=4 b=5 c = 2

4x + 5x 2 = 02

Uma equao de grau 2 se, depois de simplificada, o maior expoente da varivel for 2.

EQUAESOBSERVAO:

DO

2

GRAU

Uma equao do 2 grau reduzida a uma

ax 2 + bx + c = 0 com a 0

expresso do tipo

z-se que est escrita na forma cannica.

EQUAES

DO

2

GRAU

A equao do 2 grau? Indica o valor de a , b e c.

a)

x( 3x + 1) + 6 x 2 = 1 x 3x 2 + 8 x 3 = 0a=3 b=8 c=-3

SIM

b)

5x 2 + 3x 2 x 2 + 3 = 3x 2 1 + x 2 x + 4 = 0 NOa=0 b=2 Por isso no uma equao de grau 2 ; c=4

EQUAES DO 2 GRAU

COMPLETAS

As equaes do 2 grau escritas na forma cannica 2 ax + bx + c = 0 com a 0 classificam-se em COMPLETAS ou INCOMPLETAS.

Se

a0 b0 trata-se de uma equao do 2 grau comp c0

EXEMPLO:

4 x 2 + 5x 2 = 0

EQUAES DO 2 GRAU* Se b = 0 obtemos a expresso

INCOMPLETAS

ax + c = 0ax + bx = 02

2

Equao do 2 grau incompleta porque b = 0 . * Se c = 0 obtemos a expresso

Equao do 2 grau incompleta porque c = 0 . * Se b = 0 e c = 0 obtemos a expresso

ax = 0

2

Equao do 2 grau incompleta porque b= 0 e c = 0 .

RESOLUO

EQUAES DO 2 Equaes do 2 GRAU grau incompletas: b=0

DE

No tringulo rectngulo, qual o valor do cateto x?Pelo Teorema de Pitgoras sabemos que:

12 cm

15 cm

15 = 12 + x2 2

2

x cm

225 =144 + x 2 225 144 = x 2 x 2 = 81Equao do 2 grau incompleta porque b = 0. No existe termo em x

x 2 = 81 x = 81 x = 9S = { -9 , 9}Resposta: x mede 9 cm porque o valor de um comprimento no pode ser negativo

RESOLUO

EQUAES DO 2 GRAU Equaes do 2 grau incompletas: b = 0

DE

EXERCICIOS Reduz as equaes a expresses do tipo ax 2 + bx + c = 0 com a 0 Indica o valor de a , b e c e determina a soluo. a) 3 x 2 + 2 x( x + 1) = 24 x

(

)

1 reduzir forma cannica ax 2 + bx + c = 0a = 2 ; b = 0 ; c = -18

3 x 2 + 6 x 2 x = 24 x 2 x 2 18 = 0

18 2 x = 18 x = 2 x 2 = 9 x = 9 x = 32 2

2 Resolver a equao e indicar o conjunto soluo.

S={-3,3}

RESOLUO

EQUAES DO 2 Equaes do 2 GRAU grau incompletas: b=0

DE

b) 5 2 x 2 ( x 3) = x 2

(

)

1 reduzir forma cannica ax 2 +bx + c = 0

10 + 5 x x + 3 + x + 2 = 02

5x 2 + 15 = 0 5 x 2 = 15

2 resolver a equao

15 2 x = x = 3 52 Equao IMPOSSVEL, no h nenhum n real cujo quadrado seja negativo.

x = 3IMPOSSVEL

RESOLUO

EQUAES DO 2 GRAU Equaes do 2 grau incompletas: C = 02a = 7 ; b = 28 ; c = 0 1 colocar a incgnita em evidncia 2 Aplicar a lei do anulamento do produto 3 Encontrar as solues

DE

7 x + 28 x = 0 x( 7 x + 28) = 0 x = 0 7 x + 28 = 0 28 x = 0 x = 7

x = 0 x = 4S = { -4 , 0 }

Resolve a Equao

3( x 4) x = 2( x 3) 3 22

1 Reduzir forma cannica

x 2 3 x 12 + = 2 x + 6 3 2 2(2)2

(3)

(3)

(6)

(6)

2 x 9 x + 36 = 12 x + 36

a=2 ; b=3 ; c=0 2 colocar a incgnita em evidncia 3 Aplicar a lei do anulamento do produto

2 x 2 + 3x = 0 x( 2 x + 3) = 0 x = 0 2x + 3 = 0

3 x=0 x= 2

S = { - 0 , 3/2 }

RESOLUO

EQUAES DO GRAU Equaes do 2 grau completas

DE

2

As equaes do 2 grau completas podem ser resolvidas utilizando os seguintes casos notveis da multiplicao

a + 2ab + b = ( a + b )2 2 2

2 2

a 2ab + b = ( a b )2

ou ainda recorrendo formula resolvente (frmula Bhaskara).

RESOLUO

EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauCasos Notveis da Multiplicao

DE

2

EXEmplos 1.

a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) a 2 2ab + b 2 = ( a b )

2 2

x 2 12 x + 36 = 02

x 6 =0 x =6

( x 6) = 0

O 1 membro da equao um caso notvel: quadrado de uma diferena

S = {6}

x 36 12 x + ( x 6 ) 2

2

RESOLUO


DE

2

a + 2ab + b = ( a + b )2 2

2 2

2.

x 2 + 10 x + 16 = 0v v

a 2 2ab + b 2 = ( a b )

O 1 membro da equao no um caso notvel. Os primeiros termos, x + 5 que :

x 2 + 10,xlembra o quadrado de2

x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 )

v

Ento vamos escrever a equao de modo que fique este quadrado.

RESOLUO


DE

2

a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )

2 2

2.

x 2 + 10 x + 16 = 02 2

a 2 2ab + b 2 = ( a b )

x 2 + 10 x + 25 + 16 = 25 ( x + 5 ) + 16 = 25 ( x + 5 ) = 25 16 ( x + 5) = 9 x+5= 9 x+5=3 x = 2 2

Para obter um caso notvel (quadrado da soma), adiciona-se a ambos os membros da equao a quantidade 25

x + 5 = 3 S = {-8,-2} x = 8

x + 25 10 x + ( x+5 ) 2

2

RESOLUO

EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauFRMULA RESOLVENTE

DE

2

Dada uma equao do tipo ax 2 + bx + c = 0 com a 0 Podemos encontrar as solues, utilizando a seguinte frmula:

b b2 4 a c x= 2a

Frmula Resolvente

expresso que est dentro da raiz quadrada chama-se BINMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )

=b 2 4 a c

RESOLUO

EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauFRMULA RESOLVENTE

DE

2

EXEmplos

RESOLUO2

EQUAES DO Equaes do GRAU completas 2 grau

DE

2

1.

2x + x 3 = 02

a=2; b=1; c=-3

1 1 4 2 ( 3) x= 2 2 1 1 + 24 x= 4 1 5 1 + 5 1 5 x= x = 4 x = 4 4

b b 2 4ac x= 2a

6 4 3 x = x = x = x =1 4 4 2

Duas Solues

Concluso: Se o Binmio Discriminante positivo, a equao tem duas solues.

RESOLUO2.


DE

2

x 3x + 5 = 0 ( 3)

2

a=1; b=-3; c=52

x=

( 3)

4 1 5

21

b b 2 4ac x= 2a

3 9 20 x= 2

3 11 x= 2

IMPOSSVEL, a equao no tem solues

Concluso: Se o Binmio Discriminante negativo, a equao no tem solues.

RESOLUO3.


DE

2

2 x + 28 = 12 x + 102

2

2 x 2 12 x + 18 = 0

Reduzir forma cannica a = 2 ; b = - 12 ; c = 18

( 1 2) ( 1 2) 4 2 1 8 x= 2 2

b b 2 4ac x= 2a

12 0 12 144 144 x= x= 4 4

12 0 12 + 0 x= x= 4 4

x=3 x=3

3 uma raiz dupla da equao

Concluso: Se o Binmio Discriminante zero, a equao tem uma soluo.

APLICAO DAS EQUAES DO 2 GRAU Determinar o permetro do tringulo rectngulo. Pelo Teorema de Pitgoras:( 3x+2 ) cm ( x+3 ) cm

( 3 x + 2 ) 2 = ( 2 x + 1) 2 + ( x + 3) 2 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 x 2 + 4 x + 1 + x 2 + 6 x + 9

( 2x+1 ) cm

2 22 4 4 ( 6 ) 2 4x + 2x 6 = 0 x = 24

3 2 10 2 + 10 x= x= x = x =1 2 8 8 3 3 + 2 = 2,5 cm 2

3 1 + 2 = 5 cm

1 + 3 = 4 cm

x no pode ser 3 2

2 1 + 1 = 3 cm

Permetro = 5+3+4 =12 cm

EQUAES DO 2 GRAU

OBRIGADA PELA ATENO! FIM

equacao2grau

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