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EQUAES DO 2 GRAUMatemtica 9 ano
@ Susana Marques
EQUAES
DO
2
GRAU
EQUAO DO 2 GRAU uma equao equivalente a uma equao do tipo
ax + bx + c = 02
a em que , b, c IR e a 0a b c Coeficiente de x 2 Coeficiente de x Termo independenteNota: a no pode ser igual a zero
EQUAESEXEMPLO:
DO
2
GRAU
x 2 + 5 x = 3 x2
2
a=4 b=5 c = 2
4x + 5x 2 = 02
Uma equao de grau 2 se, depois de simplificada, o maior expoente da varivel for 2.
EQUAESOBSERVAO:
DO
2
GRAU
Uma equao do 2 grau reduzida a uma
ax 2 + bx + c = 0 com a 0
expresso do tipo
z-se que est escrita na forma cannica.
EQUAES
DO
2
GRAU
A equao do 2 grau? Indica o valor de a , b e c.
a)
x( 3x + 1) + 6 x 2 = 1 x 3x 2 + 8 x 3 = 0a=3 b=8 c=-3
SIM
b)
5x 2 + 3x 2 x 2 + 3 = 3x 2 1 + x 2 x + 4 = 0 NOa=0 b=2 Por isso no uma equao de grau 2 ; c=4
EQUAES DO 2 GRAU
COMPLETAS
As equaes do 2 grau escritas na forma cannica 2 ax + bx + c = 0 com a 0 classificam-se em COMPLETAS ou INCOMPLETAS.
Se
a0 b0 trata-se de uma equao do 2 grau comp c0
EXEMPLO:
4 x 2 + 5x 2 = 0
EQUAES DO 2 GRAU* Se b = 0 obtemos a expresso
INCOMPLETAS
ax + c = 0ax + bx = 02
2
Equao do 2 grau incompleta porque b = 0 . * Se c = 0 obtemos a expresso
Equao do 2 grau incompleta porque c = 0 . * Se b = 0 e c = 0 obtemos a expresso
ax = 0
2
Equao do 2 grau incompleta porque b= 0 e c = 0 .
RESOLUO
EQUAES DO 2 Equaes do 2 GRAU grau incompletas: b=0
DE
No tringulo rectngulo, qual o valor do cateto x?Pelo Teorema de Pitgoras sabemos que:
12 cm
15 cm
15 = 12 + x2 2
2
x cm
225 =144 + x 2 225 144 = x 2 x 2 = 81Equao do 2 grau incompleta porque b = 0. No existe termo em x
x 2 = 81 x = 81 x = 9S = { -9 , 9}Resposta: x mede 9 cm porque o valor de um comprimento no pode ser negativo
RESOLUO
EQUAES DO 2 GRAU Equaes do 2 grau incompletas: b = 0
DE
EXERCICIOS Reduz as equaes a expresses do tipo ax 2 + bx + c = 0 com a 0 Indica o valor de a , b e c e determina a soluo. a) 3 x 2 + 2 x( x + 1) = 24 x
(
)
1 reduzir forma cannica ax 2 + bx + c = 0a = 2 ; b = 0 ; c = -18
3 x 2 + 6 x 2 x = 24 x 2 x 2 18 = 0
18 2 x = 18 x = 2 x 2 = 9 x = 9 x = 32 2
2 Resolver a equao e indicar o conjunto soluo.
S={-3,3}
RESOLUO
EQUAES DO 2 Equaes do 2 GRAU grau incompletas: b=0
DE
b) 5 2 x 2 ( x 3) = x 2
(
)
1 reduzir forma cannica ax 2 +bx + c = 0
10 + 5 x x + 3 + x + 2 = 02
5x 2 + 15 = 0 5 x 2 = 15
2 resolver a equao
15 2 x = x = 3 52 Equao IMPOSSVEL, no h nenhum n real cujo quadrado seja negativo.
x = 3IMPOSSVEL
RESOLUO
EQUAES DO 2 GRAU Equaes do 2 grau incompletas: C = 02a = 7 ; b = 28 ; c = 0 1 colocar a incgnita em evidncia 2 Aplicar a lei do anulamento do produto 3 Encontrar as solues
DE
7 x + 28 x = 0 x( 7 x + 28) = 0 x = 0 7 x + 28 = 0 28 x = 0 x = 7
x = 0 x = 4S = { -4 , 0 }
Resolve a Equao
3( x 4) x = 2( x 3) 3 22
1 Reduzir forma cannica
x 2 3 x 12 + = 2 x + 6 3 2 2(2)2
(3)
(3)
(6)
(6)
2 x 9 x + 36 = 12 x + 36
a=2 ; b=3 ; c=0 2 colocar a incgnita em evidncia 3 Aplicar a lei do anulamento do produto
2 x 2 + 3x = 0 x( 2 x + 3) = 0 x = 0 2x + 3 = 0
3 x=0 x= 2
S = { - 0 , 3/2 }
RESOLUO
EQUAES DO GRAU Equaes do 2 grau completas
DE
2
As equaes do 2 grau completas podem ser resolvidas utilizando os seguintes casos notveis da multiplicao
a + 2ab + b = ( a + b )2 2 2
2 2
a 2ab + b = ( a b )2
ou ainda recorrendo formula resolvente (frmula Bhaskara).
RESOLUO
EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauCasos Notveis da Multiplicao
DE
2
EXEmplos 1.
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) a 2 2ab + b 2 = ( a b )
2 2
x 2 12 x + 36 = 02
x 6 =0 x =6
( x 6) = 0
O 1 membro da equao um caso notvel: quadrado de uma diferena
S = {6}
x 36 12 x + ( x 6 ) 2
2
RESOLUO
EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauCasos Notveis da Multiplicao
DE
2
a + 2ab + b = ( a + b )2 2
2 2
2.
x 2 + 10 x + 16 = 0v v
a 2 2ab + b 2 = ( a b )
O 1 membro da equao no um caso notvel. Os primeiros termos, x + 5 que :
x 2 + 10,xlembra o quadrado de2
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 )
v
Ento vamos escrever a equao de modo que fique este quadrado.
RESOLUO
EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauCasos Notveis da Multiplicao
DE
2
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )
2 2
2.
x 2 + 10 x + 16 = 02 2
a 2 2ab + b 2 = ( a b )
x 2 + 10 x + 25 + 16 = 25 ( x + 5 ) + 16 = 25 ( x + 5 ) = 25 16 ( x + 5) = 9 x+5= 9 x+5=3 x = 2 2
Para obter um caso notvel (quadrado da soma), adiciona-se a ambos os membros da equao a quantidade 25
x + 5 = 3 S = {-8,-2} x = 8
x + 25 10 x + ( x+5 ) 2
2
RESOLUO
EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauFRMULA RESOLVENTE
DE
2
Dada uma equao do tipo ax 2 + bx + c = 0 com a 0 Podemos encontrar as solues, utilizando a seguinte frmula:
b b2 4 a c x= 2a
Frmula Resolvente
expresso que est dentro da raiz quadrada chama-se BINMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )
=b 2 4 a c
RESOLUO
EQUAES DO Equaes doGRAU completas 2 grauFRMULA RESOLVENTE
DE
2
EXEmplos
RESOLUO2
EQUAES DO Equaes do GRAU completas 2 grau
DE
2
1.
2x + x 3 = 02
a=2; b=1; c=-3
1 1 4 2 ( 3) x= 2 2 1 1 + 24 x= 4 1 5 1 + 5 1 5 x= x = 4 x = 4 4
b b 2 4ac x= 2a
6 4 3 x = x = x = x =1 4 4 2
Duas Solues
Concluso: Se o Binmio Discriminante positivo, a equao tem duas solues.
RESOLUO2.
EQUAES DO Equaes do GRAU completas 2 grau
DE
2
x 3x + 5 = 0 ( 3)
2
a=1; b=-3; c=52
x=
( 3)
4 1 5
21
b b 2 4ac x= 2a
3 9 20 x= 2
3 11 x= 2
IMPOSSVEL, a equao no tem solues
Concluso: Se o Binmio Discriminante negativo, a equao no tem solues.
RESOLUO3.
EQUAES DO Equaes do GRAU completas 2 grau
DE
2
2 x + 28 = 12 x + 102
2
2 x 2 12 x + 18 = 0
Reduzir forma cannica a = 2 ; b = - 12 ; c = 18
( 1 2) ( 1 2) 4 2 1 8 x= 2 2
b b 2 4ac x= 2a
12 0 12 144 144 x= x= 4 4
12 0 12 + 0 x= x= 4 4
x=3 x=3
3 uma raiz dupla da equao
Concluso: Se o Binmio Discriminante zero, a equao tem uma soluo.
APLICAO DAS EQUAES DO 2 GRAU Determinar o permetro do tringulo rectngulo. Pelo Teorema de Pitgoras:( 3x+2 ) cm ( x+3 ) cm
( 3 x + 2 ) 2 = ( 2 x + 1) 2 + ( x + 3) 2 9 x 2 + 12 x + 4 = 4 x 2 + 4 x + 1 + x 2 + 6 x + 9
( 2x+1 ) cm
2 22 4 4 ( 6 ) 2 4x + 2x 6 = 0 x = 24
3 2 10 2 + 10 x= x= x = x =1 2 8 8 3 3 + 2 = 2,5 cm 2
3 1 + 2 = 5 cm
1 + 3 = 4 cm
x no pode ser 3 2
2 1 + 1 = 3 cm
Permetro = 5+3+4 =12 cm
EQUAES DO 2 GRAU
OBRIGADA PELA ATENO! FIM