enunciado ficha radicais

Ficha de Trabalho Algebra - Radicais

Matematica A - 10o AnoFicha de Trabalho

Algebra - Radicais

Grupo I

1. Sejam a e b dois numeros naturais diferentes que 1 tais que x =a 3b.

Conclui-se entao que x pode ser dado por qual das expressoes abaixo?

(A)a32 b (B) 3

a3 b (C) 3

a23 b (D) 3

6a b

2. Considere dois numeros positivos a e c tais que a constante real x e dada por x = ca2 c 16 .

Qual das expressoes pode definir x?

(A)12ca+1 (B) 12

(ca)6 c2 (C) 12(ca)6 + c2 (D) 12c6a + 2

3. Considere a constante real a dada por a =

4 +

11 +

3

123 +

4.

Qual e o valor de a?

(A) 2

2 (B) 3

2 (C) 8 (D) 2

3

4. ** Indique o valor de x que e solucao da equacao abaixo.

8

4

3x = 38

3

(A) 3 (B) 9 (C) 27 (D) 36

Nota: De forma a resolver a equacao, coloque ambos os termos na mesma base e iguale os expoentes.

5. Considere uma superfcie esferica de area igual a81pi

27metros quadrados.

Indique o valor do raio da esfera, em metros, sabendo que a area de uma superfcie esferica de raio R edada por 4piR2.

(A)3

2

3 (B)

3

24

3 (C)9

2(D)

9

4

3

6. Considere x e y dois numeros positivos e a expressao seguinte:

3xy2 xy

3

x4y2

Qual e uma expressao equivalente a` dada acima?

(A) 4

(xy)3 (B) y 3x2y (C) 4

x2y3 (D)

x3 4

y3

7. Considere x e y dois numeros positivos e a expressao seguinte:

1

2 (y)2 (xy2)4 y3

Qual e uma expressao equivalente a` dada acima?

(A) (xy)4 y2

2(B)

1

2(xy)3(C) (xy)3 y

2

2(D)

x3y4

2

SINAL + | Nuno Miguel Guerreiro Ficha de Trabalho| Matematica A - 10o Ano| 1


8. Considere as proposicoes p e r:

p : x R : 4x = 5x 5

x

r : n N : n+ 1 = n

1 + 1n = 1

Qual das expressoes abaixo e uma proposicao falsa?

(A) p r (B) p r (C) p r (D) r p

9. Considere as proposicoes p e r:p : a R : a 13 + a 12 + a = 3a (1 +

a3 + a3)

r : a N : a 12 + a 12 = a ( 1a + 1)Qual das expressoes abaixo e uma proposicao verdadeira?

(A) p r (B) p r (C) p r (D) (p r) r

10. ** Considere um numero positivo a, uma constante real k e a expressao seguinte:

x =ak

2 a 3a

aa3 12a

Sabendo que a0 = 1, indique os valores de k para os quais x = 1?

(A) k = 12

(B) k = 2 (C) k =

2

2(D) k = 1

Nota: De forma a resolver a equacao, coloque ambos os termos na mesma base e iguale os expoentes.

11. Considere as proposicoes p e r:

p :

9 + 4

5 =

5 + 2

r :

11 62 = 2 + 3Qual das expressoes abaixo e uma proposicao verdadeira?

(A) p r (B) p r (C) p r (D) p r

12. Considere a circunferencia de centro em C e de raio r repre-sentada na figura ao lado.Sabe-se que:

Os pontos A e B pertencem a` fronteira da circunferencia; O triangulo [ABC] e rectangulo; AB = d

Sabendo que a circunferencia tem raio

6 + 4

2, indique ovalor de d.

C

A

B

d

r

(A) 1 +

2 (B) 4 + 2

2 (C) 2(1 +

2) (D) 2 +

2

Sugestao: Determine o valor de d2 na forma a + bc em que a e b sao constantes reais e c e um numero positivo e eleve

ao quadrado cada uma das opcoes da escolha multipla ate encontrar a correspondencia correcta.

13. Considere um crculo de centro em C de raio r e uma rectaque passa nos pontos A e B de tal forma que [ACB] e umtriangulo rectangulo em A.

Tendo em conta que AB =

4 +

3 e CB =

3 + 2

3,indique qual e o valor da area do crculo de centro em C.

(A) pi(1 +

3) (B) pi(7 +

3)

(C) pi(1 +3) (D) pi(7 + 33)

C

A

B



Grupo II

1. Racionaliza o denominador de cada uma das seguintes fraccoes.

1.1.42

1.2.

25

1.3.4

5

3

1.4.103

2

1.5.2

5 5

10

1.6.10

12

1.7.

a

a 1 , a N\{1}

1.8.4

23 +

2

1.9.4

321.10.

aaa 1 , a N

1.11.

a+b

a, a, b N

1.12.

x+ y

x y , x, y N, x > y

2. Mostre que:

2.1.

a aa 1 =

a, a N\{1}

2.2.

6a2a3

=4

36a, a N

2.3.1

(a+ 1)2

a2 + 2a+ 1

a 1 =1

a2 1 , a N\{1}

2.4.

aba+b

= 3 2

2, se a 6= 0 e ab

= 2

2.5.k

2 1416k

=4k5, k R+

2.6.

(2

k+

1

k2

)n=

1

kn

(2k + 1)n, k, n N

3. Considere uma esfera de volume V e raio R e uma constante positiva a. Determine:

3.1. O volume da esfera para R =

3.

3.2. O volume da esfera para R =13

6.

3.3. O raio da esfera para V =108

a3.

3.4. O valor de a para V =16pi

9e R =

3a4

a.

3.5. Considere agora a superfcie esferica dessa mesma esfera e encontre o valor de R para o qual a areadesta e igual ao volume da esfera.

3.6. Para um dado R, a area da superfcie esferica e a2 vezes maior que o volume da esfera. Determine ovalor de a, em funcao de R.

4. Considere a piramide [OABC] e o prisma rectangular na qualela esta contida representados num referencial o.n Oxyz nafigura ao lado.Sabe-se que:

BC =

2 +

3

OA = 3 OB4.1. Calcula o valor de a para o qual a altura do prisma rec-

tangular e 4

3, tendo em conta que OA = a.

4.2. Calcula o volume do prisma rectangular, tendo em conta

que a altura deste e

1 +

3.

4.3. Calcule o valor de a para o qual o volume do prisma rec-

tangular e

2 +

3 a29 , tendo em conta que OA = a.

O

B

C

A



5. Considerando x um numero real positivo:

5.1. Mostre que

9 +x4 + 12x3 + 36x2 = x+ 3, tendo em conta que (x+ 6)2 = x2 + 12x+ 36.

5.2. Escreva x+ 1 na formaa+bx4 + cx3 + dx2, com a, b, c e d constantes reais positivas.

6. Resolva as equacoes, apresentando a solucao com o denominador racionalizado:

6.1.

2x+ 100 =

32x

6.2.

3x+

2 =

5x

6.3. (x2 2) (x2 15) = 06.4. x(x8) = 2

6.5. x(x3) = 36.6. x(

5x 1)5 = 0

6.7. x3 2x2 4x = 06.8. x4 16x2 + 64 = 0

Sugestao: Proceda a` mudanca y = x2 e ache as solucoes

y da equacao de segundo grau.

7. Considere a e b dois numeros naturais diferentes e positivos. Simplifique as expressoes abaixo:

7.1.a2 3

b2 1a

a 4b

7.2.12a5 b9 4a

13a 3b

7.3.2a3 a 4a b2

b4 1b a

7.4.

6a3b (ab )2 ba

3

a2b(ab)2

7.5.

a34

(ab)1 4(

ab

)37.6.

aa baabaa

8. Considere uma esfera de raio R inscrita num cubo de aresta a e a constante real nao nula k.

8.1. Sabendo que o volume do cubo e 27k6 e que o raio da esfera e 3, determine o valor de k.Sugestao: Comece por exprimir o raio da esfera, em funcao do volume do cubo.

8.2. Determine o valor de k, sabendo que o volume da esfera e 6k2 vezes menor que o volume do cubo.Sugestao: Comece por exprimir o volume da esfera, em funcao do volume do cubo.

8.3. Considere as proposicoes:

p : a = 2Rq : R = pi 6

k

Sabendo que o volume do cubo e V =pi

8

k, determine o valor logico da proposicao p q.

9. ** Considere a um numero natural positivo e a constante real k dada por:

k =

1

(a x)2

Prove que se k a = 2, entao x = a2 x = 3a2 .Sugestao: Tenha em conta que

(x x0)2 = |x x0| na resolucao da equacao.

10. ** Considere a e b dois numeros naturais diferentes tais que a > 2 e b > 1 e a constante real x dada por:

x =a

ab

ab 1

2ab

Escreva x em funcao de a e b e indique, na forma de um intervalo real, os valores de b para os quais x > a.Sugestao: Tenha em conta que se x esta escrito na forma ak entao x > a sse k > 1.

**Os itens assinalados serao avaliados mais a` frente no programa do ensino secundario, uma vez que dizem respeito a` resolucao

de equacoes e inequacoes exponenciais e de equacoes com modulos. A resolucao destes fica ao criterio do aluno.



Solucoes

Grupo I

1. (B)

2. (B)

3. (A)

4. (D)

5. (B)

6. (B)

7. (A)

8. (D)

9. (D)

10. (C)

11. (B)

12. (C)

13. (C)

Grupo II

1.1 2

2

1.2

10

5

1.34

3

15

1.4 5 3

4

1.55

10000

25

1.6 10(2 + 1)

1.7a+a

a 1

1.8 4

6 8

1.9 4(

3 +

2)

1.10 a(a+a 1)

1.11 1 +

ab

a

1.12

x2 y2x y

3.1 4

3pi 3.22pi

9 3.33

a3

1

pi3.4

4

33.5 3

3.6

3

R

4.1 3

2 4.2 3 (

1 +

3) 4.3

3

5.2 x+ 1 =

1 +x4 + 4x3 + 4x2

6.1 x =50

2

3

6.2 x =

10 +

6

2

6.3 x = 4

2 x =

5

5

6.4 x =

2 2 x =

2 + 2

6.5 x =

3

2(1

5) x =

3

2(1 +

5)

6.6 x =

5

10(1 +

21) x =

5

10(1

21)

6.7 x = 0 x =

2 x = 2

2

6.8 x = 2

2 x = 22

7.112b5

7.2 a12b5

7.3 a2b

7.4a

b

7.5 ab

7.6 aa

8.1

2 8.2

pi

68.3 V

10 b ]a 1,+[


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