ensinogeometria
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Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo
Dificuldades e possibilidades no ensino da geometria
na EJA
Elisabete Teresinha Guerato
São Paulo
Março de 2008
Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo
Dificuldades e possibilidades no ensino da geometria
na EJA
Elisabete Teresinha Guerato
Orientador: Profª Ms Wania Tedeschi
São Paulo
Março de 2008
Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Educação Profissional Técnica de Nível Médio na Modalidade EJA do Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo (CEFET/SP) como parte dos requisitos para obtenção do título de especialista.
ii
Dedico este trabalho aos meus pais que me deram a
vida e aos meus filhos que são a razão da minha vida
iii
Agradecimentos
Com especial carinho, à Professora Ms. Wania Tedeschi, pela atenção, carinho,
dedicação e por ter confiado na minha capacidade ao aceitar ser minha orientadora.
Aos professores do curso que, com seu profissionalismo e suas aulas nos
prepararam para esta jornada.
Em especial, à professora Dra. Fátima Beatriz Delphino pela amizade e pela
ajuda nas correções gramaticais.
À amiga Maria Angélica Kopko pelo companheirismo e incentivo junto às
disciplinas do curso.
Aos meus pais que me deram a oportunidade e o incentivo para que eu tivesse
amor pelos estudos.
Aos meus filhos, Rodrigo e Rogério pelo apoio e pela confiança em mim como
mãe e profissional.
Aos meus alunos que, ao longo destes muitos anos de profissão não só
aprenderam comigo, mas também muito me ensinaram.
A todos os meus amigos que, de uma forma ou de outra contribuíram para a
minha formação.
iv
Sumário
Apresentação
Introdução
Andragogia: a educação de adultos
Por que e para que aprender matemática?
Geometria e o seu ensino
O ensino da matemática na EJA
A legislação Oficial e o Ensino da Matemática
Competências do pensamento geométrico
Piaget e as estruturas cognitivas
Letramento e desenvolvimento cognitivo
Linguagem matemática: símbolo e significado
Princípios filosóficos que nortearam o trabalho
Metodologia
A seqüência didática - Oficinas
Descrição e análise das atividades utilizadas na pesquisa
Dificuldades e Possibilidades para o Ensino da Geometria
Perspectivas futuras
Referências bibliográficas
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Resumo
Esta monografia teve como objetivo geral analisar o ensino da matemática, em
particular da Geometria na Educação de Jovens e Adultos (EJA) a partir da análise da
legislação vigente e dos estudos de Jean Piaget, do casal Van Hiele e de estudo existente
sobre símbolos e significados no ensino da matemática. Foram observadas atividades de
alunos do Módulo III do Centro Integrado de Jovens e Adultos (CIEJA), projeto da
Prefeitura da Cidade de São Paulo e ao final foram relacionadas as dificuldades
detectadas e foram sugeridas novas possibilidades no ensino da Geometria na EJA.
Palavras chaves: EJA, matemática, ensino, geometria, possibilidades
Abstract
This monograph’s overall objective is to analyze mathemathics teaching, in
particular, the geometry teaching in teens and adults education from the analyzis of the
present legislation and the studies of Jean Piaget, the married couple Van Hiele and the
study of simbols and meanings in the mathematics teaching. We have observed the third
module’s students activities from the Teens and Adults Educational Center (CIEJA)
which is a São Paulo’s City Hall project.
Key words: Mathematics, teaching, geometry, possibilities.
vi
“A escola que se deve buscar é
aquela que forme pessoas
autônomas, livres e capazes de
compreender o mundo onde estão
inseridas.” (2o Fórum Mundial de Educação, Porto
Alegre, de 19 a 22 de janeiro de 2003)
1
Apresentação
O trabalho com o ensino de matemática na Educação de Jovens e Adultos (EJA)
vem sendo desenvolvido desde o término da graduação e, no decorrer desses anos, a
percepção da profunda dificuldade dos alunos desta modalidade em aprender
matemática, em particular a geometria, fez com que a pesquisadora se interessasse por
esse campo de investigação.
Esta pesquisa foi desenvolvida com o propósito de investigar o ensino da
matemática, em particular da geometria, na EJA e levou em consideração a dificuldade
que o aluno adulto tem para sistematizar a matemática que usa no cotidiano da sala de
aula e nas atividades sugeridas pelos professores.
A geometria, em geral é deixada para segundo plano no ensino da Matemática
devido ao mito de que é a parte mais complicada, mas a experiência com as aulas para
alunos da modalidade EJA nos mostra que é a parte da Matemática que melhor se
adapta ao conhecimento de mundo do aluno adulto. Desta forma, escolhemos o ensino
da Geometria para a pesquisa de modo a selecionar e elaborar novos materiais concretos
para facilitar o ensino para alunos da modalidade EJA.
Pais (2006) descreve os resultados de uma pesquisa cujo objetivo era
caracterizar tendências atuais sinalizadas pelos livros didáticos de matemática, quanto
às metodologias de ensino da geometria. Esses resultados evidenciam a existência de
um núcleo de conceitos preservados em quase todos os livros. A partir dessa
identificação, foi constatada uma tendência crescente de diversificação dos recursos
pedagógicos sugeridos entre os livros. Desta forma, pudemos perceber que a
preocupação com o ensino da Geometria não é apenas dos professores de Matemática,
mas também dos autores de livros didáticos. Inclusive, segundo a pesquisa, os livros
publicados mais recentemente propõem estratégias de ensino diferenciadas o que
implica na indicação de diferentes recursos didáticos.
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Introdução
Nesta pesquisa procuramos verificar novas possibilidades para se ensinar
geometria ao aluno da modalidade (EJA), de modo que esta tenha significado e sirva de
instrumento para este aluno entender aspectos do mundo que dependam do
conhecimento de geometria, quais as suas dificuldades e possibilidades.
Alguns aspectos nos levaram à escolha deste tema. Entre eles podemos
mencionar os de maior relevância.
Sob o ponto de vista do aluno é freqüente os alunos da EJA atribuírem o fracasso
escolar na infância e adolescência à disciplina de Matemática, referindo-se ao rigor
aplicado pelos educadores desta disciplina e à cobrança da memorização dos conceitos e
das propriedades, bem como as atividades de caráter mecânico, cobradas de maneira
exagerada e sem contextualização.
Sob o ponto de vista institucional, o Censo Escolar 2004, do Instituto Nacional
de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP/MEC) mostra que os
cursos específicos para jovens e adultos beneficiam atualmente cerca de 4,6 milhões de
alunos no Brasil.
De acordo com o Ministério da Educação e Cultura (MEC), cerca de 65 milhões
de brasileiros não completaram o ensino fundamental (1ª a 8ª série). Deste total, 15
milhões têm menos de um ano de estudo, o que só comprova que a desistência é um dos
principais desafios do sistema educacional brasileiro. (Anexo I)
Segundo Haddad (1994), a Educação de Jovens e Adultos (EJA) no Brasil é
pouco conhecida na sua essência. Além disso, quando conhecida, sabe-se mais sobre
suas mazelas do que sobre suas virtudes.
A Educação de Adultos no Brasil se originou muito mais como produto para
combate da miséria social do que como desenvolvimento. É conseqüência dos males do
sistema público regular de ensino e das precárias condições de vida de grande parte da
população brasileira, que acabam por interferir no aproveitamento da escolaridade na
época apropriada. (Haddad, 1994)
Do ponto de vista sociológico, observamos que a miséria social é um marco
condicionante que acaba por definir as diversas maneiras de pensar e realizar a
Educação de Jovens e Adultos. É uma educação para pobres, para jovens e adultos das
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camadas populares, para aqueles que são maioria nas sociedades do Terceiro Mundo,
para os excluídos do desenvolvimento e dos sistemas educacionais de ensino. Mesmo
constatando-se que não são todos os excluídos do sistema escolar na idade adequada,
que conseguem ter acesso aos programas de Educação de Jovens e Adultos, não se
invalida a constatação de que esta modalidade de ensino é especialmente direcionada
aos excluídos. (Haddad, 1994)
Segundo Fonseca (2005), a Educação de Jovens e Adultos é uma ação educativa
dirigida a um indivíduo de escolarização básica incompleta ou nem ao menos iniciada e
que procura os bancos escolares na idade adulta ou na juventude. A interrupção ou
impedimento de sua trajetória escolar não é um fato isolado de não acesso a um direito
como cidadão e previsto na constituição, mas dá-se num contexto mais amplo de
exclusão social e cultural, e que, em grande medida, condicionará também as
possibilidades de re-inclusão que se farão nessa nova (ou primeira) oportunidade de
escolarização.
A marca da exclusão estabelecerá um jogo de tensões bastante mais conflituoso
do que aquele estabelecido pelas propostas, realizações e avaliações realizadas na
Educação Básica para crianças e adolescentes. Este jogo de interesses pode ser atribuído
à falta de consenso entre os envolvidos com esta modalidade de ensino na determinação
das decisões e práticas pedagógicas na EJA, principalmente quando os jovens e adultos
são trabalhadores, pobres, negros, subempregados, oprimidos e excluídos. (Fonseca,
2005)
Segundo Ferrari (2002), a maior demanda de jovens pelos cursos de EJA traz,
como conseqüência, a dificuldade de o professor atender num mesmo espaço e tempo
diferentes níveis de conhecimento e ritmos de aprendizagens. Em geral, as falas dos
professores apontam para aceitação do aluno adulto, reconhecendo e valorizando o
esforço diário para permanecer no curso, o esforço para aprender, para responder às
tarefas e à manutenção da relação hierárquica professor X aluno, no respeito com que o
adulto trata o mestre. Quando se trata de adolescentes, entretanto, as inquietações são
muitas: evidencia-se a dificuldade de lidar com a disciplina com a falta de motivação e
de envolvimento do aluno nas tarefas escolares.
Ainda em Ferrari (2002) encontramos que a Educação de Jovens e Adultos
apresenta hoje uma identidade que a diferencia da escolarização regular e essa
diferenciação não nos remete apenas a uma questão de especificidade etária, mas,
4
primordialmente, a uma questão de especificidade sócio-histórico-cultural. Os novos
rumos da Educação Brasileira enfatizam a difusão dos valores de justiça social e dos
pressupostos da democracia, do respeito à pluralidade fundados à crença na capacidade
de cada cidadão ler e interpretar a realidade, conforme sua própria experiência, o que
exige reorientar o olhar para propostas educativas que incluam o desenvolvimento do
ser humano de forma integrada e completa, no atendimento de suas necessidades
cognitivas, afetivas, motoras e sociais.
De acordo com Oliveira (1999a), desta maneira a Educação de Jovens e Adultos
não deve ser caracterizada apenas pela idade dos alunos que dela se beneficiam, mas
principalmente, pela caracterização sociocultural de seu público. Sob esta perspectiva, é
primordial que a educação para estes jovens e adultos se conduza principalmente no
sentido da reinserção social destes indivíduos.
Essa mesma autora diz que o tema “educação de pessoas jovens e adultas” não
nos reporta apenas a uma questão etária, mas principalmente a uma questão de
especificidade cultural. Assim, apesar da classificação por idade (jovens e adultos são,
basicamente, “não crianças”), esse ramo da educação não diz respeito a ações
educativas dirigidas a qualquer jovem ou adulto, mas a um determinado grupo de
pessoas relativamente homogêneo no interior da diversidade de grupos culturais da
sociedade contemporânea.
O adulto, no âmbito da educação de jovens e adultos, não é o estudante
universitário, o profissional qualificado que freqüenta cursos de formação continuada ou
de especialização, ou a pessoa adulta interessada em aperfeiçoar seus conhecimentos.
Ele é geralmente o migrante que chega às grandes metrópoles proveniente de áreas
rurais empobrecidas, filho de trabalhadores rurais não qualificados e com baixo nível de
instrução escolar (muito freqüentemente analfabetos), ele próprio com uma passagem
curta e não sistemática pela escola e trabalhando em ocupações urbanas não
qualificadas, após experiência no trabalho rural na infância e na adolescência, que busca
a escola extemporaneamente para alfabetizar-se ou cursar algumas séries do ensino
supletivo.
Para Oliveira (1999a) o jovem que freqüenta este território da antiga educação
de adultos há pouco tempo, não é aquele com uma história de escolaridade regular, o
vestibulando ou o aluno de cursos extracurriculares em busca de enriquecimento
pessoal. Não é também o adolescente com as características psicológicas que consta nos
5
compêndios de psicologia do desenvolvimento. Ele é também um excluído da escola,
porém geralmente incorporado aos cursos supletivos em fases mais adiantadas da
escolaridade, com maiores chances, portanto, de concluir o ensino fundamental ou
mesmo o ensino médio. Além disso, é bem mais integrado ao mundo urbano, envolvido
em atividades de trabalho e lazer mais relacionadas com a sociedade letrada,
escolarizada e urbana. Refletir sobre como esses jovens e adultos pensam e aprendem
envolve, portanto, trilhar pelo menos por três situações que contribuem para a definição
de seu lugar social: a condição de “não-crianças”, a condição de excluídos da escola e a
condição de membros de determinados grupos culturais.
Ainda de acordo com esta autora, com relação à condição de “não-crianças”, a
literatura a respeito é esparsa, uma vez que os compêndios a este respeito versam em
geral sobre as características psicológicas de crianças e adolescentes e consideram a
vida adulta como um período onde já existe estabilidade e a ausência de mudanças não
explorando sobre o modo como o adulto adquire conhecimento, ou seja, como ele
aprende.
Com relação ao funcionamento intelectual do adulto, Palácios (1995) afirma-nos
que, segundo a literatura, as pessoas, de forma geral, mantêm um bom nível de
competência cognitiva até uma idade avançada. Os psicólogos evolutivos estão, por
outro lado, cada vez mais convencidos de que o que determina o nível de competência
cognitiva das pessoas mais velhas não é tanto a idade em si mesma, mas uma série de
fatores de natureza diversa, tais como, o nível de saúde, o nível educativo e cultural, a
experiência profissional e o tônus vital da pessoa. É esse conjunto de fatores e não a
idade cronológica em si o que determina as probabilidades de êxito que as pessoas
apresentam, ao enfrentar as diversas demandas de natureza cognitiva.
Quanto aos fatores psicológicos, Oliveira (1999a) nos diz que embora não exista
uma extensa literatura que trate da psicologia do adulto e a construção de tal psicologia
esteja, necessariamente, ligada a fatores culturais, podemos relacionar algumas
características dessa etapa da vida que distinguiriam, de maneira geral, o adulto da
criança e do adolescente. O adulto está incluído no mundo do trabalho e das relações
interpessoais de um modo diferente daquele da criança e do adolescente. Traz consigo
uma longa história de experiências, conhecimentos acumulados e reflexões sobre o
mundo externo. Em relação à participação em situações de aprendizagem, o adulto traz
consigo diferentes habilidades e dificuldades, diferentemente da criança e,
6
provavelmente, maior capacidade de reflexão sobre o conhecimento e sobre seus
próprios processos de aprendizagem.
No entanto, devemos cuidar para não tratar o adulto de uma forma estereotipada,
muito provavelmente correspondente ao homem ocidental, urbano, branco, pertencente
a camadas médias da população, com um nível instrucional relativamente elevado e
com uma inserção no mundo do trabalho em uma ocupação razoavelmente qualificada.
O adulto que procura pela Educação de Jovens e Adultos foge muito deste estereótipo
do adulto escolarizado.
Com efeito, segundo Oliveira (1999a), a pesquisa em Educação de Jovens e
Adultos não é apenas deficitária em relação à diversidade e à relevância de suas
questões, como também são raros os estudos que poderiam subsidiar, em particular no
campo da psicologia, de onde se poderia esperar contribuições, por exemplo, para a
caracterização dos processos cognitivos da vida adulta.
Levando em consideração estes aspectos, elegemos o ensino da Geometria para
alunos da modalidade EJA para pesquisar e tentar contribuir de alguma forma com os
professores de matemática que trabalham com esta modalidade de ensino.
Na parte de revisão teórica procuramos analisar um pouco a educação de
adultos, verificar porque é importante que se aprenda matemática e quais a
competências necessárias para que um aluno aprenda geometria, a seguir, verificamos o
que diz a literatura oficial sobre o ensino da matemática, iniciando pela análise dos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNs), o relatório do
Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) e
de um documento emitido pela Secretaria Municipal de Educação.
Por último, fizemos um estudo sobre o que dizem Piaget, Gómez-Granell e o
casal Van Hiele (1994) sobre a aprendizagem da matemática, como o aluno transforma
os símbolos geométricos em elementos significantes e ainda quais níveis de
aprendizagem ele adquire à medida que adquirem significado (ou fazem sentido) para a
sua aprendizagem.
Segundo uma metodologia de caráter qualitativo, a pesquisa desenvolveu-se
dentro dos princípios da fenomenologia de caráter etnográfico.
Os dados foram coletados no contexto de uma instituição de ensino municipal
chamada CIEJA, os sujeitos da pesquisa foram a professora de matemática de uma
turma de alunos do Módulo III e a própria turma e os instrumentos utilizados foram as
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oficinas de geometria que faziam parte de uma seqüência didática e duas atividades
aplicadas a três alunas desta turma de alunos, escolhidas aleatoriamente.
Por fim, as conclusões têm um caráter provisório, dado a natureza introdutória
de um trabalho de especialização, mas procuramos evidenciar vários elementos
relevantes da EJA que foram identificados e podem ser objetos de novas investigações.
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Andragogia: a educação de adultos
Segundo Oliveira (2007) a Educação de Adultos é uma prática tão antiga quanto
a história da raça humana, ainda que só recentemente ela tenha sido objeto de pesquisa
científica. A nossa herança judaico-cristã ocidental, por exemplo, com cerca de dois mil
anos, apresenta na Bíblia Sagrada, fartos exemplos de relacionamento educacional
adulto.
Temos outros exemplos, na antiguidade, de personagens que foram educadores
de adultos. Podemos citar, entre outros, Confúcio e Lao Tse na China; Aristóteles,
Sócrates e Platão na Grécia antiga e Cícero, Evelid e Quintillian na antiga Roma. Estes
pensadores usavam do processo da indagação que levava os alunos a pensar e refletir
sobre os fatos aprendidos ao invés de usar do recurso da transmissão simples e pura de
conhecimentos, ou seja, suas técnicas para o ensino levavam os indivíduos à indagação
para a resolução dos desafios propostos por seus mestres.
A partir do século VII, surgem na Europa as escolas para o ensino de crianças
que tinha como objetivo preparar jovens para o serviço religioso. Nestas escolas os
professores ensinavam às crianças a doutrina da igreja.
Com a falta de estudos aprofundados que trouxessem subsídios para a educação
em outras faixas etárias, toda a educação não só escolar como empresarial também, foi
organizada baseada nestas idéias do século VII.
Muito influenciado por John Dewey, em 1926, Eduard C. Lindeman publicou
um trabalho chamado "The Meaning of Adult Education" que foi uma das maiores
contribuições para a educação de adultos.
Segundo Lindman a educação de adultos devia ser organizada através de
situações e não de disciplinas, sendo que estas deveriam ser introduzidas apenas quando
necessário. Os textos e os professores tinham um papel secundário neste tipo de
educação, a importância maior deveria ser dada ao aprendiz.
Lindman ressaltava que um aspecto importante no professor de adultos era a
humildade. Dizia que o conhecimento trazido pelo professor e a experiência trazida pelo
adulto deveriam, unidas propiciar, aprendizagem tanto para o professor como para o
aluno adulto.
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Nosso sistema acadêmico se desenvolveu numa ordem inversa:
assuntos e professores são os pontos de partida, e os alunos são
secundários. (...) O aluno é solicitado a se ajustar a um currículo
pré-estabelecido. (...) Grande parte do aprendizado consiste na
transferência passiva para o estudante da experiência e
conhecimentos de outrem (...) nós aprendemos aquilo que nós
fazemos. A experiência é o livro-texto vivo do adulto aprendiz.
(Linderman, 1926, p.01)
Após Lindman, outros estudiosos se destacaram ao estudar como o adulto
aprende e contribuíram para o que hoje temos na EJA. Entre eles, destacamos: Abraham
H. Maslow e o psicoterapeuta Carl R. Rogers. Estes e outros pesquisadores deram
suporte para o desenvolvimento da Andragogia como ciência da educação do adulto.
Segundo Goecks (2003), andragogia significa “ensino para adultos”. Um ramo
da pedagogia que busca compreender o adulto como um ser psicológico, biológico e
social. Ela tem em vista promover o aprendizado através da experiência, fazendo com
que a vivência estimule e transforme o conteúdo em busca da assimilação. É o famoso
“aprender fazendo”.
A andragogia dá muita importância à experiência no aprendizado. Segundo ela, a
educação deve transformar o que já sabemos e não transmitir o que é sabido. Na
essência, é um estilo de vida sustentado a partir de concepções de comunicação, respeito
e ética, através de um alto nível de consciência e compromisso social.
Considerando o mundo em que vivemos hoje, em pleno século XXI, um mundo
onde as mudanças são rápidas, o estudo da andragogia torna-se cada vez mais
necessário não só na educação escolar, mas também na educação empresarial onde a
formação e a atualização de conhecimentos torna-se cada vez mais necessária.
Concluiremos este tópico com duas frases de Paulo Freire: em “Pedagogia do
Oprimido” ele diz: Ninguém educa ninguém, nem ninguém aprende sozinho, nós seres
humanos aprendemos através do mundo. Em “Pedagogia da Autonomia” ele diz:
Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produção
ou a sua construção.
No caso da nossa pesquisa, temos o foco no aluno adulto que traz consigo uma
bagagem de conhecimento adquirida ao longo da sua vida e que não pode ser descartada
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pelo professor. A nossa proposta é buscar as dificuldades de ensino da geometria a este
aluno e propor novas possibilidades pedagógicas, no formato de atividades para que este
aluno tenha a possibilidade de voltar a estudar com sucesso e que as aulas de geometria
auxiliam a formação deste aluno como cidadão.
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Por que e para que aprender matemática?
"A Matemática é o alfabeto com o qual Deus
escreveu o Universo”. (Galileu Galilei)
De acordo com Neves e Carvalho (2007), a Matemática é um veículo para a
construção de novas perspectivas e convicções e que colabora para que se conheça a
realidade, a cultura e a sociedade. Ela ajuda as pessoas a serem mais conscientes e
críticas, pois estas, na sua aprendizagem, descobrem mais sobre si mesmas, sobre a sua
realidade e sobre o mundo. Tornam-se capazes de fazer melhores julgamentos e de
tomar decisões. Aprendem a duvidar e a perguntar, a ouvir opiniões, compará-las e
respeitar o direito de escolha de cada pessoa.
Vamos abordar alguns pontos que indicam a importância de se aprender
matemática.
• Ela contribui para o desenvolvimento de atitudes solidárias, de co-
responsabilidade e de tolerância.
• Possibilita o desenvolvimento de pensamento e sua aplicação na solução
de problemas do dia-a-dia.
• Favorece a realização de atividades ligadas ao mundo do trabalho.
• Permite o acesso a diferentes áreas do conhecimento.
Segundo Almeida e outros, a Matemática é uma disciplina com características
muito próprias. Para estudar Matemática é necessária uma atitude especial, assim como
para o ensino não basta conhecer, é necessário criar. A Matemática é utilizada
praticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica, na Análise
Financeira, entre tantas outras. Na nossa sociedade as ciências e as técnicas evoluem de
maneira muito rápida, e a Matemática é um instrumento muito valioso para se
acompanhar a crescente complexidade dos conceitos teóricos que se tornam necessários
para acompanhar o progresso das tecnologias. Desta maneira surge a necessidade de
uma Matemática cada vez mais forte donde vem que a ciência Matemática é ensinada
nos nossos dias em quase todo o mundo civilizado.
A Matemática é, sem dúvida, o ramo da ciência que melhor permite analisar o
trabalho da mente e desenvolver um raciocínio que se aplica ao estudo de qualquer
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assunto ou temática. Contudo, pela criação de hábitos mentais de que dificilmente nos
conseguimos libertar, muitas são as dificuldades que os jovens encontram no seu
estudo.
Da mesma forma, todas estas noções aparecem como se sempre tivessem
existido no pensamento humano, originando-se não se sabe como, sem que todos se
apercebam de que ela foi, e continua a ser uma constante e inacabada criação do ser
humano.
São muitos os problemas do mundo antigo que ainda hoje não têm solução e, por
isso, constituem fontes incessantes de novos conceitos. Apesar de sempre evoluir, é
notório o desenvolvimento da Matemática no século XX.
Almeida (1993) acrescenta que ensinar Matemática sem explicitar a origem e as
finalidades dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar. Sendo um dos objetivos
fundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e automatismos úteis,
bem como desenvolver capacidades, ele diz ainda é urgente implementar uma moderna
educação Matemática, a qual estará relacionada com programas e métodos de ensino - o
professor deve saber o que ensinar, o modo como o fazer e o porquê do que ensina.
Hoje, o ensino da matemática na Educação Fundamental é organizado em quatro
grandes blocos temáticos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e
tratamento da informação. Dado o caráter de um trabalho de especialização optamos,
nesta pesquisa a nos restringir em espaço e forma, ou seja, no ensino da geometria.
13
Geometria e o seu Ensino
No início dos anos 2000, as secretarias da educação do Município e do Estado de
São Paulo preocupados com a formação dos professores da primeira etapa do Ensino
Fundamental que ainda não tinham graduação universitária, organizaram em conjunto
com a Universidade de São Paulo (USP), com a Universidade Estadual Paulista
(UNESP) e com a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC) organizaram
um programa intitulado PEC – Formação Universitária que formou estes professores
melhorando a qualidade de ensino das escolas públicas desta cidade e deste estado.
De acordo com a apostila de matemática utilizada por esse curso vamos
relacionar, a seguir, aspectos sobre o ensino da geometria no Ensino Fundamental.
Observando a natureza e os diversos objetos criados pelo homem, notamos que a
geometria está em todos os lugares.
Desde a antiguidade, a humanidade construiu conhecimentos de Geometria,
como mostram, por exemplo, suas construções. As pirâmides do Egito revelam o alto
grau de conhecimento que os egípcios tinham da Geometria.
A palavra Geometria é derivada do grego geo que significa terra e metria, que
significa medida. Assim, traduzindo ao pé da letra, temos que geometria deveria
significar medida de terra. Esta palavra surgiu devido à primeira utilização da
geometria de que se tem conhecimento: a medida das terras próximas ao rio Nilo, no
Egito Antigo, para que os homens daquela época pudessem desenvolver a agricultura
nestes locais.
Como a geometria pode ser representada através de figuras, seus conceitos
podem ser facilmente entendidos pelos alunos quando o professor usa de situações-
problemas e de elementos concretos para o ensino desta disciplina. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNs) sugerem que o enfoque dos conceitos geométricos esteja
articulado ao enfoque dos conceitos de números e medidas e a melhor maneira de se
cumprir esta sugestão é através de problemas da vida real do estudante, seja ele criança,
jovem ou adulto.
Porém, analisando os livros didáticos tradicionais, a geometria é deixada sempre
para a parte final destes, o que facilita com que o professor deixe este conteúdo para o
final do período letivo e acabe, na maioria das vezes deixando-o de lado, além de que
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dificilmente faz esta inter-relação entre a geometria e as outras áreas da matemática não
usando desta ferramenta que tanto facilitaria a seu trabalho.
Outro aspecto positivo do estudo da Geometria é que este pode ajudar no
desenvolvimento da criatividade na medida em que o professor estimula seus alunos a
buscar novos caminhos para a solução de problemas e cria condições para que os alunos
comuniquem suas idéias. De acordo com os PCNs é importante permitir ao aluno “que
as definições e as propriedades surjam de suas observações, mesmo que inicialmente
imperfeitas, para, depois, por reformulações sucessivas, obter a forma final, formal e
concisa”
Montar e desmontar, compor e decompor figuras, recortar, dobrar, pintar, etc.
são atividades que favorecem o desenvolvimento da criatividade dos alunos, bem como
a compreensão de conceitos e princípios geométricos.
Desde o início da alfabetização podemos nos apropriar dos conhecimentos
anteriores dos estudantes quanto a figuras planas e figuras espaciais ligadas ao seu
cotidiano levando-os ao desenvolvimento da percepção e à discriminação de formas.
Explorando estes objetos tridimensionais, o estudante pode distinguir figuras planas e
não-planas, bem como estudar os atributos definidores de figuras geométricas e suas
propriedades.
No processo de ensino e de aprendizagem é muito importante a presença de
exemplos para serem fornecidos aos alunos e que também que sejam obtidos deles, para
evitar erros de generalização. O professor deve evitar dar exemplos com modelos únicos
para que o aluno não pense que apenas naquela situação vale a definição. Por exemplo,
ao apresentarmos o conceito de triângulo deve-se exemplificar com vários triângulos,
diferentes entre si quanto ao tamanho dos lados e quanto ao tamanho dos seus ângulos.
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O Ensino da Matemática na EJA
A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura
(UNESCO) é um ramo da Organização das Nações Unidas (ONU), fundada em 16 de
Novembro de 1945, com o objetivo de contribuir para a paz e segurança no mundo
mediante a educação, a ciência, a cultura e as comunicações.
Em 1990, a UNESCO começou o Movimento Educação Para Todos1 que é um
compromisso mundial para promover uma educação básica de qualidade a todas as
crianças e a todos os jovens e adultos. Esse movimento se iniciou durante a Conferência
Mundial sobre a Educação para Todos que ocorreu nesse ano em Jomtien na Tailandia.
Nesta conferência, delegados de 155 países além de representantes de
Organizações Não-governamentais destes países tiraram metas para a educação mundial
para os dez anos seguintes que tinham como principal objetivo tornar a educação
primária acessível a todas as crianças do mundo.
Para que esse objetivo fosse alcançado foram traçadas algumas estratégias a
serem seguidas, principalmente pelos países em desenvolvimento. Inspirado nestas
estratégias a Secretaria Municipal de Educação da Cidade de São Paulo lançou as três
primeiras proposições a seguir e acrescentou a quarta.
Estas proposições foram sugeridas por um documento lançado pela Divisão de
Orientação Técnica da Educação de Jovens e Adultos (DOT-EJA) da Secretaria
Municipal de Educação, intitulada: Coleção Círculos de Formação, na qual o livro 3
trata especificamente de Matemática e é intitulado Mergulhados em Números: A
Matemática na EJA em São Paulo (2004).
Primeira proposição: Aprender é um processo
A educação tem início no momento em que nascemos e se estende por toda a
vida. Isso quer dizer que as pessoas, inclusive os educadores e os educandos, estão
sempre aprendendo. E aprendendo nas mais variadas situações. Isso implica considerar
que: além de conhecimentos e representações sobre situações vividas ou observadas,
jovens e adultos pouco ou não escolarizados possuem valores, atitudes e crenças 1 Em 2000, A UNESCO, percebendo que o objetivo traçado para 10 anos não seria atingido por muitos países, promoveu uma nova reunião em Dacar (Senegal) e reiterou seu compromisso de promover educação para todos até 2015.
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construídas em seus percursos, pessoais; a educação e o processo de aprendizagem
ocorrem em diferentes momentos da vida das pessoas, na interação com os outros.
Segunda proposição: Aprender deve ter significado para os
envolvidos no processo
O processo educativo deve estar conectado às necessidades básicas das
populações, portanto, os conteúdos ensinados e as aprendizagens esperadas devem levar
em conta o que os jovens e os adultos precisam saber para viver de maneira plena; as
escolhas sobre o que ensinar devem buscar soluções para os problemas do contexto em
que vivem os educandos; as necessidades de aprendizagem das pessoas devem ser
investigadas pelos educadores a partir do conhecimento da vida de seus educandos e da
realidade dos locais em que vivem, tal investigação também deve ser feita pelos
próprios educandos a partir da identificação dos problemas que os afetam e da busca de
soluções para eles.
Terceira proposição: aprender é o foco do processo educativo
A aprendizagem deve ter lugar central no processo educativo. Desta maneira, o
educador deve criar variadas oportunidades de aprendizagem, em vez de cumprir listas
de conteúdos e de reproduzir práticas de ensino tradicionais; valorizar os saberes
prévios que os jovens e adultos possuem e que são adquiridos em suas trajetórias de
vida e considerar que se aprende muito mais do que aquilo que se deseja ensinar.
Quarta proposição: o papel do educador é fundamental como
mediador do processo, assim deve possuir competências
específicas desta profissão
É necessário conhecer Matemática para poder conectá-la ao que os educandos
consideram necessário aprender e, com isso, informar, formando. Isso quer dizer que,
para fazer escolhas sobre quais aprendizagens são úteis e necessárias à vida e sobre
como a Matemática pode colaborar para o desenvolvimento pleno das pessoas, é preciso
que o educador conheça os objetos de que se ocupa a Matemática e possa adaptá-los
para alcançar a aprendizagem; que se estabeleçam conexões entre os conteúdos da
Matemática e o cotidiano, os saberes e as necessidades de aprendizagem dos educandos;
17
que se redefina o papel do educador, visto não mais como aquele que expõe e transmite
conhecimentos, mas como organizador das aprendizagens. Para desempenhar este papel,
ele precisa conhecer as condições de vida de seus educandos, o contexto em que vivem,
seus saberes prévios, suas expectativas e necessidades de aprendizagem. Assim, poderá
escolher conteúdos e atividades que possibilitem o alcance dos objetivos de
aprendizagem traçados. O educador também é animador do processo de aprendizagem.
Ele estimula a comunicação, a sistematização e a formulação de propostas por parte dos
educandos e a cooperação entre todos; e finalmente que se redefina o papel do
educando, para que ele seja capaz de fazer escolhas sobre o que quer aprender, a partir
de seus saberes prévios e de suas reais necessidades. Ele deixa de ser aquele que nada
sabe, capaz somente de receber informações produzidas, para ocupar um lugar central
nas escolhas sobre o que e como estudar, compartilhando este lugar com os educadores.
Considerando estas quatro proposições como eixos orientadores para elaboração
de programas pode-se sugerir que o ensino da Matemática para Jovens e Adultos seja
elaborado levando-as em consideração e é a partir delas que analisaremos a seguir o que
nos diz a literatura oficial a respeito do ensino da matemática, em particular da
geometria e logo após, estudaremos algumas teorias e propostas que analisam como o
aluno aprende Matemática e o papel do professor neste aprendizado.
Ao final do trabalho usaremos esta literatura estudada para analisar a prática de
uma professora de EJA e o desempenho dos seus alunos com o intuito de melhorar a
prática da professora e a aprendizagem destes alunos.
18
A Legislação Oficial e o Ensino da Matemática
Com o intuito de situar o que se espera que o aluno aprenda na disciplina de
matemática, particularmente em geometria, desenvolvemos um breve panorama dos
documentos oficiais que regem o currículo.
O primeiro documento a ser analisado são os Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Fundamental (PCNs), em seguida analisaremos um dos documentos que
resultaram do Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos
(ENCCEJA) e por último analisaremos um documento que a Secretaria Municipal de
Educação da Cidade de São Paulo enviou às escolas municipais dessa cidade no início
de 2007 e que diz o que essa secretaria espera que os professores dessas escolas
ensinem na disciplina de Matemática para os alunos do Ensino Fundamental.
Faremos estas análises sempre com o foco nos conteúdos de geometria.
A Matemática no Ensino Fundamental Segundo os PCNs “Não se pode ensinar alguma coisa a alguém, pode-se
apenas auxiliar a descobrir por si mesmo”. (Galileu
Galilei)
Faremos a seguir um breve relato sobre o que dizem os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNs) sobre o Ensino da Matemática no Ensino Fundamental.
Após muitas discussões ocorridas tanto dentro como fora do Brasil a respeito do
crescente uso da matemática, nos diversos ramos de atividades da vida moderna,
chegou-se à conclusão de que seria necessária sua adequação à nova sociedade que vem
se formando. Estas discussões geraram análises e revisões no Currículo da Matemática
no Ensino Fundamental.
Para entender melhor estas novas propostas é necessário conhecer a trajetória
das reformas curriculares ocorridas nos últimos anos e também analisar brevemente o
quadro atual de ensino de Matemática no Brasil.
19
O ensino da matemática no Brasil sempre teve um caráter elitista2 e mesmo as
reformas curriculares que aconteceram a partir dos anos 1920 não tiveram força
suficiente para mudar este quadro. A prática dos professores de matemática continuou
sendo elitista e com um alto índice de retenção, apesar das mudanças propostas a cada
reforma que ocorria. Ainda hoje a prática docente nessa área é marcada pela
formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de
habilidades e mecanização de processos sem compreensão.
A partir dos anos de 1960/1970, surge o movimento da Matemática Moderna
que influencia o ensino da matemática não só no Brasil como em outros países também.
A Matemática Moderna surgiu atrelada a uma política de modernização econômica em
que, juntamente com o ensino de Ciências, ela constituía uma via de acesso para o
pensamento científico e tecnológico. Desta maneira, para atingir estes objetivos
procurou-se aproximar a matemática desenvolvida na escola à matemática vista pelo
ângulo de estudiosos e pesquisadores.
Com esta proposta, a matemática passa a fundamentar-se em grandes estruturas
que organizam o conhecimento matemático contemporâneo com ênfase na teoria dos
conjuntos, nas estruturas algébricas, na topologia, etc. A partir deste movimento muitas
discussões e reformas curriculares surgiram não só no Brasil como em muitos outros
países do mundo.
Apesar de toda esta discussão e de todas estas propostas de reformas, deixou-se
de considerar o principal: este currículo estava fora do alcance dos alunos, em geral,
principalmente dos alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental e o excesso de
formalização necessário para este tipo de ensino fez com que a Matemática se
distanciasse cada vez mais das questões práticas da vida. A linguagem da teoria dos
conjuntos, por exemplo, dá ênfase ao uso de símbolos e a sua terminologia complexa
compromete o aprendizado do cálculo aritmético, da geometria, das medidas e de outros
tópicos relacionados com estes.
No Brasil, o movimento Matemática Moderna, que era levado para os
professores e alunos principalmente pelos livros didáticos, teve grande influência,
durante longo período, só gerando discussões a respeito depois de algum tempo a partir
2 Entendemos por educação de caráter elitista aquela educação que é para poucos, que tem características que levam os alunos a desistir de estudar seja abandonando a escola, seja apenas freqüentando-a sem aprender somente a espera do diploma que a progressão continuada uma dia lhe dará.
20
da constatação de inadequação de alguns de seus princípios básicos e das distorções e
dos exageros ocorridos.
Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dos Estados
Unidos apresentou recomendações para o ensino de Matemática no documento “Agenda
para Ação 2”. Nele, o foco do ensino da Matemática volta-se para a resolução de
problemas para os anos 80. Este documento trazia também uma tendência à
compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, além dos
cognitivos, na aprendizagem da Matemática e imprimiu novos rumos às discussões
curriculares nesta área de conhecimento.
Essas idéias influenciaram as reformas que ocorreram em todo o mundo, a partir
de então. As propostas elaboradas no período 1980/1995, em diferentes países,
apresentaram pontos em comum, como:
• O ensino da Matemática passa a ser visto como o caminho para a aquisição de
competências básicas necessárias à formação de cidadãos e não apenas voltadas
para a preparação de estudos posteriores;
• O papel do aluno passa a ser de suma importância na construção do seu
conhecimento;
• Enfatiza-se muito a resolução de problemas, na exploração da Matemática a
partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas;
• Passa a ser importante o trabalho com uma quantidade maior de conteúdos,
incluindo já no ensino fundamental, por exemplo, elementos de estatística,
probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a
necessidade de abordar esses assuntos;
• Considera-se a necessidade de levar os alunos a compreender a importância do
uso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação.
No Brasil, essas idéias vêm sendo discutidas e algumas aparecem nas propostas
curriculares de Secretarias de Estado e Secretarias Municipais de Educação, sendo que
temos exemplos de experiências bem sucedidas nesse sentido. No entanto, é importante
salientar que ainda hoje nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com a
linguagem da teoria dos conjuntos nas séries iniciais, a formalização precoce de
conceitos, o predomínio absoluto da Álgebra nas séries finais e as poucas aplicações
práticas da Matemática no Ensino Fundamental.
21
A análise das propostas curriculares oficiais, realizada em 1995 pela Fundação
Carlos Chagas, mostra-nos que algumas propostas curriculares estaduais e municipais
elaboradas recentemente ainda sofrem a influência desta proposta tecnicista. Nelas, a
Fundação concluiu que os currículos se dividem em duas grandes famílias: os que são
baseados totalmente na Teoria dos Conjuntos e os que reduziram seu uso ao mínimo.
No entanto, estas propostas curriculares mais recentes ainda são desconhecidas
da maioria dos professores que também não têm conhecimento claro sobre quais fatores
motivaram as reformas. O que se vê, em geral, são ótimas e inovadoras idéias ficarem
no papel, não serem incorporadas ou ainda serem incorporadas de maneira superficial e
inadequada pelos professores, fazendo com que as mudanças desejadas não ocorram ou
ocorram apenas parcialmente.
Quadro Atual do Ensino de Matemática no Brasil
Muitos são os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao ensino da
Matemática, entre eles estão: falta de uma formação profissional qualificada, restrições
ligadas às condições de trabalho, ausência de políticas educacionais efetivas e
interpretações equivocadas de concepções pedagógicas.
Porém, muito tem sido feito para melhorar esta situação, muita coisa inclusive
com sucesso. Algumas escolas têm elaborado projetos educativos que atendem os
interesses e necessidades da comunidade. Existem também professores que com
iniciativas individuais ou em pequenos grupos vão à busca de conhecimentos que levam
à reflexão e ao desenvolvimento de práticas pedagógicas mais eficientes para ensinar
Matemática.
Em paralelo a isso, algumas universidades, secretarias da educação e outras
instituições têm se preocupado em elaborar materiais de apoio para a prática do
professor. Mas, essas iniciativas, embora de grande valor pedagógico, não chegaram
ainda a alterar de modo favorável o quadro do ensino da Matemática no Brasil. A
formação inicial e a formação continuada do professor de matemática ainda é
insatisfatória, o que leva estes professores a se apoiar quase que exclusivamente nos
livros didáticos que, em muitos casos, não possuem a qualidade necessária para servir
de apoio para boas aulas.
Outro aspecto que é responsável pela baixa qualidade das aulas de matemática é
a interpretação equivocada de concepções pedagógicas inovadoras que aparecem em
22
muitas destas novas propostas. Por exemplo, a resolução de problemas que é o eixo
norteador da maioria destas novas propostas ainda é usada de maneira inadequada na
forma de listas enormes que usam única e exclusivamente a aplicação de técnicas e a
memorização de conceitos que são aplicadas paralelamente ao ensino tradicional.
Outro equívoco que se apresenta com freqüência é a concepção linear do ensino
da matemática, que, por vezes traz dúvidas quanto ao ponto de partida para e ensino dos
conteúdos e que leva à opção pelos fundamentos de cada teoria e que, no caso da
geometria, usa como referência inicial as noções de ponto, reta e plano, noções estas
que exigem demais da abstração do aluno além de dificilmente se ligarem aos
conhecimentos anteriores ligados à vida do aluno.
Algumas recomendações são feitas aos professores no sentido de que os
conteúdos sejam selecionados de modo a potencializar a aprendizagem das idéias
fundamentais para a instrumentação para a vida ou ainda para desenvolver a forma de
pensar do aluno, mas nem sempre são observadas pelos mesmos. Outra recomendação
que muitas vezes não é acatada é sobre a organização dos conteúdos que não deveriam
ser organizados de forma hierarquizada e pela idéia de pré-requisitos, ou ainda de forma
isolada, apresentados e esgotados em um único momento. O ideal seria que os
conteúdos de matemática fossem desenvolvidos por etapas ao decorrer do curso,
aprofundando-se a cada retomada sempre fundamentado e atrelado às vivências
anteriores do aluno e fazendo-se conexões com outros conhecimentos do dia-a-dia,
construindo, desta forma significados.
Outra questão a ser analisada é a que diz respeito à contextualização dos
conteúdos que não deve se limitar às atividades do dia-a-dia do aluno, ma também deve
ser realizada em conexão com outros aspectos da própria matemática ou ainda de outros
ramos da ciência, da história e do conhecimento em geral.
O ensino da História da Matemática também é de vital importância para
proporcionar o entendimento mais amplo dos conteúdos matemáticos e suas aplicações.
Ela deveria se tornar um assunto específico a ser tratado nas aulas de matemática, ou
seja, um dos conteúdos a fazer parte do planejamento nesta disciplina tomando-se o
cuidado de não limitá-la a ser apenas a apresentação de fatos ou biografias de
matemáticos famosos.
O uso de recursos didáticos também deve ser melhor especificado nas propostas
curriculares pois nem sempre são claras aos olhos dos professores gerando, muitas
23
vezes expectativas indevidas e resultados finais desastrosos quanto ao desempenho dos
alunos nesta disciplina.
Levando-se em consideração as provas aplicadas pelo Sistema Nacional de
Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB) nos anos de 1993 e 1995, o desempenho
na disciplina de matemática diminui quando aumenta o número de anos de
escolarização destes alunos o que nos leva a concluir que no ensino da matemática
existem problemas antigos e problemas novos a serem resolvidos, ou seja, não basta que
sejam feitas novas propostas de ensino se elas não forem aplicadas adequadamente.
O conhecimento matemático
Para que possamos propor um currículo de Matemática no Ensino Fundamental
é necessário inicialmente discutir a natureza desse conhecimento e refletir acerca de
suas principais características e de seus métodos particulares, de modo a conhecer seu
papel no currículo a fim de contribuir para a formação da cidadania.
Principais características
A matemática é uma ciência viva que deve ser usada como forma de
compreender e atuar no mundo.
Existem duas maneira indissociáveis de se impulsionar o trabalho em
matemática: uma delas é pelas aplicações às mais variadas atividades humanas, desde as
mais simples na vida cotidiana até as mais complexas na elaboração de outras ciências e
a outra maneira de se impulsioná-la é a partir da especulação pura, ou seja, a busca de
respostas para questões geradas pela própria Matemática.
Além disso, o aspecto estético merece atenção, como nos trabalhos com o ensino
inicial de geometria onde sistemas abstratos ideais organizam-se e se inter-relacionam
revelando fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados
quase sempre a fenômenos do mundo físico.
Mudanças de paradigmas também surgem com a evolução destas teorias, como
ocorreu, por exemplo, quando se superou a visão de uma única geometria, a euclidiana,
com o surgimento dos modelos geométricos não-euclideanos que são logicamente
consistentes e que podem modelar a realidade do espaço físico.
24
Vale a pena lembrar que a matemática que conhecemos hoje surgiu no período
de 700 a.C. a 300 d.C. e que só atingiu a sua maturidade no final do século XIX, com o
surgimento da Teoria dos Conjuntos e o desenvolvimento da Lógica Matemática.
Convém também ressaltar que existem inúmeras teorias matemáticas que por
caminhos diferentes relacionam-se com o mundo físico, além de que o relacionamento
com o acaso tornou-se maior no mundo atual com o advento da era da informação e da
automação que tornaram os cálculos numéricos e algébricos mais rápidos e precisos, o
que aumentou as possibilidades de resolução de problemas que hoje podem ser
abordados e resolvidos usando-se o conhecimento matemático.
Objetivos gerais para o ensino fundamental
Segundo os PCNs (1998), as finalidades do ensino da Matemática visando a
construção da cidadania indicam como objetivos do ensino fundamental levar o aluno a:
• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);
• Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
• Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções;
• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
25
Seleção de Conteúdos
Atualmente, há consenso acerca dos currículos de Matemática para o Ensino
Fundamental devam contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da
Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o
estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da
Aritmética, da Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Um
olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses
conteúdos aqueles que permitam ao cidadão tratar as informações que recebe
cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos e a
raciocinar utilizando idéias relativas à probabilidade e à combinatória.
O estudo do espaço e da forma é necessário, devido às possibilidades de
ocupação do espaço, com a localização e deslocamento de objetos no espaço, vistos sob
diferentes ângulos, em virtude de que situações cotidianas e também muitas profissões
como a engenharia, a arquitetura, a decoração, a bioquímica, a mecânica, etc., que
necessitam de um pensamento geométrico e da observação do espaço tridimensional.
No entanto, o ensino da geometria, na educação tradicional é deixado para
segundo plano e muitas vezes confundido com o ensino das medidas o que é ruim, haja
vista a possibilidade que ela proporciona de desenvolver um pensamento particular que
ajuda a compreender, organizar e descrever o mundo em que se vive. Além de ser um
campo fértil para o aprendizado a partir da resolução de situações-problemas devido ao
desenvolvimento da capacidade de argumentar e construir demonstrações.
A aprendizagem da geometria desenvolve as habilidades de percepção espacial,
de elaboração de um sistema de propriedades geométricas e também de uma linguagem
que permita agir nesse modelo e a permita codificação e decodificação de desenhos.
Para desenvolver estas habilidades, o documento sugere atividades tais como
elaboração de mapas geográficos fazendo a relação entre as coordenadas cartesianas e
as coordenadas geográficas, a confecção de maquetes tridimensionais e atividades de
classificação de figuras geométricas com base na observação de suas propriedades e
regularidades, além de atividades de ladrilhamentos, tangrans e poliminós, atividades
estas que num segundo momento servirão de trampolim para o estudo das medidas. O
uso de softwares específicos também é recomendado.
26
O estudo de temas geométricos possibilita ainda a exploração de interessantes
aspectos históricos uma vez que sabemos que a Geometria é um dos ramos mais antigos
da Matemática e que se desenvolveu em função de necessidades humanas.
Notamos que dentro dos PCNs não há um item específico que trate da seleção de
conteúdos para o ensino da geometria na modalidade EJA. No entanto há o documento
que surgiu durante o Encontro Nacional de Certificação de Competências de Jovens e
Adultos (ENCCEJA) que trata dessa modalidade de ensino e será analisado na
seqüência. Há também o documento expedido pela Secretaria da Educação da Cidade de
São Paulo e enviado para as escolas municipais desta cidade no início de 2007. Nesse
documento essa Secretaria discute o que espera que seja ensinado sobre matemática
nessas escolas. A partir destes três documentos procuraremos fazer uma adaptação dos
conteúdos e das atividades a serem utilizadas nas aulas de geometria na modalidade
EJA, uma vez que não existe um documento específico que trate deste assunto.
A Matemática segundo o ENCCEJA
Em 2002, o Ministério da Educação (MEC) e o Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) organizaram o Encontro Nacional de
Certificação de Competências de Jovens e Adultos (ENCCEJA) que gerou uma série de
documentos com referenciais para a Educação de Jovens e Adultos. Entre eles, temos o
Livro Introdutório: Documento Básico de onde tiraremos algumas diretrizes
relacionadas ao ensino da Matemática no Ensino Fundamental da EJA.
Segundo esse documento, o aprender matemática é um direito básico desses
jovens e adultos e, portanto o papel desta área de conhecimento é atender suas
necessidades individuais e sociais. A falta de domínio do pensamento matemática
dificulta o acesso às posições de trabalho, uma vez que a nossa sociedade depende cada
vez mais do conhecimento tecnológico.
Segundo o documento, quando se pensa a educação matemática e sua
apropriação por jovens a adultos com pouca escolarização, temos que:
• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticos
para não serem discriminados, inferiorizados;
• Jovens e adultos têm o direito de se apropriar de conhecimentos matemáticos, de
forma coerente e compatível com os saberes que construíram ao longo de sua
vivência.
27
Desta forma, a Matemática ensinada deve ter por um lado, um caráter prático
para que este sujeito possa utilizá-la nos problemas do seu dia-a-dia, e por outro lado
deve contribuir para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico-matemático.
Quanto maior a quantidade de conhecimentos trabalhados com estes alunos,
maior será a contribuição no sentido de torná-los cidadãos inseridos na sociedade e no
mundo da tecnologia e do trabalho. Desta forma, não se deve restringir o ensino da
Matemática ao ensino da aritmética e a álgebra, mas também à geometria, ao estudo das
medidas e também a atividades que envolvam o raciocínio combinatório e probabilístico
e às análises estatísticas.
Além disso, o aluno deve adquirir competências que o levem a estimar
resultados e a usar a tecnologia disponível, como por exemplo, no uso das calculadoras
eletrônicas e do computador.
Um aspecto importante é o que envolve a contribuição das aulas de matemática
na aprendizagem e domínio da língua materna. Desta forma, sempre que possível, o
professor de Matemática deve apresentar situações onde o aluno deve ler e interpretar
problemas com situações matemáticas por meio do raciocínio e também sugerir que o
aluno elabore pequenos textos ou ainda relatórios, em que ele tenha que treinar o ler e o
escrever mesmo que esteja neste momento aprendendo Matemática.
Ao resolver problemas matemáticos, os alunos descobrem-se capazes de
raciocinar e encontrar soluções diante de desafios não só matemáticos, mas do seu
cotidiano também, possibilitando o exercício da cidadania em sua plenitude.
Concluindo, para dimensionar o papel da matemática na formação de um jovem
ou de um adulto é importante que se discuta, de um lado, a natureza desse
conhecimento, suas características principais e seus métodos particulares; de outro, é
fundamental discutir suas articulações com outras áreas de conhecimento e suas efetivas
contribuições para a formação da cidadania e para a constituição de sujeitos da
aprendizagem.
Matrizes de Matemática
A Matemática no Ensino Fundamental
No início de 2007, a Secretaria de Educação da Cidade de São Paulo enviou para
as Escolas Municipais de Ensino Fundamental dessa cidade um documento intitulado:
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Matrizes de Matemática, a Matemática no Ensino Fundamental que, entre outras coisas,
mostra o foco que o Ministério da Educação espera que se dê ao Ensino da Matemática
no Ensino Fundamental.
Este documento diz que a Matemática como um corpo estático e acabado de
conhecimentos produzidos por algumas cabeças geniais, foi reavaliada e que desde
meados do século passado considera-se a interdependência da matemática com as outras
áreas de conhecimento. Diz ainda que a Matemática deva ser considerada como a
construção do conhecimento que trata das relações qualitativas e quantitativas entre
espaço e tempo e que esta é uma atividade humana que trata de padrões, da resolução de
problemas, do raciocínio lógico, etc., na tentativa de compreender o mundo e fazer uso
deste conhecimento.
Segundo este documento, a grande maioria das profissões e trabalhos técnicos
exige conhecimentos de Matemática, ou seja, desenvolver competências matemáticas é
parte fundamental na Educação das crianças, pois as idéias e os conceitos matemáticos
são ferramentas para atuar sobre a realidade e o mundo que as cerca. O conceito de
competência dá ênfase ao que o aluno é capaz de fazer com os conhecimentos que
adquiriu muito mais do que o domínio formal dos conceitos.
A alfabetização Matemática deve fornecer competências para que o aluno seja
capaz de analisar, raciocinar e comunicar o enunciado, a formular e a resolver
problemas em contextos e situações as mais diversas. Desta forma, ao término do
Ensino Fundamental, o aluno deverá ser capaz de utilizar o que aprendeu em situações
usuais da vida cotidiana e não se restringir apenas a mostrar o conhecimento dos
conteúdos desenvolvidos em suas aulas.
Assim sendo, o documento sugere que se ensine a Matemática organizada de
modo a atender as grandes áreas temáticas: números e operações, espaço e forma,
grandezas e medidas e tratamento da informação.
Como nosso foco é a geometria, vamos transcrever o que o documento diz a
respeito do item “Espaço e Forma”.
Em Espaço e Forma – em geral vinculados à Geometria, trabalham-se
com fenômenos e relações geométricas e espaciais, levando o aluno a
observar semelhanças e diferenças, analisar os componentes das formas,
reconhecê-las em suas diferentes representações e dimensões, entender
as propriedades e as posições relativas dos objetos. As formas podem ser
29
consideradas como “regularidades” e, as regularidades se encontram
em toda parte – na fala, na escrita, no tráfego, nas construções, na
música, nas folhas de árvores, nos edifícios, na arte, etc.
O estudo das formas, intimamente ligado ao conceito de “percepção
espacial” implica em aprender a reconhecer, explorar e mover-se com
maior conhecimento no espaço em que se vive; entender a representação
em duas dimensões dos objetos tridimensionais; entender e interpretar as
sombras; compreender o que é perspectiva e como funciona; entender a
relação entre formas e imagens ou representações visuais, por exemplo,
as relações entre um objeto e sua fotografia.
A seguir analisaremos o que dizem alguns autores sobre o ensino da matemática
e da geometria para no final, analisar as atividades dos alunos, verificar as dificuldades
e sugerir as possibilidades para o ensino da geometria na EJA.
30
Competências do Pensamento Geométrico
Existe uma complexidade tocante às relações entre Geometria como campo
unicamente da Matemática e como análise do espaço que nos cerca.
A geometria, lida com relações entre objetos reais, objetos teóricos e sua origem,
está em trabalhos práticos reais e, ao mesmo tempo, em teorias abstratas.
A idéia de simetria, por exemplo, podemos encontrá-la no artesanato de diversas
culturas, mas também na matemática ela é interpretada como transformações de pontos
no plano.
Muitos profissionais, tais como vidraceiros e carpinteiros usam da geometria
empiricamente, apesar de seus conhecimentos poderem ser comprovados teoricamente.
Existem algumas competências necessárias para se estabelecer o pensamento
geométrico, tais como: experimentar, conjecturar, representar, estabelecer relações,
comunicar, argumentar e validar.
A seguir detalharemos essas competências, segundo as considerações da apostila
do PEC (2002) bem como o modelo Van Hiele (1994) para o pensamento geométrico.
O Experimentar como Competência
Experimentar significa “pôr a prova”. Um professor pode oferecer materiais
concretos ao aluno para que ele chegue, por meio de experiências como manipulação,
contemplação e também de conjecturas para chegar aos conceitos geométricos e até a
generalizações válidas.
Um bom exemplo seria o de um professor oferecendo várias varetas de
tamanhos diversos para que os alunos construam triângulos. A partir de tentativas os
alunos poderão chegar a conclusões importantes que relacionam o tamanho dos lados e
a possibilidade da construção de triângulos a partir destes.
Neste momento, é importante que o professor deixe claro que essas conjecturas
levam a generalizações e conceituações. Além disso, elas só podem ser aceitas quando
demonstradas formalmente e que a ciência se desenvolveu com o passar do tempo desta
forma. É importante considerar, ainda que inicialmente e intuitivamente, que a
metodologia científica valida os experimentos e conjecturas via demonstrações
rigorosas.
31
O Modelo Van Hiele de Desenvolvimento do Pensamento
Geométrico
Segundo Crowley (1994), o método desenvolvido pelo casal Dina van Hiele-
Geldof e Pierre van Hiele3 pode ser utilizado para medir o nível de maturidade
geométrica do aluno. Este método foi o resultado das teses de doutoramento do casal
finalizados simultaneamente na Universidade de Utrech.
Esse modelo sugere que os alunos progridem segundo uma seqüência de níveis
de compreensão de conceitos. O progresso para o nível seguinte se dá pela vivência de
atividades adequadas.
Segundo Van Hiele, cada nível de aprendizagem é caracterizado por relações
entre os objetos de estudo e linguagens próprias. Conseqüentemente, não pode haver
compreensão quando as propostas de aprendizagem são apresentadas num nível mais
elevado do que aquele atingido pelo aluno.
Com cinco níveis hierárquicos, Van Hiele estabeleceu que o aluno só atinge
determinado nível de raciocínio após passar por todos os níveis inferiores. Esta pode ser
uma explicação para as dificuldades apresentadas pelos alunos quando engajados num
curso sistemático de Geometria (nível 3, vide tabela abaixo) sem a necessária vivência
prévia das experiências nos níveis anteriores.
3 Pierre Marie Van Hiele e Dina Van Hiele Geldof foram professores de Geometria na Holanda. A partir da experiência docente, ambos elaboraram e apresentaram para doutoramento, em 1957, um modelo – que passou a ser conhecido pelo sobrenome do casal – para explicar o desenvolvimento do raciocínio geométrico entre os alunos do ensino secundário. Logo após completar, simultaneamente com o marido, o doutorado pela Universidade de Utrecht, na Holanda, Dina morreu. Pierre, então, desenvolveu e divulgou a teoria do modelo Van Hiele, que tem influenciado diferentes países na organização curricular de Geometria. A ex-União Soviética foi o primeiro país a incorporar o modelo.
32
Tabela 1 – Retirada da Apostila do PEC
Nível de Van Hiele
Características Exemplos de Atividades
Básico: Reconhecimento
Identificação, comparação e nomenclatura de figuras geométricas, com base em sua aparência global.
Classificação de quadriláteros (recortes) em grupos de quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios.
Nível 1: Análise Análise das figuras em termos de seus componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso delas para resolver problemas.
Descrição de um quadrado por meio de suas propriedades: 4 lados, 4 ângulos retos, lados iguais, lados opostos paralelos.
Nível 2: Síntese ou abstração
Percepção da necessidade de uma definição precisa, e de que uma propriedade pode decorrer da outra, argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas.
Descrição do quadrado pelas propriedades mínimas: 4 lados iguais e 4 ângulos retos. O retângulo é um paralelogramo, pois também possui os lados opostos paralelos.
Nível 3: Dedução Domínio do processo dedutivo e demonstrações, reconhecimento de condições necessárias e suficientes.
Demonstração de propriedades dos triângulos e quadriláteros usando a congruência de triângulos.
Nível 4: Rigor Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas e comparação dos mesmos.
Estabelecimento e demonstração de teoremas em uma Geometria finita.
A Representação como Competência
Um aspecto peculiar do ensino da Geometria está na ambigüidade do papel das
representações gráficas: elas são ao mesmo tempo objetos reais e teóricos.
Podemos estabelecer uma diferença entre “desenho” e “figura geométrica”. O
desenho é uma representação gráfica de um objeto matemático. A figura geométrica já é
um objeto matemático ideal, isto é, uma criação mental do espírito.
O espaço se apresenta para o aluno de forma essencialmente prática: ela constrói
suas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e dos movimentos. Esse espaço
percebido por ele, chamado espaço perceptivo, possibilitará a ele, mais adiante, a
construção do espaço representativo.
O espaço que percebemos é o que contém objetos perceptíveis por meio dos
sentidos, ou seja, um espaço sensível. O ponto, a reta e o quadrado não pertencem a esse
espaço. Podem ser concebidos de maneira ideal, mas, rigorosamente, não fazem parte
desse espaço sensível.
33
Pode-se, então, dizer que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura no
mundo geométrico (dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos).
É multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço que o aluno vai
aprender e, desse modo, construir uma rede de conhecimentos relativos à localização e à
orientação que vai lhe permitir penetrar no domínio da representação dos objetos e,
assim, se distanciar do espaço sensorial ou físico.
A compreensão das relações geométricas pelos alunos supõe sua ação sobre
objetos. No entanto, é bom ter cuidado para não confundir isso com falsas idéias
segundo as quais se imagina que basta mostrar objetos geométricos aos alunos para que
estes os conheçam, ou que basta enunciar suas propriedades para que os alunos delas se
apropriem. A questão que se pode levantar, então, é: como passar de um espaço a outro?
Provavelmente, é o aspecto experimental que vai colocar em relação esses dois espaços;
o sensível e o geométrico.
De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver e explicar o que se
passa no espaço sensível e, de outro, vai permitir o trabalho sobre as representações dos
objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reais
para raciocinar sobre representações mentais, o que constitui, enfim, a própria ação
Matemática.
Desta forma temos os aspectos heurísticos se articulando com os estéticos e as
inferências. Nesta situação, a matemática e a heurística se articulam de modo a facilitar
a aprendizagem a se atingir a representação como competência.
A Comunicação como Competência
Desde as séries iniciais, os alunos podem ampliar ou reduzir figuras, trabalhando
sobre malhas quadriculadas, em diversas situações. Trabalhando com malhas variadas,
eles poderão discutir em que casos há deformação da figura dada e em que casos as
figuras são semelhantes.
Se o professor propuser uma atividade geométrica para o seu aluno e depois
convidá-lo a escrever um texto explicando quais os caminhos usados para
desenvolvimento da atividade, este estará usando também a comunicação como
competência.
34
Este tipo de atividade4, em que é preciso comunicar o que está sendo percebido,
é tão importante quanto à descoberta em si. A comunicação precisa fazer parte das aulas
de matemática.
Neste caso, aspectos heurísticos novamente se articulam com aspectos estéticos
e inferências a exemplo do que já aconteceu na representação como competência.
A Argumentação como competência
Após a proposição de uma atividade geométrica, é preciso que o professor peça
que os alunos anotem as regularidades notadas no decorrer da atividade e argumente
quanto a propriedades que poderão decorrer destas regularidades. Estas argumentações
são importantes para a aprendizagem da geometria uma vez que ajuda a desenvolver o
pensamento geométrico e generalizações importantes.
4 Ela é chamada em metodologia aplicada à comunicação e à psicologia de protocolo verbal.
35
Piaget e o as Estruturas Cognitivas
Sintetizamos algumas idéias de Jean Piaget para o ensino da matemática
segundo Smole (2005), que são pertinentes ao nosso estudo.
Jean Piaget (1896 – 1980), biólogo suíço, por meio de seus estudos acerca do
desenvolvimento cognitivo e da construção do pensamento lógico-matemático, deu uma
grande contribuição para o ensino da matemática no sentido de entender como o aluno
aprende construindo conhecimentos.
Piaget não foi o primeiro a estudar como a aprendizagem se processa na
educação matemática, antes dele outros trabalhos como os de Pestalozzi, Froebel, Maria
Montessori, Decroly e Dewey contribuíram no sentido de entender como a criança
processa a aprendizagem da matemática, cada um de seu modo e ao seu tempo.
Piaget nunca foi nem pretendeu ser pedagogo, na verdade ele era um
epistemólogo que procurou indagar como se produziam os novos conhecimentos
durante o processo de desenvolvimento humano, dando uma contribuição fundamental
ao ensino da matemática por meio do entendimento de como a aprendizagem desta
disciplina se processa.
No seu livro A gênese do número na criança, lançado em 1941, Piaget em
conjunto com Alina Szeminska, discorre sobre como são construídos os conceitos de
número, as noções temporais, as representações de espaço, os conceitos de velocidade, a
medição, as primeiras noções geométricas e as representações simbólicas nas crianças.
Esse trabalho nos traz dados inéditos sobre a construção do conhecimento matemático
nas crianças. No entanto, iremos nos ater a outra contribuição de Piaget e seus
seguidores que não trata da construção de noções e conceitos propriamente ditos, mas
que faz a diferença de muito do que hoje se pensa, se escreve ou se diz sobre a
matemática na escola, construindo diretrizes para uma didática da matemática.
O conhecimento Lógico-matemático
Segundo Becker (apud Smole, 2005), para Piaget, nos tornamos matemáticos
enquanto construímos as estruturas de pensamento que nos levam a pensar
matematicamente.
36
Piaget apresenta três tipos de conhecimento que a criança usa para se relacionar
com o mundo; o conhecimento físico, o conhecimento social e o lógico-matemático e
para usar destes conhecimentos precisa de uma estrutura lógico-matemática para
construir conhecimentos sobre o mundo físico e social. No caso dos objetos
matemáticos, que não existem de forma acabada, é necessário que a criança os crie
interiormente, não basta que alguém os apresente de fora para dentro para que elas os
interiorizem.
As crianças elaboram seu conhecimento lógico-matemático à medida que
constroem relações mais complexas sobre outras mais simples que elas mesmas
criaram. Para ampliar seus conhecimentos matemáticos não basta que alguém transmita
estes conhecimentos à criança, é necessário que ocorra um processo interno ao sujeito.
Desta forma, antes das pesquisas de Piaget, acreditava-se que a criança aprendia
matemática devido a ações do adulto e devido a repetições de fatos conhecidos pelos
adultos até que as crianças se familiarizassem a eles. Após os estudos de Piaget houve
uma mudança significativa na didática da matemática, uma vez que se refletiu sobre o
fato da aprendizagem da matemática não ocorrer por transmissão social de um adulto
que fala a uma criança que ouve passivamente, mas sim do professor que cria condições
para que o aluno aprenda, daquele que desafia o mesmo a aprender, a pensar por si só, a
analisar e a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda. Desta forma o papel
do professor deixa de ser apenas o de ensinar, mas passa a ser o de mediador da
aprendizagem e o aluno deixa de simplesmente aprender um conteúdo para atribuir um
significado para aquilo que aprende.
A partir desta idéia muda o papel de professor que não é mais de transmitir, mas
de criar as condições para que o aluno aprenda, de desafiá-lo a pensar por si mesmo, a
analisar, a questionar aquilo que a escola deseja que ele aprenda.
A visão de Piaget do ser humano é a de um ser que além de modificar o meio em
que vive, tem a capacidade de modificar a si mesmo e é esta transformação que origina
o conhecimento.
Desta forma, surge o construtivismo que é uma interação entre a condição que os
seres humanos dispõem ao nascer e sua atividade transformadora do meio. Nesse
sentido, o conhecimento não é algo que se produz sem razão, mas sim é o resultado de
um processo adaptativo decorrente de uma necessidade. O sujeito encontra uma
necessidade e para enfrentá-la precisa modificar seus conhecimentos antigos,
37
abandonando crenças anteriores para poder dar um passo adiante. Por isso o
conhecimento é um processo de criação e não de repetição.
Para Piaget, ao nos referirmos ao pensamento lógico-matemático, para que haja
uma aproximação entre as estruturas de pensamento do professor e do aluno é
necessário considerar que a compreensão real de uma teoria, por parte daquele que a
desenvolve ou estuda, supõe sua reinvenção por esse sujeito. Isso não quer dizer que o
professor já não seja necessário, seu papel não deve consistir em ministrar aulas, lições,
mas em organizar situações que levem o aluno a investigar, utilizando dispositivos
apropriados, o que nos leva a uma didática de matemática baseada na resolução de
problemas. O professor deve propor aos alunos problemas que o desequilibrem naquilo
que sabe, fazendo com que todo o conhecimento de que dispõe seja revistado,
vasculhado, complementado, ampliado, dando lugar a novas e mais complexas relações.
Segundo Seymour Papert, “a função da matemática escolar é ensinar os alunos a
serem matemáticos em vez de ensinar matemática a eles”. Para entender este
pensamento devemos procurar saber como Piaget via o ser matemático. Segundo ele
não se define um matemático pelo conhecimento que ele tem de uma série memorizada
de fatos matemáticos, tampouco porque conhece o trabalho de muitos outros
matemáticos. Ser matemático implica pensar e fazer, resolver problemas originais ou
dar a eles uma nova interpretação, gerando conhecimentos novos, mais do que
conhecendo aqueles já existentes.
A Criança e as Representações Geométricas
Segundo Pulaski (1971), para Piaget as crianças apreendem primeiramente as
figuras topológicas, muito antes de assimilarem as figuras geométricas euclidianas.
Segundo esse autor, aos três anos uma criança é capaz de distinguir figuras
abertas e figuras fechadas, mas ao se pedir que copie um quadrado ou um triângulo, ela
desenhará um círculo fechado. Se lhe solicitarmos a cópia de figuras abertas, desenhará
simplesmente curvas abertas. Já se pedirmos que copie um círculo dentro de outro
círculo, copiará adequadamente. Apenas depois dos cinco anos, ela começará a desenhar
quadrados, e somente mais tarde conseguirá copiar adequadamente, como exige a
geometria euclidiana, um retângulo com seus ângulos e lados. Após os sete anos, a
criança passa a assimilar a relação projetiva.
38
Outro aspecto do desenvolvimento da criança abordado por Pulaski (1971) é a
noção de egocentrismo5 que Piaget trata muitas vezes ao longo de sua obra. Segundo
esta autora, o egocentrismo é uma característica da criança que não reconhece objetos
familiares quando vistos sob um ponto de vista diferente daquele que está acostumada a
visualizar. Por exemplo, ao se apresentar uma maquete que contenha montanhas e
desenhos que mostram estas montanhas vistas sob pontos de vista diferentes, a acriança
não consegue identificar todos os desenhos como sendo da mesma montanha. Somente
após os nove ou dez anos a criança consegue distinguir, com acuidade, as diferentes
perspectivas possíveis e coordená-las.
Piaget e o Aluno Adulto
Quanto ao aluno adulto, que é o foco principal do nosso trabalho, vamos ver o
que o grupo de pesquisa NEA-FEUSP (Núcleo de Educação de Jovens e Adultos e
Formação Permanente de Professores da Faculdade de Educação da Universidade de
São Paulo) nos tem a dizer.
Para Piaget, o desenvolvimento intelectual do ser humano se processa sob dois
aspectos: o motor ou intelectual e o afetivo, denominados por Piaget de “estágios de
desenvolvimento” distribuídos de acordo com a idade da criança: o primeiro é o estágio
sensório-motor (do nascimento até os dois anos de idade); o segundo dividi-se em dois
sub-estágios, o de preparação para as operações lógico-concretas (2 a 7 anos) e o de
operações lógico-concretas (7 anos a adolescência). A partir daí até a idade adulta,
configura-se o estágio da lógica formal, ou seja, quando o pensamento lógico alcança
seu nível maior de equilíbrio.
Convém lembrar que, para Piaget, a inteligência é uma adaptação que ocorre à
medida que o indivíduo vai enfrentando situações novas e interagindo com o meio que o
circunda, ou seja, ele não apenas responde ao mundo que o circunda, mas também atua
sobre ele. Para isso, o indivíduo usa dois componentes: a assimilação (processo
cognitivo de colocar ou classificar novos eventos em esquemas existentes) e a
acomodação (processo de modificação de um esquema ou uma estrutura em função das
particularidades do objeto a ser assimilado). O equilíbrio entre a assimilação e a
acomodação é chamado de adaptação.
5 Segundo Piaget, egocentrismo é o raciocínio primitivo que impede alguém de compreender que pode haver mais de um ponto de vista.
39
Outra variável presente na teoria de Piaget é a motivação do estudante, onde o
professor deve organizar o ambiente de modo a estimular o aluno a aprender no seu
próprio ritmo, de modo que os seus interesses sirvam de guia livre para a aprendizagem.
Interessante notar que essa variável observa-se na EJA uma vez que o aluno
adulto sai do seu trabalho, em geral estafante, e vai direto para a escola, encontrando
nela um mundo novo que lhe causa estranhamento ou até medo.
De acordo com esse grupo (NEA) se a educação desse adulto for planejada de
acordo com os princípios de Piaget, de modo que ele manipule objetos do seu ambiente,
possa transformá-los encontrando sentido para os mesmos, intervindo em seus
diferentes aspectos até adquirir condições de fazer inferências lógicas internamente,
desenvolvendo novos esquemas e novas estruturas, o estudante chegará através de uma
seqüência de desequilíbrios sucessivos, seguidos de adaptações, ao conhecimento.
Entretanto, existe uma diferença crucial entre o aluno adulto e o aluno criança. A
diferença é que quando o aluno adulto chega à escola, ele já percorreu todos os estágios
do desenvolvimento o que cria um desafio para o educador que é recuperar a capacidade
deste aluno de combinação e interação, principalmente quando se trata de idéias
abstratas.
Aliado a isso, gostaríamos de observar que na pesquisa de Luria6 (1990),
existem comportamentos que são típicos de grupos “pouco letrados” e outros típicos de
grupos de letrados, como veremos a seguir.
6 Ver a partir da página 40 detalhes sobre a pesquisa de Luria segundo Oliveira (1999b).
40
Letramento e Desenvolvimento Cognitivo
Vamos verificar alguns aspectos que, segundo Oliveira (1999b), fazem com que
o a falta de letramento interfira no desenvolvimento cognitivo do adulto.
Grupos culturais “pouco letrados” integrados nas complexas sociedades
contemporâneas, onde há grande influência do conhecimento científico e dos meios de
comunicação em massa tendem a ser homogêneos do ponto de vista social.
A denominação “pouco letrado” não diz respeito a nenhuma classificação
técnica do grau de alfabetização desses indivíduos, mas sim à condição decorrente da
falta de oportunidade de interação intensa e sistemática com determinados aspectos
culturais fundamentais nesse tipo de sociedade o que faz com que esse grupo seja
marcado pela exclusão , pois não possuem a competência da leitura e da escrita e de
outras prática letradas necessárias para a interação com a sociedade em que vivem.
Desta forma, esse grupo acaba criando características comuns entre os seus
membros que são conseqüências cognitivas de deferentes práticas culturais.
Apontaremos a seguir essas características.
Pensamento descontextualizado
A capacidade de elaboração cognitiva descontextualizada é uma das
características melhor definida em indivíduos letrados, sendo um comportamento
aparentemente ausente em grupos de “pouco letrados”.
Na década de 30, A. R. Luria estudou grupos de camponeses soviéticos e
encontrou diferenças cruciais entre os grupos dos letrados e dos “pouco letrados”.
Nesses estudos foram observados que sujeitos mais escolarizados envolvidos no
trabalho das fazendas coletivas mais modernas, tendiam a trabalhar com categorias
abstratas independente da experiência vivida e do contexto concreto. Luria chamou este
comportamento de “categorial”. Esses sujeitos agrupavam objetos segundo cores,
formas geométricas ou categorias, ou ainda, usavam a dedução e a inferência para
solucionar problemas matemáticos a partir de situações hipotéticas.
Já os sujeitos menos escolarizados envolvidos em atividades de agricultura
tradicional, individualizada, tendiam a operar influenciados por configurações
perceptuais, baseados pela experiência pessoas. Luria chamou esse tipo de
41
comportamento de “gráfico-funcional”. Ao agrupar objetos, esses indivíduos tendiam a
criar categorias que remetiam à sua relação com situações concretas.
Experiências mais atuais retratam essa mesma contraposição entre indivíduos
letrados e indivíduos “pouco letrados”.
Controle da Produção Cognitiva
Outro aspecto em que também são notadas diferenças quando se analisa alunos
letrados e alunos “pouco letrados” é o controle que estes têm sobre sua própria produção
cognitiva.
Oliveira (1999b) diz que uma experiência realizada com alunos da EJA na
cidade de São Paulo mostra a grande dificuldade que estes alunos têm quando um
professor propõe uma atividade na qual eles devem seguir instruções explícitas. A
dificuldade está no seguir instruções. Estes alunos realizam a tarefa passo a passo,
sempre se reportando ao professor para perguntar sobre o próximo a passo a seguir.
Luria (1990) estabelece que esta capacidade de seguir instruções está
relacionada à capacidade da auto-instrução e que quando o indivíduo vence esta etapa
ele passa a organizar o seu comportamento.
O controle da produção cognitiva cria também condições para que o sujeito
possa auto-monitorar o desenvolvimento de suas tarefas.
Procedimentos Metacognitivos
Os procedimentos metacognitivos estão relacionados à questão do controle da
produção cognitiva, isto é, às operações deliberadas do sujeito sobre suas próprias ações
intelectuais. Esses procedimentos fazem com que os indivíduos tenham consciência dos
próprios processos de pensamento de modo a explicar esse processo a outras pessoas.
Pesquisas mostram que indivíduos “pouco letrados” têm dificuldade de transitar
por esses procedimentos e uma conseqüência desta dificuldade notada também por
Oliveira (1999b), em sua pesquisa com os alunos de EJA, é a tendência à adoção “não-
refletida” de princípios como sendo universais, ou seja, quando o professor passa uma
regra para ser usada numa determinada situação, o aluno conclui erroneamente que esta
regra vale para todos os casos que surgirem a seguir.
42
Transformações Culturais da Sociedade Letrada
Nesse item analisaremos como a escrita e o desenvolvimento da ciência formal
podem influenciar no desenvolvimento cognitivo do indivíduo.
A escrita enquanto sistema simbólico é, por definição, um dos principais
fundamentos do modo letrado de pensamento favorecendo o pensamento
descontextualizado e independente da experiência do sujeito. Ela favorece, também, a
consciência metalingüística, pois por meio dela o sujeito pode refletir e construir
conhecimento explícito.
A escrita fornece também ao seu usuário, instrumentos externos que facilitam a
utilização de procedimentos de controle cognitivo (listas, calendários, tabelas, etc.)
O desenvolvimento da ciência formal é outro aspecto que pode ser relacionado
com as transformações do modo de pensamento do sujeito, embora isso não seja
possível sem o auxílio da escrita.
Fazem parte do desenvolvimento científico atividades que pressupõem a
construção de categorias formalizadas de organização do real e processos deliberados de
generalização.
A sociedade pautada pelo desenvolvimento científico e tecnológico é organizada
por objetivos de predição e controle, que necessitam de planejamento em longo prazo,
organização institucional e tomadas de decisões com base em critérios que ultrapassam
as necessidades individuais e imediatas.
Finalizando, a escola é a instituição tem por fim colocar os sujeitos em contato
com a escrita e o desenvolvimento científico, favorecendo, deste modo, o
desenvolvimento cognitivo do sujeito.
As práticas escolares favorecem, portanto, o desenvolvimento do pensamento
descontextualizado e a ação metacognitiva. Favorecem, também, o aprendizado de
formas de controle da produção cognitiva que são partes importantes das tarefas
escolares.
Desta forma, podemos concluir que os sujeitos excluídos de uma relação
sistemática com a escrita, com a escola e com a ciência têm o seu desenvolvimento
cognitivo comprometido.
43
Linguagem Matemática: Símbolo e significado
Neste capítulo trataremos das idéias de Gómez-Granell (1997) que faz uma
análise sobre a aquisição da linguagem matemática, sobre a diferença entre conhecer os
símbolos e saber os seus significados.
No mundo atual, globalizado e movido a tecnologia, a matemática é cada vez
mais necessária. Os cálculos de estatísticas e probabilidades são essenciais para se
tomar decisões políticas, sociais ou econômicas. Desta forma, seria de se esperar que a
população, em geral, incrementasse seus estudos nessa área. Mas, não é o que se vê nas
escolas de Educação Básica. Hoje, 40 a 50% dos alunos não alcançam o mínimo do
conhecimento matemático necessário para finalizar a escolaridade obrigatória. Na
verdade, a maioria das pessoas não alcança o nível de “alfabetização funcional” mínimo
para desenvolver-se numa sociedade moderna.
Chegamos, desta maneira, a um paradoxo: a matemática, um dos conhecimentos
mais necessários para se sobreviver nas sociedades modernas altamente tomadas pela
tecnologia, é um empecilho ao acesso da grande maioria da população ao sistema
educacional.
Em 1982, Cockcroft afirmou em uma pesquisa na Inglaterra e no País de Gales
que a Matemática é uma “matéria” difícil de ensinar e de aprender. A Matemática
aparece como algo denso e enigmático até mesmo para pessoas cultas e instruídas.
Uma explicação para estes fatos estaria baseada na natureza do conhecimento
matemático que é diferente, em muitos aspectos dos outros tipos de conhecimento
devido ao seu alto grau de abstração, pois na verdade se define por dedução e não por
abstração como outros conhecimentos.
Por outro lado, o conhecimento matemático depende de uma linguagem
específica, de caráter formal que traduz a linguagem natural para uma linguagem
universal formalizada, permitindo assim o enorme rigor necessário para se entender o
estrito significado dos seus termos.
A formalização da linguagem matemática tem uma função primordial: converter
os conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis,
possibilitando assim determinadas inferências que de outro modo seriam impossíveis.
44
Levando em consideração os fatos acima citados, podemos formular algumas
perguntas: Seria a matemática apenas uma linguagem? A maioria das pessoas carece
mesmo da capacidade de abstração necessária para dominar linguagens formais? Ou o
processo de ensino adotado é inadequado?
A primeira pergunta formulada gera uma polêmica entre os que consideram a
Matemática como sendo apenas uma linguagem e os que pensam que sempre é possível
atribuir um significado aos símbolos que se manipula.
Quando um aluno aprende matemática, geralmente aprende decorando regras
que devem ser aplicadas sempre, mas este mecanismo muitas vezes leva a erros
gravíssimos além de que, na maior parte das vezes, faz com que os alunos apliquem
regras sem entender o seu real significado, sem saber por que deve fazer desta e não de
outra maneira a operação Matemática.
É comum o aluno aplicar erroneamente regras que não servem naquela situação
específica porque decorou a regra sem entender o porquê desta regra ser aplicada e
muitas vezes ainda escuta do professor se não está vendo que naquela situação não há
lógica em se aplicar a determinada regra.
Quando um professor ensina dessa maneira não está percebendo que em toda
sentença matemática é necessário reconhecer um significado formal intrínseco, no qual
uns símbolos fazem referência a outros dentro de um código específico, e um
significado pragmático, que permite a tradução para sistemas de signos não
matemáticos, e associar tais expressões ao seu significado referencial.
Como alternativa à situação citada acima existem algumas tendências
metodológicas para o ensino da Matemática tais como o construtivismo7 ou ainda o
aprendizado através da resolução de problemas. Ambas podem ser tratadas de maneira
conjunta por se tratarem de teorias que priorizam o estudo dos aspectos conceituais da
matemática. O importante é que os alunos entendam ou construam o significado dos
conceitos matemáticos.
Os alunos, desde a mais tenra idade, manifestam procedimentos próprios, não
formais, que lhes permite ir construindo progressivamente os significados matemáticos.
Assim sendo, cabe ao professor usar desta habilidade para ajudar ao aluno a construir os
conceitos matemáticos de forma mais intuitiva e menos formal.
7 Definimos construtivismo anteriormente na página 36.
45
Uma dúvida é se o fato do aluno entender o significado dos conceitos e
procedimentos matemáticos faz com que tenha facilidade para dominar a linguagem
formal. Assim sendo, sugere-se que o ensino matemático não seja excessivamente
verbal, mas que a construção do conhecimento se baseie na manipulação8 e na ação.
Após a construção do significado, o passo seguinte seria o uso da linguagem simbólica
em situações de representação onde o aluno deve transmitir os conceitos aprendidos a
outras pessoas. Dependendo do nível de desenvolvimento, o aluno vai recorrer a
representações próprias desses conceitos. É possível observar com freqüência que existe
uma grande resistência do pensamento humano em abandonar o conteúdo do objeto
expressado pela linguagem natural e pelo desenho, para substituí-lo pelo símbolo
formal.
Por outro lado, os alunos costumam aprender a manipular símbolos segundo
uma série de regras que não entendem. Isso faz com que, para eles, seja muito difícil
associar tais símbolos ao seu significado referencial e, portanto usá-lo para resolver
problemas de forma significativa. O conhecimento conceitual não implica
absolutamente em conhecimento de regras sintáticas e das convenções de notação
próprias do simbolismo matemático.
Como os alunos podem resolver muitas operações e problemas usando processos
intuitivos, corremos o risco de cometer dois grandes erros: acreditar que não é
necessário se ensinar os procedimentos formais ou ainda que se pode passar do
procedimento intuitivo para o formal de forma automática, situação que muitas vezes
leva a um “salto mortal” entre o conceitual e o simbólico.
Resta-nos, então, saber como fazer para que o aluno passe dos procedimentos
não-formais e intuitivos para as expressões simbólicas próprias da linguagem formal e
vice-versa.
Levando em consideração que a Matemática também é uma linguagem, o
domínio dela implica também um conhecimento de aspectos sintáticos e semânticos
inerentes a esta linguagem. Mas, deveremos levar em consideração também que esta
linguagem constitui uma forma de discurso específico que, embora guarde estreita
relação com a atividade conceitual, mantém a sua própria especificidade como um
discurso lingüístico. Desta forma, não se pode esquecer que aprender uma linguagem
8 Como já vimos na teoria de Piaget, na página 38.
46
não é aprender uma série de regras e sim adquirir um grau de competência
comunicativa9 que permita usar tal linguagem adequadamente.
Levando em consideração os aspectos citados acima podemos considerar que:
• Os conceitos e procedimentos matemáticos devem ser ensinados de forma
contextualizada: devemos acabar com a idéia de que a matemática é algo
excessivamente abstrato, difícil e inacessível. Embora existam patologias que
podem dificultar o seu aprendizado, a maioria das pessoas pode aprendê-la sem
nenhuma dificuldade. A maior parte das pessoas que alegam dificuldade para
aprender matemática usa-na como ferramenta nas suas atividades cotidianas pois
dela necessitam. Portanto, se queremos ensinar Matemática de uma forma
significativa devemos primeiro conhecer quais são os usos e as funções que o
conhecimento matemático cumpre em nossa sociedade e situar a aprendizagem
dos conceitos e procedimentos matemáticos no contexto de tais usos e funções.
• A resolução de problemas pode ser um instrumento de contextualização: este
tipo de atividade não pode acontecer apenas para aplicar os conhecimentos
previamente adquiridos, mas também, para propor situações que requeiram uma
solução matemática e que permitam o levantamento de questões, a pesquisa, a
discussão, a exploração e a especulação, além da contextualização das
operações.
• Os procedimentos próprios, intuitivos ou não-formais são instrumentos para
explorar o significado dos conceitos e procedimentos matemáticos: devemos
estimular o uso de desenhos, figuras, jogos e outros processos intuitivos para
que o aluno tome contato inicial com os conceitos matemáticos antes de
formalizá-los.
• É necessário associar os símbolos matemáticos ao seu significado referencial:
dificilmente encontraremos alguma regra algum princípio, que não tenha
significado referencial.
• Aplicar modelos concretos: decorrente do aspecto anterior. Para que os alunos
associem os símbolos matemáticos ao seu significado referencial não basta
incentivar o uso de estratégias pessoais dos alunos, é necessário que o professor
proponha modelos que permitam entender a semântica da operação ou
9 Como já vimos anteriormente na página 30, quando descrevemos as competências que deverão ser desenvolvidas a partir do estudo da geometria.
47
transformação. Esses modelos podem ser: manipulativos, verbais, gráficos ou
até de caráter simbólico.
• Utilizar e relacionar linguagens diferenciadas: para associar aspectos sintáticos
e semânticos é necessário que os alunos usem diferentes linguagens para
expressar as transformações matemáticas, que as relacionem entre si e que
tenham consciência das regras que fazem a passagem de uma linguagem à outra.
• Trabalhar os mesmos conceitos e procedimentos em diferentes contextos: a
construção dos conceitos e procedimentos matemáticos exige que sejam
aplicados e atualizados por intermédio de problemas que respondam a estruturas
semânticas diferentes.
• Estimular a abstração progressivamente: para isso é necessário não só variar os
contextos e as situações, mas também propiciar um processo de reflexão
consciente e a explicitação das relações entre as quantidades.
Para concluir, podemos comparar a aprendizagem da matemática com a
aprendizagem de um idioma estrangeiro, pois quanto mais se domina este idioma,
menos “estrangeiro” ele se parece. Ou ainda, que a Matemática constitui uma maneira
determinada e específica de interpretar, de observar a realidade. Que usa uma linguagem
específica, diferente das linguagens naturais e cuja aquisição não pressupõe a mera
“tradução” para a linguagem natural. E que, portanto, aprender matemática significa
aprender a observar a realidade matematicamente, entrar na lógica do pensamento e da
linguagem matemática, usando as formas e os significados que lhe são próprios. Esse
seria o verdadeiro sentido da alfabetização matemática que nos permitiria circular pelos
“domínios da matemática” como se estivéssemos em nossa própria casa e não num
“país estrangeiro”.
O objetivo e a finalidade da matemática devem ser que os alunos dominem e
usem significativamente sua linguagem e os usos específicos da mesma. Mas, para que
isso seja alcançado, as formas de ensino e de aproximação tradicionalmente aplicadas a
essa linguagem devem ser radicalmente modificadas.
48
Princípios Filosóficos que nortearam o trabalho
Esta pesquisa foi norteada pelos princípios filosóficos da fenomenologia, usando
como metodologia de pesquisa o estudo de caso etnográfico.
Segundo Chizzotti (2006), o estudo de caso é uma estratégia de pesquisa muito
usada na área educacional em que o pesquisador reúne informações sobre determinado
fato ou fenômeno contemporâneo social complexo inserido em seu contexto específico.
Tem por objetivo reunir aspectos relevantes sobre o objeto de estudo e desta
forma alcançar uma compreensão mais ampla desse objeto dissipando dúvida,
esclarecendo questões pertinentes e sugerindo ações posteriores.
Este estudo de caso envolve a coleta sistemática de informações de um processo
social, no caso as aulas de geometria para os alunos da modalidade EJA, para conhecer
melhor as relações existentes entre os sujeitos envolvidos no processo, no caso
professora e alunos, analisar os resultados do processo e sugerir novas possibilidades de
ensino dessa disciplina nessa modalidade de ensino.
Quanto à etnografia, segundo Fiorentini & Lorenzato (2006), um estudo de caso
é etnográfico quando:
1. Está-se interessado numa instância em particular, isto é, numa determinada
instituição, numa pessoa ou num específico programa de currículo;
2. Deseja-se conhecer profundamente essa instância particular em sua
complexidade e em sua totalidade;
3. Se estiver mais interessado naquilo que está ocorrendo e no como está ocorrendo
do que nos seus resultados, ou ainda
4. Quer-se retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima de
seu acontecer natural.
Esta pesquisa foi classificada como etnográfica por estar interessada em saber
quais a dificuldades e possibilidades do ensino da geometria numa escola específica, o
CIEJA. Desejamos, também aprofundarmo-nos no ensino da geometria e verificar se,
com as atividades aplicadas nas aulas, os alunos aprendem de maneira satisfatória e caso
isso não ocorra, temos ainda o propósito de sugerir novas atividades e novos
procedimentos de modo que esse objetivo inicial seja alcançado.
49
Metodologia
Os Sujeitos da Pesquisa
A Professora
Nessa pesquisa, a professora articula os papéis de professora e de pesquisadora,
pois ao começar a especialização, resolveu pesquisar sobre a própria prática como um
modo de reflexão sobre ela.
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo, vem atuando na
Educação de Jovens e Adultos desde o término da graduação. No início (década de
1980) nas escolas particulares de Ensino Supletivo, embora mantivesse um
relacionamento diferenciado com estes alunos, procedia em termos de programas e
currículos semelhante aos procedimentos com alunos da Educação regular.
No início dos anos 1990 participou do “projeto da interdisciplinaridade” da
prefeitura de São Paulo quando começou a encarar aluno adulto de uma forma
diferenciada e a perceber que o programa e o currículo usados com os adultos não
devem ser os mesmos usados com as crianças. Começa então, a criar estratégias para
ensinar os adultos através de projetos que levam em consideração a “bagagem” anterior
destes alunos.
A partir de 2000 participa do projeto “CEMES” da prefeitura de São Paulo
tomando contato com o material elaborado pela UNESP para este projeto e que mostra
uma educação diferenciada para os alunos jovens e adultos trabalhadores. Com a
mudança do governo, o projeto CEMES dá origem ao projeto CIEJA que tem um olhar
diferenciado para o aluno adulto.
A professora passa a fazer parte deste novo projeto e percebendo, que apesar dos
projetos, a dificuldade no ensinar matemática continua, resolve então, pesquisar sobre
novas possibilidades neste ensino, visto as dificuldades encontradas no decorrer destes
anos. Desta inquietação surge esta pesquisa que visa melhorar a prática da professora e
fornecer literatura de subsídio para outros professores que têm o mesmo tipo de
inquietação.
50
Observações sobre as opções metodológicas da professora
No início de 2007, a Secretaria Municipal de Educação da Cidade de São Paulo
(SME) implantou o projeto “Ler e escrever: prioridade na escola municipal” que diz que
a responsabilidade do desenvolvimento da competência de leitura e escrita no aluno é
responsabilidade das diferentes áreas de conhecimento, respeitando as suas
especificidades.
De acordo com o Referencial de Expectativas (2006) o professor de matemática
tem que criar situações para que o aluno desenvolva a competência leitora e escritora
em suas aulas.
A professora em questão considerou que para desenvolver no aluno a
competência da leitura e a competência para resolução das quatro operações
fundamentais da aritmética, o melhor caminho seria a partir da resolução de problemas
de raciocínio matemático e para isso usou os outros conteúdos da matemática como
elementos para compor novos problemas.
Assim sendo as aulas de geometria tiveram um caráter mais lúdico, pois o
objetivo principal era que o aluno conhecesse as principais figuras geométricas para
utilização posterior no entendimento dos enunciados dos problemas, principalmente os
que tratavam de medidas.
Com o objetivo também de dinamizar a resolução de problemas e unir conceitos
diferentes, mas que operacionalmente têm processos semelhantes, a professora optou
por ensinar as medidas de massa e de capacidade logo após o ensino das medidas de
comprimento, deixando para a seqüência as medidas de área e de volume e, por último,
as medidas de tempo, sempre de olho na competência da leitura e da escrita e
procurando resgatar os conhecimentos anteriores dos alunos.
O projeto CIEJA
Os Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos (CIEJA) foram criados
pelo Decreto nº 43.052, de 4 de abril de 2003.
Os Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos promovem cursos de
ensino fundamental, articulados com a educação profissional de nível básico, atendidos
os interesses da comunidade e as peculiaridades locais. Os cursos são organizados em
dois ciclos, compostos por quatro módulos, e desenvolvidos em oito semestres.
51
Os CIEJAs foram criados com o intuito de mudar a realidade do aluno da EJA e
desta maneira está focado no Mundo da Cultura e no Mundo do Trabalho, promovendo
desta forma educação elementar básica com resgate das identidades culturais dos alunos
e a implementação de Itinerários Formativos que visam promover a Educação
Elementar Básica.
Os Centros Integrados de Educação de Jovens e Adultos/CIEJA's oferecem os
dois ciclos do Ensino Fundamental a adultos e jovens com mais de 14 anos. Funcionam
das 7h30min às 22h15min, desenvolvendo um processo educacional flexível e
dinâmico, que atende ao ritmo de aprendizagem dos alunos e às suas possibilidades de
horário. A organização do currículo é modular, integrando educação geral e profissional
básica por meio de itinerários formativos.
Os Alunos
Os alunos pesquisados foram alunos do módulo III do projeto CIEJA e que têm
suas aulas com a professora pesquisada. O módulo III tem duração de um ano letivo e
equivale à terceira e à quarta séries do segundo segmento do Ensino Fundamental.
São alunos trabalhadores e que estudam no período noturno. Na sua maioria, são
sujeitos excluídos do sistema de ensino quando muito jovens e que retomaram seus
estudos após muitos anos ou até décadas, longe dos bancos escolares.
A maioria deles nunca tinha estudado geometria antes desta retomada dos
estudos e tiveram as primeiras noções deste conteúdo neste ano com a professora
pesquisadora.
A pesquisa
Com o propósito de investigar o ensino da matemática, em particular da
geometria, na EJA foi problematizado por meio da observação dos procedimentos da
professora e das atividades realizadas por uma turma de alunos do Módulo III no
CIEJA-FÓ/Brasilândia que trabalha aplicando o projeto da Prefeitura do Município de
São Paulo e análise de materiais didáticos elaborados especialmente para este fim.
Etapas da pesquisa:
• Escolha da turma, da qual foram observadas as aulas e as atividades aplicadas;
• Solicitação de autorização da direção da escola para efetuar a pesquisa;
• Relato explicativo da atividade aplicada pela professora de matemática da turma;
52
• Análise do planejamento da seqüência didática utilizada pela professora nas
aulas de geometria (oficinas);
• Análise geral do material coletado, a partir da comparação dos dados coletados
com a teoria estudada;
• Elaboração do relatório final.
53
A seqüência didática - Oficinas
A pesquisa, a princípio, foi realizada com base nas atividades realizadas por três
alunas do Módulo III do projeto CIEJA que preliminarmente receberam noções de
geometria em uma seqüência didática que era composta por oficinas de dobraduras,
tangram e pentaminó, que articularam conteúdos iniciais de geometria com atividades
de formação de figuras como será ilustrado a seguir.
Compreendemos Seqüência Didática como sendo um conjunto de aulas
planejadas para ensinar um determinado conteúdo sem que necessariamente tenha um
produto final. Sua duração pode variar de dias a semanas e várias seqüências podem ser
trabalhadas durante o ano, de acordo com o planejado ou com as necessidades da turma.
A seqüência didática apresenta desafios cada vez maiores aos alunos, buscando
promover a construção do conhecimento.
Após a aplicação da seqüência didática essas alunas foram convidadas a
participar da pesquisa e realizaram a atividade 1 que foi tratada como uma atividade
preliminar. Após alguns dias, a atividade 2 foi aplicada à turma em que estas alunas
estavam inseridas num total de dezenove alunos (as 3 alunas iniciais e mais 16 alunos)
como uma atividade de classe.
Pretendíamos continuar a pesquisa analisando apenas as atividades das três
alunas inicialmente elencadas na pesquisa, mas a decodificação das atividades dessas
alunas foi custosa, pois as respostas ora apresentavam-se incompletas ora ininteligíveis,
com problemas de construção das frases e inclusive das próprias palavras.
Dessa forma, optamos por fazer além da análise das atividades das três alunas
inicialmente elencadas e analisar também as atividades dos outros dezesseis alunos que
participaram da segunda atividade no sentido de aprofundar nossas análise.
A seqüência didática foi planejada para ser aplicada em quatro dias
consecutivos. Em cada dia da seqüência houve um encontro de duas horas e quinze
minutos, equivalente a três horas/aulas.
É importante observar que ao final a seqüência didática anterior à que se segue, a
professora solicitou aos alunos que fizessem uma pesquisa como trabalho extra-classe
sobre geometria, sobre seus elementos e a presença da geometria no dia-a-dia.
A seguir, temos o planejamento desta seqüência didática:
54
Seqüência Didática Bloco 3 - Módulo III – Matemática
Professor: xxxxxxxxx Disciplina: Matemática
Conteúdo: Introdução à Geometria
Objetivos Específicos:
Apresentar aos alunos as principais figuras geométricas através de atividades práticas.
Problematização Inicial:
Usando dobraduras apresentar as figuras geométricas planas e espaciais.
Etapas do Processo:
- Oficina de dobraduras relacionando as figuras, as suas propriedades principais e os
seus nomes;
- Oficina de tangram reapresentando as figuras geométricas e introduzindo as noções
de semelhança, congruência e equivalência de figuras planas;
- Oficina de pentaminó trabalhando o raciocínio lógico na montagem das figuras.
- Anotações em caderno das principais propriedades abordadas durante as oficinas.
Recursos Didático-Pedagógicos:
- papel sulfite, régua, tesoura e cola para as oficinas;
- figuras feitas em EVA;
Avaliação:
- Avaliação oral e de observação realizadas no decorrer do processo.
Segundo a professora, esta avaliação foi feita ouvindo as observações e
comentários que os alunos fizeram durante a execução das oficinas. Ela os observou
conforme executavam as atividades de dobradura, montagem de figuras e, sempre que
possível solicitou que participassem indo ao quadro branco imantado e manipulando as
peças do tangram e do pentaminó (ver figuras 1 e 2 a seguir).
55
Figura 1
Figura 2
A figura 1 mostra os quadrados que formarão as peças do pentaminó que uma
vez manipuladas e arranjadas de maneiras diferentes, originam as peças que encontram-
se na figura 2.
A turma era pequena, com apenas dezenove alunos, estes alunos puderam ser
ouvidos e observados individualmente com certa facilidade.
As aulas, durante o desenrolar desta seqüência didática, foram compostas de
algumas oficinas que direcionaram o aluno a tomar contato com a geometria e os seus
elementos.
No primeiro dia a oficina aplicada foi a de dobraduras que seguiu o modelo
sugerido pelo livro paradidático “A geometria das dobraduras” do autor Luis Carlos
Imenes (1996).
A oficina de dobraduras teve como objetivo apresentar aos alunos as principais
figuras geométricas planas, introduzindo o vocabulário apropriado para que estes
conhecessem não só as figuras com os seus nomes, mas as suas principais
características de uma forma lúdica e heurística além de introduzir a noção de dimensão
espacial.
Nessa atividade, a partir de dobraduras simples, os alunos vão conhecendo as
principais figuras geométricas planas e vão ampliando o seu vocabulário geométrico
dando significado às figuras que vão surgindo.
56
A reação dos alunos durante esta atividade foi muito boa uma vez que era uma
atividade lúdica e heurística. Conforme o aluno vai descobrindo as figuras, ele vai
colando estas figuras no seu caderno com o nome e descrevendo as principais
propriedades das mesmas.
A última figura a ser formada é uma figura espacial, um paralelepípedo reto
retângulo (veja figuras 3 e 4, a seguir) e a professora aproveita este momento para
explorar o conceito de dimensão espacial.
A seguir temos uma ilustração que mostra a construção desta última figura,
retirada do livro em questão.
Figura 3
57
Figura 4
A formalização da linguagem ficou restrita às anotações no caderno quando da
colagem das figuras construídas, além de alguns conceitos formalizados pela professora
no último dia da seqüência didática.
No segundo dia da seqüência didática, a professora aplicou à turma uma oficina
de tangram. O tangram (veja figura 5) é um jogo chinês milenar e que tem sua origem
explicada por várias lendas diferentes. Ele é usado, em geral nas aulas de arte para
estimular a criatividade das crianças que o usam como um quebra-cabeça de sete peças
com as quais é possível se formar um número muito grande e diverso de figuras.
Figura 5
A oficina de tangram teve por objetivo reforçar o conhecimento das formas e
propriedades das principais figuras geométricas, desenvolver a criatividade além de
58
apresentar aos alunos os conceitos de congruência, semelhança e equivalência de figuras
geométricas. Durante esta oficina foram apresentadas aos alunos algumas figuras novas,
tais como o triângulo retângulo, o triângulo isósceles, o paralelogramo e o trapézio, que
não tinham aparecido na oficina de dobraduras.
Após a confecção do tangram dobrando-se e cortando-se uma folha de papel,
observando-se os nomes e as propriedades das figuras que iam se formando, a
professora sugeriu que os alunos formassem quadrados, retângulos, triângulos, trapézios
e paralelogramos a partir da junção de duas ou mais peças do tangram, estimulando
desta forma a observação e a criatividade. O registro desta atividade foi feito no caderno
onde os alunos desenharam as figuras que encontravam ao unir duas ou mais peças do
tangram.
No terceiro dia foi aplicada uma oficina de pentaminó a estes alunos. O
pentaminó é um jogo que pertence à classe dos poliminós, assim como o
conhecidíssimo dominó e o tetraminó que originou o jogo “tetris”. O dominó é
composto por dois quadrados congruentes unidos pelos seus lados, o tetraminós é
formado pela união de quatro quadrados congruentes unidos pelos seus lados e que pode
ser construído de cinco formas diferentes, já o pentaminó é formado partir da união
pelos lados de cinco quadrados diferentes. Existem doze figuras de pentaminó diferentes
e o objetivo de se trabalhar a geometria com este jogo é levar os alunos a perceber a
forma e montar as peças do pentaminó a partir dos quadrados soltos e a seguir juntar as
doze peças do pentaminó como se fossem peças de um quebra-cabeça e formar
retângulos e quadrados maiores.
A seguir, na figura 6, temos as doze figuras que formam um jogo de pentaminó
acompanhada de seus nomes que se relacionam com as letras do alfabeto as quais se
aproximam do formato dessas peças.
Figura 6
59
Temos inúmeras maneiras diferentes de se montar as peças do pentaminó como
se fosse um jogo de quebra-cabeça. Ilustraremos, a seguir (figuras 7 e 8) com duas
destas maneiras de arranjar as peças do pentaminó como se fosse um quebra-cabeça.
Figura 7
Figura 8
Convém ressaltar que, como a soma das áreas das peças do pentaminó equivale a
60 quadradinhos e a figura 8 é um quadrado de área equivalente a 64 quadradinhos, esta
figura tem quatro quadradinhos que não foram preenchidos pelas peças do pentaminó,
que são os quadradinhos brancos dessa figura.
Estas atividades tiveram por objetivo estimular a criatividade e a observação dos
alunos, além de ser uma opção metodológica para na seqüência, abordar noções de
medidas de comprimento e medidas de área.
No quarto dia foram feitas as anotações em caderno que formalizaram alguns
dos conceitos tratados no decorrer da atividade.
Durante a seqüência didática, a professora não falou formalmente sobre ponto,
reta e plano, ela apenas foi usando os conceitos como vocabulário específico durante a
aplicação das oficinas, bem como as palavras: lado, vértice, ângulo e paralelos que
foram sendo apresentadas durante as oficinas sem a preocupação de uma formalização
dos conceitos ligados a estes termos. Segundo a professora, estes termos serão
formalizados numa etapa posterior quando os alunos tiverem um contato mais formal
com a geometria.
Após essas aulas, as três alunas tiveram uma aula onde resolveram a atividade 1
individualmente e depois a atividade 2, junto com os outros alunos da sua turma. Essas
atividades serão analisadas a seguir.
60
Descrição e Análise das Atividades Realizadas na
Pesquisa
Atividade 1
A Atividade 1 consta de duas partes. Na primeira parte temos um questionário
cujas perguntas estão relacionadas a seguir:
1. Você estudou até qual série quando criança?
2. Quando você estudou, antes de vir para o CIEJA, você teve aulas de geometria?
3. O que você se lembra destas aulas?
4. Você acha que esta matéria influenciou na sua decisão de parar de estudar?
Estas perguntas tinham como objetivo conhecer um pouco estes alunos e suas
experiências anteriores.
A segunda parte da atividade tem duas questões numeradas com os números 5 e
6 respectivamente, a primeira encontra-se a seguir com o número 5 e a segunda que tem
o número 6 será relacionada e analisada na seqüência.
5. Quais das atividades abaixo usam a geometria como ferramenta?
a) Desenhar a planta de uma casa.
b) Calcular a área de uma sala a ser ladrilhada.
c) Desenhar o mapa do bairro onde moro.
d) Verificar a possibilidade de um candidato a prefeito ganhar uma eleição.
e) Verificar a massa de um pacote de arroz.
f) Traçar as margens em uma folha de papel sulfite.
g) Calcular o juro cobrado por uma loja para a compra de um automóvel.
O objetivo destas perguntas era saber qual o conhecimento anterior dos alunos
em geometria e verificar se ele compreendeu e conseguiu identificar atividades que são
diretamente relacionadas à geometria, isto é, se o conceito de geometria passou a ter
significado para este aluno. Na pergunta número 5 era esperado que eles identificassem
como atividades ligadas à geometria os itens a, c e f.
A segunda questão da atividade era composta por um quadro onde os alunos
deveriam assinalar em cada item apresentado se este era relacionado com a idéia de
ponto, de reta ou de plano, conforme a tabela abaixo:
61
6. Relacione, na tabela abaixo, os itens que dão a idéia de ponto, reta ou plano,
respectivamente.
Item ponto reta plano
a) Um fio de alta tensão esticado.
b) O gramado de um campo de futebol.
c) O furo na orelha para colocar um brinco.
d) Uma praia deserta.
e) A quina de um armário.
f) A parede lateral de um prédio.
g) Um fio de linha esticado.
h) Uma formiga no chão, vista do alto.
i) Um prego fincado na parede.
j) O trilho do trem.
O objetivo desta questão era verificar se eles adquiriram a competência de
identificar nas atividades do seu dia-a-dia estes conceitos da Geometria.
Convém lembrar que estes alunos ainda não tinham a formalização dos conceitos
de ponto, reta e plano então, para acertar o que foi pedido na questão número 6 ele teria
que extrapolar o que lhe foi ensinado, ou seja, ele teria que ter prestado atenção nos
conceitos que foram apenas citados durante os encontros da seqüência didática
(oficinas).
A seguir faremos a análise da resposta das alunas que participaram das
atividades.
Análise da Atividade 1
A primeira atividade foi aplicada a três alunas do módulo III que haviam
participado das aulas de geometria junto com a sua turma. A atividade foi aplicada dois
meses após estas alunas terem participado das oficinas de geometria e também após elas
terem feito a atividade extra-classe sugerida pela professora.
Aluna 1
Esta aluna chegou ao CIEJA há três anos analfabeta e foi alfabetizada nesta
escola sendo que o primeiro contato com a geometria ocorreu nesse ano.
62
Na primeira parte da atividade, a aluna respondeu que as medidas de massa (5e)
eram uma atividade de geometria. Ela já estudou as medidas de massa neste ano e,
conforme observa Gómez-Granell (1997), deve ter acontecido com ela algo que é muito
comum acontecer, ela decorou as regras para trabalhar com as medidas de massa, mas
ainda não entendeu o significado destas medidas e as circunstâncias em que devem ser
usadas o que levou-a a confundir este conteúdo com geometria. Esta aluna marcou ainda
a questão (5g) que era um exemplo de atividade de matemática financeira como sendo
uma atividade de geometria, porém ela ainda não aprendeu matemática financeira de
maneira formal, conteúdo que ela conhecerá apenas no próximo ano, o conhecimento
que tem deste conteúdo é apenas da sua vida prática.
Na atividade 6, a aluna apontou a parede (6f) e a formiga (6h) como retas.
Novamente, Gómez-Granell (1997) assinala que, para esta aluna, ainda não ficou claro
qual o significado de reta, ela já conhece, mas ainda consegue relacionar o nome com a
figura.
Aluna 2
Esta aluna chegou alfabetizada ao CIEJA, mas seu primeiro contato com a
geometria foi neste ano.
Ao resolver a questão 5b que se trata de uma atividade ligada a áreas, como
sendo uma atividade de geometria, sendo que as questões desenhar o mapa do bairro
onde moro (5c) e traçar as margens em uma folha de papel sulfite (5f), não foram
considerados por esta aluna como sendo atividades ligadas à geometria.
Pela proposta de Van Hiele (1994) concluímos que esta aluna encontra-se ainda
no nível básico de sua alfabetização em geometria, ou seja, ainda não adquiriu as
competências mínimas nesta modalidade, já se observarmos o que diz Piaget, embora
ela já esteja na idade adulta ainda não está com as operações lógicas formais totalmente
desenvolvidas.
Na segunda parte da atividade, a aluna considerou o item praia deserta (6d) e o
item parede lateral de um prédio (6f) como sendo retas e considerou também o item
formiga no chão, vista do alto (6h) e o item trilho do trem (6i) como sendo planos. O
que apenas confirma a análise já feita no parágrafo anterior. Além disso, podemos ainda
acrescentar que segundo Gómez-Granell (1997) ela ainda não estabelece uma relação
entre o símbolo e o significado dessas figuras geométricas.
63
Aluna 3
Esta aluna chegou ao CIEJA alfabetizada, mas nunca tinha entrado em contato
com os conceitos de geometria até então. Seu primeiro contato com este conteúdo foi
neste ano.
Ao resolver a atividade, esta aluna não identificou a questão traçar as margens
em uma folha de papel (5f) como sendo uma atividade de geometria embora tenha
identificado adequadamente os outros itens da questão 5.
Já na questão 6, ela considerou o furo da orelha como sendo uma reta (6c) e a
quina do armário (6e) como sendo um plano.
Como ela acertou a maioria dos itens das questões desta atividade, podemos
notar que esta aluna encontra-se num nível melhor do que as alunas anteriores, já está
relacionando as figuras geométricas que conhece com os seus significados.
Apesar destas alunas nunca terem estudado geometria, consideramos que, pelo
fato das atividades terem sido apresentadas de maneira lúdica e por apenas uma semana,
elas obtiveram um bom desempenho, ainda que essa seja uma primeira aproximação
com as atividades geométricas.
Atividade 2
1. Observe as figuras abaixo e identifique as figuras da seguinte forma:
a) Pinte os quadrados de vermelho.
b) Pinte os retângulos de azul.
c) Pinte os paralelogramos de amarelo.
d) Pinte os triângulos de verde.
e) Pinte os círculos de laranja.
64
2. Agora responda às perguntas:
a) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
quadrado?
b) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
retângulo?
c) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
paralelogramo?
d) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
triângulo?
e) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
círculo?
65
f) Quais os números das figuras que ficaram sem pintar?
g) O que deveria ser modificado em cada uma destas figuras para que elas
pudessem ser pintadas? Quais as cores deveriam ser usadas em cada figura?
h) Que propriedades ou características você encontrou nas figuras que não foram
pintadas?
Esta atividade não foi aplicada apenas às três alunas citadas anteriormente, mas a
toda a turma em que elas estão inseridas, ou seja, dezenove alunos (as três mais
dezesseis alunos). A atividade acima também é composta de duas questões. Na questão
1 os alunos deviam identificar com cores diversas, figuras geométricas já conhecidas
num painel onde havia as figuras pedidas misturadas com algumas que ele ainda não
conhecia. O que se esperava ao final era que as figuras enumeradas com os números 1
(elipse) e 2 (trapézio) ficassem sem pintar e as demais receberiam cores de acordo com
as suas classificações.
Na questão 2 da atividade foi pedido aos alunos que relacionassem quais
propriedades haviam notado nas figuras da primeira parte que fizeram-nos decidir por
pintar ou não as figuras. Nesta parte da atividade, o objetivo da professora foi verificar
se os alunos conheciam as figuras apenas empiricamente pelos desenhos ou se sabiam
dizer quais as propriedades levam estas figuras a ter a classificação escolhida.
Perguntou-se também a respeito das figuras que ficaram sem pintar se eles as
conheciam o que deveria mudar nestas figuras para que elas pudessem ser pintadas com
alguma das cores.
Conforme dissemos anteriormente, esta atividade será analisada não só para as
três alunas que participaram da atividade 1, mas também para a turma em que estas
estão inseridas como um todo.
Algumas observações foram feitas durante a atividade quando a professora, com
olhar de pesquisadora, anotou algumas reações dos alunos e alguns comentários que
estes fizeram entre si ou ainda com a professora. Consideramos que essas anotações
proporcionaram evidências relevantes para a nossa investigação.
Relacionaremos as observações que a pesquisadora fez durante a aplicação da
atividade.
A pesquisadora notou que os alunos tinham dúvida se a mudança da posição
gerava novas figuras ou se, devido à manutenção das propriedades, as figuras
66
continuavam sendo as que eles já conheciam, esta reação é típica de um estado
egocêntrico conforme evidenciado por Piaget. Embora ele tenha estudado o
egocentrismo em crianças pequenas, ele se adapta bem para esses alunos que, segundo
Oliveira (1999a) embora adultos, não têm as mesmas características do adulto letrado
que freqüentou a educação básica na idade adequada. Podemos analisar esse fato
também relacionando com Oliveira (1999b) observando que esse aluno “pouco letrado”
ainda faz relações com a experiência cotidiana o que gera a impossibilidade de um
pensamento abstrato.
A maioria dos alunos não se lembrou de quais eram as propriedades de um
paralelogramo, inclusive alguns optaram por “chutar” alguma(s) da(s) figura(s) para ser
a representação do paralelogramo. Como a figura e as propriedades do paralelogramo
foram estudadas durante a oficina do Tangram e relatadas no caderno no quarto dia da
seqüência didática. Dessa maneira podemos concluir que, de acordo com Gómez-
Granell (1997), os alunos não conseguiram ainda passar da noção intuitiva e vincular os
nomes e as propriedades trabalhadas aos símbolos e imagens das figuras geométricas
planas. Isso nos leva a pensar que um fator importante é a necessidade que esses estudos
sejam aprofundados e que as atividades sejam diversificadas.
Alguns alunos pensaram que todas as figuras deveriam ser pintadas, ou seja, que
todas poderiam ser classificadas de alguma forma e que não haveria nenhuma figura que
tivesse alguma classificação diferente das sugeridas na atividade. Alguns alunos
comunicaram-se entre si e chegaram à conclusão de que poderiam deixar de pintar uma
ou mais figuras e voltaram atrás marcando que algumas figuras pintadas deveriam estar
sem pintura. Outros só perceberam, ao responder a questão 2 que isso poderia acontecer.
Neste caso podemos nos remeter à teoria quando ela diz do experimentar como
competência do pensamento geométrico. Estes alunos, na verdade, fizeram uma
suposição e a experiência mostrou que eles deveriam voltar atrás nas suas decisões.
Os alunos tiveram dificuldade em preencher a questão 2 desta atividade, quando
comparado com a questão 1. Muitos conhecem os nomes das figuras geométricas, mas
têm dificuldade em relacionar as propriedades de cada figura com a respectiva imagem
mostrando que eles não alcançaram a compreensão dos conceitos, pois não conseguem
descrever as figuras em termos de seus componentes ao estabelecendo uma relação
entre símbolos e os seus significados.
67
Freqüentemente os alunos pensaram que bastava a figura ser curva para ser
círculo, então a maioria deles considerou a figura número 1 (elipse) como sendo um
círculo. Nesse caso, nos remetemos à teoria de Piaget quando ele estuda as crianças e
percebe que estas representam todas as figuras como círculos. Estes alunos já estão na
idade adulta e já passaram dessa fase do desenvolvimento cognitivo, mas voltando a
Oliveira (1999a), são adultos diferentes do adulto letrado, nesse sentido os alunos
pesquisados parecem preservar dificuldades apontadas por essa autora quando cita as
investigações de Luria que aponta a falta de possibilidade de classificação categorial de
sujeitos “pouco letrados”.
O quadrado de número 10 está inclinado e os alunos tiveram dificuldade em
classificá-lo como sendo um quadrado. Alguns alunos não consideraram o triângulo
retângulo, figura 9, como sendo um triângulo, para estes alunos só será triângulo a
figura que tem o formato da figura 11 e observando a questão 2 notamos que os alunos
não reconhecem o triângulo como sendo uma figura de 3 lados, nesta situação podemos
novamente nos remeter à dificuldade que apresentam como sendo as mesmas figuras
algo que está numa posição diferente.
Observando as atividades das mesmas alunas que fizeram a atividade número 1,
temos:
Aluna 1
Na questão 1, a aluna acertou a pintura dos quadrados, com exceção da figura 10
que considerou um retângulo. Considerou o retângulo (8) como se fosse quadrado e
deixou os outros dois sem pintar. Ela considerou o trapézio (2) como paralelogramo e a
elipse (1) como círculo.
Percebemos que ela ainda confunde quadrado e retângulo, o que segundo Van
Hiele (1994) é normal nesta fase de maturidade geométrica e os outros problemas que
ocorreram na atividade dessa aluna são semelhantes aos já analisados na totalidade da
turma.
Na questão 1, a aluna parece ter compreendido a proposta no entanto, ao realizar
a questão 2 mostrou que ainda tem muitos problemas de alfabetização com dificuldades
para descrever as propriedades ou mesmo escrever de uma maneira inteligível. A aluna
está inapta para o tipo de atividade proposta pela professora e ainda que pudéssemos
68
esperar que a aluna, por estar no módulo III, já tivesse vencido a barreira do letramento,
isso não se verificou.
Podemos concluir, a partir das atividades, que essa aluna atingiu o objetivo de
reconhecer a maioria das figuras geométricas que lhe foram apresentadas mas que há
necessidade de melhorar o seu nível de letramento para conseguir expressar melhor o
que aprendeu.
Aluna 2
Todos os quadrados e retângulos foram pintados de vermelho que é a cor
solicitada para os quadrados, com exceção do número 10 que ficou sem pintar, o que
nos faz notar que essa aluna ainda confunde as propriedades dos quadrados e dos
retângulos, embora não os tenha confundido com outras figuras. Segundo Gómez-
Granell (1997), a aluna ainda confunde o significado dos símbolos que conhece.
A aluna devia pintar de amarelo o paralelogramo, mas não pintou nenhuma
figura com essa cor. Considerou o trapézio 2 como sendo um triângulo e a elipse 1
como sendo um círculo.
Na segunda parte, deu para notar que ela sabe que o quadrado tem 4 lados, o
triângulo tem 3 lados e o círculo é curvo, mas não usou um vocabulário de geometria
(lados, ângulos, etc.), como ilustramos a seguir:
Transcrição das respostas da aluna 2:
a) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
quadrado?
R: Eles têm quatro linhas retas.
d) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
triângulo?
R: Eles têm três linhas.
e) Quais as características que você observou nas figuras que identificou como
círculo?
R: Tem uma linha redonda.
Observando essa transcrição notamos que a aluna ainda está no nível básico de
maturidade geométrica (Van Hiele, 1994). Notamos aqui também um problema na
escrita.
69
Aluna 3
A aluna, a exemplo das anteriores, confundiu os quadrados e os retângulos. Ela
pintou adequadamente os quadrados, com exceção do número 10 (o que estava
inclinado) e pintou o retângulo 8 desta mesma cor, deixando os demais sem pintar. O
que se infere é que a aluna não percebeu que as dimensões do retângulo 8 não eram de
um quadrado, daí não conseguir identificar um retângulo, provavelmente, não
relacionou a figura com o seu nome. (Goméz-Granell, 1997)
Ela identificou adequadamente os triângulos e o círculo, mas identificou a elipse
como sendo círculo, a exemplo da maioria dos alunos e chamou o trapézio de
paralelogramo, deixando este sem pintar.
É interessante observar que na questão 2, a aluna identificou o quadrado como
sendo uma figura de quatro lados, sem colocar regras para esses lados, o que reforça o
que foi analisado no primeiro parágrafo, mas descreveu os retângulos como tendo 3
lados e o triângulo como tendo 5 lados, o que ficou incoerente quando se nota que
pintou os triângulos adequadamente. Essa atitude nos leva a analisar que,
provavelmente a aluna respondeu a questão 2 sem fazer correspondência com o que
respondeu na questão 1, isso nos remete à possibilidade de que a aluna não consegue
pensar em como se resolve um problema, quer dizer que ela não conseguiu apreender os
processos mentais estão envolvidos na elaboração da solução da atividade.
Já o círculo, a aluna identificou-o como sendo uma bola, o que mostra coerência
com o que fez na questão 1.
Segundo Oliveira (1999a), o ser humano mantém um bom nível de competência
cognitiva até uma idade avançada (acima dos 75 anos) e que o que determina o nível de
competência cognitiva destas pessoas são: o meio em que elas vivem e as interações que
têm com este meio. Desta forma, podemos concluir que, ainda de acordo com essa
autora, essa aluna não está preparada para atividades em que é necessário o controle da
produção cognitiva e tão pouco para procedimentos metacognitivos sendo que a escola é
um bom caminho para a melhoria dessa situação.
A seguir faremos mais algumas considerações sobre esta atividade que
consideramos relevantes para o nosso trabalho analisando as respostas da turma
completa, ou seja, os 19 alunos aos quais foi aplicada a atividade.
70
Análise geral dos alunos
Todos os alunos souberam reconhecer o círculo, mas onze deles classificaram a
elipse também como círculo, isto nos leva a verificar que para estes alunos, toda figura
curva é círculo. Isto deve ter ocorrido pelo fato de a única figura curva que foi
apresentada a estes alunos ter sido o círculo e que, portanto, eles concluíram, a partir do
que conheciam, que toda figura curva é um círculo, ou seja, eles não tiveram uma
contraposição, para poder diferenciar as figuras.
Podemos considerar, também, que se foi dito para eles que todo polígono de três
lados é um triângulo, eles concluíram que toda figura curva seria um círculo. Pela
experiência da pesquisadora como professora de EJA, os alunos desta modalidade estão
sempre solicitando regras que generalizem as atividades propostas pela professora.
Cinco alunos não conseguiram reconhecer os dois polígonos de três lados como
sendo triângulos. Ficou claro que, para estes, ao se mudar a posição do triângulo, ele
passa a ser uma figura diferente. Estes alunos conhecem a figura do triângulo mas ainda
não relacionam com a definição de ser um polígono de três lados, então para eles só é
triângulo aquele que tem o formato que eles conhecem da sua vida cotidiana, ou seja,
para eles ter três lados não implica em ser triângulo.
Dos dezesseis alunos, treze souberam enunciar as características do quadrado,
sendo que um deles deu como característica o formato de caixa e alguns trocaram a
palavra “lado” por “linha” ou ainda por “parte”. Os outros três não souberam dar
nenhuma característica que tivesse relação com as características de um quadrado. Os
alunos reconhecem os quadrados, mas para doze deles, o quadrado que não tem a base
na horizontal não é quadrado, a exemplo disso temos o quadrado de número 10 que
como todo quadrado é também um losango, nesse sentido, os alunos podem não tê-lo
colorido em virtude de ter imaginado de que tratava apenas de um losango.
Novamente, neste caso, o símbolo (quadrado inclinado) levou ao significado que
eles conheciam da vida prática (losango) o que não é totalmente errado pelo fato da
figura ser também um losango além de ser quadrado, mas esse conceito, de acordo com
Van Hiele (1994) ainda não está ao alcance do desenvolvimento do pensamento
geométrico desses alunos.
Para apenas um aluno, o retângulo também se chamava quadrado. Mas, nenhum
deles chamou algum quadrado de retângulo.
71
Apenas seis alunos reconheceram o paralelogramo como tal, mas nove alunos
reconheceram outras figuras como sendo paralelogramos e quatro alunos não
reconheceram nenhuma figura como sendo paralelogramo. O quadrado, o triângulo e o
retângulo apareceram em quase todas as oficinas aplicadas a esses alunos, mas o
trapézio e o paralelogramo apareceram somente na oficina do tangram e não deve ter
sido suficiente para que estes alunos se familiarizassem com estas figuras. Eles devem
ter considerado tanto as figuras como os nomes como sendo figuras até então
desconhecidas.
Embora a maioria dos alunos não saiba relacionar quais as propriedades de cada
figura, quatro deles usaram a expressão “lados dois a dois paralelos” para o
paralelogramo, relacionando com o que foi dito pela professora na oficina do tangram,
mostrando que estão no nível 1 da escala elaborada por Van Hiele (1994).
Uma das dificuldades destes alunos foi enumerar as propriedades das figuras.
Alguns diziam que o quadrado tem quatro partes iguais, um outro aluno disse que o
quadrado tem formato de caixa, o retângulo forma de tapete e o triângulo forma de um
pinheiro, inclusive este aluno não considerou o triângulo retângulo como sendo um
triângulo e nem o quadrado inclinado como quadrado evidenciando uma dificuldade de
criar categorias para as figuras.
Podemos concluir que obtivemos um resultado dentro do esperado uma vez que
estes alunos estão estudando geometria pela primeira vez e que ainda não houve tempo
para que eles atinjam uma maturidade no assunto.
Segundo Gómez-Granell (1997) é necessário algum tempo e alguma
familiaridade com o assunto estudado para que a geometria passe a ser uma linguagem
corrente para esses alunos.
Se observarmos as tentativas desses alunos em associar os conhecimentos que
possuem com as respostas que apresentaram, podemos perceber a grande proximidade
que ainda existe em categorizar as figuras segundo sua experiência cotidiana. Percebe-
se que, como adultos “pouco letrados”, suas respostas, diferentemente das crianças em
idade escolar adequada, têm vínculo com todo o desenvolvimento social e ambiental e
que trazem esta experiência como parte de suas possibilidades.
72
Dificuldades e Possibilidades para o Ensino da
Geometria
Esta pesquisa foi desenvolvida com o propósito de investigar as dificuldades
encontradas no ensino da matemática, em particular da geometria, na EJA, e sugerir e
analisar novas possibilidades para as aulas de Geometria nessa modalidade de ensino.
Dessa forma relataremos a seguir, em linhas gerais, as principais dificuldades
encontradas no decorrer da pesquisa e sugerir algumas possibilidades com uma breve
análise da relevância de cada uma delas.
Dificuldades
As dificuldades encontradas nos alunos são típicas da inserção do adulto “pouco
letrado” no universo escolar. Observou-se problemas de classificação, sistematização e
controle da atividade cognitiva. Estes alunos até conhecem as figuras geométricas, mas
têm muita dificuldade em relacionar suas propriedades bem como relacionar as figuras
entre si.
Notou-se ainda que ao relacionar uma caixa (três dimensões) e um quadrado
(duas dimensões) como tendo o mesmo formato a dificuldade de representação das três
dimensões. Compreendemos que esta dificuldade está relacionada com os processos
metacognitivos ainda em construção nesses sujeitos.
Um fator importante a ser considerado é que estes alunos que estão hoje na EJA
iniciaram seus estudos na época em que estava em vigor a LDB de 1971 (lei 5692/71) e
que orientava o ensino da matemática para ser feito usando-se como base a teoria dos
conjuntos e desta forma os livros didáticos que norteavam os planejamentos dos
professores desta época introduziam a geometria usando a teoria dos conjuntos e as
demonstrações formais, além de deixá-la para o final dos livros didáticos. Desta forma a
maioria desses alunos chegou sem conhecer geometria.
Possibilidades
Além das possibilidades já citadas no texto (dobraduras, tangram e poliminós),
vamos sugerir outras atividades que podem facilitar o ensino e a aprendizagem dos
conceitos geométricos sempre analisando a sua conveniência e relevância. São elas:
73
Trabalho com massa de modelar
Com massa de modelar (ou argila), os alunos podem reproduzir diversos objetos
que lembram formas geométricas. Enquanto trabalham com este material cabe ao
professor estimulá-los a observar características de cada uma destas formas, as
diferenças e/ou pontos em comum, ou ainda verificar que alguns objetos vão nos
remeter a figuras bidimensionais e outros a figuras tridimensionais.
Esta atividade tem como principal propósito introduzir as figuras geométricas e
suas características principais de uma forma lúdica e que remete ao cotidiano do aluno
facilitando a introdução dos conceitos a serem feitos posteriormente.
Jogos de classificação
Nesta modalidade o professor apresenta aos alunos objetos tridimensionais
confeccionados com cartolina e algumas figuras geométricas planas também
confeccionadas com este material e estimula-os a classificar estes objetos por
propriedades comuns ou não-comuns, levando-os a refletir sobre as características de
cada uma destas figuras geométricas.
Esta atividade tem como objetivo levar o aluno a perceber as características e
propriedades das figuras geométricas por meio da observação de figuras pré-
construídas. Além disso, pretende levá-lo a sistematizar estas características com a
introdução do vocabulário apropriado. Outro objetivo é levá-lo a identificar figuras de
duas e de três dimensões.
No sentido de formalizar os conceitos, uma atividade posterior, poderia ser uma
busca em livros didáticos ou ainda na internet sobre as características dessas figuras e
seus nomes.
Como assinalamos anteriormente, com esta atividade, o aluno vai complementar
os conceitos vistos nas atividades anteriores reforçando sua sistematização, e além disso
há a possibilidade de promover a autonomia do aluno uma vez que ele poderá construir
conceitos próprios a partir da pesquisa e depois participar de um debate entre os colegas
que usaram fontes diferentes das suas. De acordo com Luria (apud Oliveira, 1999b) o
trabalho coletivo possibilitará o desenvolvimento do pensamento descontextualizado.
74
Confeccionando painéis e cartazes
Após a participação de alguma oficina aplicada pelo professor ou de ter feito
uma pesquisa sobre o assunto, os alunos deverão confeccionar cartazes e/ou painéis
usando as figuras que tomaram conhecimento explorando o uso destas figuras para
representar figuras ligadas ao seu cotidiano que remetem às figuras geométricas já
estudadas.
Uma atividade que de nossa experiência tem sido bastante motivadora é a
apresentação de filmes paradidáticos seguida da proposta de elaboração de cartazes e
painéis que façam referência a elementos geométricos presentes no filme assistido.
O objetivo específico dessa atividade é levar os alunos a identificar elementos
geométricos em figuras já conhecidas e usadas por eles no seu dia-a-dia.
Ampliando as possibilidades dessa atividade objetivamos também aumentar o
universo cultural dos alunos, lembrando que os principais objetivos do CIEJA são: a
inserção no mundo a cultura e no mundo do trabalho.
Confeccionando figuras tridimensionais
Nesta atividade o professor deve apresentar, numa primeira etapa, figuras
tridimensionais confeccionadas com cartolina e estimulá-los a fazer a planificação
destas figuras sem desmontar as já existentes conservando medidas e formatos.
Numa segunda etapa, eles deverão montar estas figuras a partir das planificações
já feitas e verificar se realmente conseguiram chegar na planificação correta das figuras,
sempre com o estímulo do professor no sentido de classificá-las pelos nomes e pelas
propriedades.
O objetivo desta atividade é estimular a observação e levar o aluno a passar do
bidimensional para o tridimensional e vice-versa.
Atividades no computador com softwares de geometria
Existem hoje no mercado vários softwares que ajudam o aluno a aprender
geometria, entre eles o Cabri-Geometry, Sketchpad, Cinderella, Dr Geo, Geoplan,
Geospace, Euklid, Wingeom, S-logo, Poly, Shapari, Geometria Descritiva, Régua e
Compasso e outros. Alguns destes softwares são importados e devem ter seus direitos
de uso comprados pela escola, mas alguns deles são em português, elaborados pelas
universidades brasileiras e de uso livre. Entre eles destacamos o WinGeon que foi feito
75
pelos professores do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo
e que é de uso livre.
O objetivo desta atividade, mais sofisticada que as anteriores é colocar a
tecnologia a serviço da aprendizagem e é indicada para alunos que já dominem um
pouco a informática e o idioma inglês, já que a maioria dos softwares não são em
português, apesar de que o S-logo pode ser usado até com alunos em fase de
alfabetização uma vez que seu uso é muito simples e ajuda muito a localização espacial
dos entes geométricos.
Atividades usando o Geoplano
O geoplano é um objeto que pode ser facilmente construído, até pelos próprios
alunos com uma madeira e pregos e que, com o auxílio de elásticos pode ajudar os
alunos a conhecer as figuras geométricas e suas propriedades.
Esta atividade é especialmente indicada por ser de fácil confecção e manuseio e
ajuda muito na construção do conhecimento geométrico.
76
Perspectivas Futuras
Considerando o caráter etnográfico dessa pesquisa, os resultados obtidos e o fato
de a geometria ser deixada para segundo plano no Ensino Fundamental e, em particular
na EJA e sendo este um trabalho inicial, consideramos que seria interessante a
continuidade dessa pesquisa.
77
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Anexo I
Dados do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
Educacionais (INEP) Sobre Analfabetismo
Os níveis de alfabetismo do INAF 2001 – Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional
– mostram que as habilidades básicas de leitura e escrita (em boa parte desenvolvida nos
processos de escolarização) estão desigualmente distribuídas entre a população
brasileira e que essa desigualdade está associada a outras formas de desigualdade e
exclusão social.
Assim:
- Analfabeto absoluto - 9% da população de 15 a 64 anos, a maioria não completou
nenhuma série escolar, pertencem às classes D e E (91%), moram em municípios do
interior no nordeste e sudeste, faixa etária predominante 35 a 49 anos (38%).
- Nível 1 de alfabetismo: capacidade de localizar informações em textos muito curtos,
ex localizar títulos ou datas: 31 % têm menos de quatro anos de escolaridade, pertencem
às classes E e D (70%) e C (26 %). A maioria vive no sudeste, 19 % têm de 14 a 24
anos (concentração de jovens).
Não têm demanda de leitura no ambiente de trabalho, 4% utilizam computador.
- Nível 2 de alfabetismo: capacidade de localizar informações em textos curtos e de
extensão média. 44% têm o Ensino Fundamental completo e apenas 7% têm menos de 3
anos de estudo.
Pertencem às classes E, D (47 %) e C (37%). Nesse grupo predominam os jovens 37%
têm entre 15 e 24 anos. No ambiente de trabalho lêem mais de um tipo de documento,
15 % utilizam computador.
- Nível 3 de alfabetismo: lê textos longos, orienta-se por subtítulos, compara textos, faz
inferências e sínteses. 43% têm Ensino Médio e 23% o Ensino Superior, pertencem às
classes E e D (27%), classe C 39% e classes A e B (34%), 44% são jovens de 15 a 24
anos. No ambiente de trabalho lêem mais de um tipo de documento, 41% utilizam
computador.
Estatísticas impactantes – Mapa do Analfabetismo – INEP/2003
• Taxa de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais 13,6 % (73ª posição
no ranking internacional, inferior à da Argentina, Chile, Colômbia, México, Costa
Rica).
• Taxa de analfabetos funcionais (quatro anos de escolarização) 27,8%.
• Analfabetos absolutos e analfabetos funcionais – 50 milhões de brasileiros.
Embora as taxas do analfabetismo tenham caído progressivamente no último século, os
números absolutos aumentaram. Em 2000 havia um número maior de analfabetos do
que na década de 60 e quase duas vezes e meia o que havia no início do século 20. Do
ponto de vista da mobilização de recursos o que interessa é o número absoluto de
analfabetos e isto nos impõe uma grande tarefa.
Políticas educacionais frágeis no combate ao analfabetismo
• Ações marcadas pela descontinuidade. Tentativas para erradicar o analfabetismo
acontecem desde 1947 – Campanha de Educação de Adolescentes e Adultos - governo
Gaspar Dutra. Entre campanhas, movimentos e programas foram mais de dez tentativas,
pouco eficientes de combater o analfabetismo, como comprovam as estatísticas.
• Propostas salvacionistas e improvisadas. A cada governo um novo batismo de
programas de alfabetização.
Se analisarmos a expansão do sistema constata-se que a ampliação do
atendimento escolar teve forte impacto no processo de desaceleração do analfabetismo,
sobretudo nas faixas etárias mais jovens. Por outro lado, o ganho na escolaridade média
da população, foi insuficiente para garantir-lhes o ensino fundamental completo. Na
faixa de 10 a 19 anos 7,4% são analfabetos e 35% dos analfabetos já freqüentaram a
escola (fracasso do sistema escolar brasileiro).
Anexo II
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Serviço Público Federal
Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Prezado(a) Sr.(a)
O projeto intitulado “Dificuldades e Possibilidades no Ensino da Matemática
na EJA”, é uma pesquisa aprovada pelo CEP (Comitê de Ética de Pesquisa) do CEFET-
SP, orientado pela Profª .Ms Wania Tedeschi e conduzido pela aluna Elisabete
Teresinha Guerato, que tem como objetivo geral investigar o ensino da matemática, em
particular da geometria, na EJA e leva em consideração a dificuldade que o aluno adulto
tem para sistematizar a matemática que usa no seu dia-a-dia nas aulas e nas atividades
sugeridas pelos professores.
Durante a atividade será entregue um questionário, no qual o entrevistado terá livre
arbítrio para escolher se quer ou não responder. A atividade que será realizada é
considerada sem risco. Porém, se este procedimento gerar desconforto, constrangimento
ou outra situação negativa qualquer, a participação poderá ser interrompida sem
qualquer prejuízo.
O entrevistado ficará livre para interromper a qualquer momento sua participação na
atividade de campo. Essa participação na atividade de campo é voluntária, sendo que
não haverá qualquer forma de remuneração.
Os dados pessoais serão mantidos em sigilo e os resultados gerais obtidos através da
atividade de campo serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho,
expostos acima, incluída sua participação em sala de aula ou congressos.
O entrevistado poderá entrar em contato com o responsável pela atividade de campo,,
Profª .Ms Wania Tedeschi sempre que julgar necessário através do telefone: (11) 2763-
7546 e/ou Elisabete Teresinha Guerato pelo telefone (11) 2763-7546, ou com o Comitê
de Ética e Pesquisa do Cefet-SP pelo telefone: (11) 2763-7546.
Este Termo de Consentimento é feito em 2 (duas) vias, de maneira que uma
permanecerá em meu poder e a outra com a aluna responsável e obtive todas as
informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a minha participação
na referida atividade de campo.
Eu___________________________________________________ ,_______anos
RG__________________, residente a __________________________________,
telefone ( )________________, abaixo assinado, dou meu consentimento livre e
esclarecido para participar como voluntário(a) da atividade de campo supracitada, sob
responsabilidade da aluna Elisabete Teresinha Guerato, estudante do Centro Federal de
Educação Tecnológica de São Paulo, e da Profª .Ms Wania Tedeschi, professora do
curso de Pós-Graduação.
São Paulo, ______ de ____________________ de 2007.
__________________________________________
Nome e/ou assinatura do voluntário
_____________________ ________________________
Profª .Ms Wania Tedeschi Elisabete Teresinha Guerato
End.: Rua Pedro Vicente, 625 RG.: 10.103.871
e-mail: [email protected] e-mail:[email protected]
Tel.: (11) 2763-7576 Tel.: 2763-7576
Anexo III
Carta de encaminhamento
Ao Prof. ___________________
Presidente do Comitê de Ética em Pesquisa envolvendo Seres Humanos do CEFET -SP.
Venho por meio desta encaminhar o projeto de pesquisa intitulado:
“Dificuldades e Possibilidades no Ensino da Matemática na EJA” para apreciação deste
douto Comitê de Ética.
São Paulo, ___ de __________ de _____.
_________________________
Professor Ms. Wania Tedeschi