Endomorfismos de M (nxn, K) Que Preservam PSsto 1

PEDRO MENDES

O problema cuja soluqfio apresentamos 6 o de caracterizar os endomorfismos do espaqo M (nxn, K), das matrizes nxn s6bre um corpo K, que preservam p6sto 1.

Def.: Diremos que A~ . . . . . Am e M (nxn, K) satisfazem h propriedade (*) se 1. °) s~o linearmente independentes 2. ° ) ct A~ + . . . + Cm A , , s G I ( K " ) sempre que c i # 0 para algum i.

Os resultados obtidos s~o os seguintes: I ) Um endomorfismo T de M (nxn, K) preserva p6sto 1 se e s6mente se 6 de

um dos tipos: a) TX = AXB b) TX = A' XB, com A, B e G1 (K");

c) WX = Z A~Xi [cl . . .c .] i = 1

( i = 1

onde c i # 0 para algum i, Xi indica a i-~sima coluna de X e A 1 . , . A, ~ M (nxn, K) satisfazem h propriedade (*).

II) Se K 6 algbbricamente fechado, ou, se K ~ realmente fechado e n ~ impar ent~o nao existem as transformaq6es dos tipos c) e d).

III) Se T preserva p6sto 1 e p6sto r para algum r > 1 entao T ~ de um dos tipos a) ou b).

Finalmente damos um exemplo de matrizes que satisfazem ~t propriedade (*) no caso n = 2 e K realmente fechado;

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A ~ = I a d l ; A 2 = I b - a I corn a d - b c # 0 .

Refer~ncias

J. Dieudonn~- Sur une G6n6ralization du group orthogonal 5. quatre variables - Archiv d. Math., 1. (1948), 282-287.

M. Marcus; N. B. Moyls - Lin. transf, on algebras of Matrices. Canad. J. Math. I1 (1959), 61-66.

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