endo morfi s mos

Capítulo 1

Endomorfismos

1.1 Elementos básicos

Definição 1. Um endomorfismo L : V → V é uma transformação linear entre umespaço vetorial V e si proprio. O espaço vetorial dos endomorfismos ou HomK(V, V)é chamado de EndK(V) ou End(V) quando não gera ambiguidade.

Um endomorfismo é uma transformação linear e como tal pode ser representadaem forma matricial. No específico se E = {ei}1≤i≤n é uma base do espaço V, o endo-morfismo L pode ser representado na base E dà matriz A ∈Mn

n(K) formada assim:

E [L]E = A = ([L(e1)]E , [L(e2)]E , .., [L(en)]E ) ∈Mnn(K) (1.1.1)

Onde[L(e1)]E indica a representação do vetor L(e1) na base E . Portanto dado umvetor v ∈ V onde v = ∑

i=1..nξ iei podemos escrever:

Lv = E [L]E [v]E =

a1

1 a12 . . . a1

na2

1 a22 . . . a2

n...

... . . . ...an

1 an2 . . . an

n

ξ1

ξ2

...ξn

(1.1.2)

1.1.1 Mudança de coordenadas

Seja F = {fi}1≤i≤n uma nova base do espaço V, e CE F = (cij) a matrix com as coorde-

nadas dos vetores da base E no respeito da base F ou seja:

ej = ∑i=1..n

cijfi (1.1.3)

Chamamos então de CFE = C−1E F = (di

j) estamos interessados na representação doendomorfismo L na base F ou seja em F [L]F .

F [L]F = B = (CFE [L(CE F e1)]E , .., CFE [L(CE F en)]E ) = C−1FE ACE F (1.1.4)

Portanto temosLv = E [L]E [v]E = F [L]F [v]F (1.1.5)

Definição 2. (ENDOMORFISMOS SIMILARES) Dois endomorfismos lineares representa-dos por dois matrizes A ∈ Mn

n(K) e B ∈ Mnn(K) dizem-se similares se existe uma

matriz M ∈Mnn(K) e não singular tal que

A = M−1BM (1.1.6)

1

CAPÍTULO 1. ENDOMORFISMOS 2

1.1.2 Espaços invariantes, valores e vetores próprios

Definição 3. (SUB-ESPAÇO INVARIANTE) Um sub-espaço H ⊂ V diz-se A-invariante sepor cada v ∈ H o vetor Av ∈ H.

Um caso especial é contituido pelos sub-espaços invariantes de dimensão um quesão chamados de vetores próprios.

Definição 4. (VALOR E VETOR PRÓPRIO) Dado A ∈ End(V) diz-se vetor próprio de Aum vetor v ∈ V tal que Av = λv. O valor λ chama-se de valor próprio associado ao vetorpróprio.

1.1.3 Polinômio caraterístico

A investigação sobre os vetores próprios leva a considerar a equação chamada de equa-ção caraterística:

(A− λI)v = 0 (1.1.7)

Para que a equação possa ser resolvida com v 6= 0 precisamos que A− λI seja umaaplicação singular ou seja que

det(A− λI) = 0 (1.1.8)

Definição 5. Seja A ∈Mnn(K), o polinômio pA(λ) = det(A− λI) é chamado de polinô-

mio caraterístico.

Teorema 6. Sejam A e B matrizes similares =⇒pA(λ) = pB(λ)

Demonstração. det(B − λI) = det(M−1AM − λM−1M) que pela regra de Binêt dosdeterminantes é ugual a det(M−1)det(A− λI)det(M) = det(A− λI).

Resulta bem definido falar de polinômio caraterístico de um Endomorfismo.Agora podemos pensar em K como um campo algebricamente fechado, podemos

então escrever o polinômio caraterístico de um endomorfismo A como:

pA(λ) = (λ− λ1)m1 . . . (λ− λk)

mk (1.1.9)

Observação 7. Podemos observar que por cada λi a equação

(A− λi I)v = 0 (1.1.10)

pode ser resolvida enquanto o determinante det(A− λi I) é nulo. Isso significa quepor cada λi existe pelo meno un vetor próprio vi ∈ Hi ⊂ V.

• Os λi com i = 1..k são os valores próprios do automorfismo.

• Os mi com i = 1..k são as multiplicidades algebricas dos autovalores λi.


1.2 Forma de Jordan

O objectivo desse capítulo é demonstrar o teorema seguinte:

Teorema 8. (FORMA CANÓNICA DE JORDAN): Seja V espaço vetorial com n = dim(V) <∞. Seja A ∈ End(V) então há uma decomposição de V em suma direta de sub-espaços A-invariantes:

V = V1 ⊕ ...⊕Vk (1.2.1)

onde para cada Vi existe uma base Bi ={

ej}

1≤j≤nionde ni = dim(Vi) e{

(A− λi I)e1 = 0(A− λi I)ej = ej−1 1 < j ≤ ni

(1.2.2)

Observação 9. Se V é decomponível em V = V1 ⊕ V2 e B1 e B2 são bases de V1, V2então a base B = B1 ∪B2 é uma base de V e nessa base um endomorfismo A toma aseguinte forma matricial

[A]B =

(A11 A12A21 A22

)(1.2.3)

onde A12 = 0 se e solo se V2 é invariante por A e A21 = 0 se e solo se V1 é invariantepor A.

Corolário 10. Na base de B = ∪1≤i≤k

Bi o endomorfismo A tem uma representação matricial:

[A]B =

J1 0 . . . 00 J2 0... . . . ...0 0 · · · Jk

(1.2.4)

onde os Ji são chamados blocos de Jordan:

Ji =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 0

0 0 λ. . . ...

...... . . . 1

0 0 0 · · · λ

(1.2.5)

Para demonstrar o Teorema iremos encontrar a base da forma de Jordan em pri-meiro lugar no caso de V indecomponível e em segundo lugar no caso geral.

1.2.1 Forma de Jordan no caso de V um espaço indecomponível

Antes de análisar o caso geral, vamos considerar o caso em que V seja indecomponível.Seja λ um valor próprio de A e seja Bλ = (A− λI). Consideramos Ni(λ) = ker(Bi

λ)temos uma cadeia ascendente

N1(λ) ⊂ ... ⊂ Nm(λ) ⊂ ... (1.2.6)

Dado que a dimensão de V é finita, há um q tal que Nq(λ) = Nm(λ) por cadam > q.


Definição 11. Un vetor chama-se de vetor próprio generalizado de ordem q se

v 6= 0(A− λI) v 6= 0

...(A− λI)q−1 v 6= 0(A− λI)q v = 0

(1.2.7)

Lema 12. Nas hipóteses precedentes V = ker(Bqλ)⊕ Im(Bq

λ)

Demonstração. Em primeiro lugar precisamos demonstrar que ker(Bqλ)∩ Im(Bq

λ) = {0}e depois o teorema segue pelo Rank-Nullity Theorem. Vamos supor que v ∈ ker(Bq

λ) ∩Im(Bq

λ) e demonstramos que é o vétor nulo. Dado que v ∈ ker(Bqλ) temos que Bq

λv = 0,também temos que dado que v ∈ Im(Bq

λ) então v = Bqλw. Isso que dizer que Bq

λBqλw =

B2qλ w = 0 ou seja que w ∈ ker(B2q

λ ). Mas dà construção precedente sabemos queker(Bq

λ) = ker(B2qλ ) então w ∈ ker(Bq

λ) o que quer dizer que v = Bqλw = 0.

Tendo demonstrado o Lema, agora sabemos que cada espaço V pode ser decom-posto na forma V = ker(Bq

λ) ⊕ Im(Bqλ), mas dado que V era indecomponível pelas

hipóteses, isso quer dizer que ou V = ker(Bqλ) ou V = Im(Bq

λ), mas dado que hápelomeno un vetor proprio associado a λ então ker(Bq

λ) 6= {0} ou seja ker(Bqλ) = V.

Então pelos V indecomponíveis temos que Bλ = (A− λI) é nilpotente ou seja queApode ser escrita como soma de uma matriz diagonal e de uma nilpotente:

A = λI + Bλ (1.2.8)

Escolhendo v vetor próprio generalizado de ordem q sobre V (que é sempre possí-vel escolher dado que ker(Bq

λ) 6= ker(Bq−1λ )), a cadeia chamada cadeia de Jordan: B ={

v, (A− λI) v, ..., (A− λI)q−1 v}

forma uma base de V e nessa base o endomorfismoA assume a forma de um bloco de Jordan:

[A]B =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 0

0 0 λ. . . ...

...... . . . 1

0 0 0 · · · λ

(1.2.9)

1.2.2 Forma de Jordan no caso geral

Para poder completar a demonstração precisamos demonstrar que seja possível encon-trar uma decomposição de Jordan em qualquer espaço vetorial V.

Procedemos por induço sobre a dimensão. Se dim(V) = 1 a demonstração é trivial.Supondo a hipótese valida por dim(V) = n− 1 vamos demonstrar que está valida pordim(V) = n.

Se V é indecomponível, então não há nada de demonstrar porque já tratámos ocaso em que V seja indecomponível. No caso em que V seja decomponível, podemosentão decompor V = W1 ⊕W2 onde W1, W2 são sub espaços A-invariantes com 0 <dim(W1), dim(W1) < n . Pela hipótese indutiva temos então uma forma de Jordan peloendomorfismo A sobre W1 e W2 dada nas bases B1 e B2. Portanto a base B = B1∪B2e a base que queríamos encontrar e que completa o teorema.

Capítulo 2

Espaços Normados e Operadores

2.1 Espaços de Banach

2.1.1 Espaços normados

Definição 13. Seja V um espaço vetorial sobre um campo K = R, C. Chama-se normasobre V uma aplicação || · || : V −→ R+ = [0, ∞) com as condições seguintes:

α) ||λv|| = |λ|||v||, λ ∈ K, v ∈ V (2.1.1)β) ||v + u|| ≤ ||v||+ ||u|| v, u ∈ V (2.1.2)γ) ||v|| = 0⇐⇒ v = 0 ∈ V (2.1.3)

Observação 14. Dada || · || norma, podemos definir uma distância d(·, ·) : V×V→ R+

obtida com a relação:d(v, w) = ||v−w|| (2.1.4)

Definição 15. O conjunto de um espaço vetorial V e uma norma || · || chama-se deespaço normado.

Uma aplicação A : V −→ W entre espaços vetoriais normados chama-se de opera-dor.

Um operador bijectivo entre espaços de Banach tal que ||Av||W = ||v||V diz-se umisomorfismo isometrico.

2.1.2 Espaços de Banach

Seja uma sucessão {vn}, a sucessão diz-se convergente a v0 se vn −→ v0 se limn→∞

d(vn, v0) =

0, diz-se uma sucessão de Cauchy se limn→∞

d(vm, vn) = 0.

Definição 16. Seja um espaço normado V, o espaço diz-se Espaço Banach se o espaçovetorial V é compledo no respeito da metrica d(·, ·) induzida pela norma || · || ou sejase em (V, || · ||) todas as sucessões de Cauchy são sucessões convergentes.

Duas normas || · ||A e || · ||B são equivalentes se induzem a mesma topologia defi-nida das metricas dA(v, w) = ||v−w||A e dB(v, w) = ||v−w||B. Esso quer dizer queuma sucessão vn −→ v0 é convergente com a metrica dA se e só se é convergente coma metrica dB.

5

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS NORMADOS E OPERADORES 6

Definição 17. Dizemos que as normas || · ||A e || · ||B são equivalentes se há c1, c2 ∈ R+

tal quec1|| · ||B ≤ || · ||A ≤ c2|| · ||B (2.1.5)

Teorema 18. Se dim(V) < ∞, todas as normas são equivalentes

Demonstração. Se dim(V) < ∞ então V é isomorfo a Rn portanto é suficiente demons-

trar que todas as normas de Rn são equivalentes à norma euclidea |v| =√

∑i=1..n

(vi)2.

||v|| ≤ |v1|||e1||+ ... + |vn|||en|| ≤(√

∑i=1..n

||ei||2)|v| (2.1.6)

Então a aplicaçãoRn 3 v −→ ||v|| ∈ R (2.1.7)

e continua e dado que Sn−1 = {v ∈ Rn| |v| = 1} é compacto então a aplicação

Sn−1 3 v −→ ||v|| ∈ R (2.1.8)

tem um minimo positivo µ. Portanto se v ∈ Rn e v 6= 0 temos∥∥∥∥ v|v|

∥∥∥∥ ≥ µ (2.1.9)

e dà linearidade das normas obtemos

|v| ≤ 1µ||v|| ∀v ∈ Rn (2.1.10)

Corolário 19. Os espaços Kn são espaços de Banach

2.1.3 Normas canónicas

Seja v ∈ Rn podemos definir || · ||p com p ∈ [1, ∞) a norma:

||v||p =

(n

∑i=1

|vi|p)1/p

(2.1.11)

e iremos indicar com || · ||∞ a norma:

||v||∞ = sup {|vi| : 1 ≤ i ≤ n} (2.1.12)

Definizione 20. Sejam p, q ∈ R e p, q > 1, p e q dizem-se conjugatos segundo Hölder se

1p+

1q= 1 (2.1.13)

nesse caso as seguintes formulas são validas:

||w||q = max{(w, v) : v ∈ Rn, ||vp|| ≤ 1

}(NORMAS CONJUGATAS)(2.1.14)

|(v, w)| ≤ ||v||p||w||q (DE HÖLDER) (2.1.15)||v + w||p ≤ ||v||p + ||w||p (DE MINKOWSKY) (2.1.16)


2.2 Os Espaços B(V, W)

Nessa secção iremos focar sobre alguns espaços que surgem considerando os opera-dores lineares e limitados entre espaços vetoriais normados. Antes de proceder naanalíse é preciso especificar que neste conteste os operadores limitados são os mesmosdos operadores continuos. Na verdade é valido so seguinte teorema:

Teorema 21. Sejam V, W espaços vetoriais normados A ∈ Hom(V, W), então são proposiçõesequivalentes:

1) A é continuo2) A é continuo na origem: por cada {vn} : vn −→ 0 então Avn −→ 03) existe um K ≥ 0 tal que ||Av|| ≤ µ||v|| por cada v ∈ V4) sendo S = {v : ||v|| ≤ 1}a esfera fechada, então a sua imagem é um conjunto limitado

em W

Demonstração. 1) =⇒ 2) porque se A é continuo é continuo na origem. 2) =⇒ 3)porque se não existesse um um µ ≥ 0tal que ||Av|| ≤ µ||v|| por cada v ∈ V en-tão por cada n ∈ N podemos encontrar um vn tal que ||Avn|| ≥ n||vn|| ou seja||A(vn/n||vn||)|| ≥ 1, mas se for assim então a sucessão:

wn = vn/n||vn|| −→ 0 (2.2.1)Awn 9 0 (2.2.2)

3) =⇒ 4) é evidente porque A é limitado po K e 4) =⇒ 1) vamos supor quenão seja e que A não seja continua no ponto v0, então por cada M > 0 e por cadaδ > ||v − v0|| > 0 então existe um v ∈ V tal que ||A(v) − A(v0)|| > M . Mas pelalinearidade de A isso quer dizer que num intorno de 0por qualquer M > 0 temos||A(v− v0)|| > M ou seja a imagem da esfera não é um conjunto limitado.

Definição 22. Sejam V, W espaços vetoriais normados A ∈ Hom(V, W) definimos anorma

||A|| = supx 6=0

||Av||W||v||V

(2.2.3)

e chamamos de operador de limidado se ||A|| < ∞, i.e. ||Av|| < µ||v|| por cadav ∈ V onde µ ∈ R+

Observação 23. Se A ∈ End(V) a precedente definição pode assumir essa forma:

||A|| = supx 6=0

||Av||||v|| = sup

||v||=1

||Av|| (2.2.4)

Definição 24. Chamamos de:-B(V, W) o espaço dos operadores lineares limitados entre os espaços de Banach V e W;- B(V) o espaço dos operadores lineares limitados de V em si mesmo e de- V∗ ou espaço dual de V o espaço B(V, K) dos operadores lineares limitados entre

V e o campo escalar K

Observação 25. Podemos notar que dà definição da norma sobre B(V) temos que

||Av|| ≤ ||A|| · ||v|| ∀A ∈ B(V)∀v ∈ V (2.2.5)

Ademais dado que

||AB|| = sup||v||=1

||A(B(v))|| ≤ ||B||sup||v||=1

||Av||


então B(V) o espaço dos operadores limitados é tal que

||AB|| ≤ ||A||||B|| ∀A, B ∈ B(V) (2.2.6)

Agora vamos apresentar o resultado mais importante dessa secção:

Teorema 26. Seja V um espaço normado e W um espaço de Banach, então B(V, W) é umespaço de Banach

Demonstração. Deixamos de provar que B(V, W) é um espaço vetorial e vamos provarque é completo com a norma introduzida. Seja {An} uma sucessão de Cauchy emB(V, W). Considerando un qualquer v ∈ V dado que ||Am(v) − An(v)|| ≤ ||Am −An|| · ||v|| a sucessão {An(v)} é de Cauchy em W e portanto convergente a um vetorde W que chamamos de Av. A aplicação A define uma aplicação entre V e W e é fácilde ver que essa aplicação precisa ser linear. Dado que

||A(v)|| = limn−→∞||An (v) || ≤ sup ||An|| · ||v|| (2.2.7)

o operador A é limitado e portanto pertence a B(V, W). Agora é preciso monstrar que||An − A|| −→ 0. Dado que {An} é uma sucessão de Cauchy em B(V, W) por cadaε > 0 há n0 tal que por cada m, n > n0 temos ||Am − An|| < ε. Portanto escolhendo vcom ||v|| ≤ 1 temos

||Am(v)− An (v) || = || (Am − An) (v) || ≤ ||Am − An|| · ||v|| ≤ ||Am − An|| < ε(2.2.8)

Maslim

n−→∞||Am(v)− An (v) || = ||Am(v)− A (v) || < ε (2.2.9)

Portanto ||Am(v) − A (v) || < ε por todos os v com ||v|| ≤ 1 e portanto ||Am −A|| < ε por todos os m > n0

Corolário 27. Seja V um espaço normato sobre C =⇒V∗ é um espaço de Banach

Demonstração. É suficiente notar que o espaço C é de Banach e V∗ = B(V, C)

Corolário 28. Se V é um espaço de Banach =⇒B(V) é um espaço de Banach

Demonstração. É suficiente notar que o espaço C é de Banach e V∗ = B(V, C)

2.3 Aguns espaços de Banach

2.3.1 Rne Cn como espaços de Banach

Seja K ∈ {R, C} e consideramos o espaço vetorial Kn. Sobre esse espaço vetorialpodemos definir infinitas normas, mas pelo teorema 63 esses normas são equivalentes.Portanto Kn é de Banach com qualquer norma, no específico a norma canónica por Kn

é:

||v||2 =

(n

∑i=1

|vi|2)1/2

(2.3.1)

2.3.2 Os espaços lnp , lp e l∞

Seja K ∈ {R, C} e consideramos o espaço vetorial das sequenças (xi)0≤i≤n com xi ∈ K.


Espaço lnp

Definimos o espaço lnp como o espaço das sequenças de n elementos com a norma || · ||p

||x||p =

(n

∑i=1

|xi|p)1/p

(2.3.2)

O espaço lnp é um espaço de Banach. Resulta evidente que no caso ln

2 o espaçoresultante é isomorfo a Kn com a canónica norma || · ||2.

Espaço lp

Definimos o espaço lp como o espaço das sequenças convergentes, com a norma || · ||p

||x||p =

(∞

∑i=0

|xi|p)1/p

(2.3.3)

O espaço lp é um espaço de Banach e nenhum dos lp é isomorfo a os outros.Ademais o dual dos espaços lp são os espaços lq onde p e q são conjugatos segundo

Hölder.

Espaço l∞

Definimos o espaço l∞ como o espaço das sequenças convergentes, com a norma || · ||∞

||x||∞ = supi∈I{|xi|} (2.3.4)

2.3.3 Os espaços Lp , L1 e L∞

Sejam (V,F , µ) um espaço vetorial V, uma σ−algebra F dos conjuntos mensuráveis eµ uma medida de Lebesgue. Então podemos definir Lp o espaço de Banach de todasas funções integraveis sobre um conjunto T ∈ F com a norma

|| f ||p =

ˆT

| f (v) |pdµ

1/p

(2.3.5)


2.3.4 Resumo e outros exemplos

Espaço Dual Norma Coméntario

Kn Kn ||v||p =

(n

∑i=1|vi|p

) 1p

lnp lnq ||v||p =

(n

∑i=1|vi|p

) 1p

1p +

1q = 1

ln∞ ln1 ||v||∞ = max1≤i≤n|vi|

lp lq ||v||p =

(∞

∑i=1|vi|p

) 1p

1p +

1q = 1

l∞ ||v||∞ = supi|vi|

l1 l∞ ||v||1 =∞

∑i=1|vi|

C(a, b) || f || = maxa≤t≤b| f (t)| f : [a, b] −→ K

Lp(T, µ) Lq(T, µ) || f ||p = (´| f |pdµ)

1p T conjunto e µmisura de Lebesgue

L1(T, µ) L∞(T, µ) || f ||1 =´| f |dµ T conjunto e µmisura de Lebesgue

L∞(T, µ) ||v||∞ = infT∼S

(supi|vi|) T ∼ S significa µ(T) = µ(S)

2.4 Espaços de Hilbert

2.4.1 Espaços Unitários

Definição 29. Seja V espaço vetorial, seja A(·, ·) : V×V −→ K uma forma sesquili-near que seja Hermitiana e definida positiva. Podemos então definir uma norma

||v|| =√

A(v, v) (2.4.1)

O espaço V chama-se então de espaço unitário se K = C o de espaço euclideo se K = R

Observação 30. As vezes para semplificar a notação a forma A(v, w) é indicada como(v, w)

Teorema 31. Seja X um espaço unitário, a norma ||v|| =√(v, v) satisfaz a seguintes pro-

priedades:

(SCHWARTZ) |(v, w)| < ||v||||w|| (2.4.2)

||v|| = maxw 6=0

|(v, w)|||w|| = max

||u||=1|(v, u)| (2.4.3)

( PARALELOGRAMA) ||v + w||2 + ||v−w||2 = 2(||v||2 + ||w||2) (2.4.4)

Observação 32. Um espaço normado V é unitário só se a norma satisfaz a REGRA DOPARALELOGRAMA. Nesse caso podemos proceder em definir um produto interno comas formulas de polarização das formas sesquilineares explicitada em 3.3.9 . Nesse casose V é um espaço de Banach ou seja completo no respeito à norma, é também completono respeito do produto interno ou seja é um espaço de Hilbert.


2.4.2 Espaços Ortogonais

Definição 33. Seja V um espaço unitário. Dois vetores v, w ∈ V dizem-se ortogonais(v⊥w) se (v, w) = 0. Podemos então definir, da mesma forma que na definição 35,um sistema E = {ei}i∈I como ortogonal quando

(ei, ej) = 0 ∀i 6= j (2.4.5)

e um sistema de elementos E = {ei}i∈I de ortonormal se

(ei, ej) = δij (2.4.6)

No caso de E = {ei}i∈I sistema ortonormal em V podemos considerar

vi = (v, ei) (2.4.7)

Definição 34. Se E = {ei}i∈I sistema ortonormal em V os coefficientes vi = (v, ei)chamam-se coeficientes de Fourier de v respeito a E .

Teorema 35. (DESIGUALDADE DE BESSEL) Seja E = {ei}i∈I sistema ortonormal em V evi = (v, ei) os coeficientes de Fourier de v no respeito a E . Então:

∑i∈I

|vi|2 ≤ ||v||2 (2.4.8)

Corolário 36. Por cada v ∈ X os coeficientes de Fourier diferentes de 0 é um conjunto nume-rável

Definição 37. Seja E = {ei}i∈I sistema ortonormal em V o sistema é chamado decompleto se span(E ) é denso em V e chamado de fechado se vi = 0 por cada i ∈ Iimplica que v = 0. Em fim o sistema E = {ei}i∈I é chamado de base ortonormal de V sepodemos escrever cada v ∈ V como

v = ∑i∈I

viei e (ei, ej) = δij

2.4.3 Espaços de Hilbert

Definição 38. Um espaço de Banach que também é unitário chama-se de espaço de Hil-bert.

Doi espaços de Hilbert V, W são isomorfos se existe um isomorfismo U : V −→ Wtale que:

(Uv, Uw) = (v, w) ∀v, w ∈ V (2.4.9)

Lema 39. SejaH um espaço de Hilbert, E = {ei}i∈I sistema ortonormal emH e vi com i ∈ Ium conjunto tal que a serie∑

i∈I|vi|2 seja convergente, então existe um vetor emH tal que

v = ∑i∈I

viei (2.4.10)

e nesse caso a desigualdade de Bessel torna-se igualdade

∑i∈I

|vi|2 = ||v||2 (2.4.11)


Teorema 40. Cada espaço de Hilbert H tem uma base ortonormal e se E = {ei}i∈I é umsistema ortonormal emH então as seguintes affirmações são equivalentes:

(i) E = {ei}i∈I é completo(ii)E = {ei}i∈I é fechado(iii) E = {ei}i∈I é uma base deH

Definição 41. Um espaço de Hilbert chama-se de separável se contêm um sub-conjuntodenso e numerável

Teorema 42. Um espaço de Hilbert separável tem uma base ortonormal numerável

Corolário 43. Cada espaço de Hilbert é isomorfo a Kn ou a l2

2.5 Operador Adjunto

Teorema 44. Por cada A ∈ B(H) existe um único operador adjunto A∗ ∈ B(H) definidocomo

(Av, w) = (v, A∗w) v, w ∈ H (2.5.1)

O operador adjunto tem as seguintes propriedades:

A∗∗ = A (INVOLUÇÃO) (2.5.2)(AB)∗ = B∗A∗ (2.5.3)

(A + B)∗ = A∗ + B∗ (2.5.4)(λA)∗ = λA∗ (ANTILINEARIDADE) (2.5.5)||A|| = ||A∗|| (2.5.6)(

A−1) ∗ = (A∗)−1 se A é inversível (2.5.7)

2.6 Operadores Hermitianos, Normais, Unitários

Definição 45. Um operador A ∈ B(H) diz-se:

Hermitiano ou Autoadjuntos se A∗ = A (2.6.1)Anti-Hermitiano se A∗ = −A (2.6.2)

Unitário se A∗ = A−1 (2.6.3)Normal se [A, A∗] = 0 (2.6.4)

Onde definimos o comutador de dois operadores A, B como

[A, B] = AB− BA (2.6.5)

2.6.1 Operadores Autoadjuntos ou Hermitianos

Seja B(H) o espaço dos operadores limitados em H e sejam A, B ∈ B(H) dois opera-dores Hermitianos, então

(λA + µB)∗ = λA∗ + µB∗ ∈ B(H) ∀λ, µ ∈ R (2.6.6)0, I ∈ B(H) (2.6.7)

B(H) 3 {An} −→ A ∈ B(H) (2.6.8)


Teorema. Os operadores autoadjuntos ou Hermitianos formam um subespaço real fechado deB(H) que contem a idendidade.

Teorema 46. Um operador A sobreH é Hermitiano o autoadjunto⇐⇒(Av, v) ∈ R por cadav ∈ H.

Esse teorema nos permite de inserir uma relação de ordinamento definida assim:

A ≤ B⇐⇒ (Av, v) ≤ (Bv, v) ∀v ∈ H, ∀A, B ∈ B(H) (2.6.9)

Teorema 47. Seja A ∈ B(H) um operador positivo ou seja (Av, v) ≥ 0 ∀v ∈ H . EntãoI + A não é singular.

Corolário 48. Por qualquer A ∈ B(H), I + A∗A e I + AA∗ não são singulares

Teorema 49. Sejam A, B ∈ B(H) então

[A, B]∗ = [B, A] = −[A, B] (2.6.10)

2.6.2 Operadores Normais e Unitários

Sejam N, M ∈ B(H) dois operadores normais, então

||N2|| = ||N||2 (2.6.11)Se [N, M] = 0 =⇒ NM é normal (2.6.12)Se [N, M] = 0 =⇒ N + M é normal (2.6.13)

(2.6.14)

Definição 50. Seja U ∈ B(H) um operador normal tal que UU∗ = I, então U diz-seunitário.

Teorema 51. Seja A ∈ B(H) então as condições seguintes são equivalentes

(UNIDARIDADE) AA∗ = I (2.6.15)(PRESERVAÇÃO DOS ANGULOS) (Av, Aw) = (v, w) ∀v, w ∈ H (2.6.16)(PRESERVAÇÃO DAS NORMAS) ||Av|| = ||v|| ∀v ∈ H (2.6.17)

2.7 Operadores Compactos

Definição 52. Um operador A ∈ End(H) diz-se compacto se a imagem de cada conjuntoK ⊂ H compacto é um conjunto C é precompacto ou seja é um conjunto cujo fecho écompacto.

Observação 53. Dado que cada conjunto precompacto é limitado, cada operator com-pacto é tambem um operador limitado.

Exemplo 54. Seja H = L2 (T, µ) onde µ (T) < ∞ então o operador:

(A f ) (t) =ˆ

K(t, s)x(s)dµ(s) (2.7.1)

com K ∈ L2(T2, µ2) é chamado de operador de Fredholm ed é um operador com-

pacto. Historicamente á instituição da teoria moderna dos operadores foi originadapor um artigo de Fredholm onde notava-se a analogia entre os operadores integraisque agora são chamados de Fredholm e a álgebra linear. O artigo de Fredholm dina-mizou a creatividade de Hilbert que chegou à formulação dos espaços de Hilbert e àformulação da teoria dos espaços de Hilbert.


2.8 Teorema espectral

2.8.1 Projectores e subespaços

Em 2.3.2 definimos o projector de um subespaço W como uma trasformação linear pWtal que:

p2W = pW (2.8.1)

Teorema 55. Existe uma correspondência biounivoca entre projectores e subespaços deH

Demonstração. Seja W um subespaço deH, definimos pW : H −→ H como

pW (v) =

{v , v ∈ W0 , v /∈ W

(2.8.2)

É fácil constatar que pW é um projector definido sobreH. Pelo contrario seja pW umprojetor podemos definir W como a imagem de pW . É fácil provar que pela linearidadede pW a imagem W é um subespaço deH

Utilizando essa correspondência podemos formular equivalentemente noçoes :1) W1 ⊥ W2 ⇐⇒ pW1 pW2 = 02) W =

⊕i=1..n

Wi ⇐⇒ pW = ∑i=1..n

pWi

2.8.2 Teorema espectral

Teorema 56. (HILBERT OU TEOREMA ESPECTRAL) Cada operador compacto e hermitiano ouautoadjunto A ∈ B(H) possue uma base ortonormal de vetores próprios. Em outras palavras:

H =⊕

λ

Hλ (2.8.3)

onde Hλ = ker(A− λ). Ademais :(i) Se λ 6= 0 então dim Hλ < ∞(ii) O número de valores próprios diferentes é finido ou numerávelEquivalentemente podemos formular o teorema utilizando a formulação dos projetores

A = ∑λ∈σ(λ)

λpλ (2.8.4)

onde pλ é o projetor no espaço Hλ

Observação 57. No caso de H espaço de Hilbert de dimensão finida, o teorema 87 diz-nos que se o campo escalar do espaço for o campo C então o espaço pode ser pensadocomo H ∼= Cn e portanto o espaço B(H) torna-se isomorfo a o espaço End (Cn) ∼=Mn

n (C). Nessa equivalência os operadores autoadjuntos ou hermitianos são represen-tados pelas matrizes hermitianas e o teorema espectral encontra uma equivalência noteorema de diagonalização das matrizes hermitianas. Um sistema efectivo de diagonali-zação das matrizes é o sistema que apresentamos como sistema de diagonalização deGram-Schmidt.

endo morfi s mos

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