enade comentado 2008: matemática

ENADE COMENTADO 2008

Matemática

ChancelerDom Dadeus Grings

ReitorJoaquim Clotet

Vice-ReitorEvilázio Teixeira

Conselho EditorialAna Maria Lisboa de MelloBettina Steren dos SantosEduardo Campos PellandaElaine Turk FariaÉrico João HammesGilberto Keller de AndradeHelenita Rosa FrancoIr. Armando BortoliniJane Rita Caetano da SilveiraJorge Luis Nicolas Audy – PresidenteJurandir MalerbaLauro Kopper FilhoLuciano KlöcknerMarília Costa MorosiniNuncia Maria S. de ConstantinoRenato Tetelbom SteinRuth Maria Chittó Gauer

EDIPUCRSJerônimo Carlos Santos Braga – DiretorJorge Campos da Costa – Editor-Chefe

Augusto Vieira Cardona

Cármen Regina Jardim de Azambuja

Monica Bertoni dos Santos (Organizadores)

ENADE COMENTADO 2008

Matemática

Porto Alegre 2011

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Tratamento da Informação da BC-PUCRS.

EDIPUCRS – Editora Universitária da PUCRSAv. Ipiranga, 6681 – Prédio 33Caixa Postal 1429 – CEP 90619-900 Porto Alegre – RS – BrasilFone/fax: (51) 3320 3711e-mail: [email protected] - www.pucrs.br/edipucrs

© EDIPUCRS, 2011

CAPA Rodrigo Valls

REVISÃO TEXTUAL Julia Roca dos Santos

EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Gabriela Viale Pereira

Edição revisada segundo o novo Acordo Ortográfico.Questões retiradas da prova do ENADE 2008 da Matemática.

E56 ENADE comentado 2008 : matemática [recurso eletrônico] / organizadores, Augusto Vieira Cardona, Cármen Regina Jardim de Azambuja, Monica Bertoni dos Santos. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : EDIPUCRS, 2011.121 p.ISBN 978-85-397-0127-8

Sistema requerido: Adobe Acrobat ReaderModo de Acesso: <http://www.pucrs.br/edipucrs/>

1. Ensino Superior – Brasil – Avaliação. 2. Exame Nacional de Desempenho de Estudantes. 3. Matemática – Ensino Superior. I. Cardona, Augusto Vieira. II. Azambuja, Cármen Regina Jardim de. III. Santos, Monica Bertoni dos.

CDD 378.81

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfílmicos, fotográficos, reprográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e parágrafos, do Código Penal), com pena de prisão e multa, conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei 9.610, de 19.02.1998, Lei dos direitos Autorais).

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ..................................................................................................... 8 Hélio Radke Bittencourt e Marisa Magnus Smith

NOTA DOS ORGANIZADORES .............................................................................. 12

COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM

QUESTÃO 11 ........................................................................................................... 14 Cármen Regina Jardim de Azambuja


QUESTÃO 13 ........................................................................................................... 20 João Feliz Duarte de Moraes


QUESTÃO 15 ........................................................................................................... 26 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

QUESTÃO 16 ........................................................................................................... 28 Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci

QUESTÃO 17 ........................................................................................................... 30 Vera Lúcia Martins Lupinacci

QUESTÃO 18 ........................................................................................................... 33 Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues

QUESTÃO 19 ........................................................................................................... 35 Liara Aparecida dos Santos Leal

QUESTÃO 20 ........................................................................................................... 37 Liara Aparecida dos Santos Leal

QUESTÃO 21 ........................................................................................................... 39 Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues


QUESTÃO 23 ........................................................................................................... 43 Francisco Alberto Rheingantz Silveira

QUESTÃO 24 ........................................................................................................... 45 Maria Beatriz Menezes Castilhos

QUESTÃO 25 ........................................................................................................... 48 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

QUESTÃO 26 ........................................................................................................... 52 Maria Beatriz Menezes Castilhos


QUESTÃO 28 – DISCURSIVA ................................................................................. 57 Augusto Vieira Cardona

QUESTÃO 29 – DISCURSIVA ................................................................................. 59 Maria Beatriz Menezes Castilhos

COMPONENTE ESPECÍFICO – LICENCIATURA


QUESTÃO 31 ........................................................................................................... 65 Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci

QUESTÃO 32 ........................................................................................................... 68 Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin

QUESTÃO 33 ........................................................................................................... 71 Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin

QUESTÃO 34 ........................................................................................................... 73 Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos

QUESTÃO 35 ........................................................................................................... 76 Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria Rodrigues

QUESTÃO 36 ........................................................................................................... 78 Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de Souza

QUESTÃO 37 ........................................................................................................... 82 Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos

QUESTÃO 38 ........................................................................................................... 84 Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos

QUESTÃO 39 ........................................................................................................... 86 Marilene Jacintho Müller

QUESTÃO 40 – DISCURSIVA ................................................................................. 88 Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

COMPONENTE ESPECÍFICO – BACHARELADO

QUESTÃO 41 ........................................................................................................... 93 Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann



QUESTÃO 44 ......................................................................................................... 100 Luiz Eduardo Ourique

QUESTÃO 45 ......................................................................................................... 103 Liara Aparecida dos Santos Leal

QUESTÃO 46 ......................................................................................................... 106 Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona

QUESTÃO 47 ......................................................................................................... 109 Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues

QUESTÃO 48 ......................................................................................................... 111 Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos

QUESTÃO 49 ......................................................................................................... 114 Luiz Eduardo Ourique

QUESTÃO 50 ......................................................................................................... 117 Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz

QUESTÃO 51 – DISCURSIVA ............................................................................... 119 Maria Beatriz Menezes Castilhos

LISTA DE COLABORADORES ............................................................................. 121

8 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.)

APRESENTAÇÃO

Desde 1996, a Educação Superior brasileira tem sido alvo de avaliações de

larga escala. O Exame Nacional de Cursos, mais conhecido por Provão, vigorou de

1996 a 2003, consistindo na aplicação de uma prova a todos os estudantes

formandos de um grupo de cursos de graduação. Em 2004, o Provão foi substituído

pelo Exame Nacional de Desempenho de Estudantes, ou ENADE. A partir desse

momento, os cursos passaram a ser avaliados de três em três anos, submetendo-se

ao Exame, além de estudantes concluintes, também alunos ingressantes. O

desempenho dos alunos ingressantes e concluintes nas provas está diretamente

relacionado aos três conceitos derivados do ENADE: o conceito Enade, o Indicador

de Diferença de Desempenho (IDD) e o Conceito Preliminar de Curso (CPC). Para

um melhor entendimento, vejamos uma breve explicação de cada conceito:

Conceito Enade – o conceito Enade de um curso é calculado exclusivamente

a partir do desempenho dos alunos concluintes na prova, que é composta de duas

partes: uma denominada de Componente Específico (CE) e outra de Formação

Geral (FG). As questões referentes ao Componente Específico têm peso de 75% na

nota final do curso, enquanto a parte de Formação Geral é responsável pelos outros

25%. Salienta-se que o desempenho médio dos alunos de um curso é sempre

comparado ao desempenho do universo de estudantes daquela área que realizou a

mesma prova. Portanto, o conceito Enade é relativo ao desempenho do grupo.

Cursos com conceito Enade 4 ou 5 são aqueles cujos alunos apresentaram média

bastante superior a do total de alunos da área.

Indicador de Diferença de Desempenho (IDD) – o IDD é um indicador que

procura neutralizar o efeito de diferentes níveis de dificuldade de ingresso sobre o

desempenho dos alunos nas provas. No IDD, o desempenho dos alunos concluintes

é comparado ao desempenho esperado por meio de um modelo linear que

considera as seguintes variáveis: 1) desempenho médio dos alunos ingressantes; 2)

proporção de estudantes cujos pais têm nível de escolaridade superior; 3) relação

concluintes/ingressantes. Um IDD igual a 3 caracteriza um curso que atingiu o

desempenho esperado. Já IDDs 4 ou 5 indicam cursos que superaram o esperado,

ENADE Comentado 2008: Matemática 9

atingindo nas provas uma média superior ou muito superior ao desempenho

estimado pelo modelo.

Conceito Preliminar de Curso (CPC)

Enade dos ingressantes (15%);

– o CPC procura sintetizar os resultados

do Enade, IDD e outros fatores num único conceito. A partir de 2008, o CPC passou

a apresentar a seguinte composição:

Enade dos concluintes (15%);

IDD (30%);

Instalações e Infraestrutura (5%);

Recursos didáticos (5%);

Percentual de professores doutores (20%);

Percentual de professores com, no mínimo, título de mestre (5%);

Percentual de professores em regime de tempo parcial ou integral (5%).

O CPC é o principal indicador utilizado pelo Ministério de Educação (MEC)

para avaliação de um curso. Cursos avaliados com 1 ou 2 são passíveis de

intervenção e deverão ser visitados por uma comissão de avaliadores nomeada pelo

Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). O

CPC é divulgado de duas formas – contínuo e conceito – e a tabela utilizada para

conversão é a seguinte:

Tabela 1: Tabela para conversão do CPC contínuo em conceito. CPC contínuo Conceito CPC

0,00 – 0,94 1 0,95 – 1,94 2 1,95 – 2,94 3 2,95 – 3,94 4 3,95 – 5,00 5

Os cursos de Matemática foram avaliados no ENADE pela primeira vez em

2005. A última avaliação ocorreu em 2008, contando com 30 questões em seu

Componente Específico. A próxima está prevista para 2011. Na edição de 2008, um

total de 513 cursos foi avaliado, dos quais 315 receberam conceito CPC.

A figura 1 apresenta o histograma com a distribuição do CPC contínuo em

âmbito nacional.


CPC Contínuo

5,04,54,03,53,02,52,01,51,0,50,0

Núm

ero

de c

urso

s

60

50

40

30

20

10

0

Figura 1: Histograma dos CPC contínuos em âmbito nacional.

A figura 1 mostra uma concentração de cursos em torno do CPC contínuo 2,0,

e um pequeno número de cursos próximo do valor máximo.

De um modo geral, os cursos de Matemática não apresentaram bons

resultados na avaliação, o que fica evidente na Tabela 2, que mostra 41% dos

cursos avaliados com conceitos 1 ou 2, considerados baixos pelo MEC. Apenas

16,2% dos cursos avaliados atingiram conceitos altos (4 ou 5). Em outras palavras,

isso significa que, de um universo de 315 cursos avaliados, 129 ficaram abaixo do

resultado mínimo esperado pelo INEP.

Tabela 2: Distribuição dos conceitos CPC em âmbito nacional no ENADE 2008.

CPC F % 1 3 1,0% 2 126 40,0% 3 135 42,9% 4 39 12,4% 5 12 3,8%

Total 315 100,0%

Outro fato a destacar é o de que a totalidade dos cursos que obtiveram o

conceito máximo são oferecidos em instituições universitárias, e não em faculdades

isoladas ou centros universitários. Dentre esses doze, é significativo registrar que

onze deles são oferecidos em instituições públicas. A única instituição privada do


Brasil a atingir o conceito CPC=5 foi a Pontifícia Universidade Católica do Rio

Grande do Sul (PUCRS).

As razões para desempenhos tão diferenciados e, em muitos casos,

desanimadores são muitas e não cabe aqui discuti-las em profundidade. Entretanto,

duas evidências parecem emergir desses dados: a maior qualificação das

Universidades em relação às instituições de menor porte e que não têm tradição em

pós-graduação, pesquisa e extensão, e o diferencial qualitativo que a efetiva seleção

de acadêmicos com melhores condições de desempenho ao curso superior –

característica das IES federais, pela relação número de candidatos x número de

vagas – estabelece em favor do desenvolvimento desses estudantes.

Essas questões, entretanto, por mais pertinentes que sejam quando se

analisam comparativamente resultados, não apagam o fato de que na base do

conceito de cada curso existe uma prova, o ENADE, e que cabe às IES

comprometidas não só com o bom desempenho de seus estudantes, mas também

com a qualidade dos testes a que eles são submetidos, contribuir com seus saberes

para a qualificação desses instrumentos de avaliação.

Esta publicação eletrônica, editada pela EDIPUCRS, tem exatamente este

objetivo: apresentar, analisar e comentar as 30 questões do Componente Específico

do ENADE aplicado aos cursos de Matemática em 2008. Esperamos que estudantes

e professores universitários possam apropriar-se deste estudo em seus processos

de ensino e de aprendizagem, e também que as bancas responsáveis pela seleção

de conteúdos e elaboração das questões possam igualmente beneficiar-se do

resultado desse esforço.

Porto Alegre, maio de 2010

Hélio Radke Bittencourt

Faculdade de Matemática / Assessoria de

Planejamento e Marketing - PUCRS

Marisa Magnus Smith

Faculdade de Letras / Pró-Reitoria de Graduação - PUCRS


NOTA DOS ORGANIZADORES

Para dar subsídios aos alunos que realizarão o ENADE 2011, um grupo de

professores, alunos e diplomados da Faculdade de Matemática, deu sua

contribuição, comentando as questões específicas e discursivas da edição 2008.

Chegou-se ao consenso de que, ao comentar as questões, seriam

apresentados alguns conceitos básicos fundamentais para a sua compreensão e

indicada bibliografia de apoio ao estudante que quisesse aprofundar seus estudos.

Na resolução das questões, em geral, não se optou pela apresentação

matematicamente mais elegante, mas pela simplicidade e pelo fácil entendimento

por parte de alunos, ingressantes ou concluintes, de Cursos de Licenciatura.

O enunciado das questões foi o mais fiel possível ao ENADE 2008, sendo que

gráficos e figuras foram fielmente reproduzidos deste documento.

Tendo em vista que a prova será realizada por alunos ingressantes e

concluintes, fizemos para cada questão uma classificação quanto ao seu grau de

dificuldade, considerando tanto a realidade do ensino de Matemática na Educação

Básica, constatada nas observações de estágio e nas sondagens aplicadas a alunos

de 1º semestre, quanto nos currículos dos Cursos de Licenciatura em Matemática.

A resolução das questões desta prova permitiu-nos analisar se os conteúdos

abordados no ENADE 2008 eram condizentes com o que se trabalha nessa

Instituição, ajudou-nos a avaliar a formação oferecida aos graduados em Matemática

e na elaboração do Projeto Pedagógico de nosso Curso.

Agradecemos a colaboração de docentes, discentes e diplomados da

Faculdade de Matemática da PUCRS na elaboração deste trabalho e ao apoio

incondicional da EDIPUCRS e da Pró-Reitoria de Graduação de nossa Universidade.

Esperamos que este trabalho ajude o leitor na sua formação matemática e

que ele considere a leitura prazerosa e elucidativa.

Porto Alegre, junho de 2011



Monica Bertoni dos Santos

COMPONENTE ESPECÍFICO

NÚCLEO COMUM


QUESTÃO 11

Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta

é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da

bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira,

a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo.

Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir

o gol?

(A) m23

(B) m34

(C) 1 m (D) 2 m

(E) m35

Gabarito: E Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja

Comentário: Diversos fenômenos são descritos por funções polinomiais de 2º grau, como é

o caso do problema apresentado. Uma função polinomial de 2º grau, ou função

quadrática, com variável independente x tem o modelo:

0,)( 2 ≠++= acbxaxxf (1)

e sua representação gráfica é uma parábola com eixo de simetria passando pelo seu

vértice e paralelo ao eixo das ordenadas y y’ .

gol parábolaposição da falta

barreira

Q

P3

12x

y

8O

R


No ensino médio, sabe-se que, para determinar a abscissa do vértice

abxv 2

−=

da

parábola pode-se utilizar a fórmula . No ensino superior, usando o conceito

de derivada, sabe-se que a reta tangente à parábola em seu vértice é paralela ao

eixo das abscissas e, portanto, tem coeficiente angular nulo. Fazendo 0)( =′ xf , isto

é 02 =+ bax , chega-se à mesma fórmula abxv 2

−= .

No problema apresentado, se for colocado um sistema de eixos na

barreira, tem-se que:

a) o vértice da parábola é o ponto (0,3), então xv = 0 e 002

=⇒=−

= babxv . Como

3)0( == cf , substituindo b por zero e c por 3 no modelo de função de segundo grau

visto em (1), tem-se:

0,3)( 2 ≠+= aaxxf ; (2)

b) um dos zeros da função é 12=x , isto é, 0)12( =f . Levando este dado em (2),

resulta 48

1144

303144 −=

−=⇒=+⋅ aa . Substituindo o valor de a em (2), a lei da

função fica bem determinada, ou seja:

348

1)( 2 +−

= xxf ; (3)

c) como o gol está 8 metros à esquerda da barreira, considera-se 8−=x e a altura

que a bola está ao atingir o gol, é dada por )8(−f , então, por (3):

f(-8) = 3538

481 2 =+⋅

− .

Como todas as unidades de medida estão em metros, a resposta correta é

apresentada no item E, m35 .

Esta questão é de nível de dificuldade médio por ser um problema de

aplicação da função quadrática, conteúdo trabalhado tanto em nível de ensino

médio, como na Licenciatura de Matemática.


Referências Bibliográficas: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.


QUESTÃO 12

No plano cartesiano xOy, as equações x2 + y2 + y = 0 e x2 - y - 1 = 0 representam

uma circunferência Γ e uma parábola P, respectivamente. Nesse caso,

(A) a reta de equação y = -1 é tangente às curvas Γ e P. (B) as curvas Γ e P têm mais de um ponto em comum. (C) existe uma reta que passa pelo centro de Γ e que não intercepta a parábola P. (D) o raio da circunferência Γ é igual a 1. (E) a parábola P tem concavidade voltada para baixo. Gabarito: Alternativa A Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja

Comentário: Esta questão envolve as equações da circunferência e da parábola.

A fórmula da distância entre dois pontos

22 )()( byaxd −+−=

é muitas vezes usada para achar a

equação de uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais

distâncias. A distância entre os pontos (x,y) e (a,b) é dada por:

.

A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de

um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência e a distância

de qualquer de seus pontos ao centro é o raio

r

dessa circunferência. Se o centro é o

ponto (a,b), o raio é o número positivo e ),( yx é um ponto qualquer da

circunferência, a definição acima se traduz pela equação rbyax =−+− 22 )()( , ou

equivalentemente:

222 )()( rbyax =−+− . (1)

Para colocar a equação dada, 022 =++ yyx , na forma apresentada acima,

primeiro, agrupam-se os termos em x e em y , 0)()( 22 =++ yyx e, a seguir,

adiciona-se a constante apropriada a cada conjunto de parênteses para completar

um quadrado e subtrai-se a mesma constante fora do parêntese para manter a

igualdade. A constante apropriada, nesse caso, é 41 , e isto resulta na equação


041)

41( 22 =−+++ yyx , da qual se obtém

41)

41( 22 =+++ yyx , ou

222

21)

21()0(

=++− yx , e, por (1), determina-se o centro

−

21,0C e raio

21 da

circunferência, o que elimina a alternativa D.

A equação 012 =−− yx pode ser colocada na forma 12 −= xy , que define

uma função polinomial do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola

)1,0( −

de vértice em

e com concavidade

Para decidir entre as outras três alternativas, qual é a correta, pode-se fazer

uma solução algébrica ou geométrica.

voltada para cima, o que elimina a alternativa E.

Algebricamente, determina-se a intersecção das duas curvas, isto é, resolve-se

a equação 1222 −−=++ yxyyx ou equivalentemente a equação 0122 =++ yy ,

cuja solução é 1−=y e, portanto, as curvas possuem um único ponto de intersecção,

(0,-1). Como a reta de equação 1−=y é uma reta paralela ao eixo dos x e passa por

este ponto, ela tangencia as duas curvas nesse ponto, levando à escolha da

alternativa A.

Geometricamente, a questão pode ser resolvida com a construção, no mesmo

sistema de eixos, dos gráficos da circunferência, da parábola e da reta que

representam as equações dadas.

Figura 1: Gráfico das curvas x2 + y2 + y = 0, y = -1 e x2 - y - 1 = 0.

Pela figura 1, observa-se que as curvas são tangentes

1−=y

no ponto (0,-1). A reta

de equação é paralela ao eixo dos x e passa no ponto de tangência das

duas curvas, o que leva à escolha da alternativa A.


Esta questão é considerada fácil, pois pode ser resolvida tanto graficamente,

como algebricamente e utiliza equações da circunferência e da parábola, curvas das

mais simples, muito trabalhadas tanto no ensino médio, como na Licenciatura em

Matemática.

Referências Bibliográficas: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.


QUESTÃO 13

Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem

gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para

serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam

sorteados?

(A) 451

(B) 201

(C) 101

(D) 51

(E) 21

Gabarito: Alternativa A Autoria: João Feliz Duarte de Moraes

Comentário: Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes:

Solução 1: Utilizando a definição de probabilidade

P(A) =

de ocorrência de um evento A,

tem-se que:

)()(

SnAn ; A ⊆ S,

onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(S) representa o número de

elementos do espaço amostral S.

O espaço amostral, definido como o conjunto dos resultados do experimento

aleatório, tem 45 elementos que podem ser obtidos por meio da combinação

)!(!!

xnxn−

dos

dez postos (n = 10), tomados dois a dois (x = 2), isto é, = !8!2!10 = 45.

Sendo o evento A o subconjunto de S formado pelos dois postos infratores,

ou seja, n(A) = 1, tem-se, então, que P(A) = 451 . Assim, a alternativa correta é A.


Solução 2: Supondo que os dois postos foram sorteados sucessivamente e

sem reposição, pode-se utilizar o chamado Teorema do Produto

Sejam A (primeiro sorteado) e B (segundo sorteado) os dois postos que

adulteram a gasolina entre os dez da cidade, tem-se, então, que a probabilidade de

sortear o posto A é P(A) =

,

P(A ∩ B) = P (A) P(B/A).

102 , isto é, tem-se duas chances em dez de sortear um

posto infrator na primeira tentativa. Sabendo-se que o posto A já foi sorteado, a

chance de retirar, na segunda tentativa, o posto B, que também adultera a gasolina,

fica P(B/A) = 91 .

Então, tem-se P(A ∩ B) = P (A) P(B/A) = 102 x

91 =

451 , ou seja, a alternativa

correta é A.

Esta questão é considerada fácil, pois trata da aplicação direta de conceitos

trabalhados no ensino médio.

Referências Bibliográficas: JULIANELLI, J. R.; et al. Curso de análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2009. MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.


QUESTÃO 14

Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região

triangular PQR desenhada abaixo.

(A)

>+<−<−

30202

xyxyxy

(B)

>+>−>−

30202

xyxyxy

(C)

<+<−<−

30202

xyxyxy

(D)

>+<−>−

30202

xyxyxy

(E)

<+>−<−

30202

xyxyxy

Gabarito: Alternativa E Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja

Comentário: Uma inequação linear x em e y determina um subconjunto do plano (região)

em que a condição dada é satisfeita somente pelos pontos dessa região e por

y

Q

R1

2

21O xP


nenhum outro. Observando a figura dada na questão, vê-se que a região assinalada

é a intersecção de três semiplanos

Considerando a reta que passa por Q e R, de equação

determinados por três retas.

3+−= xy , a

representação gráfica da inequação 3<+ xy é o semiplano assinalado na figura 1.

Figura 1: Representação gráfica da inequação 3<+ xy .

Considerando a reta que passa por P e Q, de equação xy 2= , a

representação gráfica da inequação 02 <− xy é o semiplano assinalado na figura 2.

Figura 2: Representação gráfica da inequação 02 <− xy .

Considerando a reta que passa por P e R, de equação xy21

= , a

representação gráfica da inequação 02 >− xy é o semiplano assinalado na figura 3.

Figura 3: Representação gráfica da inequação 02 >− xy .


Assim, fazendo a intersecção destas três regiões, obtém-se a região

assinalada no gráfico da figura 4:

Figura 4: Intersecção das três regiões do plano.

que é a representação gráfica da solução do sistema:

<+>−<−

30202

xyxyxy

e, portanto, a

alternativa correta é a E.

Esta questão pode, também, ser resolvida da seguinte maneira: considerando

que um ponto da região assinalada deve satisfazer simultaneamente as três

inequações de cada sistema apresentado, tomando-se um ponto pertencente a essa

região, por exemplo, o ponto (1,1), e testando-o em cada inequação do sistema,

aquele que apresentar todas as desigualdades verdadeiras será a solução da

questão. Substituindo (1,1) no sistema apresentado na alternativa A, obtém-se:

<−<−

,012021

FV

o que já elimina esta alternativa.

Procedendo de maneira análoga nos outros sistemas, observa-se que,

somente no da alternativa E, conforme verificado a seguir:

<+>−<−

,311012021

VVV

todas as desigualdades são verdadeiras, sendo, portanto, esta alternativa a correta.


Esta questão tem grau médio de dificuldade, pois gráficos de desigualdades

são pouco explorados no ensino médio e na Licenciatura de Matemática, eles,

muitas vezes, são feitos com a utilização de softwares, como apoio à resolução de

questões em que o objetivo não é a construção do gráfico, mas o cálculo de áreas,

volumes, etc.

Referência Bibliográfica: DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006.


QUESTÃO 15

Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em

suas aulas, a construção de um avião de papel para explorar

alguns conceitos e propriedades da geometria plana.

Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes

deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dos

segmentos de reta indicados na figura ao lado.

As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas:

a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB; AC, BD e AB são segmentos congruentes; PT e TQ são segmentos congruentes; PD e BD são segmentos congruentes.

A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte:

O triângulo PQD é obtusângulo

porque o triângulo PQT é equilátero.

Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. (B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira. (C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa C Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de conceitos e

propriedades da geometria, tais como: segmentos congruentes, mediatriz de um

segmento, retângulo, triângulo obtusângulo e triângulo equilátero. Para melhor

entender a resolução desta questão, é importante observar que:

(1) Mediatriz de um segmento num plano dado é a reta perpendicular ao segmento,

passando pelo seu ponto médio;

BA

C D

M

Q

R

P

T

S

U


(2) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o;

(3) Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Logo, por (2),

se o ângulo oposto à base mede 90o, tem-se que os ângulos da base medem 45o

cada um;

(4) Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes e, portanto, medem

60o cada um.

Analisando a figura dada e considerando as instruções da professora, tem-se:

(a) O triângulo CAB é isósceles, pois os segmentos AC e AB são congruentes por

construção, e o ângulo BAC ˆ é reto, porque é um dos ângulos do retângulo, logo,

por (3), BCA ˆ e CBA ˆ medem 45°. De maneira análoga, no triângulo ABD, os

ângulos DAB ˆ e BDA ˆ medem 45º.

(b) Considerando o triângulo ATB, sabendo, de (a), que os ângulos TBA ˆ e TAB ˆ

medem 45°, por (2), pode-se afirmar que BTA ˆ mede 90°.

(c) No triângulo PQT, por (b), QTP ˆ mede 90º e, portanto, por (4), este triângulo não

é equilátero, o que torna falsas as opções A, B e D. Este triângulo é isósceles, pois

os segmentos PT e TQ são congruentes por construção, portanto, por raciocínio

análogo ao apresentado em (a), os ângulos TPQ ˆ e TQP ˆ medem 45º.

Pelo visto em (a), (b) e (c), o triângulo PQD é obtusângulo, pois: DPQ ˆ mede

45º, PDQ ˆ é menor do que 45º (pois é menor que DAB ˆ ), então DQP ˆ é maior do que

90º. Isto mostra que a opção E é falsa e que a opção C é verdadeira.

Esta questão é de nível médio de dificuldade, pois, para a sua resolução, é

necessário o uso de diferentes conceitos de geometria plana que, muitas vezes, são

pouco trabalhados na Educação Básica e vistos pela primeira vez no Curso de

Licenciatura em Matemática.

Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000, (Coleção do Professor de Matemática). RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.


QUESTÃO 16

A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada

pela fórmula:

( )0,

110)( 2 ≥+

= tt

tty .

Em qual intervalo essa função é crescente?

(A) 0≥t

(B) 10>t

(C) 1>t

(D) 10 <≤ t

(E) 1021

<< t

Gabarito: Alternativa D

Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci

Comentário: Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função

crescente, do teorema relativo ao crescimento de uma função e de regras de

derivação.

Uma função f definida em um intervalo I é crescente

)()( 21 xfxf <

em I, quando

para 21 xx < , sendo 1x e 2x pontos desse intervalo I. Para determinar

os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, usa-se o seguinte

teorema:

Seja uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no

intervalo aberto (a,b).

(a) Se 0)(' >xf para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a,b].

(b) Se 0)(' <xf para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a,b].

Esse teorema é aplicável a qualquer intervalo I no qual f seja contínua e

dentro do qual ela seja diferenciável.

Para identificar o intervalo onde a função citada na questão é crescente, é

necessário obter sua derivada e, para tanto, será usada a regra de derivação de um

quociente. Assim,


34

2'

)1(1010

)1()1.(2010.)1()(

++−

=+

+−+=

tt

ttttty .

Como a função y(t) está definida para 0≥t , vem que 0)1( 3 >+t , tem-se que

0)(' >ty , quando 01010 >+− t , isto é, .10 <≤ t Então, conclui-se que a alternativa

correta é a D, excluindo-se as demais alternativas.

Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir a aplicação da regra

de derivação de um quociente e a análise do sinal da função derivada nos valores

de t que estão no domínio da função.

Referência Bibliográfica: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1


QUESTÃO 17

No plano complexo, a área do triângulo de vértices 2i, 4πie e 4

3πie é

(A) 21

(B) 2

(C) 212 −

(D) 222 −

(E)

−

212

21

Gabarito: Alternativa C Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário:

Para resolver esta questão, é necessário o conhecimento das diversas formas

de apresentar um número complexo, da fórmula para calcular a área de um triângulo

e das operações algébricas com números reais.

Um número complexo yix + é um número da forma , com x e y reais e

1−=i . Fixado um sistema de coordenadas no plano, este complexo é

representado pelo ponto P(x, y), chamado de imagem do complexo z. Como a

correspondência entre os números complexos e suas imagens é biunívoca,

identificam-se os complexos e suas imagens escrevendo yixyxz +== ),( .

Cada complexo yixz += , pode ser representado também pelo vetor OP ,

sendo O(0,0) e P(x, y). Indicando-se por 22 yxzr +== , o comprimento

(módulo OP) do vetor , 0≠r , e por θ o ângulo que o vetor OP forma com o sentido

positivo do eixo x.


Figura 1: Forma polar de um número complexo z. Usando relações trigonométricas em um triângulo retângulo, obtém-se que

rx

=θcos e rysen =θ , daí, yixz += = )(cos)(cos θθθθ senirisenrr +=+ , que é

chamada forma trigonométrica

Para representar um número complexo na forma exponencial complexa, usa-

se a fórmula de Euler:

do complexo z.

=θie θθ seni+cos . Pode-se, então, escrever o complexo

θθθ ireseniryixz =+=+= )(cos .

Por último, deve-se lembrar que a área de um triângulo é igual à metade do

produto do comprimento de qualquer uma de suas bases pelo comprimento da

altura correspondente.

Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que:

a) No plano complexo, os vértices 2i, 4πie e 4

3πie do triângulo identificam-se com os

pontos A(0, 2), B(22,

22 ) e C( -

22,

22 ), respectivamente.

b) Os vértices B e C estão sobre a reta de equação 22

=y , paralela ao eixo x. A

medida do lado BC é 222

22

=

−−=BC .

c) A intersecção do segmento BC com o eixo yy’ é o ponto D(0, )22 . Portanto, o

segmento AD é perpendicular ao lado BC e é a altura do triângulo relativa ao lado

BC, medindo 222 − .

r

z = P(x,y) = x+yi

y

x

O

θ


d) Assim, a área do triângulo de vértices A, B e C será:

.212

21

222

2122

2

)222(2

2.

−=−=−

=−

=ADBC

Logo, a alternativa correta é a C.

Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir o conhecimento da

fórmula de Euler para números complexos e o domínio das operações com

números reais.

Referências Bibliográficas: HALLET, D. H.; et al. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1997. v. 2. LIMA, E. L. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1985. LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998, (Coleção do Professor de Matemática) v.3.


QUESTÃO 18

No anel dos inteiros módulo 12, R = /12, (A) não há divisores de zero. (B) todo elemento não-nulo é inversível. (C) o subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R. (D) a multiplicação não é comutativa. (E) há exatamente 4 elementos inversíveis. Gabarito: Alternativa E Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria

Rodrigues

Comentário: Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:

operações em um conjunto e suas propriedades; anéis e subanéis; máximo divisor

comum de inteiros, domínios de integridade; o anel dos inteiros módulo n,

simbolizado por n ou /n cujos elementos são denotados por 1,....,2,1,0 −n .

Esses conhecimentos são desenvolvidos com detalhes em Gonçalves (2003),

Santos (1998) ou Garcia e Lequain (2002).

Ao iniciar o estudo de Estruturas Algébricas, os anéis

Entre os conhecimentos envolvidos nessa questão, pode-se salientar a

propriedade a seguir que é aplicada diretamente na solução:

surgem com

naturalidade através dos conjuntos numéricos que são trabalhados desde o

ensino fundamental e médio. Um dos primeiros anéis que se apresenta com

características “diferentes” daquelas que fazem parte do cotidiano é o dos inteiros

módulo n. Tem-se mais de uma maneira de definir esse anel: restos da divisão

por um inteiro fixo n, o anel resultante do quociente do anel dos inteiros pelo ideal

dos múltiplos de n, o anel quociente dos inteiros por uma relação de equivalência,

etc. Conceitos que, apesar de diferentes, levam ao mesmo conjunto.

Sejam x e n inteiros onde n 1≥ . O mdc( x , n) = 1 se e somente se x

possui inverso multiplicativo em /n.

Como justificativa desta afirmação e usando ideias da bibliografia citada,

pode-se observar que: se mdc( x ,n) =1 então, escrevendo-o como combinação


linear, existem inteiros r, s tais que x r+n.s = 1. Sabe-se, então, que ,1=+ nsxr ou

seja, como ns é múltiplo de n, temos 10 =+xr e, portanto, 1. =rx , demonstrando

que x é inversível. No entanto, se existe r tal que 1. =rx , tem-se que existe um

inteiro k tal que xr = nk + 1, isto é, xr + nq = 1, onde q = -k. Assim, qualquer divisor

de x e de n será divisor de 1, o que implica que mdc( x , n) =1.

Feitas essas considerações, concluiu-se que a alternativa A é falsa, pois

sabe-se que, por exemplo, 2 e 6 são divisores de zero em R. Como existem

inteiros que são divisores de 12, pela propriedade acima, tem-se elementos não

inversíveis em R, o que elimina a alternativa B. A alternativa C também não é válida,

pois 0 não é inversível e, portanto, não fará parte do conjunto citado, o que significa

que este conjunto não é um subanel de R. O anel dos inteiros módulo n é comutativo

com unidade, pois suas operações, como são definidas, herdam essas propriedades

de , o que torna a alternativa D inválida. No entanto, pela propriedade acima,

sabe-se que apenas os inteiros 1, 5, 7 e 11 são inversíveis em R, o que torna correta

a alternativa E.

A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, apesar de

exigir conhecimento de diversos conceitos, pois os mesmos são amplamente

trabalhados nos Cursos de Licenciatura em Matemática.

Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.


QUESTÃO 19

Considere g: → uma função com derivada dtdg contínua e f a função definida

por ∫=x

dttdtdgxf

0)()( para todo x ∈ .

Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem.

I A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ∈ , a < b.

II A função f é derivável e sua derivada é a função g.

II A função diferença f - g é uma função constante.

É correto o que se afirma em

(A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) I e III, apenas. (E) I, II e III. Gabarito: Alternativa C Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal

Comentário: A questão envolve conhecimentos sobre Integral de Riemann e trata,

especificamente, de um importante resultado da Matemática: o Teorema

Fundamental do Cálculo (TFC). A importância deste teorema, provado

independentemente por Newton e Leibniz no século XVII, está na unificação dos

dois conceitos fundamentais estudados em Cálculo Diferencial Integral,

estabelecendo a relação inversa entre as operações de integração e derivação.

O problema inverso da derivação consiste em:

Dada uma função f:[a, b]→ , procurar uma função F:[a, b]→ , que seja

derivável em [a, b] e tal que )()( xfxF =′ , para todo ],[ bax ∈ .

Seja f:[a, b] → uma função integrável. Define-se F:[a, b]→ por:

∫=x

a

dttfxF )()( , para todo ],[ bax ∈ .

A função F assim definida é sempre contínua no intervalo [a, b], sendo f

integrável (limitada), podendo apresentar um número finito de descontinuidades. No

entanto, se a função f for contínua, então F será derivável no ponto ],[ bac∈ e


)()( cfcF =′ . Neste caso, F é dita uma primitiva de f. O processo de passar de f para

F melhora, ou “amacia” as qualidades da função.

Em vista do exposto e após análise das afirmações, tem-se que:

Afirmação I: Verdadeira.

Justificativa: Sendo a derivada )(tdtdg contínua, por hipótese, ela será limitada no

intervalo fechado [0,x], para todo ],[ bax ∈ , pelo Teorema de Weierstrass:

Toda função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e

limitado) é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo).

Assim, a função ∫=x

dttdtdgxf

0

)()( está bem definida e é sempre continua, em

qualquer intervalo [a,b]. Logo, sendo f contínua, ela é integrável em todo intervalo [a,b].

Afirmação II: Falsa.

Justificativa: Embora f seja derivável, pelo TFC tem-se que )()( tdtdgt

dtdf

= e não

)()( tgdt

tdf= , como afirmado.

Afirmação III: Verdadeira.

Justificativa: Como )()( tdtdgt

dtdf

= , ambas as funções f e g são primitivas de )(tdtdg .

Portanto, as funções f e g diferem por uma constante, isto é:

Cgfdt

tgfddt

tdgdt

tdfdt

tdgdt

tdf=−⇒=

−⇒=−⇒= 0))((0)()()()( , com C constante.

Conclui-se que é correto o que se afirma em I e III, apenas, o que indica que a

resposta certa corresponde à alternativa C.

O grau de dificuldade da questão é considerado médio, já que envolve

conceitos bem conhecidos do Cálculo Diferencial ainda que numa abordagem de

Análise Matemática.

Referências Bibliográficas: FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA; Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 1975. LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, 1987. v.1. SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.1.


QUESTÃO 20

Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números

obtidos somando-se a x um número racional, isto é,

Cx = {x + r : r ∈ }.

Sob essas condições, conclui-se que

(A) o número π pertence ao conjunto C1.

(B) o conjunto C4 ∩ C5 possui um único elemento.

(C) o número 2 pertence ao conjunto 3C .

(D) os conjuntos C3 e C1/3 são iguais.

(E) o número zero pertence ao conjunto ππ −∪CC . Gabarito: Alternativa D Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal Comentário:

A compreensão da questão implica no conhecimento da Teoria dos Conjuntos e,

principalmente, das propriedades básicas dos números racionais, irracionais e reais.

Segundo Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), enquanto no Ensino Médio os

números naturais, inteiros e racionais são bastante estudados, os irracionais são

tratados de forma muito superficial e, muitas vezes, de forma errônea. Na opinião

dos autores, “o estudo dos irracionais é essencial e, sob alguns aspectos, até muito

mais importante do que o estudo dos racionais” (p. 174).

Em breve introdução sobre a Teoria dos Conjuntos, Ávila (2006) apresenta as

ideias desenvolvidas por Cantor, por volta de 1872, estabelecendo a superioridade

dos números irracionais em relação aos números racionais, pelo menos em termos

de “quantidade”. Cantor provou que a infinitude dos números irracionais é muito

maior que aquela dos racionais, já que estes admitem uma correspondência

biunívoca com os números naturais, enquanto que não é possível definir uma

bijeção entre o conjunto dos irracionais e o dos naturais, comprovando que o infinito

dos números irracionais é maior do que o dos números racionais.

Considerando o conjunto Cx = {x + r : r ∈ }, para cada número real x, pode-se

afirmar que:


(1) Cx = , para cada número racional x. Com efeito, Cx ⊂ , pois, sendo x racional,

os elementos de Cx serão todos racionais, ou seja, (x + r) ∈ , ∈∀r ; ⊂ Cx, pois

todo número racional pode ser escrito na forma (x + r), ∈∀r .

(2) Se x não for racional, os elementos de Cx serão todos irracionais, pois

(x + r) ∉ , ∈∀r .

Em vista disso, pode-se afirmar que:

a) a alternativa A é falsa: C1 consiste apenas de elementos racionais, pois C1 é igual

a e π é um número irracional.

b) a alternativa B é falsa: o conjunto C4C5 possui infinitos elementos, pois cada

conjunto é igual a .

c) a alternativa C é falsa: o número 32 C∉ , pois )3(2 r+≠ , ∈∀r .

d) a alternativa D é verdadeira: os conjuntos C3 e C1/3 são ambos iguais a .

e) a alternativa E é falsa: tem-se que )(0 ππ −+= e, portanto, o número 0 não

pertence a πC , nem a π−C .

Conclui-se, então, que apenas a alternativa D é verdadeira.

Embora o assunto seja objeto de estudo desde o ensino fundamental,

considera-se médio o grau de dificuldade desta questão, pois a forma como ela está

formulada, a linguagem formal e a compreensão da estrutura dos conjuntos

numéricos, exigem um nível de conhecimento mais elaborado.

Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2006. RIPOLL, J. B.; RIPOLL, C. C.; SILVEIRA, J. F. P. Números racionais, reais e complexos. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2006.


QUESTÃO 21

Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de

Q(x) = x2 – 4?

(A) k = -4 e m = 12 (B) k = -3 e m = -4 (C) k = -3 e m = -12 (D) k = -4 e m = -3 (E) k = -2 e m = 2 Gabarito: Alternativa A Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues Comentário:

Como os polinômios apresentados, P(x) e Q(x), têm coeficientes reais, para

resolver esta questão, são necessários os conhecimentos de anel de polinômios sobre

um corpo e sistemas lineares. Um trabalho mais aprofundado sobre polinômios pode

ser encontrado em Gonçalves (2003) ou Garcia e Lequain (2002). Os sistemas

lineares de duas variáveis são trabalhados a partir do Ensino Fundamental.

Como P(x) é um polinômio múltiplo de Q(x) = x2 - 4 e Q(x) tem raízes -2 e 2

em , então P(-2) = 0 e P(2) = 0. Assim, ao efetuar a substituição do -2 e do 2 nesse

polinômio, chega-se às equações:

2k + m = 4,

-2k + m = 20,

o que leva, facilmente, ao resultado k = -4 e m = 12. Portanto, a alternativa A é

a correta.

A questão pode ser considerada fácil, pois envolve um assunto bastante

trabalhado desde o ensino fundamental e, também, em diversas disciplinas do curso

de Licenciatura em Matemática.

Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.


QUESTÃO 22

Uma transformação linear T: 2 → 2 faz uma reflexão em relação ao eixo

horizontal, conforme mostrado na figura a seguir.

Essa transformação T

(A) é dada por T(x, y) = (-x, y). (B) tem autovetor (0, -1) com autovalor associado igual a 2. (C) tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1. (D) tem autovalor de multiplicidade 2. (E) não é inversível. Gabarito: Alternativa C Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci Comentário:

Para analisar a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de

transformação linear, operador linear e suas propriedades, matriz de uma

transformação linear e suas propriedades, operador linear inversível e, ainda,

autovalores e autovetores de um operador linear.

Se T: V → W é uma função de um espaço vetorial V em outro espaço vetorial

W, então T é chamada uma transformação linear

a. T(u + v) = T(u) + T(v),

de V em W se, para quaisquer

vetores u e v em V e qualquer escalar c valem:

b. T(cv) = cT(v).

No caso especial em que V = W, a transformação linear é chamada um

operador linear de V. Em particular, considere os operadores lineares no plano

y

2

0

u

6

T u( )

2

2 x2


2 = {(x, y); x, y ∈ }, ou seja, as transformações lineares T: 2 → 2. Como

exemplo, tem-se a reflexão em torno do eixo dos x. Essa transformação linear leva

cada ponto (x, y) para a sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos xx’ e é

a transformação linear apresentada nesta questão. A matriz deste operador linear na

base canônica é

[ ]

−

=10

01T ,

pois

[ ] ),(10

01),( yx

yx

yx

yx

TyxT −=

−

=

⋅

−

=

⋅= .

O operador linear T: V → V , que associa a cada v ∈ V um vetor T(v) ∈ V, é

dito inversível

Tem-se, também que um vetor não nulo v ∈ V é

, se existir outro operador linear S: V → V , que a cada vetor

transformado T(v), associe o vetor de partida v. O operador inverso é indicado por

T-1. Um operador linear será inversível, se sua matriz for inversível.

autovetor do operador linear

T: V → V , se existir α ∈ tal que T(v) = α v. O número real α é denominado

autovalor

Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de

algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que:

de T associado ao autovetor v.

a) A alternativa A não é verdadeira. O operador linear T: 2 → 2 apresentado na

questão indica que T(4,2) = (4,-2), enquanto que o operador dado na alternativa A,

T(x,y) = (-x,y) resultaria em T(4,2) = (-4,2).

b) A alternativa E é falsa. A matriz [ T ] é inversível e sua inversa é igual a [ T ], ou

seja, o operador linear T é inversível e seu operador inverso é ele mesmo.

c) Para identificar dentre as alternativas B, C e D qual é a verdadeira, é necessário

obter os autovalores e autovetores de T. De acordo com a definição de autovetor,

tem-se: T(x, y) = α(x, y), para (x, y) ≠ (0, 0) , o que implica (x, - y) = (α x, α y). Por

comparação, tem-se o sistema x – α x = 0 e -y - α y = 0. Usando a forma matricial

para escrever esse sistema, obtém-se

=

−−

−00

1001

yx

αα

.


Como o sistema é homogêneo, para obter uma solução não nula, é

necessário que o determinante da matriz dos coeficientes

−−

−α

α1001

seja igual

a zero, ou seja,

01001

det =

−−

−α

α,

e, consequentemente, 0)1)(1( =−−− αα , obtendo-se α = 1 ou α = -1, que são os

únicos autovalores de T de multiplicidade 1. Portanto, justifica-se que as alternativas

B e D são falsas.

d) A alternativa correta é a C, pois o conjunto dos autovetores de T associados ao

autovalor 1 é formado pelos vetores que satisfazem a condição (x, -y) = (x, y), ou

seja, os vetores da forma (x, 0), para x ≠ 0 . Tem-se que o vetor (2,0) é autovetor

associado a autovalor 1.

Esta questão pode parecer difícil, por exigir conhecimento de diversos

conceitos e propriedades dos operadores lineares, principalmente os conceitos de

autovalores e autovetores e resolução de sistemas homogêneos. No entanto,

observa-se que, se o candidato souber calcular autovalores e autovetores de um

operador linear no plano, imediatamente escolhe a alternativa correta, sem a análise

das alternativas A e E, que apresentam outros conceitos referentes às

transformações lineares. Além disso, com o entendimento da reflexão de vetores e

do conceito de autovalores e autovetores, por eliminação, é possível chegar à

alternativa correta.

Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.


QUESTÃO 23

Considere o sistema de equações a seguir.

=++=++

=++

54334222

1

zyxzyx

zyx .

Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações

lineares.

O sistema não tem solução

porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.

A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa B

Autoria: Francisco Alberto Rheingantz Silveira

Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de matrizes e técnicas

para resolver sistemas de equações lineares.

Para resolver o sistema proposto

=++=++

=++

54334222

1

zyxzyx

zyx, usa-se a Regra de Cramer

A solução de um sistema de equações lineares com n equações e n

incógnitas A X = B, em que A representa a matriz dos coeficientes, B a matriz dos

termos independentes e X a matriz das variáveis (incógnitas) é dada pela fórmula

.


∆∆

= ii

Xx , sendo )det(A=∆ (determinante iX∆ da matriz A) e é o determinante da

matriz Xi obtida pela substituição da i-ésima coluna de A pelos valores do vetor-

coluna B. Sabe-se que:

a. Se 0≠∆ , o sistema é possível e determinado.

b. Se 0=∆ e 0=∆ iX para todo i = 1, ... , n, o sistema é possível e indeterminado.

c. Se 0=∆ e 0≠∆ iX para algum i, i = 1, ... , n, o sistema é impossível.

Desta forma:

A matriz

=

433222111

A tem ∆ = det (A) = 0.

A matriz

=

435224111

1X tem 041 ≠−=∆X .

De acordo com o item 3, o sistema não tem solução e a resposta correta é a

da alternativa B: as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda

não é uma justificativa correta da primeira.

Esta questão é considerada fácil, pois sua elaboração envolve conceitos

trabalhados desde a Educação Básica.

Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. CARAKUSHANSKY, M. S.; LAPENHA, G. Introdução à álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976.


QUESTÃO 24

Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números

racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i ≥ 1, Ii

denote o intervalo aberto

+− ++ 22 2

1,21

iiii rr , cujo comprimento é li. Qual é a soma

da série ∑∞

=1iil ?

(A) 31

(B) 21

(C) 32

(D) 43

(E) 45

Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos

Comentário: Apesar de, no enunciado inicial da questão, ser sugerido um conhecimento

sobre conjuntos enumeráveis e a densidade do conjunto dos racionais em ,

para resolvê-la, bastam os conceitos relativos a comprimento de um intervalo e a

série geométrica.

Ao usar-se a linguagem geométrica, um intervalo [a,b] pode ser

interpretado como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b.

Portanto, o comprimento do intervalo [a,b] é o comprimento do segmento

ab, b – a. Igualmente, o comprimento do intervalo (a, b) é b – a, uma vez que, ao

serem retiradas as duas extremidades do intervalo, está-se subtraindo um

conjunto de dimensão zero.


A série geométrica ...2

1

1 +++=∑∞

=

− araraarn

n é convergente se |r| < 1 e sua

soma é r

aarn

n

−=∑

∞

=

−

11

1 .

É solicitado que se calcule a soma ∑∞

=1iil , sendo li o comprimento do intervalo

)21,

21( 22 ++ +− iiii rr . Considerando-se os conceitos apresentados acima, chega-se a

12222222 21

22

21

21

21

21)

21()

21( ++++++++ ==+=+−+=−−+= iiiiiiiiiiiii rrrrl

de forma que:

...21.

21

21.

21

21

...21.

21

21.

21

21...

21

21

21

21

2

222

22224321

11

+

+

+=

=+++=+++== ∑∑∞

=+

∞

= ii

iil

é uma série geométrica de razão r = 21 e primeiro termo a =

41

212 = . Como a razão

tem módulo menor do que um, sua soma pode ser calculada por:

21

241

211

41

21

11

1=

−=

−== ∑∑

∞

=+

∞

= ii

iil .

A soma ainda pode ser obtida de forma muito rápida, se, uma vez sabendo-se

que a série é convergente, o fator 1/4 for posto em evidência, resultando em:

212.

41.)..

21

211(

41...

21

21

21

21

24321

11

==+++=+++== ∑∑∞

=+

∞

= ii

iil ,

em que a soma dos infinitos termos de ...21

211 2 +++ é de fácil obtenção, podendo-

se, para isso, utilizar uma interpretação geométrica, sendo que cada parcela

adicionada é metade do que falta para o total chegar a dois. Considera-se

importante, na resolução de problemas, a habilidade de visualizar um caminho mais

simples de chegar à solução. Entretanto, a definição do conjunto Q1 como uma

enumeração dos racionais do intervalo [0, 1], confunde o resolutor, remetendo-o a

assuntos que não serão necessários para a escolha da alternativa correta.


Assim, conclui-se que a alternativa B está correta e que:

a) a alternativa A está errada, mas este valor seria obtido se o valor da razão fosse

considerado, indevidamente, igual a 1/4;

b) a alternativa C está errada, mas este valor seria obtido se, erroneamente, fossem

trocados os valores da razão e do primeiro termo;

c) as alternativas D e E estão erradas, mas poderiam ter sido escolhidas, pelo

denominador da soma ser 4, que é divisor dos denominadores de todos os termos

da série;

d) a alternativa B está correta.

Entende-se que esta questão é razoavelmente fácil, por exigir, basicamente, o

conhecimento de dois conceitos: comprimento de um intervalo e soma da série

geométrica.

Referências Bibliográficas: LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.


QUESTÃO 25

O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um

software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura

a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção.

Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que

o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações.

I O volume da pirâmide SMNP é igual 1/2.

II A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo.

III As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.


(A) I, apenas. (B) III, apenas. (C) I e II, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. Gabarito: Alternativa B

Autores: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

Comentário: Para analisar esta questão, necessita-se de conceitos básicos de geometria,

tais como retas perpendiculares e reversas, triângulo, paralelogramo, pirâmide,

tetraedro regular, volume e aresta, bem como as propriedades que os envolvem.

Estes conceitos e propriedades são encontrados em livros da Educação Básica ou

de Geometria, dentre os quais podem ser citados: Hemmerling (1971), Jurgensen,

Donnely e Dolciani (1985) e Moise e Downs Jr. (1966).

R

M

U

T

N

PS


Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Um

polígono é dito regular, se todos os seus lados e todos os seus ângulos são

congruentes. Uma pirâmide é um poliedro com uma face, chamada base, que é um

polígono e as outras faces são triângulos que se encontram em um ponto comum,

chamado vértice da pirâmide. A altura da pirâmide é o comprimento da

perpendicular baixada do vértice ao plano que contém a base. Uma pirâmide é dita

regular, se tem como base um polígono regular e a altura desde o vértice é

perpendicular à base em seu centro. Uma pirâmide cuja base também é um

triângulo, como mostra a figura acima, chama-se tetraedro. O volume

h

de uma

pirâmide é igual a um terço do produto de sua altura pela área da base bA , isto é

3bhAV = (1). A altura de um tetraedro regular é igual a 6 multiplicada por um terço

do comprimento da aresta a , isto é 36ah = (2). A área de um triângulo equilátero

3

(base do tetraedro) é igual a multiplicada por um quarto do quadrado do

comprimento da aresta a , isto é 43 2aA = (3). Desta forma, sendo a a medida da

aresta de um tetraedro regular, por (1), (2) e (3) seu volume será igual a 3

122 aV = .

Duas pirâmides regulares são ditas semelhantes, se suas bases são

polígonos semelhantes e se suas alturas estão na mesma razão que as arestas

correspondentes das bases. Dois polígonos são semelhantes,

Quando duas retas no espaço não estão contidas no mesmo plano (o que

necessariamente implica em que elas não têm ponto comum), elas são chamadas

de

se seus ângulos

correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais.

retas reversas


.

a) As pirâmides RSTU e SMNP são semelhantes, pois os triângulos da base, SNP e

SUT, são semelhantes (21

==STSP

SUSN e TSUPSN ˆˆ = ), pelo teorema:


Seja dada uma correspondência entre dois triângulos. Se dois pares de

lados correspondentes são proporcionais e os ângulos compreendidos

são congruentes, então estes triângulos são semelhantes.

E suas alturas estão na mesma razão do que as arestas das bases

=21

32

6

36

a

a

.

Sendo o volume da pirâmide RSTU igual a 1, e as arestas da pirâmide SMNP

medindo a metade das arestas da pirâmide RSTU, então, pelo teorema:

Os volumes de duas pirâmides regulares semelhantes estão na mesma

razão que os cubos das arestas de suas bases ou de suas alturas,

o volume do tetraedro SMNP é 1/8, ou seja, a afirmação I é falsa.

Este resultado, também, poderia ser obtido utilizando a fórmula do volume

de um tetraedro regular, apresentada acima. Como o volume do tetraedro RSTU

é igual a 1, tem-se que:

333 3226112

2=⇒=⇒= aaa

e, como a aresta a1 de SMNP é a metade de a, ou seja, 2

32 3

1 =a , tem-se que o

volume de SMNP será igual a ( ) ( )81

81234

)2(1232

232

122

122

3

33433

31 ===

=

xxa ,

mostrando, também, que a afirmação I é falsa.

b) A intersecção do plano α com o tetraedro RSTU é o triângulo MNP e não

um paralelogramo, portanto a afirmação II é falsa. Para demonstrar isto, usa-se o

seguinte teorema:

Toda seção transversal de uma pirâmide triangular, entre a base e o vértice,

é uma região triangular semelhante à base,

sendo que uma seção transversal de uma pirâmide é a intersecção desta pirâmide com

um plano paralelo ao plano que contém a sua base. Resta mostrar que o plano α é


paralelo ao plano β, que contém os pontos R, U e T. Para tanto, consideram-se os

seguintes teoremas, que garantem o paralelismo destes dois planos:

O segmento entre os pontos médios de dois lados de um triângulo é

paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento,

resultando que NP e NM são paralelos a UT e UR, respectivamente;

Um plano α e uma reta r não contida em α são paralelos se, e somente

se, existe uma reta s paralela a r e contida em α,

resultando que as retas que contém NP e NM são paralelas ao plano β;

Se um plano α é paralelo a duas retas concorrentes contidas em um

plano β, então α e β são planos paralelos,

resultando que os planos α e β são paralelos.

c) Como foi mostrado acima, o plano α é paralelo ao plano β. As retas que contém as

arestas MP e RU estão contidas nos planos α e β, respectivamente. Portanto, as retas

que contém as arestas MP e RU são reversas, sendo a afirmação III verdadeira.

Com base no exposto acima, a alternativa correta é a B, pois, apenas a

afirmação III é verdadeira.

Esta questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois

envolve diversos conceitos e teoremas de geometria plana e espacial e, para

justificar a veracidade das afirmações, é necessário relacioná-los.

Referências Bibliográficas: CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1982. HEMMERLING, E. M. Geometria elemental. Buenos Aires: Ed. Limusa Wiley, 1971. JURGENSEN, R. C.; DONNELY, A. J.; DOLCIANI, M. P. Geometria moderna: estructura y método. México: Publicaciones Cultural, 1985. MOISE, E. E.; DOWNS Jr., F. L. Geometría moderna. Reading: Addison – Wesley, 1966.


QUESTÃO 26

Analisando a função f(x, y) = x2(x - 1) + y(2x - y), definida no domínio

D = {(x, y) ∈ 2; -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}, um estudante de cálculo diferencial escreveu

o seguinte:

A função f tem um ponto de mínimo global em D

porque o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f.

A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.


(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário:

A resolução da questão implica no conhecimento de derivadas parciais e sua

aplicação na determinação de extremos de uma função. Além disso, é necessário ter

noções de topologia e do Teorema de Weierstrass para funções de duas variáveis.

Os conceitos de topologia envolvidos na questão incluem as definições de

conjunto fechado, aquele que inclui todos os seus pontos de fronteira, e de conjunto

limitado, aquele que está contido em algum disco. Um disco

O conjunto D, da questão, é fechado, pois contém sua fronteira, constituída

pelos segmentos

de centro em (a,b) e raio

r > 0 é o conjunto dos pontos (x,y) de 2, cuja distância até (a,b) é menor do que r.

[x = -1 , -1 < y < 1], [x = 1 , -1 < y < 1], [y = -1 , -1 < x < 1] e [y = 1 , -1 < x < 1].

Também podemos afirmar que D é limitado, pois está contido no disco de centro na

origem e raio 2, por exemplo.


Uma função real f de duas variáveis atinge um mínimo local, em um ponto

(a,b) de seu domínio, se f(a,b) < f(x,y) para todo ponto (x,y) do domínio de f que

estiver em um disco de centro em (a,b). Por outro lado, se a desigualdade vale para

todos os pontos (x,y) do domínio de f, a função atinge o mínimo global (ou absoluto)

em (a,b). Um ponto (x0,y0) é um ponto crítico

A função f(x,y) da questão é polinomial, portanto é contínua e tem derivadas

parciais contínuas, sendo

de f se fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0, ou

se uma das derivadas parciais não estiver definida em (x0,y0).

fx(x,y) = 2x(x – 1) + x2 + 2y = 2x2 – 2x + x2 + 2y = 3x2 – 2x + 2y

e

fy(x,y) = (2x – y) – y = 2x – 2y.

Como fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0, tem-se que (0,0) é um ponto crítico de f, o que

mostra que a segunda asserção é verdadeira. Porém, uma vez que não é válida a

recíproca do teorema:

Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas

parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então fx(a,b) = 0 e

fy(a,b) = 0

essa asserção não justifica a primeira.

Por outro lado, um subconjunto K de n (em particular de 2) é compacto,

quando ele é limitado e fechado. Como já foi constatado que

D = {(x, y) ∈ 2; -1 < x < 1, -1 < y < 1} é fechado e limitado, então ele é compacto.

Juntando-se a isso o fato de f ser contínua, tem-se as hipóteses do teorema de

Weierstrass

Toda função real contínua f: K → , definida, num compacto K ⊂ n,

atinge seu máximo e seu mínimo em K, isto é, existem pontos x0, x1 ∈ K

tais que f(x0) < f(x) < f(x1) para qualquer x ∈ K

:

que garante que f atinge o mínimo (e o máximo) global em D. Isso mostra que a

primeira asserção é verdadeira.

Considerando os conceitos e resultados apresentados acima, e a afirmação: a

função f tem um ponto de mínimo global em D, porque o ponto (0, 0) é um ponto

crítico de f, conclui-se que:


a) a alternativa A está errada, pois, embora sejam verdadeiras as duas asserções, o

que justifica a primeira é o teorema de Weierstrass e não a segunda asserção;

b) a alternativa C está errada porque a segunda asserção é verdadeira;

c) a alternativa D está errada, porque a primeira asserção é verdadeira;

d) a alternativa E está errada porque as asserções são ambas verdadeiras;

e) a alternativa B está correta.

Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois envolve

dois tipos de habilidades, a aplicação de conceitos e a relação entre eles. Além de

conhecer as definições de mínimo global e ponto crítico, o resolvente precisa

reconhecer propriedades, tanto na função quanto no conjunto apresentados, para,

apropriado dos resultados a respeito do assunto, decidir qual deles – neste caso, o

teorema de Weierstrass – se aplica à situação apresentada. Porém, o trabalho com

otimização é muito enfatizado nas disciplinas de Cálculo, o que torna o aluno

familiarizado com o tema.

Referências Bibliográficas: LIMA, E. L. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1981. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.


QUESTÃO 27

Qual é o resto da divisão de 2334 por 23?

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 (E) 20 Gabarito: Alternativa D Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues

Comentário: Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: congruência

módulo n, anel dos inteiros módulo n e o Pequeno Teorema de Fermat.

Considerando as operações em /n, será usada na resolução da questão,

a seguinte propriedade:

Sejam a e b dois números inteiros tais que a ≡ b (mod n) e k um número

natural não nulo. Então ak ≡ bk (mod n).

A prova dessa propriedade é feita a seguir, usando indução matemática e

também a propriedade: a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n),

∈∀ dcba ,,, .

Observa-se que se k = 1 a afirmação é óbvia.

Supõe-se, então, que a afirmação seja válida para algum inteiro 1≥q , isto é:

se a ≡ b (mod n) então aq ≡ bq (mod n). Assim decorrendo, se a ≡ b (mod n), obtém-

se aq ≡ bq (mod n) e, consequentemente, aqa ≡ bq b (mod n). Portanto,

aq+1 ≡ bq+1 (mod n), demonstrando a validade do resultado.

Usa-se, também, o Pequeno Teorema de Fermat:

Seja p um número primo. Então ∈∀≡− xpx p ),(mod11 – (p) ou,

equivalentemente, ∈∀≡− xx p ,11 p - }.0{

Pode-se encontrar uma prova detalhada deste teorema em Garcia e Lequain

(2002, p. 101 e 134) ou Santos (1998, p. 41).

Observe que 334 = 15. 22 + 4.


Procura-se o resto da divisão por 23, que é um número primo. Assim, como

02 ≠ em 23, pelo Pequeno Teorema de Fermat, obtém-se que 222 ≡ 1(mod 23).

Aplicando a propriedade acima tem-se (222)15 ≡ 115(mod 23), isto é, 2330 ≡ 1(mod 23).

Pode-se, então, concluir que 2330.24 ≡ 1.24(mod 23) e, portanto, 2334 ≡ 16(mod 23).

Então, o resto solicitado será 16 e a alternativa correta é a D.

Esta questão apresenta um grau de dificuldade médio, já que pode ser

resolvida por tentativas uma vez que se pode chegar ao número 22 sem usar o

teorema. No entanto, se esse número fosse maior, a solução por tentativa

apresentaria uma dificuldade bem maior.

Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998.


QUESTÃO 28 – DISCURSIVA

Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área plantada e da

produtividade das lavouras brasileiras de soja com relação às safras de 2000 a 2007.

Com base nessas informações, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva

suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II = produtividade (em kg/ha)

e III = produção total de soja (em milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo.

ano I II III 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

b) Faça o esboço do “gráfico de linhas” que representa a quantidade de quilogramas de

soja produzidos no Brasil, em milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie

as variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado para seu gráfico.

Autoria: Augusto Vieira Cardona

Comentário: a) Analisando a figura acima, os valores da coluna I e II são retirados, respectivamente,

dos gráficos localizados à esquerda e à direita. Os valores da coluna III são obtidos,


multiplicando-se os valores das colunas I e II, para cada ano, resultando a produção

total de soja (em milhões de kg), e dividindo este resultado por mil.

Tabela 1: A área plantada, produtividade e produção total de soja.

ano I II III 2000 13,6 2.400 32.640 2001 14 2.700 37.800 2002 16,4 2.500 41.000 2003 18,5 2.800 51.800 2004 21,5 2.300 494.50 2005 23 2.200 50.600 2006 22 2.500 55.000 2007 21 2.800 58.800

b) O gráfico ilustrado na figura 1 apresenta alguns valores da tabela acima, sendo

que no eixo das abscissas tem-se os anos, e no eixo das ordenadas são colocados

os valores da coluna III para o ano respectivo.

Figura 1: Produção anual de soja no Brasil.

Esta questão é fácil, já que pode ser resolvida a partir da leitura de gráficos e

de operações elementares.

Referência Bibliográfica: IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática: 6ª Série. São Paulo: Ed. Scipione, 1997.



Considere a seqüência numérica definida por

aa =1

nn aaa +=+1 , para n = 1, 2, 3, ...

Usando o princípio de indução finita, mostre que aan < para todo n ≥ 1 e a ≥ 2. Para

isso, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas respostas para o

Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada.

b) Prove que a(a - 1) > 0 para a ≥ 2.

c) Mostre que aa < para todo a ≥ 2.

d) Supondo que aan < , prove que aan 21 <+ .

e) Mostre que aan <+1 .

f) A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.

Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos Comentário:

Os principais conceitos envolvidos na resolução desta questão são relativos à

definição de sequências por recorrência, ou sequências recorrentes, e à indução finita.

A questão também avalia a habilidade de utilizar corretamente a escrita formal em

Matemática, bem como a organização lógica do aluno, ao solicitar que se destaque

hipótese, tese e etapas de demonstração da propriedade citada no enunciado.

Uma sequência é recorrente,

O

quando seu termo geral é definido por uma

função de um ou mais de seus termos precedentes.

princípio da indução finita é um dos axiomas que caracterizam os números

naturais, conhecidos como Axiomas de Peano e, segundo ele, se um conjunto de

números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um de

seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais. O sucessor

O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido

de um número natural n é o número natural n + 1.


como método de indução (ou recorrência), o qual funciona assim: “se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número n, daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais”. (LIMA, 1993, p.2)

A propriedade a ser demonstrada pode ser expressa como: se a sequência

( na ) é definida por aa =1 e nn aaa +=+1 , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2, então

aan < , para n = 1, 2, 3, ... . Assim, atendendo o item a), identifica-se “a sequência

( na ) é definida por aa =1 e nn aaa +=+1 , para n = 1, 2, 3, ... e a > 2” como

hipótese aan < e “ , para n = 1, 2, 3, ...” como tese

Para resolver o item b), usa-se a propriedade da “monotonicidade da adição”

para a relação de ordem em , somando-se -1 a cada membro em:

.

11212 =−≥−⇒≥ aa , concluindo que tanto a quanto 1−a são positivos. Das

propriedades da multiplicação de números reais que resultam nas “regras de sinais”,

obtém-se que )1( −aa também é positivo, ou seja, 0)1( >−aa .

O item c) decorre, a partir do resultado anterior, das seguintes implicações:

aaaaaaaaaa <⇔>⇒>⇒>−⇒>−)3(

2)2(

2)1(

00)1( ,

que são justificadas:

(1) Distributividade da multiplicação em relação à adição nos reais.

(2) Monotonicidade da adição para a relação de ordem nos reais (somando-se a a

cada membro).

(3) A função raiz quadrada é crescente no conjunto dos números reais positivos.

Supondo aan < , de (3) e do item c), resulta aaan << . Então, por (2),

.2aaaaa n =+<+ Daí, aaaa nn 21 <+=+ , o que prova o item d).

Para provar o item e), basta observar que, por hipótese, 2≥a , o que implica

em 02 ≥−a . Como 0>a , temos

aaaaaaaaaa ≤⇒≤⇒≥⇒≥−⇒≥− 222020)2( 222 .

Assim, aaan ≤<+ 21 , pelo item d).

Por fim, conclui-se o item f) a partir dos passos da prova por indução:


I. A propriedade é válida para o número 1, pelo item c).

II. Supondo que a propriedade é válida para um número n, então ela é válida para o

número s(n) = n + 1, pelos itens d) e e).

Logo, a propriedade vale para n = 1, 2, 3, ... .

A questão poderia ser considerada difícil, caso a solução não estivesse

fracionada em etapas que conduzem à prova solicitada. Em vista disso, entende-se

que o seu grau de dificuldade é médio. Apesar de apresentar uma sequência

recorrente no enunciado inicial, os conhecimentos mais enfatizados para obter a

solução são relativos a propriedades da relação de ordem e das operações nos

números reais.

Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. LIMA, E. L. Análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1993.


LICENCIATURA


QUESTÃO 30

As potencialidades pedagógicas da história no ensino de Matemática têm sido

bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de

Matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação.

Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da

informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se

interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos

ímpares e quadrados perfeitos.

Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles

completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem

ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que

observassem alguma propriedade comum a esses números.

A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações

seguintes.

I Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois

quadrados perfeitos.

II Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois


III Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois


Está correto o que se afirma em

(A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. Gabarito: Alternativa A Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues

3 5 7 11 13 17 19 23 29

1+4 4+9 1+16

não sim não não sim sim


Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conceito de número primo.

A partir da tabela, pode-se concluir que a alternativa correta é a A, até porque

alguns exemplos mostram a falsidade das demais. Entretanto, pode-se questionar a

expressão “todo” usada nas afirmações, pois para isso, certamente não basta uma

tabela com um número finito de exemplos. Veja Garcia e Lequain (2002, p. 4 e 102).

Esta questão é fácil, pois o conceito de número primo é trabalhado desde o

ensino fundamental e a tabela dá o encaminhamento para a solução da questão.

Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.


QUESTÃO 31

Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte questão:

Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função crescente?

Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão proposta, é

adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos

(A) considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores da função f em muitos pontos e comparem os valores obtidos.

(B) considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.

(C) formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de uma das funções y = mex, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.

(D) esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o que acontece com esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.

(E) construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.

Gabarito: Alternativa D Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci

Comentário: Para analisar a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função

crescente e de função decrescente, do gráfico das funções xexf =)( e xexf −=)( e

ter habilidade na construção de gráficos de outras funções a partir destas.

Uma função f definida em um intervalo I é crescente

)()( 21 xfxf <

em I, quando

para 21 xx < , sendo 1x e 2x pontos desse intervalo I e uma função f

definida em um intervalo I é decrescente )()( 21 xfxf > em I, quando para 21 xx < ,

sendo 1x e 2x pontos desse intervalo I.

A análise da questão será feita com base nos seguintes gráficos:


Figura 1: Função exponencial. Considerando os conceitos e os dois gráficos apresentados na figura 1,

conclui-se que:

a) A alternativa A não é suficiente para analisar todas as funções obtidas pela

expressão kxmexf =)( , pois apenas indica que a função xexf =)( é crescente

(gráfico acima à esquerda) e não faz referência à análise do comportamento das

funções geradas com outros valores de m e k, não nulos;

b) A alternativa B sugere as possibilidades xexf =)( e xexf −=)( . Como a função

xexf −=)( representa uma reflexão do gráfico de xexf =)( (função crescente) em

torno do eixo das abscissas, tem-se que xexf −=)( é decrescente. Assim, a

alternativa B não é suficiente para responder a questão, pois se restringe apenas às

possibilidades apresentadas;

c) Na alternativa C, são consideradas algumas possibilidades para 1≥m , com k = 1,

o que gera um conjunto de funções do tipo xmexf =)( , cujos gráficos são obtidos

por meio de um alongamento vertical do gráfico de xexf =)( , por um fator m > 1, o

que leva a concluir que as funções do tipo xmexf =)( são crescentes. Assim, a

alternativa C não é suficiente para responder à questão, pois não são considerados

todos os valores possíveis de m e k, não nulos, que formam uma função do tipo kxmexf =)( crescente;

d) A alternativa E sugere a construção de uma tabela para a função xexf =)( ,

considerando valores inteiros para a variável x, sem o uso de uma planilha

eletrônica, o que inviabiliza a comparação dos valores das imagens.

Função exponencial de base 1/e Função exponencial de base e


Assim, a partir do exposto acima, conclui-se que a alternativa correta é a D.

Para justificar essa escolha, consideram-se os seguintes casos:

a) Sendo k > 0, temos que kxexf =)( é crescente, porque representa um

alongamento horizontal do gráfico da função crescente xexf =)( por um fator 1/k,

quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de xexf =)( por

um fator k > 1.

b) Para k > 0, se m > 0, temos que kxmexf =)( é crescente, porque representa um

alongamento vertical do gráfico da função crescente kxexf =)( por um fator m > 1, e

representa uma compressão vertical do gráfico de xexf =)( por um fator 1/m, quando

m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função crescente kxexf =)(

em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função decrescente.

c) Sendo k > 0, temos que kxexf −=)( é decrescente, porque representa um

alongamento horizontal do gráfico da função decrescente xexf −=)( por um fator

1/k, quando k < 1, e representa uma compressão horizontal do gráfico de xexf −=)(

por um fator k > 1.

d) Para k > 0, se m > 0, temos que kxmexf −=)( é decrescente, porque representa um

alongamento vertical do gráfico da função decrescente kxexf −=)( por um fator

m > 1, e representa uma compressão vertical do gráfico de kxexf −=)( por um fator 1/m,

quando m < 1. Se m < 0, então temos uma reflexão do gráfico da função decrescente kxexf −=)( em torno do eixo das abscissas, obtendo-se uma função crescente.

Pela análise feita anteriormente, conclui-se que kxmexf =)( é crescente,

quando k e m são reais positivos ou quando k e m são reais negativos.

Entende-se que esta questão é fácil, pois exige o conhecimento do gráfico de

funções exponenciais de base a > 1 ou 0 < a < 1 e a habilidade na construção de

gráficos de outras funções a partir destas, por meio de alongamentos ou

compressões verticais ou horizontais e também reflexões, conceitos trabalhados

desde o ensino médio e na Licenciatura de Matemática.

Referência Bibliográfica: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1


QUESTÃO 32

A Matemática no ensino médio tem papel formativo — contribui para o

desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes — e

caráter instrumental — pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento —, mas

deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com adaptações).

Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o(a) professor(a) deve observar que

(A) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções. (B) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto. (C) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o estudo das

funções exponenciais. (D) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de

crescimento populacional. (E) o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e

de equações algébricas. Gabarito: Alternativa E Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin

Comentário: Para realizar esta questão, é necessário, inicialmente, compreender o que

efetivamente ela solicita: que, além do papel formativo e instrumental, a Matemática

seja compreendida como uma ciência com características estruturais específicas e,

além disso, conhecer conceitos a respeito de polinômios, equações algébricas e das

funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas.

Denomina-se função exponencial a de base ( 0>a e 1≠a ) à função xaxf =)( , definida para todo o x real, tal que para 0>a , a função é crescente e,

para 10 << a , ela é decrescente. Observando os gráficos das referidas funções,

representados na figura 1, pode-se verificar, ainda, que a função exponencial não

tem zeros, o que torna inviável a alternativa A.


a > 0; 0 < a < 1; D(f) = ; D(f) = ;

Im(f) = +; Im(f) = +; f é crescente em todo o seu domínio. f é decrescente em todo o seu domínio.

Figura 1: Função exponencial. Considerando a propriedade dos logarítmos ba,: para e c números reais

positivos com 1≠b , caac bbb logloglog += , observa-se, a partir dela, que um produto

é transformado em soma e não uma soma é transformada em produto, conforme diz a

alternatica C, o que a torna falsa, não podendo ser observada pelo professor.

Por outro lado, entende-se que o estudo das funções trigonométricas não

depende do estudo das exponenciais. Assim, não existe uma justificativa, para que o

seu estudo seja necessariamente, posterior ao das funções exponenciais, o que

torna a alternativa C não verdadeira.

Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006),

”Situações reais de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo

exponencial” (p.75), o que indica a função exponencial e não a quadrática, como um

exemplo típico dos fenômenos de crescimento populacional, o que torna falsa a

alternativa D.

A alternativa E é a verdadeira, na medida em que é correto afirmar que as

propriedades e as operações com polinômios são fundamentais para o estudo das

funções polinomiais e das equações algébricas. Segundo Brasil (2006),

Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 10 merecem ser trabalhados. Esses casos evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado que o número c é um dos zeros da função )(xPy = , esta pode ser expressa como o produto do fator )( cx − por outro polinômio de grau menor, por meio da divisão de P por )( cx − , (p.74).


Esta questão é fácil na medida em que conceitos relacionados às referidas

funções são trabalhados na Educação Básica e em várias disciplinas dos cursos de


Referências Bibliográficas: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. v.2. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do Aluno. São Paulo: Ática, 2004. v.1. PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.


QUESTÃO 33

A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte

equação do segundo grau:

x2 - 1 = (2x + 3)(x - 1).

Pedro e João resolveram o exercício da seguinte maneira.

Pedro e João perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A

professora observou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com

as deles.

Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a

ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos.

(A) Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolução incorreta, onde está o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia inicial escolhida pelo aluno.

(B) Resolver individualmente o exercício para cada aluno, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, mostrando que esse é o método que fornece a resposta correta.

(C) Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e como devem fazer para corrigi-las.

(D) Escrever a solução do exercício no quadro, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, para que os alunos percebam que esse é o método que fornece a resposta correta.

(E) Pedir que cada um deles comunique à classe como resolveu o exercício e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde está a falha na resolução de cada um e como eles devem fazer para corrigi-la.

Resolução de Pedro:x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)x2 ! 1 = 2x2 + x ! 32 ! x = x2

Como 1 é solução dessa equação, então S = {1}

Resolução de João:x2 ! 1 = (2x + 3)(x ! 1)(x ! 1)(x + 1) = (2x + 3)(x ! 1)x + 1 = 2x + 3x = !2Portanto, S = {!2}


Gabarito: Alternativa C Autoria: Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin

Comentário: A alternativa C é a correta, pois, para que a aprendizagem seja

significativa, o professor como mediador, deve proporcionar discussões na sala

de aula, a fim de que os alunos possam, a partir de seus erros, discutindo entre

iguais, encontrar suas hipóteses equivocadas, reformulá-las e chegar à forma

correta de resolver as situações problema apresentadas.

Segundo Brasil (2006),

a aprendizagem de um novo conceito dar-se - ia pela apresentação de uma situação problema ao aluno, ficando a formalização do conceito como última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, caberia ao aluno a construção do conhecimento matemático que permite resolver o problema, tendo o professor como um mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela sistematização do conhecimento (p. 81).

Ao defender suas ideias e seus pontos de vista, os alunos desenvolverão a

criatividade, a capacidade de argumentação, o aprender a aprender.

Assim, a alternativa A é falsa por indicar individualmente o erro, não

possibilitando que o próprio aluno, trocando ideias com seus colegas, verifique suas

hipóteses equivocadas, reformulando-as. As alternativas B, D e E são falsas, pois a

professora, apresentando a forma correta de resolução, individual ou coletivamente,

impede que os alunos, eles mesmos, construam seu conhecimento a partir da

discussão de suas hipóteses equivocadas.

Esta questão é considerada fácil, na medida em que aprendizagem

significativa e erro construtivo, por exemplo, são conceitos trabalhados na

licenciatura e abordados nos documentos que regem a Educação Básica.

Referências Bibliográficas: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. v.2.


QUESTÃO 34

Observe a seguinte atividade de construções geométricas.

• Construir um triângulo ABC qualquer.

• Traçar a bissetriz do ângulo CAB ˆ e, em seguida, a bissetriz do ângulo CBA ˆ .

• Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes.

• Traçar a bissetriz do ângulo BCA ˆ .

O que você observa?

Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à

mesma observação?

O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de

outras similares

(A) pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é desnecessário.

(B) dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos. (C) prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo. (D) dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico. (E) pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos. Gabarito: Alternativa D Autores: Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos

Comentário: Para resolver esta questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos

geométricos como ângulo e sua medida, triângulo e a construção da bissetriz de um

ângulo de um triângulo dado. Estes conceitos são apresentados em livros do Ensino

Básico ou em livros mais avançados como Barbosa (2000) ou Resende e Queiroz

(2000). Alguns destes conceitos serão discutidos aqui.

Seja o um triângulo formado pelos pontos A, B e C e seja D um ponto da

reta que contém B e C. O segmento AD chama-se bissetriz do ângulo Â se a

semirreta de origem A, passando por D, dividir o ângulo BÂC em dois ângulos

congruentes. Demonstra-se que as três bissetrizes de um triângulo se encontram

em um mesmo ponto.


Figura 1: Bissetriz de um ângulo.

Para obter a bissetriz do ângulo BÂC, com o uso de um compasso, traça-se

uma circunferência de centro A e raio arbitrário, suficientemente grande, para

determinar os pontos E e F sobre os lados AB e AC, respectivamente. Traçam-se,

então, circunferências de centro E e F e raio arbitrário, suficientemente grande, para

determinar P, ponto de intersecção destas circunferências. A semirreta de origem A

e passando por P será a bissetriz do ângulo BÂC.

A atividade propõe que o aluno trace as três bissetrizes de um triângulo

qualquer e solicita que ele observe o que acontece. A seguir, desafia-o a pensar se

o que aconteceu ao traçar as três bissetrizes neste triângulo aconteceria em outro

triângulo qualquer.

Certamente, esta atividade poderia ter sido proposta para ser realizada com o

uso de um software de geometria dinâmica uma vez que “esta ferramenta permite

explorar interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do

movimento nas figuras construídas” (BRAVIANO, 2007).

No entanto, o uso de softwares de geometria dinâmica ou similares pode ou

deve ser proposto, quando o aluno está num estágio em que já tenha tido

experiências de geometria intuitiva – experiências que lhe tenham possibilitado

desenvolver o pensamento geométrico – pois tais ferramentas permitem “explorar

interativamente os conceitos da geometria clássica através do uso do movimento nas

figuras construídas” (BRAVIANO, 2007).

Castelnuovo (1975, p. 82) argumenta sobre “a necessidade de desenvolver

um curso de geometria intuitiva, antes de iniciar um estudo de base hipotético-

dedutiva”, dizendo que “o curso de geometria intuitiva tem como finalidade dar à


criança as bases sobre as quais construir o curso de geometria racional”. Ainda,

segundo a autora,

se nos basearmos na hipótese de que o ente geométrico forma-se na mente humana por abstração, a partir de observações de objetos reais e de experiências sobre estes, devemos, fazer preceder ao curso racional um curso de caráter experimental onde os axiomas encontrem raízes naturais (p. 88).

A atividade proposta nesta questão caracteriza-se por uma experiência

concreta própria de uma geometria intuitiva. Não está sendo proposto que o aluno

elabore definições ou enuncie propriedades, mas que faça construções, explore

figuras, faça experimentações e observe regularidades, percebendo diferenças e

semelhanças. Neste caso, o uso de um software da geometria dinâmica, em

substituição ao uso de instrumentos de desenho que possibilitem a exploração do

espaço, é prematuro e pode dificultar o desenvolvimento do pensamento

geométrico, o que justifica a escolha da alternativa D como a correta.

A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois envolve

construções com régua e compasso nem sempre trabalhadas na Educação Básica.

Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática) BRAVIANO, G. Aprendizagem da simetria através de uma sequência didática. Curitiba: Graphica, 2007. Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/APRENDIZAGEMDASIMETRIA.pdf>. Acesso em: 07 de dezembro de 2010. CASTELNUOVO, E. Didactica de la matemática moderna. México: Editorial Trillas, 1975. RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000.


QUESTÃO 35

Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números

inteiros positivos. Por volta de 1400 a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para

multiplicar dois números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para

calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo:

• escolha um dos fatores; por exemplo, 47;

• na 1.ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1.ª coluna e o fator escolhido, na 2.ª coluna;

• em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números da linha anterior, até encontrar, na 1.ª coluna, o menor número cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator, no caso, 33;

• selecione os números da 1.ª coluna cuja soma seja igual a 33, conforme

indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33;

• adicione os números correspondentes da 2.ª coluna, ou seja, 47 + 1.504 = 1.551;

• tome como resultado da multiplicação o valor 1.551. Com base nessas informações, analise as asserções a seguir.

Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois números inteiros

positivos,

porque todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2.




(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas.

1

2

4

8

16

32

47

94

188

376

752

1.504


Gabarito: Alternativa A

Autoria: Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria

Rodrigues Comentário:

A segunda afirmação:

Todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de

potências de 2

é uma proposição verdadeira, pois é um corolário do teorema:

Dados a,b ∈ , com b>1, existem números naturais c0, c1, c2,... ,cn

menores do que b, univocamente determinados, tais que

a = c0 + c1 b + c2 b2 + ... + cn bn .

A primeira afirmação:

Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer dois

números inteiros positivos,

é uma proposição verdadeira, porque o método utiliza-se da propriedade distributiva

da adição em relação à multiplicação, aplicada à decomposição de um dos fatores

em uma soma de potências de 2, no caso:

33 x 47 = (20 + 25) x 47 = (1 + 32) x 47 = 1 x 47 + 32 x 47 = 37 + 1504 = 1551,

o que é sempre possível, pela segunda afirmação.

Desta forma, a resposta correta corresponde à letra A, pois as duas afirmações

são verdadeiras e a segunda asserção é uma justificativa correta da primeira.

Pode-se considerar a questão de nível de dificuldade médio, pois a noção

de distributividade e de potência faz parte do estudo de operações muito

trabalhado num curso de Matemática. No entanto, quando o aluno trabalha com

operações que não são apresentadas na forma rotineira, nem sempre usa seus

conhecimentos para resolver a questão.

Referência Bibliográfica: HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.


QUESTÃO 36

A figura abaixo mostra alguns segmentos construídos em um geoplano por um

estudante, de acordo com a orientação dada pela professora.

Acerca do uso do geoplano retangular nessa atividade, assinale a opção incorreta.

(A) O geoplano auxilia na compreensão de que baba +≠+ .

(B) O geoplano auxilia na compreensão de que baab = .

(C) O geoplano auxilia na representação geométrica de números irracionais da forma a .

(D) O geoplano auxilia na obtenção da relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

(E) O geoplano auxilia na simplificação de expressões com irracionais algébricos, como, por exemplo, 53520 =+ .

Gabarito: Alternativa D Autoria: Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de

Souza

Comentário: A figura que ilustra a questão representa um geoplano retangular. Um

geoplano, geralmente, é confeccionado em prancha de madeira de forma retangular

com pregos fixados em desenhos de diferentes formatos e, para a construção de

diferentes figuras geométricas, são utilizados atilhos de amarrar dinheiro,

preferivelmente, de cores diferentes.

u


Machado (2004) define o geoplano como um recurso didático-pedagógico

dinâmico e manipulativo que propicia ao sujeito construir, movimentar e desfazer

figuras. Para ele,

O Geoplano é um meio, uma ajuda didática que oferece um apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração, proporcionando uma experiência geométrica e algébrica aos estudantes. Contribui para explorar problemas geométricos e algébricos, possibilitando a aferição de conjecturas. (p. 1).

As construções feitas no geoplano podem ser registradas em malhas

pontilhadas ou quadriculadas, o que favorece a etapa de generalização de

conceitos. Na representação de um geoplano retangular, os pontos que

correspondem aos pregos, estão dispostos na intersecção das linhas com as

colunas, onde os pregos estão fixados.

Observando a representação do geoplano apresentada na questão e os

segmentos nela traçados, fica evidenciado que o segmento que une vertical ou

horizontalmente, dois pontos consecutivos representa a unidade de comprimento

e que dois pontos unidos em diagonal não a representam. Estes pontos podem

ser tomados como as diagonais de quadrados ou retângulos formados por

segmentos da malha retangular e considerados como hipotenusas de triângulos

retângulos cujos catetos são os lados dos quadrados ou dos retângulos e podem

ser calculados pela Relação de Pitágoras, como amostra a figura 1 a seguir:

Figura 1: Representação geométrica de números irracionais.


Pode-se, então, concluir que é verdadeiro afirmar que o geoplano auxilia na

representação geométrica de números irracionais da forma a , o que torna correta a

opção C.

Observando a figura 2 a seguir,

Figura 2: Interpretação de propriedades da radiciação.

constata-se que 18135 ≠+ , e pode-se verificar que é verdadeiro afirmar que o

geoplano auxilia na compreensão de que baba +≠+ , o que torna correta a

opção A.

Observando a figura 3 a seguir,


tem-se que: (1) 23292918 =×=×= e (2) 52545420 =×=×=


Por (1) e (2) pode-se afirmar que é verdade que o geoplano auxilia na

compreensão de que baab ⋅= , o que torna correta a opção C.

Observando a figura 4,


verifica-se que 53552520 =+=+ e considera-se verdadeiro afirmar que o

geoplano auxilia na simplificação de expressões com números irracionais algébricos,

o que torna a opção E correta.

Pelo exposto até aqui, pode-se afirmar que o geoplano retangular auxilia na

representação geométrica, na compreensão das operações e na simplificação de

expressões com números irracionais da forma a , o que não é o caso do número π,

relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, o que torna

incorreta a opção D, que também é a única que não refere números irracionais na

forma a .

Esta questão é considerada fácil, na medida em que o respondente já

tenha tido alguma experiência com o geoplano na Educação Básica ou no Curso

de Licenciatura em Matemática.

Referência Bibliográfica: MACHADO, R. M. Mini-curso: explorando o geoplano. In: II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, Salvador – BA, 2004. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf>. Acesso em: 28 de novembro de 2010.

http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf�


QUESTÃO 37

Segundo os parâmetros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem

contribuir com a construção da cidadania. Refletindo sobre esse tema, avalie as

asserções a seguir.

Uma forma de o ensino da Matemática contribuir com a formação do cidadão é o

professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas

soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando o

debate entre eles,

porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as

diferentes estratégias utilizadas, são estimulados a justificar suas próprias

estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a

habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro,

características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.




(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa A

Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos

Comentário: A afirmação abaixo contém as duas asserções que constam na presente questão:

Uma forma de o ensino da Matemática contribuir para a formação do cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando um debate entre eles, porque os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são


estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro, características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.

Pode-se afirmar que esta é uma afirmação verdadeira, referindo literaturas que

estão disponíveis hoje, entre as quais, são citados o texto de Ulisses F. Araujo

(Professor Doutor da Universidade de São Paulo), na p. 5, quando fala sobre o uso de

metodologias que propõem situações-problema e indica a importância das situações de

aprendizagem que propiciam a discussão e a argumentação por parte do educando:

Essa construção pressupõe um sujeito ativo, que participa de maneira intensa e reflexiva das aulas. Um sujeito que constrói sua inteligência e sua personalidade através do diálogo estabelecido com seus pares e com os professores, na própria realidade cotidiana do mundo em que vive.

e a recomendação que consta na p. 42 do Caderno do Professor (2009):

Professor, favoreça que seu aluno leia e resolva as situações-problema propostas, trabalhando com autonomia e chegando aos conceitos muito mais pelas relações que ele próprio possa estabelecer do que pela sua fala.

Desdobrando a referida afirmação em duas proposições, conforme foi

proposto na questão, percebe-se, ainda, nas duas referências citadas, que, além de

verdadeiras, a segunda proposição pode ser considerada uma justificativa correta da

primeira, na medida em que a autonomia é algo que a escola deve se preocupar em

desenvolver, se quiser contribuir para a construção da cidadania.

Desta forma, a resposta correta corresponde à alternativa A.

Esta questão é considerada fácil, pois as literaturas que tratam da Educação

Matemática e da Resolução de Problemas, bem como os documentos legais que

regem a Educação Básica são amplamente trabalhados durante o Curso de


Referências Bibliográficas: ARAUJO, U. F. A construção da cidadania e de relações democráticas no cotidiano escolar. Disponível em: <http://www.redhbrasil.net/documentos/bilbioteca_on_line/modulo4/mod_4_ulisses.pdf>. Acesso em: 07 de abril de 2010. Rio Grande do Sul. Secretaria de Estado da Educação. Departamento Pedagógico. Lições do Rio Grande: Caderno do Professor. Porto Alegre: SE/DP, 2009. v.4.

http://www.redhbrasil.net/documentos/bilbioteca_on_line/modulo4/mod_4_ulisses.pdf�

http://www.redhbrasil.net/documentos/bilbioteca_on_line/modulo4/mod_4_ulisses.pdf�


QUESTÃO 38

Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma situação-problema, estão

sua tradução para a linguagem matemática e a resolução do problema, utilizando-se

conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor propôs a seguinte

situação-problema para seus alunos:

Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da mesma forma de qualquer

um dos lados de uma porta de vidro transparente.

A solução desse problema pressupõe encontrar

(A) letras do alfabeto que sejam simétricas em relação a um ponto. (B) letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo horizontal. (C) letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo vertical. (D) palavras que sejam simétricas em relação a um ponto. (E) palavras que sejam simétricas em relação a um eixo horizontal. Gabarito: Alternativa C Autoria: Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos

Comentário: Somente palavras que têm simetria em relação a um eixo vertical podem ser

lidas da mesma forma de qualquer um dos lados, quando escritas em uma porta

de vidro transparente. Tais palavras como OMO, AMA, OVO, conterão apenas

letras maiúsculas do nosso alfabeto tais que, elas mesmas tenham simetria

em relação a um eixo vertical. Portanto, letras que pertençam ao conjunto

P = {A, H, I, M, N, O, T, U, V, X, Y}.

Assim, é correta a solução desse problema que pressupõe encontrar no nome

da empresa que possa ser lido da mesma forma de ambos os lados de uma porta de

vidro transparente, letras do alfabeto que tenham simetria em relação a um eixo

vertical, o que justifica como verdadeira apenas a alternativa C.

Com o auxílio da bibliografia citada, o leitor poderá ampliar o conceito de

simetria.

Esta questão é considerada fácil se, na Educação Básica ou no Curso de

Licenciatura em Matemática, o respondente tiver trabalhado com o referido tema.


Referências Bibliográficas: ARAUJO, P. V. Curso de Geometria. Lisboa: Gradiva, 2002. DIENES, Z. P.; GOLDING, E. W. A geometria pelas tranformações. São Paulo: Herder, 1971. RÊGO, R. G. do; et al. Padrões de simetria do cotidiano a sala de aula. João Pessoa: Editora Universitária/UFPB, 2006. SMOLE, K.; DINIS, M.; CANDIDA, P. (Orgs.) Figuras e Formas. Porto Alegre: Artmed, 2003. Coleção Matemática de 0 a 6 anos. v.3


QUESTÃO 39

As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática do Sistema de

Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003, para participantes que terminaram,

respectivamente, a 8.ª série do ensino fundamental e o 3.º ano do ensino médio. Na

questão I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, enquanto, na

questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a opção A.

Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não justifica o erro que os

estudantes cometeram ao escolher as suas respostas.

(A) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que a representação do

número decimal 0,ab na forma de fração é ba .

(B) Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que as frações ba e

ab são equivalentes.

(C) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que 0,25 e 41 são

representações de números diferentes.

(D) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que 52

− e -0,4 são

representações de números diferentes. (E) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a representação

decimal da fração ba é a,b.

Gabarito: Alternativa B

Autoria: Marilene Jacintho Müller

O número 0,25 pode serrepresentado pela fração

(A)

(B)

(C)

(D)

14

122518

questão I questão II


Comentário: A questão destaca um conteúdo que deve ser trabalhado profundamente no

Ensino Fundamental. Explora, especificamente, o conhecimento do aluno sobre as

representações fracionária e decimal de um número, a localização de uma fração na

reta real e, também, faz referência ao conceito de frações equivalentes.

Fazendo um breve comentário sobre a questão, pode-se dizer que:

a) Nos itens A e E, observa-se que as respostas apontam para um equívoco que

frequentemente os alunos cometem ao representarem um número decimal na forma

de fração e vice-versa.

b) Nos itens C e D, se os alunos tivessem clareza sobre as representações dos

números racionais e tivessem identificado que os números são iguais, teriam

escolhido a resposta correta. Assim, eles realmente pensam que 0.25 e 1/4 (questão

I) e -2/5 e -0.4 (questão II) são diferentes.

c) Logo, a opção que não justifica o erro que os estudantes cometeram é a B. Na

questão I, por exemplo, 0,25 = 41

10025

= , e não existe alternativa que mostre que o

aluno considera que ab

ba

= . Na questão II, até é possível pensar que o aluno fez

52− equivalente a

25

−, e como

25

− = -2,5, a opção por ele escolhida foi a A. No

entanto, a conjunção “Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera que

as fraçõesba e

ab são equivalentes”, não se verifica.

Entende-se que esta questão é fácil, uma vez que o conhecimento

matemático exigido para resolvê-la é, especificamente, do Ensino Fundamental.

Referências Bibliográficas: DANTE, L. R. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. v.5. IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática. São Paulo: Scipione, 2003. v.5. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. São Paulo: Atual, 2005. v.5.



No retângulo ABCD ao lado, o lado AB mede 7 cm e

o lado AD mede 9 cm. Os pontos I, J, K e L foram

marcados sobre os lados AB, BC, CD e DA,

respectivamente, de modo que os segmentos AI, BJ,

CK e DL são congruentes.

Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva suas

respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

a) Demonstre que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo.

b) Escreva a função que fornece a área do paralelogramo IJKL em função de x e

determine, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo.

c) Na resolução desse problema, que conceitos matemáticos podem ser explorados

com alunos do ensino fundamental e do ensino médio?

Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

Comentário: Para analisar a questão, inicialmente, devem-se conhecer conceitos

geométricos tais como segmentos congruentes, triângulo, quadrilátero,

paralelogramo, retângulo, área de figuras planas e congruência de triângulos. Estes

conceitos podem ser encontrados em livros como Barbosa (2000). Necessita-se,

também, dos conceitos de ponto de mínimo e de ponto de máximo de uma função,

que são apresentados em livros de Cálculo como Stewart (2006). No entanto, para

facilitar o entendimento da resolução desta questão, alguns destes conceitos serão

apresentados a seguir.

Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma

correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos

correspondentes sejam congruentes. Sobre congruência de triângulos, destaca-se o

Axioma LAL:

A x I B

x

J

CDxK

x

L


Se, em dois triângulos ABC e EFG, tem-se EÂ ˆ= , AB = EF e AC = EG,

então os triângulos são congruentes.

Considerando os conceitos apresentados, tem-se que:

a) Para demonstrar que IJKL é um paralelogramo, pode-se mostrar, pelo

axioma LAL, que os triângulos IBJ e KDL são congruentes (DL = BJ = x,

DK = BI = 7 – x e oBD 90ˆˆ == ) e que o triângulo IAL é congruente ao triângulo

KCJ (AI = CK = x, AL = CJ = 9 – x e oCA 90ˆˆ == ). Portanto, tem-se que IJ = LK e

IL = JK e, consequentemente, que o quadrilátero IJKL é um paralelogramo,

pelo teorema:

Se os lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então o

quadrilátero é um paralelogramo.

Esta é uma forma simples de resolver este problema. Existem outras, por

exemplo, a sugerida pelo resolutores do MEC, que utiliza o Teorema ALA.

b) A área do paralelogramo IJKL será obtida retirando-se da área do retângulo

ABCD as áreas dos triângulos ALI, BIJ, CKJ e DKL. A área do retângulo ABCD é

igual a 63, a área dos triângulos BIJ e DKL é igual a 2

)7( xx− e a dos triângulos ALI

e CKJ é igual a 2

)9( xx− . Assim, a área do paralelogramo IJKL é igual a:

631622

)9(22

)7(263)( 2 +−=−

−−

−= xxxxxxxA .

Para determinar o mínimo ou o máximo local de A(x), se existirem, pode-se

utilizar os conhecimentos sobre função quadrática ou os de derivadas e suas

propriedades.

1) Trabalhando com a função quadrática

I. Se a > 0, a função é ilimitada superiormente e assume valor mínimo

f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que:

−

abf

2;

II. Se a < 0, a função é ilimitada inferiormente e assume valor máximo .2

−

abf

Como, em nosso problema, temos a = 2 > 0, b = -16 e c = 63, este ponto de

mínimo é obtido pela propriedade acima, ou seja, 422

)16(2

=−−

=−

=xa

bx .


Pelo gráfico da função quadrática A(x), apresentado na figura 1 abaixo, pode-

se observar que o ponto de mínimo local em x = 4.

Figura 1: Gráfico da parábola 63162)( 2 +−= xxxA .

2) Utilizando o Teste da Derivada Segunda:

Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c.

(a) Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.

(b) Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então f tem um máximo local em c.

Aqui, f’(c) e f’’(c) denotam, respectivamente, as derivadas de primeira e

segunda ordem da função f(x), em x = c. Aplicando este resultado na função A(x),

obtém-se:

40164)( =⇒=−=′ xxxA e 04)4(4)( >=′′⇒=′′ AxA ,

isto é, x = 4 é um ponto de mínimo local da função A(x).

c) Partindo das soluções acima, como foi visto, conclui-se ainda que os conceitos

matemáticos envolvidos nesta questão que podem ser explorados com alunos do

ensino fundamental e do ensino médio são: congruência de triângulos, propriedades

do paralelogramo, cálculo de áreas de figuras planas, expressões algébricas, estudo

do gráfico e das propriedades da função quadrática. Os conceitos de derivadas

poderiam se explorados com alunos de escolas que ainda trabalham com noções de

Cálculo Diferencial.

Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois, via de

regra, na Educação Básica, os alunos pouco trabalham com conceitos de geometria


ou não trabalham com noções de Cálculo que ficam para ser explorados apenas na


Referências Bibliográficas: BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000. (Coleção do Professor de Matemática) LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. v.1 (Coleção do Professor de Matemática) STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.


BACHARELADO


QUESTÃO 41

O cilindro e o catenóide, representados nas figuras I e II, são superfícies regulares

de rotação geradas, respectivamente, pelas curvas α1(t) = (1, 0, t) e α2(t) =

(cosh t, 0, t), com t ∈ .

Considerando essas informações, conclui-se que

(A) a curvatura gaussiana do catenóide é negativa. (B) as duas superfícies são localmente isométricas. (C) as únicas geodésicas do cilindro são as retas. (D) a curvatura gaussiana do cilindro é constante e positiva.

(E) as curvas α1(t) e α2(t) são os paralelos das respectivas superfícies de rotação. Gabarito: Alternativa C Autoria: Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann

Comentário: Para analisar a questão, torna-se necessário o conhecimento de alguns conceitos

de Geometria Diferencial, que serão apresentados a seguir, de forma reduzida.

Uma curva paramétrica C no espaço 3 é o gráfico da função γ:(a,b)→ 3,

para a e b reais, onde a função γ é dita uma parametrização da curva C. O

comprimento ∈= ),,,( 21 nvvvv de um vetor n é dado por

222

21 nvvvv +++= e o comprimento ∫

b

a

dtt )(γ de uma curva γ(t) é dado por .

Uma superfície paramétrica

SU →:σ

S no espaço 3 é o gráfico de uma bijeção

contínua , cuja inversa também é contínua, onde U é um conjunto aberto

no plano 2. Neste caso, diz-se que σ é uma parametrização da superfície S. Um

figura I figura II


conjunto U é dito aberto

ε<− au

no 2, se para todo a ∈ U, existe um real positivo ε tal que

implica que u ∈ U.

Uma superfície de revolução, ou superfície de rotação, é uma superfície

obtida pela rotação de uma curva plana, chamada curva de perfil, ao redor de uma

reta, contida no mesmo plano da curva, chamada de eixo de rotação. Os círculos

obtidos pela rotação de um ponto fixo da curva de perfil ao redor do eixo de rotação

são chamados de paralelos

Assim, a alternativa E está errada, pois, as curvas

à superfície de rotação. Para o caso em que o eixo de

rotação é o eixo z, o plano em consideração é o xz e a curva de perfil é

parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)).

)(1 tα e )(2 tα são as curvas

de perfil e não os paralelos das respectivas superfícies de rotação. Os paralelos serão a

intersecção destas superfícies de rotação com planos paralelos ao plano xy.

Dada uma superfície de revolução parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, g(t)), então

sua curvatura gaussiana

( )( )2)(

)()()()()()(uf

ugufugufugufK −

=

é definida como

,

onde o ponto denota a derivada da função em relação à u. A curvatura gaussiana de

uma superfície independe da parametrização escolhida. Neste caso, considerando

que a curva de perfil seja parametrizada por γ(t) = (f(t), 0, t), com f(t) > 0, a curvatura

gaussiana seria dada por )()(

ufufK−

= . Ou seja, o sinal da curvatura gaussiana

depende da concavidade da curva de perfil.

Com isto, pode-se observar que a alternativa D está errada, pois, no cilindro,

temos 1)( =uf , sendo que a curvatura gaussiana será 0=K . Portanto, ela é

constante, mas não é positiva. Também, conclui-se que a alternativa correta é a A,

pois, na catenoide, temos )cosh()( uuf = e )cosh()( uuf = , sendo que a curvatura

gaussiana será 01<−=K .

Se 0)( >uf ou o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no

intervalo I, então ele é côncavo para cima

0)( <uf em I. Neste caso, a curvatura gaussiana

seria negativa. Se ou o gráfico de f estiver abaixo de todas as suas

tangentes no intervalo I, então ele é côncavo para baixo em I. Neste caso, a


curvatura gaussiana seria positiva. É fácil observar que, se f é uma função

constante, a curvatura gaussiana será nula. Mesmo sem a realização de cálculos,

também é fácil observar que o cilindro tem curvatura gaussiana nula e que a

catenoide tem curvatura gaussiana negativa, o que permite verificar rapidamente a

veracidade da alternativa A e a falsidade da alternativa D.

Uma isometria

Uma curva paramétrica γ(t) em uma superfície S é dita uma

entre duas superfícies S1 e S2 é uma bijeção f tal que f e sua

inversa têm componentes com derivadas parciais contínuas de quaisquer ordens,

que leva curvas de S1 em curvas de mesmo comprimento em S2. Sabe-se que a

curvatura gaussiana de uma superfície é preservada por isometrias. Desta forma, a

alternativa B está errada, pois, como vimos acima, as curvaturas gaussianas do

cilindro e da catenoide são, respectivamente, 0 e -1, portanto diferentes,

contrariando a informação de que superfícies isométricas têm a mesma curvatura

gaussiana em cada ponto.

geodésica )(tγ se

é nula ou perpendicular à superfície no ponto γ(t), para todo t. Um vetor será

perpendicular ),( vuσ a uma superfície paramétrica S no ponto se este vetor for

múltiplo do vetor normal vu σσ × , onde × denota o produto vetorial. Como exemplo,

as circunferências obtidas pela intersecção do cilindro 122 =+ yx com planos

paralelos ao plano xy e as retas paralelas ao eixo z, contidas neste cilindro, são

geodésicas neste cilindro (PRESSLEY, 2001).

Com isto, pode-se concluir que a alternativa C está errada, pois, além das

retas paralelas ao eixo z contidas no cilindro, as circunferências referidas acima

também são geodésicas.

Considera-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de muitos

conceitos de Geometria Diferencial, no entanto, não são necessários cálculos para a

sua resolução, pois os sinais das curvaturas Gaussianas podem ser observados

através da concavidade de suas curvas de perfil (como vimos acima), ou seja,

através de uma simples observação das figuras apresentadas.

Referências Bibliográficas: PRESSLEY, A. Elementary differential geometry. Londres: Springer – Verlag, 2001. (Springer Undergraduate Mathematics Series). STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.


QUESTÃO 42

Um domínio de integridade é um domínio principal quando todo ideal é principal,

isto é, pode ser gerado por um único elemento. Com base nesse conceito, avalie as

seguintes afirmações.

I O anel [x] — de polinômios sobre na variável x — é um domínio principal,

em que é o anel dos inteiros.

II Se K é um corpo, K[x] — o anel de polinômios sobre K na variável x — é um

domínio principal.

III O anel dos inteiros gaussianos [i] é um domínio principal.


(A) I, apenas. (B) II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. Gabarito: Alternativa D

Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues

Comentário: Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: domínio de

integridade, domínio euclidiano, domínio fatorial, domínio principal, anel de

polinômios sobre , anel de polinômios sobre um corpo e anel dos inteiros

gaussianos. Algumas propriedades específicas de cada uma dessas estruturas

também são necessárias, entre elas:

a) Se a e b são elementos de um domínio principal D, então mdc(a,b) pertence a

esse domínio.

Observe que, se DI ⊆ é o ideal gerado por a e b, então existe d em I tal que o

ideal gerado por a e b é igual ao ideal gerado por d, pois o domínio é principal. Assim,

d = ra+sb, com r, s em D. Além disso, como a e b são elementos de I, a = dx e b = dy,

para x e y ∈D, isto é, d | a e d | b. Supondo, agora, que exista d’ em D tal que d’ | a e

d’ | b, ou seja, que existem m e n em D tais que d’m = a e d’n = b, o que indica que

d’ ∈ I. Pode-se então, escrever d’ = qd com q ∈ D. Logo d = mdc(a b).


b) Se D é um domínio euclidiano então D é um domínio principal.

A demonstração pode ser encontrada em Garcia e Lequain (2002, p. 41).

Analisando as afirmações apresentadas na questão, verifica-se que a primeira

é falsa. Para mostrar que [x] não é um domínio principal, basta considerarmos o

ideal <2,x> (gerado por 2 e por x) de [x], que não é principal. De fato, sabe-se que

os elementos desse ideal são da forma 2.p(x) + x.q(x) com p(x) e q(x) em [x].

Supondo que esse domínio é principal, pela primeira propriedade acima, tem-se que

d(x) = mdc(2,x) será o gerador desse ideal. Entretanto, sabe-se que mdc(2, x) = 1,

de onde segue que <2,x> = [x]. Absurdo, pois o elemento 1 não pode ser escrito

da forma 2.p(x) + x.q(x), com p(x) e q(x) em [x]. A afirmação I, portanto, é falsa.

Com respeito à segunda afirmação, o fato de que o anel de polinômios sobre

um corpo é um domínio principal está demonstrado na literatura sobre o assunto.

Veja, por exemplo, em Gonçalves (2003, p. 72). A afirmação II, portanto, é verdadeira.

A terceira afirmação está correta, e sua validade pode ser constatada, se a

segunda propriedade acima for utilizada, pois [i] é um domínio euclidiano com a norma

ϕ :[i] → dada por 22)( babia +=+ϕ . A afirmação III, portanto, é verdadeira.

Assim, tem-se como resposta certa a alternativa D.

Esta questão é difícil, uma vez que envolve conceitos com maior nível de

complexidade.

Referências Bibliográficas: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.


QUESTÃO 43

Considere o espaço vetorial V = (2, < , >1) munido do seguinte produto interno:

<u, v>1 = x1x2 - y1x2 - x1y2 + 4y1y2, em que v = (x1, y1) e u = (x2, y2) são vetores de

2. Considere T: V → V o operador linear dado por )2

,2(),( xyyxT = . Com relação

ao produto interno < , >1 e ao operador T, assinale a opção correta.

(A) Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) são ortogonais em relação ao produto interno < , >1.

(B) O operador T preserva o produto interno, isto é, < T(u), T(v) >1 = < u, v >1.

(C) T(x, y) = T(y, x), para todo (x, y) de 2. (D) O vetor u = (2, 0) pertence ao núcleo de T.

(E) Existe um vetor v = (x, y) ∈ 2 tal que x2 + y2 = 1 e <v, v>1 = 0. Gabarito: Alternativa B Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci

Comentário: Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de

operador linear, núcleo de uma transformação linear, espaço vetorial com produto

interno e suas propriedades.

O conceito de operador linear é apresentado na questão 22.

Núcleo de uma transformação linear T: V → W é o conjunto de todos os

vetores v ∈ V que são transformados no vetor nulo. Indica-se esse conjunto por

N(T) = {v ∈ V; T(v) = 0}.

Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores v1 e

v2 do espaço vetorial V, associa um número real, denotado 21,vv , satisfazendo

as propriedades:

a. 0, ≥vv , para todo vetor v, e 0, =vv se, e somente se v = 0.

b. 2121 ,, vvvv αα = , para todo real .α

c. 3231321 ,,, vvvvvvv +=+ .

d. 21,vv = 12 ,vv .


Usa-se o produto interno entre dois vetores para identificar se os vetores são

ortogonais

Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de

algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que:

. Formalmente, diz-se que dois vetores, u e v, de um espaço vetorial V com

produto interno < , > são ortogonais (em relação a este produto interno) se <u,v> = 0.

A alternativa A não é verdadeira. Para comprovar este fato, basta efetuar o

cálculo do produto interno entre os vetores (1,0) e (0,1), ou seja,

01)1.041.10001(1)1,0(),0,1( ≠−=⋅+−⋅−⋅=>< .

Portanto os vetores apresentados não são ortogonais em relação a este

produto interno.

A alternativa C está errada, pois existe um vetor de 2, por exemplo, o vetor

(2,1) tal que T(2,1) = (2,1) e T(1,2) = (4, ½), ou seja, T(2,1) ≠ T(1,2).

A alternativa D está errada, pois a imagem do vetor u = (2,0) pela

transformação linear citada é diferente do vetor nulo, isto é, T(2,0) = (0,1). Assim, de

acordo com a definição do núcleo de uma transformação linear, justifica-se que o

vetor u não pertence ao núcleo de T.

A alternativa E está errada, pois a definição de produto interno garante que se

< v , v >1 = 0, então v é o vetor nulo do 2 e o vetor (0,0) não satisfaz a equação

x2 + y2 = 1.

Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a B. De fato,

T(u) = (2y2,x2/2) é a imagem do vetor u = (x2, y2) e T(v) = (2y1,x1/2) é a imagem o vetor

v = (x1,y1), assim o produto interno entre os vetores T(u) e T(v) é o real < T(u) ,

T(v) >1 = < (2y2,x2/2) , (2y1,x1/2) >1 =2y2.2y1 – (x2/2).2y1 – 2y2.(x1/2) + 4x2/2.x1/2 =

4y2y1 – x2y1 – y2x1 + x2x1 = x1.x2 - y1.x2 – x1.y2 + 4y1.y2 = < u , v >1. Tem-se que o

operador T preserva o produto interno entre os vetores.

Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois exige o

conhecimento de diversos conceitos e propriedades dos operadores lineares,

principalmente o conceito de produto interno em um espaço vetorial.

Referências Bibliográficas: ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLBRINI, J. L. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.


QUESTÃO 44

Para cada número real k, a equação diferencial 0)()('2)('' =++ xykxyxy possui

uma única solução )(xy k que satisfaz às condições iniciais 0)0( =ky e 1)0(' =ky .

Considere o limite )(lim xyL kxk +∞→= e analise as seguintes asserções a respeito

desse limite.

Para qualquer k ∈ (0,1), o valor de kL é zero

porque a equação diferencial dada é não-linear.



(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa C Autoria: Luiz Eduardo Ourique

Comentário: Os conceitos a seguir são necessários para resolver esta questão: a ordem

de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na

equação. Uma equação diferencial de segunda ordem é dita linear

)()()()(')()('' xgxyxqxyxpxy =++

, se puder ser

escrita na forma . Esta equação é dita

homogênea 0)( ≡xg, se , e diz-se que tem coeficientes constantes se )(xp e )(xq

são constantes. Assim, equação diferencial 0)()('2)('' =++ xykxyxy é uma

equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes e

homogênea, o que torna falsa a segunda asserção.


A solução geral desta equação pode ser calculada através da equação

característica: 022 =++ krr , cujas raízes são: r1 = – 1 – k−1 e r2 = –1 + k−1 .

Por hipótese, k ∈(0,1), logo as raízes da equação característica r1 e r2 são números

reais negativos e diferentes, pois 10 << k , implica 110 <−< k . A solução geral da

equação diferencial dada é:

xrxrk ececxy 21

21)( += .

Por outro lado, o problema de valor inicial,

=′=

=++

1)0(

0)0(0)()('2)(''

k

k

kkk

y

yxykxyxy

,

possui uma única solução )(xyk . De fato, derivando a solução geral

xrxrk ececxy 21

21)( += obtemos xrxrk ecrecrxy 21

2211)(' += . Assim, as condições

iniciais implicam na solução do sistema

=+=+

10

2211

21

rcrccc

, cuja solução é única, já que o

determinante da matriz dos coeficientes do sistema é D = 21

11rr

= r2 – r1 ≠ 0,

pois r1 ≠ r2.

Seja )(lim xyL kxk +∞→= . Então 0lim 21

21 =+=+∞→

xrxr

xk ececL , pois r1 < 0 e r2 < 0. Ou

seja, o limite kL é nulo, porque o coeficiente k é um número entre 0 e 1, o que

mostra que a primeira asserção é uma proposição verdadeira.

Assim, concluí-se que a resposta correta é dada no item C. O limite kL é nulo,

porque o coeficiente k é um número real entre 0 e 1, e isso implica que r1 < 0 e r2 <

0. Por outro lado, a segunda asserção é falsa, pois foi visto acima que a equação

diferencial dada é linear.

As demais alternativas são falsas, pois:

a) A alternativa A afirma que as duas asserções são proposições verdadeiras, o que

é falso, uma vez que a equação diferencial dada é linear;

b) A alternativa B diz que as duas asserções são proposições verdadeiras, e a

segunda não é justificativa correta da primeira. De fato, a segunda asserção não


justifica a primeira, além disso, ela não é uma proposição verdadeira, já que a

equação diferencial dada é linear;

c) A alternativa D afirma que a primeira asserção é uma proposição falsa, e a

segunda é verdadeira. No entanto, como vimos acima, a primeira asserção é uma

proposição verdadeira, e a segunda é falsa;

d) A alternativa E afirma que ambas as asserções são falsas e vimos que a primeira

asserção é uma proposição verdadeira.

Esta é uma questão difícil, pois a sua resolução exige o conhecimento dos

conceitos de solução de uma equação diferencial ordinária, classificação de uma

equação diferencial quanto à linearidade e unicidade da solução de um problema de

valores iniciais, conceitos geralmente trabalhados em um único semestre.

Referências Bibliográficas: BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.


QUESTÃO 45

Considere uma função f: → que possui segunda derivada em todo ponto e que

satisfaz à seguinte propriedade:

1)2(2)2()2(lim 20=

−−++→ h

fhfhfh

.

Um estudante de cálculo diferencial, ao deparar-se com essa situação, escreveu a

afirmação seguinte.

A segunda derivada f’’(2) = 1

porque

)()(2)()(lim 20xg

hxghxghxg

h′′=

−−++→

, qualquer que seja a função g.

Com relação ao afirmado pelo estudante, assinale a opção correta.

(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma

justificativa correta da primeira. (B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma

justificativa correta da primeira. (C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. (D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. (E) Ambas as asserções são proposições falsas. Gabarito: Alternativa C Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal

Comentário: A questão apresenta uma proposta teórica sobre o conceito de derivada

Uma função

e

suas propriedades, sua resolução implica na interpretação lógica das alternativas,

além da habilidade no desenvolvimento do cálculo de limites.

→Xf : é derivável Xa ∈ em um ponto de acumulação

quando existir o limite: )()()(lim0

afh

afhafh

′=−+

→. Deve-se lembrar que ∈a é um

ponto de acumulação do conjunto X quando a = lim xn, sendo (xn) uma sequência de

elementos de X, dois a dois distintos. Sendo definida como um limite, a derivada tem

um caráter local.


Sob as mesmas hipóteses, vale o seguinte resultado:

Se f é derivável em a, então h

hafhafafh 2

)()(lim)(0

−−+=′

→.

Esta propriedade não é abordada nesta questão, mas o leitor pode

demonstrar este resultado como exercício, utilizando a ideia apresentada para

resolver o problema proposto.

No entanto, a recíproca não é verdadeira: a existência do limite acima, não

implica a existência da derivada num ponto. Como contra-exemplo, pode-se

considerar a função xxf =)( .

Esta função não é derivável em x = 0, porém é possível calcular o limite, ou seja,

02

||||lim2

)()(lim00

=−−

=−−

→→ hhh

hhfhf

hh.

Vale um resultado análogo para a derivada segunda de f no ponto a:

Se existir )(af ′′ , então 20

)(2)()(lim)(h

afhafhafafh

−−++=′′

→.

Para demonstrar esta propriedade, utiliza-se um importante teorema

envolvendo as derivadas de ordem n de uma função, dado pela Fórmula de Taylor

Infinitesimal

Seja

:

IRdcf →),(: n vezes derivável no ponto ),( dca ∈ . Então, para todo

h tal que ),( dcha ∈+ , tem-se

)(!

)(....!2

)().()()()(

2 hrhn

afhafhafafhaf nn

+++′′

+′+=+ , onde 0)(lim0

=→ nh h

hr .

Essa fórmula será utilizada para provar o resultado enunciado acima para a

derivada segunda )(af ′′ . Considerando 0>h , tal que [a-h,a+h] ⊂ (c,d), e supondo a

existência de )(af ′′ , tem-se que:

)(.!2

)().()()( 12 hrhafhafafhaf +

′′+′+=+ , com 0

)(lim 2

1

0=

→ hhr

h

e

)(.!2

)().()()( 22 hrhafhafafhaf −+

′′+′−=− , com 0

)(lim 2

2

0=

−→ h

hrh

.

Adicionando membro a membro:

)()().()(2)()( 212 hrhrhafafhafhaf −++′′+=−++ ,


donde

22

21

2

)()()(2)()()(h

hrh

hrh

afhafhafaf−

−−−−++

=′′

Calculando o limite, para 0→h , obtém-se o resultado desejado,

comprovando que, sob a hipótese da existência da derivada segunda, esta pode ser

dada pelo limite:

20

)(2)()(lim)(h

afhafhafafh

−−++=′′

→.

Faz-se importante observar que, neste caso, a recíproca também não é

verdadeira. Como contra-exemplo, considera-se a função

<−≥

=0,

0,)(2

2

xxxxxf .

Embora não exista )0(f ′′ , é possível calcular o limite, ou seja,

0lim)0(2)0()0(lim 2

22

020=

−=

−−++→→ h

hhh

fhfhfhh

.

Na questão proposta, a função :f → possui derivada segunda em todo

ponto e satisfaz a propriedade:

1)2(2)2()2(lim 20=

−−++→ h

fhfhfh

.

Portanto, está correta a afirmação que 1)2( =′′f , dada pelo limite acima, já que

a derivada segunda existe, por hipótese. Entretanto, não está correto afirmar que a

derivada segunda de qualquer função pode ser dada pelo limite. Conforme o contra-

exemplo mostrado acima, a existência do limite não implica a existência da derivada

segunda no ponto.

Conclui-se que a resposta correta é a letra C, a primeira asserção é uma

proposição verdadeira, e a segunda é falsa.

A questão pode ser considerada difícil, visto que requer conhecimentos de

diversos conceitos e propriedades não elementares relacionadas com a derivada de

uma função.

Referência Bibliográfica:

LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada – IMPA, 1987. v.1.


QUESTÃO 46

Considere as integrais complexas

( )∫=

−=

21

211

cos

z

dzzz

zI π e ( )∫

=+−

=

211

22 1cos

z

dzzz

zI π .

A soma I1 + I2 é igual a

(A) 4πi.

(B) 2πi. (C) 0.

(D) -2πi.

(E) -4πi. Gabarito: Alternativa B Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona

Comentário: Os conceitos apresentados abaixo variam de autor para autor. Por exemplo, o

que um autor entende por curva, outro denomina curva suave. Desta forma, foram

selecionados os conceitos considerados de mais fácil apresentação ou

entendimento, necessitando alterá-los de forma a uniformizar os termos adotados.

Uma curva orientada ou paramétrica

)(txx =

C no plano complexo é um conjunto de

pontos z = (x, y) tais que e )(tyy = , com t ∈ [a, b], onde x(t) e y(t) são

funções contínuas. Pode-se escrever ( )tzz = , com bta ≤≤ . Se z(a) = z(b), C é dita

uma curva fechada 21 tt <. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], ,

at ≠1 e bt ≠2 , tais que )()( 21 tztz = , diz-se que a curva C é simples (Curva de

Jordan). Uma curva é dita suave, ( )tz′ se existe, é contínua e não se anula para

todo t no intervalo (a, b). Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves.

Deve-se observar que o sentido em que a curva C é percorrida com o crescimento

do t é chamado sentido positivo

Um conjunto D de números complexos é dito

de C.

aberto,

raz <−

se cada ponto a de D é o

centro de um disco aberto de raio positivo r, , cujos pontos pertencem

todos a D. Um conjunto aberto D de números complexos é dito conexo se, para cada

par de pontos de D, existe um caminho constituído de segmentos de reta que os une


e que se encontra inteiramente contido em D. Um domínio é um conjunto aberto e

conexo. Um domínio D é dito simplesmente conexo

Diz-se que uma função f(z) é

se toda curva fechada em D

contém somente pontos do interior de D. O leitor, também, pode encontrar estes

conceitos em Spiegel (1981, p. 9, 10 e 140) e em Churchill (1975, p. 16, 17 e 104).

analítica num ponto 0z , se sua derivada f’(z)

existe não só em 0z como também em todo ponto z contido em algum disco aberto

rzz <− 0 . Diz-se que uma função é analítica num domínio

Conforme o Teorema Integral de Cauchy ou de Cauchy – Goursat:

D se ela é analítica em

todo ponto de D.

Se f(z) é uma função analítica num domínio simplesmente conexo D,

então para todo caminho fechado C contido em D, tem-se

0)( =∫C

dzzf .

Segundo a Fórmula Integral de Cauchy

Se f(z) é uma função analítica num domínio D limitado por um caminho

fechado C e

, pode-se afirmar que:

0z é um ponto qualquer de D, então

)(2)(0

0

zfidzzz

zf

C

π=−∫

onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C.

Figura 1: Caminhos

21

=z e 211 =+z no plano complexo.

21

1 =+z

21

=z -1/2 1/2

-1 1 1


Serão aplicados os teoremas acima para resolver as duas integrais desta

questão. Observa-se na figura 1 que a função ( )21cos)(

−=

zzzf π é analítica no domínio

limitado pela curva 21

=z , e que 00 =z é um ponto deste domínio. Desta forma,

obtemos, da Fórmula Integral de Cauchy,

( ) ( )i

zzidz

zzzI

zz

ππππ 21

cos21

cos

02

21

21 =

−=

−=

==

∫ .

Quando o sentido de uma curva não é mencionado, considera-se sendo este

o sentido positivo. Nota-se, também, na figura 1, que a função ( )21cos)(

−=

zzzzf π é

analítica no domínio limitado pela curva 211 =+z . Portanto, pelo Teorema Integral

de Cauchy, obtém-se que:

( )0

1cos

211

22 =−

= ∫=+z

dzzz

zI π .

Finalmente, conclui-se que iII π221 =+ , ou seja, a alternativa correta é a

alternativa B.

Considera-se a questão fácil, uma vez que é uma aplicação direta dos

teoremas de Cauchy.

Referências Bibliográficas: ÁVILA, G. S. de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 1975. COLWELL, P.; MATHEWS, J. C. Introdução às variáveis complexas. São Paulo: Edgard Blucher, 1976. SPIEGEL, M. R. Variáveis complexas: com uma introdução as transformações conformes e suas aplicações: resumo da teoria, 379 problemas resolvidos, 973 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill, 1981.


QUESTÃO 47

Considere o grupo G das raízes 6-ésimas da unidade, isto é, o grupo formado

pelos números complexos z, tais que z6 = 1. Com relação ao grupo G, assinale

a opção correta.

(A) O grupo G é cíclico. (B) G é um grupo de ordem 3.

(C) O número complexo 52 i

eπ

é um elemento primitivo de G.

(D) Existe um subgrupo de G que não é cíclico. (E) Se z é um elemento primitivo de G, então z2 também é um elemento primitivo

de G. Gabarito: Alternativa A

Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues

Comentário: Para analisar a questão, são necessários os conceitos de grupo, grupo

cíclico, subgrupo, ordem de um grupo, elementos primitivos de um grupo e, mais

especificamente, o grupo multiplicativo das raízes sextas da unidade em ℂ.

Conhecimentos estes que poderão ser ampliados em Garcia e Lequain (2002).

A questão trata do grupo formado pelas soluções complexas da equação z6 = 1.

Desde o Ensino Médio, trabalha-se com as raízes da unidade no conjunto dos

números complexos, portanto, com facilidade obtêm-se as soluções dessa equação,

que geometricamente representam vértices de um hexágono regular inscrito na

circunferência unitária. Na forma trigonométrica, essas soluções são:

,....,,3,2,1,)1(2sin)1(2cos nkn

kin

k=

−+

− ππ

Para n = 6, tem-se o conjunto:

{1, ,23

21 i+ ,

23

21 i+− -1, ,

23

21 i−− i

23

21

− }

e, na forma exponencial desses complexos, tem-se o grupo:

({1, },,,, 35

34

32

3ii

iii

eeeeeππ

πππ

, ⋅ ).


Observe que os arcos determinados no círculo unitário medem 3π :

,1)( 03 =i

eπ

35

5334

433332

23313 )(,)(,)(,)(,)(iiii

iiiiii

eeeeeeeeeeππππ

ππππππ

===== ,

isto é, o grupo é cíclico gerado por 3i

eπ

.

Assim, a alternativa correta é a A e as demais alternativas são falsas, pois:

Alternativa B – conforme se observa, no grupo criado acima, a ordem de G é 6, pois

possui 6 elementos.

Alternativa C – as únicas raízes primitivas da unidade nesse grupo são 3i

eπ

e 35 i

eπ

,

ou seja, 62 i

eπ

e 610 i

eπ

.

Alternativa D – os subgrupos de G, possuem 6, 3, 2 ou 1 elementos (Teorema de

Lagrange). O próprio grupo, como já foi visto, é cíclico e os outros possuem menos

de 5 elementos, o que permite afirmar que também são cíclicos.

Alternativa E – 3i

eπ

é primitivo e 32 i

eπ

não o é.

Esta questão tem nível de dificuldade médio, pois, embora o conteúdo de

números complexos seja trabalhado desde o ensino médio, sua relação com a

estrutura de grupo cíclico compõe um conteúdo algébrico que não é dos mais fáceis.

Referência Bibliográfica: GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002.


QUESTÃO 48

No plano 2, considere que o conjunto Q consiste dos lados de um quadrado de

lado unitário. Nesse conjunto, pode-se definir uma métrica d da seguinte maneira:

dados dois pontos distintos, A, B ∈ Q, d(A,B) é definida como o comprimento

euclidiano da menor poligonal contida em Q e com extremidades A e B, e d(A,B) = 0,

se A = B, conforme ilustra a figura abaixo.

O espaço métrico Q, munido da métrica d,

(A) tem diâmetro igual a 2 .

(B) possui um par de pontos tais que d(x,y) ≠ d(y,x).

(C) é um subespaço métrico do plano 2 munido da métrica euclidiana. (D) coincide com uma bola aberta de centro em um dos vértices de Q e de raio 3

na métrica d. (E) é igual à união de duas bolas abertas de centros em vértices distintos de Q e

de raio 1 na métrica d. Gabarito: Alternativa D

Autoria: Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos

Comentário: Para analisar a questão é necessário o conhecimento dos conceitos de métrica,

espaço métrico, subespaço métrico, bola aberta e diâmetro de um espaço métrico.

Uma métrica

a. d(x,x) = 0;

de um conjunto M é uma função d: M × M → tal que para

quaisquer x, y, z ∈ M tem-se que:

b. Se x ≠ y, então d(x,y) > 0;

A

B

d , = s + t(A B)

s

t


c. d(x,y) = d(y,x);

d. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Neste caso, diz-se que o par (M, d) é espaço métrico, ou seja, um espaço

métrico é um conjunto M dotado de uma métrica d. Por exemplo, o plano 2 = {(x,y);

x, y ∈ }, dotado da métrica euclidiana

221

2212121 )()()),(),,(( yyxxyyxxd −+−= ,

é um espaço métrico.

Tem-se que um subconjunto S de M, dotado da restrição da métrica d ao

conjunto S × S, é um subespaço métrico de M.

Define-se bola aberta em M, de centro a e raio r, ao conjunto

B(a;r) = {x ∈ M; d(x,a) < r}.

Tem-se, também, que um subconjunto X de um espaço métrico M é dito

limitado, se existe uma constante c > 0 tal que d(x,y) ≤ c para quaisquer x, y ∈ X e

define-se o diâmetro de X como diam(X) = sup{d(x,y); x, y ∈ X}.


a) A alternativa A está errada, pois o maior valor para a métrica d será obtido entre

dois vértices não consecutivos e este valor será a soma dos comprimentos

euclidianos de dois lados do quadrado Q, ou seja, o diâmetro de Q será igual a 2;

b) A alternativa B está errada, pois discorda da terceira condição que uma métrica

deve satisfazer;

c) A alternativa C está errada, pois, para Q ser um subespaço métrico do 2, Q deveria

ser dotado da mesma métrica do 2 e não da métrica d definida no problema.

d) A alternativa E está errada, pois, mesmo que os vértices não sejam consecutivos,

pelo fato das bolas serem abertas, os outros dois vértices estariam fora deste

conjunto, ou seja, ele não seria igual ao espaço métrico Q. Para compreender este

raciocínio, observe que uma bola aberta na métrica d, de centro em a e raio r,

consistiria de todos os pontos x de Q tais que o comprimento euclidiano da menor

poligonal contida em Q com extremidades a e x seja menor que r. Assim, uma bola

aberta na métrica d, de centro em um vértice a de Q e raio 1, consistiria dos dois

lados do quadrado Q, adjacentes a a, excluindo as extremidades desses lados,

diferentes de a.


Desta forma, conclui-se que a alternativa correta é a D, pois uma bola

centrada em qualquer ponto a de Q com um raio r qualquer, maior que o diâmetro de

Q, diam(Q) = 2 < r = 3, coincidiria com Q. Isto ocorre porque esta bola deverá, por

definição, estar contida em Q e, para qualquer ponto x de Q, tem-se d(x,a) < r, ou

seja, Q estará contido na bola.

Entende-se que esta questão é difícil, por exigir o conhecimento de diversos

conceitos sobre espaços métricos e porque as alternativas D e E exigem uma leitura

muito cuidadosa para não se cometer um erro de avaliação. O candidato poderia

optar pela alternativa E, ao não perceber que, pelo menos, os outros dois vértices

ficariam de fora. Além disto, uma análise apressada da alternativa D, observando

que o raio da bola é três, maior do que o diâmetro de Q, poderia levar à conclusão

de que esta alternativa está errada.

Referência Bibliográfica: LIMA, E. L. Espaços métricos. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977.


QUESTÃO 49

Quando uma partícula desloca-se ao longo de uma curva C parametrizada por

r (t)=(x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a,b], sob a ação de um campo de força →

F em 3, o trabalho

realizado ao longo de C é dado por

dttdtdtFdF

b

aC

)())(( rrr ⋅=⋅ ∫∫→→

.

Se ||

|)(|)(rrrr fF =

→

, em que f: → é uma função contínua e 222 zyx ++=r ,

então ))grad(g( r=→

F , em que g é uma primitiva de f. Considerando essas

informações, conclui-se que o trabalho realizado pelo campo rr

r 2||2( π

=→

)F ao longo

da hélice C dada por r (t) = (cos(t), sen(t), t), t ∈[0, 2π], é:

(A) – 2π ln(1+4π2).

(B) –6π

−

+1

]41[1

32π.

(C) 2π

+−

241

11π

.

(D) 4π ln 241 π+ .

(E) 2π ln 241 π+ . Gabarito: Alternativa E Autoria: Luiz Eduardo Ourique

Comentário:

A integral de linha ∫→

⋅C

drF é interpretada como o trabalho realizado pelo campo

vetorial →

F ao longo de uma curva C. Se a curva C é uma curva dada pela equação

vetorial r(t), com bta ≤≤ , então o trabalho também é denotado por ∫→→

⋅C

drTF , a integral

da componente escalar de →

F na direção do versor tangente a curva C.


Quanto à segunda afirmação, observa-se que, se g é uma primitiva de f,

então )()( xfxg =′ . Assim, ( )222)( zyxgg ++=r e

( )||

|)(|||

|)(|222

222

rr

rr xfxg

zyxxzyxg

xg

=′=++

++′=∂∂ ,

que é a primeira componente de ||

|)(|)(rrrr fF =

→

. Repetindo este procedimento

para a segunda e a terceira componentes de )(r→

F , chega-se à demonstração de que

))grad(g()( rr =→

F . Lembrando que um campo vetorial →

F é dito conservativo, se ele

é o gradiente de alguma função escalar f. Neste caso, f é dita potencial→

F de .

Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes:

Partindo do campo vetorial

Solução1:

||||2

||2( 2 r

rr

rr

r) ππ==

→

F , define-se a função contínua

f: + → +, dada por x

xf π2)( = . Então )ln(2)()( xdxxfxg π== ∫ é uma

primitiva de f.

As extremidades da hélice C são os pontos A(1,0,0) e B(1,0,2π). Como visto

acima, o campo vetorial rr

r)2||

2( π=

→

F é um campo vetorial conservativo, pois

))grad(g()( rr =→

F .

Assim, integral de linha que corresponde ao cálculo do trabalho é igual a

diferença do potencial g nas extremidades de C:

∫→

C

drF = g(B) – g(A) = 2π(ln |B| – ln |A|) =

= 2π( ln 222 )2(01 π++ – ln 222 001 ++ ) = 2π ln 241 π+ .

Solução 2

Calculando o campo vetorial

: →

F na hélice r (t) = (cost, sent, t), obtém-se que

|r | = 222cos ttsent ++ = 21 t+


e, portanto: →

F (r ) = rr 2||2π = 21

2t+

π ( )tsentt ,,cos .

O vetor velocidade )(tdtdr é o vetor = (–sent, cost, 1). Assim, o produto escalar

na integral definida é igual a )(tdtdF r

⋅→

= 212

t+π ( )ttsenttsent ++− coscos = 21

2t+

π .

Desta forma, o trabalho realizado é igual a integral definida de linha (conforme

a primeira afirmação acima):

∫→

C

drF = dttt

∫ +

π π2

021

2 = π

π2

0

2 )1ln( t+ =

= ))01ln())2(1(ln( 22 +−+ ππ = )41ln( 2ππ + = 2 241ln ππ + ,

usando a propriedade n ln x = ln xn.

A resposta correta é a alternativa E. Através do cálculo direto, vemos que as

demais alternativas estão erradas.

Esta questão é de nível de dificuldade médio, considerando que a sua

resolução envolve conhecimentos mais avançados do Cálculo e do Cálculo

Vetorial, como propriedades dos campos vetoriais conservativos, e definição do

trabalho como uma integral de linha. A solução 1 é mais elegante, uma vez que

prescinde da parametrização da curva, ao contrário da solução 2, que usa a

definição da integral de linha.

Referências Bibliográficas: BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2005. STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. 11.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009.


QUESTÃO 50

Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das funções reais

xxf

+=

11)( e )1ln()( xxg += , obtém-se, para x < 1, o desenvolvimento em série de

potências da seguinte função:

...41

31

211

31

211

211

1)1ln()( 432 +

+++−

+++

+−=

++

= xxxxxxxϕ

O coeficiente de xn na série de potências de 'ϕ , a derivada de primeira ordem da

função ϕ , é igual a:

(A) n1...

211 +++

(B)

+++−

nnn 1...

211)1(

(C)

+++++−

11...

211)1()1(

nnn

(D)

++

+++++

21

11...

211)1(

nnn

(E)

++++

+++−

11...

2111...

211)1(

nnnn

Gabarito: Alternativa C

Autoria: Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz

Comentário: Uma série de potências é uma série da forma:

...33

2210

0++++=∑

∞

=

xcxcxccxcn

nn ,

em que x é a variável e nc , com n = 0, 1, 2, 3, ..., são constantes chamadas

coeficientes da série. Esta série pode convergir para todo x real, em apenas um

ponto ou em um intervalo I, chamado intervalo de convergência da série. Uma série

de potências é uma função derivável, cujo domínio é o intervalo de convergência, e

pode-se determinar a função derivada pela derivação de cada termo da série, como

se faz para um polinômio. Um estudo a respeito deste assunto pode ser ampliado

em Stewart (2006).


O coeficiente de xn em )(' xϕ é determinado a partir do termo de xn + 1 em

)(xϕ . Desta forma, considerando que:

...1

1...31

211)1(1...

31

211)1(...

...41

31

211)1(

31

211)1(

211)1(

1)1ln()(

11

433221

+

+++++−+

++++−++

+

+++−+

++−+

+−+=

++

=

+− nnnn xn

xn

xxxxxxxϕ

verifica-se que:

...1

1...31

211)1()1(1...

31

211)()1(

...41

31

2114

31

2113

21121)('

11

32

+

++++++−+

++++−+

++

+++−

+++

+−=

−− nnnn xn

nxn

n

xxxxϕ

ou seja, o coeficiente de xn encontra-se, então, no item C das opções apresentadas.

Esta questão é fácil, pois, para resolvê-la, somente é necessário o

conhecimento de derivação de função polinomial.

Referência Bibliográfica: STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.



Considere uma função derivável f: → que satisfaz à seguinte condição:

Para qualquer número real k ≠ 0, a função )(xgk definida por )()( xkfxxgk −= não é

injetora.

Com base nessa propriedade, faça o que se pede nos itens a seguir e transcreva

suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados.

a) Mostre que, se 0)( 0 =′ xgk para algum k ≠ 0, então k

xf 1)( 0 =′ .

b) Mostre que, para cada k ∈ não-nulo, existem números kα e kβ tais que

)()( kkkk gg βα = . Além disso, justifique que, para todo k ∈ não-nulo, existe um

número kθ tal que 0)( =′ kkg θ .

c) Mostre que a função derivada de primeira ordem f’ não é limitada.

Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos

Comentário:

a) Pela definição de )(xgk , segue que )(1)( xfkxgk ′−=′ . Portanto, sendo 0)( 0 =′ xgk

e k ≠ 0, tem-se que 0)(1)( 00 =′−=′ xfkxgk , então k

xf 1)( 0 =′ .

b) Como, por hipótese, a função não é injetora, então existem pelo menos dois

pontos com a mesma imagem pela função kg . Para cada k ∈ , esses

pontos escolhidos podem ser denotados por kα e kβ , obtendo-se, então,

)()( kkkk gg βα = . Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função kg , no

intervalo [ ]kk βα , , obtém-se um ponto no interior desse intervalo que será denotado

por kθ , que satisfaz a condição 0)()()( =−−

=′kk

kkkkkk

gggαβ

αβθ .

c) Então, como foi visto acima, para cada k ≠ 0, existe um número kθ tal que

0)( =′ kkg θ (passo b) e, portanto, k

f k1)( =′ θ (passo a). Como k é um número real

qualquer diferente de zero, então a derivada de f não é limitada, uma vez que se

pode escolher k arbitrariamente próximo de zero, o que implica que existem

números reais nos quais a derivada de f é arbitrariamente grande.


Esta questão pode ser considerada de nível médio de dificuldade, pois os

itens a, b e c apresentam os passos para a solução da questão, induzindo a escolha

dos resultados a serem usados nessa demonstração.

Referência Bibliográfica: LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982.


LISTA DE COLABORADORES



Cláudia Helena Fettermann Batistela

Francisco Alberto Rheingantz Silveira

Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann

Hélio Radke Bittencourt

Ivan Ricardo Tosmann

João Feliz Duarte de Moraes

Liara Aparecida dos Santos Leal

Luiz Carlos Renz

Luiz Eduardo Ourique

Mara Lúcia Müller Botin

Maria Beatriz Menezes Castilhos

Marilene Jacintho Müller

Marisa Magnus Smith

Monica Bertoni dos Santos

Neda da Silva Gonçalves

Ruth Portanova

Thaisa Jacintho Müller

Vanessa Martins de Souza

Vera Lúcia Martins Lupinacci

Virgínia Maria Rodrigues

enade comentado 2008: matemática

Documents