Em notação vectorial, as equações anterioresconvertem-se em:

Substituindo a Eq. da continuidade na Eq. (4)obtém-se

Em que D /Dt = d /dt + vx d/dx + yy d/dy + vz d/dx

Do mesmo modo a Eq. (7) pode ser re-escrita como:

(7)

(8)

(9)

A equação geral do movimento obtém-se a partirda equação anterior por substituição da lei daviscosidade de Newton, generalizada para as 3dimensões:

A dedução desta equação é relativamente complexae demorou, segundo Bird et al. (Transport Phenomena,2002), cerca de século e meio a ser desenvolvidapelos físicos e matemáticos!

(10-a)

(10-b)

(10-c)

(10-d)

(10-e)

(10-f)

A substituição da lei da viscosidadede Newton na Eq. (9) conduz a:

(11-a)

(11-b)

(11-c)

Para fluido com e constantes asequações anteriores transformam-sena famosa Equação de Navier-Stokes:

Para um fluido invíscido obtém-se aEq. de Euler (1755):

(12)

(13)

Equação da Energia Mecânica

Efectuando o produto interno da velocidadelocal com a equação do movimento (9), obtém-se:

Esta equação é escalar e descreve a taxa devariação da energia cinética por unidade de volume (1/2 v2) de um elemento de fluido.

Esta equação pode ainda ser re-escrita por:

Equação da continuidade em:

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Equação do movimento em coordenadas rectangulares ( x, y, z )

Em termos de

Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes

Equação do movimento em coordenadas cilíndricas ( r,, z )

Em termos de

Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes

Em termos de

Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes

Equação do movimento em coordenadas esféricas ( r,, )

Componentes do tensor de corte para fluidos Newtonianos.

Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Análise de Escoamentos com as Equações da Continuidade do Movimento

Escoamento axial de um fluido incompressível num tubo circular

Hipótese simplificativas:

Constantes,

)(,0,0

zzr vvvv

Equação da Continuidade:

Equação do Movimento (componente-z):

Então temos:

gzP P com

Integrando duas vezes em relação a r com as condições de fronteira,obtém-se:

0 em finito valor e em0 zvRzv zz

Escoamento anular de um fluido Newtoniano

Hipótese simplificativas:

Constantes,

0/),(,0,0

prvvvv zr

Equações do Movimento (r, , z):

, ,

Com as condições de fronteira:RrRvRrv em e em 0 0

Obtém-se por dupla integração:

(Modelo de ViscosímetroCouette-Hatschek)

Uma vez conhecendo v(r) obtém-ser(r) através seguinte Tabela com as componentes do tensor de corte em coordenadas cilíndricas ( lei da viscosidade de Newton):

Substituindo v(r) na componente assinalada na Tabela obtém-se a seguinte expressão parar(z):

O momento da força necessário para manter o cilindro exterior a rodar à velocidade angular 0 é dado por:

Estes sistema são frequentemente usados para medir a viscosidade de fluidos a partir da observação do momento da força e da velocidade angular.