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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ Programa de Educação a Distância
FIGURA (se for o caso)
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA I
João Xavier da Cruz Neto
Copyright © 2007. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do Piauí (UFPI). Nenhuma
parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros,
sem a prévia autorização, por escrito, do autor.
Catalogação na publicação por:
B726c DACRUZNETO, João Elementos de Matemática I / João Xavier da Cruz Neto – Teresina: UFPI/UAPI 2007. ?p. Inclui bibliografia
1 - Matrizes. 2 - Determinantes. 3 – Sistemas Lineares. 4 - Trigonometria. 5- Números Complexos. I. Universidade Federal do Piauí/Universidade Aberta do Piauí. II. Título.
CDU: 32
PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ REITOR
Luiz de Sousa Santos Júnior
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD Hélio Chaves
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL COORDENADORA GERAL
Celso Costa
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Coordenador Geral de EaD na UFPI
Gildásio Guedes Fernandes
CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA DIRETOR
Helder Nunes da Cunhao
COORDENADOR DO CURSO de Licenciatura em Matemática na Modaliade de EaD João Benício de Melo Neto
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes
EQUIPE DE APOIO
Renan
Maurício
Lino(CT)
Aluno (CT)
Cleidinalva Oliveira
Apresentação
Este texto é destinado aos estudantes aprendizes que participam do
programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí
(UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do
Piauí (UFPI) Universidade Estadual do Piauí (UESPI), Centro Federal
de Ensino Tecnológico do Piauí (CEFET-PI), com apoio do Governo do
estado do Piauí, através da Secretaria de Educação.
O texto é composto de cinco unidades, contendo itens e subitens, que
discorrem sobre: Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares,
Trigonometria e Números Complexos. Na Unidade 1, apresentamos conceito de matriz e como podemos
organizar dados sem perda de simplicidade. Conhecemos vários tipos
importantes delas, suas características e suas particularidades. No seu
conjunto, aprenderemos as operações de adição, de multiplicação e
suas propriedades principais.
Na Unidade 2, apresentamos como associar uma matriz quadrada a
um número real. A essa associação damos o nome de determinante.
Aprenderemos como calcular o determinante de matrizes (quadradas)
de qualquer ordem, através dos métodos de Laplace, Chió, Sarrus e
outros. Estabeleceremos uma condição necessária e suficiente para
determinar se uma dada matriz admite inversa. Vários conceitos
importantes, como o de cofator, matriz adjunta, polinômio característico,
e outros são apresentados.
Na Unidade 3, aprendemos a resolver sistemas de equações lineares.
Começamos com os casos 2×2 e 3×3 aprendemos métodos para
resolvê-los e discuti-los. Vimos as suas interpretações geométricas a
relação desta com a classificação deles. Após aprendermos os casos
mais usuais e triviais, vimos uma rápida exposição sobre sistemas
lineares do tipo n × n. Como prosseguimento do que tíınhamos já visto,
revimos os métodos para a sua solução e discussão.
Na Unidade 4, apresentamos os seis elementos de um triângulo e
como determiná-los a partir do conhecimento de três deles
(conhecendo pelo menos a medida de um dos lados). Usamos as
relações em triângulo para definir as funções trigonométricas.
Aplicamos as Leis do Seno e Cosseno para determinar a distância entre
dois pontos inacessíveis. Estabelecemos algumas medidas em locais
presentes em Teresina.
Na Unidade 5, apresentamos o corpo dos números complexos.
Usamos a representação trigonométrica de um número complexo para
estabelecer a fórmula de De Moivre. Finalizamos com o cálculo das
raízes da unidade.
ÍNDICE
UNIDADE 1. Matrizes
1.1 Introdução
1.2 Conceito de matriz .
1.3 Alguns tipos de matrizes importantes
1.4 Operações com matrizes
1.4.1 Multiplicação por escalar
1.4.2 Adição de matrizes
1.4.3 Multiplicação de matrizes
1.4.4 Propriedades da multiplicação de matrizes
1.5 A transposta de uma matriz
1.5.1 Propriedades da transposta de uma matriz
1.6 O traço de uma matriz
1.6.1 Propriedades do traço de uma matriz
1.7 A inversa de uma matriz
1.7.1 Propriedades da inversa de uma matriz
1.8 Escalonamento de uma matriz
1.9 Saiba mais
1.10 Exercícios
1.11 Respostas
1.12 Referência Bibliográfica
UNIDADE 2. Determinantes 2.1 Introdução
2.2 Determinante de uma matriz de ordem 2 × 2
2.3 Determinante de uma matriz de ordem 3 × 3
2.4 Propriedades dos determinantes
2.5 Determinantes de matrizes de ordem arbitrária
2.5.1 Teorema de Laplace
2.5.2 Regra de Chió
2.6 Matriz Adjunta
2.7 Polinômio característico
2.8 Saiba mais
2.9 Exercícios
2.10 Respostas
2.11 Referência Bibliográfica
UNIDADE 3. Sistemas Lineares
3.1 Introdução
3.2 Sistemas lineares com duas incógnitas
3.2.1 Solução de um sistema linear
3.2.2 Resolução de um sistema linear 2 × 2
3.2.3 Regra de Cramer
3.2.4 Discussão de um sistema linear 2 × 2
3.2.5 Interpretação geométrica
3.3 Sistemas lineares com três incógnitas
3.3.1 Resolução de um sistema linear 3 × 3
3.3.2 Regra de Cramer
3.3.3 Discussão de um sistema linear 3 × 3
3.3.4 Interpretação geométrica
3.4 Sistemas lineares com n incógnitas
3.4.1 Resolução de um sistema linear n × n
3.4.2 Discussão de um sistema linear n × n
3.5 Saiba mais
3.6 Exercícios
3.7 Respostas
3.8 Referência bibliográfica
UNIDADE 4. Trigonometria
4.1. Introdução
4.2 Trigonometria no triângulo retângulo
4.2.1 Relações métricas no triângulo retângulo
4.2.2 Cálculo do seno de alguns ângulos sem a ajuda de calculadora
4.3 Lei dos senos e dos Cossenos
4.3.1 Lei dos senos
4.3.2 Lei dos cossenos
4.4 Funções trigonométricas
4.5 As fórmulas de adição
4.6 Saiba mais
4.7 Exercícios
4.8 Respostas
4.9 Referência Bibliográfica
UNIDADE 5. Números Complexos
5.1 Introdução
5.1 O corpo dos números complexos
5.1.1 Adição de números complexos
5.1.2 Representação geométrica de um número complexo
5.1.3 Multiplicação de números complexos
5.2 Forma trigonométrica de um número complexo
5.3 Fórmula de De Moivre
5.4 Raízes da unidade
5.5 Saiba mais
5.6 Exercícios
5.7 Respostas
5.8 Referência bibliográfica
Unidade 1
Matrizes
Resumo
Apresentamos conceito de matriz e como podemos organizar
dados sem perda de simplicidade. Conhecemos vários tipos
importantes delas, suas características e suas particularidades. No seu
conjunto, aprenderemos as operações de adição, de multiplicação e
suas propriedades principais.
Esperamos que o leitor passe a ver matrizes como algo familiar e
que passe a trabalhar com elas mais confiante. Incentivamos a procura
de livros mais avançados para o aprofundamento de conteúdo.
ÍNDICE
UNIDADE 1. Matrizes 1.1 Introdução
1.2 Conceito de matriz .
1.3 Alguns tipos de matrizes importantes
1.4 Operações com matrizes
1.4.1 Multiplicação por escalar
1.4.2 Adição de matrizes
1.4.3 Multiplicação de matrizes
1.4.4 Propriedades da multiplicação de matrizes
1.5 A transposta de uma matriz
1.5.1 Propriedades da transposta de uma matriz
1.6 O traço de uma matriz
1.6.1 Propriedades do traço de uma matriz
1.7 A inversa de uma matriz
1.7.1 Propriedades da inversa de uma matriz
1.8 Escalonamento de uma matriz
1.9 Saiba mais
1.10 Exercícios
1.11 Respostas
1.12 Referência Bibliográfica
Unidade 1
MATRIZES
1.1 INTRODUCAO
Comecaremos esta unidade ilustrando a importancia do uso de
matrizes na resolucao de problemas de nosso dia-a-dia. Vejamos os:
Problema 1. Certa empresa composta de tres lojas, numeradas
de 01 a 03, tem o seguinte relatorio de faturamento para cada uma
nos tres primeiros dias de marco:
LOJA 01: R$ 1950,00; R$ 1840,00; R$ 3000,00
LOJA 02: R$ 1172,53; R$ 1235,00; R$ 2000,00
LOJA 03: R$ 2830,00; R$ 2789,00; R$ 1234,67.
1. Qual o faturamento da loja 01 no segundo dia?
2. Qual o faturamento das lojas 01 e 02 no terceiro dia?
3. Qual o faturamento total no primeiro dia?
Problema 2. Certo corretor de imoveis pos a venda seus aparta-
mentos em Teresina. Ele possuıa, em alguns predios, mais de um
apartamento. Ao colocar o anuncio das vendas num jornal, ele rece-
beu oferta de tres empresas do ramo de locacao de imoveis. Para
analisar melhor as propostas, o corretor montou as seguintes tabelas:
12
Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V
Empresa 01 180.000 240.000 257.000 125.000 334.000
Empresa 02 195.000 228.000 226.000 132.000 321.000
Empresa 03 179.900 217.000 249.000 146.000 330.000
Apartamento Quantidade disponıvel
Tipo I 3
Tipo II 2
Tipo III 1
Tipo IV 3
Tipo V 1
.
a) A primeira tabela diz que a empresa 01 esta oferecendo R$
180.000,00 por um apartamento do tipo I, que a empresa 02 esta ofer-
ecendo R$ 226.000,00 por um apartamento do tipo III, etc.
b) A segunda tabela diz que existem tres apartamentos do tipo I
disponıveis, um do tipo III, etc.
Se o corretor decidir fazer uma venda casada, isto e, vender todos
os apartamentos para uma so empresa, para qual empresa ele deve
vender?
Se no problema 1 a quantidade de lojas fosse muito grande, ficaria
mais difıcil a visualizacao dos dados apresentados. Imagine o trabalho
que terıamos se, ao inves de tres, o numero de lojas fosse igual a mil.
Caso fossem organizados em tabelas, o entendimento do problema
ficaria mais acessıvel. Assim surge a necessidade de se trabalhar
com matrizes, quando temos que armazenar muitos dados sem abrir
mao da clareza. Vejamos como ficaria o problema 01 organizado em
forma de tabela:
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LOJA 1◦ Dia 2◦ Dia 2◦ Dia
01 1950,00 1840,00 3000,00
02 1172,53 1235,00 2000,00
03 2830,00 2789,00 1234,67
.
Algumas caracterısticas das tabelas acima sao bem claras, como
a quantidade de linhas e de colunas, por exemplo. E facil ver que o
faturamento de uma dada loja num certo dia e dado pelo cruzamento
da linha referente a loja pela coluna referente ao dia. A associacao
entre linhas e colunas e de facil aprendizado.
1.2 CONCEITO DE MATRIZ
O conceito de matriz remonta ao seculo XIX, mas a ideia de ma-
triz remonta a antiguidade. Ha hipoteses de que na China Antiga os
matematicos chineses da epoca ja esbocavam desenhos de matrizes,
quando resolviam problemas relacionados a sistemas lineares.
Mais
informacoes
sobre a origem
do termo ma-
triz podem ser
encontradas
na Revista
numero 21, em
www.rpm.org.br.
Definicao 1.2.1. Dados os numeros naturais m e n, chamamos ma-
triz do tipo m × n (lemos m por n) toda tabela A composta de m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. Podemos representar
tal tabela com parenteses ( ), colchetes [ ], ou barras duplas ‖ ‖.
Aqui e em todo o resto deste livro, os elementos tratados sempre
serao numeros reais. Mas a definicao de matriz nao se restringe ape-
nas a tabelas compostas de numeros reais. Podemos ter matrizes
com numeros complexos, e com outros tipos de elementos.
Costumamos designar uma matriz generica A do tipo m × n por
A = (aij)m×n, onde cada aij e o elemento da i-esima linha e j-esima
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coluna, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. A matriz pode ser escrita
(desenhada) assim:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠m×n
.
O leitor deve construir varias matrizes para se familiarizar com esse
novo conceito. Deve, tambem, colocar os dados dos problemas 1 e 2
da secao anterior em formato de matriz. Vejamos alguns exemplos de
matrizes:
1. A =
⎛⎝ 1 2 3 4
2 0 0 −19
⎞⎠ e uma matriz 2x4.
2. B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠e uma matriz 5x10.
3. C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 −√2
−1
2
√3
5
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ e uma matriz 2x2.
15
4. D =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−5√
91
23−1
22
3π
20 −10
0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦e uma matriz 3x3.
5. M =
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥
1 2 77 −12
−18 0 −51 0
−17 2 26 −12
∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥e uma matriz 3x4.
Neste livro usaremos parenteses ( ) para designarmos as ma-
trizes daqui em diante. Mas o leitor deve encontrar em outros livros
matrizes designadas por colchetes [ ] ou por barras duplas || ||.
1.3 ALGUNS TIPOS DE MATRIZES IMPOR-
TANTES
O leitor atento ja deve ter deduzido que existem infinitos exemplos
de matrizes, de varios tipos e formas. Alguns desses tipos ocorrem
em problemas de Matematica com uma enorme frequencia, devendo
entao ser estudados com mais afinco. A Algebra Linear e a parte
da Matematica que estuda as propriedades das matrizes com mais
profundidade.
O leitor nao deve
preocupar-se
com os termos
em negrito que
aparecem neste
paragrafo. Serao
abordados em
disciplinas do
curso.
Nela, aprendemos a associar uma matriz a uma transformacao
linear e podemos entao estudar o comportamento da transformacao
analisando a matriz e vice-versa. No estudo de funcoes de varias
variaveis, aprenderemos que dada uma funcao diferenciavel f :
U ⊂ Rm −→ Rn definida num conjunto aberto U ⊂ Rm, a sua
derivada num ponto a ∈ U pode ser vista como uma matriz, chamada
de matriz jacobiana.
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Devemos nos acostumar com os tipos mais importantes de matrizes,
de forma que eles se tornem familiares daqui em diante.Como nao
poderıamos citar todos os tipos, citaremos apenas alguns:
1. (Matriz linha e matriz coluna) Dizemos que uma matriz A =
(aij)m×n e uma matriz linha quando m = 1. Ela e dita matriz col-
una quando n = 1. Exemplos:
J =(
1 5 8)
e B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2
3
78
−2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ sao matriz linha e coluna, re-
spectivamente.
2. (Matriz quadrada) E quando m = n. Quando m �= n a matriz
A = (aij)m×n e dita nao-quadrada. Sao exemplos de matrizes
quadradas as matrizes C e D da secao anterior.
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠n×n
e uma matriz quadrada, ∀n ∈ N.
Numa matriz quadrada A = (aij)n×n , o conjunto D = {ajj ; 1 ≤j ≤ n} e chamado de diagonal principal. Ja o conjunto F =
{aij ; i + j = n + 1} e chamado de diagonal secundaria. Por
17
exemplo, na matriz
B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 5 3 7 8
4 8 9 7 6
1 0 32 47 17
29 25 73 47 58
69 93 21 10 40
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,
a diagonal principal e D = {1, 8, 32, 47, 40}, enquanto que a dia-
gonal secundaria e F = {8, 7, 32, 25, 69}.
3. (Matriz triangular) Uma matriz A = (aij)n×n e dita triangular
quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal sao
nulos. Quando aij = 0 para i > j, dizemos que A e uma ma-
triz triangular superior. Quando aij = 0 para i < j, ela e dita
triangular inferior.
Exemplo 1.3.1. A matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎝2 0 0
1 5 0
3 2 5
⎞⎟⎟⎟⎠ e uma matriz trian-
gular inferior.
Exemplo 1.3.2. A matriz B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 4
0 3 5 6
0 0 4 2
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e triangular supe-
rior.
Exemplo 1.3.3. O leitor deve assimilar bem a definicao de matriz
triangular. Note que a matriz
C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
2 3 0 0 0
5 4 2 0 0
1 1 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠e triangular inferior, embora os elementos da diagonal principal
sejam todos nulos.
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4. (Matriz diagonal) Chamamos de matriz diagonal toda matriz
quadrada que e triangular superior e triangular inferior.
Exemplo 1.3.4. A matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 −4 0
0 0 0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e diagonal.
5. (Matriz nula) Quando todos os elementos da matriz sao nulos,
isto e, iguais a zero, dizemos que a matriz e nula. Por exemplo,
as matrizes
M =
⎛⎝ 0 0 0
0 0 0
⎞⎠2×3
e T =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠5×5
sao matrizes nulas.
6. (matriz identidade) E uma matriz quadrada M = (mij)n×n tal
que mij = 1 sempre que i = j e mij = 0 sempre que i �= j; i, j ∈{1, . . . , n}. A notacao mais usual para designarmos uma matriz
identidade de ordem n e In. Adotaremos esta notacao. Exemplo:
I5 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
7. (Igualdade de matrizes) Duas matrizes A = (aij)m×n e B =
(bij)m×n sao iguais se, e somente se, aij = bij , ∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈{1, . . . , n}. Escreveremos A = B, neste caso. Exemplo:
A =
⎛⎝ 1 0 5 −2
0 12 −15 0
⎞⎠= B =
⎛⎝ 1 0 5 −2
0 12 −15 0
⎞⎠.
19
1.4 OPERACOES COM MATRIZES
Podemos considerar cada matriz como um elemento de um con-
junto, o conjunto das matrizes. Designamos tal conjunto porMm×n(R),
ou por Rm×n. Assim, Mm×n(R) = {A = (aij)m×n / aij ∈ R; 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n}. Existem algumas operacoes importantes definidas
neste conjunto. Passaremos a lista-las:
1.4.1 MULTIPLICACAO POR ESCALAR
Muitas vezes ao trabalharmos com matrizes nao estamos interes-
sados em manusear a propria matriz, mas sim seus multiplos. Nessas
ocasioes, necessitamos saber da seguinte definicao:
Definicao 1.4.1. Dada a matriz A = (aij)m×n ∈ Mm×n(R) e o numero
α ∈ R (que chamaremos de escalar), a multiplicacao de α por A e
dada por:
α× A = α.A = (α.aij)m×n .
Exemplo 1.4.1. B =
⎛⎝ 3 4
1 −1/2
⎞⎠=⇒ 5.B = 5B =
⎛⎝ 5× 3 5× 4
5× 1 5× (−1/2)
⎞⎠=
⎛⎝ 15 20
5 −5/2
⎞⎠ .
Exemplo 1.4.2. C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
......
. . ....
cm1 cm2 . . . cmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =⇒ −C = (−1)C =
20
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(−1)c11 (−1)c12 . . . (−1)c1n
(−1)c21 (−1)c22 . . . (−1)c2n
......
. . ....
(−1)cm1 (−1)cm2 . . . (−1)cmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−c11 −c12 . . . −c1n
−c21 −c22 . . . −c2n
......
. . ....
−cm1 −cm2 . . . −cmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
1.4.2 ADICAO DE MATRIZES
Definicao 1.4.2. Dadas as matrizes C = (cij)m×n e D = (dij)m×n,
ambas emMm×n(R), a adicao de C e D, representada por C + D, e
dada por: C + D = (cij) + (dij) = (cij + dij). Ou seja:
C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
......
. . ....
cm1 cm2 . . . cmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝d11 d12 . . . d1n
d21 d22 . . . d2n
......
. . ....
dm1 dm2 . . . dmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =⇒
=⇒ C + D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
......
. . ....
cm1 cm2 . . . cmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝d11 d12 . . . d1n
d21 d22 . . . d2n
......
. . ....
dm1 dm2 . . . dmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝c11 + d11 c12 + d12 . . . c1n + d1n
c21 + d21 c22 + d22 . . . c2n + d2n
......
. . ....
cm1 + dm1 cm2 + dm2 . . . cmn + dmn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Obviamente, a matriz E = C +D e ainda uma matriz com m linhas
e n colunas. E importante que o leitor entenda que a soma de ma-
trizes so e possıvel entre matrizes que possuem o mesmo numero de
linhas e de colunas.
Exemplo 1.4.3. C =
⎛⎝ 3 −2
34 0
⎞⎠, D =
⎛⎝ 2 1
−20 1
⎞⎠ =⇒ C + D =
21
=
⎛⎝ 3 + 2 −2 + 1
34− 20 0 + 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 5 −1
14 1
⎞⎠ .
Exemplo 1.4.4. Tente agora somar as matrizes D =
⎛⎝ 2 1
−20 1
⎞⎠ e
E =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1
0
0
0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . Nao e possıvel, nao e mesmo? (Por que?)
1.4.3 PROPRIEDADES DA ADICAO DE MATRIZES
Como os elementos das matrizes com que trabalhamos sao numeros
reais, e natural que as propriedades da adicao de matrizes herdem as
propriedades de adicao de numeros reais. Destacaremos tais pro-
priedades: Dadas as matrizes A = (aij)m×n, B = (bij)m×n e C =
(cij)m×n emMm×n(R), e os escalares α e β em R, temos:
• Comutatividade
A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A.
Exercıcio. Verifique a propriedade da comutatividade para o ex-
emplo 1.4.3.
• Associatividade
(A+B)+C = ((aij + bij))+(cij) = (aij)+((bij + cij)) = A+(B+C).
Exercıcio. Verifique a propriedade da associatividade para o ex-
emplo 1.4.3 tomando as matrizes C , D e E = C + D.
• Inverso aditivo
Para toda matriz A ∈Mm×n(R), existe uma matriz M ∈Mm×n(R),
chamada de inverso aditivo de A, tal que A + M = M + A = 0,
22
onde o 0 e a matriz nula com m linhas e n colunas.
Exercıcio. Verifique que o inverso aditivo de A = (aij) ∈Mm×n(R)
e−A = (−aij) ∈Mm×n(R). (Faca exemplos para convencer-se).
• Distributividade
(α + β)A = αA + βA e α(A + B) + αA + αB.
Exercıcio. Dada a matriz M =
⎛⎜⎜⎜⎝12 −5 3
1 0 18
0 2 25
⎞⎟⎟⎟⎠ , calcule primeiro
(2 + 3)M e depois 2M + 3M .
1.4.4 MULTIPLICACAO DE MATRIZES
Definicao 1.4.3. Sejam A = (aij)m×n, B = (bij)n×p duas matrizes, com
o numero de colunas de A igual ao numero de linhas de B. O produto
entre A e B, que sera denotado por AB e dado por:
AB = C = (cij)m×p, onde cij =n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .
Uma pergunta natural e:por que o produto e assim definido?
Uma resposta muito interessante pode ser encontrada visitando o sıtio
da Revista do Professor de Matematica e consultando o artigo do
professor Claudio Possani na Revista numero 21.www.rpm.org.br.
Retomando o problema do corretor de imoveis, colocando os
dados das tabelas em formato de matriz de maneira que
A =
⎛⎜⎜⎜⎝180.000 240.000 257.000 125.000 334.000
195.000 228.000 226.000 132.000 321.000
179.900 217.000 249.000 146.000 330.000
⎞⎟⎟⎟⎠ e B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3
2
1
3
1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,
onde:
23
a) Cada aij significa que o i-esimo comprador esta oferecendo aij
reais para comprar um apartamento do tipo j;
b) Cada bi1 significa a quantidade de apartamentos disponıveis do
i-esimo tipo.
Se designarmos por C a matriz do total pago pelas empresas ref-
erente aos apartamentos, teremos: C = AB. Daı, teremos que:
C =
⎛⎜⎜⎜⎝180.000× 3 + 240.000× 2 + 257.000× 1 + 125.000× 3 + 334.000× 1
195.000× 3 + 228.000× 2 + 226.000× 1 + 132.000× 3 + 321.000× 1
179.900× 3 + 217.000× 2 + 249.000× 1 + 146.000× 3 + 330.000× 1
⎞⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎝1.986.000
1.984.000
1.890.700
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Concluimos que a primeira empresa ofereceu mais pelos aparta-
mentos do corretor, obtendo exito na compra. Notemos que caso
a venda nao fosse casada, o problema seria mais complexo e sua
resolucao fugiria ao escopo do nosso texto.
Antes de descrever as propriedades da mutliplicacao de matrizes,
convidamos o leitor a fazer o seguinte exercıcio:
Verifique que:
a) dada uma matriz A = (aij)m×n, e verdade que AIn = A e
ImA = A;
b) dada qualquer matriz quadrada M = (mij)n×n, MIn = InM =
M .
24
1.4.5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICACAO DE MA-
TRIZES
Assim como no caso da adicao, a multiplicacao de matrizes tambem
tem suas propriedades. Passaremos a destaca-las e prova-las:
• Associatividade
(AB)C = A(BC), A = (aij)m×n, B = (bij)n×p e C = (cij)p×q.
Demonstracao. Chamando de G = AB a matriz AB ∈Mm×p(R),
de H = BC a matriz BC ∈ Mn×q(R), de F = (AB)C a matriz
(AB)C ∈ Mm×q(R), e sabendo manusear somatorios, ganha-
mos:
fik =
p∑l=1
gilclk =
p∑l=1
(n∑
j=1
aijbjl
)clk =
p∑l=1
(n∑
j=1
aijbjlclk
)=
=
n∑j=1
aij
(p∑
l=1
bjlclk
)=
n∑j=1
aijhjk.
Assim, (AB)C = A(BC).
• Distributividade em relacao a adicao
Existem dois tipos de distributividade em relacao a adicao, a
saber: a esquerda e a direita. A distributividade da multiplicacao
de matrizes em relacao a adicao a esquerda e dada por: C(A +
B) = CA + CB, A, B ∈Mm×n, C ∈Ml×m.
E a direita e dada por: (A + B)C = AC + BC, A, B ∈ Mm×n,
C ∈Mn×l.
Demonstracao. Exercıcio para o leitor.
1.5 A TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Definicao 1.5.1. Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n, a sua trans-
posta, denotada por At (ou por AT ), e obtida por: At =(a′
ij
)= (aji) ∈
25
Mn×m. Ou seja:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =⇒ At =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
......
. . ....
a1n a2n . . . amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Exemplo 1.5.1. A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 56 13 0
2 34 21 3
5 6 90 12
121 3 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⇒At =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 2 5 121
56 34 6 3
3 21 90 0
0 3 12 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Lembrando que duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n sao
iguais se, e somente se, aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, e que o
inverso aditivo de A = (aij)m×n e −A = (−aij)m×n, podemos definir o
seguinte:
Definicao 1.5.2. Uma matriz quadrada A = (aij)n×n e simetrica se, e
somente se, At = A. Ou seja, A = (aij)n×n e simetrica se, e somente
se, aij = aji, i, j ∈ {1, . . . , n}.
Definicao 1.5.3. Uma matriz quadrada A = (aij)n×n e anti-simetrica
se, e somente se, At = −A. Ou seja, A = (aij)n×n e anti-simetrica se,
e somente se, aij = −aji, i, j ∈ {1, . . . , n}.
1.5.1 PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA DE UMA MA-
TRIZ
A transposta de uma matriz possui algumas propriedades interes-
santes. Algumas sao bem simples e de facil constatacao. Outras nem
tanto...
• (At)t = A, para toda matriz A = (aij)m×n.
26
Demonstracao. Exercıcio para o leitor.
• (A + B)t = At + Bt, A = (aij)m×n, B = (bij)m×n.
Demonstracao. Exercıcio para o leitor.
• (αA)t = αAt, A = (aij)m×n e α ∈ R.
Demonstracao. Exercıcio para o leitor.
• (AB)t = BtAt, A = (aij)m×n, B = (bij)n×l.
Demonstracao. Facamos um raciocınio parecido com o que fize-
mos anteriormente para provar a associatividade da multiplicacao
de matrizes. Para isso, tomemos D = AB, D ∈Mm×l(R). Pode-
mos deduzir que(d′
ij
)l×m
= (dji)l×m. Tomemos tambem C =
BtAt, C ∈ Mm×l(R). Ou seja, C = (cij)l×m. Da multiplicacao
de matrizes sabemos que cij =
n∑k=1
b′ika′kj. Mas
n∑k=1
b′ika′kj =
n∑k=1
bkiajk. Melhorando, temos que cij =
n∑k=1
ajkbki (∗). Agora,
olhemos para os (dij)′ s:
dij =
n∑k=1
aikbkj . Sabendo disso, fica claro ver que dji =
n∑k=1
ajkbki.
Ou seja, d′ij = dji =
n∑k=1
ajkbki(∗)= cij .
Provamos que d′ij = cij, isto e, que Dt = C.
1.6 O TRACO DE UMA MATRIZ
Ja vimos varias propriedades importantes das matrizes. Algumas
serao vistas com bastante frequencia no decorrer desta obra. O leitor
devera encontrar tambem o uso de tais propriedades com bastante
frequencia em textos mais avancados.
27
Dentro do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, temos
um conceito muito importante, que e o conceito de traco de uma ma-
triz. Relembremos que dada uma matriz quadrada A = (aij)n×n ∈Mn×n(R), a sua diagonal principal e o conjunto D = {ajj / 1 ≤ j ≤ n}.O proximo conceito e de suma importancia no estudo de matrizes:
Definicao 1.6.1. Dada uma matriz A = (aij)n×n ∈ Mn×n(R), o traco
de A e dado por tr(A) =n∑
i=1
aii = a11 + a22 + . . . + ann.
Exemplo 1.6.1. Seja a matriz M =
⎛⎜⎜⎜⎝1 −3 4
2 5 0
9 18 0
⎞⎟⎟⎟⎠. O seu traco e
dado por: tr(M) = 1 + 5 + 0 = 6.
Exemplo 1.6.2. Dadas as matrizes O =
⎛⎝ 9 −10
−4 18
⎞⎠ e P =⎛⎝ 4 −3
−23 17
⎞⎠, temos que tr(O + P ) = tr
⎛⎝ 13 −13
−27 35
⎞⎠ = 48,
e tambem tr(O)+ +tr(P ) = tr
⎛⎝ 9 −10
−4 18
⎞⎠ + tr
⎛⎝ 4 −3
−23 17
⎞⎠ =
27 + 21 = 48.
Exercıcio. Construa mais matrizes quadradas e calcule seus tracos.
Calcule o traco das suas somas e compare com a soma dos seus
tracos.
1.6.1 PROPRIEDADES DO TRACO DE UMA MATRIZ
O leitor ja deve estar desconfiado de que o ultimo exemplo nao
foi uma mera coincidencia. Tambem deve ter visto atraves do ultimo
exercıcio que a coincidencia acontece com certa frequencia. Na ver-
dade, o ultimo exemplo serviu para ilustrar uma das propriedades do
traco de uma matriz. Passaremos a listar as mais conhecidas, mas se
convenca de que existem muitas propriedades envolvendo o traco de
28
uma matriz, e que varias dessas propriedades fogem do escopo desse
texto. Mas sempre devemos pesquisar em textos mais avancados tais
coisas. O leitor curioso tende a ser um grande matematico.
Sejam A = (aij), B = (bij), C = (cij), D = (dij) matrizes emMn×n
e α ∈ R. Entao:
• tr(αA) = αtr(A);
Demonstracao. Procediremos de maneira simples:
Sabemos que
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⇒ αA =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝αa11 αa12 . . . αa1n
αa21αa22 . . . αa2n
......
. . ....
αan1 αan2 . . . αann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Daı, teremos que tr(αA) =
n∑i=1
αaii = αa11 + . . .+αann = α(a11 +
. . . + ann) = αn∑
i=1
aii = αtr(A).
• tr(At) = tr(A);
Demonstracao. Basta notarmos que a diagonal principal de uma
matriz quadrada e igual a diagonal principal da sua transposta.
• tr(A + B) = tr(A) + tr(B);
Demonstracao. tr(A + B) =n∑
i=1
(aii + bii) =n∑
i=1
aii +n∑
i=1
bii =
tr(A) + tr(B).
• tr[(A + B)t] = tr(At) + tr(Bt);
29
Demonstracao. Ora, sabemos que tr(Ct) = tr(C), ∀C ∈ Mn×n.
Daı:
tr[(A + B)t] = tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = tr(At) + tr(Bt).
• tr(AB) = tr(BA).
Demonstracao. Lembremos que dadas as matrizes A = (aij), B =
(bij) emMn×n, a matriz produto C = AB e tal que cij =n∑
k=1
aikbkj .
Logo, tomando D = BA, temos que dij =n∑
l=1
bilalj . Ganha-
mos que tr(C) =n∑
i=1
cii =n∑
i=1
n∑k=1
aikbki. Por outro lado, tr(D) =
n∑i=1
dii =
n∑i=1
n∑l=1
bilali =
n∑l=1
n∑i=1
ailbli. Assim, tr(C) = tr(D).
1.7 A INVERSA DE UMA MATRIZ
O uso das matrizes e muito importante para a resolucao de sis-
temas lineares, como veremos na unidade 3. Podemos escrever um
sistema linear na forma AX = B, onde A, X, B sao matrizes com suas
caracterısticas proprias. Quando A for invertıvel, no sentido em que
vamos definir, a ultima igualdade fica na forma X = A−1B e temos a
solucao do sistema.
Definicao 1.7.1. Dada uma matriz quadrada A ∈ Mn×n(R), se existir
uma matriz B ∈ Mn×n(R) tal que AB = BA = In, entao dizemos que
A e invertıvel.
Exercıcio. Mostre que a inversa de uma matriz quadrada A, quando
existe, e unica. Denotamos a inversa de A por A−1.
Definicao 1.7.2. Se A ∈ Mn×n(R) nao e invertıvel, entao dizemos
que A e singular.
30
Exemplo 1.7.1. A inversa de A =
⎡⎣ 5 2
1 3
⎤⎦ e A−1 =1
13
⎡⎣ 3 −2
−1 5
⎤⎦.
(Verifique!)
Exemplo 1.7.2. A matriz B =
⎛⎝ 1 3
3 9
⎞⎠ nao possui inversa.
Exemplo 1.7.3. Sabendo que as matrizes A, B, C, D sao invertıveis e
de mesma ordem, obter X: AXC = BD.
Sol.: Como A e C sao invertıveis, podemos multiplicar a expressao
por A−1 a esquerda e por C−1 a direita. Daı, teremos:
AXC = BD ⇒ A−1(AXC) = A−1(BD) =⇒ (A−1A)(XC) = A−1(BD) =⇒I(XC) = A−1(BD) =⇒ XC = A−1(BD).
Analogamente, multiplicando a ultima expressao por C−1 a direita, ter-
emos que X = A−1(BD)C−1.
1.7.1 PROPRIEDADES DA INVERSA DE UMA MATRIZ
Listaremos algumas propriedades da inversa de uma matriz. A
prova, verificacao, delas e um exercıcio para o leitor.
• (A−1)−1 = A.
• (In)−1 = In, ∀n ∈ N.
• (AB)−1 = B−1A−1, A e B sao matrizes quadradas invertıveis
de mesma ordem.
• (At)−1 = (A−1)t.
Pergunta: Qual e a inversa de uma matriz A =(
a11
), onde a11 �=
0?
1.8 ESCALONAMENTO DE UMA MATRIZ
31
E de grande utilidade em Matematica sabermos escalonar uma
matriz. So para citar algumas, mencionemos o fato de que e mais
facil calcular o determinante de uma matriz quadrada triangular (es-
tudaremos determinantes na unidade 2 ). Tambem e mais facil re-
solver um sistema de equacoes lineares quando sua matriz princi-
pal esta escalonada. Outra utilidade e calcular a inversa de uma
matriz quadrada invertıvel usando o metodo de Gauss-Jordan. De
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Gauss, o leitor
conhecera mais
sobre a vida deste
grande matematico.
grande utilidade e de facil aprendizado, aprenderemos a escalonar
uma matriz utillizando o metodo da eliminacao de Gauss, que faz
uso de operacoes elementares. Assim, o metodo de escalona-
mento tambem e conhecido como metodo da eliminacao.
Comecemos com a seguinte definicao:
Definicao 1.8.1. Seja A = (aij) ∈Mm×n(R) uma matriz. Dizemos que
A e escalonada se o primeiro elemento nao-nulo de uma linha estiver
a esquerda do primeiro elemento nao-nulo de cada uma das linhas
subsequentes. Caso A tenha linhas compostas somente de zeros,
entao essas linhas ficam abaixo das demais.
Exemplo 1.8.1. As matrizes A =
⎛⎜⎜⎜⎝2 9 3
0 5 7
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠ e B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 −9 7 0
0 2 1 1
0 0 0 4
0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠estao escalonadas.
Exemplo 1.8.2. A matriz C =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 −8 0 2
0 2 −3 2 0
2 0 0 19 10
⎞⎟⎟⎟⎠ nao esta escalon-
ada, pois o elemento c31 e diferente de zero.
Apos aprendermos a definicao de matriz escalonada, passaremos
a descrever o metodo de eliminacao de Gauss. Para isso, comecaremos
explicando o que sao operacoes elementares em uma matriz. O adje-
tivo elementar se deve ao fato de que realmente sao operacoes muito
simples, como veremos a seguir:
• Permutar linhas da matriz;
32
• Adicionar a uma linha o multiplo de outra linha, ou
• Substituir uma linha pela combinacao linear de outras linhas.
Definicao 1.8.2. Dada uma matriz A, chamamos de equivalente a A a
matriz obtida de A atraves de operacoes elementares. Denotaremo-la
por A.
Passaremos a exemplificar tais operacoes elementares:
Exemplo 1.8.3. Dada a matriz M =
⎛⎝ 0 3
1 4
⎞⎠, obtemos a matriz
M =
⎛⎝ 1 4
0 3
⎞⎠ atraves da permutacao das duas linhas de M .
Exemplo 1.8.4. A matriz D =
⎛⎜⎜⎜⎝2 4 4
0 5 2
1 3 2
⎞⎟⎟⎟⎠ e equivalente a matriz
D =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 2
0 5 2
2 4 4
⎞⎟⎟⎟⎠ pois D foi obtida de D atraves da permutacao da
sua primeira
e da sua terceira linha.
Exemplo 1.8.5. Adicionando a primeira linha o quıntuplo da terceira,
obtemos uma matriz equivalente para a matriz E =
⎛⎜⎜⎜⎝6 7 0
9 3 1
5 2 1
⎞⎟⎟⎟⎠:
E =
⎛⎜⎜⎜⎝31 17 5
9 3 1
5 2 1
⎞⎟⎟⎟⎠ .
O leitor deve treinar o uso das operacoes elementares em varias
matrizes. Elas serao muito uteis na resolucao de sistemas lineares.
33
So para citar, muitos programas de computador utilizam o metodo do
escalonamento para resolver sistemas lineares.
Descreveremos agora o processo de eliminacao gaussiana de uma
matriz. Conscientize-se de que o nosso objetivo e obter uma matriz
escalonada, e que os exemplos acima serviram apenas para a fixacao
da materia. No ultimo exemplo, nao foi uma boa operacao adicionar
a primeira linha o quıntuplo da terceira, ja que a matriz E e visivel-
mente mais facil de ser trabalhada do que a matriz E. Nao devemos,
portanto, tomar operacoes que nao tornem a matriz equivalente mais
simples do que a original.
Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R) qualquer, temos dois ca-
sos a analisar. O primeiro e que a11 �= 0. O outro, claramente, e
a11 = 0. Se a11 �= 0, podemos passar ao proximo passo. Mas se
a11 = 0, entao permutamos a primeira linha de A com uma que pos-
sua o primeiro termo nao nulo. Foi isso que fizemos no exemplo 1.7.3.
Mas se A nao possuir uma linha em que o primeiro termo for nao-
nulo, entao passemos a analisar a sua segunda coluna da mesma
maneira que analisamos a primeira (e que acabamos de descrever).
Caso aconteca com a segunda linha o mesmo que com a primeira,
passemos para a terceira e assim sucessivamente.
Assumindo que a11 �= 0 (ou que a1j �= 0 para algum j ∈ {1, . . . , n},caso aconteca que a11 = 0), somemos a cada linha restante de A o
termo −ai1/a11 (ou −aij/a1j). Apos esse passo, a matriz possuira a
primeira (ou a j-esima) coluna com os elementos abaixo de a11 (ou de
a1j) iguais a zero.
Agora passemos a analisar a coluna subsequente a primeira (ou a
j-esima). Nela, nos preocupemos com a segunda linha. Facamos o
mesmo raciocınio que fizemos no caso anterior, ou seja, vejamos se
a22 (ou a2(j+1)) e nao-nulo e procedamos analogamente. Assim, depois
que adicionarmos as outras linhas o termo−ai2/a22 (ou−ai(j+1)/a2(j+1)),
a segunda (ou (j + 1)-esima) coluna ficara com os elementos abaixo
de a22 (ou de a2(j+1)) iguais a zero.
34
Continuemos assim ate termos a matriz escalonada.
Exemplo 1.8.6. Dada a matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎝0 9 3
−1 2 −6
1 3 4
⎞⎟⎟⎟⎠, procedamos da
seguinte maneira:
1. Como a11 = 0, mas a21 �= 0 e a31 �= 0, podemos escolher a linha
com a qual permutaremos a primeira. Neste caso, escolhamos
a terceira (Por que?). Daı, teremos a seguinte matriz:⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
−1 2 −6
0 9 3
⎞⎟⎟⎟⎠ .
2. Agora, adicionemos a segunda linha a primeira multiplicada por
−(−1)/1 = 1:
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
0 5 −2
0 9 3
⎞⎟⎟⎟⎠ .
3. Como (nesse exemplo) ja possuımos o primeiro elemento desta
ultima matriz nulo, passemos para a segunda coluna. Analise-
mos o elemento a22. Como ele e nao-nulo, adicionemos a ter-
ceira linha a segunda multiplicada por −9/5:
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
0 5 −2
0 0 33/5
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Esta ultima matriz esta, evidentemente, escalonada.
Adotaremos a seguinte notacao a partir de agora:
35
• Quando quisermos nos referir a uma determinada linha de uma
matriz, chamaremo-la de Li, ou seja, Li representa a i-esima
linha;
• Para designar um multiplo de uma linha, usaremos αLi, que sig-
nifica que a i-esima esta multiplicada por α;
• Quando quisermos somar duas linhas (ou multiplos delas), us-
aremos αLi + βLj, que significa que a i-esima linha multiplicada
por α foi somada a j-esima multiplicada por β.
• Quando permutarmos duas linhas, usaremos Li ←→ Lj , que
significa que a i-esima linha foi permutada com a j-esima.
Queremos com isso transcrever matematicamente as operacoes
elementares que acabamos de aprender.
Exemplo 1.8.7. Nesse raciocınio, o exemplo anterior pode ser escrito
desta maneira:
A =
⎛⎜⎜⎜⎝0 9 3
−1 2 −6
1 3 4
⎞⎟⎟⎟⎠ L1↔L3−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
−1 2 −6
0 9 3
⎞⎟⎟⎟⎠ L2+L1−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
0 5 −2
0 9 3
⎞⎟⎟⎟⎠
L3+(−9/5)L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
0 5 −2
0 0 33/5
⎞⎟⎟⎟⎠ .
1.9 SAIBA MAIS
1. O leitor podera acessar, no sıtio http://strato.impa.br/, excelentes
vıdeos produzidos pela equipe Coordenada pelo Professor Elon
Lages Lima, do Programa de Formacao de Professores do En-
sino Medio. Acessando janeiro de 2002 e janeiro de 2006, o leitor
encontrara vıdeos sobre o ensino de matrizes.
36
1.10 EXERCICIOS
1. Encontre x e y para que as matrizes A e B sejam iguais, onde:
(a) A =
⎛⎝ x 2 3
−5 2 7
⎞⎠ e B =
⎛⎝ 18 2 3
−5 −y 7
⎞⎠;
(b) −A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
12 −√2
19−√3
2
3 −x
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠e B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−12√
2
−19
√3
2
−y 2x
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠;
(c) At =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1 0 18 −√5
3x −4 8 0
0 4 5 −3
−2√
2 7 9 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e
−B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 −9 0 2
√2
0 4 −4 −14y
−18 −8 −5 −9√
5 0 3 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠;
(d) A =
⎛⎜⎜⎜⎝1 0
−1
xy3
⎞⎟⎟⎟⎠ e B =
⎛⎝ 1 0
−√15 8
⎞⎠.
2. Resolva a seguinte equacao:
⎛⎝ x2 − 1 18 −3
0 −2 3y
⎞⎠ +
⎛⎝ −3 −20 5
z 4w 0
⎞⎠ =
⎛⎝ 12 t 2
5 3 0
⎞⎠.
3. Dada a matriz M =
⎛⎜⎜⎜⎝18 −5 8
0 −3 1
12 5 0
⎞⎟⎟⎟⎠,
37
diga quem e a diagonal principal D e de a soma dos seus ele-
mentos.
4. Construa varios exemplos de matrizes triangulares e classifique-
os quanto ao tipo.
5. Dadas as matrizes D =
⎛⎝ 1 9
−9 2
⎞⎠ e F =
⎛⎝ 2 2/5 −3
7 −1 43
⎞⎠,
calcule −D, 2D, 4F,−5F .
6. Dada a matriz M =
⎛⎜⎜⎜⎝18 −5 8
0 −3 1
12 5 0
⎞⎟⎟⎟⎠, calcule 5D e encontre a
soma dos elementos da diagonal principal dessa nova matriz.
7. Calcule λI4 e ache a razao entre a soma dos elementos da dia-
gonal principal de I4 e de λI4. Generalize.
8. Construa duas matrizes triangulares superiores de ordem 2 e ve-
rifique que a soma delas ainda e uma matriz triangular superior.
Faca o mesmo para o caso de matriz triangular inferior. Gener-
alize.
9. Dadas as matrizes I3, e A =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 2
4 1 0
−1 2 9
⎞⎟⎟⎟⎠, encontre a matriz
A− λI3.
10. Dada a matriz M =
⎛⎜⎜⎜⎝12 −5 3
1 0 18
0 2 25
⎞⎟⎟⎟⎠ , calcule primeiro (2 + 3)M
e depois 2M + 3M .
11. Verifique que todo multiplo de uma matriz identidade e uma ma-
triz simetrica.
38
12. Verifique que a matriz
⎡⎣ 0 3
−3 0
⎤⎦ e anti-simetrica.
13. Construa duas matrizes simetricas de ordem 3 e verifique que a
soma delas e ainda simetrica (de mesma ordem). Faca o mesmo
para o caso de matrizes anti-simetricas. Generalize para ma-
trizes simetricas e anti-simetricas de ordem n, n ∈ N.
14. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma
de uma matriz simetrica com uma anti-simetrica.
15. Dadas as matrizes A =
⎛⎝ 1 2
2 4
⎞⎠ e B =
⎛⎝ 3 5
2 −1
⎞⎠, calcule
(AB)t e BtAt.
16. Para as mesmas matrizes A e B do exercıcio anterior, calcule
(A + B)t, At + Bt, (At)t, 5At e (5A)t.
17. Sejam as matrizes M =
⎛⎜⎜⎜⎝1 −3 4
2 5 0
9 18 0
⎞⎟⎟⎟⎠ e N =
⎛⎜⎜⎜⎝3 −2 7
0 5 8
9 10 23
⎞⎟⎟⎟⎠.
Calcule :
(a) tr(M t);
(b) tr(M + N);
(c) tr(5M + 18N);
(d) tr(MN);
(e) tr(NM).
18. Diga se as matrizes abaixo estao escalonadas:
39
(a) A =
⎛⎝ 1 0
0 0
⎞⎠ (b)B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 3 2
9 4 −2
0 5 6
0 0 7
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(c)C =
⎛⎜⎜⎜⎝0 3 4 −1 0 3
0 0 0 −4 −3 8
0 0 0 0 5 7
⎞⎟⎟⎟⎠ (d)D =
⎛⎜⎜⎜⎝8 −5 7 −2
0 −3 4 −1
−2 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠
(e)E =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 −9 4 2
2 −4 −6 −9
0 9 7 7
0 0 2 1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
19. Escalone as seguintes matrizes:
(a) A =
⎛⎝ 3 2
8 9
⎞⎠ (b) B =
⎛⎜⎜⎜⎝0 −8 2
2 −1 4
1 2 3
⎞⎟⎟⎟⎠
(c) C =
⎛⎜⎜⎜⎝2 0 0 0
0 2 −3 4
9 17 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎠ (d)D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 10 1 0 0
1 −1 −3 0 0
−1 0 2 0 1
0 0 1 8 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(e) E =
⎛⎜⎜⎜⎝1 0 2 0 −1 3
3 2 3 −1 0 0
0 0 1 0 2 −4
⎞⎟⎟⎟⎠
40
1.11 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A
Matematica do Ensino Medio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro:
SBM, 2006.
41
Unidade 2
Determinantes
Resumo
Apresentamos como associar uma matriz quadrada a um número
real. A essa associação damos o nome de determinante. Aprenderemos
como calcular o determinante de matrizes (quadradas) de qualquer
ordem, através dos métodos de Laplace, Chió, Sarrus e outros.
Estabeleceremos uma condição necessária e suficiente para determinar
se uma dada matriz admite inversa. Vários conceitos importantes, como
o de cofator, matriz adjunta, polinômio característico, e outros são
apresentados.
ÍNDICE UNIDADE 2. Determinantes 2.1 Introdução
2.2 Determinante de uma matriz de ordem 2 × 2
2.3 Determinante de uma matriz de ordem 3 × 3
2.4 Propriedades dos determinantes
2.5 Determinantes de matrizes de ordem arbitrária
2.5.1 Teorema de Laplace
2.5.2 Regra de Chió
2.6 Matriz Adjunta
2.7 Polinômio característico
2.8 Saiba mais
2.9 Exercícios
2.10 Respostas
2.11 Referência Bibliográfica
Unidade 2
DETERMINANTES
2.1 INTRODUCAO
No conjunto das matrizes existe um subconjunto muito importante
para a Matematica. E o subconjunto das matrizes quadradas. Nele,
podemos definir uma funcao f : Mn×n(R) → R. Assim, associamos
cada matriz quadrada a um numero real. Denominamos essa funcao
de determinante, e designamos f(A) = det A. Ha muita controversia
Mais
informacoes
sobre a origem
do termo deter-
minante podem
ser encontradas
na Revista
numero 21, em
www.rpm.org.br.
acerca do surgimento dos determinantes. Alguns admitem que os
determinantes surgiram ha 2000 anos na China Antiga, pois existem
resquıcios de que os chineses usavam algo parecido com determi-
nantes para resolver sistemas lineares, assunto que estudaremos
na unidade 3.
Desde a invencao dessa importante funcao, varios avancos foram
conseguidos e hoje sabemos que a funcao determinante serve para
inumeras coisas, como calcular a area de um paralelogramo, o vol-
ume de um paralelepıpedo, entre outras aplicacoes. Alem de ajudar
a resolver sistemas lineares, conteudo a ser estudado na unidade 3,
o determinante serve tambem para encontrar a inversa de uma matriz,
caso exista.
Comecaremos o estudo dos determinantes vendo,inicialmente,o
caso de uma matriz quadrada de ordem 2, isto e, matriz do tipo
2 × 2. Apos isso, veremos como calcular determinantes de matrizes
44
quadradas do tipo 3×3 e, entao aprenderemos como calcular o deter-
minante de uma matriz quadrada do tipo n× n.
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE OR-
DEM 2
Ha um ditado popular que afirma que nao se pode construir uma
casa comecando pelo telhado. Primeiro constroi-se a base para entao
construir o restante. Assim tambem e estruturado o conhecimento.
Primeiro aprendemos o basico para entao galgarmos aprender o mais
difıcil. Nao podemos pensar em calcular o determinante de uma ma-
triz do tipo 5×5 sem sabermos calcular o determinante de uma matriz
do tipo 2 × 2. Afinal, varias maneiras existentes de calcular determi-
nante de matrizes de ordens superiores a tres usam o calculo elemen-
tar do determinante de matrizes de ordem 2.
Antes de aprendermos como calcular o determinante de uma ma-
triz quadrada de ordem 2, vejamos o que acontece para o caso de
uma matriz de ordem 1.
Definicao 2.2.1. Seja uma matriz A de ordem 1. Seu determinante
e dado por det A = a11. Ou seja, o determinante de uma matriz qua-
drada de ordem 1 e igual ao unico elemento que compoe a matriz.
Assim, como duas matrizes sao iguais se, e somente se, os seus
elementos sao iguais, ganhamos que o conjunto das matrizes quadradas
de ordem 1 possui uma correspondencia biunıvoca com o conjunto
dos numeros reais. A funcao determinante associa a cada matriz
B = (b11) ∈ M1×1(R) um numero real det B = b11, de maneira unica.
Exemplo 2.2.1. A =(
2)⇒ det A = 2.
Exemplo 2.2.2. ∀α ∈ R, A =(
α)⇒ det A = α.
45
Passemos ao calculo do determinante de matrizes quadradas de
ordem 2. Descreveremos uma maneira rapida e sutil de se calcu-
lar o determinante de tais matrizes. Para isso, tomemos a seguinte
definicao:
Definicao 2.2.2. Dada uma matriz A =
⎛⎝ a11 a12
a21 a22
⎞⎠, o seu determi-
nante
e dado por det A = a11a22 − a12a21. Ou seja, o determinante de A
e obtido pela diferenca entre o produto dos elementos da diagonal
prinicipal de A pelo produto dos elementos da sua diagonal secundaria;
Ou seja:
det A =
∣∣∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
Exemplo 2.2.3. Seja B =
⎛⎝ 2 3
4 −8
⎞⎠. Entao det B = 2×(−8)−3×4 =
= −16− 12 = −28.
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE OR-
DEM 3
Continuando o estudo dos determinantes, chegamos enfim ao calculo
de determinantes de matrizes quadradas de ordem 3. Existem varias
maneiras de se calcular tais determinantes. Algumas pessoas ate
ocupam seu tempo tentando descobrir alguma maneira nova de se
calcular o determinante de uma matriz quadrada do tipo 3× 3. Outras
costumam decorar as diversas maneiras existentes.
O objetivo desta secao nao e ensinar as inumeras maneiras de
se calcular os determinantes desse tipo de matrizes. O leitor deve
46
dar - se por satisfeito conseguindo aprender pelo menos uma dessas
maneiras. Afinal, o mais importante agora e chegar ao resultado, e
nao discutir as vias que resultam nele.
Definicao 2.3.1. Seja A = (aij)3×3. O determinante de A e dado por:
det A = a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21−(a13a22a31+a12a21a33+a11a32a23).
Ou seja,
det A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21−(a13a22a31+
+a12a21a33 + a11a32a23).
A formula acima e difıcil de se memorizar, mas existem maneiras
simples de lembra-la. Vejamos o metodo de Sarrus para calcular o
determinante de matrizes 3× 3:
• Primeiro escrevemos a matriz e repetimos a sua direita as suas
primeira e segunda colunas. (Lembre-se de nao por os ( )′s!);
• Depois, tracamos setas de acordo com a figura abaixo;
• Calculamos o produto dos elementos da matriz segundo elas;
• Para as setas que ficam na direcao e sentido da da diagonal
secundaria tomamos o oposto do produto. Para as setas que
ficam na direcao e sentido da diagonal principal tomamos o valor
do produto sem alteracoes;
• Somamos os valores encontrados.
Esse metodo e conhecido como regra de Sarrus.
Exemplo 2.3.1. O determinante da matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 5
9 3 0
2 18 −7
⎞⎟⎟⎟⎠ e
det A = 1×3×(−7)+3×0×2+5×9×18−(5×3×2+1×0×18+3×9×(−7)) = 948.
47
Figura 2.1: Regra de Sarrus
Exemplo 2.3.2. O determinante da matriz B =
⎛⎜⎜⎜⎝1 7 12
0 5 3
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠ e igual
a 5. (Verifique!)
Outra maneira muito simples de se memorizar o calculo do deter-
minante de uma matriz do tipo 3× 3 e a seguinte:
Figura 2.2: Determinante de uma matriz 3× 3
2.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Esta secao abordara varias propriedades dos determinantes. O
conhecimento dessas propriedades e de grande importancia para o
calculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem maior que
48
3. Elas servem tambem para determinantes de ordem 2 e 3. As pro-
priedades que listaremos a seguir devem ser estudadas mais profun-
damente, visto que de posse delas e com um pouco de maturidade
conseguimos resolver varios determinantes sem fazer calculos de-
masiados. Isto e, com elas conseguimos poupar tempo na resolucao
de determinantes de matrizes de ordens muito grandes.
Apesar de termos ate agora visto somente como calcular determi-
nantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, enunciaremos as propriedades
para o caso geral, i.e., para o caso de matrizes quadradas de ordem
n, n ∈ N. Convidamos o leitor a tentar demonstra-las, ou verifica-las
atraves de varios exemplos.
• Matriz com linhas ou colunas nulas
E fato que o determinante de toda matriz nula e nulo. Mas o
interessante e que isto tambem se verifica quando somente uma
linha (ou coluna) da matriz e formada apenas por zeros. Ou seja,
se
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
...... . . .
...
0 0 . . . 0...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,
entao det A = 0.
Exemplo 2.4.1. det
⎛⎜⎜⎜⎝1 5 9
0 0 0
2 −2 3
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Exemplo 2.4.2.
∣∣∣∣∣∣ 0 3
0 4
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Exemplo 2.4.3.
∣∣∣∣∣∣ 0 0
1 3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Exemplo 2.4.4. det
⎛⎜⎜⎜⎝0 3 −7
0 2 0
0 5 1
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
49
Exemplo 2.4.5.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 4 0 3
9 3 0 2
0 0 0 0
1 −2 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.
• det A = det At
Esta propriedade diz que o determinante de uma matriz e igual
ao da sua transposta. O leitor certamente ja tinha percebido a
essa propriedade.
Exemplo 2.4.6. det
⎛⎝ 1 9
−6 7
⎞⎠ = det
⎛⎝ 1 −6
9 7
⎞⎠ .
• Linhas ou colunas iguais
Esta propriedade bastante interessante pode ser provada us-
ando o teorema de Cauchy que sera enunciado na proxima
secao, como o leitor atento podera perceber. Mas voltando ao
principal, esta propriedade nos diz que se uma matriz quadrada
possuir duas (ou mais) linhas (ou colunas) iguais, entao seu de-
terminante sera nulo.
Exemplo 2.4.7.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5 3 7
2 2 4 5 9
−3 −4 7 10 −1
1 3 5 3 7
0 1 5 3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, pois a quarta linha
e igual a primeira.
Exemplo 2.4.8.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −9 1
2 8 2
3 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (Voce sabe dizer por que?)
50
Exemplo 2.4.9.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x + 1 x + 2 (x− 4)8 3x 2 x2
1 3 −2 2 −8 6
4 −1 93 0 0 7
1 3 −2 2 −8 6
0 5 2 19 17 6
−1 (log 3)x 3 2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,
∀x ∈ R. Viu como ajuda?
• Linhas ou colunas proporcionais
No mesmo raciocınio do ıtem anterior, temos que o determinante
de uma matriz quadrada e nulo se ela possuir duas (ou mais)
linhas (ou colunas) proporcionais. Ou seja, se ela possuir pelo
menos uma linha (ou coluna) multipla de outra linha (ou coluna),
seu determinante sera nulo. Note que o caso anterior e uma
particularidade deste quando o fator de proporcionalidade e igual
a 1.
Exemplo 2.4.10.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5 3 7
2 2 4 5 9
−3 −4 7 10 −1
8 24 40 24 56
0 1 5 3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,
pois a quarta linha e igual a primeira multiplicada por 8.
Exercıcio. Construa mais exemplos de matrizes em que suas
linhas (ou colunas) sao proporcionais e calcule seus determi-
nantes.
• Determinante de matriz triangular
Esta propriedade diz que o determinante de qualquer matriz tri-
angular superior e igual ao produto dos elementos componentes
da diagonal principal. Ou seja, se D = {a11, . . . , ann} e a diago-
nal principal de A e A e triangular superior, entao
det A =
n∏i=1
aii = a11 × a22 × . . .× ann.
51
Exemplo 2.4.11. O determinante da matriz D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝9 2 10 −4
0 3 4 1
0 0 2 1
0 0 0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠e igual a det A = 108.
Exercıcio:O leitor poderia, somente usando as propriedades lis-
tadas ate agora, explicar por que o determinante de uma matriz
triangular inferior tambem e igual ao produto dos elementos da
diagonal principal?
Exemplo 2.4.12. A matriz B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2 0 0 0
100 −1 0 0
−1 3000 2 0
1 1010 2 8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e triangular
(De que tipo?) e possui determinante det B = 2× (−1)× 2× 8 =
−32.
• Multiplicacao de linha ou coluna por um escalar
Quando multiplicamos uma linha ou coluna por um escalar, o
seu determinante fica multiplicado por esse numero.
Exemplo 2.4.13. Notemos que a matriz M =
⎛⎝ 7 21
1 2
⎞⎠ pode
ser vista como M =
⎛⎝ 7× 1 7× 3
1 2
⎞⎠. Daı, det M = 7 det
⎛⎝ 1 3
1 2
⎞⎠ =
7× (−1) = −7.
Exemplo 2.4.14. Calcular o determinante da matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎝2 8 4
3 9 12
15 5 25
⎞⎟⎟⎟⎠.
Podemos ver A desta maneira:
⎛⎜⎜⎜⎝2× 1 2× 4 2× 2
3× 1 3× 3 3× 4
5× 3 5× 1 5× 5
⎞⎟⎟⎟⎠. (Pode-
mos?)
52
Daı, det A = det
⎛⎜⎜⎜⎝2× 1 2× 4 2× 2
3× 1 3× 3 3× 4
5× 3 5× 1 5× 5
⎞⎟⎟⎟⎠ = 2×3×5×det
⎛⎜⎜⎜⎝1 4 2
1 3 4
3 1 5
⎞⎟⎟⎟⎠= 2× 3× 5× 23 = 690.
Agora o leitor esta apto a dizer quanto vale det αA, onde α ∈ R
e A ∈Mn×n. (Ou nao?) Vejamos mais detalhadamente a matriz
αA:
αA =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝αa11 αa12 . . . αa1n
αa21 αa22 . . . αa2n
......
. . ....
αan1 αan2 . . . αann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Claramente vemos que α multiplica cada linha da matriz A. Pela
propriedade que enunciamos neste ıtem, o determinante de A
ficara multiplicado pelos escalares que multiplicam as suas lin-
has, que neste caso sao todos iguais a α:
det αA = α× α× . . .× α︸ ︷︷ ︸n vezes
det A = αn det A.
Exemplo 2.4.15. Dada a matriz D =
⎛⎝ 3 10
9 −7
⎞⎠, calcule det 5D.
Pela propriedade que acabamos de ver det 5D = 5× 5 det D =
52 det D = = 25× (−111) = −2775.
• Teorema de Jacobi
Recordemos o seguinte fato: dada uma matriz quadrada A, a
sua equivalente A e obtida atraves de operacoes elementares.
Uma pergunta interessante e: como determinar det A conhecendo
det A ? O teorema de Jacobi responde a essa pergunta:
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Jacobi, o leitor
conhecera mais
sobre a vida deste
grande matematico.
Teorema 2.4.1. Seja A uma matriz quadrada. O determinante
de A e igual ao de qualquer equivalente sua.
53
A importancia do teorema acima e inmensuravel. De posse dele,
podemos calcular o determinante de uma matriz apenas calcu-
lando o da sua escalonada. (Por que e mais facil calcular o deter-
minante de uma matriz escalonada?) Assim, ao inves de calcu-
larmos o determinante de uma matriz do tipo 4×4, escalonamo-a
e calculamos o seu determinante.
Exemplo 2.4.16. A matriz escalonada de A =
⎛⎜⎜⎜⎝0 9 3
−1 2 −6
1 3 4
⎞⎟⎟⎟⎠
e A =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 4
0 5 −2
0 0 33/5
⎞⎟⎟⎟⎠. (Exemplo 1.7.6)
Portanto, pelo teorema de Jacobi, det A = det A = 33. (Por que
det A = 33?)
• Teorema de Binet
Quando multiplicamos duas matrizes quadradas, inquirimos ac-
erca do determinante deste produto. Como se relaciona o deter-
minante do produto de duas matrizes com os seus respectivos
determinantes?
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Binet, o leitor con-
hecera mais sobre
a vida deste grande
matematico.
Teorema 2.4.2. Sejam A e B duas matrizes quadradas de or-
dem n. O determinante do seu produto e igual ao produto dos
seus respectivos determinantes, isto e, se A e B sao matrizes
quadradas, entao det(AB) = det A det B.
Ilustremos o teorema de Binet com alguns:
Exemplo 2.4.17. A =
⎛⎝ 1 4
9 0
⎞⎠, B =
⎛⎝ −1 0
6 −7
⎞⎠ =⇒
=⇒ AB =
⎛⎝ 23 −28
−9 0
⎞⎠ =⇒ det(AB) = −252.
Agora note que det A = −36 e det B = 7. Assim, det A det B =
−252.
54
Exemplo 2.4.18. C =
⎛⎜⎜⎜⎝1 7 2
−2 4 −6
0 8 0
⎞⎟⎟⎟⎠, D =
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3
−9 0 6
0 5 1
⎞⎟⎟⎟⎠ =⇒
=⇒ CD =
⎛⎜⎜⎜⎝62 12 47
−38 −34 12
−72 0 48
⎞⎟⎟⎟⎠.
Ao inves de calcularmos o determinante da ultima matriz, us-
amos o teorema de Binet e afirmamos que det(CD) = det C det D =
48× 1620 = 25920.
2.5 DETERMINANTES DE MATRIZES DE OR-
DEM n
Aprenderemos nessa secao maneiras de se calcular o determi-
nante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Assim, pedimos
bastante atencao do estudante durante a sua leitura. Alguns metodos
necessitam de certo esforco minemonico devendo, por isso, ser es-
tudados com mais afinco. Veremos conceitos necessarios para con-
seguirmos calcular determinantes atraves dos metodos de Laplace e
de Chio.
Com isso, poderemos resolver problemas matematicos mais avan-
cados que necessitem de matrizes quadradas de ordem grande e
de seus respectivos determinantes. Convidamos o leitor a procurar,
na BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA, aplicacoes de determinantes
e o instigamos a resolver os exercıcios. Somente com resolucao de
exercıcios e que conseguimos solidificar o conhecimento matematico.
Procure resolver a maior quantidade possıvel de exercıcios referentes
a essa secao, pois nesta unidade talvez ela seja a mais importante.
Comecaremos esta secao aprendendo o metodo de Laplace para o
55
calculo de determinantes de matrizes de ordem arbitraria.
2.5.1 TEOREMA DE LAPLACE
O teorema de Laplace e, sem duvida, o mais elegante para o
calculo do determinante de uma matriz. Muitos autores tomam a
definicao de determinante como o proprio teorema de Laplace. Antes
de enunciarmo-lo, vejamos primeiramente o conceito de cofator, que
e necessario para o seu perfeito entendimento.
Definicao 2.5.1 (Cofator). Seja A = (aij) ∈ Mn×n(R) uma matriz
dada. O cofator do elemento aij e o numero Aij = (−1)i+j det Mij,
onde Mij e a matriz resultante da eliminacao da linha i e da coluna j
da matriz A.
Exemplo 2.5.1. Seja a matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. Calculemos o
cofator do elemento a23 (Nao confunda aij com Aij !). Para isso,
notemos
que M23 =
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 4
9 10 12
13 14 16
⎞⎟⎟⎟⎠. (Concorda?) Daı, det M23 = 0 e entao
A23 = (−1)2+3 det M23 = 0.
Exemplo 2.5.2. Para a matriz D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝2 −8 4 5
0 0 3 4
9 −2 4 3
1 0 −4 5
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, calcule D14 e
D32.
Vejamos primeiramente quem sao as matrizes M14 e M32:
56
M14 =
⎛⎜⎜⎜⎝0 0 3
9 −2 4
1 0 −4
⎞⎟⎟⎟⎠, M32 =
⎛⎜⎜⎜⎝2 4 5
0 3 4
1 −4 5
⎞⎟⎟⎟⎠.
Logo teremos que det M14 = 6 e det M32 = 63 e entao
D14 = (−1)1+4 det M14 = −6, D32 = (−1)3+2 det M32 = −63.
Exemplo 2.5.3. Calcule C11 e C42, onde C e tal que
C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝12 4 −26 32
23 34 19 −7
11 −15 31 14
72 −30 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠. Novamente, vejamos quem sao as matrizes M11 e M42:
M11 =
⎛⎜⎜⎜⎝34 19 −7
−15 31 14
−30 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎠, M42 =
⎛⎜⎜⎜⎝12 −26 32
23 19 −7
11 31 14
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Daı, teremos que C11 = (−1)1+1 det M11 = 15544 e C42 = (−1)4+2 det M42 =
32298.
Nos ultimos exemplos vimos a regra do cofator aplicada a elemen-
tos de matrizes do tipo 4 × 4,m as podemos aplica-la em casos de
matrizes de ordem 2 e 3. Vejamos o exemplo seguinte:
Exemplo 2.5.4. Calcule E21 , E22 e E23 onde E =
⎛⎜⎜⎜⎝2 9 8
3 5 6
9 1 1
⎞⎟⎟⎟⎠.
Vejamos as matrizes M21, M22 e M23: M21 =
⎛⎝ 9 8
1 1
⎞⎠, M22 =
⎛⎝ 2 8
9 1
⎞⎠,
M23 =
⎛⎝ 2 9
9 1
⎞⎠ .
Logo, E21 = (−1)2+1 det M21 = −1, E22 = (−1)2+2 det M22 = −70 e
E23 = (−1)2+3 det M23 = 79.
57
No exemplo anterior, se calcularmos det E usando a regra de Sar-
rus, encontraremos 121 como resposta. Se calcularmos e21 × E21 +
e22 × E22 + e23 × E23, tambem encontramos 121 como resposta. Nao
foi mera coincidencia. Isto pode ser explicado pelo seguinte teorema:
Teorema 2.5.2 (Laplace). Seja A uma matriz quadrada de ordem n,
n ≥ 2. O seu determinante e igual a soma dos produtos dos elementos
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Laplace, o leitor
conhecera mais
sobre a vida deste
grande matematico.
de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores. Ou seja, det A =n∑
j=1
aijAij, onde i e o ındice de uma linha de A.
Exemplo 2.5.5. Calcular o determinante da matriz D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 5 6 3
9 8 4 −1
0 1 3 1
4 −5 6 −8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠usando o metodo de Laplace.
Comecemos escolhendo uma fila de D. Como o determinante de
D, pelo teorema de Laplace, e det D =
n∑j=1
dijDij, escolheremos uma
fila que possua pelo menos um elemento igual a zero, para facilitarmos
os calculos. Nesse raciocınio, escolheremos a teceira fila, ja que ela
possui um zero.(Convidamos o leitor a calcular o determinante de D
escolhendo uma das outras filas restantes).
Calculemos os cofatores D32, D33, D34. (Por que nao e necessario
calcular D31?) Com um calculo rapido, o leitor facilmente chegara
a solucao D32 = −496, D33 = 40 e D34 = 584. Portanto, det D =
0.D31 + 1.D32 + 3.D33 + 1.D34 = −496 + 120 + 584 = 208.
Encerraremos esta secao enunciando o seguinte teorema:
Teorema 2.5.3 (Cauchy). A soma dos produtos dos elementos de uma
fila pelos cofatores dos elementos correspondentes de outra fila par-
alela e igual a zero.
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Cauchy, o leitor
conhecera mais
sobre a vida deste
grande matematico.
Admitiremos este ultimo teorema sem demonstracao. Convidamos
o leitor a comprova-lo para o caso de uma matriz quadrada de ordem
2.
58
2.5.2 REGRA DE CHIO
Certamente o leitor deve ter percebido a dificuldade de calcular de-
terminantes de matrizes de ordem muito grande. A regra de Laplace e
muito bonita, mas para determinantes de matrizes de ordem superior
a 10, ( bf por exemplo), ela fica pouco usual. Imagine ter que calcular
o determinante de uma matriz do tipo 20 × 20 usando o metodo de
Laplace e dispondo de pouco tempo! A menos que voce consiga cal-
cular determinantes mentalmente, esta tarefa seria um desafio quase
que insolucionavel.
Como seria bom se conseguıssemos calcular o determinante de
uma matriz quadrada de ordem 4 apenas solucionando o de uma
de ordem 3! Ou mesmo calcular o de uma de ordem 3 somente
solucionando o de uma de ordem 2! Em suma, seria muito bom se
soubessemos uma maneira de calcular o determinante de uma matriz
quadrada de ordem n apenas calculando o de uma matriz de ordem
(n− 1). A regra de Chio ajuda-nos a solucionar nosso problema. Ela
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Chio, o leitor con-
hecera mais sobre
a vida deste grande
matematico.
permite o calculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem
n atraves do calculo do determinante de uma matriz quadrada de or-
dem n− 1. Assim, dada uma matriz
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
......
. . ....
an1 an2 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠n×n
sabemos como, atraves de operacoes elementares, torna-la equiva-
lente a uma matriz A (tambem quadrada de ordem n) cujo termo a11
e igula a 1. (Sabemos mesmo?) Entao, assumindo que a matriz qua-
drada A possui o elemento a11 = 1, procedamos desta forma:
59
• Destaque o elemento a11 = 1;
• Desconsidere a primeira linha e a primeira coluna da matriz;
• Subtraia, de cada elemento aij restante, o produto ai1a1j ;
• Com os resultados da passagem anterior, formamos uma matriz
quadrada de ordem n− 1:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a22 − a21a12 a23 − a21a13 . . . a2n − a21a1n
a32 − a31a12 a33 − a31a13 . . . a3n − a31a1n
......
. . ....
an2 − an1a12 an3 − an1a13 . . . ann − an1a1n
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠n×n
• Calculamos o determinante da matriz A obtida.
Notemos que antes de calcularmos o determinante da matriz obtida
podemos repetir o processo ate encontrarmos uma matriz quadrada
de ordem menor cujo determinante seja mais facil de calcular.
Exemplo 2.5.6. Vamos calcular o determinante da matriz
D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 5 6 3
9 8 4 −1
0 1 3 1
4 −5 6 −8
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Por sorte (sera mesmo?), temos que a11 = 1. Daı, seguindo a sequencia
de passos descrita acima, chegamos a:
D =
⎛⎜⎜⎜⎝8− 9× 5 4− 9× 6 −1− 9× 3
1− 0× 5 3− 0× 6 1− 0× 3
−5− 4× 5 6− 4× 6 −8− 4× 3
⎞⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎝−37 −50 −28
1 3 1
−25 −18 −20
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Portanto, pela regra de Chio, teremos que det D = det D = 208.
(Reconhece esse resultado?)
60
2.6 MATRIZ ADJUNTA
Convidamos o leitor a revisar o conceito de matriz inversa. Na
unidade 1 nao ensinamos como calcular a inversa de uma matriz in-
vertıvel. Aqui aprenderemos uma condicao necessaria e suficiente
para sabermos se existe a inversa de uma matriz quadrada. Apos
isso, aprenderemos um metodo para calcular tal inversa. Na proxima
unidade aprenderemos outro metodo.
Na secao anterior aprendemos a calcular o cofator de um elemento
de uma matriz quadrada de ordem arbitraria. La vimos que dada uma
matriz
B = (bij) ∈Mn×n, o cofator do elemento bij e dado por Bij = (−1)i+j det Mij ,
onde Mij e a matriz obtida eliminando-se a i-esima linha e a j-esima
coluna de B.
Assim, se calcularmos todos os cofatores dos elementos de B,
obteremos a matriz dos seus cofatores, que designaremos por B:
B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝B11 B12 . . . B1n
B21 B22 . . . B2n
......
. . ....
Bn1 Bn2 . . . Bnn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Exemplo 2.6.1. Encontre C, onde C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 3
2 3 0 1
0 0 1 2
0 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e C e a matriz
dos cofatores de C.
Apos calcularmos todos os dezesseis cofatores de C, encon-
tramos a seguinte solucao para o problema: (Verifique!)
C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1 0 −4 2
3 0 2 −1
0 0 5 0
−9 5 −6 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
61
Agora estamos aptos a definir o significado de matriz adjunta. Ela
esta intimamente ligada a inversa de uma matriz invertıvel.
Definicao 2.6.1 (Matriz adjunta). Sejam M uma matriz quadrada de
ordem n e M a matriz dos cofatores de M . A matriz adjunta de M ,
que designaremos por M∗ e dada por: M∗ = Mt. Ou seja, a adjunta
de uma matriz e obtida tomando-se a transposta da matriz dos seus
cofatores.
Vejamos um:
Exemplo 2.6.2. Para a matriz C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 3
2 3 0 1
0 0 1 2
0 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, sabemos que
C =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1 0 −4 2
3 0 2 −1
0 0 5 0
−9 5 −6 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Logo, como C∗ = Ct, ganhamos que
C∗ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1 3 0 −9
0 0 0 5
−4 2 5 −6
2 −1 0 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Exercıcio: Construa varias matrizes quadradas e calcule suas ad-
juntas.
Exercıcio: Para a matriz C do exemplo anterior, calcule det C e
depois calcule CC∗ e C∗C. Repita esse processo para as matrizes do
exercıcio anterior. (Consegue deduzir algo?)
Exercıcio: Construa uma matriz quadrada A de determinante nao-
nulo e encontre a matriz A =1
det AA∗. Apos isso, calcule AA e AA.
62
O que voce pode concluir sobre A? (Repita este exercıcio varias
vezes.)
Se o leitor foi bem-sucedido no exercıcio anterior, entao deve ter
percebido que o produto AA = AA = I (I e a matriz identidade!).
Relembrando o conceito de matriz inversa, apresentado na unidade
1, o leitor podera constatar que se o determinante de uma matriz A e
nao-nulo, entao a matriz admite inversa. Alem disso, veremos que a
inversa dessa matriz e igual a1
det AA∗. Assim, podemos enunciar a
seguinte proposicao:
Proposicao 2.6.2. Dada uma matriz quadrada A ∈ Mn×n, existe A−1
se, e somente se, det A �= 0.
Para provarmos essa proposicao precisaremos do seguinte lema:
Lema 2.6.1. Dada uma matriz quadrada M de determinante nao nulo,
a sua inversa e dada por M−1 =1
det MM∗, onde M∗ e a matriz adjunta
de M .
Demonstracao. Para provar que M−1 =1
det MM∗ e suficiente mostrar
que
MM∗ = M∗M = (det M)In. (Concorda?)
Tomando D = MM∗, teremos que (lembra da definicao de produto
de matrizes?) dij =
n∑k=1
mikm∗kj, onde os m∗
kj sao os elementos de
M∗. Como M∗ e a adjunta de M , resulta que m∗kj = Mjk. Substituindo
estes valores, chegamos a dij =
n∑k=1
mikMjk. Temos dois casos a
analisar:
• Se i = j, entao dij =n∑
k=1
mikMik. Mas isto e, pelo teorema de
Laplace, o determinante da matriz M .
63
• Caso contrario, entao dij e a soma dos produtos dos elementos
de uma linha de M pelos cofatores dos elementos de outra linha.
O teorema de Cauchy afirma que dij = 0.
Assim, a matriz D e tal que:
• Se i = j (que corresponde aos elementos da diagonal principal
de D) entao dij = det M ;
• Se i �= j, entao dij = 0.
Portanto, D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
det M 0 0 . . . 0
0 det M 0 . . . 0
0 0 det M . . . 0...
......
. . ....
0 0 0 . . . det M
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
A outra parte demonstra-se de maneira analoga.
Demonstracao da proposicao. Se det A �= 0, entao existe a in-
versa de A pelo lema anterior e e igual a1
det AA∗. Se A possui inversa,
entao, pelo teorema de Binet, teremos que:
AA−1 = I =⇒ 1 = det I = det(AA−1) = (det A)(det A−1),
logo det A �= 0.
Poderıamos mostrar a segunda parte da proposicao usando o fato
que se A e invertıvel entao A e equivalente a uma matriz triangular cu-
jos elementos da diagonal principal sao nao-nulos. Mas a demonstracao
desse fato foge ao objetivo deste texto. Mas notemos que a proposicao
acima implica neste ultimo fato:
Se A e invertıvel, entao A e quadrada. (Concorda?) Escalonando
A obtemos, atraves do metodo de Gauss, uma matriz triangular A,
64
equivalente a A. Como det A = det A (por Jacobi), e det A �= 0,
ganhamos que det A �= 0. Mas det A e igual ao produto dos elementos
de sua diagonal principal. Daı, nenhum elemento da diagonal principal
de A pode ser nulo.
65
2.7 POLINOMIO CARACTERISTICO
Ja vimos algumas utilidades dos determinantes. A proxima ajuda-
nos a dizer quando uma matriz quadrada A pode ser diagonalizavel,
isto e, podemos encontrar uma matriz diagonal AD que possui o mesmo
determinante de A. Para isso, adquiriremos mais um importante con-
ceito: o polinomio caracterıstico de uma matriz. Por ser um texto
introdutorio, abrangiremos aqui somente o polinomio caracterıstico de
matrizes quadradas de ordem 2.
Definicao 2.7.1. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. O polinomio
de grau dois p(λ) = det(A−λI) e o polinomio caracterıstico de A, onde
λ ∈ R e I e a matriz identidade.
A definicao acima diz que dada A =
⎛⎝ a11 a12
a21 a22
⎞⎠, o seu polinomio
caracterıstico e dado por p(λ) = λ2− (a11 + a22)λ + a11a22 − a12a21. Ou
seja, p(λ) = λ2 − (trA)λ + det A.
Exemplo 2.7.1. Seja a matriz A =
⎛⎝ 5 −3
2 0
⎞⎠. O seu polinomio car-
acterıstico e dado por p(λ) = λ2 − 5λ + 6.
Exemplo 2.7.2. O polinomio caracterıstico da matriz B =
⎛⎝ 0 1
5 4
⎞⎠ e
p(λ) = λ2 − 4λ− 5.
Mas o leitor curioso deve estar se perguntando: para que serve
o polinomio caracterıstico de uma matriz? Qual a relacao entre suas
raızes e a matriz em questao? Ou seja, se λ1 e λ2 sao as raızes de
p(λ), qual a relacao entre a matriz e λ1, λ2?
A resposta para essas perguntas e a:
Proposicao 2.7.2. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e p(λ) o
seu polinomio caracterıstico. Se λ1 e λ2 sao as suas raızes, entao A e
equivalente a
⎛⎝ λ1 0
0 λ2
⎞⎠.
66
Logo, se o polinomio caracterıstico de A possui duas raızes reais
(numeros cmplexos sera estudado na unidade 5), entao existe uma
matriz diagonal equivalente a ela. Por Jacobi, teremos que det A =
λ1λ2.
Para o caso 2 × 2 o resultado acima pode nao parecer bastante
interessante. Mas imagine a sua utilidade para o caso de matrizes de
ordens maiores? E ainda nao mencionamos outras consequencias im-
portantes da proposicao acima. Mas somente o fato de que podemos
supor uma dada matriz semelhante a uma matriz diagonal, ganhamos
muito em determinados problemas matematicos.
Exemplo 2.7.3. Para a matriz A =
⎛⎝ 5 −3
2 0
⎞⎠, temos que p(λ) =
λ2−5λ+6. Resolvendo esse polinomio, conseguimos λ1 = 2 e λ2 = 3.
Daı, afirmamos que
⎛⎝ 2 0
0 3
⎞⎠ e equivalente a A.
Exemplo 2.7.4. Agora, para B =
⎛⎝ 0 1
5 4
⎞⎠, teremos, apos a resolucao
do
seu polinomio caracterıstico, que
⎛⎝ −1 0
0 5
⎞⎠ e uma equivalente a B.
Esperamos que esta unidade tenha sido bem estudado poi, assim
como a unidade 1, na proxima faremos uso de toda a teoria aprendida
ate entao.
2.8 SAIBA MAIS
O leitor podera acessar, no sıtio http://strato.impa.br/, excelentes vıdeos
produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon Lages Lima,
do Programa de Formacao de Professores do Ensino Medio. Aces-
sando janeiro de 2002 e janeiro de 2006, o leitor encontrara vıdeos
sobre o ensino de determinantes.
67
2.9 EXERCICIOS
1. Dada as matrizes A =
⎛⎝ 3 5
0 9
⎞⎠ , B =
⎛⎝ 18 −√5√
7 10
⎞⎠ e
C =
⎛⎝ 0 −3
−5 13
⎞⎠ , calcule 8 detA− 5 det B + 9 detC.
2. No exercıcio anterior, calcule det(2√
2A)− det(√
5B) + det(3C).
3. Ainda com as matrizes do primeiro exercıcio, calcule det(A +
B) , det(A + C) , det A + det B.
4. Construa varias matrizes quadradas de ordem 2, calcule seus
determinantes e os determinantes dos multiplos das matrizes.
Notou algo interessante?
5. Resolva a equacao:
∣∣∣∣∣∣ x 2
9 2
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ −3 23
2x −18
∣∣∣∣∣∣ = 0.
6. Encontre x ∈ R tal que det(xA + B) = 0 , onde
A =
⎛⎝ 1 2
2 5
⎞⎠ , B =
⎛⎝ 4 −3
12 −4
⎞⎠ .
7. Considerando as matrizes do exercıcio anterior, calcule det(AB)
e det(BA). (Coincidencia?)
8. Faca o exercıcio anterior para varias matrizes quadradas de or-
dem 2.
9. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣ 1 5
0 18
∣∣∣∣∣∣
68
(b)
∣∣∣∣∣∣ 1 −3
0 α
∣∣∣∣∣∣. Compare com o item anterior.
(c)
∣∣∣∣∣∣ 2000 1010
0 2
∣∣∣∣∣∣.
10. Sem calculo, diga quanto vale
∣∣∣∣∣∣ 1 β
0 α
∣∣∣∣∣∣, α, β ∈ R.
11. A matriz A =
⎛⎝ 1 9
2 6
⎞⎠ e invertıvel. Calcule o seu determinante.
Calcule o determinante da matriz nao-invertıvel B =
⎛⎝ 1 3
3 9
⎞⎠.
Notou algo interessante?
12. Repita o exercıcio anterior para as matrizes M =
⎛⎝ 2√
2
4 12
⎞⎠,
N =
⎛⎝ 1 2
2 4
⎞⎠, onde M e invertıvel e N nao-invertıvel. (Con-
segue deduzir algo?)
13. Calcule o determinante das matrizes e diga, na sua opiniao,
quais sao invertıveis:
(a) A =
⎛⎝ 4 −3
5 15
⎞⎠ (b) B =
⎛⎝ 0 3
4 0
⎞⎠
(c) C =
⎛⎝ 18 −1
0 0
⎞⎠ (d) D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝4 −√2
−√2
2
1
4
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
69
(e) E =
⎛⎝ 17 −9
8 −18
⎞⎠ (f) F =
⎛⎝ 0 −1
0 0
⎞⎠
14. Dada a matriz A =
⎛⎝ 15 −1
37 3
⎞⎠, calcule det A2, det2 A. O mesmo
para B =
⎛⎝ 8 0
4 6
⎞⎠.
15. Com as mesmas matrizes do exercıcio anterior, calcule det At,
det Bt, det(AB)t, det(AB), det(BA), det A det B, det(AB)t e det(AtBt).
16. Sejam A =
⎛⎝ 2 17
49 59
⎞⎠ e B =
⎛⎝ 113 −83
−2 −15
⎞⎠. Calcule:
(a)det(2A) (b)det(3A) (c)det(8B) (d)det
(1
6B
)
17. Usando a regra de Sarrus, calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 7 12
0 8 3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 6 13
0 4 8
0 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 1 0
0 3 9
0 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣10 −15 12
0 35 9
0 0 7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 γ β
0 α ζ
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Notou algo interessante?
18. Calcule os seguintes determinantes:
70
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 15 1
2 3 2
4 6 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣21 13 43
2 4 17
1 5 9
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
4 5 6
7 8 9
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3
1 2 3
2 6 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 2 3
5 0 9
2 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
19. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da ma-
triz C = ABt seja igula a 602, em que
A =
⎛⎝ 1 2 −3
4 1 2
⎞⎠ e B =
⎛⎝ x− 1 8 −5
−2 7 4
⎞⎠.
20. Para quais valores de x ∈ R o determinante a seguir e nao-nulo?
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −5 3
0 x 2
0 x2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
21. Dadas as matrizes A =
⎛⎜⎜⎜⎝7 −5 9
0 3 6
1 2 1
⎞⎟⎟⎟⎠ e
⎛⎜⎜⎜⎝3 9 6
21 −13 −12
2 −1 1
⎞⎟⎟⎟⎠,
calcule det A, det B, det(A+B), det(3A), 3 detA, 27 detA, det 8B,
8 det B, det(AB), det(BA).
22. Quanto vale
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
2 3 4
4 9 16
∣∣∣∣∣∣∣∣∣? E
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
4 5 2
16 25 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ?
71
23. O mesmo para
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
2 4 5
4 16 25
∣∣∣∣∣∣∣∣∣e para
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣, a, b, c ∈ R.
24. (FGV-SP) Sendo A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝x 1 2 3
x x 4 5
x x x 6
x x x x
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, qual e o conjunto solucao
para a equacao det A = 0?
25. Construa varias matrizes triangulares e calcule seus determi-
nantes. O que voce pode concluir?
26. Calcule
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 −19
2 −3 5
0 7 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣e
∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 7 −7
2 −3 5
1 4 −19
∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
27. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −2 3 −7
18 −21 14 2
3 −9 −3 29
0 −13 5 17
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 14 −1
18 33 94 2
−47 −2 45 15
2 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 3 −7
0 −21 14 2
0 0 −3 29
0 0 0 17
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
72
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
16 13 55 69
−18 5 67 22
3 35 44 87
0 99 −23 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣28. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 −3 7 −4
8 1 0 2 3
0 −9 −6 12 0
0 −3 15 0 0
21 4 −4 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 3 −4
0 1 0 2 3
5 8 7 −5 10
0 0 4 0 0
32 −19 −4 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 5 4 3 2
10 9 8 7 6
20 21 22 23 24
47 46 45 44 43
18 17 16 15 14
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 2 4 5
2 3 5 6 7
3 5 7 10 12
0 1 2 7 9
0 3 4 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(f)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 6 −8 0 19
4 3 −13 45 25
13 16 42 65 41
21 23 56 67 18
−34 33 45 66 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣29. Resolva a seguinte equacao em R:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −2x 3 17 12
−8 4 0 0 5
9 −x 14 12 13
0 x + 2 13 1 4
0 2 −4 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
73
30. (FUVEST-SP)Qual o valor do determinante
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?
31. Resolva todos os determinantes anteriores usando o metodo de
Chio.
32. Resolva o seguinte determinante utilizando as regras de Sarrus,
de Chio e de Laplace: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −3 4
8 9 2
0 3 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
33. Encontre as matrizes dos cofatores para as matrizes dadas:
(a) A =
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 2
−1 3 8
5 −2 8
⎞⎟⎟⎟⎠ (b) B =
⎛⎜⎜⎜⎝2 −19 0
4 −3 20
2 −4 1
⎞⎟⎟⎟⎠
(c) C =
⎛⎝ 1 3
9 −1
⎞⎠ (d) D =
⎛⎝ −4 3
0 2
⎞⎠
(e) E =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝3 −4 −5 1
0 10 −8 11
20 −14 2 0
3 −1 12 21
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
74
(f) F =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 3 4
12 −43 22 21 0
13 19 98 91 −10
14 −16 90 83 0
51 69 11 24 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(Nem tudo sao flores!)
34. Para as matrizes A, B, C, D do exercıcio anterior, calcule a trans-
posta das suas respectivas matrizes dos cofatores. Calcule tambem
os seus determinantes.
35. Calcular a inversa da matriz
⎛⎝ 2 1
0 4
⎞⎠ usando o metodo da ma-
triz adjunta.
36. Encontre os polinomios caracterısticos das seguintes matrizes:
(a) C =
⎛⎝ −4 3
7 0
⎞⎠ (b) D =
⎛⎝ 2 9
1 3
⎞⎠
2.10 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A
Matematica do Ensino Medio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro:
SBM, 2006.
75
Unidade 3
Sistemas Lineares
Resumo
Aprendemos a resolver sistemas de equações lineares.
Começamos com os casos 2×2 e 3×3 aprendemos métodos para
resolvê-los e discuti-los. Vimos as suas interpretações geométricas a
relação desta com a classificação deles. Após aprendermos os casos
mais usuais e triviais, vimos uma rápida exposição sobre sistemas
lineares do tipo n × n. Como prosseguimento do que tíınhamos já visto,
revimos os métodos para a sua solução e discussão.
ÍNDICE UNIDADE 3. Sistemas Lineares 3.1 Introdução
3.2 Sistemas lineares com duas incógnitas
3.2.1 Solução de um sistema linear
3.2.2 Resolução de um sistema linear 2 × 2
3.2.3 Regra de Cramer
3.2.4 Discussão de um sistema linear 2 × 2
3.2.5 Interpretação geométrica
3.3 Sistemas lineares com três incógnitas
3.3.1 Resolução de um sistema linear 3 × 3
3.3.2 Regra de Cramer
3.3.3 Discussão de um sistema linear 3 × 3
3.3.4 Interpretação geométrica
3.4 Sistemas lineares com n incógnitas
3.4.1 Resolução de um sistema linear n × n
3.4.2 Discussão de um sistema linear n × n
3.5 Saiba mais
3.6 Exercícios
3.7 Respostas
3.8 Referência bibliográfica
Unidade 3
SISTEMAS LINEARES
3.1 INTRODUCAO
Apos vermos uma introducao ao estudo das matrizes e dos determi-
nantes, estamos aptos a estudar uma aplicacao importante deles. E
fato que varios problemas do nosso cotidiano podem ser resolvidos
com o uso de sistemas lineares. O adjetivo linear significa que as
equacoes envolvidas nesses sistemas sao lineares nas variaveis que
as compoem. A seguir apresentaremos o:
Problema: O professor da disciplina de Fundamentos, do curso de
Matematica presencial da UFPI do Campus Ministro Petronio Portela,
realizou tres provas. As questoes valiam um ponto cada uma, mas
tinham pesos diferentes. Sabendo que Joao acertou 4 questoes na
primeira prova, 5 na segunda e 6 na terceira, obteve no final um to-
tal de 47 pontos. Maria acertou 6, 6 e 3, totalizando 54 pontos. Por
sua vez, Raimundo acertou 5, 7 e 2 questoes, atingindo a soma de
50 pontos no final. Ja Jose fez 6 questoes na primeira prova, 7 na
segunda e 2 na terceira. Qual foi o total de pontos de Jose?
Chamando de x, y e z respectivamente os pesos da primeira, segunda
e terecira provas, as pontuacoes de Joao, Maria e Raimundo nos
fornecem as equacoes:
78
4x + 5y + 6z = 47
6x + 6y + 3z = 54
5x + 7y + 2z = 50
Determinando, atraves de algum metodo, os valores de x, y e z que,
substituindo no primeiro membro de cada uma das tres equacoes
acima, torna-o igual ao segundo membro, o total de pontos de Jose
e:
6x + 7y + 2z
Nesta unidade aprenderemos a determinar os valores de x, y e z,
quando possıvel. A Historia mostra que o surgimento dos sistemas
lineares e anterior ao aparecimento das matrizes e dos determi-
nantes. O ensino da teoria deles antes da dos sistemas e devido
Mais
informacoes so-
bre a origem do
termo sistemas
lineares podem
ser encontradas
na Revista
numero 21, em
www.rpm.org.br.
a didatica. A verdade e que o uso das matrizes e dos determinantes
serviu primeiramente para a solucao dos questionamentos quanto a
resolucao de problemas que necessitavam de sistemas lineares.
Outra coisa interessante (e logica) e a interpretacao geometrica da
solucao dos sitemas lineares. Podemos resolve-los atraves da analise
de figuras geome- tricas simples como planos e retas. Para isso, e
exigido o conhecimento das equacoes da reta e do plano. Lembramos
que uma reta no plano xy pode ser vista atrave da seguinte equacao
linear: αx+βy = c, e que um plano no espaco tridimensional xyz pode
ser estudado atraves da equacao (tambem linear): αx + βy + γz = c.
Assim, as solucoes podem ser obtidas apenas com o estudo das
posicoes relativas entre retas e planos. Existem, entao, metodos
aritmeticos e geometricos para a solucao de sistemas de equacoes
lineares. Podemos estudar figuras geometricas atraves deles e vice-
versa.
Comecaremos o estudo dos sistemas linares com a definicao de
equacao linear e a exposicao de sistemas com duas incognitas.
79
3.2 SISTEMAS LINEARES COM DUAS INCOG-
NITAS
Seguindo a linha de pensamento de que devemos sempre apren-
der o basico para entao aprendermos algo mais abstrato, comecemos
esta secao aprendendo o significado de equacao linear.
Definicao 3.2.1. Dadas as incognitas x1, . . . , xn, e os numeros reais
α1, . . . , αn, c, chamamos de equacao linear toda equacao do tipo
n∑i=1
αixi = α1x1 + . . . + αnxn = c.
Os termos α1, . . . , αn recebem o nome de coeficientes e c ∈ R e o seu
termo independente.
Exemplo 3.2.1. A equacao x1 + 2x2 − 5x3 = 4 e linear.
Exemplo 3.2.2. A equacao x2 + 5y − 1
z= 0 e nao linear.
Agora, de posse da definicao de equacao linear, podemos entao
definir
Definicao 3.2.2. Um sistema de equacoes lineares de duas incognitas
e um conjunto do tipo⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11x1 + α12x2 = β1
α21x1 + α22x2 = β2
......
......
...
αk1x1 + αk2x2 = βk
,
onde k ≥ 1.
Na maioria dos casos, k = 2. Nestes casos, e comum a denominacao
de ”sistema 2× 2”.
Exemplo 3.2.3. ⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 = 3
−4x1 + x2 = 0
80
e um sistema linear com duas incognitas e duas equacoes. (O leitor
consegue tracar o grafico das retas 2x1 + 3x2 = 3 e −4x1 + x2 = 0?)
Exemplo 3.2.4. O sistema
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 3x2 = 3
−4x1 + x2 = 0
−2x1 − 6x2 = −6
possui tres equacoes
e duas incognitas. (O que o leitor pode dizer sobre as retas x1+3x2 = 3
e −2x1 − 6x2 = −6?)
3.2.1 SOLUCAO DE UM SISTEMA LINEAR
E nosso objetivo nao so estudar as propriedades dos sistemas lin-
eares, mas tambem aprender tecnicas para a solucao deles. Antes
de passarmos ao estudo de tais tecnicas, vejamos primeiramente o
conceito de solucao de um sistema de equacoes lineares.
Definicao 3.2.3. Dado o sistema
S :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11x1 + α12x2 = β1
α21x1 + α22x2 = β2
......
......
...
αk1x1 + αk2x2 = βk
,
onde k ≥ 1, dizemos que o par (ξ1,ξ2) e uma solucao para S se, e
somente se, (ξ1,ξ2) satisfaz a cada uma das suas equacoes compo-
nentes.
Exemplo 3.2.5. Para o exemplo 3.1.3, temos que o par (3
14,6
7) e
solucao para o sistema dado, enquanto que (0, 1) nao o e.
Exemplo 3.2.6. Verifica-se facilmente que o par (4,−5) satisfaz o sis-
tema
S :
⎧⎨⎩ 2x1 − x2 = 13
−x1 + x2 = −9.
81
3.2.2 RESOLUCAO DE UM SISTEMA LINEAR 2× 2
Existem varios metodos para solucionarmos um sistema linear.
Come- caremos pelo que achamos ser o mais pratico e simples. Dado
um sistema linear 2× 2
S :
⎧⎨⎩ α11x1 + α12x2 = β1
α21x1 + α22x2 = β2
,
podemos escreve-lo como uma equacao matricial⎛⎝ α11 α12
α21 α22
⎞⎠⎛⎝ x1
x2
⎞⎠ =
⎛⎝ β1
β2
⎞⎠ . (Concorda?)
Chamaremos as matrizes
⎛⎝ α11 α12
α21 α22
⎞⎠,
⎛⎝ x1
x2
⎞⎠ e
⎛⎝ β1
β2
⎞⎠ de
principal,
incognita e independente, respectivamente. Diremos que⎛⎝ α11 α12 β1
α21 α22 β2
⎞⎠e a matriz aumentada do sistema.
Definicao 3.2.4. Dados os sistemas lineares 2 × 2 S1 e S2, dizemos
que eles sao equivalentes se, e somente se, suas matrizes aumen-
tadas sao equivalentes.
Exemplo 3.2.7. Os sistemas
S1 :
⎧⎨⎩ x1 − 3x2 = 8
3x1 + 5x2 = 4e S2 :
⎧⎨⎩ x1 − 3x2 = 8
14x2 = −20
sao equivalentes, pois as suas aumentadas⎛⎝ 1 −3 8
3 5 4
⎞⎠ e
⎛⎝ 1 −3 8
0 14 −20
⎞⎠sao equivalentes. (Qual e o mais facil de ser resolvido?)
82
Exemplo 3.2.8. Tambem sao equivalentes os sistemas
S1 :
⎧⎨⎩ −2x1 + 4x2 = 0
5x1 + x2 = 12e S2 :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x1 +
1
5x2 =
12
5
22
5x2 =
24
5
.
(Por que?)
A importancia de estudarmos sistemas equivalentes pode ser ex-
plicada atraves da
Proposicao 3.2.5. Dois sistemas de equacoes lineares possuem a
mesma solucao se, e somente se, sao equivalentes.
Assim, podemos resolver um sistema apenas solucionando um
equivalente seu (e mais simples). A solucao de um e a mesma do
outro. Do mesmo modo que no primeiro capıtulo, chegamos a um
equivalente de um sitema apenas escalonando-o.
Definicao 3.2.6. Diz-se que um sistema S esta escalonado quando
sua matriz aumentada esta escalonada.
Incentivamos a revisao da secao 1.8 antes do prosseguimento da
leitura desta. Nao continue se nao tiver aprendido as operacoes ele-
mentares.
Descreveremos agora os passos para a solucao de um sistema
linear 2× 2:
• Obtemos a matriz aumentada do sistema;
• Escalonamo-a;
• Resolvemos o novo sistema obtido da matriz escalonada.
Exemplo 3.2.9. Resolver o seguinte sistema
S :
⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 = 3
−4x1 + x2 = 0.
Sol.: Utilizando a mesma simbologia do primeiro capıtulo, teremos:
83
• A matriz aumentada e dada por:
⎛⎝ 2 3 3
−4 1 0
⎞⎠;
• escalonando-a teremos
⎛⎝ 2 3 3
−4 1 0
⎞⎠ L2+2L1−→⎛⎝ 2 3 3
0 7 6
⎞⎠;
• Assim, teremos o seguinte sistema equivalente ao dado:
S :
⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 = 3
7x2 = 6;
• Olhando a segunda linha deste sistema, vemos que 7x2 = 6.
Logo, x2 =6
7;
• Substituindo o valor encontrado de x2 na primeira equacao, ter-
emos: 2x1 +18
7= 3. Ou seja, x1 =
3
14.
A solucao de S e, entao, o par(
3
14,6
7
).
Exemplo 3.2.10. Resolver o sistema S :
⎧⎨⎩ −2x1 + 4x2 = 0
5x1 + x2 = 12.
• A matriz aumentada e dada por
⎛⎝ −2 4 0
5 1 12
⎞⎠;
• Escalonando-a, teremos
⎛⎝ −2 4 0
5 1 12
⎞⎠ L2+5/2L1−→⎛⎝ −2 4 0
0 11 12
⎞⎠;
• Obtivemos o seguinte sistema equivalente S :
⎧⎨⎩ −2x1 + 4x2 = 0
11x2 = 12;
• Resolvendo a segunda equacao, ganhamos que x2 =12
11;
• Substituindo este valor na primeira equacao, concluimos que(24
11,12
11
)e a solucao de S.
84
3.2.3 REGRA DE CRAMER
Alem do metodo do escalonamento, podemos resolver um sistema
linear atraves do metodo de Cramer. Este faz uso demasiado de
determinantes, sendo, por isso, evitado por muitos. Ou seja, quando o
Acessando o sıtio
www.google.com.br
e buscando por
Cramer, o leitor
conhecera mais
sobre a vida deste
grande matematico.
quesito e tempo, a regra de Cramer se torna pouco usual, apesar de
sua teoria ser muito bonita e digna de ser estudada.
Enunciemos, entao, este tradicional metodo:
Dado um sistema linear S :
⎧⎨⎩ α11x1 + α12x2 = β1
α21x1 + α22x2 = β2
, a sua
solucao (ξ1, ξ2) e obtida por
ξi =Di
D,
onde D e o determinante da matriz principal e Di e o determinante da
matriz conseguida atraves da troca da i-esima coluna da matriz prin-
cipal pela coluna da independente.
Ou seja, ξ1 =
∣∣∣∣∣∣ β1 α12
β2 α22
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ α11 α12
α21 α22
∣∣∣∣∣∣e ξ2 =
∣∣∣∣∣∣ α11 β1
α21 β2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ α11 α12
α21 α22
∣∣∣∣∣∣sao as solucoes de
S.
O estudante atento deve estar se perguntando o que ocorre quando
D = 0. Mas essa questao somente sera respondida futuramente.
Exemplo 3.2.11. Resolva o sistema
S :
⎧⎨⎩ −x1 + x2 = 10
−5x1 + 2x2 = 0
pela regra de Cramer.
Sol.: Vejamos primeiramente quem e a matriz principal do sistema:⎛⎝ −1 1
−5 2
⎞⎠ .
85
Logo, seu determinante sera igual a 3;
Agora, vejamos as matrizes obtidas atraves da permutacao das
colunas da matriz principal pela da independente:⎛⎝ 10 1
0 2
⎞⎠ e
⎛⎝ −1 10
−5 0
⎞⎠ ,
onde a primeira foi obtida atraves da troca da primeira coluna da princi-
pal com a coluna da independente e a seguna foi conseguida analoga-
mente.
Portanto, seus determinantes serao iguais a 20 e a 50, respectiva-
mente.
Estamos aptos a encontrar os valores de ξ1 e de ξ2:
ξ1 =D1
D=
20
3, ξ2 =
D2
D=
50
3.
Exemplo 3.2.12. Encontre a solucao para o sistema
S :
⎧⎨⎩ 2x1 − 6x2 = 7
−3x1 + 6x2 = 8.
Sol.: A matriz principal tem determinante nao-nulo igual a −6. (Ve-
rifique!) Calculando tambem o determinante das matrizes obtidas com
as permutacoes de colunas, obtemos
ξ1 =D1
D= −90
6= −15 e ξ2 =
D2
D= −37
6.
Logo, o conjunto solucao e dado por{(−15,−37
6
)}.
Exemplo 3.2.13. Ache o conjunto solucao para o sistema
S :
⎧⎨⎩ x1 + 2x2 = 4
2x1 + 4x2 = 8.
Sol.: Novamente, comecemos encontrando a matriz principal:
⎛⎝ 1 2
2 4
⎞⎠ .
Portanto, ela tem determinante nulo.
Vejamos o que acontece agora com os determinantes das matrizes
obtidas pelas permutacoes de colunas da principal coma indepen-
dente:
86
det
⎛⎝ 4 2
8 4
⎞⎠ = 0 e det
⎛⎝ 1 4
2 8
⎞⎠ = 0.
Assim, nao faz sentido falar em ξ1 =D1
D=
0
0e ξ2 =
D2
D=
0
0.
Analisaremos casos como este na proxima secao.
3.2.4 DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR
2× 2
Na secao passada aprendemos a resolver um sistema de equacoes
lineares atraves dos metodos da eliminacao e de Cramer. Por questoes
de comodidade, a maioria dos exemplos que demos tinham solucao,
i.e., o conjunto solucao deles era nao vazio. Nem sempre isso acon-
tece. Em muitos casos temos sistemas com infinitas solucoes ou com
nenhuma solucao. Algumas areas da Matematica trabalham com sis-
temas que possuem infinitas solucoes. Desse conjunto infinito, elas
extraem a que mais lhe convem. Mas para isso e preciso saber anal-
isar o sistema.
Existem tres tipos de sistemas lineares, a saber:
• Sistema Possıvel e Determinado;
• Sistema Possıvel e Indeterminado;
• Sistema Impossıvel.
Passaremos a descreve-los:
Definicao 3.2.7. Dado um sistema S, dizemos que ele e possıvel se
possui solucao. E dizemos que e impossıvel se nao a possui. Ele
e possıvel determinado se possui uma unica solucao, e e possıvel
indeterminado quando possui infinitas solucoes.
87
Exemplo 3.2.14. O sistema S :
⎧⎨⎩ 2x1 − 6x2 = 7
−3x1 + 6x2 = 8e possıvel e
possui uma solucao. (Exemplo 3.2.12)
Exemplo 3.2.15. O sistema S :
⎧⎨⎩ x1 + 3x2 = 9
3x1 + 9x2 = 18e impossıvel.
(Tente exibir alguma solucao para ele.)
Utilizando a regra de Cramer, podemos distinguir um sistema quanto
ao tipo segundo as instrucoes:
1. Se o determinante da matriz principal e nao-nulo, entao o sis-
tema e possıvel e determinado;
2. Se o determinante da matriz principal e nulo, entao so podemos
inferir que o sistema ou e impossıvel ou e possıvel indetermi-
nado. Calculemos, entao, os determinantes das matrizes obtidas
atraves das permutacoes das colunas da principal com a coluna
da independente. Se todos eles forem nulos, entao podemos
afirmar que o sistema e possıvel e indeterminado.
3. Se o determinante da matriz principal e nulo e pelo menos um
dos outros determinantes for nao-nulo, entao o sistema e im-
possıvel.
Exemplo 3.2.16. Como visto no exemplo 3.1.15, o fato de D �= 0 ja
nos faz concluir que o sistema e possıvel e determinado.
Exemplo 3.2.17. No exemplo 3.1.13, temos que D = D1 = D2 = 0.
Assim, podemos concluir que tal sistema e possıvel e indeterminado.
O leitor consegue exibir solucoes para este sistema?
Exemplo 3.2.18. Para o sistema S :
⎧⎨⎩ x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 2, temos
D = D1 = D2 = 0, e todo elemento do conjunto {(α, 1 − α) ; α ∈ R}satisfaz o sistema. Portanto, o sistema e possıvel e indeterminado;
Exemplo 3.2.19. No exemplo 3.1.14, temos que D = 0, mas D1 �= 0.
Logo, o sistema e impossıvel, como ja haviamos dito.
88
Analisando pelo metodo do escalonamento, podemos classificar
um sistema da seguinte maneira:
1. Se, ao escalonarmos a matriz aumentada do sistema obtivermos
uma linha que implique que 0×x1+0×x2 �= 0 (o terceiro termo da
linha e nao-nulo, enquanto os dois primeiros o sao), o sistema e
impossıvel;
2. Supondo que nao aconteca o primeiro caso, se a matriz escalon-
ada possuir uma linha nula, entao o sistema e possıvel e inde-
terminado;
3. O sistema e possıvel e determinado se nao ocorrer nenhum dos
casos anteriores.
Exemplo 3.2.20. Escalonando a matriz principal do exemplo 3.1.14,
te-
remos que:
⎛⎝ 1 3 9
3 9 18
⎞⎠ L2−3L1−→⎛⎝ 1 3 9
0 0 −9
⎞⎠. Ou seja, a segunda
linha
diz que 0× x1 + 0× x2 = −9.
Logo, o sistema e impossıvel.
Exemplo 3.2.21. No exemplo 3.1.16, se escalonarmos a matriz prin-
cipal,
obteremos:
⎛⎝ 1 1 4
2 4 8
⎞⎠ L2−2L1−→⎛⎝ 1 1 4
0 0 0
⎞⎠ .
Logo, o sistema e possıvel e indeterminado.
3.2.5 INTERPRETACAO GEOMETRICA
89
Na antiguidade, o homem procurava atribuir tudo a Geometria,
que na epoca era representada apenas pela Euclidiana. Solucoes
para problemas importantes atravessaram decadas para serem en-
contradas. Kepler, por exemplo, relutou em mostrar que as trajetorias
dos planetas eram descritas pela geometria dos cırculos, quadrados,
etc, ate ver que nem tudo poderia ser explicado com ferramentas sim-
ples.
Bom, nosso intuito e apenas descrever geometricamente um sis-
tema. Como trabalhamos com equacoes lineares, a nossa famosa
geometria euclidiana consegue explicar o comportamento dos tais
sistemas e ajuda-nos a inferir acerca das suas solucoes.
Lembremos antes que qualquer equacao do tipo αx + βy = γ de-
screve uma reta no plano xy, para α ou β nao-nulo. Basta recordar
que se β �= 0,
por exemplo, entao podemos escrever y = −α
βx+
γ
β, donde extraımos
que −α
βe o coeficiente angular da reta e
γ
βe o coeficiente linear.
Pegue qualquer livro bom do ensino medio sobre o assunto.
Ainda relembrando, no plano euclidiano temos as seguintes posicoes
relativas entre duas retas r e s:
1. Sao concorrentes;
Figura 3.1: Retas concorrentes
Exemplo 3.2.22. O sistema S1 :
⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 = 7
x1 − 2x2 = 1repre-
90
senta o caso 1.
2. Sao paralelas;
Figura 3.2: Retas paralelas
Exemplo 3.2.23. O sistema S2 :
⎧⎨⎩ 3x1 − x2 = 0
6x1 − 2x2 = 5repre-
senta o caso 2.
3. Sao coincidentes.
Figura 3.3: Retas coincidentes
Exercıcio: Mostre um exemplo para o caso 3.
Portanto, podemos concluir o seguinte para um sistema de equacoes
lineares generico S:
91
• Se as retas descritas pelas equacoes lineares forem concor-
rentes, entao o sistema e possıvel e determinado. A sua solucao
sera o ponto de interseccao das duas retas.
• Se as retas forem coincidentes, entao o sistema sera possıvel e
indeterminado. Todo ponto da reta sera solucao do sistema.
• Se as retas forem paralelas, entao o sistema sera impossıvel,
pois nao havera ponto de interseccao entre elas.
3.3 SISTEMAS LINEARES COM TRES INCOG-
NITAS
Por questoes didaticas nao introduzimos o conceito de sistema de
equacoes lineares para o caso geral. Acreditamos que o previo estudo
de sistemas de duas incognitas facilita o aprendizado do restante, en-
quanto que o ensino sem aquela previa tende a nao ser tao proveitoso.
A diferenca principal entre o estudo de sistemas lineares de tres
incognitas e o de duas fica a cargo da interpretacao geometrica. Ao
inves de retas, agora teremos planos no espaco euclidiano tridimen-
sional. Ou seja, a menos da interpretacao geometrica, o estudo de
sistemas lineares com tres incognitas se torna analogo ao estudo dos
de duas incognitas.
Assim, um sistema de equacoes lineares com tres incognitas e um
sistema do tipo
S :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11x1 + α12x2 + α13x3 = β1
α21x1 + α22x2 + α23x3 = β2
......
......
......
...
αm1x1 + αm2x2 + αm3x3 = βm
,
onde m ≥ 1. Na maioria dos casos, m = 3.
92
Exemplo 3.3.1. O sistema S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩2x1 + x2 − 5x3 = 10
x1 + 2x2 + 4x3 = 6
−x1 + 6x3 = 9
e lin-
ear
com tres incognitas e tres equacoes.
Exemplo 3.3.2. O sistema S :
⎧⎨⎩ x1 − x2 + x3 = 1
2x1 + x2 = 0possui
tres incognitas e duas equacoes.
Analogamente ao caso 2 × 2, dizemos que a terna (ξ1, ξ2, ξ3) e
solucao de um sistema linear com tres incognitas se ela satisfaz to-
das as equacoes dele.
Ou seja, dado S :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11x1 + α12x2 + α13x3 = β1
α21x1 + α22x2 + α23x3 = β2
......
......
......
...
αm1x1 + αm2x2 + αm3x3 = βm
, dizemos
que
(ξ1, ξ2, ξ3) e solucao de S se, e somente se,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11ξ1 + α12ξ2 + α13ξ3 = β1
α21ξ1 + α22ξ2 + α23ξ3 = β2
......
......
......
...
αm1ξ1 + αm2ξ2 + αm3ξ3 = βm
.
3.3.1 RESOLUCAO DE UM SISTEMA LINEAR 3× 3
Adotaremos a mesma nomenclatura do caso 2 × 2, i.e., dado um
sistema
93
S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩α11x1 + α12x2 + α13x3 = β1
α21x1 + α22x2 + α23x3 = β2
α31x1 + α32x2 + α33x3 = β3
, as matrizes
⎛⎜⎜⎜⎝α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
⎞⎟⎟⎟⎠,
⎛⎜⎜⎜⎝x1
x2
x3
⎞⎟⎟⎟⎠ e
⎛⎜⎜⎜⎝β1
β2
β3
⎞⎟⎟⎟⎠ sao a sua principal, incognita e independente, respec-
tivamente.
Sabendo que todas as propriedades ja ditas se estendem para o
caso geral e, em particular, para o caso 3 × 3, podemos resolver um
sistema deste ultimo tipo (e tambem qualquer sistema n × n) atraves
do metodo do escalonamento. Lembrando os passos descritos na
secao 3.1.2, resolvamos os seguintes sistemas:
Exemplo 3.3.3. S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩5x1 + x2 − x3 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 2
− x2 − 3x3 = 4
.
A matriz aumentada e dada por
⎛⎜⎜⎜⎝5 1 −1 0
1 −1 2 2
0 −1 −3 4
⎞⎟⎟⎟⎠. Daı, escalonando-
a, teremos:
⎛⎜⎜⎜⎝5 1 −1 0
1 −1 2 2
0 −1 −3 4
⎞⎟⎟⎟⎠ L1↔L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 −1 2 2
5 1 −1 0
0 −1 −3 4
⎞⎟⎟⎟⎠ L2−5L1−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 −1 2 2
0 6 −11 −10
0 −1 −3 4
⎞⎟⎟⎟⎠
L2↔L3−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 −1 2 2
0 −1 −3 4
0 6 −11 −10
⎞⎟⎟⎟⎠ L3+6L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 −1 2 2
0 −1 −3 4
0 0 −29 14
⎞⎟⎟⎟⎠.
Assim, a ultima linha nos diz que −29ξ3 = 14, i.e., ξ3 = −14
29. Sub-
94
stituindo nas linhas anteriores, teremos que ξ1 =12
29e ξ2 = −74
29.
Portanto, a terna(
12
29,−74
29,−14
29
)e a solucao de S.
Exemplo 3.3.4. S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x2 − 9x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1 − 4x3 = 8
.
Escalonando a matriz aumentada de S, obteremos
⎛⎜⎜⎜⎝0 1 −9 3
1 2 −1 0
1 0 −4 8
⎞⎟⎟⎟⎠ L1↔L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 −1 0
0 1 −9 3
1 0 −4 8
⎞⎟⎟⎟⎠ L3−L1−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 −1 0
0 1 −9 3
0 −2 −3 8
⎞⎟⎟⎟⎠ L3+2L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 −1 0
0 1 −9 3
0 0 −21 14
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Da ultima linha obtemos que ξ3 = −2
3. Substituindo nas out-
ras equacoes, ganhamos que ξ1 =16
3e ξ2 = −3. Logo, o conjunto
solucao e dado por{(
16
3,−3,−2
3
)}. (Verifique!)
3.3.2 REGRA DE CRAMER
Dado o sistema S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩α11x1 + α12x2 + α13x3 = β1
α21x1 + α22x2 + α23x3 = β2
α31x1 + α32x2 + α33x3 = β3
, a sua
solucao (ξ1, ξ2, ξ3) e dada por:
ξi =Di
D,
onde D e o determinante da matriz principal de S, e Di e o da matriz
obtida atraves da troca da i-esima coluna da principal pela da inde-
pendente.
Exemplo 3.3.5. Resolver o sistema S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x2 − 9x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1 − 4x3 = 8
.
95
A matriz principal e dada por
⎛⎜⎜⎜⎝0 1 −9
1 2 −1
1 0 −4
⎞⎟⎟⎟⎠. Logo, o seu determi-
nante e igual a 21.
Agora, vejamos quem sao os D′is:
D1 = det
⎛⎜⎜⎜⎝3 1 −9
0 2 −1
8 0 −4
⎞⎟⎟⎟⎠ , D2 = det
⎛⎜⎜⎜⎝0 3 −9
1 0 −1
1 8 −4
⎞⎟⎟⎟⎠ , D3 = det
⎛⎜⎜⎜⎝0 1 3
1 2 0
1 0 8
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Logo, ξ1 =D1
D=
16
3, ξ2 =
D2
D= −3, e ξ3 =
D3
D= −2
3sao as
solucoes de S.
Exercıcio: Retorne ao problema apresentado no inıcio desta unidade
e determine o total de pontos obtidos por Jose.
3.3.3 DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR 3× 3
Como ja foi explicado na secao 3.1.4, um sistema linear pode ser
possıvel determinado, possıvel indeterminado e impossıvel. Tambem
foi mostrado como distinguirmos um sistema quanto ao tipo. A unica
mudanca e que quando escalonamos um sistema 3 × 3 trabalhamos
com matrizes aumentadas do tipo 3 × 4. Assim, se apos o escalon-
amento da matriz aumentada uma linha possuir os tres primeiros ter-
mos nulos e o quarto nao-nulo, o sistema sera impossıvel. Caso nao
aconteca isso e houver uma linha composta apenas por zeros, entao
o sistema e possıvel e indeterminado. Quando nao ocorrer nenhum
dos casos anteriores, o sistema sera possıvel determinado. Ha uma
pequena diferenca em relacao ao caso 2× 2, quando analisamos um
sistema segundo a Regra de Cramer. Aqui, e em todos os sistemas
de ordem superior a 2, quando possuirmos todos os seus determi-
nantes nulos, nao podemos afirmar que esses sistemas sao possıveis
e indeterminados. Eles podem ser impossıveis. A tıtulo de ilustracao,
vejamos o seguinte exemplo:
96
Exemplo 3.3.6. Analise o sistema S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 2x2 + 3x3 = 0
−2x2 − 3x2 + x3 = 5
x2 + 7x3 = 5
.
Sol.: Facamos das duas maneiras:
1. Metodo de Cramer
Calculando o determinante da matriz principal, teremos
D = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3
−2 −3 1
0 1 7
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Assim, nada podemos concluir. Analisando os D′is, teremos:
D1 = det
⎛⎜⎜⎜⎝0 2 3
5 −3 1
5 1 7
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0, D2 = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 0 3
−2 5 1
0 5 7
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0,
D3 = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 0
−2 −3 5
0 1 5
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Como ja dissemos, nao podemos afirmar que o sistema acima
e possıvel e indeterminado apenas com os calculos ja feitos.
Agora, fazendo ξ3 = ξ, ganhamos que (−10 + 11ξ, 5 − 7ξ, ξ) e
solucao do sistema, ∀ξ ∈ R. Portanto, o sistema e possıvel e
indeterminado.
2. Metodo do escalonamento
Escalonando a matriz aumentada, teremos:
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 0
−2 −3 1 5
0 1 7 5
⎞⎟⎟⎟⎠ L2+2L1−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 0
0 1 7 5
0 1 7 5
⎞⎟⎟⎟⎠ L3−L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 0
0 1 7 5
0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠ .
97
Logo, o sistema e possıvel indeterminado. Tomando ξ3 = ξ, ter-
emos novamente que (−10+11ξ, 5−7ξ, ξ) e solucao do sistema,
∀ξ ∈ R.
Exemplo 3.3.7. Analise o sistema
S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 2x2 + 3x3 = 1
2x1 + 4x2 + 6x3 = 2
3x1 + 6x2 + 9x3 = 4
.
Sol.: Facamos das duas maneiras:
1. Metodo de Cramer
Calculando o determinante da matriz principal, teremos
D = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3
2 4 6
3 6 9
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Novamente, nada podemos concluir. Analisando os D′is, tere-
mos:
D1 = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3
2 4 6
4 6 9
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0, D2 = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 1 3
2 2 6
3 4 9
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0,
D3 = det
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 1
2 4 2
3 6 4
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Entretanto, o sistema e impossıvel como veremos usando o Metodo
do Escalonamento.
2. Metodo do escalonamento
Escalonando a matriz aumentada, teremos:
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 1
2 4 6 2
3 6 9 4
⎞⎟⎟⎟⎠ L2−2L1−→
98
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 1
0 0 0 0
3 6 9 4
⎞⎟⎟⎟⎠ L3−3L1−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 2 3 1
0 0 0 0
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎠ .
Logo, o sistema e impossıvel.
Exemplo 3.3.8. Analise o sistema
S :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩−2x1 + 5x2 = 3
x1 + 3x2 + 9x3 = 5
11x2 + 18x3 = −3
.
Sol.: Novamente, analisaremos de duas maneiras.
1. Metodo de Cramer
Calculemos o determinante da matriz principal:
D = det
⎛⎜⎜⎜⎝−2 5 0
1 3 9
0 11 18
⎞⎟⎟⎟⎠ = 0.
Garantimos somente que o sistema nao e possıvel determinado.
Calculando os D′is observamos que:
D1 = det
⎛⎜⎜⎜⎝3 5 0
5 3 9
−3 11 18
⎞⎟⎟⎟⎠ = −720 �= 0.
Logo, o sistema e impossıvel.
2. Metodo do escalonamento
Escalonando a matriz aumentada, ganhamos que:
⎛⎜⎜⎜⎝−2 5 0 3
1 3 9 5
0 11 18 −3
⎞⎟⎟⎟⎠ L1↔L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 9 5
−2 5 0 3
0 11 18 −3
⎞⎟⎟⎟⎠ L2+2L1−→
99
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 9 5
0 11 18 13
0 11 18 −3
⎞⎟⎟⎟⎠ L3−L2−→
⎛⎜⎜⎜⎝1 3 9 5
0 11 18 13
0 0 0 −16
⎞⎟⎟⎟⎠ .
A ultima linha da matriz nos diz que 0 = −16. (Por que?) Por-
tanto, o sistema e impossıvel.
3.3.4 INTERPRETACAO GEOMETRICA
Como era de se esperar, existem mais casos para anlisarmos quando
o sistema possui tres incognitas e tres equacoes lineares. Ou seja, se
aumenta o numero de incognitas e de equacoes, aumenta tambem
a analise do sistema. No caso das retas no plano, so tınhamos tres
posicoes para estudar. No caso de planos no espaco tridimensional,
temos oito casos para analisar:
1. Os tres planos sao paralelos;
Figura 3.4: Caso 1
Exemplo 3.3.9. O sistema Γ1 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩2x1 + x2 − x3 = 0
2x1 + x2 − x3 = 7
2x1 + x2 − x3 = 8
representa tres planos paralelos. (Por que?)
2. Os tres planos coincidem;
100
Figura 3.5: Caso 2
Exemplo 3.3.10. O sistema Γ2 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩3x1 + 2x2 − 8x3 = 9
9x1 + 6x2 − 24x3 = 27
x1 +2
3x2 − 8
3x3 = 3
representa o caso 2.
3. Os tres planos sao distintos e possuem somente uma reta em
comum;
Figura 3.6: Caso 3
Exemplo 3.3.11. O sistema Γ3 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + x2 + x3 = 1
3x1 − 4x3 = 0
6x1 + 3x2 − x3 = 3
representa o caso 3.
4. Os tres planos se intersectam segundo retas paralelas duas a
duas;
Exemplo 3.3.12. O sistema Γ4 :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2x1 + 4x2 − 6x3 = 2
x1 +1
3x2 +
1
3x3 =
2
3
−x1 − 7x2 + 13x3 = −2
representa o caso 4.
101
Figura 3.7: Caso 4
5. Os tres planos possuem somente um ponto em comum;
Figura 3.8: Caso 5
Exemplo 3.3.13. O sistema Γ5 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x2 − 9x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1 − 4x3 = 8
representa o caso 5.
6. Dois planos sao paralelos e o terceiro os intersecta segundo re-
tas paralelas;
Exemplo 3.3.14. O sistema Γ6 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 − 5x2 + = 3
8x1 + 3x2 − 9x3 = −3
4x1 − 20x2 + = 25
representa o caso 6.
7. Dois planos coincidem e o terceiro e paralelo a eles;
102
Figura 3.9: Caso 6
Figura 3.10: Caso 7
Exemplo 3.3.15. O sistema Γ7 :
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 2x2 − x3 = 7
2x1 + 4x2 − 2x3 = −2
3x1 + 6x2 − 3x3 = 21
representa o caso 7.
8. Dois planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma
reta. Exercıcio: Construa um exemplo para este caso.
Figura 3.11: Caso 8
Devemos nos atentar para o seguinte raciocınio: se nao houver
interseccao entre os tres planos descritos pelas equacoes do sistema,
103
entao ele nao possui solucao e e impossıvel. Se houver interseccao,
mas essa interseccao possuir mais de um ponto, entao o sistema e
possıvel e indeterminado, ja que tem infinitas solucoes. Quando a
interseccao for de somente um ponto, o sistema e possıvel e determi-
nado.
Assim, montando uma tabela para os casos que acabamos de ver,
teremos:
Caso PD PI I
1 X
2 X
3 X
4 X
5 X
6 X
7 X
8 X
Na tabela acima, PD= sistema possıvel determinado, PI= possıvel
indeterminado, I= impossıvel. Ela nos diz que existem iguais casos de
sistemas impossıveis e possıveis. Tambem nos mostra que o numero
de possıveis indeterminados e superior ao de possıveis determinados,
que consta com so uma possibilidade.
3.4 SISTEMAS COM n INCOGNITAS
Estamos aptos a apresentar um sistema linear do tipo geral n ×n, apos termos dedicado bastante tempo com os casos 2 × 2 e 3 ×3. No caso geral, uma equacao do tipo
n∑i=1
αixi = β representa um
hiperplano no espaco euclidiano
Rn = R× . . .×R︸ ︷︷ ︸n vezes
.
104
Seremos breve na exposicao desse topico, ja que introduzimos os
casos mais simples de forma suficiente para o perfeito entendimento
deste. Assim, comecemos com a seguinte definicao:
Definicao 3.4.1. Um sistema linear com n incognitas e um sistema do
tipo
Γ :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn = β1
α21x1 + α22x2 + . . . + α2nxn = β2
......
......
......
......
...
αk1x1 + αk2x2 + . . . + αknxn = βk
,
onde k ≥ 1, αij, βi ∈ R, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n.
As matrizes
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n
......
......
αk1 αk2 . . . αkn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝x1
x2
...
xn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝β1
β2
...
βk
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ sao sua
prin-
cipal, incognita e independente, respectivamente.
A matriz aumentada e dada por
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝α11 α12 . . . α1n β1
α21 α22 . . . α2n β2
......
......
...
αk1 αk2 . . . αkn βk
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
Podemos escrever Γ como uma equacao matricial:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n
......
......
αk1 αk2 . . . αkn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝x1
x2
...
xn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝β1
β2
...
βk
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
A n-upla (ξ1, . . . , ξn) e solucao de Γ se, e somente se,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
α11ξ1 + α12ξ2 + . . . + α1nξn = β1
α21ξ1 + α22ξ2 + . . . + α2nξn = β2
......
......
......
......
...
αk1ξ1 + αk2ξ2 + . . . + αknξn = βk
.
105
3.4.1 RESOLUCAO DE UM SISTEMA LINEAR n× n
Assim como nas secoes anteriores, apresentaremos duas maneiras
para a resolucao de um sistema de equacoes lineares com n incognitas
e n equacoes: o metodo do escalonamento e a regra de Cramer.
Pelo metodo do escalonamento, escalonamos a matriz aumentada
do sistema e resolvemos o sistema. Pela regra de Cramer, calculamos
os determinantes da matriz principal e das matrizes obtidas atraves
da troca da i-esima coluna da principal pela coluna da independente
e tomamos o quociente destes por aquele.
Exemplo 3.4.1. Resolva o sistema Γ :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 − 2x3 + x4 = 0
2x2 − x3 = 5
2x1 + x2 + x3 − 2x4 = 1
x3 − 3x4 = 4
.
Sol.:
1. Metodo do escalonamento
Escalonando a matriz aumentada, teremos:
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 −2 1 0
0 1 5 −4 1
0 0 1 −3 4
0 0 0 −25 47
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.
(Verifique!) Assim, a ultima linha nos diz que ξ4 = −47
25. Substi-
tuindo este valor nas outras linhas, ganhamos que(−7
5,42
25,−41
25,−47
25
)e a solucao do sistema.
3.4.2 DISCUSSAO DE UM SISTEMA LINEAR n× n
Um sistema linear n × n pode ser possıvel determinado (quando
possui um unica solucao), possıvel indeterminado (quando possui in-
finitas solucoes), impossıvel (quando nao possui solucao).
106
Com o que aprendemos nas secoes anteriores, podemos discutir
um sistema linear da seguinte maneira:
Segundo Cramer
1. Se D �= 0, entao o sistema e possıvel determinado;
2. Caso D = 0 e Di = 0, 1 ≤ i ≤ n, entao o sistema e possıvel
indeterminado ou impossıvel;
3. Caso Di �= 0 para algum i ∈ {1, . . . , n}, entao o sistema e im-
possıvel.
Metodo do escalonamento
1. Se, ao escalonarmos a matriz, obtivermos uma linha com os
(n − 1) primeiros termos iguais a zero e o n-esimo nao-nulo,
entao o sistema e impossıvel;
2. Se nao acontecer o caso anterior e obtivermos uma linha com
todos os elementos nulos, entao o sistema e possıvel indetermi-
nado;
3. Caso nao acontecam os casos anteriores, entao o sistema e
possıvel determinado.
3.5 SAIBA MAIS
O leitor podera acessar, no sıtio http://strato.impa.br/, excelentes vıdeos
produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon Lages Lima,
do Programa de Formacao de Professores do Ensino Medio. Aces-
sando janeiro de 2002 e janeiro 2006, o leitor encontrara vıdeos sobre
o ensino de sistemas lineares.
3.6 EXERCICIOS
1. Verifique se (1, 0) satisfaz os seguintes sistemas:
107
(a) S1 :
⎧⎨⎩ 3x1 − 4x2 = 3
5x1 + x2 = 5;
(b) S2 :
⎧⎨⎩ x1 − 2x2 = 1
3x1 −5 x2 = 3;
(c) S3 :
⎧⎨⎩ 4x2 = 5
x1 − 3x2 = 6.
2. Encontre as matrizes principal, incognita, independente e au-
mentada para os seguintes sistemas:
(a) Γ1 :
⎧⎨⎩ 3x1 − 4x2 = 3
4x2 = 5;
(b) Γ2 :
⎧⎨⎩ −5x1 + x2 = 0
x1 − 8x2 = 3;
(c) Γ3 :
⎧⎨⎩ −2x1 − 5x2 = −5
4x1 + x2 = 9;
(d) Γ4 :
⎧⎨⎩ x1 + 2x2 = 7
12x1 − 6x2 = 9.
3. Diga se os seguintes sistemas sao equivalentes. Caso nao se-
jam, encontre sistemas equivalentes para eles:
(a) Γ :
⎧⎨⎩ 3ξ1 − 2ξ2 = 5
ξ1 − ξ2 = −1e Γ :
⎧⎨⎩ 4ξ1 + 3ξ2 = −8
ξ1 − ξ2 = 0;
(b) Γ :
⎧⎨⎩ −2ξ1 − 6ξ2 = 0
ξ1 + 7ξ2 = −2e Γ :
⎧⎨⎩ ξ1 + 7ξ2 = −2
ξ1 + 15ξ2 = −6.
4. Escalone os seguintes sistemas:
108
(a) Γ1 :
⎧⎨⎩ ξ1 − 2ξ2 = 6
−2ξ1 + 3ξ2 = 4;
(b) Γ2 :
⎧⎨⎩ −6ξ1 + 2ξ2 = 7
ξ1 + ξ2 = 0;
(c) Γ3 :
⎧⎨⎩ − ξ2 = 9
ξ1 + 9ξ2 = 3.
5. Diga se os seguintes sistemas estao escalonados. Caso nao es-
tejam, escalone-os:
(a) Λ1 :
⎧⎨⎩ 2ξ1 + ξ2 = 3
ξ2 = 3;
(b) Λ2 :
⎧⎨⎩ −ξ1 + 3ξ2 = 5
ξ1 − ξ2 = 2;
(c) Λ3 :
⎧⎨⎩ ξ2 = 3
ξ1 − 4ξ2 = 0.
6. Resolva os seguintes sistemas pelo metodo do escalonamento:
(a) Λ1 :
⎧⎨⎩ −ξ1 + 3ξ2 = 5
ξ1 − ξ2 = 2;
(b) Λ2 :
⎧⎨⎩ ξ1 − 2ξ2 = 6
−2ξ1 + 3ξ2 = 4;
(c) Λ3 :
⎧⎨⎩ −6ξ1 + 2ξ2 = 7
ξ1 + ξ2 = 0;
(d) Λ4 :
⎧⎨⎩ − ξ2 = 9
ξ1 + 9ξ2 = 3;
(e) Λ5 :
⎧⎨⎩ 5ξ1 − 18ξ2 =2
3
−8ξ1 + 5ξ2 = 7.
109
7. Resolva os seguintes sistemas pelo metodo de Cramer:
(a) Λ1 :
⎧⎨⎩ −ξ1 + 3ξ2 = 5
ξ1 − ξ2 = 2;
(b) Λ2 :
⎧⎨⎩ ξ1 − 2ξ2 = 6
−2ξ1 + 3ξ2 = 4;
(c) Λ3 :
⎧⎨⎩ −6ξ1 + 2ξ2 = 7
ξ1 + ξ2 = 0;
(d) Λ4 :
⎧⎨⎩ − ξ2 = 9
ξ1 + 9ξ2 = 3;
(e) Λ5 :
⎧⎨⎩ 5ξ1 − 18ξ2 =2
3
−8ξ1 + 5ξ2 = 7;
(f) Λ6 :
⎧⎨⎩ ξ1 + 2ξ2 = 3
−2ξ1 + 9ξ2 = 13;
(g) Λ7 :
⎧⎨⎩ 2ξ1 − 3ξ2 = 8
ξ1 − ξ2
2= 0
;
(h) Λ8 :
⎧⎨⎩9
3ξ1 +
3
7ξ2 = 1
ξ1 + 4ξ2 = 7.
8. Analise os seguintes sistemas:
(a) Γ1 :
⎧⎨⎩ 2ξ1 + 8ξ2 = 15
3ξ1 − 5ξ2 = 4;
(b) Γ2 :
⎧⎨⎩ 3ξ1 + 9ξ2 = 1
ξ1 + 3ξ2 = 4;
(c) Γ3 :
⎧⎨⎩ 5ξ1 − 8ξ2 = 16
2ξ1 − 6ξ2 = 0;
(d) Γ4 :
⎧⎨⎩ ξ1 + 3ξ2 = 8
5ξ1 + 15ξ2 = 25;
110
(e) Γ5 :
⎧⎨⎩ 4ξ1 − 2ξ2 = 7
12ξ1 − 6ξ2 = 21.
9. Classifique os sistemas abaixo atraves dos metodos de Cramer
e do escalonamento. Caso o sistema nao seja impossıvel, de o
seu conjunto solucao.
(a)
⎧⎨⎩ x1 − 5x2 = 3
9x1 − 4x2 = 0;
(b)
⎧⎨⎩ x1 + 2x2 = 4
2x1 + 4x2 = 9;
(c)
⎧⎨⎩ x1 + 3x2 = −5
−3x1 + 5x2 = 0;
(d)
⎧⎨⎩ − x2 = 8
x1 + x2 = 9;
(e)
⎧⎨⎩ 3x1 − 9x2 = 0
4x15
2x2 = 8
;
(f)
⎧⎨⎩ 5x1 − 3x2 = 7
10x1 − 6x2 = 19;
(g)
⎧⎨⎩ 2x1 + 9x2 = 8
−4x1 − 18x2 = −16;
(h)
⎧⎨⎩ x1 + x2 = −5
2x1 + x2 = −10;
(i)
⎧⎨⎩ x1 − x2 = 0
2x1 + 3x2 = 0;
(j)
⎧⎨⎩ 9x1 − 5x2 = 7
3x1 − 5
3x2 =
7
3
;
111
(l)
⎧⎨⎩ 2x1 + 3x2 = 10x1
2+
x2
4=
3
2
;
(m)
⎧⎨⎩ 3x1 + 2x2 = 4
6x1 − 5x2 = 3;
(n)
⎧⎨⎩ 3x1 − 8x2 = −2
15x1 − 24x2 = 7;
(o)
⎧⎨⎩ −2x1 + 3x2 = 2
4x1 − 6x2 = −4.
10. Faca a interpretacao geometrica de cada um dos sistemas da-
dos ate aqui.
11. Em qual ponto as retas r : 2x + 3y = 1 e s : x − 4y = 8 se inter-
ceptam?
12. O que voce pode dizer das retas t : 5x−2y = 9 e u : 15x−6y = 2?
13. Verifique se a terna (1,-2,4) e solucao dos seguintes sistemas:
(a)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 3x2 + x3 = −1
2x1 − 3x2 + 2x3 = 0
4x2 + 2x3 = 0
;
(b)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 − 2x2 + x3 = 4
2x2 − 3x3 = −9
9x1 − 6x3 = 0
.
14. Para os sistemas a seguir, diga quem sao as suas matrizes prin-
cipal, aumentada, independente e incognita.
112
(a)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 + 3x2 + x3 = −1
2x1 − 3x2 + 2x3 = 0
4x2 + 2x3 = 0
;
(b)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 − 2x2 + x3 = 4
2x2 − 3x3 = −9
9x1 − 6x3 = 0
.
(c)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x2 − 9x3 = 3
x1 + 2x2 − x3 = 0
x1 − 4x3 = 8
;
(d)
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x1 − x2 + 3x3 = 1
−2x1 + 6x2 − 8x3 = 10
9x1 + x2 + 5x3 = −12
.
15. O aco e uma liga metalica formada por carbono e ferro, cuja
percentagem de carbono varia entre 0, 008% e 2, 11%. Certa
industria dispoe de dois lotes de aco, um com 0, 087% e o outro
com 1, 75% de carbono. A partir destes lotes, deseja-se fabricar
uma peca de 100kg de aco com 1, 25% de carbono. Qual a massa
necessaria de aco de cada lote para a fabricacao deste produto?
16. Outro material importante para nossa sociedade e o vidro. Ele
entra na composicao de janelas, recipientes de armazenamento,
dentre outros. A sua composicao basica e a seguinte:
Componente Porcentagem em vidros comuns
Sılica 74
Alumina 2
Oxido de Ferro 0,1
Calcio 9
Magnesio 2
Sodio 12
Potassio 1
.
113
Para a construcao de vidros para um certo predio, dispoe-se de
sete tipos de vidro, caracterizados a seguir:
Porcentagem
Componente I II III IV V VI VII
Sılica 73,8 72,4 72,3 72,36 71,84 71,86 72
Alumina 2,2 2,5 2,31 2,3 2,22 2,34 2,5
Oxido de Ferro 0,3 0,03 0,23 0,08 0,31 0,3 0,24
Calcio 8,7 8,56 8,49 8,9 9 9,1 8,32
Magnesio 1,75 2,2 2,1 2,12 2,34 2,1 2,2
Sodio 12,2 11,34 11,4 11,2 11 12,3 11,4
Potassio 1,05 2,97 3,17 3,04 3,29 2 3,34
.
Encontre as massas de cada tipo de vidro necessarias para se
produzir 1,5 t de vidro cuja composicao desejada e a seguinte:
Componente Porcentagem
Sılica 73
Alumina 2,15
Oxido de Ferro 0,12
Calcio 8,64
Magnesio 1,91
Sodio 12,12
Potassio 2,06
.
17. (UFMG) Durante o perıodo de exibicao de um filme, foram ven-
didos 2000 bilhetes, e a arrecadacao foi de R$ 7600,00. O preco
do bilhete para adultos era de R$ 5,00 e, para criancas, era de
R$ 3,00. A razao entre o numero de criancas e de adultos que
assistiram ao filme nesse perıodo foi:
a) 1. b)3
2. c)
8
5. d)2.
114
3.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A
Matematica do Ensino Medio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro:
SBM, 2006.
115
Unidade 4
Trigonometria
Resumo
Apresentamos os seis elementos de um triângulo e como
determiná-los a partir do conhecimento de três deles (conhecendo pelo
menos a medida de um dos lados). Usamos as relações em triângulo
para definir as funções trigonométricas. Aplicamos as Leis do Seno e
Cosseno para determinar a distância entre dois pontos inacessíveis.
Estabelecemos algumas medidas em locais presentes em Teresina.
ÍNDICE UNIDADE 4. Trigonometria
4.1. Introdução
4.2 Trigonometria no triângulo retângulo
4.2.1 Relações métricas no triângulo retângulo
4.2.2 Cálculo do seno de alguns ângulos sem a ajuda de calculadora
4.3 Lei dos senos e dos Cossenos
4.3.1 Lei dos senos
4.3.2 Lei dos cossenos
4.4 Funções trigonométricas
4.5 As fórmulas de adição
4.6 Saiba mais
4.7 Exercícios
4.8 Respostas
4.9 Referência Bibliográfica
Unidade 4
TRIGONOMETRIA
4.1 INTRODUCAO
Desde a antiguidade e necessaria a avaliacao de distancias in-
acessıveis. Poucas sao as distancias que podemos medir diretamente,
com auxılio de uma trena. Na verdade, a maioria do que desejamos
saber sobre distancias e calculado com o auxılio da trigonometria.
O elemento basico usado para calcularmos tais distancias e a
resolucao de triangulos. Geralmente, para solucionarmos tais prob-
lemas precisamos determinar lados e angulos, conhecidos tres deles
(desde que nao sejam os tres angulos). As condicoes de congruencia
mostram que os seis elementos de um triangulo estao relacionados
funcionalmete. Por exemplo, o caso L.L.L. (lado-lado-lado) implica que
os tres angulos sao funcoes dos tres lados. Este problema basico, de-
pendendo dos dados, ou pode ser impossıvel, ou pode ter uma unica
solucao ou pode ter mais de uma solucao.
Para medir uma distancia inacessıvel necessitaremos de dois in-
strumentos: uma fita metrica, chamada de trena, e uma luneta apoiada
em um tripe (Teodolito), que mede angulos tanto no plano horizontal
quanto no vertical. O teodolito fornece os seguintes dados:
118
a) Se o observador P ve um objeto R, ele pode determinar a medida
do angulo θ que a reta PR faz com o plano horizontal.
Figura 4.1: Teodolito
b) Se o observador P ve um objeto Q e girando a luneta ve um ob-
jeto R, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o angulo
QPR.
Figura 4.2: Angulo no Plano
Acessando o sıtio
http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Textos/construindoteodolito.htm
o leitor aprendera como construir um teodolito muito simples, a partir
de um transferidor.
119
Alguns problemas que vamos abordar fazem referencia a cidade
de Teresina, capital do estado do Piauı, e a vizinha cidade de Ti-
mon, localizada a margem esquerda do Rio Parnaiba, no estado do
Maranhao.
Problema 1: Medir a altura da igreja Sao Benedito, localizada em Teresina.
Enunciado: Um observador esta em um ponto A,localizado na calcada do
Palacio do Karnak (sede do Governo Estadual),a uma distancia
de 116, 954 metros da igreja Sao Benedito e a ve segundo um
angulo cuja medida e 15◦30′12′′ com o plano horizontal de observacao(
medido com o teodolito). Qual e a altura da igreja Sao Benedito
em relacao ao plano de observacao?
Para medir angulos
menores que
um grau, sao
utilizadas duas sub-
unidades, definidas
da seguinte forma:
minuto:1′ =1◦
60
segundo:1′′ =1′
60
Figura 4.3: Igreja Sao Benedito
Problema 2: Medir a largura do Rio Parnaıba nas proximidades do Troca -
Troca.
Enunciado: De um ponto A localizado no Troca - Troca em Teresina, avista-
se um ponto P localizado na outra margem, na cidade de Timon.
De um ponto B, a direita do ponto A, distante 99, 980 metros de A
tambem se avista o ponto P . Um observador em Teresina mediu
os angulos BAP = 90◦ e ABP = 66◦19′25′′. De posse desses
dados, qual e a largura do Rio Parnaıba?
120
Figura 4.4: Largura do Rio
Problema 3: As pessoas utilizam pequenas embarcacoes para fazerem a trav-
essia do Rio Parnaıba, de um ponto proximo ao Troca - Troca,
localizado em Teresina, a um ponto localizado na outra margem,
na cidade de Timon.
Enunciado: De um ponto A localizado no Troca - Troca em Teresina, avista-
se um ponto P localizado na outra margem, na cidade de Timon.
De um ponto B, a direita do ponto A, distante 99, 980 metros de A
tambem se avista o ponto P . Um observador em Teresina mediu
os angulos BAP = 98◦47′39′′ e ABP = 66◦19′25′′. De posse
desses dados, qual e a distancia entre A e P?
Figura 4.5: Porto das Barcas
121
4.2 TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETAN-
GULO
Comecaremos nosso estudo de trigonometria vendo o seu uso em
triangulos retangulos. No ensino medio aprendemos que dado um
triangulo retangulo �ABC de hipotenusa BC e catetos AB e AC, as
relacoes trigonometricas valem: (Com um abuso de notacao!)
Figura 4.6: Triangulo retangulo �ABC
(a) sen(B) =AC
BC,
(b) cos(B) =AB
BC,
(c) tg(B) =sen(B)
cos(B)=
AC
AB,
(d) cotg(B) =cos(B)
sen(B)=
AB
AC,
(e) sec(B) =1
cos(B)=
BC
AB,
(f) cossec(B) =1
sen(B)=
BC
AC.
Deixamos como exercıcio a deducao das relacoes trigonometricas
para o angulo C.
122
O que acabamos de fazer foi definir, para um angulo agudo de
medida x,isto e, 0◦ ≤ x ≤ 90◦ o valor de sen(x), cos(x),etc. Para um
angulo obtuso de medida x, isto e, 90◦ < x < 180◦, definimos sen(x) =
sen(180◦ − x) e cos(x) = −cos(180◦ − x), que e o que precisamos.
Com o auxılio de uma calculadora, podemos resolver alguns:
Exemplo 4.2.1. Retomemos o Problema 1 de medir a altura da igreja
Sao Benedito. No triangulo da Figura 4.3, seja h a altura da igreja
medida em relacao ao plano horizontal. Assim, temos:
h
116, 954= tg(15◦30′12′′).
Resolvendo, obtemos h = 116, 954 × tg(15◦30′12′′) metros. Com
auxılio de uma calculadora, obtemos tg(15◦30′12′′) = 0, 2774. Por-
tanto, h = 32, 44, ou seja, a igreja tem uma altura de 32, 44 metros.
Exemplo 4.2.2. No Problema 2, de medir a largura do Rio Parnaıba
nas proximidade do Troca-Troca, de modo analogo ao exemplo ante-
rior, chamando de h a largura, temos:
h
99, 980= tg(66◦19′25′′).
Com auxılio de uma calculadora, obtemos tg(66◦19′25′′) = 2, 28. Por-
tanto, h = 227, 95, ou seja, a largura do rio Parnaıba, nas proximidades
do Troca-Troca e de 227, 95 metros.
Exemplo 4.2.3. No triangulo abaixo, ABC = 30◦ (Quanto mede ACB?),
e BC = 2, 5 cm. Encontre o valor de AB e de AC.
123
Sol.: Sabemos que sen(ABC) =AC
BCe que ABC = 30◦. Olhando
na tabela o valor de sen(30◦), ganhamos que:
1
2= sen30◦ = sen(ABC) =
AC
BC⇒ AC = 1, 25cm.
Analogamente, vendo o valor de cos(30◦), teremos:√
3
2= cos 30◦ = cos(ABC) =
AB
BC⇒ AB = 1, 25
√3 cm.
Notemos no triangulo anterior que sen(ABC) =AC
BC⇒ AC =
BCsen(ABC) e que cos(ABC) =AB
BC⇒ AB = BC cos(ABC). De-
duza as formulas para o angulo ACB. (Notou alguma relacao entre
sen(ABC) e cos(ACB)? E entre sen(ACB) e cos(ABC)?)
4.2.1 RELACOES METRICAS NO TRIANGULO RETANGULO
Apesar de ser um assunto explorado pela nossa adoravel Geome-
tria, nao custa nada falarmos das relacoes metricas em triangulos
retangulos. Com essas relacoes em mente, conseguimos resolver
varios problemas geometricos. Como podemos ver, elas advem de
fatos trigonometricos simples.
Num triangulo retangulo �ABC, cuja altura referente ao lado BC,
as seguintes relacoes valem:
• AC × AB = BC × h;
• c2 = BC ×m e b2 = BC × n;
• h2 = m× n;
• (Teorema de Pitagoras) (BC)2 = (AB)2 + (AC)2.
A demonstracao de tais fatos ficam como exercıcio para o leitor.
Exemplo 4.2.4. No triangulo retangulo abaixo, calcule o valor de h:
BC = 5cm, ACB = 60◦.
124
Sol.: Como sabemos, AC × AB = BC × h⇒ h =AC ×AB
BC.
Com a ajuda da trigonometria, ganhamos que⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩AC = BCsen(ABC) ⇒ AC =
5
2cm
AB = BC cos(ABC) ⇒ AB =5√
3
2cm
.
Logo, podemos concluir que h =5√
3
4cm.
Exemplo 4.2.5. No triangulo abaixo, calcule quanto vale a hipotenusa.
Sol.: Ora, sabemos que tg(45◦) = 1. Daı, podemos concluir que
1 = tg(45◦) = tg(ABC) =h
m⇒ m = 2 cm.
Tambem sabemos que h2 = m × n e que BC = m + n. Logo,
teremos:
4 = 2n⇒ n = 2 =⇒ BC = 2 + 2 = 4.
A medida da hipotenusa e, entao, 4 cm.
125
4.2.2 CALCULO DO SENO DE ALGUNS ANGULOS SEM
A AJUDA DE CALCULADORA
Comecaremos com o calculo do seno de angulos simples. De-
vemos a maioria dessas demonstracoes aos egıpcios, gregos e ba-
bilonios. Eles nos deixaram uma importante contribuicao nas areas da
Geometria e da trigonometria. Na sua epoca, possuir uma calculadora
era um sonho bastante distante. Assim, calcular senos e cossenos de
angulos nao elementares era tarefa que ocupava a mente de muitos
pensadores da epoca. Convidamos o leitor a procurar maneiras difer-
entes de calcular os senos dos angulos expostos aqui e tambem a
procurar meios para o calculo do seno de outros angulos.
• Seno de 60o
Talvez este seja o mais facil de se calcular. Para isso, tomemos
um triangulo equilatero de lado unitario: (O que e um triangulo
equilatero?)
Tracando a altura referente ao lado BC:
126
Ganhamos (utilizando alguns conhecimentos elementares de ge-
ometria plana e o famoso teorema de Pitagoras) que h =
√3
2.
Assim, calculando o seno do angulo ABC (Quanto mede ABC?),
conseguimos que sen(ABC) =
√3/2
1=
√3
2.
Exercıcio: Olhando para o nosso triangulo, voce seria capaz de
dizer quanto vale o seno de 30◦?
• Seno de 45◦
Apos calcularmos o seno de 60◦, passemos ao calculo do seno
de 45◦. Parra isso, tomemos o seguinte triangulo isosceles:
Pelo teorema de Pitagoras, ganhamos que a hipotenusa deste
nosso triangulo mede√
2. Logo, o seno de 45◦ e dado por: (Por
que?)
sen45◦ =1√2
=
√2
2.
• Seno de 54◦
Este resultado nao e tao obvio como os anteriores. Para calcula-
lo, tomemos o seguinte triangulo:
127
Dividindo o angulo BAC em tres partes iguais e notando que
alguns desses triangulos sao isosceles, teremos que:
Agora, olhemos detalhadamente para o triangulo:
Podemos concluir que x + y = 1.
Atentemo-nos para o triangulo �EAC:
Utilizando as propriedades de semelhanca de triangulos, ganha-
mos que2x + y
1=
1
x,
o que implica que x =
√5− 1
2. (Por que?) Logo, teremos que
y =3−√5
2.
Tracando a altura relativa ao lado BC, obtemos:
128
Olhando mais especificamente para o triangulo �AFC, pode-
mos concluir que:
sen54◦ =x + y/2
1=
1 +√
5
4.
Acessando o sıtio
www.ime.usp.br
/ leo/imatica/historia
/trigonometria.html
o leitor conhecera
um pouco mais
da Historia da
Trigonometria.
A origem da trigonometria e incerta. Entretanto, pode-se dizer
que o inıcio do desenvolvimento da trigonometria se deu principal-
mente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura
e Navegacoes, por volta do seculo IV ou V a.C., com os egıpcios e
babilonios.
4.3 LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
Apos vermos uma introducao a trigonometria no triangulo retangulo,
com suas principais propriedades e curiosidades, passaremos a estu-
dar as aplicacoes da trigonometria em triangulos quaisquer. O nome
qualquer se deve ao fato de que iremos, nessa secao, resolver prob-
lemas envolvendo triangulos de todos os tipos e nao somente os que
pertencem a classe dos que sao retangulos.
Mas, apesar de trabalharmos com triangulos de todos os tipos, ver-
emos que sempre poderemos fazer manipulacoes que permitem usar-
mos o que sabemos acerca da tigonometria em triangulos retangulos.
129
Veremos as famosas leis do seno e do cosseno e faremos alguns ex-
ercıcios interessantes.
4.3.1 LEI DOS SENOS
No problema 3 do inıcio desta unidade temos de determinar a
distancia entre dois pontos situados nas margens opostas do Rio Parnaıba.
A seguir enunciaremos uma lei de bastante utilidade para resolucao
de problemas praticos e faremmos uma demonstracao simples e ele-
gante.
Proposicao 4.3.1 (Lei dos senos). Seja�ABC um triangulo qualquer.
EntaoAB
sen(ACB)=
BC
sen(BAC)=
AC
sen(ABC).
Demonstracao. O leitor deve se convencer de que precisamos so-
mente analisar dois casos, que ilustraremos a seguir:
1. O triangulo�ABC e acutangulo. (O que e um triangulo acutangulo?)
Vejamos a figura:
Neste triangulo acutangulo, se tracarmos a altura relativa ao lado
AC, teremos a seguinte figura:
Chamando h de BD, i.e., se chamarmos de D a intersecao de
h com AC, e tomarmos d = AD, teremos que DC = AC) − d.
(Concorda?) Tambem temos que d = AB cos(BAC). (Por que?)
130
Agora, usando as relacoes trigonometricas que ja conhecemos,
conseguimos
BCsen(ACB) = h = ABsen(BAC)⇒ BC
sen(BAC)=
AB
sen(ACB).
Repetindo o mesmo raciocınio com a altura relativa ao lado AB,
conseguimos que
BC
sen(BAC)=
AC
sen(ABC).
2. O triangulo �ABC e obtusangulo. (O que e um triangulo ob-
tusangulo?) Vejamos o desenho:
Tomando a altura relativa ao lado BC, obtemos a figura:
Chamando de h tal altura, de P a intersecao de h com o pro-
longamento do lado BC, e de d o comprimento de PB, temos
que
AC sen(ACB) = h = AB sen(π − ABC).
Veremos que sen(π − α) = sen(α) , ∀α ∈ R. Daı,
131
AC sen(ACB) = AB sen(ABC).
Assim,AC
sen(ABC)=
AB
sen(AC)B.
Raciocinando do mesmo modo que no item anterior, ganhamos
que
AC
sen(ABC)=
BC
sen(BAC).
Exemplo 4.3.1. Voltemos a olhar para o problema 3, que consiste
em determinar a distancia entre dois pontos localizados nas margens
opostas do rio Parnaıba, nas proximidades do Troca - Troca. Chamando
de x a distancia entre o ponto A e o ponto P e aplicando a Lei dos
Senos no triangulo �ABP , temos:
99, 980
sen(15◦33′36′′)=
x
sen(66◦19′25′′).
Com o auxılio de uma calculadora, obtemos sen(15◦33′36′′) = 0, 268 e
sen(66◦19′25′′) = 0, 916. Assim, temos x = 341, 72, ou seja, o barqueiro
percorre uma distancia de 341, 72 metros para fazer a travessia de
seus passageiros.
4.3.2 LEI DOS COSSENOS
Vejamos o seguinte problema:
Deseja-se saber o comprimento de um lado de um terreno triangu-
lar que possui os outros dois lados iguais a 200m e 350m. O angulo
formado por esses dois lados e igual a 60◦.
Neste caso nao seremos felizes se usarmos a lei dos senos, pois
so sabemos o valor de um dos angulos e o triangulo nao e elementar.
Para resolve-lo, necessitamos da lei dos cossenos:
132
Proposicao 4.3.2 (Lei dos cossenos). Seja�ABC um triangulo qual-
quer. Entao
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2(AC)(BC) cos(C),
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 − 2(AB)(BC) cos(B),
(BC)2 = (AC)2 + (AB)2 − 2(AC)(AB) cos(A).
Demonstracao. Deixamos a prova como exercıcio para o leitor.
Exercıcio: Resolva o problema anterior.
4.4 FUNCOES TRIGONOMETRICAS
Acabamos de ver aplicacoes da trigonometria em problemas geometricos.
Mas ela nao esta apenas associada a resolucao de triangulos. E
enorme a quantidade de problemas que conseguimos resolver gracas
a trigonometria. Por exemplo, aprendemos metodos matematicos para
a resolucao de equacoes diferencias que envolvem funcoes trigonometricas,
como o metodo de Fourier. Em problemas fısicos, como o problema
do oscilador harmonico, o uso da Trigonometria tambem e essen-
cial.
Antes tratava-se de seno de um angulo de um triangulo qualquer.
Agora, trata-se da funcao seno aplicada a um numero real. O que
antes possuıa uma abrangencia pequena agora pode ser trabalhado
de maneira mais geral. Podemos com isso explicar com ferramentas
matematicas as solucoes de equacoes que envolvam funcoes trigonometricas.
Apresentaremos todas as funcoes trigonometricas de maneira rapida
e sucinta. Nao nos delongaremos em apresenta-las separadamente.
Definicao 4.4.1. Sejam α, β, γ ∈ R numeros reais dados. As funcoes
seno, cosseno e tangente sao, respectivamente, dadas por:
f : R −→ R
x �−→ f(x) = α + βsen(γx),
133
g : R −→ R
x �−→ g(x) = α + β cos(γx),
h : R \{π
2+ 2kπ / k ∈ Z
}−→ R
x �−→ h(x) = α + βtg(γx).
Note que enunciamos as funcoes seno, cosseno e tangente no
modo mais geral possıvel. Faremos seus estudos tambem desta maneira.
Lembremos que dada uma funcao real f e p ∈ R, dizemos que f
e p-periodica se f(x + p) = f(p), ∀x ∈ dom f . Chamamos de perıodo
fundamental de f o menor elemento do conjunto {p / f(x+p) = f(x)}.No ensino medio estudamos o ciclo trigonometrico, onde aprende-
mos a associar o par (cos(x), sen(x)) a um ponto da circunferencia de
raio unitario e centro na origem. Essa associacao se deve a Euller. O
fato do raio de tal circunferencia ser unitario nos da uma demonstracao
de que cos2(x) + sen2(x) = 1:
Proposicao 4.4.2. Para todo x em R, temos que cos2(x)+sen2(x) = 1.
Demonstracao. Seja C = {(x, y) ∈ R / x2 + y2 = 1} a circunferencia
de raio unitario centrada na origem. A funcao de Euller nos diz que
existe uma relacao entre cada ponto (x, y) da circunferencia e cada x
real tal que ∀x ∈ R, (cos(x), sen(x)) ∈ C. Daı, temos que para cada x
vale cos2(x) + sen2(x) = 1.
Existem demonstracoes mais elegantes para a identidade que enun-
ciamos acima. Mas elas fazem uso de teorias mais avancadas e
por isso as omitimos do texto. O leitor curioso deve procurar mais
demonstracoes para tal fato.
Exemplo 4.4.1. Se cos(α) = λ e α ∈ (0, π/2), quanto vale sen(α)?
Sol.: Como α ∈ (0, π/2), entao ja podemos concluir que sen(α) > 0.
(Por que?) A proposicao anterior nos diz que cos2(α) + sen2(α) = 1.
Logo, sen(α) =√
1− λ2.
Uma consequencia importante da proposicao anterior e o seguinte
resultado:
134
Proposicao 4.4.3. Sejam k ∈ R e a funcao f : R −→ R, x �−→ f(x) =
sen(kx). O perıodo fundamental de f e igual a2π
| k | .
Demonstracao. Na secao Formulas de adicao veremos que senk(x +
p) = sen(kx) cos(kp)+ sen(kp) cos(kx), onde p e o perıodo fundamental
de f . Daı, sen(kx) = sen(kx) cos(kp) + sen(kp) cos(kx). Tomando x =π
2k, ganhamos que cos(kp) = 1. (Por que?) Como cos2(kp)+sen2(kp) =
1, concluımos que sen(kp) = 0. Do ensino medio, recordamos que
sen(kp) = 0⇒ p =2π
| k | .
Exemplo 4.4.2. O perıodo fundamental de g(x) = sen(8x) e p =2π
8=
π
4.
A tıtulo de recordacao, vejamos o ciclo trigonometrico.
Figura 4.7: Ciclo trigonometrico
Os eixos paralelos a Ox e a Oy respectivamente sao os eixos da
cotangente e da tangente. Assim, dado o angulo a assinalado na
135
figura, os pontos P, Q, R e S sao, nessa ordem, iguais a cos(a), sen(a),
cotg(a) e tg(a).
Tambem vimos no ensino medio que o conjunto imagem de sen(x), cos(x)
e dado por [−1, 1]. Daı, podemos concluir que para as funcoes
f : R −→ R
x �−→ f(x) = α + βsen(γx),
g : R −→ R
x �−→ g(x) = α + β cos(γx)
o conjunto imagem e dado por [α− β, α + β].
A imagem da funcao
h : R \{π
2+ 2kπ / k ∈ Z
}−→ R
x �−→ h(x) = α + βtg(γx)
e (−∞, +∞).
Exercıcio. Encontre o domınio e a imagem das funcoes cotg, cossec, sec.
Exercıcio. Determine os valores maximo e mınimo da funcao
f : R→ R dada por f(x) =5
4 + sen(x).
Exercıcio. Se sen(x) + cos(x) = 1, 1, quanto vale 2sen(x)cos(x)?
4.5 AS FORMULAS DE ADICAO
De grande utilidade na resolucao de exercıcios e de calculos en-
volvendos integrais, as formulas de adicao de arcos nos dao regras
para calcularmos o seno, cosseno, tangente de angulos que podem
ser expressos como soma de outros dois conhecidos. Por exemplo,
de posse da regra do seno da soma, podemos calcular quanto vale
sen(75◦), apenas sabendo os valores de sen(45◦), sen(30◦), cos(45◦), cos(30◦).
136
Proposicao 4.5.1. Sejam α e β dois angulos quaisquer. Entao:
sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α)
cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α)sen(β).
Demonstracao. Olhemos primeiramente para a figura
Na figura, o triangulo �OA′C e reto em A′. Os angulos A, A′, B
sao retangulos. Chamaremos os angulos AOA′, A′OC de α, β, respc-
tivamente. Atraves das regras de congruencia podemos concluir que
medAOA′ = medB′CA′. No triangulo �OAA′, podemos concluir que:
sen α =AA′
OA′ ⇒ AA′ = OA′ sen α. (4.1)
Ja no triangulo �OA′C teremos:
cos β =OA′
OC⇒ OA′ = OC cos β. (4.2)
Ainda analisando o triangulo �OA′C, veremos:
sen β =A′C
OC⇒ A′C = OC sen β. (4.3)
137
Usando um fato ja conhecido (Qual?), podemos concluir que
cos α =CB′
AC ′ ⇒ CB′ = A′C cos α. (4.4)
Basta analisarmos o triangulo �OBC. Como sabemos, medO =
med(α + β). Logo,
sen (α + β) =BC
OC⇒ BC = OC sen (α + β). (4.5)
O leitor atento deve ter percebido que medBC = medB′C+medAA′.
Juntando os fatos conseguidos, ganhamos que
sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α.
A prova de cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β) fica a cargo
do leitor.
4.6 SAIBA MAIS
1) O leitor podera acessar, no sıtio http://strato.impa.br/, excelentes
vıdeos produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon
Lages Lima, do Programa de Formacao de Professores do En-
sino Medio. Acessando janeiro de 2003,janeiro de 2004, janeiro
de 2005, julho de 2006 e janeiro de 2007 o leitor encontrara vıdeos
sobre o ensino de *Trigonometria, no qual nos inspiramos para
escrever esse material;
2) Para conhecer um pouco da Historia da Matematica, visite o sıtio
http://www.matematica.br/historia/index.html;
3) O leitor podera acessar o sıtio
http://www.matematica.br/historia/index h tempo.html, onde tera
um ındice cronologico apresentado por assunto;
4) As aplicacoes e exercıcios deste capıtulo e inspirado no exce-
lente material desenvolvido pelos professores Elon Lages Lima,
138
Paulo Cesar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto Cesar
Morgado, o qual o leitor pode acessar atraves do sıtio
http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap4.pdf
5) O leitor pode acessar o sıtio
http://www.mat.ufrgs.br/ portosil/passa2c.html para aplicacoes out-
ras da trigonometria;
6) O leitor pode acessar o sıtio
http://www.matematica.br/programas/varios.html para baixar pro-
gramas educacionais interativos.
7) Para conhecer um pouco do matematico frances Laplace, o leitor
pode acessar http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre Simon Laplace.
4.7 EXERCICIOS
1. Deduza as formulas para sen(A− B) e cos(A− B).
2. Com a ajuda da proposicao anterior e do ultimo exercıcio, mostre
que
tg(A + B) =tg(A) + tg(B)
1− tg(A)tg(B).
3. Deduza a formula para tg(A− B).
4. Algumas consequencias da ultima proposicao simples porem
uteis sao as seguintes:
(a) sen(π − α) = sen(α), ∀α ∈ [0, π];
(b) cos(π − α) = − cos(α), ∀α ∈ [0, π];
(c) sen(2π − α) = −sen(α), ∀α ∈ [0, π];
(d) cos(2π − α) = cos(α), ∀α ∈ [0, π].
Mostre-as e deduza outras consequencias importantes ad-
vindas da adicao de arcos.
5. Prove as identidades abaixo:
139
a)1− tg2(x)
1 + tg2(x)= 1− 2sen2(x)
b)sen (x)
cossec(x)− cotg(x)= 1 + cos(x)
6. Determine todas as solucoes da equacao sen(2x + π3) = 1
2.
7. Se tg(x) + sec(x) = 32, calcule sen(x) e cos(x).
8. Se tg(x) = 12, calcule tg(3x).
9. Calcule: y = sen(5π2
) cos(5π2
).
10. Calcule: y =1 + tg( π
12)
1− tg( π12
)
11. Determine os valores maximo e mınimo de:
a) y = a sen2(x) + b cos2(x), com a2 + b2 = 0
b) y = a sen(x) + b cos(x), com a2 + b2 = 0
c) y = asen x cos x, com a > 1
d) y = cos4x + sen4x
12. Observando a figura abaixo, mostre que o angulo CAB e igual a
45◦.
13. Uma estrada que esta sendo construıda em um plano horizontal
e sera formada pelos trechos retos XP , PQ e QY . No trecho
PQ sera construido um tunel para atravessar uma montanha.
Os engenheiros devem saber tanto em P quanto em Q, que
direcao devem tomar para construir o tunel AB de forma que
140
o trecho PABQ seja reto. Eles entao fixaram um ponto C do
plano horizontal, visıvel tanto em P quanto de Q, formando o
triangulo mostrado na figura abixo. Com auxılio do teodolito e de
uma trena, determinaram as seguintes medidas: CP = 1, 2Km,
CQ = 1, 8Km e PCQ = 27◦. Calcule as medidas dos angulos
CPQ e CQP .
14. Se tgα = 35, quanto vale sen 2α? Analise para α ∈ (0, π).
15. Sabendo que tgα = 23
e que cotgβ = 49, calcule: (α, β ∈ (π, 3π
2))
(a) sen α + sen β;
(b) cos α + cos β;
(c) sen (α + β);
(d) cos (α + β);
(e) sec (2α− 3β).
16. Resolva as equacoes: (x ∈ (0, 2π))
(a) cos2 x− 2 cos x + 3 = 0;
(b) tgx = 35;
(c) cos2 x + sen2x = 0;
(d) 4 cosx +1
senx= 8.
17. Resolva a equacao cos (x− π) = 3sen x.
141
4.8 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A
Matematica do Ensino Medio. Volume 1. 9.ed.. Rio de Janeiro:
SBM, 2006;
2. CARMO, M.P. do; MORGADO, A.C.; WAGNER, E.. Trigonome-
tria, Numeros Complexos. Notas historicas de Joao Bosco Pit-
ombeira de Carvalho. Rio de janeiro: SBM, 1992.
142
Unidade 5
Números Complexos
Resumo
Apresentamos o corpo dos números complexos. Usamos a
representação trigonométrica de um número complexo para estabelecer
a fórmula de De Moivre. Finalizamos com o cálculo das raízes da
unidade.
ÍNDICE UNIDADE 5. Números Complexos
5.1 Introdução
5.1 O corpo dos números complexos
5.1.1 Adição de números complexos
5.1.2 Representação geométrica de um número complexo
5.1.3 Multiplicação de números complexos
5.2 Forma trigonométrica de um número complexo
5.3 Fórmula de De Moivre
5.4 Raízes da unidade
5.5 Saiba mais
5.6 Exercícios
5.7 Respostas
5.8 Referência bibliográfica
Unidade 5
NUMEROS COMPLEXOS
5.1 INTRODUCAO
O que e um numero? Esta pergunta e feita ha muito tempo, como
conta a Historia da Matematica. Chega mesmo a intrigar muitas pes-
soas e ocupa o tempo de varias. Nao e nosso escopo desenvolver
alguma teoria sobre o significado de um numero.
Como os problemas tendem a ficar cada vez mais complexos a me-
dida em que se desenvolve algo, em particular a Matematica, vimos
como simples problemas na Antiguidade exigiram o desenvolvimento
de tecnicas e teorias para a sua completa solucao. Neste sentido,
equacoes como x − 3 = 8 possui uma solucao conhecida para nos,
a saber, x = 11. Tambem sabemos que a equacao x + 2 = 1 pos-
sui uma solucao, que e x = −1. Esta, por incrıvel que possa pare-
cer, foi fruto de varias discordias entre matematicos em epocas remo-
tas. Alguns relutavam em dizer que a ultima equacao e irresoluvel,
outros usavam resultados analogos sem procurar uma base teorica.
Apos o conhecimento do conjunto dos numeros inteiros, tais proble-
mas passaram a ser tratados como triviais, e sao ensinados ainda
no ensino fundamental de variasescolas ao redor do mundo. Com
raciocınio analogo, equacoes do tipo ax = b, com a, b inteiros e a nao-
nulo levaram ao estudo de outro conjunto, o dos numeros racionais.
146
Apos isso, muitos afirmaram que todos os problemas matematicos ex-
istentes poderiam ser resolvidos tomando como conjunto universo o
conjunto dos numeros racionais.
Mas a Historia da Matematica nos mostra que varias afirmacoes
aceitas sem demonstracao foram derrubadas pouco tempo depois.
E a afirmacao de que os numeros racionais solucionavam todos os
problemas tambem foi rapidamente excluıda da Matematica. Era um
fato bem conhecido dos pitagoricos que√
2 /∈ Q. Denominaram de
irracionais os numeros que nao eram racionais e a uniao dos con-
juntos dos racionais com o dos irracionais denominaram de conjunto
dos numeros reais, ao qual ja nos referimos varias vezes. Chegaram
a afirmar que os numeros reais seriam suficientes para resolucao de
todos os problemas matematicos. Mas varios problemas mostraram
a insuficiencia de tal conjunto para o perfeito crescimento da Rainha
das ciencias. Descreveremos aqui apenas um problema que mostrou
a insuficiencia do conjunto dos numeros reais para a Matematica.
Geronimo Cardano, matematico que viveu no seculo XVI, desen-
volveu um metodo para a resolucao de equacoes do tipo x3 + px = q.
Atraves de algumas manipulacoes matematicas, ele chegou a con-
clusao de que
x =3
√√(p
3
)3
+(q
2
)2
− q
2+
3
√−√(p
3
)3
+(q
2
)2
− q
2(5.1)
e uma solucao da equacao x3 + px = q.
Na epoca de Cardano nem mesmo os numeros reais tinham todas
as suas propriedades conhecidas. Imagine entao trabalhar com raızes
quadradas de numeros negativos! Foi isso que aconteceu quando
Cardano analisou a solucao para a seguinte equacao:
x3 − 15x− 4 = 0. (5.2)
Como ja sabemos, a solucao real e dada por x = 3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121. Cardano sabia que a solucao positiva de x3− 15x− 4 =
0 era x = 4. Mas infelizmente, trabalhar com o numero√−121 era
147
muito estranho para ele, ja que na sua epoca os algebristas relutavam
em afirmar que equacoes cujas solucoes eram formadas por raızes
quadradas de numeros negativos eram irresoluveis. Por que entao
admitir que essas raızes de fato existem? Esse foi um dilema para
Cardano.
Na mesma epoca havia um algebrista italiano chamado Rafael
Bombelli mostrou que 3
√2 +√−121 = 2 +
√−1, e que 3
√2−√−121 =
2 − √−1. Assim, conseguia-se que 3
√2 +√−121 + 3
√2−√−121 =
2 +√−1 + 2−√−1 = 4. Bombelli trabalhava sem preocupacao com o
termo√−1 em seus trabalhos. Este era um comeco para a teoria dos
numeros complexos.
5.2 O CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS
Vimos na introducao que o conjunto dos numeros reais nao solu-
ciona todos os problemas matematicos existentes. O problema de
Cardano e somente uma ilustracao para tal fato. Um outro fato ilustra-
tivo mais simples e o de resolver a equacao x2 + 4 = 0. Esta equacao
nao possui solucoes em R. Tente resolver em R o seguinte sistema:⎧⎨⎩ x1 + x2 = 5
4x1x2 = 89.
Quais foram as raızes encontradas? Elas pertencem ao conjunto
dos numeros reais? Tente fazer o mesmo para o seguinte sistema:⎧⎨⎩ x1 + x2 = 20
4x1x2 = 625.
O leitor atento deve ter encontrado 10 − 15
2
√−1 e 10 +15
2
√−1
como possıveis solucoes para o sistema acima. Mas estas solucoes
nao sao numeros reais. Por isso dizemos que o sistema anterior nao
e solucionavel em R.
148
Para sanar esse problema, introduzimos o seguinte termo: i =√−1, denominada de unidade imaginaria, tal que i2 = −1. Tal el-
emento nao pode ser real, pois sabemos que o quadrado de todo
numero real nao-nulo e positivo, e −1 < 0, i.e., i2 < 0⇒ i /∈ R.
As solucoes do sistema anterior podem ser escritas, entao, assim:
10− 15
2i e 10 +
15
2i.
Conseguimos entao, com a unidade imaginaria, um novo conjunto:
{a+ib /a, b ∈ R}. Os elementos a+ib deste conjunto recebem o nome
de numeros complexos, e, como o leitor esperto ja deve ter deduzido,
tal conjunto e denominado de conjunto dos numeros complexos, e
sera designado por C.
Exemplo 5.2.1. 5 + 3i e um numero complexo.
Exemplo 5.2.2. 2 + 4i e um numero complexo.
Dado um numero complexo x + iy, diremos que a sua parte real
e x e a sua parte imaginaria e y. Em sımbolos: C � z = x + iy ⇒Re(z) = x, Im(z) = y, onde Re(z) representa a parte real de z e Im(z)
a sua imaginaria.
Exemplo 5.2.3. z = 3 + 4i⇒ Re(z) = 3, Im(z) = 4.
Exemplo 5.2.4. w = 5⇒ Re(w) = 5, Im(z) = 0. Neste caso, dizemos
que w e um real puro, pois sua parte imaginaria e nula, e a sua real
nao o e.
Exemplo 5.2.5. u = 8i⇒ Re(u) = 0, Im(u) = 8. Ja neste caso, dize-
mos que u e um imaginario puro, pois sua parte real e nula, enquanto
que a sua imaginaria nao o e.
Exercıcio. Qual o unico numero complexo que e real e imaginario
puro ao mesmo tempo?
Dois numeros complexos sao iguais se, e somente se, suas partes
reais forem iguais, o mesmo acontecendo com as partes imaginarias.
Ou seja, x1 + iy1 = x2 + iy2 ⇔ x1 = x2, y1 = y2.
149
Exemplo 5.2.6. z = 0⇔ Re(z) = 0, Im(z) = 0.
Exemplo 5.2.7. x + iy = 2− 3i⇔ x = 2, y = −3.
A seguir veremos como se obter um mutiplo qualquer de um numero
complexo: z = x + iy ⇒ αz = αx + iαy.
Exemplo 5.2.8. 3(2− 13i) = 6− 39i.
Quanto vale 0z?
5.2.1 ADICAO DE NUMEROS COMPLEXOS
Assim como nos conjuntos dos numeros naturais, inteiros, reais,
racionais consideramos uma operacao de adicao, tambem consider-
aremos uma operacao de adicao em C definida por:
+ : C×C −→ C, u = x1+y1, w = x2+y2 �−→ u+w = x1+x2+i(y1+y2).
Assim, quando adicionamos dois numeros complexos, o resultado
e dado por um numero complexo cuja parte real e a soma das partes
reais deles, ocorrendo o mesmo quanto a parte imaginaria.
Exemplo 5.2.9. 4 + 6i + 2− 5i = (4 + 2) + (6− 5)i = 6 + i.
Exemplo 5.2.10. 12− 4i + 3i = (12 + 0) + (−4 + 3)i = 12− i.
Presumimos que o leitor esperto deve ter deduzido que a soma de
dois numeros complexos reais puros e ainda um real puro, a de dois
imaginarios puros e ainda um imaginario puro. E isso nao se restringe
somente ao caso da adicao de dois elementos, mas sim de varios.
(Por que?)
Analogamente ao caso real, a subtracao de numeros complexos
e apenas um caso particular da adicao deles. Isto e, u − w = u +
(−w), u, w ∈ C. Logo, nao delongaremos tempo analisando a subtracao
em C.
Exemplo 5.2.11. −12 + 2i − (2− 9i) = −14 + 11i.
150
PROPRIEDADES DA ADICAO DE NUMEROS COMPLEXOS
Ja conhecida a operacao de adicao de numeros complexos, vimos
que ela na verdade se trata de somarmos as partes real e imaginaria
dos termos componentes, sendo que estas somas sao entre elemen-
tos reais. Assim, as propriedades da adicao em C sao analogas as da
adicao em R. Passaremos, entao, a cita-las. As suas constatacoes
sao deixadas como exercıcio para o leitor, devido a sua simplicidade.
u = x1 + iy1, v = x2 + iy2, w = x3 + iy3 ∈ C, α ∈ R:
• Associatividade u + (v + w) = (u + v) + w
Exemplo 5.2.12. 2+0i+(−2−3i+1+i) = [2+0i+(−2−3i)]+1+i =
1− 2i.
• Comutatividade u + v = v + u
Exemplo 5.2.13. −12−3i+3+8i = 3+8i+(−12−3i) = −9+5i.
• Elemento neutro ∃u ∈ C; u + v = v + u = v, ∀v ∈ C.
Exercıcio. Mostre que u = 0. Isto e, o elemento neutro em C e
unico.
Exemplo 5.2.14. 5 + i + 0 + 0i = 0 + 0i + 5 + i = 5 + i.
• Elemento oposto ∀v ∈ C, ∃v; v + v = v + v = 0
Exercıcio. Mostre que v = −v. Ou seja, o elemento oposto de
um numero complexo e unico.
Exemplo 5.2.15. −23+15i+23−15i = 23−15i+(−23+15i) = 0.
5.2.2 REPRESENTACAO GEOMETRICA DE UM NUMERO
COMPLEXO
151
Vimos que os numeros complexos foram aceitos apos controversias.
Para alguns, era impossıvel se imaginar como seria a representacao
geometrica de um numero complexo dado. Naquela epoca, a intuicao
geometrica ainda era a principal maneira para se trabalhar os prob-
lemas. O que nao era possıvel representar-se geometricamente ten-
dia a ser refutado. Hoje nao possuımos esse problema. O avanco na
Matematica foi tao grande que chegamos mesmo a trabalhar com con-
juntos que nao sao representaveis atraves de esbocos geometricos.
Imagine naquela epoca a aceitacao de estudos no Rn!
O conjunto C so veio a ser bem visto pela comunidade estudiosa
em geral apos a exposicao bela de Argand-Gauss do ”plano”complexo.
Para isso, consideremos a seguinte funcao:
ϕ : R2 −→ C
(x, y) �−→ ϕ(x, y) = x + iy.
Como podemos mostrar rapidamente, tal funcao e bijetiva, i.e., ex-
iste uma correspondencia biunıvoca entre o plano R2 e o conjunto C.
Assim, podemos associar um numero complexo z = x + iy a um
ponto (x, y) no plano. Logicamente, assim teremos a associacao en-
tre o eixo x e o real (das partes reais), tambem entre o eixo y e o
imaginario (das partes imaginarias).
Assim como os vetores do R2 possuem comprimento, tambem
associamos um numero complexo ao seu comprimento atraves da
seguinte funcao (que decorre imediatamente do teorema de Pitagoras):
152
| | : C −→ R
x + iy �−→ | x + iy | =√
x2 + y2.
Denominamos tal funcao de modulo. Passaremos a usa-la sem
preocupacao e quando quisermos nos referir ao comprimento de um
numero complexo z ∈ C apenas utilizaremos | z |.
Exemplo 5.2.16. | 3− 2i |=√
32 + (−2)2 =√
13.
Exemplo 5.2.17. | 9 |=√
92 = 9.
Quanto vale | 0 |?
153
CONJUGADO DE UM NUMERO COMPLEXO
Exporemos agora uma definicao de grande utilidade na teoria dos
numeros complexos. Aceitaremos que o leitor domine o conceito de
simetria. Este e utilizado em diversas areas da Matematica. Nada
mais natural utilizarmo-lo aqui. Apos conhecermos o tratamento geometrico
de um numero complexo, varias definicoes e propriedades tornam-se
triviais.
Definicao 5.2.1. Dado um numero complexo z o seu conjugado, que
sera denotado por z, e o simetrico de z em relacao ao eixo real. Ou
seja, x + iy = x− iy.
Exemplo 5.2.18. −1 + 14i = −1− 14i.
Exemplo 5.2.19. 0 = 0.
PROPRIEDADES DO CONJUGADO DE UM NUMERO COMPLEXO
154
Como ja dissemos, as propriedades do conjugado de um numero
complexo sao simples e de facil entendimento. Passaremos, entao, a
lista-las.
• z = z ⇔ z ∈ R;
Ora, sabemos da igualdade entre numeros complexos que z1 =
z2 ⇔ Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2), z1, z2 ∈ C. Logo, dado
z = x + iy ∈ C, z = z ⇔ y = −y ⇔ y = 0⇔ z ∈ R.
• z = z, ∀z ∈ C;
Tambem de grande simplicidade, ja que x + iy = x− iy = x+ iy.
• Re(z) =z + z
2
Basta notarmos que z + z = 2Re(z).
• Im(z) =z − z
2i
Raciocınio analogo ao anterior.
• z + w = z + w.
Tambem bem simples a verificacao:
x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 + x2 + i(y1 + y2) =
= x1 + x2 − i(y1 + y2) = x1 − iy1 + x2 − iy2 = x1 + iy1 + x2 + iy2.
5.2.3 MULTIPLICACAO DE NUMEROS COMPLEXOS
Apos aprendermos a somar elementos de C, veremos outra impor-
tante operacao definida neste conjunto, a multiplicacao. Sua interpretacao
geometrica somente sera dada apos vermos a representacao trigonometrica
de um numero complexo. A multiplicacao e dada por:
· : C×C −→ C, u = x1+y1, w = x2+y2 �−→ u·w = (x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1).
155
Nao e nosso intuito que o estudante venha a decorar a formula an-
terior, ja que ela pode ser obtida facilmente apos algumas manipulacoes
algebricas. Mas primeiramente precisamos conhecer algumas pro-
priedades da multiplicacao.
Exemplo 5.2.20. (2− 2i)(3 + 9i) = (6 + 18) + i(18− 6) = 24 + 12i.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICACAO DE NUMEROS COMPLEXOS
Novamente, enfatizamos que a multiplicacao em C possui pro-
priedades analogas ao caso real. Portanto nao delongaremos tempo
neste topico. As verificacoes das propriedades sao deixadas como
exercıcio para o leitor.
Dados z, v, w ∈ C, temos que:
• Associatividade
z(wv) = (zw)v.
Exemplo 5.2.21. (1+ i)[(2+0i)(0−5i)] = [(1+ i)(2+0i)](0−5i).
(Verifique!)
• Comutatividade
zw = wz.
Exemplo 5.2.22. (4− 3i)(18 + 9i) = (18 + 9i)(4− 3i). (Verifique!)
• Elemento Neutro
∃u ∈ C; uz = zu = z, ∀z ∈ C.
Exercıcio. Verifique que u = 1 + 0i, ou seja, o elemento neu-
tro da multiplicacao em C e unico e igual ao elemento neutro da
multiplicacao em R.
• Elemento inverso
156
∀z ∈ C\{0}, ∃z; zz = zz = 1.
Dica: Considere o fato zz = 1 + 0i e utilize a propriedade de
igualdade de numeros complexos. Apos a solucao do sistema
obtido, voce certamente encontrara o seguinte resultado: z =z
| z |2 . Ou seja, o elemento inverso de um numero complexo nao-
nulo e unico, e representaremo-lo por z−1.
Exemplo 5.2.23. O inverso de i e −i. (Note que | i |= 1).
Exemplo 5.2.24. O inverso de u = 2+ i e u−1 =2− i
5. Verifique!
Quando expusemos a operacao de adicao em C, afirmamos
que a subtracao seria apenas um caso particular daquela. Aqui
tambem nao poderia ser diferente. A divisao em C e apenas
caso particular da multiplicacao de numeros complexos. Primeira-
mente vejamos que zz =| z |2. Mas isto e bem simples de se
verificar, e direto, e deixamos para o leitor a sua verificacao.
Sabendo disso, podemos interpretar a divisao entre numeros
complexos da seguinte maneira:
÷ : C× (C\{0}) −→ C, u, w �−→ u÷ w =u
w=
u w
| w |2 .
O fato de w ∈ C\0 nos diz que w = 0, logo | w |2= ww = 0 e a
operacao acima esta bem definida.
Exemplo 5.2.25.1 + 2i
2 + i=
(1 + 2i)(2− i)
5. Verifique!
• Distributividade
z(u + w) = zu + zw, (z + u)w = zw + uw.
Exemplo 5.2.26. (−8 + 2i)[(4 + 0i)(−2 + 3i)] = [(−8 + 2i)(4 +
0i)](−2 + 3i). Verifique!
Todas as propriedades descritas ate agora tornam (C, +, ·) um corpo.
Dizemos que um conjunto F ≡ (F, +, ·) e um corpo, com as operacoes
+, ·, quando ele satisfaz as seguintes propriedades: (f1, f2, f3 ∈ F )
157
i) Estao bem definidas as operacoes +, ·, i.e., o conjunto F e fechado
quanto a elas;
ii) Vale a comutatividade: f1 + f2 = f2 + f1, f1f2 = f2f1;
iii) Vale a associatividade: f1 +(f2 + f3) = (f1 + f2) + f3, f1(f2f3) =
(f1f2)f3;
iv) Existe um elemento neutro aditivo (com respeito a operacao +),
denotado por 0, tal que f + 0 = 0 + f = f, ∀f ∈ F ;
v) Existe um elemento neutro multiplicativo (com respeito a operacao
·), denotado por 1, tal que 1 · f = f · 1, ∀f ∈ F ;
vi) Para todo elemento do corpo F existe um elemento oposto, i.e.,
∀f ∈ F, ∃ − f ∈ F ; f + (−f) = −f + f = 0;
vii) Para todo elemento nao-nulo do corpo existe um inverso multi-
plicativo, i.e., ∀f ∈ F\{0}, ∃f−1; ff−1 = f−1f = 1;
viii) Vale a distributividade do produto com respeito a adicao.
Agora o leitor conhece mais um corpo, o corpo dos numeros com-
plexos. Talvez o leitor conhecesse somente o corpo dos numeros
racionais e o dos numeros reais. Uma boa pergunta e: Qual a relacao
entre Q e R? Sera somente a de inclusao Q ⊂ R? Certamente
o leitor encontrara em outras obras as respostas para tais perguntas.
Convidamos, desde ja, o leitor a se informar acerca destes fatos. Por
enquanto, afirmamos que Q ⊂ R ⊂ C.
5.2.4 FORMA TRIGONOMETRICA DE UM NUMERO COM-
PLEXO
Ate o momento utilizamos apenas a forma algebrica para repre-
sentarmos os numeros complexos. Dizemos que um numero com-
plexo z esta na forma algebrica quando o representamos desta forma
158
z = x + iy, x, y ∈ R. Mas existem outras maneiras de representar-
mos um numero complexo. Veremos agora como escreve-lo na forma
trigonometrica. Para isso, relembremos que existe uma bijecao entre
C e o plano R2:
ϕ : R2 −→ C
(x, y) �−→ ϕ(x, y) = x + iy.
Sabendo disto, podemos estudar algumas caracterısticas de C ape-
nas analisando R2. Aqui serao necessarios conhecimentos trigonometricos
simples, como os de um triangulo retangulo. Pedimos ao leitor que
volte a secao de Trigonometria no triangulo retangulo do capıtulo an-
terior e recorde as suas caracterısticas. Elas sao de suma importancia
aqui.
Vejamos agora a representacao geometrica de um numero com-
plexo w = a + ib:
Alguns fatos ficam bem claros na figura acima. O comprimento
do vetor (distancia dele ate a origem do sistema de Argand-Gauss) e
conhecido do leitor e vale | w |= √a2 + b2. O angulo que o vetor faz
com o eixo real sera chamado de argumento do numero complexo, e
representado por θw = arg(w).
Da nossa famosa trigonometria podemos concluir que:
sen (θw) =Im(w)
| w | , cos (θw) =Re(w)
| w | . (5.3)
Logo podemos concluir que Re(w) =| w | sen θw, Im(w) =| w |cos θw. E entao escreveremos w =| w | (cos θw + i sen θw). Esta
159
e a forma trigonometrica do numero complexo w. Alguns autores a
denominam de forma polar.
Exemplo 5.2.27. A forma polar de z = 1 + i e z =√
2 (cosπ
4+
i senπ
4). (Por que?)
Exemplo 5.2.28. A forma trigonometrica de u =5
2+ i
5√
3
2e u =
5 (cosπ
3+ sen
π
3). Qual o argumento de u?
As operacoes com numeros complexos na forma trigonometrica
acabam se tornando mais simples e usuais. Veremos como deduzir
identidades trigonometricas apenas trabalhando com numeros com-
plexos.
Por se tratar de uma obra introdutoria, nao explicaremos com rigor
matematico a interpretacao geometrica da multiplicacao de dois numeros
complexos. Deixamos como exercıcio para o leitor mais avancado a
verificacao de que podemos associar, sem perda de generalidade, um
numero
complexo z = x + iy com a matriz Z =
⎛⎝ x −y
y x
⎞⎠. (Dica: Verifi-
que
as propriedades vistas ate aqui dos numeros complexos para este tipo
de matriz.) Como um numero complexo de comprimento unitario pode
ser escrito na forma w = cos θw + i sen θw, a sua matriz associada e
W =
⎛⎝ cos θw −sen θw
sen θw cos θw
⎞⎠. Matrizes desta forma ainda serao es-
160
tudadas
pelo leitor em outros cursos, e limitamo-nos a dizer, sem demonstracao,
que se tratam de matrizes de rotacao de vetores por um angulo θ dado
no sentido anti-horario.
Assim, ao multiplicarmos dois numeros complexos, estamos na
verdade rotacionando um deles sob o argumento do outro no sentido
anti-horario. O comprimento do novo numero complexo sera dado
pelo produto dos comprimentos dos numeros complexos envolvidos
na multiplicacao. Vejamos a figura:
Certamente o leitor concluiu que o argumento do produto da multiplicacao
de dois numeros complexos e dado pela soma dos argumentos dos
numeros envolvidos na multiplicacao.
Exemplo 5.2.29. w = 5, u = 2i⇒ wu = 10i. Note que θw = 0, θu =π
2e que θwu =
π
2= 0 +
π
2= θw + θu.
Exemplo 5.2.30. u = 2 + 2i, z = 1 + i ⇒ uz = 4i. Note novamente
que θu =π
4, θz =
π
4, θuz =
π
2=
π
4+
π
4= θu + θz.
Uma aplicacao imediata e a deducao das formulas do seno e do
cosseno da adicao de arcos. Vejamos a seguinte proposicao:
Proposicao 5.2.2. As seguintes relacoes sao validas:
sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α)
cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α)sen(β).
Demonstracao. A prova e imediata. Sejam dois numeros complexos
de comprimento unitario e com argumentos α, β, a saber, zα = cos α +
i sen α, zβ = cos β + i sen β. Pelo que ja vimos, o argumento de zαzβ
e a soma dos argumentos de zα e de zβ . Logo, teremos:
161
cos (α +β) + i sen (α +β) = zαzβ = cos(α) cos(β)− sen(α)sen(β) +
i [sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α)].
Pela igualdade de numeros complexos, a proposicao segue facil-
mente.
Agora, nada mais natural e perguntar o que acontece ao multi-
plicarmos mais de dois numeros complexos. Mas, pela propriedade
da associatividade ja vista, podemos sempre operar (multiplicar) os
numeros complexos dois-a-dois, ja que sabemos que isso nao altera
o resultado. Logo, sempre podemos aplicar o aprendido aqui induti-
vamente. Alias, isso e um resultado conhecido como teorema de De
Moivre.
Teorema 5.2.3 (Formula de De Moivre). Se n e inteiro, entao
zn =| z | n (cos θz + i sen θz)n = | z |n [cos (nθz) + i sen (nθz)].
Demonstracao. Exercıcio. (Dica: Tente Inducao Matematica para o
caso de n natural e depois conclua para o caso −n. Nao se preocupe
caso nao saiba ainda o que e Inducao Matematica. Afinal, estamos
apenas no inıcio do curso...)
Exercıcio. Deduza as formulas para cos 3a e sen 3a.
Com o conhecimento da formula de De Moivre, podemos calcu-
lar raızes de numeros complexos. Calculamos a raiz de um numero
complexo da maneira que passaremos a descrever a seguir. Dado
um numero complexo w =| w | (cos θ + i sen θ), desejamos saber a
solucao (ou solucoes) da equacao zn = w. Ora, mas sabemos que
z =| z | (cos θz + i sen θz) ⇒ zn =| z | n(cos nθz + i sen nθz). Pela
igualdade de numeros complexos, ganhamos que zn =| z | n(cos nθz +
i sen nθz) =| w | (cos θ + i sen θ) = w ⇒| z | n =| w | e cos nθz =
cos θ, sen nθz = sen θ.
Mas | z | n =| w |⇒| z |= n
√| w |, e cos nθz = cos θ, sen nθz =
sen θ ⇒ θz =θ + 2k π
n. Portanto, as raızes n-esimas de w =| w |
(cos θ + i sen θ) sao iguais a z = n
√| w | (cosθ + 2k π
n+ i sen
θ + 2k π
n).
162
Isso significa que as raızes n- esimas de w encontram-se nos
vertices do polıgono de n lados inscrito na circunferencia de centro
(0, 0) e de raio n
√| w |. Vejamos a figura:
163
Exemplo 5.2.31. Resolva a equacao z4 = 4 + 4i.
Primeiramente, coloquemos o numero w = 4+4i na forma trigonometrica.
Um calculo rapido nos mostra que θw =π
4e entao w =
√32(cos
π
4+
senπ
4).
Como ja sabemos, z = z = n
√| w | (cosθw + 2k π
n+ i sen
θw + 2k π
n).
Podemos entao concluir que z0 = 8√
32(cosπ
16+ i sen
π
16), z1 = 8
√32(cos
9π
16+
i sen9π
16), z2 = 8
√32(cos
17π
16+ i sen
17π
16), z3 = 8
√32(cos
25π
16+ i sen
25π
16).
Notou algo interessante?
Exemplo 5.2.32. Ache as solucoes para a equacao z3 = 4.
Se apenas resolvessemos a equacao acima no conjunto dos numeros
reais, obterıamos z = 3√
4 como solucao. Vejamos a diferenca para o
caso complexo. Facilmente temos que w = 4 ⇒ θw = 0. Assim, as
solucoes serao dadas por z0 = 3√
4 (Por que?), z1 = 3√
4(cos2π
3+
i sen2π
3), z2 = 3
√4(cos
4π
3+ i sen
4π
3). (Qual o polıgono descrito pelas
solucoes da equacao acima?)
O conjunto das raızes n- esimas da unidade desempenham um pa-
pel importante na Matematica. Ele, munido da operacao de multiplicacao
que conhecemos, possui estrutura de Grupo, estrutura essa que o
164
leitor vera em seu curso de Algebra. O leitor curioso pode encontrar
mais caracterısticas importantes das raızes n-esimas da unidade no
livro
Para concluirmos nosso capıtulo, citaremos como curiosidade, a
forma exponencial de Euller para a representacao de um numero com-
plexo. Esta forma e talvez a mais usada, e aconselhamos o leitor
a se acostumar com a sua presenca desde ja. Caso nao conheca
a funcao exponencial, procure (citar algo para pesquisa) para mais
informacoes.
Definicao 5.2.4 (Forma exponencial de um numero comlexo). Dado o
numero complexo w =| w | (cos θw + i sen θw), a sua forma exponencial
e dada por w = |w|eθwi.
Com a definicao acima concluimos que eθi = cos θ + i sen θ. Esta e
a forma exponencial de Euller. Com essa representacao, as raızes n-
esimas da unidade sao escritas no formato e2kπi
n . Outro fato importante
e que eθi = cos θ + i sen θ = cos (θ + 2kπ) + i sen (θ + 2kπ) = e(θ+2kπ)i.
(Consegue deduzir algo?)
Exemplo 5.2.33. Sabemos que cos π2
= 0, sen π2
= 1. Logo, eπ
2i = i⇒
ii = (eπ
2i)i = e−
π
2 .
5.3 SAIBA MAIS
a. O leitor interessado em conhecer mais sobre a vida de Cardano,
pode visitar os sıtios:
http://sandroatini.sites.uol.com.br/cardano.htm ou
http://www.ccet.ufrn.br/hp estatistica/biografias/cardano.html.
b. Para conhecer algumas aplicacoes dos numeros complexos, acesse:
http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/
165
5.4 EXERCICIOS
O corpo dos numeros complexos
1. Dados os numeros complexos abaixo, diga quem sao suas partes
real e imaginaria.
a) z = 0 + 0i;
b) z = 2−√3i;
c) z = −3i;
d) z = −3− 4i;
e) z =√
2 + π3i.
2. Calcule o modulo dos numeros complexos a seguir.
a) z = 0 + 0i;
b) z = 8− 3i;
c) z = −6i;
d) z = −10− 40i;
e) z = 2 + π3i.
3. Dados os numeros complexos a seguir, esboce a sua localizacao
no plano de Argand-Gauss.
a) z = 0 + 0i;
b) z = 2− i;
c) z = 15i;
d) z = −3−√5i;
e) z = 5√
2− 10
√π5i.
4. Coloque os seguintes numeros na forma trigonometrica, e de-
pois localize-os no pano de Argand-Gauss.
a) z = 10i;
166
b) z = −√
32
+ i2;
c) z = −3;
d) z = 8√
2 + 8√
2i;
e) z = 3− 4i.
5. Encontre os conjugados de:
a) z = 0− 10i;
b) z = 2−√3i;
c) z = 16;
d) z = (4− 6i)2;
e) z =√
2 + π3i.
6. Dados os numeros z = 18i, w = 3− 8i, u = 23, calcule:
a) z + w;
b) z − 3u;
c) w + 4u;
d) 12z − 3w;
e) 15z + i(4w + 9u).
7. Dados os numeros complexos z = i, u = 2+8i, v = 3−√3i, w =
9, calcule:
a) z[5w − i(8u + 3v)];
b) (5wz + 2uv)(13z − 2uvw2);
c) | w | (z3 + 14wv4);
d) [z − (wv + 1u)];
e)z
wv.
8. Encontre os inversos de:
a) z = −1;
167
b) z = 2−√3i;
c) z = −3i;
d) z = −3− 4i;
e) z =√
2 + π3i.
9. Calcule (√
3− i)10.
10. Quanto vale 1 + i + i2 + ... + i2007?
11. Ache os numeros complexos tais que z4 = z.
12. Determine z ∈ C tal que | z |3=| 1z|2.
13. O que representa o conjunto D = {z ∈ C/ | z − 2i |= 4}?
14. Deduza a formulazn − 1
z − 1= 1 + z + z2 + ... + zn−1, z = 1.
15. Mostre que se z ∈ C e raiz do polinomio P (x) = a0 + a1x +
a2x2 + ... + anxn, entao z tambem o e. (Dica: Tente usar a forma
trigonometrica.)
16. Utilizando a formula de De Moivre e a questao 14, encontre as
formulas para
a) 1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ;
b) sen θ + sen 2θ + . . . + sen nθ.
17. Use a questao 16 para mostrar que 72◦ e o menor angulo posi-
tivo que resolve os sistema:
⎧⎨⎩ 1 + cos θ + cos 2θ + cos 3θ + cos 4θ = 0
senθ + sen2θ + sen3θ + sen4θ = 0.
18. Resolva em C as equacoes:
a) z3 = 7;
b) z2 = i;
c) z4 + z3 + z2 + z + 1 = 2;
168
d) (z − 1)n = (z + 1)n, n > 1.
19. Idem para:
a) |z|3 = 7;
b) |z + 2|2 = i;
c) |z − 4i| = |z + 2|+ |z − 3|;
d) |z + 3i| = |2 + 3i|.
5.5 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A
Matematica do Ensino Medio. Volume 1. 9.ed.. Rio de Janeiro:
SBM, 2006;
2. CARMO, M.P. do; MORGADO, A.C.; WAGNER, E.. Trigonome-
tria, Numeros Complexos. Notas historicas de Joao Bosco Pit-
ombeira de Carvalho. Rio de janeiro: SBM, 1992.
169